Cinque grandi matematici della storia

Istituto Monti – Classe IV UCa cura di Emanuele Biolcati

16 maggio 2017

Sommario

Sintesi delle ricerche effettuate mediante lavoro a gruppi dalla clas-se Quarta UC dell’Istituto Statale Monti (a.s. 2016/2017) su cinquegrandi matematici della storia proposti dal docente: Pitagora, Euclide,Cartesio, Eulero e Turing.

Indice

1 Premessa didattica 3

2 Pitagora 32.1 Biografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Opere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3 Innovazioni e contributi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.4 Curiosità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3 Euclide 63.1 Biografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.2 Opere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.3 Innovazioni e contributi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.4 Curiosità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4 Cartesio 104.1 Biografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.2 Opere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.3 Innovazioni e contributi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.4 Curiosità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

5 Lehonard Euler 145.1 Biografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155.2 Opere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155.3 Innovazioni e contributi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165.4 Curiosità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

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6 Alan Turing 186.1 Biografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186.2 Opere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196.3 Innovazioni e contributi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206.4 Curiosità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

7 Conclusione 20

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1 Premessa didattica

L’idea del lavoro nasce dalla volontà di allinearsi ad una parte spesso trascu-rata delle Indicazioni Nazionali dei Licei del 2010, ciò che nella nuova scuo-la ha ormai sostituito i programmi ministeriali a vantaggio di un percorsobasato sulla didattica innovativa per competenze.

In particolare, in apertura delle suddette Indicazioni, nel paragrafo ri-guardante la Matematica, si legge:

Al termine del percorso dei licei classico, linguistico, musicale coreuticoe della scienze umane lo studente [. . . ] saprà inquadrare le varie teoriematematiche studiate nel contesto storico entro cui si sono sviluppatee ne comprenderà il significato concettuale. Lo studente avrà acquisitouna visione storico-critica dei rapporti tra le tematiche principali delpensiero matematico e il contesto filosofico, scientifico e tecnologico.In particolare, avrà acquisito il senso e la portata dei tre principalimomenti che caratterizzano la formazione del pensiero matematico: lamatematica nella civiltà greca, il calcolo infinitesimale che nasce conla rivoluzione scientifica del Seicento e che porta alla matematizzazio-ne del mondo fisico, la svolta che prende le mosse dal razionalismoilluministico e che conduce alla formazione della matematica moderna

Per enfatizzare al meglio tale contestualizzazione degli argomenti affron-tati a lezione nel tessuto storico-filosofico che ha accompagnato per secoli lamatematica, è stato proposto il seguente lavoro di ricerca su cinque autoriscelti come rappresentanti dei differenti periodi.

Gli alunni hanno lavorato in modo autonomo per la prima parte di ricer-ca, seguendo una traccia proposta dal docente. Quest’ultimo ha poi riunitoi vari risultati delle ricerche in questo documento, aggiungendo alcune partiper ottenere una maggiore chiarezza e omogeneità.

2 Pitagora

A cura di Gambaruto Elena, Gardin Sara, Marsicano Eleonora, MonteleoneMarica, Musio Elisa.

2.1 Biografia

Pitagora, matematico e filosofo greco, diede un notevole contributo allosviluppo della scienza occidentale poiché per primo intùı l’efficacia dellamatematica per descrivere il mondo.

Viene ricordato come fondatore storico dell’Emiciclo di Pitagora, scuolanel cui ambito si svilupparono numerose conoscenze, in particolare quellematematiche e le sue applicazioni come il noto Teorema di Pitagora. Datoil codice di segretezza che la scuola perseguiva, si consegue che la figura diPitagora sia tutt’ora misteriosa.

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Pitagora nacque intorno alla prima metà del VI sec a.C. a Samo ilsuo nome deriva da pithia, il tempio di Apollo e agorà, la piazza, figlioprobabilmente di un uomo facoltoso.

Divenuto ragazzo, si recò a Mileto, da Talete e Anassimandro, da cuiimparò la geometria e l’astronomia. Egli apprese le scienze chiamate ma-tematiche dagli Egizi, dei Caldei e dei Fenici: gli Egizi, infatti, da tempiimmemorabili, si erano occupati di geometria, i Fenici dei numeri e dellascienza dei calcoli, i Caldei dello studio del cielo.

Da Samo Pitagora si trasfer̀ı nella Magna Grecia, oppresso dalla tiran-nide di Policrate, a Crotone, dove all’incirca nel 530 a.C. fondò la ScuolaPitagorica. Di alcuni viaggi in Egitto e a Babilonia, narrati dalla tradizione,non vi sono fonti certe, essi sono ritenuti, almeno in parte, leggendari.

Sulla sua morte i resoconti dei biografi non coincidono: essendo scop-piata una rivolta dei democratici contro il partito aristocratico pitagorico,la casa dove si erano riuniti gli esponenti più importanti della setta fu in-cendiata. Secondo una versione, Pitagora prima della sommossa si ritirò aMetaponto, dove mor̀ı dopo essersi rifugiato nel piccolo tempio dedicato alleMuse, rimasto quaranta giorni privo del necessario per vivere. Secondo altriinvece riusc̀ı a salvarsi dall’incendio e si uccise per il dolore di essere statoprivato dei suoi amici.

2.2 Opere

A differenza di molti matematici greci successivi, di cui si conservano alcunilibri, non abbiamo nulla degli scritti di Pitagora. I dettagli sulla vita diPitagora provengono da antiche biografie, le quali utilizzano fonti importantie talvolta originali poiché scritte da autori che gli attribuiscono ancora poteridivini. Alcuni dei suoi contemporanei lo descrivono come segue:

Egli era infatti un uomo di grande valore, aveva molto viaggiato, esoprattutto era stato eccezionalmente dotato dalla natura, tanto che ilsuo aspetto era nobile e grande, e pieno di grazia e di decoro il suomodo di parlare, di agire e di fare qualsiasi cosa. Parlò, dunque, aifanciulli, che gli si radunavano attorno appena usciti da scuola; e piùtardi anche alle donne. Anzi, istitùı un’assemblea di donne. In talmodo la sua fama crebbe sempre di più, e molti gli divennero compagni:(...)Quello che diceva ai suoi compagni, nessuno può dirlo con certezza,perché lo custodivano in gran segreto. Ma le sue opinioni più notesono queste: diceva che l’anima è immortale, e che può trapassareanche in esseri viventi di altra specie; che quello che è stato si ripetea intervalli regolari, cosicché non c’è mai nulla di veramente nuovo;che, infine, dobbiamo considerare come appartenenti alla stessa specietutti gli esseri viventi.(Porfirio, Vita di Pitagora, cap. 6)

Questi (gli ammessi al noviziato) da prima si chiamavano, nel perio-do in cui dovevano tacere ed ascoltare, acustici. Ma quando avevano

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apprese le cose più difficili fra tutte, cioè tacere ed ascoltare, e già ave-van cominciato ad acquistare erudizione nel silenzio, che veniva dettoechemuthia, allora acquistavan la facoltà di parlare e di far domande edi scrivere quel che avevan sentito e di esprimere quel che pensavano.In tal periodo essi si chiamavan matematici(Gellio, Notti attiche, I, 9)

2.3 Innovazioni e contributi

Una caratteristica fondamentale nella ricerca e nello studio di Pitagora è ildesiderio di giustificare in modo rigoroso e generale; utilizzare un metododeduttivo, partendo da verità semplici ed evidenti arrivando gradualmentealla scoperta di verità certe. A Pitagora e alla sua scuola si deve la distin-zione tra logica e aritmetica, cioè tra le regole pratiche di calcolo sui numeri(interi) e la scienza dei numeri.

Tra i suoi studi importanti da ricordare sono:

• la distinzione dei numeri in pari e dispari;

• la definizione dei numeri amicabili (due numeri per cui la somma deidivisori propri di uno, quindi escluso il numero stesso, è uguale all’altroe viceversa, es: 220 e 284) e dei numeri perfetti (un numero che è ugualealla somma dei suoi divisori propri, es: 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14);

• la rappresentazione geometrica dei numeri interi mediante gruppi dipunti disposti in modo da formare figure geometriche regolari, come inumeri triangolari o i numeri quadrati.

Per quanto riguarda l’ambito geometrico, oltre al famoso teorema diPitagora, alla scuola pitagorica sono attribuiti:

• il seguente teorema fondamentale:

Teorema 1. La somma degli angoli interni di un triangolo è ugualea due angoli retti.

• la risoluzione geometrica delle equazioni di II grado;

• i primi elementi della teoria delle proporzioni e della similitudine;

• la scoperta degli incommensurabili (estensioni e figure che non possonoessere misurate) e importanti studi sui numeri irrazionali (es:

√3). I

numeri irrazionali furono inventati per una necessità che emerse dallostudio della geometria, come calcolare la diagonale d di un quadratodi cui è nota la misura del lato l, che vale d = l

√2;

• la costruzione dei corpi cosmici, cioè dei cinque poliedri regolari (te-traedro, ottaedro, esaedro, dodecaedro, icosaedro) o almeno di alcunitra di essi;

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• la fondazione della geometria razionale.

Il celebre teorema elaborato da Pitagora è quello che riguarda qualsiasitriangolo rettangolo:

Teorema 2 (Teorema di Pitagora). In un triangolo rettangolo la sommadelle aree dei due quadrati costruiti sui cateti è uguale all’area del quadratocostruito sull’ipotenusa.

In realtà l’enunciato era già noto dai Babilonesi in Cina e in India, maPitagora si attribuisce la sua dimostrazione. Essa consiste nel riempire unostesso quadrato di lato uguale alla somma dei cateti prima con quattrocopie del triangolo rettangolo più il quadrato costruito sull’ipotenusa e poicon quattro copie del triangolo rettangolo più i quadrati costruiti sui cateti.

2.4 Curiosità

Pitagora oltre ad essere considerato tra i padri della filosofia e della ma-tematica è anche il padre del vegetarianismo. Il suo essere vegetariano silega alla dottrina pitagorica della metempsicosi, ovvero la dottrina dellareincarnazione dell’anima.

Egli sosteneva: Solo l’uomo volgare placa il suo ventre vorace distrug-gendo un’altra creatura.

Inoltre alcuni scritti su Pitagora ci riportano che lui insegnò anche adanimali privi di ragione. Un esempio ci è portato dall’Orsa di Daunia allaquale Pitagora porge una focaccia e delle ghiande e le estorse il giuramentodi non molestare gli esseri viventi. In un’altra occasione si pose vicino a deipescatori e, dato che la rete tirata conteneva una grande quantità di pesce,egli predisse il numero esatto dei pesci da loro tirati a riva. A quel puntoi pescatori accettarono di eseguire i suoi ordini, ma solo se la predizione sifosse rivelata esatta, dopo che ebbero contato i pesci presenti, ordinò loro digettare il pesce ancora vivo in acqua; la cosa più stupefacente fu che nessunodei pesci, pur rimasti fuori dall’acqua, mor̀ı alla sua presenza, mentre venivacompiuta la conta.

3 Euclide

A cura di Botezatu Ioana, Monteforte Arianna, Simion Tatiana, SimonAlessia, Thiruchelvam Lucinda.

3.1 Biografia

Di Euclide sappiamo pochissimo e c’è perfino chi dubita della sua esisten-za. Dovrebbe essere stato sicuramente il più importante matematico della

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storia antica e uno dei più importanti e riconosciuti di ogni tempo e luo-go. Controversa è, invece, la notizia secondo cui sarebbe stato un platonicoconvinto.

Gli storici della matematica sono d’accordo nel dire che svolse la sua atti-vità ad Alessandria d’Egitto, verso l’inizio del III secolo a.C.; in quell’epoca,Alessandria d’Egitto, stava diventando la capitale culturale del mondo elle-nistico. Alla morte di Alessandro Magno (323 a.C), l’Egitto fiǹı nelle manidel suo generale Tolomeo. Divenuto Re, Tolomeo attira ad Alessandria ipiù famosi studiosi del mondo ellenico, favorendo, cos̀ı, la diffusione dellacultura greca. A tale scopo istitùı il Mouséion, lo scrigno delle Muse, cheera, al tempo stesso, un’accademia di arti e scienze e un centro avanzato diricerca. Euclide si trova a lavorare in questo ambiente che permetteva lacreazione di una comunità di matematici e lo sviluppo di grandi progetti.

La leggenda ce lo descrive come un vecchio austero ma, allo stesso tempo,affidabile e gentile. Euclide Mor̀ı nel 283 a.C.

3.2 Opere

Euclide nella sua vita scrisse diverse opere. Queste parlano di ottica, disezione coniche, di altri argomenti di geometria, di astronomia, di musica edi statica. Molte di esse sono andate perdute, ma quelle che si sono con-servate (soprattutto la Catottrica, la quale tratta di specchi, e l’Ottica, cheargomenta sulla scienza della visione) hanno esercitato un’influenza moltoimportante sulla matematica.

Tra le altre opere, si ricordano l’Introduzione armonica (trattato di mu-sica), i Luoghi superficiali (andato perso), la Sezione del canone (un altrotrattato di musica), le Coniche (a sua volta andato perso), i suoi Feno-meni (una descrizione sulla sfera celeste), i Dati (connessi ai sei libri degliElementi, e, infine, i tre libri dei Porismi (tramandato a noi attraverso ilriassunto realizzato da Pappo di Alessandria d’Egitto). Nonostante le operesopraelencate, la sua più importante opera rimane gli Elementi.

Rappresentano l’opera matematica principale pervenutaci tra le operedei greci. Essi risalgono al periodo tra il IV e III secolo a.C. e offrono unquadro completo della geometria nota a quel tempo. La geometria pre-sentata è detta assiomatica, cioè ogni proprietà viene dimostrato in base aproprietà precedentemente dimostrate. In cima a tutta questa costruzioneci sono delle cose evidenti, i cosiddetti assiomi, che in greco significa “degnodi fede”. La conseguenza è che chiunque sia disposto ad ammettere le po-che semplici affermazioni iniziali, dovrà necessariamente ammettere l’interoedificio perché rigidamente obbligato dalla pura logica.

Negli Elementi compaiono alcune caratteristiche, destinate a diventarepeculiari dell’intera matematica e delle più rigorose discipline scientifiche:

• linguaggio formulare, stile lineare, rigorosamente tecnico, nessuna spie-gazione dello scopo di ciò che si sta proponendo

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• ogni oggetto è denotato con un preciso termine tecnico di significatounivoco, non confondibile con i significati che lo stesso termine assu-me nel linguaggio comune (es. il punto è un oggetto ideale privo digrandezza, non un segno su un foglio)

• ogni oggetto è definito a partire da termini tecnici più semplici edelementari, procedendo a ritroso fino ai pochi enti non definibili.

La struttura dell’opera è la seguente.

• Nei primi quattro libri, Euclide introduce gli oggetti geometrici fon-damentali della geometria piana (cioè il piano, la retta, il punto el’angolo); dopodiché egli tratta le proprietà fondamentali del cerchio edei poligoni, enunciando anche il teorema di Pitagora.

• Nel libro V si parla della teoria delle proporzioni, mentre nel VI taleteoria viene applicata ai poligoni.

• I libri VII, VIII e IX affrontano i concetti dei numeri perfetti, dei nume-ri primi, del massimo comune divisore e altre questioni di aritmetica;mentre il libro X è incentrato sulle grandezze incommensurabili.

• Infine, i libri XI, XII e XIII trattano della geometria solida, affrontandolo studio di piramidi, sfere, cilindri, coni, tetraedri, ottaedri, cubi,dodecaedri e icosaedri.

Riassumendo, gli Elementi non costituiscono un riassunto delle cono-scenze matematiche dell’epoca, ma una sorta di manuale introduttivo cheriguarda l’intera matematica elementare: l’algebra, la geometria sintetica(dei cerchi, dei piani, delle linee, dei punti e delle sfere) e l’aritmetica (lateoria dei numeri). Vengono enunciati e dimostrati 465 teoremi (i proposi-zionali), ai quali si aggiungono corollari e lemmi. I più celebri teoremi perla geometria, che riportiamo qui, in realtà sono corollari della proporzione8 contenuta nel libro VI):

Teorema 3 (Primo Teorema di Euclide). In ogni triangolo rettangolo il qua-drato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo che ha per dimensionil’ipotenusa e la proiezione di quel cateto sull’ipotenusa.

Teorema 4 (Secondo Teorema di Euclide). In un triangolo rettangolo, ilquadrato costruito sull’altezza relativa all’ipotenusa è equivalente al rettan-golo che ha per lati le proiezioni dei due cateti sull’ipotenusa.

Ora riportiamo un estratto del I libro degli Elementi :

[1] Punto è ciò di cui non è alcuna parte. [2] E linea lunghezza senzalarghezza. [3] Limiti di una linea sono punti. [4] Linea retta è quel-la che è posta ad uguale livello rispetto ai punti su se stessa. [5] E

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superficie è ciò che ha soltanto lunghezza e larghezza. [6] E limiti diuna superficie sono linee. [7] Superficie piana è quella che è posta allostesso livello rispetto alle rette su se stessa. [8] Ed angolo piano è,toccandosi tra loro due linee in un piano e non essendo poste in linearetta, l’inclinazione delle linee l’una rispetto all’altra. [9] E quando lelinee che comprendono l’angolo siano rette, l’angolo è chiamato retti-lineo. [10] E quando una retta che sta su una retta faccia gli angoliconsecutivi uguali tra loro, uno e l’altro degli angoli uguali è retto, e laretta che sta su è chiamata perpendicolare a quella su cui sta.

3.3 Innovazioni e contributi

Nelle sue opere, molto sofisticate, egli fa mostra di grande varietà di interessimatematici, e ciò lascia supporre che queste opere siano un punto d’arrivodi un processo storico. Egli elabora, nelle sue opere, concetti e innovazionigeometriche e matematiche che sono riportate, per la maggior parte, nellasua opera fondamentale gli Elementi.

La geometria euclidea si poggia sui seguenti cinque postulati:

1. È sempre possibile tracciare una retta tra due punti qualunque.

2. È sempre possibile prolungare una linea retta.

3. È sempre possibile costruire una circonferenza di centro e raggio qua-lunque (ossia, è sempre possibile determinare una distanza maggioreo minore).

4. Tutti gli angoli retti sono congruenti tra di loro.

5. Data una retta e un punto esterno ad essa, esiste un’unica retta pa-rallela passante per detto punto.

Euclide, quindi, tramite le sue innovazione, fornisce la base indiscussa delpensiero scientifico. Successivamente, in epoca imperiale, si moltiplicaronole sue edizioni e i commenti delle sue opere e, soprattutto, degli Elemen-ti : sappiamo, infatti, che tra i commentatori vi furono Proclo, Erone diAlessandria, Porfirio, Pappo e molti altri.

Il moltiplicarsi dei commenti fu un segnale di ambivalenza: dimostral’interesse per l’opera di Euclide e l’uso di una parte del suo lavoro nelladidattica, ma rileva anche che non si era più in grado di comprenderlo senzal’aiuto di interpreti. Nessuno dubitava dell’importanza dello studio di Eucli-de come strumento essenziale per impadronirsi del metodo scientifico e pertrarne varie applicazioni, ma non si era in grado di capire compiutamente lesue opere.

Uno dei problemi era costituto dalle figure, le quali si erano rovinate nelcorso delle successive ricopiature e traduzioni. Nel caso degli elementi eraabbastanza facile ricostruire le figure della geometria piana, ma non si erain grado di disegnare quelle più complesse della geometria solida.

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Nonostante ciò, la ricostruzione delle figure non era il problema più dif-ficile da risolvere per arrivare a una completa comprensione degli Elementima, piuttosto, la profondità della teoria esposta nel V libro poneva difficoltàconcettuali molto ardue. Dunque, se si esclude l’alto Medioevo, la diffusio-ne della conoscenza di Euclide è regredita notevolmente; non solo quasi piùnessuno legge gli Elementi, ma anche la didattica della geometria euclideaè in profonda crisi. Quest’ultima resiste ancora in molte scuole italiane, manon è più insegnata in quasi nessun altro paese; ben pochi sono a conoscenzadell’esistenza di altre opere di Euclide.

3.4 Curiosità

Dal salone internazionale del libro di Torino, è arrivato un saggio AbbassoEuclide! Il grande racconto della geometria contemporanea di PiergiorgioOdifreddi. Il grido antieuclideo del rinomato professore della Cornell Uni-versity è circostanziato e fondato su rigorose basi scientifiche. Nel suoi Ele-menti, il grande sistematizzatore della geometria del mondo classico, usavafigure con parsimonia e si affidava quasi soltanto alla formalizzazione delladimostrazione: Il mondo è cambiato! Ci ammonisce Odifreddi, e la scienzapure.

Per questo il suo saggio divulgativo è riccamente illustrato e si affida,innanzitutto, all’intuizione e alla visualizzazione. Vediamo cos̀ı scorrere,nei vari capitoli, l’influenza dei concetti e delle teorie (che hanno attrat-to l‘attenzione di Odifreddi) appartenenti ai matematici vissuti soltanto apartire dalla fine dell’Ottocento, i quali sono diventati il fulcro della ma-tematica del secolo appena trascorso, ormai completamente svincolata dalretaggio euclideo: la quarta dimensione, la topologia, i frattali, le geometriefinite e la riflessione sui fondamenti.

Fedele al suo approccio di illustrare la geometria attraverso l’arte, Odi-freddi, quindi, conclude questa affascinante avventura con un’appendice de-dicata a mostrare ciò che la geometria, nel corso dei secoli, ha potuto fareper l’arte e viceversa.

Infine, Odifreddi ci ricorda che il nome di Euclide è legato positivamentealla geometria classica, definita appunto geometria euclidea, e negativamentealle geometrie contemporanee e moderne, chiamate al contrario geometrienon euclidee. Insomma: grazie Euclide, ma anche: abbasso Euclide.

4 Cartesio

A cura di Famoso Manuela, Comes Rebecca, Garbin Miriana, Manca Mara,Marasco Giulia.

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4.1 Biografia

René Descartes, nacque a La Haye in Turenna nel 1596 e mor̀ı a Stoccolmanel 1650, fu un filosofo, scienziato e matematico francese, inoltre, egli venneconsiderato il fondatore della filosofia moderna. Fu educato dai gesuiti nelcollegio di La Flèche, ed ebbe una formazione improntata allo studio deiclassici, della filosofia scolastica e della matematica.

Seguendo i consigli del padre, anche se la sua più particolare attenzio-ne era tuttavia già rivolta ai problemi filosofici, egli studiò diritto pres-so l’Università di Poitiers e dal 1618 si arruolò nell’esercito, decidendo diintraprendere la carriera militare.

Tra il 1623 e il 1625 viaggiò in Italia; dal 1625 al 1628 visse in Francia de-dicandosi scrupolosamente alla filosofia e agli esperimenti di ottica. Per nondestare sospetti all’Inquisizione, si trasfer̀ı in Olanda, dove visse in diversecittà, tra le quali Amsterdam e Leida.

Durante i primi anni della permanenza in Olanda, Cartesio compose treimportanti trattati, la Diottrica, le Meteore e la Geometria, pubblicati nel1637 e introdotti dal Discorso sul metodo, che compendiava la sua filosofia.Seguirono altri scritti filosofici, tra i quali le Meditazioni metafisiche (1641)e i Principi di filosofia (1644). Nel 1649 Cartesio fu invitato alla cortedi Stoccolma per dare lezioni di filosofia alla regina Cristina di Svezia; inseguito si ammalò di polmonite e mor̀ı l’anno seguente.

4.2 Opere

Le sue opere, considerate fra le più importanti del pensiero occidentale, pro-vocarono una svolta epocale per il sapere filosofico, e furono fondamentali peril passaggio dal cosiddetto medioevo al cosiddetto tempo moderno. Tra gliscritti più celebri ricordiamo; Il discorso sul metodo (1637) e Le meditazionimetafisiche (1641).

Esistono altre opere meno popolari scritte dal filosofo francese, quali,per esempio Regole per dirigere l’ingegno che risale negli anni 1624-1626, incui si evince il rapporto tra il filosofo e la matematica. Il metodo adottatodev’essere, secondo Cartesio, un criterio di orientamento unico e semplice,che serva all’uomo in ogni campo teoretico e pratico, e che abbia come fineultimo il vantaggio dell’uomo nel mondo. A tale scopo, il filosofo si avvalesoprattutto della matematica:

Quelle lunghe catene di ragionamenti, semplici e facili, di cui i geo-metri si servono per giungere alle loro più difficili dimostrazioni, midettero motivo a supporre che tutte le cose di cui l’uomo può avereconoscenza si seguono nello stesso modo.(Regole per dirigere l’ingegno, III, 5).

Il Discorso sul metodo venne pubblicato nel 1637 come introduzione a treopere principali: Geometria, Diottrica e Meteore. Inizialmente lo scopo di

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questo breve scritto era infatti preparatorio, ad esso era affidato il compitodi introdurre la chiave di lettura dei tre trattati. In questo contesto egliesprime in modo molto chiaro ed efficace i risultati da lui ottenuti nella suaindagine sul metodo che meglio si addice alla filosofia.

E tuttavia il trattato di un centinaio di pagine intitolato Geometria fuin grado di rivoluzionare il pensiero matematico. L’approccio di Cartesioera del tutto diverso dai suoi predecessori: mostrare come l’aritmetica, l’al-gebra e la geometria possano essere combinate per risolvere ogni problema,attraverso tecniche innovative per collegare la costruzione di una curva allasua equazione algebrica, classificare ogni curva e, fatto ciò, usare usclusiva-mente la geometria per risolvere i problemi algebrici, molti dei quali eranoall’epoca di difficile soluzione usando i soli numeri.

La Geometria mostra cos̀ı soltanto costruzioni geometriche. Dopo averstabilito un’unità di lunghezza, Cartesio mostra le procedure per compiereaddizioni, sottrazioni, moltiplicazioni e altre operazioni più complesse (comeradici di differenti gradi) esclusivamente per via grafica, cioè soltanto conriga e compasso. Tale tecnica viene chiamata algebra dei segmenti.

Tale nuova algebra consent̀ı di assegnare significati geometrici ad ope-razioni fino ad allora non interagenti con la geometria. Un esempio moltosemplice: l’equazione ax = b è facilmente rappresentabile geometricamente,ma l’equazione equivalente x = ba era priva di significato fino alla pubbli-cazione della Geometria, perché non era consentito dividere tra loro duesegmenti. Questo diventa possibile in virtù dell’algebra dei segmenti ideatada Cartesio. E cos̀ı via per le equazioni di secondo grado e operazioni piùcomplesse.

Va sottolineato che l’intento di Cartesio non era limitarsi a mettere ordi-ne nel campo delle costruzioni con riga e compasso, ma voleva scoprire nuoveverità. Un esempio fu la dimostrazione del celebre Problema di Pappo1.

Il saggio si presenta con una struttura non unitaria e poco omogenea,ma il suo contenuto, nel suo insieme, sia per le soluzioni proposte che per illinguaggio adottato, è di certo il più avanzato e moderno della prima metàdel Seicento. Si può persino affermare che la Geometria sia la prima operadella matematica moderna, perché un contemporaneo può leggerla senzauna preparazione specifica. Il formalismo algebrico utilizzato è molto similea quello odierno; in particolare si ha l’uso cartesiano delle prime letteredell’alfabeto per indicare i parametri e delle ultime per indicare le incognite.Tuttavia, mentre noi concepiamo i parametri e le incognite come numeri,Cartesio dava loro un’interpretazione in termini di segmenti.

La Geometria è divisa in tre libri:

1Lo citiamo per completezza, ma la sua risoluzione esula dai nostri intenti: “Datequattro rette f, g, h, i, determinare il luogo dei punti tali che il prodotto delle distanze daf a g sia uguale al prodotto delle distanze da h a i.”.

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1. I problemi che si possono costruire solo con cerchi e linee rette: inter-pretazione delle operazioni algebriche in termini di segmenti e istruzio-ni sul modo di risolvere equazioni di secondo grado per via geometrica.

2. Sulla natura delle linee curve contiene i risultati più importanti e piùvicini alla concezione moderna della geometria analitica: la scopertache le equazioni indeterminate in due incognite corrispondono a luoghigeometrici; la distinzione tra curve geometriche (algebriche) come leconiche e le curve meccaniche (trascendenti); la soluzione al proble-ma di Pappo con 4 rette; la determinazione generale della normalead una qualsiasi curva algebrica piana in un suo generico punto e laconseguente determinazione della tangente.

3. La costruzione dei problemi solidi o più che solidi : tratta della soluzio-ne delle equazioni di grado superiore al secondo mediante intersezionidi curve. Qui compare la celebre

Teorema 5 (Regola dei segni di Cartesio). Per un polinomio a coef-ficienti reali, il massimo numero di radici reali positive è dato dalnumero di variazioni di segno fra coefficienti consecutivi, trascurandoeventuali coefficienti nulli.

Cartesio non fece molto per rendere leggibile l’opera ai suoi contempo-ranei, sia per la struttura scelta che per i simboli e i calcoli utilizzati; egliera talmente sicuro dell’efficacia del proprio metodo, da scrivere che nonsi sofferma a spiegare minutamente tutte le questioni, solo per lasciare aiposteri la soddisfazione di apprenderle da sé. Continua poi scrivendo:

Ed io spero che i nostri nipoti mi saranno grati, non solo delle coseche io ho spiegato, ma anche di quelle che volontariamente ho omesso,allo scopo di lasciar loro il piacere di inventarle.

4.3 Innovazioni e contributi

Riguardo al suo pensiero in generale, si può dire che il meccanicismo carte-siano sia una metafisica influente scientificamente ispirata. In questo senso,la grande novità del sistema cartesiano, che influenzò il pensiero a lui succes-sivo, consiste nell’aver diretto l’analisi metafisica in un percorso psicologicoche cerca le certezze nel pensiero e rinuncia a cercarle nell’evidenza dellecose al di fuori del soggetto conoscente. Esso costituisce la prima grandesvolta di natura idealista che preparerà la strada all’ateismo positivo.

Invece, in riferimento al metodo matematico cartesiano, si può far risalireil tentativo della logica moderna di ricondurre nei principi del linguaggio for-male ogni criterio di verità e di conoscenza, ovvero il più vasto programma diunità del sapere su basi metodologiche che nel primo Novecento ha conosciu-to il suo sistematico progetto nel riduzionismo scientistico del neopositivismologico.

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Il meccanicismo cartesiano è ancora oggi alla base di concezioni le quali,più che la fisica o la chimica, paiono coinvolgere piuttosto l’antropologia ele manipolazioni a essa associate.

Altra innovazione decisiva dal punto di vista concettuale fu il metodoper scomporre i problemi complessi in parti elementari e per generalizzareal massimo le procedure di risoluzione. Tutto ciò rientra nel suo disegnodi fare della matematica un metodo universale che prescinde da accidentifenomenici come le misure numeriche che si riferiscono a realtà materia-li: Altra innovazione decisiva dal punto di vista concettuale fu il metodoper scomporre i problemi complessi in parti elementari e per generalizzareal massimo le procedure di risoluzione. Tutto ciò rientra nel suo disegnodi fare della matematica un metodo universale che prescinde da accidentifenomenici come le misure numeriche che si riferiscono a realtà materiali:

Ogni problema in geometria può essere facilmente ridotto a termini taliche la conoscenza della lunghezza di un certo segmento è sufficiente perla sua costruzione.

4.4 Curiosità

Il motto di Cartesio era: Bene vixit qui bene latuit (Visse bene chi ben sinascose). Questo perché lui trascorse una vita piuttosto solitaria, si rifugiò,infatti, in un isolamento da cui usciva solo per approfondire i suoi rapporticol mondo scientifico.

Un aneddoto (falso): si narra che l’idea del sistema di coordinate siavenuta a Cartesio in un modo al quanto curioso. Un giorno, mentre giacevamalato sul setto, osservò un insetto muoversi sul soffitto in prossimità diun angolo. Cosi pensò che avrebbe potuto stabilire la posizione dell’insettoconoscendo la sua distanza da ciascuna delle due pareti.

In realtà non solo tale aneddoto non ha conferme storiche, ma la partepiù interessante è che il celebre piano cartesiano chiamato in onore dell’ipo-tetico ideatore, non è stato sviluppato da Cartesio, bens̀ı fu ideato da NicolaD’Oresme nel XIV secolo e poi sviluppato da Fermat. Nella Geometria, alcontrario, è evidente una certa difficoltà dell’autore a trattare con le coor-dinate negative e, generalmente, tutte le sue curve non sono rappresentatesugli assi oggi chiamati cartesiani.

5 Lehonard Euler

A cura di Camilla Gertosio, Martina La Bruna, Michela Mutri, ChiaraServello, Martina Zanconato

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5.1 Biografia

Eulero, cos̀ı conosciuto in Italia, nacque a Basilea il 15 aprile 1707 e mor̀ı aSan Pietroburgo il 18 settembre 1783, per emorragia cerebrale.

Seppur suo padre aspirasse ad una carriera da teologo per il figlio, Eulerofu un importante matematico e fisico. Fu proprio il primo maestro di Eulero,Johann Bernoulli, a convincere il padre a fare intraprendere a Leonhard lastrada della matematica. Dopo aver partecipato nel 1727 al Grand Prixdell’Accademia francese delle scienze ed essere arrivato secondo, Eulero vinsepoi per dodici volte lo stesso premio.

Negli anni successivi ottenne la cattedra di medicina a San Pietroburgoe fu il medico della marina russa, per poi accettare un posto presso l’Ac-cademia di Berlino, offertogli da Federico II di Prussia. Tornò poi a SanPietroburgo, sotto invito della zarina Caterina la Grande, e vi rimase finoalla morte.

Le sue conoscenze andavano oltre i soli ambiti scientifici, in quanto ap-profond̀ı anche materie come latino, greco ed ebraico e si laureò in filosofia,infatti è considerato una delle personalità più eclettiche e note dell’Illumini-smo. Quest’ampiezza di interessi si spiega in parte con la poliedrica genialitàdella persona, non a caso la sua personalità era ricca e complessa. Ebbe duemogli e tanti figli e nipoti.

Francois Arago disse di lui che calcolava senza sforzo apparente, cos̀ıcome gli uomini respirano o le aquile si librano nel vento. La sua grandecapacità divulgativa emergeva quando proponeva a figli e nipoti problemie piccoli esperimenti. Veniva riconosciuto per il suo carattere schivo e alcontempo modesto.

5.2 Opere

Le opere più rilevanti di Eulero sono:

• Mechanica, sive motus scientia analytica exposita (1736): questo vo-lume contiene sei capitoli. Si focalizza sulla cinematica e la dinamicadi un punto materiale, introducendo all’infinito piccoli corpi che pos-sono essere considerati come punti sotto una certa assunzione. Eulerosi focalizza su singoli punti materiali, ma tratta anche il movimentodi un punto in relazione ad un altro punto che si muove e afferma laseconda legge di Newton. Considera anche il movimento libero di unpunto materiale nel vuoto.

• Introductio in analysin infinitorum (1748): opera divisa in diciotto ca-pitoli e definita il più importante libro di testo matematico dei tempimoderni. L’autore spiega la fondazione della moderna analisi mate-matica. Riepiloga le sue numerose scoperte in infinite serie, infinitiprodotti e frazioni continuative. Sarà qui che introdurrà la notazione

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f(x) per le funzioni ex e lnx mettendole sulla stessa base per la primavolta. Il logaritmo è introdotto con la notazione x = ay per la primavolta ed Eulero, abile divulgatore, per esemplificare propone diversiproblemi. Ad esempio:

Poiché dopo il Diluvio il genere umano si propagò a partire da seipersone, se supponiamo che dopo 200 anni la popolazione fossecresciuta a 1.000.0000 di persone, si chiede di quanto il numerodegli uomini sia aumentato ogni anno.

• Lettere a una principessa tedesca (1768-1772): 243 lettere indirizzatea Charlotte, la figlia di un amico di Eulero, con l’intento di insegnarlefisica e filosofia. Il matematico sfruttò tale pretesto per creare un’ope-ra divulgativa che ebbe straordinaria diffusione, tanto che nel 1800 neesistevano già 30 edizioni e tra i lettori illustri (che ne furono influen-zati) vi furono Goethe, Schopenhauer, Faraday e Kant. Vi si trovano icelebri diagrammi di Eulero-Venn e numerose teorie di fisica. Ecconeun estratto:

Se Vostra Altezza vuol prestare un po’ d’attenzione a tutte le formedi sillogismi che ho avuto l’onore di porre innanzi ai suoi occhi,Ella vedrà che ogni sillogismo è formato necessariamente da treproposizioni, di cui le prime due sono chiamate premesse e la ter-za conclusione. Ora la forza delle diciannove forme di sillogismiconsiste in questa proprietà, di cui ciascuna è dotata: se le dueprime premesse sono vere, si può immancabilmente contare sullaverità della conclusione.

Queste sono solo quattro della tante opere di Eulero, che furono tuttesignificativamente influenti, grazie alle innumerevoli conoscenze di matema-tica e di fisica fornite. Sono circa 900 le pubblicazioni matematiche a nomedello scienziato svizzero, un numero impressionante che porta ad una mediadi una pubblicazione ogni tre settimane per tutta la vita!

5.3 Innovazioni e contributi

Eulero è noto soprattutto per aver elaborato formule, teoremi, metodi edequazioni. Il matematico svizzero ideò una vasta quantità di simboli arit-metici e denominazioni matematiche in uso ancora oggi ed il suo nome èlegato a moltissime formule, relazioni, equazioni, teoremi, metodi, criteri.Riportiamo qui un elenco per dare l’idea sia del numero che dei diversicampi di applicazione.

• Teoria dei numeri: Funzione ϕ di Eulero; Criterio di E.; Teorema diFermat-E.; Identità di E.; Congettura di E.

• Algebra: Metodo di E.; Teorema di E.

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• Analisi matematica: Funzione ζ di Eulero; Prodotto di Eulero; Co-stante di E.-Mascheroni; Funzioni Beta e Gamma di E.; Formula diE.; Identità di E.; Numeri di Eulero

• Calcolo differenziale: Metodo di E.; Formula di Eulero-Mac Laurin

• Geometria: Cerchio, Retta e Punti di E.; Relazione di E.; Caratteri-stica di E.; Angoli di E.

• Logica: Diagramma di E.-Venn

• Teoria dei grafi: Relazione di E.

• Fisica: Numero di E. (Eu); Equazione delle travi di E.-Bernoulli;Equazioni di E.-Lagrange, Carico critico di E.

Fu il primo ad introdurre l’uso della lettera π per indicare pi greco, il sim-bolo

∑per esprimere la sommatoria, f(x) per intendere una funzione e la

lettera e per la base dei logaritmi naturali. Riguardo al numero e, la primaattestazione si ha in un’opera minore del 1727:

Scribatur pro numero cujus logarithmus est unitas, e, qui est 2,7182817. . .

Sempre Eulero introdusse il simbolo i per la cosiddetta unità immagina-ria, ovvero i =

√−1, numero che acquista significato solo nell’insieme dei

numeri complessi C.Tra le numerose formule che portano il suo nome, citiamo per esteso la

più celebre e applicabile:

Teorema 6 (Formula di Eulero). Per ogni numero reale x, si ha:

eix = cosx+ i sinx.

Questa formula rappresenta un elegante collegamento tra i due grup-pi di funzioni trascendenti fondamentali: esponenziali e trigonometriche,permettendo di esprimere le une in funzione delle altre e viceversa.

Inoltre, tale formula permette di ricavare, oltre a numerose equazioni diinteresse matematico, quella che è stata definita la formula più affascinantedella matematica:

Teorema 7 (Identità di Eulero).

eiπ + 1 = 0

perché consente di mettere in relazione in un’unica e sintetica formula icinque simboli che sono alla basi dell’analisi matematica: e, i, π 1 e 0.

Risulta difficile discernere le influenze che Eulero ebbe sullo sviluppodella matematica da quelle concernenti la fisica. In parte per l’interazioneintrinseca tra le due discipline, ma anche per il contributo che Eulero diedemediante la sua teoria dei principi variazionali, detta anche dei massimi eminimi, che sono alla base dell’odierna fisica matematica:

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Poiché vi sono due metodi per studiare i fenomeni della natura, unoper mezzo delle cause effettive, l’altro per mezzo delle cause finali, ilmatematico può usare ciascuno di essi con uguale successo [. . . ] e dal-l’accordo tra i due ricaviamo la più completa soddisfazione. [. . . ] Cos̀ıla curvatura di una fune o una catena appesa è stata scoperta con en-trambi i metodi: dapprima a priori, dall’attrazione della gravità; e, insecondo luogo, con il metodo dei massimi e minimi, poiché si riconob-be che una fune deve curvarsi in modo che il centro di gravità sia nelpunto più basso.

5.4 Curiosità

• Le opere di Eulero si espandono in quasi ogni settore scientifico, moltedelle quali prodotte negli ultimi anni della sua vita quando era ormaicieco.

• Eulero era dotato di un’eccellente memoria e capacità di concentrazio-ne. Si narra che fosse capace di recitare, parola per parola, l’Eneidee che compose la maggior parte delle sue opere mentre badava ai fi-glioletti. Era in grado di riprendere un discorso interrotto anche adistanza di tempo.

• Si esclude che abbia scelto la lettera “e” in relazione all’iniziale delsuo nome per via della sua modestia, ma considerando l’importanzaottenuta in ambito scientifico, i matematici preferiscono attribuire ilsignificato di questa lettera proprio al nome di Eulero.

6 Alan Turing

A cura di Giuglard Serena

6.1 Biografia

Alan Mathison Turing nacque a Londra il 23 giugno 1912. A causa della suaenorme passione per le materie scientifiche, divenne malvisto dai professoridel St. Michael, la sua prima scuola, che avevano sempre posto più enfasisugli studi classici. Durante i primi anni ebbe quindi grandi difficoltà, eottenne il diploma a stento. Poco appassionato al latino e alla religione,preferiva letture riguardanti la teoria della relatività, i calcoli astronomici,la chimica o il gioco degli scacchi.

Nel 1931 fu ammesso al King’s College dell’Università di Cambridgedove fu allievo di Ludwig Wittgenstein e dove approfond̀ı i suoi studi sullameccanica quantistica, la logica e la teoria della probabilità.

Nel 1934 si laureò con il massimo dei voti e nel 1936 vinse il premioSmith (assegnato ai due migliori studenti ricercatori in Fisica e Matematica

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presso l’Università di Cambridge). Nello stesso anno si trasfer̀ı alla PrincetonUniversity.

Nel 1940 era a capo del gruppo di ricercatori impegnati nella decritta-zione delle macchine usate dalla marina tedesca, fra le quali Enigma.

Nel 1947 tornò a Cambridge e spostò i suoi interessi verso la neurologiae la fisiologia, iniziando ad esplorare la relazione tra computer e natura.Cercò di capire come riuscire a riprodurre, traendo ispirazione dalle reti dineuroni e dalla differenziazione cellulare, una macchina intelligente, che oggichiameremmo intelligenza artificiale.

Nel 1954 dichiarò apertamente la sua omosessualità e, poiché tale fattoera punito dalla legge nel Regno Unito, fu condannato alla cosiddetta castra-zione chimica, mediante la somministrazione di ormoni femminili e farmaciper renderlo impotente.

Personalità fortemente tormentata , dalle mille contraddizioni e capace distranezze e bizzarrie inverosimili, Turing mor̀ı suicida, appena quarantenne,il 7 giugno 1954, la sua personalità cos̀ı singolare e complessa è diventata benpresto l’icona della libertà, del genio scientifico e dell’ingratitudine politica.

6.2 Opere

Tra le opere di importanza scientifica ricordiamo: On computable numbers,with an application to the Entscheidungsproblem (1936-37); Computabilityand lambda-definibility (1937); Systems of logic based on ordinals (1939);The word problem in semi-groups with cancellation (1950).

Il lavoro più noto di Turing è On Computable Numbers (1936), nel quale ilmatematico presenta la sua macchina di calcolo logico, poi definita macchinadi Turing.

Una macchina di Turing non è una macchina fisica ma un modellodi una macchina ideale [. . . ] Secondo Turing sarebbe stato possibileinventare una macchina che potesse essere utilizzata per qualsiasi se-quenza computabile. La novità di questa teoria è che si dimostrava cheuna macchina poteva essere codificata come un numero e viceversa, in-troducendo il concetto di ciò che oggi chiameremmo software.’On computable numbers, with an application to the Entscheidungspro-blem’, (1937).

Alan Turing, in un articolo del 1950 Computing Machinery and Intelli-gence (Macchine calcolatrici e intelligenza), propose un criterio - oggi notocome test di Turing - per determinare se un computer fosse in grado dipensare.

I propose to consider the question, Can machines think? This shouldbegin with definitions of the meaning of the terms machine and think.The definitions might be framed so as to reflect so far as possible thenormal use of the words, but this attitude is dangerous.The Imitation game, A. M. Turing, 1950

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6.3 Innovazioni e contributi

Il lavoro di Turing ebbe vasta influenza sullo sviluppo dell’informatica, gra-zie alla sua formalizzazione dei concetti di algoritmo e calcolo mediante lamacchina di Turing, che a sua volta ha svolto un ruolo significativo nellacreazione del moderno computer. Per questo contributo Turing è solitamen-te considerato il padre della scienza informatica e dell’intelligenza artificiale,da lui teorizzate già negli anni trenta (quando non era ancora stato creatoil primo vero computer).

Nel 1936 Turing affronta e risolve uno dei più grandi problemi matematicidel suo tempo, ovvero il cosiddetto problema della decidibilità di Spencer

Altro tema di straordinario interesse nell’opera di Turing è la sua spe-culazione sul problema mente-macchina. In un articolo del 1950 centratosu questi argomenti Turing esamina la possibilità e le condizioni in cui unamacchina possa esibire comportamenti indistinguibili da quelli umani. Leargomentazioni ivi discusse si collocano alle radici di quella che oggi possia-mo chiamare intelligenza artificiale simbolica e simulativa. In questo articolointrodusse il cosiddetto test di Turing la cui applicazione ancora oggi rappre-senta l’unico valido strumento universale per testare la bontà di programmidi intelligenza artificiale.

6.4 Curiosità

Alan Turing ebbe anche interessi al di fuori dell’ambito accademico: divennemembro del Walton Athletic Club e vinse alcune gare di corsa sulle tre edieci miglia,diventandol’atleta più forte della squadra.

Raggiunse ottimi livelli nella maratona, correndo con un record perso-nale di 2 ore 46 minuti e 11 secondi. Inoltre si narra infatti che più volteabbia percorso in allenamento la distanza che separava Bletchley Park, dovelavorava per il controspionaggio, da Londra, percorrendo di corsa i 64 kmche separano le due località.

Della sua passione per il running ci rimangono dei racconti, i tempi fattiin maratona ed una frase. Un giorno, il segretario del suo club gli chiesecome mai si punisse con degli allenamenti cos̀ı duri. Turing rispose: Faccioun lavoro cos̀ı stressante che l’unico modo per levarmelo dalla testa è correreduramente. E’ l’unica via che ho per ottenere un po’ di pace.

7 Conclusione

I cinque autori analizzati ci permettono di percorrere il lungo periodo dievoluzione della storia della matematica, dal 550 a.C. alla metà del Nove-cento.

Pitagora ed Euclide sono i rappresentanti dell’età classica, seppur conapprocci alla disciplina molto differenti. Il primo è da considerarsi il padre

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della filosofia matematica, che per primo ha dedicato vita, opere e istituzioniallo studio dei numeri di per sé e in relazione alla natura. A dimostrazionedell’eternità dei teoremi matematici, dovrebbe far tremare l’idea che scoper-te e relazioni individuate da Pitagora sono oggetto di studio nei banchi discuola da più di 2500 anni!

Se Pitagora tuttavia era un autentico filosofo o forse ancor di più unmistico che riservava il sapere a pochi eletti, fu Euclide a riordinare l’interaconoscenza matematica e diffonderla per molti secoli. Oltre all’elenco di no-zioni, teoremi e definizioni, si deve a lui la creazione del metodo assiomatico-deduttivo sul quale si basa tuttora qualsiasi ricerca scientifica. La potenzadi tale metodo, che spesso rischia di essere trascurato nello studio della geo-metria piana a scuola, scosse le fondamenta dell’approccio dell’uomo neiconfronti della scoperta delle leggi della natura; per intenderci se al giornod’oggi cerchiamo prove che dimostrino un qualsiasi fatto scientifico (dallamedicina alla psicologia), si tratta di un’eco della ricerca di dimostrazionirigorose alla stregua di quelle riportate negli Elementi.

Un lungo periodo di rallentamento nell’evoluzione del pensiero matema-tico è situato tra l’età classica e il Rinascimento. In questi secoli si spostal’attenzione verso l’algebra legata alle operazioni pratiche e finanziarie. Saràla genialità di Cartesio a riportare in auge la geometria in relazione alla ri-soluzione di problemi algebrici, gettando le basi per la moderna geometriaanalitica.

Si è tuttavia osservato come spesso si attribuisca erroneamente il meritodi alcune formule o scoperte ad un matematico non coinvolto (es. il pianocartesiano sconosciuto da Cartesio!), a dimostrazione del tortuoso percorsodella storia della matematica. Essa non procede linearmente come ci vieneproposta nei manuali, ma è protagonista di lenti e travagliati meccanismidi avanzamento. È pur certo che con Cartesio funzioni, curve ed equazio-ni iniziano ad essere comprensibili al lettore contemporaneo, decretando lanascita dello studio matematico moderno.

Da un matematico modesto che primeggiò piuttosto come filosofo, siamoquindi passati all’indiscusso “Principe della matematica”: Eulero. Inegua-gliabile per scoperte, definizioni, opere, formule e teoremi, sia da un punto divista quantitativo (lo ricordiamo ancora, 844 articoli!) che per qualità. Eu-lero rivoluzionò il linguaggio e la simbologia della matematica e della fisica,effettuò cos̀ı tante scoperte in disparati campi da aprire molteplici direzionidi sviluppo della matematica che restano seguite tuttora dai ricercatori.

E sulla scia di questa poliedriecità della matematica, abbiamo conside-rato la mente geniale di Turing che seppe trasformare la sua abilità con inumeri prima in un’arma sofisticata contro l’esercito nazista e in seguitonella creazione di una disciplina moderna di cui oggi non potremmo più farea meno: l’informatica.

Accade facilmente di non vedere il forte nesso tra le due discipline, manon solo la scienza alla base di qualsiasi software è nata come una branca

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della teoria dei numeri, bens̀ı ancora oggi esse si muovono di pari passo,complementandosi a vicenda.

Più di duemila e cinquecento anni di dimostrazioni, scoperte, teoremi,esercizi, costruzioni, equazioni, figure non sono riassumibili in pochi anni discuola. In questo senso, ogni studente di oggi non può far altro che scorgereuna piccolissima parte dell’intero entusiasmante universo matematico. È intutta la restante parte oscura che si cela qualcosa di meraviglioso e utile per

elevarsi al di sopra di se stessi e padroneggiare il mondo.(Archimede)

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Premessa didatticaPitagoraBiografiaOpereInnovazioni e contributiCuriosità

EuclideBiografiaOpereInnovazioni e contributiCuriosità

CartesioBiografiaOpereInnovazioni e contributiCuriosità

Lehonard EulerBiografiaOpereInnovazioni e contributiCuriosità

Alan TuringBiografiaOpereInnovazioni e contributiCuriosità

Conclusione