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a.s. 2005/06a.s. 2005/06

Ennio De Giorgispiega il suo interesse per la Matematica

Dal Libro dei Proverbi “La Sapienza era con Dio quando Dio creava il mondo. La Sapienza ama farsi trovare da chi la cerca e la ama.”

La Matematica è una delle manifestazioni più significative dell’amore per la Sapienza. Come tale la Matematica è, da un lato, caratterizzata da una grande libertà, dall’altro, guidata dall’intuizione che il mondo è grandissimo, fatto da cose visibili e invisibili, ha una capacità unica fra tutte le scienze: passare dall’osservazione delle cose visibili all’immaginazione delle cose invisibili.

Definizione di Gruppo

Struttura algebrica G=(A,*) tale che:

(a*b)*c=a*(b*c)

a*u=u*a=a

a-1*a=a*a-1=u

Insieme delle rotazioni di un triangolo equilatero

3

2

12 1

3

3 2

1

I=rot 0°+k360° a=rot 120°+k360° b=rot 240°+k360°

1 2 3

1 2 3

1 2 3

3 1 2

1 2 3

2 3 1

Tabella di composizione

* I a b

II a b

aa b I

bb I a

… o anche, poiché b=a2

* I a a2

II a a2

aa a2 I

a2

a2 I a

Gruppo ciclico di ordine 3 C3 =(I, a, a2)

Ogni gruppo Cn che consiste nelle n rotazioni

di angoli multipli di 2/n ossia 360°/n è detto

gruppo ciclico di ordine n. Dopo n rotazioni si

torna nella posizione iniziale.

Es. di C4 si ha con e rotazioni che

sovrappongono un quadrato a se stesso

(90°, 180°, 270°, 360°)

Se consideriamo le rotazioni che

sovrappongono un pentagono a se stesso e C5

(360°/5,…) = (72°, 144°, 216°, 288°, 360°)

non abbiamo un gruppo, perché ogni angolo

interno di un pentagono misura

(5-2)180°/5 = 108° e con una rotazione di 72°

non sovrapponiamo il pentagono a se stesso.

Es di C6 si ha con le rotazioni che

sovrappongono un esagono a se stesso.

Consideriamo poi le simmetrie di alcune figure:

A è trasformata in sé da una simmetria assiale verticale

E è trasformata in sé da una simmetria assiale orizzontale

N è trasformata in sé da una simmetria centrale

H è trasformata in sé da una simmetria centrale e da due simmetrie assiali

Che cosa è dunque una simmetria?

E’ una isometria ossia una trasformazione che lascia complessivamente immutata una figura, per quanto scambiandone le parti costituenti

Gruppo diedrale Dn consiste delle rotazioni di

Cn e delle simmetrie rispetto ad assi che

formano fra loro angoli di /n ossia 180°/n

Gruppi di simmetrie piane con un punto fisso

C1

C2

• Identità

• Rotazione di 180°

• Rotazioni di 120°, 240°, 360°

• Rotazioni di 90°,180°,270°,360°

C3

C4

D1

D2

D3

D4

• Riflessione verticale

• Rotazione di 180°, riflessione orizzontale, riflessione verticale

• Rotazioni di 120°, 240°, 360° e tre simmetrie assiali

• Rotazioni di 90°,180°,270°,360° e quattro simmetrie assiali

Queste sono tutte le trasformazioni dell’insieme delle simmetrie applicate ad un elemento iniziale

I gruppi di simmetria con un punto fisso sono

tutti e soli i gruppi discreti e finiti di

isometrie piane.

Un gruppo finito di isometrie piane non

contiene traslazioni, né glissoriflessioni,

ma solo rotazioni e simmetrie assiali

Ossevazione:

Un gruppo si dice discreto se per ogni punto P esiste un cerchio di centro P nel quale non sono contenuti altri punti dell’orbita di P.

Un gruppo si dice finito se è formato da un numero finito di elementi.

I gruppi finiti di isometrie sono detti gruppi di

“rosoni”: sono i gruppi di simmetria dei

poligoni regolari

Consideriamo gruppi discreti che non sono finiti e che contengono traslazioni generate da un’unica traslazione: abbiamo i fregi (7 gruppi)

Consideriamo gruppi discreti che non sono finiti e che contengono traslazioni generate da due di esse indipendenti: abbiamo i mosaici (17 gruppi, detti anche delle “carte da parati” )

Classificazione dei 7 modelli di fregio

rotazione

Simm. Oriz.

r2mmSimm. vert.

r2 r2mg

Simm. Oriz.

Simm. vert.

glissoriflessione.

r1 r11g

r1m

r11m

no sì

Lettera matematica Pristem n.30 del 1998

• Rotazione no; simmetria verticale no; simmetria orizzontale no; glissoriflessione no r1

• Rotazione no; simmetria verticale sì ; simmetria orizzontale no; glissoriflessione no r1m

• Rotazione sì; simmetria verticale no; simmetria orizzontale no; glissoriflessione no r2

• ….ecc

esempi

Ritorniamo ai gruppi dei mosaici.Fare mosaici vuol dire ricoprire l’intero piano

ripetendo sempre un motivo di fondo. Già dai tempi antichi era stato osservato che i cristalli

possono avere simmetrie di rotazione di periodo 2, 3, 4 oppure 6, ma non 5 né n>6.

Esiste un teorema per cui ogni rotazione di un mosaico ha ordine 2, 3, 4 oppure 6.

Come già accennato, tenendo conto di queste rotazioni e delle possibili simmetrie assiali, si ottengono 17 gruppi di isometrie a cui corrispondono 17 configurazioni a partire da un elemento base.

Esempio:Ricoprimento ottenuto con sei rotazioni del triangolo fondamentale e traslazione del motivo di fondo secondo le due direzioni indicate dai vettori di colore blu

Esempio:Ricoprimento ottenuto con riflessioni orizzontale e verticale del triangolo fondamentale e rotazioni di 270° del motivo di fondo attorno ai vertici di angoli aventi minor ampiezza

Tassellature e riempimenti

Trian g o li eq u ila te ri Q u ad ra ti E sag on i reg o la ri

T assellature regolari del pianoI l piano pu ò essere r icoperto di poligon i

regolari u gu ali aventi n lati e tali cheabbiano esattamente u n lato in comu ne

C u b i

R iem pim ento dello spazio con poliedri regolariabbiano esattamente u na faccia in comu ne

regolari u gu ali aventi n facce e tali cheabbiano esattamente u na faccia in comu ne

Esempio di tassellatura…osservando un’opera di Escher…

Il tassello fondamentale è un triangolo equilateroche ha per lati gli assi di simmetria di ogni animaletto colorato. La tassellatura è ottenuta consuccessive simmetrie assiali rispetto ai lati del triangolo.

GrafiGrafo è una figura geometrica costituita da punti e da linee checongiungono alcuni di questipunti. Chiamiamo spigoli tali linee, verticii punti. Se gli spigoli non hannointersezioni o punti comuni oltre ivertici, il grafo si dice planare.Sesuddivide il piano in poligoni (conlati non necessariamente rettilinei)si dice poligonale. Ogni poligono sichiama faccia; la parte esterna algrafo si chiama faccia infinita

 

Per ogni grafo poligonale vale la formula di Eulero v - s + f = 2, valida anche per i poliedrinello spazio tridimensionale

Grafo poligonale

• 8 facce

• 7 vertici

• 13 spigoli

• 8-13+7=2

Grafo duale

• 8 vertici

• 7 facce

• 13 spigoli

A

B

C

D

E

G

H

Un grafo è regolare se ilnumero degli spigoliè il medesimo per ogniverticeSe un grafo e il suo duale sono entrambi regolari, diciamo che il grafo ècompletamente regolare

Esempio di grafo completamente regolare

Vediamo come si possano ottenere disegni associati ai gruppi di movimenti che spostano una regione fondamentale, utilizzando i grafi

Corrispondenze:

Grafo Gruppo• Vertice Elemento

• Segmento orientato Generatore (es. a)

• Cammino Composizione di più elementi (es. a2)

• Cammino chiuso Composizione di più elementi che diano I

Consideriamo un triangolo rettangolo

Rotazioni successive di

90° attorno ad O:

r,r2,r3,r4=I

Consideriamo un altro triangolo rettangolo

Rotazione di 180°

attorno ad M:

s

Ricopriamo il piano applicando r ed s

…oppure, partendo da un rombo con un angolo di 60°

I poliedri regolari hanno per facce uno stesso poligono

regolare con lo stesso numero di facce ad ogni vertice.

Sono solo cinque.

Grafi completamente regolari e solidi platonici

I solidi platonici “simboleggiano in maniera

impareggiabile l’umana ricerca di armonia e ordine, ma allo stesso

tempo la loro perfezione ci incute un senso di impotenza”

(Platone)

Numeri di Fibonacci

• Leonardo Fibonacci di Pisa con il suo libro Liber Abaci (1228) introdusse in Europa l’uso delle cifre indo-arabiche, con la numerazione in base 10.

• Tra gli altri problemi, propose il seguente:

• Ci sia una coppia di conigli il primo gennaio; questa generi un’altra coppia il primo febbraio e così via per tutti i mesi dell’anno, il primo giorno di ogni mese.

• Ciascuna nuova coppia generi una coppia il primo giorno di ogni mese a partire dal secondo mese di vita …

• Quanti conigli ci saranno a fine anno?

• Risposta: 233

1 gennaio

1 febbraio

1 marzo

1 aprile

1 maggio

1 giugno

…

1 dicembre

Coppie adulte

1

1

2

3

5

8

…

Copie che non procreano

0

1

1

2

3

5

…

Totale coppie

1

2

3

5

8

13

…

233

• Ci sono infinite successioni di Fibonacci• Per individuarne una, bisogna indicare il primo e il secondo termine

• Rapporto tra i vari termini:1:1=13:2=1,58:5=1,6……(5+1)/2

• an= an-1+ an-2 se n>2

an/ an-1=1+ an-2/ an-1

Il numero (5+1)/2= è detto rapporto aureo, infatti, data la sezione aurea AC di un segmento AB, si ha: AB/AC= = (5+1)/2

Successione generata con Excel

lim an =1,618..=rapporto aureo

Vediamo perché:Costruzione della sezione aurea

Dimostrazione

Per il Teorema della tangente e

della secante:

AE:AB=AB:AD

DE=2OB=2 *1/2=1=AB

(AE-AB):AB=(AB-AD):AD

AD:AB=CB:AC

Poiché AD=AC, si ha

AC:AB=CB:AC cioè

AB:AC=AC:CB c.v.d.

…da cui AC2=AB*CB

x2=1-x x2+x-1=0 x=(-1 5)/2

AB/AC=1/(-1+ 5)/2

Razionalizzando

= (5+1)/2

Costruiamo un rettangolo aureo

Si tratta di un rettangolo

con i lati in rapporto

aureo.

Unendo i punti diopportuni rettangoli aurei annidati, si ottiene una curva detta spirale logaritmica.I semi di un capolino di girasole seguono una spirale logaritmica: se si contano le spirali che vanno in senso orario e quelle che vanno in senso antiorario, si trovano numeri che sono termini successivi della serie di Fibonacci.Ad esempio, esistono girasoli con 55 e 34 spirali oppure 34 e 21 oppure 21 e 13.

Matematica e musica

Leibniz:

“La musica è un occulto esercizio aritmetico

dell’anima nostra, inconsapevole di

numerare.”

Il suono è provocato da vibrazioni periodiche della sorgente sonora. Se non vi è periodicità nelle vibrazioni, si ha il rumore.

Il nostro orecchio percepisce un suono se la frequenza f (numero di vibrazioni al secondo) è 16<f<20000 hertz

A ciascun suono corrisponde un determinato numero di vibrazioni (es. do 256 hz)

Caratteri distintivi dei suoni:

• Altezza (bassi, alti; gravi, acuti)

• Intensità (forti, deboli)

• Timbro (es. a parità di altezza e di intensità si distingue il suono emesso da una tromba o da un violino)

Partendo da un certo suono, ottenuto pizzicando una corda, se la lunghezza della corda viene ridotta, il suono diventa più acuto; la frequenza della vibrazione aumenta.Se la corda è dimezzata e quindi la frequenza raddoppiata, si ha lo stesso suono iniziale.Così accade ogni volta che la corda è ulteriormente dimezzata.I suoni compresi nell’intervallo fra due suoni analoghi successivi (ottava) sono circa 300.

Un suono è semplice (o puro) quando il suo diagramma è una semplice sinusoide.

Con un diapason si possono ottenere suoni puri.

La sua vibrazione genera compressioni e rarefazioni dell’aria circostante.

Gli spostamenti subiti da una molecola d’aria, sollecitata dall’oscillazione di un diapason, sono rappresentabili con una sinusoide, la cui ampiezza corrisponde allo spostamento massimo della molecola.

esempioL’ampiezza è l’ordinata massima ed è legata all’intensità del suono.Se l’asse x è l’asse dei tempi, l’intervallo corrispondente ad una oscillazione completa si dice periodo; l’inverso del periodo è la frequenza ed è legato all’altezza del suono.Se, ad esempio, l’ampiezza è 0,002 cm e la frequenza è 100 vibrazioni al secondo, la sinusoide ha equazioney=0,002 sen(100•2x)

Ogni altro suono, non puro, si dice composto perché è formato da suoni puri.

Il matematico Fourier nel 1807 dimostrò che sia i suoni vocali, sia quelli strumentali, possono essere espressi come somma di termini della forma y=m sen(nx).

Ogni suono composto è formato, cioè, da un suono semplice fondamentale (quello di più bassa frequenza) e da suoni armonici. Ad esempio si dice secondo armonico quello che ha frequenza doppia…

Nell’esempio seguente, ottenuto con Derive, si ha l’approssimazione della serie di Fourier di un’onda, troncata alla 12-esima armonica

Qui è rappresentata la curva del suono fondamentale per la stessa onda e l’approssimazione della serie di Fourier troncata

alla quarta armonica

Per avere una scala musicale, si è fatta una scelta fra tutti questi suoni, compresi in

una ottava.

I Greci scelsero le sette note, che Guido d’Arezzo nell’XI sec. denominò

do re mi fa sol la si

Le frequenze sono:

Per il re 9/8 di quella del do

Per il mi 5/4 di quella del do

Per il fa 4/3 di quella del do

Per il sol 3/2 di quella del do

Per il la 5/3 di quella del do

Per il si 15/8 di quella del do

Le associazioni di suoni diversi, che producono all’orecchio sensazioni piacevoli, sono dette accordi quando il rapporto tra le frequenze dei due suoni che si associano, detto intervallo musicale, è del tipo:

1 (unisono) 2(ottava) 3/2 (quinta)

4/3 (quarta) 5/4 (terza maggiore)

6/5 (terza minore)

Oltre alle sette note, in una ottava si considerano anche cinque note ( diesis e bemolle). Un do diesis ha frequenza 25/24 del do; il do bemolle ha frequenza 24/25 del do.

In una ottava ci sono così dodici note.

Quanto si è detto riguarda la scala naturale.

Oggi si usa la scala temperata, introdotta da Bach che differisce pochissimo da quella naturale, creata dai Greci.

L’intervallo di ottava è diviso in dodici intervallini uguali, ciascuno dei quali prende il nome di semitono ed è uguale a

ossia circa 1,05946. Questo valore è calcolabile con l’uso dei logaritmi. Bach poté usarli perché da poco erano stati inventati da Napier nel 1614.

Si è convenuto che la nota la della terza ottava abbia frequenza 440 hz. Da tale dato si possono dedurre le frequenze di tutte le note musicali, che risultano comprese fra circa 30 e 4000 hz

12 2

La matematica esiste realmente in natura, dove l’uomo la scopre, o è solo una pura

invenzione dell’uomo?L’uomo sviluppa la sua conoscenza dell’universo mediante modelli, che il suo pensiero costruisce in base a quanto gli perviene dal mondo esterno.(es. alveare)

Le leggi e le strutture vengono poi proiettate nel mondo esterno e provocano modifiche di tale mondo, spesso efficaci per lo sviluppo della conoscenza (modelli per ottimizzare le risorse)

Concezione della matematica prima del Novecento:

Si riteneva che fosse possibile raggiungere la verità attraverso la matematica: per Newton ad esempio il criterio direttivo della scienza non è l’utilità, ma la spiegazione delle cause, fino ad arrivare alla Causa Prima.

Whitehead (1861-1947) sostenne invece che la scienza è essenzialmente ricerca di relazioni fra i fenomeni. Anche Neumann, uno dei massimi scienziati del Novecento, ha indicato nella modellizzazione uno “specchio” dei fenomeni.

Calcolo delle variazioni

Si occupa di problemi di minimo in cui

l’elemento variabile non è una sola variabile

numerica (x) ma è una intera funzione.

Problema di Plateau (1801 – 1883)

Trovare la superficie di area minima limitatanello spazio da un contorno chiuso assegnato.

Plateau ha proceduto con esperimenti in acqua saponata, perché La lamina saponata è in equilibrio stabile quando l’energia potenziale dovuta alla tensione superficiale è minima, ossiaquando l’area della lamina è minima

L’acqua saponata deve essere così composta:10 g di oleato di sodio puro e secco in 500 g di acqua distillata;Si mescolano 15 unità cubiche della soluzione con 11 unità cubiche di glicerina.

Nella sperimentazione per risolvere problemi di minimo, usando acqua saponata secondo le dosi indicate in precedenza, i telai usati non dovrebbero superare 13-15 cm di diametro.

Problema di Steiner

Tre villaggi devono

essere collegati da un

sistema di strade di

minima lunghezza totale.

Si cerca P in modo che

a+b+c sia minima

Se nel triangolo ABC tutti gli angoli sono minori di 120°, P è il punto che proietta AB, AC, BC secondo un angolo di 120°.

Se uno degli angoli interni misura 120°, P coincide con il vertice di tale angolo.

Generalizzazione del problema

Dati n punti A1, A2, …An trovare un insieme

di segmenti di minima lunghezza totale tale

che ogni coppia di punti dati possa essere

collegata con un reticolato formato da

segmenti del sistema

Vi saranno al massimo

n-2 intersezioni multiple

in ciascuna delle quali si

incontrano tre segmenti,

formando angoli di 120°

Nell’immagine è

proposto un esempio con

4 punti, quindi

n-2 = 2

…un caso particolare

Nel caso del quadrato,

Verifichiamo, come

esempio, che tale

reticolo è minore del

perimetro

dimostrazione

yx

(l-X)/2

L/2 A

B

C

H

…nello spazio tridimensionale

Si ha una sorta di generalizzazione con superfici che si intersecano formando angoli diedri di 120°.

La sfera è, tra tutte le superfici chiuse che racchiudono un dato volume, quella di area minima.

Quando ci sono delle limitazioni e la lamina saponata non può disporsi a sfera, le superfici prescelte sono quelle a curvatura media costante, ossia cilindri circolari

La brachistocrona

Una particella sia

costretta a scivolare senza

attrito lungo una curva

AB. Se cade sotto la

forza della gravità, lungo

quale curva sarà minimo

il tempo di discesa?

…cicloide

A

B

…osservare il file di Cabri II Plus che genera la cicloide in modo

dinamico…

Una nota …di attualità

In questi giorni è stato trovato il più grande numero primo finora conosciuto.

Nel 1991 si era ad un numero con 65087 cifre e precisamente 391581*2216193-1.

Nel 1883 era noto quello con 19 cifre pari a 261-1

Bibliografia

• Lettera matematica Pristem n.30 del 1998

• Che cos’è la matematica? Di Courant Robbins ed. Boringhieri

• Numeri memorabili di David Wells ed. Zanichelli

• Le lezioni del supplente di Italo D’Ignazio ed. Interlinea

• La matematica e la conoscenza dell’universo di Russo ed. Federico & Ardia

• I gruppi e i loro grafi di Grossman Magnus ed. Zanichelli