CHIMICA TEORICA Gabriele Morosi [email protected] 031-326234...
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CHIMICA TEORICA
Gabriele Morosi
031-326234
scienze-como.uninsubria.it/morosi/didattica.html
Bibliografia
Atkins – Friedman
Molecular quantum mechanics
Meccanica quantistica + chimica quantistica + diffusione
Atkins – Friedman
Meccanica quantistica molecolare
In italiano !!
Szabo – Ostlund Modern quantum chemistry
Metodi della chimica quantistica in dettaglio
Mc Weeny Methods of molecular quantum mechanics
Un testo veramente completo, ma non come introduzione !
Levine Quantum chemistry Meccanica quantistica + chimica quantistica
Christoffersen Basic principles and techniques of molecular quantum mechanics
Meccanica quantistica + chimica quantistica
Moss Advanced molecular quantum mechanics
Meccanica quantistica relativistica + ottica quantistica
Simons – Nichols Quantum mechanics in chemistry
Meccanica quantistica + chimica quantistica - Scaricabile dal sito http://simons.hec.utah.edu/TheoryPage/index.html
La National Science Foundation sponsorizza il sitohttp://simons.hec.utah.edu/TheoryPage/index.htmlTheoretical Chemistry - A Self-Guided Introduction for College Students.Una guida ampia e documentata alla Chimica Teorica con numerosi links
Altro materiale didattico:
Appunti di Chimica teorica – F. Tarantellihttp://king.thch.unipg.it/~franc/ct/html.html
Novel Methods for Large Molecules in Quantum Chemistry - Ross David Adamsonhttp://www-theor.ch.cam.ac.uk/people/ross/thesis/
Lecture Topics - Dr. Schaeferhttp://zopyros.ccqc.uga.edu/
Introduction to Molecular Approaches of Density Functional Theory - Jan K. Labanowskihttp://www.ensta.fr/~muguet/CBT21/DFT-overview/dft.html
P. A. M. Dirac (1929)
The underlying physical laws necessary for the mathematical theory of a large part of physics and the whole of chemistry are thus completely known, and the difficulty is only that the exact application of these laws leads to equations much too complicated to be soluble.
ESPERIMENTO TEORIATest della teoriaConfronto di metodi approssimatiCostruzione di metodi semiempiriciModelli
TEORIA ESPERIMENTOAiuto nell’interpretazioneCorrezione di interpretazioni errateSuggerimento di nuovi esperimentiDeterminazione di grandezze difficilmente misurabili
TEORIA al posto dell’ESPERIMENTO
PROGETTAZIONE MOLECOLARE
Quali sono i vantaggi di un approccio teorico ai fenomeni chimici ?
1. ACCESSIBILITA'molecole stabili ed instabilianioni, cationi, radicalistati eccitati (transizioni proibite, superfici parzialmente osservabili)situazioni difficili da osservare sperimentalmente
2. ECONOMIAun unico strumentocosto del calcolo decrescentericerca sperimentale a costi crescenti
3. ACCURATEZZAstima degli errori
4. INTERPRETABILITA'contributi di effetti diversi separabili modelli
PROBLEMI
1- F è stabile ?2- NO2
+ è lineare o piegato ?
3- C+O o CO+ ?4- CH2 : aH ?5- H2 + D HD + H k = ?6- diamante grafite T = ? P = ?
Ordine di legame, carattere s di un ibrido spn, carica di un atomo sono grandezze calcolabili, ma non misurabili, come tali sono soggette alla più ampia arbitrarietà (per esempio la carica atomica dipende dal volume che assegniamo all’atomo, ...)
IL PROBLEMA DELL’HAMILTONIANO
Dato un sistema di N nuclei e n elettroni, le interazioni fondamentali oggi note tra le particelle sono:
1. Interazioni elettromagnetiche2. Interazioni gravitazionali3. Interazioni deboli4. Interazioni forti
Le interazioni forti sono presenti all’interno del nucleo e vanno a zero rapidamente al di fuori di esso, sono importanti pertanto nello studio della struttura nucleare e non della struttura molecolare.
Il rapporto forza elettromagnetica / forza gravitazionale tra 2 elettroni è
2
0
0
2
20
4
141
41
m
e
ggmm
ee
rmm
g
ree
0 = 8.85 10-12 F/m
g = 6.67 10-11 Nm2 /Kg2
e/m = 1.7 1011 C /KgFarad = C/V v=J/C F=C2/J
4222211221112
10/10*75.1/10*67.6*/10*85.8*14.3*4
1 KgC
KgNmmF
Le forze gravitazionali tra 2 elettroni in un atomo sono circa uguali alle forze elettrostatiche quando i due elettroni sono ai confini dell’universo.Quindi anche le forze gravitazionali non hanno effetto sulla struttura molecolare.
Per quanto riguarda le interazioni deboli, esse hanno la proprietà di non conservare la simmetria destra-sinistra. Esiste una teoria che unifica interazioni elettromagnetiche e interazioni deboli: essa è stata applicata per lo studio di enantiomeri ottici, ma la differenza di energia calcolata (~10-16 eV) non sembra giustificare la prevalenza della forma levo in natura. Effetto a livello spettroscopico 1 Hz.
La struttura di atomi e molecole è determinata dalle interazioni elettromagnetiche.Particelle (nuclei ed elettroni) ed interazioni elettromagnetiche.
APPROSSIMAZIONEPrendiamo in considerazione le sole interazioni elettrostatiche, cioè consideriamo una trattazione non relativistica.Lo spin ed i termini ad esso legati nell’Hamiltoniano devono essere introdotti ad hoc.
La struttura elettronica di elementi con numero atomico elevato richiede una trattazione relativistica.
L’equazione d’onda in una trattazione non relativistica è l’equazione di Schrödinger.
Equazione di Schrödinger indipendente dal tempo
Se H è indipendente dal tempo, la dipendenza dal tempo di può essere separata come un semplice fattore di fase.)()(),(
)(ˆ),(ˆ
tTrtr
rHtrH
Equazione di Schrödinger indipendente dal tempo
r,tψt
ir,tψr,tH
/)(),( iEtertr
EtTt
itT
rrHr
tTt
irrrHtT
)()(
11
)()(
Equazione di Schrödinger dipendente dal tempo
rErrH iEtetT )(
Mentre nel campo della fisica è fondamentale l’equazione di Schrödinger dipendente dal tempo, in chimica si utilizza quasi esclusivamente l’eq. per gli stati stazionari
t
iH
EH
Fisica: particelle elementari e studio delle loro interazioni mediante processi di collisione.
Chimica: problemi1- Stabilità e struttura2- Equilibrio chimico3- Cinetica
Affrontiamo i problemi a vari livelli
1. Molecole isolate e sistemi cristallini elettroni e nuclei e loro interazioni2. Fasi condensate atomi e molecole e loro interazioni3. Fluidodinamica mezzo continuo
SIMULAZIONE GLOBALE
Anche il terzo problema, nell’approssimazione della teoria dello stato di transizione, richiede per il calcolo della funzione di partizione per lo stato di transizione il calcolo dei livelli energetici
kT
E
BA
eqq
q##
Preso l’atomo di idrogeno a nucleo fisso, l’operatore hamiltoniano è
r
ee
mH
0
22^
4
1
2
)()(^
rErH
Scelto il sistema cgs e definito il valore della carica dell’elettrone in statcoulomb, della massa in grammi, ... potremmo calcolare l’energia in erg: tuttavia il valore ottenuto dipenderebbe dai valori assegnati a carica, massa, ... che sono soggetti a variare nel tempo
m = 9.1091 10-28 g (1963) = 9.10939 10-28 g (1987) = 9.10938188(72) 10-28 g (1999)
e = 1.602177 10-19 Coulomb (1963) = 1.60210 10-19 Coulomb (1987) = 1.602176462(63) 10-19 Coulomb (1999)
http://physics.nist.gov/cuu/Constants/index.html
UNITA’ ATOMICHE
Per evitare questo inconveniente riformuliamo il problema in forma adimensionale cioè introduciamo nuove variabili x’ = x/ y’ = y/ z’ = z/ ha le dimensioni di una lunghezza e quindi le variabili accentate sono adimensionali.
02
204
ame
πελ
)'(')'(ˆ'
1
2
1ˆ 2
rErH
r'H
14
10
2
2
πε
ee
m
'4
1'
2 0
22
2^
r
ee
mH
Perché l’operatore Hamiltoniano sia in forma adimensionale
Le distanze r sono misurate in unità atomiche di lunghezza, il fattore di conversione è il raggio di Bohr a0 = 0.5291772083(19)
r(bohr) = r(Å)/0.529177
H-H R = 0.74 Å = 1.4 bohr
Le energie calcolate sono espresse in hartree.1 hartree = 27.2113934(11) eV = (27.21*23.06) 627.5 kcal/mole = 2625 kJ/mole
Accuratezza chimica = 1 kcal/mole 1 mhartreeAccuratezza spettroscopica = 1 hartree
Zero dell’energia : nuclei ed elettroni fermi a distanza infinita tra di loro.
'
1
44'4
1
'4
1
0
2
220
22
00 rπε
em
πε
me
r
e
πελr
ee
πεV
0
2
2 4hartree 1
πε
em
SEPARAZIONE DEL MOTO TRASLAZIONALE
222
211x xm
2
1xm
2
1T
Definiamo nuove coordinate X rx
21
2211
mm
xmxmX
1x2
12
1
2
212
xrx
xm
mX
m
mmx
1x12
1
2
21 xrxm
mX
m
mm
Sistema di laboratorio - coordinate x1 x2
12 xxrx
2 CORPI
1x12
1
2
21 xrxm
mX
m
mm
x2
21
2
11 rX
m
mm
m
m1x
x21
21 r
mm
mXx
x21
1x
21
2x1x2 r
mm
mXr
mm
mXrxrx
x21
21 r
mm
mXx
x21
12 r
mm
mXx
x21
21 r
mm
mXx
x21
12 r
mm
mXx
222
211x xm
2
1xm
2
1T
2
x21
12
2
x21
21 r
mm
mXm
2
1r
mm
mXm
2
1
21
21
21
212x2
21
212
2212
21x mm
mm2
mm
mm2
2
1r
mm
mmmm
2
1Xmm
2
1T
2x
21
21221x r
mm
mm
2
1Xmm
2
1T
2x
2x rμ
2
1XM
2
1T
T = TCM + T
21
111
mm
= massa ridotta
Effetto isotopico
Idrogeno ETOTALE = -3 288 086 857 127.6(3.1) kHzDeuterio ETOTALE = -3 288 981 522 061.6(3.1) kHz
i2i
2
2B
2
B2A
2
A
2
qm
1
Rm
1
Rm
1
2
1T
Nuove coordinate RCM R ri
AB
iiBBAA
CM
RRRM
qmRmRmR
BA
BBAAii mm
RmRmqr
Molecola biatomica
Sistema di laboratorio - coordinate RA RB qi
SEPARAZIONE DEL MOTO TRASLAZIONALE
N CORPI
i iA
i
ACMA
CM
A rR
r
RR
R
RR
R
R
i iBA
A
CM
A
rmm
m
RRM
m
i iBA
B
CM
B
B rmm
m
RRM
m
R
iCMi rRM
m
q
2
i iBA
B
CM
B
B rmm
m
RRM
m
m
1
i
2
iCM rRM
m
m
1
i
2i
2
BA2
2
i22
B2A
2CM
22
rm
1
m
1
m
1
RM
m
M
m
M
m
R2
1T
M
2
M
2
RRCM
i BA
B
Ba
A
iCM M
2
mmM
m2
mmM
m2
rR
2Ba
B2
Ba
A
2
i i mm
m
mm
m
r
2
i iBA
A
CM
A
A
2
rmm
m
RRM
m
m
1
2
1T
2
i iBAi2i
2
2
2
2CM
22
rmm
1
rm
1
Rμ
1
RM
1
2
1T
2
i iBA
2
elettNUCLCM rmm
1
2TTTT
Termine di polarizzazione di massaEffetti isotopici
TERNA DI LABORATORIO
Un sistema di N particelle, Nnuc nuclei e n elettroni, N = Nnuc + n, è descritto
nella terna di laboratorio da 3 N coordinate.Il sistema è rappresentato da un Htotale e dalla funzione d’onda
(x1, y1, z1,….., xN, yN, zN).
TERNA RELATIVA
Separiamo il moto del centro di massa introducendo le sue coordinate (X,Y,Z) e (3 N – 3) coordinate accentate riferite ad una terna centrata nel centro di massa che trasla con gli assi paralleli agli assi della terna di laboratorio. Le nuove coordinate rappresentano particelle fittizie, sono infatti N-1. Questa separazione si può fare in modo rigoroso ed univoco.Htotale = HCM + Hrelativa
(x1, y1, z1,….., xN, yN, zN) CM(X,Y,Z) (x’1, y’1, z’1,….., x’N-1, y’N-1, z’N-1).
SEPARAZIONE DEI MOTI
TERNA CHE RUOTA NELLO SPAZIO SOLIDALE CON LA MOLECOLA
La molecola è in uno stato rotazionale JM.Presa una terna che trasla e ruota solidale con la molecola, definiamo 3 coordinate rotazionali che definiscano gli angoli che la terna forma con la terna relativa (per esempio i 3 angoli di Eulero )
(x’1, y’1, z’1,….., x’N-1, y’N-1, z’N-1) JM(,,,q1,….,q3N-6) =
)......()( 631
NJK
J
JKJMK qq
Anche assumendo di confinare il problema alla zona dello spazio in cui le coordinate qi sono definite univocamente, resta il fatto
che un’ulteriore separazione delle coordinate degli elettroni da quelle dei nuclei non è matematicamente possibile in quanto in H compare il termine di attrazione elettrone-nucleo.
631.
111 ,......,)(,,,......,,, Nroti
NNN qqezyxzyx CM Rk
Problema : non è possibile definire le 3N-6 coordinate qi in
maniera univoca in tutto lo spazio. Per esempio per la molecola H2O nella geometria di equilibrio
possiamo definire la terna che trasla e ruota con la molecola ponendo l’asse z lungo C2, l’asse x perpendicolare a z e nel
piano molecolare e l’asse y perpendicolare ai 2 assi. Nel momento in cui la molecola assumesse una configurazione lineare verrebbe a cadere la possibilità di definire la terna in modo univoco.
Htotale
Terna di assi centrata nel laboratorioAssi fissi nello spazio
Hrelativa
Terna di assi centrata nella molecolaAssi fissi nello spazio
Hinterna
Terna di assi centrata nella molecolaAssi fissi nella molecola
Separazione delle coordinate del centro di massa
Separazione delle coordinate rotazionali
L’approssimazione di Born-Oppenheimer o approssimazione a nuclei fissi parte da considerazioni di tipo fisico e non matematico.
Dal punto di vista classico, gli elettroni si muovono molto più velocemente dei nuclei. La densità elettronica si adatta quasi istantaneamente alle variazioni di posizione dei nuclei.Assumiamo che il moto degli elettroni sia determinato dalla posizione dei nuclei e non influenzato dal loro moto.
elettroneprotone mm 1836
L’approssimazione di Born-Oppenheimer
Nel momento in cui fissiamo le coordinate nucleari non ci sono più i problemi legati alle separazioni del moto traslazionale del centro di massa e del moto rotazionale complessivo della molecola. Non dobbiamo però dimenticare che il moto degli elettroni è legato al moto traslatorio della molecola dal termine di polarizzazione di massa ed al moto rotazionale complessivo attraverso termini diversi a seconda della scelta del sistema di riferimento rotante.
Sdoppiamento
gli stati di una molecola lineare sono degeneri se trascuriamo il moto rotazionale complessivo. L’accoppiamento rimuove la degenerazione.
Momento angolare totale
Atomimomenti angolari e di spin degli elettroniAccoppiamenti LS e jj
Molecolemomenti angolari e di spin degli elettroni e momenti angolare e di spin dei nuclei.Schemi di accoppiamento di Hund
Si trascurano i termini che accoppiano i gradi di libertà
elettronici e nucleari
l’equazione di Schrödinger si divide in due equazioni
per la parte elettronica e nucleare
il moto dei nuclei è governato completamente da una
singola superficie di energia potenziale per ciascuno
stato elettronico
Approssimazione di Born-Oppenheimer
Derivazione dell’approssimazione BOIl termine di interazione elettrone-nucleo non
permette la separazione in due equazioni.
Rr,Rr, TOTeN EVTT ˆˆ
RRr;
RRr;Rr,Rr;R
Rr;RRr;R
RRr;
RRr;Rr
netotal
nee
n
iin
N
enen
n
N
e
ne
N n
ii
E
V
M
M
VM
1
2
1
2
1
2
1 1
22
2
1
22
1
2
1
,2
1
2
1
RRr;Rr, ne Questa espressione è valida solo se si
trascurano alcuni termini.
Trascurando tutti i termini che contengono derivate di
rispetto alle coordinate nucleari,
cioè e
e dividendo per
si ottiene
Rr;e
en 2 en
RRr; ne
N
totn
nn
i e
ei EM
V1
2
1
2
22
R
RRr,
Rr;
Rr;
RRRR
Rr;RRr;Rr;
ntot
N
tnNNe
t
nt
eeeeNee
n
iei
EVEM
EVV
1
2
1
2
2
)(2
1
Eq. elettronica
Eq. nucleare
Etot = Ee + Enucl
Valida in generale per lo stato fondamentale.
Stati legati
Stati non legati
Per gli stati eccitati ci sono problemi perché le superfici di
potenziale sono vicine e possono incrociarsi: interazioni
non adiabatiche.
Approssimazione di Born-Oppenheimer
Stato fondamentale e stati eccitati
stato fondamentale
stati eccitati Mg2
Superfici di energia potenziale
E (eV)
rOH (Å)OHH
2HO
rHH (Å)
Chimica e superfici di potenziale
Pur essendo il risultato di un’approssimazione, il concetto di superficie di potenziale permette di interpretare in forma semplice un’enorme gamma di fenomeni chimici.
1. Sintesi esiste un minimo2. Diffrazione X posizione minimo3. Spettro IR curvatura4. Isomeri più minimi5. Hreazione differenza tra 2 minimi6. E# differenza minimo sella7. Fotochimica processi che coinvolgono 2 o più superfici
Anche nelle transizioni elettroniche si assumono i nuclei fissi mentre gli elettroni cambiano stato.
Transizioni verticali frequenza della banda.
Transizioni elettroniche e fattori di Franck-Condon
• Momento di transizione
• L’operatore momento di dipolo è la somma su tutti gli elettroni ed i nuclei nella molecola:
• Il momento di dipolo di transizione è:
• Fattore di Franck-Condon intensità della transizione
Nei I
IIi RZere
dRRRRM
dT
IF nneq
INeFFI
)()()(
)(
dRRRIF nn )()(
dETIFFI
)()()( RRr;Rr, ne
Violazioni dell’approssimazione BO
Approssimazione BO : H–D non ha momento di dipolo, perché il
neutrone nel nucleo di deuterio fisso non influenza gli elettroni.
In realtà, H – D ha un momento di dipolo di 10-4 D (H2O ha un
momento di dipolo di 1.85 D)
CH3D ha un momento di dipolo 5.64 10-3 D. Legami CH e CD sono diversi
I termini trascurati nell’approssimazione BO sono piccoli se la funzione
d’onda elettronica è una funzione che varia lentamente al variare delle
coordinate nucleari.
L’approssimazione BO non è valida se la funzione d’onda elettronica è
degenere, o quasi degenere, perché i termini trascurati possono causare
una significativa interazione tra superfici BO.
Effetti Renner-Teller e Jahn-Teller.
Approssimazione di Born-Oppenheimer
NON E’ VALIDA
1. Alte velocità degli atomi (alte T)
2. Incrocio evitato di stati di ugual simmetria
3. Stati elettronici degeneri ed elevata simmetria
4. Stati elettronici degeneri e moto angolare
REGOLA di NON INCROCIO e INCROCIO EVITATO
Born-Oppenheimer Approx. applies
1 2 funzioni d’onda di due stati elettronici espresse come combinazioni lineari di due funzioni di base ortonormali a b
22
22
22
4)()(2
1
][4)()(2
1
0)(
0
abbbaabbaa
abbbaabbaabbaa
abbbaabbaa
bbba
abaa
HHHHHE
HHHHHHHE
HHHEHHE
EHH
HEH
R
Molecola biatomica
22 4)()(2
1abbbaabbaa HHHHHE
Se a b hanno diversa simmetria Hab = 0 per tutti i valori di R.
Singoletto e tripletto che si incrociano.Meccanismo dei processi di fosforescenza.
Stati legati e non legati che si incrociano: predissociazione
)()(2
1bbaabbaa HHHHE
Per un dato R può essere che Haa = Hbb
In questo caso i due valori E+ ed E- coincidono e le curve si incrociano.
a b diversa simmetria
Se a b hanno ugual simmetria in generale Hab 0Perché le curve si incrocino occorrerebbe soddisfare simultaneamente le due condizioni (Haa – Hbb) = 0 e Hab = 0In presenza di un solo parametro R questo potrebbe capitare solo “accidentalmente”, quindi l’incrocio è evitato.
22 4)()(2
1abbbaabbaa HHHHHE
a b ugual simmetria
La zona di incrocio evitato è una zona in cui l’approssimazione di Born-Oppenheimer non è valida
E
R
incrocio
E
R
incrocio evitato
Intersezione conica
NO2 X2A'-A2A'
Molecola poliatomica
Effetto Jahn-Teller
“Una molecola non lineare e simmetrica con uno stato elettronico orbitalmente degenere è instabile e si distorce, rimuovendo quindi la degenerazione elettronica, finché raggiunge uno stato fondamentale non degenere .”
Jahn, H.A.; Teller, E. Proc. R. Soc. London A 1937, 161, 220.
Simmetrico Distorsione
Jahn-Teller
t2g t2g
dx2-y2
dz2
MnO6 (Mn3+ d4)
eg
MnF3
D3h
C2v C2v
Hargittai, M. et al. J. Am. Chem. Soc. 1997, 119, 9042.
s
F
FF
Mn
MnF3 : diffrazione elettronica
0 1 2 3 4 5 6 7
E
TD 3h
Mn-F F∙∙∙F
f(r)
r, Å 0 1 2 3 4 5 6 7
E
T
Mn-F Mn-F F∙∙∙F F∙∙∙F
C 2v
f(r)
r, Å
+ e-
6 orbitali LUMO degeneri
Non-simmetrico
Effetto Jahn Teller
statico dinamico
Potenziale di piegamento
V = a( 1 )(r)2 b( 1 ’ )(r)4 V = a( 1 )(r)2 b( 1 ’ )(r)4
NH2(X21, A2)BrCN+(X2) = 0.185 H
NH
Br C N
< 1 > 1
Effetto Renner-Teller
Oltre l’approssimazione di BO
Per ogni geometria nucleare R le soluzioni dell’eq.elettronica
Rr;RRr; en
en
ene EH )(
formano un insieme completo, quindi una generica può essere espressa come combinazione lineare delle e(r;R).I coefficienti lineari sono diversi per ogni R e quindi
n
enn Rr;RRr )(,
RrRRr ,)(, totEH
Cerchiamo la soluzione dell’eq. di Schrödinger
0)(ˆ Rr;R enntoteN EHT
Premoltiplicando per la generica funzione m ed integrando rispetto alle sole coordinate elettroniche
0)(ˆ rRr;RRr; dEHT enntoteN
em
rRr;RRr; dT ennN
em )(ˆ
rRr;RRr; dEH enntote
em )(1
2
eN
enntot
enntot
enn
HTHEH
EH
ˆ0)(
)()(
Rr;R
Rr;RRr;R
n
enntote
em dEH rRr;RRr; )(1
)()(
)(
)(
)(
RR
rRr;Rr;R
rRr;Rr;R
rRr;Rr;R
mtotnmntotnn
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emn
EEEE
dEE
dEE
dEH
)()( RrRr;RRr; mtotnenntote
em EEdEH
n
ennN
em dT rRr;RRr; )(ˆ 2
rRr;R
Rr;R
denn
enn
)(2
)( 2
n
enn
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MrRr;RRr; )(
1
2
1 2
n
enn
emM
Rr;RRr; )(1
2
1 2
n
en
emn d
MrRr;Rr;R)(
1
2
1 2
rRr;R
Rr;RRr;
d
Menn
enn
n
em
)(2
)(1
2
1 2
)(ˆ)(1
2
1 2 RR mNm TM
a
b
a
rRr;R
Rr;RRr;
d
Menn
enn
n
em
)(2
)(1
2
1 2b
rRr;R
Rr;RRr;
rRr;R
Rr;RRr;
d
M
d
M
emm
emm
em
enn
enn
mn
em
)(2
)(1
2
1
)(2
)(1
2
1
2
2
Separiamo i termini con m n
rRr;R
Rr;RRr;
d
Memm
emm
em
)(2
)(1
2
1 2
0)()(2
0)()()()(
0)()(
**
*
rRr;Rr;
rRr;Rr;rRr;Rr;
rRr;Rr;
d
dd
d
mm
mmmm
mm
)()(1
2
1 2 RrRr;Rr;R mmmem
emm Cd
M
se Ψ è reale
m = n
)()()(ˆ RRR nmn
nmmtotmmemN CECET
Cmm = 0 Cmn = 0 approssimazione BOCmm 0 Cmn = 0 approssimazione adiabatica : la superficie di
potenziale m-esima è definita da un potenziale U(R) = Em(R) + Cmm
Cmm 0 Cmn 0 approssimazione diabatica
)()(2
)(1
2
1 2
RrRr;R
Rr;RRr;
nmn
nmenn
enn
mn
em
Cd
M
0)(ˆ rRr;RRr; dEHT enntoteN
em
m n
H2+ ETOT ≈ 32 eV errore BO = 0.00075 eV
H2 EDISS (cm-1) Born-Oppenheimer 36112.3
correzione adiabatica 36118.0 correzione relativistica 36117.3 sperimentale 36116.3 – 36118.3