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Quartapelle e Auteri: FLUIDODINAMICA. Capitolo 5 – pagina 107 Marzo 1, 2011

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CAPITOLO 5

Correnti incomprimibiliviscoseIntroduzione Questo capitoloe dedicato allo studio delle correnti incomprimibilidi un fluido viscoso. Nel primo paragrafo si descrive il fenomeno della viscosita nelcaso semplice di una corrente che si muove in una sola direzione. Nel paragrafo 5.2questa nozione primitiva di viscositae estesa al caso generale per ricavare l’espressionedella forza agente sulle particelle del fluido dovuta alla sua viscosita in una correntetridimensionale, sempre incomprimibile. Nel paragrafo 5.3 il nuovo termine dellaforza viscosae aggiunto nell’equazione della quantita di moto, cosı da potere scrivereil sistema delle equazioni di Navier–Stokes che governano le correnti incomprimibiliviscose. Le condizioni supplementari, iniziali e al contorno, necessarie per ottenere unproblema matematicamente completo sono presentate nel paragrafo 5.4, assieme alleloro condizioni di compatibilita, analogamente a quanto visto nel capitolo 3 per il casonon viscoso e le equazioni di Eulero incomprimibili.

Nel paragrafo 5.5 si introduce la forma adimensionale delleequazioni di Navier–Stokes e si definisce il numero di Reynolds. Nei paragrafi successivi si ricavano alcunesoluzioni analitiche delle equazioni in regioni dalla geometria molto semplice, percorrenti incomprimibili viscose, sia stazionarie sia variabili.

Per quanto riguarda le correnti stazionarie, il paragrafo 5.6 e dedicato allo studiodella corrente unidirezionale di un fluido che riempie lo spazio fra due pareti pianeparallele, di cui una eventualmente in moto con velocita costante, in presenza o meno diun gradiente di pressione uniforme in tutta la regione occupata dal fluido. Si consideraanche la corrente di un fluido all’interno di un tubo causata della presenza di ungradiente di pressione parallelo all’asse del tubo. Si analizza inoltre il moto di unostrato di fluido che scorre su un piano inclinato a causa del campo di gravita terrestre.Il paragrafo 5.7e invece dedicato allo studio della corrente incomprimibile viscosaattorno a una sfera per velocita molto piccole. Nel paragrafo 5.8 si discute il paradossodi Stokes per la corrente viscosa a basse velocita attorno a un cilindro.

Per quanto riguarda i problemi dipendenti dal tempo, nel paragrafo 5.9 si studiacome un fluido inizia a muoversi in virtu dell’attrito viscoso a causa della traslazioneimprovvisa di una parete piana; di questo tipo di correnti unidirezionali considereremodue esempi particolari. Nel primo caso la regione occupata dal fluido e un semispazio,nel secondo casoe lo spazio compreso fra due lastre parallele.

Il paragrafo 5.10e dedicato ad alcune soluzioni esatte delle equazioni incomprim-ibili in coordinate cilindriche quando il fluido si muove lungo traiettorie circolari. Siesamina dapprima la corrente stazionaria generata in una regione compresa fra duesuperfici cilindriche che possono ruotare con velocita angolari costanti diverse attornoallo stesso asse. Si analizza inoltre l’evoluzione di una colonna di fluido che all’istanteiniziale ruota in modo rigido e chee frenata dall’arresto improvviso della parete cilin-drica delimitante il fluido e infine il decadimento nel tempo di un vortice rettilineo e diun vortice attorno a un cilindro rigido la cui rotazionee arrestata istantaneamente.

Il paragrafo 5.11e dedicato a una descrizione piu articolata del fenomeno dellaviscosita. Per capire il meccanismo frenante dell’attrito interno in un fluidoe necessarioconsiderare la situazione piu generale in cui esso puo essere anchecomprimibile.Presenteremo pertanto un’analisi che va oltre i confini stabiliti dall’ipotesi di correnteincomprimibile, per cui il paragrafo in questione puo essere considerato un intrusoin questo capitolo. Tuttavia le equazioni di Navier–Stokesincomprimbili sono moltoimportanti ede necessario ricavare l’espressione della forza di attritoviscoso agentesu un corpo fermo in una corrente incomprimibile secondo il procedimento rigorosomostrato nel paragrafo 5.12.


108 CAPITOLO 5 Correnti incomprimibili viscose ISBN XX-abc-defg-h

Nel paragrafo 5.13 si studia invece come varia l’energia cinetica del fluido in unacorrente incomprimibile viscosa. Si dimostra che l’energia cinetica de tutto il fluidoche si muove in una regione limitata da pareti rigide deve necessariamente diminuire neltempo a causa dell’azione delle forze di frenamento viscosoche agiscono all’internodel fluido.

Gli ultimi due paragrafi del capitolo sono infine dedicati alla presentazione delleequazioni che governano la convezione naturale nei liquidie le correnti incomprimibilinei sistemi di riferimento rotanti.

5.1 Viscosita dinamica e viscosita cinematica

Le soluzioni della corrente stazionaria incomprimibile e irrotazionale attorno a unasfera o a un cilindro circolare calcolate nel capitolo precedente mostrano che un fluidosupposto idealmente non viscoso “scivola” sulla superficiedel corpo attorno al qualescorre. Questo risultatoe una conseguenza dell’ipotesi di viscosita nulla e si traducematematicamente nel potere imporre la condizione al contorno solo sulla componentenormale della velocita, che si annullera quando la superficiee ferma.

L’esame delle correnti di qualunque fluido reale rivela invece che non si verificaalcuno scivolamento del fluido sulle superfici dei corpi solidi. Negli esperimenti siosserva infatti che sulla superficie dei corpi fermi la velocita del fluidoe nulla, ovveroche si annulla oltre alla componente normale anche quella tangente. La regione incui si verifica la riduzione del modulo della velocita dal valore asintotico, a grandedistanza dal corpo, al valore nullo su di esso puo essere di dimensioni confrontabili oaddirittura maggiori di quelle caratteristiche del corpo stesso, oppure puo essere unazona molto sottile in prossimita della sua superficie. Quando la zona di transizione incui |u| decresce rapidamente, ma comunque in modo continuo, da un valore assegnatofino al valore nulloe molto sottilee chiamatastrato limite . Nello strato limite gli effettidella viscosita del fluido sono importanti e non possono piu essere trascurati, per cui ilmodello di fluido non viscoso considerato finora deve essere abbandonato.

Per comprendere la situazione dobbiamo precisare cosa significa il termine “fluidoviscoso”. A questo fine, consideriamo il caso di una semplicecorrente cosiddettaditaglio, ovvero di un campo di velocita piano unidirezionale del tipo:

u(r) = [u(y), 0, 0] = u(y) x,

come mostrato di fianco. Nel caso di un fluido che sie supposto non viscoso il vettoresforzo, s, cioe la forza per unita di area della superficie di contatto, che il fluidoimmediatamente sopra un pianoy = costante esercita sul fluido immediatamente al disotto, non ha alcuna componente tangente. Viceversa, per unfluido viscoso il vettore

y

u(y)

y = costante

Figura 5.1 Campo di velocita di tagliosforzo ha una componente tangentesx tipicamente diversa da zero. Infatti la velocitadel fluido nella zona superioree maggiore di quella del fluido nella zona inferiore percui il primo tendera ad aumentare la velocita del secondo, grazie a una forza di taglio.A sua volta, il fluido immediatamente sotto il pianoy = costante esercita una forza sulfluido al di sopra, ed essendo la sua velocita nella zona inferiore piu piccola di quellanella zona superiore, il fluido sotto tendera a ridurre la velocita di quello sopra. Nelcaso particolare di fluido viscosonewtoniano la componente di tagliosx del vettores e proporzionale alla derivata della velocita, ovvero, nel caso considerato, vale larelazione

sx = µdu

dy,

doveµ e una proprieta del fluido chiamataviscosita dinamica o piu semplicementeviscosita. Molti fluidi reali, come l’acqua e l’aria, si comportano secondo la precedenterelazione lineare, ma esistono anche molti altri fluidi viscosi, come le vernici, i polimeri,la maionese e il miele, che hanno un comportamento piu complicato chee dettononnewtoniano.


ISBN XX-abc-defg-h PARAGRAFO 5.2: Forza di attrito viscoso 109

Da un punto di vista dinamico una grandezza molto importanterisulta essere laviscositacinematicachee definita dal rapporto fra la viscosita dinamica e la densita del fluido

ν = µ

ρ.

Nella tabella 1 sono riportati i valori della densita ρ, della viscosita dinamicaµ e diquella cinematicaν relativi al mercurio, all’acqua (allo stato liquido e di vapore) eall’aria in condizioni termodinamiche standard, ovvero alla temperatura diT = 300 Ke alla pressione atmosfericaPatm = 1.01× 105 Pa.

Tabella 1. Proprieta meccaniche di alcuni fluidi alla temperatura diT = 300 K ealla pressione atmosfericaPatm = 1.01× 105 Pa

ρ densita µ viscosita dinamica ν viscosita cinematica

Fluido kg/m3 kg/(m · s) m2/s

mercurio, Hg 13 550 1.56× 10−3 0.115× 10−6

acqua, H2O 998 1.0 × 10−3 1.0 × 10−6

vapore, H2O a 100C 0.60 12.3 × 10−6 20.5 × 10−6

aria 1.18 18.5 × 10−6 15.6 × 10−6

Come si mostrera alla fine del paragrafo 10.1, il valore diµ (e quindi anche diν)puo variare sensibilmente con la temperatura e dipende anche,seppure in modo menosensibile, dalla pressione del fluido. Tuttavia, in tutto questo capitolo consideremoun modello di fluido in cui la densita ρ e la viscosita dinamicaµ sono costanti. Neiprecedenti capitoli la condizione di densita uniforme e costantee stata sempre indicataesplicitamente scrivendo la densita comeρ. In modo analogo, in questo capitoloindicheremo conµ la viscosita dinamica quando essa potra essere considerata unacostante caratteristica del fluido, indipendente cioe da temperatura e pressione. Laviscosita cinematicaν sara invece indicata sempre senza alcuna sopralineatura datoche l’uso di questa grandezzae qui limitato al caso incomprimibile con fluidi di densitauniforme e con viscosita costante, per cui la definizione effettiva delcoefficiente diviscosita cinematicaν e

ν = µ

ρ.

Solo nel paragrafo 5.11 considereremo il caso generale dei fluidi comprimibili nei qualil’intensita dell’attrito viscoso risulta dipendere dalle condizionitermodinamiche delfluido. In quel paragrafo il coefficiente di viscosita dinamica potra dipendere dallevariabili termodinamicheT e P.

5.2 Forza di attrito viscoso

Lo sforzo viscoso nel caso della corrente di taglio ora considerata provoca una forzatangenziale per unita di volume parallela alla velocita. Consideriamo infatti un vol-umetto di fluido di forma prismatica con base∆x ∆z e altezza∆y avente il verticeinferiore sinistro nel punto(x, y, z), vedi figura 5.2. La componente nella direzionex del vettore sforzo viscoso che agisce sul fluido contenuto nel volumetto attraversola faccia superioree data daµ du(y+∆y)

dy , dal momento che il fluido esterno piu velocetende ad aumentare la velocita del fluido nel volumetto. Al contrario la componentexdi s agente attraverso la faccia inferioree data da−µ

du(y)dy poiche il fluido esterno piu

lento tende a ridurre la velocita del fluido nel volumetto. La forza netta per unita divolume avra allora la direzione dell’assex e tale componente sara data dalla differenza

Fviscx =

[(

µdu

dy

)∣

∣

∣

∣

y+∆y−

(

µdu

dy

)∣

∣

∣

∣

y

]

∆x ∆z

∆x ∆y ∆z=

(

µ dudy

)∣

∣

y+∆y −(

µ dudy

)∣

∣

y

∆y.

y

z

x

∆y

∆x∆z

sx (y + ∆y)

sx (y)

Figura 5.2 Azione della componentexdello vettore sforzo viscosos nellacorrente di tagliou = u(y)



Facendo tendere a zero lo spessore orizzontale del volumetto, la componente non nulladella forza viscosa per unita di volume varra

Fviscx = d

dy

(

µdu

dy

)

.

Occorre pero tenere presente che la velocita u dipende dalle tre coordinate spaziali,ovvero si ha in generaleu = u(x, y, z), per cui la derivata nella formula precedenteeuna derivataparziale, ovverosia risulta

Fviscx = ∂

∂y

(

µ∂u

∂y

)

.

Questo termine dovra essere aggiunto nel secondo membro dell’equazione della quan-tita di moto, o meglio, nell’equazione relativa alla sua componentex . In particolare,se la viscosita dinamicae costante,µ = µ, l’espressione precedente diventa

x

x

u(y)

u(y)

y

y

Figura 5.3 Gradienti della velocita anchegrandi possono causare nessun effettoviscoso (figura in alto) dato che lacomponenteFvisc

x della forza viscosa perunita di volume none determinato dallapendenza della funzioneu = u(y) madalla suacurvatura (figura in basso)

Fviscx = µ

∂2u

∂y2 .

L’espressione del contributo di forza viscosa appena ricavato permette di capire perchegli effetti viscosi possono diventare molto importanti nello strato limite di una genericacorrente viscosa. Il motivoe che il gradiente della velocita puo diventare moltomaggiore nello strato limite che non nelle altre parti dellacorrente, poiche in uno stratomolto sottile puo verificarsi una variazione molto grande della velocita in uno spessoremolto sottile e quindi lo sforzo viscoso sara corrispondentemente grande. A sua volta,la derivata dello sforzo viscoso potra essere grande. Nello strato sottile in cui cio siverifica, la forza viscosa deve pertanto essere tenuta in conto anche se la viscosita etanto piccola da permettere di trascurarne gli effetti nelle altre regioni della corrente.

La forza per unita di volume appena trovata costituisce solo una parte della com-ponente della forza lungo la direzionex dovuta alla viscosita del fluido. In realta il

y

z

x

u(x1, y1, z)

x = x1y = y1

Figura 5.4 La componenteu dellavelocita varia in generale anchemuovendosi parallelamente all’assez

campo di velocita, anche se ha solo la componente in direzionex , puo variare anchemuovendosi lungo l’altra direzione normale all’assex , cioe parallelamente all’assez, come mostrato in figura 5.4.E quindi necessario considerare anche la forza cheagisce sul fluido contenuto nel volumetto attraverso le due superfici elementari verti-cali parallele all’assex , di area∆x ∆y. La componente nella direzionex del vettoresforzo viscoso che agisce sul fluido contenuto nel volumettoattraverso la faccia an-teriore nella figura 5.5e data daµ u(x,y,z+∆z)

∂z , dal momento che il fluido davanti piuveloce tende ad aumentare la velocita del fluido nel volumetto. Al contrario la compo-nentex del vettore sforzo agente attraverso la faccia posterioree data da−µ

∂u(x,y,z)∂z

poiche il fluido dietro piu lento tende a ridurre la velocita del fluido nel volumetto. Lacomponentex di questo secondo contributo della forza viscosa sara allora data dalladifferenza

y

z

x

∆y

∆z

∆x

sx (z + ∆z)sx (z)

Figura 5.5 Contributo alla forza viscosadovuto alla variazione diu lungo ladirezionez

Fviscx =

[(

µ∂u

∂z

)∣

∣

∣

∣

z+∆z−

(

µ∂u

∂z

)∣

∣

∣

∣

z

]

∆x ∆y

∆x ∆y ∆z→ ∂

∂z

(

µ∂u

∂z

)

,

avendo fatto tendere a zero lo spessore∆z del volumetto.

Da ultimo, la componenteu della velocita potra variare anche muovendosi lungo ladirezionex , come schematizzato nella figura 5.6. Esiste un meccanismo di frenamentoviscoso agente sulla velocita del fluido in direzionex che si esercita attraverso le due su-perfici elementari del volumetto perpendicolari alla direzionex , di area∆y ∆z. Comesara discusso nel paragrafo 5.11 nel caso generale comprimibile, questo frenamentoviscoso, che si esercita sul fluido nella stessa direzione lungo la quale varia la velocita,fa intervenire anche unaltro coefficiente di viscosita, diverso dalµ. Tuttavia, nel casoparticolare di correnti incomprimibili, l’effetto di attrito viscoso in direzione parallelaalla velocita fa intervenire solo il coefficiente di viscosita dinamicaµ, o meglio la sua

y

z

x

u(x1)

u(x2)

u(x3)

Figura 5.6 La componentex dellavelocita varia in generale anche lungo ladirezionex


ISBN XX-abc-defg-h PARAGRAFO 5.3: Equazioni di Navier–Stokes incomprimibili 111

versione costanteµ. Si mostrera infatti che il terzo contributo alla componentex dellaforza viscosa per unita di volumee dato da

˜Fvisc

x = µ∂2u

∂x2 , corrente incomprimibile

ovvero ha la stessa forma dei due precedenti associati alle variazioni trasversali dellavelocita. Sommando ora i tre contributi trovati si ottiene la componentex della forzaviscosa per unita di volume agente in ogni punto del fluido:

Fviscx = µ

∂2u

∂x2 + µ∂2u

∂y2 + µ∂2u

∂z2 = µ ∇2u,

dove∇2 rappresenta quindi l’operatore laplaciano. Il risultato trovato e valido perognuna delle tre componenti cartesiane della velocita. Sommando quindi le tre relazioniper le tre componenti cartesiane del vettore sforzo si ottiene l’espressione vettorialedella forza per unita di volume agente nel fluido in una corrente incomprimibile

Fvisc =(

µ ∇2u)

x +(

µ ∇2v)

y +(

µ ∇2w)

z

= µ ∇2(u x + v y + w z)

= µ ∇2u, corrente incomprimibile.

Dividendo questa grandezza per la densita uniformeρ del fluido, si ottiene la forzaviscosa per unita di massafvisc = Fvisc/ρ che risulta essere data dalla (notevolmente)semplice espressione:

fvisc = ν ∇2u, corrente incomprimibile.

5.3 Equazioni di Navier–Stokes incomprimibili

Includendo la forza viscosa per unita di massaν ∇2u nel secondo membro dell’equa-zione dinamica della velocita dedotta nel paragrafo 2.3, il sistema delle due equazioniche governano la corrente incomprimibile di un fluido viscoso (newtoniano) aventedensita uniforme assume la forma seguente

∂u∂t

+ (u ·∇)u + ∇P

ρ= ν ∇2u + g,

∇· u = 0.

Questo sistemae noto con il nome diequazioni di Navier–Stokes per le correntiincomprimibili . Il sistemae costituito da due equazioni, la prima vettoriale e laseconda scalare, nelle due funzioni incogniteu(r , t) e P(r , t), essendoρ una costantenota. Pertanto il sistema ha tante equazioni quante incognite e puo essere risolto unavolta completato con le necessarie condizioni iniziale e alcontorno.

Come nel caso delle equazioni di Eulero, per correnti incomprimibili, la pressionee presente nel sistema onde fornire i gradi di liberta necessari per potere imporrela condizione d’incomprimibilita sul campo della velocita. Tecnicamente si esprimequesto fatto dicendo cheP(r , t) costituisce ilmoltiplicatore di Lagrange associato alvincolo∇· u = 0 che deve essere soddisfatto dalla velocitau(r , t) in ogni puntor e inogni istantet .

Il campo della forza esternag potra anche essere diverso dal campo gravitazionalee in generale potra dipendere dallo spazio ed eventualmente anche dal tempo, ovvero,g = g(r , t).



Teorema di Bernoulli e correnti viscose

Comee stato sottolineato nell’introduzione al Capitolo 3, l’espressione “fluido nonviscoso” puo indurre in errore, in quanto ogni fluidoe in grado di trasmettere sforzidi taglio quando la rapidita con cui si deforma none nulla. Nonostante questo, percomodita, sie impiegata questa espressione per indicare quei campi di moto in cui laviscosita del fluido svolgeva un ruolo marginale.

Nel derivare le differenti versioni delteorema di Bernoulli, in particolare, siefatto uso dell’ipotesi di assenza di viscosita. E importante a questo punto, una voltaacquisiti gli strumenti necessari, ritornare sulle dimostrazioni del teorema di Bernoulliper meglio apprezzarne in significato, senza dover introdurre l’ipotesi di “fluido nonviscoso” e cosı comprendendo meglio anche le conseguenze di questa ipotesi adottatanei capitoli precedenti.

Consideriamo una corrente incomprimibile di un fuido di densita uniforme soggettoa un campo di forze conservative con energia potenziale per unita di massaχ(r).L’equazione di bilancio della quantita di moto, nel caso particolare di corrente staziona-ria, potra essere scritta nella forma

(∇×u)×u − ν ∇2u = −∇

(

P

ρ+ |u|2

2+ χ

)

.

E conveniente a questo punto riscrivere il laplaciano dellavelocita utilizzando l’identitavettoriale∇2u = −∇×(∇×u) + ∇(∇· u) che, grazie alla solenoidalita del campodella velocita, si riduce a∇2u = −∇×ω, essendo∇×u = ω il campo di vorticita.Effettuando la sostituzione nell’equazione della quantita di moto, si ottiene quindi

ω×u + ν ∇×ω = −∇

(

P

ρ+ |u|2

2+ χ

)

.

Analizziamo ora la validita delle versioni del teorema di Bernoulli, precedentementedimostrate, quando gli effetti viscosi non siano a priori trascurabili.

Consideriamo innanzitutto la prima versione del teorema, ovvero quella relativaa una corrente stazionaria in generale rotazionale. Effettuiamo il prodotto scalare dientrambi i membri della precedente equazione per il vettores(r) parallelo in ogni puntoal campo di velocita o, in alternativa, al campo di vorticita, otteniamo

s · ω×u + ν s · ∇×ω = −s · ∇

(

P

ρ+ |u|2

2+ χ

)

.

Essendo(∇×u)×u = ω×u perpendicolare sia al vettore velocita sia al vettore vorticita,la scelta della direzione dis implica che, in entrambi i casi, l’equazione si riduce a

ν s · ∇×ω = −s · ∇

(

P

ρ+ |u|2

2+ χ

)

.

Al contrario, il termine rimasto a primo membro in generale non si annulla. Essoenullo solo nel caso, del tutto particolare, in cui o∇×ω = 0, per esempio per unacorrente irrotazionale o con vorticita uniforme, o nel caso molto speciale in cui∇×ω

sia perpendicolare as. Possiamo quindi dire che, in generale, la prima versione delteorema di Bernoulli non si estende al caso viscoso, se non aggiungendo ulteriori ipotesisulle caratteristiche della corrente rispetto a quelle delcaso non viscoso.

Diversoe il caso della seconda e della terza versione del teorema di Bernoulli, cioequelle relative alle correntiirrotazionali, sia stazionarie sia dipendenti dal tempo. Inentrambi i casi, infatti, l’ipotesi di irrotazionalita della corrente permette di eliminareil termine viscosoν ∇×ω, dato cheω = 0. In conclusione, possiamo allora affermareche le versioni del teorema relative a correnti irrotazionali stazionarie o dipendenti daltempo si estendono identiche al caso viscoso mentre cio none vero per la versione delteorema riguardante le correnti stazionarie rotazionali.


ISBN XX-abc-defg-h PARAGRAFO 5.3: Equazioni di Navier–Stokes incomprimibili 113

Come vedremo nel prossimo capitolo sullo strato limite, nelle correnti con numerodi Reynolds elevato possono essere distinte zone in cui gli effetti della viscosita sonotrascurabili, e quindi puo essere adottato localmente il modello di fluido non viscoso, ezone nelle quali i fenomeni legati alla viscosita giocano invece un ruolo fondamentale.Nelle zone del modello di fluido non viscosoe allora legittimo applicare il teorema diBernoulli, quando sono soddisfatte le sue ipotesi, anche sela corrente nel suo complessorisente degli effetti della viscosita.

Approfondimento 1 Equazioni di Navier–Stokes in coordinate cilindriche

Se la regione in cui si muove il fluidoe assisimmetrica, ossiae invariante per rotazioniattorno a un asse che chiameremo assez, allora e conveniente utilizzare un sistemadi coordinate cilindriche per descrivere il moto del fluido.Ricordando le equazionidi Eulero in coordinate cilindriche ricavate nel paragrafo3.3, le equazioni di Navier–Stokes in coordinate cilindriche si ottengono aggiungendoil termine viscoso, cheeriportato nel paragrafo A.8 dell’appendice A. Otteniamo quindi

∂u R

∂t+ u R

∂u R

∂ R+ uθ

R

(

∂u R

∂θ− uθ

)

+ uz∂u R

∂z+ 1

ρ

∂ P

∂ R

= ν

(

∇2u R − u R

R2 − 2

R2

∂uθ

∂θ

)

,

∂uθ

∂t+ u R

∂uθ

∂ R+ uθ

R

(

∂uθ

∂θ+ u R

)

+ uz∂uθ

∂z+ 1

ρ R

∂ P

∂θ

= ν

(

∇2uθ − uθ

R2 + 2

R2

∂u R

∂θ

)

,

∂uz

∂t+ u R

∂uz

∂ R+ uθ

R

∂uz

∂θ+ uz

∂uz

∂z+ 1

ρ

∂ P

∂z= ν ∇2uz,

1

R

∂(Ru R)

∂ R+ 1

R

∂uθ

∂θ+ ∂uz

∂z= 0,

dove l’operatore laplaciano in coordinate cilindrichee

∇2u = 1

R

∂

∂ R

(

R∂u

∂ R

)

+ 1

R2

∂2u

∂θ2 + ∂2u

∂z2 .

Nel caso particolare in cui il campo di velocita iniziale u0 e le condizioni alcontorno sono assisimmetrici, ossia indipendenti daθ , sono possibili soluzioni delcampo di moto aventi la stessa simmetria di invarianza per rotazioni attorno all’asse,del tipo

u = u(R, z, t) e P = P(R, z, t).

Questi campi sono governati dalle equazioni di Navier–Stokes per correnti incom-primibili assisimmetriche che si ottengono dalle precedenti eliminando tutti i terminicontenenti la derivata rispetto aθ , ovvero,

∂u R

∂t+ u R

∂u R

∂ R+ uz

∂u R

∂z− u2

θ

R+ 1

ρ

∂ P

∂ R= ν

[

1

R

∂

∂ R

(

R∂u R

∂ R

)

+ ∂2u R

∂z2 − u R

R2

]

,

∂uz

∂t+ u R

∂uz

∂ R+ uz

∂uz

∂z+ 1

ρ

∂ P

∂z= ν

[

1

R

∂

∂ R

(

R∂uz

∂ R

)

+ ∂2uz

∂z2

]

,

∂uθ

∂t+ u R

∂uθ

∂ R+ uz

∂uθ

∂z+ uθ u R

R= ν

[

1

R

∂

∂ R

(

R∂uθ

∂ R

)

+ ∂2uθ

∂z2 − uθ

R2

]

,

1

R

∂(Ru R)

∂ R+ ∂uz

∂z= 0.



Nelle correnti assisimmetriche il vincolo d’incomprimibilit a non coinvolge la compo-nente angolareuθ della velocita. Questa incognita rimane tuttavia accoppiata alle duealtre componenti della velocita u R e uz a causa della presenza del termineu2

θ/R nellaprima equazione del sistema.

Tuttavia, se in tali correnti la componente di “swirl”e nulla e quindi la velocita econtenuta nei piani assiali, le equazioni di Navier–Stokesin coordinate cilindriche percorrenti assisimmetriche si riducono al seguente sistema di sole tre equazioni

∂u R

∂t+ u R

∂u R

∂ R+ uz

∂u R

∂z+ 1

ρ

∂ P

∂ R= ν

[

1

R

∂

∂ R

(

R∂u R

∂ R

)

+ ∂2u R

∂z2 − u R

R2

]

,

∂uz

∂t+ u R

∂uz

∂ R+ uz

∂uz

∂z+ 1

ρ

∂ P

∂z= ν

[

1

R

∂

∂ R

(

R∂uz

∂ R

)

+ ∂2uz

∂z2

]

,

1

R

∂(Ru R)

∂ R+ ∂uz

∂z= 0.

Approfondimento 2 Equazioni di Navier–Stokes in coordinate sferiche

Se la regione in cui si muove il fluidoe delimitata da due superfici sferiche concentriche,allorae conveniente utilizzare un sistema di coordinate sfericheper descrivere il motodel fluido. Ricordando le equazioni di Eulero in coordinate sferiche ricavate nel para-grafo 3.3, le equazioni di Navier–Stokes per le correnti incomprimibili in coordinatesferiche assumono la forma seguente

∂ur

∂t+ ur

∂ur

∂r+ uθ

r

(

∂ur

∂θ− uθ

)

+ uφ

r

(

1

sinθ

∂ur

∂φ− uφ

)

+ 1

ρ

∂ P

∂r

= ν

[

∇2ur − 2ur

r2 − 2

r2 sinθ

∂(

sinθ uθ

)

∂θ− 2

r2 sinθ

∂uφ

∂φ

]

,

∂uθ

∂t+ ur

∂uθ

∂r+ uθ

r

(

∂uθ

∂θ+ ur

)

+ uφ

r sinθ

(

∂uθ

∂φ− cosθ uφ

)

+ 1

ρ r

∂ P

∂θ

= ν

[

∇2uθ − uθ

r2 sin2 θ− 2 cosθ

r2 sin2 θ

∂uφ

∂φ+ 2

r2

∂ur

∂θ

]

,

∂uφ

∂t+ ur

∂uφ

∂r+ uθ

r

∂uφ

∂θ+ uφ

r

[

1

sinθ

(

∂uφ

∂φ+ cosθ uθ

)

+ ur

]

+ 1

ρ r sinθ

∂ P

∂φ

= ν

[

∇2uφ − uφ

r2 sin2 θ+ 2 cosθ

r2 sin2 θ

∂uθ

∂φ+ 2

r2 sinθ

∂ur

∂φ

]

,

1

r2

∂

∂r

(

r2ur)

+ 1

r sinθ

∂

∂θ

(

sinθ uθ

)

+ 1

r sinθ

∂uφ

∂φ= 0,

dove l’operatore di Laplace in coordinate sferichee

∇2u = 1

r2

∂

∂r

(

r2 ∂u

∂r

)

+ 1

r2 sinθ

∂

∂θ

(

sinθ∂u

∂θ

)

+ 1

r2 sin2 θ

∂2u

∂φ2 .

Nel caso particolare in cui il campo di velocita iniziale u0 e le condizioni alcontorno sono assisimmetrici, ossia indipendenti daφ, sono possibili soluzioni delcampo di moto aventi la stessa simmetria di invarianza per rotazioni attorno all’asse,del tipo

u = u(r, θ, t) e P = P(r, θ, t).


ISBN XX-abc-defg-h PARAGRAFO 5.4: Condizione iniziale e condizione al contorno 115

I campiu(r, θ, t) e P(r, θ, t) sono allora governati dalle equazioni di Navier–Stokes perle correnti incomprimibili assisimmetriche che si ottengono dalle precedenti eliminandotutti i termini contenenti la derivata rispetto aφ, ovvero,

∂ur

∂t+ ur

∂ur

∂r+ uθ

r

(

∂ur

∂θ− uθ

)

−u2

φ

r+ 1

ρ

∂ P

∂r

= ν

[

1

r2

∂

∂r

(

r2 ∂ur

∂r

)

+ 1

r2 sinθ

∂

∂θ

(

sinθ∂ur

∂θ

)

− 2ur

r2 − 2

r2 sinθ

∂(

sinθ uθ

)

∂θ

]

,

∂uθ

∂t+ ur

∂uθ

∂r+ uθ

r

(

∂uθ

∂θ+ ur

)

−cotθ u2

φ

r+ 1

ρ r

∂ P

∂θ

= ν

[

1

r2

∂

∂r

(

r2 ∂uθ

∂r

)

+ 1

r2 sinθ

∂

∂θ

(

sinθ∂uθ

∂θ

)

− uθ

r2 sin2 θ+ 2

r2

∂ur

∂θ

]

,

∂uφ

∂t+ ur

∂uφ

∂r+ uθ

r

∂uφ

∂θ+ uφ

r(cotθ uθ + ur )

= ν

[

1

r2

∂

∂r

(

r2 ∂uφ

∂r

)

+ 1

r2 sinθ

∂

∂θ

(

sinθ∂uφ

∂θ

)

− uφ

r2 sin2 θ

]

,

1

r2

∂

∂r

(

r2ur)

+ 1

r sinθ

∂

∂θ

(

sinθ uθ

)

= 0.

5.4 Condizione iniziale e condizione al contorno

Le equazioni di Navier–Stokes sono delle equazioni differenziali alle derivate parzialie da sole non costituiscono ancora un problema completo. Infatti, come in qualunqueproblema differenziale, queste equazioni richiedono la specificazione di alcune con-dizioni supplementari per ottenere un problema ben posto, un problema cioe cheammetta una soluzione unica (in un senso opportuno) almeno nei casi piu semplici.

Come abbiamo gia accennato nel capitolo 3 sulle equazioni di Eulero incom-primibili, condizioni supplementari sono ad esempio necessarie per potere risolverequalunque problema di dinamica di un punto materiale. In questo caso la legge fonda-mentale della dinamicad2r/dt2 = f(r , dr/dt) e un’equazione differenziale ordinariadel secondo ordine per l’incognitar = r(t), che rappresenta il vettore posizione delcorpo, la cui soluzione richiede di specificare le duecondizioni iniziali r(0) = r0 edr(0)/dt = v0. Nel caso delle equazioni di Navier–Stokese invece necessario speci-ficare solouna condizione iniziale (vettoriale): lavelocita iniziale del fluido in ognipunto, ovvero,

u(r , 0) = u0(r),

doveu0(r) e un campo di velocita noto. In effetti, l’equazione evolutiva della velocitae del primo ordine nel tempo, dato che la posizione delle particelle del fluidoe estraneaalla descrizione euleriana del suo moto. Non esiste invece alcuna condizione inizialeper la pressione dato che non esiste un’equazione d’evoluzione per questa variabile, chenelle correnti incomprimibili sappiamo essere un semplicemoltiplicatore di Lagrange.E pertanto un errore volere specificare il campo di pressioneiniziale.

Ma le equazioni di Navier–Stokes, come quelle di Eulero, sono differenziali anchedal punto di vistaspaziale in quanto esse contengono anche le derivate rispetto allecoordinate spaziali: il gradiente, la divergenza, l’operatore di derivata direzionale masoprattutto l’operatore laplaciano. Come conseguenza, per ottenere un problema che



possa avere una sola soluzione, occorre specificare le opportunecondizioni al contorno.Il tipo di condizioni che possono o debbono essere fornite dipende dal tipo di equazionie dalla natura del contorno nel problema in esame.

Senza alcuna pretesa di analizzare questo aspetto in modo completo, nel caso delleequazioni per correnti incomprimibili di un fluido viscoso abbiamo una condizioneal contornovettoriale da imporre su tutta la frontiera del dominioV in cui si studiail moto del fluido. Questo deriva dal fatto che l’equazione della quantita di motoevettoriale e in essae presente il laplaciano dell’incognitau. La condizione al contornoconsiste allora nello specificare il vettore velocitau su tutta la frontieraS = ∂V e sarascritta nel modo seguente

u(r , t)|S = b(r S, t)

con r S ∈ S. Il valore al contorno b(r S, t) della velocita deve essere specificato perogni puntor S ∈ S e ogni istantet > 0, come rappresentato schematicamente nellafigura 5.7 riferita a un tipico problema di corrente attorno aun profilo alare. Si notiche la funzioneb(r S, t) e vettoriale e che la sua variabile spazialee indicata conr S perevidenziare che il dominio di tale variabilee limitato alla sola frontieraS, che nel casoin figura diventaS = Sest∪ Scorpo.

Figura 5.7 Dominio e condizioni alcontorno per una corrente incomprimibileviscosa

b(r S, t)

V

Sest

Scorpo

b = 0

b(r S, t)

La condizione al contorno per il vettore velocita e molto piu forte di quella cheestata usata nello studio delle correnti non viscose. La differenza fondamentalee chel’inclusione del termine viscoso nell’equazione della quantita di moto ha aumentatol’ordine dell’equazione differenziale alle derivate parziali di uno. Pertanto la veracondizione al contorno della realta fisicae inclusa nel modello di Navier–Stokes mentrenon poteva essere soddisfatta nel modello delle equazioni di Eulero.

Nel caso particolare in cui una parte del contorno coincide con un corpo solidofermo che non permette ne il passaggio del fluido attraverso la sua superficie ne loscivolamento del fluido su di esso, la condizione per la velocita su questa parte delcontorno diventa omogenea

u(r , t)|corpo fermo= 0.

Questa condizione al contorno include:

• La condizione di annullamento della componente tangente della velocita, che sichiama condizione al contorno diadesioneo di aderenza, in ingleseno slipcondition. Questa condizionee propria del modello fisico di fluido viscoso chenon permette uno slittamento del fluido sulle pareti dei corpi solidi e vale per ognifluido con viscositaν 6= 0, per quanto piccolo possa essere il valore diν.

• La condizione di annullamento della componente della velocita normale al corpo,detta dinon penetrazione, chee invece comune a qualunque modello di fluidoindipendentemente dal suo carattere viscoso o non viscoso.


ISBN XX-abc-defg-h PARAGRAFO 5.4: Condizione iniziale e condizione al contorno 117

Senza timore di essere ripetitivi, sottolineiamo che le condizioni supplementari sonoaltrettanto importanti delle equazioni differenziali chegovernano il moto del fluido. Inrealta, il tipo di condizioni chee lecito e necessario imporree legato strettamente allanatura delle equazioni differenziali stesse, sicche le condizioni iniziali e al contornopossono essere considerate come una parte integrante del sistema di equazioni darisolvere. Ad esempio, un elemento distintivo delle due equazioni di Navier–Stokese l’assenza di un termine con derivata temporale (prima) nella seconda equazione,cioe nella condizione d’incomprimibilita. Corrispondentemente, in questo sistema lapressione iniziale non puo essere imposta, anzi sarebbe sbagliato pensare di farlo.

Una volta completato dalle sue condizioni supplementari, iniziali e al contorno, ilsistema delle equazioni di Navier–Stokes costituira il seguenteproblema completo

∂u∂t

+ (u ·∇)u − ν ∇2u + ∇P

ρ= g,

∇· u = 0,

u(r , 0) = u0(r),

u(r , t)|S = b(r S, t).

I termini con il laplaciano della velocita e il gradiente della pressione sono scritti nelprimo membro dell’equazione perche le due variabiliu e P sono entrambe incognitedel sistema (la densitaρ e invece una costante nota).

Questo problema presenta la stessa situazione paradossaleche abbiamo incontratonel paragrafo 3.4 discutendo le equazioni di Eulero per correnti incomprimibili. Se icampiu(r , t) e P(r , t) soddisfano le equazioni e le condizioni del problema, e quindiforniscono una sua soluzione, allora anche la coppia [u(r , t), P(r , t)+C(t)], doveC(t)e una funzione arbitraria,e soluzione delle medesime equazioni e condizioni. Questosi verifica facilmente sostituendo questi campi nelle equazioni e nelle condizioni eosservando che∇C(t) = 0 in quanto la funzioneC(t) non dipende dar .

Pertanto, data una soluzione del problema delle equazioni di Navier–Stokes in-comprimibili, esistono infinite altre soluzioni che differiscono soltanto per il valoredi riferimento della pressione, valore che puo inoltre essere scelto arbitrariamente inogni istante. Come nel caso non viscoso, questa situazionee conseguenza dell’ipotesid’incomprimibilita, posta alla base del sistema di equazioni in esame, ma deriva anchedall’avere considerato un problema in cui la velocita (o meglio la sua componentenormale)e prescritta sututto il contornoS; quest’ultima situazionee tipica del motodi un fluido contenuto in una regione delimitata da pareti rigide (correnti confinate).

Dal punto di vista fisico, il valoreassoluto della variabile termodinamica pressionenon puo essere variato senza che questo si rifletta sulle altre variabili termodinamichedel fluido. Quindi siamo di fronte a un’incongruenza fra la descrizione teorica fornitadalle equazioni di Navier–Stokes per correnti incomprimibili e i principi della termo-dinamica. In effetti, come sie gia accennato nei paragrafi 2.4 e 2.5, l’introduzionedell’ipotesi d’incomprimibilita ha eliminato ogni considerazione termodinamica dalquadro descrittivo del moto del fluido. Pertanto il paradosso dell’arbitrarieta dellivello della pressione delle correnti incomprimibili in una regione confinatae una con-seguenza diretta dell’ipotesi d’incomprimibilita del fluido e questo paradosso scomparenell’ambito della dinamica dei fluidi comprimibili.

Notiamo infine che nei problemi in cui il fluido entra nel domino (correnti apertee correnti esterne)e possibile specificare il valore della pressione su una parte delcontorno al posto di quello della velocita normale. In questi casi il campo di pressionerelativo alla soluzione delle equazioni incomprimibili non risente piu dell’arbitrarietariscontrata nel caso delle correnti confinate. Inoltre il campo trovatoe definito univoca-mente in modo assoluto poiche la variabileP compare direttamente in una condizioneal contorno e non solo come argomento dell’operatore gradiente.



Condizioni di compatibilita dei e fra i dati

Analogamente a quanto visto nel paragrafo 3.4 per il problema incomprimibile di unfluido non viscoso, i dati delle condizioni supplementari iniziale e al contorno,u0(r) eb(r S, t), del problema incomprimibile viscoso considerato non possono essere asseg-nati in modo del tutto libero e indipendentemente l’uno dall’altro. Questa limitazionee del tutto evidente riguardo il campo della velocita inizialeu0 che, essendo la correnteincomprimibile, dovra necessariamente essere a divergenza nulla. In altre parole ilcampo di velocita inizialeu0(r) deve soddisfare la condizione di compatibilita

∇· u0(r) = 0.

Ma anche il dato al contornob(r S, t) non puo essere scelto in modo completamentearbitrario. Infatti, integrando su tutta la superficieS la componente normale dellavelocita b(r S, t) prescritta sul contorno, si ottiene immediatamente

∮

Sn · u(r , t)|S =

∮

Sn · b(r S, t),

per ogni istante di tempot > 0. D’altra parte, in virtu del teorema della divergenzal’integrale del primo membro si puo trasformare in un integrale di volume, ovvero,

∫

V∇· u(r , t) =

∮

Sn · b(r S, t),

e, siccome il campo della velocita deve essere a divergenza nulla∀t > 0, tale integralee nullo e quindi deve necessariamente essere

∮

Sn · b(r S, t) = 0

per ognit > 0. Questae una condizione di compatibilita globale che la componentenormale del dato al contornob(r S, t) deve rispettare per ognit > 0 affinche il campodi velocita possa soddisfare sempre il vincolo d’incomprimibilita.

Infine, esiste un’ulteriore condizione che esprime la compatibilit afra il dato inizialee il dato al contorno, suS e pert = 0, che ha la forma seguente

n · u0(r)|S = n · b(r S, 0),

e che risulta utile nello studio delle correnti attorno a corpi che partono in modoimpulsivo, argomento sul quale non ci soffermiamo.

L’insieme delle tre condizioni di compatibilita nel caso del problema viscosoequindi dato da

∇· u0(r) = 0,∮

Sn · b(r S, t) = 0,

n · u0(r)|S = n · b(r S, 0).

Nei problemi stazionari non esiste alcun dato iniziale e il valore prescritto sulcontorno per la velocita non dipende dal tempo, abbiamo cioeb = b(r S), per cui esistela sola condizione di compatibilita

∮

Sn · b(r S) = 0.


ISBN XX-abc-defg-h PARAGRAFO 5.5: Equazioni adimensionali: il numero di Reynolds 119

5.5 Equazioni adimensionali: il numero di Reynolds

Consideriamo una corrente incomprimibile attorno a un corpo di forma assegnataaventelunghezza caratteristica L e supponiamo che il fluido si muova con unavelocita caratteristico U . Ad esempio, se consideriamo la corrente attorno a unasfera,L potrebbe essere il raggio della sfera o anche il suo diametro, e U potrebbeessere la velocita del fluido all’infinito. Supponiamo inoltre di conoscere i valori ρ eµ della densita e viscosita del fluido utilizzato in un determinato esperimento. Nelleequazioni e nelle condizioni al contorno che governano la corrente compaiono quattroparametri:L , U, ρ eµ. A prima vista sembrerebbe necessario esaminare una serie dicasi, per valori diversi diL, poi di U , poi ancora diρ e cosı via, ma invece le cosenon stanno in questo modo. Tutte le correnti possibili differenti corrispondono a valoridifferenti di un solo parametro. Questoe un fatto generale di notevole importanza perle correnti viscose.

Una volta che sia stata stabilita la forma del corpo attorno al quale scorre il fluido,tutte correnti incomprimibili viscose possibili attorno atale forma costituiscono unafamiglia a un solo parametro di soluzioni. Ad esempio, la densita e la viscosita dinam-ica compaiono nell’equazione del momento della quantita di moto solo attraverso il lororapportoµ/ρ, che definisce la viscosita cinematicaν. Questo riduce a tre il numero diparametri indipendenti. Ma questa riduzione puo essere sviluppata ulteriormente medi-ante un processo nel quale le varie grandezze aventi le loro proprie dimensioni fisichevengono sostituite da variabili senza dimensioni (ovvero adimensionali) utilizzandoalcune grandezze di riferimento che definiscono le scale deal corrente considerata. Lascelta dei valori di riferimentoL e U determina una scala per la variabile temporaletmediante la relazione evidenteT = L/U .

Una volta introdotta le garndezze caratteristicheL e U , possiamo misurare legrandezzer , u e t ecome frazioni rispetto alle quantita caratteristiche, introducendo leseguentivariabili adimensionali:

r = rL

, t = t

T= Ut

L, u = u

U.

Per il teorema di derivazione delle funzioni composte, la derivata parziale rispetto altempo si trasformera nel modo seguente

∂

∂t= dt

dt

∂

∂ t= 1

T

∂

∂ t

dove il primo operatore agisce su una funzione delle variabili r e t mentre il secondoagisce su una funzione delle variabili adimensionalir e t . Analogamente, per la derivatarispetto allo spazio risulta

∇ = d rdr

∇ = 1

L∇,

dove∇rappresenta l’operatore gradiente rispetto alle coordinate adimensionali(x, y, z) =r . In modo simile, ricordando che∇2 = ∇·∇, l’operatore laplaciano si trasformeranel modo seguente

∇2 = 1

L2 ∇ 2.

Esprimiamo ora la velocita dimensionale, incognita originaria del problema incompri-mibile, in termini della corrispondente variabile adimensionale,u = U u, e sostituiamonell’equazione della quantita di moto (privata del termine di forza esternag):

1

T

∂(U u)

∂ t+ 1

L

(

(U u) ·∇)

(U u) − ν1

L2 ∇ 2(U u) + 1

L

∇P

ρ= 0.



Ricordando cheT = L/U abbiamo

U2

L

∂u∂ t

+ U2

L(u ·∇)u − ν

U

L2 ∇ 2u + 1

L

∇P

ρ= 0.

Moltiplicando tutti i termini perL/U2 si ottiene

∂u∂ t

+ (u ·∇)u − ν

LU∇ 2u + ∇P = 0,

dovee stata introdotta lapressione adimensionaleP = P/(ρU2). Il rapportoν/(LU )

e un numero puro (privo cioe di dimensioni) e il suo reciprocoe chiamatonumero diReynolds:

Re= LU

ν= ρLU

µ.

Esso permette di scrivere l’equazione della quantita di moto nella classica formaadimensionale

∂u∂ t

+ (u ·∇)u − 1

Re∇ 2u + ∇P = 0.

In pratica, una volta effettuata la riduzione alle variabili adimensionali e introdottoil numero di Reynolds, tutte le variabili indipendenti e le variabili incognite sonoscritte eliminando il simbolo tilde, per cui le equazioni di Navier–Stokes in formaadimensionale saranno scritte semplicemente

∂u∂t

+ (u ·∇)u − 1

Re∇2u + ∇P = 0,

∇· u = 0.

Per capire l’utilita del numero di Reynolds, consideriamo le correnti attorno adue sferedi raggi diversi, una corrente con una velocita U∞ = 50 m/s a grande distanza dauna sfera di raggioa = 4 cm e l’altra conU∞ = 100 m/s con raggioa = 2 cm. Sescegliamo comeL il raggioa e comeU la velocita all’infinito U∞, allora il numero diReynoldse lo stesso per entrambe le correnti. Le equazioni soddisfatte dalle variabiliadimensionali sono quindi identiche per le due correnti.

Due correnti con la stessa geometria e lo stesso numero di Reynolds sono dettesimili . Piu precisamente, consideriamo i campi di velocita dimensionaliu1 eu2 di duecorrenti nelle regioniV1 e V2 le quali sono in rapporto di scala secondo un fattoreλ,cosı cheL1 = λL2. Supponiamo di avere scelto il valoreU1 eU2 per ciascuna correntee che le viscosita cinematiche dei rispettivi fluidi sianoν1 eν2. Se accade che

Re1 = Re2 ovveroL1U1

ν1= L2U2

ν2,

allora i campi di velocita adimensionaliu1 e u2 soddisfano esattamente le stesseequazioni nella stessa regione (adimensionale). Pertantopossiamo concludere che ilcampo della velocita dimensionaleu1 puo essere ottenuto dalla soluzioneu2, opportu-namente riscalata, mediante la relazioneu1 = U1

U2u2: in altre parole le due velocita u1

e u2 sono simili. Questo risultatoe molto importante. Significa che possiamo deter-minare quale sia il moto di una corrente attorno a un’ala di aeroplano senza bisognodi costruire l’aeroplano e di provarlo. Possiamo invece realizzare un modello, tipica-mente di dimensione ridotta, dell’aeroplano ed effettuaredella misure utilizzando unavelocita che dia lo stesso numero di Reynolds.E questo il principio che permette diutilizzare i risultati delle misure in galleria del vento sumodelli di aeroplani o veicoli


ISBN XX-abc-defg-h PARAGRAFO 5.5: Equazioni adimensionali: il numero di Reynolds 121

per prevedere i valori delle grandezze corrisponendenti negli oggetti reali. Ricordiamoche abbiamo trascurato la comprimibilita del fluido per cui il numero di Reynoldse ilsolo parametro che rimane nelle equazioni adimensionali, altrimenti interverrebbe unsecondo numero adimensionale, dato dal rapporto della velocita di riferimentoU e lavelocita del suono nel fluido, chiamato numero di Mach, chee gia stato introdotto nelparagrafo 2.8. Pertanto, quando la velocita del fluidoe confrontabile con quella delsuono al suo interno, le correnti in due situazioni diverse saranno uguali quando sia iloro numeri di Reynolds sono uguali sia i loro numeri di Mach sono uguali nelle duesituazioni sperimentali.

Il significato fisico del numero di Reynolds Ree chiarito dal seguente ragion-amento. Notiamo che le derivate delle componenti diu, come ad esempio∂u/∂x ,saranno tipicamente di ordineU/L, ovvero la componenteu varia di una quantita diordineU su distanze di ordineL. Tipicamente queste derivate avranno a loro voltavariazioni di ordineU/L su distanze di ordineL, per cui le derivate seconde come∂2u/∂x2 saranno di ordineU/L2. Infine il termine non lineare, chiamato spesso anchetermineinerziale, avra variazioni di ordineU · U/L = U2/L. Si ottengono cosı leseguenti stime dell’ordine di grandezza dei due termini principali dell’equazione dellaquantita di moto:

termine non lineare : |(u ·∇)u| = O(

U2/L)

,

termine viscoso : |ν ∇2u| = O(

νU/L2).

Se queste stime sono valide, si deduce che

termine non lineare

termine viscoso= O

(

U2/L

νU/L2

)

= O

(

LU

ν

)

= O(Re).

Questo rapporto puo essere interpretato

Il numero di Reynoldse quindi importante perche da una stima indicativa dellagrandezza relativa dei due termini fondamentali dell’equazione della quantita di moto.Non sorprende pertanto che le correnti ad alto numero di Reynolds e quelle a bassonumero di Reynolds abbiano caratteristiche generali del tutto diverse.

Adimensionalizzazione alternativa

Esiste una scelta diversa della scala temporale per definireun tempo adimensionaleche conduce ad una forma alternativa delle equazioni di Navier–Stokes adimensio-nali. Invece del tempo di riferimentoL/U basato sulla lunghezza e sulla velocita diriferimento,e possibile prendere come scala temporale quella determinata dal fenomenodella diffusione viscosa della vorticita, chee data dal rapportoL2/ν. Questa scelta,assieme alle scale usualiL eU per le distanze e la velocita, e alla nuova scalaρνU/Lper la pressione, permette di definirenuove variabili adimensionali secondo lo schema

r = rL

, u = uU

, t = t/ L2

ν, P = P

/ρνU

L.

Esprimendo le grandezze e gli operatori dimensionali in termini delle nuove entitaadimensionali, l’equazione della quantita di moto diventa

νU

L2

∂u∂ t

+ U2

L

(

u ·∇)

u − νU

L2 ∇ 2u + νU

L2 ∇P = 0.

Moltiplicando la relazione perL2/(νU ) si ottiene

∂u∂ t

+ Re(

u ·∇)

u − ∇ 2u + ∇P = 0,

che rappresenta una forma adimensionale alternativa a quella classica scritta in prece-denza. Questa nuova formae piu comoda per analizzare il caso particolare di correntinelle quali gli effetti associati al termine non lineare sono trascurabili, ovvero quandosi considera il limite Re→ 0.



Nelle applicazioni sie molto interessati a correnti in cui il valore di Ree molto grande.Dobbiamo sottolineare che non si puo dire che “seν e piccolo allora gli effetti viscosinon sono importanti”, in quanto questo ragionamento non considera le altre dimensionidel problema. In altre parole, “ν e piccolo”e un’affermazione priva di significato fisicoa meno che non sia stata scelta qualche scala per la lunghezzae la velocita, mentre “1Ree piccolo”e un’affermazione avente significato.

Correnti ad alti numeri di Reynolds

Il caso Re≫ 1 corrisponde a una corrente di un fluido in cui gli effetti viscosisono trascurabili rispetto a quelli inerziali del termine non lineare. Per le correntiincomprimibili di un fluido non viscoso attorno a una sfera o aun cilindro calcolate nelcapitolo precedente il numero di Reynolds non puo essere definito, ma questi problemipossono essere considerati come il caso limite per Re→ ∞ eµ → 0. Tuttavia, anchecon Re molto grande sono comunque sempre presenti effetti viscosi localizzati in unostrato sottile di fluido vicino alla superficie del corpo e in una scia a valle di esso. Inqueste regioni il valore molto grande delle variazioni locali del gradiente della velocitarende il termine viscoso maggiore della stima considerata in precedenza. Nel capitolo6 si mostrera che lo spessore tipicoδ nello strato di fluido vicino al corpo, chiamatostrato limite e di ordine

δ

L∝ 1√

Re.

Tanto maggioree il numero di Reynolds tanto minoree lo spessore dello strato limite,secondo la relazione di ordine che si scrive anche comeδ/L = O

(

Re−1/2)

. poiche,

L√Re

1Re

Re

δ

Figura 5.8 Spessoreδ dello strato limitein funzione del numero di Reynolds

dopo il

Un numero di Reynolds elevatoe necessario per potere applicare la teoria dellecorrenti non viscose nella maggior parte del campo di moto, ma none sufficiente. Nellecorrenti i reali puo verificarsi il fenomeno dellaseparazione dello strato limitecon-sistente nella deviazione improvvisa delle linee di corrente dalla superficie del corpo.Quando questo accade, la corrente osservatae molto diversa da quella ricavabile dallateoria non viscosa e nel campo di moto dietro al corpoe presente unasciavorticosa.In effetti, ai numeri di Reynolds elevati le correnti stazionarie diventano spessoinsta-bili alle perturbazioni. Questa instabilita spessoe il preludio dellatransizione dellacorrente a un regimeturbolento. E stato proprio nel contesto dello studio dell’originedell’instabilita che Reynolds introdusse per primo il parametro adimensionale (numeropuro) che porta il suo nome.

Correnti con numero di Reynolds tendente a zero

Nelle correnti a basso numero di Reynolds si puo osservare un fenomeno molto inter-essante di reversibilita apparente del moto del fluido. Un esperimento che mostra talefenomemo consiste nel marcare con del colorante una porzione, ad esempio di formasferica, di un fluido trasparente, che riempie lo spazio compreso fra due superfici cilin-driche di raggio diverso. Il fluidoe inizialmente fermo e viene messo in movimentodalla lenta rotazione di una delle due superfici del contenitore, in modo che il numero diReynolds sia molto piccolo, dell’ordine di 10−2 o anche inferiore. Numeri di Reynoldsdi questo ordine si ottengono facilmente in fluidi molto viscosi, come ad esempio laglicerina e contraddistinguono campi di velocita estremamente regolari, per cui nonc’e alcun segno di disordine nel moto del fluido.

Nel corso dell’esperimento la sfera di fluido colorata si deforma progressivamentee si allunga fino a formare un nastro molto sottile, avvolto anche piu di una voltaintorno all’asse. Se, dopo alcuni giri, il cilindro viene fatto ruotare lentamente insenso contrario per lo stesso numero di giri fino a ritornare nella posizione iniziale, lasfera colorata si ricompone quasi nella stessa configurazione iniziale. Lareversibilitaquasi completa delle correnti a bassissimo numero di Reynolds aiuta a comprendere ilmodo di “nuotare” piuttosto insolito adottato da certi organismi microscopici, come adesempio gli spermatozoi.


ISBN XX-abc-defg-h PARAGRAFO 5.6: Soluzioni esatte per correnti stazionarie parallele 123

5.6 Soluzioni esatte per correnti stazionarie parallele

In questo paragrafo presentiamo alcune soluzioni analitiche delle equazioni di Navier–Stokes incomprimibili nel caso di correnti stazionarie e parallele. Una correntee dettaparallela se il vettore velocita ha la stessa direzione in ogni punto. Le soluzioni cheesamineremo risultano essere molto semplici in virtu della semplicita geometrica deicontorni che delimitano la regione occupata dal fluido e del carattere di tali regioniche si estendono all’infinito in una o due direzioni. Le equazioni di Navier–Stokes percorrenti incomprimibili e stazionarie sono

(u ·∇)u − ν ∇2u + ∇P

ρ= g,

∇· u = 0,

saranno risolte, una volta completate da opportune condizioni al contorno.

Equazioni del moto fra due lastre piane parallele

Il caso piu semplice di corrente incomprimibile viscosa descrivibile mediante unasoluzione analitica esatta delle equazioni di Navier–Stokes stazionariee la corrente diun fluido fra due lastre piane infinite, poste a distanzah fra loro, di cui una si muove convelocitaU costante e parallela alle lastre mentre l’altrae tenuta ferma (vedi figura 5.9).Consideriamo un sistema cartesiano con l’assex diretto nella stessa direzione dellavelocita della lastra in moto,U = U x, l’assey perpendicolare alle due lastre e l’originedel sistema posta in un punto qualunque della lastra ferma. Allora il piano y = 0coincide con la superficie della lastra ferma, mentre il piano y = h coincide con lasuperficie della lastra in moto.

U x

h

Figura 5.9 Regione della corrente fradue lastre piane parallele

Supponendo che il moto del fluido fra le due lastre sia bidimensionale, prenderemol’assez perpendicolare al piano del moto del fluido. In base alle condizioni di motodelle pareti che delimitano il fluido, si puo supporre che la velocita u abbia diversada zero solo la componentex . Assumeremo quindi che le variabili incognite delleequazioni di Navier–Stokes per la corrente piana stazionaria siano della forma

u(r) = [u(x, y), 0, 0] = u(x, y) x e P(r) = P(x, y).

Tali incognite dovranno allora essere soluzione del seguente sistema di equazioni indue dimensioni

(u ·∇)u − ν ∇2u + ∇P

ρ= 0,

∇· u = 0,

dove∇2 indica l’operatore di Laplace bidimensionale nel pianox-y e dove abbiamosupposto di potere trascurare l’effetto della forza di volume esternag eventualmentepresente. Nel caso in cui questa forza sia esprimibile mediante il gradiente di un’energiapotenziale, il suo effetto potrebbe comunque essere tenutoin conto come una semplicecorrezione esplicita della pressione.

Vediamo quali sono le conseguenze delle due equazioni e dell’ipotesi u(r) =u(x, y) x. Dalla condizione d’incomprimibilita si ottiene

∇· u = ∂u

∂x= 0,

per cui la velocita puo dipendere solo dalla coordinatay: u = u(y) e quindi avremou(r) = u(y) x. Allora, per quanto riguarda il termine convettivo non lineare, avremo

(u ·∇)u = (u(y) x ·∇)(u(y) x) = u(y)∂u(y)

∂xx = 0,



e quindi essoe nullo. Per quanto riguarda il termine viscoso avremo invece

∇2u =(

∂2

∂x2 + ∂2

∂y2

)

(u(y) x) = d2u(y)

dy2 x,

dove sie usata la notazione delle derivata ordinaria. Tenendo conto di questi risultati,l’equazione (vettoriale) della quantita di moto diventa quindi

νd2u

dy2 x − ∇P

ρ= 0 ⇐⇒

d2u

dy2 − 1

µ

∂ P

∂x= 0,

∂ P

∂y= 0.

nelle due funzioni incogniteu = u(y) e P = P(x, y), doveµ = ρ ν. La componentey di tale equazionee ∂ P

∂y = 0 per cui la pressione puo dipendere solo dalla coordinatax , ovvero deve essereP(x, y) = P(x), per cui l’equazione della componentex dellaquantita di moto diventa

d2u

dy2 − 1

µ

d P

dx= 0.

Questa equazionee del tipo f (y) − g(x) = 0. Ma x e y sono variabili indipendenti,ovvero devono potere variare in modo indipendente, la relazione puo essere soddis-fatta solo se le funzionif e g sono entrambe costanti e le due costanti coincidono.Introduciamo pertanto tale costante scrivendola comegradiente di pressione

GP =(d P

dx

)

cost

dove l’indice inferiorecost e usato per ricordare che la derivata della pressione none una funzione dix ma deve essere una costante. Un gradiente positivo (GP > 0)comporta una spinta sul fluido nel verso negativo dell’assex mentre un gradientenegativo (GP < 0) comporta una spinta nel verso positivo dell’assex : il fluido esempre spinto nella direzione in cuiP diminuisce. La pressione lungo l’intercapedinefra le due lastre avra quindi l’andamento lineare

P(x) = P0 + GP x,

doveP0 e una costante arbitraria, mentre la velocita u = u(y) fra le due piastre dovrasoddisfare l’equazione differenziale ordinaria

d2u

dy2 = GP

µ

assieme alle condizioni al contorno della velocita sulle due lastre.

Corrente di Couette piana

Supponiamo ora che non esista alcun gradiente della pressione nel fluido fra le duelastre per cuiG p = 0 e quindiP = costante e che inoltre le condizioni al contorno sianoquelle con la lastra inferiore ferma e quella superiore traslante con velocita orizzontaleU assegnata. In questo caso il problema da risolvere peru(y) e

d2u

dy2 = 0, u(0) = 0 e u(h) = U.

Integrando due volte l’equazione differenziale si ottieneimmediatamente

u(y) = Ay + B.



Imponendo prima la condizione al contorno sulla lastra ferma, u(0) = 0, si ottieneB = 0, e poi la condizione al contorno sulla lastra in moto,u(h) = U , si ottieneA = U/h, per cui la soluzionee

u(y) = Uy

h,

per 0≤ y ≤ h, ovvero un profilo di velocita lineare fra le due lastre. Questa correntesi chiamacorrente di Couette (piana)ede mostrata nella figura 5.10.

Figura 5.10 Campo di velocita dellacorrente di Couette (piana)

y

x

U

Calcoliamo ora il vettore sforzo viscoso nel fluido relativamente a superfici paralleleai piani delle lastre. Partiamo dalla relazione (vedi paragrafo 5.11)

sn = µ[

2(n ·∇)u + n×∇×u]

che esprime la forza per unita di area causato dall’attrito viscoso che il fluido dauna parte di una superficie esercita attraverso di essa sul fluido posto dall’altra parte,essendo la normalen diretta verso il fluido agente. Se consideriamo una superficieparallela ai piani delle lastre, la normale uscenten e uguale ay, avremo quindi

sy = µ[

2(y ·∇)(u(y) x) + y×∇×(u(y) x)]

= µ

[

2du(y)

dyx + y×

(

−du(y)

dy

)

z]

= µ

[

2du(y)

dyx − du(y)

dyx]

= µdu(y)

dyx.

Sostituendou(y) = U y/h si ottiene

sy = µU

hx,

per cui il vettore sforzosy tra le lastree uniforme e diretto parallelamente alle lastre nelladirezione della velocita, e sulla lastra superiore ha lo stesso valore, come si puo trovaredirettamente dalla relazioneslastra = −µ y × [∇×u] lastra. Il calcolo diretto fornisceslastra = −µ y ×[∇×(u(y) x)] y=h = −µ y ×[[∇u(y)] y=h

×x] = −µ Uh y ×[y ×x] =

µ Uh y × z = µ U

h x. La forza viscosa per unita di volume sara nulla in ogni punto delfluido.

Osservazione Il vettore sforzo appena calcolato,(µU/h) x, rappresenta la forzaesterna per unita di area che si deve applicare alla lastra superiore per riuscire amantenere il valoreU della sua velocita costante e quindi a mantenere la corrente diCouette fra le lastre. Una forza esterna, sempre per unita di area, uguale in modulo edirezione ma opposta in verso deve essere applicata alla lastra inferiore affinche rimangaferma contrastando l’azione della viscosita del fluido che tenderebbe a trascinarla indirezionex.



E importante osservare che la forza esterna agente sulla lastra superiore effettua unlavoro in quanto il suo punto di applicazione si sposta con lalastra. Quantitativamente,dall’esterno deve allora essere fornita una potenza per unita di area pari aµU2/haffinche la lastra superiore continui a mantenere il moto stazionario del fluido fra ledue lastre. Nasce a questo punto una domanda: dove finira l’energia spesa per fornirela potenza richiesta? La rispostae: “nel fluido viscoso” il quale aumenta la sua energiainterna e quindi la sua temperatura a causa dell’attrito interno dovuto alla viscosita delfluido.

Questo bilancio energetico indica che la descrizione del processo di riscaldamentodel fluido a causa dell’attrito viscoso rende necessario considerare il principio di con-servazione dell’energia. Formulando questo principio in forma locale, il riscaldamentointerno del fluido potrebbe allora essere descritto correttamente e quindi si potrebbeanche determinare le variazioni conseguenti della densita e del coefficiente di viscositaµ, che non potrebbero essere piu ritenuti costanti. In altre parole, verrebbero a cadere leipotesi che sono il fondamento del sistema di equazioni di Navier–Stokes per correntiincomprimibili con fluido di densita uniforme. Sarebbe pertanto necessario formu-lare un sistema di equazioni della fluidodinamica piu generale, chiamateequazioni diNavier–Stokes comprimibili o completeo ancheequazioni di Navier–Stokestoutcourt, che comprende, assieme all’equazione di conservazione della massa e a quelladella quantita di moto, anche l’equazione di conservazione dell’energia: questo sis-tema governa il moto dei fluidi comprimibili e viscosi e tuttele sue equazioni sono ingenerale accoppiate fra loro.

Viceversa, se si accetta l’ipotesi di corrente incomprimibile, il sistema di equazionidi Navier–Stokes che si studia in questo capitolo puo essere risolto indipendentementeda considerazioni relative all’energia interna del fluido:la distribuzione di questaenergia nello spazio e la sua variazione nel tempo puo essere infatti calcolata in unafase successiva, dopo avere determinato il campo di moto. Daun punto di vistasperimentale, affinche il modello semplificato di corrente incomprimibile possa essereadeguato sara necessario mettere all’esterno delle pareti che contengono il fluido uninsieme di apparati in grado di mantenere la sua temperaturacostante e uniforme inogni punto. Ad esempio, nel caso qui considerato di correnteincomprimibile fra duepareti, possiamo immaginare che esse siano mantenute a una determinata temperaturamediante un sistema di raffreddamento consistente in una corrente d’aria provocatada un ventilatore esterno. Il flusso dell’aria permette di evitare che l’energia internadel fluido fra le pareti continui ad aumentare e consente di smaltire verso l’esterno lapotenza spesa per mantenere in moto la lastra superiore contro la forza di frenamentodovuta alla forza viscosa. Nel seguito il nostro studio delle correnti incomprimibili sarasviluppato supponendo che la densita del fluido rimanga sempre esattamente uniforme.Come gia accennato, per questo tipo di correnti l’equazione della quantita di moto ela condizione d’incomprimibilta costituiscono un sistema di equazioni pari al numerodi incognite e quindi esso puo essere risolto, con le necessarie condizioni iniziali e alcontorno, prima di affrontare l’equazione che governa l’energia interna del fluido e checoinvolge anche le proprieta termodinamiche del fluido.

Corrente di Poiseuille piana

Esaminiamo ora il caso in cui fra le due lastre esiste un gradiente della pressione ilquale, come abbiamo visto, deve essere costante. Consideriamo dapprima la situazionepiu semplice, nella quale entrambe le lastre sono ferme. In questo caso il problema darisolveree

d2u

dy2 = GP

µ, u(0) = 0 e u(h) = 0,

con il parametroGP 6= 0 definito da

GP =(d P

dx

)

cost.



Integrando l’equazione si ha

u(y) = GP

2µy2 + Ay + B,

dove le costanti d’integrazione sono determinate dalle condizioni al contorno. Laprima condizione implica cheB = 0 e poi la seconda cheA = −GP h/(2µ) per cui lasoluzionee

u(y) = −GP h2

2µ

y

h

(

1 − y

h

)

,

per 0≤ y ≤ h. Il campo di velocita fra le lastre ferme ha quindi un profilo parabolicocome quello mostrato nella figura 5.11 nel casoGP < 0. Questo tipo di correnteechiamatocorrente di Poiseuille (piana).

Figura 5.11 Campo di velocita dellacorrente di Poiseuille (piana)

y

x0

h

Il vettore sforzo viscoso associato alla direzioney vale quindi

sy(y) = −µdu(y)

dyx = −GP h

2

(

1 − 2y

h

)

x,

e ha un andamento lineare cony: seGP < 0 il segno di questa grandezzae positivonella meta inferiore del canale e negativo nella meta superiore: cio corrisponde aun effetto frenante dei filetti di fluido piu vicini alle pareti su quelli piu lontani e alcontrario a un effetto accelerante di quelli piu vicini al centro del canale su quelli piulontani dal centro.

Il profilo di velocita puo essere espresso anche in forma adimensionale intro-ducendo una velocita di riferimento per la corrente considerata. Ad esempio si puoscegliere la velocita massima al centro del canale, ovvero,

umax = u(h/2) = −GP h2

8µ= − h2

8µ

(d P

dx

)

cost.

Introducendo la velocita adimensionaleu = u/umax e la coordinata verticale adimen-sionaley = y/h, la relazione del profilo di velocita in forma adimensionale diverra,molto semplicemente,

u(y) = 4y(1 − y), 0 ≤ y ≤ 1.

Corrente ibrida di Couette–Poiseuille

Veniamo infine al caso ibrido della corrente fra le due lastrepiane chee provocatadall’azione simultanea del moto della lastra superiore convelocita U e dalla presenzadi un gradiente di pressione (costante) in direzionex lungo lo spazio fra le lastre. Intale caso dobbiamo risolvere il seguente problema

d2u

dy2 = GP

µ, u(0) = 0 e u(h) = U,



con l’usuale significato dei simboli. La soluzionee

u(y) =[

U − GP h2

2µ

(

1 − y

h

)

]

y

h,

che, introducendo la velocita adimensionale (nuova)u = u/U e l’ordinata adimen-sionaley = y/h, puo essere espressa in forma adimensionale:

u(y) =[

1 − GP (1 − y)]

y, 0 ≤ y ≤ 1

Il parametro adimensionaleGP che appare in questa relazionee definito da

GP = GP h2

2µU= h2

2µU

(d P

dx

)

cost,

e rappresenta l’importanza relativa dei due termini responsabili della corrente ibrida,ovvero il gradiente della pressione e il moto della lastra:GP = 0 corrisponde adassenza di gradiente di pressione e quindi alla corrente di Couette,GP < 0 a ungradiente della pressione che spinge il fluido nello stesso verso della velocita U dellalastra, eGP > 0 a un gradiente di pressione che spinge il fluido in verso opposto almoto della lastra (vedi figura 5.12).

Figura 5.12 Profili della velocita u(y)

nella corrente piana di Couette––Poiseuille per valori diversi delparametro adimensionaleGP

y

x

U1

GP = 12 9 6 3 1 0 −1 −3 −6 −9 −12

corrente inversa

Puo essere interessante sapere per quale valore del parametroGP l’effetto della pres-sione con gradiente positivo, che quindi spinge il fluido nelverso negativo dell’assex ,riesce a provocare una corrente in verso opposto al moto della lastra, almeno in unaparte del canale.

Dalla figura 5.12 si nota che tale corrente inversa sara possibile solo a partireda quel valore diGP per il qualee nulla la pendenza del profilo di velocita sullasuperficie della lastra inferiore. Esprimendo la condizione in forma adimensionaledu(y)/d y = 0, abbiamo

1 − GP (1 − 2y) = 0,

che pery = 0 fornisceGP = 1. Quindi perGP > 1 esistono regioni di corrente inversavicino alla lastra ferma e la loro estensione cresce al diminuire di GP . Fisicamente unaregione di corrente inversa esiste quando la forza viscosa per unita di volumee superatadalgradiente di pressione avversoo adverso, cioe con la pressione che aumenta nellaverso positivo della corrente.

In modo simmetrico, si puo verificare che perGP < −1 la velocita nella zonasuperiore del canalee maggiore della velocita della lastra.



Corrente di Poiseuille in un tubo di sezione circolare

La presenza di un gradiente di pressione costante in un fluidoe in grado di provocareun moto in una sola direzione anche quando il fluidoe confinato all’interno di untubo rettilineo di sezione costante. Il caso piu semplice e anche piu rilevante per leapplicazionie quello di un tubo di sezione circolare il cui raggio indicheremo cona.Consideriamo la situazione ideale in cui il tubo abbia lunghezza infinita e introduciamoun sistema di coordinate cilindriche con l’assez coincidente con l’asse del tubo, comemostrato nella figura 5.13.

Figura 5.13

Tubo rettilineo di sezione circolare

z

a

Il moto stazionario del fluido sara governato dalle seguenti equazioni e condizioni alcontorno

(u ·∇)u − ν ∇2u + ∇P

ρ= 0,

∇· u = 0,

u|R=a = 0,

dove il vettore velocita e tutti gli operatori sono espressi in coordinate cilindriche.

Data la geometria assisimmetrica, possiamo supporre che lavelocita soluzionedel problema abbia solo la componente assialeuz e che non dipenda dalla variabileangolareθ , per cui scriveremo

u(r) = uz(R, z) z,

e similmente per il campo della pressione

P(r) = P(R, z).

In altre parole stiamo cercando una soluzione stazionaria che sia invariante per rotazioniattorno all’assez. La condizione d’incomprimibilita, unita all’ipotesi di campo divelocita unidirezionale, implica che

∇· u = ∂uz(R, z)

∂z= 0,

per cuiuz non dipende daz, ovvero risultau(r) = uz(R) z. Il termine non linearedell’equazione della quantita di moto per la corrente unidirezionalee nullo anche incoordinate cilindriche in quanto

(u ·∇)u =(

uz(R) z ·∇)(

uz(R) z)

= uz(R)∂uz(R)

∂zz = 0.

Riguardo al termine viscoso si vede subito che

∇2u = ∇2(uz(R) z)

=(

∇2uz(R))

z = 1

R

d

dR

(

Rduz

dR

)

z.



Le variabili incogniteuz(R) e P(R, z) devono quindi soddisfare l’equazione dellaquantita di moto

− ν

R

d

dR

(

Rduz

dR

)

z + ∇P

ρ= 0,

conuz(R) soggetta alla (sola) condizione al contorno

uz(a) = 0.

La componente in direzioneR dell’equazione della quantita di motoe semplicemente

∂ P

∂ R= 0

per cui la pressioneP(R, z) puo dipendere solo dalla coordinata assiale:P = P(z). Diconseguenza, l’equazione della componente lungoR della quantita di moto si scrivera

− ν

R

d

dR

(

Rduz

dR

)

+ 1

ρ

d P

dz= 0.

Questa equazionee della forma− f (R) + g(z) = 0 per cui, essendoR e z variabiliindipendenti, richiede che le funzionif eg siano entrambe costanti e che le due costanticoincidano. Pertanto la pressioneP(z) deve avere un gradiente assialecostante escriveremo quindi

P(z) = P0 + GP z,

dove abbiamo introdotto il parametro (costante)

GP =(d P

dz

)

cost.

Si noti che perGP < 0 il fluido e spinto nel verso positivo dell’assez. La differenza dipressioneP(z2) − P(z1) fra due punti diversiz1 e z2 lungo il tubo si chiamaperditadi carico. Il termine “perdita” indica proprio il fatto che la pressione diminuisce nelladirezione in cui scorre il fluido.

Con la definizione del parametroGP , il problema per la velocita assialeuz(R)

assume quindi la forma

1

R

d

dR

(

Rduz

dR

)

= GP

µ, uz(a) = 0.

Non deve destare troppa sorpresa che l’equazione differenziale del secondo ordine siacompletata da una sola condizione al contorno, poiche l’estremoR = 0 dell’intervallo0 ≤ R ≤ a in cui si cerca la soluzione non rappresenta un contorno sul quale la velocitapossa essere prescritta. In altre parole, il valoreuz(0) e un elemento della soluzioneche deve emergere dal procedimento di risoluzione dell’equazione. Verifichiamo secio accada effettivamente. Moltiplicando l’equazione perR 6= 0 si ottiene

d

dR

(

Rduz

dR

)

= GP

µR,

che puo essere integrata immediatamente una volta, fornendo

Rduz

dR= GP

2µR2 + A,



dove A e la costante di integrazione. Dividendo ora perR 6= 0 si ottiene l’equazionedel primo ordine

duz

dR= GP

2µR + A

R,

che si integra ancora immediatamente:

uz(R) = GP

4µR2 + A ln R + B,

dove B e la seconda costante d’integrazione. Ecco il punto: la prima costanteAdeve essere nulla affinche la soluzione sull’assez sia limitata. Imponendo infine lacondizione al contornouz(a) = 0 si ottieneB = −GP a2/(4µ) per cui la soluzionee

uz(R) = −GP a2

4µ

(

1 − R2

a2

)

,

per 0≤ R ≤ a, avente un profilo parabolico chee chiamatacorrente di Poiseuilleneltubo a sezione circolare. La velocita massimae raggiunta sull’asse del tubo e vale

umaxz = uz(0) = −GP a2

4µ= − a2

4µ

(d P

dz

)

cost.

La velocita media〈uz〉 su tutta la sezione del tubo si ottiene integrando la velocitauz(R) su tutta l’area della sezione del tubo:

〈uz〉 = 1

πa2

∫ 2π

0

∫ a

0−GP a2

4µ

(

1 − R2

a2

)

R dR dθ

= − GP

4πµ2π

∫ a

0

(

R − R3

a2

)

dR

= −GP

2µ

[

R2

2− R4

4a2

]∣

∣

∣

∣

a

0= −GP a2

8µ=

umaxz

2.

Determiniamo la portata in massa P.M., detta ancheportata massica, che passa neltubo. Essendo la velocita diretta lungo l’assez, si deve calcolare l’integrale del flussosu tutta la superficie circolareS della sezione del tubo. Questo integralee lo stesso,a meno di un fattore, di quello appena calcolato per determinare la velocita media,per cui, invece di ripetere i calcoli precedenti, possiamo trovare la portata utilizzandol’espressione della velocita media〈uz〉 e tenendo conto che la densita del fluidoecostante:

P.M. = ρ〈uz〉πa2 = −ρGPa2

8µπa2 = −πGPa4

8ν.

La relazione finale

P.M. = −πGPa4

8ν.

e nota con il nome dilegge di Poiseuille.

Determiniamo ora la forza agente sul tubo in conseguenza della corrente diPoiseuille che scorre al suo interno. In base alla relazioneper correnti incompri-mibili ss = −µ [ns

×∇×u]|s dedotta nel paragrafo 5.11, dovens indica il versorenormale alla superficie del tubo e diretto verso il fluido, avremo

stubo = µ R×∇×u|tubo,



essendontubo = −R. Un calcolo diretto fornisce

stubo = µ R×

[

−duz(R)

dR

]

|R=aθ = −GP R

2 |R=az = −GPa

2z.

La forza per unita di lunghezza si ottiene integrando questa espressione lungo lacirconferenza della sezione del tubo:

Fz = −∫ 2π

0

GP a

2a dθ = −πa2GP .

Se il gradiente della pressionee negativo,GP < 0, allora il segno diFz e positivo:cio e corretto in quanto il fluido si muove lungo il tubo nel verso positivo dell’asseze quindi la forza che agisce sul tubo a causa della viscosita del fluido in moto ha lostesso verso della corrente.

Corrente lungo un piano inclinato causata dalla gravita

Consideriamo un altro caso di corrente unidirezionale, ma provocato questa voltadall’azione della forza gravitazionale agente sul fluido. Supponiamo di avere un pianoinfinito inclinato di un angoloα rispetto al piano orizzontale e che uno strato di unfluido viscoso di spessore uniformeh si trovi sopra il piano inclinato. Vogliamodeterminare il moto stazionario del fluido sempre nell’ipotesi che la corrente possaessere considerata incomprimibile. Introduciamo un sistema cartesiano con l’assexdiretto come la direzione di pendenza massima sul piano inclinato e con verso positivodiretto verso il basso, per cui l’assex forma un angoloα con il piano orizzontale, comemostrato nella figura 5.14.

Figura 5.14 Corrente stazionaria consuperficie libera lungo un piano inclinato

α

x

y

g u(y)h

Prendiamo l’assey in direzione perpendicolare al piano inclinato e con verso positivoal di sopra di tale piano, e scegliamo la posizione dell’origine in modo che la superficiedel piano inclinato in contatto con il fluido corrisponda ay = 0. La direzione dell’assez sara allora orizzontale, perpendicolare al piano della figura ediretta verso il lettore.Studiamo il movimento discendente del fluido supponendo cheil suo campo di velocitasia piano e quindi appartenente al pianox-y. Supponiamo infine che il campo di motodella corrente considerata dipenda solo dalla coordinatay normale al piano, ovvero

u(r) = [u(y), v(y), 0] = u(y) x + v(y) y,

mentre la pressionee supposta essere indipendente solo dalla terza coordinataz:

P(r) = P(x, y).

Sul fluido agisce la forza di volume esterna dovuta alla presenza del campo di gravitaterrestre. Tale forza (per unita di volume)e data dal vettore campo di gravitazionegche sara espresso nel sistema cartesiano inclinato appena introdotto dalla relazione

g = g sinα x − g cosα y.



Le equazioni di Navier–Stokes che governano il moto stazionario di un fluido viscososono:

(u ·∇)u − ν ∇2u + ∇P

ρ= g,

∇· u = 0,

Notiamo subito che la condizione d’incomprimibilita

∇· u = ∂u(y)

∂x+ ∂v(y)

∂y= dv(y)

dy= 0

implica chev = costante e, in virtu della condizione al contorno di non penetrazionev(0) = 0 sulla superficie del piano inclinato,v = 0, identicamente.

Essendo allora la corrente unidirezionale conu(r) = u(y) x, il termine non lineare(u·∇)u e nullo. Se teniamo poi conto della forma del termine viscosoe delle componentidel campo di gravita, l’equazione della quantita di moto assumera la forma

−νd2u

dy2 x + ∇P

ρ= g sinα x − g cosα y.

Scrivendo esplicitamente le due componenti cartesiane di questa equazione abbiamo

−νd2u

dy2 + 1

ρ

∂ P

∂x= g sinα,

1

ρ

∂ P

∂y= −g cosα.

La seconda di queste equazioni si integra immediatamente

P(x, y) = −ρg cosα y + f (x),

dove f (x) e una funzione dix da determinare.

Consideriamo ora la superficie superiore dello strato di fluido. Essae in realta unasuperficie di separazione fra il fluido che scorre sul piano inclinato e l’aria soprastante.In generale, la superficie di separazione fra due fluidi differenti e non miscibili, come,ad esempio, acqua e olio oppure acqua e aria, si chiamasuperficie di interfaccia.La presenza di una superficie di questo tipo introduce delle difficolt a matematiche nelproblema fluidodinamico che vanno oltre i limiti dello studio affrontato in questo testo.Infatti, la forma della superficie di interfaccia e il suo movimento non sono noti edevono essere determinati come parte della soluzione del problema. La posizione deipunti della superficie rappresenta quindi un’incognita supplementare che, per esseredeterminata, richiede di imporre un numero di condizioni alcontorno doppio rispettoalle condizioni sui contorni ordinari, quali, ad esempio, la parete di un corpo o ilcontorno a grande distanza da esso. Nelle correnti viscose,le condizioni al contorno suuna superficie interfaccia consistono nella continuita sia della velocita sia del vettoresforzo totale (di pressione e viscoso) associato alla direzione normale alla superficiestessa.

Nel caso della corrente lungo il piano inclinato,e pero possibile una semplifi-cazione drastica rispetto al caso generale, per due ragioni. In primi luogo, i valoridella densita e della viscosita dell’aria sono molto minori di quelli relativi al liquidoche scorre sul piano inclinato e questo permette di trascurare l’inerzia e la viscositadell’aria rispetto a quelle del liquido. Si parla allora disuperficie libera, invece disuperficie d’interfaccia, perche il problema si riduce a determinare solo il moto delfluido piu denso mentre la presenza dell’altro influisce solo attraverso l’azione dellasua pressione. Il secondo elemento di semplificazione nel problema in esame derivadal fatto che la forma della superficie liberae un piano chee a una distanza notah dalpiano inclinato. Per quanto riguarda le condizioni della velocita, none piu possibileimporre la continuita della componente tangente avendo considerato non viscosoilfluido superiore mentre la componente normalee nulla in tutto il campo di moto perl’ipotesi di corrente unidirezionale. Per quanto riguardainvece le condizioni sul vettoresforzo, la continuita della componente normale equivale alla continuita della pressione

P(x, h) = Patm,



dove Patm rappresenta la pressione atmosferica, e la continuita della componente tan-gente corrisponde all’annullamento della componente di taglio del vettore sforzo vis-coso sulla superficie libera del fluido:

µdu(h)

dy= 0.

In particolare, la prima condizione permette di trovare la “funzione d’integrazione”f (x) giacche abbiamo

P(x, h) = −ρg cosα h + f (x) = Patm,

da cui seguef (x) = costante= ρgh cosα + Patm, per cui il campo di pressione dellacorrente dipendera solo day e sara dato da

P(y) = Patm + (ρg cosα) (h − y), 0 ≤ y ≤ h.

Essendo quindi∂ P/∂x = 0, la prima equazione si semplifica in

d2u

dy2 = −g sinα

ν,

ede corredata da due condizioni al contorno: la prima di adesione del fluido sul pianoinclinato e la seconda di annullamento sulla superficie libera della componentex delvettore sforzo viscososy, ovvero,

u(0) = 0 edu(h)

dy= 0.

La soluzione si calcola facilmente prima integrando l’equazione differenziale due volte,da cui si ricava

u(y) = −g sinα

2νy2 + Ay + B,

e poi imponendo le due condizioni al contorno per determinare le costanti di inte-grazione,B = 0 e A = gh sinα/ν, ottenendo

u(y) = g sinα

2νy(2h − y), 0 ≤ y ≤ h.

Il profilo della velocita e quindi parabolico e raggiunge la velocita massima sullasuperficie libera. La portata volumetrica di fluido lungo il piano inclinato, per unita dilunghezza nella direzionez, e data dall’integrale

P.V. =∫ h

0u(y) dy = gh3

3νsinα.

5.7 Corrente di Stokes attorno a una sfera

Determiniamo ora la corrente incomprimibile stazionaria attorno a una sfera investitada un fluido con velocita uniforme a grande distanza da essa nel caso limite Re=0. Con l’espressione “Re= 0” non si intende naturalmente dividere per zero iltermine viscoso delle equazioni di Navier–Stokes adimensionali, bensı considerare unacorrente a velocita tanto piccole da potere trascurare il termine non lineare quadraticonell’equazione della quantita di moto. Nell’ambito di questa approssimazione, il campodi velocita u(r) e il campo di pressioneP(r) della corrente incomprimibile sarannosoluzione delle seguenti equazioni stazionarie, scritte in forma dimensionale,


ISBN XX-abc-defg-h PARAGRAFO 5.7: Corrente di Stokes attorno a una sfera135

Figura 5.15

Sfera immersa in una corrente

− µ ∇2u + ∇P = 0,

∇· u = 0,

chiamateequazioni di Stokes (stazionarie). Esse sono completate dalla sola con-dizione al contorno per la velocita che, nel caso della corrente uniforme attorno a unasfera di raggioa, assumera la forma

u(r)||r |=a = 0 e lim|r |→∞

u(r) = U.

Ricerchiamo una soluzione assisimmetrica e utilizziamo unsistema di coordinatesferiche(r, θ, φ) con origine nel centro della sfera e con l’assez nella stessa direzionedella velocita del fluido all’infinito, talche U = U z. Allora il campo di velocita avrasolo le componenti radiale e azimutale ed esse saranno indipendenti dall’angoloφ, percui avremo

u(r, θ) = [ur (r, θ), uθ (r, θ), 0] e P = P(r, θ).

Le equazioni di Stokes sonolineari e quindi sono piu facili da risolvere rispettoa quelle di Navier–Stokes, ma presentano la medesima difficolta di ogni problemaincomprimibile dovuta all’accoppiamento fra le incognitevelocita e pressione per cuie necessario risolvere assieme tutte le equazioni del sistema. Nel caso delle coordinatesferiche esiste poi un ulteriore accoppiamento fra le componenti del vettore velocita acausa della natura dal termine viscoso. Si nota infatti che il laplaciano di un campovettoriale in queste coordinate non ha un’azione indipendente sulle componenti delvettore velocita. Per queste ragioni, essendo il problema bidimensionale in virtudell’ipotesi di assisimmetria della corrente, affronteremo in un primo momento ilproblema introducendo lafunzione di corrente di Stokes sfericaΨ (r, θ) che nepermette una formulazione in termini di una sola incognita scalare. Le componentidella velocita possono essere definite tramiteΨ (r, θ) mediante le relazioni

ur = 1

r2 sinθ

∂Ψ

∂θe uθ = − 1

r sinθ

∂Ψ

∂r,

cosı che la condizione d’incomprimibilita∇· u = 0 risulta soddisfatta identicamente

1

r2

∂

∂r

(

1

sinθ

∂Ψ

∂θ

)

+ 1

r sinθ

∂

∂θ

(

−1

r

∂Ψ

∂r

)

= 1

r2 sinθ

(

∂2Ψ

∂r ∂θ− ∂2Ψ

∂θ ∂r

)

= 0,

per l’uguaglianza delle derivate seconde miste. Un calcolodiretto mostra cheLa velocita e contenuta nei pianimeridiani per cui il suo rotoreeperpendicolare a tali piani edesempre diretto come il versoreφ.

∇×u = − 1

r sinθD

2Ψ φ,



doveφ rappresenta il versore tangente alle circonferenze con centro sull’assez e dovee stato introdotto l’operatore differenziale del secondo ordine

D2 ≡ ∂2

∂r2 + sinθ

r2

∂

∂θ

(

1

sinθ

∂

∂θ

)

.

In virtu dell’identita differenziale∇×∇×u = −∇2u + ∇(∇· u) e della condizioned’incomprimibilita∇· u = 0 per cui∇×∇×u = −∇2u, l’equazione della quantita dimoto puo essere scritta anche nella forma

µ ∇×∇×u + ∇P = 0

chee piu conveniente per calcolare il termine viscoso in funzione della variabile scalareΨ . Infatti, ricordando l’espressione di∇×u appena ricavata e calcolando il suo rotorein coordinate sferiche, si ottengono le componenti radialee θ dell’equazione

µ

r sinθ

∂

∂θ

(

−1

rD

2Ψ

)

+ ∂ P

∂r= 0 ⇒ − µ

r2 sinθ

∂

∂θ

(

D2Ψ

)

+ ∂ P

∂r= 0,

−µ

r

∂

∂r

(

− 1

sinθD

2Ψ

)

+ 1

r

∂ P

∂θ= 0 ⇒ µ

sinθ

∂

∂r

(

D2Ψ

)

+ ∂ P

∂θ= 0.

Differenziando la prima equazione rispetto aθ e la seconda rispetto ar , si puo eliminarela pressione ottenendo una sola equazione per l’incognitaΨ :

∂2

∂r2

(

D2Ψ

)

+ sinθ

r2

∂

∂θ

(

1

sinθ

∂

∂θ

(

D2Ψ

)

)

= 0,

ovvero

[

∂2

∂r2 + sinθ

r2

∂

∂θ

(

1

sinθ

∂

∂θ

)]

(

D2Ψ

)

= 0.

Ricordando la definizione dell’operatoreD2 , l’equazione assume la forma

D2 (

D2Ψ

)

= 0,

e si constata che ee un’equazione alle derivate parziali di quarto ordinebiarmonica.Pertanto la semplificazione di sostituire tre equazioni accoppiate per le incogniteur , uθ

e P con una singola equazione per la sola incognita scalareΨ e possibile al prezzo diun aumento dell’ordine del problema differenziale. L’equazione trovata deve poi esserecompletata con le condizioni al contorno. Osserviamo che per un’equazione ellitticadi quarto ordine (come l’equazione presente) si devono fornire due condizioni sututto il contorno. In effetti nel problema fluidodinamico assisimmetrico la condizioneal contorno per la velocita consiste effettivamente in due condizioni scalari per ledue componenti della velocita e quindi abbiamo un numero corretto di condizioni alcontorno per la variabileΨ .

La forma esplicita di tali condizioni si ottiene sfruttandola definizione dellecomponenti della velocita in termini diΨ . Sulla superficie della sfera si annullano siala componente normale, per cui(∂Ψ/∂θ)|r=a = 0, sia la componente tangente, percui (∂Ψ/∂r)|r=a = 0. La prima condizione, integrata lungo la superficie, equivale aΨ|r=a = costante, dove la costante puo essere presa nulla, per cui scriveremo la coppiadi condizioni sulla superficie della sfera nel modo seguente

Ψ (a, θ) = 0,∂Ψ (a, θ)

∂r= 0, 0 ≤ θ ≤ π.



Per imporre la condizione di velocita uniforme a grande distanza dalla sfera si deveprima ricavare la funzione di corrente sferica relativa al campo uniformeU z. Eimmediato verificare cheΨuniforme = 1

2Ur2 sin2θ e quindi la condizione al contornoperr → ∞ e

limr→∞

Ψ (r, θ) =(

limr→∞

12Ur2

)

sin2θ, 0 ≤ θ ≤ π,

che risulta essere l’unica condizione al contorno diversa da zero.

Il problema per l’incognitaψ e lineare per cui ammette una sola soluzione equesta puo essere determinata cercando una funzione che soddisfa l’equazione e le suecondizioni al contorno. La condizione asintotica perr → ∞, chee l’unico dato nonomogeneo del problema, suggerisce di ricercare la soluzione nella forma di prodottodi due funzioni di una sola variabile, del tipof (r) g(θ), in cui la funzionef abbia unadipendenza dar da determinare e la funzioneg abbia la stessa dipendenza dall’angoloθ della corrente uniforme, ovverosia:

Ψ (r, θ) = f (r) sin2θ.

Sostituendo questa espressione nell’equazione perΨ si ottiene l’equazione, sempredifferenziale del quarto ordine, ma ora ordinaria:

(

d2

dr2 − 2

r2

)2

f = 0,

che si potrebbe anche battezzare“trionfo del 2”. Le condizioni al contorno perf (r)

saranno le seguenti

f (a) = 0, f ′(a) = 0, limr→∞

f (r) = 12Ur2.

L’equazione differenziale dif e equidimensionale o di Eulero e le sue soluzioni sonoricercate nella formaf (r) = rα, doveα e un esponente da determinare. Sostituendoquesto tipo di soluzione nell’equazione si ottiene l’equazione caratteristica

[(α − 2)(α − 3) − 2][α(α − 1) − 2] = 0,

che si fattorizza completamente in

(α − 4)(α − 1)(α − 2)(α + 1) = 0.

Le radici sono quindiα = 4, 2, 1,−1, per cui la soluzione generale sara la combi-nazione lineare

f (r) = Ar4 + Br2 + Cr + D

r.

La condizione all’infinito implicaA = 0 e B = 12U , per cui abbiamo

f (r) = U

2r2 + Cr + D

r.

Per imporre le condizioni sulla sfera dobbiamo calcolare laderivata di f (r), ovvero:

f ′(r) = Ur + C − D

r2 ,

e quindi le condizioni perr = a forniscono il seguente sistema lineare di due equazioninelle incogniteC e D

C + D

a2 = −Ua

2,

C − D

a2 = −Ua.



La soluzione del sistemae C = −3Ua/4 e D = Ua3/4 per cui la soluzionedell’equazione differenziale ordinariae

f (r) = U

4

(

2r2 − 3ar + a3

r

)

,

mentre quella dell’equazione alle derivate parzialie

Ψ (r, θ) = U

4

(

2r2 − 3ar + a3

r

)

sin2θ.

Un calcolo diretto fornisce le componenti della velocita

ur (r, θ) = U

(

1 − 3a

2r+ a3

2r3

)

cosθ,

uθ (r, θ) = −U

(

1 − 3a

4r− a3

4r3

)

sinθ.

Il campo di velocita in un semipiano assialee rappresentato nella figura 5.16.

Figura 5.16 Campo di velocita dellacorrente di Stokes attorno a una sfera

z

Si noti la forte riduzione della velocita vicino alla sfera in conseguenza della condizioneal contorno di velocita nulla sulla sua superficie. Questo andamentoe molto diverso daquello della corrente incomprimibile non viscosa calcolato nel paragrafo 4.4 mostratonella figura 4.3.

Il campo di pressione si ottiene prendendo una delle due equazioni contenentile derivate della pressione e sostituendo in essa la soluzione Ψ (r, θ). La sempliceintegrazione fornisce

P(r, θ) = P∞ − 3

2

µUa

r2 cosθ,

doveP∞ e la pressione (arbitraria) lontano dalla sfera. Nella figura 5.17 sono disegnatele linee di livello (curve isobare) del campo della pressione della corrente di Stokes at-torno alla sfera, avendo assunto convenzionalmenteP∞ = 0, per comodita. Le isobarenella regione a sinistra, da dove proviene la corrente, corrispondono a valori positivi diP − P∞, mentre quelle nella regione dietro la sfera rispetto alla corrente corrispondonoa valori negativi. L’asimmetria del campo di pressione fra la regione anteriore e quellaposteriore della corrente attorno alla sferae una caratteristica della corrente di Stokes, ecostituisce una differenza fondamentale fra la corrente irrotazionale attorno a una sferastudiata nel paragrafo 4.4 e quella relativa a un fluido realeviscoso, nel caso in cui lavelocitaU della corrente rispetto alla sfera sia molto piccola (corrente di Stokes).



y

x

U

∆P > 0 ∆P < 0

Figura 5.17 Isobare della corrente stazionaria diStokes attorno a una sfera

z

∆PU

Figura 5.18 Rappresentazione 3D del campo dipressione della corrente di Stokes attorno a una sfera.

Per comprendere ancora piu chiaramente le caratteristiche del campo di pressione dellacorrente di Stokes attorno a una sfera, nella figura 5.18 si fornisce una rappresentazionetridimensionale della funzioneP(r, θ) − P∞; le curve disegnate sulla superficie sonole isobare. Notiamo che l’andamento spezzato della superficie in corrispondenza dipunti del pianox-y vicini alla circonferenzar = a (ovvero vicino alla superficie dellasfera)e un artefatto della discretizzazione usata dal programma che genera il disegno.Per completezza, sulla superficie sono disegnate anche le curve isobare. Il disegnomostra chiaramente l’esistenza della sovrapressione nella regione a monte della sferae della depressione nella regione a valle.

Nella figura 5.19 si mostra l’andamento della pressione sulla superficie della sfera,ovvero il grafico della funzioneP(a, θ) − P∞ = −3

2µUa cosθ .

Figura 5.19 Andamento della pressionesulla superficie di una sfera nella correntedi Stokes

P(a, θ)

−1.5

−1.0

−0.5

0.5

1.0

θ

14π 1

2π 34π π

Legge della resistenza di Stokes

Una quantita molto importantee la forza resistente, in inglesedrag, agente sullasfera che sara indicata con il simboloD. Per calcolare questa grandezzae necessarioconoscere, oltre alla pressione sulla superficie della sfera, anche il vettore sforzo viscoso

sn = µ n×∇×u|sfera

associato alla direzione normalen entrante nella sfera, la corrente incomprimibile,ovverosia, essendon = −r ,

ssfera= −µ r ×∇×u|sfera.



E evidente chessferar = 0 e anchessfera

φ = 0, essendo∇×u diretto comeφ, come visto

in precedenza. Dunquer ×∇×u sara diretto comeθ . Determiniamo allora l’unicacomponente dissferadiversa da zero

ssferaθ = −µ (r ×∇×u)θ |sfera= −µ

[

−1(∇×u)φ]∣

∣

sfera.

Il calcolo esplicito della componenteφ della vorticita fornisce

ssferaθ = µ

1

r

[

∂(ruθ )

∂r− ∂ur

∂θ

]

|r=a

= µ U

r

[

−(

1 + a3

2r3

)

sinθ +(

1 − 3a

2r+ a3

2r3

)

cosθ

]

|r=a

= −µ U

(

3a

2r2

)

|r=asinθ = −3µ U

2asinθ.

Per simmetria la forza netta sulla sfera sara in direzione della corrente uniforme.Indichiamo cont il vettore sforzo totaletsfera = −Psferar + ssfera

θ θ , comprendenteanche la pressione, sulla superficie della sfera. La componentez di t e

tz = tr cosθ − tθ sinθ = −Psferacosθ − ssferaθ sinθ,

da cui, valutando le funzioni perr = a, si ottiene

tz =(

−P∞ + 3µU

2acosθ

)

cosθ + 3µU

2asinθ sinθ

= −P∞ cosθ + 3µU

2a.

La forza resistente agente sulla sferae quindi data dall’integrale doppio

D =∫ 2π

0

∫ π

0tz a2 sinθ dθ dφ

= 2πa2∫ π

0

(

−P∞ cosθ + 3µU

2a

)

sinθ dθ

= 3πµUa∫ π

0sinθ dθ,

essendo nullo l’integrale del termine con la pressioneP∞. Il calcolo dell’ultimointegrale e il ripristino della natura vettoriale delle grandezze in gioco conducono allafamosalegge della resistenza di Stokes

D = 6πµa U.

Questa leggee valida per una sfera immersa in una corrente chee uniforme a grandedistanza da essa e vale per numeri di Reynolds bassi. Questo risultato e soventeespresso in termini di uncoefficiente di resistenza, chee una quantita adimensionaledefinita da

CD = |D|12ρ U2A

,

dove A = πa2 rappresenta l’area frontale della sfera. Allora la legge diStokes per lasferae espressa in forma adimensionale dalla relazione

CD = 24

Re,



dove il numero adimensionale della corrente attorno alla sferae basato sul diametro ede quindi definito da Re= 2aUρ/µ. Questo risultatoe mostrato nella figura 5.20 cheriporta l’andamento qualitativo del coefficiente di resistenza misurato negli esperimential variare del numero di Reynolds per la corrente attorno a una sfera. Notare cheentrambe le scale del disegno sono logaritmiche. In tutto l’intervallo dei numeri diReynolds la relazioneCD = 24/Re e la sola soluzione esistente in forma chiusaanalitica. Essa vale per numeri di Reynolds bassi, per i quali le forze viscose sonomolto maggiori del termine non lineare; gli esperimenti mostrano che questo risultatoe valido solo per Re< 1. La curva punteggiata nella figura 5.20 si riferisce alla leggedi StokesCD = 24/Re che vale solo per numeri di Reynolds piccoli.

Figura 5.20 Coefficiente di resistenza diuna sfera immersa in una correnteuniforme in funzione del numero diReynolds basato sul diametro

CD

10−1

1

10

102

Re10−1 1 10 102 103 104 105 106 107

Stokes

Risoluzione mediante le variabili primitive

Il problema di Stokes per la corrente stazionaria di un fluidoviscoso attorno a unasfera puo essere affrontato anche partendo direttamente dalle equazioni per le variabiliprimitive velocita e pressione, che qui scriviamo per comodita nella forma seguente:

−ν∇2u + ∇p = 0,

∇· u = 0,

dove p = P/ρ eν = µ/ρ , completate dalle condizioni al contormo

u(r)||r |=a = 0 e lim|r |→∞

u(r) = U,

per la corrente uniforme che investe una sfera di raggioa. Come in precedenza,ricerchiamo una soluzione assisimmetrica attorno all’asse passante per il centro dellasfera e parallelo alla direzione della velocita uniformeU del fluido a grande distanzadal corpo. Introduciamo un sistema di coordinate sferiche(r, θ, φ) con il centronell’origine della sfera e con l’assez avente la stessa direzione e lo stesso verso delvettoreU. Il campo di velocita ha quindi solo le componenti radiale e azimutale edesse saranno indipendenti dall’angoloφ, per cui le incognite del problema hanno laseguente forma

u(r, θ) = [ur (r, θ), uθ (r, θ), 0] e p = p(r, θ).

La soluzione assisimmetrica dipende solo dalle due variabili r e θ per cui possiamorappresentare le variabili incognite del problema ricorrendo ai polinomi di LegendrePℓ(z), conz = cosθ , nel modo seguente

ur (r, θ) =∞∑

ℓ=0

uℓ(r) Pℓ(cosθ),

uθ (r, θ) =∞∑

ℓ=1

vℓ(r)d Pℓ(cosθ)

dθ,

p(r, θ) =∞∑

ℓ=0

pℓ(r) Pℓ(cosθ).



Si deve notare che l’espansione della componente angolareuθ della velocita nonebasata direttamente sui polinomi di Legendre ma su delle funzioni che sono la loroderivata prima (rispetto aθ ), per cui la sommatoria corrispondente parte dall’indice 1invece che da 0. Ricordiamo inoltre che il polinomio di Legendre Pℓ(z) di ordineℓ esoluzione dell’equazione differenziale

d

dz

[

(

1 − z2) d Pℓ

dz

]

+ ℓ(ℓ + 1) Pℓ = 0.

Scritta in termini della variabile angolareθ = cos−1 z l’equazione differenziale assumela forma seguente

1

sinθ

d

dθ

[

sinθd Pℓ(cosθ)

dθ

]

+ ℓ(ℓ + 1) Pℓ(cosθ) = 0.

Esprimiamo ora le equazioni differenziali del problema conle relative condizioni alcontorno in termini delle espansioni introdotte per ottenere le equazioni differenziali(ordinarie) che governano i coefficientiuℓ(r), vℓ(r) e pℓ(r). In questa riduzioneutilizzeremo la proprieta di ortogonalita dei polinomi di Legendre, ovverosia

∫ 1

−1Pℓ(z) Pk(z) dz = 2

2ℓ + 1δℓ,k,

e di ortogonalita della loro derivata prima:

∫ 1

−1

(

1 − z2)d Pℓ(z)

dz

d Pk(z)

dzdz = 2ℓ(ℓ + 1)

2ℓ + 1δℓ,k .

Partiamo dalla condizione d’incomprimibilita ∇· u = 0 che, nel caso assisimmetricoconsiderato, diventa

1

r2

∂

∂r

(

r2ur)

+ 1

r sinθ

∂

∂θ

(

sinθ uθ

)

= 0.

Sostituendo le due espansioni diur (r, θ) e uθ (r, θ) e sfruttando l’equazione soddis-fatta daPℓ(cosθ), la condizione d’incomprimibilita si riduce al seguente insieme diequazioni differenziali ordinarie del primo ordine

1

r2

d

dr

(

r2uℓ

)

− ℓ(ℓ + 1)vℓ

r= 0,

per i coefficientiuℓ(r) e vℓ(r), conℓ = 1, 2, . . . . Si noti che perℓ = 0 il coefficientev0(r) non esiste e l’equazione precedente implica l’annullamento del solo primo ter-mine, da cui segueu0(r) = C/r2 e quindi, in assenza di sorgenti di massa,C = 0 percui u0(r) = 0.

Un calcolo diretto permette inoltre di trovare, sempre considerando il caso assisim-metrico e sfruttando le equazioni appena scritte esprimenti l’equazione che esprime lacondizione d’incomprimibilita, le espressioni del campo della vorticitaω = ∇×u

ω =∞∑

ℓ=1

D2ℓ [ruℓ]

ℓ(ℓ + 1)

d Pℓ(cosθ)

dθφ

e del laplaciano del campo di velocita a divergenza nulla,∇2u = −∇×∇×u,

∇2u =∞∑

ℓ=0

D2ℓ [ruℓ]

rPℓ(cosθ) r +

∞∑

ℓ=1

1

r

d

dr

[

r D2ℓ [ruℓ]

ℓ(ℓ + 1)

]

d Pℓ(cosθ)

dθθ ,



dovee stato introdotto l’operatore differenziale del secondo ordine

D2ℓ = 1

r

d2

dr2

(

r . . .)

− ℓ(ℓ + 1)

r2 .

Grazie all’ortogonalita dei polinomi di Legendre e dei polinomi costituiti dalla loroderivata, le due componenti dell’equazione della quantita di moto conducono alseguente sistema

dpℓ

dr= ν

D2ℓ [ruℓ]

r,

pℓ = ν

ℓ(ℓ + 1)

d

dr

[

r D2ℓ [ruℓ]

]

, ℓ > 0.

Perl = 0 la prima equazione diventa

dp0

dr= ν

D20[ru0]

r= 0

dato cheu0 = 0 e quindi il coefficientep0 del primo modo della pressionee unacostante (arbitraria).

Perℓ = 1, 2, . . . , si puo eliminare l’incognitapℓ dal sistema di due equazioni e siottiene un’equazione solo per la componente radiale della velocita

D2ℓ D2

ℓ [ruℓ] = 0, ℓ = 1, 2, . . . ,

del quarto ordine (sorpresa?). In vritu della forma dell’operatoreD2ℓ questa equazione

e di tipo equidimensionale o di Eulero. Ricercando soluzioni del tipo rα, un calcolodiretto, benche un po’ noioso, conduce all’equazione caratteristica

α(α − 1)(α − 2)(α − 3) + 8α(α − 1)(α − 2)

+ 2[6 − ℓ(ℓ + 1)] α(α − 1) − 4ℓ(ℓ + 1)α

− ℓ(ℓ + 1)[2 − ℓ(ℓ + 1)] = 0,

che si fattorizza nel modo seguente

(α − ℓ − 1)(α − ℓ + 1)(α + ℓ)(α + ℓ + 2) = 0.

Le quattro soluzioni dell’equazione caratteristica sono quindi

α = ℓ + 1, ℓ − 1, −ℓ, −ℓ − 2.

La soluzione dell’equazione differenzialee pertanto

uℓ(r) = Aℓ rℓ+1 + Bℓ rℓ−1 + Cℓ r−ℓ + Dℓ r−ℓ−2, perℓ = 1, 2, . . . .

Le quattro costanti di ogni modo sono determinate imponendole condizioni al contorno.Per il problema assisimmetrico considerato la condizione al contorno sulla sferae

u(a, θ) = 0 ossia ur (a, θ) = 0 e uθ (a, θ) = 0,

mentre a grande distanza da essa si deve imporre la condizione

limr→∞

u(r, θ) = U = U (cosθ r − sinθ θ).

Per i coefficienti dell’espansione la condizione sulla sfera diventa

uℓ(a) = vℓ(a) = 0, ∀ℓ,



mentre la condizione all’infinito, esaminando la sola componente radiale, fornisce leseguenti condizioni

limr→∞

u1(r) = U e limr→∞

uℓ(r) = 0, perℓ ≥ 2,

dato cheP1(z) = z. Le condizioni asintotiche diuℓ(r), per tutti gliℓ ≥ 1, richiedonoche siano nulle tutte le potenzer k con k ≥ 1, per cui deve essereAℓ = 0 per ogniℓ ≥ 1 e il primo termine della soluzionee sempre assente. Scriveremo quindi

uℓ(r) = Bℓ rℓ−1 + Cℓ r−ℓ + Dℓ r−ℓ−2, perℓ = 1, 2, . . . .

Le stesse condizioni asintotiche richiedono poiB1 = U Bℓ = 0 perℓ ≥ 2. A questopunto riscriviamo la soluzione di tutti i modi conℓ ≥ 1 della velocita radiale separandoil modo conℓ = 1 da tutti i rimanenti, nella seguente maniera:

u1(r) = U + C1

r+ D1

r3 ,

uℓ(r) = Cℓ r−ℓ + Dℓ r−ℓ−2, perℓ = 2, 3, . . . .

Consideriamo per primo il modo conℓ = 1 e calcoliamo la velocita angolare corrispon-dentev1(r) mediante l’equazione che rappresenta la condizione d’incomprimibilita:

v1(r) = 1

2r

d

dr

[

r2(

U + C1

r+ D1

r3

)]

= 1

2r

d

dr

[

Ur2 + C1r + D1

r

]

= 1

2r

[

2Ur + C1 − D1

r2

]

= U + C1

2r− D1

2r3 .

Imponendo le due condizioni al contorno sulla sferau1(a) = 0 ev1(a) = 0 otteniamoil seguente sistema lineare

C1

a+ D1

a3 = −U,

C1

a− D1

a3 = −2U,

avente per incognite i due coefficientiC1 e D1. La soluzione di questo sistemaeC1 = −3

2Ua, D1 = 12Ua3 per cui avremo

u1(r) = U

(

1 − 3a

2r+ a3

2r3

)

.

Determiniamo infine i coefficientiCℓ e Dℓ, di tutte le altre componenti conℓ ≥ 2.Valutiamo prima la componente angolarevℓ della velocita di questi modi ricorrendodi nuovo alle equazioni derivate dalla condizione d’incomprimibilit a. Con un calcoloanalogo al precedente si ottiene

vℓ(r) = 1

ℓ(ℓ + 1)

[

(−ℓ + 2)Cℓ r−ℓ − ℓDℓ r−ℓ−2], perℓ ≥ 2.

Imponendo le condizioni al contornouℓ(a) = 0 e vℓ(a) = 0 si ottiene ancora unsistema di due equazioni:

a−ℓCℓ + a−ℓ−2Dℓ = 0,

(−ℓ + 2)a−ℓCℓ − ℓa−ℓ−2Dℓ = 0.


ISBN XX-abc-defg-h PARAGRAFO 5.8: Corrente attorno a un cilindro: paradosso diStokes 145

Il sistemae omogeneo e con determinante uguale a−2a−2ℓ−2, quindi sempre diversoda zero, per cui la soluzione unica del sistemae la soluzione trivialeCℓ = Dℓ = 0, perℓ ≥ 2. Pertantouℓ(r) ≡ 0, perℓ ≥ 2. In conclusione, risulta

ur (r, θ) = u1(r) P1(cosθ) = U

(

1 − 3a

2r+ a3

2r3

)

cosθ.

Dall’equazione che esprime la condizione d’incomprimibilita per il primo modo edall’equazione che fornisce i coefficienti dell’espansione della pressione possiamoinfine dedurre la soluzione completa del problema:

ur (r, θ) = U

(

1 − 3a

2r+ a3

2r3

)

cosθ,

uθ (r, θ) = −U

(

1 − 3a

4r− a3

4r3

)

sinθ,

P(r, θ) = P∞ − 3

2

µUa

r2 cosθ,

doveP∞ e il valore (arbitrario) della pressione lontano dalla sfera. Il campo di vorticitadella corrente di Stokese

ω(r, θ) = −3Ua

2r2 sinθ φ.

5.8 Corrente attorno a un cilindro: paradosso di Stokes

La soluzione appena ottenuta della corrente uniforme attorno a una sfera per Re= 0non ha una controparte in due dimensioni per la corrente attornoa un cilindro infinito.Dimostriamo questo risultato negativo cercando di risolvere le equazioni di Stokes perla corrente uniforme attorno a un cilindro di sezione circolare.

Invece di risolvere le equazioni aventi come incognite le variabili velocita e pres-sione, riformuliamo il problema di Stokes stazionario per una corrente piana in terminidelle variabili incognite vorticita (scalare)ω e funzione di correnteψ . Consideriamol’equazione della quantita di moto bidimensionale per Re→ 0

−µ ∇2u + ∇P = 0,

e prendiamone il rotore. Poiche ∇×∇s = 0 per qualunque funzione scalares, iltermine della pressione sparisce e otteniamo la seguente equazione scalare per lavorticitaω = z · ∇×u

∇2∇×u = 0 ⇒ ∇2ω = 0,

dove∇2 e l’operatore laplaciano in due dimensioni. D’altra parte,comee stato mostratonel paragrafo 3.9, l’equazione che governa la funzione di correnteψ e

−∇2ψ = ω,

per cui nel sistema di due equazioni si puo eliminare la variabile vorticita e ottenereuna sola equazione per la funzione di corrente

∇2(∇2ψ)

= 0,

chee di quarto ordine ede chiamataequazione biarmonica.



Essendo interessati alla corrente attorno a un cilindro di sezione circolare, esprimiamol’equazione biarmonica in coordinate cilindriche/polari:

[

1

R

∂

∂ R

(

R∂

∂ R

)

+ 1

R2

∂2

∂θ2

]2

ψ = 0.

Questa equazionee corredata dalle condizioni al contorno perψ che impongonol’annullamento della velocita sulla superficie del cilindro e la velocita uniformeU xa grande distanza. Quest’ultima condizione significa cheψ(R, θ) → ψuniforme =U R sinθ per R → ∞, per cui ricerchiamo una soluzione del tipo

ψ(R, θ) = f (R) sinθ, 0 ≤ θ < 2π,

dove f (R) → U R perR → ∞. Sostituendo questa forma della soluzione nell’equazionebiarmonica, si ottiene la seguente equazione differenziale ordinaria di quarto ordine:

[

1

R

d

dR

(

Rd

dR

)

− 1

R2

]2

f = 0.

Questae un’equazione equidimensionale o di Eulero e la ricerca delle soluzioni partico-lari della forma di potenzeRα, con esponenteα da determinare, conduce all’equazionecaratteristica di quarto grado

(

α2 − 1)(

α2 − 4α + 3)

= 0,

che si fattorizza in modo completo in

(α − 3)(α − 1)2(α + 1) = 0.

Le radici sonoα = 3, 1,−1, conα = 1 radice doppia. Nel caso di radice doppia,l’equazione equidimensionale ammette oltre alla soluzione Rα anche la soluzioneRα ln R, come mostrato nell’appendice C nel caso dell’equazione disecondo ordine.Nel caso dell’equazione di quarto ordine si puo anche verificare direttamente cheRα ln R e una sua soluzione. Quindi la soluzione generale dell’equazionee

f (R) = AR3 + B R + C R ln R + D

R,

con A, B, C e D costanti da determinare. La condizione asintoticaf (R) → U R perR → ∞ implica cheA = 0, B = U e C = 0, per cui la soluzione si riduce a

f (R) = U R + D

R,

e la soluzione dell’equazione biarmonica originaria puo essere espressa come

ψ(R, θ) =(

U R + D

R

)

sinθ.

Rimangono da imporre le condizioni al contorno sulla superficie del cilindro. Questecondizioni richiedono che sia la componente tangente sia lacomponente normaledella velocita si annullino sul cilindro, ovvero che perR = a si abbia∂ψ/∂ R = 0e ∂ψ/∂θ = 0. Dal momento che∂ψ(a, θ)/∂θ deve annullarsi per tutti valori diθ , la condizione sulla componente normale della velocita e equivalente a richiederecheψ(a, θ) = costante, dove la costante puo essere presa uguale a zero. Quindi lecondizioni sulla superficie del cilindro richiedono

ψ(a, θ) = 0 e∂ψ(a, θ)

∂ R= 0, 0 ≤ θ < 2π,

e quindi in termini della funzionef (R):

Ua + D

a= 0 e U − D

a2 = 0.


ISBN XX-abc-defg-h PARAGRAFO 5.9: Soluzioni esatte per correnti parallele dipendenti dal tempo 147

E evidente che non esiste alcuna scelta della costanteD nella soluzione che possasoddisfare simultaneamente queste due condizioni al contorno. Se avessimo imposto ledue condizioni sul cilindro per prime, avremmo scoperto cheera impossibile soddisfarela condizione a grande distanza dal cilindro. Concludiamo pertanto che non esistealcuna soluzione delle equazioni di Stokes stazionarie in due dimensioni che possasoddisfare le condizioni al contorno sia sul cilindro sia a grande distanza da esso.L’inesistenza di una tale soluzionee nota comeparadosso di Stokes: esso rivela cheil trascurare il termine non lineare dell’equazione della quantita di moto costituisceun’approssimazione inaccettabile per riuscire a descrivere la corrente di un fluidoviscoso attorno a un corpo cilindrico di lunghezza infinita.L’esistenza di una soluzionedel problema della corrente uniforme a Re= 0 attorno a una sfera ma non attorno aun cilindro e comunque un’altra manifestazione del fatto che la presenza della sferamodifica il moto uniforme del fluido in modo molto minore di un cilindro, come giaosservato nel caso non viscoso nei paragrafi 4.4 e 4.5.

Notiamo comunque che la soluzione del problema della corrente stazionaria in-comprimibile viscosa attorno a un cilindro invece esiste quando si mantiene il terminenon lineare. In questo caso pero le equazioni di Navier–Stokes sono non lineari epossono essere risolte normalmente solo mediante tecnichedi tipo numerico.

Figura 5.21 Coefficiente di resistenza diun cilindro circolare immerso in unacorrente uniforme in funzione del numerodi Reynolds basato sul diametro

CD

1

10

102

103

Re10−2 10−1 1 10 102 103 104 105 106

5.9 Soluzioni esatte per correnti parallele dipendenti dal tempo

Consideriamo la corrente incomprimibile di un fluido viscoso con un campo di velocitapiano e avente in ogni punto la medesima direzione. Un semplice esempio di unacorrente bidimensionalee il moto di fluido vicino a una lastra piana che si muove nelsuo stesso piano.

Scegliamo un sistema di coordinate cartesiane con la direzione dell’assex coin-cidente con quella della velocita e l’assey pure appartenente al piano del campo divelocita. Scriveremo allora le equazioni di Navier–Stokes non stazionarie per correntibidimensionali

∂u∂t

+ (u ·∇)u − ν ∇2u + ∇P

ρ= 0,

∇· u = 0,

doveu(r) = u(x, y, t) = u(x, y, t) x, P = P(x, y, t) e gli operatori∇ e ∇2 rapp-resentano il gradiente e il laplaciano nelle coordinate delpianox-y. Come gia vistonel paragrafo 5.6 per la corrente stazionaria, la condizione d’incomprimibilita implicau(x, y, t) = u(y, t), il termine non linearee nullo e quello viscoso contiene solo lacomponentex . Le equazioni che governano il campo di moto si riducono quindi allasola equazione vettoriale

∂u

∂tx − ν

∂2u

∂y2 x + ∇P

ρ= 0.



La componentey di tale equazionee semplicemente

∂ P

∂y= 0,

da cui segue immediatamente cheP = P(x, t). L’equazione della componentexdiventa quindi

∂u

∂t− ν

∂2u

∂y2 + 1

ρ

∂ P

∂x= 0,

nelle due funzioni incogniteu = u(y, t) e P = P(x, t), dove si deve notare ladiversita delle loro rispettive variabili spaziali,y e x , sicche l’equazione risulta esseredel tipo F(x, t) + G(y, t) = 0, dove la funzioneF comprende i primi due terminidell’equazione e la funzioneG corrisponde al terzo termine. Con un ragionamentoanalogo a quello utilizzato nel metodo di separazione dellevariabili possiamo dedurreche entrambe le funzioniF e G devono dipendere esclusivamente dalla variabiletemporalet e che queste due funzioni dit devono essere una l’opposta dell’altra,ovverosiaF(x, t) = C(t) e G(x, t) = −C(t). Pertanto l’equazione della componentex della quantita di moto diventa:

∂u

∂t− ν

∂2u

∂y2 = C(t) e1

ρ

∂ P

∂x= −C(t),

doveC(t) e una funzione da determinare. La soluzione dell’equazioneper la pressionee immediataP(x, t) = C(t) x + Prif (t), dove la “costante” d’integrazionePrif (t)e arbitraria, conformemente alla natura indeterminata della variabile pressione neiproblemi incomprimibili. La funzioneC(t) e invece associata alla presenza di ungradiente uniforme della pressione lungo la direzione della velocita. Questo gradientesara causato da dei sistemi esterni, ad esempio una pompa, la cuiintensita potra esserevariabile nel tempo secondo l’andamento della funzioneC(t). Per ogni funzioneC(t)assegnata esternamente, la corrispondente velocita u(y, t) del fluido sara la soluzionedell’equazione di diffusione non omogeneain una dimensione

∂u

∂t− ν

∂2u

∂y2 = C(t),

con le opportune condizioni iniziali e al contorno.

Traslazione istantanea di una lastra piana

Consideriamo ora la corrente incomprimibile di un fluido viscoso vicino a una lastrapiana chee accelerata improvvisamente da ferma e che si muove parallelamente a sestessa con velocita costanteU . E questo il cosiddettoprimo problema di StokesSupponiamo che il moto del fluido sia causato solamente dal moto della lastra, ovveroche il gradiente della pressione sia nullo, per cui la velocitau(y, t) soddisfa l’equazionedi diffusione omogeneain una dimensione

∂u

∂t− ν

∂2u

∂y2 = 0.

Il fluido occupa tutto il semispazioy > 0 ede inizialmente fermo per cui la condizioneiniziale e

u(y, 0) = 0, y > 0.

Supponiamo che la lastra sia messa in movimento al tempot = 0 con una velocita Ue che questa velocita sia poi mantenuta sempre costante. A causa della condizione diadesione, le particelle di fluido in contatto con la lastra simuoveranno immediatamentecon la velocitaU e le condizioni al contorno, sulla lastra e all’infinito, saranno allora

u(0, t) = U, limy→∞

u(y, t) = 0, t > 0.



Il problema per la velocita u cosı formulato si chiamaprimo problema di Stokes.Il problemae costituito dall’equazione di diffusione, chee un’equazione differenzialealle derivate parziali di tipoparabolico, corredata da una condizione iniziale e da duecondizioni al contorno. La risoluzione del problema consiste nella determinazionedi una funzione di due variabiliu = u(y, t) che soddisfi identicamente l’equazionedifferenziale nel quadrante(y > 0, t > 0) del pianospazio-temporale, chiamato anchepiano cinematico. La soluzione deve inoltre soddisfare la condizione iniziale u = 0sul semiasse positivo(y > 0, t = 0) e le condizioni al contornou = U e u = 0 suidue contorni spaziali(y = 0, t > 0) e (y → ∞, t > 0) del quadrante. Si noti che lacondizione inizialee una sola, in quanto l’equazione di diffusione contiene la derivataprima rispetto al tempo, mentre le condizioni al contorno sono due in conformita conil fatto che la derivata rispetto alla variabile spazialey e una derivata seconda. Questoproblema di Stokese in effetti identico al problema della diffusione dell’energia internain una bacchetta solida lunga e sottile che conduce il calore, quando la temperatura diun’estremita e fatta variare istantaneamente da zero a un altro valore e poi mantenutasempre costante a quel valore.

Il problema alle derivate parziali per la velocitau presenta una caratteristica moltoimportante che ne permette la riduzione a un problema differenziale piu semplice.Infatti, l’enunciato del problema, o piu precisamente tutti i suoi elementi costitutivi,ovvero l’equazione, la condizione iniziale, le condizionial contorno ed eventualmente iltermine di sorgente (qui assente),non contengono ne alcuna lunghezza di riferimento nealcun intervallo temporale di riferimento. Cio suggerisce la possibilita che la soluzionedel nostro problema vari cony e t solo attraverso una combinazione opportuna diqueste variabili e non in modo completamente indipendente.In altre parole, mancandonell’enunciato del problema una lunghezza di riferimento eun tempo di riferimento, lasoluzione potra avere una dipendenza day solo se essa implica anche una dipendenzadat “collegata”.

Per individuare il tipo di legame esistente tra le variabiliindipendenti dellasoluzione particolare ricercata, si procede introducendoun cambiamento di variabiliconsistente in una loro semplicedilatazione, ovvero uncambiamento di scala, deltipo

y → Y = αy e t → T = βt,

e poi si cerca una relazione fra i parametri positiviα eβ che lasci invariata l’equazionedifferenziale. Indichiamo la soluzione rispetto alle nuove variabili indipendenti(Y, T )

con la lettera maiuscolaU (da non confondere con il valore della condizione al contornoconsiderato in precedenza), per cui avremo

u(y, t) = U (Y, T ) = U (αy, βt).

Possiamo allora sostituire nell’equazione di diffusione ottenendo

∂u

∂t− ν

∂2u

∂y2 = ∂U (αy, βt)

∂t− ν

∂2U (αy, βt)

∂y2

= ∂U

∂T

d(βt)

dt− ν

∂

∂y

(

∂U

∂Y

d(αy)

dy

)

= β∂U

∂T− να

∂

∂y

(

∂U

∂Y

)

.

Calcolando infine la derivata seconda si ottiene

∂u

∂t− ν

∂2u

∂y2 = β∂U

∂T− να

∂2U

∂Y 2

d(αy)

dy

= β∂U

∂T− να2 ∂2U

∂Y 2 .



Si osserva che seβ = α2 allora risulta

∂u

∂t− ν

∂2u

∂y2 = α2[

∂U

∂T− ν

∂2U

∂Y 2

]

,

ovvero la trasformazione delle variabili

y → Y = αy e t → T = α2t

lascia invariata l’equazione di diffusione. Cio indica la possibilita che esistanosoluzioni dell’equazione che siano funzioni diy et semplicemente attraverso la singolacombinazioney2/t . Infatti la trasformazione di variabili(y, t) → (Y, T ) = (αy, α2t)implica cheY 2/T = (αy)2/(α2t) = α2y2/(α2t) = y2/t , e quindi anche la “variabilecombinata” rimane invariata a seguito di una tale trasformazione. Naturalmenteedel tutto equivalente considerare la variabiley/

√t . Inoltre, e conveniente avere una

variabileadimensionale, per cui si puo ricorrere alla costanteν, che ha le dimensionidi una lunghezza al quadrato diviso un tempo, e considerare la combinazioney/

√νt .

Introduciamo allora lavariabile di similarit a adimensionale

η = η(y, t) = y√νt

e cerchiamo quindi una soluzione dell’equazione di diffusione avente forma seguente

u(y, t) = F(η) = F(η(y, t)).

Questa scelta implica per la soluzione un passaggio da una dipendenza diretta dallevariabili y et a una dipendenza indiretta dalle stesse variabili attraverso la sola funzioneη(y, t). Per il teorema di derivazione delle funzioni composte abbiamo

∂u

∂t= ∂ F(η(y, t))

∂t= F ′(η)

∂η

∂t= − y

2t√

νtF ′,

∂u

∂y= ∂ F(η(y, t))

∂y= F ′(η)

∂η

∂y= 1√

νtF ′,

∂2u

∂y2 = ∂

∂y

(

1√νt

F ′(η(y, t))

)

= 1√νt

F ′′(η)1√νt

= 1

νtF ′′.

Sostituendo queste derivate parziali nell’equazione di diffusione peru abbiamo

ν

νtF ′′(η) + y

2t√

νtF ′(η) = 0

e semplificando otteniamo un’equazionedifferenziale ordinaria

F ′′ + 12ηF ′ = 0

con le due condizioni al contorno

F(0) = U, F(∞) = 0.

Notiamo che pert → 0 si haη → ∞ per ogniy > 0 e quindi la seconda condizioneal contornoF(∞) = 0 impone anche la condizione inizialeu(y, 0) = 0 del problemaalle derivate parziali originario. Questo risultato costituisce una conferma della validitadel legame esistente tra le variabiliy e t nella soluzione del problema in esame.

Siccome l’incognitaF dell’equazione differenziale compare in essa solo comederivata, si puo introdurre l’incognita ausiliariaG = F ′ e ridurre l’ordine dell’equazione:

G ′ + 12ηG = 0.



Questa equazionee tuttavia priva di condizione al contorno poiche entrambe le con-dizioni disponibili riguardano l’incognita originariaF . D’altra parte, il teorema fon-damentale del calcolo differenziale, ovvero:

∫ b

a

d f (x)

dxdx = f (b) − f (a),

puo essere applicato alla funzioneF(η) i cui i valori agli estremi dell’intervallo [0,∞[sono specificati, ottenendo

∫ ∞

0

d F(η)

dηdη = F(∞) − F(0) = 0 − U = −U.

La definizione della nuova variabileG = F ′ permette allora di scoprire che essa devesoddisfare la seguentecondizione integrale

∫ ∞

0G(η) dη = −U.

Questa condizioneglobale completa quindi l’equazione diG chee del primo ordine(lineare a coefficienti non costanti) a variabili separabili della forma:

dG

G= −1

2η dη.

La soluzione generalee

G(η) = Ae−η2/4,

dove A e la costante d’integrazione che viene determinata imponendo la condizioneintegrale

A∫ ∞

0e−η2/4 dη = −U.

L’integrale definito si calcola facilmente dal valore dell’integrale definito della funzionedi Gausse−x2

:∫ ∞

−∞e−x2

dx =√

π,

per cui si ottieneA = −U/√

π . La soluzionee quindi

G(η) = − U√π

e−η2/4.

L’equazione rimanenteF ′ = G(η) e poi risolta mediante una semplice integrazione

F(η) = B − U√π

∫ η

0e−s2/4 ds,

dove B e un’altra costante d’integrazione, da determinare imponendo l’una o l’altradelle due condizioni al contorno dell’incognita originariaF . Ad esempio, la condizioneF(0) = U fornisce subitoB = U . Pertanto la soluzione dell’equazione differenzialedel secondo ordinee

F(η) = U

[

1 − 1√π

∫ η

0e−s2/4 ds

]

,

ede mostrata nella figura 5.22.



Figura 5.22 SoluzioneF(η)

dell’equazione similare per la correntecausata dalla traslazione improvvisa diuna lastra piana

η

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

F(η)/U0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

Notiamo che se si fosse imposta l’altra condizione al contorno si sarebbe ottenuta lastessa soluzione. Infatti, imponendo la condizioneF(∞) = 0, si ha

B − U√π

∫ ∞

0e−s2/4 ds = B − U√

π

√π = 0,

da cui segue subitoB = U .

Dalla soluzioneF(η), ricordando la definizione della variabile similareη = y/√

νtsi ricava la soluzione della velocita u(y, t) = F(η) = F

(

y/√

νt)

:

u(y, t) = U

[

1 − 1√π

∫

y√νt

0e−s2/4 ds

]

.

I profili della velocita in alcuni istanti di tempo diversi sono mostrati nella figura 5.23per il casoν = 1.

Figura 5.23 Profili della velocita u(y, t)in istanti di tempo diversi perν = 1 dellacorrente parallela causata dalla traslazioneimpulsiva di una lastra piana

y

0.5

1.0

1.5

u(y, t)/U

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

t = 0.5

0.30.1

0.05

0.01

La soluzionee talvolta espressa utilizzando lafunzione di errore erf(x) definitadall’integrale dellafunzione gaussianae−x2

:

erf(x) = 2√π

∫ x

0e−X2

d X

o eventualmente dellafunzione complementare di erroreerfc(x) = 1 − erf(x). Lasoluzione trovata puo allora essere espressa nella forma seguente

u(y, t) = U

[

1 − erf

(

y

2√

νt

)]

.

La soluzioneu(y, t) rappresenta una superficie in uno spazio a tre dimensioni conassicartesiani che corrispondono alle tre variabiliy, t e u. La figura 5.24 mostra la formacomplessiva della soluzione: le linee disegnate sulla superficie corrispondono al profilodella velocita in determinati istanti di tempo.



Figura 5.24 Rappresentazionetridimensionale dell’andamento dellavelocita di un fluido viscoso causata dalmovimento istantaneo di una lastra pianaal tempot = 0

t

y

u/U

La forma semplice delle condizioni iniziali e al contorno, unitamente all’assenza di unalunghezza di riferimento nel problema,e stata decisiva per ottenere una soluzione ditipo similare. Le soluzioni similari sono una classe speciale di soluzioni che esistonoin problemi governati da equazioni differenziali alle derivate parziali di tipo parabolicocon due variabili indipendenti quando i dati del problema non contengono nessunascala assoluta delle lunghezze.

Il problema considerato soddisfa queste condizioni. Come dice il nome stesso disoluzione similare, i profili della velocitau(y, t) a istanti di tempo differenti sono tuttigeometricamente simili. Al tempo t1 la velocita u e funzione diy/

√νt1 e al tempo

t2 la velocita u e la stessa funzione diy/√

νt2 . La sola cosa che accade al cresceredel tempoe che il profilo della velocita risulta dilatato nello spazio di un coefficientepari a

√t2/t1. In altre parole, la soluzione in istanti di tempo diversi assume gli stessi

valori ma essi sono distribuiti sull’assey in modo sempre piu dilatato. Cio non sarebbepossibile se vi fosse una seconda lastra posta a una distanzay = h dalla lastra inmoto: in questo caso la lunghezzah fornirebbe una scala spaziale di riferimento e unasoluzione similare non sarebbe piu possibile.

Diffusione della vorticita

Ritornando ad esaminare la soluzione similare trovata, al tempot , gli effetti del movi-mento istantaneo della lastra sono limitati prevalentemente a una distanza dell’ordinedi

√νt da essa; ad esempiou e meno del 4 per cento diU alla distanzay = 3

√νt , in

quanto 1− erf(x) = 0.04 perx = 32.

Un modo alternativo di interpretare questo processoe in termini delladiffusione divorticit a. Nel problema piano considerato la distribuzione della vorticita nello spazioe nel tempoe data dalla funzione

ω(y, t) = −∂u(y, t)

∂y= U√

πνte−y2/(4νt),

che tende a zero esponenzialmente oltre una distanza dalla lastra dell’ordine di√

νt ,come mostrato nella figura 5.25 per la soluzione conν = 1.

Figura 5.25 Diffusione della vorticita dauna lastra messa in moto in modoistantaneo al tempot = 0. Soluzione perν = 1

y

1

2

3

ω/U1 2 3 4

t = 1

0.3

0.10.02

0.05



La diffusione della vorticita a causa dell’azione viscosa distribuisce in modo semprepiu uniforme lostrato di vorticit a iniziale, ovvero rende sempre piu piatta la concen-trazione infinita della vorticita iniziale sulla superficie della lastra (esistente in virtudella discontinuita fra la condizione al contornou(0, t) = U pert → 0 e la condizioneinizialeu(y, 0) = 0 pery → 0) mentre la vorticitae nulla inizialmente in tutto il fluido(la condizione inizialeu(y, 0) = 0 per y > 0 implica ω(y, 0) = 0). L’andamentodella vorticitaω(y, t) nello spazio e nel tempoe rappresentato in modo tridimensionalenella figura 5.26.

Figura 5.26 Rappresentazionetridimensionale della diffusione dellavorticita da una lastra messa in moto inmodo istantaneo al tempot = 0

t

y

ω/U

Queste conclusioni possono essere enunciate anche in un altro modo leggermentediverso. In un tempot la vorticita si estende per una distanza dell’ordine di

distanza di diffusione viscosa= O(√

νt)

.

Ovverosia, il tempo necessario affinche la vorticita si diffonda su una distanza dell’ordinedi ℓ e dell’ordine di

tempo di diffusione viscosa= O(

ℓ2/ν)

.

Approfondimento 1 Metodo alternativo per le soluzioni similari

Nel procedimento seguito per determinare la soluzione similare della corrente provo-cata dalla partenza impulsiva della lastra sie supposto che la variabile similare avesseuna forma determinata. La forma considerata non era stata dedotta con un ragiona-mento rigoroso ma solo giustificata con argomenti di plausibilit a. In questo senso ilsuccesso del procedimentoe solo verificato a posteriori dal fatto che abbiamo ottenutouna soluzione fisicamente significativa. Vogliamo ora riconsiderare il procedimentoper la ricerca di soluzioni similari e mostrare un metodo alternativo per individuarele soluzioni di questo tipo. Questo metodo si basa sulla ricerca di una variabile in-dipendente di tipo adimensionale che abbia la forma di un prodotto di potenze dellevariabili indipendenti originarie con esponenti da determinare. Il valore preciso degliesponentie stabilito dalle condizioni che si devono soddisfare per ottenere da un latoun problema differenziale ordinario e dall’altro variabili solo di tipo adimensionale.

La ricerca di soluzioni similari consiste nella determinazione di una trasformazionedelle varibili che riduca l’equazione differenziale alle derivate parziali in un’equazionedifferenziale ordinaria. Dal momento che l’equazione allederivate parziali coinvolgepiu di una variabile indipendente e un’equazione differenziale ordinaria solo una,eragionevole assumere una trasformazione di variabili che cerchi di combinare le duevariabili indipendenti. Pertanto assumiamo

η(y, t) = Cym tn,

doveη e la variabile indipendente trasformata, che deve essere adimensionale, eC, me n sono delle costanti per ora indeterminate. Inoltre, per rendere adimensionalel’equazione finale dobbiamo imporre che anche la variabile dipendente (cioe la nuova



incognita del problema differenziale ordinario) sia adimensionale. Siccome l’incognitaoriginariae la velocitau e nel problema esiste una scala delle velocita definita dal valoreal contornoU , la nuova incognitaf deve essere definita da

u = U f (η),

ovvero avremo la relazione

u(y, t) = U f (η(y, t)) = U f (Cym tn),

che esprime la vecchia incognita (dimensionale)u in funzione di quella nuova (adi-mensionale)f , la prima dipendente da due variabili (y e t) la seconda da una sola (η).Per mezzo di questa relazione di trasformazione possiamo calcolare le derivate parzialidi u con la regola di derivazione delle funzioni composte, ottenendo

∂u

∂t= U

∂η

∂t

d f

dη= UCnym tn−1 f ′,

∂u

∂y= U

∂η

∂yf ′ = UCmym−1 tn f ′,

∂2u

∂y2 = UCm(m − 1)ym−2 tn f ′ + UC2m2y2(m−1) t2n f ′′.

Sostituendo nell’equazione di diffusione diu e dividendo perU 6= 0 si ottiene

Cnym tn−1 f ′ − νCm(m − 1)ym−2 tn f ′ − νC2m2y2(m−1) t2n f ′′ = 0.

Ora determiniamo i valori dim, n eC in modo che si realizzi la riduzione a un’equazionedifferenziale ordinaria adimensionale. Per prima cosa eliminiamo il coefficiente vari-abile del termine di ordine piu elevato moltiplicando tutti i termini dell’equazione pery−2(m−1)t−2n ottenendo:

νC2m2 f ′′ + νCm(m − 1)y−m t−n f ′ − Cny−m+2 t−n−1 f ′ = 0.

Ma y−m t−n = C/η, per cui l’equazione si puo scrivere nella forma piu semplice (dopoavere diviso tutti i termini perC2)

νm2 f ′′ + νm(m − 1)1

ηf ′ − n

y2 t−1

ηf ′ = 0.

Affinche questa equazione sia effettivamente un’equazione differenziale ordinaria, ilcoefficiente dell’ultimo termine deve essere una funzione solo di η e, poiche η =Cym tn , questo richiede necessariamenten = −m/2. In tal caso la relazione dellavariabile di similarita diventa

η(y, t) = C

(

y√t

)m

e l’equazione assume la forma

νm f ′′ + ν(m − 1)1

ηf ′ + 1

2η

( η

C

)

2m f ′ = 0.

Affinche questa equazione diventi adimensionale deve essereC2/m = 1/ν. Allora lavariabile di similarita sara definita dalla relazione finale

η(y, t) =(

y√νt

)m

e l’equazione differenziale ordinaria adimensionale ricercata sara

f ′′ + 1

m

[

m − 1

η+ 1

2η

2−mm

]

f ′ = 0.

Naturalmente questa equazione deve essere risolta con le due condizioni al contornoadimensionali:

f (0) = 1 e f (∞) = 0.

Il valore di m puo essere scelto in maniera arbitraria. Da questa scelta dipendera lafunzione f soluzione dell’equazione differenziale, rimanendo comunque inalterata laforma della soluzioneu(y, t). Per m = 1 si riottiene lo stesso problema similareanalizzato in precedenza.



Traslazione oscillatoria di una lastra piana

Consideriamo ora un problema simile a quello precedente, masupponiamo di porre inmovimento la lamina con un moto oscillatorio in direzionex con velocita U cos(ωt),dove U e una costante eω e la pulsazione del movimento della parete, legata allafrequenza f , che rappresenta il numero di oscillazioni al secondo, dalla relazionef = ω/(2π). E questo ilsecondo problema di Stokes. Siamo interessati, in questocaso, non tanto al transitorio iniziale, quanto alla soluzione per tempi lunghi che nondipende dalla velocita iniziale del fluido, per cui trascureremo i termini che decadononel tempo pert → ∞.

Osserviamo innanzitutto che, mentre nel problema precedente era impossibilecostruire due variabili indipendenti adimensionali distinte a partire dat ey e utilizzandoil solo parametro del problemaν, in questo caso la presenza del parametro aggiuntivoω permette di costruire sia una lunghezza sia un tempo di riferimento separati. Ciaspettiamo dunque che la soluzione non dipenda piu da un’unica variabile di similaritama sia funzione effettivamente di due variabili.

L’equazione che vogliamo risolveree identica a quella precedente, incontrata nelprimo problema di Stokes:

∂u

∂t− ν

∂2u

∂y2 = 0.

Per integrarla ricorriamo, come fatto in precedenza, alla tecnica di separazione dellevariabili. Supporremo infatti che la soluzione sia esprimibile come prodotto di duefunzioni F(t) e G(y) dipendenti solo dal tempo la prima e solo dalla coordinatay la seconda,u(y, t) = F(t) G(y). Sostituendo questa espressione nell’equazionedifferenziale, e dividendo entrambi i membri per il prodotto FG si ottiene:

F ′

F= ν

G ′′

G,

dove gli apici indicano le derivate rispetto alla variabilepropria di ciascuna funzione.Essendo il primo membro funzione solo del tempo e il secondo funzione solo diy, idue membri devono essere uguali entrambi a una costante. Diamo nomek a questacostante, in modo che l’equazione puo essere riscritta come “sistema” di due equazionidifferenziali ordinarie del primo e del secondo ordine rispettivamente:

F ′ − k F = 0,

G ′′ − k

νG = 0,

in cui la costantek deve essere determinata imponendo la condizione al contorno.

Cominciamo integrando la prima equazione. Il suo integralegeneralee semplice-mente

F(t) = Aekt , ∀k ∈ C.

Per determinare il valore dik relativo alla soluzione del problema, consideriamo lafunzione che rappresenta la velocita della lastra oscillante. Mediante una nota identita,essa puo essere riscritta nella forma

U cos(ωt) = Ueiωt + e−iωt

2.

Per soddisfare la condizione al contorno dovremo restringere dunque i valori dik daprendere in considerazione aiω e−iω. Se fossimo interessati anche a soluzioni relativeal transitorio di avviamento dovremmo prendere in esame tutti i valori complessi conparte reale negativa, ma poiche siamo interessati solamente alla soluzione di regimepossiamo limitarci a valori dik puramente immaginari. Avremo percio le due funzioni

F+(t) = A+ eiωt e F−(t) = A− e−iωt .



In corrispondenza della prima soluzione, l’equazione differenziale perG diventa

G ′′ − iω

νG = 0,

il cui integrale generalee

G+(y) = B+ ey

√

iων + C+ e

−y

√

iων ,

doveB+ e B− sono dei coeffcienti da determinare, e analogamente

G−(y) = B− eiy

√

iων + C− e

−iy

√

iων .

La soluzione sara quindi una combinazione lineare del prodottoF+G+ e del prodottoF−G−, che possiamo scrivere come

u(y, t) = C1 eiωt ey

√

iων + C2 eiωt e

−y

√

iων + C3 e−iωt e

iy

√

iων + C4 e−iωt e

−iy

√

iων

i cui coefficienti devono essere determinati imponendo la condizione al contorno.

Prima di imporre la condizione al contorno conviene riscrivere l’espressioneprecedente esprimendo la radice quadrata dell’unita immaginariai mediante l’identita√

i = (1 + i)/√

2, ottenendo

u(y, t) = C1 eiωt ey(1+i)

√

ω2ν + C2 eiωt e

y(−1−i)

√

ω2ν

+ C3 e−iωt ey(−1+i)

√

ω2ν + C4 e−iωt e

y(1−i)

√

ω2ν ,

che puo essere riscritta nel modo seguente, separando la parte reale e quella immaginariadell’esponente

u(y, t) = C1 ei

(

ωt+y

√

ω2ν

)

ey

√

ω2ν + C2 e

i

(

ωt−y

√

ω2ν

)

e−y

√

ω2ν

+ C3 e−i

(

ωt−y

√

ω2ν

)

e−y

√

ω2ν + C4 e

−i

(

ωt+y

√

ω2ν

)

ey

√

ω2ν .

Per determinare i coefficientiC1, C2, C3 eC4 incominciamo ad analizzare il comporta-mento della soluzione pery → ∞. I termini in C1 eC4 divergono, poiche contengonoun fattore con esponente realey

√ω/(2ν) che tende a infinito cony. Questo none

fisicamente accettabile, quindiC1 = C4 = 0. Per determinare i restanti coefficientiimponiamo la condizione al contorno sulla lastra:

u(0, t) = C2 eiωt + C3 e−iωt = U cos(ωt) = Ueiωt + e−iωt

2,

da cui si ricava immediatamenteC2 = C3 = U/2. Otteniamo infine la soluzionecercata

u(y, t) = U

2e−y

√

ω2ν

ei

(

ωt−y

√

ω2ν

)

+ e−i

(

ωt−y

√

ω2ν

)

che puo essere riscritta piu chiaramente come

u(y, t) = Ue−y

√

ω2ν cos

(

ωt − y

√

ω

2ν

)

,

pery ≥ 0. Scritta in questa forma la soluzione si presta a un’interpretazione immediata:essa rappresenta un’onda sinusoidale piana di frequenzaf = ω/(2π) e lunghezza

d’onda 2π

√

2ν

ω, che si propaga in direzioney con velocita

√2ων e che si smorza

allontanandosi dalla parete secondo la leggee−y

√

ω2ν .



Corrente non stazionaria fra due lastre parallele

Consideriamo ora la corrente generata ancora dal moto impulsivo della lastra pianama questa volta in presenza di una seconda lastraferma posta a una distanzah dallaprima. La velocita u(y, t) dovra ora essere determinata nella striscia 0≤ y ≤ h comesoluzione della stessa equazione di diffusione

∂u

∂t− ν

∂2u

∂y2 = 0,

completata dalla condizione iniziale

u(y, 0) = 0, 0 < y < h,

e dalla condizioni al contorno

u(0, t) = U, u(h, t) = 0, t > 0.

Non potendo ricercare una soluzione simile (nel problema esiste una lunghezza diriferimento: la distanzah fra le lastre) osserviamo che l’equazionee omogenea mentrele condizioni al contorno non lo sono. Possiamo allora cercare di riformulare ilproblema mediante un cambiamento dell’incognita che rendaomogenee le condizionial contorno per poi provare ad applicare il metodo di separazione delle variabili. Le duecondizioni al contorno sono soddisfatte dalla semplice funzione lineareU (1− y/h) cherappresenta la corrente di Couette fra le due lastre. Questafunzioneeanche soluzione(stazionaria) dell’equazione di diffusione. Possiamo allora introdurre una variabileausiliariaw mediante la definizione

u(y, t) = w(y, t) + U (1 − y/h),

e osservare che la nuova incognitaw deve essere soluzione del problema

∂w

∂t− ν

∂2w

∂y2 = 0,

w(y, 0) = −U (1 − y/h), 0 < y < h,

w(0, t) = 0, w(h, t) = 0, t > 0,

le cui condizioni al contorno sono ora completamente omogenee mentre la condizioneiniziale e ora diversa da zero. Ricorriamo al metodo di separazione delle variabiliricercando delle soluzioni elementariW = W (y, t) che siano prodotto di due funzioni,ovvero,

W (y, t) = Y (y) T (t)

doveY (y) e T (t) sono due nuove funzioni incognite. SostituendoW nell’equazionedi diffusione si ottiene

YdT

dt− ν T

d2Y

dy2 = 0,

dove le derivate parziali sono diventate ordinarie perche le nuove incognite sono fun-zioni di una sola variabile. Dopo avere diviso per il prodotto νY T si ottiene

1

νT

dT

dt− 1

Y

d2Y

dy2 = 0.

Questa equazionee del tipo f (t)− g(y) = 0. Mat e y sono variabili indipendenti, percui la relazione richiede che entrambi i due termini siano costanti e che le due costantisiano coincidenti. Indicando talecostante di separazioneconσ , si ottengono le dueequazioni differenziali ordinarie

1

νT

dT

dt= σ e

1

Y

d2Y

dy2 = σ.



Il valore di σ e per il momento sconosciuto. Consideriamo per prima la secondaequazione che riscriviamo come

d2Y

dy2 = σY,

e osserviamo che le due condizioni al contorno omogeneew(0, t) = w(h, t) = 0impongono suY (y) le condizioni anch’esse omogeneeY (0) = Y (h) = 0. Per unvaloregenerico della costanteσ non esistono funzioni che soddisfano sia l’equazionedifferenziale che le due condizioni al contorno. Infatti: seσ > 0 l’equazione ammettecome soluzione due funzioni esponenziali con segno dell’esponente positivo o negativo,mentre seσ < 0 le due soluzioni sono le funzioni seno e coseno, ma in entrambi icasi none possibile trovare una loro combinazione lineare che si annulli in entrambii punti y = 0 e y = h. [Il casoσ = 0 non interessa in quanto la prima equazionediventerebbedT/dt = 0 con soluzioneT = costante, per cuiW (y, t) sarebbe unasoluzione stazionariaW (y, t) = W (y).]

Tuttavia la costanteσ puo essere scelta in modo da:i) selezionare soluzioni cheoscillano eii) annullare le soluzioni oscillanti proprio nei punti estremi dell’intervallo[0, h]. La prima condizione significa che si deve prendereσ = −κ2, conκ costantereale, per cui le soluzioni sono sin(κy) e cos(κy), mentre la seconda condizionesignifica che si deve scartare la soluzione cos(κy) e inoltre cheκ deve assumere ivalori discreti soddisfacenti la seguente condizione

κnh = nπ H⇒ κn = nπ

h,

doven e un intero positivo qualsiasi. Tutte le soluzioni oscillanti Yn(y) = sin(nπy/h)

si annullano pery = 0 e y = h e quindi permettono di costruire soluzioni elementaridel metodo di separazione delle variabili soddisfacenti lecondizioni al contorno. Lacostante di separazioneσ deve quindi assumere i seguenti valori discreti

σn = −κ2n = −(nπ/h)2 n = 1, 2, 3, . . . .

Per ogni intero positivon la prima equazione diventa

dTn

dt= −ν (nπ/h)2 Tn

e ammette la semplice soluzione esponenzialeTn(t) = e−(nπ/h)2νt = e−n2π2νt/h2.

Pertanto le soluzioni elementari in forma di prodotto ricercate sono

Wn(y, t) = Tn(t) Yn(y) = sin(nπy/h) e−n2π2νt/h2, n = 1, 2, 3, . . . .

Nessuna di queste funzioni soddisfa da sola la condizione iniziale per l’incognitaausiliariaw ma, poiche l’equazione di diffusione diw e lineare, si puo considerare unaloro combinazione linearew(y, t) definita dalla serie

w(y, t) =∞∑

n=1

AnWn(y, t) =∞∑

n=1

An sin(nπy/h) e−n2π2νt/h2,

che soddisfera l’equazione differenziale qualunque siano i valori dei coefficienti An .A questo punto, si puo ricorrere alla teoria della serie di Fourier per determinare icoefficientiAn in modo tale che al tempot = 0 questa espansione coincida con il datoiniziale del problema modificato, ovvero:

∞∑

n=1

An sin(nπy/h) = −U (1 − y/h) in 0 ≤ y ≤ h.



Moltiplicando questa relazione per sin(n′πy/h), conn′ intero positivo, e integrandosull’intervallo [0, h], la relazione di ortogonalita

∫ π

−π

sin(nθ) sin(n′θ) dθ =

2π sen = n′ = 0

π sen = n′ ≥ 1

0 sen 6= n′

permette di trovare

An = −2

h

∫ h

0U (1 − y/h) sin(nπy/h) dy = −2U

nπ.

La velocita u fra due lastre parallele poste a distanzah provocata dal moto impulsivodella lastra inferioree quindi espressa dalla soluzione

u(y, t) = U (1 − y/h) − 2U

π

∞∑

n=1

1

nsin(nπy/h) e−n2π2νt/h2

.

L’aspetto piu importante di questa soluzionee che per tempit > h2/ν la corrente haraggiunto il suo stato stazionario (corrente di Couette) e la distribuzione della vorticitae pressoche uniforme in tutto il fluido.

5.10 Soluzioni esatte per correnti in geometria cilindrica

Esistono soluzioni esatte delle equazioni di Navier–Stokes nel caso di un fluido con-tenuto fra superfici cilindriche coassiali che possono ruotare attorno all’asse comune.Supponendo che i cilindri in rotazione siano molto lunghi rispetto al loro raggio, il motodel fluido puo essere considerato bidimensionale. Nel caso di problemi dipendenti daltempo supporremo inoltre che il campo di velocita iniziale sia invariante per traslazioniparallele all’asse del cilindro e per rotazioni attorno all’asse. Cio significa che studiamosoluzioni che non dipendono dalla coordinata assialez e nemmeno dalla coordinataangolareθ (a parte la dipendenza daθ dei versori delle coordinate polari/cilindriche).Sotto queste condizioni il campo di velocita della soluzione sara piano e dipendera solodalla distanzaR dall’asse comune dei due cilindri, oltre che dal tempot , per cui si potraassumere in generale:u(r , t) = u R(R, t) R + uθ (R, t) θ ed ancheP(r , t) = P(R, t).

Le equazioni che governano questo tipo di correnti sono le classiche equazioni diNavier–Stokes incomprimibili

∂u∂t

+ (u ·∇)u − ν ∇2u + ∇P

ρ= 0,

∇· u = 0,

dove gli operatori∇ e ∇2 rappresentano questa volta il gradiente e il laplaciano bidi-mensionali nelle coordinate polari/cilindricheR-θ in un piano perpendicolare all’assez.

Per prima cosa, analizziamo le conseguenze della condizione di incomprimibilitanel caso considerato di corrente piana: essa significa

∇· u = 1

R

∂

∂ R

(

R u R(R, t))

+ 1

R

∂uθ (R, t)

∂θ

= 1

R

∂

∂ R

(

R u R(R, t))

= 0,


ISBN XX-abc-defg-h PARAGRAFO 5.10: Soluzioni esatte per correnti in geometriacilindrica 161

per cui deve essereu R(R, t) = A(t)/R. Supponendo ora che le pareti cilindrichecontenenti il fluido siano impermeabili, su di esseu R = 0 per cui avremoA(t) = 0 equindi u R(R, t) = 0 in ogni punto del fluido e per ognit > 0. In altre parole il motodel fluido sara puramente circolare e quindi il campo della velocita della soluzioneavra la forma seguente

u(r) = uθ (R, t) θ(θ).

Vediamo ora quali sono le conseguenze di questo risultato per quanto riguarda iltermine convettivo, esprimendolo ovviamente in coordinate cilindriche. Invece di usarel’espressione fornita nella tabella degli operatori differenziali in coordinate cilindriche,calcoliamo questo termine, tenendo conto esplicitamente che i versoriR(θ) e θ(θ)

hanno|R(θ)| = 1 e|θ(θ)| = 1 ma variano direzione con l’angoloθ ,

(u ·∇)u =(

uθ (R, t) θ(θ) ·∇)(

uθ (R, t) θ(θ))

= uθ (R, t)1

R

∂

∂θ

(

uθ (R, t) θ(θ))

= [uθ (R, t)]2

R

d θ(θ)

dθ.

Siccome risultad θ(θ)/dθ = −R(θ), come mostrato nella figura 5.27, otteniamo

(u ·∇)u = −u2θ

RR(θ)

e quindi il termine non linearee diverso da zero. Passando al termine viscoso abbiamo

θθ1

θ (θ)

θ (θ1)

∆θ

∆θ

Figura 5.27 Illustrazione della derivatad θ(θ)/dθ = −R(θ): notare che|∆θ | = ∆θ , per cui|d θ/dθ | = 1

∇2u =(

1

R

∂

∂ R

(

R∂

∂ R

)

+ 1

R2

∂2

∂θ2

)

(

uθ (R, t) θ(θ))

= 1

R

∂

∂ R

(

R∂uθ (R, t)

∂ R

)

θ(θ) + uθ (R, t)

R2

d2θ(θ)

dθ2

= 1

R

∂

∂ R

(

R∂uθ (R, t)

∂ R

)

θ(θ) − uθ (R, t)

R2

dR(θ)

dθ

=[

1

R

∂

∂ R

(

R∂uθ (R, t)

∂ R

)

− uθ (R, t)

R2

]

θ(θ),

in quantodR(θ)/dθ = θ(θ), come mostrato in figura 5.28. In base a questi risultati,l’equazione della quantita di moto per le correnti incomprimibili con traiettorie circolarisara

∂uθ

∂tθ(θ) − u2

θ

RR(θ) − ν

[

1

R

∂

∂ R

(

R∂uθ

∂ R

)

− uθ

R2

]

θ(θ) + 1

ρ

∂ P

∂ RR(θ) = 0

nelle due funzioni incogniteuθ (R, t) e P(R, t). La componente angolare di questaequazionee

θθ1

R(θ)

R(θ1)

∆R∆θ

Figura 5.28 Illustrazione della derivatadR(θ)/dθ = θ(θ): notare che|∆R| = ∆θ , per cui|dR/dθ | = 1

∂uθ

∂t− ν

[

1

R

∂

∂ R

(

R∂uθ

∂ R

)

− uθ

R2

]

= 0,

e costituisce un’equazione indipendente nella sola incognita uθ (R, t). E immediatoverificare che

1

R

∂

∂ R

(

R∂u

∂ R

)

− u

R2 = ∂

∂ R

(

1

R

∂

∂ R(Ru)

)

,

per cui l’equazione diuθ diventa:



∂uθ

∂t− ν

∂

∂ R

(

1

R

∂

∂ R(Ruθ )

)

= 0.

L’equazione della componente radiale dell’equazione della quantita di motoe invece

−u2θ

R+ 1

ρ

∂ P

∂ R= 0.

Se trasferiamo il termine del gradiente di pressione nel secondo membro, in questarelazione riconosciamo la legge fondamentale della dinamica nella formaa = f/mper le particelle del fluido: infatti il termine a sinistra rappresenta l’accelerazionecentripeta della particella mentre il gradiente della pressionee la forza centripeta perunita di volume all’interno del fluido che provoca il moto circolare uniforme di ognisua particella.

Una volta determinata la velocitauθ (R, t), la pressioneP(R, t) puo essere calco-lata dall’equazione della componente radiale della quantita di moto riscritta nel modoseguente

1

ρ

∂ P

∂ R= [uθ (R, t)]2

R,

che permette un’integrazione immediata

P(R, t) = ρ

∫ R [uθ (R′, t)]2

R′ dR′ + C(t),

doveC(t) indica una funzione arbitraria del tempo.

Corrente di Couette fra superfici cilindriche in rotazione

Supponiamo che il fluido sia contenuto fra due superfici cilindriche coassiali di raggioa e b > a e che queste superfici ruotino con velocita angolare costanteΩa eΩb, vedifigura 5.29. La corrente stazionaria causata dalla rotazione delle due superfici o diuna sola di esse si ottiene risolvendo la versione stazionaria dell’equazione diuθ (R).Scriviamo questa equazione notando che nel problema stazionario la derivata rispettoa R e ordinaria:

d

dR

(

1

R

d

dR(Ruθ )

)

= 0,

da risolvere con le condizioni al contorno

uθ (a) = aΩa e uθ (b) = bΩb.

Figura 5.29

Cilindri coassiali rotanti

ab

Ωb

Ωa

z



Una prima integrazione fornisce l’equazione del primo ordine

1

R

d

dR(Ruθ ) = C1,

che integrata a sua volta conduce a

Ruθ = C1R2

2+ C2.

Risolvendo rispetto auθ e ridefinendo la costanteC1/2 comeC1 si ottiene la soluzione

uθ (R) = C1R + C2

R,

dove le costantiC1 e C2 sono da determinare mediante le condizioni al contorno. Ilcampo di velocita e dato quindi dalla sovrapposizione di un moto di rotazione rigida edi un vortice rettilineo. L’imposizione delle condizioni al contorno conduce al seguentesistema di due equazioni lineari algebriche nelle incognite C1 e C2

aC1 + C2/a = aΩa,

bC1 + C2/b = bΩb,

la cui soluzionee

C1 = b2Ωb − a2Ωa

b2 − a2 , C2 = a2b2(Ωa − Ωb)

b2 − a2 .

Questa soluzionee nota comecorrente di Couette cilindrica o corrente di Taylor–Couette. Nella figura 5.30e mostrato il campo di velocita perb = 4a nel caso in cui ilcilindro internoe fisso mentre quello esterno ruota. La situazione opposta dirotazionedel cilindro interno con il cilindro esterno fermoe mostrata nella figura 5.31. Infinenella figura 5.32e riportata la soluzione nel caso in cui entrambi i cilindri ruotano, main senso inverso e conΩa = −10Ωb. La pressioneP(R) della corrente stazionaria diTaylor–Couette si ottiene dalla relazione

P(R) = ρ

∫ R [uθ (R′)]2

R′ d R′ = ρ

∫ R (

C1R′ + C2

R′

)2 d R′

R′

= ρ

∫ R(

C21 R′ + 2C1C2

R′ + C22

R′3

)

d R′.

Figura 5.30 Corrente di Taylor–Couette perb = 4acon cilindro esterno rotante e cilindro interno fermo

Figura 5.31 Corrente di Taylor–Couette perb = 4acon cilindro interno rotante e cilindro esterno fermo



Una semplice integrazione fornisce

P(R) = ρ

[

C21

2R2 + 2C1C2 ln

( R

C3

)

− C22

2R2

]

,

dove la nuova costante di integrazioneC3 arbitrariae stata fatta comparire di propositoall’interno del logaritmo, per rendere il suo argomento adimensionale.

Figura 5.32 Campo di velocita dellacorrente di Taylor–Couette perb = 4a concilindro interno rotante in senso opposto alcilindro esterno, quandoΩa = −10Ωb

Corrente dovuta a un disco infinito rotante

Un’altra corrente incomprimibile puramente circolare molto interessantee quellacausata dal movimento di un disco di estensione radiale infinita, immerso in un fluidoviscoso, e che ruota attorno al proprio asse. Si vuole determinare il campo di motostazionario quando il disco ruota con velocita angolare costante supponendo che lacorrente sia incomprimibile e che la velocita del fluido a grande distanza dal disco siapuramente assiale. In altri termini, il fluidoe messo in rotazione dal disco a causadell’attrito viscoso tramite la condizione al contorno di perfetta adesione sulla super-ficie del disco e, in conseguenza dell’incomprimibilita, la corrente circolare provocauna corrente secondaria in direzione assiale del fluido che si muove da grande distanzaverso il disco per poi essere espulso radialmente avvicinandosi al disco. Diversamentedalla corrente cilindrica di Couette, il campo di moto dellacorrente provocata dallarotazione del disco dipende, oltre che dalla distanza radiale dall’asse di rotazione anchedalla coordinata che misura la distanza dal disco. Come vedremo, la componente radi-ale della velocita raggiunge un massimo a una determinata distanza assiale dal disco.Questo tipo di correntee nota con il nome dicorrente di von Karman.

Dato che il problema presenta simmetria cilindrica,e conveniente esprimere leequazioni di Navier–Stokes in coordinate cilindriche(R, θ, z). Grazie al carattereassisimmetrico della corrente considerata, le componentidella velocita, come purela pressione, non dipendono dalla coordinata angolareθ , ma solo dalla distanzaRdall’asse del disco e dalla distanzaz dal disco. Si puo quindi scrivere la velocita nelseguente modo

u = u(R, z) R + v(R, z) θ + w(R, z) z

e conviene sostituire la variabile pressioneP con la seguente pressione “scalata”

p = p(R, z) = P(R, z)

ρ,

doveρ e la densita uniforme del fluido.



Come mostrato nell’approfondimento 1 del paragrafo 5.3, leequazioni di Navier–Stokes per correnti assisimmetriche sono,

u∂u

∂ R+ w

∂u

∂z− v2

R+ ∂p

∂ R= ν

[

1

R

∂

∂ R

(

R∂u

∂ R

)

+ ∂2u

∂z2 − u

R2

]

u∂v

∂ R+ w

∂v

∂z+ vu

R= ν

[

1

R

∂

∂ R

(

R∂v

∂ R

)

+ ∂2v

∂z2 − v

R2

]

u∂w

∂ R+ w

∂w

∂z+ ∂p

∂z= ν

[

1

R

∂

∂ R

(

R∂w

∂ R

)

+ ∂2w

∂z2

]

1

R

∂(Ru)

∂ R+ ∂w

∂z= 0

dove sono state eliminate le derivate delle componenti della velocita rispetto al tempo,essendo il problema stazionario, e doveν e la viscosita cinematica che si supponecostante.

Le equazioni sono completate dalle condizioni al contorno che includono: lecondizioni di non scivolamento e non penetrazione sulla superficie del disco, date dalleseguenti relazioni

u(R, 0) = 0, v(R, 0) = Ω R, w(R, 0) = 0;

e le condizioni asintotiche, che possono essere cosı espresse

limz→∞

u(R, z) = 0 e limz→∞

v(R, z) = 0.

Il valore della componente assialew per z → ∞ non e specificato e risultera dallasoluzione del problema. Si deve sottolineare che sono prescritte condizioni al contornosia perz = 0 sia perz → ∞: questo fatto richiede di utilizzare un metodo di risoluzioneper il problemi di tipotwo-point boundary value problem. Inoltre, a causa del caratterenon lineare delle equazioni sara necessario ricorrere a un metodo numerico di tipoiterativo, come, ad esempio, il metodo di Newton.

Poiche none presente una lunghezza di riferimento nel problema esaminato, sipuo immaginare che il profilo della velocita non dipenda dalla coordinataR, ma che alvariare diR si ottenga solo un cambiamento di dimensione, ma non di formadel profilo.Matematicamente cio permette di descrivere la velocita tramite una variabile, dettavariabile di similarita che puo essere espressa usando una distanza adimensionalizzatanel modo seguente

Z = z

√

Ω

ν

dove le dimensioni diΩ sono [T ]−1, quelle diν sono [L]2/[T ] e quella diz e [L], da

cui si ottiene la dimensione diZ pari a [T ]−1/2[T ]1/2

[L] [L] che corrisponde a una grandezzaadimensionale.

Dopo avere introdotto la variabile di similarita, le incognite che compaiono nelleequazioni di Navier–Stokes incomprimibili si possono esprimere in termini di nuovevariabili incognite adimensionali. Queste ultime dipenderanno esclusivamente dallavariabile di similarita, anch’essa adimensionale. Ottengo quindi:

u(R, z) → Ω R F(Z),

v(R, z) → Ω R G(Z),

w(R, z) →√

νΩ H(Z),

p(R, z) → νΩ P(Z).



Sostituendo queste espressioni nelle equazioni di Navier–Stokes prima scritte, si ottieneil seguente sistema di equazioni differenziali, dove non compaiono piu le derivateparziali ma solo la derivata ordinaria rispetto alla variabile Z :

F ′′ − H F ′ − F2 + G2 = 0,

G ′′ − H G ′ − 2FG = 0,

H ′′ − H H ′ − P ′ = 0,

H ′ + 2F = 0,

corredate dalle rispettive condizioni al contorno che, espresse in termini delle nuoveincognite, assumono la forma seguente

F(0) = 0, limZ→∞

F(Z) = 0,

G(0) = 1, limZ→∞

G(Z) = 0,

H(0) = 0,

P(0) = P0,

doveP0 e una costante arbitraria. La pressione puo essere determinata dalle soluzioniH e F integrando direttamente la terza equazione e poi sostituendo in essaH ′ datodalla quarta equazione. Si ottiene cosı

P(Z) = −2F(Z) − 12[H(Z)]2.

Avendo eliminato un’incognita, il problema si semplifica nel seguente sistema ridotto:

F ′′ − H F ′ − F2 + G2 = 0, F(0) = 0, limZ→∞

F(Z) = 0,

G ′′ − H G ′ − 2FG = 0, G(0) = 1, limZ→∞

G(Z) = 0,

H ′ + 2F = 0, H(0) = 0.

Approfondimento 1 Riduzione a sistema del primo ordine

Il sistema differenziale ordinario ricavato per le incognite F, G eH puo essere ricon-dotto a un sistema di equazioni del primo ordine introducendo due incognite ausiliarie:

E ≡ F ′ e K ≡ G ′.

In questo modo si ottiene il seguente sistema di cinque equazioni nelle cinque incogniteE, F, K , G e H ,

E ′ = H E + F2 − G2,

∫ ∞

0E(Z) d Z = 0,

F ′ = E, F(0) = 0 oppure F(∞) = 0,

K ′ = H K + 2FG,

∫ ∞

0K (Z) d Z = −1,

G ′ = K , G(0) = 1 oppure G(∞) = 0,

H ′ = −2F, H(0) = 0.



con le rispettive condizioni al contorno e integrali. Il sistema e non lineare e lasua risoluzione puo essere affrontata mediante tecniche numeriche. In questocasol’intervallo semi-infinito di integrazione dovra essere troncato a una distanza finita, masufficientemente grande, che sara indicata conZ = Z∞. L’insieme delle condizioni alcontorno e integrali sull’intervallo troncato aZ∞ e allora:

∫ Z∞

0E(Z) d Z = 0,

F(0) = 0 oppure F(Z∞) = 0,

∫ Z∞

0K (Z) d Z = −1,

G(0) = 1 oppure G(Z∞) = 0,

H(0) = 0.

Per essere risolto numericamente il problema deve essere discretizzato ottenendo unsistema di equazioni algebriche non lineari per i valori delle incognite nei punti delreticolo adottato. Utilizzeremo un metodo di discretizzazione avente la proprieta dirispettare in modo esatto il teorema fondamentale del calcolo differenziale a livellodelle equazioni discretizzate. Grazie a questa proprieta speciale,e del tutto equivalenteimporre la condizione integrale per una variabile ausiliaria, assieme a una delle duecondizioni per la variabile originaria, con derivata seconda, oppure imporre entrambe lecondizioni al contorno di tale variabile. Per questa ragione, possiamo scegliere la sec-onda strada e quindi risolveremo il sistema di equazioni delprimo ordine sull’intervallotroncato imponendo le seguenti condizioni contorno:

E ′ = H E + F2 − G2, F(Z∞) = 0,

F ′ = E, F(0) = 0,

K ′ = H K + 2FG, G(Z∞) = 0,

G ′ = K , G(0) = 1,

H ′ = −2F, H(0) = 0.

I grafici della soluzioneF(Z), G(Z) e H(Z) sono riportati nella figura 5.33, conl’asse verticale che corrisponde alla coordinata verticale Z del sistema cilindrico.Le tre funzioni sono associate alle componenti cilindrichedella velocita, in basealle relazioni viste in precedenza:u(R, z) = Ω R F(Z), v(R, z) = Ω R G(Z) ew(R, z) =

√νΩ H(Z). Dai grafici delle soluzioniF(Z) e G(Z) si vede il rispetto

della condizione contorno di non scivolamento sulla superficie del disco. La compo-nente radialeu(R, 0) e uguale a zero perche il fluido non scivola sul disco (perz = 0)mentre la componente tangenzialev(R, 0) sulla superficiee pari alla velocita tangen-ziale del disco= Ω R: il disco ruotando, trascina il fluido in un moto circolare. Ilterzo graficoH(Z) e proporzionale alla componente assialew(R, z) della velocita, chesoddisfa la condizione di non penetrazione sul disco. Sempre dai grafici si vede chea grande distanza dal discou(R, z) e v(R, z) non sono influenzate dal moto rotatoriodel disco pertanto tendono a zero. Invece il valore limite diH(Z) perZ → in f t y euguale a−0.886; pertanto la componente assialew(R, z) a grande distanza dal discoraggiunge il massimo valore negativo uguale a

w(R,∞) = −0.886√

νΩ .

Nella correntee presente quindi un moto del fluido diretto come l’asse del disco, versoil suo centro. Questo flusso in eccesso viene espulso dal disco in direzione radiale,come indicato dal massimo del grafico diu(R, z) in prossimita della superficie deldisco.



Figura 5.33 Soluzione della corrente divon Karman causata dalla rotazione di undisco infinito

Z

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

−H(Z)

G(Z)F(Z)

Approfondimento 2 Frenamento di un fluido in rotazione rigida

Consideriamo ora un altro problema in cui il fluido viscoso occupa tutta una regionecilindrica R ≤ a di lunghezza infinita. Supponiamo inoltre che all’istante inizialesia il cilindro sia il fluido abbiano un moto di rotazione rigida solidale, ovvero stianoruotando con velocita angolareΩ uniforme, per cui il campo di velocita e

u(r , 0) = uθ (R, 0) θ = Ω R θ , per R ≤ a.

Supponiamo ora che al tempot = 0 il cilindro sia fermato istantaneamente. Perdeterminare il moto del fluido pert > 0 si deve risolvere la seguente equazionedifferenziale alle derivate parziali di tipo parabolico

∂uθ

∂t− ν

∂

∂ R

(

1

R

∂

∂ R(Ruθ )

)

= 0,

soggetta alla condizione iniziale

uθ (R, 0) = Ω R, R ≤ a,

e alla condizione al contorno

uθ (a, t) = 0, t > 0.

Non esiste una condizione al contorno sull’asse, ossia perR = 0. Il problema puoessere affrontato in maniera analoga al problema della partenza impulsiva della lastrapiana. Questa volta il metodo di separazione delle variabili coinvolge lefunzioni diBesseldi ordine zero e uno,J0 e J1, in termini delle quali la soluzionee espressa da

uθ (R, t) = −2Ωa∞∑

n=1

J1(λn R/a)

λn J0(λn)exp

(

−λ2nνt

a2

)

.

In questa relazioneλn indica l’n-esimo valore positivo per il quale si haJ1(λ) = 0. Ilsegno negativo nella dipendenza esponenziale dal tempo deitermini della serie mostrache essi decadono rapidamente cont ; il termine che sopravvive piu a lungoe quello conil valore minimo di|λ|, cioe λ1 ≈ 3.83. Il processo di smorzamento della rotazionedella colonna di fluido inizialmente rotante ha completato il suo corso in un tempodell’ordine dia2/(νλ2

1), cioe nel classico tempo di diffusione viscosa (λ1 e un numeropuro).

Se applichiamo questo modello al fenomeno del rallentamento della rotazione delliquido in una tazza da te cona = 2 cm= 2×10−2 m eν = 1.0×10−6 m2/s dell’acqua,otteniamo un tempo per il frenamento pari aτ = 4 × 10−4/(10−6 × (3.83)2) ≈ 25 s.Questo valore risulta sovrastimare il tempo di frenamento osservato e il disaccordoderiva dall’avere trascurato il carattere tridimensionale del moto causato dal fondodella tazzina, chee essenziale prendere in considerazione.



Decadimento di un vortice rettilineo

Studiamo ora come decade il vortice rettilineo introdotto negli esempi 3 e 4 del para-grafo 3.7. Supponiamo di avere un campo di velocita iniziale costituito da un vorticerettilineo:

u0(r) = Γ0

2π Rθ , R > 0,

doveΓ0 e una costante. Il vortice ha una vorticita nulla per ogniR > 0, ma vorticitainfinita in R = 0. In un fluido viscoso questo vortice non puo persistere: la vorticitatendera a diffondersi verso l’esterno al crescere del tempo. La formulazione mate-matica del problema consiste nell’equazione di diffusionein coordinate cilindriche peruθ (R, t) scritta in precedenza, completata dalla condizione iniziale

uθ (R, 0) = Γ0

2π R

e dalla condizione al contorno asintotica

limR→∞

uθ (R, t) = 0.

PerR = 0 non si conosce il valore diuθ ma si richiede soltanto cheuθ sia finito.

Per risolvere questo problemae opportuno cambiare l’incognita introducendo lacircolazione

Γ (R, t) = 2π R uθ (R, t)

come nuova variabile dipendente del problema. Un semplice calcolo mostra che lanuova incognita deve soddisfare l’equazione

∂Γ

∂t− ν

(

∂2Γ

∂ R2 − 1

R

∂Γ

∂ R

)

= 0

ede soggetta alla condizione iniziale (uniforme)

Γ (R, 0) = Γ0, R > 0,

e alle condizioni al contorno

Γ (0, t) = 0 t > 0,

che proviene dalla richiesta cheuθ sia finito perR = 0. Non esiste invece una con-dizione al contorno diΓ perR → ∞ poiche la condizione asintotica diuθ conduce perΓ alla condizione limR→∞ 2π Ruθ (R, t) = 2π∞ · 0, chee una forma indeterminata.

Il problema per l’incognitaΓ e simile a quello della corrente causata dal motoimpulsivo di una lastra, per cui possiamo cercare una soluzione di tipo similare basatasul medesimo cambiamento di variabili. Scegliamo come variabile similare la variabile

ξ = ξ(R, t) = R2

νt,

che rappresenta il quadrato di quella considerata nel problema del moto impulsivodella lastra piana, con opportuna sostituzione della lunghezza di riferimento. La nuovavariabile dipendente adimensionalee definita da

γ (ξ) = γ (ξ(R, t)) = Γ (R, t)/Γ0.

Un calcolo diretto mostra che la nuova incognitaγ (ξ) soddisfa l’equazione differenzialeordinaria

γ ′′ + 14γ ′ = 0,



ede soggetta alle due condizioni al contorno

γ (0) = 0 e limξ→∞

γ (ξ) = 1.

La prima condizione deriva dalla prima condizione al contorno diΓ mentre la secondaderiva dalla condizioneiniziale di Γ , dato che pert → 0 si haξ = R2/(νt) → ∞.

Integrando una volta l’equazione si ha

γ ′ + 14γ = A,

dove A e una costante d’integrazione. La soluzione generale di questa equazionelineare del primo ordinee

γ (ξ) = A + Be−ξ/4,

dove B e la seconda costante d’integrazione. Imponendo le condizioni al contorno siottiene immediatamenteA + B = 0 e A = 1, per cui

γ (ξ) = 1 − e−ξ/4.

Dalla funzioneγ (ξ) cosı ottenuta ricaviamo poi la soluzione per l’incognita circo-lazione:

Γ (R, t) = Γ0 γ( R2

νt

)

= Γ0

[

1 − e−R2/(4νt)]

,

e infine la distribuzione richiesta della velocita all’interno del vortice

uθ (R, t) = Γ0

2π R

[

1 − e−R2/(4νt)]

.

Il profilo della soluzioneuθ (R, t) in diversi istanti di tempoe mostrato nella figura 5.34perΓ0/(2π) = 4 eν = 1. Si osserva che la richiesta che la soluzioneuθ abbia valorefinito per R = 0 ha condotto ad avere velocitauθ nulla in corrispondenza dell’asse delvortice.

uθ (R, t)

1

2

3

4

R1 2 3 4 5

t = 0.1

0.3

0.5

1

3

Figura 5.34 Profili della velocita uθ (R, t) a diversiistanti di tempo perΓ0/(2π) = 4 eν = 1

R

t

uθ (R, t)

Figura 5.35 Rappresentazione tridimensionale deldecadimento di un vortice rettilineo

A distanze maggiori di circa√

4νt dall’asse, la circolazionee quasi inalterata poiche lavorticita non sie ancora diffusa tanto lontano. Tuttavia, a piccola distanza dall’asse, perR ≪

√4νt , la corrente none piu irrotazionale: infatti, considerando l’approssimazione

della serie di Taylor della funzione esponenziale arrestata al termine lineare, risulta,per R ≪

√4νt ,

uθ (R, t) = Γ0

2π R

1 −[

1 − R2

4νt + O(

( R2

4νt

)2)]

= Γ0

2π R

R2

4νt+ O

(

R3

t2

)

≈ Γ0 R

8πνt,



che corrisponde a una rotazione rigida quasi uniforme con velocita angolare

Ω(t) = Γ0

8πνt.

Quindi l’intensita del vortice diminuisce con il tempo mentre il “core” del vortice siallarga radialmente.

L’andamento complessivo della velocita puo anche essere rappresentato medianteuna superficie nello spazio tridimensionale, come mostratonella figura 5.35: gli assiorizzontali corrispondono alle due variabili indipendenti e l’asse verticale corrispondealla soluzioneu.

Decadimento del vortice attorno a un cilindro

Il metodo utilizzato per studiare il decadimento di un vortice rettilineosingolare puoessere seguito anche per determinare come rallenta e decadeun vortice che ruotainizialmente attorno a un cilindro circolare di raggioa in conseguenza dell’arrestoimprovviso della rotazione del cilindro. In questo caso la condizione iniziale dellavelocita, sempre puramente angolare,e data da

uθ (R, 0) = Γ0

2π R, R > a,

e le due condizioni al contorno sono date da

uθ (a, t) = 0 e limR→∞

uθ (R, t) = 0.

Anche in questo casoe conveniente introdurre l’incognita ausiliaria

Γ (R, t) = 2π R uθ (R, t),

che soddisfera la stessa equazione del vortice singolare ede soggetta alla condizioneiniziale

Γ (R, 0) = Γ0, R > a,

e alla condizione al contorno sulla superficie del cilindro

Γ (a, t) = 0, t > 0,

mentre la condizione al contorno asintotica diuθ conduce perΓ alla forma indetermi-nata limR→∞ 2π Ruθ (R, t) = 2π∞ · 0.

Come nel caso precedente, introduciamo la variabile di similarita

ξ = ξ(R, t) = R2

νt

usata in precedenza, la nuova incognitaγ (ξ) soddisfa la stessa equazione differenzialeordinaria di prima, cioe,

γ ′′ + 14γ ′ = 0,

ede soggetta alle due condizioni al contorno

γ

(

a2

νt

)

= 0 e limξ→∞

γ (ξ) = 1.

La prima condizione deriva dalla condizione al contorno perΓ sulla superficie delcilindro mentre la seconda deriva dalla condizioneiniziale di Γ osservando che pert → 0 si haξ = R2/(νt) → ∞.



Integrando l’equazione del secondo ordine perγ si ha la soluzione generaleγ (ξ) =A + Be−ξ/4 e imponendo le condizioni al contorno si ottiene

γ (ξ) = 1 − ea2ξ

4R2 e−ξ/4 = 1 − e(

a2

R2 −1)

ξ4 .

Da questo si ricava immediatamente la soluzione per l’incognita circolazione

Γ (R, t) = Γ0 γ( R2

νt

)

= Γ0

(

1 − ea2−R2

4νt

)

,

e infine la distribuzione richiesta della velocita attorno al cilindro:

uθ (R, t) = Γ0

2π R

(

1 − ea2−R2

4νt

)

.

L’andamento della velocita del fluido in vari istanti di tempo dopo che il cilindro haarrestato istantaneamente la sua rotazionee mostrato nella figura 5.36 perν = a2/4.

Figura 5.36 Decadimento della velocitadi un vortice avente rotazione inizialerigida dovuta all’arresto istantaneo di uncilindro in rotazione

uθ (R, t)

R/a1 2 3 4

t = 0.001

t = 1

23

6

Γ

2πa

5.11 Viscosita nei fluidi reali (comprimibili)

Come abbiamo visto, la forza agente sul fluido in conseguenzadel suo carattere viscosoassume una forma particolarmente semplice nel caso di correnti incomprimibili. Infatti,se vale questa ipotesi assieme a quella di viscosita di taglio costante,µ = µ, la forzaper unita di massafvisc risulta essere espressa dalla relazione

fvisc = ν ∇2u,

dove ν = µ/ρ rappresenta il coefficiente (costante) di viscosita cinematica, conρindicante la densita uniforme del fluido. Questa espressione vettorialee piuttostofacile da tenere in conto, almeno nel caso di coordinate cartesiane, poiche in questocaso l’operatore di Laplace agente su un campo vettoriale agisce indipendentemente suciascuna delle sue componenti. Di conseguenza, le componenti cartesiane della forzaviscosa sono date da

f viscx = ν ∇2u, f visc

y = ν ∇2v, f viscz = ν ∇2w.

Ciascuno di questi tre termini deve essere aggiunto nel secondo membro di ognunadelle tre componenti cartesiane dell’equazione della quantita di moto del sistema diequazioni di Eulero per le correnti incomprimibili, ovvero, in forma vettoriale avremoil termine viscoso aggiuntivo

fviscx = ν ∇2u.


ISBN XX-abc-defg-h PARAGRAFO 5.11: Viscosita nei fluidi reali (comprimibili) 173

La semplicita della forza viscosa espressa in coordinate cartesianee la ragione percui le equazioni di Navier–Stokes incomprimibili ammettono soluzioni analitiche chepossono essere determinate agevolmente, almeno nel caso dicorrenti in regioni limitateda pareti di forma semplice.

La situazione delle coordinate cilindriche e sferichee piu complessa poichel’azione dell’operatore di Laplace su un campo vettoriale espresso in queste coor-dinatenon si separa in azioni indipendenti su ciascuna delle componenti del vettore:l’operatore∇2 introduce infatti un accoppiamento fra due delle componenti cilindrichee fra tutte e tre le componenti sferiche del campo vettorialesu cui agisce. Quindinel problema di Navier–Stokes incomprimibile in coordinate cilindriche o sferiche lapresenza del termine viscoso non permette di risolvere le equazioni delle componentidella velocita u in modo indipendente.

Nonostante la forma relativamente semplice della forza viscosa nelle correntiincomprimibili con viscosita costante, la sua deduzionee alquanto complicata, essen-zialmente per due motivi diversi. In primo luogo una descrizione completa dell’attritoviscoso internamente a un fluido deve partire dall’analisi di un fluido comprimibile.Vedremo che considerare un fluido di tipo generale conduce a scoprire che esistonodueforme diverse di attrito al suo interno associate a due distinti coefficienti di viscosita,relativi uno all’attrito di taglio e l’altro all’attrito di dilatazione. In secondo luogo,le due viscosita dipendono in generale dalle condizioni termodinamiche del fluidonel punto considerato. Come vedremo, questi due aspetti indipendenti intervengonoin modo intrecciato nel ragionamento che conduce alla formula della forza viscosapresente nel caso delle equazioni di Navier–Stokes incomprimibili.

Tensore degli sforzi viscosi

Consideriamo all’interno di un fluido una superficie elementare ∆S di normalen,attraverso la quale si esercita l’interazione fra le particelle del fluido. In assenza diattrito viscoso, la forza interna fra le particellee solo nella direzione normalen edipende dal valore della pressioneP nel punto considerato. Precisamente la forzaesercitata attraverso la superficie∆S dalle particelle che si trovano dalla parte in cuipuntan sul fluido che si trova dalla parte oppostae data da−P∆S n.

Se il fluidoe reale, la forza interna tra le particelle, esercitata attraverso la superficie∆S, ha componenti sia lungo la normale sia in direzione tangente a∆S. Quindi la forzainterna none piu descrivibile mediante la sola grandezza scalareP combinata con ilversore normalen. Nella realta, l’azione internae costituita da un vettore che dipendein modulo e direzione dalla normalen e che in generale ha una direzione diversada quella della normale stessa. Siccome nello spazio tridimensionale le direzioniindipendenti sono tre, l’azione interna fra le particelle del fluido sara rappresentata datre vettori distinti, ciascuno associato a una direzione indipendente. In altre parole percaratterizzare l’interazione fra le particelle di un fluidoviscosoe necessario introdurreuna grandezza di nuovo tipo, che si chiamatensore degli sforzi viscosie che si indicacon il simbolo particolareS. Questa grandezza rappresenta la forza per unita di arearelativa alle tre diverse orientazioni nello spazio. Essae una grandezza intrinseca, comelo sono i vettori, ma rappresenta un operatore lineare, nel senso che la sua azione su undeterminato vettore produce un altro vettore. In un determinato sistema di riferimentoil tensoreS sara descritto da una matrice i cui elementi dipendono dal sistema scelto,esattamente come accade per un vettore e le sue componenti. Precisamente unacolonna del tensoreS rappresenta la forza per unita di area che si esercita attraversouna superficie elementare∆S la cui normalee nella direzione corrispondente allacolonna considerata.

Si puo dimostrare che la legge di conservazione del momento dellaquantita dimoto (o momento angolare) implica che il tensore degli sforzi deve esseresimmetrico.Nel caso di coordinate cartesiane il tensore degli sforzi viscosiS e allora dato dalla



matrice simmetrica

S =

sx,x sim sim

sy,x sy,y sim

sz,x sz,y sz,z

mentre, in un sistema di coordinate curvilinee ortogonali con versori(η1, η2, η3), iltensore degli sforzi viscosi sara indicato nella forma generale:

S =

s1,1 sim sim

s2,1 s2,2 sim

s3,1 s3,2 s3,3

Noto il tensore dello sforzo viscosoS in un punto del fluido, possiamo introdurre ilvettore sforzo viscoso sn relativo a una superficie con normalen facendo agire iltensoreS sun (vedi figura 5.37)

n

sn

∆S

Figura 5.37

Vettore sforzo viscoso, ovvero proiezionedel tensoreS lungo la direzione dellanormalen

sn = S · n ⇐⇒ sn,i (u) =3

∑

j=1

si, j (u) n j , i = 1, 2, 3.

Tensore di rapidita di deformazione

Gli sforzi interni si manifestano anche in un solido continuo, ad esempio in un materialeelastico come un pezzo di metallo o di altra sostanza solida.In effetti la differenza fraliquidi e solidi emerge solo quando si analizza la causa degli sforzi interni nel mezzocontinuo: per un solido lo sforzo dipende dalla deformazione locale del corpo mentreper un fluido esso dipende dallarapidita di variazione della deformazione locale delfluido. Dobbiamo quindi introdurre una nuova grandezza in grado di rappresentarequesto aspetto cinematico del campo di moto del fluido.

Per determinare quale sia questa grandezza incominciamo col considerare il campodi moto di un corpo rigido. Esso puo solo traslare e ruotare. Il campo di velocita checaratterizza i punti del corpo puo quindi essere espresso come somma di un contributouniforme, la velocita di traslazioneU, e di un contributo dovuto alla sola rotazione,esprimibile mediante la relazione

urotaz.(r , t) = Ω(t)×[r − r0(t)]

dover0(t) e un punto appartenente all’asse di rotazione all’istantet . Poiche muoven-dosi, oltre a traslare e a ruotare, si deforma, il campo di velocita che caratterizza leparticelle di un fluido none esprimibile mediante la somma di questi due soli con-tributi, ma occorre tenere in considerazione anche la rapidita con cui le particelle difluido si stanno deformando. Inoltre, mentre nel caso di un corpo solido la velocitaangolaree funzione solamente del tempo, nel caso di un continuo deformabile essapuo essere diversa da particella a particella, e quindie anche funzione della posizione,scriveremo percio Ω(r , t). Occorre ora trovare un modo per descrivere la rapidita concui si deforma localmente il fluido, oltre che la velocita con cui esso trasla e ruota. Inrealta, l’informazione cercatae interamente contenuta nel campo di velocita u(r , t),quindi il problema consiste nell’estrarre dal campo di velocita soltanto la parte relativaalla rapidita con cui si deformano le particelle. Per fare questo consideriamo duepunti vicini fra loro,r e r ′, entrambi appartenenti al campo di moto. Chiameremodrla differenzar ′ − r che, in coordinate cartesiane ortogonali, puo essere scritta comedr = dx x + dy y + dz z. Come sie detto, la velocita in entrambi i punti puo esserevista come somma di tre contributi: uno legato alla componente traslatoria del campodi moto, uno dovuto alla componente rotatoria del campo di moto piu un contributo cherappresenta la rapidita con cui il fluido si deforma. In altre parole possiamo scrivere

u(r , t) = U(t) + urotaz.(r , t) + udeform.(r , t)

u(r ′, t) = U(t) + urotaz.(r ′, t) + udeform.(r ′, t).



Nel caso in cui il moto del fluido sia puramente traslatorio, ossia quando la velocitae uniforme in tutti i punti del campo di moto, i due punti si muoveranno con lamedesima velocita, possiamo quindi ritenere che la differenza fra le velocita di duepunti vicini contenga le informazioni relative alla rapidita di rotazione e alla rapidita dideformazione delle particelle di fluido. Per vederlo, consideriamo questa differenza divelocita e supponiamo che i due punti siano molto vicini: siamo infatti interessati alleproprieta locali del campo di moto, punto per punto. Esprimendo la velocita nel puntor ′ = r + dr per mezzo dello sviluppo in serie di Taylor della velocita nell’intorno delpuntor , e troncando la serie ai termini infinitesimi del primo ordine, abbiamo

u(r ′, t) = u(r + dr , t)

= u(r , t) + ∂u∂x

dx x + ∂u∂y

dy y + ∂u∂z

dz z + O(

|r ′ − r |2)

≈ u(r , t) + ∂u∂x

dx x + ∂u∂y

dy y + ∂u∂z

dz z

in cui, per fissare le idee, abbiamo considerato un sistema dicoordinate cartesianee ortogonali. Se introduciamo la definizione del tensore gradiente della velocita G

costituito dalle derivate delle tre componenti della velocita rispetto a ciascuna dellecoordinate spaziali, le cui componenti cartesiane sono

G(u) → gi, j = ∂ui

∂x j,

possiamo esprimere la differenza di velocita in modo estremamente sintetico, comeprodotto scalare fra il tensoreG(u) e il vettoredr ,

u(r ′, t) − u(r , t) ≈ G(u) · dr .

Il tensoreG(u), in ogni punto del campo di moto, contiene una descrizione delleproprieta locali del campo di velocita per quanto concerne la rotazione e la deformazionedella particella di fluido. Allo scopo di descrivere la rapidita di deformazione dellaparticella, da cui dipendono gli sforzi viscosi, dobbiamo quindi estrarre dal tensoreG(u) la parte relativa soltanto all’effettiva rapidita di deformazione, depurandolo dalcontributo dovuto alla rotazione della particella. A tale scopo, consideriamo un campodi velocita puramente rotatorio, e quindi rigido, con velocita angolareΩ(t) e siar0(t) unpunto appartenente all’asse di rotazione, la velocita nel puntor e data dall’espressione

urot(r , t) = Ω(t)×[r − r0(t)]

dove il pedicerot indica il fatto che si tratta del solo contributo dovuto allarotazionedella particella. Allo stesso modo la velocita nel puntor ′ e data da

urot(r ′, t) = Ω(r ′, t)×[r ′ − r0(t)]

= Ω(r , t)×[r ′ − r0(t)] + O(

|r ′ − r |2)

cosicche la differenza della componente rotatoria della velocita fra i due puntir er ′ = r + dr risulta

urot(r ′, t) − urot(r , t) = Ω(r , t)×dr + O(

|dr |2)

.

Un calcolo diretto del prodotto vettoriale fornisce

urot(r ′, t) − urot(r , t)

= (Ωy dz − Ωz dy) x − (Ωx dz − Ωz dx) y + (Ωx dy − Ωy dx) z

= (Ωz y − Ωy z) dx + (Ωx z − Ωz x) dy + (Ωy x − Ωx y) dz.



Come fatto in precedenza, questa espressione puo essere riscritta in forma sinteticaintroducendo un nuovo tensore, il tensore velocita angolare che, in coordinate cartesianeortogonali, corrisponde alla matrice

R =

0 −Ωz Ωy

Ωz 0 −Ωx

−Ωy Ωx 0

.

Ma Ω e il vettore velocita angolare locale del campo di velocitau per cuiΩ = 12∇×u.

Potremo quindi scrivere

R(u) = 1

2

0∂u

∂y− ∂v

∂x

∂u

∂z− ∂w

∂x

∂v

∂x− ∂u

∂y0

∂v

∂z− ∂w

∂y

∂w

∂x− ∂u

∂z

∂w

∂y− ∂v

∂z0

,

e la variazione della componente rotatoria della velocita si puo esprimere come

urot(r ′, t) − urot(r , t) = R(u) · dr + O(

|dr |2)

.

Ricordiamo ora che ogni tensoreT puo essere scomposto in maniera unica nella sommadi un tensore simmetrico, tale cioe che per la sua rappresentazione in coordinatecartesiane ortogonali valga l’identita ti, j ≡ tj,i , e di un tensore antisimmetrico, cioetale cheti, j ≡ −tj,i : T = TS + TA. Definiamo ora il trasposto di un tensore, e loindichiamo con l’apicetr, quel tensore la cui rappresentazione cartesianae definitadalla relazionet tr

j,i = ti, j . Risulta evidentementeTS = 12(T + T

tr) eTA = 12(T − T

tr).Si vede subito che il tensoreR(u) appena calcolatoe antisimmetrico per cui potremoscrivere la differenza delle velocita del fluido in due punti molto vicini nel modoseguente

u(r ′, t) − u(r , t) = G(u) · dr = GA(u) · dr + GS(u) · dr

= R(u) · dr + D(u) · dr .

dove il secondo termine coinvolge la parte simmetrica del vettoreG(u) definita da

D(u) ≡ 12

[

G(u) + Gtr(u)

]

.

Questo tensore si chiamatensore di rapidita di deformazionee descrive il tipo dideformazione della particella di fluido. Gli elementi dellamatrice che rappresentanoD(u) in un sistema di coordinate cartesiane sono dati da

di, j (u) = 1

2

(

∂u j

∂xi+ ∂ui

∂x j

)

, i, j = 1, 2, 3,

ovverosia, scrivendo in forma dettagliata tutti gli elementi della relativa matrice,

D(u) =

∂u

∂xsim sim

1

2

[

∂u

∂y+ ∂v

∂x

]

∂v

∂ysim

1

2

[

∂u

∂z+ ∂w

∂x

]

1

2

[

∂v

∂z+ ∂w

∂y

]

∂w

∂z

La definizione generale del tensore di rapidita di deformazione che risulta valida perogni sistema di coordinate curvilinee ortogonalie invece la seguente

D(u) ←→ 12

[

η · (η′·∇)u + η

′· (η ·∇)u

]

,

dove η ed η′ sono due versori la cui direzione varia in tutte le possibilidirezioni, in

modo da generare il carattere tensoriale diD. Anche la definizione generale indicache la matrice del tensoreD(u) e simmetrica. Gli elementi diD(u) in un sistema dicoordinate curvilinee ortogonali con versoriη1, η2 ed η3 sono dati da



di, j (u) = 12

[

ηi · (η j ·∇)u + η j · (ηi ·∇)u]

, i, j = 1, 2, 3.

Per ricavare questi elementi si deve pertanto ricordare cheil calcolo della derivata(η j ·∇)u richiede di espandereu in termini delle sue componenti nello stesso sistemadi coordinate, ovvero,

(η j ·∇)u = (η j ·∇)(

u1 η1+ u2 η2+ u3 η3)

,

e di tenere conto che anche i versoriη1, η2 edη3 in generale possono dipendere da unao piu coordinate, per cui alcune derivate diηi potranno essere diverse da zero e quindivi potranno essere contributi aggiuntivi anche per le altrecomponenti ortogonali.

Fluido viscoso newtoniano

Per definire le proprieta del fluido riguardanti l’attrito interno viscoso si deve fornire illegame fra il tensore degli sforzi viscosi e quello di rapidita di deformazione, entrambisimmetrici. In linea teorica sono possibili legami aventi forme diverse, ma il casodi un semplice legamelineare fra D e S e particolarmente importante e conduce allaclasse di fluidi viscosi dettinewtoniani. Questa ipotesie il corrispettivo per i fluididell’ipotesi di linearita tra gli sforzi e la deformazione che caratterizza il comportamentoperfettamente elastico dei corpi solidi.

Supponiamo ora cheS sia una funzione lineare diD e che il fluido siaisotropo,cioe che le sue proprieta siano indipendenti dalla direzione nello spazio. Il principiodi invarianza rispetto alle rotazioni nello spazio permette allora di dimostrare (si vedal’originale dimostrazione proposta da Federico Lastaria nell’appendice T) che sonosufficienti solo due coefficienti scalari per caratterizzare il legame lineare fra i duetensori simmetriciD edS, e che tale legame assume la seguente forma

S(u) = 2µ D(u) + λ (∇· u) I,

dove µ si chiama coefficiente diviscosita (di taglio) e λ si chiama coefficiente diviscosita di dilatazione. Questi coefficienti devono soddisfare le condizioni seguenti:µ > 0 eλ + 2

3µ > 0.

In certi casi si preferisce fare comparire un nuovo tensore con traccia nulla. Os-servando allora che∇· u e uguale alla traccia diD(u), la relazione lineare precedentefra il tensore dei gradienti di velocita e il tensore degli sforzi viscosi si puo riscrivereanche nella forma seguente:

S(u) = 2µ[

D(u) − 13(∇· u) I

]

+ ζ (∇· u) I,

doveζ = 23µ + λ e chiamatosecondo coefficiente di viscosita per distinguerlo daµ,

che allorae indicato comeprimo coefficiente di viscosita.

In generale, per fluidi con proprieta generiche, il valore dei due coefficienti diviscosita dipende dalle condizioni termodinamiche del fluido, per cui potremo scrivere

µ = µ(T, P) e λ = λ(T, P).

Nel campo di moto del fluido avremo in generaleT = T (r , t) e P = P(r , t), per cuiil valore diµ eλ dipendera della posizione e dal tempo, ovvero avremo, per esempio,

µ(T (r , t), P(r , t)) = µ(r , t).

Osserviamo infine che il tensore degli sforzi viscosi si somma allo sforzo normaledovuto alla pressione per costituire iltensore totale degli sforzi

T(P, u) = −P I + S(u),

che per un fluido viscoso di tipo newtoniano assume la forma:

T(P, u) = −P I + 2µ D(u) + λ (∇· u) I.



Vettore sforzo viscoso relativo a una superficie

Possiamo ora determinare il vettore sforzo viscososn(u) relativo a una superficie connormale generican in un punto di un campo di motou di cui sia noto il tensore deglisforzi viscosiS(u). Per definizione abbiamosn(u) = S(u) · n, ovvero

sn,i (u) =3

∑

j=1

si, j (u) n j , i = 1, 2, 3.

Un calcolo diretto, sebbene un po’ noioso, in un sistema di coordinate curvilinee ortog-onali qualsiasi, ad esempio in coordinate cartesiane, permette di ricavare la seguenterelazione vettoriale

sn(u) = µ[

2(n ·∇)u + n×∇×u]

+ λ n ∇· u.

L’espressione nel secondo membro ha una forma vettoriale intrinseca e quindi puoessere utilizzata per calcolaresn(u) in qualunque sistema di coordinate curvilineeortogonali.

Forza di attrito viscoso

Nel caso di fluido viscoso, sulle particelle agisce una forzainterna di interazione dovutaall’attrito viscoso. La forza viscosa per unita di volumeFvisc si ottiene considerandoun volumetto di fluido e sommando tutte le forze agenti sulla sua superficie. Cioconduce a valutare la divergenza del tensore simmetrico degli sforzi viscosi S(u),ovvero all’espressione

Fvisc = ∇· S(u),

le cui componenti vettoriali sono date dall’espressione

Fviscj = ∇·

[

sη j(u)

]

, j = 1, 2, 3.

Sostituendo l’espressione esplicita disηj(u) si ha quindi

Fviscj = ∇·

[

2µ (η j ·∇)u + µ η j ×∇×u + λ η j ∇· u]

, j = 1, 2, 3.

Un calcolo ancora diretto, in un qualunque sistema di coordinate curvilinee ortogonali,ad esempio cartesiane, permette di dedurre la seguente espressione della forza viscosaper unita di volume agente in un fluido qualsiasi, anche comprimibile,

Fvisc = − ∇×(µ∇×u) + ∇(

(2µ + λ)(∇· u))

+ 2(∇µ)×∇×u − 2(∇µ)∇· u + 2((∇µ) ·∇)u.

Questo risultato ha una forma vettoriale intrinseca e quindi essoe valido in qualunquesistema di coordinate curvilinee ortogonali.

5.12 Viscosita nelle correnti incomprimibili

I tre termini della seconda linea dell’espressione diFvisc appena calcolata sono nulli sela viscosita di taglioµ del fluido puo essere considerata costante. Infatti, seµ = µ =costante, allora∇µ = ∇µ = 0 e inoltre il coefficiente costanteµ puo uscire all’esternodell’operatore di rotore, per cui l’espressione diFvisc si semplifica notevolmente:

Fvisc = −µ ∇×(∇×u) + ∇(

(2µ + λ)(∇· u))

.


ISBN XX-abc-defg-h PARAGRAFO 5.12: Viscosita nelle correnti incomprimibili 179

Introduciamo infine l’ipotesi che la corrente sia incomprimibile, per cui la condizione∇· u = 0 risulta essere soddisfatta. In questo caso l’espressionedella forza viscosa sisemplifica ulteriormente e diventa

Fvisc = −µ ∇×(∇×u) = µ[

∇2u − ∇(∇· u)]

,

avendo usato l’identita vettoriale∇×(∇×u) = −∇2u + ∇(∇· u). Sfruttando nuo-vamente l’ipotesi∇· u = 0, la forza viscosa per unita di volume nel caso di correnteincomprimibile assume la forma finale

Fvisc = µ ∇2u.

Corrispondentemente, anche il vettore sforzo viscoso relativo a una determinata di-rezionen per correnti incomprimibilie dato dall’espressione piu semplice

sn(u) = µ[

2(n ·∇)u + n×∇×u]

.

Forza agente sui corpi rigidi fermi

Il vettore sforzo viscoso sulla superficie di un corpo rigidofermo in una correnteincomprimibile si puo esprimere in un modo ancora piu semplice osservando che valela relazione

[(n ·∇)u]|superficie= −[n×∇×u]|superficie,

in conseguenza delle ipotesi∇· u = 0 eu|superficie= 0. La dimostrazione di questarelazionee presentata nell’approfondimento seguente.

Approfondimento 1 Dimostrare che in ogni punto della superficie di un corporigido fermo in una corrente incomprimibile vale la relazione

[(n ·∇)u]|s. r. f . = −[n×∇×u]|s. r. f .,

dove l’abbreviazione nell’indice superiore|s. r. f . denota la valutazione sulla superficiedi un corpo rigido fermo.

Soluzione Supponiamo che la superficie del corpo sia regolare, ossia senza spigoliin modo da potere definire in ogni suo punto un piano tangente.In un punto arbitrariodella superficie prendiamo allora un sistema di riferimentolocale cartesiano con ladirezionex coincidente con la normale e le altre due direzioniy e z tangenti.

Utilizziamo la forma cartesiana delle derivate spaziali e valutiamo il termine disinistra in forma esplicita ottenendo

[(x·∇)u]|s. r. f . =[

∂

∂x

(

u x + v y + w z)

]∣

∣

∣

∣

s. r. f .

=(

∂u

∂xx + ∂v

∂xy + ∂w

∂xz)

∣

∣

∣

∣

s. r. f .

.

Ma la condizione d’incomprimibilita∇· u = 0 scritta sulla superficie del corpo, ossia(∇· u)|s. r. f . = 0, espressa in coordinate cartesiane significa che

∂u

∂x

∣

∣

∣

∣

s. r. f .

= −∂v

∂y

∣

∣

∣

∣

s. r. f .

− ∂w

∂z

∣

∣

∣

∣

s. r. f .

,

in cui, essendou|s. r. f . = 0 e in particolarev|s. r. f . = v(0, y, z) = 0 e w|s. r. f . =w(0, y, z) = 0, le derivate parziali div ew sulla superficie sono nulle. Pertanto risulta∂u∂x

∣

∣

s. r. f . = 0, e quindi il termine considerato si riduce a due sole componenti

[(x ·∇)u]|s. r. f . = ∂v

∂x

∣

∣

∣

∣

s. r. f .

y + ∂w

∂x

∣

∣

∣

∣

s. r. f .

z.



Consideriamo ora il secondo membro della relazione da dimostrare. Abbiamo

x×∇×u = (x×∇×u)y y + (x×∇×u)z z

= −1(∇×u)z y + 1(∇×u)y z

= −(

∂v

∂x− ∂u

∂y

)

y +(

∂u

∂z− ∂w

∂x

)

z,

ovvero prendendo la traccia sulla superficie del corpo

[x×∇×u]|s. r. f . =(

− ∂v

∂x

∣

∣

∣

∣

s. r. f .

+ ∂u

∂y

∣

∣

∣

∣

s. r. f . )

y +(

∂u

∂z

∣

∣

∣

∣

s. r. f .

− ∂w

∂x

∣

∣

∣

∣

s. r. f . )

z.

Ma, sempre dato che il corpoe fermo,u|s. r. f . = 0, il secondo termine della componentey e il primo termine della componentez sono nulli e quindi risulta

[x×∇×u]|s. r. f . = −∂v

∂x

∣

∣

∣

∣

s. r. f .

y − ∂w

∂x

∣

∣

∣

∣

s. r. f .

z,

chee proprio l’opposto dell’espressione ottenuta del membro di sinistra della relazioneda dimostrare.

Utilizzando questo risultato, l’espressione del vettore sforzo viscoso nei punti dellasuperficie di un corpo rigido fermo investito da una correnteincomprimibile si riducea un solo termine nel modo seguente

ss. r. f . = −µ ns×∇×u|s. r. f .,

dovens e il versore normale alla parete e diretto verso il fluido. Il vettore sforzo totalesulla superficie del corpo rigido fermo sara allora

ts. r. f . =[

−P ns − µ ns×∇×u

]∣

∣

s. r. f ..

Per essere coerenti con la convenzione della direzione normale sempre uscente dalvolume in cui c’e il fluido, e opportuno considerare il versore normalen diretto insenso opposto a quello dins, ossian = −ns, per cui il vettore sforzo totale sullasuperficie del corpo rigido fermo sara

ts. r. f . =[

P n + µ n×∇×u]∣

∣

s. r. f .

essendon il versore normale standard, diretto verso l’esterno del dominio occupato dalfluido e quindi verso l’interno del corpo considerato.

La forza istantanea che il campo di moto incomprimibile esercita sul corpo fermoe quindi data da

Fc(t) =∮

Sc

P(r , t) n + µ

∮

Sc

n×∇×u(r , t),

dove, come al solito, abbiamo omesso gli elementi infinitesimi degli integrali con-siderati. La determinazione di questa grandezza richiede quindi di conoscere sia lapressione sia la vorticita (o meglio le sue componenti tangenti) su tutta la superficiedelcorpo immerso nella corrente.


ISBN XX-abc-defg-h PARAGRAFO 5.12: Viscosita nelle correnti incomprimibili 181

Approfondimento 2 Forza in funzione del solo campo di moto

La forza che una corrente incomprimibile esercita istantaneamente su un corpo rigidofermo dipende dalla distribuzione della pressione sulla sua superficie. In certi casirisulta difficile determinare sperimentalmente o per via numerica il campo della pres-sione, per cui puo essere comodo disporre di un’espressione alternativa della forzain termini del solo campo di moto. Una formula di tale tipo puo essere stabilitaintroducendo un opportuno campo scalarearmonico, mediante il quale il contributoalla forza dovuto all’integrale della pressione si puo esprimere in termini dei campivettoriali della velocita e della vorticita della corrente.

Fissato un vettoreacostante, consideriamo il seguente problema armonico, definitonella regione esterna alla superficieSc del corpo,

∇2ηa = 0, n ·∇ηa|Sc = n · a, n ·∇ηa|S∞ = 0,

doveS∞ rappresenta la superficie all’infinito. Riscriviamo l’equazione della quantitadi moto per la corrente incomprimibile con il termine viscoso in forma rotazionale,lasciando nel primo membro solo il termine della pressione:

∇P = −ρ∂u∂t

− ρ (u ·∇)u − µ ∇×ω,

doveω = ∇×u. Moltiplichiamo scalarmente ora questa relazione per∇ηa e integriamosu tutto il volume occupato dal fluido, ottenendo

∫

V(∇ηa) · ∇P =

∫

V(∇ηa) ·

(

−ρ∂u∂t

− ρ (u ·∇)u − µ ∇×ω

)

.

Analizziamo ora i vari termini, sfruttando il carattere armonico della funzioneηa neldominio e le sue condizioni al contorno. In virtu dell’identita differenziale∇· (φ∇η) =(∇φ) · (∇η) + φ∇2η = (∇φ) · (∇η) valida per ogni funzioneη armonica, il membro disinistra si puo scrivere come

∫

V(∇ηa) · ∇P =

∫

V∇· [(∇ηa) P] =

∮

∂Vn · [(∇ηa) P] =

∮

∂V(n ·∇ηa) P

=∮

Sc

(n ·∇ηa)|Sc P +∮

S∞(n ·∇ηa)|S∞ P∞ =

∮

Sc

n · a P,

dove si sono utilizzati il teorema della divergenza e le condizioni al contorno diηa.

Passando al membro di destra della relazione integrale, esaminiamo i suoi tretermini separatamente. Per l’identita differenziale∇·(ηu) = (∇η)·u+η∇·u = (∇η)·uvalida per ogni campou a divergenza nulla, il primo integrale risulta essere nullo.Infatti, usando ancora il teorema della divergenza, si vedeche

∫

V(∇η) ·

∂u∂t

=∫

V

∂

∂t

(

(∇η) · u)

= d

dt

∫

V∇· (ηu) = d

dt

∮

∂Vη n · u

= d

dt

[∮

Sc

η n · u|Sc +∮

S∞η n · u|S∞

]

= d

dt

[

0 +∮

S∞η n · x U

]

= Ud

dt

∮

S∞η nx = 0,

dove e stata usata la condizione al contorno della velocita sul corpo,u|Sc = 0, e agrande distanza da esso,u|S∞ = U x. Il secondo integrale del membro di destrarimane e si scrivera nel modo seguente

∫

V(∇ηa) · ρ (u ·∇)u = ρ

∫

V(∇ηa) · (u ·∇)u.



Infine, per il terzo e ultimo termine, l’identita differenziale elementare∇· (∇η×ω) =[∇×(∇η)] · ω − (∇η) · ∇×ω = −(∇η) · ∇×ω permette di ricavare, ricorrendo ancorauna volta al teorema della divergenza,

∫

V(∇ηa) · ∇×ω = −

∫

V∇· (∇ηa ×ω) = −

∮

∂Vn · ∇ηa ×ω

= −∮

Sc

n · ∇ηa ×ω −∮

S∞n · ∇ηa ×ω|S∞ =

∮

Sc

n×ω · ∇ηa.

In conclusione, l’integrale considerato della pressione sulla superficie vale

∮

Sc

P n · a = −ρ

∫

V(∇ηa) · (u ·∇)u − µ

∮

Sc

n×ω · ∇ηa.

Sommando infine il termine della forza dovuto alla pressionecosı trovato a quelloviscoso proiettato lungo la direzionea, si ottiene

Fc(t) · a = −ρ

∫

V(∇ηa) · (u ·∇)u + µ

∮

Sc

n×ω · (−∇ηa + a).

Il termine non lineare puo anche essere trattato in forma rotazionale: la dimostrazionevale lo stesso, tenendo conto della condizione al contorno per u. Otteniamo in questomodo l’espressione finale della componente in direzionea della forza che il fluidoesercita sul corpo rigido fermo in una corrente incomprimibile:

Fc(t) · a = ρ

∫

Vu×ω · ∇ηa + µ

∮

Sc

n×ω · (−∇ηa + a).

Notare che l’assenza della pressione in questa espressionenon significa che la pressionenon agisce sul corpo, bensı che il termine corrispondentee rappresentato dalla sommadei due termini coinvolgenti il campo ausiliario∇ηa. Per determinare ilvettore forzaoccorre naturalmente risolveretre problemi armonici, scegliendo il vettorea in tredirezioni spaziali indipendenti.

5.13 Energia cinetica delle correnti incomprimibili viscose

Come sie gia detto, nelle correnti incomprimibili gli aspetti termodinamici del fluidoin esame sono estromessi completamente dal sistema di equazioni che governano ilsuo moto. D’altra parte, le particelle di un fluido, anche di densita uniforme, hannoun’energia cinetica per cuie utile esaminare come varia l’energia cinetica del fluidonelle correnti incomprimibili dipendenti dal tempo. In questo paragrafo si studial’equazione che governa la variabile di campo1

2|u|2 che rappresenta l’energia cineticaspecifica, ovvero per unita di massa. In una corrente incomprimibile questa grandezzae proporzionale alla densita di energia cinetica1

2ρ|u|2. L’equazione dell’energiacinetica che ricaveremoe dedotta dalle equazioni di Navier–Stokes incomprimibili equindi essa non costituisce un’equazione indipendente da soddisfare bensı ne e unadiretta conseguenza.

Il punto di partenza del ragionamento sono le equazioni di Navier–Stokes con iltermine non lineare espresso in forma rotazionale, vale a dire,

∂u∂t

+ (∇×u)×u + ∇(1

2|u|2 + p)

= ν ∇2u,

∇· u = 0,


ISBN XX-abc-defg-h PARAGRAFO 5.13: Energia cinetica delle correnti incomprimibili viscose 183

dove p ≡ pressione/ρ. Moltiplicando scalarmente peru l’equazione della quantita dimoto e tenendo conto che risultau ·

∂u∂t = ∂

∂t

(12|u|2

)

, otteniamo

∂

∂t

(12|u|2

)

+ u · ∇(1

2|u|2 + p)

= ν u · ∇2u.

Il termine u · ∇2u puo essere espresso in modo conveniente in base alla seguenteidentita differenziale

∇· [(u ·∇)u] = ∇·[

(∇×u)×u + ∇(1

2|u|2)]

= ∇· [(∇×u)×u] + ∇2(12|u|2

)

= [∇×∇×u] · u − (∇×u) · (∇×u) + ∇2(12|u|2

)

= u ·∇×∇×u − |∇×u|2 + ∇2(12|u|2

)

.

Essendo la corrente incomprimibile,∇· u = 0, abbiamo∇×∇×u = −∇2u, per cui,risolvendo la relazione rispetto al termineu · ∇2u, otteniamo

u · ∇2u = ∇2(12|u|2

)

− |∇×u|2 − ∇· [(u ·∇)u].

Utilizzando questa identita, l’equazione dinamica diventa

∂

∂t

(12|u|2

)

+ u ·∇(1

2|u|2 + p)

− ν ∇2(12|u|2

)

+ ν|∇×u|2 = −ν ∇· [(u ·∇)u].

Questa equazione si puo anche scrivere piu compattamente introducendo la variabilekche rappresenta l’energia cinetica specifica:

k(r , t) ≡ 12|u(r , t)|2,

per cui si ha l’equazione

∂k

∂t+ u ·∇(k + p) − ν ∇2k + ν|∇×u|2 = −ν ∇· [(u ·∇)u].

Decadimento dell’energia cinetica

Introduciamo a questo punto l’energia cinetica totale(sempre per unita di massa) ditutto il fluido contenuto in una regioneV

KV (t) ≡∫

Vk(r , t),

dove il volume infinitesimodV e stato omesso, come di consueto. Integriamol’equazione di evoluzione della variabilek sulla regioneV . L’integrale del termineu ·∇(k + p) e nullo in virtu del teorema di ortogonalita di Ladyshenskayafra icampi vettoriali a divergenza nulla e con componente normale nulla sulla frontiera, elo spazio dei gradienti delle funzioni scalari, ovverosia

∫

Vv ·∇φ = 0,

dove∇· v = 0 en · v|∂V = 0 eφ e una funzione differenziabile qualsiasi.

Supponendo quindi che la superficie della regione fissaV sia impermeabile, deveesseren · u|∂V = 0 e l’integrazione su tutta la regioneV dell’equazione di evoluzionedi k fornisce

d KV

dt+ ν

∫

V

[

−∇2k + |∇×u|2]

= −ν

∫

V∇· [(u ·∇)u].



Essendo∇2k = ∇· ∇k, il teorema della divergenza implica che

d KV

dt− ν

∮

∂Vn ·∇k + ν

∫

V|∇×u|2 = −ν

∮

∂Vn · (u ·∇)u.

Supponiamo ora per semplicita che la condizione al contorno della velocita sia nullasu tutta la frontiera∂V , ossiau|∂V = 0. (Nel caso in cui la velocita sul contornoediversa da zero, l’equazione finale conterrebbe due integrali di superficie supplementaridescriventi un flusso attravero la frontiera del dominio.) Sotto l’ipotesi di velocita sulcontorno nulla, l’ultimo integrale dell’equazionee nullo per cui, portando nel membrodi destra gli altri due integrali, l’equazione si riduce a

d KV

dt= ν

∮

∂Vn ·∇k − ν

∫

V|∇×u|2.

Osserviamo ora che, essendo nulla la velocita sulla frontiera, si ha anchek|∂V =12|u|∂V |2 = 0 e inoltrek ≥ 0 in ogni punto del fluido interno al dominio. Di con-seguenza il vettore(∇k)|∂V e necessariamente diretto verso l’interno del dominiooccupato dal fluido, per cui(n ·∇k)|∂V < 0. Pertanto il primo integralee necessari-amente negativo e cio significa che una superficie fissa sottrae sempre energia allacorrente incomprimibile viscosa. Inoltre anche il secondoterminee sempre negativoper cui la presenza di vorticita nel fluido comporta un’ulteriore diminuzione diKV .Quindi necessariamente

d KV

dt< 0

e l’energia cinetica totale del fluido contenuto nella regione V puo solo diminuire.Questo risultato sembra contraddire il principio di conservazione dell’energia mecca-nica. La contraddizionee tuttavia solo apparente in quanto il nostro modello fluidodi-namico include il fenomeno della viscosita, chee un attrito interno al fluido, per cuiva oltre i confini di una descrizione puramente meccanica delsistema. In effetti ladiminuzione dell’energia cinetica comporta un aumento dell’energia interna del fluidoche si riscalda in conseguenza del fenomeno dell’attrito viscoso.

5.14 Convezione naturale nei liquidi con comprimibilita non nulla

Esiste un’ampia classe di correnti in cui il moto del fluidoe causato dalle forze digalleggiamento. Con questo termine si intendono le forze provocate dalle variazioni didensita del fluido in presenza del campo di gravita. Il fatto che la densita del fluido sianon uniforme significa di solito che il fluidoe comprimibile. Di conseguenza, lo studiogenerale delle correnti causate dalle forze di galleggiamento, fenomeno che chiamiamodi solito convezione naturale, puo essere affrontato solo nell’ambito della teoria deifluidi comprimibili, che sara sviluppata nei capitoli 9 e 10, riguardanti rispettivamentei fluidi non viscosi e quelli viscosi.

Tuttavia, in certe condizioni che possono essere chiarite completamente soloGli argomenti della deduzionedi questo paragrafo sonoeuristici (non rigorosi). Unadeduzione matematicamentecorretta delle equazioni dellaconvezione naturale puo essereformulata solo partendo dalleequazioni di Navier–Stokescomplete che governano il motodei fluidi reali, cioe viscosi ecomprimibili.

nell’ambito dello studio delle correnti comprimibili, la corrente puo essere descrittacon sufficiente approssimazione da un sistema di equazioni piu semplici contenentila condizione d’incomprimibilita e che quindi presentano interessanti analogie con leequazioni di Navier–Stokes incomprimibili. Sfortunatamente, la deduzione di questosistema particolare di equazioni a partire dalle equazionidi Navier–Stokes generaliper i fluidi comprimibili e molto complicata. D’altra parte, dato il notevole inter-esse applicativo dei fenomeni di convezione naturale, in questo paragrafo forniremo leequazioni che governano questo tipo di correnti, senza pero pretendere di giustificarein modo rigoroso la loro origine. Affronteremo il caso di unasostanza allo stato liquidoper semplificare il ragionamento, il caso di una sostanza allo stato gassoso risulta infattimolto piu complicato.


ISBN XX-abc-defg-h PARAGRAFO 5.14: Convezione naturale nei liquidi con comprimibilit a non nulla 185

Una caratteristica tipica dei liquidie la loro ridotta comprimibilita. Precisamente, ilcoefficiente di comprimibilita isoterma (definito nel paragrafo D.8 dell’appendice D)

κT = 1

ρ

∂ρ(T, Ptermo)

∂ Ptermo

di un liquidoe estremamente piccolo e pressocche indipendente dal valore della pres-sione termodinamica, indicata conPtermo proprio per distinguerla dalla variabilePche compare nelle equazioni di Navier–Stokes incomprimibili, che e invece il solitomoltiplicatore di Lagrange. Per avere un’idea degli ordinidi grandezza si pensi che perl’acqua, a 20C, il coefficiente di comprimibilita isotermae pari a 4.6 × 10−10 Pa−1.Consideriamo ora il coefficiente di dilatazione o espansione termica (vedi ancora D.8)

α = − 1

ρ

∂ρ(T, Ptermo)

∂T,

nei liquidi esso assume valori decisamente piu grandi rispetto a quelli tipici del coef-ficiente di comprimibilita isoterma. Nel caso dell’acqua, sempre a una temperatura di20C, assume un valore di circa 2.1 × 10−2 K−1. Non e pero importante il rapportofra i valori dei due coefficienti, quanto piuttosto il rapporto fra le variazioni di densitadovute alle variazioni della pressione e quelle dovute allavariazione temperatura, nelfenomeno in esame.

Consideriamo il problema della convezione naturale. Le velocita in gioco sonodell’ordine del metro al secondo e questo comporta variazioni di pressione dell’ordinedi 103 pascal, ovvero variazioni di densita κT ∆P ≈ 10−7 kg/m3. Le variazioni ditemperatura sono tipicamente dell’ordine del kelvin e comportano variazioni di densitadell’ordine diα∆T ≈ 10−2 kg/m3. Le variazioni di densita dovute al moto sono quindidi circa 5 ordini di grandezza inferiori a quelle dovute allevariazioni di temperatura.Questo ragionamentoe valido fintanto che le variazioni di densita dovute alla pressioneidrostatica rimangono minori di quelle dovute al campo di moto, ovvero su distanzeinferiori al metro. Per variazioni di altezza maggiori, le variazioni di densita causatedalla pressione idrostatica supereranno quelle dovute al movimento del fluido. Tuttavia,fino ad altezze dell’ordine di 10 m il rapporto non supera i 3 ordini di grandezza e quindie lecito trascurare la dipendenza della densita dalla pressione.

Sotto queste ipotesi, possiamo ritenere che la densita del liquido dipenda solo dallatemperatura cosicche anche il coefficiente di dilatazione puo essere considerato fun-zione solo diT . Per variazioni limitate della temperatura, poi, i cambiamenti di densitadi un liquido sono descritti in modo sufficientemente accurato dall’approssimazionelineare

ρ = ρ(T, Ptermo) = ρ(To + ∆T, Ptermo)

≈ ρ(To, Ptermo) + ∂ρ(To, Ptermo)

∂T∆T

= ρo[

1 − αo∆T]

,

doveρo ≡ ρ(To, Ptermo) e αo ≡ 1ρo

∂ρ(To,Ptermo)∂T . Se ora utilizziamo questa approssi-

mazione nel termine di forza di gravita ρg, l’equazione della quantita di moto percorrenti incomprimibili di un liquido viscoso potra essere scritta nella forma seguente

ρ

[

∂u∂t

+ (u ·∇)u]

+ ∇P = µ ∇2u + ρo[

1 − αo∆T]

g.

Trascurando termini 2 ordini di grandezza piu piccoli rispetto a quello principale sarapossibile anche approssimare la densita del fluido con il valore costanteρo nel coef-ficiente del primo membro, come faremo fra breve. Per il momento, se introduciamouna nuova variabile pressioneQ che contiene il contributo dellapressione idrostatica,ovvero definiamo

Q ≡ P + ρogz,



l’equazione della quantita di moto diventa

ρ

[

∂u∂t

+ (u ·∇)u]

+ ∇Q = µ ∇2u − ρoαo∆T g.

Siccome in tale equazione compare la temperatura del fluido,o meglio la sua varia-zione∆T , come incognita del problema,e necessario considerare anche la legge diconservazione dell’energia del fluido.

Equazione della temperatura per correnti incomprimibili

Per il presente scopo della convezione naturale in un liquido, e conveniente esprimerela legge di conservazione dell’energia scegliendo come incognita l’energia internaspecificae dell’equazione seguente (vedere i paragrafi 10.3 e 9.5) chee governata

ρ∂e

∂t+ ρu ·∇e + P ∇· u = ∇· (κ∇T ) + 2µ|D(u)|2.

In questa relazioneP e la pressione termodinamica,κ il coefficiente di conducibilitaLe dimensioni dellaconducibilita termicaκ sono

[κ] = J

m · s · K= m · kg

s3 · K

termica, che non deve essere confuso con il coefficiente di comprimibilita isotermaκT

visto in precedenza. Inoltre,D(u) e il tensore di rapidita di deformazione del fluidodefinito nel paragrafo precedente, per cui il suo “modulo al quadrato”e dato da

|D(u)|2 =3

∑

i=1

3∑

j=1

di, j (u) di, j (u).

L’aspetto fondamentale dell’equazione dell’energia nel caso di corrente incomprimibilee che il termine contenente la pressioneP del fluido sparisce, dato che il campo divelocita e supposto a divergenza nulla. Avremo pertanto la seguente equazione perl’energia specificae

ρ

[

∂e

∂t+ u ·∇e

]

= κ ∇2T + 2µ |D(u)|2 (corrente incomprimibile)

dove sie anche supposto che la viscosita e il coefficiente di conducibilita termica sianocostanti.

Consideriamo ora l’equazione di statoe = e(T, ρ) per cui avremo

de =(

∂e

∂T

)

ρ

dT +(

∂e

∂ρ

)

Tdρ

e i due termini del membro di sinistra dell’equazione dell’energia si possono espanderenel seguente modo

∂e

∂t+ u ·∇e =

(

∂e

∂T

)

ρ

[

∂T

∂t+ u ·∇T

]

+(

∂e

∂ρ

)

T

[

∂ρ

∂t+ u ·∇ρ

]

=(

∂e

∂T

)

ρ

[

∂T

∂t+ u ·∇T

]

= cv(T, ρ)

[

∂T

∂t+ u ·∇T

]

,

dove nel penultimo passaggioe stata usata la legge di conservazione della massa nellaforma ∂ρ

∂t + u ·∇ρ = 0 che vale quando∇· u = 0, e nell’ultimo si e introdotto ilcalore specifico a volume costantecv del fluido. Pertanto l’equazione dell’energia sitrasforma nella seguenteequazione della temperatura

ρ cv(T, ρ)

[

∂T

∂t+ u ·∇T

]

= κ ∇2T + 2µ |D(u)|2 (corrente incomprimibile).



Equazioni di Navier–Stokes–Boussinesq

Mettiamo ora a sistema le equazioni che descrivono il vincolo d’incomprimibilita, ilbilancio della quantita di moto e l’evoluzione del campo di temperatura, quest’ultimacon l’incognitaT sostituita dalla variabile∆T = T − To:

∇· u = 0,

ρ

[

∂u∂t

+ (u ·∇)u]

+ ∇P = µ ∇2u + ρo[

1 − αo∆T]

g,

ρ cv(T, ρ)

[

∂∆T

∂t+ u ·∇∆T

]

= κ ∇2∆T + 2µ |D(u)|2.

Le variabili incognite contenute in questo sistema di 1+ 3+ 1 equazioni sonoρ, u, Pe∆T , per cui c’e un’incognita in piu del numero di equazioni.

L’ approssimazione di Boussinesqdelle equazioni precedenti consiste nell’ipotesiad hoc (ovvero brutale) di assumere che il valore della densita e della temperatura checompaiono a sinistra delle equazioni possano essere considerati uguali alle quantitacostantiρo e To. Secondo questa assunzione, il sistema potra essere scritto nel modoseguente

∇· u = 0,

∂u∂t

+ (u ·∇)u + ∇q = µ

ρo∇2u + g αo∆T z,

∂∆T

∂t+ u ·∇∆T = κ

ρo cv,o∇2∆T + 2µ

ρo cv,o|D(u)|2,

dovecv,o ≡ cv(To, ρo) e dove la variabileq rappresenta la pressione con incluso ilcontributo idrostatico, divisa per la densita costanteρo, ovvero:

q ≡ Q

ρo= P

ρo+ gz.

Naturalmente questa variabile continua ad avere la natura di moltiplicatore di La-grange associato al vincolo d’incomprimibilita per cuie ancora priva di qualunqueconnotazione termodinamica. Il sistema di equazioni cosı ricavato ha un numero diequazioni uguale al numero d’incognite. Questo sistema descrive in modo adeguatola convezione naturale nei liquidi di bassa comprimibilita ede usualmente chiamatosistema delleequazioni di Navier–Stokes–Boussinesq.

Equazioni adimensionali e numeri di Prandtl e Grashof

La versione adimensionale delle equazioni di Navier–Stokes–Boussinesq si ricavaseguendo lo stesso percorso adottato per le equazioni di Navier–Stokes nel paragrafo5.5. Il primo passoe quello di scegliere le grandezze fisiche di riferimento cheriteniamopiu utile impiegare nel procedimento di adimensionalizzazione. Poiche le equazioniconsiderate sono utilizzate principalmente nello studio della convezione naturale,eopportuno scegliere grandezze di riferimento che siano congruenti con tale fenomeno.

Come gia fatto nel rendere adimensionali le equazioni di Navier–Stokes, sceglie-remo come grandezze di riferimento una lunghezzaL, che rappresenta una dimensionecaratteristica del dominio all’interno del quale avvengono i fenomeni. Come secondagrandezza di riferimento sceglieremo una velocita, ma nei problemi tipici di convezionenaturale non esiste una velocita caratteristica imposta dall’esterno per cui si deve seguireun procedimento diverso. Si introduce inizialmente una nuova grandezza dimensionaledefinita dal rapporto fra il coefficiente di conducibilita termicaκ e il prodotto delladensitaρo con il calore specifico a volume costantecv,o, che rappresenta uncoefficientedi diffusivit a o diffusione termica e che si indica conχo, ovvero si definisce



χo ≡ κ

ρo cv,o.

Questa grandezza ha le dimensioni di una lunghezza al quadrato divisa per un tempo,per cui permette di definire una velocitaUrif di riferimento per mezzo della relazione

Urif ≡ χo

L= κ

L ρo cv,o.

Accanto a queste due grandezze di riferimento, assumiamo ancora la densita del fluidoρo e una differenza di temperatura tipica∆T come restanti grandezze per il procedi-mento di adimensionalizzazione.

Incominciamo considerando le variabili indipendentir e t e i corrispondenti ope-ratori di derivazione. Come nel caso delle equazioni di Navier–Stokes, indicheremocon una tilde tutte le quantita adimensionali. Il vettore posizione adimensionaler e irelativi operatori di derivazione spaziale saranno legatialla loro versione dimensionaledalle semplici relazioni

r = rL

, ∇ = d rdr

∇ = 1

L∇ e ∇2 = 1

L2 ∇ 2.

Consideriamo ora il tempot . La sua adimensionalizzazione si ottiene definendo untempo di riferimento che indichiamo con la letteraT (da non confondere con la variabiletemperatura) in base alla velocitaUrif e alla lunghezzaL di riferimento, ossia:

T = L

Urif= L2

χo= L2ρo cv,o

κ,

che rappresenta il tempo tipico della diffusione della temperatura su una distanzaunitaria. Il tempo adimensionalet e la sua derivata sono pertanto legati alle loroversioni dimensionali delle relazioni

t = t

T= χo

L2 t e∂

∂t= χo

L2

∂

∂ t.

La velocita adimensionaleu e definita da

u = uUrif

= L

χou.

Per la sua natura semplicissima la condizione di incomprimibilit a adimensionaleeformalmente identica a quella dimensionale, ossia risulta

∇· u = 0.

Consideriamo ora l’equazione della quantita di moto e sostituiamo le variabili incognitecon le loro corrispondenti quantita adimensionali. Otteniamo

χo

L2

χo

L

∂u∂ t

+ χ 2o

L2

1

L(u ·∇)u + 1

L∇q = µ

ρo

1

L2

χo

L∇ 2 u + g αo ∆T ∆T z.

Moltiplicando l’equazione perL3

χ 2o

e introducendo la pressione adimensionaleq = L2qχ 2

osi ottiene

∂u∂ t

+ (u ·∇)u + ∇q = µ

ρo χo∇ 2 u + L3g αo ∆T

χ 2o

∆T z.



Introduciamo ora ilnumero di Prandtl che, nel caso di unliquido, e definito da

Pr = µ

ρo χo= µ cv,o

κ

e che rappresenta il rapporto fra il coefficiente di diffusione della quantita di moto, laviscosita cinematica, e il coefficiente di diffusione termica. Nel caso di gas, il numerodi Prandtle definito invece come Pr= µ cP,o/κ. Introduciamo inoltre ilnumero diRayleighdefinito da

Ra= L3g αo ∆T

χ 2o

che misura l’entita del rapporto fra le forze di galleggiamento dovute alle variazioni ditemperatura nel fluido e le forze viscose. Utilizziamo questi due numeri adimensionalie riscriviamo l’equazione della quantita di moto adimensionale in modo piu semplice,eliminando tutti i segni di tilde:

∂u∂t

+ (u ·∇)u + ∇q = Pr∇2u + Ra∆T z.

In alternativa al numero di Rayleigh si introduce spesso ilnumero di Grashof

Gr = L3gρo αo ∆T

µ χo= L3gρ2

o αo cv,o ∆T

µ κ.

Si vede subito che i tre numeri adimensionali introdotti sono legati dalla relazione

Ra= Pr Gr.

Terminiamo il procedimento di adimensionalizzazione considerando l’equazione perla differenza di temperatura

∂∆T

∂t+ u ·∇∆T = χo∇2∆T + 2µ

ρo cv,o|D(u)|2.

Introducendo l’incognita adimensionale∆T = ∆T/∆T e sostituendo le variabili conle loro corrispondenti quantita adimensionali si ottiene:

χo

L2 ∆T∂∆T

∂ t+ χo

L

1

L∆T u·∇∆T = χo

1

L2 ∆T ∇ 2∆T + 2µ

ρo cv,o

1

L2

χ 2o

L2

∣

∣D(u)∣

∣

2

Moltiplicando l’equazione per L2

χo∆T si ottiene l’equazione della differenza di tempe-ratura in forma adimensionale

∂∆T

∂ t+ u ·∇∆T = ∇ 2∆T + 2µ χo

L2ρo cv,o ∆T

∣

∣D(u)∣

∣

2.

Possiamo allora introdurre un nuovo numero adimensionale,senza nome, che indiche-remo con Nn,

Nn = 2µ χo

L2ρo cv,o ∆T= 2µ κ

L2ρ2o c2

v,o ∆T

che misura l’entita del rapporto fra la dissipazione energetica dovuta alla viscosita eil contenuto energetico della corrente. Utilizzando questo numero adimensionale escrivendo poi tutte le grandezze adimensionali senza il segno di tilde, l’equazione delladifferenza di temperatura adimensionale appare nella forma seguente

∂∆T

∂t+ u ·∇∆T = ∇2∆T + Nn |D(u)|2.



In condizioni ordinarie, il valore del numero adimensionale Nne molto piccolo per cuidi solito il termine corrispondente none incluso nell’equazione. In effetti, considerandoil caso di un liquido che sia l’acqua in condizioni ambiente ivalori caratteristici dellevaria grandezze che compaiono nel numero adimensionale sono ρ = 103 kg/m3, µ ≈1.0× 10−3 kg/(m · s), κ ≈ 56 J/(m · s · K) ecv = 4.19× 103 J/(kg · K). Assumendouna differenza di temperatura di riferimento pari a 1 grado,si ottiene

Nn ≈ 10−14 m2

L2 ,

per cui nei problemi che si svolgono sulle ordinarie scale spaziali macroscopiche, il ter-mine della funzione di dissipazione puo essere tralasciato rispetto agli altri senza provo-care conseguenze apprezzabili. Il nuovo numero adimensionale e invece dell’ordinedell’unita quando la lunghezza di riferimentoL e dell’ordine di

L ≈ 10−7 m.

Queste sono le distanze caratteristiche dei fenomeni sullascala nanometrica, per cui iltermine di dissipazione viscosa potrebbe giocare un ruolo non trascurabile nello studiodi fenomeni di dinamica dei liquidi nell’ambito delle nanotecnologie.

Il sistema completo delle equazioni di Navier–Stokes–Boussinesq in forma adi-mensionalee dunque il seguente

∇· u = 0,

∂u∂t

+ (u ·∇)u + ∇q = Pr∇2u + Pr Gr∆T z,

∂∆T

∂t+ u ·∇∆T = ∇2∆T + Nn |D(u)|2,

dove la variabileq =(

L/χ2o

)

(P/ρo + gz) gioca il ruolo della pressione.

5.15 Equazioni di Navier–Stokes nei sistemi di riferimento rotanti

Questo paragrafoe dedicato allo studio delle correnti incomprimibili in un sistema diriferimento rotante. In un tale sistema gioca un ruolo fondamentale la forza di Coriolische provoca correnti aventi caratteristiche molto particolari. La manifestazione piuspettacolare degli effetti della rotazione sul moto di un fluido causati dalla forza diCoriolise senza dubbio la formazione di cicloni nell’atmosfera terrestre. Per analizzarele correnti nei sistemi di riferimento rotantie necessario tenere conto delle forzeapparenti agenti sulle particelle del fluido. Queste forze sono dovute alla non inerzialitadel sistema in cui il moto del fluidoe descritto e devono essere incluse come forzedi volume esterne nell’equazione di bilancio della quantita di moto. La presenteesposizione si limita solo solo agli elementi fondamentalie il lettore interessato troverauna trattazione piu approfondita nel testo di Michel RieutordUne introduction a ladynamique des fluides.

La modifica da apportare alle equazioni di Navier–Stokes si ricava esaminandoinizialmente il problema piu semplice delle equazioni del moto di una particella in unsistema rotante con una determinata velocita angolareΩ. SeR = R(t) e il vettoreposizione della particella di massam al tempot nel sistema rotante ef e la risultantedelle forze (d’interazione) agenti su di essa, la legge fondamentale della dinamicavalida in un sistema di riferimento inerziale stabilisce che

md2Rdt2 = f .


ISBN XX-abc-defg-h PARAGRAFO 5.15: Equazioni di Navier–Stokes nei sistemi di riferimento rotanti 191

In un sistema non inerziale rotante con velocita angolareΩ questa legge deve esseremodificata includendo le forze detteapparenti o inerziali . Nel caso di pura rotazionecon velocita angolareΩ costante, tali forze sono solo due: laforza centrifuga −mΩ×

(Ω×R) e laforza di Coriolis −2mΩ×V, doveV = V(t) e la velocita della particellaal tempot nel sistema rotante. Esse devono essere sommate alla forzaf affinche laseconda legge della dinamica possa essere utilizzata anchenel sistema di riferimentonon inerziale. Per l’analisi delle equazioni della dinamica dei fluidi e preferibilefare apparire questi i termini direttamente a sinistra per cui scriveremo l’equazionemodificata del moto della paricella nella maniera seguente

m

[

d2Rdt2 + 2Ω×V + Ω×(Ω×R)

]

= f ,

ovverosia, dato che l’accelerazionee la derivata prima della velocita,

m

[

dVdt

+ 2Ω×V + Ω×(Ω×R)

]

= f .

Questae la legge del moto per una particella puntiforme nel sistemarotante con velocitaangolareΩ costante.

Se ora consideriamo un fluido di densita uniformeρ, possiamo prendere unaparticella di volume∆V la cui massa sara∆m = ρ ∆V . Trattandosi di una particelladi fluido, la sua velocita e indicata conu mentre la sua posizionee data dar . Nelcaso di fluido viscoso, la forza agente per unita di volume comprendera il contributodovuto alla pressione−∇P e quello dovuto alla viscosita µ ∇2u, oltre alla forza divolume esternaρg del campo di gravita. Quindi, l’equazione del moto precedente perla particella puntiforme diventa nel caso di una particelladi fluido

ρ

[

∂u∂t

+ (u ·∇)u + 2Ω×u + Ω×(Ω×r)]

+ ∇P = µ ∇2u + ρg.

Nel passaggio dall’equazione per la particella a quella delfluido la derivata temporale(ordinaria) della velocita V(t), che e l’accelerazione della particella puntiforme,estata sostituita con la somma della derivata parziale rispetto al tempo e della derivatadirezionale del campo di velocita u(r , t), che rappresentano assieme l’accelerazionedella particella di fluido, come descritto nel paragrafo 3.1.

Dividiamo ora l’equazione trovata per la densitaρ e, grazie all’identita

Ω×(Ω×r) = −12∇|Ω×r |2,

introduciamo una pressioneridotta, sempre per unita di massa,

p ≡ P

ρ− 1

2|Ω×r |2

che contiene un termine supplementare, dettocentrifugo. L’equazione della quantitadi moto finale e la condizione d’incomprimibilita costituiranno il seguente sistema chegoverna il moto di un fluido viscoso newtoniano in un sistema riferimento rotante convelocita angolareΩ:

∂u∂t

+ 2Ω×u + (u ·∇)u + ∇p = ν ∇2u + g,

∇· u = 0,

doveν = µ/ρ.



Equazioni adimensionali e numeri di Ekman e di Rossby

Per stimare l’importanza degli effetti della rotazionee necessario introdurre le variabiliadimensionali. Supponiamo esista una scalaL delle lunghezze e una velocita U diriferimento. Per quanto riguarda la scala dei tempi, scegliamo il periodo di rotazione,ovvero prendiamo il tempo di riferimentoT = (2Ω)−1, che e l’inverso dellapul-sazione di Coriolis. Per mezzo delle grandezze caratteristiche cosı stabilite definiamole variabili adimensionali

r = rL

, u = uU

, t = 2Ω t.

Seguendo il procedimento consueto, l’equazione della quantita di moto (senza il terminedi forza esterna) diventa

∂u∂ t

+ z×u + U

2ΩL(u ·∇)u + 1

2ΩLU∇p = ν

2ΩL2 ∇ 2u

dove∇ rappresenta il gradiente rispetto alle coordinate spaziali adimensionali. Intro-duciamo infine la pressione adimensionale

p = p

2ΩLU= P

2ρ ΩLU,

e definiamo allora i due parametri adimensionalinumero di Rossbye numero diEkman

Ro ≡ U

2ΩLe Ek≡ ν

2ΩL2 .

Per semplicita di scrittura eliminiamo la tilde da tutte le variabili adimensionali, otte-nendo l’equazione della quantita di moto

∂u∂t

+ z×u + Ro(u ·∇)u + ∇p = Ek∇2u.

Il numero di Ekman misura il rapporto fra la forza viscosa e laforza di Coriolis mentre ilnumero di Rossby misura l’ampiezza dei termini non lineari rispetto all’accelerazionedi Coriolis. Una corrente sara dominata dalla rotazione se questi due numeri sonopiccoli rispetto all’unita. Le espressioni di questi numeri adimensionali mostrano chegli effetti della rotazione si faranno sentire sulle grandidistanze.

Consideriamo, ad esempio, il caso del sistema di riferimento solidale con laTerra: la velocita angolare di rotazione della Terra attorno al proprio assee ΩT =7.29× 10−5 s−1 ovvero 2ΩT = 1.46× 10−4 s−1, e quindi(2ΩT)−1 = 6.86× 103 s.Nell’atmosfera terrestre un vento di 100 km/h ≈ 30 m/s e dominato dalla rotazione seL ≥ 200 km. Nell’oceano, le correnti marine, che hanno una velocita tipicaU ≈ 1 m/smolto inferiore, sono influenzate dalla rotazione su distanze piu piccole, dell’ordine di7 chilometri. I numeri di Ekman coinvolti sono pure molto piccoli rispetto all’unita:ad esempio, nell’oceano (νacqua ≈ 1.0 × 10−6 m2/s) per scale dell’ordine di 10 km,Ek < 10−10. Si constata quindi che i movimenti di grande scala nell’atmosfera e neglioceani sono influenzati fortemente dalla rotazione terrestre.

Equazioni in forma rotazionale

Una versione alternativa delle equazioni del moto si ottiene scrivendo il termine nonlineare advettivo in forma rotazionale,(u ·∇)u = (∇×u)×u + 1

2∇|u|2. Con semplicicalcoli si ottiene

∂u∂t

+ (2Ω + ∇×u)×u + ∇q = ν ∇2u + g,

∇· u = 0.


ISBN XX-abc-defg-h PARAGRAFO 5.15: Equazioni di Navier–Stokes nei sistemi di riferimento rotanti 193

La nuova variabile pressioneq (sempre per unita di massa) della forma rotazionaleedefinita includendo in essa anche il contributo dell’energia cinetica, oltre a quello deltermine centrifugo, ossia

q ≡ p + |u|22

= P

ρ+ 1

2

(

|u|2 − |Ω×r |2)

.

Correnti geostrofiche e teorema di Taylor e Proudman

Una corrente stazionaria si dicegeostroficase gli effetti dei termini non lineari e diquelli viscosi possono essere trascurati. Le correnti incomprimibili di questo tipo sonoquindi governate dalle due equazioni

2Ω×u + ∇p = 0,

∇· u = 0,

e si parla diequilibrio geostrofico, pur essendo il fluido in movimento, in quanto siha una compensazione esatta fra la forza di Coriolis e il gradiente della pressione (colsegno meno).

Le correnti incomprimibili geostrofiche hanno una proprieta notevole: sono in-dipendenti dalla coordinata parallela all’asse di rotazione. Infatti, prendendo il rotoredella prima equazione, si ha∇×(2Ω×u) = 2[Ω ∇· u − (Ω ·∇)u] = 0 ed essendo lacorrente incomprimibile, si ottiene subito

(Ω ·∇)u = 0 H⇒ ∂u∂z

= 0.

Il campo di velocita dipende quindi solo dalle coordinate in un piano perpendicolare aΩ: u = u(x, y). Questo risultatoe noto cometeorema di Taylor e Proudman.

La soluzione del problema delle correnti geostrofiche si ottiene moltiplicandovettorialmente l’equazione 2Ω × u = −∇p per il versorez. L’espressione dellasoluzione si puo allora scrivere nella forma seguente

u = 1

2Ωz×∇p + uz z,

dove∇ e ora l’operatore gradiente indue dimensioni,∇= x ∂∂x + y ∂

∂y , euz = uz(x, y)

e la seconda incognita del problema assieme alla pressionep. La forma trovatadella soluzioneu = u(x, y) della corrente geostrofica mostra che anche la pressionedipende solo dalle coordinate del piano,p = p(x, y), e che puo essere cosideratacome la funzione di corrente della velocita orizzontale: le linee isobare sono anche lelinee di corrente. Le due incogniteuz(x, y) e p(x, y) sono determinate dalla forma deldominio occupato dal fluido, mediante l’imposizione delle condizioni al contorno.

Supponiamo che il fluido riempia la regione compresa fra due superfici definitedalle due funzioni:

z = f (x, y) superficie superiore

z = g(x, y) superficie inferiore

dove si suppone chef > e g < 0, senza perdita di generalita.

Le normaliN (non unitarie) uscenti da queste superfici sono date da

Nsup = ∇3D(z − f (x, y)) = z − ∇ f

Ninf = −∇3D(z − g(x, y)) = −z + ∇g



Sottraendo fra loro le due relazioni otteniamo

Nsup− Ninf + ∇( f − g) = 2z.

Ora, sulle due superfici deve essereNsup · u = 0 eNinf · u = 0, per cui moltiplicandoscalarmente peru la relazione appena trovata ricaviamo l’equazione scalare

u · ∇( f − g) = 2uz,

con entrambi i membri sconosciuti. Sostituiamo le espressioni trovate diz euz nei duetermini del secondo membro dell’espressione iniziale diu. Si ottiene l’equazione

u = 1

4Ω

[

Nsup− Ninf + ∇( f − g)]

×∇p + 1

2u · ∇( f − g).

Ma i due termini contenenti∇( f −g) sono uno l’opposto dell’altro, comee facile vederemoltiplicando scalarmente per∇( f −g) l’espressione iniziale diu. L’equazione trovatasi riduce allora a

u = 1

4Ω

(

Nsup− Ninf)

×∇p.

Moltiplicando adesso l’equazione scalarmente perNinf si ottiene

(

Nsup×Ninf)

· ∇p = 0.

D’altra parte, moltiplicando vettorialmente le due relazioni che definiscono i vettorinormali si haNsup×Ninf = ∇( f + g) × z + ∇ f ×∇g = ∇h × z + ∇ f ×∇g, avendointrodottoh(x, y) ≡ f (x, y)+ g(x, y), che rappresenta l’altezza del recipiente in ognipunto(x, y) del piano. Sostituendo l’espressione del prodotto vettoriale delle normalinell’equazione e tenendo conto che(∇ f ×∇g) · ∇p = 0 dato che i tre vettori sonocomplanari, otteniamo

(∇h ×z) · ∇p = 0 H⇒ ∇p ×∇h = 0.

Pertanto i vettori∇h e∇p sono paralleli in ogni punto e quindi le funzionih e p hannole stesse curve di livello, ovverosia le due variabilih e p sono funzioni l’una dell’altra.Le curve di altezza costante coincidono quindi con le isobare e quindi anche con lelinee di corrente. Tali curve si chiamanolinee geostrofiche. Affinche possa esistereuna soluzione geostrofica queste curve devono essere chiuse.

Indichiamo allora conp = p(h) la funzione (di una sola variabile) che esprime ladipendenza della pressione dall’altezza del contenitore.Per il teorema di derivazionedella funzione composta si ha∇p = dp

dh ∇h. Utilizziamo a questo punto la relazioneNsup+ Ninf = −∇h, ottenuta sommando le relazioni che definiscono le normali.Uncalcolo diretto mostra che:

u = 1

4Ω

(

Nsup+ Nsup+ ∇h)

×∇p

= 1

2ΩNsup×∇p = 1

2ΩNsup×∇h

dp

dh

= 1

2ΩNsup×

(

Nsup+ Ninf) dp

dh,

da cui si ricava il campo di velocita della corrente geostrofica in funzione delle pressione

u = 1

2Ω

dp

dhNsup×Ninf .

Naturalmente la determinazione completa della soluzione richiede di trovare la funzionep = p(h) e cio puo essere fatto utilizzando la condizione d’incomprimibilita.

chap5

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