Appunti diElementi di Meccanica

Cenni di resistenza dei materialiv 1.0

Studio della traveUna parte delle strutture meccaniche puo essere schematizzata, ai fini delcalcolo strutturale, come una trave. Si definisce trave un corpo solido chepresenta una dimensione molto maggiore rispetto alle altre due. Si definisceasse della trave una linea passante per la trave che si sviluppa lungo lasua dimensione maggiore. La definizione di trave e abbastanza generica,ma consente lo studio di una moltitudine di corpi di differente geometria.Si definisce lunghezza l della trave la lunghezza del suo asse, altezza h elarghezza b le altre due dimensioni trasversali rispetto alla lunghezza (vedifigura 1).

Figura 1: Modello di una trave

1 Proprieta geometriche di una sezione

Prima di affrontare lo studio della trave, si riportano alcune proprieta dellesezioni che saranno utilizzate successivamente. Le sezioni sono individuatedall’intersezione di un piano perpendicolare all’asse della trave e la travestessa.

Area

L’area A di una sezione corrisponde alla misura della superficie che questasezione occupa nel piano che la contiene. Viene genericamente espressa inmm2.

Baricentro e assi principali

Il baricentro di una sezione e un punto notevole della sezione, e il puntod’incontro degli assi principali. L’asse della trave passa per il baricentro della

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sezione. Esso giace sempre sugli eventuali assi di simmetria della sezione. Gliassi principali di una sezione sono sempre perpendicolari tra di loro e anch’essicoincidono con gli assi di simmetria della sezione, se presenti.

Momento d’inerzia della sezione

Il momento d’inerzia Ia di una sezione rispetto ad un asse a esprime numeri-camente la distribuzione della sezione rispetto all’asse stesso. Nella presentetrattazione si considereranno momenti d’inerzia rispetto ai soli assi principali.Viene genericamente espresso in mm4.

Modulo di resistenza della sezione

Il modulo di resistenza Wa di una sezione rispetto ad un asse a e dato dalrapporto tra il momento d’inerzia rispetto allo stesso asse e la semi-altezza(o semi-larghezza) della sezione rispetto a quell’asse. Viene genericamenteespresso in mm3.

Sezioni notevoli

Segue un elenco di alcune sezioni notevoli e di formule per il calcolo delleproprieta introdotte. Gli assi indicati nei disegni sono assi principali.

A = hb

Ix = bh3

12

Iy = hb3

12

Wx = bh2

6

Wy = hb2

6

A = hb− (h− 2s)(b− 2s)

Ix = bh3

12− (b−2s)(h−2s)3

12

Iy = hb3

12− (h−2s)(b−2s)3

12

Wx = bh2

6− (b−2s)(h−2s)2

6

Wy = hb2

6− (h−2s)(b−2s)2

6

3

A = π d2

4

Ix = π d4

64

Iy = π d4

64

Wx = π d3

32

Wy = π d3

32

A = π d2

4− π (d−2s)2

4

Ix = π d4

64− π (d−2s)4

64

Iy = π d4

64− π (d−2s)4

64

Wx = π d3

32− π (d−2s)3

32

Wy = π d3

32− π (d−2s)3

32

2 Casi di Saint Venant

Saint Venant fu un matematico e fisico francese vissuto nel XIX secolo chestudio la trattazione matematica di diversi fenomeni che hanno tuttora gran-de rilevanza ingegneristica (tra questi l’elasticita dei solidi e l’idraulica). For-mulo una serie di equazioni che consente, sotto certe ipotesi, il calcolo dellostato di sollecitazione in una trave. Nonostante i recenti sviluppi dei calco-latori e dei metodi numerici, le formule di Saint Venant per la trave sonotuttora uno strumento indispensabile alla progettazione meccanica.

Senza entrare eccessivamente nel dettaglio, si presenteranno alcuni i risul-tati di questo studio che hanno una maggiore applicazione dal punto di vistaingegneristico. Verrano affrontati i casi dell’azione assiale, della flessione purae della torsione.

2.1 Azione assiale

Si consideri una trave sollecitata alle estremita da una forza assiale N ditrazione o compressione passante per l’asse della trave (vedi figura 2). I dia-grammi delle azioni interne nella trave sono costanti; l’unico diagramma non

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Figura 2: Trave soggetta ad azione assiale

Figura 3: Andamento dello sforzo indotto nella sezione

nullo e quello dell’azione assiale che vale per l’appunto N . Essendo l’azio-ne nella trave costante, tutte le sezioni sono ugualmente sollecitate (eccettoquelle d’estremita, dove i carichi sono applicati).

La sollecitazione e normale al piano contenente la sezione e costante (vedifigura 3), quindi lo sforzo σz vale

σz =N

A

e viene di conseguenza misurato in N/mm2. Si noti che una forza di trazione(genericamente definita positiva) causa uno sforzo positivo.

A seguito di questa forza applicata si verifica anche una variazione dellalunghezza della trave, che puo essere quantificata ricorrendo prima al calcolodella deformazione. La relazione tra sforzo e deformazione in questo casovale

σz = Eεz

dove E e il modulo di Young del materiale considerato. Il modulo di Younge espresso in N/mm2. La deformazione a sua volta e definita come

εz =l − l0

l0

dove l e la lunghezza della trave e l0 ne e la lunghezza iniziale; εz e unagrandezza adimensionale. Riassumendo le formule viste si puo ricavare una

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Figura 4: Freccia di una trave soggetta ad azione assiale

formula che esprime la freccia fz (variazione di lunghezza della trave rispettoalla dimensione iniziale, vedi figura 4) della trave

fz = l − l0 =N

EAl0

2.2 Flessione retta

Si consideri una trave sollecitata alle estremita da una coppia Mf agente nelpiano yz (vedi figura 5). I diagrammi delle azioni interne nella trave sonocostanti; l’unico diagramma non nullo e quello del momento flettente chevale per l’appunto Mf . Essendo l’azione nella trave costante, tutte le sezionisono ugualmente sollecitate (eccetto quelle d’estremita, dove i momenti sonoapplicati).

La sollecitazione e normale al piano contenente la sezione ed ha un an-damento a ‘farfalla’. Varia linearmente e si annulla in corrispondenza di unasse principale (vedi figura 6). Lo sforzo σz ha la seguente espressione

σz =Mf

Ix

y

e viene di conseguenza misurato in N/mm2.Va notato che lo sforzo σz e positivo nel semipiano xy a y positive e

negativo nell’altra meta. Il momento flettente causa una flessione della trave,il cui asse si discosta dalla sua posizione iniziale di una quantita fy che varialungo l’asse e ha valore massimo in z = l

2(vedi figura 7). Il calcolo della

freccia massima porta al seguente risultato

Figura 5: Trave soggetta a flessione retta

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Figura 6: Andamento dello sforzo indotto nella sezione

Figura 7: Freccia di una trave soggetta a flessione retta

fMAXy =

Mf l2

8EIx

2.3 Torsione

L’analisi della torsione in una trave non offre una soluzione generica; esistonopero formule particolari che consentono il calcolo di sforzi e deformazioniin travi con profili particolari. Verranno di seguito riportate formule per ilcalcolo di sezioni circolari e successivamente di sezioni chiuse in parete sottile.

La torsione e un fenomeno che puo essere compreso piu facilmente ricor-rendo ad un’analogia. La distribuzione delle tensioni e simile alla distribu-zione delle velocita di un liquido contenuto in un recipiente di ugual formadel profilo , messo in rotazione a velocita costante attorno all’asse. Dopouna fase iniziale, il liquido e trascinato dalle pareti del contenitore e presen-

Figura 8: Trave soggetta a torsione

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Figura 9: Andamento dello sforzo indotto nelle sezioni

ta una distribuzione di velocita che e proporzionale alla distanza dal centrodi rotazione. Analogamente, considerando una trave soggetta a momentotorcente, le tensioni generate avranno una distribuzione simile: crescenti dalbaricentro verso l’esterno, dove assumono valore massimo.

2.3.1 Torsione su cilindro circolare

Si consideri una trave a sezione circolare sollecitata alle estremita da unacoppia Mt agente nel piano xy (vedi figura 8). I diagrammi delle azioni internenella trave sono costanti; l’unico diagramma non nullo e quello del momentotorcente che vale per l’appunto Mt. Essendo l’azione nella trave costante,tutte le sezioni sono ugualmente sollecitate (eccetto quelle d’estremita, dovei momenti sono applicati).

La sollecitazione e tangenziale ad una circonferenza qualunque tracciataall’interno della sezione e centrata nel baricentro. Il modulo della sollecita-zione varia linearmente e si annulla in corrispondenza del baricentro (vedifigura 9). Lo sforzo τt ha la seguente espressione

τt =Mt

Ip

r

r =√

x2 + y2

dove Ip e il momento polare d’inerzia della sezione, dato dalla somma Ix +Iy.Anche lo sforzo tangenziale τt e misurato in N/mm2.

Il momento torcente causa una rotazione delle sezioni della trave lungol’asse (vedi figura 10). Si definisce angolo unitario di torsione Θ l’angoloformato tra due sezioni di distanza unitaria. L’angolo Θ si calcola come

Θ =Mt

GIp

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Figura 10: Deformazione di una trave soggetta a torsione

essendo G il modulo di elasticita tangenziale (unita di misura: N/mm2), pa-rametro caratteristico del materiale. Quindi l’angolo relativo tra due sezionidistanti d e pari a Θd.

2.3.2 Torsione su cilindro cavo

Ricorrendo nuovamente all’analogia idrodinamica, si puo affermare che letensioni all’interno della sezione siano dirette parallelamente al bordo e as-sumano valore all’incirca costante all’interno del profilo (visto lo spessoreridotto, vedi figura 9). A questo si aggiunga l’analogia alla conservazionedella portata e si possono ottenere una serie di equazioni che consentono ilcalcolo dello stato di sollecitazione. L’analogia con la portata consente diformulare

τts = cost

Il valore delle tensioni tangenziali τt dipende quindi dallo spessore delprofilo nella parte considerata della sezione. Il valore della costante vale

τts =Mt

2Ω

Figura 11: Area Ω

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essendo Ω l’area racchiusa dalla linea media del profilo (vedi figura 11). Ilvalore delle tensioni tangenziali si puo quindi calcolare come

τt =Mt

2sΩDalla precedente relazione si puo evincere che il valore massimo delle

tensioni si trova in corrispondenza dello spessore minimo del profilo.

2.4 Principio di sovrapposizione degli effetti

I casi di Saint Venant presentati affrontano il problema del calcolo dello statodi sollecitazione in presenza di un’unico carico esterno. Si puo prevedereinoltre la compresenza di piu carichi agenti che di conseguenza modificano lostato di sollecitazione. In questo caso lo stato di sollecitazione risultante edato dalla somma degli stati di sollecitazione calcolati per ogni carico agente.Le componenti di sforzo presenti saranno tutte e sole le componenti di sforzopresenti nei singoli casi. Il modulo delle componenti di sforzo presenti in piucasi sono il risultato della somma algebrica di quella dei singoli casi.

Ad esempio di consideri una trave soggetta a carico assiale N e momentoflettente Mf . La sforzo massimo σMAX

z e dato dalla somma di

σMAXz =

N

A+

Mfh

2Ix

e l’andamento e quello rappresentato in figura . Nel caso in cui anche unmomento torcente Mt fosse applicato, si avrebbe uno sforzo tangenziale τcalcolabile a seconda della geometria della sezione impiegata.

3 Criteri di resistenza per travi (cenni)

Il calcolo dello stato di sollecitazione non e ovviamente fine a se stesso macostituisce la prima parte nel processo di stima della resistenza di una strut-tura. Il principio che sta alla base di ogni criterio di resistenza e quello difornire un valore numerico (od una serie di valori numerici) che possano es-sere confrontati con dei parametri tipici del materiale impiegato. I criteri diresistenza cambiano fortemente a seconda del materiale e dell’utilizzo dellastruttura, nonche dello stato di sollecitazione.

3.1 Rottura per materiali fragili

I materiali a comportamento fragile (come il vetro o la ghisa ad esempio) sirompono senza subire grandi deformazioni. Dal punto di vista della solleci-

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tazione si verifica un superamento di un valore critico (che qui verra indicatocon σR) che causa la rottura.

3.2 Rottura per materiali duttili

I materiali a comportamento duttile (come l’acciaio) per contro subisconodeformazioni molto piu accentuate prima che avvenga la rottura. Inoltreper alcuni materiali, superata un certa soglia, la deformazione e permanente.Questa condizione puo da un lato precludere il corretto funzionamento dellastruttura, dall’altro costituisce un importante indice di allarme.

Il fenomeno prende il nome di snervamento e va comunque evitato. Lastruttura dovra quindi essere sollecitata in modo tale che non vengano ge-nerate deformazioni permanenti. La sollecitazione massima dovra risultareinferiore ad un valore detto limite di scostamento dalla proporzionalita cheindica il valore massimo di deformazione permanente ammessa (che in generesi considera pari a 0, 1− 0, 2%), qui indicato con σP .

3.3 Criterio di resistenza per le travi

Per le travi esistono diversi criteri di resistenza, qui verra riportato solamenteil Criterio di von Mises. Per la sua applicazione e necessario calcolare lostato di sollecitazione per tutti i carichi e sovrapporre gli effetti nel puntopiu sollecitato della sezione. In corrispondenza di questo punto lo stato disollecitazione e descritto dalla coppia (σ, τ). Il criterio di resistenza porta alcalcolo di un valore equivalente σeq pari a

σeq =√

σ2 + 3τ 2

Il valore equivalente cosı ottenuto deve essere ragionevolmente inferioreal valore ammissibile per il materiale considerato. Durante la progettazio-ne di una struttura ci sono una serie di eventi che non sono completamenteprevedibili (tra i quali l’incertezza del modello, la presenza di difetti nei ma-teriali, . . . ), ragione per la quale e bene prevedere una riserva di ‘resistenza’,disponibile nel caso in cui qualcosa non vada per il verso giusto. Da que-sta osservazione si introduce il coefficiente di sicurezza η, misura di questa‘riserva’. Il coefficiente di sicurezza viene definito come

η =σamm

σeq

dove σamm e il valore ammesso di sollecitazione per il materiale in questione.Le normative prevedono i valori minimi di questo coefficiente di sicurezza.

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4 Esempi di travi sollecitate

σmax =Pl

4Wx

fy =Pl3

48EIx

σmax =ql2

8Wx

fy =5ql4

384EIx

σmax =Pl

Wx

fy =Pl3

3EIx

σmax =ql2

2Wx

fy =Pl3

8EIx

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5 Problematiche ulteriori

L’analisi presentata in questi appunti e estremamente semplificata e non si etenuta in considerazione una serie di fenomeni che richiederebbe una tratta-zione approfondita. L’importanza di questi fenomeni non va assolutamentetrascurata, motivo per il quale se ne fara un breve accenno.

5.1 Fatica

Accennando alla resistenza dei materiali si e parlato di rottura per mate-riali fragili e di snervamento per materiali duttili come fenomeni critici. Inrealta alcuni materiali (prevalentemente metallici ma anche polimeri e cera-miche) soggetti a carichi variabili nel tempo mostrano un danneggiamentonon direttamente riconducibile ai due fenomeni prima descritti.

La presenza di carichi variabili nel tempo, o ciclici, porta alla rottura (ap-parentemente di tipo fragile, in quanto improvvisa) per livelli di sollecitazioneabbondantemente al di sotto del limite di rottura fragile o di snervamento.Questo fenomeno prende il nome di fatica meccanica.

Figura 12: Esempio di curva di Wohler

Il grafico in figura 12 mostra il rapporto tra sollecitazione massima enumero di cicli ai quali si e verificata una rottura. Tanto maggiore e la solle-citazione tanto minore e il numero di cicli di carico sopportati dal materiale.Va notato che fino a 1000 cicli circa il fenomeno della fatica non si verifica;

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al di sopra di questa soglia la resistenza meccanica si abbatte fino a raggiun-gere valori pari a meno della meta rispetto al valore di rottura statica. Ilgrafico riportato e costruito mediante prove sperimentali e successiva analisistatistica dei risultati.

La fatica e un fenomeno complesso influenzato da una molteplicita difattori, sia meccanici che metallurgici. Esistono delle formule che consento-no di stimare la vita meccanica di una struttura soggetta a carichi ciclici.Visto l’approccio prettamente sperimentale nell’analisi del fenomeno, la vitameccanica viene stimata in maniera probabilistica.

5.2 Instabilita elastica

L’instabilita elastica e un fenomeno per il quale una struttura si deformasecondo modalita differenti rispetto a quelle previste per i carichi applicati.L’esempio piu evidente e l’instabilita di una trave dovuta ad un carico dicompressione che supera una certa soglia e che induce flessione nella travestessa (vedi figura 13).

Si riscontra un comportamento analogo (ma con cause differenti) nelladeformazione dei binari ferroviari (anche i ponti ne sono un esempio notevo-le) dovuta all’eccessivo surriscaldamento del materiale che li costituisce. Ilmateriale si dilata e crea delle azioni interne di compressione che causanoa loro volta la deformazione flessionale. Nelle figure 14 e 15 sono riportatedelle fotografie di strutture che hanno subito tali deformazioni.

In entrambi i casi si verifica un superamento di un valore del carico (equindi della sollecitazione) che provoca il ‘collasso’ della struttura. Per col-lasso si intende uno scostamento della struttura dalle condizioni per le qualie stata progettata. La pericolosita dell’instabilita elastica risiede proprio qui:nel momento in cui la struttura diviene soggetta a carichi non previsti in sededi progetto, la sua resistenza non e garantita.

Figura 13: Instabilita di una trave soggetta a carico di punta

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Figura 14: Instabilita dei binari ferroviari

Figura 15: Instabilita di un ponte dovuta a dilatazione termica

E buona pratica ingegneristica quindi assicurarsi che i carichi non raggiun-gano quei valori critici oltre i quali la struttura puo incorrere nell’instabilita.

6 Conclusione

La resistenza delle strutture puo essere stimata mediante l’impiego di metodidi calcolo che portano alla conoscenza dello stato di sollecitazione del mate-riale. L’analisi sperimentale fornisce i valori di sollecitazione che causano larottura in corrispondenza di particolari condizioni, tra le quali la resistenzaa carico statico o ciclico. L’impiego di alcuni criteri di resistenza consenteil confronto diretto tra i valori calcolati e quelli misurati sperimentalmente.L’applicazione delle normative e il buon senso suggeriscono l’introduzione deicoefficienti di sicurezza che garantiscono ulteriore resistenza alla strutturaqualora questa si trovasse in condizioni diverse da quelle di progetto.

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