Carte di controllo Le carte di controllo per...

Controllo Statistico della Qualità Prof.ssa P. Vicard

CCaarrttee ddii ccoonnttrroolllloo ppeerr vvaarriiaabbiillii

Le carte di controllo

per variabili

Queste note NON sostituiscono il testo di riferimento ma sono finalizzate ad agevolare lo studio del testo stesso.


2

Le carte di controllo per variabili si usano per monitorare un processo mediante caratteristiche “continue” (misurabili) della qualità del prodotto. In tale contesto, si tengono sotto controllo: la media (x ) e la variabilità (misurata mediante il range R o la deviazione standard S).

In particolare le carte utilizzate sono � carta x che rappresenta come la media x del processo cambia

nel tempo. (Infatti se la media si sposta dal valore normale allora si produrrà una frazione più elevata di non conformi)

� carta R, dove R è il range (valore massimo – valore minimo). Questa carta riflette la dispersione all’interno del campione osservato. (Anche in questo caso, se la variabilità si sposta verso valori più alti, pur rimanendo inalterata la media, aumenta la produzione di pezzi non conformi).

Generalmente queste due carte vengono usate contemporaneamente per tenere sotto controllo sia la media sia la variabilità del processo.

Vediamo come si costruiscono...


3

Carta x Sia X la caratteristica quantitativa rilevata (si assume abbia distribuzione normale di media µ e deviazione standard σ). Generalmente i dati sono divisi in sottogruppi (piccoli campioni di numerosità compresa tra 2 e 10). Indichiamo con

- m il numero dei campioni1 (ad es. relativi a m periodi di tempo) e - con n il numero di unità che compongono ogni singolo campione2.

Per ognuno degli m campioni calcoliamo la media aritmetica

m1,...,i n

xxx n

i =++

=�1

x ha distribuzione normale di media µ e deviazione standard σx . µ e σ non sono note e quindi è necessario stimarle. 1 Generalmente, se si è nella fase I di applicazione delle carte, allora m = 20 (o 25). 2 n è generalmente molto piccola (4, 5, o 6). Ciò è giustificabile se si usano sottogruppi razionali oppure se il costo di campionamento e di ispezione per unità è elevato.


4

Stimiamo la media µ del processo calcolando la media generale (ovvero la media aritmetica delle m medie dei campioni) come segue

m

xxx m++

=�1

La linea centrale è data da x

I limiti di controllo sono dati da

LSC = x + A2⋅⋅⋅⋅R

LIC = x −−−− A2⋅⋅⋅⋅R

La costante A2 è tabulata per diversi valori di n. Con R si vuole stimare la variabilità del processo.


5

Per calcolare R , si calcola R per ogni sottogruppo così: R = valore massimo nel sottogruppo – valore minimo nel sottogruppo. Quindi il range generale si calcola facendo la media aritmetica dei range dei sottogruppi

m

RRR m++

=�1

Osservazione 1: i limiti superiore e inferiore corrispondono alla regola del +3σ e −3σ. Quindi questa carta di controllo come la carta R (che vediamo ora) denota se una variazione è rilevante al punto di farci concludere che il processo è fuori controllo.


6

Osservazione 2: la possibilità di usare il range3 per stimare σ deriva dal fatto che esiste ed è nota la relazione che lega R e σ nel caso in cui la variabile X sia normale. In particolare per la stima di σ si ha 2ˆ R dσ = 4.

Quindi i parametri della carta di controllo sono

LSC = 2

33

ˆx x R

n d n

σ+ = +

LIC = 2

33

ˆx x R

n d n

σ− = −

Ossia A2⋅⋅⋅⋅= 2

3

d n

3 L’uso del range è legato a tempi precedenti in cui la potenza degli strumenti di calcolo era limitata e quindi si preferiva usare stimatori di facile calcolo. Lo stimatore basato sul range è meno efficiente ma per dimensione campionarie minori di 10 ha una performance accettabile e per questo continua ad essere utilizzato. 4 La costante d2 è tabulata per diversi valori di n.


7

La carta R È necessaria per far individuare fonti straordinarie di variabilità. Abbiamo già individuato tutti gli strumenti per costruire questa carta.

La linea centrale è data da R . I limiti di controllo sono dati da

LSC = D4⋅⋅⋅⋅R

LIC = D3⋅⋅⋅⋅R

Le costanti D3 e D4 sono tabulate per diversi valori di n. LIC non va preso in considerazione quando la dimensione n dei sottogruppi è minore di 7.


8

Vediamo da dove derivano D3 e D4. Per costruire i limiti di controllo della carta R abbiamo bisogno di σR. Sotto l’ipotesi di normalità di X, sappiamo che il range relativo, W=R/σ, ha deviazione standard d3 (funzione nota di n).

Allora da R=Wσ, segue che σR= σW σ = d3σ

σ non è noto e lo stimiamo con 2ˆ R dσ = quindi

3 2Rˆ d R dσ =

LSC = 33

2 2

3 3 1 3R

dRR ˆ R d R

d dσ

+ = + = + =

D4⋅⋅⋅⋅R

LIC = 33

2 2

3 3 1 3R

dRR ˆ R d R

d dσ

− = − = − =

D3⋅⋅⋅⋅R


9

Nota: i limiti di controllo per x e R così calcolati andrebbero considerati come limiti di prova (in quanto non noti a priori e quindi calcolati nella cosiddetta fase I dell’impiego delle carte di controllo).

I valori x e R degli m campioni usati vanno rappresentati sulla carta rispettiva per verificare se il processo era in stato di controllo quando sono stati presi gli m campioni.

Se tutti i punti sono all’interno dei limiti allora si può concludere che il processo è sotto controllo e i limiti (inferiore e superiore) possono essere usati per valutare la produzione futura (in fase II).


10

Se uno o più di questi è al di fuori dei limiti a) vanno esaminate le ragioni di tale situazione b) il dato (o i dati) corrispondenti vanno eliminati c) vanno ricalcolati i limiti escludendo i punti eliminati. d) si deve verificare che i nuovi limiti di controllo siano tali da

contenere i punti rimasti. Se ciò non accade è necessario procedere ad ulteriori esami fintantoché tutti i punti cadono tra i limiti di controllo.

Se molti punti prova sono fuori controllo allora vuole dire che il campionamento di prova è stato fatto in un periodo fuori controllo.


11

Esempio: supponiamo di avere monitorato per sei giorni (da sabato a giovedì) il peso in grammi di pezzi prodotti da un processo

Giorno Osservazioni x R

Sab. 22 19 20 20.3 3 Dom. 21 20 17 19.3 4 Lun. 16 17 18 17 2 Mar. 20 16 21 19 5 Mer. 23 20 20 21 3 Gio. 19 16 21 18.7 5

m = 6 n = 3

22.196

7.182119173.193.20=

+++++=x

6736

535243.R =

+++++=


12

Le costanti sono5 A2 = 1.023 D3 = 0 D4 = 2.574

Carta x Carta R Valore centrale x = 19.22 R = 3.67

LIC 19.22−1.023⋅3.67= =15.47

0

LSC 19.22+1.023⋅3.67= =22.97

=2.574⋅3.67= =9.44

5 Queste costanti sono tabulate e sono fornite in fondo al libro di testo. Quando le carte vengono costruite con l’ausilio di un software (ad es. Minitab), la procedura di calcolo stessa elebora i dati e usa le tavole implementate nel software.


13

654321

10

5

0

Sample Number

Sa

mp

le R

an

ge

R Chart for peso

R=3.67

LSC=9.44

LIC=0


1 2 3 4 5 6

15

16

17

18

19

20

21

22

23

Sample Number

Sa

mp

le M

ea

nX-bar Chart for peso

LSC=22.97

LIC=15.47


15

Esempio:stiamo rilevando la soddisfazione dei partecipanti ad un corso. Alla fine di ogni settimana (per 8 settimane) viene dato un questionario in cui i corsisti devono dare un voto tra 1 e 7 al docente della settimana. Si scelgono a caso 5 studenti a settimana. Ecco i dati

Settimana x R 1 4 5 6 5 5 5 2 2 5 6 3 4 6 4.8 3 3 6 7 7 6 5 6.2 2 4 4 4 2 4 3 3.4 2 5 3 5 5 4 5 4.4 2 6 6 5 5 7 5 5.6 2 7 6 4 6 7 4 5.4 3 8 4 5 6 6 7 5.6 3 m = 8 n = 5


16

05.58

6.54.56.54.44.32.68.45=

+++++++=x

37528

33222232.R =

+++++++=

Le costanti sono A2 = 0.577 D3 = 0 D4 = 2.114

Carta x Carta R Valore centrale 5.05 2.375

LIC 5.05−0.577⋅2.375= =3.68

0

LSC 5.05+0.577⋅2.375= =6.42

=2.114⋅2.375= =5.02


17

8765432Settimana 1

7

6

5

4

3

Sam

ple

Mean

1

Mean=5.05

LSC=6.42

LIC=3.68

5

4

3

2

1

0

Sam

ple

Ran

ge

R=2.375

LSC=5.02

LIC=0

Xbar/R Chart for voto


18

Come si può notare la carta Xbar mostra un punto fuori controllo. La valutazione del docente nella quarta settimana di rilevazione è stata particolarmente bassa ed è al di sotto del limite di controllo inferiore. Occorre, quindi, eliminare il campione che si riferisce alla quarta settimana e calcolare le nuove stime del voto medio e della varianza del voto e contestualmente costruire la nuova carta che non tenga conto della settimana anomala.

87654321

7

6

5

4

Sample

Sample Mean

__X=5,286

UC L=6,687

LC L=3,885

87654321

4,8

3,6

2,4

1,2

0,0

Sample

Sample Range

_R=2,429

UC L=5,135

LC L=0

Xbar-R Chart of voto

Come scelta grafica, si è deciso di lasciare il gap bianco per mostrare dove si trova il campione che è uscito dell’analisi. Si noti che, essendo stato eliminato il campione che aveva la media particolarmente bassa, ora le media globale è salita a 5,286 (mentre prima era 5,05).


19

CCaappaacciittàà ddeell pprroocceessssoo In precedenza avevamo parlato di “limiti di specifica” del processo. Non esiste alcun legame tra i limiti di controllo delle carte x e R e i limiti di specifica. � I limiti di controllo vengono individuati in base alla variabilità

naturale del processo (data dalla deviazione standard σ del processo). Si ricordi che esiste una relazione tra range medio R e deviazione standard σ di una variabile che ha distribuzione normale. I limiti di controllo quindi altro non sono che dei limiti di tolleranza

naturali del processo e vengono solitamente posti, come abbiamo visto, a una distanza pari a 3σ dal valore medio.

� I limiti di specifica sono individuati indipendentemente dal comportamento naturale del processo: vengono in genere definiti dal

management, dagli ingegneri, dalla clientela,...


20

È interessante analizzare dove si colloca il nostro processo rispetto ai limiti di specifica (LSS = limite superiore di specifica,

LIS = limite inferiore di specifica). Quest’analisi può essere condotta solamente dopo che,

mediante le carte di controllo, si è stabilito che il processo

è sotto controllo

(ossia quando si può assumere che le variazioni nel prodotto/servizio sono

dovute solamente alle “cause comuni”.)


21

La capacità del processo

è la capacità che un processo ha di produrre beni o servizi che soddisfano i limiti di specifica. Perché i limiti naturali devono essere confrontati con i limiti di specifica? Immaginiamo un processo sotto controllo in cui, quindi, la distribuzione della nostra caratteristica di interesse è normale. Sappiamo che è pari a 0.0027 la probabilità che un valore sia fuori controllo (ossia fuori dell’intervallo -3σ, +3σ. Se immaginiamo un milione di pezzi prodotti, allora si ha che 0.0027⋅1000000=2700, cioè su un milione di pezzi prodotti 2700 sono non conformi. Se la distribuzione non fosse normale e/o portasse ad avere limiti naturali lontani da quelli di specifica, il numero di pezzi non conformi potrebbe essere molto più elevato.


22

La capacità del processo si riferisce all’uniformità generale di comportamento del processo. Questa uniformità può essere intesa come uniformità del prodotto di tale processo. In tal senso l’analisi della variabilità riveste un ruolo fondamentale. La variabilità viene intesa come:

a) variabilità naturale o relativa ad un preciso istante

b) variabilità rispetto al tempo In genere si assume l’ampiezza 6σ della distribuzione della caratteristica di qualità come misura della capacità del processo. In ogni caso la capacità del processo viene misurata sulla base di indicatori della distribuzione di probabilità della caratteristica monitorata.


23

Dal momento che le cause speciali non agiscono, possiamo ritenere che il nostro processo operi in condizioni “normali”; in particolare segua una distribuzione normale con

- media = x

- deviazione standard 2d

Rˆ =σ

Possiamo calcolare (usando un software o le tavole della normale standardizzata) la probabilità che un prodotto del nostro processo non rispetti i limiti di specifica.

Come si fa???


24

Gli istogrammi (o, in alternativa, i diagrammi ramo-foglia).

Indicata con X la variabile normale del nostro processo, questa probabilità è data da

Prob(X > LSS) + Prob(X < LIS) Per calcolare queste probabilità dobbiamo stimare, a partire dai dati osservati, la media e la deviazione standard della nostra caratteristica di interesse. Se calcoliamo manualmente le nostre probabilità allora si procede come segue. Dobbiamo ricorrere alla standardizzazione e calcoliamo, indicata con

σxX

Z−

= la normale standardizzata N(0,1),

P

−<

σxLIS

Z + P

−>

σxLSS

Z =

= 1LIS x LSS x

ˆ ˆσ σ− − Φ + − Φ


25

Esempio (del peso) m = 6 n = 3

22.19=x 673.R =

1726931673

2

..

.

d

Rˆ ===σ

Supponiamo che LSS = 19.22 + 5.78 = 25 LIS = 19.22 − 6.22 = 13 P(X < 13) + P(X > 25) =

= P

−<

17.2

22.1913Z + P

−>

17.2

22.1925Z =

= Φ(Z < −2.87) + P(Z > 2.66) = 0.00208 + 0.00387 = 0.00595

Circa lo 0.6% (6 ogni mille pezzi prodotti) dei pezzi prodotti sarà fuori dei limiti di specifica. Si giunge al medesimo risultato se, stimate la media e la deviazione standard, si usa un software per il calcolo delle probabilità.


26

Alcune osservazioni

Per usare questo strumento è necessario disporre di almeno 100 osservazioni in modo da avere indicazioni efficienti sulla media, la deviazione standard e la forma del processo (visualizzata mediante l’istogramma).

Bisogna prestare attenzione nella raccolta dei dati.

Occorre:

1. scegliere la macchina o le macchine da utilizzare (attenzione, se si vogliono estendere i risultati a tutte le macchine allora è necessario che le macchine prescelte siano rappresentative della popolazione di macchine).

2. selezionare le condizioni operative/ambientali di riferimento

3. selezionare un operatore rappresentativo

4. controllare che sia bene eseguita la rilevazione dei dati e registrato l’ordine temporale delle osservazioni.


27

Una volta raccolti i dati e disegnato l’istogramma, si può vedere se la sua forma è vicina alla forma della distribuzione normale. In caso affermativo si può stimare (grazie alle proprietà della normale) che è pari al 99.73% la percentuale di beni prodotti all’interno di 3 3x s,x s

− + .

L’osservazione dell’istogramma dà anche informazioni sulla prestazione generale del processo e sulle eventuali ragioni di scarsa qualità dello stesso.


28

Grafici di probabilità. Sono un’alternativa agli istogrammi e non richiedono numeri elevati di osservazioni. Il grafico di probabilità più diffuso è il normal probability plot.

In sostanza, una volta raccolti i dati, si costruisce il normal probability plot in modo tale da verificare se il processo sta lavorando sotto un modello normale.

In caso affermativo, la media e la deviazione standard si calcolano dal grafico come segue: la media è uguale alla mediana (ossia corrisponde al 50° percentile); la deviazione standard si stima mediante la differenza tra l’84° percentile e il 50° percentile.

Attenzione: se il grafico avesse mostrato che la distribuzione del processo non è normale allora non sarebbe corretto usare lo stesso grafico (basato sulla normale) per calcolare media e deviazione standard.


29

Nota: l’analisi del grafico di probabilità è molto soggettiva. Può essere, pertanto, opportuno accompagnarla con test statistici (per la verifica della normalità) oppure con il calcolo (sulla base dei dati campionari) dei seguenti parametri di asimmetria e di curtosi.

3 41 23 2 2

22

M Mˆ ˆM

M

β β

= =

dove 1 12 3 4

jn

ii

j

x x

M , j , , ,n

=

−= =∑

.

Si consideri che questi due indici assumono valori ben precisi nel caso in cui la distribuzione è normale. Infatti sotto normalità si ha: 1 20 e 3β β= =

asimmetria curtosi


30

Possiamo anche valutare la capacità del processo come rapporto tra processo (rappresentato dai limiti di specifica) e capacità produttiva (rappresentata dai limiti di controllo). In tal caso si costruiscono

iinnddiiccii ddeellllaa ccaappaacciittàà ddeell pprroocceessssoo

Possiamo calcolare questi indici quando:

i) il processo è sotto controllo e sono state rimosse tutte le cause che determinano variazioni speciali;

ii) il processo ha distribuzione normale (importanza del normal probabilità plot)

iii) i dati analizzati sono quantitativi

I tre elementi fondamentali nella costruzione e analisi di questo indice sono:

1. i limiti di specifica (LSS e LIS) 2. il centro naturale del processo x 3. la variabilità naturale del processo σ


31

Abbiamo i seguenti indici di capacità del processo.

σ6LISLSS

Cp

−=

Cp si calcola quando sono definiti sia il limite inferiore che il limite superiore di specifica. Il denominatore costituisce la base per la definizione della capacità produttiva. Poiché σ è generalmente non nota, allora lo si sostituisce con la sua stima σ . Inoltre si ha che

1001

pC indica la percentuale di specifica usata dal processo.

************************


32

σ3xLSS

Cps

−=

Cps si calcola quando è definito solamente il limite superiore di specifica. (Ad esempio le poste devono far sì che una raccomandata arrivi a destinazione entro due giorni dalla spedizione). In questo caso la base per la definizione per la capacità produttiva è 3σ.

σ3

LISxC pi

−=

Cpi si calcola quando è definito solamente il limite inferiore di specifica. (Ad esempio posso imporre solo LIS nel caso della valutazione dei docenti). Anche in questo caso la base per la definizione per la capacità produttiva è 3σ.

Come interpretare questi indici???


33

L’interpretazione dell’indice Cp risiede nel fatto che questo ci informa direttamente sulla numero sulla proporzione di prodotti difettosi che dovranno essere eliminati o rilavorati. Consideriamo l’indice Cp (quanto diciamo vale anche per Cps e Cpi).

� Cp = 1 quando LSS – LIS = 6σ cioè quando, se il processo è correttamente centrato, i limiti di specifica ed i limiti di controllo coincidono. (Si veda la curva (c) della figura seguente).Circa lo 0.27% di unità prodotte sarà non conforme.

� Cp > 1 quando LSS – LIS > 6σ. Ciò significa che, se il processo è correttamente centrato, i limiti di controllo (ovvero i limiti di tolleranza naturali del processo) sono interni ai limiti di specifica. (Si veda la curva (a) della figura seguente). Un processo di questo tipo produce un numero estremamente basso di unità non conformi alle specifiche.


34

� Cp < 1 quando LSS – LIS < 6σ. Ciò significa che, se il processo è correttamente centrato, i limiti di controllo (ovvero i limiti di tolleranza naturali del processo) sono esterni ai limiti di specifica. (Si veda la curva (b) della figura seguente). Un processo di questo tipo produce un numero notevole di unità non conformi alle specifiche.

Nota: è necessario sottolineare che le considerazioni sull’interpretazione dell’indice Cp poggiano sull’assunzione di normalità della distribuzione della nostra caratteristica di interesse


35

0

0.45

-10 -5 0 5 10

(a) N(0,1) (b) N(0,2.5) (c) N(0,1.5)

↑ ↑ ↑ LIS Media del

processo LSS

µ


36

Difettosità in parti per milione

Cp Specifiche unilaterali Specifiche

bilaterali (nel caso di

processo centrato)

0.5 66807 133614 0.6 35931 71861 0.8 8198 16395 0.9 3467 6934 1 1350 2700 1.1 484 967 1.3 48 96 1.4 14 27 1.5 4 7 1.6 1 2 1.8 0.03 0.06 2 0.0009 0.0018


37

E se il processo non è correttamente centrato??? In altre parole, come ci possiamo accorgere se il processo non è posizionato sul valore centrale tra gli intervalli di specifica? Un modo per vedere se esiste un problema di questo tipo consiste nel calcolare anche Cps e Cpi in aggiunta a Cp. Se il processo non è correttamente centrato, uno dei due indici unilaterali risulterà inferiore ad 1. In sostanza abbiamo un altro indice bilaterale di capacità del processo.

Cpk = Min (Cps e Cpi)

Se il processo non è ben centrato allora o Cps < 1 o Cpi <1. quindi

Min (Cps e Cpi) < 1


38

In sostanza Cpk è un indice Cp unilaterale rispetto al limite di specifica più vicino alla media del processo.

� Se Cpk = Cp allora il processo è centrato rispetto all’intervallo di specifica.

� Se Cpk < Cp allora il processo non è centrato rispetto all’intervallo di specifica.

Può, pertanto, accadere che se da un lato Cp ci fa sembrare che il processo ha un’ottima capacità, l’analisi della centratura ci può mostrare che nella realtà questo non è centrato e quindi ha una performance effettiva peggiore.

Per queste considerazioni generalmente: Cp viene detto indice di capacità

potenziale del processo; Cpk viene detto indice di capacità effettiva del

processo.


39

Nota: l’indice Cpk è inadeguato da solo come misura di centratura del processo. Una conclusione corretta in merito alla centratura del processo si può avere solo confrontando Cpk con Cp. Questo perché per struttura Cpk non dà informazioni sulla posizione della media del processo nell’intervallo di specifica. Inoltre Cpk è inversamente proporzionale a σ. Questo problema può essere superato usando l’indice seguente:

226

pkmLSS LISC

Tσ µ

−=

+ −

dove T = (LSS-LIS)/2 è il valore di riferimento.

Si può anche scrivere6 21

ppkm

CC

ξ=

+ con 2 T µξ σ

−=

2 e µ σ non sono noti e quindi Cpkm può essere stimato come segue

21p

pkm

CC

V=

+ con 2 T xV

S−= .

6 basta moltiplicare e dividere il denominatore di Cpkm per σ

Deviazione attesa rispetto al valore di riferimento T


40

Nelle applicazioni si sta diffondendo la pratica di richiedere al fornitore, tra le clausole contrattuali, di dimostrare la capacità del proprio processo. In particolare si chiede di dimostrare che l’indice Cp soddisfa o supera un particolare valore di riferimento, diciamo Cp0. Questo problema può essere formulato direttamente come una verifica di ipotesi

H0: Cp ≤ Cp0 (il processo non ha capacità adeguata) H1: Cp > Cp0 (il processo ha capacità adeguata)

Per dimostrare che il processo va bene dobbiamo rifiutare l’ipotesi nulla. La decisione viene basata sulla stima di Cp. in particolare, si rifiuterà H0 quando la stima di Cp supera un certo valore critico C. Sono state studiate (Kane, 1986) le proprietà di questo test ed è stata fornita una tavola contenente numerosità campionarie e valori critici C. In particolare, per eseguire questo test è necessario stabilire Cp(sup), ossia la capacità del processo che accettiamo con significatività (1-α), e Cp(inf), generalmente coincidente con Cp0, ossia la capacità che viene rifiutata con probabilità (1-β).


41

Da questi valori, a partire da apposite tavole disponibili, si può determinare: 1) il valore critico C oltre il quale si può rifiutare H0 (ossia accettare H1); 2) la numerosità campionaria per effettuare correttamente il test coerentemente con Cp(sup), Cp(inf), α e β prefissati. Infatti, fissati Cp(sup) e Cp(inf) e α e β, si calcola Cp(sup)/Cp(inf). Leggendo apposite tavole7si trova C/Cp(inf) = k e questa espressione può essere risolta per C dando luogo a: C = kCp(inf).

Si noti che k è un numero maggiore di 1 (tanto più grande quanto più piccolo è il campione selezionato) quindi C > Cp(inf). Questo significa che per mostrare la capacità del processo bisogna controllare che il valore di Cp calcolato sul campione sia più grande di quello Cp(inf) definito come linea di demarcazione tra capcità inadeguata e capacità accettabile.

7 si veda ad es. pag 298 del libro di testo


42

Osservazione: in alcune situazioni si può disporre dei valori della media e della deviazione standard della popolazione. Proprio questi valori µ e σ possono essere usati per costruire le carte di controllo. Con riferimento alla carta x abbiamo:

La linea centrale è data da µ


LSC = µ+ 3 nσ

LIC = µ −−−− 3 nσ


43

Con riferimento alla carta R abbiamo che possiamo ricavare il valore del range a partire da σ.

Infatti sappiamo che: σ=R/d2 e σR=d3σ. Quindi

La linea centrale è data da d2σ


LSC = d2σ + 3 d3σ = (d2 + 3 d3) σ

LIC = d2σ −−−− 3 d3σ = (d2 −−−− 3 d3) σ


44

Carte di controllo x e S In presenza di dimensioni campionarie sufficientemente grandi (più di 10) oppure se la dimensione campionaria varia da campione a campione, è opportuno stimare σ con la deviazione standard campionaria S.

La varianza campionaria corretta è data da ( )2

2 1

1

n

ii

x x

Sn

=

−=

−

∑

Mentre S2 è uno stimatore corretto della varianza, S non è uno stimatore corretto della deviazione standard. Se la distribuzione è normale allora S è uno stimatore corretto di c4σ dove c4 è una costante tabulata che dipende da n.

Inoltre la deviazione standard di S è 241 cσ − .


45

Nel caso in cui a σ sia assegnato un valore standard, si può immediatamente calcolare la carta per lo scarto quadratico medio.

Allora le linee della carta S sono:

24 4

4

24 4

3 1

3 1

LSC c c

LC c

LIC c c

σ σ

σ

σ σ

= + −

=

= − −

( )

( )

24 6

24 5

1 3 1

1 3 1

c B S

c B S

σ

σ

= + − =

= − − =


46

Supponiamo, come del resto effettivamente accade, che σ sia non noto. Allora deve essere stimato usando m campioni preliminari ciascuno di n unità. Sia Si la deviazione standard dell’i-esimo campione. Si calcola

1

1 m

ii

S Sm =

= ∑

S è uno stimatore corretto di c4σ , pertanto abbiamo che 4S c è uno

stimatore corretto di σ. 2 24 4

41 1S

Sˆ ˆ c c

cσ σ= − = −

Allora le linee della carta S sono: 24

4

24

4

3 1

3 1

SLSC S c

c

LC S

SLIC S c

c

= + −

=

= − −


47

ponendo 2 23 4 4 4

4 4

3 31 1 e 1 1B c B c

c c= − − = + − si ha

4

3

LSC B S

LC S

LIC B S

=

=

=


48

Quando S viene usato per monitorare la variabilità allora può essere anche usato per definire corrispondentemente i limiti di controllo della carta x .

34

34

3 3

3 3

ˆ SLSC x x x A S

n c n

LC x

ˆ SLIC x x x A S

n c n

σ

σ

= + = + = +

=

= − = − = +

Nota: B3, B4 e A3 sono tabulati per diversi valori di n. E se la dimensione campionaria è variabile?


49

Nel caso di dimensione campionaria variabile gli m campioni hanno numerosità n1, n2,…,nm. Allora x e S vengono calcolati mediante le seguenti medie ponderate

12

2

1 1

1 1

1e

m m

i i i ii i

m m

i ii i

n x n S

x Sn n m

= =

= =

−= =

−

∑ ∑

∑ ∑

Le linee di controllo vengono calcolate con le formule viste per le carte a dimensione fissa, ossia

4

3

LSC B S

LC S

LIC B S

=

=

=

34

34

3

3

i

i

SLSC x x A S

c n

LC x

SLIC x x A S

c n

= + = +

=

= − = +


50

La differenza è che nel caso a dimensione variabile le costanti B3, B4 e A3 dipenderanno dalla dimensione campionaria usata per ogni singolo sottogruppo. In alternativa si possono costruire le carte di controllo basandosi sulla dimensione campionaria media n (se questa non è troppo diversa tra gli m campioni).


51

Carte di controllo per variabili in un contesto non manifatturiero

Le carte di controllo per variabili possono essere usate anche in un contesto non industriale se si riesce ad avere una misura quantitativa della qualità del servizio. Un differenza è data dal fatto che in tale contesto sono difficilmente definibili limiti di specifica e quindi molto spesso la capacità del processo non è calcolabile.


52

Alcune note sulle carte di controllo per variabili

Nota 1: Ogni carta di controllo prevede una revisione periodica dei limiti di controllo e della linea centrale. Queste revisioni possono essere eseguite ad intervalli di tempo regolari. A volte si sostituisce la linea centrale della carta x con un valore

obiettivo, diciamo 0x . Se la carta R mostra una situazione di controllo allora riposizionare la linea centrale su un valore obiettivo può essere utile per raggiungere livelli di produzione desiderati dal management. (Questa operazione ha senso quando la media può essere modificata con semplici interventi sul processo).

Nota 2: Un altro strumento di supporto è dato dalla carta di tolleranza.

Questa consente di scoprire se ci sono dati anomali in un singolo campione tali da restituire valori di x o di R fuori controllo.


53

Nota 3: per interpretare correttamente le carte di controllo si deve avere

sia una buona conoscenza statistica sia una buona conoscenza delle specificità e delle caratteristiche del processo produttivo in esame. Inoltre, ai fini di una interpretazione corretta della carta x bisogna prima accertarsi che la carta R sia sotto controllo. Mettere innanzitutto sotto controllo il processo dal punto di vista della variabilità, può servire ad eliminare anche fattori che possono distorcere x .

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