CARATTERISTICHE DEI SEGNALI - iuculano.it · Energia normalizzata totale Segnali a potenza o a...

Formulario FTLC Capitolo 2 Prof. Giovanni Schembra

1

FORMULARIO CAPITOLO 2 V.08 26/05/2005 CARATTERISTICHE DEI SEGNALI Media temporale Media temporale per segnali periodici

( ) ( )dttwT

twT

TT ∫−∞→=

2

2

1lim ( )( )

( )( )dttw

Ttw

aT

aT∫+

+−=

2

20

1

dove a è una costante reale arbitraria. Vale

anche per 0=a

Valore medio temporale (o componente continua) di un segnale )(tw

Valore medio temporale per una forma d’onda fisicamente realizzabile

Valore efficace (rms)

)(twWW dcm == dttwtt

Wt

tm )(1 2

112∫−

= 2)(twWeff =

DeciBel dBm Guadagno in deciBel di un circuito

in

out

PPdB 10log10=

in

out

VV

dB 10log20=

Rapporto segnale/rumore in dB

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛=

rumoreeff

segnaleeff

rumore

segnaledB V

VPP

NS,

,1010 log20log10

Livello di potenza in dBm

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= −310 10

in Watt media Potenzalog10dBm

Fasori Dato un segnale sinusoidale ( ) tj

c ectctw 0Recos)( 0ωθω =+=

FASORE cjecc θ= FASORE ROTANTE: tjec 0ω

Convoluzione

( ) dttwtwwww )()()(*)( 21213 −⋅≡= ∫+∞

∞−τττ

Funzioni ORTOGONALI

nmnmn

b

aKdttt δϕϕ =∫ )()( * dove:

⎩⎨⎧

=

≠=

mn

mnnm

se1

se0δ Delta di Kronecker

Se ⇒= 1nK FUNZIONI ORTONORMALI


2

TRASFORMATA DI FOURIER E SPETTRI TRASFORMATA DI FOURIER

dtetwtwfW ftj π2)()()( −+∞

∞−∫=ℑ= detta anche spettro bilatero di )(tw

in FORMA RETTANGOLARE

)()()( fYjfXfW +=

in FORMA POLARE )()()( fjefWfW θ=

)()()( 22 fYfXfW +=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= −

)()(tan)( 1

fXfYfθ

ANTITRASFORMATA DI FOURIER

dfefWtw tfj π2)()( ∫+∞

∞−=

PROPRIETÀ Simmetria Hermitiana:

se )(tw è REALE

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=−

=−

=−

⇒

)()( cioè DISPARI è )(

)()( cioè PARI è )(

)()( *

fff

fWfWfW

fWfW

θθθ

se )(tw è REALE e PARI )( fW⇒ è REALE e PARI

se )(tw è REALE e DISPARI )( fW⇒ è IMMAGINARIA PURA (e dispari)

TEOREMI UTILI Teorema di Parseval

dffWfWdttwtw )()()()( *21

*21 ⋅=⋅ ∫∫

+∞

∞−

+∞

∞−

Teorema di Raileigh

dffWdttwE 22 )()( ∫∫+∞

∞−

+∞

∞−== per il calcolo dell’energia nel dominio

della frequenza


3

ENERGIA E POTENZA Potenza istantanea associata ad un circuito

)()()( titvtp ⋅=

Potenza media Potenza per carichi resistivi )()()( titvtpP ⋅==

effeffeffeff IVRIR

VRti

Rtv

P ⋅=⋅==⋅== 22

22

)()(

Potenza media normalizzata Potenza di picco (potenza per Ω=1R )

dttwT

twPT

TT

22

2

2 )(1lim)( ∫−∞→==

dove )()( tvtw = oppure )()( titw =

)()(maxpicco titvP ⋅=

Energia normalizzata totale Segnali a potenza o a energia finita

dttwET

TT

22

2)(lim ∫−∞→

= Se )(tw ha P finita ∞=⇒ E E finita 0=⇒ P

Potenza normalizzata per un segnale periodico Densità spettrale di potenza

(DSP) per un segnale periodico 22)( n

nw ctwP ∑

+∞

−∞=

== ( )02)( fnfcf n

nw −= ∑

+∞

−∞=

δP


4

DENSITÀ SPETTRALE DI ENERGIA E POTENZA – FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE Densità spettrale di energia (DSE)

2)()( fWfw ≡E

Densità spettrale di potenza (DSP)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≡

∞→ TfWf T

Tw

2)(lim)(P dove:

• )()( twfW TT ℑ=

• ⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Π⋅=

>

≤=

Tttw

Tt

TttwtwT )(

se02

se)()(

Relazione IMPORTANTE

)0()()( 22wwweff RdffWtwP ==== ∫

+∞

∞−P

Funzione di autocorrelazione Teorema di Wiener-Khintchine

))()(1lim)()()(2

2dttwtw

TtwtwR

T

TTww τττ +⋅=+⋅= ∫−∞→

)()( fR www P=ℑ τ

DSP di una sinusoide o di una cosinusoide ( ) ( )tAtw 0sin ω= oppure ( ) ( )tAtw 0cos ω=

( ) ( )[ ]00

2

0

2

4cos

2)( ffffAAfw ++−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

ℑ= δδτωP


5

SEGNALI NOTEVOLI Funzione DELTA di DIRAC DEFINIZIONE 1:

)0()()( wdxxxw =∫∞

∞−δ

DEFINIZIONE 2:

⎪⎩

⎪⎨⎧

≠

=∞==∫

∞

∞− 0 se0

0 se)( 1)(

x

xxdxx δδ

DEFINIZIONE 3:

dyex yxj πδ 2)( ±∞

∞−∫=

PROPRIETÀ CAMPIONATRICE

)()()( 00 xwdxxxxw =−∫∞

∞−δ

Segnale a gradino unitario

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

<

=

>

=

0 se0

0 se21

0 se1

)(

t

t

t

tu

NOTA:

)()(

)()(

ttudtd

tudxxt

δ

δ

=

=∫ ∞−

Segnale segno

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

<−

=

>

=

0 se1

0 se0

0 se1

)sgn(

t

t

t

t

Segnale impulso rettangolare

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>

≤≡⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛Π

2 se0

2 se1

Tt

Tt

Tt

SPETTRO )(sinc)( fTTfW =

Segnale impulso triangolare

⎪⎩

⎪⎨⎧

>

≤−≡⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛Λ

Tt

TtTt

Tt

se0

se1

SPETTRO )(sinc)( 2 fTTfW =

Segnale )(xSa

x

xxSa sin)( =

SPETTRO

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Π→

Tf

TtTSa 1)(π


6

Segnale )(sinc x

( )x

xxππsin)(sinc =

SPETTRO

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Π→

Tf

TtT 1)(sinc

Impulso esponenenziale

( )⎩⎨⎧

<≥

=−

000

tte

twt

SPETTRO

( )fj

fWπ21

1+

=

Sinusoide smorzata

SPETTRO

Impulso sinusoidale

SPETTRO

( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=F

ffF

ffTAjfW 00 sincsinc2


7

( )ϕπ +tfa 02sin ( ) ( )[ ]0021 ffeffeaj jj −−+ +− δδ ϕϕSinusoide

Cosinusoide


8

SERIE DI FOURIER Un segnale ENERGIA FINITA può essere rappresentato in ] [0, Taa + dalla serie di Fourier

tjnn

nectw 0)( ω∑

+∞

−∞=

=

[rappresentazione in forma complessa]

dove

dtetwT

c tjnTa

an00 )(1

0

ω−+

∫⋅=

sono i COEFFICIENTI COMPLESSI DELLO SVILUPPO

Serie di Fourier in forma rettangolare

tnbtnatw nn

nn

01

00

sincos)( ωω ∑∑+∞

=

+∞

=

+=

dove

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≥⋅

=⋅=

∫

∫+

+

1 secos)(2

0 se)(1

00

00

0

ndttntwT

ndttwTa

Ta

a

Ta

a

n

ω

dttntwT

bTa

an 00

sin)(2 0 ω∫+

⋅=

Relazione forma rettangolare <> forma complessa

⎪⎩

⎪⎨⎧

≥

==

1 seRe2

0 se0

nc

nca

n

n

1 Im2 ≥−= ncb nn

Teorema di Parseval

22

0

)(1 0

nn

Ta

acdttw

TP ∑∫

+∞

−∞=

+=⋅=

Se la forma d’onda è PERIODICA 1. con periodo 0T , la rappresentazione vale su

tutto l’asse temporale 2. la scelta di a è arbitraria (es. 0=a ,

20Ta −= )

3. Frequenza fondamentale: 0

01T

f =

4. n-esima armonica: 0fnfn = 5. 0c : valore medio della forma d’onda

PROPRIETÀ Se )(tw è REALE *

nn cc −=⇒ Se )(tw è REALE e PARI nc⇒ REALI Se )(tw è REALE e DISPARI ⇒ nc⇒ IMMAGINARI PURI

Trasformata di Fourier di un segnale periodico di periodo 00 1 fT =

( )0)( fnfcfW nn

−= ∑+∞

−∞=

δ SPETTRO A RIGHE


9

COEFFICIENTI DI FOURIER di un segnale periodico dalla trasformata di Fourier di una porzione di segnale limitata ad un singolo periodo

)( 00 fnHfcn =

dove ( ) tjnn

nn

ecnTthtw 00)( ω∑∑

+∞

−∞=

+∞

−∞=

=−=

⎪⎩

⎪⎨⎧ <

=altrimenti0

2 se)(

)(0Tttw

th

( ) )(thfH ℑ=

Potenza normalizzata per un segnale periodico Densità spettrale di potenza

(DSP) per un segnale periodico 22)( n

nw ctwP ∑

+∞

−∞=

== ( )02)( fnfcf n

nw −= ∑

+∞

−∞=

δP

ONDA QUADRA o TRENO DI IMPULSI RETTANGOLARI

Coefficienti di Fourier

( )2sinc2

neAc jnn

π−=

Trasformata di Fourier

DSP

( ) ( )02

2

2sinc2

)( fnfnAfn

w −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= ∑

+∞

−∞=

δP


10

Densità spettrale di potenza per un treno di impulsi rettangolari

PRIMA FORMULA DI SOMMA DI POISSON

( ) tkfj

knefkXfnTtx 02

000 )( π∑∑+∞

−∞=

+∞

−∞=

=− Repliche nel tempo e campionamento in frequenza

SECONDA FORMULA DI SOMMA DI POISSON

( )sks

fTnjs

n

TkfXT

eTnx s −⋅= ∑∑+∞

−∞=

−+∞

−∞=

1)( 2π Campionamento nel tempo e repliche in frequenza

SEGNALE PETTINE

( ) ( )sn

T nTtts

−= ∑+∞

−∞=

δδ~ TRASFORMATA DI

FOURIER ( ) ( )sns

sk

fnfT

Tkt −=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−ℑ ∑∑+∞

−∞=

+∞

−∞=

δδ 1


11

SEGNALI A BANDA LIMITATA Segnale a banda limitata 0)( =fW per Bf ≥

Segnale a durata limitata 0)( =tw per Tt ≥

TEOREMA: Se un segnale è a BANDA LIMITATA, allora NON è di DURATA LIMITATA Se un segnale è di DURATA LIMITATA, allora NON è a BANDA LIMITATA

INTERPOLAZIONE DI UNA SEQUENZA

( ) [ ] ( )sn

nTtpnwtw −⋅= ∑+∞

−∞=

ˆ dove [ ] ( )snTwnw =

INTERPOLAZIONE A MANTENIMENTO

( ) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −Π=

s

s

TTttp 2

( ) ( ) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⋅= ∑+∞

−∞=

−

sk

fTjs T

kfWeTffW sπsincˆ (Distorsione del segnale originale)

INTERPOLAZIONE A SENO CARDINALE

( ) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛Π=

ss f

fTfP

( ) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−⋅⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛Π= ∑

+∞

−∞= sks TkfW

fffW (assenza di distorsione se si filtra nella banda di interesse)

TEOREMA DEL CAMPIONAMENTO: Se un segnale )(tw è a BANDA LIMITATA B, può essere ricostruito esattamente a partire dai propri campioni, purchè la frequenza di campionamento sia: Bfs 2≥

Infatti si ha:

[ ] ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −= ∑

+∞

−∞= s

s

n TTntnwtw sinc)(ˆ

dove [ ] ( )snTwnw =


12

Campionamento ideale mediante impulsi delta di Dirac

Definiamo ( ) ( ) ( )ssn

sn

s TntTnwTnttwtw −⋅=−⋅= ∑∑+∞

−∞=

+∞

−∞=

δδ)()(

Allora: ( )sns

s fnfWT

fW −⋅= ∑+∞

−∞=

1)(

TEOREMA DELLA DIMENSIONALITÀ: Quando il prodotto 0TB è grande, un segnale reale può essere completamente specificato da

02 TBN =

informazioni indipendenti che descrivono il segnale su un intervallo di durata 0T .


13

SISTEMI LINEARI Legame ingresso-uscita

)(*)()( thtxty = )()()( fHfXfY ⋅=

Spettro della risposta di un segnale periodico

Se ( )0)( fnfcfX nn

−= ∑+∞

−∞=

δ

ALLORA

( )00 )()( fnffnHcfY nn

−= ∑+∞

−∞=

δ

DSP all’uscita di un sistema lineare )()()( 2 ffHf xy PP ⋅=

Risposta in potenza di un sistema lineare

2)()()(

)( fHff

fGx

yh ==

P

P

Trasmissione senza distorsione

( )

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=

=⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=

−=

−

−

dfHTfj

Tfj

d

Tf

fH

eAfH

efXAfY

TtxAty

d

d

ˆ2

costante)(

)(

)()(

ˆ)(

)(ˆ2

ˆ2

πθπ

π


14

DEFINIZIONI DI BANDA

1. BANDA ASSOLUTA di un segnale rigorosamente limitato in banda: 12 ffB −= dove:

⎪⎩

⎪⎨⎧

≤≤>

><=

21

21

per 0)(

e per 0)(

ffffW

fffffW

2. BANDA A –3 dB di un sistema: 12 ffB −= dove:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤≤≥

><<

21

21

per )(max2

1)(

e per )(max2

1)(

ffffHfH

fffffHfH

3. BANDA A –6 dB di un segnale: 12 ffB −= dove:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤≤≥

><<

21

21

per )(max21)(

e per )(max21)(

ffffXfX

fffffXfX

4. BANDA AL PRIMO NULLO per i segnali in banda base

fB

)( fW

5. BANDA NULLO-NULLO per i segnali in banda passante:

6. BANDA A –x dB:

12 ffB −= dove:

⎪⎩

⎪⎨⎧

≤≤≥

><<

21

21

per )(max del )(

e per )(max del )(

ffffHdBxfW

fffffHdBxfW

7. BANDA AL 99%: 12 ffB −= dove 1f e 2f delimitano l’intervallo in cui viene a trovarsi il 99% della potenza totale del segnale


15

FORMULARIO DI ANALISI I [inserito da Emilio Pavia]

1. Trigonometria

Formule di addizione:

( ) βαβαβα sensensen ⋅+⋅=+ coscos

( ) βαβαβα sensen ⋅−⋅=+ coscoscos

( )βαβαβα

tgtgtgtgtg⋅−

+=+

1

( )βα

βαβαctgctg

ctgctgctg+

−⋅=+

1

Formule di sottrazione:

( ) βαβαβα sensensen ⋅−⋅=− coscos

( ) βαβαβα sensen ⋅+⋅=− coscoscos

( )βαβαβα

tgtgtgtgtg⋅+

+=−

1

( )αβ

βαβαctgctg

ctgctgctg−

+⋅=−

1

Formule di duplicazione:

ααα cos22 sensen =

1cos221cos2cos 2222 −=−=−= ααααα sensen

ααα 21

22tgtgtg

−=

αααctg

ctgctg2

122 −

=

Formule di bisezione:

221

22cos

2cos 2 ααα sen−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=


16

2cos1

22cos1

2cos1

22 22 αααααα −

±=⇒−

=⇒−= sensensen

2cos1

2cos αα +

=

Formule parametriche:

2tan1

2tan2

sin2 x

x

x+

=

2tan1

2tan1

cos3

2

x

x

x+

−=

Formule di Werner:

( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]βαβαβα

βαβαβα

βαβαβα

−++=⋅

+−−=⋅

−−+=⋅

coscos21coscos

coscos2121cos

sensen

sensensen

Formule di prostaferesi:

222coscos

2cos

2cos2coscos

22cos2

2cos

22

qpsenqpsenqp

qpqpqp

qpsenqpsenqsenp

qpqpsensenqsenp

−⋅

+−=−

−⋅

+=+

−⋅

+=−

−⋅

+=+

1. Funzioni inverse più importanti:

[ ]

[ ] [ ]π

ππ

;01;1:arccos)(2

;2

1;1:arcsin)(

→+−=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−→+−=

xxf

xxf

[ ] ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−→+∞∞−=

2;

2;:arctan)( ππxxf


17

Funzioni iperboliche:

2sinh

xx eex−−

=

2cosh

xx eex−+

=

( )211logsinh xxsett ++=

( )21logcosh xxxsett ++=

1coshsinh 22 =+ xx

2. Proprietà dei logaritmi

1

010 logloglog

xx

xx aaa =−

1010 logloglog xxxx aaa ⋅=+

αα 00 loglog xx aa =⋅

ab

bc

ca log

loglog = formula del cambiamento di base del logaritmo

3. Limiti notevoli

1sinlim0

=→ x

xx

21cos1lim 20

=−

→ xx

x

ex

ex

xx

x

x

=+

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

→

∞→

1

0)1(lim

11lim

1)1log(lim =+

∞→ xx

x

ex

xa

a

xlog

)1(loglim =

+∞→

ax

a x

xlog1lim

0=

−→

1log1lim0

==−

→e

xe x

x

αα

=−+

→ xx

x

1)1(lim0


18

4. Derivate fondamentali

D αx = 1−⋅ αα x

D xalog = ax elog1

D xe = xe

D xa = aa ex log⋅

D xsin = xcos

D xcos = xsin−

D xtan =x2cos

1

D xcot =x2sin

1−

D xarcsin =21

1

x−

D xarccos =21

1x−

−

D xarctan = 211x+

D xsinh = xcosh

D xcosh = xsinh

D xsett sinh =21

1x+

D xsett cosh =1

12 −x

5. Integrali indefiniti immediati

cxdxx ++

=+

∫ 1

1

α

αα ∫ +−= cx

xsendx cot2

cxdxx

+=∫ log1 cxx

dx+=

+∫ arctan1 2

cxxdx +−=∫ cossin ∫ +=−

cxx

dx arcsin1 2

cxxdx +=∫ sincos cxdxx +=∫ sinhcosh

ca

adxae

xx +=∫ log

cxxdx +=∫ coshsinh

cedxe xx +=∫ cxx

dx+=∫ tanh

cosh 2

cxx

dx+=∫ tan

cos2


19

FORMULARIO [inserito da Giovanni Cutuli]


20


21


22


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25


26


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28


29


30


31

Metodi di integrazione indefinita per parti Oriana Cirrone


32

Scelta del fattore finito e del fattore differenziale Oriana Cirrone

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