Capitolo 3

Onde

1. Le onde sono un fenomeno perturbativo che si propaga. La perturba-zione si propaga con velocità v e dipende dal mezzo in ci si propaga.Due casi:

• Onde materiali: sono una perturbazione del mezzo materiale incui si propagano

• Onde non materiali: sono una perturbazione di campi 1 , tipica-mente elettromagnetici, che esistono nella regione di spazio (anchevuoto) in cui la perturbazione si propaga.

2. Le onde possono essere trasversali o longitudinali, a seconda che la per-turbazione sia ortogonale alle direzione del moto o ad essa congruente

1Campo: esempio gravitazionale

F = Gm1m2

r2G = 6.6710−11[Nm2kg−2]

azione a distanza ovvero campo. Il campo prodotto da una massa, o da un insieme di masseper sovrapposizione, condiziona tutto lo spazio circostante. La massa crea nello spaziocircostante un campo (vettoriale) che agisce su ogni altra massa esercitando una forza diattrazione, nella direzione della massa che ha creato il campo. Il campo gravitazione sipuò anche esprimere come la forza per unità di massa che agisce su una particella massivamo immersa nel campo

~g =~F

mo~g =

Gm

r2diretta verso m

m è la massa che genera il campo (molto grande) e mo è la particella (piccolo oggetto)con cui �sentiamo� il campo.

20

CAPITOLO 3. ONDE 21

3. La propagazione di un'onda può avvenire in una sola direzione: on-de piane (oppure unidimensionali), ovvero in tutte le direzioni: ondesferiche.

4. La propagazione determina la forma del fronte d'onda che in generaleè piana o sferica

Esempi di perturbazioni che si propagano

Figura 3.1: a) Onde trasversali in una corda. b) Onde longitudinali in unamolla. c) Impulso su una corda

3.1 Funzione d'onda e equazione delle onde

La forma della perturbazione e la sua dipendenza da P e t la descrivo conuna funzione detta funzione d'onda

ξ(P, t) = ξ(x, y, z, t) in coordinate cartesiane

ξ(P, t) è una funzione d'onda, cioè rappresenta un'onda che si propaga se èsoluzione dell'equazione di d'Alambert

∇2ξ =1

v2

∂2ξ

∂t2=⇒ ∂2ξ

∂x2+∂2ξ

∂y2+∂2ξ

∂z2=

1

v2

∂2ξ

∂t2

CAPITOLO 3. ONDE 22

Questa equazione, in coordinate cartesiane, fornisce un'onda piana con unasola direzione di propagazione. Se scegliamo x nella direzione di propaga-zione (rotazione del generico sistema cartesiano di coordinate) l'equazioneprecedente diventa �unidimensionale� o piana 2:

∂2ξ(x, t)

∂x2=

1

v2

∂2ξ(x, t)

∂t2

La stessa equazione vale anche ovviamente per un caso prettamente mo-nodimensionale come quello della corda tesa. Si dimostra che le soluzioni�unidimensionale� sono del tipo:

ξ(x, t) = ξ(x− vt) oppure ξ(x, t) = ξ(x+ vt)

Dimostrazione: poniamo u = x− vt

∂ξ(x, t)

∂x=∂ξ(x− vt)

∂x=∂ξ(u)

∂x=∂ξ(u)

∂u

∂u

∂x=∂ξ(u)

∂u= ξ

′(u)

∂2ξu)

∂x2=∂ξ′(u)

∂x=∂ξ′(u)

∂u

∂u

∂x= ξ

′′(u)

∂ξ(u)

∂t=∂ξ(u)

∂u

∂u

∂t= ξ

′(u)(−v)

∂ξ′(u)

∂t(−v) = ξ′′v2

∂2ξ

∂t2= v2 ∂

2ξ

∂x2=⇒ ∂2ξ

∂x2=

1

v2

∂2ξ

∂t2

Analogamente per u = x+ vt che rappresenta l'onda regressiva. La funzioned'onda piana ξ(x, t) = ξ(x∓ vt) può rappresentare una grandezza qualunqueche si propaga dando origine ad un'onda. In particolare può essere scalare ovettoriale.

Esempi:

ξ(x, t) = ∆p(x∓ vt) onda acustica di pressione - longitudinale

ξ(x, t) = ∆ρ(x∓ vt) onda acustica di densità - longitudinale

ξ(x, t) = s(x∓ vt) onda acustica di spostamento - longitudinale

ξ(x, t) = y(x∓ vt) onda meccanica di spostamento - trasversale

~ξ(x, t) = ~E(x∓ vt) onda elettromagnetica piana - trasversale

~ξ(x, t) = ~B(x∓ vt) onda elettromagnetica piana - trasversale

2Onda piana: tutti i punti su un piano x = cost, detta super�cie di propagazione,hanno lo stesso valore di ξ(x, t) per ogni y e z.

CAPITOLO 3. ONDE 23

L'equazione delle onde da cui derivano è sempre la stessa equazione di d'A-lambert.

Notiamo che per la linearità dell'equazione delle onde vale il principio disovrapposizione degli e�etti. Quindi se ξi(x∓vt) sono funzioni d'onda, anche

ξ =∑i

ξi(x∓ vt) = ξ(x∓ vt)

rappresenta un'onda.Questa proprietà fondamentale ci permette di trattare fenomeni come

l'interferenza, l'onda stazionaria e i battimenti. Ma soprattutto, ci permettedi utilizzare la serie o la trasformata di Fourier per trattare forme d'ondacomplicate attraverso:

• la serie di Fourier se la forma d'onda è periodica

• la trasformata di Fourier se la forma d'onda è impulsata

Consideriamo il caso di un'onda impulsiva su una corda tesa e analizziamola propagazione descritta da ξ(x∓ vt).

Figura 3.2: Propagazione di un impulso su una corda

CAPITOLO 3. ONDE 24

Spostando il sistema di coordinate in x′

= x −∆t e posto t′

= t −∆t sidimostra facilmente che

ξ(x, t) = ξ(x′, t′) se, come nell'esempio, l'onda è progressiva

ξ(x′, t′) = ξ[(x− v∆t)− v(t−∆t)] = ξ(x− vt)

quindi la funzione d'onda ξ(x− vt) rappresenta un'onda progressiva mentreξ(x+ vt) rappresenta un'onda regressiva.

v è la velocità di fase dell'onda, cioè la velocità di propagazione di ognispeci�co punto della forma d'onda.

Esempio di funzioni d'onda Perché ξ(x, t) sia una funziona d'ondaè condizione necessaria e su�ciente che le variabili x e t siano legate dallarelazione x− vt e x+ vt.

Nessuna delle due variabili può apparire in modo indipendente da una diqueste relazioni. ξ = A cos(k(x − vt)) è una funzione d'onda e k serve permettere a posto le dimensioni.

ξ =A

(x− vt)2 + 1è una funzione d'onda

3.1.1 Onde piane armoniche

Le onde piane armoniche sono espresse dalle funzioni seno e coseno.

ξ(x, t) = ξ0 cos[k(x− vt)] o ξ0 cos[kx− ωt]ξ(x, t) = ξ0 sin[k(x− vt)] o ξ0 sin[kx− ωt]

in generale al gruppo kx − ωt si aggiunge una fase ϕ che indica appunto ilvalore dell'argomento in t = x = 0.

La ϕ è diversa se si usano il seno o il coseno!Prendendo un sistema di riferimento diverso va aggiunta una fase ϕ.

ξ(x, t)|x=cost=x0 = ξ(x, t+ nT )|x=cost=x0 ∀x0

=⇒ ξ(x, t) = ξ(x, t+ nT ) ∀xξ(x, t)|t=t0 = ξ(x+ nλ, t)|t=t0 ∀t0=⇒ ξ(x, t) = ξ(x+ nλ, t) ∀t

Siccome ∀x il valore della funzione si ripete al variare di t di un numerointero di periodi T si ha che

cos(kx− ωt) = cos(kx− ω(t+ nT )) =⇒ ω(t+ nT ) = ωt+ n(2π)

=⇒ ωnT = 2nπ =⇒ ω =2π

Tovvero ω = 2πν

CAPITOLO 3. ONDE 25

Figura 3.3: Onde piane armoniche

ovvero T =1

νovvero T =

2π

ω

Lo stesso si può fare ∀t considerando la lunghezza d'onda λ. Infatti

cos(kx− ωt) = cos(k(x+ nλ)− ωt) =⇒ k(x+ nλ) = kx+ n(2π)

=⇒ knλ = 2nπ =⇒ k =2π

λovvero λ =

2π

k

Esplicitando T e λ nella funzione d'onda si ha che:

ξ(x, t) = ξ0 cos

(2π

λx− 2π

Tt

)= ξ0 cos

[2π

(x

λ− t

T

)]Velocità e accelerazione trasversali generate dalla propagazione di un'on-

da trasversale su una corda tesa. Poniamo

ξ(x, t) = y(x, t) = y0 cos(kx− ωt) y0 = ym

vy(x, t) =∂y(x, t)

∂t=dy(x, t)

dt|x=cost = ωy0 sin(kx− ωt) vy,m = ωym

CAPITOLO 3. ONDE 26

ay(x, t) =∂vy(x, t)

∂t=dvy(x, t)

dt|x=cost = −ω2y0 cos(kx− ωt) ay,m = ω2ym

3.1.2 Digressione sulla fase

ξ(, t) = ym cos (kx− ωt− ϕ) = ym cos

(2π

λx− 2π

T− ϕ

)=

che possiamo scrivere sia come

ξ(x, t) = ym cos

[2π

λ(x− x0)− 2π

Tt

]dove

2π

λx0 = ϕ =⇒ x0 = ϕ

λ

2πoppure

ξ(x, t) = ym cos

[2π

λx− 2π

T(t− t0)

]dove

2π

Tt0 = −ϕ =⇒ t0 = −ϕ T

2π

3.1.3 Velocità di propagazione in una corda tesa

I parametri caratteristici del mezzo di propagazione sono la tensione T

[N ] e la densità lineare ρl = ρS [kg/m]. La velocità di propagazione v [m/s]può essere funzione solo di T e ρl.

1. Un'analisi dimensionale ci dice che la soluzione può essere solo del tipo

v =√

Tρl. Infatti 3

T [N = kgms−2] e ρl = ρS[kgm−3m2 = kgm−1]

T

ρl

[kgms2

kgm−1= m2s−2

]= v2

[m2s−2

]3

T

ρl=

TS

ρ=

T

ρ S

ρS = ρl

CAPITOLO 3. ONDE 27

2. Primo ricavo analitico, considerando un impulso che si propaga su diuna corda tesa facendo l'equilibrio dinamico di una elementino di cordaal passaggio della perturbazione.

La risultane delle forze che agiscono sull'elementino è quindi

~F = ~T + ~T ′ = Fx~i+ Fy~j

Fx = T (cosα′ − cosα) Fy = T (sinα′ − sinα)

Sviluppando le funzioni sinα, tanα e cosα in serie di Taylor si ha

sinα = α− α3

3!+α5

5!− . . . dispari

cosα = 1− α2

2!+α4

4!− . . . pari

tanα = α +α3

3!+α5

5!+ . . . dispari

Si nota che per α� 1 i secondi termini e tutti i termini successivi sonotrascurabili 4 e quindi

sinα = tanα = α

cosα = 1

Poiché la perturbazione prodotta dall'onda è molto piccola rispetto allalunghezza d'onda, α è molto piccolo e la risultante delle forze diventa:

Fx = 0 Fy = T (tanα′ − tanα) = T tanα′ − T tanα

D'altra parte possiamo esprimere tanα′ in funzione di tanα, facendoancora uno sviluppo al primo ordine poiché i due valori sono moltovicini ( dl molto piccolo e tendente a zero). In pratica

tanα′ = tanα +∂ tanα

∂xdx e anche tanα =

∂y

∂x

Sostituendo si ottiene

Fy = T

(tanα +

∂

∂x

∂y

∂xdx− tanα

)= T

∂2y

∂x2dx

4per α = 0.1 ≈ 5o l'errore sul seno e sulla tangente è circa del 1.7 0/00 e sul coseno è≈ 5%

CAPITOLO 3. ONDE 28

La componente verticale Fy della forza risultante è diversa da zero

quindi produce un'accelerazione della massa dell'elementino: ~F = m~ae quindi

Fy = dm∂2y

∂t2= ρl

∂2y

∂t2dx

Eguagliando i termini ed eliminando dx si ha

T∂2y

∂x2= ρl

∂2y

∂t2=⇒ ∂2y

∂x2=

1

v2

∂2y

∂t2

avendo posto

v =

√T

ρl

Figura 3.4: Elemento dl di un corda sottoposto alla tensione T .|~T | = | ~T ′| =T .

3. Ricavo della velocità dalla considerazione che la forza che agisce sulventre dell'onda è di tipo centripeto, come quella di un moto circolare.

F = Fy = 2T sin θ = Tδl

R

poiché la forza è di tipo centripeto, possiamo anche scrivere

Fy = δmv2

r= ρlδl

v2

R

CAPITOLO 3. ONDE 29

Eguagliando le due espressioni di Fy e sempli�cando δl e R si ottiene

ρlv2 = T =⇒ v2 =

T

ρl=⇒ v =

√T

ρl

L'elementino non si muove lungo la direzione di propagazione x e quindi èun'onda trasversale.

Figura 3.5: Propagazione di un impulso su una corda. In �gura sono illustratele forze di tensione su un tratto δl.

3.1.4 Propagazione dell'energia in una corda

La perturbazione che si propaga (onda) trasporta energia.Consideriamo il caso di un'onda armonica che si propaga su una corda tesacon parametri caratteristici ~T e ρl.

ξ(x, t) = y(x, t) = ymcos (kx− ωt) con ϕ = 0 v =ω

k

Anche la velocità e l'accelerazione trasversali si propagano con al stessavelocità di propagazione v

vy =∂y(x, t)

∂t= ωym sin (kx− ωt) vy,m = ωym

ay =∂vy∂t

= −ω2ym cos (kx− ωt) ay,m = ω2ym

E' interessante notare che velocità e accelerazione si possono scriver anchecome:

vy = vy,m cos(kx− ωt− π

2

)anticipo di

π

2

ay = ay,m cos (kx− ωt∓ π) in opposizione di fase

CAPITOLO 3. ONDE 30

Al passaggio della perturbazione ogni elementino della corda riceve ener-gia dall'elemento che lo precede, l'immagazzina e la ritrasmette a quellosuccessivo: l'energia è trasportata.

Ogni elementino immagazzina energia sotto forma di energia cinetica Ked energia potenziale U .

Figura 3.6: (a) Elementi A e B di una corda separati da T/4. (b)Ingrandimento di un elemento della corda.

Consideriamo un'onda armonica agli istanti t = 0 e t = T4e analizziamo

gli elementi nei punti x = 0 e x = λ4. Al passare della perturbazione il punto

A si muove in A' e B in B'.Si nota che in A e B' sono nulle sia l'energia potenziale (allungamento ela-stico dell'elemento) che l'energia cinetica (associata alla velocità trasversaledell'elemento). Viceversa in A' e B entrambe hanno il valore massimo.

CAPITOLO 3. ONDE 31

L'energia che transita non è costante, ma varia nel tempo da zero ad unvalore massimo secondo una legge del tipo cos2.Consideriamo un elementino dl e calcoliamo il valore dell'energia cinetica dKe potenziale dU ad esso associate.

dK =1

2dmv2

y =1

2ρldx [ωym sin (kx− ωt)]2

PK =dK

dt=

1

2ρlvω

2y2m sin2 (kx− ωt)

v =dx

dte dx in�nitesimo

dU = T (dl − dx) = Tdx

√1 +

(∂y

∂x

)2

− 1

avendo posto dl =

√dx2 + dy2 = dx

√1 +

(∂y∂x

)2.Poiché ∂y

∂x� 1 possia-

mo sviluppare la radice quadrata con Taylor, fermandoci al primo ordine:(1 + z)n = 1 + nz + . . . per z � 1.Applicando lo sviluppo al nostro caso si ottiene:√

1 +

(∂y

∂x

)2

= 1 +1

2

(∂y

∂x

)2

e quindi

dU = Tdx1

2

(∂y

∂x

)2

=1

2T

(∂y

∂x

)2

dx =1

2Tdx [ymk sin (kx− ωt)]2

PU =1

2T v y2

m k2 sin2 (kx− ωt)

Si nota subito che PU e PK sono identiche! Infatti hanno la stessadipendenza temporale e spaziale attraverso la funzione sin2 (kx− ωt) e

1

2Tvy2

mk2 =

1

2ρlvω

2y2m

Infatti dalla relazione v =√

Tρle v = ω

ksi ottiene

CAPITOLO 3. ONDE 32

T = ρlv2 e k =

ω

v=⇒

1

2T v k2 y2

m =1

2ρl v

2 vω2

v2y2m =

1

2ρlvω

2y2m =⇒

Ptot = P = PK + PU = 2PK = 2PU

= ρl v ω2 y2

m sin2 (kx− ωt)= Tvk2y2

m sin2 (kx− ωt)In conclusione, relativamente d un'oda armonica descritta come:

ξ(x, t) = ym cos (kx− ωt− ϕ)

la potenza P (x, t) si propaga con la stessa velocità v = ωke ha la forma

P (x, t) = Pmax sin2 (kx− ωt− ϕ) = Pmax cos2(kx− ωt− ϕ− π

2

)Pmax = ρlvω

2y2m = Tvk2y2

m

Figura 3.7: Propagazione di un'onda e della potenza ad essa associata.

La potenza media trasportata è la media della potenza trasportata in unperiodo:

P̄ [W ] =1

T

∫ t0+T

t0

P (x, t)dt =1

2Pmax =

1

2ρlvω

2y2m =

1

2Tvk2y2

m

CAPITOLO 3. ONDE 33

In generale si de�nisce intensità la potenza media che transita per unità disuper�cie. Detta S la super�cie:

I

[W

m2

]=P̄

S

3.1.5 Onda longitudinale in una barra di sezione S

I due parametri in questo caso sono il modulo di Young E e la densità

volumica:

E =F/S

∆l/l[Nm2] ρ

[kg m−3

]La perturbazione è longitudinale, del tipo ξ(x, t) = ξ(x − vt). L'analisidimensionale ci dice che v = E

ρ.

Figura 3.8: Propagazione di un'onda in una barra di sezione S.

A causa dell'onda (perturbazione che si propaga), all'istante t si ha:

x −→ x+ ξ(x, t)x+ dx −→ x+ dx+ ξ(x+ dx, t)

dx = (x+ dx)− x −→ dx+ ξ(x+ x, t)− ξ(x, t) = dx+ ∂ξ∂xdx

Adesso l'unica cosa che dobbiamo fare è inserire queste relazioni nel nostroproblema, considerando che

∆l

l=F/S

E=∂ξ

∂xda cui F = ES

∂ξ

∂x

La variazione della forza F ai capi dell'elementino è quella che, secondoNewton, produce l'accelerazione della massa dm dell'elementino.

dF = F (x+ dx, t)− F (x, t) =∂F (x, t)

∂xdx = ES

∂2ξ

∂x2dx = ρSdx

∂2ξ

∂t2

CAPITOLO 3. ONDE 34

Eliminando S e dx si ha

E∂2ξ

∂x2= ρ

∂2ξ

∂t2=⇒ ∂2ξ

∂x2=

1

v2

∂2ξ

∂t2con v2 =

E

ρ=⇒ v =

√E

ρ

Analogamente a quanto visto per la corda in cui si propaga un'onda mec-canica trasversale, possiamo ricavare P (x, t), P̄ e I per una barra in cui sipropaga un'onda meccanica longitudinale. Semplicemente nel caso dell'on-da armonica, basta pensare che y e ξ hanno le stesse dimensioni [m] e cheT = ES e ρ = ρl

S, sostituendo si ottiene:

P (x, t) = Pmax sin2(kx− ωt− ϕ) se ξ(x, t) = ξm cos(kx− ωt− ϕ)

P̄ =1

2Pmax

I =P̄

S

dove Pmax = ρSvω2ξ2m = ESvk2ξ2

m da cui segue che

P̄ = 12ρSvω2ξ2

m = 12ESvk2ξ2

m

I = 12ρvω2ξ2

m = 12Evk2ξ2

m

Facciamo in�ne una veri�ca dimensionale:

P̄ [W ] = [J s−1] = [kg ms−2ms−1] = [kg m2 s−3]

[kg m−3] [m2][ms−1][s−2][m2] = [kg m2 s−3]

[kg ms−2m−2] [m2][ms−1][m−2][m2] = [kg m2 s−3]

3.2 Interferenza di onde armoniche

Consideriamo il fenomeno dell'interferenza tra due onde armoniche co-propaganti (trasversali o longitudinali) ξ1(x− vt) e ξ2(x− vt). Anche la lorosomma ξ(x, t) = ξ1 + ξ2 è u'onda che è soluzione della stessa equazione delleonde, purché le onde siano della stessa natura. Infatti v dipende dal mezzo dipropagazione e la somma vale per la linearità dell'equazione: sovrapposizionedegli e�etti 5

5La presenza di più sorgenti non deve modi�care il comportamento delle singole sorgenti.

CAPITOLO 3. ONDE 35

Corollario 2. Corollario: l'onda ξ(x, t) =∑ξi(x, t) può essere riscomposta

nelle onde che l'hanno generata

Consideriamo due onde armoniche copropaganti di uguale frequenza ν euguale ampiezza ξ0. La di�erenza sarà soltanto relativa alla fase.

ξ(x, t) = ξ0 sin (kx− ωt− ϕ1) + ξ0 sin (kx− ωt− ϕ2) ϕ2 ≥ ϕ1

ξ(x, t) = ξ0 [sin (kx− ωt− ϕ1) + sin (kx− ωt− ϕ2)]

Ricordiamo che sinα+sin β = 2 sin[

12

(α + β)]

cos[

12

(α− β)]otteniamo che:

ξ(x, t) = 2ξ0 sin

(kx− ωt− ϕ1 + ϕ2

2

)cos

(ϕ2 − ϕ1

2

)Se ora de�niamo ∆ϕ = ϕ2 − ϕ1 e ϕ′ = ϕ1+ϕ2

2possiamo riscrivere la nostra

espressione com

ξ(x, t) = 2ξ0 cos

(∆ϕ

2

)sin (kx− ωt− ϕ′)

Introducendo A = 2ξ0 cos(

∆ϕ2

)possiamo srivere la nostra onda come:

ξ(x, t) = A sin (kx− ωt− ϕ′)

Analizziamo ora l'in�uenza dello sfasamento ∆ϕ. Se

∆ϕ = (2m+ 1)π A = 0 onde in opposizione di fase∆ϕ = 2mπ A = 2ξ0 onde in fase

Se le ampiezze delle due onde sono uguali, abbiamo certe condizioni di dif-ferenza di fase in cui l'ampiezza della risultante è 0 e altre in cui è 2ξ0 Ingenerale l'ampiezza sarà un valore intermedio.Se le ampiezze sono diverse non si può mai avere la condizione A = 0. inparticolare l'ampiezza varierà da un minimo ad un massimo che valgono:

|ξ01 − ξ02| ≤ A ≤ |ξ01 + ξ02|

3.2.1 Onda stazionaria

Consideriamo ora due onde contropropaganti la cui onda è descritta da:

ξ(x, t) = ξ0 (kx− ωt− ϕ1) + ξ0 (kx+ ωt+ ϕ2)

CAPITOLO 3. ONDE 36

Figura 3.9: Onde stazionarie a diversi t.

Riprendendo il procedimento utilizzato precedentemente possiamo scri-vere l'onda come:

ξ(x, t) = 2ξ0 sin (kx− ϕ′) cos(−ωt+ ∆ϕ

2

)= 2ξ0 sin (kx− ϕ′) cos

(ωt− ∆ϕ

2

)Consideriamo il caso ϕ1 = ϕ2 = 0 ± 2mπ. Questa condizione implica cheϕ′ = 0 e ∆ϕ = 0. L'onda possiamo riscriverla come:

ξ(x, t) = 2ξ0 sin (kx) cos (ωt)

Nei punti x = 0 ± λ2la ξ(x, t) è nulla con le sue derivate. Infatti le singole

onde nel punto x = mλ2hanno espressione:

ξ1(x, t)|x=mλ2

= ξ0 sin(

2πλmλ2− ωt

)= ξ0 sin (mπ − ωt)

ξ2(x, t)|x=mλ2

= = ξ0 sin (mπ + ωt)

e quindi l'onda possiamo scriverla come

ξ(x, t)|x=mλ2

= ξ0 [sin (mπ − ωt) + sin (mπ + ωt)]

= ξ0 (−1)m [sin (ωt)− sin (ωt)]= 0

CAPITOLO 3. ONDE 37

e quindi è nulla in quanto somma di grandezze uguali ed opposte. Lo stessovale per la velocità e l'accelerazione. Infatti per la velocità si ha

vξ =∂ξ

∂t|x=mλ

2= ωξ0 [− cos (mπ − ωt) + cos (mπ + ωt)]

= ωξ0 (−1)m (cosωt− cosωt)

= 0

e per l'accelerazione

aξ =∂2ξ

∂t2|x=mλ

2= −ω2ξ0 [sin (mπ − ωt) + sin (mπ + ωt)]

= −ω2ξ0 (−1)m+1 (sinωt− sinωt)

= 0

La condizione ξ(x, t) = vξ(x, t) = aξ(x, t) = 0 è la condizione di nodo e si perx = mλ

2con m = 0, 1, 2, . . . .

La condizione di ventre, che si ha per x = 2m+12

λ2

= (2m+ 1) λ4, implica

ξ(x, t)|x=ventre = 2ξ1(x, t)|x=ventre

vξ(x, t)|x=ventre = 2∂ξ1

∂t|x=ventre

aξ(x, t)|x=ventre = 2∂2ξ1

∂t2|x=ventre

Nota: Alcune formule trigonometriche utilizzate nelle sempli�cazioni prece-denti:

cosmπ = (−1)m

sin (α± β) = sinα cos β ± cosα sin βcos (α± β) = cosα cos β ∓ sinα sin β

3.2.2 Onde su una corda tesa

Per imporre un nodo alla corda tesa basta �ssarla in un punto P in modoche non si possa muovere e quindi imporre in quel punto che ξ(x, t) = 0,vξ(x, t) = 0 e aξ(x, t) = 0.

Corollario: l'onda che si propaga nella direzione delle x positive arrivatain P si ri�ette sfasandosi di π.

Per imporre un ventre alla corda tesa sarebbe necessario �ssarla in modoche mantenga la tensione ma si possa liberamente muovere in y (o ξ) senzaalcun attrito.

Corollario: l'onda che si propaga nella direzione delle x positive arrivatain P si ri�ette ma non cambia fase.

CAPITOLO 3. ONDE 38

Pizzicando una corda di lunghezza L �ssata tra 2 nodi, dopo un brevetransitorio in cui si annullano interferendo le altre frequenze, si formano leonde stazionarie che soddisfano alle condizioni al contorno imposte nei duenodi.Poiché i punti estremali della corda rappresentano i nodi, la lunghezza dellacorda corrisponde almeno a mezza lunghezza d'onda. Infatti

L = mλm2

ovvero λm =2L

m

Conoscendo la velocità v = Tρl

la frequenza dell'oscillazione fondamentale èdata da ν1 = v

λ1. Le armoniche superiori sono date dalla relazione

νm =v

λm=mv

2L

L'ampiezza dell'oscillazione del moto armonico è data da

A = 2ξ0

∣∣∣∣sin(m2π

λ1

x

)∣∣∣∣Nel caso in cui le condizioni siano di nodo-ventre si ha

λ1 = 4Lλ3 = 4

3L

λ5 = 45L

. . .λn = 4

2m+1L dove n = 2m+ 1 m = 0, 1, 2, . . .

Le frequenze corrispondenti sono

ν1 = vλ1

= (2m+1)v4L

= v4L

m=0

ν3 = vλ3

= (2m+1)v4L

= 3v4L

= 3ν1 m=1

In questo caso ν1 è l'armonica fondamentale e le altre sono solo dispari. Ilnumero dell'armonica è dato da n e NON da m.

3.3 Strumenti musicali

Gli strumenti musicali permettono di generare onde stazionarie su unacorda tesa (strumenti a corda) ovvero in una colonna d'aria che può essere:

• aperta-aperta corrispondente a nodo-modo di pressione e densità

CAPITOLO 3. ONDE 39

Figura 3.10: Forma d'onda prodotta da a) un �auto e b) un oboe cheproducono la stessa nota con la medesima prima armonica

• aperta-chiusa corrispondente a nodo-ventre di pressione e densità

. Oltre all'armonica fondamentale, lo strumento genera anche le armoni-

che superiori (solo le dispari nel caso nodo-ventre) con ampiezze e fasi chederivano da come lo strumento è concepito.

La vibrazione dell orda o della colonna d'aria trasferiscono energia all'ariacircostante producendo un'onda sonora che si propaga. Le frequenze (fon-damentale e armoniche) non possono cambiare, mentre le lunghezze d'ondadipendono dalla velocità di propagazione imposta dal mezzo (aria).

3.3.1 Note musicali

L'orecchio percepisce suoni �simili� se le frequenze associate sono legateda una potenza di 2! Da questo deriva la divisione delle frequenze in ottave,ciascuna delle quali è divisa in 12 semitoni o note.

La4def= 440Hz =⇒ La2 = 2−2La4 = 110Hz

In ogni ottava i 12 semitoni sono collegati secondo una progressione geo-metrica di ragione 2

112 . Ogni 12 semitoni la frequenza raddoppia e si comple-

ta un'ottava, ottava che parte sempre dal Do. Le stesse note in due ottavesuccessive hanno frequenze una doppia dell'altra.

Esempio: Frequenza del Do5 che è 3 semitoni più alta di quella del La4.

fDo5 = fLa42312 ≈ 523.25Hz

CAPITOLO 3. ONDE 40

Figura 3.11: Scala musicale e rispettivi strumenti

3.4 Propagazione di un'onda armonica al cam-

biamento delle proprietà del mezzo: Ri�es-

sione e Trasmissione

Consideriamo un'onda su di una corda tesa in�nita la cui densità lineareρl cambia ad un certo punto, x = 0, dal valore ρl1 al valore ρl2. La tensioneT sarà comune in tutta la corda.

Per la continuità della funzione d'onda ξ(x, t), con tutte le sue derivate,e della forza F (x, t) che la produce, si avrà che, nel punto di discontinuitàdel mezzo, x = 0, l'onda incidente ξ(x, t) = ξi (x, t) si dividerà in due onde,una che passa al secondo mezzo, ξt(x, t) (detta trasmessa o rifratta) ed unache viene ri�essa, ξr(x, t), che trona indietro con vr = −vi, propagando nellostesso messo dell'onda incidente.

In sintesi:

• T e ω sono comuni per tutte le corde

• v, λ e k dipendono dal mezzo in cui propaga l'onda.

CAPITOLO 3. ONDE 41

Figura 3.12: Ri�essione e trasmissione di un'onda all'interfaccai tra duemezzi.

La continuità della funzione d'onda nel punto di discontinuità del mezzo,x = 0, impone le seguenti condizioni alle funzioni d'onda e alle forze che laproducono:

ξi(0, t) = ξr(0, t) + ξt(0, t)

Fi(0, t) = Fr(0, t) + Ft(0, t) con F (x, t) = T ∂ξ(x,t)∂x

Facendo i conti si ottiene

ξi(0, t) = ξ0i sin (k1x− ωt)∣∣∣x=0

= −ξ0i sin (ωt)

ξr(0, t) = ξ0r sin (k1x+ ωt)∣∣∣x=0

= ξ0r sin (ωt)

ξt(0, t) = ξ0t sin (k2x− ωt)∣∣∣x=0

= −ξ0t sin (ωt)

Fi(0, t) = T ∂ξi(x,t)∂x

∣∣∣x = 0 = Tk1ξ0i cos (ωt)

Fr(0, t) = T ∂ξr(x,t)∂x

∣∣∣x = 0 = Tk1ξ0r cos (ωt)

Ft(0, t) = T ∂ξt(x,t)∂x

∣∣∣x = 0 = Tk2ξ0t cos (ωt)

Sostituendo nel sistema iniziale si ottiene:{−ξ0i = ξ0r − ξ0t

k1ξ0i = k1ξ0r + k2ξ0t

che possiamo riscrivere come{ξ0i + ξ0r = ξ0t

k1 (ξ0i − ξ0r) = k2ξ0t

CAPITOLO 3. ONDE 42

Possiamo ora de�nire

rdef=

ξ0r

ξ0i

tdef=

ξ0t

ξ0i

e sostituendo nuovamente otteniamo per la ri�essione

k1 (ξ0i − ξ0r) = k2ξ0t = k2 (ξ0i + ξ0r)ki(1− r) = k2(1 + r)r (k1 + k2) = k1 − k2

r = k1−k2k1+k2

{r < 0 per k2 > k1

r > 0 per k2 < k1

mentre per la trasmissione

k1 (ξ0i + ξ0i − ξ0t) = k2ξ0t

ki(2− t) = k2t(k1 + k2) t = 2k1

t = 2k1k1+k2

t > 0 sempre

Notando che k e√ρl dipendono entrambi dal mezzo e sono legati da una

costante 6 si ha ancher =

√ρl1−

√ρl2√

ρl1+√ρl2

t =2√ρl1√

ρl1+√ρl2

Consideriamo i casi limite per k2 →∞ e k2 → 0, che è lo stesso che direche√ρl2 →∞ e

√ρl2 → 0.

r →{

lim√ρl2→∞ r = −1 nodo, ri�essione totale con sfasamento di πlim√ρl2→0 r = 1 ventre, ri�essione totale senza sfasamento

t→

lim√ρl2→∞ t = 0 non si ha trasmissione

lim√ρl2→0 t = 2

{onda incidente e ri�essa si sommano in fasedando un'ampiezza doppia: ventre

r e t non hanno un nome speci�co. Si de�niscono invece i coe�cienti diri�essione R e di trasmissione o rifrazione T come i rapporti:

Rdef=P̄rP̄i

=IrIi

Tdef=P̄tP̄i

=ItIi

6

k =2π

λ=

2πν

v=

2πν√Tρl

=⇒ k =2πν√T

√ρl = C

√ρl

CAPITOLO 3. ONDE 43

Figura 3.13: (a) Ri�essione di un impulso su una parete �ssa. L'onda ri�essaè sfasata di π rispetto all'onda incidente. (b) Ri�essione di un impulso suun'estremità libera.

Con semplici passaggi 7 si ottiene

7Basta ricordare che P̄ = 12ρlω

2ξ20v ovvero 12ρSω

2ξ20v:

• nel calcolo di R, ρl e v sono gli stessi per le due onde

• nel calcolo di T , oltre al rapporto(ξ0tξ0i

)2si ha ρl2v2

ρl1v1=√ρl2√ρl1

= k2k1

CAPITOLO 3. ONDE 44

R = r2

T = t2k2

k1

= t2√ρl2√ρl1

e si veri�ca facilmente che T +R = 1. Infatti:

R + T =(k1 − k2)2

(k1 + k2)2 +k2

k1

(2k1)2

(k1 + k2)2

=(k1 − k2)2

(k1 + k2)2 +4k1k2

(k1 + k2)2

= 1

3.5 Accenno alla serie di Fourier

Una funzione periodica f(t) = f(t±mT ) con m intero può sempre esserescritta come la somma di funzioni armoniche.

f(t) = a0 +∑∞

n=1 (an cosωnt+ bn sinωnt)

a0 = 1T

∫ t0+T

t0f(t)dt

ω1 = 2πT

frequenza fondamentaleωn = nω1

an e bn reali

Per l'ortogonalità delle funzioni seno e coseno è facile dimostrare che

an = 2T

∫ t0+T

t0f(t) cos (ωnt) dt

bn = 2T

∫ t0+T

t0f(t) sin (ωnt) dt

poiché vale sempre la relazione a cosωt + b sinωt = c cos (ωt+ ϕ) potremosempre scrivere la serie come:

f(t) = c0 +∑∞

n=1 cn cos (ωnt+ ϕn)

c0 = a0

cn =√a2n + b2

n

ϕn = arctan(−bnan

)

CAPITOLO 3. ONDE 45

Se notiamo che ρ cosα = ρ eiα+e−iα

2(forma Euleriana), l'espressione pre-

cedente può essere scritta come

f(t) =∞∑

n=−∞

cneiωnt

cn complessi perchè contengono la fase ϕnc−n = c∗nω−n = −ωnc−ne

iω−nt + cneiωnt = cn cos (ωnt+ ϕn)

cn = 1T

∫ t0+T

t0f(t)e−iωntdt

Se la periodicità è in x allora f(x) = f(x±mλ) allora tutto rimane uguale,basta sostituire t con x, T con λ e ω con k. Lo sviluppo in serie di Fourierdiventa quindi

f(x) = a0 +∞∑n=1

(an cos knx+ bn sin knx)

f(x) = c0 +∞∑n=1

cn cos (knx+ ϕn)

f(x) =∞∑

n=−∞

cneiknx

cn =1

λ

∫ x0+λ

x0

f(x)e−iknxdx