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Capitolo 11 STATO CRITICO E MODELLO CAM-CLAY MODIFICATO

CAPITOLO 11 STATO CRITICO E MODELLO CAM-CLAY MODIFICATO

11.1 Percorsi tensionali (stress paths)

11.1.1 Percorsi tensionali efficaci (ESP) e totali (TSP) nei piani s’-t e s-t

Lo stato tensionale in un punto di un mezzo continuo solido in condizioni assialsimmetri-che, come è stato mostrato nel Capitolo 9, è rappresentato nel piano di Mohr (σ, τ) da un cerchio avente il centro sull’asse delle ascisse (Figura 11.1a). Se si considera un sistema piano di assi cartesiani in cui l’asse delle ascisse è il parametro di tensione:

( )2

s 31 σ+σ= (Eq. 11.1)

e l’asse delle ordinate è il parametro di tensione:

( )2

t 31 σ−σ= (Eq. 11.2)

al cerchio nel piano di Mohr corrisponde biunivocamente un punto A nel nuovo sistema di riferimento (Figura 11.1b). Sovrapponendo i due sistemi di riferimento il punto A coin-cide con il vertice del cerchio di Mohr. Il vantaggio di tale rappresentazione consiste nel fatto che è possibile, mediante una linea continua nel piano s-t, rappresentare una succes-sione continua di stati tensionali, ovvero un percorso tensionale. Il vertice del cerchio di Mohr sta al percorso tensionale come un fotogramma sta ad un filmato.

O

A

t

s

τ

σσ3

a)

σ1

(σ1-σ

3)/2

(σ1+σ

3)/2

b)

(σ1+σ

3)/2

O σ3

(σ1+σ

3)/2

A

O

Percorso tensionale

Figura 11.1: Corrispondenza fra i cerchi di Mohr e i punti nel piano s-t

Nel caso dei terreni i percorsi tensionali possono essere definiti con riferimento sia alle tensioni totali (TSP = Total Stess Path) sia alle tensioni efficaci (ESP = Effective Stress Path). Applicando il principio delle tensioni efficaci si ha:

s = s’ + u e t = t’ (Eq. 11.3)

11 – Università degli Studi di Firenze - Dipartimento di Ingegneria Civile e Ambientale – Sezione Geotecnica

J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi – Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 2017)

1

Capitolo 11 STATO CRITICO E MODELLO CAM-CLAY MODIFICATO Utilizzando i percorsi tensionali è possibile descrivere la successione continua nel tempo degli stati tensionali totali ed efficaci di un provino di terreno durante l’esecuzione delle prove geotecniche assialsimmetriche standard di laboratorio che sono state descritte nei capitoli precedenti. a) I percorsi tensionali totale (TSP) ed

efficace (ESP) di compressione e consolidazione isotropa (prima fase delle prove triassiali TxCID e TxCIU) sono rappresentati da seg-menti rettilinei sull’asse delle ascis-se (t = 0). Per semplicità di esposi-zione si suppone che gli stati ten-sionali iniziali totale ed efficace, ri-spettivamente rappresentati dai punti A e A’, siano isotropi e che la pressione interstiziale iniziale sia zero, cosicché i punti A ed A’ risul-tano coincidenti. Nel piano delle tensioni totali il segmento AB è percorso in modo istantaneo all’atto di applicazione dell’incremento di pressione isotropa di cella (Figura 11.2). Nel piano delle tensioni efficaci il segmento A’B’ è percorso nel tempo Tc necessario affinché avvenga la consolidazione. Al tempo T < Tc la distanza BB’ indica il valore della pressione interstiziale residua.

b) I percorsi tensionali efficace (ESP) e tota-le (TSP) di un provi-no di terreno nor-malmente consolida-to sottoposto a prova di compressione e consolidazione edo-metrica a incrementi di carico sono mo-strati in Figura 11.3. I punti A e A’, coin-cidenti, indicano gli stati tensionali, ri-spettivamente totale ed efficace, prima dell’applicazione

dell’incremento di cari-co, ∆p. I punti B e B’, coincidenti, indicano gli stati tensionali, rispettivamente totale ed efficace, al termine del processo di consolidazione. Sia i punti A e A’ che i punti B e B’ appartengono alla retta K0, passante per l’origine degli assi ed avente equazione:

A s,s’

t

B.P.

A’ B’ B

Figura 11.2 – Percorsi tensionali nei piani s-t e s’-t per compressione isotropa

A

B

s,s’

t

u(t)45°

TSP

∆ ∆s = p

( ) p1+k ∆

( ) p1-k ∆

( ) p1-k ∆2

2

2

ESP TSP

A’

B’

V’V

αk 0 0 0

= arctg[(1-K )/(1+K )]

(T = 0) (T = 0)

0

0 0

0

0

(T = T )c

C

∆s’ =

∆t =

∆s -∆s’ =

Figura 11.3 – Percorsi tensionali nei piani s-t e s’-t per compres-sione edometrica



2


( )( ) 's

K1K1

t0

0 ⋅+−

= (Eq. 11.4)

Nel piano delle tensioni efficaci il segmento A’B’ è percorso nel tempo T = Tc neces-sario affinché avvenga la consolidazione. Nel piano delle tensioni totali il segmento AC è percorso istantaneamente all’atto dell’applicazione dell’incremento di carico (T = 0), mentre il segmento CB è percorso nel tempo T = Tc necessario affinché avvenga la consolidazione. Ad un generico istante di tempo durante il processo di consolida-zione i punti rappresentativi dello stato tensionale efficace e totale sono rappresentati da due punti, V e V’, con la stessa ordinata, rispettivamente sul segmento A’B’ e CB, e la loro distanza rappresenta il valore della pressione interstiziale.

c) I percorsi tensionali efficace (ESP) e totale (TSP) di un provino di terreno nella fase di compressione di una prova triassiale consolidata isotropi-camente e drenata (TxCID) sono mostrati in Figura 11.4. Durante la prova in condizioni drenate non in-sorgono sovrapressioni interstiziali e i percorsi ESP e TSP risultano coin-cidenti (o traslati di una quantità pari alla contropressione interstiziale ap-plicata), rettilinei ed inclinati di 45° rispetto all’asse orizzontale s’.

d) I percorsi tensionali efficace (ESP) e totale (TSP) di un provino di terreno nella fase di compressione di una prova triassiale consolidata isotropicamente non drenata (TxCIU) sono mostrati in Figura 11.5. Du-rante la prova in condizioni non drenate insorgono sovrapressioni interstiziali positive o negative in dipendenza del rapporto di sovraconsolidazione e del livello di deforma-zione. Il percorso TSP è rettilineo e inclinato di 45° rispetto all’asse orizzontale s. Il percorso ESP è invece curvilineo. Nelle Figure 11.5a e b sono qualitativamente mo-strati i percorsi tensionali TSP ed ESP per provini di argilla con differente rapporto di sovraconsolidazione. La distanza dei punti B e B’ corrispondenti agli stati di tensione isotropa iniziale rispettivamente totale ed efficace rappresenta la contropressione in-terstiziale BP. Per un provino normalmente consolidato (Figura 11.5a) la pressione in-terstiziale cresce durante la compressione ed il percorso ESP si allontana curvando progressivamente verso sinistra dal segmento rettilineo e inclinato a 45° parallelo al percorso TSP (sovrappressione interstiziale sempre positiva e crescente). Per un provino fortemente sovraconsolidato (Figura 11.5b) la pressione interstiziale durante la compressione inizialmente cresce e poi decresce, fino a valori inferiori a quello iniziale, il percorso ESP curvilineo si svolge inizialmente a sinistra e poi a de-stra del segmento rettilineo e inclinato a 45° parallelo al percorso TSP.

s,s’

t

45°

B.P.

B’

C’ C

B

ESPTSP

Figura 11.4 – Percorsi tensionali nei piani s-t e s’-t per compressione drenata



3


s,s’

t

45°

B.P.∆u

B’

a)

C’ C

B

ESP

TSP

s,s’

t

45°

B.P.∆u

B’

b)

C’ C

B

ESP

TSP

Figura 11.5 – Percorsi tensionali nei piani s-t e s’-t per compressione non drenata: a) ter-reno normalmente consolidato; b) terreno fortemente sovraconsolidato.

11.1.2 Percorsi tensionali efficaci (ESP) e totali (TSP) nei piani p’-q e p-q

I percorsi tensionali che utilizzano i parametri di tensione s, s’ e t sopra introdotti hanno il vantaggio di essere immediatamente comprensibili, poiché è facile collegare ad un gene-rico punto del percorso tensionale il corrispondente cerchio di Mohr e, anche mentalmen-te, visualizzarlo. Tuttavia i parametri s, s’ e t non hanno un preciso significato fisico. Esi-stono altri modi, meno intuitivi ma più corretti, per rappresentare i percorsi tensionali. In particolare nel seguito saranno utilizzati i parametri invarianti di tensione:

tensione media totale: ( )32131p σ+σ+σ⋅= (Eq. 11.5)

tensione media efficace: ( ) up'''31'p 321 −=σ+σ+σ⋅= (Eq. 11.6)

tensione deviatorica: ( ) ( ) ( )[ ] 5,02

132

322

212

1'qq σ−σ+σ−σ+σ−σ⋅== (Eq. 11.7)

che, per σ2 = σ3, divengono rispettivamente:

32p 31 σ⋅+σ

= ; up32'p

'3

'1 −=

σ⋅+σ= ; '

3'131'qq σ−σ=σ−σ==

I parametri s, s’ e t ed i parametri p, p’ e q sono legati dalle seguenti relazioni biunivoche:

3tsp −= (Eq. 11.8)

3t's'p −= (Eq. 11.9)

t2q ⋅= (Eq. 11.10)

6qps += (Eq. 11.11)



4


6q'p's += (Eq. 11.12)

2qt = (Eq. 11.13)

per cui tutto quanto è stato detto con riferimento ai piani s-t ed s’-t può essere trasferito e tradotto nei corrispondenti piani p-q e p’-q. In generale (Figura 11.6) a incrementi delle tensioni principali maggiore e minore rispet-tivamente pari a ∆σ1 e a ∆σ2=∆σ3: nel piano s-t corrisponde un segmento di percorso tensionale di lunghezza:

2L

23

21

tsσ∆+σ∆

=∆ − (Eq. 11.14)

e pendenza:

31

31tstan

σ∆+σ∆σ∆−σ∆

=α − (Eq. 11.15)

mentre nel piano p-q corrisponde un segmento di percorso tensionale di lunghezza:

3123

21qp 141310

31L σ∆⋅σ∆⋅−σ∆⋅+σ∆⋅⋅=∆ − (Eq. 11.16)

e pendenza:

31

31qp 2

)(3tanσ∆⋅+σ∆σ∆−σ∆⋅

=α − (Eq. 11.17)

e quindi in particolare:

per compressione isotropa (∆σ1 = ∆σ3 = ∆σ):

nel piano s - t : σ∆=∆ −tsL tanαs-t = 0 (Eq. 11.18)

nel piano p - q : σ∆=∆ −qpL tanαp-q = 0 (Eq. 11.19)

per compressione monoassiale (∆σ1 = ∆σ, ∆σ3 = 0):

nel piano s - t : 2

L tsσ∆

=∆ − tanαs-t = 1 (Eq. 11.20)

nel piano p - q : σ∆⋅=∆ − 310L qp tanαp-q = 3 (Eq. 11.21)

Infine, l’inviluppo a rottura, rappresentato nel piano di Mohr dalla retta di equazione τ = c’ + σ’·tgϕ’, può essere rappresentato nel piano (s’,t) dalla retta di equazione:

t = a’ + s’ tgα dove: tgα = senϕ’ e a’ = c’·cosϕ’. (Eq. 11.21bis)

s-ts-t

τ, t

σ, sO

∆L α∆t

3∆σ 1∆σ

∆s Figura 11.6 – Percorsi tensionali nei piani s-t e σ-τ



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Capitolo 11 STATO CRITICO E MODELLO CAM-CLAY MODIFICATO 11.2 Stato critico

11.2.1 Introduzione

Nei capitoli precedenti sono stati affrontati separatamente, con modelli semplici e schemi elementari diversi, i problemi relativi alla deformabilità ed alla resistenza dei terreni. In questo capitolo, dopo avere esposto la teoria dello Stato Critico come quadro interpre-tativo generale del comportamento dei terreni saturi, si introdurrà un modello matematico un poco più complesso ma più generale (il modello Cam Clay Modificato) per la previ-sione quantitativa di tale comportamento. I parametri di tale modello possono essere ricavati dai risultati delle prove geotecniche standard di laboratorio, già esposti e commentati nei capitoli precedenti. Tali risultati ver-ranno pertanto richiamati ed inquadrati in un’ottica unitaria. Le prove geotecniche standard di laboratorio per la determinazione del comportamento meccanico dei terreni sono le prove triassiali e le prove di compressione edometrica, en-trambe assialsimmetriche. Salvo indicazione contraria, nel seguito assumeremo che la tensione assiale σa corrisponda alla tensione principale maggiore σ1, e che la tensione ra-diale σr corrisponda alle tensioni principali intermedia e minore, eguali fra loro, σ2 = σ3. Nel seguito, per descrivere lo stato di tensione ed i percorsi tensionali si utilizzeranno i parametri p, p’ e q. Per descrivere lo stato di deformazione, di un provino cilindrico di altezza iniziale H0, diametro iniziale D0 e volume iniziale V0, si utilizzeranno i parametri:

deformazione assiale: 0

1a HH∆

=ε=ε (Eq. 11.22)

deformazione radiale: 0

3r DD∆

=ε=ε (Eq. 11.23)

deformazione volumetrica: 0

31rav VV22 ∆

=ε⋅+ε=ε⋅+ε=ε (Eq. 11.24)

deformazione deviatorica o distorsione: ( ) ( )31ras 32

32

ε−ε⋅=ε−ε⋅=ε (Eq. 11.25)

La deformazione deviatorica è definita nel modo sopra scritto affinché valga la relazione:

sv3'32

'21

'1 dqd'pddd ε⋅+ε⋅=ε⋅σ+ε⋅σ+ε⋅σ (Eq. 11.26)

Come parametro indicativo dello stato di addensamento del terreno verrà utilizzato il vo-lume specifico, v, che è per definizione il rapporto tra il volume totale di un elemento di terreno, V, e il volume occupato dalle particelle solide, VS. Risulta pertanto per definizione:

)e1(VVv

S

+== (Eq. 11.27)

e 11 – Università degli Studi di Firenze - Dipartimento di Ingegneria Civile e Ambientale – Sezione Geotecnica


6


00v v

dve1

ded −=+

−=ε (Eq. 11.28)

Analizziamo i risultati delle prove geotecniche standard su provini di argilla ricostituiti in laboratorio, già esposti e commentati nel Capitolo 9, rappresentando i percorsi di carico in uno spazio tridimensionale definito dalla terna di assi cartesiani ortogonali p’-q-v. 11.2.2 Compressione isotropa drenata (prima fase delle prove triassiali standard), linea di consolidazione normale (NCL) e linee di scarico-ricarico (URL)

Il percorso efficace di carico si svolge interamen-te sul piano p’-v (ovvero sul piano q = 0). La cur-va sperimentale, che potremmo ottenere per punti incrementando (o riducendo) gradualmente la pressione di cella e attendendo per ogni gradino di carico l’esaurirsi del processo di consolidazio-ne isotropa, è qualitativamente indicata in Figura 11.7. La stessa curva, rappresentata in un piano semilogaritmico (Figura 11.8a), può essere sche-matizzata con segmenti rettilinei (Figura 11.8b). La principale ipotesi semplificativa adottata nel passaggio dalla curva sperimentale a quella schematica consiste nell’avere sostituito al picco-lo ciclo di isteresi sperimentale del percorso di scarico-ricarico il suo asse, ovvero nell’avere as-sunto un comportamento deformativo volumetri-co elastico (variazioni di volume interamente re-versibili). La retta ABD è detta linea di consolidazione normale (NCL), ed ha equazione:

Il parametro Ν è il valore dell’ordinata (volume specifico) del punto sulla NCL che ha per ascissa p’=1 (e quindi ln(p’) = 0) e dipende dal sistema di unità di misura adottato. Il pa-rametro λ è la pendenza della NCL ed è adimensionale. La retta BCB è una delle infinite, possibili linee di scarico e ricarico (URL), ed ha equa-zione:

0q)'pln(vv

=⋅κ−= κ (Eq. 11.30)

Il parametro vκ è il valore dell’ordinata (volume specifico) del punto su quella specifica linea di scarico-ricarico che ha per ascissa p’=1 (e quindi ln(p’) = 0), dipende dal sistema di unità di misura adottato ed è biunivocamente riferito all’ascissa del punto B (Figura

p’

q

p’

v

B

A

A

C

C

D

DB

Figura 11.7 - Percorso di carico di compressione (e decompressione) iso-tropa drenata nei piani p’-q e p’-v

0q)'pln(v

=⋅λ−Ν=

(Eq. 11.29)



7

Capitolo 11 STATO CRITICO E MODELLO CAM-CLAY MODIFICATO 11.8b), definita pressione di consolidazione, p’c, dalle seguenti relazioni, ottenute impo-nendo l’appartenenza del punto B sia alla NCL che alla linea di scarico-ricarico:

( ) ( )'cplnv ⋅κ−λ−Ν=κ (Eq. 11.31)

κ−λ−Ν

= κvexpp'c

ln p’

v

B

A

a)

C

D

p’ (ln)

v

1

11

-λ

-κκ

N

vB

A

b)

C

c

D

p’ Figura 11.8 - Curva sperimentale (a) e curva schematizzata (b) del percorso di carico di com-pressione (e decompressione) isotropa drenata nel piano semilogaritmico ln p’-v

Il parametro κ è la pendenza della linea di scarico-ricarico isotropo ed è adimensionale. Un provino, al cui stato tensionale, p’0, corrisponda un punto su una linea di scarico-ricarico, è isotropicamente sovraconsolidato (OC). Il rapporto di sovraconsolidazione iso-tropa è:

'0

'c

0 pp

R = (Eq. 11.33)

R0 non è eguale al rapporto di sovraconsolidazione edometrica, OCR, ma è ad esso legato dalla relazione:

Il risultato sperimentale di un percorso di carico isotropo in condizioni drenate con più ci-cli di scarico-ricarico a pressione di consolidazione crescente può essere schematicamente rappresentato come in Figura 11.9: i segmenti corrispondenti a ciascun ciclo di scarico-ricarico, rettilinei nel piano semilogaritmico, hanno la stessa pendenza –κ e, naturalmente, diversi valori di vκ e di p’c. In definitiva, rammentando gli schemi dei modelli reologici elementari presentati nel Ca-pitolo 5, si può affermare che i risultati sperimentali sopra descritti possono essere ben ri-prodotti da un modello elastico non lineare – plastico a incrudimento positivo. Infatti: a. il comportamento deformativo è (quasi) elastico, ovvero il percorso è reversibile, lun-

go le linee di scarico-ricarico;

OCRK21K21

R OC0

NC0

0 ⋅⋅+

⋅+= (Eq. 11.34)



8

Capitolo 11 STATO CRITICO E MODELLO CAM-CLAY MODIFICATO b. lungo tali linee il comporta-

mento è non lineare, in quan-to il percorso è rettilineo nel piano semilogaritmico (e quindi curvilineo nel piano naturale);

c. il comportamento è elasto-plastico lungo la linea di con-solidazione normale (NCL);

d. la pressione media efficace di consolidazione isotropa, p’c, è la soglia di tensione oltre la quale si manifestano defor-mazioni plastiche (irreversibi-li), ovvero è la tensione di snervamento;

e. l’incrudimento è positivo poi-ché la deformazione plastica avviene a pressione di conso-lidazione crescente.

11.2.3 Pressione efficace media equivalente, p’e

La pressione efficace media equivalente di un elemento di terreno A caratterizzato dai pa-rametri p’A, qA e vA è la pressione p’eA del punto sulla linea di consolidazione normale (NCL) avente volume specifico vA (Figura 11.10). La pressione efficace media equivalen-te vale dunque:

λ−

= A'eA

vNexpp (Eq. 11.35)

p’(ln)

v

1

11

-λ

-κ

N

vκ 1

B1

A

C1

p’c 1

1-κ

1-κ

B2

B3

C2

C3

vκ 2

vκ 3

p’c 2

p’c 3

Figura 11.9 - Schematizzazione di un percorso di carico isotropo drenato con più cicli di scarico-ricarico a pressione di consolidazione crescente

p’(ln)p’

v

1-λ

N

v AA

A

A

A

A eA

eA

NCL

p’ p’

v

q

q

v

A

NCL

p’ p’

a) b)

Figura 11.10 - Definizione di pressione efficace equivalente nel piano lnp’-v e nello spazio p’-v-q



9

Capitolo 11 STATO CRITICO E MODELLO CAM-CLAY MODIFICATO La pressione efficace equivalente non varia nei percorsi tensionali non drenati, che av-vengono a volume costante, mentre varia nei percorsi tensionali drenati, durante i quali si hanno deformazioni volumetriche. 11.2.4 Compressione con espansione laterale impedita (compressione edometrica), linea di consolidazione edometrica (linea K0) e linee di scarico-ricarico edometriche

Dalle condizioni al contorno della prova edometrica (compressione assialsimmetrica con espansione laterale impedita) ed assumendo K0 < 1, si desume:

( ) )K1(q;K213

'p

K;0

0'10

'1

'10

'3

'2

1v32

−⋅σ=⋅+⋅σ

=

σ⋅=σ=σ

ε=ε=ε=ε

(Eq. 11.36)

Se il terreno normalmente consolidato, K0 è costante e il percorso tensionale nel piano p’-q è rettilineo, passa per l’origine degli assi, ed ha equazione, (linea K0) 1 (Figura 11.11 a):

( )( )0

0

K21K13'pq

⋅+−⋅

⋅= (Eq. 11.37)

In Figura 11.11 b è mostrato l’andamento della linea K0 al variare di K0 da cui si può os-servare che non potendo essere K0 < 0 (altrimenti si avrebbe una tensione σ’3 < 0 e quindi di trazione), dalla Eq. 11.37 la retta che delimita gli stati tensionali possibili per il terreno sul piano p’-q ha equazione: q = 3 p’.

1 Nel caso in cui K0 > 1, σ’1 = σ’2 (= σ’h = K0·σ’v) = K0·σ’3 e p’ = (2σ’1 + σ’3)/3 = (2K0+1)·σ’3 e q = (σ1 – σ3) = (K0 – 1)·σ’3 e, in caso di terreno NC, la linea K0 ha equazione: q = p’·[3(K0-1)/(1+2K0)].

p’

q

1

1

3

K = 00

K = 10

0 < K < 10Linea K

0

p’

q

(Compressione isotropa)

a) b)

Figura 11.11 - Traccia della linea K0 nel piano p’-q per un terreno normalmente consolidato (N.B. per K0 > 1, σ’1 = σ’2 e p’ = (2σ’1 + σ’3)/3 e q = (σ1 – σ3))

( )( )0

0K21K13

⋅+−⋅



10

Capitolo 11 STATO CRITICO E MODELLO CAM-CLAY MODIFICATO Nel piano p’-v il percorso tensionale è del tutto simile a quello della compressione isotro-pa e, analogamente ad esso, può essere schematizzato nel piano semilogaritmico con tratti rettilinei definiti dalle seguenti equazioni (Figura 11.12): per la linea di compressione edometrica vergine:

'plnNv 0 ⋅λ−= (Eq. 11.38)

per le linee di scarico-ricarico edometriche:

Si osserva che la proiezione della linea K0 sul piano ln p’-v è parallela alla linea di consolidazione isotropa normale (NCL), e che le proiezioni sul piano lnp’-v delle linee di scarico-ricarico in condizioni edometriche sono parallele alle linee di scarico-ricarico in condizio-ni di carico isotropo. Il parametro vK0 è biunivocamente riferi-to alla pressione di consolidazione edo-metrica p’c,edo (ascissa del punto B di Fi-gura 11.12), dalle seguenti relazioni ot-tenute imponendo l’appartenenza del punto B sia alla linea K0 che alla linea di scarico-ricarico in condizioni edometri-che:

( ) ( )'edo,c0K plnv

0⋅κ−λ−Ν= (Eq. 11.40)

κ−λ

−Ν= 0K0'

edo,c

vexpp (Eq. 11.41)

Nel Capitolo 7 abbiamo visto come i risultati della prova edometrica siano abitualmente rappresentati nel piano log σ’v-e, e che in tale piano la pendenza della linea di compres-sione edometrica vergine sia l’indice di compressione Cc e la pendenza delle linee di sca-rico sia l’indice di rigonfiamento Cs. Valgono dunque le relazioni:

λ⋅=⋅λ= 303,210lnCc (Eq. 11.42a)

e (solo approssimativamente poiché durante lo scarico varia OCR e dunque varia K0):

κ⋅=⋅κ= 303,210lnCs (Eq. 11.42b)

A differenza della linea di consolidazione normale (NCL) che si sviluppa sul piano q = 0, la linea K0 si sviluppa nello spazio a tre dimensioni p’-q-v (Figura 11.13).

'plnvv0K ⋅κ−= (Eq. 11.39)

p’(ln)

v

1

11

-λ

-κ

N0

c,edo

K0vB

A

Linea K0

C

D

p’

Linea NCL

N

Figura 11.12 - Traccia della linea K0 nel piano lnp’-v per un terreno N.C. e di una linea di scari-co-ricarico in condizioni edometriche



11


q

p’ 1

Linea K0

Linea NCL

v Figura 11.13 - Rappresentazione delle linee NCL e K0 nello spazio p’-q-v

11.2.5 Compressione triassiale drenata di argilla N.C. (prova TxCID) e linea di stato critico (CSL)

Il percorso tensionale efficace di un provino di argilla N.C. in una prova di compressione triassiale drenata standard consiste di due fasi: la prima di compressione isotropa lungo la linea NCL, fino alla pressione di consolidazione isotropa p’c, la seconda di compressione assiale in condizioni drenate a pressione di confinamento costante. In quest’ultima fase, al crescere della deformazione assiale εa (la prova è condotta a deformazione assiale control-lata) la tensione deviatorica q cresce progressivamente fino ad un valore massimo qf poi si mantiene circa costante. La curva sperimentale εa – q è ben rappresentata da una relazione iperbolica del tipo:

a

a

baq

ε⋅+ε

= (Eq. 11.43)

Il volume decresce progressivamente fino ad un valore minimo, poi si mantiene circa co-stante (Figura 11.14). Il percorso tensionale corrispondente alla fase di compressione as-siale, AB, ha come proiezione sul piano p’-q un segmento rettilineo con pendenza 3:1, dal punto A di coordinate (p’c - 0) al punto B, corrispondente alla condizione di rottura, di coordinate (p’f - qf), e nel piano p’-v ha origine nel punto A sulla linea NCL e termina nel punto B sottostante la linea NCL.

Infatti durante la fase di compressione risulta che σ’3 = σ’r = σ’c = cost e quindi ∆q = ∆(σ’1 – σ’3) = ∆σ’1 e ∆p’ = ∆(σ’1 + 2σ’3)/3 = ∆σ’1/3 e quindi:

33/''

'pq

1

1 =σ∆

σ∆=

∆∆ (Eq. 11.44)

( )( )0

0K21K13

⋅+−⋅



12


A

B

a) b)

c)

B

q

p’

εv

εa

A

A

B

B

q

31

p’

v

p’c

p’f

qf

Figura 11.14 - Percorsi tensionali di compressione drenata su un provino di argilla N.C.

Se tre provini della stessa argilla isotropicamente consolidati a pressioni diverse sono por-tati a rottura in condizioni drenate si ottengono i risultati mostrati in Figura 11.15. Si os-serva in particolare che:

o le tre curve εa – q hanno la stessa forma e, normalizzate rispetto alla pressione di consolidazione p’c, sono (quasi) coincidenti;

o la deformazione volumetrica durante la compressione assiale aumenta al crescere della deformazione assiale e della pressione di consolidazione;

o i punti B rappresentativi dello stato finale dei tre provini giacciono su una linea, det-ta di Stato Critico (CSL), la cui equazione è:

'ff

'ff

plnvpMq

⋅λ−Γ=

⋅= (Eq. 11.45)

La relazione 'ff pMq ⋅= equivale al criterio di rottura di Mohr-Coulomb per terreni N.C.

che, nel Capitolo 8, avevamo scritto nella forma: ''

nf tan φ⋅σ=τ (Eq. 11.46)

L’angolo di resistenza al taglio da considerare è quello che corrisponde alla condizione di stato critico, φ’cs, ovvero alla condizione in cui, al crescere della deformazione assiale ri-mangono costanti tensione deviatorica, qf, e deformazione volumetrica, εv.

Il parametro M è funzione dell’angolo di resistenza al taglio allo stato critico, φ’cs, e delle modalità di prova. Infatti se il provino è portato a rottura per compressione assiale a ten-sione efficace di confinamento costante, ovvero con le modalità standard descritte nel Ca-pitolo 8, la tensione principale maggiore è la tensione assiale, mentre le tensioni principali intermedia e minore coincidono entrambe con la tensione radiale: 11 – Università degli Studi di Firenze - Dipartimento di Ingegneria Civile e Ambientale – Sezione Geotecnica


13


'r

'2

'3

'a

'1

σ=σ=σ

σ=σ (Eq. 11.47)

quindi:

( ) ( )

f

'r

'a

f

'3

'1'

f

f'r

'af

'3

'1f

32

32p

q

σ⋅+σ=

σ⋅+σ=

σ−σ=σ−σ=

(Eq. 11.48)

e ricordando che è:

'cs

'cs

f'3

'1

sen1sen1

φ−φ+

=

σσ (Eq. 11.49)

si ha:

( )( )

( )( ) =

+

φ−φ+

−

φ−φ+

⋅

=+σσ

−σσ⋅=

σ⋅+σ

σ−σ⋅===

2sen1sen1

1sen1sen1

3

2/1/3

23

pq

MM

cs

cs

cs

cs

f'r

'a

f'r

'a

f'r

'a

f'r

'a

'f

fc

( )( ) '

cs

'cs

f'cs

'cs

'cs

'cs

sen3sen6

sen22sen1sen1sen13

φ−φ⋅

=φ−+φ+φ+−φ+⋅

=

(Eq. 11.50)

c

c'cs M6

M3sen

+⋅

=φ (Eq. 11.51)

Se invece il provino è portato a rottura per estensione assiale, ovvero aumentando la ten-sione efficace di confinamento a tensione efficace assiale costante, la tensione principale minore è la tensione assiale e le tensioni principali intermedia e maggiore, coincidenti, sono la tensione radiale:

'a

'3

'r

'2

'1

σ=σ

σ=σ=σ (Eq. 11.52)

quindi:

( ) ( )

f

'a

'r

f

'3

'1'

f

f'a

'rf

'3

'1f

32

32p

q

σ+σ⋅=

σ+σ⋅=

σ−σ=σ−σ=

(Eq. 11.53)

( )( ) '

cs

'cs

f'r

'a

f'a

'r

'f

fe sen3

sen62

3pqMM

φ+φ⋅

=σ⋅+σσ−σ⋅

=== (Eq. 11.54)

e

e'cs M6

M3sen−⋅

=φ (Eq. 11.55)



14


A = A = A1 2 3

A1

A1

B1 B1

a) b)

c)

q

p’

εv

εa

q

p’

NCLCSL

CSL

v

M1

qf1

qf2

qf3B2

B3

B 1

B1

p’c1

A2

A2

B2

B2

A3

A3

B3

B3p’f3

p’c2p’c3

p’f2p’f1

vf1vf2vf3

B 2

B3

Figura 11.15 - Risultati di prove TxCID su provini della stessa argilla N.C. consolidati a pressio-ni diverse

Una conseguenza importante è che, mentre l’angolo di resistenza al taglio allo stato critico φ’cs è lo stesso per com-pressione e per estensione, la pendenza M della linea di stato critico nel piano p’-q non è la stessa. In particolare, poi-ché Me < Mc, per lo stesso terreno e a parità di pressione efficace media, la tensione deviatorica a rottura in esten-sione è minore che in compressione (Fi-gura 11.16). I punti B corrispondenti alla condizione di stato critico giacciono su una linea la cui proiezione sul piano p’-v è una curva che, rappresentata nel piano semiloga-ritmico, diviene una retta parallela alla linea NCL. In Figura 11.17 sono rappresentate le li-nee NCL e CSL.

p’

q CSL

CSL

Mc

Me

1

(a)

(b)

1

Figura 11.16 – Linea di stato critico nel piano p’-q in caso di rottura per compressione assiale e di rottura per estensione assiale



15


Il percorso tensionale nello spazio p’-q-v durante la fase di compressione drenata si svol-ge su un piano, detto piano drenato, rappresentato in Figura 11.18.

q

A

A’

B’

Bp’ 13

CSLPiano drenato

NCL

v

Figura 11.18 - Piano drenato e percorso tensionale efficace di una prova TxCID nello spazio p’-q-v

Figura 11.17 – Rappresentazione delle linee NCL e CSL (indicata convenzionalmente con una dop-pia linea) nello spazio p’-q-v

q

p’ 1

M

CSL

NCL

v



16

Capitolo 11 STATO CRITICO E MODELLO CAM-CLAY MODIFICATO 11.2.6 Compressione triassiale non drenata di argilla N.C. (prova TxCIU) e superficie di Roscoe

La prova di compressione triassiale consolidata non drenata standard consiste di due fasi: la prima di compressione e di consolidazione isotropa, la seconda di compressione assiale in condizioni non drenate a pressione di confinamento costante. In quest’ultima fase, al crescere della deformazione assiale εa (la prova è condotta a deformazione assiale control-lata) il volume del provino (saturo) non varia, la tensione deviatorica q e la pressione in-terstiziale crescono progressivamente fino alla condizione di stato critico. In Figura 11.19 sono rappresentati i risultati di una prova TxCIU su un provino di argilla satura N.C. portato a rottura in presenza di una contro pressione interstiziale iniziale (BP = u0). In Figura 11.20 sono mostrati i risultati che si possono ottenere da una serie di tre prove TxCIU su provini della stessa argilla satura N.C. consolidati a pressioni diverse. Dall’esame delle Figure 11.19 e 11.20 si desume che:

o la tensione deviatorica q cresce progressivamente con la deformazione assiale εa fi-no ad un valore massimo qf e poi si mantiene circa costante,

o la deformazione avviene a volume costante (εv = 0) e con progressivo incremento della pressione interstiziale (∆u) fino ad un valore massimo, ∆uf, crescente con la pressione di consolidazione,

o i percorsi tensionali totali (TSP) sono rettilinei ed hanno pendenza 3:1, o i percorsi tensionali efficaci (ESP) sono curvilinei ed hanno la stessa forma, o la distanza tra ESP e TSP rappresenta la pressione interstiziale u, o i punti rappresentativi dello stato tensionale efficace iniziale (A’) sono sulla linea di

consolidazione normale (NCL), o i punti rappresentativi della condizione di rottura (B’) sono sulla linea di stato criti-

co (CSL). Il percorso tensionale nello spazio p’-q-v durante la fase di compressione non drenata si svolge su un piano parallelo al piano p’-q, detto piano non drenato, rappresentato in Fi-gura 11.21. In una prova triassiale non drenata su un provino saturo non si hanno variazioni di volu-me. Pertanto il volume specifico iniziale v0 è anche il volume specifico a rottura:

'ff0 plnvv ⋅λ−Γ== (Eq. 11.56)

ovvero:

λ−Γ

= 0'f

vexpp (Eq. 11.57)

e

λ−Γ

⋅Μ=⋅Μ= 0'ff

vexppq (Eq. 11.58)



17


A

B

TSPES

P

a) b)

c)

B

NCL

q

p,p’

∆u

uf

∆uf

εa

A

A’

B

q

31

p’

v

pc

pf

qf

B’

B’

A’p’

cp’

f

u0

u0

Figura 11.19 - Percorsi tensionali di compressione non drenata su un provino di argilla satura N.C.

TSP 3

ESP3

A = A = A1 2 3A1 A2

B’1

B’2

B’3

A’1 A’2

A’1B’1

a) b)

c)

q

p,p’εa

q

p’

NCLCSL

CSL

v

M1

qf1

qf2

qf3

B1

p’f3

v01

B2 B3

∆u

∆uf1

∆uf2

∆uf3

∆uf2∆uf3

B1B1

B2B2

B3B3

A’2A’3

B’2

B’3

A3A’3

v02v03

p’f2p’f1

∆uf1

Figura 11.20 - Risultati di prove TxCIU su provini della stessa argilla satura N.C. consolidati a pressioni diverse



18


q

A

A’

B’

Bp’

CSL

ESP

Piano non drenato

NCL

v Figura 11.21 - Piano non drenato e percorso tensionale efficace di una prova TxCIU

La resistenza al taglio in condizioni non drenate dei terreni a grana fine, cu, che, come ab-biamo visto nel Capitolo 9, viene utilizzata per le verifiche di stabilità in termini di ten-sioni totali è pari alla metà della tensione deviatorica a rottura, dunque:

λ−Γ

⋅Μ

== 0fu

vexp

22qc (Eq. 11.59)

Per un dato terreno i parametri Μ, Γ e λ sono costanti, quindi cu dipende soltanto dal vo-lume specifico v0. Per un terreno saturo è:

wG1e1v s ⋅+=+= (Eq. 11.60)

dunque la resistenza al taglio in condizioni non drenate, cu, di una stessa argilla satura di-pende unicamente dal suo contenuto in acqua w. Tutti i percorsi tensionali efficaci, di prove drenate e non drenate, che dalla linea di con-solidazione normale (NCL) pervengono alla linea di stato critico (CSL) giacciono su una superficie nello spazio p’-q-v, detta Superficie di Roscoe, che limita il dominio degli stati tensionali possibili (Figura 11.22). La superficie di Roscoe ha equazione:

12''ln

−⋅⋅=

−−−

kpv

epMq λλ

ovvero:

+

⋅⋅−−−Γ=

21

2'ln)('ln

2

pMqkpv λλ (Eq. 11.60)

(Eq. 11.60bis)

Tale affermazione può essere visualizzata normalizzando i percorsi tensionali drenati e non drenati dalla NCL alla CSL di provini saturi normalconsolidati rispetto alla pressione



19

Capitolo 11 STATO CRITICO E MODELLO CAM-CLAY MODIFICATO efficace equivalente, che rimane costante nei percorsi non drenati, ed è invece variabile in quelli drenati. In tal modo nel piano p’/p’e-q/p’e tutti i percorsi coincidono in un’unica curva che rappresenta la Superficie di Roscoe normalizzata (Figura 11.23).

q/p’e

CSL

Superficie di Roscoe normalizzata

NCL

p/p’e

Figura 11.23 - Superficie di Roscoe normalizzata

q

p’

CSLSuperficie di Roscoe

NCL

v Figura 11.22 - Superficie di Roscoe



20

Capitolo 11 STATO CRITICO E MODELLO CAM-CLAY MODIFICATO 11.2.7 Compressione triassiale drenata di argilla O.C. (prova TxCID) e condizione di rottura

Se un provino di argilla satura è isotropicamente consolidato, ad una pressione efficace p’c, e poi isotropicamente decompresso in condizioni drenate, fino ad una pressione effi-cace p’0 in modo da divenire fortemente sovraconsolidato, ed è infine sottoposto a com-pressione drenata, esso mostra un comportamento tensionale e deformativo durante la fa-se di compressione del tipo di quello descritto in Figura 11.24. Si può osservare che la condizione di rottura non coincide con la condizione di stato criti-co. Infatti la curva εa-q presenta un massimo (qf) a rottura (punto B), poi decresce fino a stabilizzarsi su un valore minore (qcs) che corrisponde allo stato critico (punto C). Il volume del provino prima diminuisce, poi aumenta, supera il valore iniziale e infine tende a stabilizzarsi.

La curva εa-εv presenta tangente orizzontale

=

εε

0dd

a

v nei punti C e D che corrispondo-

no al valore q = qcs, e un flesso maxa

v

dd

εε nel punto B che corrisponde a q = qf.

La proiezione del percorso tensionale efficace (ABC) nel piano p’-q ha pendenza 3:1. Nel tratto AB fino alla rottura il percorso è ascendente, nel tratto BC è discendente.

A

A

D

D

B

B

C

C

a) b)

d)

q

p’

εv

εa

A

A

B

C = D

B

C

D

qESP

31

p’

v

p’0

p’0

p’f

p’f

qf

qf

εa

qc s

qc s

p’c

vD

vA

vB

vC

c)

Figura 11.24 - Comportamento di un provino di argilla satura fortemente sovraconsolidato in prova TxCID



21

Capitolo 11 STATO CRITICO E MODELLO CAM-CLAY MODIFICATO Nel piano p’-v il punto A rappresentativo dello stato iniziale si trova su una curva di sca-rico-ricarico. La proiezione del percorso tensionale efficace (ABC) nel piano p’-v ha tan-gente orizzontale nei punti C e D. Se tre provini della stessa argilla satura con differenti rapporti di sovraconsolidazione iso-tropa sono portati a rottura in condizioni drenate si ottengono i risultati mostrati in Figura 11.25. Si osserva in particolare che: o se il punto rappresentativo dello stato iniziale del provino nel piano p'-v è sotto la

CSL (punto A1), esso è fortemente sovraconsolidato (provino n. 1), o un provino fortemente sovraconsolidato ha un deviatore a rottura (qf) molto mag-

giore del deviatore allo stato critico (qcs), e manifesta un comportamento dilatante (aumento di volume),

o se il punto rappresentativo dello stato iniziale del provino nel piano p'-v è sotto la NCL ma sopra la CSL, esso è debolmente sovraconsolidato (provino n. 2),

o un provino debolmente sovraconsolidato ha un deviatore a rottura (qf) poco maggio-re o eguale al deviatore allo stato critico (qcs), e manifesta un comportamento con-traente (diminuzione di volume),

o se il punto rappresentativo dello stato iniziale del provino nel piano p'-v è sulla NCL, esso è normalmente consolidato (provino n. 3),

o un provino normalmente consolidato ha un deviatore a rottura (qf) eguale al deviato-re allo stato critico (qcs), e manifesta un comportamento contraente (diminuzione di volume),

o i punti rappresentativi delle condizioni di rottura (B) di provini con eguale pressione di preconsolidazione (punti A sulla stessa linea di scarico-ricarico) giacciono su una retta (linea inviluppo a rottura) distinta dalla CSL relativamente ai provini sovracon-solidati (punti B1 e B2), e sulla CSL per il provino normal-consolidato (punto B3),

o i punti rappresentativi delle condizioni ultime (C) giacciono sulla CSL, La linea inviluppo a rottura, per i terreni sovraconsolidati, ha equazione:

'pmqq ff ⋅+= (Eq. 11.61)

Tale retta, che rappresenta il luogo dei punti di rottura per le argille sovraconsolidate, cor-risponde nello spazio p’-q-v ad una superficie piana detta Superficie di Hvorslev. Nel Capitolo 9 abbiamo visto che l’inviluppo a rottura in termini di tensioni efficaci per un’argilla sovraconsolidata ha equazione:

che può essere scritta anche nella forma (Figura 11.26):

( ) ( )'sen'gcot'c

221 f

'3

'1

f'3

'1 φ⋅

φ⋅+

σ+σ=σ−σ⋅ (Eq. 11.63)

'tan'c 'nf φ⋅σ+=τ (Eq. 11.62)



22

Capitolo 11 STATO CRITICO E MODELLO CAM-CLAY MODIFICATO Dalla Eq. 11.61, essendo

qf = (σ’1 – σ’3)f e

p’f = (σ’1 + 2σ’3)f / 3, si ottiene sostituendo:

( ) ( )32

mq f'3

'1

f'3

'1

σ+σ⋅+=σ−σ

da cui, svolgendo i calcoli, si ottie-ne:

m3q3

m3m23

f'3f

'1 −

+−

+σ=σ

(Eq. 11.63a) Dalla Eq.11.63 invece si ricava:

( ) ( ) ⋅φ⋅+φ⋅σ+σ=σ−σ 'cos'c2'senf'3

'1f

'3

'1

e quindi:

'sin1'cos'c2

'sin1'sin1

f'3f

'1 φ−

φ+

φ−φ+

σ=σ

(Eq. 11.63b) Eguagliando la (11.63a) e la (11.63b) si ottiene:

'sin1'sin1

m3m23

φ−φ+

=−

+

(Eq. 11.63c) e

'sin1'cos'c2

m3q3

φ−φ

=−

(Eq. 11.63d) Dalla (11.63c) si può ricavare m:

'sin3'sin6mφ−

φ= (Eq. 11.63e)

ed andando a sostituire nella (11.63d) si ricava q:

a)

b)p’

q

p’

NCL

URL

CSL

CSL

v

M

Linea di inviluppoa rottura

m

q

1

1

A2

A2

A1

A1

B2

B2B

1

B1

C1

C1

A3

A3

B3

B3

p’c

p’0 2

p’0 1

D1

D1

Figura 11.25 - Risultati di prove TxCID su provini del-la stessa argilla con differenti rapporti di sovraconso-lidazione isotropa e linee di inviluppo a rottura

OO’c’

c’ ctg ’φ1

1

R

τ

σ’φ’

inviluppo di rottura

C σ’3

3

σ’

( ’ + ’ )/2σ σ

Figura 11.26 – Criterio di rottura di Mohr-Coulomb



23


'sin3'cos'c6q

φ−φ

= (Eq. 11.63f)

da cui si ottengono le corrispondenze:

'sen3'sen6m

'sen3'cos'c6q

φ−φ⋅

=

φ−φ⋅⋅

= (Eq. 11.64)

Imponendo la condizione che i terreni non possano sostenere tensioni di trazione ( )0'3 ≥σ

si ha che per σ’3 = 0, q = σ’1 – σ’3 = σ’1 e p = (σ’1 + 2σ’3)/3 = σ’1/3, cioè q = 3 p’. Si de-duce che la linea inviluppo a rottura, come mostrato anche in Figura 11.11 b, è limitata a sinistra dalla retta di equazione:

'p3q ⋅= (Eq. 11.65) 11.2.8 Compressione triassiale non drenata di argilla O.C. (prova TxCIU) e superficie di stato.

Se un provino di argilla satura è isotropicamente consolidato, poi isotropicamente decom-presso in condizioni drenate in modo da divenire fortemente sovraconsolidato, e infine sottoposto a compressione non drenata, mostra un comportamento tensionale e deformati-vo durante la fase di compressione del tipo di quello descritto in Figura 11.27.

Si osserva che la curva εa-q è monotona (o comunque non presenta un picco accentuato), l’incremento di pressione interstiziale ∆u è inizialmente positivo, poi diviene negativo (comportamento duale della curva εa-εv della prova TxCID).

Se tre provini della stessa argilla satura con differenti rapporti di sovraconsolidazione iso-tropa sono portati a rottura in condizioni non drenate si ottengono i risultati mostrati in Figura 11.28. In Figura 11.29 sono messi a confronto i percorsi tensionali efficaci di due provini della stessa argilla egualmente sovraconsolidati e sottoposti a rottura in condizioni drenate e non drenate. Si può osservare che la tensione deviatorica a rottura per il provino non dre-nato è nettamente maggiore. In Figura 11.30 sono invece messi a confronto i percorsi tensionali efficaci di tre provini della stessa argilla con differente rapporto di sovra consolidazione isotropa ed eguale vo-lume specifico iniziale portati a rottura in condizioni non drenate. Si può osservare che i percorsi si svolgono sullo stesso piano v = cost e pervengono allo stesso punto della linea di stato critico. In Figura 11.31a sono rappresentate nello spazio p’-q-v le tre superfici (di Roscoe, di Hvorslev e il piano limite di rottura per trazione) che assieme formano la Superficie di Stato, la quale delimita il volume degli stati di tensione possibili.



24


A

a) b)

d)

q

+

+

-

-

p,p’

∆u

εaAA’

A’

BB’

B’

q

TSP

ESP

ESP

NCL

URL

3u

∆u u0

1

p’

v

p0

u0uf∆uf

p’0

p’0 p’f

εa

qcsqcs

p’c

v0

c)

Figura 11.27 - Comportamento di un provino di argilla satura fortemente sovraconsolidato in prova TxCIU

a)

b)p,p’

q

p’

NCL

URL

CSL

CSL

v

MLinea di inviluppo

a rottura

m

q

1

1

A2

A2A1

A1 B2

B2B1

B1A3

A3

B3

B3

p’c

R = p’ /p’ = 60,1 c 01

p’02p’01

R = p’ /p’ = 1.50,2 c 02R = 10,3

p’f2 p’f3p’f1 Figura 11.28 - Risultati di prove TxCIU su provini della stessa argilla con differenti rapporti di sovraconsolidazione isotropa e linee di inviluppo a rottura



25


AA

BE

D

F

D

E F

C

C E

a) b)q

p,p’εa

A

D BC

F

q

NCLCSL

URL

p’

v

MCSL

m

1

1

p’0

p’0

qc s u

qc s

p’c

v0

c)

qf

qf u

BC

Figura 11.29 - Confronto fra i percorsi tensionali efficaci di due provini della stessa argilla egualmente sovraconsolidati e sottoposti a rottura in condizioni drenate (TxCID) e non drenate (TxCIU)

a)

b)p’

q

p’

NCLCSL

CSL

v

M1

A2

BC

BC

A2

A1

A1

A3

A3

Figura 11.30 - Percorsi tensionali efficaci di tre provini della stessa argilla con differente rap-porto di sovra consolidazione isotropa ed eguale volume specifico iniziale portati a rottura in condizioni non drenate

Anche per la superficie di Hvorslev e per il piano limite di trazione, come per la superfi-cie di Roscoe, si può dare una rappresentazione normalizzata nel piano p’/p’e-q/p’e (Figu-ra 11.31b). In particolare la superficie di Hvorslev normalizzata è una retta di equazione:



26


⋅+= '

e'e p

'phgpq (Eq. 11.66)

ovvero:

'phpgq 'e ⋅+⋅= (Eq. 11.67)

Essendo, per definizione:

ed imponendo la condizione di appartenenza della CSL alla superficie di Hvorslev:

q/p’

CSL

g

e

e

h1

Superficie di RoscoeSuperficie di Hvorslev

NCL

p/p’

b)

q

p’


Superficie di Hvorslev

Piano limite di trazione

Piano limite di trazione

NCL

v

Figura 11.31 - Rappresentazione assonometria (a) e normalizzata (b) della Superficie di Stato

λ−

=vNexpp'

e (Eq. 11.68)



27


CSL 'pMq ⋅=

(Eq. 11.69) 'plnv ⋅λ−Γ=

si ottiene il valore della costante g:

e quindi l’espressione analitica della superficie di Hvorslev:

Dall’Eq. (11.72) si desume che la resistenza al taglio di un’argilla sovra-consolidata satu-ra è somma di due termini i quali, oltre ad essere funzione delle costanti materiali (Μ, h, Γ, λ) sono:

o il termine, 'ph ⋅ , proporzionale alla pressione efficace media e corrispondente alla re-sistenza per attrito;

o il termine, ( )

λ−Γ

⋅−vexphM , dipendente dal volume specifico (ovvero dall’indice

dei vuoti, ovvero dal contenuto in acqua) e corrispondente alla resistenza per coesio-ne.

11.3 MODELLO CAM CLAY MODIFICATO (CCM)

11.3.1 Parete elastica (o Dominio elastico)

Si definisce parete elastica (o dominio elastico) nello spazio p’-q-v una superficie cilin-drica avente come direttrice una linea di scarico-ricarico e come generatrice una retta pa-rallela all'asse q, limitata dalla superficie di stato (Figura 11.32). Un punto appartenente ad una parete elastica può muoversi liberamente su di essa provo-cando solo deformazioni elastiche. Un punto appartenente ad una parete elastica può spostarsi su un'altra parete elastica solo raggiungendo prima la superficie limite e muovendosi anche su di essa. Nel percorso sulla superficie limite si producono deformazioni plastiche (Figura 11.33). Alla luce di quanto detto, tenuto conto che il percorso tensionale efficace (ESP) di una prova di compressione triassiale non drenata (TxCIU) si svolge interamente sul piano non drenato (v = cost), nel caso di provino isotropicamente sovraconsolidato, il cui punto rap-presentativo iniziale è quindi situato su una linea di scarico-ricarico appartenente ad una parete elastica, la parte iniziale (elastica) del percorso è il segmento intersezione fra il piano non drenato e la parete elastica (Figura 11.34).

⋅−= '

ep'p)hM(g (Eq. 11.71)

'phvexp)hM(q ⋅+

λ−Γ

⋅−= (Eq. 11.72)



28


q

p’


Superficie di Hvorslev

Pareteelastica

NCL

URL

v

q

p’

CSL

NCL

A

B

B’

C

C’

v Figura 11.32 - Parete elastica Figura 11.33 - Percorso da una parete ela-

stica ad un’altra parete elastica

q

A

B C

p’

CSLPiano non drenato

Parete elasticaNCLURL

v URL

q

A

B

Cp’ 13

CSL

Piano drenato

NCL

v

Parete elastica

Figura 11.34 - Percorso tensionale efficace in prova TxCIU di un provino di argilla isotropicamente so-vraconsolidato (AB = percorso elastico; BC = per-corso elasto-plastico)

Figura 11.35 - Percorso tensionale efficace in prova TxCID di un provino di argilla iso-tropicamente sovraconsolidato (AB = per-corso elastico; BC = percorso elasto-plastico)



29

Capitolo 11 STATO CRITICO E MODELLO CAM-CLAY MODIFICATO Tale segmento nel piano p’-q è verticale, e quindi, non variando p’, non variano i parame-tri elastici (K, G) ed il comportamento è elastico lineare. Analogamente, tenuto conto che il percorso tensionale efficace (ESP) di una prova di compressione triassiale drenata (TxCID) si svolge interamente sul piano drenato

( 3'p

q=

∆∆ ), nel caso di provino isotropicamente sovraconsolidato, il cui punto rappresenta-

tivo iniziale è quindi situato su una linea di scarico-ricarico appartenente ad una parete elastica, la parte iniziale (elastica) del percorso è il segmento intersezione fra il piano dre-nato e la parete elastica (Figura 11.35). Tale segmento nel piano p’-q ha pendenza 3:1, e quindi, variando p’ variano i parametri elastici (K, G) ed il comportamento è elastico non lineare. 11.3.2 Curva di plasticizzazione Nello spazio delle tensioni esiste una curva, detta di curva di plasticizzazione (yield curve), che separa gli stati di ten-sione che producono risposte elastiche dagli stati di tensione che producono risposte elasto-plastiche. Evidenze spe-rimentali indicano che per i terreni la forma della curva di plasticizzazione nello spazio delle tensioni p’-q è ap-prossimativamente ellittica. Nel modello CCM tale curva è rappre-sentata da un’ellisse F di equazione:

( ) 0Mqp'p'pF 2

2'c

2 =+⋅−= (Eq. 11.72)

L’asse maggiore dell’ellisse corrisponde alla pressione di preconsolidazione p’c, l’asse

minore vale 2pM

'c⋅ (Figura 11.36), ovvero l’ellisse incontra la linea di stato critico CSL

nel suo vertice in corrispondenza del punto V (p’c/2; M p’c/2). La proiezione di tale punto sul piano p’-v, come meglio mostrato nelle Figure 11.37 e 11.38, corrisponde all’intersezione tra il ramo di carico-scarico relativo alla pressione di consolidazione p’c e la linea CSL. Imponendo queste due condizioni si può ricavare la seguente relazione vali-da per i parametri dello stato critico secondo il modello CCM modificato: N = Γ + (λ - κ) ln(2) (Eq. 11.73)

Considereremo nel seguito la curva di plasticizzazione per compressione, e quindi M = Mc, ma analoghi concetti valgono anche per estensione, nel qual caso l’asse minore dell’ellisse è più piccolo (essendo Me < Mc). Se lo stato di tensione di un elemento di terreno è rappresentato da un punto interno alla curva di plasticizzazione iniziale (ad es. punto A di Figura 11.36) la risposta del terreno è elastica.

q

Mc

A

V

A - Stato di tensione elasticoB - Inizio della plasticizzazioneC - Stato elasto-plastico

BC Curva di plasticizzazione

iniziale

Curva di plasticizzazioneespansa

p’p’ /2c p’c Figura 11.36 - Curva di plasticizzazione iniziale e sua espansione in un percorso di carico per compressione



30

Capitolo 11 STATO CRITICO E MODELLO CAM-CLAY MODIFICATO Se lo stato di tensione è rappresentato da un punto sulla curva di plasticizzazione iniziale (ad es. punto B) ogni incremento di tensione che comporti un movimento verso l’esterno della curva è accompagnato da deformazioni elasto-plastiche e da un’espansione della su-perficie di plasticizzazione cosicché il punto rappresentativo dello stato di tensione per-mane sulla curva di plasticizzazione (punto C). Se il percorso dal punto C si muove verso l’interno vi saranno deformazioni elastiche, poiché la curva di plasticizzazione si è espan-sa e la regione elastica è divenuta più grande. Alla luce dei concetti espressi sul percorso tensionale efficace di un provino di argilla iso-tropicamente sovraconsolidato (che è inizialmente elastico e che quindi nel tratto iniziale si svolge sulla parete elastica associata alla pressione di preconsolidazione), nonché sulla forma ellittica della curva di plasticizzazione, tali percorsi nelle prove di compressione triassiale standard, secondo il modello Cam Clay Modificato (MCC), sono quelli schema-ticamente rappresentati nelle Figure 11.37, 11.38, 11.39 e 11.40. Se il punto di intersezione tra il percorso tensionale efficace e la curva di plasticizzazione iniziale ha ascissa maggiore di p’c/2 (ovvero è nella metà destra dell’ellisse) si ha, durante la fase di compressione assiale, un’espansione dell’ellisse, se invece il punto di interse-zione ha ascissa minore di p’c/2 (ovvero è nella metà sinistra dell’ellisse) si ha una con-trazione dell’ellisse. Con riferimento alla Figura 11.40, ovvero al comportamento previsto dal modello per una compressione non drenata di un provino di argilla satura fortemente sovraconsolidato, si osserva che il percorso tensionale efficace fino al raggiungimento della curva di plasticiz-zazione, ovvero fino al valore di picco qf della tensione deviatorica è verticale (elastico-lineare). Dunque sostituendo nell’equazione di F a p’ il valore di pressione media efficace iniziale p’0 si ha:

( ) 0Mqppp 2

2f'

c'0

2'0 =+⋅− (Eq. 11.74)

e risolvendo per qf:

2Rperc21RpMq 0u0'0f >⋅=−⋅⋅= (Eq. 11.75)

11.3.3 Il calcolo delle deformazioni

Le deformazioni volumetriche

L’incremento di deformazione volumetrica totale dεv può in generale essere scomposto in due parti: la prima elastica (reversibile) dεv

e e la seconda plastica (irreversibile) dεvp:

pv

evv ddd ε+ε=ε (Eq. 11.76)

Consideriamo un provino di terreno isotropicamente consolidato in cella triassiale ad una pressione efficace media p’c e quindi decompresso isotropicamente fino alla pressione media efficace p’0, come rappresentato dal percorso tensionale ODA in Figura 11.41. Es-so risulterà sovraconsolidato con rapporto di sovraconsolidazione isotropa:

'0

'c

0 ppR = (Eq. 11.77)



31


ESP

CSL

13

a) b)

d)

q

p’ ε1

q

v

qf qf

c)A

B

C

E

F

D

C

B

A

F

p’0 p’f

A AB

BC C

F F

D

E

p’

v

vfp’c

NCLCSL

ε1

V

V

Figura 11.37 - Risultati previsti dal modello CCM di una prova TxCID su un provino di argilla debolmente sovraconsolidato

TSP

CSL

13

a) b)

d)

q

p’,p ε1

q

qf

qf

c)A

BC

F

u0

F

F

ED

CB

A

p’0p’f

A

A

BB C F

CD

E

p’

v

v = vA f

p’c

NCLCSL

ε1

∆u

Figura 11.38 - Risultati previsti dal modello CCM di una prova TxCIU su un provino di argilla debolmente sovraconsolidato



32


ESP

CSL

13

a) b)

d)

q

p’ ε1

q

qfqcs

c)A

B

C

F

F

F

D

C

B

A

p’0

A

A

B

BC

F

CD

p’

v

p’c

NCLCSL

ε1

εv

p’ /2c

Figura 11.39 - Risultati previsti dal modello CCM di una prova TxCID su un provino di argilla fortemente sovraconsolidato

TSP

ESP

CSL

13

a) b)

d)

q

p’,p ε1

q

qfq

c s

c)

B

B

C

C

F

F

F

F

D

B

A

C

p’0

A

A

C B

B

C

F

D

p’

v

p’c

NCLCSL

ε1

∆u

∆uc s

∆uc s

∆uf

∆uf

p’ /2c

A u0

Figura 11.40 - Risultati previsti dal modello CCM di una prova TxCIU su un provino di argilla fortemente sovraconsolidato.



33

Capitolo 11 STATO CRITICO E MODELLO CAM-CLAY MODIFICATO La curva di plasticizzazione iniziale è l’ellisse che ha per as-se maggiore il segmento OD. Il provino venga poi sottoposto a compressione assiale drenata (TxCID). Il suo ESP inizia nel punto A ed è rettilineo con pendenza 3:1. Fino a quando il percorso ten-sionale non raggiunge il punto B, e quindi è interno alla curva di plasticizzazione iniziale, il comportamento è elastico. Dal punto B il terreno inizia ad ave-re deformazioni elasto-plasti-che. Consideriamo l’incremento di tensione corrispondente al tratto BC dell’ESP. Esso produce un’espansione della superficie di plasticizzazione come mo-strato nella Figura 11.41a. La variazione (negativa) di vo-lume specifico totale del provino per tale incremento di tensione vale, con riferimento alla Figura 11.41b, vale:

)vv()vv()vv()vv(v BDDEECBC −+−+−=−=∆ (Eq. 11.78)

in cui

⋅κ=− '

C

'E

EC pplnvv (Eq. 11.79)

⋅λ=− '

E

'D

DE pplnvv (Eq. 11.80)

⋅κ=− '

D

'B

BD pplnvv (Eq. 11.81)

La pressione p’E è la pressione efficace media di consolidazione della superficie di plasti-cizzazione espansa. Per passare dall’incremento di volume specifico all’incremento di de-formazione volumetrica si utilizza la relazione: ∆εv = - ∆v/v0. L’incremento di deformazione volumetrica elastica può essere calcolato con la relazione:

'K'pe

v∆

=ε∆ (Eq. 11.82)

ESP

CSL

s

v

pp

p

s

v

q,ε

p’,εA

BC

F

E1

3D

O

dεdε

dε

p’ p’

AB

C

F

D

E

p’

v NCL

CSL

0 c

Figura 11.41 - Determinazione delle deformazioni plastiche

a)

b)



34

Capitolo 11 STATO CRITICO E MODELLO CAM-CLAY MODIFICATO Poiché le costanti elastiche (modulo di deformazione cubica K’, modulo di Young, E’, e modulo di taglio, G) non sono costanti ma proporzionali alla pressione media efficace p’, il valore di K’ da utilizzare è quello che corrisponde al valore medio di p’ nell’intervallo ∆p’, ed è dato dall’equazione:

κ⋅

= 0'm vp

'K (Eq. 11.83)

La parte plastica dell’incremento di deformazione volumetrica si può infine ottenere per differenza:

evv

pv ddd ε−ε=ε (Eq. 11.84)

In condizioni non drenate, essendo zero la deformazione volumetrica totale, risulterà: pv

ev dd ε−=ε (Eq. 11.85)

Le deformazioni deviatoriche Per determinare le deformazioni deviatoriche si fa l’ipotesi che, per un generico incre-mento di tensione (dp’, dq), l’incremento di deformazione plastica pdε sia un vettore con direzione normale alla curva del potenziale plastico, e che quest’ultima coincida con la curva di plasticizzazione F (ipotesi di normalità – legge di flusso associata) (Figura 11.41). Per determinare la direzione normale alla curva di plasticizzazione si differenzia l’equazione della curva di plasticizzazione F (Eq. 11.72) rispetto alle variabili p’ e q:

0Mdqq2'dpp'dp'p2dF 2

'c =⋅⋅+⋅−⋅⋅= (Eq. 11.86)

da cui, si ricava la direzione tangente alla curva:

( )q2

M'p2p'dp

dq 2'c

⋅⋅⋅−

= (Eq. 11.87)

e quindi la direzione normale alla curva:

( ) 2'c Mp'p2q2

dq'dp

⋅−⋅⋅

=− (Eq. 11.88)

L’incremento di deformazione plastica totale pdε ha due componenti: l’incremento di de-formazione volumetrica plastica p

vdε – di cui abbiamo detto come calcolare il valore, e l’incremento di deformazione deviatorica plastica p

sdε . Il rapporto fra la componente de-viatorica e la componente volumetrica è la direzione del vettore incremento di deforma-zione plastica totale, ovvero la direzione normale alla curva di plasticizzazione, dunque:

( )'c

2pv

pS

p'p2Mq2

dd

dq'dp

−⋅⋅

=εε

=−

da cui



35


( )pv'

c2

ps d

p'p2Mq2d ε⋅

−⋅⋅

=ε (Eq. 11.89)

La componente elastica dell’incremento di deformazione deviatorica può essere calcolata con la teoria dell’elasticità:

G3dqd e

s ⋅=ε (Eq. 11.90)

Per quanto già detto il valore di G da utilizzare è quello che corrisponde al valore medio di p’ ed è dato dall’equazione:

)1(2)21(vp3

G 0'm

ν+⋅κ⋅ν⋅−⋅⋅⋅

= (Eq. 11.91)



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