Capitolo 10 - Giochi Dinamici1 Giochi dinamici: prima e seconda mossa.

Capitolo 10 - Giochi Dinamici 1

Giochi dinamici:prima e seconda mossa


Introduzione

Spesso le imprese competono in sequenza– un’impresa fa una mossa

• un nuovo prodotto• una campagna pubblicitaria

– la seconda impresa osserva questa mossa e poi risponde

Questi sono giochi dinamici– possono creare un vantaggio della prima mossa– o possono un vantaggio della seconda mossa– possono anche consentire al leader di prevenire altri ingressi sul

mercato

Possono generare equilibri molto differenti dai giochi di scelta simultanea


Stackelberg

Pensate prima in termini di Cournot

Le imprese scelgono la quantità sequenzialmente– il leader sceglie la sua quantità per primo, in modo osservabile– il follower osserva e sceglie la propria quantità

Il first mover ha un vantaggio– può anticipare le azioni del follower– può perciò “manipolare” il follower

Affinché sia davvero così, il leader deve vincolarsi credibilmente alla propria scelta di output

L’impegno strategico ha un valore importante


L’equilibrio di Stackelberg

Assumete ci siano due imprese con beni identici

Come nell’esempio con Cournot, la domanda è:P = A – BQ = A – B(q1 + q2)

I costi marginali per ciascuna impresa sono c

L’impresa 1 è leader e sceglie la quantità q1

Così facendo può anticipare le azioni dell’impresa 2

Considerate l’impresa 2: la sua domanda residuale èP = (A – Bq1) – Bq2

e i suoi ricavi marginali sono perciòR’2 = (A - Bq1) – 2Bq2


R2’ = (A - Bq1) – 2Bq2 C’ = c q2* = (A - c)/2B - q1/2

La domanda dell’impresa 1 èP = (A - Bq2) – Bq1

P = (A - Bq2*) – Bq1

P = (A - (A-c)/2) – Bq1/2 P = (A + c)/2 – Bq1/2

Ricavi marginali impresa 1:R’1 = (A + c)/2 - Bq1

(A + c)/2 – Bq1 = c

q1* = (A – c)/2 q2* = (A – c)4B

L’equilibrio di Stackelberg (2)

Questa è la funzionedi reazione dell’impresa 2

Uguagliatei ricavi marginaliai costi marginaliq2

q1

R2

(A – c)/2B

(A – c)/B(A – c)/2

(A – c)/4BS

L’impresa 1 sa che questaè la funzione di reazionedell’impresa 2 alle scelte

di output di 1

L’impresa 1 sa che questaè la funzione di reazionedell’impresa 2 alle scelte

di output di 1 L’impresa 1 può anticipare la reazione

dell’impresa 2

L’impresa 1 può anticipare la reazione

dell’impresa 2

Ma l’impresa 1sa quanto sarà q2

Risolvete per q1

Uguagliatei ricavi marginaliai costi marginali

Dal precedente esempio sappiamoche questo è l’output di monopolio.

Questo è un aspetto importante:il leader in Stackelberg sceglie lo stesso

output di un monopolista, ma l’impresa 2non è tagliata fuori dal mercato


L’output aggregato è3(A-c)/4B

Il prezzo di equilibrio è(A+3c)/4

Profitti impresa 1(A-c)2/8B

Profitti impresa 2(A-c)2/16B

Sappiamo che l’equilibriodi Cournot siaq1

C = q2C = (A-c)/3B

Prezzo in Cournot (A+c)/3Profitti di ciascuna impresa (A-c)2/9B

L’equilibrio di Stackelberg (3)La funzione di reazionedell’impresa 1 è “come”

quella dell’impresa 2q2

q1

R2

(A-c)/2B

(A-c)/ B

Confrontatecon l’equilibrio

di Cournot

Confrontatecon l’equilibrio

di Cournot

(A-c)/2B

(A-c)/BR1

SC

(A-c)/3B

(A-c)/3B

La leadership dà beneficial leader impresa 1,

ma danneggia l’impresa follower 2

Con Leadership iconsumatori traggono

benefici, ma si riduconoi profitti aggregati

(A-c)/4B


Stackelberg e l’impegno credibile

E’ fondamentale che il leader si impegni in maniera credibile a produrre la propria scelta di output

– senza tale impegno, l’impresa 2 ignorerebbe qualunque intento espresso dell’impresa 1 sulla produzione di (A – c)/2B unità

– l’unico equilibrio sarebbe l’equilibrio di Cournot

Come impegnarsi in maniera credibile?– costruendosi una reputazione– investendo in capacità addizionale– immettendo sul mercato la quantità dichiarata

Dato tale impegno, ciò che conta è la tempistica di sceltaMa essere first mover è sempre vantaggioso?Considerate la competizione sui prezzi


Stackelberg e la concorrenza di prezzo

Con concorrenza sui prezzi la faccenda è molto diversaIl first-mover non ha alcun vantaggio:

– supponete prodotti identici• il first-mover si impegna a vendere ad un prezzo superiore a C’• il follower abbasserà leggermente i prezzi e prenderà l’intero mercato• l’unico equilibrio è P = C’• identico al gioco simultaneo

– ora supponete prodotti differenziati• come nel modello spaziale• assumete esistano due imprese come nel capitolo 9, ma ora l’impresa

1 può stabilire il prezzo per prima (vincolandosi a tale prezzo)• conosciamo le funzioni di domanda delle due imprese• e conosciamo la funzione di reazione dell’impresa 2


Stackelberg e la concorrenza di prezzo (2)

Domanda impresa 1 D1(p1, p2) = N(p2 – p1 + t)/2tDomanda impresa 2 D2(p1, p2) = N(p1 – p2 + t)/2tFunzione di reazione impresa 2 p*2 = (p1 + c + t)/2

L’impresa 1 conosce la funzione di reazione dell’impresa 2 e perciò la domanda di 1 èD1(p1, p2*) = N(p2* – p1 + t)/2t = N(c +3t – p1)/4t

Profitti impresa 1 π1 = N(p1 – c)(c + 3t – p1)/4t

Derivate rispetto a p1 π1/p1= N(c + 3t – p1 – p1 + c)/4t= N(2c + 3t – 2p1)/4t

Risolvendo ottenete p1* = c + 3t/2


p1* = c + 3t/2

Sostituite nella funzione di reazione dell’impresa 2p2* = (p1* + c + t)/2 p2* = c + 5t/4

I prezzi sono maggiori che nel gioco simultaneop* = c + t

L’impresa 1 ha un prezzo maggiore rispetto all’impresa 2 e perciò ha anche una minor quota di mercato:c + 3t/2 + txm = c + 5t/4 + t(1 – xm) xm = 3/8

Profitti impresa 1: π1 = 18Nt/32Profitti impresa 2: π2 = 25Nt/32

La competizione di prezzo avvantaggia il second-mover

Stackelberg e la concorrenza di prezzo (3)


Giochi dinamici e credibilità

I giochi dinamici visti prima richiedono che le imprese si muovano in sequenza:

– che possano impegnarsi a perseguire le proprie scelte• ciò è ragionevole quando si tratta di quantità• è molto meno scontato quando si tratta di prezzi

– in assenza di un impegno credibile la soluzione dei giochi dinamici diventa assai differente

• il leader in Cournot può non produrre l’output dichiarato• il first-mover in Bertrand può non mantenere il prezzo dichiarato

Considerate un gioco di entrata in un mercato:l’entrata di concorrenti può essere prevenuta dal first-mover?


Credibilità e predazione

Prendete un semplice esempio

– due imprese: Megasoft (incumbent) e Novasoft (entrante)

– Novasoft sceglie per prima• entrare o rimaner fuori dal mercato di Megasoft

– Poi sceglie Megasoft• ostacolare l’entrata o accettare

La matrice dei pay-off è come segue:


Un esempio di predazione

Matrice dei pay-off

Megasoft

Novasoft

Ostacolare

Entrare

Accettare

Restare fuori

(0, 0) (2, 2)

(1, 5) (1, 5)

Qual è l’equilibriodi questo gioco?

Qual è l’equilibriodi questo gioco?

(0, 0)

(Entrare, Ostacolare)non è un equilibrio

(Entrare, Ostacolare)non è un equilibrio

(1, 5)(Restare fuori, Accettare)

non è un equilibrio

(Restare fuori, Accettare)non è un equilibrio

Pare esistanodue equilibri per

questo gioco

Ma (Entrare, Ostacolare)

è credible?

Ma (Entrare, Ostacolare)

è credible?


Credibilità e predazione (2)

Le opzioni elencate sono strategie e non azioni

L’opzione di Megasoft di Ostacolare non è un’azione è una strategia

– Megasoft ostacolerà l’entrata solo se Novasoft entra, ma altrimenti non agisce aggressivamente

Analogamente Accettare è una strategia– definisce le azioni in relazione alla scelta strategica di Novasoft

Le azioni implicite in una particolare strategia sono credibili?– La promessa di Ostacolare se Novasoft entra è plausibile?– Se non lo è, allora l’equilibrio associato è molto sospetto

La rappresentazione in forma di matrice ignora il tempo– rappresentate il gioco nella sua forma estesa per mettere in evidenza

la sequenza delle mosse


Ancora il nostro esempio

Novasoft

N1

Entrare

Restare fuori (1,5)

M2

Ostacolare(0,0)

Accettare

(2,2)

E se Novasoftentra?

E se Novasoftentra?

Megasoft stameglio accettando

Megasoft stameglio accettando

(0,0)

Ostacolareviene eliminata

Ostacolareviene eliminata

Ostacolare

(2,2)

Novasoft sceglierà dientrare dato che Megasoft

accetterà l’entrata

Entrare

Entrare, Accettare èl’unico equilibrioper questo gioco


Il paradosso della catena di negozi

E se Megasoft fosse presente in più di un mercato?– minacciare su un mercato potrebbe influenzare gli altri

Ma emerge il paradosso della catena di negozi di Selten:– esiste una sequenza di 20 mercati– Megasoft sceglierà “ostacolare” nei primi mercati per prevenire

l’entrata nei successivi mercati? No: questo è il paradosso

• Supponete Megasoft scelga “ostacolare” nei primi 19 mercati, sceglierà “ostacolare” anche per il ventesimo mercato?

• Con un solo mercato rimanente, siamo nella situazione di prima: “Entrare, Accettare” è l’unico equilibrio

• Ostacolare l’ingresso sul ventesimo mercato non aiuterà a prevenire l’entrata su altri mercati…Non ce ne sono altri!!

• Perciò, “Ostacolare” non può essere scelta per il ventesimo mercato


Il paradosso della catena di negozi (2)

Ora considerate il 19° mercato– L’equilibrio sarà “Entrare, Accettare”– L’unico motivo per scegliere “Ostacolare” sul 19° mercato è di

costruirsi una reputazione di impresa spietata per convincere i potenziali entranti del 20° mercato a non entrare

– Ma Megasoft non sceglierà “Ostacolare” nel 20° mercato – Perciò “Entrare, Accettare” diventa l’unico equilibrio anche per

questo mercato

E il 18° mercato?– “Ostacolare” per dissuadere gli entranti del 19° e 20° mercato– Ma la minaccia di “Ostacolare” non è credibile– “Entrare, Accettare” è ancora l’unico equilibrio

Andando a ritroso, osserviamo che Megasoft non ostacolerà l’entrata su alcun mercato


Esercizi

Esercizio 1Si consideri un gioco di Stackelberg di concorrenza sulla quantità

fra 2 imprese. L’impresa 1 è il leader, la 2 il follower. La domanda di mercato è P = 1000-4Q. Ciascuna impresa ha un costo unitario costante pari a 20.

a) Trovate l’equilibrio di Nashb) Si supponga che il costo unitario produzione impresa 2 sia

c<20. Quale valore dovrebbe avere c perché nell’equilibrio di Nash le 2 imprese abbiano la stessa quota di mercato?

Risoluzione Esercizio 1

a) L’impresa 2 sceglie la sua quantità per massimizzare i profitti

Ora l’impresa 1 sceglie l’output per massimizzare i propri profitti


Esercizi (2)


b) Non esiste un c non negativo tale per cui leader e follower hanno le stesse quote di mercato.

Per vedere il perché, considerate c = 0.In questo caso la quantità prodotta dal leader è 120, mentre la quantità del follower è inferiore a 120.

Al crescere di c, la quota di mercato del leader cresce mentre quella del follower diminuisce.


Esercizi (3)


Esercizi (4)

Esercizio 2Cittadina di Tavullia, abitanti 1000 uniformemente distribuiti lungo la via

centrale lunga 10 Km.Ogni cittadino acquista ogni giorno un frullato di frutta, usando uno

scooter per spostarsi (andata e ritorno) con un costo di 0,50 di benzina per Km. Gianni possiede il negozio dell’estremità occidentale e Oscar il negozio dell’estremitò orientale. Costo marginale 1 frullato è di 1€ per negozio. Inoltre ciascuno di essi paga una tassa di 250€ al giorno.

a) Gianni fissa il suo prezzo P1 per primo e poi Oscar fissa il suo a P2. Dopo che i prezzi sono stati fissati, quali prezzi stabiliranno i 2 negozi?

b) Quanti clienti servirà ciascun negozio e quali saranno i 2 profitti?


a) Definiamo p1 il prezzo praticato da Gianni e p2 il prezzo praticato da Oscar.Sia x la posizione di un consumatore indifferente tra raggiungere Gianni o Oscar.Ne segue che

Di conseguenza, la domanda affrontata da Gianni è

Dunque, i profitti di Gianni sono dati da


Esercizi (5)


Mentre i profitti di Oscar sono

Dato che Oscar è il follower, per prima cosa massimizziamo π2 rispetto a p2 per ricavare la funzione di reazione di Oscar.

Ora, sostituiamo la funzione di reazione di Oscar nella funzione di profitto di Gianni e otteniamo


Esercizi (6)


Massimizziamo ora π1 rispetto a p1

Ora, dalla funzione di reazione di Oscar, otteniamo


Esercizi (7)


b)

Perciò, Gianni servirà una quota di mercato pari a

Mentre Oscar avrà una quota di mercato pari a

I profitti di Gianni sono 375(16 – 1) – 250 = 5375

I profitti di Oscar sono 625(13,5 – 1) – 250 = 7562,5


Esercizi (8)


Esercizi (9)Esercizio 4Una impresa ha 2 fornitori di acqua. Uno di essi è Norda che offre acqua limpida

ma non effervescente. L’altro è Pellegrino che offre acqua effervescente ma con dei residui. Il settore marketing ha sintetizzato la seguente matrice dei profitti sulla base dei prezzi per un contenitore da 8 litri.

a) Quale equilibrio di Nash se le 2 imprese stabiliscono il prezzo simultaneamente?

b) Quale equilibrio se la Norda stabilisce il prezzo per prima e la Pellegrino risponde al meglio?

c) Dimostrare che la scelta del prezzo per primo è uno svantaggio per la Norda

Prezzo della Norda

Prezzo della

Pellegrino

3 4 5 6

3 24,24 30,25 36,20 42.12

4 25,30 32,32 41,30 48,24

5 20,36 30,41 40,40 50,36

6 12,42 24,48 36,50 48,48


Esercizi (10)



Esercizi (11)


a) In questo caso possiamo utilizzare la funzione di reazione della Pellegrino per trovare la scelta ottimale.

Chiamiamo la funzione di reazione della PellegrinoP (___Scelta di Norda).

P (___3) = 4 dato che 25 è la prima cifra nelle parentesi piùelevata della colonna 1.





Esercizi (12)


Ora considerate la funzione di reazione della Norda

N (3___) = 4 dato che 25 è la seconda cifra nelle parentesi piùelevata della riga 1.




L’equilibrio di Nash è ovviamente doveN (4___) = 4 e S (___4) = 4 e cioè il punto (4,4).


Esercizi (13)


b) Se Norda dovesse scegliere per prima e fosse consapevole del fatto che Pellegrino è second mover allora la funzione di Payoff di Norda dipende dalla funzione di reazione della Pellegrino.

I payoff di Norda sono i seguenti

PayoffN(N=3) = PayoffN(P(___3)) == PayoffN quando Pellegrino sceglie 4, ovvero 30.PayoffN(N=4) = PayoffN(P(___4)) == PayoffN quando Pellegrino sceglie 4, ovvero 32. PayoffN(N=5) = PayoffN(P(___5)) == PayoffN quando Pellegrino sceglie 4, ovvero 30.PayoffN(N=6) = PayoffN(P(___6)) == PayoffN quando Pellegrino sceglie 5, ovvero 36.


Esercizi (14)


L’equilibrio è ora al punto (5,6) dove Norda sceglie per prima 6.

Entrambe le imprese stanno meglio in questo gioco perché, appena Norda sceglie 6 e non può tornare indietro, la miglior risposta della Pellegrino è 5. Se ora la Norda potesse cambiare scelta, allora tornerebbe indietro e passerebbe a 4, ma a questo punto la Pellegrino cambierebbe andando a 4 tornando così all’equilibrio di Cournot.

c) Norda non ricava alcun beneficio dall’essere first mover.In un gioco sui prezzi, l’impresa che muove per prima è “un bersaglio fermo” per l’impresa che muove seconda.Entrambe stanno meglio che nella scelta simultanea, ma il second mover è quello che ricava il maggior beneficio.


Esercizi (15)Esercizio 7La EosTech ha un monopolio per la produzione di attrezzi. La

domanda è: a un prezzo di 10.000€ al pezzo => 25.000 unitàa un prezzo di 600€ al pezzo => 30.000 unità

Gli unici costi sono i costi iniziali di produzione irrecuperabili di costruzione di un impianto. La EosTech ha investito per portare la produzione a 25.000 unità.

a) Un potenziale concorrente di questa industria è in grado di appropriarsi del 50% del mercato investendo 10.000.000€. Tale impresa entrerebbe nel mercato? Perché?

b) Se la EosTech potesse investire 5.000.000€ per arrivare a 40.000 unità, tale strategia sarebbe efficace e redditizia per scoraggiare l’entrata dell’altra impresa?


Esercizi (15)


a) La funzione di domanda inversa èP = 3.000 – 0,08Q

Con C’ = 0 l’esito di monopolio per la EosTech èP = € 1.500 Q = 18.750 Profitti = € 28.125.000.

Interpretiamo l’affermazione che il concorrente può appropriarsi del 50% del mercato nel senso che può competere in un duopolio simmetrico sulle quantità.In questo caso, l’equilibrio post-entrata èP = € 1.000 Q = 25.000

Ciascuna impresa produce qi = 12.500 unità e ottiene un risultato operativo pari a € 12.500.000. Dato che il costo di entrata è pari a € 10.000.000, l’entrata è profittevole.


Esercizi (15)


b) I profitti della EosTech scendono da € 28.125.000 a € 12.500.000, ossia subiscono una riduzione di € 15.625.000.

Se spendendo € 5.000.000 EosTech potesse scoraggiare l’entrata della rivale ed evitare la perdita di € 15.625.000, sicuramente sarebbe un ottimo investimento.

Tuttavia, non è affatto evidente che l’acquisto di capacità produttiva addizionale permetta di raggiungere questo risultato. La capacità attuale dell’impresa è 25.000 che è già superiore a ciò di cui abbisogna.

Capitolo 10 - Giochi Dinamici1 Giochi dinamici: prima e seconda mossa.

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