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Economia IndustrialeEconomia Industriale(teoria dei giochi)(teoria dei giochi)

Concetti di soluzione in giochi Concetti di soluzione in giochi statici a informazione completa in statici a informazione completa in

strategie purestrategie pure(LEZIONE 2)(LEZIONE 2)

Valerio Sterzivalerio.sterzi@unibocconi.it

Università di BergamoFacoltà di ingegneria

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Cosa si intende per..

• soluzione di un gioco?Per soluzione di un gioco si intende un meccanismo “oggettivo” che, sotto alcune ipotesi, dà un modo “ovvio” di giocare.

• gioco statico?Un gioco è statico se i giocatori muovono una sola volta e simultaneamente.

• informazione completa?Per informazione completa si intende il fatto che gli elementi che caratterizzano il gioco (playoff, possibili strategie) sono di comune conoscenza

• strategia pura?Per strategia pura si intende una regola che assegna una mossa ad ogni stato informativo. Una strategia mista è invece una distribuzione di probabilità sulle strategie pure

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Agenda

• CONCETTI DI SOLUZIONE (Bernheim, 1986):

– (Equilibrio in strategie dominanti ) [*]– Strategie che sopravvivono alla eliminazione

iterata delle strategie dominate [*]– Strategie razionalizzabili– Equilibrio di Nash [*]– Equilibrio correlato

[*] discussi nella presentazione

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Elementi del gioco

• Giocatori, i ∈ N ={1,…,n}: insieme degli agenti che interagiscono strategicamente

• Azioni: mosse a disposizione dei giocatori per ogni singolo nodo

• Strategie, si ∈ Si: specificano un’azione per ogni possibile situazione in cui l’agente viene chiamato a giocare

• Pay-off, u(s):S ℜ, : insieme degli esiti del gioco

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Equilibrio in strategie dominanti (Li Calzi, 1995)

• dominanzaUna strategia pura s*i domina un’altra strategia pura si se U(s*i, s-i) > U(si,s-i) per ogni s-i in S-i

• strategia dominanteUna strategia pura s*i è dominante se domina tutte le altre strategie del giocatore i

• equilibrio con strategie dominantiUna combinazione di strategie s* tale che per ogni giocatore i la strategia s*i è dominante costituisce un equilibrio in strategie dominanti

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Esempio 1: “Diritto di proprietà”(Colombo, pag.79)

UI(DP), UII(DP)UI(S1), UII(S1)Pacifico (P)

UI(S2), UII(S2)UI(G), UII(G)Aggressivo (A)

Pacifico (P)Aggressivo (A)

Due cacciatori che ritornano dalla caccia si incontrano nella foresta. Ognuno di essi ha a disposizione due possibili strategie: assumere un atteggiamento aggressivo o pacifico.Ipotizziamo che i cacciatori siano rappresentativi della figura degli uomini che risulta dalla teoria filosofica di Hobbes (Leviatano): sono guidati dalla passione per la libertà e dal dominio sugli altri.Si = il giocatore i è ridotto in schiavitùG = stato di guerraDP = stato di pace

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Esempio 2: asta al secondo prezzo(Tirole, pag.743)

Un venditore vende un’unità di bene indivisibile. Supponete ci siano n aspiranti acquirenti che valutano il bene 0 ≤ v1 ≤ v2 ≤ … ≤ vn e che tali valutazioni siano comunemente note. Gli acquirenti simultaneamente formulano la loro offerta bi e colui che ha fatto l’offerta più alta ottiene il bene e paga un ammontare pari alla seconda maggior offerta. In tal modo, se i vince ottiene un’utilità pari a Ui = vi - maxj≠i bj.Gli altri non pagano niente.

Dimostrate che offrire un ammontare pari alla propria valutazione è una strategia (debolmente) dominante per il giocatore i.

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Asta al secondo prezzo: dimostrazioneDimostriamo che offrire la propria valutazione è una strategia (debolmente) dominante.Supponete di essere “nei panni” del giocatore i (ma questo discorso è identico e valido per qualunque giocatore). Supponete che b = maxj≠i bj, ovvero che b sia la offerta massima fatta da tutti gli altri giocatori.Ora il giocatore si trova davanti a tre possibili scenari: la sua valutazione del bene può essere superiore, inferiore oppure uguale a b.

1. vi > b in tal caso offrire bi < b, anziché vi riduce il benessere di i, infatti l’agente i otterrebbe un pay-off pari a zero, e non un pay-off positivo (vi – b) > 0;

2. vi < b in tal caso offrire bi > b, anziché vi riduce il benessere di i, infatti l’agente i otterrebbe un pay-off negativo (vi – b) < 0, e non un pay-off nullo

3. vi = b in questo caso l’utilità dell’agente i è sempre zero, qualunque sia l’offerta, e quindi il giocatore può anche offrire vi.

Infine notate che il fatto che bi vari in (b, +∞) non ha alcun effetto sul benessere dell’offerente i: egli ottiene l’oggetto e paga b in ogni caso. Ugualmente il fatto che bi vari in [0, b) non ha effetto sul suo benessere.

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eliminazione iterata delle strategie dominate

(Colombo, 2003)• Strategia strettamente dominata

Si dice che per un certo giocatore una strategia è strettamente dominata se ne esiste un’altra che assicura al giocatore in esame un payoff piùelevato, qualunque sia la strategia adottata dagli altri giocatori

• Eliminazione iterataDato un gioco in forma strategica, si individui una strategia strettamente dominata. Si elimini tale strategia e, di conseguenza, tutti i payoff associati all’utilizzo di quella strategia. Si scriva la nuova forma strategica del gioco. Si ripeta il procedimento precedente fino a quando per tutti i giocatori non esistono più strategie strettamente dominate

• Requisito in termini di razionalità e conoscenza- ogni giocatore è razionale- ogni giocatore conosce la struttura del gioco- conoscenza comune

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Esempio 3FED

1,310,26,8C5,109,67,7B2,98,105,6A

Le possibili azioni per il giocatore uno sono, A1 = {A,B,C}, mentre per il giocatore due, A2 = {D,E,F}.Il giocatore due non ha nessuna strategia strettamente dominata, a differenza del giocatore uno, la cui strategia A è strettamente dominata dalla strategia B. Un giocatore razionale non giocherà mai una strategia strettamente dominata. A questo punto, sotto l’ipotesi di conoscenza “comune dell’intelligenza” il giocatore due potrà supporre che il giocatore uno non giocherà mai l’azione A (possiamo eliminare la riga A). A questo punto per il giocatore due la strategia E è dominata. Possiamo fare lo stesso discorso per il giocatore uno e quindi eliminare la colonna associata alla strategia E. Proseguendo il ragionamento si arriveràall’equilibrio: EQ = {B,F}.

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Equilibrio di Nash (1)

• Definizione 1 (Cabral, 2000)Un profilo di strategie costituisce un equilibrio di Nash se nessun giocatore può unilateralmente aumentare il suo payoff cambiando la sua strategia

• Definizione 2 (Colombo, 2003)Un equilibrio di Nash è un insieme di strategie, una per ogni giocatore, tale che per ogni giocatore gioca una risposta ottima alle strategie adottate dagli altri giocatori (risposta ottima = strategia che massimizza l’utilità attesa data la strategia adottata dagli altri giocatori)

• Definizione formaleUn equilibrio di Nash è costituito da un profilo di strategie s* = (s*1, s*2,…., s*n) tale per cui, per ogni giocatore i e per ogni possibile strategia per il giocatore i (si ∈Si), Ui (s*) ≥Ui (s*1, s*2,…., si,…, s*n)

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Equilibrio di Nash (2)

Le condizioni di conoscenza e di razionalità che caratterizzano l’equilibrio di Nash sono:

Ogni giocatore è razionale (sceglie la strategia in modo da massimizzare la propria utilità);

Ogni giocatore conosce la propria funzione di payoff;

Ogni giocatore conosce la strategia effettivamente adottata dagli altri agenti (in altre parole l’equilibrio di Nash richiede che tutti i giocatori abbiano le stesse credenze sull’insieme di strategie che verràeffettivamente giocato, e che queste credenze siano corrette)

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Relazione tra strategie che sopravvivono alla eliminazione iterata e equilibrio di

Nash

• I due concetti di soluzione sono diversi in quanto sono caratterizzati da requisiti di razionalità e conoscenza diversi: il concetto di equilibrio di Nash non richiede conoscenza comune dell’intelligenza e della struttura del gioco.

• Se la procedura di eliminazione iterata delle strategie strettamente dominate conduce a una sola soluzione, essa rappresenta necessariamente anche l’unico equilibrio di Nash del gioco.

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Esempio 4 (Femminis, Martini, pag.223)

8,9,09,6,92,2,6a33,5,61,4,40,-1,-2a3

3,3,31,5,98,4,0a27,1,16,9,04,-3,7a2

5,9,114,7,1-1,0,-1a15,3,10,7,86,9,2a1

b3b2B1Ab3b2b1A

BB

C2C1

C

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Problemi con Nash

• L’equilibrio di Nash ha alcuni difetti, buona parte dei quali derivano dalla possibile molteplicità degli equilibri, e dalla non esistenza di equilibri in strategie pure.

• E’ sempre un modo ovvio di giocare?• Una possibile soluzione (un concetto

alternativo di soluzione) può essere individuato nei punti focali.

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Problemi con Nash (1): no equilibri

• Matching Pennies

1, -1 -1, 1 Croce (C)

-1, 1 1, -1 Testa (T)

Croce (C) Testa (T) Giocatore A

Giocatore B

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Problemi con Nash (2): equilibri multipli

• Battaglia dei sessi

1, 3 0, 0 Disco0, 0 3, 1 Stadio

DiscoStadio LapoPatricia

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I punti focali (1): dominanza rispetto ai payoff

2, 2 0, 0 Disco0, 0 1, 1 Stadio

DiscoStadio LapoPatricia

Vediamo che questo gioco è caratterizzato dalla presenza di due equilibri di Nash (SS, DD), ma uno dei quali è strettamente dominante rispetto ai payoff.Un equlibrio di Nash è strettamente dominante rispetto ai payoff se assicura a tutti i giocatori un payoff più elevato di quello che otterrebbero in ogni altro equilibrio di Nash.

Ma è sempre vero che un equilibrio strettamente dominante sia un modo ovvio di giocare, o che un equilibrio di Nash strettamente dominato sia sempre un modo non ovvio di giocare?

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I punti focali (2): molteplicità di equilibri

10,100,00,00,0D0,09,90,00,0C0,00,010,100,0B0,00,00,010,10A

dcba

L’esempio sopra riportato ci mostra come l’importanza di un certo equilibrio (modo ovvio di giocare) o di una certa strategia può non essere assoluta. In questo caso, l’equilibrio (Cc) è un equilibrio di Nash strettamente dominato ma, a causa della sua unicità, può essere l’equilibrio che rappresenta il modo ovvio di giocare.Per approfondimenti: Thomas Schelling (1960)

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I punti focali (3): equilibrio di “Nash non stretto”

-1, 3 0, 0 Disco-1, 3 0, 5 StadioDiscoStadio Lapo

Patricia

Anche in questo gioco esisto due equilibri di Nash (SS, DD). Il primo equilibrio èstrettamente dominante rispetto ai payoff. Può essere visto come modo ovvio di giocare?Per il principio della ragion insufficiente, NO.Il PDRI afferma che qualora non si abbiamo elementi per ritenere che un dato evento possa essere considerato più probabile di un altro, allora tutti gli eventi vanno considerati come equiprobabili. Vediamo subito che il giocatore Lapo ètotalmente indifferente tra le due possibili strategie. A questo punto Patricia, dovrebbe quindi attribuire una probabilità uguale (0.5) a entrambe le strategie di Lapo. A questo punto la strategia che massimizza l’utilità per Patricia sarà D: se sceglie STADIO otterrà un’utilità attesa di 2.5 (5/2*0.5+0*0.5), mentre se dovesse scegliere D ottiene 3 (3*0.5+3*0.5).

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Bibliografia

• Bernheim, D.B. (1984), Rationalizable strategic behaviour, Econometrica, 52, pp.1007-28;

• Colombo, F. (2003), Introduzione alla teoria dei giochi, Carrocci Editore;

• Li Calzi, M. (1995), Teoria dei giochi, Etaslibri;

• Femminis G., Martini G. (1999), Razionalità individuale e decisioni strategiche, Giappichelli editore;

• Osborne, M.J.,Rubenstein A. (1994), A course in game theory, The MitPress;

• Schelling T. (1960), The strategy of conflict, Harvard University Press, Cambridge (MA).

• Tirole J. (1988), Teoria dell’organizzazione industriale, Hoepli ed. (2004)