Capitol o 09

Capitolo 9 – Le Effemeridi Nautiche

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Capitolo 9 Le Effemeridi Nautiche

9.0 – Cenni storici Le Effemeridi rappresentano uno strumento cartaceo fondamentale per lo studio dei corpi celesti. Esse si basano su cataloghi astronomici di riferimento (FK- Fondamental Katalog). Pubblicati ogni 25 anni, gli FK riportano le coordinate medie di tutti i corpi celesti riferite alla posizione media dell’equatore e del punto vernale gamma (γ-punto equinoziale); l’ultimo catalogo FK5 è riferito 2025. Da questi cataloghi si ricavano le effemeridi astronomiche ; esse sono fornite al pubblico sotto forma di tabelle in funzione del tempo e della data; pubblicate ogni anno ed in anticipo, riportano ad intervalli regolari, gli elementi variabili degli astri (coordinate equatoriali e dimensioni apparenti) per tutto l’anno in cui si riferiscono. Le principali effemeridi astronomiche, in ordine di inizio di pubblicazione, sono state:

• La Connaissance des temps, effemeridi francesi, che si pubblicano ininterrottamente sin dal 1679 con cadenza annuale;

• The Nautical Almanac ,effemeridi inglesi, sin dal 1769; • Berliner Astronomiche Jahrbuch, effemeridi tedesche, sin dal 1776; • The America Ephemeris, effemeridi americane,

Queste effemeridi contengono tutti gli elementi necessari per la determinazione della posizione apparente degli astri e sono normalmente utilizzati negli osservatori astronomici di tutto il mondo. Le effemeridi astronomiche, però, sono molto ampie e contengono moltissimi elementi non necessari alle applicazioni nautiche; sono pubblicate anche in forma ridotta con la dizione di Nautical Almanac o Effemeridi nautiche. Le effemeridi nautiche, pubblicate sin dal 1916 dall’Istituto Idrografico della Marina, forniscono le coordinate apparente degli astri con approssimazione del decimo di primo d’arco e sono una copia dell’edizione inglese e americana prodotta congiuntamente dall’H.M. Almanac Office, Ritherford Appleton Laboratori, secondo i requisiti generali della Royal Navy e della United States Navy. 9.1 – Effemeridi Nautiche Le effemeridi nautiche permettono di calcolare, per un istante qualsiasi e per l’anno in cui si riferiscono, le coordinate apparenti degli astri osservabili a bordo di una nave:

• per il Sole, la Luna ed i pianeti (Venere, Marte, Giove e Saturno), con passo orario, sono fornite le coordinate locali (angolo orario e declinazione);

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• per il punto equinoziale l’angolo orario (Tempo sidereo Ts); • per le, stelle le coordinate uranografiche equatoriali (δ, coα) osservate.

Gli angoli orari sono espressi in gradi, primi e decimi e sono riferiti al meridiano di Greenwich a partire dal mezzocielo superiore (MGs). I dati dei corpi celesti, dotati di moto proprio, sono riportati in due pagine affiancate e si riferiscono a tre giorni consecutivi. Nella prima colonna, intestata UT (Universal Time ovvero Universal Time Coordinate – UTC) sono riportati i giorni e le ore, 0 a 23, con passo orario per ciascun giorno; seguono, in corrispondenza di ogni ora, gli angoli orari (T) e le declinazioni dei pianeti (δ) Venere, Marte, Giove , Saturno; a pie pagina per questi pianeti è fornita la variazione oraria media (ν) per l’angolo orario e la variazione oraria (d) per la declinazione. Per la Luna, dotata di moto proprio fortemente perturbato le variazioni sono fornite per ogni ora sia per l’angolo oraria (ν) che per la declinazione (d); queste variazioni sono riportati a fianco dei valori orari. Sull’ultima colonna della Luna è anche riportata la parallasse equatoriale orizzontale (πeo ). Inoltre , sempre a pie pagina, per la Luna sono riportati i valori del semidiametro per i tre giorni. Nella seconda pagina sono riportati l’angolo orario (T) e la declinazione (δ) del Sole; il tempo sidereo e le coordinate uranografiche equatoriali delle stelle osservabili (quest’ultimi validi per i tre giorni). Infine sul lato destro di questa seconda pagina, sono riportati gli istanti del sorgere e tramonto del Sole e della Luna e gli istanti dell’inizio e fine crepuscolo nautico in funzione della latitudine. In basso, su questa seconda pagina, sono riportate per i tre giorni l’istante del passaggio al meridiano superiore ed inferiore di Greenwich del Sole e della Luna; per la Luna è anche riportata la fase e l’età corrispondente. Sempre nella stessa pagina sono riportati gli istanti dei passaggi al meridiano superiore dei pianeti osservabili in astronomia nautica e le coα degli stessi; quest’ultimi dati sono validi per i tre giorni relative alle due pagine prese come riferimento. Per i corpi celesti dotati di moto proprio (Luna, Sole, Pianeti) occorre apportare delle correzioni per tener conto delle perturbazioni presenti nel loro moto diurno ed annuale. Le effemeridi nautiche, per tener conto delle perturbazioni, riportano le variazioni orarie per ogni singolo parametro (angolo orario e declinazione). queste variazioni orarie sono riportate a piede pagina per ogni colonna relativa al corpo celeste considerato e sono valide per i tre giorni. L’interpolazione è effettuata per mezzo di tabelle colorate che sono riportate in funzione dell’intervallo di tempo espresso in minuti. Per la Luna, essendo questo astro molto perturbato, le variazioni sono orarie e le correzioni , per mezzo delle interpolazioni, devono essere applicate proporzionalmente all’intervallo considerato. Infine, nelle effemeridi nautiche sono riportate le eclissi solari e lunari dell’anno, le carte del cielo stellato in differenti rappresentazioni, alcuni allineamenti stellari molto utili al navigante, le coordinate uranografiche equatoriali di stelle


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di grandezza luminosa inferiore (valide di mese in mese) con il loro nome astronomico e la relativa magnitudine. Ultimamente, inoltre, le effemeridi nautiche, riportano un estratto del catalogo stellare con diversi riferimenti relativi all’individuazione del catalogo di riferimento:

• IIM – Istituto Idrografico della Marina; • FK5 – Fondamental Katalog 5; • GC – General Catalogne (Albany); • HD – Henry Draper catalogne; • DM – Durchmusterung Number; • BS – Bright Star catalogue.

9.2 – Le interpolazioni Le effemeridi nautiche forniscono gli elementi dei corpi celesti ad intervalli regolari (passo dT=1h). Per i corpi celesti che hanno moto proprio occorre, allora, determinare il valore del parametro ricercato (angolo orario, declinazione) nell’intervallo espresso in minuti e secondi riferiti all’istante considerato. E’ ben noto che per questi corpi celesti non esiste una trasformazione diretta ma occorre apportare in corrispondenza dell’intervallo medio il corrispondente intervallo vero riferito al corpo celeste osservato:

• Tempo sidereo o Tempo siderale (Ts) – trasformazione dell’intervallo medio (Im) in intervallo sidereo (Is);

• Tempo vero (Tv) – trasformazione dell’intervallo medio (Im) in intervallo sidereo (Iv);

• Tempo pianeta (T•) – trasformazione dell’intervallo medio (Im) in intervallo sidereo (I•);

• Tempo Luna (T(() – trasformazione dell’intervallo medio (Im) in intervallo sidereo (I(();

Per ogni trasformazione è valida la relazione tra giorno medio e giorno sidereo, giorno vero, giorno pianeta e giorno lunare, ciascun dei quali ha una durata differente rispetto al tempo medio. Le tavole di interpolazione, riportate alla fine delle Effemeridi nautiche note molto spesso come pagine gialle, tengono conto delle differenze e permettono, in modo rapido, di trasformare l’intervallo medio nell’intervallo corrispondente al corpo celeste considerato. Nelle stesse tavole è possibile tener conto della variabilità oraria riportata a pie pagina del corpo celeste considerato; infatti, ogni pagina contiene due ore: si entra sulla prima colonna con l’intervallo medio espresso in minuti e secondi; seguono tre colonne: la prima intestata Sole e pianeti, la seconda con γ , la terza Luna. Seguono altre colonne intestate con Δ e pp (parti proporzionali) che permettono di apportare delle variazioni aggiuntive a quelle trovate nelle colonne di trasformazione in funzione delle variazioni orarie

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riportate a pie pagina per ogni corpo celeste oppure in corrispondenza dell’ora intera per la Luna. Per ogni trasformazione da tempo medio riferito al meridiano di Greenwich (Tm) contato a partire dal meridiano inferiore si ottengono angoli orari (Tv, Ts , T•, T(() contati tutti dal mezzocielo superiore e le corrispondenti declinazioni dei corpi celesti considerati (δv ,δ• ,δ(( ).Inoltre, se è assegnata la longitudine di un generico osservatore (λ), allora è possibile trasformare le osservazioni riferite a Greenwich al meridiano locale assegnato. L’istante di osservazione deve essere sempre accompagnato dalla data di osservazione perché solo con la data fissata è possibile usare le effemeridi nautiche. Il tempo medio Tm deve essere espresso sempre in ore, minuti e secondi, gli angoli orari trovati e le declinazioni devono essere espressi, per fini nautici, in gradi, primi d’arco e decimi di primo. Nei paragrafi che seguono sono riportati alcuni esempi di trasformazione di tempi di osservazione in angoli orari che richiedo l’uso delle tavole di interpolazione. 9.2.1 – Calcolo delle coordinate locali orarie. Fissata la data e l’istante di osservazione, per mezzo delle due pagine riportate relative ai giorni 28, 29 e 30 settembe 2007 e delle tavole di interpolazione si ottengono le seguenti coordinate locali orari. Si riporta il seguente esempio di calcolo: ESEMPIO 9.1 – Determinare le coordinate locali orarie del Sole, della Luna, del piante Giove ed il tempo sidereo per l’istante smh

mT 103412= del giorno 29 settembre 2007 per l’osservatore in posizione EN '7.1315,'5.2040 °=°= λφ .

Tabella 9.1 – Coordinate locali orarie

Tempo di Osservazione

Sole Luna Giove Tempo sidereo

29/9/2007 Tm =12h

Im =34m10s Tm =12h

Im =34m10s

Tv = 002°23.7’ +Iv = 008°32.5’ Tv = 010°56.2’ +λ+=+015°13.7’E tv = 026°09.9’ δ☼ = 002°22.2’ S pp = 0.6’ S δ☼ = 002°22.8’ S

T(( = 148°15.9’ +I(( = 008°09.2’ pp = 03.5’ T(( = 156°28.6’ +λ+=+015°13.7’E t(( = 171°42.3’ δ(( = 020° 29.2’ N pp = 7.2’ N δ(( = 020°36.4’ N

T● = 295°10.3’ +I●= 008°32.5’ pp = 01.2’ T● = 303°44.0’ +λ+=+015°13.7’E t● = 318°57.7’ δ● = 022° 08.2’S pp = 0.0’ δ● = 022°08.2’ S

Ts = 187°54.4’ +Is = 008°33.9’ Ts = 196°28.3’ +λ+=+015°13.7’E ts = 211° 42.0’

I dati riportati in tabella sono stati ricavati dalla Tavola I e II per Tm=12h per il giorno 29 settembre 2007. L’intervallo medio Im = 34m 10s dalla tavola IIIB. Per Giove e la Luna sono stati, inoltre, interpolati le parti proporzionali tenendo conto della variazione oraria riportata in corrispondenza di Tm=12h ; le parti


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proporzionali (pp) sia per l’angolo orario che per la declinazione sono stati ricavati sempre dalla tavola IIIB in funzione della variazione oraria . La figura 9.1 riporta la sfera celeste locale per l’osservatore considerato e la posizione degli astri considerati in coordinate locali orarie (ta,δa ); nella figura 9.2 ,invece, è riportata la posizione degli astri per mezzo di un diagramma orario (rappresentazione ortografica equatoriale).

Figura 9.1 – Sfera celeste relativa all’osservatore e posizione degli astri

calcolati nella tabella 9.1 9.3 – Relazione sui tempi Nel paragrafo precedente si è effettuata una trasformazione di tempo medio in tempo astro utilizzando gli angoli orari riportati dalle Effemeridi ed applicando, per gli intervalli, le tavole di interpolazione relativamente ad ogni astro considerato. Come già studiato nel capitolo sui tempi, le effemeridi tengono conto del moto proprio di ogni corpo celeste e della loro variabilità per ogni singolo giorno. La trasformazione dell’intervallo medio Im ad intervallo astro (Sole, Pianeta, punto gamma e Luna) tiene conto della lunghezza del giorno medio in giorno astro. Questa interpolazione, però, può essere calcolata manualmente tenendo conto della lunghezza del corrispondente giorno del corpo celeste considerato.

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Figura 9.2 – Diagramma orario locale e coordinate locali orario degli astri della

tabella 9.1

9.3.1 – Relazione fra giorno medio e giorno sidereo Per trovare questa relazione , occorre richiamare l’anno tropico: Intervallo di tempo tra due passaggi consecutivi del Sole per il punto gamma γ – la sua durata è 366,2422 di giorni siderali. Essendo l’anno solare di 365,2422 giorni medi è possibile trovare una relazione che lega la lunghezza del giorno siderale con quella del giorno medio: medi gioni 2422365 siderali gioni 2422.366 .= (9.1)

Cosicché :

medi gioni 366.2422

2422365 siderale giono 1 .= (9.2)

2422.3661 medio giorno 1

2422.3661

2422.3662422.366

2422.36612422.366 siderale giorno 1 −=−=

−=

Il rapporto 2422.3661 rappresenta il ritardo del Sole medio in un giorno sidereo,

per cui se si esprime il giorno medio in secondi si ottiene la lunghezza del giorno siderale in tempo medio:

sm 55.91 3 91.2362422.366

86400 siderale giorno 1 === s (9.3)

per cui un giorno siderale, espresso in tempo medio, è :

24h - 3m 55.91s =23h 56m 4.1s

.


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Analogamente, dividendo la (9.1) per l’anno medio (365.2422) si trova la lunghezza dello stesso in giorno siderale:

siderali gioni 2422.366 medi gioni 2422365 =.

2422.3651 sidereo giorno 1

2422.3651

2422.3652422.365

2422.36512422.365 medio giorno 1 +=+=

+=

sm 55.91 3 56.236siderale giorno medio giorno 1 =+= s

sidereo in tempo 55.91 3 24 56.23642 medio giorno 1 smh=+= sh (9.4) Le relazioni permettono di trasformare l’intervallo medio in intervallo sidereo e viceversa; la colonna riportata nelle tavole di interpolazione utilizza la (9.4) per trasformare l’intervallo medio in intervallo siderale per il calcolo dell’angolo orario del punto vernale γ . 9.3.2 – Interpolazione dell’intervallo medio in intervallo siderale Essendo il giorno siderale più corto di un giorno medio, allora l’ora , il minuto ed il secondo siderale sono più corti dei rispettivi tempi medi corrispondenti all’ora,al minuto ed al secondo. Indicando con Is ed Im l’intervallo sidereo e quello medio il numero dei secondi contenuti nei due intervalli sarà maggiore per l’intervallo sidereo rispetto a quello medio. Essendo

siderale tempodi 56.56 3 sideree ore 24 medie ore 24 sm+= In un’ora si avrà una variazione oraria media:

s856.924

56.23624

56.563===Δ h

s

h

sm

s (9.5)

un intervallo siderale, corrispondente ad un intervallo medio, avrà un numero di secondi in più ed un intervallo medio avrà un numero di secondi in meno rispettivamente. La relazione che fornisce la trasformazione è: s

smsms III 856.9 , =Δ•Δ+= (9.6) Viceversa, richiamando la (9.4) si ha:

s83.924

91.23524

91.553===Δ h

s

h

sm

m (9.7)

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Si ottiene la trasformazione dell’intervallo siderale in intervallo medio: s

mmmsm III 83.9 , =Δ•Δ−= (9.8)

Le due conversioni sono facilitate usando le già citate tavole di interpolazione. 9.4 – Relazione fra giorno medio e giorno lunare Per poter definire una relazione che trasformi il tempo medio in tempo lunare occorre richiamare alcune definizioni che esprimono il moto della Luna rispetto al Sole. 9.4.1 – Periodo o mese sinodico Il numero di giorni durante i quali la Luna attraversa tutte le sue modificazioni di aspetto, tra due noviluni successivi si dice lunazione o rivoluzione sinodica o mese lunare; durante questo periodo la differenza in longitudine tra Sole e Luna, detta elongazione, varia da 0° a 360°, cosicché si può anche definire rivoluzione sinodica della Luna o lunazione o mese sinodico il periodo di tempo necessario affinché l’elongazione dal Sole varia di 360°. Questo fenomeno è anche associato a due congiunzioni eclittiche della Luna e del Sole (λ☺=λ☼); questo intervallo è pari a 29,53059 giorni medi pari 29g 12h 44m 2.8s Nella figura 9.3 è riportato un esempio di elongazione tra Sole e Luna; in particolare quando la luna si trova sullo stesso meridiano di eclittica i due corpi celesti si trovano in congiunzione (Luna nuova), quando invece differiscono in longitudine di 180°; i due astri si trovano in opposizione (Luna piena). E’ importante qui ricordare che la rivoluzione sinodica è più lunga di quella siderea di circa due giorni perché quando la Luna, compiuto il giro della sfera celeste, ovvero due passaggi consecutivi rispetto ad una stella fissa (rivoluzione siderea della Luna rispetto ad una stella pari a 27.32166 giorni medi), il Sole per il suo moto proprio sull’eclittica si è spostato sull’eclittica di circa 27°; cosicché, la Luna per trovarsi in congiunzione con il Sole deve percorrere ancora tra le stelle 27°. Per fare questo percorso in longitudine la Luna impiega più di 2 giorni medi (29.53050 = 27.32166 + 2.20893) dato che in questi due giorni il Sole si è spostato ulteriormente di 2°. Quanto premesso sui moti del Sole e della Luna permette ora di poter trovare una relazione che trasformi il giorno medio in giorno lunare e viceversa.


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Figura 9.3 – Rappresentazione del Sole e della Luna nei rispettivi piani orbitali – Esempio di elongazione (differenza in longitudine) tra Sole e

Luna

9.4.2 – Giorno lunare Si definisce giorno lunare l’intervallo di tempo tra due passaggi consecutivi della Luna allo stesso meridiano. E’ importante sottolineare che a causa del suo moto sull’orbita i giorni lunari hanno lunghezza variabile (II legge di Keplero); in media un giorno lunare è più lungo, a causa del moto retrogrado, di circa 50m rispetto al giorno solare medio; infatti, durante una rivoluzione sinodica, la Luna compie un giro in meno rispetto al Sole per cui i giorni di rivoluzione sinodica corrispondono 28.5306 giorni solari medi. Queste considerazioni permettono di scrivere la seguente condizione:

medi solari giorni 5306.29 medi lunari giorni 5306.28 = (9.9)

mh

m

50.524 50.5 solare giorno 1

28.53061 solare giorno 1 lunare giorno 1

=

+=

+=

(9.10)

La (9.10) stabilisce che due passaggi consecutivi della Luna allo stesso meridiano avviene ogni 24h50m circa. Questa lunghezza del giorno lunare fa sì che può verificarsi che la Luna in un dato giorno non passi al meridiano dell’osservatore. Quanto affermato è giustificato dal seguente esempio che

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considera un passaggio al meridiano della Luna prossimo alle 24h di un dato giorno:

26/10/2007 del 104300

24/10/2007 del 403384 305024 lunare giorno

24/10/2007 del 104323

smh

smh

smh

smh

((

((

((

=

=

+

=

ps

ps

ps

m

m

m

t

t

t

Dal calcolo riportato si può notare che la Luna, per il giorno 25/10/2007 non passa al meridiano considerato.

9.4.3 – Conversione dell’intervallo medio in intervallo lunare Le effemeridi forniscono, come già precedentemente detto, con passo tabulare orario, le coordinate locali orarie della Luna. Per determinare le stese coordinate tra due valori orari forniti dalle effemeridi, occorre trasformare l’intervallo medio orario espresso in minuti e secondi in intervallo lunare. A causa delle significative variazioni orarie dell’angolo orario, la trasformazione dell’intervallo medio in intervallo lunare richiede una procedura particolare. Le tavole di interpolazione trasformano l’intervallo medio in lunare fissando per 60m un valore dell’angolo orario lunare fisso pari 14°19.0’ che rappresenta un valore minimo. Il valore esatto dell’intervallo lunare si ottiene considerando la variazione orarie già precedentemente descritta. Le tabelle 9.2 e 9.3 riportano due esempi di interpolazione per ottenere l’intervallo lunare per differenti intervalli relativamente al giorno 13/11/1963 e 29/11/2007. Gli esempi evidenziano la necessità di tener conto del contributo della variazione oraria senza la quale si otterrebbero valori errati dell’angolo orario molto significativi per il calcolo dell’altezza effettiva della Luna.

Tabella 9.2 – Calcolo dell’intervallo lunare -13 novembre 1963

Tm Im ν(( I(( T(( 16h 00m 00s 15.9’ 089°46.1’ 16h

10m 23s

15.9’ 2°28.7’ pp = 2.8’ 2°31.5’

089°46.1’ 2°31.5’ 092°17.6’

16h 35m 41s

15.9’

8°30.9’ pp = 9.4’ 8°40.3’

089°46.1’ 8°40.3’ 098°26.4’

16h 60m 00s

15.9’

14°19.0’ pp = 15.9’ 14°34.9’

089°46.1’ 14°34.9’ 104°21.0’

17h 0m 00s 15.8’ 104°21.0’


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Tabella 9.3 – Calcolo dell’intervallo lunare -29 novembre 2007

Tm Im ν(( I(( T(( 00h 00m 00s 7.0’ 335°09.2’ 00h

28m 40s

7.0’ 6°50.4’ pp = 3.3’ 6°53.7’

335°09.2’ 6°53.7’ 342°02.9’

00h 42m 50s

7.0’

10°13.2’ pp = 5.0’ 10°18.2’

335°09.2’ 10°18.2’ 345°27.4’

00h 60m 00s

7.0’

14°19.0’ pp = 7.0’ 14°26.0’

335°09.2’ 14°26.0’ 349°35.2’

01h 00m 00s 7.0’ 349°35.2’ 9.4.4 – Conversione dell’intervallo medio in intervallo pianeta Le considerazioni effettuate sul moto della Luna ed la relativa conversione del tempo medio in tempo lunare valgono anche per il moto perturbato dei pianeti osservati in astronomia nautica. Occorre però ricordare che il moto dei pianeti è meno perturbato rispetto a quello della Luna. Infatti,il lettore può riscontrare che le variazioni orarie dei parametri (angolo orario e declinazione) riportati a piè pagina nelle effemeridi sono molto piccole. Per la conversione, allora, si utilizza la stessa di quella per il Sole e si riporta la parte proporzionale corrispondente all’intervallo medio. Vale, pertanto, la seguente relazione di conversione: I• = Im + ν•Im (9.11)

per ogni pianeta osservato. 9.5 – Calcolo del passaggio al meridiano dei corpi celesti La ricerca dell’ora media del passaggio di un astro al meridiano è un caso particolare della conversione dei tempi degli astri in tempo medio. Per evitare tali lunghi calcoli, le effemeridi nautiche, come già detto, riportano a pie pagina, il passaggio al meridiani per corpi celesti più frequentemente osservati o di interesse della nautica. I dati, ovviamente, sono riferiti al meridiano di riferimento di Greenwich. Per alcuni di essi, il tempo di Greenwich è anche valido per ogni meridiano locali mentre per quelli che hanno un significativo moto in ascensione retta occorre procedere a delle correzioni. Per esempio, per i pianeti il tempo riportato in ogni pagina delle effemeridi è valido per 3 giorni; per il Sole,le effemeridi riportano l’istante del passaggio per ogni giorno ed è valido per tutti i meridiani; per la Luna, invece, essendo sensibile il suo moto in ascensione retta durante la giornata considerata, occorre apportare una

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correzione per ogni meridiano per passare dall’ora di Greenwich a quella locale. Resta comunque sempre valido il metodo analitico considerando che al passaggio al meridiano superiore di un generico osservatore di coordinate note è possibile calcolare con accuratezza l’istante di tempo locale del corpo considerato. Nei due paragrafi successivi sono riportati le procedure che permettono di trovare i tempi medi locali dei passaggi al meridiano usando i valori orari delle coordinate locali al meridiano di Greenwich e le tavole di interpolazioni per trasformare gli intervalli veri in intervalli medi . 9.5.1 – Calcolo dell’ora locale del passaggio meridiano del punto vernale γ e del Sole Si consideri l’osservatore nel punto:

2007/09/29 ,'7.30147,'5.2040 EN °=°= λφ

E’ ben noto dal moto diurno dei corpi celesti che, quando un astro si trova sul meridiano il suo angolo orario è nullo (ta =0°=360°). Per calcolare l’ora locale del suo passaggio al meridiano, occorre prima riferire questo valore al meridiano di riferimento, dopo per mezzo delle effemeridi e nel giorno considerato occorre trovare il valore prossimo inferiore; operare la differenza ed interpolare quest’ultimo intervallo astro (Ia) in tempo medio (Im). Questo valore va sommato al tempo di Greenwich (Tm) corrispondente al valore letto. Infine apportare il valore della longitudine e successivamente assegnare la data del relativo passaggio. La tabella 9.4 riporta tutta la procedura da seguire per il calcolo dell’ora locale (tm ) del punto gamma e del Sole. Tabella 9.4 – Calcolo dell’ora locale del passaggio al meridiano di γ e del Sole per l’osservatore in λs= 147°30.7’E per il giorno 29/9/2007

Calcolo del passaggio di γ al meridiano Calcolo del passaggio del Sole al meridiano ts = 360°00.0 ’ -λs+=-147°30.7’E Ts = 212°29.3 ’ -Ts = 202°54.8 ’→ Is = 009°34.5’

Tm = 13h +Im = 00h 38m 12s Tm = 13h 38m12s

+λ+ = 09h 50m03sE tmpsγ= 23h 28m15s 29/09/07

tv = 360°00.0 ’ -λs+=-147°30.7’E Tv = 212°29.3 ’ -Tv = 212°21.6 ’ → Iv = 000°07.7’

Tm = 02h +Im = 00h 00m 31s Tm = 02h 00m 31s

+λ+ = 09h 50m03sE tmps☼= 11h 50m34s 29/09/07


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9.5.2 – Calcolo dell’ora locale del passaggio meridiano di Giove e della Luna 2007/09/28 ,'7.30147,'5.2040 WN °=°= λφ

Tabella 9.5 – Calcolo dell’ora locale del passaggio al meridiano di Giove e

della Luna Calcolo del passaggio al meridiano di Giove

Calcolo del passaggio al meridiano della Luna

t• = 000°00.0 ’ -λs-=+147°30.7’W T• = 147°30.7 ’ -T• = 143°59.4 ’→ I• = 003°31.3’

Tm = 02h +Im = 00h 14m 05s Tm = 02h 14m05s

+λ- =-09h 50m03sW tmps•= 16h 24m 02s 27/09/07

t(( = 000° 00.0 ’ -λs-=+147° 30.7’W T(( = 147° 30.7’ -T(( = 147° 23.9 ’ → I(( = 000°06.8’

Tm = 11h +Im = 00h 00m 28s Tm = 11h 00m 28s

+λ- =- 09h 50m03s W tmps((= 01h 10m25s 29/09/07

9.6 – Ricerca dell’ora media locale della Luna al meridiano superiore Per i corpi celesti dotati di modo proprio è pratico usare una procedura più immediata utilizzando i tempi dei passaggi al meridiano superiore riportati a pie pagina delle effemeridi nautiche. I dati ottenuti, anche se approssimati al minuto, sono sufficientemente validi per gli usi nautici. Per illustrare il metodo, consideriamo la Luna, dato che il satellite terrestre è quello che presenta un moto proprio accentuato. Supponiamo che per un dato giorno si ricavi dalle effemeridi

hmpsT 15

((=

Ciò significa che la Luna passa al meridiano di Greenwich alle 15h, tre ore dopo il Sole medio. Se la Luna avesse un moto in ascensione retta uguale a quello del Sole medio, in un luogo qualunque della terra di longitudine λ dovrebbe passare 3h dopo il passaggio del Sole medio, e cioè alle tmps(( = 15h. Occorre però ricordarsi che la Luna è dotata di un moto retrogrado rispetto al Sole di circa 12°

al giorno; la Luna si sposta verso est di circa mm

224

5.50≅ ogni ora; ciò significa

che per ogni ora la Luna accumula un ritardo nel passaggio di circa 2m. Al meridiano Wh1=λ , la Luna passerà all’ora locale mh

mpst 215((

+≅ ; al meridiano

Wh2=λ il passaggio avverrà al mhmpst 415

((+≅ . Per un osservatore

nell’emisfero Est, per esempio al meridiano Eh1=λ il passaggio avverrà mh

mpst 215((

−≅ ed al meridiano Eh2=λ il passaggio avverrà mhmpst 415

((−≅ .

La variazione media oraria di circa 2m, già detta, è talvolta differente dalla variazione reale perché, come ben sappiamo, il moto in ascensione retta della Luna è variabile. Comunque, oltre al metodo precedentemente illustrato, può

Mario Vultaggio

334

essere usato il ritardo giornaliero che si può calcolare direttamente dalle effemeridi operando la differenza tra due passaggi giornalieri consecutivi. Detto R, il ritardo giornaliero, si calcola il valore medio giornaliero:

mmRt 2

24(( ≅=Δ (9.12)

La (9.12) è la correzione da apportare all’ora di Greenwich ( Tmps(( ) per ogni ora di longitudine. L’ora locale del passaggio della Luna al meridiano superiore è data dalla seguente equazione:

hmmps

hm

mpsmps tTRTt λλ Δ−=−= (((((( 24 (9.13)

La (9.13) è una relazione algebrica assegnando alla longitudine il segno(+) se l’osservatore è nell’emisfero Est ed il segno (-) per l’emisfero Ovest. In questo modo è facile verificare che per osservatore nell’emisfero Ovest la Luna ritarda rispetto al passaggio al meridiano di Greenwich ed anticipa il suo passaggio per osservatore nell’emisfero Est. Nella tabella 9.6 sono riportati alcuni esempi di calcolo di tempo medio del passaggio della Luna al meridiano locale per due osservatori che si trovano nell’emisfero Est (λ=147°30.5’ E, λ=167°05.8’ E ) ed Ovest (λ=147°30.5’ W e λ=167°05.8’ W) rispetto al meridiano di Greenwich per il giorno 29/09/2007.

Tabella 9.6 – Calcolo dell’ora locale del passaggio al

meridiano di della Luna per il 29/9/2007

λ=147°30.5’ E λ=147°30.5’ W λ=167°05.8’ E λ=167°05.8’ W mR 3.2

24= mR 5.2

24= mR 3.2

24= mR 5.2

24=

λ=+10h λ=-10h λ=+12h λ=-12h Tmps(( = 01h 43m

mhR 23 - 24

=+− λ

tmps(( = 01h 20m 29/09/2007

Tmps(( = 01h 43m

mhR 25 24

+=−− λ

tmps(( = 02h 08m 29/09/2007

Tmps(( = 01h 43m

mhR 28 - 24

=+− λ

tmps(( = 01h 15m 29/09/2007

Tmps(( = 01h 43m

mhR 30 24

+=−− λ

tmps(( = 02h 13m 29/09/2007

Nella tabella successiva (tabella 9.7) è riportato un esempio di passaggio della Luna con data differente rispetto a quella del passaggio al meridiano di Greenwich.


335

Tabella 9.7 – Calcolo dell’ora locale del passaggio al meridiano della Luna per il giorno 30/7/2007

λ=151°30.5’ E λ=151°30.5’ W λ=177°05.8’ E λ=177°05.8’ W mR 3.2

24= mR 2.2

24= mR 3.2

24= mR 2.2

24=

λ=+10h λ=-10h λ=+12h λ=-12h Tmps(( = 00h 08m

mhR 23 - 24

=+− λ

tmps(( = 23h 35m 29/07/2007

Tmps(( = 00h 08m

mhR 22 24

+=−− λ

tmps(( = 00h 30m 30/07/2007

Tmps(( = 00h 08m

mhR 28 - 24

=+− λ

tmps(( = 23h 40m 29/07/2007

Tmps(( = 00h 08m

mhR 26 24

+=−− λ

tmps(( = 00h 34m 30/07/2007

9.7 – Calcolo dell’ora media locale dei pianeti al meridiano superiore Le effemeridi nautiche forniscono i tempi medi dei passaggi al meridiano superiore di Greenwich Tmps• . Il calcolo dell’ora media locale dei pianeti si calcola applicando lo stesso metodo di quello usato per la Luna. E’ importante però ricordare, come è stato più volte sottolineato, che i pianeti presentano un moto ritardato /avanzo (pianeti inferiori: Venere, Mercurio) ed un avanzo di quelli superiori (Marte, Giove e Saturno) piccolo rispetto a quello trovato per la Luna (≈ 50m). Per questo motivo le Effemeridi forniscono un Tmps• che si riferisce al giorno centrale della pagina. Le relazioni che forniscono il tempo medio locale del passaggio dei pianeti al meridiano superiore sono:

hm

mpsmpsRTt λ24

−= •• (9.14)

hm

mpsmpsATt λ24

+= •• (9.15)

Il ritardo e l’avanzo non sono forniti dalle effemeridi; essi si calcolano operando la differenza tra passaggi di due giorni successivi a Greenwich

Tabella 9.8 – Calcolo dell’ora locale del passaggio al

meridiano dei pianeti 29/9/2007 al meridiano λ=147°30.5’ E

Venere Marte Giove Saturno λ=147°30.5’ E λ=147°30.5’ E λ=147°30.5’ E λ=147°30.5’ E

mR 06.024

= mR 08.024

= mA 13.024

= mR 15.024

=

λ=+10h λ=+10h λ=+10h λ=+10h Tmps• = 09h 08m

mhR 0.6 - 24

=+− λ

tmps• = 09h 07.4m 29/09/2007

Tmps• = 05h 30m

mhR 0.8 - 24

=+− λ

tmps• = 05h 29.2m 29/09/2007

Tmps• = 16h 19m

mhA 1.3 24

+=++ λ

tmps• = 16h20.3m 29/09/2007

Tmps• = 09h 52m

mhR 1.5 - 24

=+− λ

tmps• = 09h 50.5m 29/09/2007

Mario Vultaggio

336

I tmps• dei pianeti calcolati e riportati nella tabella 9.8 possono essere confrontati con quelli analitici per lo stesso meridiano e la stessa data nella tabella seguente. Si calcola, ora, il tmps• dei pianeti Giove, Saturno e Marte per l’osservatore in coordinate:

2007/09/29 ,'7.30147,'5.2040 EN °=°= λφ

Tabella 9.9 – Calcolo dell’ora locale del passaggio al meridiano dei pianeti Calcolo del passaggio di Giove Calcolo del passaggio di Saturno Calcolo del passaggio di Marte t• = 000°00.0 ’ -λs+=-147°30.7’E T• = 212°29.3 ’ -T•= 204°57.8 ’→ I• = 007°31.5’

Tm = 06h +Im =00h 30m 06s Tm =06h 30m06s

+λ+=09h 50m03s tmps=16h20m 09s 29/09/07

t• = 000°00.0 ’ -λs+=-147°30.7’E T• = 212°29.3 ’ -T• =211°44.7 ’→ I• = 000°44.6’

Tm = 00h +Im =00h 02m 58s Tm=00h 02m58s

+λ+=09h50m03s tmps=09h52m01s 29/09/07

t• = 000°00.0 ’ -λs+=-147°30.7’E T• = 212°29.3 ’ -T•= 202°46.0 ’→ I• = 009°43.3’

Tm = 19h +Im = 00h 38m 53s Tm = 19h 38m53s

+λ+=09h 50m03s tmps= 05h 28m 56s 29/09/07

Nei calcoli riportati in tabella 9.9 non sono presi in considerazione le parti proprorzinali dovuti al moto prorio dei pianenti. Il confronto dei calcoli, prodotti nella tabella 9.9 con quelli ottenuti nella tabella 9.8, mostra che i due metodi sono perfettamente confrontabile con approssimazione del minuto di tempo medio, per cui nel calcolare il tempo medio locale del passaggio al meridiano superiore è consigliabile, per semplicità di calcolo usare la (9.13) per la Luna e le (9.14) o (9.15) per i pianeti.

9.8 – Calcolo dell’ora media locale del sorgere o tramonto di un astro Un astro si trova al sorgere o al tramonto quando il centro del corpo celeste osservato si trova sull’orizzonte astronomico; questo istante è facilmente calcolabile dato che in questo caso il triangolo sferico si trasforma in un triangolo sferico rettilatero. La relazione, comunemente usata, è la relazione fondamentale di Nepero. La figura 9.4 rappresenta la configurazione astronomica del sorgere di un generico astro. Se alla relazione fondamentale si pone h=0: Pcoscoscossinsinsinh δφδφ += (9.16) si ottiene la relazione che fornisce il valore dell’angolo al polo: δφ tantanˆcos −=P (9.17) Nel calcolo del sorgere dell’astro Aldebaran si è tenuto conto che la latitudine e la declinazione sono nello stesso emisfero (omonimi) per cui la (9.17) fornisce un angolo al polo nel secondo quadrante; viceversa nel calcolo del sorgere del


337

Sole, la declinazione e la latitudine sono di emisfero opposto (eteronomi) per cui l’angolo al polo è nel primo quadrante.

Figura 9.4 – Sfera celeste di un astro al suo sorgere.

Tabella 9.9 – Calcolo dell’ora locale e dell’ora fuso del sorgere della stella

Aldebaran e del Sole per il 29/09/2007

Calcolo del sorgere di Aldebaran 29/09/2007

Calcolo del sorgere del Sole 29/09/2007

Ea Pt

NN

ˆ360

24919.0 Pcos 8.25104P

0.29675 tan7.31160.83972 tan7.3040

E

−°=

−=°=

=°==°=

δδφφ

Ev Pt

SN

ˆ360

03475.0 Pcos- '5.0088P

0.04139 tan2.22020.83972 tan7.3040

E

−°=

+=°=

−=°==°=

δδφφ

ta= 255°34.2’ λf =-10h E -coα = 290°54.3’ -λs = 09h 50m 03s E ts= 324°39.9’ cf = 09m 57s -λs+=-147°30.5’ E Ts= 177°09.4’ Ts= 172°49.9 →Tm =11h Is= 004°19.5’ Im = 17m 18s Tm =11h 17m 18s +λs= 09h 50m 03s E tm =20h 07m 21s

+ cf = 09m 57s tf =20h 17m 18s

Az=68.2°

tv = 271°59.5’ -λs= 147°30.5’ E Tv= 124°29.0’ Tv= 122°25.4’→Tm =20h Iv= 002°03.6’ Im = 08m 14s Tm =20h 08m 14s +λs= 09h 50m 03s E tm =05h 58m 17s

+ cf = 09m 57s tf = 06h 08m 14s

Az=93.1°

Mario Vultaggio

338

Tabella 9.10 – Calcolo dell’ora locale del tramonto della stella Sirio e del Sole

per il 29/09/2007 Calcolo del tramonto di Sirio

29/09/2007 Calcolo del tramonto del Sole

29/09/2007

Wa Pt

SN

ˆ26669.0 Pcos- 6.0775P

0.30043 tan3.43160.85443 tan7.3040

W

=

+=°=

−=°==°=

δδφφ

Wv Pt

SN

ˆ03536.0 Pcos- '4.5887P

0.04139 tan2.22020.85443 tan7.3040

E

=

+=°=

−=°==°=

δδφφ

ta= 075°07.6 + 360° 00.0’ ta= 435°07.6 -coα = 258°37.6’ ts= 176°30.0’ -λs= 147°30.5’ E Ts= 028°59.5’ Ts= 017°23.9 →Tm = 13h Is= 011°35.6’ Im = 46m 15s Tm = 13h 46m 15s +λs+ = + 09h 50m 03s E tm = 23h 36m 18s cf= 09m 57s Az=247.7° tf= 23h 46m 15s

tv = 087°58.4’ + 360° 00.0’ tv = 447°58.4’ -λs= 147°30.5’ E Ts= 300°27.9’ Ts= 287°22.7’→Tm =07h Is= 013°05.2’ Im = 52m 22s Tm =07h 52m 22s +λs= 09h 50m 03s E tm =17h 42m 25s

cf= 09m 57s tf =17h 52m 22s Az=266.9°

Tabella 9.11 – Calcolo dell’ora locale del tramonto del pianeta Venere e della

Luna per il 30/09/2007

Calcolo del tramonto di Venere 30/09/2007

Calcolo del tramonto della Luna 30/09/2007

W

W

P

10480.0 Pcos - 59.1'83 P

18843.0 tan0.07100.58736n ta7.2530

=

=°=

−=°==°=

at

NS

δδφφ

W

W

P

21945.0 Pcos - '4.1977 P

37363.0 tan2.29200.58736n ta7.2530

=

=°=

−=°==°=

at

NS

δδφφ

t●= 083°59.1’ = 360°00.0’ t●= 443°59.1’ -λs= 147°30.5’ E T●= 296°28.6’ T●= 283°11.9 →Tm =04h I●= 013°16.7’ Im = 53m 07s Tm =04h 53m 07s +λs= 09h 50m 03s E tm =13h 43m 10s

Az=281.7°

t(( = 077°19.4’ + 360°00.0’ t(( = 437°19.4’ -λs= 147°30.5’ E T((= 285°48.9’ T((= 277°58.2’→Tm =21h I((= 008°50.7 Im = 37m 04s Tm =21h 37m 04s +λs= 09h 50m 03s E 29/9/07 tm =31h 27m 07s

- 24h 00m 00s

30/09/07 tm =07h 27m 07s

Az=293.9°

Nei calcoli riportati nella tabella 9.11, i valori della declinazione sono stati mediati per il giorno considerato. Per ottenere un valore più accurato occorrerebbe rifare il calcolo partendo dai valori locali calcolati dai quali poi trovare nelle effemeridi il valore esatto della declinazione sia per la Luna che per Venere.


339

9.9– Crepuscolo civile e crepuscolo nautico I crepuscoli sono fenomeni associati al moto apparente diurno del Sole nel passare dall’emisfero visibile a quello invisibile; nei crepuscoli la luce del Sole illumina gli alti strati dell’atmosfera , nota come luce crepuscolare, che con il passare del tempo si riduce fino ad annullarsi man mano che il Sole scende sotto l’orizzonte. Lo stesso fenomeno si verifica al sorgere del Sole che con il moto ascendente si passa dal buio completo all’illuminazione completa quando il Sole supera l’orizzonte. Il primo fenomeno è noto come crepuscolo serale, il secondo crepuscolo mattutino. Entrambi i fenomeni sono dovuti alla presenta dell’atmosfera. I crepuscoli si distinguono in civile, nautico ed astronomico; la distinzione dipende dalla luminosità disponibile funzione dall’altezza del Sole sotto l’orizzonte:i tre crepuscoli si distinguono per il valore dell’altezza del Sole: civile (0, -6°), nautico (-6°,-12°) e astronomico (-12°,-18°). Il crepuscolo civile serale ha inizio nell’istante in cui il Sole tramonta e termina all’istante in cui si trova ad una altezza di -6°; in questa fase cominciano ad essere visibile gli astri di prima grandezza. Il crepuscolo nautico ha inizia con il Sole ad una altezza di -6° e termina quando il Sole ha una altezza di – 12°; durante questo intervallo sono visibili gli astri più comunemente osservati in navigazione ed è anche visibile l’orizzonte marino

Figura 9.5 – Crepuscoli serali: civile, nautico ed astronomico

Le effemeridi forniscono l’istante del sorgere e tramonto del Sole e l’inizio del crepuscolo nautico; questi intervalli sono validi per i tre giorni e sono ovviamente funzioni della latitudine. Questi tempi riportati dalle effemeridi

Mario Vultaggio

340

possono essere facilmente calcolati dal lettore dato che basta calcolare l’angolo orario relativo agli istanti in cui il Sole passa negli almicanterat relativi alle altezza negative che definiscono i crepuscoli. 9.9.1 – Calcolo della fine del crepuscolo serale Nel tramonto del Sole, l’inizio del crepuscolo coincide con l’altezza del Sole nulla; la fine del crepuscolo coincide con l’altezza del Sole h=-6°. Nel primo caso il triangolo sferico è rettilatero e l’istante del tramonto è calcolabile con la relazione (9.17); la fine, invece, è risolvibile con una relazione che lega tutti i lati noti del triangolo sferico (h, φ, δ ) occorre applicare la relazione:

)sin()cos(

)sin(cos2

ˆtan

ϕ−−−

=SpShSSP (9.18)

di ben noto significato.

Tabella 9.12 – Calcolo della fine del crepuscolo serale (h=-6°) e inizio del

crepuscolo nautico per il 29/09/2007

Dati calcolati

0.93631h)-sen(S '8.29690.87522p)-cos(S '8.58220.38959)-sen(S '8.52220.44721cosS '7.2963

6'2.222'5.3740

=°=−=°−=−=°=−=°=

°−=°=°=

hSpS

SSh

SN

φφ

δφ

'1.5295 t 52.1'95P

47.934162

(rad) 10806.12

22777.1)sin()cos(

)sin(cos2

tan

vW °=°=

==

=−−

−=

PPSpShsSPφ

tv = 095° 52.1’ + 360° 00.0’ tv = 455° 52.1’ - λ+ = - 150° 00.0 E Tv = 305° 52.1’ Tv = 302° 22.9’ → Tm = 08h Iv = 003° 29.2’ Im = 13 57s Tm = 08h 13m 57s + λ + = +10h E tf = 18h 13m 57s Il calcolo dell’ora fuso non tiene conto del contributo derivante dalle pp.


341

Tabella 9.13 – Calcolo della fine del crepuscolo nautico (h=-12°) per il 29/09/2007

Dati Calcolati

0.95341h)-sen(S '4.26750.84870p)-cos(S '8.5531

0.34086)-sen(S '8.55190.49332cosS '4.2660

12'2.222'5.3740

=°=−=°−=−=°=−=°=

°−=°=°=

hSpS

SSh

SN

φφ

δφ

'3.43103 t .3'43103P

.89431512

ˆ (rad) 27509.1

2

ˆ

62585.1)sin()cos(

)sin(cos2

ˆtan

vW °=°=

==

=−−

−=

PP

SpShsSPφ

tv = 103° 43.3’ + 360° 00.0’ tv = 463° 43.3’ - λ+ = - 150° 00.0 E Tv = 313° 43.3’ Tv = 302° 22.9’ → Tm = 08h Iv = 011° 20.4’ Im = 45m 22s Tm = 08h 45m 55s + λ+ = +10h E tf = 18h 45m 55s Il calcolo dell’ora fuso non tiene conto del contributo derivante dalle pp.

Le effemeridi riportano i seguenti istanti per il tramonto del Sole ed inizio e fine crepuscolo nautico: Tramonto del Sole tf = 17h 50m 29/9/2007 Inizio crepuscolo nautico: tf= 18h 13m 29/9/2007 Fine crepuscolo nautico tf= 18h 45m 29/972007 Dalle tabelle 9.11, 9.13 e 9.14 si sono ottenuti i seguenti tempi: Tramonto del Sole tf = 17h 52m 25s 29/9/2007 Inizio crepuscolo nautico: tf= 18h 09m 55s 29/9/2007 Fine crepuscolo nautico tf= 18h 45m 55s 29/9/2007 9.9.2 – Calcolo dell’altezza e dell’ora locale del passaggio di un astro al primo verticale (Est/Ovest) E’ noto dal moto diurno della sfera celeste che non tutti gli astri passano al primo verticale. La condizione analitica che soddisfa questa condizione è: δφ > (9.19)

Mario Vultaggio

342

L’astro passa al primo verticale sopra l’orizzonte se la latitudine dell’osservatore e la declinazione dell’astro sono nello stesso emisfero ( omonimi o dello stesso nome); altrimenti il passaggio avviene sotto l’orizzonte. Queste condizioni analitiche si possono facilmente osservare dalla figura 9.6.

Figura 9.6 – Sfera celeste ed astro al passaggio del primo verticale orientale Il triangolo di posizione relativo all’istante del passaggio dell’astro al primo verticale è un triangolo rettangolo per cui sono sufficienti due elementi noti dello stesso per calcolare gli altri lati ed angoli. Le relazioni trigonometriche che forniscono l’angolo al polo e l’altezza dell’astro sono:

φδδφ echP cossinsin , tancotcos == (9.20)

nelle quali è supposto noto il nome dell’astro da osservare e la posizione dell’osservatore Z=Z(φ,λ).


343

Tabella 9.14 – Calcolo dell’altezza e del tempo medio locale del passaggio di un astro al primo verticale orientale.(29/9/2007)

Dati dell’astro Castor calcolati

13.4'246co , '3.5231'7.30147 , '5.3740

°=°=°=°=

αδλφ

NEN

0.72478 cosP '0.3343ˆ62176.0 tan'3.523116569.1cot '5.3740

=°=

=°==°=

EP

NN

δδφφ

0.81096h sen '4.115452802.0sin '3.523153585.1cosec '5.3740

=°==°==°=

hNN

δδφφ

ta = 316° 27.0’ - λ+ = - 147° 30.7’ E Ta = 168° 56.3’ + 360°00.0’ Ta = 528° 56.3’ -coα= 246° 13.4’ Ts = 282° 42.9’ Ts = 278° 07.2’ →Tm = 18h Is = 004° 35.7’ Im = 18m 20s Tm = 18h 18m 20s +λ+=+09h 50m 03s E tf = 04h 08m 23s

L’astro Castor, della costellazione Gemelli, passa al primo verticale orientale all’ora tf = 04h 08m 23s con una altezza di 54°11.4’ sopra l’orizzonte essendo declinazione e latitudine omonimi (v. figura 9.6).

Tabella 9.15 – Calcolo dell’altezza e del tempo medio locale del passaggio di

un astro al primo verticale occidentale.(29/9/2007)

Dati dell’astro Rigel calcolati

16.1'281co , S'3.1108'7.30147 , '5.3740

°=°=°=°=

αδλφ EN

0.16399 cosP '3.2699ˆ14068.0 tan'3.1108

16569.1cot '5.3740

−=°=

−=°==°=

WP

SN

δδφφ

21395.0h sen '2.211213931.0 sin '3.110853585.1 cosec '5.3740

−=°−=−=°==°=

hSN

δδφφ

ta = 099° 26.3’ + 360°00.0’ ta = 459° 26.3’ - λ+ = - 147° 30.7’ E Ta = 311° 55.6’ -coα= 246° 13.4’ Ts = 065° 42.2’ Ts = 052° 30.0’ →Tm = 03h Iv = 013° 12.2’ Im = 52m 40s Tm = 03h 52m 40s +λs=+ 09h 50m 03sE tf = 13h 42m 43s

L’astro Rigel, della costellazione Orione, passa al primo verticale occidentale all’ora locale tf = 13h 42m 43s con una altezza di -12°21.2’ (sotto l’orizzonte) essendo declinazione e latitudine eteronomi.

Mario Vultaggio

344

9.9.3 – Calcolo dell’altezza e dell’ora locale del passaggio di un astro alla massima digressione Un astro passa alla massima digressione quando la declinazione è maggiore della latitudine. La condizione analitica che soddisfa questa condizione è: δφ < (9.21) L’astro passa alla massima digressione sopra l’orizzonte se la latitudine dell’osservatore e la declinazione dell’astro sono nello stesso emisfero ( omonimi o dello stesso nome); altrimenti il passaggio avviene sotto l’orizzonte. Queste condizioni analitiche si possono facilmente osservare dalla figura 9.7.

Figura 9.7 – Sfera celeste ed astro al passaggio alla missina digressione

orientale

Il triangolo di posizione relativo all’istante del passaggio dell’astro alla massima digressione è un triangolo rettangolo nell’angolo parallattico per cui sono sufficienti due elementi noti dello stesso per calcolare gli altri lati ed angoli. Le relazioni trigonometriche che forniscono l’angolo al polo e l’altezza dell’astro sono:

φδφδ

δφ

seccossin sincossin

cottancos

===

Zech

P (9.22)


345

nelle quali è supposto noto il nome dell’astro da osservare e la posizione dell’osservatore Z=Z(φ,λ).

Tabella 9.16 – Calcolo dell’altezza,dell’azimut e del tempo medio locale del

passaggio alla massima digressione orientale (29/9/2007).

Dati dell’astro Alkaid calcolati

'5.02153co , '6.1649'7.30147 , '5.1537

°=°=°=°=

αδλφ

NEN

0.65480 cosP '7.0549ˆ86084.0cot '6.164976065.0 tan'5.1537

=°=

=°==°=

EP

NN

δδφφ

0.79883h sin '1.015331949.1cosec '6.164960541.0sin '4.1537

=°==°==°=

hNN

δδφφ

0.81970 sin Z '3.0355ˆ65241.0cos '6.164925642.1sec '4.1537

=°=

=°==°=

ENZ

NN

δδφφ

ta = 310° 54.3’ - λ+ = -147° 30.7’ E Ta = 163° 23.6’ -coα =153° 02.5’ Ts = 010° 21.1’ Ts = 007° 22.9’→Tm = 00h Iv = 002° 58.2’ Im = 11m 51s Tm = 00h 11m 51s +λs+=+09h 50m 03sE tm = 10h 01m 54s Il calcolo dell’ora locale non tiene conto del contributo derivante dalle pp.

L’astro Alkaid, della costellazione dell’Orsa maggiore, passa alla massima digressione orientale all’ora locale tm = 10h 01m 54s ,una altezza di 53°01.1’ sopra l’orizzonte ed un azimut di 55°03.3’.

Figura 9.8 – Sfera celeste e passaggio di Alkaid alla massima digressione

orientale (osservatore nell’emisfero nord)

Mario Vultaggio

346

Tabella 9.17 – Calcolo dell’altezza, dell’azimut e del tempo medio locale del passaggio alla massima digressione occidentale (29/9/2007).

Dati dell’astro Acrux calcolati

'4.15173co , '5.0863'7.30147 , '5.1537

°=°=°=°=

αδλφ

SWS

38520.0 cosP '6.2067ˆ50641.0cot '5.086376065.0 tan'5.1537

=°=

=°==°=

WP

SS

δδφφ

0.67861h sin '1.444212092.1cosec '6.164960541.0sin '4.1537

=°==°==°=

hNN

δδφφ

0.56763 sin Z '1.3534ˆ45179.0cos '6.164925642.1sec '4.1537

=°=

=°==°=

WSZ

NN

δδφφ

ta = 067° 20.7’ - λ- = +147° 30.7’ W Ta = 214° 51.4’ -coα= 173° 15.4’ Ts = 041° 36.0’ Ts = 037° 27.7’→Tm = 02h Iv = 004° 09.3’ Im = 16m 35s Tm = 02h 15m 35s +λs-=-09h 50m 03sW tm = 17h 25m 32s Az=214° 35.1’

L’astro Acrux , della costellazione Croce del Sud, passa alla massima digressione occidentale all’ora locale tm = 17h 25m 32s con una altezza di 42°44.1’ ed un azimut di 214°35.1’.

Figura 9.9 – Sfera celeste e passaggio di Acrux alla massima digressione

occidentale (osservatore nell’emisfero Sud)


347

9.10 - Riconoscimento di un astro Durante i crepuscoli si può verificare una parziale copertura del cielo che impedisce la normale procedura di osservazioni di astri per il calcolo del fix astronomico. Durante questa fase, però, può verificarsi l’osservazione di un astro non ben identificato dato che non è visibile, per la copertura del cielo da parte delle nuvole, la costellazione di appartenenza dell’astro osservato. Definiamo allora la procedura per individuare il nome dell’astro osservato per poi procedere al calcolo dei parametri della retta di altezza. Il riconoscimento può essere effettuato applicando la trasformazione di coordinate da altoazimutali a locali orarie avendo l’accortezza nel momento di osservare l’astro di prendere l’istante di osservazione al cronometro e misurare l’azimut dell’astro osservato. Note le coordinate dell’osservatore, l’altezza osservata si ricavano le coordinate locali orarie (δ, ta) e dall’istante dell’osservazione il tempo siderale locale; dalla differenza ( )sa tt − si ricava la coascensione retta acoα . Note le coordinate uranografiche equatoriali, così calcolate si passa all’individuazione del nome dell’astro incognite attraverso le effemeridi. Le relazioni trigonometriche che forniscono la soluzione richiesta sono: Zsen ˆcoscoshcossinhsin φφδ += (9.23) di ben noto significato; l’angolo orario, legato all’angolo al polo, si ricava applicando la formula di Vieta al triangolo sferico: PZZccz ˆcotˆsinˆcoscossincot += (9.24) Dalla quale, dopo semplici passaggi si ottiene la relazione finale:

Z

ZP ˆcossincostanh

ˆsinˆtanφφ −

= (9.25)

Ricordando che per astro nell’emisfero est (Az <180°), l’angolo orario è

Ea Pt ˆ360 −°= mentre per astro nell’emisfero ovest Wa Pt ˆ= . La figura 9.10 illustra l’esempio di una osservazione di un astro incognito il cui calcolo e riportato nella tabella 9.18

Mario Vultaggio

348

Figura 9.10 – Sfera celeste di un osservatore nell’emisfero meridionale con

osservazione di un astro incognito (v. esempio riportato in tabella 9.18) Tabella 9.18 – Calcolo di un astro incognito.

Al crepuscolo serale del 29 settembre 2007 si osservano le seguenti coordinate altoazimutali: smh

ci Th 20152 0K , 215A , '0.5042 z ==°=°=

Sono noti: '5.2,20,'7.30147,'5.1537 ==°=°= cmeWS γλφ Determinare il nome dell’astro osservato.

Dati dell’astro incognito calcolati

WS35Z , 215

'7.30147 , '5.1537

°=°=

°=°=

zA

WS λφ

calcolo della declinazione :

0.88969sin ,'0.506281915.0 cosZ 35ˆ73400.0cos,50641.0sinh , '6.434279600.0cos,60529.0sin,'5.1537

=°==°=

==°===°=

δδ

φφφ

SWSZ

hS

Calcolo dell’algolo orario:

'8'.2067t0.39538 tanP ,8.2067ˆ

41736.0sin,81915.0 cosZ , 35ˆ92364.0 tanh, '6.4342

79600.0cos,60529.0sin,'5.1537

a °==°=

==°=

=°===°=

WP

ZWSZ

hS φφφ

hi = 42° 50.0’ tm=17h30m 29/9 +γc = 2.5’ -λ - = 9h 50m W ho = 42° 52.5’ Tm=03h20m 30/9 C1 = 12.1’

C2 = 39.0’ ho = 42°43.6’ Tc=02h15m 20s 30/09/07 K = 0 Tm=02h15m 20s 30/09/07 Tm=02h Ts = 38° 26’.9’ Im= 15m 20s Is = 03° 50.6’ Ts = 42° 17.5’ + 360° 00.0’ Ts = 402° 17.5’ + λ- =-147° 30.7’ W ts = 254° 46.8’ ta = 067° 20.8’ + 360° 00.0’ ta = 427° 20.8’ -ts = 254° 46.8’ coα= 172° 34.0’

Coordinate uranografiche equatoriali: δ =62°50.0’ S, coα=172°34.0’

Nome del’astro: ACRUX (δ =63°08.5’ S, coα=173°15.4’)


349

Tabella 9.19 – Calcolo di un astro incognito

Al crepuscolo mattutino del 29 settembre 2007 si osservano le seguenti coordinate altoazimutali:

smhci Th 20303 0K , 358A , '0.2529 z ==°=°=

Sono noti: '5.2,20,'7.30147,'5.1537 ==°=°= cmeWS γλφ Determinare il nome dell’astro osservato.

Dati dell’astro incognito calcolati

W'178Z , 358

'7.30147 , '5.1537

°=°=

°=°=

SA

WS

z

λφ

Calcolo della declinazione :

40896.0sin ,'9.252399939.0 cosZ 178ˆ

87214.0cos,48926.0sinh , '9.172979600.0cos,60529.0sin,'5.1537

−=°=−=°=

==°===°=

δδ

φφφ

NWSZ

hS

Calcolo dell’angolo orario:

'9.541t03492.0 tanP ,1.541ˆ

03490.0sin,99939.0 cosZ , 178ˆ56098.0 tanh, '9.1729

79600.0cos,60529.0sin,'5.1537

a °=−=°=

=−=°=

=°===°=

WP

ZWSZ

hS φφφ

hi = 29° 25.0’ tm=05h30m 29/9 +γc = 2.5’ -λ - = 9h 50m W ho = 29° 27.5’ Tm=15h20m 29/9 C1 = 12.1’

C2 = 38.3’ hv = 29°17.9’ Tc=03h 30m 20s 29/09/07 K = 0 Tm=15h30m 20s 29/09/07 Tm=15h Ts = 232° 59.8’ Im= 30m 20s Is = 07° 36.2’ Ts = 240° 36.0’ + λ- =-147° 30.7’ W ts = 093° 05.3’ ta = 361° 54.1’ -ts = 093° 05.3’ coα= 268° 53.8’

Coordinate uranografiche equatoriali: δ =23°25.9’N, coα=268°53.8’ NB: il segno meno della funzione che fornisce la declinazione stabilisce che l’astro è nell’emisfero(N) opposto a quello dell’osservatore (S).

Non esiste alcun astro con coordinate prossime a quelle calcolate. Avendo osservato l’astro prossimo al meridiano, si trova dalle effemeridi per i passaggi al meridiano dei pianeti che il pianeta Marte ha le seguenti coordinate equatoriali: δ =23°20’N, coα=269°59.9’ L’astro incognito è Marte

Mario Vultaggio

350

Occorre però osservare che non sempre è necessario calcolare la declinazione dell’astro incognito perché, quasi sempre, è suffciente calcolare solo la coascensione retta; solo nei casi in cui si trovano sulle effemeridi due o più valori di coascensione prossimi al valore calcolato occorre procedere, per eliminare l’ambiguità, al calcolo della declinazione. Può capitare, comunque, che nessun astro corrisponde alle coordinate equatoriali calcolate; in questo caso, occorre valutare la possibilità che l’astro osservato sia un pianeta (Marte, Giove, Saturno) escludendo a priore il pianeta Venere sempre visibile al crepuscolo mattutino o serale in prossimità del Sole che al momento dell’osservazione si trova sotto l’orizzonte. 9.11 – Determinazione del punto(fix) astronomico Nella letteratura anglosassone il termine fix sta per calcolo della posizione della nave. Per determinare il fix astronomico occorrono almeno due osservazioni astronomiche. Il fix astronomico può essere ottenuto con i due seguenti metodi:

• analitico; • grafico.

Il metodo analitico richiede l’uso dell’equazione della retta di altezza ricavata dalla linearizzazione dell’e quazione della circonferenza di altezza; la soluzione è data dalla soluzione del sistema costituito da due equazioni associate alle due osservazioni. Quando si effettuano più di due osservazioni, la soluzione va cercata nella tecnica dei minimi quadrati. Ricordando l’espressione (8.15) della retta di altezza di equazione: zz AAh sincoscos φδλδφ +=Δ (9.26)

La posizione della nave può essere calcolata per mezzo di due rette di equazioni:

22

sincoscossincoscos

2

111

zz

zz

AAhAAh

φδλδφφδλδφ

+=Δ

+=Δ (9.27)

essere scritta in forma vettoriale :

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ΔΔ

δλδφ

22

11

2

2

sincossincos

AzAzAzAz

hh

(9.28)

La soluzione ai minimi quadrati fornisce la seguente soluzione vettoriale


351

( ) hHHHx TT Δ=Δ

−1 (9.29)

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

Δ

Δ

Δ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=Δ

−

n

in

ni

nn

iin

ni

h

h

h

bbbaaa

ba

ba

ba

bbbaaa

x...

...

,..,,..,,..,,..,

......

,..,,..,,..,,..,

cos

1

1

1

111

1

1

φδλδφ

( )( ) ( )( )( ) ( )

( )( ) ( )1212 2222

2222

×→×××⇒××

×⇒××

nnnn

nn (9.30)

Con n numero delle misure H(n,2) la matrice misura, Δh(n,1) il vettore colonna associato alle misure e Δx(2,1) il vettore posizione; i coefficienti della matrice sono dati dai coseni direttori degli azimut degli astri osservati, la matrice colonna le differenza tra misura osservata e calcolata degli n astri osservati. Il fix finale è dato:

δλλλδφφφ

+=+=

so

so

Il metodo grafico permette di determinare la posizione dell’osservatore tracciando le rette di altezza sul piano di Mercatore oppure sul piano nautico. Con due rette di altezza il fix è dato dall’intersezione delle due rette; nel caso di più rette (tre o quattro rette) la soluzione va cercata di norma con il tracciamento delle bisettrici di altezza che eliminano gli errori sistematici di cui sono affette le misure osservate. Nel metodo grafico, comunque occorre tener presente delle regole ricavate nella teoria dell’incertezza della bisettrice di altezza dovuta alla presenza degli errori accidentali. Altro aspetto che occorre considerare nel tracciare le rette di altezza e che le osservazioni, non essendo simultanee, occorre procedere al trasporto che può essere effettuato graficamente oppure analiticamente. E’, inoltre, importante ricordare che la statistica permette di determinare, dal grafico, sia l’errore sistematico che quello accidentale di cui sono affette le misure.

Mario Vultaggio

352

A-1) Una nave in navigazione nel Oceano Pacifico settentrionale, al crepuscolo serale del 13 Dicembre 2006, si osservano i seguenti astri:

Astro Tempo (UTC) Altezza Hamal 06h 29m 10s 48°31.3’ Markab 06h 32m 20s 64°26.8’

Vega 06h 33m 04s 39°01.3’ Kockab 06h 35m 41s 30°47.3’

Sono noti: e=10m, γc= -2.0, K=1m 10s, punto stimato all’istante dell’ultima osservazione:

φ=40°50.2’ N, λ=167°15.2’E, v=15 nodi, Rv=150°

Determinare la posizione astronomica all’istante dell’ultima osservazione.

Risoluzione

eliminazione dell’ambiguità del cronometro. tm = 17h 30 m 13/12/2006 -λf+ = - 11 h E Tm app= 06 h 30m 13/12/2006

Calcolo di DH e Azimut degli astri osservati:

HAMAL MARKAB Tc = 06h 29m 10m K = 1m 10s Tm = 06h 30m 20 s 13/12/2006

Tc = 06h 32m 20s K = 1m 10s Tc = 06h 33m 30s 13/12/2006

Dati Calcolati Dati Calcolati Tm = 06h Im =30m 20s hi = 48°31.3’ +γc =- 2.0’ ho = 48°29.3’ C1 = 14.4’ C2 = 39.1’ hv = 48°22.8’ hs = 48°19.9’ Δh = + 2.9’

Ts= 171° 33.0’ Is= 7° 36.2’ Ts=179° 09.2’ +Coα=328° 05.3’ Ta=507° 14.5’

-360° 00.0’ Ta=147° 14.5’ + λs+ = 167° 15.2’ E ta= 314° 29.7’ δ = 23° 30.0’ N φ = 40° 50.2’ N hs = 48°19.9’ Az = 100.3° Δh = +2.9’

Tm = 06h Im =33m 30s hi = 64°26.8’ +γc =- 2.0’ ho = 64°24.8’ C1 = 14.4’ C2 = 39.5’ hv = 64° 18.7 hs = 64° 21.2’ Δh = - 2,5

Ts= 171° 33.0’ Is = 8° 23.9’ Ts= 180° 06.9’ +Coα= 013° 42.6’ Ta= 193° 49.5’ + λs+=+167° 15.2’ E ta = 362° 04.7’ -360° 00.0’ ta= 002° 04.7 δ = 15° 15.0’ N φ = 40° 50.2’ N hs = 64° 21.2’ Az = 184.6° Δh = - 2.5’


353

VEGA KOCKAB Tc = 06h 33m 34s K = 1m 10s Tm= 06h 34m 44s 13/12/2006

Tc = 06h 35m 41s K = 1m 10s Tm=06h 36m 51s 13/12/2006

Dati Calcolati Dati Calcolati Tm= 06h Im=34m 44s hi = 39° 01.3’ +γc =- 2.0’ ho = 38° 59.3’ C1 = 14.4’ C2 = 38.9’ hv = 38°52.6’ hs = 38°56.5’ Δh = - 4.9

Ts= 171° 33.0’ Is= 8° 42.4’ Ts= 180° 15.4’ +Coα= 80° 42.2’ Ta= 260° 57.6’ + λs+= +167° 15.2’ E ta= 428° 12.8’ - 360° 00.0’ ta= 068° 12.8’ δ = 38° 47.5’ N φ = 40° 50.2’ N hs = 38° 56.5’ Az = 291.5° Δh = -4.9

Tm= 06h Im = 36m 51s hi = 30°47.3’ +γc =- 2.0’ ho = 30° 45.3’ C1 = 14.4’ C2 = 38.4’ hv = 30°38.1’ hs = 30°34.2’ Δh = 3,9

Ts= 171° 33.0’ Is= 9° 14.3’ Ts= 180° 57.3’ +Coα= 137° 20.3’ Ta= 318° 17.6’ + λs+ =+167°15.2’ E ta= 485°32.8’ - 360° 00.0’ ta= 125°32.8’ δ = 74° 07.1’ N φ = 40° 50.2’ N hs = 30° 34.2’ Az = 345.0° Δh = 3,9’

Risoluzione con trasporto grafico

Punto astronomico calcolato: φs = 40°50.2’ N λs = 167°15.2’ W Δφ = 1.8’ N Δλ = 4.0’ E φo = 40° 52.0’ N λo =167° 11.2’ W

Mario Vultaggio

354

A-2) Una nave in navigazione nel Oceano Pacifico settentrionale, al crepuscolo serale del 12 Dicembre 2007, si osservano i seguenti astri:

Astro Tempo (UTC) Altezza Hamal 04h 30m 10s 45° 12.3’ Markab 04h 32m 20s 55° 15.3’

Vega 04h 33m 04s 42° 19.6’ Kockab 04h 35m 41s 31° 34.5’

Sono noti: e=10m, γc=2.0, K=1m 10s, punto stimato all’istante dell’ultima osservazione:

φ=49°50.2’ N, λ=167°15.2’W, v=15 nodi, Rv=150°


Risoluzione

eliminazione dell’ambiguità del cronometro. tm = 17h 30m 12/12/2007 - λf- = + 11h W Tm app = 28h 30m 12/12/2007

- 24h 00m Tm app = 04h 30m 13/12/2007

- Calcolo di Δh e Azimut degli astri osservati:

HAMAL MARKAB

Tc = 04h 30m 10m K = 1m 10s Tm = 04h 31m 20 s 13/12/2007

Tc = 04h 32m 20s K = 1m 10s Tc = 04h 33m 30s 13/12/2007

Dati Calcolati Dati Calcolati Tm = 04h Im =31m 20s hi = 45°12.3’ +γc = 2.0’ ho = 45°14.3’ C1 = 14.4’ C2 = 39.1’ hv = 45°07.8’ hs = 45°05.4’ Δh = + 2.4’

Ts= 141° 28.1’ Is= 7° 51.3’ Ts=149° 19.4’ +Coα=328° 05.3’ Ta=477° 24.7’ + λs- =167° 15.2’ W ta= 310° 09 .5 δ = 23° 30.2’ N φ = 40° 50.2’ N hs = 45° 05.4’ Az = 96.9° Δh = +2.4’

Tm = 04h Im =33m 30s hi = 55°15.3’ +γc = 2.0’ ho = 55°14.3’ C1 = 14.4’ C2 = 39.5’ hv = 55°11.2 hs = 55° 12.9’ Δh = - 1.7

Ts= 141° 28.1’ Is = 8° 23.9’ Ts= 149° 52.0’ +Coα= 013°42.6’ Ta= 163° 34.6’ + 360° 00.0’ Ta= 523° 34.6’ + λs- =- 167° 15.2’ W ta = 356° 19.4 δ = 15° 15.0’ N φ = 40° 50.2’ N hs = 64° 12.97’ Az = 171.8° Δh = - 1.7’


355


Tc = 04h 35m 41s K = 1m 10s Tm=04h 36m 51s 13/12/2006

Dati Calcolati Dati Calcolati Tm= 04h Im=34m 44s hi = 42°19.6’ +γc = 2.0’ ho = 42°21.2’ C1 = 14.4’ C2 = 38.9’ hv = 42°14.5’ hs = 41°11.6’ Δh = 2.9

Ts= 141° 28.1’ Is= 8° 42.4’ Ts= 150° 10.5’ +Coα= 80° 42.2’ Ta= 230° 52.7’ + λs-=-167° 15.2’ W ta= 063° 37.5 δ = 38° 47.5’ N φ = 40° 50.2’ N hs = 42° 11.6’ Az = 289.5° Δh = 2.9’

Tm= 04h Im = 36m 51s hi = 31°34.5’ +γc = 2.0’ ho = 31°36.5’ C1 = 14.4’ C2 = 38.4’ hv = 31°29.3’ hs = 31°31.9’ Δh = - 2.6’

Ts= 141° 28.1’ Is= 9° 14.3’ Ts= 150° 42.4’ +Coα= 137° 20.3’ Ta= 288° 02.7’ + λs-= - 167°15.2’ W ta= 120° 47.5’ δ = 74° 07.1’ N φ = 40° 50.2’ N hs = 31° 31.9’ Az = 344.0° Δh = - 2.6’


Punto astronomico calcolato: φs = 49°50.2’ N λs = 177°15.2’ W Δφ = 0.4’ N Δλ = 0.2’ W φo = 49° 50.6’ N λo =177°15.4’ W

Mario Vultaggio

356

A-3) Una nave in navigazione nel Oceano Pacifico settentrionale, al crepuscolo serale del 13 Gennaio 2007, si osservano i seguenti astri:

Astro Tempo (UTC) Altezza Hamal 05h 30m 10s 61°50.5’ Diphda 05h 32m 20s 21°56.3’ Vega 05h 33m 04s 22°57.7’

Kockab 05h 35m 41s 34 ° 58.1’ Sono noti: e=10m, γc=2.0, K=1m 10s, punto stimato all’istante dell’ultima osservazione:

φ=49°50.2’ N, λ=177°15.2’W, v=15 nodi, Rv=150°


Risoluzione

eliminazione dell’ambiguità del cronometro. tm = 17h 20m 13/1/2007 - λf- = + 12h W Tm = 29h 20m 13/1/2007 Tm app = 05h 20m 14/1/2007


HAMAL DIPHDA Tc = 05h 30m 10s K = + 1m 10s Tm = 05h 31m 20 s 14/1/2007

Tc = 05h 32m 20s K = + 1m 10s Tc = 05h 33m 30s 14/1/2007

Dati Calcolati Dati Calcolati Tm = 05h Im =31m 20s hi = 61°50.5’ +γc = 2.0’ ho = 61°52.5’ C1 = 14.4’ C2 = 38.9’ hv = 61°45.8’ hs = 61°46.5’ Δh = - 0.7’

Ts= 188° 17.3’ Is= 7° 51.3’ Ts=196° 08.6’ +Coα= 328° 06.3’ Ta=524° 14.9 + λs- =177° 15.2’ W ta= 346° 59.7 δ = 23° 29.9’ N φ = 49° 50.2’ N hs = 61°46.5’ Az = 154.1° Δh = - 0.7’

Tm = 05h Im =33m 30s hi = 21°56.3’ +γc = 2.0’ ho = 21° 58.3’ C1 = 14.4’ C2 = 38.1’ hv = 21°50.8 hs = 21°48.1’ Δh = 2.7

Ts =188° 17.3’ Is = 8° 23.9’ Ts= 196°41.2’ +Coα= 349°00.8’ Ta= 545°42.0’ + λs- =- 177°15.2’ W ta = 368° 26.8’ -360° ta = 008° 26.8’ δ = 17° 57.0’ S φ = 49° 50.2’ N hs = 21°48.1’ Az = 211.1° Δh = +2.7


357


Tc = 05h 35m 41s K = 1m 10s Tm=05h 36m 51s 14/12/2006

Dati Calcolati Dati Calcolati Tm= 05h Im= 34m 44s hi = 22°57.7’ +γc = 2.0’ ho = 22°59.7’ C1 = 14.4’ C2 = 38.1’ hv = 22°52.2’ hs = 22°48.0’ Δh = 4.2

Ts= 188° 17.3’ Is= 8° 42.4’ Ts= 196° 59.7’ +Coα= 80° 42.7’ Ta= 277° 42.4’ + λs-=-177° 15.2’ W ta= 100° 27 .2 δ = 38° 47.2’ N φ = 49° 50.2’ N hs = 22° 48.0’ Az = 303.7° Δh = 4.2’

Tm= 05h Im = 36m 51s hi = 34°58.1 +γc = 2.0’ ho = 35°00.1’ C1 = 14.4’ C2 = 38.0’ hv = 34°52.5’ hs = 34°54.5’ Δh = - 2.0’

Ts= 188° 17.3’ Is= 9° 05.2’ Ts= 197° 12.5’ +Coα= 137° 19.7’ Ta= 334° 32.2’ + λs-=-177° 15.2’ W ta= 157° 17.0’ δ = 74° 07.2’ N φ = 49° 50.2’ N hs = 34 ° 54.5’ Az = 352.6° Δh = -2.0


Punto astronomico calcolato: φs = 49° 50.2’ N λs = 177°15.2’ W Δφ = 1.3’ S Δλ = 4.4’ W φo = 49° 48.9’ N λo =177°19.6’ W

Mario Vultaggio

358

A- 4) Al crepuscolo serale del 10 Dicembre 2007 nel Pacifico settentrionale,si osservano i seguenti astri:


Vega 06h 33m 04s 41° 06.9’ Kockab 06h 35m 41s 30° 27.8’

Sono noti e=10m, γc=2.0, K=-1m 10s, punto stimato all’istante dell’ultima osservazione:

φ=39°50.2’ N, λ=167°15.2’E, v=15 nodi, Rv=240°


Risoluzione

eliminazione dell’ambiguità del cronometro. tm = 17h 30 m 10/12/2007 - λf + = - 11h E Tm app = 06h 30 m 10/12/2007

Calcolo di Δh e Azimut degli astri osservati:

HAMAL MARKAB Tc = 06h 30m 10m K = - 1m 10s Tm = 06h 29m 00 s 10/12/2007

Tc = 06h 32m 10m K = - 1m 10s Tm = 06h 31m 00 s 10/12/2007

Dati Calcolati Dati Calcolati Tm = 06h Im = 29m 00s hi = 46°07.3’ +γc = 2.0’ ho = 46°09.3’ C1 = 14.4’ C2 = 39.1’ hv = 46°02.8’ hs = 46°00.0’ Δh = + 2.8

Ts= 168° 35.6’ Is= 7° 16.2’ Ts= 175° 51.8’ +Coα= 328° 05.3’ Ta= 503 57.1’ + λs+=167° 15.2’ E ta= 671° 12 .3’ - 360° 00.0’ ta= 311° 12.3’ δ = 23° 30.2’ N φ = 39° 50.2’ N hs = 46° 00.0’ Az = 96.7 Δh = + 2.3’

Tm = 06h Im = 31m 00s hi = 65°23.2’ +γc = 2.0’ ho = 65°25.3’ C1 = 14.4’ C2 = 39.5’ hv = 65°19.2 hs = 65°18.2’ Δh = + 0.9’

Ts= 168° 35.6’ Is = 7° 46.3’ Ts= 176° 21.9’ +Coα= 13° 42.6’ Ta= 190° 04.5’ + λs+ = 167° 15.2’ W ta = 357° 19.7’ δ = 15° 15.0’ N φ = 39° 50.2’ N hs = 65° 18.2’ Az = 173.8 Δh = +0.9


359

VEGA KOCKAB

Tc = 06h 33m 04m K = - 1m 10s Tm = 06h 32m 54 s 10/12/2007

Tc = 06h 35m 41m K = - 1m 10s Tm = 06h 34m 31 s 10/12/2007

Dati Calcolati Dati Calcolati Tm = 06h Im = 32m 54s hi = 41° 06.9’ +γc = 2.0’ ho = 41° 08.9’ C1 = 14.4’ C2 = 39.1’ hv = 41°02.4’ hs = 41°00.5’ Δh = + 1.9’

Ts= 168° 35.6’ Is= 8° 14.9’ Ts= 176° 50.5’ +Coα= 80° 42.2’ Ta= 257° 32.7’ + λs +=167° 15.2’ E ta = 424° 47.9’ - 360° 00.0’ ta = 64° 47.9’ δ = 38° 47.5’ N φ = 39° 50.2’ N hs = 41° 00.5’ Az = 290.9° Δh = + 0.9’

Tm = 06h Im = 34m 31s hi = 30°27.8’ +γc = 2.0’ ho =30° 29.8’ C1 = 14.4’ C2 = 38.4’ hv = 30°22.6’ hs = 30°21.1’ Δh = + 1.5’

Ts= 168° 35.6’ Is = 8° 39.2’ Ts= 177° 14.8’ +Coα=137° 20.4’ Ta= 314° 35.2’ + λs+= 167° 15.2’ W ta = 481° 50.4’ - 360° ta = 121° 50.4’ δ = 74° 07.1’ N φ = 39° 50.2’ N hs = 30° 21.1’ Az = 344.4° Δh = +1.5

Trasporto ( ) TmT hhhh Δ+Δ=Δ=Δ , Az-Rvmcos

Astro Dt m Rv Az mhΔ ThΔ HΔ Hamal 5m 31s 1.4 240 96.7° 2.8 -1.2 1.6 Markab 3m 21s 0.8 240 173.8° 0.9 0.3 1.2 Vega 2m 40s 0.7 240 290.9° 1.9 0.4 2.3 Kockab ----- ----- 240 344.4° 1.5 ---- 1.5

Punto astronomico calcolato: φs = 39°50.2’ N λs = 167°15.2’ E Δφ = 0.2’ N Δλ = 0.4’ W φo = 39° 50.4’ N λo =167°14.8’ E

Mario Vultaggio

360

A- 5) Al crepuscolo serale del 10 Novembre 2007 nel Pacifico settentrionale,si osservano i seguenti astri:


Vega 06h 33m 04s 70° 32.9’ Kockab 06h 35m 41s 37°30.3’

Sono noti e=10m, γc= 2.0, K=-1m 10s, punto stimato all’istante dell’ultima osservazione:

φ=39°50.2’ N, λ=167°15.2’E, v=15 nodi, Rv=240°


Risoluzione

eliminazione dell’ambiguità del cronometro. tm= 17h 30 m 10/11/2007 - λf += - 11h E Tm app = 06h 30 m 10/11/2007



Tc = 06h 32m 10m K = - 1m 10s Tm = 06h 31m 00 s 10/11/2007

Dati Calcolati Dati Calcolati Tm = 06h Im = 29m 00s hi = 24°10.9’ +γc = 2.0’ ho = 24°12.6’ C1 = 14.4’ C2 = 37.9’ hv = 24°05.2’ hs = 24°02.6’ Δh = + 2.6’

Ts= 139° 01.4’ Is= 7° 16.2’ Ts= 146° 17.6’ +Coα= 328° 05.3’ Ta= 474° 22.9’ + λs +=167° 15.2’ E ta= 641° 37.1’ - 360° 00.0’ ta= 281° 37.1’ δ = 23° 24.6’ N φ = 39° 50.2’ N hs = 24°02.6’ Az = 78.7° Δh = + 2.6’

Tm = 06h Im = 31m 00s hi = 52°45.8’ +γc = 2.0’ ho = 52°47.8’ C1 = 14.4’ C2 = 39.3’ hv = 52° 41.5’ hs = 52° 39.7’ Δh = + 1.8’

Ts= 139° 01.4’ Is = 7° 46.3’ Ts= 146° 47.7’ +Coα= 13° 42.5’ Ta= 160° 30.2’ + λs +=167° 15.0’ E ta = 327° 45.2’ δ = 15° 13.0’ N φ = 39° 50.2’ N hs = 52° 39.7’ Az = 121.9° Δh = +1.8’


361

VEGA KOCKAB Tc = 06h 33m 04m K = - 1m 10s Tm = 06h 31 54 s 10/11/2007

Tc = 06h 35m 41m K = - 1m 10s Tm = 06h 34m 31 s 10/11/2007

Dati Calcolati Dati Calcolati Tm = 06h Im = 31 54s hi = 70° 32.9’ +γc = 2.0’ ho = 70° 34.9’ C1 = 14.4’ C2 = 39.7’ hv = 70° 29.0’ hs = 70° 31.1’ Δh = - 2.1’

Ts= 139° 01.4’ Is= 8° 14.9’ Ts= 147° 16.3’ +Coα= 80° 42.2’ Ta= 227° 58.5’ + λs+ = 167° 15.2’ E ta = 385° 13 7’ - 360° 00.0’ ta = 25° 13.7’ δ = 38° 47.6’ N φ = 39° 50.2’ N hs = 70° 31.1’ Az = 275.1° Δh = -2.1’

Tm = 06h Im = 34m 31s hi = 37°30.3’ +γc = 2.0’ ho = 37°35.3’ C1 = 14.4’ C2 = 38.4’ hv = 37° 25.1’ hs = 37° 26.1’ Δh = -1.0’

Ts= 139° 01.4’ Is = 8° 39.2’ Ts= 147° 40.2’ +Coα=137° 20.5’ Ta= 285° 00.7’ + λs+ = 167° 15.2’ E ta = 452° 15.9’ - 360° ta = 092°15.9’ δ = 74° 07.3’ N φ = 39° 50.2’ N hs = 37° 26.1’ Az = 339.9° Δh = -1.0’

Trasporto

( ) TmT hhhh Δ+Δ=Δ=Δ , Az-Rvmcos Astro Dt m Rv Az mhΔ ThΔ hΔ Hanal 5m 31s 1.4 240 79 2.6’ -1.2’ 1.4’ Markab 3m 21s 0.8 240 122 1.8’ 0.3’ 2.1’ Vega 2m 40s 0.7 240 275 -2.1’ 0.4’ -1.7’ Kockab ----- ----- 240 340 -1.0’ ---- -1.0’

Punto astronomico calcolato: φs = 39°50.2’ N λs = 167°15.2’ E Δφ = 0.4’ S Δλ = 1.5’ E φo = 39° 49.8’ N λo =167°16.7’ E

Mario Vultaggio

362

A - 6) Al crepuscolo serale del 1 Gennaio 2007 si osservano i seguenti astri:

Astro Tempo (UTC) Altezza Hamal 07h 30m 10s 61° 38.5’ Markab 07h 32m 10s 63° 23.9’

Vega 07h 33m 04s 26° 17.9’ Polaris 07h 35m 41s 37°55.5’

Sono noti e=10m, γc=2.0, K=-2m 10s, punto stimato all’istante dell’ultima osservazione:

φ=37°15.2’ N, λ=150°15.2’E , v=18 nodi, Rv=170°


Risoluzione

eliminazione dell’ambiguità del cronometro. tm = 17h 40 m 1/1/2007 - λf+ = - 10h E Tm app = 07h 40 m 1/1/2007



Tc = 07h 32m 10m K = - 2m 10s Tm = 07h 30m 00 s 1/1/2007


Ts= 205°33.4’ Is= 7° 01.1’ Ts= 212° 34.5’ +Coα= 328° 06.3’ Ta=540° 40.8’ + λs+ =150° 15.2’ E ta= 690° 56 .0 - 360° ta= 330° 56 .0’ δ = 23° 29.9’ N φ = 37° 15.2’ N hs = 61° 34.1’ Az = 110.6° Δh = + 0.3’

Tm = 07h Im = 30m 00s hi = 63°23.9’ +γc = 2.0’ ho = 63°25.9’ C1 = 14.4’ C2 = 39.5’ hv = 63°19.8’ hs = 63°17.8’ Δh = + 2.0’

Ts= 205°33.4’ Is= 7° 31.2’ Ts= 213° 04.6’ +Coα= 13° 43.5’ Ta= 226° 48.1’ + λs+= 150° 15.2’ E ta = 377° 03.3’ -360° ta = 017° 05.8’ δ = 15° 14.6’ N φ = 37° 15.2’ N hs = 63° 17.8’ Az = 218.9° Δh = +2.0’


363

VEGA POLARIS Tc = 07h 33m 04m K = - 2m 10s Tm = 07h 30m 54 s 1/1/2007

Tc = 07h 35m 41m K = - 2m 10s Tm = 07h 33m 31 s 1/1/2007


Ts= 205°33.4’ Is= 7° 44.8’ Ts= 213° 18.2’ +Coα= 80° 42.8’ Ta=294° 01.0’ + λs+ =150° 15.2’ E ta= 444° 16.2’ - 360° 00.0’ ta= 84° 16.2’ δ = 38° 47.4’ N φ = 37° 15.2’ N hs = 26° 10.7’ Az = 300.2° Δh = + 1.7’

Tm = 07h Im = 33m 31s hi = 37°55.5’ +γc = 2.0’ ho = 37° 57.5’ C1 = 14.4’ C2 = 38.7’ hv = 37°50.6’ hs = 37°49.1’ Δh = + 1.5’

Ts= 205°33.4’ Is= 8° 24.1’ Ts= 213° 57.5’ +Coα= 319° 52.9’ Ta= 533° 50.4’ + λs+= 150° 15.2’ E ta = 684° 05.6’ - 360° ta = 324° 05.6’ δ = 89° 18.1’ N φ = 37° 15.2’ N hs = 37° 49.1’ Az = 0.5° Δh = +1.5’

Trasporto

( ) TmT hhhh Δ+Δ=Δ=Δ , Az-Rvmcos Astro Dt m Rv Az mhΔ ThΔ hΔ Hanal 5m 31s 1.65 170 110 0.3 0.5 0.8 Markab 3m 20s 1.0 170 218 0.9 1.0 1.9 Vega 2m 37s 0.8 170 300 1.8 -0.5 1.3 Polaris ----- ----- 170 0.5 1.5 ---- 1.5

Punto astronomico calcolato: φs = 37°15.2’ N λs = 150°15.2’ E Δφ = 0.1’ N Δλ = 0.5’ W φo = 37° 15.3’ N λo =150°14.7’ E

Mario Vultaggio

364

A - 7) Al crepuscolo serale del 1 Gennaio 2001 si osservano i seguenti astri:


Vega 07h 33m 04s 25°27.9’ Polaris 07h 35m 41s 38°50.5’

Sono noti e=10m, γc= +2.0, K=-2m 10s, punto stimato all’istante dell’ultima osservazione:

φ=38°15.2’ N, λ=152°15.2’E , v=18 nodi, Rv=170°


Risoluzione

eliminazione dell’ambiguità del cronometro. tm = 17h 40 m 1/1/2007 - λf+ = - 10h E Tm app = 07h 40 m 1/1/2007



Tc = 07h 32m 20m K = - 2m 10s Tm = 07h 30m 10 s 1/1/2007

Dati Calcolati Dati Calcolati Tm = 07h Im = 28m 00s hi = 62°41.5’ +γc = 2.0’ ho = 62°43.5’ C1 = 14.4’ C2 = 39.5’ hv = 62°37.4’ hs = 62°38.5’ Δh = - 1.1’

Ts= 205°33.4’ Is= 7° 01.1’ Ts= 212° 34.5’ +Coα= 328° 06.3’ Ta=540° 40.8’ + λs+ =152° 15.2’ E ta= 692° 56 .0 - 360° ta= 332° 56 .0’ δ = 23° 29.9’ N φ = 38° 15.2’ N hs = 62° 38.5’ Az = 114.7° Δh = -1.1’

Tm = 07h Im = 30m 00s hi = 61°36.9’ +γc = 2.0’ ho = 61°38.9’ C1 = 14.4’ C2 = 39.5’ hv = 61°32.8’ hs = 61° 29.5’ Δh = + 3.3’

Ts= 205°33.4’ Is= 7° 31.2’ Ts= 213° 04.6’ +Coα= 13° 43.5’ Ta= 226° 48.1’ + λs+= 152° 15.2’ E ta = 379° 03.3’ -360° ta = 019° 05.8’ δ = 15° 14.6’ N φ = 38° 15.2’ N hs = 61° 29,5’ Az = 221.4° Δh = +3.3’


365

VEGA POLARIS

Tc = 07h 33m 04m K = - 2m 10s Tm = 07h 30m 54 s 1/1/2007

Tc = 07h 35m 41m K = - 2m 10s Tm = 07h 33m 31 s 1/1/2007


Ts= 205°33.4’ Is= 7° 44.8’ Ts= 213° 18.2’ +Coα= 80° 42.8’ Ta=294° 01.0’ + λs+ =152° 15.2’ E ta= 446° 16.2’ - 360° 00.0’ ta= 86° 16.2’ δ = 38° 47.4’ N φ = 38° 15.2’ N hs = 25° 19.3’ Az = 300.6° Δh = + 3.1’

Tm = 07h Im = 33m 31s hi = 38°50.5’ +γc = 2.0’ ho = 38° 52.5’ C1 = 14.4’ C2 = 38.7’ hv = 38°45.6’ hs = 38°49.1’ Δh = - 3.5’

Ts= 205°33.4’ Is= 8° 24.1’ Ts= 213° 57.5’ +Coα= 319° 52.9’ Ta= 533° 50.4’ + λs+= 152° 15.2’ E ta = 686° 05.6’ - 360° ta = 324° 05.6’ δ = 89° 18.1’ N φ = 38° 15.2’ N hs = 38° 49.1’ Az = 0.5° Δh = -3.5’

Trasporto

( ) TmT hhhh Δ+Δ=Δ=Δ , Az-Rvmcos Astro Dt m Rv Az mhΔ ThΔ hΔ Hanal 5m 31s 1.65 170 115 -1.1 2.9 1.8 Markab 3m 20s 1.0 170 221 3.3 1.0 4.3 Vega 2m 37s 0.8 170 300 +3.1 -0.5 +2.6 Polaris ----- ----- 170 0 -3.5 ---- -3.5’

Punto astronomico calcolato: φs = 38°15.2’ N λs = 152°15.2’ E Δφ = 4.0’ S Δλ = 1.5’ W φo = 38° 11.2’ N λo =152° 13.7’ E

Mario Vultaggio

366

A - 8) Al crepuscolo mattutino del 14 Dicembre 2007 si osservano i seguenti astri:

Astro Tempo (UTC) Altezza Arcturus 06h 15m 14s 58°47.8’ Denebola 06h 18m 22s 70°41.3’ Regulus 06h 21m 14s 54°04.3’ Polaris 06h 23m 37s 32°54.3’

Sono noti e=20 m, γc=-2.5, K=-4m 14s, punto stimato all’istante dell’ultima osservazione:

φ=33°18.2’ N, λ=173°15.2’W , v=20 nodi, Rv=295°

Determinare la posizione astronomica all’istante dell’ultima osservazione. Risoluzione

eliminazione dell’ambiguità del cronometro.

tm = 06h 10 m 14/12/2006 - λf - = + 12h W Tm app = 18h 10 m 14/12/2006


ARCTURUS DENEBOLA Tc = 18h 15m 14s K = - 4m 14s Tm = 18h 11m 00 s 14/12/2007

Tc = 18h 18m 22s K = - 4m 14s Tm = 18h 14m 08 s 14/12/2007

Dati Calcolati Dati Calcolati Tm = 18h Im = 11m 00s hi = 58°47.8’ +γc = - 2.5’ ho = 58°45.3’ C1 = 12.1’ C2 = 39.4’ hv = 58°36.8’ hs = 58°35.1’ Δh = + 1.7’

Ts= 353°01.7’ Is= 2° 45.5’ Ts= 355° 47.2’ +Coα= 145° 59.7’ Ta= 501° 46.9’ + λs- = 173° 15.2’ W ta= 328° 31.7’ δ = 19° 08.3’ N φ = 33° 18.2’ N hs = 58° 35.1’ Az = 108.8° Δh = +1.7’

Tm = 18h Im = 14m 08s hi = 70°41.3’ +γc = - 2.5’ ho = 70°38.8’ C1 = 12.1’ C2 = 39.7’ hv = 70°29.6 hs = 70°27.7’ Δh = + 1.9’

Ts= 353°01.7’ Is= 3° 32.6’ Ts= 356° 34.3’ +Coα= 182° 37.9’ Ta= 539° 12.2’ + λs-= 173° 15.2’ W ta = 365° 57.0’ -360° 00.0’ ta = 005° 57.0’ δ = 14° 31.5’ N φ = 33° 18.2’ N hs = 70° 27.7’ Az = 197.5° Δh = +1.9’


367

REGULUS POLARIS Tc = 18h 21m 14s K = - 4m 14s Tm = 18h 17m 00 s 14/12/2007

Tc = 18h 23m 37s K = - 4m 14s Tm = 18h 19m 23 s 14/12/2007

Dati Calcolati Dati Calcolati Tm = 18h Im = 17m 00s hi = 54°04.3’ +γc = - 2.5’ ho = 54°01.8’ C1 = 12.1’ C2 = 39.3’ hv = 53°53.2’ hs = 53°56.0’ Δh = - 2.8’

Ts= 353°01.7’ Is= 4° 15.7’ Ts= 357° 17.4’ +Coα= 207° 47.8’ Ta= 565° 05.2’ + λs- = 173° 15.2’ W ta= 391° 50.0’ - 360° 00.0’ ta= 31° 50.0’ δ = 11° 56.6’ N φ = 33° 18.2’ N hs = 53° 56.0’ Az = 241.2° Δh = - 2.8’

Tm = 18h Im = 19m 23s hi = 32°54.3’ +γc = - 2.5’ ho = 32°51.8’ C1 = 12.1’ C2 = 38.5’ hv = 32°42.4 hs = 32°44.2’ Δh = - 1.2’

Ts= 353°01.7’ Is= 4° 51.5’ Ts= 357° 53.2’ +Coα= 319° 26.2’ Ta= 677° 19.4’ + λs-= 173° 15.2’ W ta = 504° 04.2’ -360° 00.0’ ta = 144° 10.4’ δ = 89° 18.3’ N φ = 33° 18.2’ N hs = 32° 44.2’ Az = 359.5° Δh = -1.2’

Trasporto

( ) TmT hhhh Δ+Δ=Δ=Δ , Az-Rvmcos

Astro Dt m Rv Az mhΔ ThΔ hΔ Arcturus 8m 27s 2.8 295 1091 +1.7 -2.8 -1.1 Denbola 5m 15s 1.7 295 198 1.9 -0.2 1.7 Regulus 2m 30s 0.8 295 241 -2.8 0.5 -2.3 Polaris ----- ----- 295 359 -1.2 ---- -1.2

Punto astronomico calcolato: φs = 33°18.2’ N λs = 173°15.2’ W Δφ = 1.7’ S Δλ = 1.2’ E φo = 33° 16.5’ N λo =173°14.0’ E

Mario Vultaggio

368

A - 9) Al crepuscolo mattutino del 2 Febbraio 2007 si osservano i seguenti astri:

Astro Tempo (UTC) Altezza Alioth 00h 54m 17s 35° 18.4’ Acrux 00h 55m 30s 22° 19.8’

Antares 00h 56m 20s 43°40.4’ Denebola 00h 57m 10s 55°55.4’

Sono noti e=12 m, γc=0.0, K=+0m 10s, punto stimato all’istante dell’ultima osservazione:

φ=02°31.0’ N, λ=063°40.0’E , v=14 nodi, Rv=128°


Risoluzione

eliminazione dell’ambiguità del cronometro. tm = 05h 23 m 02/02/2006 - λf + = - 04h E Tm = 01h 23 m 02/02/2006


Alioth Acrux Tc = 00h 54m 17s K = + 0m 10s Tm app = 00h 54m 27 s 02/02/2007

Tc = 00h 55m 30s K = + 0m 10s Tm app = 00h 55m 40 s 02/02/2007


Ts= 131° 48.6’ Is= 13° 39.0’ Ts= 145° 27.6’ +Coα= 166° 24.4’ Ta= 311° 52.0’ + λs+ =063° 40.0’ E ta= 375° 32.0’ - 360° 00.0’ ta= 015° 32.0’ δ = 55° 54.9’ N φ = 02° 31.0’ N hs = 35° 09.3’ Az = 349.4° Δh = +1.0’

Tm = 00h Im = 55m 10s hi = 22°19.8’ +γc = 0.0’ ho = 22°19.8’ C1 = 13.9’ C2 = 37.7’ hv = 22°11.4’ hs = 22°11.8’ Δh = - 0.4’

Ts= 131° 48.6’ Is= 13° 49.8’ Ts= 145° 37.7’ +Coα= 173° 14.9’ Ta= 318° 52.6’ + λs+= 63° 40.0’ E ta = 382° 32.6’ -360° 00.0’ ta = 022° 32.6’ δ = 63° 08.1’ S φ = 02° 31.0’ N hs = 22° 11.8’ Az = 190.8° Δh = -0.4’


369

Antares Denebola Tc = 00h 56m 20s K = + 0m 10s Tm = 00h 56m 30 s 02/02/2007

Tc = 00h 57m 10s K = + 0m 10s Tm = 00h 57m 20 s 02/02/2007

Dati Dati Calcolati Dati Tm = 00h Im = 56m 30s hi = 43° 40.4’ +γc = + 0.0’ ho = 43°40.4’ C1 = 13.9’ C2 = 39.0’ hv = 43°33.3 hs = 43°30.6’ Δh = + 2.7’

Ts= 131° 48.6’ Is= 14° 09.8’ Ts= 145° 58.4’ +Coα= 112° 32.5’ Ta= 258° 30.9’ + λs+= 063° 40.0’ E ta= 322° 10.9’ δ = 26° 26.9’ S φ = 02° 31.0’ N hs = 43°30.6’ Az = 131.0° Δh = +2.7’

Tm = 00h Im = 57m 20s hi = 55° 55.4’ +γc = + 0.0’ ho = 55° 55.4’ C1 = 13.9’ C2 = 39.3’ hv = 55°48.6 hs = 55° 46.7’ Δh = + 1.9’

Ts= 131° 48.6’ Is= 14° 22.4’ Ts= 146° 11.0’ +Coα= 182°38.3’ Ta= 328° 49.3’ + λs+= 063° 40.0’ E ta= 392° 29.3’ - 360° 00.0’ ta= 032° 29.3’ δ = 14° 31.8’N φ = 02° 31.0’N hs = 55° 46.7’ Az = 292.4° Δh = +1.9’


Punto astronomico calcolato: φs = 02°31.0’ N λs = 063°40.0’ E Δφ = 0.8’ N Δλ = 0.7’ E φo = 02° 31.8’ N λo = 063°40.7’ E

Mario Vultaggio

370

A – 10) Al crepuscolo mattutino del 14 Dicembre 2007 si osservano i seguenti astri:

Astro Tempo (UTC) Altezza Arcturus 06h 15m 14s 44°34.3’ Denebola 06h 18m 22s 64°34.9’ Regulus 06h 21m 14s 60°28.3’ Polaris 06h 23m 37s 38°05.0’


φ=38°18.2’ N, λ=171°15.2’E , v=20 nodi, Rv=295°


Risoluzione

eliminazione dell’ambiguità del cronometro. tm = 06h 10 m 14/12/2007 - λf += - 12h E Tm app = 18h 10 m 13/12/2007


ARCTURUS DENEBOLA Tc = 18h 15m 14s K = - 4m 14s Tm = 18h 11m 00 s 13/12/2007

Tc = 18h 18m 22s K = - 4m 14s Tm = 18h 14m 08 s 13/12/2007


Ts= 352°02.6’ Is= 2° 45.5’ Ts= 354° 48.1’ +Coα= 145° 59.7’ Ta= 500° 47.8’ + λs+= 171° 15.2’ E ta= 672° 03.0’ - 360° 00.0’ ta= 312° 03.9’ δ = 19° 08.3’ N φ = 38° 18.2’ N hs = 44° 25.2’ Az = 100.9° Δh = - 2.3’

Tm = 18h Im = 14m 08s hi = 64°34.9’ +γc = - 2.5’ ho = 64°32.4’ C1 = 12.1’ C2 = 39.6’ hv = 64°24.1’ hs = 64°27.9’ Δh = - 3.8’

Ts= 352°02.6’ Is= 3° 32.6’ Ts= 355°35.2’ +Coα= 182° 37.9’ Ta= 538° 13.1’ + λs+= 171° 15.2’ E ta = 709° 28.3’ -360°00.0’ ta = 349° 28.3’ δ = 14° 31.5’ N φ = 38° 18.2’ N hs = 64° 27.9’ Az = 155.8° Δh = -3.8’


371

REGULUS POLARIS Tc = 18h 21m 14s K = - 4m 14s Tm = 18h 17m 00 s 13/12/2007

Tc = 18h 23m 37s K = - 4m 14s Tm = 18h 19m 23 s 13/12/2007


Ts= 352°02.6’ Is= 4° 15.7’ Ts= 356° 18.3’ +Coα= 207° 47.8’ Ta= 563° 56.1’ +λs+ = 171° 15.2’ E ta= 735° 11.3’ -720°00.0’ ta= 15° 11.3’ δ = 11° 55.6’ N φ = 38° 18.2’ N hs = 60° 21.1’ Az = 211.2° Δh = - 3.9’

Tm = 18h Im = 19m 23s hi = 38°05.0’ +γc = - 2.5’ ho = 38°02.5’ C1 = 12.1’ C2 = 38.8’ hv = 37°53.4 hs = 37°52.6’ Δh = + 1.1’

Ts= 352°02.6’ Is= 4° 51.5’ Ts= 356°54.1’ +Coα= 319°26.2’ Ta= 676°20.3’ + λs+= 171°15.2’ E ta = 847°35.5’ -720°00.0’ ta = 127°35.5’ δ = 89°18.3’ N φ = 38° 18.3’ N hs = 37° 52.6’ Az = 359.3° Δh = +1.1

Trasporto analitico

( ) TmT hhhh Δ+Δ=Δ=Δ , Az-Rvmcos

Astro Dt m Rv Az mhΔ ThΔ hΔ Arcturus 8m 27s 2.8 295 101 -2.3 -2.8 -5.1 Denebola 5m 15s 1.7 295 159 -3.8 -1.2 -5.0 Regulus 2m 30s 0.8 295 214 -3.9 0.1 -3.8 Polaris ----- ----- 295 359 1.1 ---- 1.1

Punto astronomico calcolato: φs = 38°18.2’ N λs = 171°15.2’ E Δφ = 2.8’ N Δλ = 3.0’ W φo = 38° 21.0’ N λo = 171°12.2’ E

Mario Vultaggio

372

A - 11) Una nave in navigazione nel Oceano Pacifico settentrionale, al crepuscolo serale del 25 Dicembre 2007, si osservano i seguenti astri:


Vega 05h 33m 04s 31°35.3’ Kockab 05h 35m 41s 28°36.3’

Sono noti: e=10m, γc=2.0, K=1m 10s, punto stimato all’istante dell’ultima osservazione:

φ=40°50.2’ N, λ=178°15.2’W, v=15 nodi, Rv=150°


Risoluzione

eliminazione dell’ambiguità del cronometro. tm= 17h 30m 25/12/2007 - λf- = + 12h W 29h 30m 25/12/2007 Tm app = 05h 30m 26/12/2007


HAMAL MARKAB Tc = 05h 30m 10m K = 1m 10s Tm = 05h 31m 20 s 26/12/2007

Tc = 05h 32m 20s K = 1m 10s Tc = 05h 33m 30s 26/12/2007


Ts= 169° 19.4’ Is= 7° 51.3’ Ts= 177° 10.7’ +Coα= 328° 05.3’ Ta= 505° 16.0’ + λs- =-178°15.2’ W ta= 327° 00.8’ δ = 23° 30.2’ N φ = 40° 50.2’ N hs = 57° 25.9’ Az = 112.0° Δh = +1.8’

Tm = 05h Im = 33m 30s hi = 62°02.4’ +γc = 2.0’ ho = 62°04.4’ C1 = 14.4’ C2 = 39.5’ hv = 61°58.3 hs = 61°58.3’ Δh = 0.0’

Ts= 169° 19.4’ Is = 8° 23.9’ Ts= 177° 43.3’ +Coα= 013° 42.6’ Ta= 191° 25.9’ + λs- =-178° 15.2’ W ta = 13° 10.7’ δ = 15° 15.0’ N φ = 40° 50.2’ N hs = 61° 58.3’ Az = 207.9° Δh = 0.0


373

VEGA KOCKAB

Tc = 05h 33m 04s K = 1m 10s Tm= 05h 34m 14s 26/12/2001

Tc = 05h 35m 41s K = 1m 10s Tm=05h 36m 51s 26/12/2001

Dati Calcolati Dati Calcolati Tm= 05h Im= 34m 14s hi = 31°35.3’ +γc = 2.0’ ho = 31°38.3’ C1 = 14.4’ C2 = 38.4’ hv = 30°30.1’ hs = 31°32.7’ Δh = - 2.6’

Ts= 169° 19.4’ Is= 8° 34.9’ Ts= 177° 54.3’ +Coα= 80° 42.2’ Ta= 258° 36.5’ +λs- = -178° 15.2’ W ta= 080° 21.3 δ = 38° 47.4’ N φ = 40° 50.2’ N hs = 31° 32.7’ Az = 298.9° Δh = -2.6’

Tm= 05h Im = 36m 51s hi = 28°36.3’ +γc = 2.0’ ho = 28° 38.3’ C1 = 14.4’ C2 = 38.1’ hv = 28° 30.8’ hs = 28° 27.6’ Δh = + 3.2’

Ts= 169° 19.4’ Is= 8° 59.2’ Ts= 178° 18.6’ +Coα= 137° 20.1’ Ta= 315° 38.7’ + λ-s= -178°15.2’ W ta= 137° 23.5’ δ = 74° 07.0’ N φ = 40° 50.2’ N hs = 28° 27,6’ Az = 347.8° Δh = +3.2’

Risoluzione con trasporto analitico

( ) TmT hhhh Δ+Δ=Δ=Δ , Az-Rvmcos Astro Dt m Rv Az mhΔ ThΔ hΔ Hamal 5m 31s 1.4 150 112 1.8’ 0.7 2.5’ Markab 3m 21s 0.8 150 208 0.0 0.4 0.4’ Vega 2m 37s 0.65 150 299 -2.6 -0.5 -3.1’

Kockab ----- ----- 150 348 3.2 ---- 3.2’

Punto astronomico calcolato: φs = 40°50.2’ N λs = 178°15.2’ W Δφ = 0.9’ N Δλ = 4.2’ E φo = 38° 20.7’ N λo = 171°10.4’ E

Mario Vultaggio

374

A-12) Al crepuscolo serale del 25 Febbraio 2007 si osservano i seguenti astri:

Astro Tempo (UTC) Altezza Canopus 07h 30m 10s 73°30.3’ Acamar 07h 32m 20s 64°24.5’

Sirio 07h 33m 04s 61° 06.1’ Menkar 07h 35m 41s 38°37,1’


φ=37°20.2’ S, λ=170°20.0’E , v=16 nodi, Rv=120°


Risoluzione eliminazione dell’ambiguità del cronometro.

tm= 19h 40 m 25/02/2007 - λf+ = - 12h E Tm app = 07h 40 m 25/02/2007

Calcolo di Δh e Azimut degli astri osservati: CANOPO ACAMAR

Tc = 07h 30m 10m K = - 2m 10s Tm = 07h 28m 00 s 25/02/2007

Tc = 07h 32m 20m K = - 2m 10s Tm = 07h 30m 10 s 25/02/2007


Ts= 259°46.0’ Is= 7° 01.1’ Ts= 266° 47.1’ +Coα= 263° 58.0’ Ta=530° 45.1’ + λs+ =170° 20.2’ E ta= 711° 05.3’ - 360° 00.0’ ta= 351° 05.3’ δ = 52° 42.1’ S φ = 37°20.2’ S hs = 73° 25.4’ Az = 160.8° Δh = -3.0’

Tm = 07h Im = 30m 10s hi = 64°24.5’ +γc = - 2.0’ ho = 64°22.5’ C1 = 14.4’ C2 = 39.5’ hv = 64°16.4’ hs = 64°14.5’ Δh = + 1.9’

Ts= 259°46.0’ Is= 7° 33.7’ Ts= 267° 19.7’ +Coα= 315° 22.0’ Ta= 582°41.7’ + λs+ = 170°20.2’ E ta= 753°01.9’ -720°00.0’ ta= 033°01.9’ δ = 40° 16.7’ S φ = 37° 20.2’ S hs = 64° 14.5’ Az = 253.1° Δh = + 1.9’


375

SIRIUS MENKAR Tc = 07h 34m 04m K = - 2m 10s Tm = 07h 31m 54 s 25/02/2007

Tc = 07h 35m 41m K = - 2m 10s Tm = 07h 33m 31 s 25/02/2007

Dati Calcolati Dati Calcolati Tm = 07h Im = 31m 54s hi = 61° 06.1’ +γc = - 2.0’ ho = 61° 04.1’ C1 = 14.4’ C2 = 38.8’ hv = 60°57.3’ hs = 60°56.0’ Δh = + 1.3’

Ts= 259°46.0’ Is= 7° 59.8’ Ts= 267° 45.8’ +Coα= 258° 37.8’ Ta=526° 23.6’ + λs+ =170° 20.2’ E ta= 696° 43.8’ - 360° ta= 336° 43.8’ δ = 16° 43.6’ S φ = 37°20.2’ S hs = 60°56.0’ Az = 73.5° Δh = +1.3’

Tm = 07h Im = 33m 31s hi = 38°37,1’ +γc = - 2.0’ ho = 38° 35.1’ C1 = 14.4’ C2 = 39.1’ hv = 38° 28.6’ hs = 38° 30,1’ Δh = -1.5

Ts= 259°46.0’ Is= 8° 24.1’ Ts= 268°10.1’ +Coα= 314°20.2’ Ta= 582°30.3’ + λs+ = 170°20.2’ E ta= 752°50.5’ - 720°00.0’ ta= 32° 50.5’ δ = 04° 07.1’ N φ = 37°20.2’ S hs = 38°30,2’ Az = 316.1° Δh = -1.5’

Trasporto: ( ) TmT hhhh Δ+Δ=Δ=Δ , Az-Rvmcos

Astro Dt m Rv(°) Az(°) mhΔ ThΔ hΔ Canopo 5m 31s 1.46 120 161 -3.0 1.1 -1.9 Acamar 3m 20s 0,89 120 253 1.9 -0.6 1.3

Sirio 2m 37s 0.7 120 73 1.3 0.5 1.8 Menkar ----- ----- 120 316 -1.5 ---- -1.5

Punto astronomico calcolato: φs = 37°20.2’ S λs = 170°20.2’ E Δφ = 1.0’ N Δλ = 0.2’ E φo = 37°19.2’ N λo = 170°20.4’ E

Mario Vultaggio

376

A – 13) Al crepuscolo mattutino del 30 Giugno 2007osservano i seguenti astri:

Astro Tempo (UTC) Altezza Fomalhaut 04h 20m 10s 62°36.3’

Ankaa 04h 22m 20s 81° 25.2’ Canopo 04h 23m 04s 35° 46.5’ Menkar 04h 25m 41s 40° 19.6’

Sono noti e=15m, γc=+3.5, K=4m 30s, punto stimato all’istante dell’ultima osservazione:

φ=38°20.2’ S, λ=148°20.2’W , v=17 nodi, Rv=265°


Risoluzione

eliminazione dell’ambiguità del cronometro. tm= 06h 20 m 30/06/2007 - λf- = + 10h 00 m W Tm app = 16h 20 m 30/06/2007


Fomalhaut Ankaa Tc = 04h 20m 10m K = + 4m 30s Tm = 16h 24m 40 s 30/06/2007

Tc = 04h 22m 20m K = + 4m 30s Tm = 16h 26m 50s 30/06/2007

Dati Calcolati Dati Calcolati Tm = 16h Im = 24m 30s hi = 62°36.3’ +γc = + 3.5’ ho = 62°39.8’ C1 = 13.1’ C2 = 39.5’ hv = 62°32.4’ hs = 62° 30.2’ Δh = + 2.2’

Ts= 158° 20.6’ Is= 06° 08.5’ Ts= 164° 29.1’ +Coα= 15° 28.7’ Ta=179° 57.8’ + λs- =-148° 20.2’ W ta= 031° 37.6’ δ = 29° 34.8’ S φ = 38° 20.2’ S hs = 62° 30.2’ Az = 279.0° Δh = +2.2’

Tm = 16h Im = 26m 50s hi = 81° 25.2’ +γc = 3.5’ ho = 81° 28.7’ C1 = 13.1’ C2 = 39.9’ hv = 81° 21.7’ hs = 81° 23.2’ Δh = - 2.5’

Ts= 158° 20.6’ Is= 06° 43.6’ Ts= 165° 04.2’ +Coα= 353° 20.0’ Ta= 518° 24.2’ + λs- =- 148° 20.2’ W ta = 370° 04.0 -360° ta = 010° 04.0 δ = 42° 15.6’ S φ = 38° 20.2’ S hs = 81° 23.2’ Az = 239.7° Δh = -2.5’


377

Canopo Menkar Tc = 04h 23m 04m K = + 4m 30s Tm = 16h 27m 34 s 30/06/2007

Tc = 04h 25m 41m K = + 4m 30s Tm = 16h 30m 11s 30/06/2007

Dati Calcolati Dati Calcolati Tm = 16h Im = 27m 34s hi = 35° 46.5’ +γc =+ . 3.5’ ho = 35° 50.0’ C1 = 13.1’ C2 = 38.7’ hv = 35° 41.8’ hs = 35° 40.6 Δh = + 1.2’

Ts= 158° 20.6’ Is= 06° 54.2’ Ts= 165° 14.8’ +Coα= 263° 58.8’ Ta= 429° 13.6’ + λs- =-148° 20.2’ W ta= 280° 53.4 δ = 52° 41.8’ S φ = 38° 20.2’ S hs = 35° 40.6’ Az = 132° Δh = +1.2

Tm = 16h Im = 30m 11s hi = 40° 19.6’ +γc = 3.5’ ho = 40° 23.1’ C1 = 13.1’ C2 = 38.9’ hv = 40° 15.1’ hs = 40° 12.6’ Δh = + 2.5’

Ts= 158° 20.6’ Is= 07° 34.0’ Ts= 165° 54.6’ +Coα= 314° 20.0’ Ts= 480° 14.6’ + λs- = -148° 20.2’ W ta= 331° 54.4’ δ = 4° 07.3’ N φ = 38° 20.2’ S hs = 40° 12.6’ Az = 37.9° Δh = +2.5’

Trasporto:

( ) TmT hhhh Δ+Δ=Δ=Δ , Az-Rvmcos Astro Dt m Rv Az mhΔ ThΔ hΔ Fomalhaut 5m 31s 1.67 265 279 1.6 1.5 3.1 Ankaa 3m 21s 0,95 265 240 -2.5 0.8 -1.7 Canopo 2m 37s 0.74 265 132 1.2 -0.5 0.7 Menkar ----- ----- 265 38 2.5 ---- 2.5

Punto astronomico calcolato: φs = 38°20.2’ S λs = 148°20.2’ E Δφ = 3.0’ N Δλ = 0.0’ E φo = 38°17.2’ S λo = 148°20.0’ E

Mario Vultaggio

378

A – 14) Al crepuscolo mattutino del 5 Marzo 2007 nel mar Tirreno si osservano i seguenti astri:

Astro Tempo (UTC) Altezza Luna 04h 20m 00s 17°50.3’ Giove 04h 22m 20s 25° 10.2’ Polare 04h 23m 04s 40° 45.5’ Vega 04h 25m 41s 62° 42.6’


φ=41°20.2’ N, λ=13°20.2’E , v=18 nodi, Rv=210°


Risoluzione

eliminazione dell’ambiguità del cronometro. tm= 05h 20 m 5/03/2007 - λf += - 1h E Tm = 04h 20 m 5/03/2007


Luna Giove Tc = 04h 20m 00m K = + 4m 30s Tm = 04h 24m 30 s 5/03/2007

Tc = 04h 22m 20m K = + 4m 30s Tm = 04h 26m 50s 5/03/2007

Dati Calcolati Dati Calcolati Tm = 04h Im = 24m 30s hi(( = 17°50.3’ +γc = + 1.5’ ho = 17° 51.8’ C1 = 13.1’ C2 = 70.4’ C3 = 32.4’ hv = 18° 47.7’ hs = 18° 44,3’ Δh = + 3.3’

T((= 045° 24.1’ I((= 05° 50.8’ pp= 7.0’ T((= 51° 21.9’ + λs+= + 013° 20.2’ E t((= 064° 42.1’ δ = 00° 07.8’ N pp = - 5.8’ δ = 00° 02.0’ N φ = 41° 20.2’ N hs = 18°44,3’ Az = 252.7° Δh = +3.3

Tm = 04h Im = 26m 50s hi = 25° 10.2’ +γc = + 1.5’ ho = 25° 11.7’ C1 = 13.1’ C2 = 38.5’ hv = 25° 03.3’ hs = 25° 00.3’ Δh = + 3.0’

T●= 325° 15.0’ I●= 06° 42.5’ T●= 331° 57.5’ + λs+ =+013° 20.2’ E t●= 345° 17.7 δ = 22° 12.6’ S φ = 41° 20.2’ N hs = 25° 00.3’ Az = 165.0° Δh = +3.0


379

Polare Vega Tc = 04h 23m 04m K = + 4m 30s Tm = 04h 27m 34 s 05/03/2007

Tc = 04h 25m 41m K = + 4m 30s Tm = 04h 30m 11s 05/03/2007

Dati Calcolati Dati Calcolati Tm = 04h Im = 27m 34s hi = 40° 45.5’ +γc =+ . 1.5’ ho = 40° 47.0’ C1 = 13.1’ C2 = 38.9’ hv = 40° 39.0’ hs = 40° 41.6’ Δh = - 2.6’

Ts= 222° 31.8’ Is= 06° 54.2’ Ts= 229° 26.0’ +Coα= 320° 19.3’ Ta= 549° 45.3’ + λs+ =+013° 20.2’ E ta= 563° 05.5’ - 360 ta= 203° 05.5’ δ = 89° 18.1’ N φ = 41° 20.2’ N hs = 40° 41.6’ Az = 0.3° Δh = -2.6’

Tm = 04h Im = 30m 11s hi = 62° 42.6’ +γc = 1.5’ ho = 62° 44.1’ C1 = 13.1’ C2 = 39.5’ hv = 62° 36.7’ hs = 62° 37.9’ Δh = - 1.2’

Ts= 222° 31.8’ Is= 07° 34.0’ Ts= 230° 05.8’ +Coα= 080° 42.4’ Ts= 310° 48.2’ + λs+ = 013° 20.2’ E ta= 324° 08.4’ δ = 38°47.0’ N φ = 41° 20.2’ N hs = 62° 37.9’ Az = 83.4° Δh = -1.2 ’

Trasporto:

( ) TmT hhhh Δ+Δ=Δ=Δ , Az-Rvmcos Astro Dt m Rv Az mhΔ ThΔ hΔ Luna 5m 31s 1.7 210° 253° 3.3’ 1.2 4.5’ Giove 3m 21s 1.0 210° 165° 3.0’ 0.7 3.7’ Polare 2m 37s 0.8 210° 0° -2.6’ -0.7 -3.3’ Vega ----- ----- 210° 83° -1.2’ ---- -1.2’

Punto astronomico calcolato: φs = 41°20.2’ N λs = 013°20.2’ E Δφ = 3.5’ S Δλ = 3.0’ W φo = 41°16.7’ S λo = 013°17.2’ E

Mario Vultaggio

380

A – 15) Al crepuscolo serale del 5 Marzo 2007 nel mar Tirreno si osservano i seguenti astri:

Astro Tempo (UTC) Altezza Castor 05h 40m 10s 62° 52.8’ Rigel 05h 42m 20s 41° 30.8’ Polare 05h 43m 04s 40° 55.5’ Venere 05h 45m 41s 19° 49.6’


φ=40°20.2’ N, λ=12°20.2’E , v=17 nodi, Rv=190°


Risoluzione

eliminazione dell’ambiguità del cronometro. tm= 18h 40 m 5/03/2007 - λf += - 1h E Tm app = 17h 40 m 5/03/2007


Castor Rigel Tc = 05h 40m 10m K = + 4m 30s Tm = 17h 44m 40 s 5/03/2007

Tc = 05h 42m 20m K = + 4m 30s Tm = 17h 46m 50s 5/03/2007

Dati Calcolati Dati Calcolati Tm = 17h Im = 44m 30s hi(( = 62° 52.8’ +γc = + 1.5’ ho = 62° 54.3’ C1 = 13.1’ C2 = 39.5’ hv = 62° 46.9’ hs = 62° 48,3’ Δh = - 1.4’

Ts= 058°03.8’ Is= 11°09.3’ Ts= 069°13.1’ + λs+ = +012°20.2’ E ts = 081°33.3’ Coα= 246° 13.8’ ta= 327° 47.1’ δ = 31° 52.3’ N φ = 40° 20.2’ N hs = 62° 48,3’ Az = 98.0° Δh = -1.4’

Tm = 17h Im = 46m 50s hi = 41° 30.8’ +γc = + 1.5’ ho = 41° 32.3’ C1 = 13.1’ C2 = 38.9’ hv = 41° 24.3’ hs = 41° 21.5’ Δh = + 2.8’

Ts= 058°03.8’ Is= 11°44.4’ Ts= 069°48.2’ + λs+ = +012°20.2’ E ts = 082°08.4’ Coα= 281° 16.7’ ta= 363° 25.1’ -360° ta= 003° 34.0’ δ = 08° 11.6’ S φ = 40° 20.2’ N hs = 41° 21.5’ Az = 184.7° Δh = +2.8’


381

Polare Venere Tc = 17h 43m 04m K = + 4m 30s Tm = 17h 47m 34 s 05/03/2007

Tc = 07h 45m 41m K = + 4m 30s Tm = 17h 50m 11s 05/03/2007

Dati Calcolati Dati Calcolati Tm = 17h Im = 47m 34s hi = 40° 55.5’ +γc =+ . 1.5’ ho = 40° 57.0’ C1 = 13.1’ C2 = 38.9’ hv = 40° 49.0’ hs = 40° 50.8’ Δh = - 1.8’

Ts= 058°03.8’ Is= 11°55.5’ Ts= 069°59.3’ +Coα= 320°19.3’ Ta= 390°18.6’ + λs+ =+012°20.2’ E ta= 402°38.8’ -360° ta= 042°48.8’ δ = 89° 18.1’ N φ = 40° 20.2’ N hs = 40° 50.8’ Az = 359.3° Δh = -1.8’

Tm = 17h Im = 50m 11s hi = 19° 49.6’ +γc = 1.5’ ho = 19° 51.1’ C1 = 13.1’ C2 = 37.3’ C3 = 00.1’ hv = 19° 41.6’ hs = 19° 39.8’ Δh = + 2.8’

T●= 043° 53.5’ I●= 12° 32.8’ T●= 056° 26.3’ + λs+ =+012° 20.2’ E t●= 068° 46.5’ δ = 05° 28.7’N φ = 40° 20.2’ N hs = 19° 39.8’ Az = 260.2° Δh = +2.8’

Trasporto: ( ) TmT hhhh Δ+Δ=Δ=Δ , Az-Rvmcos

Astro Dt m Rv Az mhΔ ThΔ hΔ Castor 5m 31s 1.6’ 190° 98° -1.4’ -0.1’ -1.5’ Rigel 3m 21s 0.95’ 190° 185° 2.8’ 0.9 3.7’ Polare 2m 37s 0.74’ 190° 359 -1.8’ -0.7 -2.5’ Venere ----- ----- 190° 260° +2.8’ ---- +2.8’

Punto astronomico calcolato: φs = 40°20.2’ N λs = 012°20.2’ E Δφ = 3.2’ S Δλ = 2.8’ W φo = 40°17.0’ S λo = 012°17.4’ E

Mario Vultaggio

382

A – 16) Al crepuscolo mattutino del 18Maggio 2007 nell’Oceano Pacifico settentrionale si osservano i seguenti astri:

Astro Tempo (UTC) Altezza Alpheraz 04h 05m 20s 24°55.7’

Enif 04h 07m 10s 37° 30.7’ Altair 04h 08m 50s 51° 35.7’ Nunki 04h 10m 20s 19°28.2’

Rasalhague 04h 12m 30s 55° 00.7’ Alphecca 04h 15m 23s 47° 54.7’

Alioth 04h 17m 43s 36° 08.7’ Polaris 04h 19m 07s 44° 16.7’


φ=44°25.7’ N, λ=163°38.2’E , v=16 nodi, Rv=140° Determinare la posizione astronomica all’istante dell’ultima osservazione.

Risoluzione a) eliminazione dell’ambiguità del cronometro e della data.

tm = 03h 07 m 18/05/2007 - λf + = -11h E Tm = 16h 07 m 17/05/2007

Alpheraz Enif Altair Nunki Rasalhague Alphecca Alioth Polaris Tc =04h 05m 20s K = - 02m 13s Tm = 16h 03m 07 s 17/05/2007

Tc =04h 07m 10s K = - 02m 13s Tm = 16h 04m 57 s 17/05/2007

Tc =04h 08m 50s K = - 02m 13s Tm = 16h 06m 37 s 17/05/2007

Tc =04h 10m 20s K = - 02m 13s Tm = 16h 08m 07 s 17/05/2007

Tc =04h 12m 30s K = - 02m 13s Tm = 16h 10m 17 s 17/05/2007

Tc =04h 15m 23s K = - 02m 13s Tm = 16h 13m 10 s 17/05/2007

Tc =04h 17m 43s K = - 02m 13s Tm = 16h 15m 30 s 17/05/2007

Tc =04h 19m 07s K = - 02m 13s Tm = 16h 16m 54 s 17/05/2007

Calcolati Calcolati Calcolati Calcolati Calcolati Calcolati Calcolati Calcolati Tm = 16h Im = 03m 07s Ts= 114° 58.5’ Is= 000° 46.9’ Ts= 115° 45.4’ +Coα=357° 48.7’ Ta= 473° 34.1’ -360° 00.0’ Ta= 113° 34.1’ +λs+ =+163° 38.2’ E ta= 277° 12.3’ δ = 29° 07.7’ N φ = 44° 25.7’ N hs = 24° 46.2’ Az = 072.6° hi = 24°55.7’ +γc = - 2.4’ ho = 24°53.3’ C1 = 13.8’ C2 = 37.9’ hv = 24°44.0’ hs = 24°46.2’ Δh = - 2.2’

Tm = 16h Im = 04m 57s Ts= 114° 58.5’ Is= 001°14.5’ Ts= 116° 13.0’ +Coα= 033° 51.7’ Ta= 150° 04.7’ +λs+ =+163° 38.2’ E ta= 313° 42.9’ δ = 09° 54.4’ N φ = 44° 25.7’ N hs = 37° 20.6’ Az = 116.4° hi = 37° 30.7’ +γc = - 2.4’ ho = 37° 28.3’ C1 = 13.8’ C2 = 38.7’ hv = 37°20.8’ hs = 37°20.6’ Δh = + 0.2’

Tm = 16h Im = 06m 37s Ts= 114° 58.5’ Is= 001°39.5’ Ts= 116° 38.0’ +Coα= 062° 12.6’ Ta= 178° 50.6’ +λs+ =+163° 38.2’ E ta= 342° 28.8’ δ = 08° 53.1’ N φ = 44° 25.7’ N hs = 51° 20.8’ Az = 151.6° hi = 51° 35.7’ +γc = - 2.4’ ho = 51° 33.3’ C1 = 13.8’ C2 = 39.2’ hv = 51° 21.3’ hs = 51° 20.8’ Δh = + 0.5’

Tm = 16h Im = 08m 07s Ts= 114° 58.5’ Is= 002°02.1’ Ts= 117° 00.6’ +Coα= 076° 03.8’ Ta= 193° 04.4’ +λs+=+163° 38.2’ E ta= 356° 42.6’ δ = 26° 17.3’ S φ = 44° 25.7’ N hs = 19° 13.2’ Az = 176.9° hi = 19°28.2’ +γc = - 2.4’ ho = 19°25.8’ C1 = 13.8’ C2 = 37.2’ hv = 19°16.8’ hs = 19°13.2’ Δh = + 3.6’

Tm = 16h Im = 10m 17s Ts= 114° 58.5’ Is= 002° 34.7’ Ts= 117° 33.2’ +Coα= 096° 10.5’ Ta= 213° 43.7’ +λs+=+163° 38.2’ E ta= 377° 21.9’ δ = 12° 33.1’ N φ = 44° 25.7’ N hs = 54° 49.6’ Az = 210.4° hi = 55° 00.7’ +γc = - 2.4’ ho = 54°58.3’ C1 = 13.8’ C2 = 39.3’ hv = 54°51.4’ hs = 54°49.6’ Δh = + 1.8’

Tm = 16h Im = 13m 10s Ts= 114° 58.5’ Is= 003°18.0’ Ts= 118° 16.5’ +Coα= 126° 14.5’ Ta= 244° 31.0’ +λs+=+163° 38.2’ E ta= 408° 09.2’ - 360° 00.0’ ta= 48° 09.2’ δ = 26° 41.2’ N φ = 44° 25.7’ N hs = 47° 44.2’ Az = 261.7° hi = 47° 54.7’ +γc = - 2.4’ ho = 47°52.3’ C1 = 13.8’ C2 = 39.1’ hv = 47°47.2’ hs = 47°44.2’ Δh = + 3.0’

Tm = 16h Im = 15m 30s Ts= 114° 58.5’ Is= 003°53.1’ Ts= 118° 51.6’ +Coα= 166° 24.1’ Ta= 285° 15.7’ +λs+ =+163° 38.2’ E ta= 448° 53.9’ - 360° 00.0’ ta= 88° 53.9’ δ = 55° 55.3’ N φ = 44° 25.7’ N hs = 35° 58.8’ Az = 316.2° hi = 36° 08.7’ +γc = - 2.4’ ho = 36°06.3’ C1 = 13.8’ C2 = 37.9’ hv = 35°58.0’ hs = 35°58.8’ Δh = - 0.8’

Tm = 16h Im = 16m 54s Ts= 114° 58.5’ Is= 004°14.2’ Ts= 119° 12.7’ +Coα= 320° 26.0’ Ta= 439° 38.7’ -360° 00.0’ Ta= 079° 38.7’ +λs+ =+ 163° 38.2’ E ta= 243° 16.9’ δ = 89° 17.8’ N φ = 44° 25.7’ N hs = 44° 06.5’ Az = 000.9° hi = 44° 16.7’ +γc = - 2.4’ ho = 44°14.3’ C1 = 13.8’ C2 = 37.0’ hv = 44°05.1’ hs = 44°06.5’ Δh = - 1.4’


383

Punto Più Probabile (P.P.P.) - Risoluzione ai minimi quadrati

Mario Vultaggio

384

Risoluzione numerica dell’esercizio A - 16. Dati osservati e calcolati:

Alpheratz Enif Altari Nunki Rasalhague Alphecca Alioth Polaris

Az 72.6 116.4 151.6 176.9 210.4 261.7 316.2 0.9 Δh -2.2 0.2 0.5 3.6 1.8 3.0 -0.8 -1.4

Matric H=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−

−−−

02.000.170.072.000.114.051.086.0

05.010.048.088.090.044.095.030.0

. Matrice trasposta ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−

−−−−−=

02.070.000.151.005.048.090.095.000.172.014.086.010.088.044.030.0TH , o

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

=Δ

4.18.0

0.38.16.35.02.02.2

h

Prodotto ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

−

28.003.003.023.01HH T ,

prodotto ( ) =− TT HHH 1

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡28.003.003.023.0

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−

−−−−−02.070.000.151.005.048.090.095.000.172.014.086.010.088.044.030.0

= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−−

−−−−−04.017.028.017.002.010.023.027.023.015.006.022.023.019.008.010.0


385

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−−

−−−−−04.017.028.017.002.010.023.027.023.015.006.022.023.019.008.010.0

x ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

6.12.2

4.18.0

0.38.16.35.02.02.2

= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡φδλ

δφcos

Punto astronomico calcolato (PPP): φs = 44°25.7’ N λs = 163°38.2’ E Δφ = 2.2’ S Δλ = 2.2’ W φo = 44°23.5’ N λo = 163°36.0’ E

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