effemeridi nautiche Capitol o 08

7/25/2019 effemeridi nautiche Capitol o 08

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Capitolo 8 - Accuratezza della posizione

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Capitolo 8

Accuratezza della posizione

8.0 Generalit

La retta di altezza, come gi studiato nei capitoli precedenti, definita

dai parametri ( )sAzh, e si determina osservando laltezza di un astro.La misura angolare affetta da errori contenuti negli elementi che

servono a calcolarla per cui il suo utilizzo nella determinazione della

posizione anche legato agli errori sia di misura che di calcolo dei due

parametri di cui essa definita.

Nella differenza di altezza h entrano laltezza osservata e corretta vh e

laltezza calcolata sh . La prima, elemento osservato, si misura con ilsestante, perci rimane affetta dagli eventuali errori che pu commettere

losservatore, dagli errori dello strumento di misura (sestante); infine,

dagli errori che dipendono dallambiente circostante (depressione

dellorizzonte, scarsa visibilit , rifrazione astronomica, ecc.); la seconda,

elemento calcolato, insieme con lazimut stimato ( )ss ZAz , si determinain funzione delle coordinate stimate e del tempo del cronometro cT .

Occorre sottolineare, per, che il punto stimato non introduce degli

errori nel calcolo della sh a meno che non si commettono errori di

calcolo; in effetti, nella teoria della linearizzazione dei luoghi diposizione, la misura calcolata una misura esatta perch essa calcolata

per un ben determinato punto della superficie della terra supposta sferica.

Un eventuale errore potrebbe essere introdotto se il punto stimato fosse

molto lontano dal punto reale; in questo caso la sostituzione dellarco di

circonferenza massima tangente alla circonferenza daltezza sul piano di

Mercatore con la circonferenza di altezza linearizzata porta ad un errore;

occorre sottolineare che esso di natura grafica perch sulla carta di

Mercatore si traccia una retta tangente alla c.m. tangente alla curva di

altezza.

Rimane, allora, solo da considerare un eventuale errore sul cronometro,che ha per effetto, di variare le coordinate orarie dellastro osservato.

Inoltre, se le osservazioni usate per la determinazione della posizione

non sono simultanee o considerate tali, occorre anche considerare gli

errori di trasporto legati alla stima del cammino e della rotta della nave.


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Mario Vultaggio

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8.1 Classificazione degli errori

Quando si procede alla misura di una grandezza di qualsiasi specie

(distanza, angolo, tempo, area,ecc.) la grandezza misurata sempreaffetta da errori che possono essere raggruppati in due distinte classi:

classe di errori che nella misura influiscono sempre nello stessomodo (errori sistematici);

classe di errori che con uguale probabilit possono essere positivio negativi; questi errori sono detti accidentali o aleatori(casuali).

Nel nostro caso, le rette di altezze devono essere considerate affette sia

da errori accidentali che da quelli sistematici.

8.2. Punto astronomico ed incertezza della posizione con rette di

altezza

Nella figura 8.1 sono riportate due rette di altezza ( )21 , rr che siintersecano nel punto O; nellipotesi che le rette sono esenti da errori il

punto Orappresenta, nel sistema di riferimento cartesiano, la posizione

astronomica ottenuta per mezzo delle due osservazioni.

Figura 8.1 Intersezione di due rette di altezza incertezza dellaposizione


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Siano 21 , ss gli errori massimi di cui sono affette le due rette. La

posizione dellosservatore va ricercata allinterno del parallelogrammo

ABCD, delimitato dalle rette parallele alle due rette di altezza distanti daesse degli errori massimi 21 , ss ; larea delimitata definisce larea di

certezza o di incertezza e fornisce lincertezza della posizione Oche pu

essere anche rappresentata dalla semidiagonale dello stesso

parallelogrammo (la semidiagonale fornisce il raggio della circonferenza

di centro O). Calcolando larea del parallelogramma si ha:

CFABS = (8.1)

2

1

2

cos2cos,sin

sCF

ecsecAEABABAE

=

=== (8.2)

per cui

sin

4 21 ssS= (8.3)

Lincertezza della posizione anche data dalla circonferenza di raggio

pari alla diagonale massima del parallelogrammo. La semidiagonale,

applicando il teorema di Carnot al triangolo OKC, data da:

( )

cos2

180cos222

222

OKCKOKCKd

OKCKOKCKd

++=+= (8.4)

Nella seconda delle (8.4), ponendo = 90 , si ha la minima incertezza;in questo caso le due rette di altezza si intersecano perpendicolarmente:

2

2

2

1min

21min 4

+=

=

sd

ssS (8.5)

Quando le due rette di altezza sono affette da errore sistematico (v.figura 8.2) ( )sess == 21 , losservatore si trova sulla bisettrice dellacoppia di angoli definita dalla seguente relazione:

zA=180 (8.6)


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Mario Vultaggio

300

Figura 8.2 Errore sistematico bisettrice di altezza

con Az la differenza di azimut dei due astri osservati. Questa bisettrice denominata bisettrice di altezza; essa si identifica con la retta

iperbolica relativa alla differenza di altezza delle due misure; la coppia

di angoli interessata dalla bisettrice pu essere individuata dalla

convergenza o divergenza delle freccette di cui vengono munite le rette

di altezza indicanti le direzioni azimutale dei due astri osservati.

Figura 8.3 Errori accidentali incertezza della bisettrice di altezza


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297

La bisettrice di altezza diventa un luogo di posizione e sostituisce le due

rette di altezza. La bisettrice, pur essendo esente da errori sistematici,

affetta dagli errori accidentali presenti nelle misure degli astri. La suaincertezza data dalla seguente relazione:

( )2

cos2

1 Zechs

= (8.7)

con'

2

'

1 hhh = (8.8)

(ben nota in navigazione iperbolica); in effetti, i due astri possono essere

considerati due stazioni iperboliche e la loro bisettrice luogo di

posizione definito dalle differenze di altezza (differenze di distanze)esenti da errore sistematico. Nella Appendice del capitolo riportata la

trattazione statistica dellincertezza della bisettrice la cui equazione :

2cos

2

Zecb

=

(8.9)

Per comprendere lincertezza della bisettrice supponiamo che le rette

espresse da 21 , hh siano affette da errore sistematico sh e da errori

casuali21

,aa

hh dove il pedice aha il significato di errore accidentale;

in questo modo il secondo membro della (8.8) si esprime:

2

1

'

2

'

1

as

as

hhh

hhh

+=

+=

(8.10)

Lincertezza della bisettrice risulta pertanto:

( )2

cos

2

1121

Zechhs aa

= (8.11)

funzione della differenza dazimut tra i due astri e della differenza degli

errori accidentali presenti nelle due misure. A parit di errori,

lincertezza minima si ha quando = 180Z ; in questo caso la bisettricesi dice ottima.


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Mario Vultaggio

302

Figura 8.4 Incertezza della bisettrice di altezza

Nella figura 8.4 gli errori accidentali21

, aa hh sono stati indicati

semplicemente con ( )21 , ee . Pertanto, se le rette di altezza sono affettesoltanto da errori sistematici ( )se , esse forniscono un sicuro luogo di

posizione ma non permettono di determinare la grandezza di questo

errore presente nelle misure. Per ottenere lentit di questo errore

sistematico occorre una terza misura come riportato nelle figure 8.5 e

8.6, nelle quali sono state anche riportate, nel punto stimato sZ , ledirezioni degli astri osservati.

Figura 8.5 Area di certezza ed errore sistematico


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Figura 8.6Area di certezza ed errore sistematico

Nelle figure 8.5 e 8.6 le rette 321 ,, rrr relative a tre osservazioni di astri

danno luogo ad un triangolo(triangolo di certezza) e le bisettrici

associate alle coppie di rette determinano la posizione dellosservatore.

La distanza di questo punto dalle rette di altezza fornisce lerrore

sistematico ( )ss eh = . Lerrore sistematico positivo se dal centro deltriangolo il verso rivolto allastro altrimenti negativo. Il punto Ocade

allinterno del triangolo di certezza se la somma delle tre differenze

dazimut ( )321 ,, ZZZ maggiore di 180,caso di figura 8.5,altrimenti capita allesterno (caso di figura 8.6). Risulta abbastanza

evidente che, quando il punto cade fuori dellarea di certezza, occorre

dare poca fiducia al punto ottenuto con le tre bisettrici che si incontrano

allesterno. Nella pratica di bordo, quando si verifica la geometria delle

rette di altezza rappresentate in figura 8.6, si d fiducia alle rette ( )31 , rr e

la posizione si determina con lintersezione con la terza retta ( )2r . Inquesto caso, comunque, sempre losservatore che da fiducia alle rette

perch conosce le condizioni di osservazione delle misure di altezza

degli astri. Larea di certezza o di incertezza pu essere miglioratacalcolando la posizione astronomica con 4 o pi rette di altezza (v.

figura 8.7).


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Mario Vultaggio

304

Figura 8.7Area di certezza con 4 rette di altezza

Nel caso specifico di punto astronomico con 4 rette di altezza affette da

errore sistematico possibile ottenere il punto con lintersezione di due

bisettrici ottimali considerando quelle ottenute da rette di altezza che

differiscono di una differenza dazimut circa 180 (rette opposte) . Con

questa configurazione, supposto che le due bisettrici sono affette da due

differenti varianze, la statistica ci fornisce lincertezza del punto

astronomico.

e

sin

2

sin

2

2

2

1 +

= (8.12)

La relazione (8.12) calcolata nellipotesi che si conoscono le varianze

per le singole coppie oppure che tutti gli errori sulle rette possano essere


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immaginate appartenenti ad un ambiente di errori casuali indipendenti

ed espresse dalla varianza 222

1

2 ==e .

Se le zone di certezza delimitate dalle due coppie di rette di altezzarispetto alle quale sono tracciate le bisettrici hanno uguale ampiezza, la

distanza del punto ottenuto dallincontro delle due bisettrici da una delle

quattro rette fornisce lerrore sistematico di cui sono affette le bisettrici.

Figura 8.8Errori e1ed e2delle bisettrici

Se le zone di certezza delimitate dalle coppie di rette non hanno la stessa

ampiezza, lerrore sistematico pu essere considerato come ottenuto

dalla media delle due distanze minime del punto di incontro delle

bisettrici da una retta di ciascuna coppia. Se indichiamo con ( )21 ,ee ledistanze considerate come errori, lerrore sistematico delle bisettrici :


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Mario Vultaggio

306

212121

22ee

eeeee

+=

+= (8.13)

con la deviazione standard degli errori (v. relazione 8.A.8).

La (8.13) fornisce un errore accidentale piccolo quando gli errori hanno

lo stesso segno; nel caso contrario lerrore accidentale grande.

Questultima situazione si verifica quando lerrore di una coppia ha

segno contrario dellaltra coppia. In questo caso consigliabile di non

considerare il punto con le bisettrici ma di considerare larea di certezza

delimitata dalle due coppie di rette di altezza. Questo caso si ottimizza

applicando la tecnica dellottimizzazione degli errori (metodo dei

minimi quadrati).

8.3 Punto pi probabile (PPP) con rette di altezza

Abbiamo visto che nelle misure di altezze, la conoscenza del punto

stimato permette di associare alla misura di altezza vh , lequazione della

circonferenza di altezza e di calcolare la distanza sh , per mezzo delle

ben note relazioni trigonometriche sferiche applicate al triangolo stimato

di posizione (vedi figura 8.9):

Pn

cA

dA

AG

O

Ps

Os

Figura 8.9 Triangoli sferici associati agli osservatori Z(O)ed Zs(Os)


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( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

dL

dL

LddLL

ecZ

ssss

ASsASAss

ASsAsAs

+

+=++=

=

+=

,,,

cotsincostancoscot

coscoscossinsinsinh

per cui applicando lo sviluppo in serie di Taylor alla prima delle

relazioni (8.14) ed arrestandosi ai termini del I ordine si ha:

( ) ( )

( ) ( )( )

+++

++=++==

dd

dddfLh

sAAs

As

sscoscos,cos

sin,sinsin, 1

Dopo lo sviluppo, si ottiene la seguente linearizzazione della curva di

altezza:

21 hhl += (8.14)

i cui coefficienti 21 heh hanno il seguente significato:

( ) ( )ssLLl ,, = , sss

Zf

h sincos1

=

=

s

s

Zf

h cos2 =

=

Questi coefficienti sostituiti nella (8.14) , permettono di scrivere

lequazione della retta di altezza sulla carta:

ssssv ZZhh cossincos += (8.15)

Dalla (8.15) si possono ricavare lequazione della retta di altezza per il

piano di Mercatore e quella per il piano nautico per mezzo delle

relazioni di corrispondenza con le quali sono costruite le carte.

Per il piano nautico si ha:

s

sssv

x

y

yZxZhhh

cos

cossin

=

=

+==

(8.16)

per il piano di Mercatore si ha:


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Mario Vultaggio

308

==

+=

x

y

yZxZh

s

sss

sec

cossinsec

(8.17)

il primo membro rappresenta limporto della differenza tra la distanza

calcolata e quella misurata valutato sulla scala delle latitudini del piano

di Mercatore. Allora, tenendo presente questa ultima propriet,

lequazione (8.17) si generalizza nella seguente:

s

ss

hH

HyZxZ

sec

0cossin

=

=+

(8.18)

Nel caso di nosservazioni di astri, la loro linearizzazione porta al

seguente sistema di nequazione in due incognite:

=+

=+

=+

=+

=+

+++

0cossin

0cossin

0cossin

0cossin

0cossin

111

222

111

nnn

iii

iii

HyAzxAz

HyAzxAz

HyAzxAz

HyAzxAz

HyAzxAz

(8.19)

In questo sistema ogni equazione rappresenta un retta di altezza; i

coefficienti che dipendono dallazimut Az rappresentano i coseni

direttori della retta rappresentata sul piano nautico o sul piano di

mercatore, i valori iH contengono gli errori di misura.

Il sistema (8.19) sovradimensionato dato che sono sufficienti dueequazioni per determinare la soluzione ma comunque questa affetta da

errori di misura; infatti scegliendo altre due generiche equazioni la

soluzione sar sicuramente diversa dalla precedente dato che gli errori di

tipo accidentali, pur appartenendo alla famiglia degli errori aleatori,

sicuramente non sono gli stessi di quelli delle due precedenti equazioni.

In effetti il sistema compatibile ma ammette n-2soluzioni.

Se indichiamo con eiil generico errore di cui affetta la misura iH il

sistema (8.19) diventa:


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=+

=+

=+

=+

=+

++++

nnnn

iiii

iiii

eHyAzxAz

eHyAzxAz

eHyAzxAz

eHyAzxAz

eHyAzxAz

cossin

cossin

cossin

cossin

cossin

1111

2222

1111

(8.20)

In questo caso il sistema diventa compatibile ma indeterminato dato che

nel sistema n equazioni sono contenuti n+2 incognite. Per la sua

soluzione si ricorre al principio dei minimi quadrati supponendo che il

punto pi probabile ( ) ( ),, yx tra le infinite soluzioni abbia lacaratteristica di corrispondere alla condizione:

minimovalore1

2 ==

n

i

ie (8.21)

Figura 8.10 Rette di altezza - PPP con 8 osservazioni di altezza

Gli errori accidentali, come gi precedentemente visto nel caso di punto

con 2,3 e 4 rette di altezza, rappresentano spostamenti paralleli per ogni

corrispondente retta iH il principio equivale a dire che il punto pi

probabile di incontro delle rette in assenza di errori quello per cui la

somma dei quadrati delle distanze dalle rette errate minima.


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Mario Vultaggio

310

eHHx += (8.22)

=

=

=

=

++++

n

i

i

n

i

i

nn

ii

ii

e

e

e

e

e

e

H

H

H

H

H

H

ba

ba

ba

ba

ba

Hx

1

2

1

1

2

1

11

22

11

,,,

(8.23)

Nella quali i coefficienti ( )ii ba , indicano i coseni direttori presenti nelsistema (8.20),xil vettore posizione, H il vettore misura ed eil vettorecolonna degli errori.

Si potrebbe allora pensare che il punto pi probabile debba coincidere

con il baricentro della figura geometrica riportata in figura 8.10. In realt

ci non sempre si verifica. Per esempio, nel caso di tre rette di altezza,

(v. figura 8.5) il baricentro dato dallincontro delle tre mediane, mentre,

come si vedr pi avanti, il punto pi probabile si trova nellintersezione

delle tre simediane (rette simmetriche alle mediane rispetto alle

bisettrici). La figura (8.6) mostra, al contrario di quanto appena detto,invece un caso particolare dato che in questo caso il punto ottenuto con

lintersezione delle bisettrici si trova allesterno della figura geometrica

il cui baricentro sicuramente si trova allinterno della stessa. La tecnica

dei minimi quadrati assicura sempre che il punto pi probabile sta

sempre allinterno della figura geometria delimitata dalle n rette di

altezza. Il principio dei minimi quadrati pu dunque essere applicato

quando si suppongono trascurabili gli errori sistematici rispetto a quelli

accidentali. Nel caso contrario, quando si ritengono preoccupanti

entrambe le categorie di errori, bisogner operare in modo da tener conto

degli errori sistematici e successivamente, dopo averli eliminati,applicare il metodo dei minimi quadrati.

Dopo questa ampia discussione, passiamo ora alla trattazione

matematica del problema. Il sistema (8.20), in forma matriciale si pu

scrivere nella seguente forma vettoriale:

[ ]HHxe = (8.24)


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dove e il vettore degli errori, H la matrice di misura, x il vettore

posizione e H il vettore di misura.

Se indichiamo con

[ ]

[ ]

==

==

+=

+=

n

i

iiii

n

i

i

n

i

iii

n

i

i

Hdbxawe

Hdbxae

1

2

1

2

1

2

1

2

pesomatrice10 iw (8.25)

nella quale wi una matrice peso che ottimizza le misure. Allora la

(8.25) pu esprimersi anche nella seguente forma vettoriale:

( ) ( )

0)(

)(

=

=

dx

xdF

HHxwhHxxFT

(8.26)

[ ]

[ ]HwHwHxHHwHxwAHxdx

d

HwHwHxHHwHxwAxHxdx

d

dx

xdF

TTTTT

TTTTTT

+=

+=

2

)(

HwHwHxH

HwHwAxH

TT

TT

=

==

2

022

( ) HwHwHHx TT = 1 (8.27)

La equazione vettoriale (8.27) trovata fornisce le coordinate del punto

pi probabile rispetto al punto stimato Os.

8.4 Punto pi probabile (PPP) con 3 rette di altezza

Nel caso generale di n osservazioni, il sistema (8.27) fornisce la

soluzione del punto astronomico in forma matriciale. Lo stesso risultato

si pu ottenere graficamente tracciando le rette sulla carta e siano note i

lati e gli angoli della figura geometrica formata dalle rette di altezza.

Questo metodo grafico permette, nel caso di tre rette di altezza, di

trovare il punto pi probabile con lintersezione delle tre simediane.

Sia ABC il triangolo definito da tre osservazioni di astri i cui lati

rappresentano tre rette di altezza. Per semplificare la geometria


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Mario Vultaggio

312

introduciamo un sistema di riferimento il cui asse orizzontale sia

parallelo al lato AB. Siano ( ) ,, i tre angoli corrispondenti ai vertici.

Sia ( )yxO , il punto considerato allinterno del triangolo ABC e siano( )321 ,, eee le distanze minime del punto Odai latiAC,BC,AB.

Figura 8.11 PPPcon 3 rette di altezza

Dalla geometria del triangolo di figura 8.11 si ottengono le seguenti

relazioni:

( ) yc-xFBFLyFMxNFGOFFOMBAyOFxcBxAFcAB

eOFeOQeOD

cosOG,sinsin,cos,sin

,,,,,,,

,, 321

=====

========

===

)))

Per essere Oil punto pi probabile, la somma dei quadrati delle distanze

( )321 ,, eee dovr essere minima:

minimovalore

3

1

2

==iie (8.28)

Per soddisfare questa condizione occorre per prima trovare le

espressioni analitiche di ( )321 ,, eee in termini dei lati e degli angoli deltriangoloABCsupposti noti. Dalla geometria di figura 8.11 si ha:

( )

cossin

cossin

2

1

3

yxOGFNe

yxcMOFLMOMDe

yOFe

==

===

==

(8.29)


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La (8.28), esplicitata, fornisce le seguenti condizioni:

02

02

33

22

11

3

1

33

22

11

3

1

=

+

+

=

=+

+

=

=

=

y

ee

y

ee

y

ee

y

ee

xee

xee

xee

xee

i i

ii

i i

ii

(8.30)

Le derivate, presenti nelle (8.30), si calcolano per mezzo delle relazioni

geometriche trovate per il punto O:

1,cos,cos

0,sin,sin

321

321

===

=

=

=

ye

ye

ye

x

e

x

e

x

e

(8.31)

Cosicch, applicando le condizioni (8.30) per mezzo delle (8.29) e

(8.31), si ha:

( )[ ] [ ]( )[ ] [ ] 0coscossincoscossin

0sincossinsincossin

=+

=+

yyxyxc

yxyxc

Dal quale si ricavano le condizioni poste dal principio dei minimi

quadrati per il caso delle tre rette di altezza:

[ ] [ ][ ] [ ]

=+++

=

cossin1coscoscossincossin

sincossincossinsinsin22

222

cyx

cyx (8.32)

La soluzione del sistema (8.32) fornisce le coordinate del punto che

soddisfa la condizione (8.28); inoltre, le relazioni (8.30) e (8.31)

permettono di trovare una importante propriet.

Sostituendo le (8.31) nelle (8.30) si ha:

0coscos

0sinsin

321

21

=+

=+

eee

ee

(8.33)

Le due equazioni trovate rappresentano:

la prima il teorema dei seni; la seconda il teorema delle proiezioni.


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Mario Vultaggio

314

Osservando che ai seni degli angoli possibile sostituire i lati opposti, si

trova limportante propriet che le minime distanze che definiscono il

punto pi probabile sono proporzionali ai lati del triangolo delimitatodalle tre rette di altezza:

c

e

b

e

a

e 321 == (8.34)

8.5 Punto pi probabile (PPP) con le simediane

Le propriet trovate nel paragrafo precedente permettono di determinare

graficamente il punto pi probabile come intersezione delle tre

simediane. Per definizione, la simediana una retta simmetria alla

mediana rispetto alla bisettrice.

Per dimostrare questa propriet, consideriamo il triangolo di figura 8.12

nel quale, a partire dal verticeAal BC, oppostoA, sono state tracciate la

mediana (AM), la bisettrice (Ab) e la simediana (AS).

Figura 8.12 PPP con le simediane

Dai triangoli AMC e AMB con il lato in comune AM, indichiamo con

21 , i due angoli nel vertice A e sia L un generico punto posto sulla

simediana con 32 , eLTeLQ == .


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Applicando il teorema dei seni al triangoloABC,AMCeAMBsi ha:

12 sinsin,

sinsin,

sinsin

CMAMBMAMcb===

12

1

2

sin

sin

sin

sinBM,CM,

sin

sin

sin

sin

,sin

sin

==

=

=

=CMAM

BMAM

b

c

2

1

sin

sin

sin

sin

==

b

c (8.35)

e richiamando la propriet (8.34) si ha:

2

1

2

3

sin

sin

==

e

e

b

c

(8.36)

Inoltre, dai triangoli rettangoliALTeALQsi ottengono le due relazioni:

3

4

2

33243

sin

sin,sin,sin

===

e

eALeALe (8.37)

Infine, dal confronto tra (8.36) e (8.37):

3

4

2

1

2

3

sin

sin

sin

sin

==

e

e (8.38)

si ricava limportante propriet:

e 3241 == (8.39)

essendo il punto L individuato dalle simediane e soddisfacendo alla

condizione (8.34), esso rappresenta un punto che soddisfa la condizione

di punto pi probabile. Dopo di che, tracciando una seconda simediana


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Mario Vultaggio

316

possibile definire il punto pi probabile allinterno del triangolo

delimitato dalle tre rette di altezza.

La figura 8.13 fornisce la differenza tra punto pi probabile trovato permezzo delle tre simediane ed il punto definito con le tre bisettrici.

Figura 8.13 Punto astronomico (PPP) con intersezione delle tre

simediane


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Capito 8 - Appendice A

8.A.1 Calcolo dellincertezza della bisettrice di altezza.

In figura 8.A.1 sono rappresentate le rette r1e r2affette rispettivamente

degli errori e1e e2relativamente alle osservazioni degli astri A1e A2di

azimut Z1(Az1)e Z2(Az2). Le rette sono state tracciate dispetto ad un

ipotetico punto stimato Zsriportato in figura. La bisettrice b tracciata

sia passante per lintersezione delle due rette (r1, r2) che per il punto di

intersezione delle due rette affette dagli errori e1 ,e2. il vettore e

rappresenta lincertezza della bisettrice di altezza da calcolare.

Figura 8.A.1Geometria dellincertezza della bisettrice di altezza

I due astri osservati sono indicati dai due versori (i, j) rispettivamente

per gli astriA1eA2.


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Mario Vultaggio

318

Gli errori e1 e e2,(considerati positivi nella figura), possono essere

espressi per mezzo della distanzaPP2, con i due seguenti prodotti scalari:

jPPe

iPPe

=

=

22

21 (8.A.1)

La loro differenza fornisce il vettore e:

( )jiPPee = 221 (8.A.2)

Il modulo del vettore ( )ji si ricava applicando la relazione di Carnot:

( )

2sin2

2sin4

2sin22

)cos1(2cos211

cos2

222

12

222

Zji

ZZji

ZZ

ZZjijiji

=

=

=

=+=

=+=

(8.A.3)

Il modulo del vettore differenza, dato dalla (8.A.3), ha per versore

langolo formato tra la perpendicolare alla bisettrice e la congiungentePcon P2. Dopo queste considerazioni vettoriali, la (8.A.2) pu essere

espressa dalla seguente relazione:

2sin2 221

ZkPPee

= (8.A.4)

nella quale stato introdotto il versore k perpendicolare alla bisettrice.

Dalla figura (8.A.1) , si pu allora osservare che lincertezza della

bisettrice proprio kPPe = 2 , per cui dopo la sostituzione nella (8.A.4)

si ha:

( )2

cos2

121

Zeceee

= (8.A.5)

La relazione trovata fornisce lincertezza della bisettrice prodotta dagli

errori accidentali elementari ( )21 ,ee di cui sono affette le due rette dialtezza considerate ( )21 , rr .


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297

Lincertezza trovata pu essere valutata in termini probabilistici

considerando la teoria statistica degli errori aleatori dato che ogni errore

elementare pu essere considerato probabilistico ed appartenente ad unafamiglia di errori casuali ed indipendenti. In questo caso, considerando

infiniti gli errori, allerrore elementare pu sostituirsi , la corrispondente

varianza degli errori.

Richiamando la teoria probabilistica sugli errori casuali che stabilisce

che per ogni variabile casuale combinazione lineare di variabili casuali

indipendenti assegna la sua appartenenza alla legge normale

(distribuzione gaussiana), allora alla (8.A.4), nellipotesi che le due rette

siano affette da infiniti errori casuali:

( ) ( ) ( )2

cos24

1 2

1

21

1

22

1

21

1

2 Zec

n

ee

n

e

n

e

n

e n

i

in

i

in

i

in

i

i

+= ====

(8.A.6)

Per la natura degli errori, le sommatorie nella (8.A.6) hanno il seguente

significato:

( ) ( ) ( )0,,,

1

21

1

2

22

1

2

12

1

22

21====

====

n

i

in

i

ie

n

i

ie

n

i

ie

n

ee

n

e

n

e

n

e

Essendo nullo il prodotto 21ee perch entrambi gli errori hanno la stessa

probabilit di essere errori positivi e negativi per cui per n

sufficientemente grande la somma finale dei prodotti nulla. Lerrore

della bisettrice, dovuta agli errori accidentali presenti nelle due rette di

altezze, pu essere espressa dalla seguente relazione:

2cos

2

22

11 Zec

ee

e

+=

(8.A.7)

E da ricordare che la deviazione standard per gli errori casuali :

( ) ( )[ ]

( )21

212

2

2

12

con2

1

ee

eeeeeee mmm

=

+=+=

(8.A.8)

con la deviazione standard.

Una ulteriore semplificazione della (8.A.7) pu essere ottenuta

considerando che le due rette di altezza affette da errori sono state


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Mario Vultaggio

osservate dallo stesso osservatore . In queste condizioni si pu osservare

che le condizioni di osservazione non sono cambiate per cui le due

varianze posso essere pensate appartenenti allo stessa famiglia di erroricasuali e possono essere considerate uguali. Dopo queste semplici

considerazioni statistiche, lincertezza della bisettrice di altezza

espressa dalla seguente relazione:

2cos

22cos

2

2 Zec

Zecb

=

=

(8.A.8)

con b scarto quadratico medio della bisettrice di altezza e scarto

quadratico medio delle misure. Si pu osservare che oltre alla varianza

degli errori di misura, lerrore della bisettrice dipende dalla differenza di

azimut tra le due rette di altezza. Da questa considerazione si ottengono

le due seguenti importanti relazioni:

=

bZ

bZ

0lim

2

2lim

(8.A.9)

La bisettrice gode della massima accuratezza quando la differenza

dazimut a tende a 180 ( rette di altezza opposte). La bisettrice di

altezza perde di significato (incertezza massima) quando la differenza di

azimut nulla.

Figura 8.A.2Bisettrice di altezza per differenti valori di Z

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