Mario Vultaggio

285

Capitolo 7 Determinazione degli azimut

7.0 – Considerazioni generali In navigazione l’uso della misura di azimut è una operazione molto frequente a bordo delle navi; il controllo della bussola magnetica e della girobussola è una verifica che si effettua due volte al giorno e va trascritta su apposito giornale di bordo. La misura dell’azimut di un astro ( )mAz con l’appropriata strumentazione di bordo (apparecchio azimutale o grafometro) è confrontata con il corrispondente calcolo analitico ( )vAz ; la differenza fra questi due valori fornisce la variazione ( )V . Per la bussola magnetica alla variazione è apportata la declinazione magnetica con la quale si ottiene la deviazione della bussola magnetica per la prora bussola letta al momento della misura:

( ) ( )

( ) mb

bmbmv

dVPPdPAzAzV

−=+=−=

δδ

(7.0)

Nel caso della girobussola la variazione fornisce la deviazione della Gyro: ( ) ( )gbmv PPAzAzV δ=−= (7.1) Il controllo giornaliero della bussola va confrontato con il valore riportato nella tabella delle deviazioni esposta sulla plancia della nave. In presenza di elevate o anomale differenze trovate, deve mettere in attenzione l’ufficiale di bordo, che dopo opportune verifiche sui calcoli effettuati e sulle misure di azimut, sul cattivo funzionamento della bussola e che il campo magnetico di bordo ha subito notevoli variazioni non conforme a quello esistente al momento della stesura delle tabelle di deviazione. 7.1 – La misura di azimut La misura di azimut è effettuata con apparecchio azimutale sistemato sulla bussola normale oppure con grafometro sistemato sulle alette del ponte di comando. Quando si usa la girobussola, l’apparecchio azimutale è sistemato sul una delle due ripetitrice poste sulle alette del

Capitolo 7 – Determinazione degli azimut

286

ponte di comando. In entrambi i casi quando si effettua la misura il piano dello strumento deve essere perfettamente orizzontale perché solo in questa situazione la verticale dell’apparecchio appartiene al piano verticale contenente l’astro osservato. Il piano orizzontale della bussola, sul quale è sistemato l’apparecchio azimutale, dovrebbe mantenersi sempre orizzontale, dato che la bussola è dotata di sospensione cardanica; gli attriti ed una eventuale sospensione difettosa potrebbero non mantenere il piano della bussola orizzontale. Durante la misura, con nave in rollio, una pressione anomala sull’apparecchio azimutale da parte dell’operatore in fase di misura, potrebbe anche falsare la misura di azimut. Per valutare quale errore si commette quando il piano della bussola magnetica( o ripetitrice) non è orizzontale, consideriamo la figura 7.1 nella quale si suppone che il piano di misura sia inclinato dell’angolo i.

Figura 7.1 – Variazione della misura di azimut prodotta dal inclinazione

del piano di misura rispetto all’orizzonte

Nella figura 7.1 il piano verticale dell’astro è indicato dalla circonferenza massima ZAD; il piano di misura è rappresentato dalla circonferenza massima Z’AD’; l’astro A ha una altezza sull’orizzonta h; Z’ rappresenta la posizione della verticale dell’osservatore all’instante della misura;ZZ’=i è l’inclinazione della verticale dell’osservatore. A causa dell’inclinazione l’osservatore misura l’azimut HD’ invece del valore esatto HD.

Mario Vultaggio

287

Figura 7.2 – Triangolo sferico associato alla misura di azimut

Dal triangolo sferico di figura 7.2, applicando il teorema delle cotangenti (la formula di Vieta) si ha: ( ) ( ) αcot180sin180coscossincot jjzzi −+−=

αcotsincossinhcoshcot jji +−=

j

jisin

cossinhcoshcotcot +=α

Dalla quale si ricava:

ji

jcossinhcoshcot

sintan+

=α (7.2)

Questa espressione permette di ricavare l’errore in azimut 'DDa =Δ dato che dal triangolo sferico rettangolo DAD’ di figura 7.1 si ricava che: ( ) ( )ah Δ−==− 90cotcotsinh90cos α

sinh

tantan aΔ=α (7.3)

Uguagliando la (7.2) con la (7.3) si ha:

ji

jacossinhcoshcot

sinsinh

tan+

=Δ

e dividendo il secondo membro, numeratore e denominatore per

coshcot i si ha:

Capitolo 7 – Determinazione degli azimut

288

ji

ji

iji

ij

acostanhtan1

sintanhtan

coshcotcossinhcoshcot

coshcotsinhsin

tan+

=+

=Δ

[ ] 1costanhtan1sintanhtantan −+=Δ jijia Che può essere ulteriormente semplificata supponendo °< 45h ed i piccolo, applicando lo sviluppo binomiale: jia sintanh°=°Δ (7.4) Nella quale si è supposto l’inclinazione espressa in gradi. L’errore che si commette dipende principalmente dall’altezza dell’astro per cui per evitare errori di misura occorre usare astri con altezza piccola; per astro sull’orizzonte, l’errore di misura prodotto da inclinazione del piano di misura è nullo. Questo è il motivo per cui si effettua il controllo della bussola misurando l’azimut del Sole al sorgere e al tramonto. 7.2 – L’azimut in funzione del tempo Quando si osserva un astro, si misura al cronometro l’istante di osservazione. Questo valore, dopo opportune trasformazioni, permette di calcolare l’angolo al polo del triangolo di posizione relativo all’istante di osservazione. Note, dal nome dell’astro osservato, le coordinate uranografiche equatoriali e la posizione dell’osservatore, il calcolo dell’angolo azimutale (e quindi dell’azimut) si trova applicando una delle possibili equazioni trigonometriche.

Mario Vultaggio

289

Figura 7.3– Calcolo dell’azimut in funzione del tempo:triangolo di

posizione

Una relazione trigonometrica che esprime l’azimut in funzione del tempo è la relazione di Vieta o dei quattro elementi consecutivi:

ZPccoPcp cotsincossincot += ZPP cotsincossincostan += φφδ PZP cossintancoscotsin φδφ −=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

=P

PZsin

costantancoscot φδφ

[ ]PecPZ cottancostancoscot φδφ −= (7.5) Questa relazione è riportata nelle tavole nautiche edite dall’Istituto Idrografico della marina, note come tavole ABC. Infatti la (7.5) si scompone in due parti:

ecPA costan10 δ= PB cottan10 φ−=

[ ]BACZ +==10

coscot φ (7.6)

E’ importante qui sottolineare che il segno di C definisce il polo a cui occorre riferire l’angolo azimutale; l’angolo al polo definisce l’altro cardine. Nella risoluzione analitica della (7.5) ed in quella con l’uso delle tavole occorre tener presente che la latitudine è sempre positiva qualunque sia l’emisfero di appartenenza dell’osservatore e la declinazione è positiva se omonima alla latitudine:

Capitolo 7 – Determinazione degli azimut

290

( ) ( )( ) ( )( )( ) °<−

°>+−+

90 se B90 se B

eteronimi , se omonimi , se

PP

AA

δφδφ

(7.7)

( )( ) polo al angolodell' cardine angolare, valore,latitudine alla opposto Cardine

polo al angolodell' cardine angolare, valore,latitudine Cardine=⇒−=⇒+

ZCZC

Trovato l’angolo azimutale si passa al calcolo dell’azimut con le ben note relazioni di conversione qui di seguito riportate:

WZSAEZSAWZNAEZNA

zz

zz

180 , 180

360 , ))

))

+°=−°=

−°== (7.8)

7.2.1 – Errori sul calcolo dell’azimut in funzione del tempo L’uso della relazione (7.5) prevede la conoscenza delle coordinate geografiche dell’osservatore all’stante della misura. Di solito nel calcolo dell’azimut con la (7.5) si usano le coordinate del punto stimato. E’ allora importante valutare quale errore si commette nel calcolare l’azimut per mezzo delle coordinate stimate e di un eventuale errore nella misura dell’istante di osservazione. Essendo: ( )tZZ ,,δφ= (7.9) nella quale , occorre ricordare, l’errore in longitudine è all’interno del l’angolo orario calcolato. Per calcolare questo tipo di errore, è sufficiente differenziare la seguente relazione: PZP cossintancoscotsin φδφ −= (7.10) già precedentemente trovata; differenziando si ha:

[ ]

PdPd

dPdZ

dZPZdPP

sinsincoscos

coscostansinsin

sincotcos

2

2

φδδφ

φφφδφ

+

+−−=−

Raggruppando i termini comuni in δφ dddPdZ ,,, si ha:

Mario Vultaggio

291

[ ]

[ ]dPZPPd

dPZ

dZP

cotcossinsincoscos

coscostansinsin

sin

2

2

−++

+−−=−

φδδφ

φφδφ

dP

ZZPZPd

dPZ

dZP

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−

++

+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

−=−

sinsinsinsincoscos

coscos

coscoscoscossinsin

sinsin

2

2

φδδφ

φδ

δφδφ

(7.11)

Nella quale i differenziali δφ dddPdZ ,,, rappresentano gli errori di calcolo al variare delle variabili presenti nella (7.9). Sostituendo al numeratore del secondo e terzo termine a secondo membro la relazione fondamentale ( )sinh e la corrispondente correlativa ( )Acos , dopo alcuni sviluppi, si ottiene la seguente relazione finale:

[ ][ ]dPhA

dZdAdZ

seccoscos

sintanhcoshsin

δ

φδ

+

−+−= (7.12)

Supposto che le coordinate uranografiche (stella), Sole, pianeta e Luna siano note perché ottenute direttamente dalle effemeridi, gli unici errori che risultano significativi sono quelli introdotti dalla posizione stimata ( )λδφ ddP ≈, . Queste considerazioni permettono di trascurare nella (7.12) l’influenza della declinazione dell’astro osservato: [ ] [ ]dPhAdZdZ seccoscossintanh δφ −= (7.13) La relazione appena trovata fornisce il seguente errore massimo in azimut: hPZ sectanhmax Δ+Δ≤Δ φ (7.14) L’errore in azimut dipende, a parità di errori nel punto stimato, dall’altezza dell’astro osservato. Per un astro osservato all’orizzonte ( )0≈h , l’errore in azimut dipende soltanto dall’errore nell’angolo al polo. Siccome, però, l’incertezza sulla posizione difficilmente è superiore ai 30’, osservando un astro sull’orizzonte, l’errore in azimut difficilmente è superiore a 0,5°. Queste considerazioni portano a suggerire al navigante di non effettuare la lettura al cronometro

Capitolo 7 – Determinazione degli azimut

292

all’istante della misura dell’azimut con astro all’orizzonte o altezza molto bassa dato che il tempo necessario per l’osservatore per spostarsi dal luogo di misura alla sala nautica per la lettura del cronometro non comporta errori significativi nel calcolo dell’azimut dell’astro osservato. 7.3 – L’azimut in funzione dell’altezza osservata Questo calcolo dell’azimut in funzione dell’altezza osservata è usato quando l’osservatore teme un errore eccessivo sulla lettura del cronometro ( )dP ed eventualmente anche sulla posizione stimata ( )λd . In questo caso, dal triangolo di posizione(v. figura 7.4) si può calcolare l’azimut supponendo noti i tre lati ( )zpc ,, .

Figura 7.4– Calcolo dell’azimut in funzione dell’altezza

osservata:triangolo di posizione

Applicando la relazione fondamentale della trigonometria sferica al lato opposto all’angolo Z, si ha: Zcoscoshcossinhsinsin φφδ += (7.15) Alla (7.15) si fa preferire una delle formule del Borda che permette di trovare l’angolo azimutale per mezzo dei tre lati:

( ) ( )( ) SpS

hSSZcossin

sinsin2

tan−

−−=

φ (7.16)

Mario Vultaggio

293

La (7.15), però, può essere usata per studiare l’influenza degli errori di misura ( )φδ ddhd ,, sul calcolo dell’angolo azimutale. Differenziano la (7.15) si ha:

[ ]

[ ] ZdZdhZdZd

sincoshcoscossinhcoscoshsincoscoshsinsinhcoscos

φφφφφφδδ

−−+−=

(7.17)

Nella quale applicando il teorema delle proiezioni e quello dei seni si ottiene:

δφ

δφδφ

φδ d

Zdh

ZAd

ZPdZ

sincoshcoscos

sincoshcoscoscos

sincoshcoscoscos

−+=

Ed applicando ancora il teorema dei seni:

[ ] [ ]

[ ] δφφφφ

decPdhecPAdPdZ

seccosseccoscosseccot

+−+=

(7.18)

La (7.18) fornisce l’incertezza sul calcolo dell’azimut supposto l’esistenza degli errori sui tre lati del triangolo di posizione. Si può, prima di tutto osservare che nella (7.18) compare il termine φsec , per cui l’uso della (7.18) è da evitare con osservatore nelle alte latitudini. Inoltre è presente, sempre nella (7.18) la ecPcos e la Pcot ; per queste due funzioni il metodo non va applicato quando l’astro è prossimo al passaggio al meridiano (massima variazione in azimut). Il metodo è sconsigliato per osservatori con °> 55φ e per angolo al polo compreso: °<<° 45135 P . 7.4 – L’azimut al sorgere e tramonto dell’astro – Amplitudine Nel paragrafo precedente è stato trovato che la condizione ottimale per ridurre l’errore sul calcolo dell’azimut, l’astro osservato si deve trovare basso sull’orizzonte.

Capitolo 7 – Determinazione degli azimut

294

Figura 7.5– Calcolo dell’azimut al sorgere o al tramonto

Dalla figura (7.5), con l’astro all’orizzonte, il triangolo di posizione diventa rettilatero; l’istante del sorgere e del tramonto si ricava considerando nella relazione fondamentale nulla l’altezza:

⎩⎨⎧

=+=

0coscoscossinsinsinh

hPδφδφ

δφ tantancos −=P (7.19) Mentre ponendo h=0 nella (7.15) si ricava il valore dell’azimut al sorgere o tramonto dell’astro:

⎩⎨⎧

=+=

0coscoshcossinhsinsin

hZφφδ

φδ

cossincos =Z (7.20)

Queste due relazioni, che forniscono l’istante del sorgere ed il corrispondente l’azimut, sono particolarmente applicati nel caso in cui l’astro sia il Sole e la Luna. Per quanto riguarda l’azimut la (7.20) per il sorgere e per il tramonto fornisce un valore di Z < 90° per ( )δφ , omonimi e Z>90° per ( )δφ , eteronomi. Spesso la (7.20) è sostituita con la seguente relazione, introducendo l’amplitudine:

φδ

cossinsin =Am (7.21)

Mario Vultaggio

295

E’, comunque, necessario sottolineare che quando si osserva il sorgere o il tramonto del Sole, l’osservatore effettua la misura all’istante in cui il lembo superiore è tangente all’orizzonte. In questa situazione però il centro del Sole si trova sotto l’orizzonte marino (azione combinata della rifrazione e della depressione dell’orizzonte). Ricordando che per una elevazione dell’osservatore sull’orizzonte e=6 m e che per un altezza nulla la rifrazione è circa 36.5’, che il semidiametro del Sole è circa 16,5’, si può ritenere che il centro del Sole è circa 58’ sotto l’orizzonte. Queste considerazioni ci permettono di valutare l’errore in azimut, usando la (7.20) o la (7.21) per mezzo di una relazione differenziale applicata alla (7.15) rispetto ad h e Z: [ ] [ ]dZZdhZ sincoshcoscossinhcoscoshsin0 φφφ −−= ed applicando il teorema delle proiezioni, si ha:

dhZ

dZsintanφ

= (7.22)

valida però soltanto per il valore di Z calcolato con h=0. 7.5 – L’azimut della polare La polare, essendo molto vicina al polo nord (p=89°17’N, 2006), può essere usata per il calcolo di azimut in funzione della latitudine dato che la sua altezza è proprio prossima alla latitudine dell’osservatore. Ovviamente questo calcolo va preso in considerazione per le medie e basse latitudine essendo in questi casi la polare bassa sull’orizzonte. Dal triangolo di posizione, applicando il teorema dei seni si ha:

cosh

sinsinsin pPZ = (7.23)

Capitolo 7 – Determinazione degli azimut

296

Figura 7.6– Calcolo dell’azimut della polare

Essendo xh += φ con tpx cos= La (7.23) si può scrivere:

( )

( ) [ ] 1tancos1secsinsintancos1cos

sinsinsincoscos

sinsincoscos

sinsinsin

−−=−

=

=−

=+

=

φφφφ

φφφ

tptptppt

Pppt

PpptZ

(7.24)

Questa relazione è suscettibile di una ulteriore semplificazione per mezzo dello sviluppo binomiale a secondo membro essendo sicuramente

1tan <φ per latitudini minore di 45°. Per questi casi allora la (7.24) diventa: ( ) ( )[ ]φααφ tancos1sinsinsecsin cotpcotpZ ss +++= (7.25) Questa relazione è usata nelle effemeridi per il calcolo dell’azimut della polare.