CONTENUTO

Capitolo 1 { Fondamenti di Relativita Generale

1.1 { Il Principio di Mach 1

1.2 { Principio di Equivalenza 4

1.3 { Il paradosso degli orologi 7

1.4 { Il paradosso di Schi{Oppenheimer 8

1.5 { Covarianza delle leggi naturali 10

1.6 { Sistemi accelerati 12

1.7 { Coordinate ruotanti 14

1.8 { Coordinate curvilinee 17

1.9 { Tensore metrico 18

1.10 { Trasformazioni particolari 21

1.11 { Componenti Covarianti e Controvarianti 24

1.12 { Proprieta generali del Tensore Metrico 26

1.13 { Vettori 29

1.14 { Base Coordinata 32

1.15 { Geodetiche 34

1.16 { Limite newtoniano 39

1.17 { Invarianti scalari e misure siche 41

1.18 { Tetradi 44

1.19 { Sistema localmente inerziale 47

1.20 { I proiettori h

ij

e

ij

49

1.21 { Trasformazioni di Lorentz in relativita generale 53

1.22 { Moto accelerato non rigido 55

1.23 { Moto iperbolico 57

1.24 { La geometria nei sistemi ruotanti 63

1.25 { Trasporto parallelo 66

1.26 { Derivata assoluta e derivata covariante 69

1.27 { Proprieta delle Connessioni Ani 71

1.28 { Operatori dierenziali 72

1.29 { Forze non gravitazionali 74

1.30 { Le Equazioni di Maxwell 75

iv Indice

1.31 { Le leggi di conservazione 78

1.32 { Il tensore di Riemann 81

1.33 { Equazioni della deviazione geodetica 84

1.34 { Trasporto di Fermi{Walker 85

1.35 { Esercizi sul Capitolo 1 89

Capitolo 2 { Le Equazioni di Einstein

2.1 { Le Equazioni di Campo di Einstein 95

2.2 { Condizioni coordinate 100

2.3 { Sistemi equivalenti 102

2.4 { Metrica esterna di Schwarzschild 104

2.5 { Teorema di Birkho 107

2.6 { Proprieta della metrica di Schwarzschild 109

2.7 { Moto radiale nella metrica di Schwarzschild 113

2.8 { Moto non radiale in Schwarzchild 117

2.9 { Soluzione interna di Schwarzschild 125

2.10 { Coordinate di Kruskal 129

2.11 { Embedding 131

2.12 { Metrica di Kerr 133

2.13 { Moto geodetico nella metrica di Kerr 137

2.14 { Il problema Cosmologico 140

2.15 { Esercizi sul Capitolo 2 147

Capitolo 3 { Fluidodinamica Relativistica

3.1 { Introduzione 149

3.2 { Limiti della Termodinamica relativistica 151

3.3 { Local Rest Frame di un uido 153

3.4 { Espansione, scorrimento, vorticita 154

3.5 { Equazioni di continuita 158

3.6 { Tensore energia{momento 160

3.7 { Gas di fotoni 163

3.8 { Le leggi della termodinamica 164

3.9 { Fluidi ideali in equilibrio 168

Indice v

3.10 { Fluidi in quasi equilibrio 170

3.11 { Equilibrio idrostatico 178

3.12 { Moto radiale adiabatico 179

3.13 { Accrescimento sferico 182

3.14 { Luminosita di Eddington 185

3.15 { Esercizi sul Capitolo 3 189

Capitolo 4 { Oggetti Compatti

4.1 { Introduzione 191

4.2 { Teorema del viriale 193

4.3 { Oscillazioni di una stella newtoniana 197

4.4 { Perturbazioni radiali 199

4.5 { Equazione di stato dei gas ideali 202

4.6 { Equilibrio Chimico 205

4.7 { Equazione di stato di un gas degenere 206

4.8 { Decadimento inverso 214

4.9 { Nane bianche, stelle di neutroni, buchi neri 221

4.10 { Esercizi sul Capitolo 4 228

Appendice A { Soluzioni degli esercizi 229

Indice Analitico 255

CAPITOLO I

FONDAMENTI DI RELATIVIT

A

GENERALE

1.1 { Il Principio di Mach

Tra le tante coincidenze apparentemente inspiegabili che accadono nel

mondo naturale, una aveva particolarmente colpito l'immaginazione di New-

ton. Essa riguardava la stretta correlazione esistente tra i riferimenti iner-

ziali ed il sistema individuato dalle stelle sse. Supponiamo che n dalla

sua formazione la terra fosse stata avvolta da una coltre impenetrabile di

nubi. Tramite una serie di esperimenti di meccanica condotti all'interno del

suo laboratorio, un osservatore terrestre avrebbe potuto constatare come

alcuni sistemi di riferimento, cioe i sistemi inerziali, godono di particolari

proprieta che li dierenziano dagli altri. Ad esempio, solamente rispetto ad

un osservatore inerziale il moto di un pendolo e piano, la traiettoria di una

particella isolata e rettilinea e l'asse di un giroscopio mantiene una orien-

tazione costante. Ora, se le nubi si fossero improvvisamente dissolte, quale

sarebbe stato lo stupore dell'osservatore nel constatare che gli assi coor-

dinati dei sistemi inerziali non ruotano rispetto alle stelle sse? Newton

aveva introdotto il concetto di spazio assoluto come luogo in cui le leggi della

natura assumono il loro aspetto piu semplice e nello stesso tempo aveva ac-

cettato come una coincidenza fortuita il fatto che, mediamente, la materia

dell'universo sia in quiete rispetto allo spazio assoluto. Egli ammise inoltre

la relativita del moto, ma solo nei confronti delle misure di velocita (Prin-

cipio di Galilei), mentre l'accelerazione assoluta poteva essere denita

oggettivamente, in quanto misurabile tramite la seconda legge.

Verso la ne del secolo scorso il sico ed epistemologo austriaco Ernst

Mach, tentando una sistemazione logico{matematica della dinamica new-

toniana, part dal postulato che, in realta, fosse privo di signicato parlare

di spazio assoluto e, inoltre, che non si potessero denire in alcun modo

non solo la velocita, ma anche l'accelerazione assolute: ogni forma di mo-

vimento acquista signicato solo mettendo in relazione tra loro piu corpi

2 Principio di Mach

materiali. Ma come e possibile conciliare il principio d'inerzia e, nello stesso

tempo, il postulato di relativita di tutte le forme del moto? Mach aronto il

problema prendendo spunto dal famoso esperimento di Newton del secchio

pieno d'acqua: se il secchio e l'acqua in esso contenuta ruotano rispetto alle

stelle sse, la supercie libera del liquido si incurva, mettendo in evidenza la

peculiarita del sistema ruotante rispetto ai sistemi inerziali. Immaginiamo

ora che il secchio rimanga in quiete, ma che, a nostra insaputa, un Essere

diabolico metta in movimento tutte le stelle, imprimendo loro una rotazione

rigida attorno alla terra. Secondo Mach gli osservatori terrestri si trovereb-

bero di fatto nell'impossibilita di vericare se e la terra che sta ruotando

oppure se, viceversa, la rotazione deve essere attribuita alla materia lontana.

In denitiva, essi dovrebbero sperimentare in entrambi i casi la presenza di

una forza centrifuga, responsabile diretta dell'incurvamento della supercie

dell'acqua.

Partendo da questa premessa, si arriva necessariamente ad ammettere che

sono proprio le stelle lontane a ssare le proprieta inerziali dei corpi. Tutto

succede cioe come se le stelle dell'universo generassero nel loro insieme una

sorta di campo guida che obbliga le particelle isolate a muoversi uniforme-

mente rispetto ad esso e a mantenere sso l'asse del giroscopio. Ogni devia-

zione da questo stato puo avvenire solo intervenendo con opportune forze

la cui intensita e proporzionale alla quantita di materia (massa) contenuta

nella particella stessa. La conseguenza principale di questo ragionamento e

espressa nel seguente Principio di Mach:

Tramite l'interazione gravitazionale universale, la materia complessiva-

mente distribuita nell'universo determina le proprieta inerziali dei corpi,

inclusa l'entita dell'inerzia espressa quantitativamente dalla massa.

Fu proprio sotto l'inuenza del principio di Mach che Einstein si accinse

a sviluppare una nuova teoria generale della relativita che comprendesse

anche la teoria della gravitazione. L'idea iniziale era che le forze apparenti,

come le forze di Coriolis o quelle centrifughe, avessero origine proprio dalla

reazione del campo guida generato dalle stelle lontane, quando le particelle

sono deviate dal moto uniforme; di conseguenza queste forze dovrebbero

essere considerate reali, al pari di quelle gravitazionali o elettromagnetiche.

Puo sembrare molto strana l'idea che l'accelerazione delle masse distanti

possa provocare l'insorgere di forze non rivelabili nei riferimenti inerziali.

Tuttavia, questo punto di vista non e meno articiale del noto fenomeno

Principio di Mach 3

per cui una carica risente delle sole forze elettrostatiche quando e in quiete

rispetto al campo elettrico generato dalle altre cariche, mentre nei riferi-

menti in cui essa possiede una velocita non nulla relativamente al campo,

si osserva l'insorgere di una ulteriore forza (magnetica). La forza inerziale

sarebbe quindi l'analogo gravitazionale della forza magnetica, la cui inten-

sita e pero proporzionale non alla velocita, bens all'accelerazione rispetto

al campo medio originato dalla materia dell'universo.

Nonostante questa analogia sia molto suggestiva, non esiste attualmente

alcuna teoria in grado di includere in maniera soddisfacente e autoconsi-

stente il principio di Mach. Anche la teoria della relativita generale non e

machiana nel senso appena descritto, e lo stesso Einstein, come gia New-

ton, dovette ammettere, non senza una certa riluttanza, che occorreva par-

tire dall'ipotesi che lo spazio ed il tempo fossero assoluti e quindi dovevano

possedere una loro propria struttura anche in assenza di materia.

Come ha sottolineato Hermann Weyl, lo spazio ed il tempo rappresentano

la forma dell'esistenza del reale, la materia ne e invece la sostanza. Ma

spazio, tempo e materia godono di caratteristiche proprie, ed entrano in

relazione tra loro solo attraverso l'idea composita di movimento. Einstein

ha mostrato pero che queste proprieta non sono sse ed indipendenti: la

struttura metrica dello spazio{tempo viene modicata dalla presenza della

materia, cos come il moto della materia e a sua volta guidato dalla metrica

dello spazio{tempo.

Il Principio di Mach ha avuto comunque il pregio di porre in evidenza

molto chiaramente la stretta correlazione esistente tra le proprieta inerziali

dei corpi e quelle gravitazionali ed inoltre di aver messo sullo stesso piano

le forze apparenti e quelle reali. Quest'ultimo fatto costituisce proprio la

base di partenza del principio generale della relativita: tutti i sistemi

di riferimento sono equivalenti nei confronti della formulazione delle leggi

fondamentali della natura.

4 Principio di Equivalenza

1.2 { Principio di Equivalenza

Le misure eettuate da Eotvos nel 1912 e ripetute con maggior precisione

da Dicke nel 1964 e da Braginskii nel 1971, hanno evidenziato l'esistenza di

una perfetta proporzionalita tra la massa inerziale e la massa gravitazio-

nale, con un errore relativo inferiore a 10

12

. Questo importante risultato,

la cui validita viene estesa a tutte le regioni dell'universo e ad ogni istante,

e contenuto nel seguente Principio di unicita della caduta libera

y

:

Due corpi situati nello stesso punto di un campo gravitazionale cadono esat-

tamente con la stessa accelerazione, indipendentemente dalla loro struttura

interna e composizione.

La principale conseguenza di questa aermazione e che per ogni punto

dello spazio{tempo passa una ed una sola linea universo di corpi di prova

z

(particelle libere). Einstein intu che l'eguaglianza tra la massa inerziale e

quella gravitazionale non poteva essere frutto di una semplice coincidenza,

bens essa doveva scaturire da una proprieta universale del mondo sico,

e, come tale, doveva essere contenuta in maniera implicita in una teoria

unitaria della meccanica.

Supponiamo che un osservatore si trovi all'interno di un laboratorio in ca-

duta libera in un campo gravitazionale. Eseguendo misure cinematiche su

diverse particelle di prova, egli osserva che queste descrivono traiettorie retti-

linee con velocita uniforme, come se il laboratorio fosse inerziale. Cioe tutti

gli eetti dinamici del campo gravitazionale vengono annullati dal campo di

accelerazione cui e sottoposto il laboratorio, esattamente come scompaiono

le forze centrifughe o di Coriolis quando si passa da un riferimento ruotante

ad uno inerziale. Da questo punto di vista le forze gravitazionali hanno un

comportamento identico a quello delle forze apparenti nei sistemi accelerati.

In realta il paragone e valido solo localmente. Infatti, mentre con

un'opportuna trasformazione del sistema di riferimento e sempre possibile

annullare ovunque e contemporaneamente le forze apparenti \proprie", cio

non e piu vero nel caso delle forze gravitazionali. Infatti lo sperimentatore

in caduta libera e eettivamente in grado di distinguere la vera natura delle

y

Viene chiamato alle volte anche Principio di Equivalenza debole, per distinguerlo dal

Principio di Equivalenza forte (v. piu avanti).

z

Per corpo di prova si intende una particella priva di struttura interna e non soggetta

forze che non siano, al piu, di natura gravitazionale.

Principio di Equivalenza 5

forze se esegue una serie di misure contemporanee su piu corpi di prova

distanti tra loro, oppure se prolunga l'osservazione per un tempo sucien-

temente lungo. In entrambi i casi egli osserva una graduale deviazione delle

traiettorie dal moto uniforme, e questa deviazione e tanto piu accentuata

quanto maggiore e la distanza delle particelle.

Figura 1.1 a) Un osservatore in caduta libera sperimenta localmente gli stessi eetti di

un osservatore inerziale posto lontano da corpi gravitanti. Analogamente, un osservatore

non riesce a distinguere localmente un campo gravitazionale da un campo di accelerazione

(gura b).

L'analogia tra campi gravitazionali e campi di accelerazione viene eviden-

ziata esaminando anche la situazione opposta in cui il laboratorio e im-

mobile in un campo gravitazionale: gli eetti cinematici sulle particelle di

prova sono localmente indistinguibili da quelli osservati in un riferimento

accelerato in assenza di gravita (Figura 1.1ab).

Sorge ora naturale la domanda se l'impossibilita da parte dell'osservatore

di discriminare i due campi gravitazionale ed articiale sia circoscritta ai

soli esperimenti di meccanica, oppure se egli sia in grado di distinguerli

ricorrendo, per esempio, ad esperimenti di elettromagnetismo. In realta,

tutte le osservazioni sperimentali condotte nora concordano verso una as-

soluta equivalenza tra i sistemi in caduta libera e quelli inerziali. Fu proprio

partendo da questa constatazione che Einstein formulo la teoria della re-

lativita generale trattando la gravita non come un campo di forza reale,

ma come eetto della deviazione del sistema di riferimento dalla condizione

di inerzia. Questo fondamentale Principio di Equivalenza forte viene

oggi formulato nel seguente modo:

6 Principio di Equivalenza

In un sistema localmente inerziale, ovunque ed in ogni istante, tutte le leggi

(non gravitazionali) della sica assumono la stessa forma familiare della

relativita speciale.

Cioe i risultati di tutti gli esperimenti locali eseguiti in un sistema in caduta

libera sono indipendenti dal moto. Ad esempio, misure eseguite all'interno

di una navicella in orbita attorno a Giove sono identiche a quelle fatte in

laboratorio orbitante attorno alla Terra, pur essendo molto diverse le velo-

cita e le accelerazioni dei due sistemi. Inoltre, le grandezze siche misurate

localmente in due riferimenti in caduta libera, ma che transitano nello stesso

punto con dierente velocita, trasformano secondo le relazioni di Lorentz,

esattamente come accade in relativita speciale. Di conseguenza, non solo

le particelle si muovono lungo percorsi (localmente) rettilinei, ma anche le

equazioni di Maxwell possono essere scritte nella forma

y

@F

ij

@x

j

=

4

c

J

i

;

@F

ij

@x

k

+

@F

jk

@x

i

+

@F

ki

@x

j

= 0 ; (1:2: 1)

e le equazioni di conservazione dell'energia e della massa

@T

ij

@x

j

= 0 ;

@

0

@t

+ div (

0

v) = 0 ; (1:2: 2)

e cos via.

In denitiva, la relativita speciale parte dall'idea che in ogni punto

dell'universo sia denibile una classe di sistemi inerziali e che esperimenti

eettuati in riferimenti inerziali dierenti diano risultati che dieriscono

per una trasformazione di Lorentz. Per di piu viene esclusa dalla teoria

la presenza di osservatori accelerati (una diretta estensione della relativita

speciale a sistemi non inerziali provoca infatti una serie di risposte parados-

sali). Viceversa, il principio di equivalenza della relativita generale parte

dall'idea che i riferimenti privilegiati (rispetto ai quali, cioe, si ottengono

risultati sperimentali eguali tra loro) siano legati ad osservatori in caduta

libera. Nella nuova visuale sono proprio questi riferimenti ad assumere il

ruolo di sistemi inerziali . Come vedremo in seguito, il prezzo da pagare

sara l'impossibilita di estendere la proprieta di \inerzialita" a regioni estese

attorno all'osservatore e, tanto meno all'intero universo.

y

Le relazioni tra F

ij

e le componenti cartesiane dei campi elettrico e magnetico sono

F

12

= B

z

; F

23

= B

x

; F

31

= B

y

; F

01

= E

x

; F

02

= E

y

; F

03

= E

z

.

Paradosso degli orologi 7

1.3 { Il paradosso degli orologi

Supponiamo che due orologi standard O e O ' siano ssati sulle rispettive

origini di due sistemi di riferimento cartesiani I e I ' aventi gli assi paralleli

ed in moto relativo con velocita v nella direzione dell'asse x . I due orologi

siano sincronizzati in modo che quando O e O ' coincidono, si abbia t =

t

0

= 0 . A causa della dilatazione temporale di Lorentz, O ' avanza piu

lentamente rispetto a O :

t

0

= t = ; (1:3: 1)

dove = (1v

2

=c

2

)

1=2

. Immaginiamo che dopo un certo tempo t = t

P

misurato da O , O ' raggiunga un punto P sull'asse x ; in accordo con la

(1.3. 1), esso segna in quel momento un tempo t

P

= . Se ora la velocita del

riferimento I ' viene invertita da v a v , l'orologio O ' raggiungera nuo-

vamente O quando quest'ultimo segna un tempo 2t

P

. Poiche la (1.3. 1)

e indipendente dal segno di v , il tempo indicato da O ' e, in quell'istante,

pari a t

0

P

= 2 t

P

= . Percio i due orologi, che inizialmente erano sincro-

nizzati, segnano alla ne due tempi diversi! La dierenza tra t e t

0

puo

essere direttamente misurata confrontando le letture fatte all'inizio ed alla

ne dell'intero processo quando i due strumenti si trovano esattamente sullo

stesso punto. Questo risultato, apparentemente paradossale, ha provocato

in passato numerose discussioni sull'autoconsistenza della teoria della rela-

tivita, non tanto per la dierenza di ritmo temporale che si instaura tra i

due orologi in movimento, quanto per il fatto che viene a cadere l'ipotesi di

relativita del moto tra i due sistemi I e I '. Infatti poiche I e I ' sono

equivalenti, si puo pensare che anche O subisca un'analogo ritardo rispetto

all'orologio fermo in I '. A questo scopo basta ripetere l'intera considera-

zione ssando l'attenzione sul sistema I ' e supponendo che I si muova

prima con velocita v e poi con velocita v . Si arriva cos alla conclusione

che ora deve essere O in ritardo rispetto a O ', in contraddizione con quanto

si era trovato prima.

In realta l'origine del paradosso sta proprio nell'aver considerato i sistemi

I e I ' perfettamente equivalenti, ed entrambi inerziali, per l'intera durata

dell'esperimento. Ma sappiamo che, per poter ritornare nello stesso punto,

almeno uno dei due sistemi deve necessariamente invertire la direzione del

moto, cessando per un certo tempo di essere inerziale: evidentemente il

ruolo svolto dai due riferimenti non puo essere scambiato!

8 Paradosso di Schi{Oppenheimer

Se da un lato la mancanza di simmetria tra I e I ' puo rendere ragione

dell'oggettivo ritardo di uno dei due orologi rispetto all'altro, e altres evi-

dente l'insucienza della teoria della relativita speciale nell'interpretare

quei fenomeni sici in cui intervengono sistemi accelerati. In particolare ri-

mane indeterminato l'eettivo ritardo dell'orologio accelerato nei confronti

dell'orologio inerziale quando esso descrive, ad esempio, una orbita circolare,

o traiettorie ancora piu complesse.

1.4 { Il paradosso di Schi{Oppenheimer

y

In assenza di materiali conduttori, dielettrici o magnetici, le equazioni di

Maxwell sono:

divH = 0 rotE+

1

c

@H

@t

= 0 (1:4: 1a)

divE =

e

rotH

1

c

@E

@t

=

1

4c

j ; (1:4: 1b)

dove

e

e la densita di carica, j =

e

v e la densita di corrente e v la velocita

delle cariche nel riferimento inerziale I . Come e noto le (1.4. 1a) e (1.4. 1b)

sono invarianti rispetto alle trasformazioni di Lorentz: in particolare in un

sistema di riferimento I ' in moto con velocita v relativamente ad I , i

campi elettrici e magnetici trasformano nel seguente modo:

E

0

=

E+

(v E)v

v

2

1

1

+

1

c

vH

(1:4: 2)

H

0

=

H+

(v H)v

v

2

1

1

1

c

v E

; (1:4: 3)

dove e il fattore di Lorentz. Le trasformazioni inverse sono analoghe alle

(1.4. 2) e (1.4. 3) con gli apici scambiati e con {v in luogo di v.

Consideriamo ora due sfere concentriche, rispettivamente di raggi R

1

e R

2

> R

1

, elettrizzate con carica j q j eguale ed opposta, uniformemente

distribuita sulle rispettive superci (Figura 1.2). Quando le sfere sono ferme,

il campo elettrico e magnetico esterni al sistema sono evidentemente nulli.

Se le due sfere sono poste in rotazione uniforme attorno all'asse z passante

per il loro centro, il campo elettrico e ancora nullo poiche la carica totale

R

e

dV = 0 e invariante. Al contrario il campo magnetico non e nullo

y Proc. Nat.Ac.Sci. 25, 301, 1934

Paradosso di Schi{Oppenheimer 9

essendo il momento magnetico di ciascuna sfera proporzionale al quadrato

del raggio. Il momento totale e quindi

M =

!jqj

3

(R

2

2

R

2

1

) :

In particolare, il campo magnetico in un punto del piano equatoriale distante

r R

2

dal centro delle sfere e

H

z

=

M

4r

3

; H

x

= H

y

= 0 :

Supponiamo ora che un osservatore O ' sia situato su un punto dell'asse x

0

di un riferimento cartesiano ruotante, centrato sulle sfere, e che percorra

un'orbita circolare di raggio r , con velocita angolare ! . Le trasforma-

zioni (1.4. 2) e (1.4. 3) forniscono le nuove componenti del campo elettrico e

magnetico:

8

>

>

>

:

E

0

x

0

=

!rH

z

=c

p

1 !

2

r

2

=c

2

; E

0

y

0

= E

0

z

0

= 0

H

0

z

0

=

H

z

p

1 !

2

r

2

=c

2

; H

0

x

0

= H

0

y

0

= 0

Cioe O ' rivela la presenza di campi elettromagnetici non nulli, nonostante

che, in questo riferimento, le sfere siano in quiete!

Figura 1.2 Paradosso di Schi{Oppenheimer.

Allo stesso risultato paradossale si arriva supponendo che le sfere siano ferme

rispetto a O : le trasformazioni (1.4. 2) e (1.4. 3) mostrano che i campi

elettrici e magnetici sono nulli rispetto all'osservatore ruotante, pur essendo

diverso da zero il corrispondente momento magnetico.

10 Covarianza ...

Ancora una volta, il paradosso trae origine dal fatto di aver implicitamente

esteso la validita delle equazioni di Maxwell a tutti i riferimenti, inclusi quelli

non inerziali: ma esattamente come le equazioni classiche che descrivono il

moto di una particella materiale in un sistema accelerato contengono degli

extratermini dovuti alle forze apparenti, nel caso dell'elettromagnetismo,

e necessario aggiungere alle equazioni (1.4. 1) alcuni termini di carica e di

corrente apparenti , opportunamente legati all'accelerazione del sistema di

riferimento.

1.5 { Covarianza delle leggi naturali

Dagli esempi fatti nei due precedenti paragra risulta evidente l'opportunita

di scrivere le equazioni della sica in una forma tale che possano essere ap-

plicate indierentemente sia in riferimenti inerziali sia in quelli accelerati.

In uno spazio{tempo a quattro dimensioni, il passaggio da un sistema carte-

siano inerziale ad uno accelerato puo essere fatto operando una trasforma-

zione dalle coordinate cartesiane X

0

= cT; X

1

= X; X

2

= Y ;X

3

= Z ,

alle coordinate generiche x

i

= f

i

(X

k

) , dove f

i

sono delle funzioni di

classe C

1

per il momento arbitrarie (si veda pero il x1.9). L'arbitrarieta

della forma delle nuove coordinate viene fatta per avere una maggiore ge-

neralita poiche, spesso, un problema che presenta particolari simmetrie di-

venta matematicamente piu semplice qualora vengano introdotte opportune

coordinate (polari, cilindriche, ecc). Anche alcune proprieta topologiche

dello spazio{tempo vengono studiate piu facilmente usando adeguate tra-

sformazioni. La richiesta di coordinate generali puo complicare fortemente

l'aspetto matematico del problema, ma questa iniziale complessita viene

fortemente ridotta se le equazioni fondamentali vengono scritte in modo da

mantenere inalterata la loro forma quando si passa da un riferimento ad

un'altro. Cio porta direttamente al concetto di covarianza delle leggi della

natura.

Siano A;B; ... variabili di campo di un certo problema, cioe grandezze

sicamente misurabili con opportuni apparati sperimentali e i cui valori

dipendono dalle coordinate x

i

di un certo sistema di riferimento S . Una

legge sica sara esprimibile da una o piu equazioni del tipo:

(A;B; : : : ;

@A

@x

i

;

@B

@x

i

; : : : ;

@

2

A

@x

i

@x

j

; : : :) = 0 ; (1:5: 1)

Covarianza ... 11

dove e una funzione di A;B; : : : ed eventualmente delle loro derivate

prime, seconde, ecc. Mediante le stesse tecniche di misura, ma usando

un dierente sistema di riferimento e dierenti coordinate, un altro osserva-

tore trovera valori A

0

; B

0

; : : : ; @A

0

=@x

0

; : : : diversi da A;B; : : : . Ad esempio

A

0

(x

i

0

) sara una funzione diversa da A(x

i

) in quanto le variabili di campo

generalmente non sono invarianti di forma. Se pero la legge sica contenuta

in (1.5. 1) e espressa in S ' da una equazione:

0

(A

0

; B

0

; : : : ;

@A

0

@x

0

i

;

@B

0

@x

0

i

; : : : ;

@

2

A

0

@x

0

i

@x

0

j

; : : :) = 0 ; (1:5: 2)

in cui

0

e la stessa funzione delle variabili A

0

; B

0

; : : : della funzione

(A;B; : : :) nelle variabili A;B; : : : , si dice allora che la (1.5. 1) e la (1.5. 2)

sono espresse in forma covariante.

La scelta di scrivere una categoria di leggi della sica in forma covariante

richiede naturalmente l'introduzione di un opportuno algoritmo matema-

tico, che puo anche cambiare quando, eventualmente, si passa da un conte-

sto teorico ad un'altro. Ad esempio, la meccanica quantistica e piu ecace-

mente descritta mediante il calcolo spinoriale, mentre la relativita generale

trova nei tensori e nelle proprieta di trasformazione delle loro componenti,

lo strumento piu naturale per includere la covarianza delle leggi.

Storicamente, il calcolo tensoriale e stato introdotto dapprima in mec-

canica classica come formalismo matematico utile per studiare le proprieta

elastiche dei mezzi continui, ed e stato successivamente applicato alla teoria

dell'elettromagnetismo. Ha avuto poi notevoli sviluppi formali soprattutto

in relazione allo studio geometrico delle superci gaussiane. Il calcolo usato

in relativita generale non dierisce sostanzialmente da quello classico se

non per due aspetti, per altro molto importanti: 1) la descrizione geome-

trica viene fatta in un contesto spazio{temporale a quattro dimensioni; 2) la

distanza tra due punti innitamente vicini, che nella geometria ordinaria e

data da una forma quadratica ds

2

denita positiva, diventa ora una forma

quadratica non denita, nelle quattro coordinate x

i

.

Si tenga presente che la richiesta di covarianza non contiene in se alcun

elemento sicamente rilevante poiche, a priori, e sempre possibile scrivere

una legge in una forma tale da soddisfare questo requisito

y

. Essa esprime

y

S. Weinberg,Gravitation and Cosmology, John Wiley & Sons, cap. 4, 1972

12 Sistemi accelerati

piuttosto un principio di economia, in quanto una legge covariante puo essere

studiata senza la necessita di dover precisare non solo lo stato di moto del

riferimento ma anche il sistema di coordinate usate per localizzare gli eventi.

Nel contesto della relativita generale, il fatto sicamente piu rilevante riguar-

dante la covarianza e proprio l'introduzione del Principio di Equivalenza,

discusso nel x1.2. Cio comporta che la richiesta di covarianza debba essere

estesa a tutti i riferimenti, inclusi quelli accelerati rispetto agli osservatori

inerziali. Essa inoltre deve coinvolgere tutte le leggi siche fondamentali, ad

eccezione delle leggi gravitazionali . Si aerma, inne, che rispetto agli os-

servatori in caduta libera queste leggi debbano assumere la medesima forma

che hanno in relativita ristretta. Occorre sottolineare che il nodo centrale di

queste aermazioni consiste proprio nell'aver escluso la gravita dalle intera-

zioni primarie tra i corpi materiali. Il Principio di Covarianza Generale

va interpretato dunque come una forma alternativa del Principio di Equiva-

lenza, nel senso che nelle equazioni (1.5. 1) e (1.5. 2) il campo gravitazionale

deve s comparire, ma non esplicitamente come variabile di campo, bens

come ingrediente matematico, alla stessa stregua in cui appaiono i termini

legati alle trasformazioni delle coordinate.

1.6 { Sistemi accelerati

E noto dalla relativita speciale che, mediante l'invio di opportuni segnali

luminosi, un osservatore inerziale O e in grado di sincronizzare il proprio

orologio con gli orologi situati in tutti i punti dell'universo in quiete rispetto

ad esso. Inoltre il ritmo di un orologio fermo in un evento generico P

di un sistema di riferimento I puo essere confrontato con quello di un

orologio solidale in un riferimento I ', in moto uniforme rispetto ad I , e

la cui posizione coincide in quel momento con P . Analogamente e sempre

possibile confrontare tra loro le lunghezze di regoli standard trasportati

rigidamente da due riferimenti I ed I '.

In relativita generale la creazione di una rete di segnali in grado di sincro-

nizzare orologi situati in punti diversi di sistemi accelerati non e piu ovvia, e

talvolta e addirittura impossibile stabilire in maniera univoca la separazione

temporale o spaziale tra un osservatore ed un evento che non si trovi in un

intorno spazio{temporale innitesimo dell'osservatore.

E opportuno precisare brevemente le modalita con cui possono essere fatte

le misure locali. Infatti, gli strumenti di misura solidali con un osservatore

Sistemi accelerati 13

accelerato sono sottoposti a forze apparenti la cui intensita dipende dalla

violenza con cui viene accelerato il sistema di riferimento. Ci si puo chie-

dere allora se, e in quale misura, il ritmo degli orologi o la lunghezza dei

regoli standard dipendano dalla accelerazione rispetto agli strumenti ssi in

un riferimento inerziale. In linea di principio si puo ritenere che le misure

possano essere inuenzate in due dierenti modi, uno legato alle proprieta

meccaniche o elettromagnetiche dei materiali, e l'altro, piu sostanziale, le-

gato ad un'eventuale sensibilita dello spazio e del tempo a variazioni di

velicita. Nel primo caso e plausibile pensare che le deformazioni provocate

dalle sollecitazioni cui sono sottoposti gli orologi ed i regoli possano essere

piu o meno facilmente corretti qualora siano note le proprieta elastiche ed

elettriche dei materiali. Viceversa una dipendenza reale dall'accelerazione

delle lunghezze e dei tempi segnati dagli strumenti puo essere evidenziata

solamente per mezzo di una analisi sperimentale. In realta, tutte le osserva-

zioni nora fatte sui corpi accelerati non hanno rivelato alcuna dipendenza

dal movimento, se non quella dovuta alla velocita. Ad esempio, le misure

dei tempi di decadimento di particelle deviate dai campi magnetici negli

acceleratori indicano chiaramente che la vita media dipende solo dalla velo-

cita e non dalla curvatura della traiettoria, ed inoltre queste misure sono in

accordo con quelle calcolate in base alla dilatazione temporale di Lorentz.

In relativita generale si fa allora la seguente ipotesi: un regolo ed un oro-

logio standard a riposo in un sistema accelerato S ha esattamente la stessa

lunghezza e segna esattamente lo stesso tempo di un regolo e un orologio

a riposo in un sistema di riferimento inerziale I che nel momento consi-

derato ha la stessa velocita di S . In altre parole le misure di spazio e di

tempo sono soggette alle sole trasformazioni di Lorentz.

E importante sottolineare il fatto che due osservatori aventi in un certo

punto P dello spazio{tempo la stessa velocita, ma diversa accelerazione,

trasportano orologi e regoli che sono concordi solamente nel punto P , ma

descrivono dierentemente gli eventi sici che avvengono in un intorno nito

dello spazio{tempo. Per di piu essi descrivono in modo dierente tutte

le leggi siche nelle quali sono coinvolte derivate di ordine superiore nelle

coordinate. Ad esempio, i due osservatori misurano il medesimo valore della

velocita di una particella che transita in P , ma valori discordi della sua

accelerazione. I loro risultati sono discordanti anche per quanto riguarda la

velocita delle particelle che passano lontano da P .