CAP. IV FUNZIONI REALI

C. Boccaccio – Appunti di Analisi Matematica – CAP IV

1

CAP. IV

FUNZIONI REALI Per due funzioni reali RR →→ XgXf : e : si definiscono le nuove funzioni

RR R →⋅→−→+ XgfXgfXgf : ed: ,: al modo seguente:

( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ). :

: :

xgxfxgfXxxgxfxgfXxxgxfxgfXx

⋅=⋅∈∀−=−∈∀+=+∈∀

Queste si chiamano rispettivamente somma di ƒ e g, differenza di ƒ e g, e prodotto di ƒ e g.

Se poi per ogni Xx∈ risulta ( ) 0≠xg si definiscono le funzioni : ed:1 RR →→ XgfX

gcome

segue

( ) ( )

( ) ( )( )xgxfx

gfXx

xgx

gXx

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∈∀

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∈∀

:

11 :

Queste si chiamano rispettivamente reciproca di g e rapporto di ƒ e g. In modo altrettanto ovvio si definiscono le funzioni ( )R∈+⋅− affafaf , , , che prendono il nome rispettivamente di opposta di ƒ , prodotto di a per ƒ , somma di a ed ƒ , valore assoluto di ƒ . Si dice, poi, che ƒ è minore o uguale di g (risp. ƒ è strettamente minore di g, ƒ è minore o uguale di a , ƒ è strettamente minore di a ), e si scrive

( )afafgfgf <≤<≤ , , risp. , se

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )axfaxfxgxfxgxfXx <≤<≤∈∀ , , risp. : . Tra le funzioni reali si distinguono le funzioni dette monotone definite qui appresso. DEF.6- Una funzione R→Xf : si dice crescente (risp. strettamente crescente) in X se

( ) ( ) ( ) ( )( )''' risp.''' :''' t.c.'',' xfxfxfxfxxXxx <≤<∈∀ . Si dice che R→Xf : è decrescente (risp. strettamente decrescente) in X se

( ) ( ) ( ) ( )( )''' risp.''' :''' t.c.'',' xfxfxfxfxxXxx <≤<∈∀ . Se ƒ è crescente o decrescente si dice che ƒ è una funzione monotona. Se in particolare ƒ è strettamente crescente o strettamente decrescente, ƒ si dice strettamente monotona.

Esempi.

1) Una funzione costante è crescente e decrescente; 2) Se RR* ∈∈ ba e , la funzione ( ) baxxf += è strettamente crescente se 0>a , strettamente

decrescente se 0<a ;


2

3) La funzione ( ) 2xxf = non è monotona in R ma è strettamente crescente in +R e strettamente decrescente in -R .

4) La funzione ( ) 3xxf = è strettamente crescente in R .

y

5) La funzione ( )x

xf 1= ( )*R∈x è strettamente decrescente in ] [+∞,0 e strettamente

decrescente in ] [0,∞− ma non è strettamente decrescente, e nemmeno monotona, in R .

x

y

x

( ) 3xxf =

( )x

xf 1=

ƒ(x)=x2

O x

y


3

Per le funzioni monotone si dimostrano le seguenti proposizioni PROP.5.- Se [ ] R→baf ,: è monotona crescente (risp. decrescente) allora esistono il minimo ed il

massimo di ƒ e risulta

[ ]( ) ( )

[ ]( ) ( )

[ ]( ) ( )

[ ]( ) ( ) ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ==

==

∈∈

∈∈

max e min risp.

max e min

,,

,,

afxfbfxf

bfxfafxf

baxbax

baxbax

PROP.6- Se R→Xf : è strettamente crescente (risp. decrescente) allora ƒ è ingettiva e la sua

inversa ( )1 :f f X X− → è strettamente crescente (risp. decrescente). OSS.3- Si noti che una funzione ingettiva non è sempre strettamente monotona. Ad esempio

( )x

xf 1= è ingettiva in *R ma non è ivi strettamente monotona.

Si danno anche le seguenti definizioni DEF.7- Una funzione RR →:f si dice pari (risp.dispari) se

( ) ( )

( ) ( )( )xfxfxfxfx

−=−=−∈∀

risp. :R

DEF.8- Una funzione RR →:f si dice periodica di periodo 0>T se ( ) ( )xfTxfx =+∈∀ :R Esempi.

1) Una funzione costante definita in R è pari 2) La funzione identica di ( )( ) xxf =R è dispari 3) La funzione ( ) 2xxf = è pari 4) La funzione ( ) 3xxf = è dispari. 5) La funzione ( ) xxxf += 2 non è né pari né dispari.

OSS.4- Si noti che il grafico di una funzione pari è simmetrico rispetto all’asse y mentre il grafico di una funzione dispari è simmetrico rispetto all’origine.

Funzioni elementari

Le funzioni elementari sono particolari funzioni reali che danno origine, mediante operazioni algebriche o di composizione,alle funzioni che comunemente si studiano in Analisi.

Funzione potenza n-esima

DEF.9- Se ed n x∈ ∈*N R si pone

volte

........n

n xxxx ⋅⋅⋅=


4

e si chiama funzione potenza n-esima la funzione RR →:nf definita al modo seguente ( ) . : n

n xxfx =∈∀ R Proprietà della funzione potenza n-esima. 1) ( ) ++ = RRnf 2) Se n è pari, ( )nf + +=R R ( )( )+= RRnf quindi e .

3) Se n è dispari, ( )nf =- -R R ( )( ) quindi e RR =nf . 4) Se n è pari, nf è pari, è strettamente crescente in +R , strettamente decrescente in -R e per ogni

*R∈x risulta ( ) 0>xfn . 5) Se n è dispari, nf è dispari, è strettamente crescente in R e si ha ( ) ( ) 0 se 0 ,0 se 0 >><< xxfxxf nn . 6) Se n è pari si ha +∞===

∈∈∈

n

x

n

x

n

xxxx

RRRsup ,0mininf .

7) Se n è dispari si ha +∞=−∞=∈∈

n

x

n

xxx

RRsup ,inf .

8) ∈∀ nm, N ∗ , ∈∀x R: ( ) nmnm xx ⋅= 9) ∈∀ nm, N ∗ , ∈∀x R: nmnm xxx ⋅=+ 10) ∈∀m N ∗ , ∈∀ yx, R: ( ) mmm yxyx ⋅=⋅

Funzione radice n-esima Si dimostra il seguente TEOR.3- Per ogni *N∈n e per ogni +∈Ra esiste uno ed un solo +∈Rb tale che abn = . Si pone

ban = e n a si chiama radice n-esima (aritmetica) di a .

OSS.5- Dalla definizione si ha dunque che se +∈Rba, ed *N∈n risulta ( ) ( ).abba nn =⇔=

ƒ(x)=xn (n pari)

O x

y ƒ(x)=xn

(n dispari)

y

x


5

DEF.10- La funzione :ng + → +R R definita al modo seguente

( ) nn xxgx =∈∀ + :R

si chiama funzione radice n-esima. Proprietà della funzione radice n-esima 1) La funzione radice n-esima è l’inversa della restrizione della funzione potenza n-esima ad +R . 2) La funzione radice n-esima ng è strettamente crescente e si ha ( ) ++ = RRng .

3) +∞===+++ ∈∈∈

n

x

n

x

n

xxxx

RRRsup ,0mininf

Dimostriamo le 1) e 2). Per le proprietà 4) e 5) della funzione potenza n-esima nf si ha che per ogni

+∈ R

*N nfn , è strettamente crescente, dunque ingettiva (cfr. PROP.6). Allora ( ) 1−

+Rnf è strettamente crescente (cfr. PROP.6) e si ha per definizione di inversa

( )( ) ( ) ( ) nn

nn

n

yxxyxfyxyf

fyx

=⇔=⇔=⇔=

=∈∀∈∀−

+++

+

1

,

R

RRR

Da ciò consegue che

( ) ( ) nn yyfy =∈∀

−

+ +

1: RR

e quindi 1) e 2).

y

x

Dalla definizione di inversa di

+Rnf , consegue che

( ) ( )( )

( ) ( ) xxffx

xxffx

nn

nn

=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛∈∀

=∈∀−

+

−

+

+

+

1

1

:

:

R

R

R

R

e, quindi, a causa di 1) si ha

4) ( ) xxx

xxxnn

n n

=∈∀

=∈∀

+

+

:

:

R

R

5) nnn yxyxyxn ⋅=⋅∈∀∈∀ + :, , RN*

n x


6

6) ( )mnn m xxxnm =∈∀∈∀ + : ,, RN*

7) mnn m xxxnm ⋅+ =∈∀∈∀ : ,, RN*

Funzione esponenziale Premettiamo la seguente DEF.11- Se N-ZR* ∈∈ nx ed si pone

nn

xx −=

1

e si chiama potenza n-esima di x . Si pone inoltre .10 =x Per le potenze con esponente in Z sussistono le seguenti proprietà

1) ( ) nmnm xxxnm ⋅=∈∀∈∀ : ,, *RZ 2) nmnm xxxxnm ⋅=∈∀∈∀ + : ,, *RZ 3) ( ) mmm yxyxyxm ⋅=⋅∈∀∈∀ :, , *RZ

4) ( )mnn m xxxnm =∈∀∈∀∈∀ + : , , ** RNZ

5) : ,'' t.c.', ,', +∈∀=∈∀∈∀ ** RNZ x

nm

nmnnmm

' 'n mn m xx = . A causa della proprietà 5) è lecito dare la seguente

DEF.12- Se ** N ZQR ∈∈∈=∈ + nmnmqa edcon e si pone

n mq aa = e si chiama potenza di a con esponente q . OSS.6- Si noti che, a causa della 5), il numero n ma non dipende dal numeratore m e dal

denominatore n del numero razionale q , quindi dipende da q e, perciò, la definizione 12 è ben posta.

Si dimostrano le seguenti proposizioni PROP.7- Se +∈ *Ra , la funzione RQ ∈→∈ qaq è strettamente crescente se 1>a ed è strettamente decrescente se 10 << a . PROP.8- Se , se e 0 QR* ∈∈ + qa allora risulta:


7

10 se sup

1 se sup

0

0

0

0

<<=

≥=

<∈

<∈

aaa

aaa

qqq

qq

q

qqq

q

Q

Q

Dopo ciò è abbastanza naturale dare la seguente DEF.13- Se , ed Q-RR* ∈∈ + xa si pone

(5) 1 se sup ≥=<∈

aaaxq

q

qx

Q

(6) 10 se sup <<=<∈

aaaqx

q

qx

Q

ed xa si chiama potenza di a con esponente x . OSS.7- Si noti che le uguaglianze (5) e (6), assunte per definire xa x se è irrazionale, si dimostrano

(cfr.PROP.8) se ∈x Q. Evidentemente R∈=> xa xx ogniper 11 ed 0 . DEF.14- Se *R+∈a , la funzione RR →:af definita come segue ( ) x

a axfx =∈∀ :R , si chiama funzione esponenziale di base a , soltanto funzione esponenziale se ea = (numero di Nepero). Il numero xe si denota anche col simbolo xexp e si legge esponenziale di x .

Si dimostrano le seguenti proposizioni PROP.9- Per ogni *R+∈a , la funzione esponenziale afa base di è strettamente crescente se 1>a ,

strettamente decrescente se 1<a . PROP.10- Per ogni *R+∈a risulta

( ) ] [{ }⎩⎨⎧

=≠+∞

=.1 se 1

1 se ,0 aa

fa R

Proprietà della funzione esponenziale 1) { }- 1 : a +∀ ∈ *R 0inf ,sup =+∞=

∈∈

x

x

x

xaa

RR,

2) 1 :, xx

aaxa =∈∀∈∀ −

+ RR* ,

3) yxyx aaayxa ⋅=∈∀∈∀ ++ :,, RR* ,

4) ( ) , :,, y xyx aayxa =∈∀∈∀ + RR* 5) ( ) xxx baabxba ⋅=∈∀∈∀ + :,, RR* .


8

Funzione logaritmo Si osservi che, a causa della PROP.9, se { }1−∈ +

*Ra la funzione esponenziale afa base di è strettamente monotona, dunque ingettiva e perciò si può considerare la sua inversa. Si può porre, pertanto, la seguente DEF.15- Se { }1−∈ +

*Ra , si chiama funzione logaritmo in base a la funzione inversa della funzione esponenziale afa base di , e si denota con .loga Con xalog si denota il valore di

xa in log . Poiché per ogni { } ( ) risulta 1 ** RRR ++ =−∈ afa (cfr. PROP.10), dalla DEF.15 e dalla definizione di inversa di una funzione segue che RR* →+:loga e sussiste l’equivalenza

(7) ( ) ( )yaxyyx xa =⇔=∈∀∈∀ + log :, *RR .

Si ha inoltre (8) xax x

a =∈∀ log :R (9) xax xa =∈∀ +

log :*R .

CONVENZIONE- Si conviene di porre 10log e loglog == Loge e di chiamare, per ogni *R+∈x , logaritmo (naturale) di x il logaritmo in base e di x , cioè xlog , e logaritmo decimale di

x il logaritmo in base 10 di x , cioè Logx . Si ha la seguente PROP.11- Se { }1−∈ +

*Ra , la funzione alog è strettamente crescente se 1>a , strettamente decrescente se 10 << a .

Si ha inoltre ( ) RR* =+alog .

1 10, << aa x 1, >aa x

y

x


9

1

Proprietà della funzione logaritmo 1) 01log =a , 2) ( ) yxxyyx aaa logloglog :, +=∈∀ +

*R ,

3) yxyxyx aaa logloglog :, −=∈∀ +

*R ,

4) xx

x aa log1log : −=∈∀ +*R ,

5) xxx aa loglog :, αα α =∈∀∈∀ + RR* ,

6) (Cambio di base) { }axxbx

b

ba log

loglog :1, =−∈∀∈∀ ++** RR ,

7) { }a

bbb

a log1log :1 =−∈∀ +

*R

y x Funzione potenza Per ogni *R+∈x e per ogni R∈α si è definita (DEF.12 e DEF.13) la potenza αx di x con esponente α. Ciò dà luogo alla seguente DEF.16- Se R∈α , la funzione RR* →+:αp definita come segue ( ) α

α xxpx =∈∀ + :*R si chiama funzione potenza con esponente α. OSS.8- Osserviamo che se *N∈n la funzione potenza con esponente n coincide con la restrizione

ad *R+ della funzione potenza n-esima (cfr.DEF.9), mentre la funzione potenza con esponente n1

coincide con la funzione radice n-esima (cfr.DEF.10 e DEF.12).

1,log >axa

10,log << axa


10

x

)1( >ααx

xx

y y y )10( <<ααx )0( <ααx

PROP.12- La funzione potenza con esponente α è strettamente crescente se 0>α , strettamente

decrescente se 0<α . Dim. Consegue dal fatto che per ogni ** RR ∈∈ + α ogniper e x risulta

xx eex loglog αα α

== oltre che dalla stretta crescenza della funzione logaritmo e della funzione esponenziale.

PROP.13- Per ogni *R∈α l’immagine della funzione potenza con esponente α, cioè ( )*R+αp ,

coincide con *R + . Equazioni e disequazioni esponenziali e logaritmiche 1) Sia { } RR* ∈−∈ + ba e 1 . L’equazione

⎩⎨⎧

>=≤

=.0 se log soluzione unical' ha

0 se soluzioni hanon bbx

bba

a

x

Più in generale l’equazione

( )

( )⎩⎨⎧

>=≤

=0 se log ad eequivalent è

0 se soluzioni hanon bbxf

bba

a

xf

Esempi-

1. 024 =−xe non ha soluzioni.

2. 210121log12112 =⇔=−⇔=−⇔=− xxxa a

x

2) Sia { } RR* ∈−∈ + ba e 1 . L’equazione bxa =log ha come unica soluzione bax = . Più in generale l’equazione ( ) bxfa =log


11

2.

ha le stesse soluzioni dell’altra ( ) baxf = . Esempi-

1. 22log exx =⇔= . 2. ( ) 2101log 0 =⇔=−⇔=− xaxxa . 3) La disequazione

⎪⎩

⎪⎨

⎧

<<><>>>

≤>

10 e 0 se log le soluzioni come ha1 ed 0 se log le soluzioni come ha

0 se reali numeri i tuttisoluzioni come ha

abbxabbx

bba

a

ax

Ovviamente la disequazione

⎪⎩

⎪⎨

⎧

<<>>>><

≤<

.10 e 0 se log le soluzioni come ha1 ed 0 se log le soluzioni come ha

0 se soluzioni hanon

abbxabbx

bba

a

ax

Esempi-

1. 11log111 >⇔>−⇔>− xxex .

( ) ( ) .2111

21

01

1112001

11

10

11

111

1

≤⇔<∧⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛<∨⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ≤⇔

⇔⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ≤

−∧⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

≤⇔⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ≤−

−∧⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−≤⇔

⇔≤−

≤−⇔≤−

⇔≤−

xxxx

xxx

xx

xx

xx

xxee x

x

Si provi che

3. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ <<∨⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −<<−⇔<+− 1

21

211 1154 24

xxe xx

4. 00224 <⇔<−+ xxx

5. 3log3log3

10<<−⇔<+ − xee xx .

4) La disequazione

⎪⎩

⎪⎨⎧

<<<<

>>>

10 se 0 soluzioni come ha1 se le soluzioni come ha

logaax

aaxbx

b

b

a

Ovviamente la disequazione

⎪⎩

⎪⎨⎧

<<>

><<<

.10 se le soluzioni come ha 1 se 0 soluzioni come ha

logaax

aaxbx

b

b

a

Esempi- 1. ( ) 33 222032log exexx +<<⇔<−<⇔<−


12

2. ( )431

211021log

2

21 −<<−⇔⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛<+<⇔>+ xxx

Si risolvano le seguenti disequazioni 3. ( ) 0log 2 <− xx 4. ( ) 11log

31 <−x .

Equazioni e disequazioni irrazionali Una equazione irrazionale è una uguaglianza del tipo ( ) ( )xgxf = mentre una disequazione irrazionale è una disuguaglianza del tipo

( ) ( ) ( ) ( )xgxfxgxf >< o . 1) L’equazione ( ) ( )xgxf = è equivalente al sistema di equazioni

( )( )( ) ( )⎪

⎩

⎪⎨

⎧

=

≥≥

2

00

xgxf

xgxf

ovvero al sistema

( )( ) ( )⎩

⎨⎧

=

≥2

0

xgxf

xg

2) La disequazione ( ) ( )xgxf < è equivalente al sistema

( )( )( ) ( )⎪

⎩

⎪⎨

⎧

<

>≥

2

00

xgxf

xgxf

mentre la disequazione ( ) ( )xgxf > ha le stesse soluzioni dei due sistemi

( )( )

( )( ) ( )⎩

⎨⎧

>

≥

⎩⎨⎧

≥<

2

0

00

xgxf

xgxfxg

Esempi-

1. 521

912 012

312 <≤⇔⎩⎨⎧

<−≥−

⇔<− xxx

x

2. ( )⎩

⎨⎧

+>+−

≥+∨

⎩⎨⎧

≥+−

<−⇔+>+− 222

2

132

01

032 01

132xxx

x

xxx

xxx


13

( (

( (

(

(

(

( (

Si provi che

3. 334 4312 <≤⇔−>− xxx

4. ( ) ( )xxxxx ≤∨≤⇔−<− 2023 2 5. xxx <⇔−<− 2 321

Funzioni trigonometriche In un piano si consideri un angolo α di vertice O e due circonferenze C e C' di centro O. Detti B'A' e AB gli archi di C e C' contenuti in α e con gli estremi sui lati di α, siano ( ) ( )B'A' ed AB ll le lunghezze di tali archi e siano OA' e OA le misure dei segmenti OA' eOA . C ′ A′ C A

O α B B′ E’ noto che risulta

( ) ( )OA'

B'A'OAAB ll

=

cioè il rapporto ( )OAABl dipende solo dall’angolo α e non dalla circonferenza di centro il vertice O

di α. Tale rapporto prende il nome di misura in radiantidell’angolo α. Ovviamente se si sceglie la circonferenza C in modo che OA =1, la misura in radianti di α è uguale alla lunghezza dell’arco AB. E’ noto anche che la misura in radianti di un angolo piatto è il numero irrazionale π. Ciò premesso, consideriamo nel piano un sistema di assi cartesiani ortogonali di origine O e la circonferenza C di centro O e raggio 1 (detta cerchio trigonometrico); consideriamo poi il punto A=(1,0). Se P è un punto di C denotiamo con AP quello dei due archi, individuati dai punti A e P sulla circonferenza C, che viene percorso in senso antiorario da A a P. Si dimostra che (10) [ [ ( ) 0, 2 P C t.c. APx xx xπ∀ ∈ ∃ ∈ = .

Ciò premesso si pone la seguente DEF.17- Per ogni [ [ 0, 2x π∈ si pone

Px

A

α


14

-π π23

−

2π

−

2π π

π23

(11) sen ordinata di Pcos ascissa di P

x

x

xx==

e si chiamano rispettivamente seno di x e coseno di x.

Si è così definito il seno e il coseno di un qualunque numero dell’intervallo [0,2π[. Per definire il seno e il coseno di un qualunque numero reale basta porre

(12) [ [ ( )

( ) 0, 2 , : sen 2 sen

cos 2 cos

x k x k x

x k x

π π

π

∀ ∈ ∀ ∈ + =

+ =

Z

Infatti, per l’algoritmo della divisione euclidea, per ogni numero reale x esiste uno ed un solo [ [ 2 ,0 πα ∈ ed uno ed un solo πα kxk 2 che tali +=∈Z .

Dopo ciò si pone la seguente DEF.18- Si chiama funzione seno (risp. coseno) la funzione ( )RRRR →→ :cos risp. :sen definita dalle (11) e (12). Proprietà della funzione seno 1) ( ) ( );2 periodo di periodica èsen cioè sen2sen : , ππ xkxkx =+∈∀∈∀ ZR 2) ( ) [ ]; 1 ,1sen −=R

3) ( ) ; 1223sen , 12

2sen , 0sen : −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=∈∀ πππππ kkkk Z

4) ] [ ; 0sen : ,0 >∈∀ xx π 5) ] [ ; 0sen :2 , <∈∀ xx ππ 6) ( ) ( )dispari èsen sensen : xxx −=−∈∀ R

7) ;2

sen1senmax , 23sen1senmin ππ ===−=

∈∈xx

xx RR

8) [ ]1,1- 2

,2

e crescente testrettamen è 2

,2

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

ππππ

sensen .

y

1 -2π 2π x

FUNZIONE SENO

-1


15

-π

π23

− 2π

− 2π

π

π23

Proprietà della funzione coseno 1) ( ) )2 periodo di periodica è cos (cioè cos2cos : , ππ xkxkx =+∈∀∈∀ ZR ; 2) ( ) [ ]1 ,1cos −=R ;

3) ( ) ( ) 12cos , 12cos , 02

cos : −=+==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +∈∀ πππππ kkkk Z ;

4) 0cos :2

,2

>⎢⎣⎡

⎥⎦⎤−∈∀ xx ππ

;

5) 0cos :23 ,

2<⎢⎣

⎡⎥⎦⎤∈∀ xx ππ

;

6) ( ) ( )pari è cos coscos : xxx =−∈∀ R ; 7) 0cos1cosmax , cos1cosmin ===−=

∈∈xx

xx RRπ ;

8) [ ] [ ]( ) [ ]1 ,1,0cos e edecrescent testrettamen è cos ,0 −=ππ .

y 1 -2π 2π x -1 Valori notevoli di seno e coseno

.

21

3cos ;

23

3sen

; 22

4cos

4sen ;

23

6cos ;

21

6sen

==

====

ππ

ππππ

FUNZIONE COSENO


16

2π

2π

−

Funzione arcoseno

Dalla 8) delle proprietà della funzione seno si deduce che sen2

,2 ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡−

ππè ingettiva e la sua inversa è

strettamente crescente ed è definita in [ ] ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−=−

2,

2sen 1 ,1 ππ .

Si pone la seguente

DEF.19- Si chiama funzione arcoseno l’inversa di sen2

,2 ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡−

ππ e si denota con arcsen.

Dalla DEF.19 consegue che [ ] R→− 1 ,1:arcsen e risulta

1) [ ]( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−=−

2,

21 ,1arcsen ππ

2) arcsen è strettamente crescente

3) [ ] ( )xyxyx senarcsen :1 1,-y , 2

,2

=⇔=∈∀⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−∈∀

ππ

4) ( ) xxx =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−∈∀ senarcsen :

2,

2ππ

5) [ ] ( ) xxx =−∈∀ arcsensen :1 ,1

6) ( )2

1arcsen , 2

1arcsen , 00arcsen ππ=−=−= .

7) [ ] ( ) ( )dispari èarcsen cioè arcsenarcsen :1 ,1 xxx −=−−∈∀ -1 1

FUNZIONE ARCOSENO

x

y


17

π

2π

Funzione arcocoseno Dalla 8) delle proprietà della funzione coseno si deduce che

[ ]π,0cos è ingettiva e la sua inversa è

strettamente decrescente ed è definita in [ ] [ ]( )( )π,0cos 1 ,1 =− . Si pone la seguente DEF.20- Si chiama funzione arcocoseno l’inversa di

[ ]π,0cos e si denota con arccos.

Dalla DEF.20 consegue che [ ] R→− 1 ,1:arccos e risulta 1) [ ]( ) [ ]π ,01 ,1arccos =− 2) arccos è strettamente decrescente 3) [ ] [ ] ( )xyxyyx cosarccos :1 ,1 , ,0 =⇔=−∈∀∈∀ π 4) [ ] ( ) xxx =∈∀ cosarccos :,0 π 5) [ ] ( ) xxx =−∈∀ arccoscos :1 ,1

6) ( ) 01arccos , 1arccos , 2

0arccos ==−= ππ .

-1 1

FUNZIONE ARCOCOSENO y

x


18

Q

Q

Q. punto delordinata l' è tgcioè

tg cos sen

OHPH

OHPHOAQA quindi e

OAQA

OHPH

x

xxx===⋅==

Q. punto delascissa l' è cotg cioè

cotg sen cos

PHOH

PHOHOBBQ quindi e

OBBQ

PHOH

x

xxx===⋅==

Funzioni tangente, cotangente Si pone la seguente DEF.21- La funzione

RZ-R →⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ∈+ kk :

2:tg ππ

definita come segue

xxxkkx

cossen tg::

2=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ∈+∈∀ Z-R ππ

si chiama funzione tangente. La funzione { } RZ-R →∈kk : :cotg π definita come segue

{ }xxxkkx

sencos cotg :: =∈∈∀ Z-R π

si chiama funzione cotangente.

OSS.9- Si noti che se [ [⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−∈

2,0 ππx si ha

P A Analogamente se ] [π,0∈x si ha B P A

x

O

H

x

O

H

1 OA =

1 OA =


19

2π

2π

− π23

− π23

2π

2π

− π23

-π π -π π 2π

FUNZIONE TANGENTE

FUNZIONE COTANGENTE

x

y

x

y

x


20

Proprietà della funzione tangente

1) R=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⎢⎣⎡

⎥⎦⎤−

2,

2tg ππ

2) ( ) ( )ππππ periodo diperiodica è tgcioè tg tg::2

xkxkkx =+⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ∈+−∈∀ ZR

3) tg è una funzione dispari

4) ,2 2

tgπ π⎤ ⎡

⎥ ⎢⎦ ⎣−

è strettamente crescente

5) 33

tg, 14

tg, 33

6tg ===

πππ .

Proprietà della funzione cotangente 1) ] [( ) R=π,0 cotg 2) { } ( ) ( ) periodo diperiodica è cotg cioè cotg cotg :: πππ xkxkkx =+∈∈∀ Z-R 3) cotg è una funzione dispari 4)

] [0,cotg

πè strettamente decrescente.

Funzione arcotangente Dalla 1) e 4) delle proprietà della funzione tangente si deduce che

,2 2

tg π π⎤ ⎡−⎥ ⎢⎦ ⎣

è ingettiva e la sua inversa

è strettamente crescente ed è definita in R ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⎢⎣⎡

⎥⎦⎤−=

2,

2tg ππ .

Si pone la seguente DEF.22- Si chiama funzione arcotangente l’inversa di

,2 2

tg π π⎤ ⎡−⎥ ⎢⎦ ⎣

e si denota con arctg.

Dalla DEF.22 consegue che RR →:arctg e risulta

1) ( ) ⎢⎣⎡

⎥⎦⎤−=

2,

2arctg ππR

2) arctg è strettamente crescente

3) ( )xyxyyx tg arctg : ,2

,2

=⇔=∈∀⎢⎣⎡

⎥⎦⎤−∈∀ Rππ

4) ( ) xxx =⎢⎣⎡

⎥⎦⎤−∈∀ tgarctg :

2,

2ππ

5) ( ) xxx =∈∀ arctg tg:R 6) arctg è una funzione dispari.


21

2π

2π

−

7) 63

3arctg , 3

3arctg , 4

1arctg , 00arctg πππ==== .

Quello che segue è un elenco delle proprietà più importanti delle funzioni seno e coseno e di alcune formule d’uso comune. 1) 1cossen : 22 =+∈∀ xxx R

2) xxxxx sen2

cos , cos2

sen : −=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +∈∀

ππR

3) xxxxx sen2

cos , cos2

sen : =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −∈∀

ππR

4) ( ) ( ) xxxxx coscos , sensen : −=+−=+∈∀ ππR 5) ( ) ( ) xxxxx coscos , sensen : −=−=−∈∀ ππR Formule di addizione Per ogni x, y ∈R risulta: 6) ( ) yxyxyx sencoscossensen +=+ 7) ( ) yxyxyx sencoscossensen −=− 8) ( ) yxyxyx sensencoscoscos −=+ 9) ( ) yxyxyx sensencoscoscos +=− In particolare se in 6) e 8) si pone x = y si ottengono le Formule di duplicazione Per ogni x∈R risulta: 10) xxx cossen22sen = 11) 1cos2sen21sencos2cos 2222 −=−=−= xxxxx

FUNZIONE ARCOTANGENTE

x

y


22

Inoltre se nella 11) si pone 2x al posto di x si ottengono le

Formule di bisezione Per ogni x∈R risulta:

12) 2cos1

2cos2 xx +

=

13) 2cos1

2sen2 xx −

=

Inoltre addizionando e sottraendo membro a membro prima in 6) e 7) e poi in 8) e 9) si ottiene, per ogni x, y ∈ R, 14) ( ) ( ) yxyxyx cossen2sensen =−++ 15) ( ) ( ) yxyxyx sencos2sensen =−−+ 16) ( ) ( ) yxyxyx coscos2coscos =−++ 17) ( ) ( ) yxyxyx sensen2coscos −=−−+ Ponendo, poi, nelle formule di sopra α = x + y e β = x – y

ovvero 2

ed 2

βαβα −=

+= yx si hanno le cosiddette

Formule di prostaferesi Per ogni ∈βα , R risulta:

18) 2

cos2

sen2sensen βαβαβα −+=+

19) 2

cos2

sen2sensen βαβαβα +−=−

20) 2

cos2

cos2coscos βαβαβα −+=+

21) 2

sen2

sen2coscos βαβαβα −+−=−

Equazioni e disequazioni trigonometriche

Risulta ovviamente 1) πkxkx =∈∃⇔= t.c.0sen Z

2) ππ kxkx +=∈∃⇔=2

t.c.0cos Z .

Se ⎢⎣⎡

⎢⎣⎡−∈ ππ

23,

2x risulta

3) [ ] ( ) ( )( )axaxaxa arcsenarcsensen :1 ,1 −=∨=⇔=−∈∀ π

4) ] [ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎢⎣⎡

⎥⎦⎤ −∪⎢⎣

⎡⎢⎣⎡−∈⇔<−∈∀ πππ

23,arcsenarcsen,

2sen :1 ,1 aaxaxa

5) 2

1sen π≠⇔< xx


23

6) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎢⎣⎡

⎢⎣⎡−∈⇔<>∀ ππ

23,

2sen :1 xaxa

7) ∅∈⇔−< xx 1 sen 8) ] [ ] [( )aaxaxa arcsen,arcsensen :1 ,1 −∈⇔>−∈∀ π 1 Se [ [ππ ,−∈x risulta 9) [ ] ( ) ( )( )axaxaxa arccosarccoscos :1 ,1 −=∨=⇔=−∈∀ 10) ] [ [ [ ] [( )ππ ,arccosarccos,cos :1 ,1 aaxaxa ∪−−∈⇔<−∈∀ 11) ] [ ] [( )aaxaxa arccos,arccoscos :1 ,1 −∈⇔>−∈∀ Inoltre si ha

12) ( )axaxxa arctg tg :2

,2

, ⇔⎢⎣⎡

⎥⎦⎤−∈∀∈∀

ππR

Si ha infine

13) [ ] ( arcsen :1 ,1 , 2

,2

xxa −∈∀⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−∈∀

ππ xa ⇔ )sena

14) [ ] [ ] ( xxa arccos :1 ,1 , ,0 −∈∀∈∀ π xa ⇔ )acos

15) ( xxa arctg : , 2

,2

R∈∀⎢⎣⎡

⎥⎦⎤−∈∀

ππ xa ⇔ )atg

π

a

2π

− π23

arcsen a π arcsen a− 2π x

y

CAP. IV FUNZIONI REALI

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