Funzioni reali di piu` variabili Indice -...

FUNZIONI REALI DI PIU VARIABILI

1 INSIEMI IN RN 1

Funzioni reali di piu variabili

Indice

1 Insiemi in Rn 1

1.1 Simmetrie degli insiemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Funzioni da Rn a R 6

2.1 Simmetrie di una funzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Insiemi di livello e curve di livello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3 Restrizione di una funzione ad una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3 Limite 13

4 Continuita 17

5 Funzioni definite attraverso integrali 18

6 Soluzioni degli esercizi 21

In questa parte del corso studieremo alcuni concetti analitici sulle funzioni di piu variabili reali.1 Come le funzionidi una variabile reale sono definite in genere in particolari sottoinsiemi di R, cosı le funzioni di due variabili sonodefinite in sottoinsiemi di R2, quelle di tre variabili in sottoinsiemi di R3, e cosı via. Nella terza parte del corsoabbiamo gia parlato estesamente di R2, R3, . . . , ma l’approccio qui e un po’ diverso, diciamo che e piu analitico emeno algebrico (per farmi capire: e piu simile a quello della parte II piuttosto che a quello della parte III).

Inizio richiamando alcuni concetti generali gia visti (nella parte I) sulla rappresentazione di R2 nel piano cartesianoe su alcuni sottoinsiemi di R2, R3, e in generale di Rn.

1 Insiemi in Rn

L’obiettivo di questa sezione e quello, come detto, di famigliarizzare lo studente con alcuni sottoinsiemi di R2 (e ingenerale di Rn). Richiamiamo pero anzitutto alcuni concetti e simbologie, gia incontrati in R, che ci saranno utili nelseguito.

Attraverso la corrispondenza biunivoca tra i punti di un asse cartesiano e i numeri reali, abbiamo visto comeassociare ad ogni punto la sua ascissa e, viceversa, ad ogni numero reale il punto che puo essere considerato la suaimmagine geometrica. Nella parte II di questo corso abbiamo spesso utilizzato alcuni importanti sottoinsiemi di R, gliintervalli. Dati a, b ∈ R, con a ≤ b, sappiamo che e un intervallo di R ad esempio l’insieme

[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}.

Altri esempi di intervalli sono, come noto,

(a, b) = {x ∈ R : a < x < b},[a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b},(a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b}.

I numeri a e b sono gli estremi dell’intervallo. Se gli estremi sono entrambi compresi nell’intervallo di cui si vuolparlare si dice che l’intervallo e chiuso; se invece sono entrambi esclusi si parla di intervallo aperto.

1Sono gli stessi concetti visti per le funzioni di una variabile (limiti, continuita, derivabilita, integrabilita) adattati alla presenza di piuvariabili. Vedremo che per alcuni di questi non e necessario aggiungere molto, essendo l’estensione del tutto immediata, per altri invece lecose non sono altrettanto dirette.

A. Peretti – Corso di Matematica UNIVR – Sede di Vicenza


1 INSIEMI IN RN 2

Abbiamo incontrato molto spesso anche intervalli illimitati, precisamente gli insiemi del tipo

[a,+∞) = {x ∈ R : x ≥ a},(a,+∞) = {x ∈ R : x > a},(−∞, b] = {x ∈ R : x ≤ b},(−∞, b) = {x ∈ R : x < b}, dove a, b ∈ R.

Dato un punto x0 ∈ R, abbiamo poi definito intorni di x0 di raggio δ gli intervalli del tipo

(x0 − δ, x0 + δ),

dove δ puo essere un qualunque numero reale positivo, che viene detto il raggio dell’intorno.Abbiamo anche definito, dati due punti x e y in R, la distanza di x e y come il numero reale non negativo

d(x, y) = |x− y|,

dopodiche abbiamo potuto scrivere

(x0 − δ, x0 + δ) ={z ∈ R : d(z, x0) < δ

}=

{z ∈ R : |z − x0| < δ

},

dove si esprime in una identita insiemistica il fatto che l’intorno di x0 di raggio δ e costituito dai punti che distano dax0 meno di δ.

|

x0 − δb

x0

|

x0 + δ

δ︷︸︸︷

In R abbiamo detto che cosa intendiamo con punto interno, punto esterno, punto isolato, punto di accumulazione

e punto di frontiera di un insieme. Infine abbiamo detto quando un insieme si dice aperto e quando si dice chiuso.2

Ora facciamo lo stesso in R2. 3 Se ora nel piano consideriamo due assi cartesiani ortogonali con l’origine nel loro

punto comune, possiamo stabilire, cosı come fatto tra i punti di una retta ed R, una corrispondenza biunivoca tra ipunti del piano e l’insieme R

2 delle coppie di numeri reali.Chiamiamo intervallo di R2 un sottoinsieme di R2 che e prodotto cartesiano di due intervalli di R. Ad esempio e

un intervallo di R2 l’insieme

A = [a, b]× [c, d] ={(x, y) ∈ R

2 : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}, con a, b, c, d ∈ R. 4

Esso ha come immagine geometrica un rettangolo con i lati paralleli agli assi.

a b

c

d

x

y

A

L’intervallo e aperto se e prodotto cartesiano di due intervalli aperti ed e chiuso se e prodotto cartesiano di dueintervalli chiusi. Le altre possibilita danno origine ad intervalli che non sono ne aperti ne chiusi.

2Non sto ripetendo cose gia dette poco fa: prima dicevo degli intervalli aperti o chiusi, qui dico degli insiemi in generale. Gli intervallisono soltanto un caso molto particolare di insiemi.

3R2 e sempre l’insieme delle coppie ordinate di numeri reali, come nella parte III. E cioe il prodotto cartesiano R× R. Ricordo che, se

A e B sono due insiemi, si definisce prodotto cartesiano di A e B l’insieme A× B delle coppie ordinate (a, b) di elementi rispettivamentedi A e di B. Sapete gia che non dovete fare confusione con la notazione (a, b), che purtroppo serve ad indicare sia una coppia di reali siaun intervallo di R.

4Ecco, in questa scrittura potrebbe sorgere il dubbio se (x, y) voglia indicare un intervallo di estremi x e y (cioe un sottoinsieme di R)oppure la coppia di numeri reali x e y (cioe un elemento di R2). La scrittura (x, y), isolata dal contesto, e come detto ambigua. Ma nelcontesto in cui viene usata non lo e piu. Qui trovo scritto esplicitamente (x, y) ∈ R

2, e quindi non ci possono essere dubbi: sto indicandouna coppia di reali.



1 INSIEMI IN RN 3

Possiamo anche qui parlare di intervalli illimitati: sono quelli che sono prodotto car-tesiano di due intervalli, di cui almeno uno illimitato. E un intervallo illimitato adesempio l’insieme

[0, 1]× (0,+∞) ={(x, y) ∈ R

2 : 0 ≤ x ≤ 1; y > 0}.

1 x

y

Altri esempi notevoli di sottoinsiemi di R2 sono poi anche gli intorni (circolari) di un punto.Per definirli, esattamente come avviene in R, definiamo prima la distanza inR

2. Diciamo distanza (euclidea) di x = (x1, x2) e y = (y1, y2) il numero

d(x,y) =√

(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2.5

Fissato allora un punto x0 = (x0

1, x02), si dice intorno circolare di x0 di raggio

δ > 0 l’insieme dei punti del piano che hanno da x0 distanza (euclidea) minore

di δ. Essi, come e ovvio, riempiono un cerchio di centro x0 e raggio δ (cerchio

in realta privato della circonferenza). E da notare che gli intorni circolari di x0

sono infiniti, tutti contengono il punto x0 e, considerato uno di essi di raggio

δ, ne esistono infiniti altri di raggio minore, tutti contenuti in esso. E chiaroche tutte queste proprieta valevano anche per gli intorni dei punti in R.

x0 δ

x01

x02

x1

x2

Richiamiamo brevemente in R2 le nozioni topologiche, gia note in R, di punti interni, esterni, isolati, di frontiera e

di accumulazione di un insieme.

Definizione Dato un insieme A ⊂ R2, un punto x

0 si dice

• interno di A se esiste almeno un intorno circolare di x0 tutto contenuto in A;

• esterno di A se esiste almeno un intorno circolare di x0 tutto costituito da punti non appartenenti ad A;

• di frontiera di A se x0 non e ne interno ne esterno ad A. Significa allora che in qualunque intorno circolare di

x0 cadono almeno un punto di A e almeno un punto non appartenente ad A;

• isolato se x0 ∈ A ed esiste almeno un intorno circolare di x0 che non contiene alcun punto di A eccetto x

0;

• di accumulazione di A se in qualunque intorno circolare di x0 cadono infiniti punti di A.

E importante inoltre l’ulteriore

Definizione Un insieme A ⊂ R2 si dice

• aperto se ogni punto di A e interno ad A;

• chiuso se il suo insieme complementare6 e aperto.

Osservazioni ed esempi.

⊲ Si puo osservare che un punto isolato e certamente di frontiera, un punto interno e certamente di accumulazione,punti esterni e punti isolati non possono essere di accumulazione. Inoltre si noti che i punti isolati di un insiemeappartengono certamente all’insieme, quelli esterni certamente non appartengono e infine quelli di frontiera, odi accumulazione, possono appartenere oppure no all’insieme.

⊲ R2 e aperto e chiuso nello stesso tempo, da cui ∅ e anch’esso aperto e chiuso. Lo stesso accadeva in R.

⊲ Abbiamo gia visto che un intervallo in R2 e aperto se e solo se e prodotto cartesiano di due intervalli (di R)

entrambi aperti ed e chiuso se e solo se e prodotto cartesiano di due intervalli entrambi chiusi.

5Per indicare le coppie di numeri reali, cioe gli elementi di R2, possiamo usare due notazioni alternative: o (x, y), come abbiamo fatto

fino ad ora, oppure (x1, x2). E bene che lo studente si abitui ad utilizzare l’una o l’altra indifferentemente, anche perche nei corsi successivipotra vederle utlizzate entrambe. La prima e forse piu semplice, ma la seconda ha il vantaggio di poter essere estesa ad un qualunquenumero di variabili. Tornando al significato della definizione di distanza, non dovrebbe essere difficile capire che sotto questa definizione sinasconde uno dei piu famosi teoremi della geometria, il teorema di Pitagora, e dovreste avere tutti una qualche conoscenza in merito.

6Ricordo che, dato in generale un insieme X ed A ⊂ X, l’insieme degli elementi di X che non appartengono ad A si dice complementaredi A (rispetto ad X). Nel nostro caso abbiamo A ⊂ R

2 e sottointendo che il complementare sia rispetto a tutto R2.



1 INSIEMI IN RN 4

⊲ In generale i punti esterni sono quelli che risultano interni al complementare dell’insieme in questione.

⊲ I punti di frontiera di un intervallo sono i punti che stanno sui lati del rettangolo, a prescindere dal fatto chequesti facciano parte oppure no del rettangolo stesso.

⊲ I punti di accumulazione di un intervallo sono tutti i punti che sono interni oppure di frontiera per l’intervallo.Il loro insieme coincide quindi con l’intervallo chiuso.

Vediamo ora alcuni esempi sugli intervalli.

Consideriamo in R2 l’insieme I = [0, 1)× (−1, 1]. Si tratta sostanzialmente di un rettangolo,

in cui alcune parti del bordo sono comprese ed altre escluse. E un insieme che non e neaperto ne chiuso. L’insieme dei suoi punti interni e l’insieme (0, 1)×(−1, 1), cioe il rettangoloaperto. L’insieme dei suoi punti di frontiera e costituito dai lati del rettangolo.7 L’insiemedei punti di accumulazione di I e l’intervallo [0, 1]× [−1, 1], cioe il rettangolo chiuso.

1

−1

1

bc

bc

x

y

Altro esempio. Consideriamo l’insiemeA = (−1, 1)× {0}.

L’insieme A e il prodotto cartesiano dell’intervallo (−1, 1) (sulle ascisse) e del punto0 sulle ordinate, cioe e l’insieme delle coppie che hanno come prima componente unnumero scelto tra −1 e 1 e come seconda sempre 0. Ovviamente si tratta di unsegmento orizzontale sull’asse x.

bc bc

−1 1

x

y

L’insieme A non ha punti interni. Questa e una situazione in qualche modo interessante, dato che l’intervallo(−1, 1) ha punti interni in R. Poi possiamo affermare che tutti i punti di A sono di frontiera e sono di frontiera anchegli estremi del segmento, cioe i punti (−1, 0) e (1, 0), che pure non fanno parte del segmento. I punti di accumulazionedi A sono dati dal segmento con i suoi estermi, cioe dall’insieme [−1, 1]× {0}.

Gli studenti si costruiscano altri esempi in proposito.

Tutto quanto detto per R2 puo essere esteso in modo del tutto naturale ad R

n,l’insieme delle n-uple ordinate di numeri reali. Da notare che, in tal caso, solo pern = 3 si puo dare ancora un’immagine geometrica, che sara ambientata in quello chesi puo chiamare lo spazio a tre dimensioni nel senso elementare e intuitivo del termine,attrezzato con una terna di assi cartesiani ortogonali.Si possono chiamare intervalli in R

n i prodotti cartesiani di n intervalli di R. Adesempio e un intervallo di R3 l’insieme

A = [0, 1]× (−1, 0)× [−1, 1]

la cui immagine geometrica e un parallelepipedo con le facce parallele ai pianicoordinati. Si osservi che non tutte le facce appartengono al parallelepipedo.

x1

x2

x3

1

−1

1

−1

Si dira intorno circolare di un punto x0 ∈ R

n di raggio δ l’insieme dei punti di Rn che hanno distanza euclidea dax0 minore di δ, definendo distanza euclidea di x e y, dove x = (x1, . . . , xn) e y = (y1, . . . , yn), il numero

d(x,y) =

√√√√

n∑

i=1

(xi − yi)2.8

L’intorno circolare di un punto x0 ∈ R

3 di raggio δ e rappresentato dalla sfera di centro x0 e raggio δ.

Si estendono ai sottoinsiemi di Rn, in modo del tutto analogo a quanto fatto in R2, tutte le nozioni topologiche.

Come gia in R e in R2, anche in R

n si dice aperto ogni insieme i cui punti siano tutti punti interni. Abbiamogia visto che, ad esempio, in R

2 un rettangolo privato dei lati e un insieme aperto, e cosı pure un cerchio privatodella circonferenza. In R

3 sono aperti ad esempio un parallelepipedo privato delle facce oppure una sfera privata dellasuperficie sferica.

Si dira poi chiuso un insieme che sia complementare (rispetto a Rn) di un insieme aperto.

7Si puo darne una scrittura formale, ma non preoccupatevi piu di tanto di questo. Si puo scrivere che l’insieme dei punti di frontiera diI e l’insieme

(

{0} × [−1, 1])

∪(

{1} × [−1, 1])

∪(

[0, 1]× {−1})

∪(

[0, 1]× {1})

.

8Ricordo che, se x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn, si definisce norma euclidea di x il numero reale non negativo ‖x‖ =

(∑n

i=1x2

i

)

1/2. Dati allora

x,y ∈ Rn, si puo allora ridefinire d(x,y) = ‖x − y‖.



1 INSIEMI IN RN 5

1.1 Simmetrie degli insiemi

Puo essere utile in molti casi sfruttare un qualche tipo di simmetria degli insiemi di R2 (il discorso vale anche in R3 e

in Rn ma noi vedremo solo esempi in R

2). Anzitutto vediamo quali tipi di simmetrie considerare. Qui indico con x ey (anziche con x1 e x2) le coordinate cartesiane.

Definizioni Sia A ⊂ R2. Diciamo che A e simmetrico rispetto alle x se vale la seguente proprieta:

se (x, y) ∈ A allora (−x, y) ∈ A.

Diciamo invece che A e simmetrico rispetto alle y se vale la proprieta:

se (x, y) ∈ A allora (x,−y) ∈ A.

Quindi in pratica un insieme e simmetrico rispetto alle x se e simmetrico rispetto all’asse delle ordinate e, viceversa,e simmetrico rispetto alle y se e simmetrico rispetto all’asse delle ascisse.

Nelle figure qui sotto sono rappresentati un insieme simmetrico rispetto alle x (a sinistra) ed un insieme simmetricorispetto alle y.

A

x

y A

x

y

Esempi L’insieme A ={(x, y) ∈ R

2 : y ≤ 1 − x2}e simmetrico rispetto alle x. Se disegniamo l’insieme A la cosa

e evidente, ma lo stesso si puo dimostrare anche con la definizione: se (x, y) ∈ A significa che y ≤ 1 − x2. Ma alloraanche (−x, y) ∈ A dato che y ≤ 1 − (−x)2, essendo questa equivalente alla precedente. Non c’e invece simmetriarispetto alle y.9

L’insieme A ={(x, y) ∈ R

2 : (x−1)2+y2 ≤ 1}e simmetrico rispetto alle y. Anche qui la rappressentazione grafica

di A porta subito ad accorgersi della simmetria. Con la definizione: se (x, y) ∈ A significa che (x−1)2+y2 ≤ 1. Alloraanche (x,−y) ∈ A dato che (x− 1)2 + (−y)2 ≤ 1 equivale alla precedente. Non c’e simmetria rispetto alle x.

Osservazione Ci sono insiemi che risultano simmetrici sia rispetto alle x sia rispetto alle y. Ad esempio il cerchiounitario A =

{(x, y) ∈ R

2 : x2 + y2 ≤ 1}lo e.10

Conviene considerare anche un altro tipo di simmetria.

Definizione Sia A ⊂ R2. Diciamo che A e simmetrico rispetto all’origine se vale la

seguente proprietase (x, y) ∈ A allora (−x,−y) ∈ A.

La figura a fianco presenta un esempio di insieme in cui vale questa proprieta.

Ax

y

Esempio L’insieme A ={(x, y) ∈ R

2 : x = y}e simmetrico rispetto all’origine. Si tratta ovviamente della retta

bisettrice del primo e terzo quadrante. Con la definizione: se (x, y) ∈ A allora x = y, ma quindi −x = −y, e pertanto(−x,−y) ∈ A. Si osservi che A non e simmetrico ne rispetto alle x ne rispetto alle y. Si osservi che anche l’insiemeraffigurato qui sopra, pur essendo simmetrico rispetto all’origine, non e simmetrico ne rispetto alle x ne rispetto alley.

Osservazione Come osservato un attimo fa un insieme puo non essere simmetrico ne rispetto alle x ne rispetto alley ma esserlo rispetto all’origine. Invece vale senz’altro che un insieme simmetrico rispetto alle x e rispetto alle y esimmetrico rispetto all’origine.

Lo si intuisce da considerazioni grafiche o lo si dimostra facilmente con le definizioni: se A e simmetrico sia rispettoalle x sia rispetto alle y, dal fatto che (x, y) ∈ A possiamo dedurre che (−x, y) ∈ A (per la simmetria rispetto alle x)e da quest’ultima dedurre che (−x,−y) ∈ A (per la simmetria rispetto alle y). Quindi e provata la simmetria rispettoall’origine.

9Dovrebbe essere (x,−y) ∈ A, cioe −y ≤ 1− x2, cosa che non possiamo dedurre dalla y ≤ 1− x2.10Non e rilevante che sia quello unitario, cioe di raggio 1: qualunque cerchio con centro nell’origine e simmetrico sia rispetto alle x sia

rispetto alle y. Esercizio: qual e la condizione necessaria e sufficiente affinche un cerchio sia simmetrico rispetto alle sole x?



2 FUNZIONI DA RN A R 6

2 Funzioni da Rn a R

Nella seconda parte del corso abbiamo studiato le funzioni reali di variabile reale, cioe le funzioni da R a R.Qui consideriamo le funzioni da R

n a R, dette anche funzioni reali di n variabili.11 Piu in generale ci occuperemodi funzioni definite in un sottoinsieme A di Rn, a valori reali. Scriveremo

f : A ⊂ Rn → R.

Come sempre, se vogliamo riferirci alla funzione nel suo complesso, scriviamo semplicemente f ; se invece, postox = (x1, . . . , xn), vogliamo indicare il numero reale che e immagine di x attraverso la funzione f , scriveremo f(x)oppure f(x1, . . . , xn).

Si dice come sempre dominio (o campo di esistenza o insieme di definizione) della funzione f l’insieme dei puntiper cui esiste il corrispondente secondo la legge f , cioe l’insieme degli x per cui esiste f(x).

L’insieme di definizione puo essere fornito esplicitamente, unitamente alla legge che definisce la funzione. Oppure,nel caso sia fornita soltanto la legge, puo essere chiesto di determinare l’insieme di definizione: in tal caso questo e ilpiu grande sottoinsieme di Rn in cui e definita l’espressione che fornisce la legge di corrispondenza.

Se f : A ⊂ Rn → R, il simbolo f(A) indica come sempre l’immagine della funzione f , cioe l’insieme dei valori che

la funzione assume in corrispondenza degli elementi di A. Chiaramente f(A) ⊂ R.

Come per le funzioni di una variabile, chiamiamo grafico di una funzione f : A ⊂ Rn → R l’insieme

Gf ={(

x, f(x)): x ∈ A

}

={(

x1, . . . , xn, f(x1, . . . , xn)): (x1, . . . , xn) ∈ A

}

.

Si tratta di un sottoinsieme dello spazio Rn+1. Quindi le funzioni di una variabile hanno grafico in R

2 (e nella II partedi questo corso abbiamo imparato a trovare il grafico di tali funzioni), le funzioni di due variabili hanno grafico in R

3.Non e possibile disegnare il grafico di funzioni di piu di due variabili, dato che e un sottoinsieme almeno di R4.

Il grafico di una f : A ⊂ R2 → R e generalmente una superficie in R

3. Ad esempio, il grafico della funzionef : R2 → R definita da f(x1, x2) = x1 + x2 e un piano nello spazio R

3.

EsempiSono esempi di funzioni definite in opportuni sottoinsiemi di R2 le seguenti funzioni:

⊲ f1(x1, x2) = x31 + x2

2 + x1x2 + 1

⊲ f2(x1, x2) =√

x21 + x2

2

⊲ f3(x1, x2) =x1 + x2

x21 + x2

2

⊲ f4(x1, x2) =ln(x1 + x2

2 − 1)

3x2

⊲ f5(x1, x2) = max(x1, x2).12

In questi casi non e esplicitamente indicato l’insieme di definizione e, come detto, si sottointende quindi che essosia il piu ampio sottoinsieme di R2 in cui ha senso l’espressione analitica che definisce la funzione.Negli esempi proposti il campo di esistenza di f1, f2, f5 e tutto R

2.Per la f3 occorre che il denominatore non si annulli, quindi deve essere x2

1+x22 6= 0. Il

campo di esistenza e quindi R2 \ {(0, 0)}, cioe il complementare dell’insieme {(0, 0)}(tutto il piano ad eccezione dell’origine).Per la f4 l’unica condizione e che l’argomento del logaritmo sia positivo, dato che ildenominatore e sempre diverso da zero. Quindi deve essere x1 + x2

2 − 1 > 0, cioex1 > 1 − x2

2. Ricordando la geometria analitica della parte I del corso si ha che ilcampo di esistenza, cioe l’insieme

{(x1, x2) ∈ R2 : x1 > 1− x2

2},

e la parte di piano evidenziata in grigio qui a fianco. E un insieme aperto.

1

−1

x1 = 1− x22

x1

x2

Vediamo altri esempi di funzioni da Rn a R.

11 Nella III parte abbiamo studiato, tra le altre cose, particolari funzioni da Rn a R

m, quelle che abbiamo chiamato trasformazioni lineari.12Si tratta della funzione che associa al punto (x1, x2) il massimo tra x1 e x2.




• Funzioni lineari. Sia v ∈ Rn e sia v = (v1, v2, . . . , vn). La funzione f : Rn → R definita da

f(x) = 〈v,x〉 13 = v1x1 + v2x2 + . . .+ vnxn

e lineare, come abbiamo gia visto nelle lezioni della parte III. Abbiamo anche visto che ogni funzione lineare daR

n a R e di questa forma, cioe si puo scrivere come prodotto interno di un vettore fissato v per il vettore x.

Se n = 2 si ha

f(x1, x2) = v1x1 + v2x2 (quindi ad esempio f(x1, x2) = 3x1 +12x2).

Il grafico di questa funzione, qualunque siano i coefficienti, e un piano perl’origine in R

3. 14 Osserviamo che l’insieme

{

(x1, x2) ∈ R2 : f(x1, x2) = 0

}

,

cioe l’insieme delle soluzioni dell’equazione v1x1 + v2x2 = 0, e in R2 la retta

ortogonale (perpendicolare) al vettore v = (v1, v2).

v1

v2v

v1x1 + v2x2 = 0

x1

x2

Con n = 3 le funzioni lineari sono quelle del tipo

f(x1, x2, x3) = v1x1 + v2x2 + v3x3

e l’insieme delle soluzioni dell’equazione v1x1 + v2x2 + v3x3 = 0 e questa volta il piano (in R3) ortogonale

(perpendicolare) al vettore v = (v1, v2, v3).

• Forme quadratiche. Sia A una matrice n× n. La funzione f : Rn → R definita da

f(x) = 〈Ax,x〉 15

si chiama forma quadratica associata ad A. Ad esempio, se n = 2 e

A =

(a11 a12a21 a22

)

, si ha f(x1, x2) = a11x21 + a12x1x2 + a21x2x1 + a22x

22.

Nel caso particolare in cui A sia una matrice diagonale di elementi λ1, λ2, con λ1 6= 0, λ2 6= 0, si ha

f(x1, x2) = λ1x21 + λ2x

22.

Il grafico di f dipende in modo cruciale dal segno di λ1 e λ2. Lasciando allo studente il compito di convincersidi quanto segue, mi limito ad elencare i tre casi possibili, accompagnandoli con un grafico.

Se λ1 > 0 e λ2 > 0, come ad esempio in f(x1, x2) = 3x21 + 2x2

2, il grafico di f e un paraboloide. I valori dellafunzione sono evidentemente sempre non negativi e quindi il paraboloide sta nel semispazio delle x3 ≥ 0 (figurasotto a sinistra). Si puo anche scrivere che f(R2) = [0,+∞).

Se λ1 < 0 e λ2 < 0 il grafico di f e ancora un paraboloide. I valori della funzione sono evidentemente semprenon positivi e quindi il paraboloide sta nel semispazio delle x3 ≤ 0 (figura al centro). Si puo anche scrivere chef(R2) = (−∞, 0].

Se λ1 > 0 e λ2 < 0 il grafico di f e un iperboloide (a una falda). La funzione puo assumere sia valori positivi siavalori negativi (figura a destra). In questo caso f(R2) = R.

x

x

x

1

2

3

x

x

x

1

2

3

x

xx

1

23

13Ricordo che la scrittura 〈x,y〉, dove x e y sono due vettori di Rn, indica il prodotto interno dei due: 〈x,y〉 =∑n

i=1xiyi.

14Le funzioni lineari in una variabile sono le funzioni del tipo f(x) = vx, con v ∈ R. Sono quindi quelle che hanno per grafico una rettaper l’origine.

15Si tratta del prodotto interno di Ax, che e un vettore di Rn dato dal prodotto di A per x, per il vettore x.




Alle forme quadratiche e in particolare allo studio del segno di queste e dedicata la prossima dispensa.

Osservazione Il caso in cui uno dei due coefficienti λ1, λ2 e nullo e meno significativo. Vale comunque la penaosservare che (mettiamo sia λ1 > 0 e λ2 = 0) in tal caso si ha f(x1, x2) = λ1x

21 e il valore di f dipende dalla

sola x1. Si tratta di un paraboloide degenere e si intuisce facilmente che il grafico si ottiene facendo muovere laparabola x3 = λ1x

21 lungo l’asse x2.

Qui sotto riporto i grafici di alcune forme quadratiche, ottenuti con un software scientifico. Il grafico a destra equello di una forma quadratica del tipo f(x1, x2) = λ1x

21 con λ1 > 0.

1 -10,5 -0,5

xy

000

0,5

1

1,5

0,5

2

-0,51 -1

-1-1-0,5

-1

-0,5

y -0,5x

00

0

0,5

0,5

1

0,51 1-1

-0,5-1

y-0,5

x

000

0,1

0,5

0,2

0,3

0,51

0,4

0,5

1

• Polinomi. Un monomio in Rn e una funzione della forma

(x1, . . . , xn) 7→ xr11 · · ·xrn

n ,

dove r1, . . . , rn sono interi non negativi. Si chiama grado del monomio il numero intero non negativo r1+. . .+rn.

Un polinomio e una combinazione lineare di monomi. Il grado di un polinomio e il massimo dei gradi dei monomidi cui e combinazione lineare.

Ad esempio, e un monomio in tre variabili la funzione f(x1, x2, x3) = x1x22x

33; si tratta di un monomio di sesto

grado. Un esempio di polinomio e la funzione g(x1, x2, x3) = 2x1x22x

33 − 3x4x3

2x23; e un polinomio di nono grado.

Il piu generale polinomio di secondo grado in R2 e

P (x1, x2) = ax21 + bx2

2 + cx1x2 + dx1 + ex2 + f,

con a, b, c, d, e, f ∈ R e almeno uno dei coefficienti a, b, c diverso da zero (altrimenti e ancora un polinomio manon e piu di secondo grado).

Il piu generale polinomio di secondo grado in R3 e

P (x1, x2, x3) = ax21 + bx2

2 + cx23 + dx1x2 + ex1x3 + fx2x3 + gx1 + hx2 + ix3 + j,

con a, b, . . . , j ∈ R e almeno uno dei coefficienti a, b, . . . , f diverso da zero. In generale non si tratta ovviamentedi una forma quadratica (lo e se e solo se g = h = i = j = 0). Volendo lo si puo vedere come la somma di unaforma quadratica, di una funzione lineare e di una costante.

• Funzioni radiali.

Una funzione f : Rn → R si dice radiale se esiste una funzione f0 : [0,+∞) → R tale che

f(x) = f0(‖x‖), per ogni x ∈ Rn. 16

La funzione f0 si dice il profilo di f . Piu in generale la funzione profilo puo essere definita in un intervallo deltipo [0, r) e la funzione radiale f in un intorno dell’origine di raggio r.

Ad esempio, la funzione f(x1, x2) = x21 + x2

2 e radiale, in quanto

x21 + x2

2 = ‖(x1, x2)‖2.

Il profilo e la funzione f0 : [0,+∞) → R con f0(t) = t2.

Osservazione Il grafico di una funzione radiale definita in R2 si ottiene “facendo ruotare il suo profilo” attorno

all’asse x3. Ecco alcuni esempi di funzioni radiali, con i relativi grafici.

16La definizione puo risultare di difficile comprensione. Si noti che f e funzione di n variabili, mentre f0 e funzione di una variabile, cioedi un numero reale. Infatti l’argomento di f0 e la norma del vettore x, che e appunto un numero reale. In sostanza la definizione dice cheil valore che la funzione associa ad x dipende soltanto dalla norma di x o, in altre parole, che a punti alla stessa distanza dall’origine lafunzione associa lo stesso valore.




⊲ f(x1, x2) = x21 + x2

2, definita in tutto R2; come detto ha profilo f0 : [0,+∞) → R con f0(t) = t2.

⊲ g(x1, x2) =√

x21 + x2

2, definita in tutto R2; ha profilo f0 : [0,+∞) → R con f0(t) = t.

⊲ h(x1, x2) =√

1− x21 − x2

2, definita nel cerchio unitario

B(0, 1) ={

x ∈ R2 : ‖x‖ ≤ 1

}

;

ha profilo f0 : [0, 1] → R con f0(t) =√1− t2.

21 1( ,0, )x x

x

x

fG

x

1

2

3

1 1( ,0, )x x

gG

x

x

x

1

2

3

2( ,0, 1- )x xÖ

hG1 1

x

x

x

1

2

3

Il grafico di f e il paraboloide gia incontrato prima; il grafico di g e una superficie conica con vertice nell’origine;Il grafico di h e una calotta sferica con centro nell’origine.

Esercizio 2.1 Si descriva il campo di esistenza delle seguenti funzioni, specificando se si tratta di insiemi aperti,

chiusi o ne aperti ne chiusi:

(a) f(x, y) = ln(x− y + 1) (b) f(x, y) =1 + x+ y

1− 2x+ 3y

(c) f(x, y) =√

x+ y2 + 1 (d) f(x, y) =√

1− x2 − y2

(e) f(x, y) = ln(1− 2x2 − y2) (f) f(x, y) =√xy

(g) f(x, y) = ln(1− xy) (h) f(x, y) =√

1− y2

Esercizio 2.2 Si determini il campo di esistenza delle seguenti funzioni e lo si rappresenti graficamente.

(a) f(x, y) =√

x(y + 1) (b) f(x, y) =√x+ 1−√

1− x− y

(c) f(x, y) = log

(1− x

1− y

)

(d) f(x, y) = ln y + ln(x+ y)

(e) f(x, y) =

√

x2 + y2 − 4

y − 1(f) f(x, y) = log

(x

x− y2 + 1

)

(g) f(x, y) =

√xy + 1

x+ y + 1(h) f(x, y) = log

((x − 1)2 + y2 − 4

4− x2 − (y − 1)2

)

Esercizio 2.3 Si scriva l’espressione analitica del profilo delle seguenti funzioni radiali:

(a) f(x, y) = e−x2−y2

(b) f(x, y) =√

x2 + y2 + 1

(c) f(x, y) =1

1 + x2 + y2(d) f(x, y) = ln(2− x2 − y2)

(e) f(x, y) =√

x2 + y2 − x2 − y2 (f) f(x, y) = 1 + x4 + 2x2y2 + y4

2.1 Simmetrie di una funzione

Talvolta puo essere utile sfruttare alcune caratteristiche di simmetria di una funzione di piu variabili. Qui consideriamosolo le funzioni di due variabili e torno ad indicare gli elementi di R2 con la notazione (x, y).




Definizioni Sia A ⊂ R2 un insieme simmetrico rispetto alle x.

(i) Diciamo che una funzione f definita in A e pari rispetto alle x se vale la seguente proprieta:

se (x, y) ∈ A allora f(−x, y) = f(x, y).

(ii) Diciamo che una funzione f definita in A e dispari rispetto alle x se vale la seguente proprieta:

se (x, y) ∈ A allora f(−x, y) = −f(x, y).

Sia A ⊂ R2 un insieme simmetrico rispetto alle y.

(iii) Diciamo che una funzione f definita in A e pari rispetto alle y se vale la proprieta:

se (x, y) ∈ A allora f(x,−y) = f(x, y).

(iv) Diciamo che una funzione f definita in A e dispari rispetto alle y se vale la proprieta:

se (x, y) ∈ A allora f(x,−y) = −f(x, y).

Sia A ⊂ R2 un insieme simmetrico rispetto all’origine.

(v) Diciamo che una funzione f definita in A e pari rispetto all’origine se vale la seguente proprieta:

se (x, y) ∈ A allora f(−x,−y) = f(x, y).

(vi) Infine diciamo che una funzione f definita in A e dispari rispetto all’origine se vale la seguente proprieta:

se (x, y) ∈ A allora f(−x,−y) = −f(x, y).

Osservazione Lo studente avra notato le evidenti analogie con le simmetrie delle funzioni di una variabile (funzionipari o dispari).

Esempi

⊲ La funzione f(x, y) = x2 + y3 e pari rispetto alle x. Si noti anche che non e dispari rispetto alle y.

⊲ La funzione f(x, y) = x2y3 e pari rispetto alle x e dispari rispetto alle y.

⊲ La funzione f(x, y) = x2y2 e pari, sia rispetto alle x sia rispetto alle y. Si tratta di una funzione pari rispettoall’origine.

⊲ La funzione f(x, y) = x2y3 e dispari rispetto all’origine, pari rispetto alle x e dispari rispetto alle y.

⊲ La funzione f(x, y) = xy3 e pari rispetto all’origine, dispari rispetto alle x e dispari rispetto alle y.

2.2 Insiemi di livello e curve di livello

Farsi un’idea del grafico di una funzione di piu variabili e piuttosto difficile. Come gia detto, anzi, non e nemmenopossibile rappresentare il grafico se il numero di variabili e maggiore di 2. Nel caso di due variabili il grafico e unasuperficie in R

3 e non ci sono tecniche generali come quelle che abbiamo studiato nella Parte II.Una valida alternativa al grafico e data dagli insiemi di livello, che nel caso di due variabili sono le curve di livello.

In generale si ha

Definizione Data una funzione f : A ⊂ Rn → R, si definisce insieme di livello k di f l’insieme dei punti di A in

cui la funzione ha valore k, cioe formalmente

Lk ={x ∈ A : f(x) = k

}.

Si tratta quindi di un sottoinsieme del dominio della funzione.Nel caso n = 2 tali insiemi sono solitamente curve nel piano e prendono quindi il nome di curve di livello k.

Ovviamente l’insieme (la curva) cambia al variare del valore k. Studiare le curve di livello significa appunto capirecome variano le curve al variare del livello.




Esempio Consideriamo la funzione f(x, y) = x2+ y2. Naturalmente, se pensiamo ad un livello negativo, ad esempio−1, dobbiamo dire che la curva di livello −1 non c’e poiche la funzione non puo avere valore negativo. Pertanto lacurva di livello −1 e l’insieme vuoto. La curva di livello 0 invece non e vuota, ma si riduce al solo punto origine (0, 0).17

Se ora fissiamo un livello positivo, ad esempio 1, la curva corrispondente questa volta c’e ed e proprio una curva insenso letterale: si tratta dell’insieme delle soluzioni dell’equazione x2 + y2 = 1 e quindi, come noto, della circonferenzadi centro l’origine e raggio 1. Al variare del livello k (positivo) abbiamo circonferenze di centro sempre l’origine eraggio

√k. Quindi al crescere di k le curve di livello sono circonferenze di raggio crescente.

Esempio Consideriamo la funzione f(x, y) = xy. La curva di livello 0 e l’insieme delle soluzioni dell’equazionexy = 0 e cioe i due assi cartesiani.18 La curva di livello k positivo e l’insieme delle soluzioni dell’equazione xy = k ecioe i punti di un’iperbole centrata nell’origine e rami nel primo e terzo quadrante. Anche con k negativo si hanno ipunti di un’iperbole centrata nell’origine, ma con rami nel secondo e quarto quadrante.

Osservazione Le curve di livello possono essere una valida alternativa al grafico della funzione in quanto, anche seci mostrano solo il dominio, ci dicono pero in quali punti la funzione ha valore costante, al variare di questo valore.E la tecnica usata nelle mappe geografiche per indicare la morfologia del terreno (il livello indica la quota sul livellodel mare) oppure nelle mappe meteo (il livello indica la pressione al suolo o in quota). Nelle mappe geografiche lapresenza di curve di livello molto ravvicinate indica una variazione molto rapida della quota, e quindi una zona dipendenza molto forte, mentre curve di livello molto lontane indicano regioni sostanzialmente piatte.

Vediamo qualche altro esempio.

Esempi

• Le curve di livello k della funzione f(x, y) = x+ y2 +1 si ottengono a partire dall’equazione x+ y2 +1 = k, cioex = −y2 + k − 1. Si tratta di parabole con asse dato dall’asse x e concave verso sinistra. Al crescere del valorek la parabola si “sposta verso destra”.

• Le curve di livello k della funzione f(x, y) = ln(x + y) si ottengono a partire dall’equazione ln(x + y) = k, cioex + y = ek, cioe y = ek − x. Si tratta ovviamente di rette di pendenza −1 e ordinata all’origine ek, quindicertamente positiva.19 Al crescere di k la retta si “sposta verso l’alto”.

• Le curve di livello k della funzione f(x, y) =√

1− x2 − y2 si ottengono a partire dall’equazione√

1− x2 − y2 =k, cioe 1−x2−y2 = k2, cioe ancora x2+y2 = 1−k2. Se k e negativo non c’e curva di livello, dato che l’equazioneiniziale

√

1− x2 − y2 = k non ha certamente soluzioni. Se k = 0 abbiamo la circonferenze di centro l’originee raggio 1. Se k > 0 abbiamo circonferenze di centro l’origine e raggio

√1− k2: la quantita sotto radice deve

pero essere positiva, e quindi deve anche essere k < 1. Infine per k = 1 la curva si riduce alla sola origine. Siriconoscera la morfologia della calotta sferica rappresentata un paio di pagine fa.

Esercizio 2.4 Si descrivano le curve di livello 1 delle seguenti funzioni.

(a) f(x, y) = ln(x− y + 1) (b) f(x, y) =1 + x+ y

1− 2x+ 3y

(c) f(x, y) =√

x+ y2 + 1 (d) f(x, y) =√

1− x2 − y2

(e) f(x, y) = ln(1− 2x2 − y2) (f) f(x, y) =√xy

(g) f(x, y) = ln(1− xy) (h) f(x, y) =√

1− y2

2.3 Restrizione di una funzione ad una curva

Esaminiamo ora un concetto che, pur essendo presente anche nella trattazione delle funzioni di una variabile, trovapero il suo significato piu pieno con le funzioni di piu variabili. Tale concetto ci sara utile in seguito, soprattuttoquando parleremo di limiti, continuita e derivabilita. Si tratta del concetto di restrizione di una funzione.

Prima pero serve il concetto di curva in Rn. Per non appesantire l’esposizione, considero solo curve in R

2.Chiamiamo curva in R

2 una funzione continua γ definita in un intervallo I di R a valori in R2. Pertanto abbiamo

γ : I → R2, con γ(t) =

(γ1(t), γ2(t)

),

17Quindi si noti che la curva puo non esserci oppure puo essere qualcosa che solitamente non chiaeremmo “curva”.18La curva di livello 0 e quindi l’insieme dei punti che stanno in almeno uno dei due assi.19Questo fa sı che la retta stia nell’insieme di esistenza della funzione, che non e tutto R

2.




dove γ1, γ2 sono funzioni continue definite nell’intervallo I.20

L’immagine della curva γ, cioe il sottoinsieme di R2

{(γ1(t), γ2(t)

): t ∈ I

}

,

si chiama sostegno della curva γ. Purtroppo talvolta si identifica la curva con il suo sostegno. Nel linguaggio comuneinfatti dicendo curva nel piano intendiamo l’insieme dei punti che formano la figura geometrica. Nella nostra definizionesarebbe meglio chiamare quest’ultima il sostegno (o l’immagine) della curva e chiamare curva soltanto la funzione cheha per immagine la figura geometrica.

Esempi

• La funzione γ(t) = (0, t), con t ∈ R e una curva in R2. La sua immagine (sostegno) e l’asse delle ordinate.

• La funzione γ(t) = (1 + t, 1− t), con t ∈ [−1, 1] e una curva in R2. La sua immagine e un segmento nel piano.21

• La funzione γ(t) = (t, t2), con t ∈ [0, 1] e una curva in R2. La sua immagine e un arco di parabola.22

Data una funzione f : A ⊂ R2 → R e data una curva γ : I → R

2, con immagine contenuta in A, chiamiamorestrizione di f alla curva γ la funzione f ◦ γ, cioe la funzione (composta) che a t associa f(γ(t)).23

Esempi

• Data la funzione f(x1, x2) = x1 − x2, la sua restrizione alla curva γ(t) = (t, 0), con t ∈ R, e una restrizione di fall’asse x1.

24 Si tratta della funzione g(t) = f(t, 0) = t.

La restrizione della stessa funzione alla curva γ(t) = (t, t), con t ∈ R, e una restrizione di f alla retta di equazionex1 = x2. Si tratta della funzione g(t) = f(t, t) = 0, con t ∈ R.

• La restrizione della funzione f(x1, x2) = x1x2

x2

1+x2

2

alla curva γ(t) = (t, t), con t ∈ (0,+∞) e la funzione g(t) =

f(t, t) = 12 , con t ∈ (0,+∞).

Una restrizione della stessa funzione alla parte di parabola di equazione x2 = x21 che sta nel primo quadrante si

puo ottenere con la funzione g(t) = f(t, t2) = t1+t2 , con t ∈ (0,+∞).

Anche se ho presentato i concetti di curva e di restrizione nel caso bidimensionale, tutto si potrebbe estendere inmodo immediato al caso n-dimensionale.

A titolo di esempio, una restrizione della funzione

f : R3 → R, con f(x1, x2, x3) = e−x2

1−x2

2−x2

3

alla retta passante per il punto (1, 1, 0) e parallela all’asse x3 si ottiene25 considerando la restrizione di f alla curvaγ : R → R

3, conγ(t) = (1, 1, t);

si tratta pertanto della funzione

g(t) = f(γ(t)) = f(1, 1, t) = e−2−t2 .

Esercizio 2.5 Si determini una curva che parametrizza la retta di equazione x+ y + 1 = 0.

20In pratica quindi una curva e una funzione che alla variabile reale t associa due componenti, γ1(t) e γ2(t), e queste sono funzionicontinue di t.

21Si puo vedere cosı: nello stesso modo in cui facevamo nella parte III, possiamo scrivere (1+ t, 1− t) = (1, 1)+ t(1,−1), quindi al variaredi t in tutto R si otterrebbe la retta che contiene il vettore (1,−1) traslata del vettore (1, 1). Con t ∈ [−1, 1] si ottiene solo una parte diquesta retta e cioe un segmento. Possiamo anche precisare che gli estremi del segmento, che si ottengono con i valori estremi di t (−1 e 1),sono i punti (0, 2) e (2, 0).

22Qui si puo ragionare cosı: se poniamo x = t e y = t2, allora tra x e y sussiste la relazione y = x2, che come sappiamo individua nelpiano una parabola. Con t ∈ [0, 1] si ottiene una parte della parabola, quella compresa tra i punti (0, 0) e (1, 1).

23Il nome restrizione deriva da fatto che in pratica non considero la f su tutto il suo dominio, ma soltanto sui punti della curva γ. Sinoti pero che la restrizione, essendo la funzione composta, non e definita sul sostegno della curva, cioe in R

2, ma sull’intervallo I in cui edefinita la curva. I valori della restrizione sono pero i valori di f sul sostegno della curva.

24 Non e unica la restrizione di f all’asse x1: ad esempio la funzione g(t) = f(t3, 0) = t3 e un’altra restrizione di f all’asse x1.25I punti di questa retta si ottengono traslando l’asse x3 del vettore (1, 1, 0): dato che l’asse x3 e individuato dal vettore (0, 0, 1), allora

i punti della retta si possono esprimere con t(0, 0, 1) + (1, 1, 0), cioe con (1, 1, t).



3 LIMITE 13

Esercizio 2.6 Si determini una curva che parametrizza la parabola di equazione x+ y2 + 1 = 0.

Esercizio 2.7 Si determini una curva che parametrizza il ramo destro dell’iperbole di equazione x2−y2−1 = 0.

Esercizio 2.8 Si scriva la restrizione della funzione f(x, y) = x+exy2

alla curva γ(t) = (t, ln t), con t ∈ (0,+∞).

Esercizio 2.9 Si scriva la restrizione della funzione f(x, y) = x/y alla curva γ(t) = (t, 1/t), con t ∈ (0,+∞).

Esercizio 2.10 Si scriva la restrizione della funzione f(x, y) = x + ln(x + y) alla curva γ(t) = (1/t, t), con

t ∈ (0,+∞).

3 Limite

Il concetto di limite di una funzione, gia visto in una variabile, si puo definire anche in piu variabili.Sia f : A ⊂ R

n → R e sia x0 ∈ R

n un punto di accumulazione per A. Ricordo che, se indichiamo con B(x0, r)l’intorno circolare di x0 di raggio r, x0 e punto di accumulazione per A se qualunque sia r l’intorno B(x0, r) contieneinfiniti punti di A. Indichiamo ora per comodita con B′(x0, r) l’intorno circolare del punto x

0 di raggio r, privatopero del punto x

0 stesso, quello che possiamo formalmente indicare con B(x0, r) \ {x0} (taluni lo chiamano “intornobucato”).

Definizioni

• Si dice che f tende al numero reale ℓ per x tendente ad x0, e si scrive

limx→x

0

f(x) = ℓ,

se per ogni intorno (ℓ− ε, ℓ+ ε) di ℓ esiste un r > 0 tale che

se x ∈ B′(x0, r) ∩ A allora f(x) ∈ (ℓ− ε, ℓ+ ε).

Si puo dire equivalentemente che f tende ad ℓ per x che tende ad x0 se per ogni ε > 0 esiste r > 0 tale che

se ‖x− x0‖ < r, x ∈ A e x 6= x

0, allora |f(x)− ℓ| < ε.

Come per i limiti in una variabile, anche qui una verifica di limite nei casi concreti puo essere effettuata verificandoche tra le soluzioni della disequazione |f(x)− ℓ| < ε c’e un intorno bucato di x0.

• Si dice che f tende a +∞ per x tendente a x0, e si scrive

limx→x

0

f(x) = +∞,

se per ogni (a,+∞) esiste un r > 0 tale che

se x ∈ B′(x0, r) ∩ A allora f(x) ∈ (a,+∞),

ossia per ogni a > 0 esiste un r > 0 tale che

se ‖x− x0‖ < r, x ∈ A e x 6= x

0, allora f(x) > a.

• Si dice che f tende a −∞ per x tendente ad x0, e si scrive

limx→x

0

f(x) = −∞,

se per ogni (−∞, b) esiste un r > 0 tale che

se x ∈ B′(x0, r) ∩ A allora f(x) ∈ (−∞, b),

ossia per ogni b < 0 esiste un r > 0 tale che

se ‖x− x0‖ < r, x ∈ A e x 6= x

0, allora f(x) < b.

La definizione che segue e in qualche modo una novita. Si veda poi l’osservazione successiva.



3 LIMITE 14

• Si dice infine che f tende a ℓ per x tendente a ∞, e si scrive

limx→∞

f(x) = ℓ,

se per ogni intorno (ℓ− ε, ℓ+ ε) di ℓ esiste un r > 0 tale che

se x ∈(R

n \B(x0, r))∩ A allora f(x) ∈ (ℓ− ε, ℓ+ ε),

ossia per ogni ε > 0 esiste r > 0 tale che

se ‖x‖ > r, x ∈ A, allora |f(x)− ℓ| < ε.

Osservazione Chiarisco la novita rappresentata dall’ultima definizione, quella per x → ∞. In R2 non c’e un +∞ e

un −∞. Detto in parole povere questo succede perche non ci sono solo due modi di tendere all’infinito, come accade inR, ma ce ne sono infiniti. Si pensi ad esempio che si puo tendere all’infinito lungo una qualunque direzione nel piano.Si e soliti in R

2 parlare soltanto di un ∞, senza segno. Si tende ad ∞ se ci si allontana infinitamente dall’origine, in unqualunque modo possibile. Quindi la definizione di limite in questo caso chiede che il valore di f sia arbitrariamentevicino ad ℓ per valori di x sufficientemente lontani dall’origine. Ecco il motivo dell’insieme Rn \B(x0, r), che comparenell’ultima inclusione: tale insieme, al crescere di r tende ad “allontanarsi” sempre piu dall’origine. Possiamo senz’altrodire che tali insiemi, cioe i complementari degli intorni dell’origine, sono gli intorni di ∞ in R

2.

Osservazione Come gia osservato a suo tempo parlando di limiti di funzioni di una variabile, una verifica di unlimite lim

x→x0 f(x) = ℓ attraverso la definizione si puo effettuare, nel caso di limite finito, verificando che l’insieme

delle soluzioni della disequazione |f(x)− ℓ| < ε, per ogni ε > 0, contenga un intorno circolare del punto x0 o, in altre

parole, che l’insieme di queste soluzioni contenga il punto x0 come punto interno.

Analogamente, la verifica di un limite limx→x

0 f(x) = +∞ si puo effettuare verificando che l’insieme delle soluzionidella disequazione f(x) > M , per ogni M > 0, contenga il punto x

0 come punto interno. Se il limite e −∞ ladisequazione da considerare sara ovviamente f(x) < −M , sempre con M > 0.

Infine, la verifica di un limite all’infinito limx→∞ f(x) = ℓ si puo effettuare verificando che l’insieme delle soluzionidella disequazione |f(x)− ℓ| < ε, per ogni ε > 0, contenga il complementare di un intorno circolare dell’origine, cioecome detto un intorno di ∞.

Lo studente, ricordando quanto visto sui limiti delle funzioni di una variabile, provi a scrivere da solo il significatorigoroso di scritture come limx→∞ f(x) = ±∞.

Esempi

• Consideriamo la funzione f(x1, x2) = x1 + x2, definita in tutto R2. Vogliamo provare che

lim(x1,x2)→(1,1)

f(x1, x2) = 2.

Preso un qualunque intorno circolare di 2, che indichiamo con (2 − ε, 2 + ε), possiamo trovare le (x1, x2) la cuiimmagine e contenuta in tale intorno risolvendo la disequazione

2− ε < x1 + x2 < 2 + ε cioe 2− ε− x1 < x2 < 2 + ε− x1 cioe

{x2 > 2− ε− x1

x2 < 2 + ε− x1,

che porta all’insieme raffigurato qui sotto. Si tratta della regione compresa tra le due rette parallele (in grigio piuchiaro). Tale insieme contiene certamente un intorno circolare di (1, 1) (in grigio piu scuro), come rappresentato.Pertanto e provato che il limite in questione e 2.

2+ε

2 |

2−ε

1

1

|

2 x1

x2



3 LIMITE 15

• Consideriamo ora la funzione f(x1, x2) =1

x2

1+x2

2

, definita in R2 \ {(0, 0)}. Vogliamo provare che

lim(x1,x2)→(0,0)

f(x1, x2) = +∞.

Possiamo come detto prendere un M > 0 e considerare la disequazione

1

x21 + x2

2

> M.

Questa equivale a

x21 + x2

2 <1

M,

che risulta soddisfatta da tutti i punti del piano la cui distanza dall’origine e minore di√

1M , cioe appunto un

intorno circolare dell’origine. Pertanto e provato che il limite in questione e +∞.

• Consideriamo la funzione f(x1, x2) = 1x1+x2

, definita in R2 ad eccezione dei punti che stanno sulla retta di

equazione x1 + x2 = 0.

Vogliamo ora provare che ad esempio la scrittura

lim(x1,x2)→(0,0)

f(x1, x2) = +∞

e falsa. Se prendiamo M = 1 e consideriamo la disequazione

1

x1 + x2> 1, cioe

1

x1 + x2− 1 > 0 cioe

1− x1 − x2

x1 + x2> 0,

si trova facilmente che le soluzioni sono costituite dai punti compresi tra le due rette di equazione x1 + x2 = 0 ex1 + x2 = 1. Tale insieme non contiene pero un intorno circolare dell’origine.

Lo studente verifichi che sono ugualmente false possibili scritture con limite finito o con limite −∞, e che quindiil limite cercato non esiste.

• Vogliamo provare infine che

lim(x1,x2)→∞

1

x21 + x2

2

= 0.

Preso un arbitrario ε > 0, consideriamo la disequazione

1

x21 + x2

2

< ε, che equivale alla x21 + x2

2 >1

ε.

Si tratta, per ogni valore di ε, del complementare di un cerchio di centro l’origine e raggio 1/√ε, quindi in altre

parole di un intorno di ∞ in R2. Pertanto e provato che il limite dato e zero.

Osservazione Detto in modo molto impreciso ma che rende bene l’idea, il limite di una funzione di piu variabili e“piu difficile che esista” rispetto al limite di una funzione di una sola variabile.

A titolo di esempio, si consideri la funzione

f(x1, x2) =x1x2

x21 + x2

2

, con (x1, x2) 6= (0, 0). (1)

Si puo verificare facilmente chelim

(x1,x2)→(0,0)f(x1, x2) (2)

non esiste, sulla base di un risultato (che enuncio soltanto) che appare tuttavia molto plausibile. Lo dico prima aparole, poi formalizzo. Se il limite di una funzione esiste, per (x1, x2) che tende ad un certo punto (x0

1, x02), allora se

tendiamo a questo punto lungo alcune particolari curve, allora dobbiamo trovare sempre lo stesso risultato, cioe lostesso limite, indipendentemente da quale curva consideriamo.

Se cioelim

(x1,x2)→(x0

1,x0

2)f(x1, x2) esiste, finito o infinito, chiamiamolo λ



3 LIMITE 16

e se γ e una curva in R2 con γ(t0) = (x0

1, x02), allora

limt→t0

(f ◦ γ)(t)26

esiste ed e uguale a λ.Quindi, se il limite esiste, deve essere lo stesso lungo una qualunque restrizione. Ma allora, se troviamo che ci sono

due diverse restrizioni lungo le quali i limiti sono diversi, possiamo dire che il limite non esiste.Tornando alla nostra funzione (1), consideriamo la curva

γ(t) = (t, 0), con t ∈ R.

Si tratta di una curva che ha per sostegno l’asse x1 (le ascisse). Se calcoliamo ora il limite lungo questa restrizioneotteniamo

limt→0

(f ◦ γ)(t) = limt→0

f(t, 0) = limt→0

0

t2= 0.

Anche lungo la restrizione dell’asse x2 il limite e zero.Ma se consideriamo la curva

γ(t) = (t, t), con t ∈ R,

cioe quella che ha per sostegno la bisettrice del primo e terzo quadrante, otteniamo

limt→0

(f ◦ γ)(t) = limt→0

f(t, t) = limt→0

t2

2t2=

1

2.

Il limite (2) quindi non esiste.Un altro esempio:

lim(x1,x2)→∞

ex1+x2 non esiste.

Infatti, se consideriamo la restrizione di f(x1, x2) = ex1+x2 alla curva γ(t) = (t, 0), con t ∈ (0,+∞), otteniamola funzione (f ◦ γ)(t) = et, che, per t → +∞, tende a +∞. Se invece consideriamo la restrizione di f alla curvaγ(t) = (−t, 0), con t ∈ (0,+∞), otteniamo la funzione (f ◦ γ)(t) = e−t, che, per t → +∞, tende a zero. Notiamo cheentrambi i sostegni delle due curve “tendono all’infinito” per t → +∞.27 Quindi il limite non esiste, essendo diversosu due restrizioni che “tendono entrambe all’infinito”.

Esercizio 3.1 Data la funzione f(x, y) =x− y

x+ y, si calcolino i limiti di f nell’origine lungo le seguenti restrizioni:

(a) la retta di equazione y = x

(b) la parabola di equazione y = x2

(c) la parabola di equazione x = y2

Esercizio 3.2 Data la funzione f(x, y) =x3 + y3

x2 + y2, si calcolino i limiti nell’origine di f lungo le seguenti restrizioni:

(a) la retta di equazione y = x

(b) la parabola di equazione y = x2

(c) la parabola di equazione x = y2

(d) la curva di equazione y = ex − 1

26Si noti che la funzione f potrebbe non essere definita in (x0

1, x0

2) e quindi f ◦ γ potrebbe non essere definita in t0.

27Possiamo dire che i punti di una curva γ : (a,+∞) → R2 tendono all’infinito per t → +∞ se ‖γ(t)‖ → +∞ per t → +∞.



4 CONTINUITA 17

4 Continuita

Veniamo ora al concetto di continuita, gia trattato nella II parte per le funzioni di una variabile. La definizione e lastessa. E richiesto ora che x

0 appartenga all’insieme di definizione A della funzione f .

Definizione Si dice che f e continua in x0 ∈ A se si ha che

limx→x

0

f(x) = f(x0).

Se f e continua in tutti i punti di A si dice che f e continua in A.

Per le funzioni continue valgono in Rn tutti i teoremi gia visti in R. A tale proposito ricordiamo che sono di

fondamentale importanza tutti i teoremi che affermano che somme e prodotti di funzioni continue sono funzionicontinue. Anche quozienti di funzioni continue, dove il quoziente esiste, sono funzioni continue. Infine funzionicomposte di funzioni continue sono funzioni continue.

Si potrebbe dimostrare facilmente che, se f : R → R e una funzione continua (di una variabile) allora anche ognifunzione g : Rn → R, con

g(x1, . . . , xn) = f(xi), 1 ≤ i ≤ n

e una funzione continua.

Osservazione Il senso e questo: se ho una funzione di due variabili che pero “ne usa una sola” attraverso unafunzione continua, allora questa funzione di due variabili e continua. Ad esempio: f(x1, x2) = lnx1 e continua in R

2

(dove e definita, e cioe in questo caso per x1 > 0).Da quanto appena detto segue allora facilmente che tutte le funzioni elementari in n variabili sono continue. Ad

esempio sono continue, nei rispettivi campi di esistenza, le funzioni

• f(x1, x2) = 2x21x2 + 3x1x

32

• g(x1, x2, x3) = ln(x1 − x2 + x3)

• h(x1, x2, . . . , xn) = e−∥∥(x1,x2,...,xn)

∥∥

2

.

• Anche la funzione

f(x1, x2, . . . , xn) =1

∑ni=1 xi

,

dove esiste28, e continua.

Vale in Rn un teorema che generalizza il fondamentale Teorema di Weierstrass, che lo studente ha visto per funzioni

di una variabile.

Teorema (di Weierstrass) Se f e definita e continua in un sottoinsieme chiuso e limitato di Rn, allora valgono leseguenti proprieta:

(i) f e limitata e la sua immagine e un insieme chiuso e limitato;29

(ii) f assume quindi un valore massimo e un valore minimo.

Se in particolare f e definita e continua in un intervallo chiuso e limitato di Rn, allora

(iii) l’immagine di f e un intervallo chiuso e limitato.

E una conseguenza del teorema di Weierstrass il

Teorema (degli zeri) Se f e continua in un intervallo chiuso e limitato di Rn ed assume in esso valori di segnoopposto, essa in qualche punto necessariamente si annulla.

Osservazione Come gia in una sola variabile, per la validita della tesi e cruciale che la funzione sia definita in unintervallo.30

28Chiaramente la funzione esiste nei punti (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn in cui si ha

∑ni=1

xi 6= 0.29In generale non e detto che l’immagine sia un intervallo; vedi il successivo punto (iii).30Per la verita basta che la funzione sia definita in un insieme che non sia “fatto da due parti separate”.



5 FUNZIONI DEFINITE ATTRAVERSO INTEGRALI 18

5 Funzioni definite attraverso integrali

Per concludere questa sezione parliamo di funzioni che si incontrano talvolta nelle applicazioni, funzioni (di una opiu variabili) espresse attraverso integrali.

Abbiamo gia incontrato nella II parte del corso un esempio molto importante di funzione definita attraverso unintegrale. Si tratta della cosiddetta funzione integrale. Ricordo che, data una funzione g, integrabile (secondo Riemann)nell’intervallo [a, b], si dice funzione integrale di g la funzione

f(x) =

∫ x

a

g(t) dt.

Ricordo anche che per questa funzione f vale il noto teorema fondamentale del calcolo integrale: nelle ipotesi fatte(cioe che g sia integrabile) la funzione f e continua e, se la funzione g e continua, allora la funzione f e derivabile e lasua derivata coincide con g. Pertanto, se g e continua, si ha

f ′(x) = g(x) in [a, b].

Un altro esempio importante di funzione definita attraverso un integrale e il seguente.Sia g una funzione continua (di due variabili) definita nell’insieme A = I× [a, b], doveI e un qualunque intervallo di R.31 Definiamo ora la funzione

f(x) =

∫ b

a

g(x, t) dt , per ogni x ∈ I.

I

A

a

b

x

x

t

La scrittura non deve confondere lo studente, che conosce per ora solo integrali di funzioni di una variabile: per ognix fissato, la funzione g e funzione della sola variabile t, e quindi l’integrale e dello stesso tipo di quelli gia incontratinella II parte del corso. La figura evidenzia il segmento verticale in cui, fissato x, si integra nella variabile t.

E chiaro pero che il valore dell’integrale dipendera a questo punto dal valore di x: detto in altri termini, per ognix avremo un ben determinato valore dell’integrale. Questo definisce quindi in I una funzione che associa ad ogni x ilvalore di tale integrale. La funzione e appunto la f .

Esempio La scrittura∫ 1

0

ex+t dt

definisce una funzione in tutto R (della variabile x). Con una semplice integrazione e possibile trovare di tale funzioneun’espressione analitica che non faccia uso dell’integrale. Si ha infatti

∫ 1

0

ex+t dt =

∫ 1

0

exet dt = ex∫ 1

0

et dt = ex ·[et]1

0= (e− 1)ex.

Osserviamo che la funzione f(x) = (e − 1)ex e continua in tutto R. Vale infatti in generale il seguente risultato:

Teorema Se g e continua in A = I × [a, b] ⊂ R2 allora

f : I → R, con f(x) =

∫ b

a

g(x, t) dt

e continua in I.32

Osservazione Nell’esempio visto poco fa possiamo dire a priori che la funzione f(x) =∫ 1

0ex+t dt e continua in tutto

R dato che la funzione g(x, t) = ex+t e continua in R× [0, 1], essendo continua in tutto R2.

31Si tratta quindi del prodotto cartesiano di un qualunque intervallo (anche non limitato) di R per l’intervallo (chiuso e limitato) [a, b].32Si noti che la continuita di g in A assicura la continuita di g per ogni valore fissato di x, e quindi l’integrabilita di g per ogni x.




Possiamo generalizzare tutto questo: dette a e b due funzioni definite in I e tali chea(x) ≤ b(x), ∀x ∈ I, consideriamo l’insieme

A ={

(x, t) ∈ R2 : a(x) ≤ t ≤ b(x), x ∈ I

}

.

Si consideri ora la funzione

f(x) =

∫ b(x)

a(x)

g(x, t) dt. 33

La figura come prima evidenzia il segmento verticale in cui, fissato x, si integra nellavariabile t.

I

A

x

t

y=a(x)

y=b(x)

x

I risultati di poco fa non cambiano di molto. Ci si aspetta in particolare che valga il seguente

Teorema Se a e b sono funzioni continue in I e g e continua in A, allora f e continua in I.

Esempio Consideriamo, nell’intervallo [0,+∞), la funzione

f(x) =

∫ 2x

x

(x+ t) dt

Si osservi che in [0,+∞) si ha x ≤ 2x. Possiamo anche qui trovare un’espressione di f in forma elementare (espressioneche non faccia uso dell’integrale). Si ha infatti

f(x) =

∫ 2x

x

xdt+

∫ 2x

x

t dt = x[t]2x

x+

1

2

[t2]2x

x= x(2x− x) +

1

2(4x2 − x2) = x2 +

3

2x2 =

5

2x2.

Vediamo qualche altro esempio.

Esempi

• La scrittura ∫ 1

0

ext dt

definisce una funzione continua in tutto R (della variabile x). E possibile trovare un’espressione elementare dif . Si ha

f(x) =

∫ 1

0

ext dt =

[ext

x

]1

0

=ex − 1

x.

Da notare che l’espressione ottenuta con l’integrazione vale per x 6= 0. Per x = 0 si ha f(0) =∫ 1

0 dt = 1. E

si noti ancora che la funzione ottenuta e continua in tutto R dato che, come noto, limx→0ex−1x = 1 (e uno dei

limiti notevoli visti nella II parte).

• Consideriamo la scrittura ∫ 1

0

ln(x + t) dt.

Essa non definisce una funzione in tutto R, ma definisce una funzione ad esempio in [1,+∞).34 Possiamo trovareun’espressione elementare di f .

f(x) =[

(x+ t) ln(x+ t)− (x+ t)]1

0

= (x + 1) ln(x + 1)− (x+ 1)− x ln x+ x

= (x + 1) ln(x + 1)− x lnx− 1.

33Si osservi che questa e la forma generale che comprende come casi particolari tutti quelli visti in precedenza. Mi spiego: la funzionef(x) =

∫ xa g(t) dt si puo vedere come caso particolare di quest’ultimo con a(x) = a (cioe costante), b(x) = x e g funzione solo di t. Invece

la f(x) =∫ bag(x, t) dt e caso particolare di quest’ultimo con funzioni a e b entrambe costanti.

Si potrebbe in realta rinunciare all’ipotesi che a(x) ≤ b(x) nell’intervallo I prevedendo anche la possibilita che le due funzioni a e b si“intreccino”.

34Lo studente risponda al seguente quesito (difficile): quali sono gli intervalli in cui la scrittura definisce una funzione?




• La scrittura ∫ 1

0

ext2

dt

definisce come prima una funzione continua in tutto R. Questa volta pero non e possibile trovare, con unaintegrazione, un’espressione elementare di tale funzione. Questo ovviamente perche la funzione t 7→ ext

2

(x e unparametro fissato) non ha una primitiva elementare.

• La funzione

f(x) =

∫ x2

x

ln(x+ t) dt, con x ∈ [1,+∞)

e una funzione continua in [1,+∞), dato che g(x, t) = ln(x+ t) e continua nell’insieme

A ={(x, t) ∈ R

2 : x ≤ t ≤ x2, x ∈ [1,+∞)}.

Lo studente per esercizio determini un’espressione elementare esplicita della funzione f .

Osservazione Come si e visto negli esempi, non sempre e possibile dare un’espressione elementare (cioe attraversofunzioni elementari) ad una funzione definita attraverso un integrale.

Osservazione Le funzioni definite attraverso un integrale viste finora sono tutte funzioni di una variabile (anche sela funzione che sta sotto l’integrale e di due variabili). Non c’e pero alcuna difficolta nel definire funzioni di questotipo, ma di piu variabili, funzioni cioe definite da espressioni come

f(x1, . . . , xn) =

∫ b

a

g(x1, . . . , xn, t) dt35

o, piu generalmente

f(x1, . . . , xn) =

∫ b(x1,...,xn)

a(x1,...,xn)

g(x1, . . . , xn, t) dt.

I risultati sulla continuita di queste funzioni sono analoghi a quelli visti prima.Anche qui un paio di esempi.

• Rientra in questa tipologia

f(x1, x2) =

∫ x2

x1

et dt.

Ovviamente si tratta della funzione f(x1, x2) = ex1 − ex2.

• Oppure

f(x1, x2) =

∫ x2

1+x2

2

x1+x2

(x1 + x2 + t) dt,

che e certamente un polinomio (perche?). Lo studente trovi l’espressione elementare di f .

Esercizio 5.1 Si scriva un’espressione elementare delle seguenti funzioni definite attraverso un integrale:

(a) f(x) =

∫ 1

0

t

xdt (b) f(x) =

∫ 1

−1

(xt2 − x2t+ 1) dt

(c) f(x) =

∫ 2x

x

ext dt (d) f(x) =

∫ ex

1

ln(x2 + t) dt

(e) f(x, y) =

∫ x+y

x−y

xyt dt (f) f(x, y) =

∫ y

x

exyt dt

35In pratica succede che delle n + 1 variabili che ci sono sotto l’integrale una e la variabile di integrazione (la t) e le altre sono invecevariabili effettive della funzione che viene cosı definita. Si puo pensare che delle n + 1 variabili una sparisca nel processo di integrazione,le altre restino.



6 SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI 21

6 Soluzioni degli esercizi

Esercizio 2.1

(a) f(x, y) = ln(x− y+1). L’unica condizione di esistenza e data dalla disequazione x− y+1 > 0, cioe y < x+1. Ilcampo di esistenza di f e quindi il semipiano che si trova al di sotto delle retta di equazione y = x+1. La rettanon fa parte dell’insieme. Si tratta di un insieme aperto, dato che tutti i suoi punti sono interni all’insieme.

(b) f(x, y) =1 + x+ y

1− 2x+ 3y. La condizione di esistenza e data dal non annullarsi del denominatore, cioe dalla condi-

zione 1− 2x+3y 6= 0, che si puo anche scrivere y 6= 23x− 1

3 . Si tratta quindi dei punti del piano che non stannosulla retta di equazione y = 2

3x− 13 . L’insieme e aperto, dato che tutti i punti sono interni.

(c) f(x, y) =√

x+ y2 + 1. La condizione di esistenza e data da x+ y2+1 ≥ 0, soddisfatta da tutti i punti del pianoche stanno alla destra della parabola di equazione x = −y2 − 1. Si tratta di una parabola con asse coincidentecon l’asse x, con la concavita rivolta verso sinistra. Il campo di esistenza di f e un insieme chiuso, dato che ipunti sulla parabola fanno parte dell’insieme.

(d) f(x, y) =√

1− x2 − y2. La condizione di esistenza e data da 1 − x2 − y2 ≥ 0, cioe x2 + y2 ≤ 1, soddisfattada tutti i punti del piano appartenenti al cerchio di centro l’origine e raggio 1 (bordo compreso). Il campo diesistenza di f e un insieme chiuso, dato che i punti sulla circonferenza fanno parte dell’insieme.

(e) f(x, y) = ln(1− 2x2 − y2). La condizione di esistenza e data da 1− 2x2 − y2 > 0, cioe 2x2 + y2 < 1, soddisfattada tutti i punti del piano interni all’ellisse di centro l’origine e semiassi a = 1√

2e b = 1 (bordo escluso). Il campo

di esistenza di f e un insieme aperto, dato che i punti sull’ellisse non fanno parte dell’insieme.

(f) f(x, y) =√xy. La condizione di esistenza e data da xy ≥ 0, che e verificata nel primo oppure nel terzo quadrante,

bordo compreso. Si tratta di un insieme chiuso.

(g) f(x, y) = ln(1−xy). La condizione di esistenza e data da 1−xy > 0, cioe xy < 1. La disuguaglianza e verificatanella regione di piano compresa tra i due rami dell’iperbole equilatera di equazione xy = 1. I rami dell’iperbolesi trovano nel primo e nel terzo quadrante. I punti che stanno sull’iperbole non sono compresi e quindi l’insiemee aperto.

(h) f(x, y) =√

1− y2. La condizione di esistenza e data da 1− y2 ≥ 0, cioe y2 ≤ 1, che e verificata se −1 ≤ y ≤ 1.Quindi il campo di esistenza di f e la regione di piano compresa tra le due rette di equazione y = −1 e y = 1.L’insieme e chiuso in quanto il bordo e compreso.

Esercizio 2.2

(a) f(x, y) =√

x(y + 1).La condizione di esistenza e x(y + 1) ≥ 0, che si puo esprimere attraverso isistemi {

x ≥ 0

y + 1 ≥ 0oppure

{x ≤ 0

y + 1 ≤ 0

cioe {x ≥ 0

y ≥ −1oppure

{x ≤ 0

y ≤ −1.

−1

x

y

L’insieme e raffigurato a fianco.36 Il bordo e compreso.

36L’insieme e l’unione dei due insiemi che sono soluzione dei due sistemi. Si noti che per risolvere ciascuno dei sistemi si effettuaun’intersezione: ad esempio nel primo le soluzioni sono l’intersezione del semipiano x ≥ 0 con il semipiano y ≥ −1. Per ottenere le soluzionicomplessive si devono invece unire quelle trovate in precedenza.




(b) f(x, y) =√x+ 1−√

1− x− y.La condizione di esistenza e espressa dal sistema

{x+ 1 ≥ 0

1− x− y ≥ 0.

Si noti che, a differenza del caso precedente, qui si vuole che entrambi gliargomenti delle radici siano non negativi. Quindi c’e un unico sistema cheesprime le condizioni di esistenza. Il sistema equivale a

{x ≥ −1

y ≤ 1− x.

−1 1

1

x

y

L’insieme e raffigurato a fianco.37 Il bordo e compreso.

(c) f(x, y) = log

(1− x

1− y

)

.

La condizione di esistenza e 1−x1−y > 0, che si puo esprimere attraverso i sistemi

{1− x > 0

1− y > 0oppure

{1− x < 0

1− y < 0

cioe {x < 1

y < 1oppure

{x > 1

y > 1.

L’insieme e raffigurato a fianco. Il bordo non e compreso.

1

1

x

y

(d) f(x, y) = ln y + ln(x+ y).

La condizione di esistenza e espressa dal sistema

{y > 0

x+ y > 0cioe

{y > 0

y > −x.

L’insieme e raffigurato a fianco. Il bordo non e compreso.x

y

(e) f(x, y) =

√

x2 + y2 − 4

y − 1.

La condizione di esistenza e x2+y2−4y−1 ≥ 0, che si puo esprimere attraverso

i sistemi

{x2 + y2 − 4 ≥ 0

y − 1 > 0oppure

{x2 + y2 − 4 ≤ 0

y − 1 < 0

cioe {x2 + y2 ≥ 4

y > 1oppure

{x2 + y2 ≤ 4

y < 1.

L’insieme e raffigurato a fianco. Il bordo e solo in parte compreso: ipunti che stanno sulla circonferenza sono compresi, quelli sulla retta no.

2−2

1

2

−2

x

y

37Qui l’insieme e l’intersezione dei due semipiani, in quanto vogliamo che le due condizioni valgano entrambe. Si noti ancora la differenzacon l’esercizio precedente: in quello la condizione era che il prodotto dei due fattori fosse maggiore o uguale a zero (cosa che avviene se idue fattori hanno lo stesso segno, e quindi c’erano i due sistemi), mentre in questo vogliamo che i due fattori siano entrambi positivi (equindi c’e un solo sistema).




(f) f(x, y) = log

(x

x− y2 + 1

)

.

La condizione di esistenza e xx−y2+1 > 0, che si puo esprimere attraverso i

sistemi {x > 0

x− y2 + 1 > 0oppure

{x < 0

x− y2 + 1 < 0

cioe {x > 0

x > y2 − 1oppure

{x < 0

x < y2 − 1.

L’insieme e raffigurato a fianco. Il bordo non e compreso.

−1 x

y

(g) f(x, y) =

√xy + 1

x+ y + 1.

La condizione di esistenza e xy+1x+y+1 ≥ 0, che si puo esprimere attraverso

i sistemi

{xy + 1 ≥ 0

x+ y + 1 > 0oppure

{xy + 1 ≤ 0

x+ y + 1 < 0

cioe {xy ≥ −1

y > −x− 1oppure

{xy ≤ −1

y < −x− 1.

L’insieme e raffigurato a fianco. Il bordo e solo in parte compreso.

−1

−1

x

y

(h) f(x, y) = log

((x− 1)2 + y2 − 4

4− x2 − (y − 1)2

)

.

La condizione di esistenza e (x−1)2+y2−44−x2−(y−1)2 > 0, che si puo esprimere

attraverso i sistemi

{(x− 1)2 + y2 > 4

x2 + (y − 1)2 < 4oppure

{(x− 1)2 + y2 < 4

x2 + (y − 1)2 > 4.

Le corrispondenti equazioni individuano due circonferenze, rispettiva-mente di centro (1, 0) e (0, 1), entrambe di raggio 2. L’insieme eraffigurato a fianco. Il bordo non e compreso.

b

b

11

3

3

−1 −1x

y

Esercizio 2.3

(a) Il profilo di f e la funzione f0 : [0,+∞) → R definita da f0(t) = e−t2 .

Infatti risulta: f(x, y) = f0(√

x2 + y2) = e−(√

x2+y2)2 = e−x2−y2

.

(b) Il profilo di f e la funzione f0 : [0,+∞) → R definita da f0(t) =√t2 + 1.


x2 + y2) =√

(√

x2 + y2)2 + 1 =√

x2 + y2 + 1.

(c) Il profilo di f e la funzione f0 : [0,+∞) → R definita da f0(t) =1

1+t2 .


x2 + y2) = 1

1+(√

x2+y2)2= 1

1+x2+y2 .

(d) Il profilo di f e la funzione f0 : [0,√2) → R definita da f0(t) = ln(2− t2).


x2 + y2) = ln(2− (√

x2 + y2)2) = ln(2− x2 − y2).

(e) Il profilo di f e la funzione f0 : [0,+∞) → R definita da f0(t) = t− t2.


x2 + y2) =√

x2 + y2 − x2 − y2.




(f) Il profilo di f e la funzione f0 : [0,+∞) → R definita da f0(t) = 1 + t4.

Infatti risulta: f(x, y) = 1 + (x2 + y2)2 = f0(√

x2 + y2) = 1 + (√

x2 + y2)4.

Esercizio 2.4

(a) La curva di livello 1 ha equazione ln(x− y + 1) = 1, cioe x− y + 1 = e. Si tratta di una retta.

(b) La curva di livello 1 ha equazione 1+x+y1−2x+3y = 1, cioe 3x− 2y = 0. Si tratta di una retta per l’origine.

(c) La curva di livello 1 ha equazione√

x+ y2 + 1 = 1, cioe x+ y2 = 0. Si tratta di una parabola con asse paralleloall’asse x.

(d) La curva di livello 1 ha equazione√

1− x2 − y2 = 1, cioe x2 + y2 = 0. La curva si riduce ad un punto, l’origine.

(e) La curva di livello 1 ha equazione ln(1− 2x2 − y2) = 1, cioe 1− 2x2 − y2 = e, cioe 2x2 + y2 = 1− e. L’equazionenon ha soluzioni e quindi la curva e l’insieme vuoto.

(f) La curva di livello 1 ha equazione√xy = 1, cioe xy = 1. La curva e un’iperbole che sta nel primo e terzo

quadrante.

(g) La curva di livello 1 ha equazione ln(1 − xy) = 1, cioe 1 − xy = e, cioe xy = 1 − e. La curva e un’iperbole chesta nel secondo e quarto quadrante.

(h) La curva di livello 1 ha equazione√

1− y2 = 1, cioe y2 = 0. L’equazione definisce l’asse x.

Esercizio 2.5

Possiamo scrivere l’equazione nella forma y = −x − 1, da cui una curva che parametrizza la retta e la curva γ(t) =(t,−t− 1), con t ∈ R.

Esercizio 2.6

Possiamo scrivere l’equazione nella forma x = −y2 − 1, da cui una curva che parametrizza la parabola e la curvaγ(t) = (−t2 − 1, t), con t ∈ R.

Esercizio 2.7

Possiamo scrivere l’equazione nella forma x2 = 1 + y2. Osservando che e richiesto il ramo di destra, quello cioe con xpositivo, possiamo scrivere l’equazione equivalente x =

√

1 + y2. Una curva che parametrizza il ramo dell’iperbole ela curva γ(t) = (

√1 + t2, t), con t ∈ R.

Esercizio 2.8

La restrizione e la funzione f(γ(t)) = t+ et ln2 t, definita per t ∈ (0,+∞).

Esercizio 2.9

La restrizione e la funzione f(γ(t)) = t1/t = t2, definita per t ∈ (0,+∞).

Esercizio 2.10

La restrizione e la funzione f(γ(t)) = 1t + ln(1t + t), definita per t ∈ (0,+∞).

Esercizio 3.1

(a) Lungo la retta di equazione y = x, ad eccezione dell’origine, la funzione f vale zero. Il limite e quindi zero.

(b) Lungo la parabola di equazione y = x2, e quindi lungo la curva γ(t) = (t, t2), ad eccezione dei punti (0, 0) e

(−1, 1), la restrizione di f e la funzione g(t) = t−t2

t+t2 = 1−t1+t . Per t → 0 il limite vale 1.

(c) Lungo la parabola di equazione x = y2, e quindi lungo la curva γ(t) = (t2, t), ad eccezione dei punti (0, 0) e

(1,−1), la restrizione di f e la funzione g(t) = t2−tt2+t =

t−1t+1 . Per t → 0 il limite vale −1.




Esercizio 3.2

(a) Lungo la retta di equazione y = x, e quindi lungo la curva γ(t) = (t, t), la restrizione di f e la funzione

g(t) = 2t3

2t2 = t, e quindi il limite e zero.

(b) Lungo la parabola di equazione y = x2, e quindi lungo la curva γ(t) = (t, t2), la restrizione di f e la funzione

g(t) = t3+t6

t2+t4 = t+t4

1+t2 . Per t → 0 il limite vale 0.

(c) Lungo la parabola di equazione x = y2, e quindi lungo la curva γ(t) = (t2, t), la restrizione di f e ancora la

funzione g(t) = t+t4

1+t2 , per cui il limite per t → 0 vale ancora 0.

(d) Lungo la curva di equazione y = ex− 1, e quindi lungo la curva γ(t) = (t, et− 1), la restrizione di f e la funzione

g(t) = t3+(et−1)3

t2+(et−1)2 , per cui il limite e

limt→0

t3 + (et − 1)3

t2 + (et − 1)2= lim

t→0

t3 + t3 + o(t3)

t2 + t2 + o(t2)= 0.38

Esercizio 5.1

(a) Si ha

f(x) =

∫ 1

0

t

xdt =

1

x

∫ 1

0

t dt =1

2x.

(b) Si ha

f(x) =

∫ 1

−1

(xt2 − x2t+ 1) dt = xt3

3

∣∣∣∣

1

−1

− x2 t2

2

∣∣∣∣

1

−1

+ t∣∣∣

1

−1=

2

3x+ 2.

(c) Si ha

f(x) =

∫ 2x

x

ext dt =ext

x

∣∣∣∣

2x

x

=1

x

(

e2x2 − ex

2)

=ex

2

x

(

ex2 − 1

)

.

(d) Si ha

f(x) =

∫ ex

1

ln(x2 + t) dt

= (x2 + t) ln(x2 + t)∣∣∣

ex

1− (x2 + t)

∣∣∣

ex

1

= (x2 + ex) ln(x2 + ex)− (x2 + ex)− (x2 + 1) ln(x2 + 1) + (x2 + 1).

(e) Si ha

f(x) =

∫ x+y

x−y

xyt dt = xyt2

2

∣∣∣∣

x+y

x−y

=xy

2

((x+ y)2 − (x − y)2

)= 2x2y2.

(f) Si ha

f(x, y) =

∫ y

x

exyt dt =exyt

xy

∣∣∣∣

y

x

=1

xy

(

exy2 − ex

2y)

.

38Si ricordi che et = 1+ t+ o(t), per t che tende a 0, e che quindi et − 1 = t+ o(t), per t → 0.


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