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Meccanica Applicata alle Macchine 1 - A.A. 2004/2005 – Cap. 1 - pag. 1

1.1 Oggetto dello studio1.2 La macchina come sistema1.3 Studio delle macchine1.4 Coppie cinematiche1.5 Catene cinematiche e meccanismi

Cap. 1 - STRUTTURA DELLE MACCHINE


1.1 - OGGETTO DELLO STUDIO

La Meccanica Applicata alle Macchine è il settore della meccanica che studia le macchine.Macchina può essere definita qualsiasi costruzione dell’uomo il cui stato evolve nel tempo, atta al raggiungimento di un prefissato ed utile obiettivo. Solitamente si limita lo studio a quei sistemi, costruiti dall’uomo, che siano caratterizzati da membri in moto relativo rispetto al telaio.


Le finalità dello studio e quindi le tecniche adottate sono diverse a seconda dei punti di vista:

produzioneprogettazione

• di massima• di dettaglio• funzionale• strutturale

gestionemanutenzione

Classificazione delle macchine:energetiche• motrici• generatrici

operatrici


MACCHINE ENERGETICHE

Sono destinate alla trasformazione di energia:motrici – energia termica → energia meccanica – energia elettrica → energia meccanica – energia potenziale → energia meccanica – ...

generatrici– energia meccanica → energia elettrica– energia meccanica → energia termica– ...

Le macchine energetiche sono anche classificate a seconda della fisica del fenomeno di trasformazione energetica:

macchine a fluido (o termiche)macchine elettriche


Esempi di macchine generatrici a fluido

Pompa rotativa con palette Compressore rotativo elicoidale


Esempi di macchine motrici a fluido

Turbina idraulica ad asse verticale Motore alternativo a combustione interna


Esempi di macchine motrici elettriche

Motore elettrico asincrono in corrente alternata Motore elettrico in corrente continua


Esempi di macchine generatrici elettriche

Generatore di corrente alternata (alternatore)

Generatore di corrente continua (dinamo)


MACCHINE OPERATRICI

Sono destinate alla realizzazione di operazioni diverse da semplici trasformazioni di energia:

macchine utensilimacchine da trasporto (veicoli)macchine agricolemacchine tessilimacchine di sollevamentomacchine per uso domesticoecc.


Esempi di macchine operatrici

Fresatrice orizzontale

Pettinatrice per cotone

Gru per edilizia

Robot industriale


Esempi di macchine operatrici

Autogru

Lavatrice

Automobile

Escavatore Laminatoio


TIPOLOGIA DELLE MACCHINE

A seconda di come sono collegati fra loro i vari componenti, è possibile costruire sistemi di complessità crescente:macchine in ciclo aperto: cesoie, tornitrici, automobili, gru, ecc.macchine automatiche: confezionatrici, tavole rotanti, macchine per l’industria dolciaria, farmaceutica, ecc.macchine con sistema di controllo (in ciclo chiuso): centri di lavorazione, robot, ecc.impianti tradizionali o automatici: sono sistemi costituiti da più macchine collegate fra loro in grado di realizzare determinate produzioni con o senza l’intervento diretto dell’uomo.


1.2 - LA MACCHINA COME SISTEMA

Ogni macchina è in generale un sistema costituito da più componenti. Tra questi:meccanismi (componenti meccanici elementari costituiti prevalentemente da membri solidi): ingranaggi, camme, giunti, innesti, freni, ecc.macchine energetiche: motori termici o elettrici, pompe, compressori, dinamo e alternatori, ecc.componenti elettrici: motori elettrici, trasformatori, interruttori, avvisatori acustici, cablaggi, ecc.componenti oleodinamici e pneumatici: motori, pompe, distributori, valvole, filtri, steli, tubazioni, ecc.componenti di regolazione: strumenti di misura, elementi di elaborazione dei segnali, sistemi di controllo, ecc.


MECCANISMIInsieme di corpi rigidi interconnessi (membri) che possono muovere l’uno rispetto all’altro congruentemente con i vincoli che ne limitano il reciproco moto relativo.Il membro che rispetto al sistema di riferimento del moto è fermo, se esiste, prende il nome di telaio.Un meccanismo può, ad esempio, trasferire energia meccanica da un membro movente con moto rotatorio a un membro cedente con moto traslatorio:

en. meccanica en. meccanica

P = M x ω P = F x vMECCANISMO

I meccanismi sono gli elementi di base per le macchine e sono a loro volta costituiti da membri

Esempio di meccanismo


MEMBRII membri di una macchina possono essere:

solidi– rigidi– deformabili

» elastici (molle, ecc.)» anelastici (membrane, ecc.)» flessibili (cinghie, catene, funi)

fluidi– liquidi (acqua in pompe, olii in trasmissioni oleodinamiche, ecc.)– aeriformi (vapori o gas in turbine, ventilatori, compressori, ecc.)

Si noti che la divisione fra membri rigidi e deformabili in realtà serve per distinguere quei membri le cui deformazioni sono così piccole da poter essere trascurate nell’analisi di posizione da quelli in cui la deformazione è un elemento essenziale del loro funzionamento (a rigore, nessun corpo è perfettamente rigido).


I meccanismi possono essere divisi in due categorie:meccanismi per la trasmissione di potenzaobiettivo principale è la variazione di forze e momenti trasmessi:

– ruote dentate– ruote e flessibili– innesti– freni– ecc.

meccanismi per il moto varioobiettivo principale è la variazione della legge del moto:

– sistemi articolati– camme– meccanismi per moto intermittente– ecc.

TIPI DI MECCANISMI


IMPIANTIGli impianti sono insiemi di macchine variamente collegate, utilizzate per realizzare compiti complessi:

produzione di energiaproduzioni industrialiassemblaggio, confezione, distribuzione, ecc.

Si distinguono diversi livelli di autonomia ed integrazione a seconda della presenza di:

regolazionecontrolloautomazione

– rigida– flessibile


I problemi tipici studiati dalla Meccanica Applicata alle Macchine possono essere ricondotti ai due tipi fondamentali:

Problemi di analisiDato il meccanismo e l’equazione oraria di uno o più membri, l’analisi dei meccanismi consiste nel determinare la legge del moto dei punti di ogni membro e le forze e coppie agenti sui vari membri.

Problemi di sintesiLa sintesi consiste nel creare il meccanismo che soddisfi le specifiche di progetto, ovvero i requisiti di partenza.Le specifiche di progetto possono consistere nella legge del movimento di uno o più punti del meccanismo, negli angoli di trasmissione, nella posizione dei perni a telaio, ecc.

1.3 - STUDIO DELLE MACCHINE


ANALISI– dati:

» il meccanismo» l’equazione oraria di un suo membro (in genere il movente)

– determinare:» legge del moto (posizione, velocità, accelerazione) di ogni suo membro» forze e coppie agenti su ogni membro

SINTESI– date le specifiche di progetto:

» leggi del moto di uno o più punti (in genere il cedente)» punti fissi a telaio» angoli di trasmissione delle forze

– determinare:» il tipo di meccanismo (sintesi di tipo)» il numero e la disposizione dei membri (sintesi di numero)» le dimensioni geometriche (sintesi dimensionale)


STUDIO CINEMATICO E DINAMICOCINEMATICA: studio del movimento senza tener conto delle forze che lo producono

(in genere: ipotesi di corpi rigidi; la massa è ininfluente)

modello cinematico = eq. algebriche non lineari di posizione +eq. algebriche lineari di velocità e di accelerazione

DINAMICA: studio della trasmissione del movimento sotto l’azione delle forze applicatemodello dinamico = eq. differenziali + eq. algebriche

Tecniche disponibili per lo studio cinematico e dinamico:tradizionali– grafiche– numeriche

CAD (assistite dal calcolatore)


LIVELLI DI APPROSSIMAZIONESi adottano livelli di approssimazione diversi a seconda delle finalità dello studio; in particolare si considera:il funzionamento reale (o condizioni reali) se i fenomeni dissipativi devono essere presi in considerazione

il funzionamento ideale (o condizioni ideali) se i fenomeni dissipativi possono essere trascurati

Lo studio delle macchine in condizioni reali è molto complesso a causa di:

– non linearità– masse distribuite– deformabilità dei membri– giochi negli accoppiamenti

Le ipotesi di membri perfettamente rigidi e privi di massa, tipica della meccanica tradizionale, non sono sempre accettabili.


IPOTESI DELLO STUDIO: SISTEMI MECCANICI PIANI

Sistemi in cui tutti i corpi o membri si muovono su di un piano o in piani paralleliL’analisi cinematica e dinamica è più facile perché:

– la modellazione della posizione e dell’orientamento dei corpi è più semplice che nello spazio: sono sufficienti 3 parametri invece di 6

– i concetti sono più facilmente assimilabili nel contesto dei sistemi piani

– la rappresentazione grafica è più immediata

I concetti acquisiti nella formulazione dei modelli piani possono essere estesi al caso di meccanismi spaziali


IPOTESI DELLO STUDIO: RIGIDEZZA

I sistemi meccanici possono essere considerati come formati da corpi rigidi, cioè tali che le distanze tra punti assegnati dello stesso corpo rimangano costanti durante il funzionamentoOgni particella in un corpo rigido è individuata dal suo vettore posizione, che è costante in un sistema di riferimento solidale al corpo (viene indicato come sistema di riferimento del corpo)In realtà si hanno sempre deformazioni quando si applicano delle forzeSi può adottare l’ipotesi di rigidezza se le deformazioni riscontrabili risultano molto inferiori agli spostamenti realizzati


moto in transitorio:– si verifica nella fase di avviamento o di arresto delle macchine ed è

generalmente un moto vario.

moto a regime:– uniforme o assoluto se l’atto di moto di tutti i membri si mantiene costante in

qualunque intervallo di tempo– periodico se l’atto di moto di tutti i membri si ripete dopo un intervallo di tempo

(periodo)

Inoltre il moto si dice ciclico se, dopo l’avvio da qualsiasi posizione relativa, i membri di una macchina passando attraverso tutte le posizioni che possono assumere, ritornano alla loro posizione relativa originale:

» continuativo se durante ogni successivo ciclo non si arresta» intermittente se durante ogni ciclo si arresta per un intervallo di tempo

finito» alternativo se ad ogni ciclo si inverte il verso di movimento

CONDIZIONI DI FUNZIONAMENTO


In conseguenza di tali legami (vincoli) risultano limitate le possibilità di movimento di ciascun membro relativamente agli altri, ossia il numero dei gradi di libertà del singolo membro e di tutta la macchina.

1.4 - COPPIE CINEMATICHE

La principale caratteristica dei sistemi meccanici è quella di essere costituiti da più corpi (membri), collegati fra loro in modo opportuno.

Esempio:ingranaggio conico diritto

membro

membro

vincolo

Coppia conica


Consideriamo 2 corpi nello spazio tra cui sia possibile uno spostamento relativo e definiamo 2 terne {A} e {B} solidali ai 2 corpi, rispettivamente:

{xA, yA, zA} in OA e {xB, yB, zB} in OB

SPOSTAMENTI RELATIVI

Lo spostamento relativo tra i 2 corpi in assenza di vincoli è espresso da 6parametri (gradi di libertà del moto relativo) e può essere descritto per mezzo delle 2 terne {A} e {B}:

– 3 componenti cartesiane per definire lo spostamento relativo delle origini delle 2 terne lungo i 3 assi coordinati

– 3 parametri indipendenti (ad esempio tre angoli) per definire l’orientamento relativo delle due terne nelle 3 direzioni dello spazio

Terne spaziali


ROTAZIONI NEL PIANONel caso di moto piano le rotazioni avvengono sempre intorno all’asse Z e la matrice di rotazione assume la forma semplificata:

Rotazioni di terne

ˆ ˆ ˆ ˆ cos senˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ sen cosB A B AA A A

B B B

B A B A

X X Y XR X Y

X Y Y Y

ϑ ϑϑ ϑ

• • − = = = • • La matrice di rotazione consente di ricavare in modo semplice le coordinate di un punto P rispetto al sistema di riferimento {A}, una volta nota la sua posizione in {B} e l’entità della rotazione tra le 2 terne:

c s

s c

A BA A B P P

B A BP P

x xP R P

y yϑ ϑϑ ϑ

− = → =

c ss c

A B BP P P

A B BP P P

x x yy x y

ϑ ϑϑ ϑ

= −

= +


VINCOLI

Chiamiamo vincolo ogni dispositivo che limita le posizioni e le velocità dei punti del sistema meccanico: pertanto la presenza di un vincolo tra i membri 1 e 2 riduce la mobilità relativa deimembri stessi.I vincoli possono essere espressi analiticamente mediante relazioni fra le coordinate e le velocità di punti del sistema:

dove ψ è un vettore di dimensione pari al numero delle relazioni (equazioni e disequazioni). Un vincolo è detto bilaterale se le restrizioni imposte al sistema si rappresentano tramite sole equazioni (es: punto vincolato ad una linea, corpo con un punto fisso), mentre è detto unilaterale se compare almeno una disequazione (es: corpo appoggiato ad un piano o vincolato a stare all’interno di una sfera).Un vincolo è interno se è dovuto alla costituzione del corpo stesso (per es. rigidezza) ed esterno se è dovuto alla presenza di altri corpi.

( ), , , , 0i iP P tΨ ≥… …


Un vincolo bilaterale è detto olonomo o geometrico o di posizione se limita direttamente solo le posizioni del sistema e quindi non compare nella sua equazione la dipendenza dalle velocità:

mentre è detto anolonomo o cinematico o di mobilità se limita anche le velocità dei punti.

Perché un vincolo risulti effettivamente anolonomo occorre che la sua equazione di vincolo (alle derivate prime rispetto al tempo)risulti non integrabile: per esempio è olonomo un vincolo che realizza la condizione di rotolamento senza strisciamento di un rullo rigido su un piano, mentre è anolonomo il vincolo di rotolamento senza strisciamento di una sfera rigida su un piano.

( )1, , , , , 0i nP P P tΨ =… …


Un sistema è detto olonomo se i suoi eventuali vincoli sono tutti olonomi: allora le sue possibili configurazioni possono essere univocamente individuate mediante un numero minimo n di parametri indipendenti q1, ..., qn chiamati coordinate lagrangiane; si dice che il sistema ha n gradi di libertà.I vincoli olonomi bilaterali “sottraggono” al sistema tanti gradi di libertà quante sono le corrispondenti equazioni di vincolo; quelli unilaterali, invece, non diminuiscono i gradi di libertà del sistema (per es. un punto vincolato a muoversi all’interno di una stanza ha ancora 3 g.d.l.). I vincoli anolonomi, imponendo delle restrizioni solo sulle velocità dei punti del sistema, non impediscono il raggiungimento di alcuna posizione e quindi anch’essi non fanno diminuire il numero di g.d.l.

GRADI DI LIBERTÀ


Esempio di vincolo olonomo: disco su piano

In generale il rullo, se vincolato a rimanere a contatto con il piano, ha 2 gradi di libertà (per esempio la posizione xG del centro G e la rotazione θattorno al centro stesso); se, invece, si impone la rotazione senza strisciamento del rullo sul piano, viene introdotta la corrispondente equazione di vincolo vC = 0, per cui:

che lega la velocità di avanzamento del rullo alla sua velocità angolare.Tale equazione è integrabile, ottenendo:

per cui il vincolo è olonomo ed il sistema ha solo 1 g.d.l.

• se il disco è vincolato ad essere appoggiato al piano ma può strisciare su di esso ha 2 gradi di libertà: xG e θ

• nel caso di puro rotolamento (xG = R θ) 1 grado di libertà: xG oppure θ

( ) G x G Cv v G C Rω θ= + ∧ − → =

xG = xG0 + θ R

Z

X

Rθ G

CXG


Esempio di vincolo anolonomo: sfera su piano

RG

CX

Y

Z

Se si impone il vincolo che la sfera rotoli senza strisciare sul piano, viene anche in questo caso introdotta la corrispondente equazione di vincolo vC=0 ovvero:

vC = vG+ ω Λ (C-G) = 0che lega le velocità lineari ed angolari della sfera. Tale equazione si può sviluppare ed esprimere in funzione delle coordinate lagrangiane, ottenendo:

Poiché tale sistema di equazioni non è integrabile, il vincolo è anolonomo e la sfera ha ancora 5 g.d.l.: ciò significa che, con opportune manovre, è ancora possibile “parcheggiare” la sfera in qualsiasi posizione con qualsiasi orientamento prefissato senza farla mai strisciare.

La sfera rappresentata in figura, vincolata a rimanere a contatto con il piano, ha 5 gradi di libertà: per es. si possono scegliere come coordinate lagrangiane la posizione {xG, yG} del suo centro ed il suo orientamento, rappresentato dagli angoli {ψ, θ, φ}

( )( )

sen cos sen00 sen sen cos

0 0

GGx y

Gy x G

Gz G

x Rv Rv R y Rv z

ψ ϑ ϕ ϑ ϕωω ψ ϑ ϕ ϑ ϕ

= −− = − = → = + = =


COPPIE CINEMATICHESi definisce coppia il sistema formato da 2 membri contigui collegati: se tra di essi esiste un movimento relativo (cioè il sistema ha almeno 1 g.d.l.) si ha una coppia cinematica.Le coppie sono caratterizzate essenzialmente dallo spostamento relativo dei membri a contatto, che dipende dalla forma delle superfici che sono in contatto durante il moto: tali superfici sono dette superfici coniugate.Uno stesso spostamento relativo fra i membri può essere ottenutocon differenti coppie di superfici coniugate: l’effettiva forma costruttiva ha influenza sulla trasmissione delle forze, l’usura, l’ingombro, ecc. (es: in figura sono visualizzati diversi sistemi che realizzano lo stesso spostamento relativo con diverse modalità)

Coppia prismatica Guida volvente

Guida e pattino


Dal punto di vista cinematico si distinguono:– contatti di rotolamento – contatti di strisciamento – contatti di urto

vt

vn

ωωπ

ωτ

contatto di strisciamento contatto di rotolamento contatto d’urto

Dal punto di vista realizzativo si distinguono:– accoppiamenti di forma (es: perno cilindrico in sede cilindrica)– accoppiamenti di forza (es: bloccaggio di un pezzo in una pinza)

Tutte le coppie possono essere realizzate in entrambi i modi: gli accoppiamenti di forza sono monolaterali ed il contatto è mantenuto da opportune forze e momenti.


Si indica come classe di una coppia cinematica il numero di gradi di libertà nel moto relativo

In relazione alla geometria del contatto si hanno :– contatti puntiformi (cuscinetto a sfere)– contatti lineari (cuscinetto a rulli)– contatti superficiali (vite-madrevite)

Tipi di contatto

Coppie con diversi tipi di contatto

contattopuntiforme:ingranaggio sghemboelicoidale

contattosuperficiale:pattino-guida

contatto lineare:camma-piattello


COPPIE CINEMATICHE INFERIORISi definiscono coppie elementari o inferiori quelle coppie rigide che sono realizzabili tramite contatti di superficie: le superfici coniugate sono rigide, identiche e combacianti e sono necessariamente superfici cilindriche, di rivoluzione o elicoidali.

Coppie cinematiche inferiori:– R rotoidale (revolute)– P prismatica (prismatic)– S elicoidale (screw )– C cilindrica (cylindrical)– F piana (flat)– G sferica (globular)

Nell’uso corrente sono spesso considerate “elementari” esclusivamente le coppie che lasciano 1 solo grado di libertà, equindi quelle rotoidali, prismatiche ed elicoidali.


COPPIE CINEMATICHE INFERIORI


COPPIE CINEMATICHE SUPERIORI

Si definiscono superiori le coppie cinematiche che non sono inferiori; esse non sono in alcun modo realizzabili tramite contatti di superficie ma esclusivamente tramite contatti lineari o puntiformi. Tutte le coppie tra membri non rigidi sono superiori (per es. accoppiamento puleggia-flessibile; fluido-condotti di turbina). La camma piana è una coppia superiore.


1.5 - CATENE CINEMATICHE E MECCANISMI

Le catene cinematiche sono sistemi di membri collegati tra loro da coppie cinematiche.

Una catena è detta:semplice: se ciascun membro presenta 1 o 2 accoppiamenticomposta: se almeno un membro presenta 3 o più

accoppiamenti

chiusa: se si instaurano percorsi chiusi tra i membri della catena

aperta: se non si instaurano percorsi chiusi tra i membri della catena


I membri delle catene cinematiche sono anche detti:membri binari se presentano 2 accoppiamentimembri ternari se presentano 3 accoppiamentimembri quaternari se presentano 4 accoppiamenti....

Nello studio delle catene cinematiche si astrae spesso dalla loro effettiva realizzazione e si utilizzano due tipi di schemi:

schema cinematico: schema della geometria della catena essenziale per la definizione del movimento

schema strutturale: schema che rispetta la struttura della catena (non la geometria): le coppie possono essere rappresentate con i relativi simboli o con cerchi affiancati daisimboli


Esempio di catena cinematica chiusa semplice

Rappresentazione geometrica della catena

Schema cinematico

Schema strutturale


Esempio di catena cinematica chiusa composta


Schema cinematico

Schema strutturale


Esempio di catena cinematica aperta semplice


Schema cinematico

Schema strutturale


Esempio di catena cinematica aperta composta


MECCANISMI

Meccanismo: è una catena cinematica con un membro fissato al riferimento assolutoIl membro fisso è detto telaio

MECCANISMOMOVENTI CEDENTI

lavoro motore lavoro resistente

A M B I E N T E


MECCANISMI CINEMATICAMENTE EQUIVALENTI

Si dicono cinematicamente equivalenti meccanismi che per lostesso moto dei moventi forniscono lo stesso moto dei cedenti

Meccanismo a camma piana e quadrilatero articolato cinematicamente equivalente


ANALISI DI MOBILITA’Analisi di mobilità di un meccanismo: è la determinazione del campo ammissibile per gli spostamenti

– è funzione della struttura: le coppie non solo riducono il numero di g.d.l. del meccanismo, ma introducono anche delle limitazioni alcampo ammissibile degli spostamenti

– è funzione della geometria

Es: spazio di lavoro del robot COMAU SMART 6.10P


Esempio: mobilità dei quadrilateri articolati

L’asta b (opposta al telaio d ) viene chiamata biella, mentre i membri a e c vengono chiamati manovelle o bilancieri a seconda che compiano rotazioni complete oppure no.

Condizioni di Grashofse l + s > p + q il quadrilatero ha 2 bilancieri;altrimenti:- è del tipo manovella-manovella se d è il membro più corto,- è del tipo manovella-bilanciere se a oppure c è il membro più corto,- ha ancora 2 bilancieri se b è il membro più corto.

Consideriamo il quadrilatero incernierato a telaio in O1 ed O2 e chiamiamo s ed l le lunghezze dei due membri più corto e più lungo rispettivamente, mentre indichiamo con p e q le lunghezze dei due membri rimanenti.


EQUAZIONE DI STRUTTURAper meccanismi nello spazio tridimensionaleIl numero di gradi di libertà n (detto anche grado di mobilità) di un meccanismo con m membri rigidi, uno dei quali è il telaio, è:

n = 6(m-1) - 5c1 - 4c2 - 3c3 - 2c4 - c5

dove:ci = numero delle coppie cinematiche di classe “i” presenti nel meccanismo

Il numero di gradi di libertà N della corrispondente catena cinematica vale:

N = 6 m - 5c1 - 4c2 - 3c3 - 2c4 - c5 = n + 6


EQUAZIONE DI STRUTTURAper meccanismi nel piano

Nel piano un corpo libero ha 3 gradi di libertà:• 2 coordinate di posizione • 1 coordinata di rotazione

Un meccanismo composto da m membri ha n gradi di libertà, forniti dalla equazione di Grübler :

n = 3 (m-1) - 2 c1 - c2c1 = numero delle coppie cinematiche di classe “1” (rotoidali, prismatiche)c2 = numero delle coppie cinematiche di classe “2” (camme piane)

• se n ≥ 1 si tratta di un meccanismo• se n = 0 si tratta di una struttura isostatica• se n < 0 si tratta di una struttura iperstatica


L’equazione di struttura deve essere applicata con cautela in alcuni casi particolari:nel caso in cui una coppia connetta più di 2 membri occorre contare il vincolo più volte (tante quanto i membri concorrenti nella coppia meno 1)nel caso in cui il meccanismo contenga una parte con un grado di mobilità negativo, il risultato derivante dall’applicazione della formula globalmente a tutto il meccanismo è erratosi ottengono risultati errati anche quando la geometria del meccanismo è tale da diminuire i vincoli effettivi imposti dagli accoppiamenti.

EQUAZIONE DI STRUTTURAcasi particolari


m = 4 numero membriC1 = 4 numero vincoli di classe 1 di cui

3 coppie rotoidali: tra il telaio 1 e la manovella 2tra la manovella 2 e la biella 3tra la biella 3 e il pattino 4

ed 1 coppia prismatica tra il pattino 4 e il telaio 1

L’equazione di Grübler fornisce:

n = 3(4-1) - 2x4 = 1 grado di mobilità

Esempio: gradi di libertà per il meccanismo biella-manovella

1

2 31

4


Esempio: gradi di libertà per un meccanismo piano a cammam=3c1=2 1 coppia rotoidale tra 1 e 2

1 coppia prismatica tra 3 e 1c2=1 1 coppia di tipo camma piana

tra il cedente 3 e la camma 2 (2 gradi di libertà nel moto relativo: la camma può ruotare e strisciare)

n= 3x2 - 2x2 - 1 = 1

Nel caso di cedente a rotella (a destra) la regola di Grüblersi applica diversamente: c’è un membro in più (la rotella) e il contatto tra rotella e camma si suppone senza strisciamento (quindi di classe 1); pertanto:

n = 3x3-2x4 = 1

1=telaio2=camma3=cedente

1

1

2

3

1

1

1

1

2

4

1

1

3


Esempio: gradi di libertà di sistemi articolati

Pentalatero articolatom=5 c1=5 tutte coppie rotoidalin = 3x4 - 2x5 = 2meccanismo a 2 g.d.l.

1

23 Arco a tre cerniere

m=3 c1 =3n = 3x2 - 2x3 = 0struttura isostatica

Vengono chiamati sistemi articolati i meccanismi ottenuti collegando i membri esclusivamente tramite coppie rotoidali o prismatiche.

m=4 c1 =5 (2 rotoidali coincidenti)n = 3x3 - 2x5 = -1struttura iperstatica 1

23

4

1

2

3 4

5

1


Esempio: vincoli virtuali

m=4 c1=4 2 coppie rotoidali2 coppie prismatiche

Si dimostra banalmente che il punto M dell’asta 3 equidistante dai pattini 2 e 4 descrive una circonferenza di raggio l/2, essendo l la lunghezza dell’asta 3.n = 3x3 - 2x4 = 1 L’aggiunta di un’asta 5 incernierata in M ed in O non cambia quindi il comportamento funzionale del meccanismo: tale asta impone infatti ad M di percorrere la stessa circonferenza di cui sopra; in presenza di un vincolo apparente o ridondante come questo non vale l’equazione di struttura per il calcolo dei g.d.l.m=5 c1=6n = 3x4 - 2x6 = 0 NO !!n = 1 sempre

1

2 3

45

M

O

1

23

4O M


Esempio: coppie multiple

Nel caso di meccanismi con catene composte (cioè con accoppiamenti multipli) l’equazione di struttura non dà risultati corretti se applicata senza cautela; ad es. (meccanismo di Watt):

n = 3x5 - 2x6 = 3 NO2 rotoidali coincidenti, quindi:

2 1 3

4

56 2 1 3

4 56

n = 3x5 - 2x7 = 1 SI

Schema strutturale corretto:


MECCANISMI ASSOCIATIPer una catena cinematica composta da 2 membri a contatto attraverso 1 coppia di tipo camma si ottengono 2 g.d.l., esattamente come nel caso di 3 membri accoppiati tramite 2 rotoidali.Pertanto, ai fini dello studio della mobilità, a volte si definisce un meccanismo associato a quello originale ottenuto tramite la sostituzione della camma con un membro incernierato agli estremi da 2 rotoidali. Gli schemi strutturali, pertanto, spesso considerano solo coppie rotoidali o prismatiche (di classe 1).Si noti che con sole coppie di classe 1, dall’equazione di Grübler, per ottenere meccanismi con 1 g.d.l., occorre che il numero delle coppie c sia:

da cui il numero di membri m deve essere pari.

c =32

m − 2


Catene cinematiche

ad 1 g.d.l.

Atlante delle catene cinematiche a 1 g.d.l. e

numero di membri inferiore o uguale a 6


Meccanismi, schemi strutturali e catene cinematiche associate

Esempio: meccanismi ad 1 g.d.l.

esalatero

di Watt

esalatero

di Watt

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