CALCOLO_RUOTE_DENTATE

ITIS G. Marconi Bari Corso di Meccanica Applic. e Macchine a Fluido Calcolo delle ruote dentate 5a serale prof. Ing. Nazzareno Corigliano

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Tab. 1 Fattore di servizio fs (calcolo a flessione)

Fig. 1 Ipotesi di Lewis

RUOTE DENTATE CILINDRICHE DENTI DIRITTI

CALCOLO A FLESSIONE SECONDO LEWIS

Secondo Lewis, il dente da considerarsi come una trave a mensola caricato sul suo spigolo estremo (fig. 1). Si ipotizza una sola coppia di denti in presa ed, inoltre, lo spessore sf della sezione resistente, la sua distanza hf dalla testa del dente e la larghezza b, sono tutte proporzionali al modulo m. In tali ipotesi si perviene, per il modulo, alla seguente formula risolutiva:

3

amvfzMCm

=

In cui:

M il momento da trasmettere ricavato dalla potenza di calcolo NfN sc = dove N la potenza effettiva ed fs il fattore di servizio tratto dalla seguente tab. 1.

Tipo di

utilizzazione

Generatori, piccoli ventilatori, piccole

pompe centrifughe,

miscelatori, trasportatori

a cinghia, comando avanzamento macchine

utensili, ecc.

Grandi ventilatori, grandi pompe centrifughe, pompe di circolazione, pompe a

pistoni multipli,

comando principale macchine utensili,

azionamento di gru, ecc.

Pompe a pistone

semplice, elevatori,

estrusori e miscelatori

per gomme e materie

plastiche, molini, ecc.

Escavatori, laminatoi,

macchine pesanti per

siderurgia, frantumatori per miniera, ecc.

Motore elettrico a bassa coppia di spunto; turbine

1 1,25 1,5 1,75 Motore elettrico ad elevata coppia

1,1 1,35 1,6 1,85 Motori endotermici pluricilindrici

1,25 1,5 1,75 2 Motori endotermici monocilindrici

1,5 1,75 2 2,25

Se la velocit angolare del pignone, sar

cNM = .

m

b= si assume secondo il seguente prospetto:


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Tab. 2 numero minimo di denti zmin

1510 = costruzione poco rigida 2515 = supporti scatolati 3025 = costruzione accurata e rigida

z il numero di denti del pignone e dovr essere minzz dove zmin il numero minimo

di denti per evitare linterferenza ricavabile o dalla formula

( ) usenuuz ++= 22min 212

con u = rapporto di ingranaggio e = angolo di

pressione o dalla seguente tab. 2.

fv il coefficiente di velocit che tiene conto dei sovraccarichi relativi alla velocit

durto, allinerzia ed alle eventuali vibrazioni. Esistono formule empiriche tra cui le seguenti:

vfv

+=

1212

per dentature molto precise

vfv

+=

66

per dentature di buona qualit

vfv

+=

33

per dentature correnti

mentre v la velocit periferica che inizialmente va stimata.

am la tensione ammissibile per la sollecitazione di flessione del dente; si pu ricavare

dal carico di rottura R del materiale con la relazione n

Ram

= dove il grado di

sicurezza n pu assumere valori compresi tra 4 e 6. Nella seguente tab. 3 sono riportati i dati relativi ad alcuni materiali impiegati per la costruzione di ruote dentate.

u 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

15 21 25 26 27 28 28 29 29 29 29

20 13 15 15 16 16 16 17 17 17 17

25 9 10 10 11 11 11 11 11 11 11


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Tab. 3 Caratteristiche materiali per ruote dentate

Tab. 4 Coefficiente C di Lewis

C il coefficiente di Lewis ricavabile dalla seguente tab. 4 per angolo di pressione

= 20

Materiale

R

(N/mm2) HB

pam

(N/mm2) Ghisa sferoidale G 25 260 210 320

Acciaio fuso Fe 520 520 150 230

Acciaio fuso Fe 560 600 175 250

Acciaio da costruzione Fe 490 490 150 230



Acciaio bonificato C 40 700 180 350




Acciai legati da bonifica 750 1500 260 400 450 700

Acciai al carbonio da cementazione 500 640 1000

Acciai legati da cementazione 800 1400 650 1000

Bronzi allo stagno in getti 200 320 90 115 140 175


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Tab. 5 Moduli unificati (UNI 6586-69)

PROCEDIMENTO DI CALCOLO

1. Si stima il fattore di servizio fs e si calcola la potenza corretta Nc con cui si calcola il

momento

cNM =

2. Si stima il numero minimo di denti zmin in funzione del rapporto di ingranaggio u e si

sceglie, per il pignone, un numero di denti min1 zz tale che sulla ruota possa venire un

numero di denti intero 12 zuz =

3. Si fissa una velocit periferica di tentativo smv /43 = e si calcola fv

4. Si fissa e am 5. Si ricava il coefficiente di Lewis C 6. Si procede al calcolo del modulo m e si sceglie quello immediatamente superiore tra quelli

unificati (UNI 6586-69), presenti nella seguente tab. 5, preferendo i valori in grassetto ed evitando, possibilmente, quelli in corsivo

7. Si verifica che la velocit periferica 100060

=zmn

vpi

risulti minore o uguale a quella di

tentativo scelta al precedente passo 3. Se non viene verificato occorre reiterare il calcolo

8. Una volta calcolato il modulo necessario, si procede al calcolo di dimensionamento di tutti i particolari della dentatura e dellingranaggio riportando i valori su una tabella come la seguente tab. 6

0,5 0,75 1 1,125 1,25 1,375 1,5 1,75 2 2,25

2,5 2,75 3 3,25 3,5 3,75 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 8 9 10 11 12 14 16 18 20 22 25 28 32 36 40 45 50


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Tab. 6 Risultati di calcolo ingranaggio

Fig. 2 Esempio di proporzionamento per ruote a disco e ruote a razze

9. Infine si procede al proporzionamento delle restanti parti delle ruote dentate secondo regole empiriche riportate dalla manualistica come nellesempio della seguente fig. 2

CARATTERISTICA FORMULA PIGNONE RUOTA

Numero denti 21; zz

Addendum mha =

Dedendum mhd = 25,1

Altezza dente mhhh da =+= 25,2

Larghezza dente mb =

Diametro primitivo zmD =

Diametro esterno mDDe += 2

Diametro interno hDD ei = 2

Passo mp = pi

Angolo di presione o

Rapporto dingranaggio 12 zzu =

Interasse ( ) 221 zzma +=


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Tab. 7 Fattore di servizio fs (calcolo a usura)

CALCOLO A USURA

Quando il rischio di deterioramento per usura (in caso di alte velocit) maggiore di quello a flessione si procede con questo calcolo di cui proponiamo una procedura semplificata tratta dal Manuale di Meccanica (ed. Zanichelli). Si ricava il modulo m con la seguente formula

3 2amp

MCm

=

In cui:

Il momento da trasmettere M si ricava dalla potenza di calcolo

cNM = , in cui

NfN sc = con N potenza effettiva ed fs fattore di servizio tratto dalla seguente tab. 7.

m

b= e il coefficiente, rapporto tra larghezza dente e modulo, che si sceglie come nel

caso precedente del calcolo a flessione

amp la pressione massima ammissibile sul fianco del dente. essa pu essere ricavata

dalla tab. 3 a pag. 3, oppure calcolata, in modo approssimato, con la seguente formula


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Tab. 8 Coefficiente C (calcolo a usura)

6

25hn

HBpam

=

dove HB la durezza Brinell, n il numero di giri al minuto e h sono le ore di funzionamento previste.

C un coefficiente tabellato in funzione del numero di denti e del rapporto di ingranaggio ed riportato nella seguente tab. 8

Trovato il modulo si procede al proporzionamento dellintero ingranaggio come visto nel caso precedente del calcolo a flessione.


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Tab. 9 Coefficiente f

RUOTE DENTATE DENTI ELICOIDALI

Con la formula di Lewis, si ottiene il modulo normale mn che deve essere scelto tra quelli unificati.

1. Si stabilisce langolo di inclinazione dellelica: = 3015 per piccole larghezze dei denti e = 155 per denti pi larghi

2. Si stima il numero minimo di denti zmin in funzione del rapporto di ingranaggio u e

dellangolo di pressione dalla stessa tabella o con la stessa formula utilizzata per le ruote a

denti diritti e si sceglie, per il pignone, un numero di denti min1 zz tale che sulla ruota

possa venire un numero di denti intero 12 zuz = ; quindi si calcola il numero di denti ideale

31

cos

zzid = da inserire nella formula di Lewis e da utilizzare per la determinazione del

coefficiente C dalla tab. 4

Esempio: 5,3=u ; = 20 ; = 20 allora, da tab. 2, 16min =z quindi poniamo 201 =z e

702 =z ; perci 2520cos20

cos 331

=

== z

zid

3. Si adotta, un nuovo coefficiente f che serve a diminuire il valore del momento da trasmettere per tener conto del beneficio derivante ai denti dallimbocco graduale e dal fatto che vi sono pi coppie in presa. Tale coefficiente va scelto dalla seguente tab. 9

f 5 1,20

10 1,30

20 1,33

25 1,38

30 1,45

4. Si applica la formula di Lewis:

3amvid

n ffzMCm

=


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Tab. 10 Risultati di calcolo ingranaggio denti elicoidali

Nel caso si volesse eseguire il calcolo ad usura si potrebbe usare la stessa formula impiegata per le

ruote a denti diritti 3 2am

eln pMCm

= in cui ( ) CCel = 83,088,0 per = 3015 mentre C il coefficiente usato per le ruote a denti diritti.

5. Noto mn si proporziona la dentatura compilando la seguente tab. 10


Numero denti 21; zz

Addendum na mh =

Dedendum nd mh = 25,1

Altezza dente nda mhhh =+= 25,2

Larghezza dente nmb =

Diametro primitivo zmD n =

Diametro esterno ne mDD += 2

Diametro interno hDD ei = 2

Passo nmp = pi


Angolo inclinazione elica o

Rapporto dingranaggio 12 zzu =

Interasse cos221

+=

zzma

n


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Fig. 2 Sezione ruota conica

RUOTE DENTATE CONICHE

Con riferimento alla fig. 2, si

tratta di individuare il modulo m rispetto al quale va

proporzionata la dentatura e che fornisce laddendum massimo

cio quotato sul cono

complementare.

Dallapplicazione della formula di Lewis o del metodo di calcolo

ad usura del manuale, si ricava invece il modulo medio mm pari

alladdendum sulla mezzeria del dente l dove, cio, si applicano le forze durante lingranamento.

1. Noto langolo compreso tra i due alberi ed il rapporto di ingranaggio u, detti 1 e 2 gli

angoli di semiapertura dei due coni primitivi essendo 21 += ; si calcolano i due angoli

1 e 2 con le relazioni:

cos1 +

=

u

sentg e

cos12 +

=

u

senutg

2. Si stima il numero minimo di denti zmin in funzione del rapporto di ingranaggio u e

dellangolo di pressione dalla stessa tabella o con la stessa formula utilizzata per le ruote a

denti diritti e si sceglie, per il pignone, un numero di denti min1 zz tale che sulla ruota

possa venire un numero di denti intero 12 zuz = ; quindi si calcola il numero di denti ideale

1

1

cosz

zid = da inserire nella formula di Lewis e da utilizzare per la determinazione del

coefficiente C dalla tab. 4

Esempio: 5,3=u ; = 20 ; = 90 allora, =

=

+= 94,151

cos1

uarctg

u

senarctg

mentre ( ) ==

+

= 06,74cos12

uarctgu

senuarctg

; quindi, da tab. 2, 16min =z e, ponendo

201 =z e 702 =z ; si avr 2194,15cos20

cos 1

1=

==

z

zid


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3. Tenuto conto che, per le ruote coniche, la larghezza b del dente deve rispettare il seguente

criterio di proporzionamento: ( ) Rb = 30,025,0 ; dove R la generatrice del cono primitivo, si deve scegliere opportunamente

m

b=

in modo tale da dare un valore b che

rispetti tale criterio. Quindi il calcolo diventa iterativo fissando un di tentativo e verificandolo successivamente.

4. Si calcola il modulo medio:

3

amvidm fz

MCm =

quindi il modulo effettivo mmz

senm

+=

1

11 in base al quale si sceglie il modulo

unificato.

5. Si eseguono le verifiche sia per la velocit e per la corretta assunzione del coefficiente vf

che del coefficiente per il quale si calcola: 11 zmD = ; 1

1

2 senDR

= e quindi si verifica

che ( )m

R= 3,025,0 se ci non dovesse verificarsi bisogner correggere e tornare a

ricalcolare il modulo.

Se si vuole eseguire il calcolo ad usura si pu utilizzare la stessa formula impiegata per il calcolo

delle ruote dentate a denti diritti: 3 2am

m pMCm

= eseguendo le stessa verifica per descritta al

punto 5.

6. Una volta definito il modulo correttamente si procede al calcolo di tutte le parti della dentatura secondo i criteri di proporzionamento e le formule riportate nella seguente tab. 11.


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Tab. 11 Risultati di calcolo ingranaggio conico


Numero denti 21; zz

Addendum mha =

Dedendum mhd = 2,1

Altezza dente mhhh da =+= 2,2

Larghezza dente mb =

Angolo tra gli alberi o


Rapporto di ingranaggio 12 zzu =

Angoli di semiapertura dei coni primitivi

+=

cos1

u

senarctg

+

=

cos12 usenu

arctg

Diametro primitivo zmD =

Diametro esterno 2/1cos2 += mDDe

Diametro interno 2/1cos4,2 = mDDi

Generatrice cono primitivo 1

1

2 senDR

=

Angolo di addendum

=

Rh

arctg aa

Angolo di dedendum

=

Rh

arctg dd

Passo mp = pi

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