C Webfacolta CampusOne MaterialeDidattico Matdidattico8884 Esercizi Turbine Idrauliche 21 X 09

7/23/2019 C Webfacolta CampusOne MaterialeDidattico Matdidattico8884 Esercizi Turbine Idrauliche 21 X 09

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Universita degli Studi di Modena e Reggio Emilia

Facolta di Ingegneria - sede di Modena

Corso di Turbomacchine e Oleodinamica

prof. Giuseppe Cantore

Esercizi di base sulle turbine idrauliche

Water, water, every where,

And all the boards did shrink;

Water, water, every where,

Nor any drop to drink.

S.T. Coleridge.

Esercizio 1.

Una turbina idraulica smaltisce una portata Q = 1000m3

/h. Sono noti ilsalto geodetico utile Hu= 200m, il rendimento totale della turbina t= 0.9,ed il suo regime di rotazione n = 1450giri/min. Si calcoli la potenza utilePu, la coppia allalbero Ce la cifra caratteristica della macchina, nc.

Svolgimento.

Innanzitutto, occorre applicare la formula della potenza idraulica della mac-china:

Pu = t m g Hu = t Q g H u.

Si ricava quindi:

Pu= 0.9 1000 kgm3 1000 m

3

3600s 9.80665 N

kg 200m= 490.3kW.

Successivamente, e possibile calcolare la coppia allalbero data la definizione:

Pu=C C= Pu

=490.3kW

1450 girimin

1

2 radgiro

11

60

mins

= 3229 N m= 329.3kgfm.

Infine, e possibile applicare la definizione di cifra caratteristica per valutarneil valore. Si rammenta che la definizione di cifra caratteristica affrontatadurante il corso e una definizione pratica, che non rappresenta una vera epropria velocita di rotazione. Anche a causa del fatto che la cstantencingloba

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una serie di coefficienti di proporzionalita nella sua definizione, il sistema delleunita di misura non risultera formalmente coerente con il calcolo. Infine, peril calcolo secondo la formula seguente, che restituisce una cifra caratteristicain unita di giri/min, e necessario inserire il valore della potenza idraulicaespresso in CV, e quello del salto in m:

nc = n

Hu

Pu

Hu=

1450rpm

200m

490.3kW 1.34CV/kW

200m= 49.42rpm.

Esercizio 2.

Una turbina idraulica ha le seguenti caratteristiche di progetto: Hu = 300m;Q = 1.5m3/s; n= 500rpm; t = 0.9. Determinare i nuovi valori di portatae velocita di rotazione Q, n tali che per un salto Hu = 450m il rendimentoresti immutato. Determinare, inoltre,Pu,P

u, nc.

Svolgimento.Inizialmente possiamo calcolare la potenza elaborata dalla macchina nellaprima configurazione (variabili indicizzate senza apice):

Pu = t Q g H u=

= 0.9 1000 kgm3 1.5 m

3

s 9.80665 N

kg 300m= 3.971MW= 5396CV;

successivamente, ricaviamo la cifra caratteristica della macchina:

nc= n

Hu P

uHu =500rpm

300m5396CV300m = 29.417rpm.

Per calcolare il nuovo punto di funzionamento della macchina in corrispon-denza di un variato salto utile Hu, e necessario lavorare nellipotesi che laforma e le dimensioni del distributore Doble non varino in quanto rimaneinvariata la configurazione della macchina. E allora possibile inizialmentecalcolare larea del getto impattante contro le cucchiaie, assunto esso di formacilindrica:

A= d2

4 =

Q

c1.

Stimiamo la velocita del getto in ingresso assumendo che non vi siano perditedi carico durante lattraversamento del distributore:

c1=

2 g Hu=

2 9.80665m

s2 300m= 76.70717m

s.

Sulla base di questo valore, ricaviamo allora

A=Q

c1=

1.5m3/s

76.70717m/s= 1.9554 102m2.

Dal momento che questarea non varia al variare delle condizioni operativedi funzionamento della macchina, sara sufficiente stimare la nuova velocita

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del gettoc1

al mutato salto disponibile, e ricalcolare di conseguenza il nuovovalore di portata elaborata.

c1

= 2 g Hu = 2 9.80665

m

s2 450m= 93.9467 m

s.

Semplicemente,

Q = Ac1

= 1.9554 102m2 93.9467 ms

= 1.83711m3

s .

Ora che e noto il nuovo valore di portata, assumendo come da richieste deltesto che non sia variato il rendimento di funzionamento della macchina anchein questa nuova configurazione, e che di conseguenza si possa assumeret = t = 0.9, si puo calcolare il nuovo valore di potenza elaborata dallamacchina:

Pu = t Q

g Hu=

= 0.9 1000 kgm3 1.837 m

3

s 9.80665 N

kg 450m= 7.296M W= 9913CV.

Infine, ricaviamo il nuovo valore di regime di rotazione della macchina, im-ponendo la medesima cifra caratteristica:

n=nc Hu

Hu

P

= 29.417 rpm

450

450

9913

= 612.4rpm.

Esercizio 3.

Un modello di turbina idraulica ha le seguenti caratteristiche: D = 50cm,Hu = 10m, Q

= 0.6m3/s, n = 650giri/min, t = 0.87. Determinareper quali valori di portata e salto utile la turbina di potenza ( D = 2.50m),ruotando a velocita angolaren = 500giri/min, ha lo stesso rendimento. De-terminare inoltre anche la presumibile tipologia di turbina.

Svolgimento.

Innanzitutto, e necessario calcolare in che condizioni di potenza erogataquesta turbina si trova a lavorare. Il calcolo e analogo a quant preceden-temente visto per gli altri esercizi:

Pu = t Q

g Hu=

= 0.87 1000 kgm3 0.6m

3

s 9.80665 N

kg 10m= 51.190kW= 69.55CV.

E necessario inoltre calcolare la cifra caratteristica di questa macchina:

nc=

n

Hu Pu

Hu =

650rpm

10m69.55CV10m = 304.83rpm.

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La stima della cifra caratteristica ci ricorda come la macchina, caratterizzatada un nc > 200, sicuramente non potra essere una turbina Pelton, ma dovrainvece essere una macchina veloce, a reazione, come una turbina Francis oKaplan.Per passare dalla turbina modello alla turbina reale, di potenza, e nec-

essario assumere la validita della teoria della similitudine idraulica per lafamiglia di macchine. Nel caso di similitudine, si ricorda che il diametrodi rotazione della macchina, essendo uguale al rapporto tra la velocita ditrascinamento e la velocita di rotazione della girante, risulta similmente pro-porzionale al rapporto tra la velocita del fluido in ingresso alla macchina ela velocita di rotazione stessa:

D u u

n c1

n

Hun

.

Sfruttando questa relazione, e quindi possibile esprimere:

D

D =

HunHun

, da cui Hu =

n D

n D

2Hu.

In questo modo, possiamo calcolare:

Hu=

500rpm 2.5m

650rpm 0.50m

2

10m= 147.93m.

Sfruttando la medesima teoria della similitudine idraulica, si richiama la

proporzionalita tra la portata elaborata dalla macchina e le sue grandezzecaratteristiche:

Q= c1

4d2 c1 d2

Hud

2

HuD2.

Risulta quindi immediato arrivare a calcolare la nuova portata elaborata dallamacchina reale:

Q

Q =

Hu D

2

Hu D2;

Q= Q

Hu D2

Hu D

2= 0.6

m3

s

147.93m 6.25m2

10m 0.25m2= 57.69m3/s.

Esercizio 4.

Una turbina Pelton sfrutta un salto utile pari a Hu = 1300m. Sono noti ilparametro che caratterizza le perdite nel distributore ad ago Doble = 0.96,ed il parametro di perdita della cucchiaia = 0.93; infine, il rendimento mec-canico e volumetrico della macchina, rispettivamente m= 0.98 ed v = 1.0.La macchina funziona in condizioni di massimo rendimento. Si richiede ditracciare i triangoli di velocita allingresso ed alluscita della pala, e cal-colare il lavoro idraulico Li. Inoltre, conoscendo il regome di rotazionen= 750giri/min, il rapporto tra il diametro Pelton e del getto D/d= 25, ilnumero dei getti i= 3, si chiede di determinare la portata, la potenza utile,

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Figure 1: Sezione rappresentativa del sistema di riferimento adottato

e la coppia allalbero.

Svolgimento.

Innanzitutto, e possibile calcolare la velocita c1 di uscita del getto dal dis-tributore ad ago Doble, applicando la definizione:

c1=

2 g Hu= 0.96

2 1300m 9.80665 ms2

= 153.2916m

s.

Successivamente, applicando la condizione di massimo rendimento si ritrovala velocita di trascinamento della girante pari alla meta in modulo dellavelocita del getto allimpatto:

u= c12

=153.29162

ms

= 76.6458 ms

.

Per comodita, volendo tracciare i triangoli di velocita allingresso ed alluscitadella girante, si conviene assumere una terna di riferimento cartesiana aventeasse y corrispondente alla direzione circonferenziale del getto in corrispon-denza della pala, asse x sul medesimo piano tangente alla circonferenza Peltonma posto in direzione ortogonale, rivolto verso lesterno della cucchiaia, edasse z di conseguenza. In questo modo, e possibile esprimere i vettori divelocita come terne cartesiane riferite ai tre versori del sitema di riferimentoconsiderato: (,j,k). Una rappresentazione semplificata che illustra la dispo-

sizione del sistema di riferimento e mostrata in figura 1. Per il calcolo deltriangolo di velocita allingresso della cucchiaia, e conveniente esprimere giainizialmente le velocita c1 ed unel sistema di riferimento adottato:

c1=

0153.9216

0

m

s; u=

076.6458

0

m

s;

immediatamente, e allora possibile ricavare il valore della velocita relativaallingresso:

w1= c1

u= 0

153.9216

76.64580

ms

= 0

76.64580

ms

.

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Figure 2: Rappresentazione in scala dei triangoli di velocita caratteristicidella pala Pelton di cui allesercizio 4.

Per quanto riguarda invece il triangolo di velocita alluscita della macchina, siha innanzitutto che la velocita di trascinamentou risulta essere invariata. Leinformazioni geometriche della cucchiaia ci dicono che la velocita relativa w2ha modulo pari alla velocita di ingresso, modulato a mezzo di un coefficientedi perdita : | w2| = | w1|; in secondo luogo, la sua direzione si discostada quella determinata dal versore j di un angolo

2. Di conseguenza, essa

potra essere espressa come:

w2= +sin 2 | w1| cos

2 | w1|

0

= +0.2588 0.93 76.6458m/s0.9659 0.93 76.6458m/s0

;si ricava allora

w2=

18.448868.8518

0

m

s.

Stante la conoscenza della velocita di trascinamento, e infine possibile ri-cavare il valore di velocita assoluta alluscita della cucchiaia c2:

c2= w2+ u= 18.44887.7940

0

ms

= 18.448876.6458

0

ms

.

Una rappresentazione in scalal dei triangoli di velocita cos ottenuti e illus-trata in Figura 2.

Per il calcolo del lavoro idraulico, e necessario conoscere il valore di massimorendimento a cui la macchina sta operando. Per questo motivo, e possibilericorrere allespressione che definisce tale rendimento, espresso in funzionedelle velocita caratteristiche:

i= 2u

c1

1 u

c1

(1 + cos 2) .

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Con questa definizione, si ricava immediatamente

i= 0.5 (1 + 0.93 0.9659) = 0.9492.E ora possibile calcolare il valore di lavoro idraulico prodotto dalla macchina,

applicando la definizione:

Li=g Hui= 9.80665m

s2 1300m 0.9492 = 1.21 104 m

2

s2 = 12.1

kJ

kg.

Per il calcolo delle ultime grandezze, in primis la portata elaborata dallamacchina, e necessario ricorrere alle informazioni riguardanti la sua velocitadi rotazione. In particolare, nota la velocita di trascinamento della macchinae la velocita di rotazione della girante, e possibile ricavare il valore di diametroPelton:

D=

2 u

=

2

76.6458m/s

750 girimin 260 radgiromins

= 1.9518m.

Dal rapporto notoD/dtra diametri caratteristici, si ricava immediatamente

d= D

25=

1.9518m

25 = 7.8071 102.

Successivamente, il calcolo della portata totale deve tener conto necessaria-mente del suo frazionamento in un numero i di getti:

Q= i d2

4

c1=

3

46.09504

103m2

153.2916

m

s

= 2.201m3

s

.

Una volta nota anche la portata, e immediato il calcolo della potenza utileallalbero della girante, che dovra tenere conto anche del rendimento mecca-nico della macchina:

Pu = g Hu Q i m = 2.611 107kgm3

N

kg

m3

s m= 26.11MW.

Infine, il calcolo della coppia restituisce:

C=Pu

=

26.11MW

750 2

60

rad

s

= 0.3324MNm.

Esercizio 5.

Una turbina Pelton ha numero di giri caratteristico nc = 42giri/min, ruotaad una velocita di rotazionen= 750rpm, e sfrutta un saltoo utileHu= 850mcon un rendimento totale della macchina t = 0.91. Si richiede di determinarela potenza utile, la portata, ed una prima approssimazione del diametro Pel-ton. Inoltre, si chiede di determinare i valori di queste medesime grandezze,nonche del salto utile Hu di una turbina geometricamente uguale alla prece-dente, e funzionante in condizioni di similitudine idraulica, la cui velocita di

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rotazione sia pero n = 1000rpm.

Svolgimento.

Applicando inizialmente la definizione di cifra caratteristica della macchina,e possibile valutare il valore di potenza utile prodotta. Si ricorda che la

formulazione della cifra caratteristica, cos come da noi considerata, prevedelimmissione di valori di velocita di rotazione in giri/min, di salto utile inm, e di potenza utile in CV. Quindi, e immediato ricavare che:

nc = n

Hu

Pu

Hu P

Hu=

H2 n2cn2

;

di conseguenza,

Pu =H5/2 n2c

n2

=8502.5 422

7502

= 6.60576

104CV = 48.62MW.

Nota ora la potenza utile prodotta dalla macchina, e possibile ricavare laportata elaborata:

Q= Pu

g Hu t=

48.62MW

1000 kgm3 9.80665N

kg 850m 0.91 = 6.409

m3

s .

Da questo valore, e possibile stimare il diametro Pelton della macchina. Pereffettuare questa stima, assumiamo ad esempio che il coefficiente che quan-tifica le perdite di carico a cavallo del distributore ad ago Doble ammonti a = 0.96. Allora, e possibile ricavare la velocita in ingresso alla girante infunzione del valore di salto utile riscontrato:

c1=

2 g Hu = 0.96

2 9.80665 ms2 850m= 1.2395 102m/s.

Noto questo valore approssimato, assumendo la sezione del getto circolare,si puo ricavare il valore di diametro del getto (nella ipotesi, ad esempio, chevi sia un getto unico):

d= 4 Q

c1= 4 6.409m

3/s 123.95m/s= 0.2566m.

Successivamente, e necessario effettuare una ulteriore ipotesi che riguardail rapporto tra diametro del getto e diametro Pelton. In particolare, qualevalore facilmente riscontrabile in macchine reali, si assume che sia D/d= 10.Quindi,

D= 10 d= 2.566m.

Per quanto riguarda il funzionamento della medesima macchina in condizionidi similitudine idraulica, occorre ricordare una relazione fondamentale:

D un c1

n Hu

n .

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Stante questa relazione, e ricordato che la macchina che funziona in con-dizioni di similitudine idraulica risulta essere geometricamente identica aquella sin qui analizzata, e possibile ricavare che:

Hu

= Hun

n

2

= 850m

1000

750

2

= 1511m;

noto il valore di salto utile sotto il quale opera la nuova macchina, e possi-bile ricavare la nuova potenza utile elaborata dalla macchina, applicando ladefinizione di cifra caratteristica della macchina:

n2 Pu

H5/2u

=n2 Pu

H5/2u

.

Quindi, si ricava:

Pu = Pu n

n2Hu

Hu5/2

= 48.62MW 750

100021511

8502.5

= 115.25MW.

Infine, conoscendo il rendimento in virtu dellipotesi di similitudine idraulica,e possibile ricavare la nuova portata elaborata dalla macchina:

Q = Pu

g Hu t=

115.25 106W1000 kg

m3 9.80665m

s2 1511m 0.91 = 8.547

m3

s .

Esercizio 6.

Una turbina Francis ha le seguenti caratteristiche: n = 250giri/min; di-ametro di ingresso della girante D1= 2.85m; diametro medio di uscita della

girante D2 = 2.10m; altezza della sezione dingresso della macchina B =0.2 D1; angolo di orientazione della velocita del flusso in ingresso1= 20

; ve-locita periferica della macchina allingresso della girante u1=c1 cos 1; la ve-locita di uscitac2ha componente periferica nulla ed e uguale a c2= c1 sin 1;il rendimento idraulico della macchina vale i= 0.90. Si richiede di calcolareil lavoro idraulico Li ottenuto, il salto geodetico utile Hu, la portata elabo-rata dalla macchina e la potenza utile (assumendo come coefficiente medio diingombro delle pale = 0.98, rendimento meccanico m = 0.98, rendimentovolumetricov = 1.0).

Svolgimento.Dallanalisi dei dati del problema osserviamo come, la condizione 2 = 90

corrisponda ad una condizione di massimo lavoro idraulico:

Li= c1 u1 cos 1 c2 u2 cos 2=c1 u1 cos 1;sfruttando la definizione di rendimento idraulico, si puo allora assumereche: Li = g Hu i = c1 u1cos 1. In questo caso, dal momento che sussistelapprossimazione per u1=c1 cos 1, si puo ricavare il valore di salto geode-tico utile nella seguente formulazione:

Hu =c1 u1 cos 1

g i =c2

1cos 1

2

g i .

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E dunue necessario ricavare una espressione della velocita u1 per poter suc-cessivamente ricavareHu. Per fare cio, e conveniente ricorrere alla definizionedi velcoita periferica della macchina:

u1=

D12 =

250 girimin

260

mins

radgiro

2.85m

2 = 37.3064

m

s;

in questo modo, e immediato ricavare:

Hu =c2

1cos 1

2

g i=

u21

g i=

(37.3064m)2

9.80665ms2 0.90= 157.6899

m

s.

Successivamente, e possibile immediatamente calcolare il valore di lavoroidraulico prodotto dalla macchina:

Li= g Hu i= 9.80665

m

s2 157.6899m 0.90 = 1391.8J

kg .

Per il calcolo della portata elaborata dalla macchina, per comodita e possibilescegliere la sezione dingresso della girante, per la quale sussiste la relazionedi conservazione della portata:

Q= A c1,m= D1 B c1 sin 1.

E dunque utile calcolare precedentemente il valore della velocita dingressoc1:

c1=

u1cos 1 =

37.3064m/s

cos20 = 39.7016

m

s.

Infine, la portata varra

Q= (2.85m)2 0.2 0.98 39.7016 ms 0.3420 = 67.9094 m

3

s .

Per quanto riguarda la potenza utile elaborata dalla macchina, un calcolosimile a quanto visto nel corso dello svolgimento degli esercizi precedenti puoessere applicato:

Pu = g Hu Q i m v =

= 1000kg

m3 9.80665 m

s2 157.6899m 67.9094 m

3

s 0.9 0.98 1.0 =

= 92.62MW.

Ultimo aggiornamento:Marted, 20.X.2009

Federico Perini

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