C EQUAZIONI, DISEQUAZIONI TEMA E FUNZIONI · da zero o per una espressione algebrica definita e non...

TEMA CEQUAZIONI, DISEQUAZIONIE FUNZIONI

PREREQUISITI

Gli insiemi numerici

Il calcolo letterale

«Un bastone e infisso nel suolo

per1

3della sua lunghezza ed

emerge per 84 cm. Quanto e

lungo il bastone?»

Nell’antichita, questo problema

veniva risolto ragionando piu o

meno cosı: «Attribuiamo al ba-

stone una lunghezza qualsiasi:

se, per esempio, il bastone fosse

lungo 120 cm, la parte emer-

gente sarebbe di 80 cm. Ma al-

lora la misura del bastone (x)

sta alla parte che emerge (84)

come 120 sta a 80. Cioe (con

scrittura moderna):

x :84¼120 :80!x ¼

84 120

80¼126

Il bastone e lungo 126 cm». Que-

sto metodo, detto della falsa po-

sizione perche basato sulla falsa

supposizione che il bastone fos-

se lungo 120 cm compariva gia

nel Papiro di Rhind (un papiro

egizio scritto intorno al 1700 a.C.

che contiene una raccolta di

calcoli, tabelle e problemi con

le relative soluzioni), ma aveva il

difetto di essere applicabile solo

a casi molto semplici.

Oggi l’algebra ci consente un

approccio piu generale, basato

su un potente strumento: quello

della equazione, che introdurre-

mo nelle prossime Unita.

COMPETENZE

Individuare strategie

appropriate per risolvere

problemi che hanno come

modello equazioni, disequazioni

o funzioni lineari e saperle

applicare in contesti reali

Utilizzare diverse forme

di rappresentazione

(verbale, simbolica, grafica)

e saper passare dall’una all’altra

Unita 7

Equazioni di primo grado

Unita 8

Disequazioni di primo grado

Unita 9

Funzioni


1. Introduzione alle equazioni

Che cos’e una equazione?

Consideriamo il seguente problema.

PROBLEMA

Si racconta che Pitagora, interrogato su quanti fossero i suoi discepoli, rispo-

se: «la meta studia le belle scienze matematiche; la natura e l’oggetto dei la-

vori di un quarto; un settimo si esercita al silenzio e alla meditazione; ci so-

no infine tre donne fra le quali la migliore e Teano». Quanti erano i discepo-

li di Pitagora?

Indichiamo con x il numero complessivo (incognito) dei discepoli di Pitagora. Possia-

mo cosı formalizzare le informazioni fornite dal testo del problema:

x ¼1

2x þ

1

4x þ

1

7x þ 3 [7.1]

il numero

complessivo

dei discepolidi Pitagora

e

uguale

a

il numero

di discepoliche si

dedicano

alla matematica(sono la meta)

piu il numero

di discepoliche si

dedicano

alla natura

(sono un quarto)

piu il numero

di discepoli

che siesercitano

alla meditazione

(sono un settimo)

piu le tredonne

Risolvere il problema equivale dunque a determinare il numero x che rende vera la

[7.1]: essa e un esempio di equazione.

EQUAZIONE

Si chiama equazione ogni uguaglianza tra due espressioni che contiene alme-

no una lettera, detta incognita, di cui si cercano i valori per i quali l’ugua-

glianza e vera.

L’espressione a sinistra del simbolo di uguaglianza si chiama primo membro dell’e-

quazione, l’espressione a destra si chiama secondo membro.

Nella [7.1] l’incognita e ovviamente x e abbiamo che:

x ¼1

2xþ

1

4xþ

1

7xþ 3

e il primomembro

e il secondomembro

Nei prossimi paragrafi vedremo che la [7.1] equivale a 3x ¼ 84, da cui si deduce che il

numero complessivo dei discepoli di Pitagora era 84 : 3 ¼ 28.

Oltre all’incognita (e a eventuali costanti), in un’equazione possono comparire al-

tre lettere, dette parametri: i parametri sono lettere che rappresentano un valore

che si suppone noto, ma che non e specificato per conferire al problema maggiore

generalita.

324

Tema C 7

STRUMENTI DIGITALI

RISORSE

IN GEOGEBRA

VIDEOLEZIONI

ESERCIZI INTERATTIVI

GLOSSARIO

MULTIMEDIALE

MATEMATICA

IN LABORATORIO

SCHEDA

PER IL RECUPERO

Una equazione sidice...

... intera, se l’incognita noncompare in alcun divisore(in particolare in alcundenominatore).

... frazionaria, se non e intera.

... numerica se, oltreall’incognita e aeventuali costanti,non compaionoparametri.

Esempi di equazioni numericheintere:

5x ¼ 1þ 2x;3

2x ¼ x

2

Esempi di equazioni numerichefrazionarie:

x ¼1

x;

2x 1

x þ 3¼ 0

... letterale (oparametrica) se,oltre all’incognita e aeventuali costanti,compare almeno unparametro.

Esempi di equazioni letteraliintere nell’incognita x:

kðx 1Þ ¼ x þ k; 4x ¼x a

3

k e il parametro a e il parametro

Esempi di equazioni letteralifrazionarie nell’incognita x:

1 ¼1 kx

x;

ax þ 2

x 2¼ 0

k e il parametro a e il parametro

In questa Unita ci occuperemo di equazioni numeriche intere in una incognita che, sal-

vo avviso contrario, indicheremo con la lettera x; le equazioni frazionarie e letterali

verranno invece trattate nel Volume 2.

Le soluzioni di un’equazione

Risolvere un’equazione nell’incognita x significa determinare, se esistono, i numeri

che, sostituiti al posto di x, la trasformano in un’uguaglianza vera: questi numeri si

chiamano soluzioni o radici dell’equazione. Se un certo numero e una soluzione, si

dice anche che questo numero soddisfa o verifica l’equazione data.

ESEMPIO

Consideriamo l’equazione x2 1 ¼ 0:

� 1 e una sua soluzione perche, sostituendo 1 al posto di x, si ottiene l’uguaglianza

12 1 ¼ 0, cioe 0 ¼ 0, che e vera;

� 2 non e una soluzione dell’equazione perche, sostituendo 2 al posto di x, si

ottiene l’uguaglianza ð 2Þ2 1 ¼ 0, cioe 3 ¼ 0, che e falsa.

Indicheremo con la lettera S l’insieme formato dalle soluzioni di un’equazione. Per esem-

pio, l’insieme delle soluzioni dell’equazione xþ2¼0 sara indicato con S¼f 2g.

Il dominio di un’equazione

Le soluzioni di un’equazione dipendono dall’insieme numerico dove si cercano tali

soluzioni, che prende il nome di dominio o insieme di definizione dell’equazione.

Salvo avviso contrario, risolveremo le equazioni assumendo come dominio l’insieme

R dei numeri reali.

ESEMPIO

L’equazione 2x ¼ 1, se assumiamo come dominio R, ammette come soluzione

x ¼1

2.

La stessa equazionenon ammette soluzioni se assumiamo comedominio l’insiemeN,

perche non esiste alcunnumeronaturale che,moltiplicatoper 2, da come risultato1.

Equazioni determinate, impossibili, indeterminate e identita

Si puo effettuare una classificazione delle equazioni in base alle caratteristiche dell’in-

sieme delle soluzioni.

Unita 7 Equazioni di primo grado

325

L’insieme dellesoluzioni puo...

Esempio L’equazionesi dice...

essere finito 2x ¼ 4

L’unica soluzione dell’equazione e 2, quindi S ¼ f2g.

S e un insieme finito.

propria odeterminata

essere infinito jxj ¼ x

Questa equazione ha come soluzioni tutti i numeri

reali non negativi: per esempio jþ2j ¼ þ2,

jþ0,3j ¼ þ0,3, mentre j 2j 6¼ 2, j 0,3j 6¼ 0,3:L’insieme delle soluzioni e S ¼ fx 2 R jx � 0g; S e un

insieme infinito.

indeterminata

essere vuoto x2 ¼ 1

Ogni numero reale ha come quadrato un numero nonnegativo, quindi l’equazione non ha soluzioni: S ¼[.

impossibile

Tra le equazioni indeterminate, rivestono particolare importanza le identita.

IDENTITA

Una identita e una uguaglianza tra due espressioni, contenente una o piu lettere,

verificata in corrispondenza di ogni valore reale attribuito alle lettere, con l’esclu-

sione di quelli che fanno eventualmente perdere significato alle due espressioni.

ESEMPI

a. L’uguaglianza 2ðxþ 2Þ ¼ 2xþ 4, in base alla proprieta distributiva, e soddisfatta

per ogni x 2 R. Dunque e un’identita.

b. Consideriamo l’uguaglianza:

1

x2 2xþ 1¼

1

ðx 1Þ2

Essa perde di significato solo per x ¼ 1, valore in corrispondenza del quale si annul-

lano i denominatori. Con l’esclusione di questo valore di x, cioe per ogni x 2 R con

x 6¼ 1, l’uguaglianza e soddisfatta, in base al prodotto notevole relativo al quadrato

di un binomio: dunque e un’identita.

2. Principi di equivalenza per le equazioni

Equazioni equivalenti

Le due equazioni x 2 ¼ 0 e 5x 10 ¼ 0 hanno entrambe come insieme delle solu-

zioni S ¼ f2g. A equazioni che hanno lo stesso insieme delle soluzioni si da un nome

particolare.

EQUAZIONI EQUIVALENTI

Due equazioni nelle stesse incognite si dicono equivalenti se hanno lo stesso in-

sieme delle soluzioni.

In questo paragrafo presentiamo delle regole che permettono di trasformare una data

equazione in un’altra equazione, equivalente a quella originaria. Queste regole ci sa-

ranno utili, successivamente, per risolvere le equazioni.

326

Tema C Equazioni, disequazioni e funzioni

Rifletti

Un’identita e una

particolare equazione

indeterminata (perche

e soddisfatta incorrispondenza di infiniti

valori reali, ovvero ha

infinite soluzioni).Invece un’equazione

indeterminata non e

necessariamente

un’identita (ne e unesempio l’equazione

jxj ¼ x).

Esercizi p. 341

Il primo principio di equivalenza

Consideriamo l’equazione:

xþ 5 ¼ 2x

Osserva la seguente classica interpretazione dell’equazione, che probabilmente hai

gia visto nei tuoi studi precedenti.

xx 5 x

Possiamo interpretarel’equazione rifacendociall’immagine di una bilanciaavente su un piatto un pesodi x grammi piu uno di 5grammi e sull’altro due pesidi x grammi: dal momentoche c’e uguaglianza tra i pesidei due piatti, dobbiamopensare la bilancia inequilibrio.

xx 5 xxx

Se aggiungiamo un pesodi x grammi a un piatto,per mantenere l’equilibriodobbiamo aggiungerloanche all’altro.

Formalmente:

x þ 5þ x ¼ 2x þ x

5 x

Se togliamo un peso di xgrammi da un piatto,per mantenere l’equilibriodobbiamo toglierlo anchedall’altro.

Formalmente:

x þ 5 x ¼ 2x x

Questa interpretazione suggerisce che, come in una bilancia non si altera l’equilibrio

togliendo o aggiungendo lo stesso peso ai due piatti, cosı, togliendo o aggiungendo

una stessa «quantita» a entrambi i membri di un’equazione, si ottiene un’equazione

equivalente.

Primo principio di equivalenza TEOREMA 7.1

Aggiungendo o sottraendo a entrambi i membri di un’equazione un numero o una

espressione algebrica definita per tutti i valori reali delle variabili che vi compaio-

no, si ottiene un’equazione equivalente a quella data.

Non dimostriamo questo principio di equivalenza, ma ci limitiamo a osservare che

esso si basa sulle seguenti proprieta dei numeri reali:

� legge di monotonia dell’addizione: se a e b sono due numeri reali uguali, allora

sono uguali anche i numeri che si ottengono aggiungendo a essi uno stesso nume-

ro reale c; in simboli:

se a ¼ b, allora aþ c ¼ bþ c

� legge di cancellazione dell’addizione: se a, b e c sono tre numeri reali e aþ c e

uguale a bþ c, allora a e b sono uguali; in simboli:

se aþ c ¼ bþ c, allora a ¼ b

ESEMPI Primo principio di equivalenza

a. Aggiungendo a entrambi i membri dell’equazione x ¼ x2 il numero 2, otteniamo

l’equazione equivalente xþ 2 ¼ x2 þ 2.

b. Sottraendo a entrambi i membri dell’equazione x ¼ x2 l’espressione1

2x (che,

nota, e definita per ogni valore reale di xÞ otteniamo l’equazione equivalente

x 1

2x ¼ x

2 1

2x.

Quando si vuole applicare il primo principio di equivalenza, e essenziale controllare

che l’espressione che si aggiunge (o si toglie) sia sempre definita.


327

CONTROESEMPIO Necessita delle ipotesi del primo principio

Aggiungendo a entrambi i membri dell’equazione x ¼ x2 l’espressione1

x, ottenia-

mo l’equazione xþ1

x¼ x2 þ

1

x, che non e equivalente a quella data: infatti, la pri-

ma equazione ammette 0 come soluzione, mentre la seconda perde significato

quando x ¼ 0 (perche si annullano i denominatori), quindi non puo ammettere 0

come soluzione. Cio non e in contrasto con il primo principio: infatti, in questo

caso, tale principio non si puo applicare, perche l’espressione1

xnon e definita

quando x ¼ 0.

Il secondo principio di equivalenza

Abbiamo visto che aggiungendo o sottraendo a entrambi i membri di un’equazione

una stessa «quantita» si ottiene un’equazione equivalente. Se moltiplichiamo o divi-

diamo entrambi i membri di un’equazione per una stessa quantita, otteniamo ancora

un’equazione equivalente?

La risposta e affermativa, purche la quantita per cui si moltiplica o si divide sia sem-

pre definita e diversa da zero.

TEOREMA 7.2 Secondo principio di equivalenza

Moltiplicando o dividendo entrambi i membri di un’equazione per un numero diverso

da zero o per una espressione algebrica definita e non nulla per tutti i valori reali

delle variabili che vi compaiono, si ottiene un’equazione equivalente a quella data.

Non dimostriamo il secondo principio di equivalenza, ma ci limitiamo a osservare

che esso si basa sulle seguenti proprieta dei numeri reali:

� legge di monotonia della moltiplicazione: se a e b sono due numeri reali uguali,

allora sono uguali anche i numeri che si ottengono moltiplicandoli per uno stesso

numero reale c; in simboli:

se a ¼ b, allora ac ¼ bc

� legge di cancellazione della moltiplicazione: se a, b e c sono tre numeri reali,

con c diverso da 0, e ac e uguale a bc, allora a e b sono uguali; in simboli:

se ac ¼ bc e c 6¼ 0, allora a ¼ b

ESEMPI Secondo principio di equivalenza

a. Moltiplicando entrambi i membri dell’equazione xþ 2 ¼ x per il numero 3, otte-

niamo l’equazione equivalente 3xþ 6 ¼ 3x.

b. Dividendo entrambi i membri dell’equazione 10xþ 30 ¼ 100 per il numero 10,

otteniamo l’equazione equivalente xþ 3 ¼ 10.

Quando si vuole applicare il secondo principio di equivalenza, e essenziale controlla-

re che l’espressione per cui si moltiplica (o si divide) sia sempre definita e non si an-

nulli mai.

CONTROESEMPIO Necessita delle ipotesi del secondo principio

Moltiplicando entrambi i membri dell’equazione x ¼ x2 per l’espressione x 2 ot-

teniamo l’equazione xðx 2Þ ¼ x2ðx 2Þ che non e equivalente a quella data: in-

fatti, puoi verificare che la seconda equazione ammette 2 come soluzione, mentre

2 non e una soluzione della prima equazione.

Cio non e in contrasto con il secondo principio: infatti, in questo caso, tale princi-

pio non si puo applicare, perche l’espressione x 2 si annulla quando x ¼ 2.

328


Rifletti

Si ottiene invece

un’equazione equivalente

a x ¼ x2 moltiplicandoi due membri per ðx2 þ 1Þ;

sai giustificare perche?

Conseguenze dei principi di equivalenza

Conseguenze del 1o

principioGiustificazione Esempio

Si puo spostare un termine,che compare comeaddendo, da un membroall’altro di un’equazionepur di cambiargli segno(regola del trasporto).

Cio equivale a sottrarrequel termine aentrambi i membridell’equazione.

L’equazione 3x ¼ 1þ 2x

equivale a: 3x 2x ¼ 1

Infatti, per il primo principio,

3x ¼ 1þ 2x

equivale a:3x 2x ¼ 1þ 2x 2xossia a: 3x 2x ¼ 1

Se un certo termine comparecome addendo sia in uno sianell’altro membro diun’equazione, puo esseresoppresso.

Cio equivale a sottrarrequel termine daentrambi i membridell’equazione.

x2 þ 3x ¼ 7þ 3x

equivale, sopprimendo þ3x, a:

x2 ¼ 7

Conseguenze del 2o

principioGiustificazione Esempio

Se tutti i termini diun’equazione hanno incomune un fattore nonnullo, si possono dividere idue membri per quel fattore.

E una direttaapplicazione delsecondo principio.

4x þ 6 ¼ 12

e equivalente, dividendo tutti itermini per 2, all’equazione:

2x þ 3 ¼ 6

Si possono cambiare i segnidi tutti i terminidi un’equazione.

Cio equivale amoltiplicare entrambii membri per 1.

x2 6x þ 5 ¼ 0

e equivalente a:

x2 þ 6x 5 ¼ 0

Si puo trasformareun’equazione a coefficientifrazionari in una equivalentea coefficienti interi.

Basta moltiplicareentrambi i membridell’equazioneper il minimo comunemultiplo deidenominatoridell’equazione.

1

2x þ

1

3x ¼ 4 m.c.m.ð2, 3Þ ¼ 6

e equivalente a:

61

2x þ

1

3x

� �

¼ 6 � 4

ossia a:

3x þ 2x ¼ 24

Il grado di un’equazione

Utilizzando la regola del trasporto, si possono sempre spostare tutti i termini di un’e-

quazione al primo membro. Ogni equazione nell’incognita x si puo percio sempre

scrivere nella forma:

AðxÞ ¼ 0

Se AðxÞ e un polinomio, l’equazione si dice algebrica e, una volta ridotti gli eventuali

termini simili, si ottiene la cosiddetta forma normale (o forma canonica) dell’equa-

zione.

GRADO DI UN’EQUAZIONE ALGEBRICA

Data un’equazione algebrica nell’incognita x, si dice grado dell’equazione il gra-

do del polinomio AðxÞ, una volta che l’equazione sia stata scritta nella forma

normale AðxÞ ¼ 0.

In questa Unita ci occuperemo prevalentemente di equazioni di primo grado.


329

ESEMPI Grado di un’equazione

Stabiliamo il grado delle seguenti equazioni:

a. x2 þ 2x þ 1 ¼ 0 b. 2x þ 1 ¼ 0 c. ðx þ 1Þ2 ¼ x2 þ 2

a. L’equazione x2 þ 2xþ 1 ¼ 0 e in forma normale ed e di secondo grado.

b. L’equazione 2xþ 1 ¼ 0 e in forma normale ed e di primo grado.

c. A differenza dei due esempi precedenti, l’equazione non e in forma normale.

Per determinare il grado dell’equazione, dobbiamo prima riscriverla in tale for-

ma. Sviluppando il quadrato, l’equazione diventa:

x2 þ 2xþ 1 ¼ x2 þ 2

Portando tutti i termini al primo membro abbiamo l’equazione:

x2 þ 2xþ 1 x2 2 ¼ 0

e infine, riducendo i termini simili, otteniamo la forma normale dell’equazione:

2x 1 ¼ 0

Vediamo cosı che l’equazione e di primo grado.

3. Equazioni numeriche interedi primo grado

Procedimento risolutivo

Le piu semplici equazioni di primo grado nell’incognita x che si possono presentare

sono quelle della forma:

ax ¼ b

dove a e b sono numeri reali, con a 6¼ 0. Per esempio:

3x ¼ 2 2x ¼ 6

Le equazioni di questo tipo si risolvono immediatamente: basta dividere i due mem-

bri dell’equazione per il coefficiente di x (secondo principio di equivalenza); per

esempio:

3x ¼ 2 equivale a3x

3¼ 2

3, da cui x ¼

2

3

2x ¼ 6 equivale a 2x

2¼

6

2, da cui x ¼ 3

Per risolvere una equazione numerica intera di primo grado nell’incognita x basta ri-

condursi, mediante i principi di equivalenza e le regole del calcolo algebrico, a un’e-

quazione del tipo ax ¼ b e risolvere l’equazione che si e cosı ottenuta..

ESEMPIO Equazione a coefficienti interi

Risolviamo l’equazione: 2x ð3x þ 4Þ ¼ 4x ðx 6Þ.

Procediamo scrivendo la seguente catena di equazioni equivalenti.

2x ð3xþ 4Þ ¼ 4x ðx 6Þ Equazione da risolvere

2x 3x 4 ¼ 4x xþ 6 Abbiamo tolto le parentesi

2x 3x 4xþ x ¼ þ 6þ 4 Abbiamo portato tutti i termini in x al primo membro e tut-

ti i termini numerici al secondo (1o principio)

4x ¼ þ10 Riducendo i termini simili

330


Esercizi p. 343

4x

4¼þ10

4Dividendo entrambi i membri per 4 (2o principio)

x ¼þ10

4¼

5

2Semplificando

Pertanto l’equazione e determinata e il suo insieme delle soluzioni e:

S ¼ 5

2

� �

Le equazioni intere di primo grado a coefficienti frazionari, come abbiamo gia osser-

vato discutendo i principi di equivalenza, si possono ricondurre a equazioni a coeffi-

cienti interi: basta moltiplicare entrambi i membri per il minimo comune multiplo

dei denominatori che compaiono nell’equazione.

ESEMPIO Equazione a coefficienti frazionari

Risolviamo l’equazione:1

2x þ

x 1

3¼ 2

x 1

12.

1

2xþ

x 1

3¼ 2

x 1

12Il m.c.m. dei denominatori e 12

121

2xþ

x 1

3

� �

¼ 12 2 x 1

12

� �

Moltiplicando entrambi i membri

per 12, otterremo un’equazioneequivalente a coefficienti interi

12 �1

2xþ 12 �

x 1

3¼ 12 � 2 12 �

x 1

12Proprieta distributiva

6xþ 4ðx 1Þ ¼ 24 ðx 1Þ Attenzione alle parentesi tonde

introdotte: sono essenziali!

6xþ 4x 4 ¼ 24 xþ 1 Svolgendo i calcoli

6xþ 4xþ x ¼ 24þ 1þ 4 Portando tutti i termini con la x

al primo membro e quelli numerici

al secondo

11x ¼ 29 Riducendo i termini simili

x ¼29

11Dividendo entrambi i membri per 11

(2o principio)

Pertanto l’equazione e determinata e il suo insieme delle soluzioni e S ¼29

11

� �

.

SINTESI

Procedimento risolutivo per le equazioni di primo grado numeriche intere

nell’incognita x

1o passo: Si svolgono le eventuali operazioni e, se l’equazione e a coefficienti

frazionari, si moltiplicano entrambi i membri per il minimo comune multiplo

dei denominatori, in modo da ricondursi a un’equazione a coefficienti interi.

2o passo: Si trasportano tutti i termini con la x al primo membro e tutti i termini

numerici al secondo, riducendo gli eventuali termini simili.

3o passo: Si risolve l’equazione del tipo ax ¼ b cui ci si e ricondotti nel passo

precedente.

Verifica delle soluzioni

Una volta che si e risolta un’equazione, si puo effettuare la verifica delle soluzioni,

cioe controllare che le soluzioni trovate siano effettivamente corrette. Per fare cio ba-

sta sostituire nell’equazione iniziale al posto dell’incognita il numero trovato come

soluzione e controllare che questo numero renda effettivamente uguali i due membri

dell’equazione.


331

ESEMPIO Verifica delle soluzioni

In uno degli esempi precedenti abbiamo trovato che l’equazione

2x ð3xþ 4Þ ¼ 4x ðx 6Þ

ha come soluzione x ¼ 5

2. Sostituendo

5

2al posto di x otteniamo:

I due membri assumono lo stesso valore quando

x ¼ 5

2, quindi

5

2e effettivamente una soluzione.

Equazioni impossibili o indeterminate

Negli esempi precedenti siamo giunti a equazioni del tipo:

ax ¼ b

con a numero reale diverso da zero. Essendo a 6¼ 0, abbiamo potuto applicare il se-

condo principio di equivalenza e dividere entrambi i membri per a; abbiamo cosı ot-

tenuto:

x ¼b

a

Puo tuttavia capitare che si giunga a un’equazione del tipo 0 � x ¼ b; un’equazione,

cioe, in cui a ¼ 0. Che cosa accade in questo caso?

� Se b ¼ 0, l’equazione assume la forma 0 � x ¼ 0 ed e verificata per ogni x 2 R, per-

che qualsiasi numero reale, moltiplicato per 0, da come risultato 0. L’equazione e

indeterminata: precisamente, e un’identita.

� Se b 6¼ 0, l’equazione 0 � x ¼ b non e verificata per alcun valore di x, perche nessun

numero reale, moltiplicato per 0, da come risultato un numero diverso da 0. L’e-

quazione e impossibile: l’insieme delle soluzioni dell’equazione e vuoto.

ESEMPI Equazioni impossibili o indeterminate

Risolviamo le equazioni:

a. ðx þ 1Þ2 ¼ ðx 1Þ2 þ 4x þ 1

b. ðx þ 1Þðx 1Þ ¼ ðx 1Þ2 þ 2x 2

a. Svolgendo i quadrati l’equazione si riscrive nella forma:

x2 þ 2xþ 1 ¼ x2 2xþ 1þ 4xþ 1

ossia, portando tutti i termini con la x al primo membro e quelli numerici al se-

condo:

2xþ 2x 4x ¼ þ1þ 1 1

da cui:

0 � x ¼ 1

Questa equazione non ha soluzioni perche nessun numero, moltiplicato per 0,

da come risultato 1, quindi l’equazione e impossibile; l’insieme delle soluzioni e:

S ¼ x

Al 1o membro: Al 2o membro:

2 5

2

� �

3 5

2

� �

þ 4

� �

4 5

2

� �

5

2 6

� �

5þ15

2 4

3

2

10þ5

2þ 6

3

2

332


Ricorda

0 e elemento assorbenterispetto alla

moltiplicazione.

b. Svolgendo i prodotti notevoli l’equazione si riscrive nella forma:

x2 1 ¼ x2 2xþ 1þ 2x 2

ossia, portando tutti i termini con la x al primo membro e quelli numerici al se-

condo:

2x 2x ¼ 1 2þ 1

da cui:

0 � x ¼ 0

Questa equazione e verificata da ogni numero reale perche qualsiasi numero,

moltiplicato per 0, da come risultato 0, quindi l’insieme delle soluzioni e S ¼ R:

l’equazione e un’identita.

Riassumiamo nel seguente diagramma ad albero i vari casi che si possono presentare

nella risoluzione dell’equazione ax ¼ b.

4. Le equazioni e la legge di annullamentodel prodotto

Rivedendo gli insiemi numerici (Unita 1 e 2), abbiamo visto che il prodotto di due

numeri reali a e b e uguale a zero se e solo se almeno uno dei due e zero (legge di an-

nullamento del prodotto):

ab ¼ 0, a ¼ 0 _ b ¼ 0

Applicando la legge di annullamento del prodotto, possiamo risolvere le equazioni di

grado superiore al primo della forma PðxÞ ¼ 0, in cui PðxÞ e un polinomio che si pre-

senta scomposto, o sappiamo scomporre, in fattori di primo grado.

ESEMPI Risoluzione di equazioni applicando la legge di annullamento del prodotto

Risolviamo le equazioni:

a. ð2x þ 4Þðx 6Þ ¼ 0 b. x3 6x2 ¼ 0 c. ð3x þ 1Þ2 ðx 2Þ2 ¼ 0

a. Il primo membro e gia scomposto in fattori; per la legge di annullamento del

prodotto:

ð2xþ 4Þðx 6Þ ¼ 0 , 2xþ 4 ¼ 0 _ x 6 ¼ 0 , x ¼ 2 _ x ¼ 6

L’insieme delle soluzioni dell’equazione e percio S ¼ 2; 6f g.

b. Dobbiamo scomporre in fattori il primo membro dell’equazione.

x3 6x2 ¼ 0 Equazione da risolvere

x2ðx 6Þ ¼ 0 Scomponendo in fattori

x2 ¼ 0 _ x 6 ¼ 0 Per la legge di annullamento del prodotto

x ¼ 0 _ x ¼ 6 Risolvendo le due equazioni

L’insieme delle soluzioni dell’equazione data e percio S ¼ 0;6f g.

ax ¼ b

S ¼b

a

� �

S ¼ R

S ¼ x

Equazione determinata

Equazione indeterminata

(identita)

Equazione impossibile

a ¼ 0

b 6¼ 0

a 6¼ 0

b ¼ 0


333

Matematica in laboratorio

Interpretazione graficadi un’equazione

Esercizi p. 345

c. Ai fini di risolvere l’equazione, non conviene svolgere i quadrati, ma scomporre

il primo membro come differenza di due quadrati.

ð3xþ 1Þ2 ðx 2Þ2 ¼ 0 Equazione da risolvere

ð3xþ 1þ x 2Þð3xþ 1 xþ 2Þ ¼ 0 Scomponendo la differenza di quadrati

ð4x 1Þð2xþ 3Þ ¼ 0 Semplificando

4x 1 ¼ 0 _ 2xþ 3 ¼ 0 Per la legge di annullamento del prodotto

x ¼1

4_ x ¼

3

2Risolvendo le equazioni di primo grado

L’insieme delle soluzioni dell’equazione e quindi S ¼ 3

2;1

4

� �

.

Come puoi renderti conto riflettendo sugli esempi precedenti, l’insieme delle soluzio-

ni di una equazione del tipo P1ðxÞ �P2ðxÞ � ::: �PnðxÞ¼0 e l’unione degli insiemi delle solu-

zioni S1,S2, :::,Sn, rispettivamente, delle equazioni P1ðxÞ¼0, P2ðxÞ¼0, :::, PnðxÞ¼0.

5. Problemi che hanno come modelloun’equazione di primo grado

Nelle precedenti Unita abbiamo affrontato vari problemi ricorrendo a modelli mate-

matici costruiti, per esempio, grazie alla teoria degli insiemi o al calcolo letterale. Ora

abbiamo a disposizione un nuovo e potente modello matematico per affrontare i pro-

blemi: le equazioni.

Scandiremo anche la risoluzione dei problemi che hanno come modello un’equazio-

ne nelle quattro fasi cui siamo abituati (individuazione dei dati e dell’obiettivo, co-

struzione del modello, risoluzione del modello, risposta al problema).

Nel caso specifico in cui il modello e un’equazione, e possibile, pero, dare qualche in-

dicazione in piu sulle singole fasi.

Schema logico per la risoluzione di un problema, utilizzando come modello

un’equazione

1. Familiarizzazione con il problema

Si tratta di leggere attentamente il testo del problema e individuare i dati el’obiettivo.

2. Costruzione del modello algebrico

Questa e la fase piu delicata. Si articola nelle seguenti tre sottofasi:

a. scegliere, fra gli elementi non noti, uno da indicare come incognita (la sceltadell’incognita, in generale, non e unica: uno stesso problema puo essere risoltoin modi diversi, a seconda dell’incognita fissata, e una scelta opportuna puosemplificare i calcoli);

b. individuare il dominio dell’incognita (per esempio, se indichiamo con x la misuradi un segmento, dovra essere x > 0);

c. costruire l’equazione che costituisce il modello del problema (a seconda dellascelta dell’incognita, si possono trovare equazioni differenti).

3. Risoluzione dell’equazione

4. Verifica dell’accettabilita della soluzione e risposta

Si articola nelle seguenti due sottofasi:

a. stabilire se la soluzione dell’equazione e accettabile anche come soluzione delproblema (per esempio, se indichiamo con x la misura di un segmento, dovraessere x > 0: quindi se, risolvendo l’equazione, si trovasse una soluzionenegativa, questa sarebbe da scartare perche non avrebbe senso in relazione alproblema);

b. concludere, scrivendo la risposta.

334


Esercizi p. 351

PROBLEMA SVOLTO 1 Sconto sul televisore

Un televisore, dopo che e stato praticato uno sconto del 12% sul prezzo originario, e stato pagato 308 euro. Qual era il

prezzo originario del televisore?

FAMILIARIZZIAMO CON IL PROBLEMA

Dati

� Sconto subito dal prezzo del televisore ¼ 12%

� Prezzo scontato ¼ 308 euro

Obiettivo

� Il prezzo originario del televisore

COSTRUIAMO IL MODELLO ALGEBRICO DEL PROBLEMA

� Indichiamo con l’incognita x il prezzo originario del televisore (che e il nostro obiettivo).

� Osserviamo che deve essere x > 308 (poiche il prezzo originario deve essere maggiore del prezzo scontato).

� Per determinare x, impostiamo un’equazione che tiene conto dei dati.

L’equazione e la seguente.

x 12

100� x ¼ 308

Il prezzo meno il 12% del prezzo e uguale al prezzooriginario originario scontato

ossia:

x 3

25x ¼ 308 Osserva che

12

100¼

3

25

RISOLVIAMO L’EQUAZIONE

x 3

25x ¼ 308

25x 3x ¼ 308 � 25 Moltiplicando entrambi i membri per 25

22x ¼ 308 � 25 ) x ¼308 � 25

22¼ 350

VERIFICHIAMO L’ACCETTABILITA DELLA SOLUZIONE E RISPONDIAMO

� La soluzione trovata e accettabile (infatti e maggiore di 308).

� Concludiamo che il prezzo originario del televisore era di 350 euro.

PROBLEMA SVOLTO 2 Tre numeri naturali consecutivi

Determinare tre numeri naturali consecutivi la cui somma sia uguale a 45.


Dati

� Somma di tre numeri naturali consecutivi ¼ 45

Obiettivo

� Trovare i tre numeri


In questo problema le incognite sono apparentemente tre, ma se indichiamo con x uno dei tre numeri possiamo espri-

mere gli altri due in funzione di x (perche sappiamo che i tre numeri sono consecutivi): quindi basta una sola incogni-

ta per formalizzare il problema. La scelta di quale dei tre numeri indicare con x e arbitraria.

Per far vedere, a titolo d’esempio, le analogie e le differenze nel risolvere un problema con incognite diverse, ti propo-

niamo, in parallelo, sia la risoluzione scegliendo come incognita il numero minore, sia quella scegliendo come inco-

gnita il numero intermedio; invitiamo te a risolvere il problema scegliendo come incognita il numero maggiore.


335

Indicando con x il numero minore

� Se x e il numero minore, gli altri due sono xþ 1 e xþ 2.

� L’incognita x varia nell’insieme dei numeri naturali.

� Il fatto che la somma dei tre numeri consecutivi sia

uguale a 45 si traduce nell’equazione:

xþ ðxþ 1Þ þ ðxþ 2Þ ¼ 45

Indicando con x il numero intermedio

� Se x e il numero intermedio, gli altri due sono x 1 e

xþ 1.

� L’incognita x varia nell’insieme dei numeri naturali

diversi da zero. (Dobbiamo escludere che sia x ¼ 0

perche, se cosı fosse, il precedente di x, x 1, non sa-

rebbe un numero naturale.)

� Il fatto che la somma dei tre numeri consecutivi sia

uguale a 45 si traduce nell’equazione:

ðx 1Þ þ xþ ðxþ 1Þ ¼ 45



xþ ðxþ 1Þ þ ðxþ 2Þ ¼ 45

3xþ 3 ¼ 45

3x ¼ 42 ) x ¼ 14


ðx 1Þ þ xþ ðxþ 1Þ ¼ 45

3x ¼ 45

x ¼ 15



� La soluzione dell’equazione trovata, x ¼ 14, e un nume-

ro naturale, quindi e una soluzione accettabile in rela-

zione al problema.

� Dal momento che il minore fra i tre numeri naturali

cercati e 14, deduciamo che gli altri due sono 15 e 16.

La conclusione e che i tre numeri naturali richiesti so-

no 14, 15 e 16.


� La soluzione dell’equazione trovata, x ¼ 15, e un nu-

mero naturale diverso da zero, quindi e una soluzione

accettabile in relazione al problema.

� Dal momento che il numero intermedio fra i tre nu-

meri naturali cercati e 15, gli altri due sono 14 e 16.

La conclusione e che i tre numeri naturali richiesti so-

no 14, 15 e 16.

PROBLEMA SVOLTO 3 Monete

Si vuole formare la somma di 5 euro con 40 monete, alcune da 20 centesimi e altre da 50 centesimi. Quante monete

da 20 e quante da 50 centesimi sono necessarie?


Dati

� Abbiamo a disposizione monete: da 20 e da 50 centesimi

� Dobbiamo utilizzare complessivamente: 40 monete

Obiettivo

� Trovare il numero di monete da 20 centesimi e il numero di monete da 50 centesimi che diano luogo a una som-

ma complessiva di 5 euro


� Indichiamo con x il numero di monete da 20 centesimi necessarie: cosı resta automaticamente determinato, in fun-

zione di x, il numero di monete da 50 centesimi, che sara uguale a 40 x, dal momento che si vogliono utilizzare in

tutto 40 monete.

� Qual e il dominio di x? Il numero x deve essere un numero naturale, minore o uguale a 40 che e il numero di mone-

te che si vogliono utilizzare in totale: quindi deve essere 0 � x � 40, con x 2 N (abbiamo incluso anche gli estremi,

x ¼ 0 e x ¼ 40, che corrispondono ai casi in cui si utilizzano solo monete da 50 centesimi o solo monete da 20 cen-

tesimi, perche, a priori, nulla vieta questi casi).

� Per scrivere l’equazione ci aiutiamo con la seguente tabella.

Numero di monete Tipo di monete Valore delle monete (in euro)

x 20 centesimi20

100x ¼

1

5x

40 x 50 centesimi50

100ð40 xÞ ¼

1

2ð40 xÞ

336


Per ottenere una somma complessiva di 5 euro, x dovra soddisfare l’equazione:

1

5x þ

1

2ð40 xÞ ¼ 5


1

5xþ

1

2ð40 xÞ ¼ 5

2xþ 5ð40 xÞ ¼ 50 Moltiplicando i due membri dell’equazione per 10

2xþ 200 5x ¼ 50

3x ¼ 150

x ¼ 150

3¼ 50


� La soluzione trovata e un numero naturale, ma non soddisfa la condizione 0 � x � 40, percio non e accettabile in

relazione al problema proposto.

� Dobbiamo concludere che e impossibile formare la somma di 5 euro utilizzando 40 monete, alcune da 20 e altre da

50 centesimi.

PROBLEMA SVOLTO 4 Area di un rettangolo

In un rettangolo ABCD la lunghezza del lato AB supera di 1 cm i3

4della lunghezza di BC. Il perimetro del rettangolo e

37 cm. Qual e l’area del rettangolo?


Dati

� AB ¼ 1 cm þ3

4BC

� Perimetro ðABCDÞ ¼ 37 cm

A B

D C

AB BC= +13

4cm

Obiettivo

� AreaðABCDÞ


Indichiamo con l’incognita x la misura di BC, ossia poniamo:

BC ¼ x

Osserviamo che dovra essere x > 0, rappresentando x la misura di un segmento.

In base ai dati possiamo esprimere la misura di AB in funzione di x:

AB ¼ 1þ3

4x

Per determinare x, imponiamo che il perimetro di ABCD sia 37 cm, ottenendo cosı la se-

guente equazione:

2 1þ3

4x

� �

þ 2 � x ¼ 37

AB

BC

di ABCDperimetromisura del


2 1þ3

4x

� �

þ 2x ¼ 37

2þ3

2xþ 2x ¼ 37 Eseguendo la moltiplicazione al 1o membro

4þ 3xþ 4x ¼ 74 Moltiplicando i due membri per 2

7x ¼ 70 ) x ¼ 10


337

Ricorda

Indicheremo con il simbolo

AB un segmento oppure lamisura del segmento,

quando specifichiamo

l’unita di misura;

indicheremo con il simboloAB il numero reale che

esprime la misura del

segmento, quando nonspecifichiamo l’unita di

misura.


� La soluzione trovata e accettabile (infatti e positiva). Dunque:

BC ¼ 10 e AB ¼ 1þ3

4� 10 ¼ 8,5

� Possiamo ora concludere calcolando l’area del rettangolo:

Area ðABCDÞ ¼ 10 � 8,5 cm2 ¼ 85 cm2

PROBLEMA SVOLTO 5 Due auto in autostrada

Un’auto, su un’autostrada, parte da un casello A verso il casello B che dista 200 km da A; dopo 20 minuti, dal casello B

parte una seconda auto che si muove in verso opposto al precedente (cioe verso il casello A).

Le due auto viaggiano a una velocita che si puo considerare mediamente costante e uguale a 110 km all’ora per la pri-

ma auto e a 90 km all’ora per la seconda.

Dopo quanto tempo dalla sua partenza la prima auto incontrera la seconda?


Dati

� L’auto che parte da A viaggia a 110 km/h

� L’auto che parte da B viaggia a 90 km/h e parte 20 minuti dopo l’auto che parte da A

� La distanza tra i caselli A e B e di 200 km

Obiettivo

� Dopo quanto tempo dalla partenza dell’auto da A le due auto si incontrano

casello A

distanza totale: 200 km

puntod’incontro

110 km/h 90 km/h

casello B

COSTRUIAMO IL MODELLO DEL PROBLEMA

� Indichiamo con t il tempo incognito, espresso in ore, trascorso dal momento della partenza della prima auto all’i-

stante in cui le due auto si incontrano.

� Dovra essere t �1

3, perche la seconda auto parte 20 minuti dopo la prima, cioe dopo un terzo di ora.

� Per impostare un’equazione, aiutiamoci costruendo una tabella in cui esprimiamo, in funzione di t, gli spazi percorsi

dalle due auto dalla partenza al momento d’incontro.

Nell’istante in cui le due auto si incontrano, la somma degli spazi percorsi deve uguagliare la distanza tra i due caselli;

quindi deve essere:

110 t þ 90 t 1

3

� �

¼ 200


110t þ 90 t 1

3

� �

¼ 200

110t þ 90t 30 ¼ 200

200t ¼ 230 ) t ¼230

200¼

23

20

Auto Velocita

(in km/h)

Tempo di viaggio dalla partenza

al momento d’incontro (in ore)

Spazio percorso (in km)

[spazio ¼ velocita � tempo]

Auto partita dal casello A 110 t 110 t

Auto partita dal casello B 90 t 1

3

Ricorda che la seconda auto e

partita 20 minuti dopo la prima

90 t 1

3

� �

338



� La soluzione e accettabile

�

e t �1

3

�

.

� Dal momento che abbiamo misurato il tempo t in ore, possiamo concludere che le auto si incontrano dopo un tem-

po uguale a:

23

20 60 minuti ¼ 69 minuti, ossia dopo 1 ora e 9 minuti.

Lo sviluppo dell’algebra e delle equazioni

L’algebra degli Egizi e dei BabilonesiGli Egizi e i popoli dell’antica Mesopotamia risolvevano gia problemi simili a quelli che

noi oggi risolviamo con equazioni a una incognita, senza tuttavia ricorrere a simboli co-

me facciamo noi oggi utilizzando il calcolo letterale. Inoltre i procedimenti risolutivi si li-

mitavano per lo piu a una serie di regole pratiche, regole spesso applicabili solo al tipo di

problema specifico in esame. In particolare, gli Egizi ricorrevano spesso al metodo della

«falsa posizione», cui abbiamo accennato nell’introduzione a questa area tematica.

L’algebra nell’antica GreciaAnche nell’antica Grecia l’algebra non ebbe significativi sviluppi: l’idea di volere sempre

attribuire ai numeri un significato geometrico non permise, infatti, ai Greci di sviluppare

un approccio «algebrico» ai problemi. Fece eccezione solo Diofanto di Alessandria (ma-

tematico greco del III secolo d.C.), spesso chiamato «padre dell’algebra» perche per primo

fece un uso sistematico di abbreviazioni per indicare potenze di numeri e per esprimere

relazioni e operazioni. Si trattava comunque pur sempre di abbreviazioni: rispetto alle no-

tazioni algebriche moderne, mancavano simboli specifici per esprimere le operazioni e

mancava la notazione esponenziale. Inoltre, l’opera di Diofanto, l’Arithmetica, non conte-

neva un’esposizione sistematica di operazioni o di procedimenti risolutivi per le equazio-

ni algebriche, ma consisteva soltanto in una raccolta di 150 problemi.

L’algebra nel mondo araboSi devono al matematico e astronomo arabo al-Khowarizmi (825 ca.) sviluppi significati-

vi nel campo dell’algebra. In una sua opera egli espose infatti le tecniche per risolvere le

equazioni di primo e secondo grado. E proprio dalla parola «al-jabr», che compariva nel

titolo del suo trattato, ha avuto origine la parola «algebra».

L’algebra in Italia e in FranciaSi deve a Fibonacci (1175-1240), nel suo Liber Abaci, il primo utilizzo del termine «equazio-

ne» e la diffusione inEuropadelle tecniche risolutive per le equazioni apprese dagli Arabi. Pro-

prio in Italia, nel periodo rinascimentale, si ebbero poi significativi sviluppi della teoria delle

equazioni (su cui torneremo nel secondo volume) legati ai nomi di Gerolamo Cardano, Ni-

colo Tartaglia, Scipione del Ferro, Lodovico Ferrari, Raphael Bombelli. C’e da notare, pe-

ro, che l’algebra assunse la sua forma moderna, come manipolazione «formale» di simboli,

cioe indipendente dal significato dei simboli stessi, solo tra il XVI e il XVII secolo, grazie ai

contributi di due matematici francesi, Francois Viete e Cartesio (Rene Descartes); furono lo-

ro, fra l’altro, i primi a utilizzare le lettere per indicare le incognite: Viete utilizzo le vocalimen-

tre Cartesio introdusse le ultime lettere dell’alfabeto (x, y, zÞ, come si e soliti fare anche oggi.

In libreria e in reteCarl Boyer, Storia della matematica, Mondadori.

Silvio Maracchia, Storia dell’algebra, Liguori.

http://php.math.unifi.it/archimede/archimede/fibonacci/immagini mostra/virtuale.php


339

Esercizi p. 353

al-Khowarizmi.

Parole chiave

Termini tratti dal glossario e speakerati

Equazione determinata (Conditional equation)

Equazione indeterminata (Indeterminate equation)

Equazioni equivalenti (Equivalent equations)

Identita (Identity)

Incognita (Unknown)

Parametro (Parameter)

Dominio di un’equazione (Domain of an equation)

Equazione (Equation)

Equazione frazionaria (Rational equation)

Equazione impossibile (Contraddiction)

Equazione intera (Polynomial equation)

Equazione letterale (Literal equation)

Equazione numerica (Numerical equation)

Forma normale di un’equazione

(Standard form of an equation)

Grado di un’equazione (Degree of an equation)

Primo membro (Left hand side [LHS])

Primo principio di equivalenza per le equazioni

(Addition property)

Radice di un’equazione (Root of an equation)

Regola del trasporto (Transposition rule)

Secondo membro (Right hand side [RHS])

Secondo principio di equivalenza per le equazioni

(Multiplication property)

Soluzione di un’equazione (Solution of an equation)

Formule e proprieta importanti

Principi di equivalenza per le equazioni

PRIMO PRINCIPIOAggiungendo o sottraendo, a entrambii membri di un’equazione, un numero o unaespressione algebrica definita per tutti ivalori delle variabili che vi compaiono, siottiene un’equazione equivalente a quella data.

SECONDO PRINCIPIOMoltiplicando o dividendo entrambi i membridi un’equazione per un numero diverso dazero o per una espressione algebrica definitae non nulla per tutti i valori delle variabiliche vi compaiono, si ottiene un’equazioneequivalente a quella data.

di conseguenza di conseguenza

1. Si puo spostare un termine, che comparecome addendo, da un membro all’altro diun’equazione pur di cambiargli segno.

2. Se un certo termine compare come addendosia in uno sia nell’altro membro diun’equazione, esso puo essere soppresso.

1. Se tutti i termini di un’equazione hanno incomune un fattore non nullo, si possonodividere i due membri per quel fattore.

2. Si possono cambiare i segni di tutti i terminidi un’equazione.

Equazione di primo grado nella forma ax ¼ b

Se a 6¼ 0, allora x ¼b

a

Se a ¼ 0 e b 6¼ 0, l’equazione e impossibile

Se a ¼ 0 e b ¼ 0, l’equazione e indeterminata

Procedimento per risolvere un’equazione intera di primo grado

1. Si svolgono le eventuali operazioni e, se l’equazione e a coefficienti frazionari, si moltiplicano entrambi i membri per

il minimo comune multiplo dei denominatori, in modo da ricondursi a un’equazione a coefficienti interi.

2. Si trasportano tutti i termini con la x al primo membro e tutti i termini numerici al secondo, riducendo gli eventuali

termini simili.

3. Si risolve l’equazione del tipo ax ¼ b cui si perviene.

340

Sintesi Equazioni di primo grado

Esercizi

1. Introduzione alle equazioni Teoria p. 324

Esercizi preliminari

Test

1 Quale delle seguenti equazioni nell’incognita x e letterale e frazionaria?

A x2 þ1

2¼ 1 B x2 þ

1

a¼ 1 C x2 þ

1

x¼ 1 D

1

2þ

1

3x ¼

x

x a

2 Quale delle seguenti equazioni nell’incognita x e intera e letterale?

Ax

kþ

k

x¼ 1 B

1

xþ

1

x2¼ 1 C

1

aþ x ¼

1

2D

1

2x

1

3¼ x

3 Quale delle seguenti equazioni nell’incognita x non e ne letterale, ne frazionaria?

A x ¼ ðkþ xÞ2 B ðxþ 1Þ2 ¼ xþ1

2

� �2

C 3xþ a ¼ 2x Dx 1

xþ 1¼ 2

4 Il numero x ¼ 1 e una soluzione di quale delle seguenti equazioni?

A ðx 1Þ2 ¼ ðx 2Þ2 Bx 1

2¼

x 3

3C ðx 2Þðx 4Þ ¼ 3 D

2

3x ¼

3

2

5 Se un’equazione nell’incognita x ha infinite soluzioni allora:

A e impossibile

B e indeterminata

C e certamente un’identita, soddisfatta per ogni x 2 R

D nessuna delle precedenti risposte e corretta

6 Vero o falso?

a. l’equazione1

2þ

1

a¼

x

3, nell’incognita x, e letterale e fratta V F

b. l’equazione x2 þ 1 ¼ xþ 1 ha come soluzione x ¼ 0 V F

c. l’equazione x2 þ 1 ¼ 0 e impossibile in R V F

d. se l’insieme delle soluzioni di un’equazione e R, l’equazione e un’identita V F

e. l’equazione ðxþ 1Þ2 ðx 1Þ2 ¼ 4x e un’identita V F

f. se un’equazione e impossibile in N, allora e impossibile anche in Z V F

g. se un’equazione e impossibile in Z, allora e impossibile anche in N V F

h. se un’equazione ha infinite soluzioni, allora e un’identita V F

i. se un’equazione e un’identita, allora ha infinite soluzioni. V F

[6 affermazioni vere e 3 false]

Le soluzioni di un’equazione

7 ESERCIZIO GUIDATO

Stabilisci se 1 e una soluzione dell’equazione:

x2 þ 2x 3 ¼ 4x 4

Sostituisci 1 al posto di x nei due membri dell’equazione. Al primo membro ottieni:

12 þ 2 � 1 3

ossia, svolgendo i calcoli: ...........................................................................

Al secondo membro ottieni: ......................................................................

ossia, svolgendo i calcoli: ...........................................................................

I due membri risultano uguali, percio possiamo concludere che 1 e una .............................................................................. dell’equazione.

Unità

7 Tema C

341

Stabilisci se quella indicata a fianco e una soluzione

dell’equazione.

8 x3 þ x

2 ¼ 4 x ¼ 2 [No]

9 2x 20 ¼ 100 x ¼ 60 [Sı]

102

3x

1

3¼ 1 x ¼ 2 [Sı]

11 2x2 xþ 1 ¼ 0 x ¼ 1 [No]

121

2x

2 þ 3x ¼ 5 x ¼ 4 [No]

13 2x2 þ 8x ¼ 0 x ¼ 4 [Sı]

14 x 1

3¼ x

1

3

� �2

x ¼4

3[Sı]

15 x2 þ

7

2x ¼ 2 x ¼ 2 2 [No]

16 Associa con una freccia a ogni equazione posta nella

prima colonna la sua soluzione posta nella seconda.

a. 3x 12 ¼ 3

b.1

2xþ

3

2x ¼ xþ 1

c. xþ x2 þ 1 ¼ ð1þ xÞ2

d. ðxþ 1Þ3 ¼ 8

A. x ¼ 1

B. x ¼ 3

C. x ¼ 5

D. x ¼ 0

17 Completa ciascuna delle seguenti equazioni in mo-

do che il valore di x indicato a fianco sia una sua soluzione.

a. 2xþ 1 ¼ ::::: x ¼ 1

b. x3 x2 ¼ ::::: x ¼ 1

c. 2xþ 1 ::::: ¼ x 2 x ¼ 2

d. 3x 1þ ::::: ¼ x 1 x ¼ 2

Equazioni determinate, indeterminate, impossibili, identita

18 Completa la seguente tabella.

Equazione Dominio Classificazione

xþ 2 ¼ 0 N Determinata Indeterminata Impossibile Identita

x2 ¼ 2 Q Determinata Indeterminata Impossibile Identita

xþ 2 ¼ 0 Z Determinata Indeterminata Impossibile Identita

4x 8 ¼ 0 N Determinata Indeterminata Impossibile Identita

ð2xÞ2 ¼ 4x2 R Determinata Indeterminata Impossibile Identita

19 Scrivi un’equazione determinata in N.

20 Scrivi un’equazione determinata in Q ma impossibi-

le in Z.

21 Scrivi un’equazione impossibile in N ma non in Z.

22 Scrivi un’equazione indeterminata in R.

23 Scrivi un’equazione impossibile in Z, ma non in Q.

24 Scrivi un’identita in R.

25 ESERCIZIO SVOLTO

Stabiliamo se l’equazione ðxþ 2Þðx 2Þ þ ðxþ 2Þ2 ¼ 2xðxþ 2Þ e un’identita.

Semplifichiamo le due espressioni al primo e al secondo membro.

1o membro:

ðxþ2Þðx 2Þþðxþ2Þ2¼ x2 4þx

2þ4xþ4¼ 2x2þ4x

2o membro:

2xðxþ 2Þ ¼ 2x2 þ 4x

Dal momento che i due membri sono uguali, l’equazione e un’identita.

Stabilisci se le seguenti equazioni sono identita.

26 ðxþ 1Þ2 xðxþ 1Þ ¼ xðxþ 1Þ 1 x2 [No]

27 ðxþ 1Þ2 þ ðx 1Þ2 ¼ 2ðx2 þ 1Þ [Sı]

28 ðxþ 1Þ2 þ ðxþ 1Þðx 1Þ ¼ 2xðxþ 2Þ [No]

29 xðxþ 3Þ þ ðx 1Þ2 ¼ 2x2 þ 2x [No]

30 ðxþ 1Þð2 xÞ þ ðx 2Þ2 ¼ 6 3x [Sı]

31 ð2x 1Þ2 ð2xþ 1Þ2 ¼ 8x [Sı]

32 xðxþ 1Þ þ ðx 2Þðxþ 3Þ ¼ 2ðx 3Þ2 [No]

33 Completa le seguenti equazioni in modo che risulti-

no identita.

a. ðxþ 1Þ3 ðx 1Þ3 ¼ 2ð:::::::::::::::Þ

b. ðx 1Þðx 3Þ ðx 1Þ2 ¼ 2ð:::::::::::::::Þ

34 Completa l’equazione x2 þ 2x ¼ 3xþ :::::::::: in modo

che:

a. risulti frazionaria;

b. risulti letterale intera, dove x e l’incognita e a e il pa-

rametro;

c. abbia come soluzione x ¼ 1;

d. abbia come soluzione x ¼ 2;

e. sia un’identita.

342


ESERCIZI

2. Principi di equivalenza per le equazioni Teoria p. 326


35 Vero o falso?

a. se due equazioni hanno una soluzione in comune, allora sono equivalenti V F

b. se due equazioni sono impossibili, allora sono equivalenti V F

c. se due equazioni sono indeterminate, allora sono equivalenti V F

d. se due equazioni nell’incognita x sono identita valide per ogni x 2 R, allora sono equivalenti V F

e. l’equazione AðxÞ ¼ BðxÞ e equivalente ad AðxÞ þ 2 ¼ BðxÞ þ 2 V F

f. le due equazioni AðxÞ ¼ BðxÞ eAðxÞ

2¼

BðxÞ

2sono equivalenti in base al primo principio di equivalenza V F

g. l’equazione 2x2 ¼ x 5 e scritta in forma normale V F

h. l’equazione ðx 2Þ2 ¼ x2 ha grado 2 V F


36 Completa le seguenti proposizioni (il primo caso e svolto come esempio).

a. x2 þ 1 ¼ 2x e equivalente a x2 2xþ 1 ¼ 0 in base al primo principio; infatti la seconda equazione e ottenuta dalla

prima sottraendo ai due membri 2x:

x2 þ 1 ¼ 2x equivale a x

2 þ 1 2x ¼ 2x 2x ossia a x2 2xþ 1 ¼ 0

b. x2 þ x ¼ 1 e equivalente a x2 x ¼ 1 in base al ..............................: infatti la seconda equazione e ottenuta dalla prima

..............................

c.1

2þ

x

3¼

1

6e equivalente a 3þ 2x ¼ 1 in base al ..............................: infatti la seconda equazione e ottenuta dalla prima

..............................

d. 15xþ 9x2 ¼ 1þ 15xþ x3 e equivalente a 9x2 ¼ 1þ x

3 in base al ..............................: infatti la seconda equazione e otte-

nuta dalla prima ..............................

e. 15xþ 100 ¼ 20x2 þ 5x3 e equivalente a 3xþ 20 ¼ 4x2 þ x3 in base al ..............................: infatti la seconda equazione e

ottenuta dalla prima ..............................

37 I seguenti due enunciati dei principi di equivalenza non sono corretti. Spiega perche.

a. Aggiungendo o sottraendo ai due membri di un’equazione uno stesso numero o una stessa espressione algebrica, si

ottiene un’equazione equivalente.

b. Moltiplicando o dividendo i due membri di un’equazione per uno stesso numero, si ottiene un’equazione equiva-

lente.

Applicazioni dei principi di equivalenza

38 Caccia all’errore. Ciascuna delle seguenti equazioni e stata trasformata in un’altra utilizzando i principi di equiva-

lenza: in alcuni passaggi, tuttavia, sono stati commessi degli errori. Individua e correggi gli errori, oppure spiega in base a

quale principio la trasformazione e corretta (il primo caso e svolto come esempio).

Passaggio E corretto? Eventuale correzione

3x 4x 1 ¼ 5x 2 ) 3xþ 4xþ 1 ¼ 5x 2Sı, in base al

.................................................................

No

C’e un errore di segno.L’equazione equivalente e:

3xþ 4xþ 1 ¼ 5xþ 2

7xþ 4 ¼ 6x 2 ) 7x 6x ¼ 4 2Sı, in base al

.................................................................

No

3

2x ¼ 4 ) 3x ¼ 8

Sı, in base al.................................................................

No

343


ESERCIZI

Passaggio E corretto? Eventuale correzione

5x ¼ 0 ) x ¼ þ5Sı, in base al

.................................................................

No

x

2

x 2

3¼ 1 ) 3x 2x 4 ¼ 6

Sı, in base al.................................................................

No

11x ¼ 1þ 5 ) 11x ¼ 4Sı, in base al

.................................................................

No

3ðxþ 1Þ ¼ 9x 12 ) xþ 1 ¼ 3xþ 4Sı, in base al

.................................................................

No

Scrivi un’equazione equivalente a quella data, che soddisfi la condizione indicata a fianco.

391

2xþ

1

3x ¼

x 2

12abbia tutti i coefficienti interi

40 3x 2 ¼ 5xþ 1 abbia tutti i termini dipendenti da x al 1o membro e quelli numerici al 2o

41xþ 1

2þ

xþ 2

3¼

xþ 3


42 9x 1 ¼ x2 þ x abbia tutti i termini al 1o membro

43 3x2 þ 3xþ 1 ¼ x2 1 non abbia termini di secondo grado al 2o membro

44x 1

25

1

10x ¼

1 x


45 x3 þ x2 þ x ¼ x3 þ x2 3xþ 1 non abbia termini di secondo o terzo grado

46xþ 3

4

3x 1

28¼

1


47 Completa le seguenti proposizioni.

a. 3xþ 1 ¼ 0 e equivalente a 3x ¼ :::::

b.8

3x ¼ 11 e equivalente a 8x ¼ :::::

c. x2 þ 3x ¼ 2xþ 1 e equivalente a x2 þ ::::::::::::::: ¼ 0

d. 12x 10 ¼ 0 e equivalente a :::::::::: 5 ¼ 0

La forma normale e il grado di un’equazione

48 ESERCIZIO SVOLTO

Scriviamo in forma normale l’equazione ðxþ 1Þ3 ¼ x3 þ x

2 e individuiamone il grado.

Sviluppiamo il cubo al primo membro: x3 þ 3x2 þ 3xþ 1 ¼ x3 þ x2

Elidiamo i due termini uguali (1o principio): x3 þ 3x2 þ 3xþ 1 ¼ x3 þ x2

Portiamo tutti i termini al primo membro: 3x2 þ 3xþ 1 x2 ¼ 0

Riduciamo i termini simili: 2x2 þ 3xþ 1 ¼ 0

L’ultima equazione scritta e la forma normale dell’equazione; dal momento che al primo membro c’e un polinomio di se-

condo grado, il grado dell’equazione e 2.

344


ESERCIZI

Scrivi in forma normale le seguenti equazioni e indivi-

duane il grado.

49 x3 þ x2 ¼ ðxþ 1Þ2 [Grado ¼ 3]

50 x2 þ ðxþ 1Þ2 ¼ 3x2 ðxþ 1Þðx 1Þ [Grado ¼ 1]

51 ðxþ 1Þ2 ðx 1Þ2 ¼ 3 [Grado ¼ 1]

52 x 1

2

� �3

xþ1

2

� �3

¼ 1 [Grado ¼ 2]

53 ð2x2 1Þð2x2 1Þ ¼ ðx4 þ 2Þ2 [Grado ¼ 8]

54 ðx2 2x 1Þ2 ¼ x4 þ ð2xþ 1Þ2 [Grado ¼ 3]

55 Completa l’equazione

ðxþ 1Þ2 ¼ :::::þ 3xþ 5

con il minimo numero possibile di termini in modo che

risulti di primo grado.


ð3x 3Þ3 ¼ ::::::::::þ ð2x 1Þ2

con il minimo numero possibile di termini in modo che

risulti di secondo grado.

3. Equazioni numeriche intere di primo grado Teoria p. 330


57 Amente. Determina, a mente, le soluzioni delle seguenti equazioni:

a. 3x ¼ 21 b. 2x ¼ 50 c. x 6 ¼ 10 d.x

2¼ 3 e. xþ 5 ¼ 18

58 Caccia all’errore. Nella risoluzione di ciascuna delle seguenti equazioni e stato commesso un errore. Individualo e

correggilo.

a. 2x 16 ¼ 10) 2x ¼ 26) x ¼ 13 c. 5x ¼ 11) x ¼ 11 5 ¼ 6

b.1

2xþ

3

2¼ 4) xþ 3 ¼ 4) x ¼ 1 d.

x

2þ

1

3¼ 5) 3xþ 2 ¼ 30) 3x ¼ 28) x ¼

3

28

59 Vero o falso?

a. l’equazione 3x ¼ 0 e impossibile V F

b. l’equazione 3x ¼ 1 ha come soluzione il reciproco di 3 V F

c. l’equazione x 5 ¼ 0 ha come soluzione l’opposto di 5 V F

d. l’equazione3

4x ¼ 0 ha come soluzione x ¼

4

3V F

e. l’equazione3

4x ¼

5

4ha come soluzione x ¼

1

2V F

f. l’equazione 7x ¼ 5 e impossibile in N ma non in Q V F

g. l’equazione x ¼ x e impossibile, perche un numero non puo essere uguale al suo opposto V F

h. l’equazione xþ 6 ¼ xþ 7 e impossibile V F

i. l’equazione ðx 1Þ2 ¼ ð1 xÞ2 e indeterminata V F


Equazioni a coefficienti interi

60 ESERCIZIO SVOLTO

Risolviamo l’equazione 12xþ 4 ¼ 0.

12xþ 4 ¼ 0 ) 12x ¼ 4 )12x

12¼ 4

12) x ¼

1

3

Risolvi le seguenti equazioni.

61 10x 20 ¼ 0 [2]

62 2xþ 3 ¼ 0 3

2

� �

63 4x 1 ¼ 01

4

� �

64 25xþ 5 ¼ 0 1

5

� �

65 8xþ 32 ¼ 0 [4]

66 100xþ 1000 ¼ 0 [10]

67 9xþ 6 ¼ 02

3

� �

68 2 � 105x 6 � 108 ¼ 0 [3 � 103]

69 9 � 102xþ 3 � 104 ¼ 0 1

3� 102

� �

70 6 � 10 4x ¼ 9 � 10 53

2� 10 1

� �

345


ESERCIZI

71 ESERCIZIO SVOLTO

Risolviamo l’equazione 3ð2x � 1Þ � 2ðx � 3Þ ¼ 2x � 11.

3ð2x � 1Þ � 2ðx � 3Þ ¼ 2x � 11 Equazione da risolvere

6x � 3 � 2x þ 6 ¼ 2x � 11 Svolgendo le moltiplicazioni

6x � 2x � 2x ¼ �11 þ 3 � 6 Portando tutti i termini in x al 1o membro e quelli numerici al 2o

2x ¼ �14 Riducendo i termini simili

x ¼�14

2¼ �7 Dividendo entrambi i membri per 2

In conclusione, l’insieme delle soluzioni e S ¼ f�7g.


72 2x � 3 ¼ 5x � 2 �1

3

� �

73 3x � 2 ¼ �x1

2

� �

74 5x � 7x ¼ 8x � 11

10

� �

75 9 � 2x ¼ 3x � 1 [2]

76 �2ðx � 1Þ ¼ 3ðx þ 1Þ �1

5

� �

77 5x � 1 ¼ �ð1 � 2xÞ [0]

78 4ð3 � xÞ ¼ x12

5

� �

79 3x � ðx � 1Þ ¼ 7 [3]

80 1 � x ¼ 2x � 34

3

� �

81 5x þ 8 ¼ �2x � 6 [�2]

82 2ðx � 1Þ þ 3ð2 � xÞ ¼ x � 4 [4]

83 �2ðx � 1Þ � ð2x � 3Þ ¼ 5 � x [0]

84 �2ðx � 1Þ þ 3ð4 � xÞ ¼ 2ðx � 3Þ � 5ð2x þ 1Þ �25

3

� �

85 2 � 3½x � 2ðx þ 1Þ ¼ x � ½2 � ðx � 3Þ �13½

86 x � 2ðx þ 1Þ � 3ð2 � xÞ ¼ 5½x � ð3x þ 1Þ 1

4

� �

87 x � 2 � 2ðx þ 3Þ ¼ 3 � 2½3ðx � 2Þ � 2ðx � 1Þ [19]

88 �2½2ðx � 3Þ � x þ 3½�2ð1 � xÞ � 4x ¼ 8x3

8

� �

89 x2 þ ðx � 1Þðx þ 2Þ ¼ 2ðx � 1Þðx þ 1Þ [0]

90 2 � x½3x � 2ðx � 2Þ ¼ 1 � ðx þ 1Þðx � 2Þ �1

5

� �

91 2ð2x � 1Þðx þ 2Þ � ð2x � 1Þ2 ¼ x þ 27

9

� �

92 x � fx � 2½3x � ðx � 1Þ g ¼ �ðx � 3Þ1

5

� �

93 xðx � 2Þðx þ 2Þ � 2xðx � 1Þ2 ¼ x2ð4 � xÞ þ 6 [�1]

94 2ðx � 1Þ � x½ð2x � 1Þ � ð3x þ 1Þ ¼ ðx � 2Þ23

4

� �

95 ðx�1Þ2 �2ðxþ1Þðx�1Þ¼ ðxþ2Þ2 �2xðx�3Þ �1

12

� �

96 ðx�1Þðxþ2Þ�xðxþ3Þ ¼ ðx�2Þðxþ2Þ�ðx�1Þ23

4

� �

97 ð2x � 1Þð2x þ 1Þ ¼ ð2x � 1Þ21

2

� �

98 xðx � 2Þ ¼ ðx þ 3Þ2 �9

8

� �

99 ð1 � 2xÞð1 þ 2xÞ ¼ �4ðx � 1Þ25

8

� �

100 ð3x � 2Þ2 ¼ 3ð3x � 1Þðx � 2Þ2

9

� �

101 ð2x � 1Þð3x � 1Þ ¼ 6ðx2 � 2Þ13

5

� �

102 ð2x � 3Þ2 ¼ ð2x � 5Þð2x þ 5Þ17

6

� �

103 ð5x � 2Þ2 þ 1 ¼ 5ðx � 1Þðx þ 1Þ þ 20x21

2

� �

104 ð3 � xÞð3 þ xÞ ¼ 3 � ðx � 3Þ25

2

� �

105 ð2x þ 1Þ2 � 3ð2x � 1Þð2x þ 1Þ ¼ �2ð2x þ 1Þð2x � 3Þ �1

2

� �

106 ð2x � 3Þ2 � ð4x � 1Þðx þ 2Þ ¼ ð3x � 1Þð3x þ 1Þ � 9x212

19

� �

107 ð5x � 10Þ2 � ð�x þ 10Þ2 ¼ �6ð2x � 1Þð7 � 2xÞ � 10 [2]

108 ð3x � 2Þ2 � ð3x � 4Þð3x þ 4Þ ¼ ð2x þ 1Þ2 � ð�2xÞ219

16

� �

109 ð�x � 5Þð�x þ 5Þ þ ð�2x þ 1Þ2 ¼ ð5x � 1Þðx þ 2Þ �22

13

� �

346


ESERCIZI

110 ð2 � xÞð2 þ xÞð4 � x2Þ ¼ x2ðx � 2Þðx þ 2Þ � ð2x � 1Þð2x þ 3Þ �13

4

� �

111 Videolezione ðx � 2Þ2ðx þ 2Þ2 ¼ x2ð�x � 3Þð�x þ 3Þ þ ðx � 2Þðx þ 4Þ [12]

112 ðx þ 2Þ3 � ðx þ 1Þ3 ¼ ð2x � 1Þð2x þ 1Þ � x2 �

8

9

� �

113 ð3x � 2Þ3 � ð3x � 2Þð9x2 þ 6x þ 4Þ ¼ 6ð1 þ 3xÞð1 � 3xÞ1

6

� �

114 ðx2 � x � 2Þ2 � x2ðx � 1Þ2 ¼ ð1 � 2xÞð1 þ 2xÞ �3

4

� �

115 x2 þ x � 2 �2

�x4 ¼ 2x2ðx � 2Þ þ ð�x þ 4Þð�x � 4Þ [5]

116 ½ð310: 38Þx � ð212

: 210Þx � 2 2 ¼ ½ð56Þ2 : ð52Þ5 x21

5

� �

117 ½ð25Þ3 : 47 x � 1n o2

¼ ð2x þ 20Þ2 þ ð27Þ5 : 415 [�4]

118 ½ð27: 25Þx � 22 � 20 ½ð411

: 410Þx þ ð53Þ2 : 55 ¼ ð4x � 5Þ2 � 10003: 1004

: 1049

40

� �

119 ½ð95: 38Þx � 30 ½ð166

: 411Þx þ 2 ¼ ½6x þ ð57Þ3 : 2510: 5 2

3

2

� �

Equazioni a coefficienti frazionari

120 ESERCIZIO SVOLTO

Risolviamo l’equazionex � 1

2�

x þ 3

4¼

x þ 2

3.

x � 1

2�

x þ 3

4¼

x þ 2

3Il m.c.m. fra i denominatori e 12

12x � 1

2�

x þ 3

4

� �

¼ 12x þ 2

3Moltiplicando i due membri per 12

6ðx � 1Þ � 3ðx þ 3Þ ¼ 4ðx þ 2Þ Semplificando

6x � 6 � 3x � 9 ¼ 4x þ 8 Per la proprieta distributiva

6x � 3x � 4x ¼ 8 þ 6 þ 9 Portando tutti i termini in x al 1o membro e quelli numerici al 2o

�x ¼ 23 Riducendo i termini simili

x ¼ �23 Dividendo entrambi i membri per �1

Pertanto l’insieme delle soluzioni dell’equazione e S ¼ f�23g.

Risolvi le seguenti equazioni a coefficienti frazionari.

1211

2x �

3

2¼ 0 [3]

122 �3

4x þ

5

2¼ 0

10

3

� �

1232

25x �

6

5¼ 0 [15]

1243

4x þ

9

2¼ 0 [�6]

1253

2x þ 1 ¼ x �

1

4�

5

2

� �

126x � 1

2¼ 3 [7]

127x þ 2

4¼

x

3[6]

1281

3x �

1

15¼

1

5x

1

2

� �

1291

3x ¼

x � 1

5�

3

2

� �

1301

4x �

1

8¼

1

10

9

10

� �

1311

3x �

1

2¼

x þ 6

12[4]

132x � 1

20�

1

4¼

1

15

22

3

� �

1331

2x �

1

3¼

1

3x �

1

2[�1]

1341

10x �

1

15¼

1

5x �

1

3

8

3

� �

1351

2x � 2 x �

3

4

� �

¼x � 1

2[1]

1362x � 1

2�

3ð1 � 2xÞ

4¼

3x � 2

3

7

18

� �

347


ESERCIZI

137x 5

2

3 x

4¼

x

5

2x 8

4[5]

1381

2x

x 2

3 1 ¼

1

3xþ

x 1

6

1

2

� �

1391

2ðx 1Þ

1

3ð3x 6Þ ¼

1

4ð2x 8Þ

7

2

� �

140x 1

2

3x 2

6¼

1

3ðx 4Þ

2x 1

4

11

2

� �

141 1

2x

1

3

�

xþ2

3¼

1

3x

1

2

�

þ1 x

6

1

2

� �

142 1

2x 2

x 1

3

3 x

2

��

1 ¼1

6[9]

1431

3

1

2x

1

2ð3 2xÞ

� �

¼x 2

4

1

3ð3x 2Þ

11

3

� �

144 1 1

23

1

3ðx 4Þ

� �

¼1

2ðx 2Þ

1

3ð3 xÞ

5

4

� �

145 x 1

2x

1

3ðx 9Þ

3 x

6

� �

¼ 1

2ð2x 3Þ

1

3ð2 xÞ

5

2

� �

146 1

2 1þ

1

3ðx 9Þ

� �

xþ 3

3

� �

¼ x 1

2

x 1

3[ 5]

1471

5x

3

2x

x 1

10

1

100ð10x 40Þ

� �

¼x 1

5

3 x

2

2

3

� �

148ðx 1Þ2

2 ðxþ 1Þ2

3¼

1

6x2

x 1

6[0]

149ðx 10Þ2

10 ðxþ 10Þ2

100¼ð3x 10Þ2

102[5]

150ðx 1Þ2

4 ðxþ 1Þ2

3¼ð1þ xÞð1 xÞ

12

x 2

6

1

2

� �

151xðx 1Þ

2 ðx 1Þ2

5þðx 2Þðxþ 3Þ

10¼

2

5x2 x

9

5[ 1]

1521

2

3x 2

2

�

3xþ 2

2

�

ðx 1Þ2

4¼ x

2 1

8x2 þ 2

11

2

� �

1531

2

3

2x 1

�2

3

2xþ 1

�2" #

þðx 2Þ2

2¼

1

2x2 8 [2]

1541

2x

3

2

�

1

2xþ

3

2

�

þx 2

4¼

x 1

2

�2

[4]

155x

3

1

2

�

x

3þ

1

2

�

þx

2

1

3

�2

1

6x

�2

¼1

3ðx 3Þðxþ 3Þ þ 3

5

12

� �

156 Videolezionex 3

2

�2

x 2

3

�2

¼ 51

6x 1

�

1

6xþ 1

�

1

18x

7

36[7]

157ð2x 1Þð2xþ 1Þ ð2x 3Þ2

2

" #2

¼ ð18x 1Þð2xþ 1Þ13

38

� �

1581

4ð4 xÞð4þ xÞ þ

1

4ðx 4Þ2 1

� �2

¼ ð2x 3Þ25

2

� �

159 0,25ð2x 3Þ2 þ 0,5ð1 2xÞ2 ¼ 15,75 3ð1 xÞð1þ xÞ [ 2]

160 ð3x 0,3Þ2 ð3xþ 0,6Þ2 ¼ 3 10 : 3 12 14

9

� �

161 2x 1

2

�2

2xþ1

2

�2

¼ x2ð4x 1Þð4xþ1Þ ðxþ1Þ2

17

32

� �

162 x 1

3

�3

xþ2

3

�3

¼ ð3xþ 1Þð1 xÞ 4

9

� �

163 x2 þ 2xþ

1

2

�2

¼ ðx 2Þðxþ 2Þ þ x2ðxþ 2Þ2

17

8

� �

164

xþ 4

2 1

3¼

1

6[ 1]

165

x 1

2

3

4

1

5

7

11x ¼ 1 [7]

348


ESERCIZI

Equazioni indeterminate e impossibili

166 ESERCIZIO SVOLTO

Stabiliamo se le seguenti equazioni sono indeterminate o impossibili:

a. 2x � 3ðx þ 4Þ ¼ 5 � x b. �2x þ 5x � 6 ¼ 3ðx � 4Þ þ 6

a. 1o modo

2x � 3ðx þ 4Þ ¼ 5 � x

2x � 3x � 12 ¼ 5 � x

� x � 12 ¼ 5� x ) �12 ¼ 5

Avendo ottenuto un’uguaglianza falsa, concludiamo che

l’equazione e impossibile.

2o modo

2x � 3ðx þ 4Þ ¼ 5 � x

2x � 3x � 12 ¼ 5 � x

2x � 3x þ x ¼ 5 þ 12

0 � x ¼ 17

Non esiste alcun numero che, moltiplicato per 0, da co-

me risultato 17, quindi l’equazione e impossibile.

b. 1o modo

�2x þ 5x � 6 ¼ 3ðx � 4Þ þ 6

�2x þ 5x � 6 ¼ 3x � 12 þ 6

3x � 6 ¼ 3x � 6

Poiche i due membri sono uguali, l’equazione e un’iden-

tita (quindi e indeterminata).

2o modo

�2x þ 5x � 6 ¼ 3ðx � 4Þ þ 6

�2x þ 5x � 6 ¼ 3x � 12 þ 6

�2x þ 5x � 3x ¼ �12 þ 6 þ 6

0 � x ¼ 0

Poiche ogni numero, moltiplicato per 0, da come risulta-

to 0, l’equazione e un’identita.

Stabilisci se le seguenti equazioni sono indeterminate

o impossibili.

167 ðx � 2Þ2 � ðx þ 1Þðx � 3Þ ¼ 2ð3 � xÞ [Impossibile]

168 xðx � 3Þ2 � ðx � 3Þ3 ¼ 3ðx � 3Þ2 [8x 2 R]

169 �2ð2x � 1Þ þ 3ð4x � 4Þ þ 7 ¼ 8x � 1 [Impossibile]

170 ðx�1Þ2 þ ðxþ1Þ2 þ ðx�1Þðxþ1Þ ¼ 3x2 þ1 [8x2 R]

171 ðx � 1Þ3 ¼ ðx þ 1Þ3 � 6x2 [Impossibile]

172 �f�2½x� ð2x� 3Þ g ¼ ð1� xÞ � ðx� 3Þ [Impossibile]

173x

4�

x

5�

x � 1

10�

x þ 1

20¼

1

20�

x

10[8x 2 R]

174x � 1

2þ

2 � x

3¼

1

6x [Impossibile]

1751

22�

1

2x�

1

2ðx�2Þ

� ��

¼4�x

8�1 [Impossibile]


2x � ð3x þ 1Þ ¼ x � ð:::::::::::::::Þ

in modo che risulti indeterminata.


�3x � ½x � ð2x � 1Þ ¼ :::::::::::::::

in modo che risulti impossibile.

Esercizi riassuntivi: le equazioni di primo grado intere

Risolvi le seguenti equazioni e se sono determinate effettua la verifica delle soluzioni.

1781

2ðx � 1Þ ¼

3

2ðx þ 2Þ �

1

3x �

21

4

� �

179 20ð5 � xÞ ¼ 10ðx þ 1Þ þ 801

3

� �

180 0,3ð0,2x þ 0,5Þ ¼ 0,2ð0,05x � 0,5Þ [�5]

181x � 2

4�

x þ 2

2¼ �

1

4x �

3

2[Indeterminata]

182 ð2x � 1Þ2 ¼ 3x2 þ ðx þ 1Þ2 [0]

183x � 1

5�

x þ 1

2¼

17 þ x

15[�5]

184 0,2ðx � 0,5Þ ¼ �0,5ðx þ 0,2Þ �1

63

� �

185 2ðx � 1Þ � 3ð3 � xÞ ¼ 5ðx � 1Þ � 6 [Indeterminata]

186x

20�

x � 4

10¼

3 þ x

15

12

7

� �

187 12ðx � 4Þ þ 3ð2 � xÞ ¼ 48 [10]


188 3ðx þ 2Þ � 2ð2 � xÞ ¼ x � 7 �9

4

� �

189 �2ðx � 1Þ � ð2 � xÞ ¼ 3ðx � 1Þ � 1 [1]

190 3½10 � 4ðx � 2Þ þ 2½ð3x þ 9Þ � 2 ¼ 2ðx þ 1Þ þ 3615

4

� �

349


ESERCIZI

191 ½ðx � 1Þ2 � x2 2 ¼ ð2x � 1Þð2x þ 1Þ � 10 [3]

192 2ðx � 2Þðx þ 2Þ ¼ x2 þ ðx � 4Þ2 [3]

193 3x þ ð3 � xÞ2 ¼ ðx � 1Þ2 � 2 [10]

194 ½ðx � 1Þ2 � ðx � 2Þ2 2 ¼ 4ðx � 1Þ25

4

� �

195 ½ðx þ 1Þ2 � ðx � 1Þ2 2 ¼ ð4x � 1Þð4x þ 1Þ [Impossibile]

196 �1

2ðx�1Þ2 þ

3

2ðxþ1Þ2 ¼ ð2x�1Þð2xþ1Þ�3ðx�2Þ2

7

4

� �

1971

3ðx � 3Þ2 þ

1

6ðx þ 2Þ2 ¼

1

2x � 1

� �

1

2x þ 1

� �

þ1

4ðx � 2Þ2 [11]

1982

32 �

x

3þ 6

�

� 2ðx � 1Þh i

¼5

6x � 1 �

6

43

� �

1992x � 3

4þ 6 þ

x

2¼

3ðx � 3Þ

4� 2 [�38]

2001

2x �

1

3

� �2

þx � 1

12¼

1

2x �

1

3

� �

1

2x þ

1

3

� �

5

9

� �

2011

2x � 1

� �2

�1

2x � 1

� �

1

2x þ 3

� �

¼ �2x [Impossibile]

2021

24 � 1 �

2

3x

� �

þ 2x

� �

¼�2x þ 1

3� 1 �

13

12

� �

203x þ 5

2�

x � 5

2

� �2

¼ �1

2x � 1

� �2 11

8

� �

2041

15ð3x � 5Þ2 � ð3x þ 5Þ2h i

¼ 2ð1 � 2xÞ [Impossibile]

205x � 1

2

� �2

�x þ 1

2

� �2

¼ �1

3ð1 � xÞ þ

1

2ðx þ 2Þ �

4

11

� �

206 � 1 � ðx � 0,1Þ½ � 0,5x ¼ 0,01ð1 � xÞ37

17

� �

207 5 � 103ðx � 1Þ � 6 � 104ðx � 2Þ ¼ 5 � 104x

23

21

� �

208 5 � 102ð1 � xÞ � 2 � 103ðx � 2Þ ¼ 103ð2 � xÞ5

3

� �

2090,3x � 1

0,3 � 0,3¼ x � 6 [3]

210 ðx � 0,25Þ2 þ ðx þ 0,75Þ2 ¼ 2ðx � 0,5Þ2 þ 1,1251

3

� �

211 ð0,75x � 2Þ2 þ7

16x2 ¼ ðx � 0,5Þ2 þ 4,75 �

1

2

� �

212 ð0,3 x � 6Þ2 þ 0,8 x2 ¼ xðx þ 4Þ þ 45: 162 [4]

2131

2x

1

3�

1

2

� ��1

þ1

3x

1

4�

1

3

� ��1

¼2x þ 11

6�

1

4

� �

214 x

1

3�

1

2

� ��1

þ1

3x

1

3�

1

2

� ��1

¼5

6� 1

� ��1 3

4

� �

215x

2�

x � 1

3

� �

: 1 �2

3

� �

þx

2�

3x � 5

9

� �

:

2

3¼

x

2�

1

3

� �

: �1

2

� �

�2

3

� �

2163

4�

4

3

� ��1

:

4

7

" #

3x � 9

2

� �

þ2

5�

5

2

� ��1

: �5

7

� �

" #�1x þ 4

2

� �

¼ �17

2

20

3

� �

217x � 2

100�

1

4�

1

20

� ��2

þ3 � x

72�

2

3�

1

2

� ��2

¼15x � 5

24: �

5

3

� �

[�7]

350


ESERCIZI

Risolvi le seguenti equazioni in cui l’incognita e indicata con lettere diverse da x.

218 4ðb � 1Þ þ 3ð1 � bÞ ¼ 2½b � ð1 � bÞ 1

3

� �

219a

2þ

a

4�

a � 1

8¼ 1

7

5

� �

220 ð2p � 1Þ2 � ðp þ 1Þ2 ¼ ð3p � 1Þðp þ 2Þ2

11

� �

221 m � 1ð Þ2�ðm � 2Þðm þ 1Þ ¼ 1 2½

222w

2�

w þ 1

6¼

1 � w

12�

2 � w

3�5½

223 kðk þ 2Þ � ðk � 2Þ2 ¼ �11

2

� �

224 0,2ðy � 1Þ þ 0,1ð1 � yÞ ¼ 0,3ðy þ 1Þ �2½

225p � 1

2�

5 � p

10¼

p

5

5

2

� �

226y � 3

2�

y �1

23

¼ y �8

5

� �

227 ðz � 1Þðz þ 1Þ þ ðz � 1Þ2 ¼ ð2z � 1Þðz þ 3Þ3

7

� �

228 ða þ 3Þða � 2Þ þ ða � 2Þða þ 2Þ ¼ ða � 1Þ2 þ ða þ 2Þ2

�15½

229t þ 4

3�

t � 3

4¼

t � 1

6�

2 � t

8[12]

230ð2a þ 1Þ2

20�

ða þ 3Þða � 1Þ

5¼ 2 �

a þ 2

2

7

6

� �

231 ð5�2kÞ2�ð2k�3Þð2kþ3Þ¼�6ð4�kÞþ2ðkþ1Þ [2]

232 ð2y � 3Þð3y þ 1Þ � 6yð1 þ yÞ ¼ �2½20 � ð2 � yÞ [3]

233 Videolezione Determina per quale valore di k l’equazionek � x

2þ

2x � k

3¼ 1 ammette come soluzione

x ¼ 0. [k ¼ 6]

234 Determina per quale valore di k l’equazione2x � k

6: �

1

3

� �

þk � x

8: �

1

2

� �

¼ �1 ammette come soluzione

x ¼ 0. [k ¼ �4]

235 Determina per quale valore di k l’equazione ð2x � kÞ2 � ð2x þ kÞ2 ¼ 3x þ k ammette come soluzione x ¼ 1. k ¼ �1

3

� �

236 Determina per quale valore di k l’equazione ðx � 2kÞ2 þ ðx � 2kÞðx þ 2kÞ ¼ k � 6 þ 2x2 ammette come soluzione

x ¼ �1. [k ¼ �2]

4. Le equazioni e la legge di annullamento del prodotto Teoria p. 333

Test

237 L’equazione xðx þ 4Þðx � 3Þ ¼ 0 ammette:

A una sola soluzione in R

B esattamente due soluzioni in R

C esattamente tre soluzioni in R

D nessuna delle precedenti risposte e esatta

238 Date due equazioni AðxÞ ¼ 0 e BðxÞ ¼ 0, i cui insiemi delle soluzioni sono rispettivamente S1 ed S2, che cosa si puo

dire dell’insieme S delle soluzioni dell’equazione AðxÞ � BðxÞ ¼ 0?

A S e l’intersezione di S1 ed S2

B S e l’unione di S1 ed S2

C S e l’unione di S1 ed S2 se e solo se S1 ed S2 sono disgiunti

D non e possibile determinare l’insieme S conoscendo soltanto S1 ed S2: e necessario avere altre informazioni sull’e-

quazione

239 A che cosa equivale l’equazione ðx þ 1Þðx þ 3Þ ¼ 3?

A x þ 1 ¼ 3 _ x þ 3 ¼ 3 B x þ 1 ¼ 0 _ x þ 3 ¼ 0 C x ¼ 0 _ x þ 3 ¼ 0 D x ¼ 0 _ x þ 4 ¼ 0

Risolvi le seguenti equazioni (non svolgere le moltiplicazioni!).

240 ð3x þ 5Þð7 � xÞ ¼ 0 �5

3, 7

� �

241 ð2x � 8Þð3x þ 9Þ ¼ 0 [�3, 4]

242x

2� 8

� � 2

3x � 12

� �

¼ 0 [16, 18]

243x

3� 2

� � 3

4x � 24

� �

¼ 0 [6, 32]

244x � 1

3� x

� �

1 �1 � 2x

4

� �

¼ 0�

3

2, �

1

2

� �

351


ESERCIZI

245x þ 6

4� x

� �

3 �2 � x

4

� �

¼ 0 2,�10½

246 ½ð2x � 3Þ2 � 4x2 2x � 3

4�

x � 1

3

� �

¼ 03

4,5

2

� �

247 ½ð3x � 2Þ2 � 9x2 3x � 2

5�

2 � x

2

� �

¼ 01

3,14

11

� �

248 2xx � 1

2� 3

� �

½x2 � ðx � 3Þ2 ¼ 0 0,3

2, 7

� �

249 3x22

5�

x � 1

3:

10

3

� �

½ð2x � 3Þð2x þ 5Þ � 4x2 ¼ 0 0,15

4, 5

� �

250 ESERCIZIO GUIDATO

Risolvi l’equazione x3 � x ¼ 0.

x3 � x ¼ 0

xð::::::::::::::::::::Þ ¼ 0 Raccogliendo x

xðx � :::::Þðx þ :::::Þ ¼ 0 Scomponendo la differenza di quadrati

x ¼ 0 _ ðx � :::::Þ ¼ 0 _ ðx þ :::::Þ ¼ 0 Per la legge di annullamento del prodotto

x ¼ 0 _ x ¼ ::::: _ x ¼ :::::

L’insieme delle soluzioni dell’equazione e quindi S ¼ f:::::::::::::::g.


251 x2 � 4 ¼ 0 [�2]

252 x2 þ 3x ¼ 0 [�3, 0]

253 4x2 � 1 ¼ 0 �1

2

� �

254 3x2 þ 2x ¼ 0 �2

3, 0

� �

255 x2 � 9x ¼ 0 [0, 9]

256 x3 � 9x2 ¼ 0 [0, 9]

257 x2 � 4x þ 4 ¼ 0 [2]

258 x2 þ 3x � 4 ¼ 0 [�4, 1]

259 x2 þ 3x � 10 ¼ 0 [�5, 2]

260 x2 þ x � 12 ¼ 0 [�4, 3]

261 x2 þ 5x þ 6 ¼ 0 [�3,�2]

262 5x2 þ 10x ¼ 0 [�2, 0]

263 x2 þ 8x ¼ 0 [�8, 0]

264 9x3 � 4x ¼ 0 0, �2

3

� �

265 2x2 þ x � 3 ¼ 0 �3

2, 1

� �

266 x5 þ 2x4 ¼ 0 [�2, 0]

267 3x2 � 4x þ 1 ¼ 01

3, 1

� �

268 x6 � x

4 ¼ 0 [�1, 0, 1]

269 xðx � 1Þðx2 þ x � 2Þ ¼ 0 [�2, 0, 1]

270 ðx2 � 3xÞð2x þ 1Þ ¼ 0 �1

2, 0, 3

� �

271 ð4x2 � 1Þð4x2 � xÞ ¼ 0 �1

2, 0,

1

4

� �

272 x3 þ 4x2 � 5x ¼ 0 [�5, 0, 1]

273 ð4x2 � 25Þ x2 � x þ

1

4

� �

¼ 0 �5

2,1

2

� �

274 x4 � 6x3 þ 9x2 ¼ 0 [0, 3]

275 ðx � 3Þ2 ¼ 16 [�1, 7g]

276 ð2x � 1Þ2 ¼ ðx þ 2Þ2 �1

3, 3

� �

277 4x2 ¼ ðx þ 5Þ2 �5

3, 5

� �

278 x2 � 3x � 2ðx � 3Þ2 ¼ 0 [3, 6]

279 5 � 5x2 þ ðx � 1Þ2 ¼ 0 �3

2, 1

� �

280 x4 ¼ 81 [�3]

281 x3 þ 3x2 � 4x � 12 ¼ 0 [�2,�3]

282 x3 þ x

2 � 25x � 25 ¼ 0 [�5,�1]

283 4x3 þ 16x2 � x � 4 ¼ 0 �1

2,�4

� �

284 x2ðx þ 5Þ þ 6xðx þ 5Þ � 7ðx þ 5Þ ¼ 0 [�7,�5,1]

285 2x2ðx2 �4Þ þ3xðx2 �4Þ þ5ð4� x2Þ ¼ 0 �5

2,�2,1

� �

286 Metodi a confronto Una delle difficolta del calcolo letterale sta nel fatto che le manipolazioni piu opportune di-

pendono dallo scopo che ci si prefigge nel calcolo. Rifletti su tale questione in relazione alle seguenti situazioni.

a. Volendo risolvere l’equazione ðx � 2Þðx þ 1Þðx � 3Þ � 2xðx � 2Þðx þ 1Þ ¼ 0, quali calcoli conviene eseguire? E piu

utile sviluppare i calcoli al primo membro svolgendo le moltiplicazioni oppure eseguire dei raccoglimenti?

b. Volendo risolvere l’equazione ðx � 2Þðx � 3Þ � ðx þ 2Þðx � 4Þ ¼ 0, quali calcoli conviene eseguire?

c. Volendo risolvere l’equazione ð2x � 3Þ2 � ðx � 4Þ2 ¼ 0, quali calcoli conviene eseguire?

d. Volendo risolvere l’equazione ðx � 2Þ2 þ ðx � 1Þ2 ¼ 0, e utile eseguire calcoli?

352


ESERCIZI

5. Problemi che hanno come modello un’equazionedi primo grado Teoria p. 334


Individua l’equazione che corrisponde al modello algebrico del problema proposto.

287 Il triplo di un numero e uguale a 4:

A 3x ¼ 4 B x3 ¼ 4 Cx

3¼ 4 D 4x ¼ 3

288 La meta di un numero e uguale al doppio del numero stesso:

Ax

2¼ x

2B

x

2¼ 2x C

x

2¼ x þ 2 D x � 2 ¼ 2x

289 La somma tra un numero e 1 e uguale al triplo del numero stesso:

A x þ 1 ¼x

3B 3ðx þ 1Þ ¼ x C x þ 1 ¼ x

3D x þ 1 ¼ 3x

290 La somma tra due numeri che differiscono di due e uguale a 5:

A x þ x þ 2 ¼ 5 B x þ 2 ¼ 5 C x þ 2x ¼ 5 D x þ 2x þ 2 ¼ 5

291 Il 10% di un numero e uguale a 10:

A1

100x ¼ 10 B

1

10x ¼ 10 C x þ

10

100¼ 10 D x þ 10 ¼

10

100

292 La somma tra due numeri, uno doppio dell’altro, e uguale a 1:

A x þ x2 ¼ 1 B x þ 2x ¼ 1 C x þ x þ 2 ¼ 1 D x þ 1 ¼ 2x

293 La somma tra il doppio di un numero e quattro da come risultato il triplo del numero stesso:

A 2ðx þ 4Þ ¼ 3x B 2x þ 4 ¼ 3x C 2x ¼ 3x þ 4

294 La meta della somma tra un numero naturale e il suo consecutivo e il doppio del numero stesso:

A1

2x þ ðx þ 1Þ ¼ 2ðx þ 1Þ B

1

2½x þ ðx þ 1Þ ¼ 2x C

1

2x þ ðx þ 1Þ ¼ 2x

295 La meta del successivo di un numero naturale e 1,5.

A1

2x þ 1 ¼ 1,5 B

1

2ðx þ 1Þ ¼

3

2C

1

2ðx þ 1Þ ¼

1

5

296 Un numero, sommato al suo 15%, e uguale a 10.

A x þ15

100¼ 10 B x ¼

15

100x þ 10 C x þ

3

20x ¼ 10

297 La somma tra il doppio di un numero naturale e il suo precedente e uguale al doppio del consecutivo del numero

stesso:

A 2x þ ðx � 1Þ ¼ 2x þ 1 B 2½x þ ðx � 1Þ ¼ 2ðx þ 1Þ C 2x þ ðx � 1Þ ¼ 2ðx þ 1Þ

Focus sui concetti

298 In un triangolo ABC di perimetro 25 cm, la misura di AB e2

3di quella di BC ed e inferiore di 4 cm a quella di AC.

Determina le misure dei lati del triangolo». Ciascuna delle seguenti equazioni risolve correttamente il problema:

a. x þ3

2x þ x þ 4 ¼ 25

b.2

3x þ x þ

2

3x þ 4 ¼ 25

c. x þ x � 4 þ3

2ðx � 4Þ ¼ 25

d. 2x þ 3x þ 2x þ 4 ¼ 25

Individua, per ogni equazione, come e stata scelta l’incognita x.

299 Considera il seguente problema: «In un quadrilatero ABCD di perimetro 54 cm, il lato AD e il doppio del lato CD, il

lato CD e 3 cm in piu di BC, e il lato BC e la meta di AB. Si vogliono determinare le lunghezze dei lati del quadrilatero».

Ciascuna delle seguenti equazioni risolve correttamente il problema. Individua, per ogni equazione, come e stata scelta

l’incognita x.

a. x þx

2þ 3 þ

x

2

� �

þ ð6 þ xÞ ¼ 54

b. 2ðx � 3Þ þ ðx � 3Þ þ x þ 2x ¼ 54

c. 2x þ x þ ð3 þ xÞ þ 2ð3 þ xÞ ¼ 54

d. x þx

2þ

x

2� 3

� �

þ ðx � 6Þ ¼ 54

353


ESERCIZI

Problemi numerici

300 Determina il numero che sommato ai suoi2

3da co-

me risultato 5. [3]

301 Determina il numero che, sommato a2

3, da come

risultato 5. 13

3

� �

302 La somma tra il doppio di un numero e il triplo del

numero stesso e 20. Qual e il numero? [4]

303 Due numeri hanno come somma 50 e uno supera

l’altro di 6. Quali sono i due numeri? [22; 28]

304 Trova due numeri naturali consecutivi sapendo che

la loro somma e 49. [24]

305 Quale numero bisogna sottrarre da12

5per ottenere

come risultato2

3?

26

15

� �

306 Sommando a 13 il doppio di un numero si ottiene

ÿ7. Qual e il numero? [ÿ10]

307 Sottraendo 12 dal triplo di un numero si ottiene co-

me risultato 36. Qual e il numero? [16]

308 Sommando a un numero la sua meta si ottiene co-

me risultato 15. Qual e il numero? [10]

309 I due terzi di un numero, aggiunti ai quattro quinti

del numero stesso danno come risultato 44. Qual e il nu-

mero? [30]

310 Sommando a un numero 10 si ottiene la meta del

numero stesso. Qual e il numero? [ÿ20]

311 Un numero, sommato ai suoi tre quarti, e uguale al

suo doppio diminuito di 6. Qual e il numero? [24]

312 Due numeri, uno doppio dell’altro, sono tali che

sottraendo al maggiore 9, si ottiene la meta del numero

minore. Determina i due numeri. [6; 12]

313 Due numeri sono uno3

2dell’altro e la loro somma

e 45. Determina i due numeri. [18; 27]

314 Due numeri differiscono di 2 e la somma tra la meta

del minore e un terzo del maggiore e 4. Quali sono i due

numeri? [4; 6]

315 Determina due numeri dispari consecutivi la cui

somma e 60. [29; 31]

316 Determina tre numeri pari consecutivi la cui som-

ma e 90. [28; 30; 32]

317 Due numeri differiscono di 3. Trova i due numeri

sapendo che la meta del maggiore supera di 2 un terzo

del minore. [3, 6]

318 Due numeri interi differiscono di 4 e sono tali che

la somma della meta e della quarta parte del maggiore su-

pera di 2 la somma della meta e della quinta parte del mi-

nore. Trova i due numeri. [ÿ20; ÿ16]

319 Due numeri differiscono di 2 e la differenza tra il

quadrato del maggiore e il quadrato del minore e 20. Tro-

va i due numeri. [4; 6]

320 La somma di due numeri dispari che differiscono di

4 e 99. Quali sono i due numeri? [Non esistono]

321 Videolezione Sommando a un numero1

2e dividendo la somma per 2, si ottiene lo stesso risultato che si otter-

rebbe sommando al numero originario1

3e dividendo quest’ultima somma per 3. Qual e il numero originario? ÿ

5

6

� �

322 Sommando a un numero naturale l’opposto della meta del suo consecutivo e dividendo la somma per 2, si ottiene

come risultato 17. Qual e il numero originario? [69]

323 Sommando a un numero la sua meta e la sua terza parte, si ottiene come risultato 33. Qual e il numero? [18]

324 Determina il numero razionale la cui quarta parte supera di 1 il quadruplo del numero stesso. ÿ

4

15

� �

325 La differenza tra i quadrati di due numeri dispari consecutivi e 40. Quali sono i due numeri? [11; 9]

326 Qual e il numero che addizionato a 9 o moltiplicato per 9, da lo stesso risultato?9

8

� �

327 Sottraendo da2

5un numero, si ottiene come risultato i

2

5del numero stesso. Qual e il numero?

2

7

� �

328 La somma di tre interi consecutivi e 165. Determina i tre numeri. [54; 55; 56]

329 Due numeri interi consecutivi sono tali che, sommando al doppio del minore la meta del maggiore, si ottiene come

risultato 28. [11; 12]

330 Determina due numeri pari consecutivi sapendo che la meta della loro somma e uguale a 15. [14; 16]

331 Determina due numeri interi consecutivi, sapendo che sommando al minore i2

3del maggiore, si ottiene la somma

dei due numeri diminuita di 3. [8; 9]

332 Determina due numeri dispari consecutivi sapendo che il minore, sommato a due terzi del maggiore, da come risul-

tato 23. [13; 15]

354


ESERCIZI


In un numero di due cifre, la cifra delle decine e il doppio di quella delle unita. La differenza tra questo numero e

il numero che si ottiene invertendone le cifre e 27. Qual e il numero?

� Individua i dati e l’obiettivo.

� Indica con x la cifra delle unita del numero che stiamo cercando (x dovra essere un numero naturale minore di ..........).

Allora la cifra delle decine e 2x, quindi la forma polinomiale del numero e:

2x � 10þ x

Il numero che si ottiene invertendo le cifre del numero precedente, scritto in forma polinomiale, e:

x � 10þ 2x

� Ponendo uguale a 27 la differenza tra il numero originario e il numero con le cifre invertite ottieni l’equazione:

2x � 10þ x ð::::::::::::::::::::Þ ¼ ::::::::::

che, risolta, da x ¼ ::::::::::

� La soluzione e accettabile perche ...................................................................................................................................................................................................

Puoi concludere che il numero cercato e ...............

334 In un numero di due cifre, la cifra delle decine e il

doppio di quella delle unita. Invertendo le cifre di questo

numero e moltiplicando il numero con le cifre invertite

per 2, si ottiene come risultato un numero che supera di

12 il numero cercato. Qual e il numero? [84]

335 In un numero di due cifre, la cifra delle decine supe-

ra di 3 quella delle unita. La differenza tra il doppio del

numero con le cifre invertite e il numero stesso e 42. Qual

e il numero? [96]

Problemi dalla realta


Paolo e nato sei anni prima di Maria e tra due anni l’eta di Paolo sara il doppio di quella di Maria. Che eta hanno

Paolo e Maria?

� Individua i dati e l’obiettivo.

� Indica con x, per esempio, l’eta attuale di Maria; allora l’eta (attuale) di Paolo e xþ 6.

� x dovra essere un numero naturale.

� Tra due anni, l’eta di Maria sara xþ ::::: e l’eta di Paolo sara xþ 6þ :::::, cioe:

xþ :::::

Poiche il problema dice che tra due anni l’eta di Paolo sara il doppio di quella di Maria, puoi scrivere l’equazione:

xþ ::::: ¼ 2ðxþ :::::Þ

che, risolta, da x ¼ :::::

� Puoi quindi concludere che Maria ha .......... anni e Paolo ne ha .......... .

337 Paolo e nato 5 anni dopo Maria e fra tre anni l’eta di

Maria sara il doppio di quella di Paolo. Che eta hanno

Paolo e Maria? [Paolo ha 2 anni e Maria ne ha 7]

338 Paolo ha 21 anni e Maria ne ha 15. Stabilisci se c’e

stato o ci sara un anno in cui l’eta di Paolo e il doppio del-

l’eta di Maria.

[L’eta di Paolo e stata il doppio dell’eta di Maria 9 anni fa]

339 Il biglietto per assistere a uno spettacolo costa 15

euro per gli adulti e 10 euro per i bambini. A uno spetta-

colo sono presenti 120 spettatori e l’incasso risulta di

1650 euro. Quanti sono i bambini che assistono allo spet-

tacolo? [30]

340 Paolo, uscito da scuola, cammina verso casa a una

velocita, che si puo considerare approssimativamente co-

stante, di 1,5 m/s. Barbara, uscita da scuola, si ferma a

chiacchierare con le amiche; parte percio da scuola 10 mi-

nuti dopo Paolo e percorre la sua stessa strada, muoven-

dosi in bicicletta, a una velocita, che si puo considerare

approssimativamente costante, di 9 m/s. Dopo quanto

tempo dalla partenza di Paolo Barbara lo raggiunge?

Esprimi il risultato in minuti. [12 minuti]

341 Suddividi la cifra di 2000 euro in due parti, in modo

che una parte sia3

5dell’altra. [1250 euro; 750 euro]

355


ESERCIZI

342 Anna e Beatrice compiono gli anni lo stesso giorno,

ma Beatrice e nata tre anni prima di Anna. La somma del-

le eta di Anna e Beatrice e 15. Quali sono le eta di Anna e

Beatrice? [6; 9]

343 Suddividi la cifra di 2000 euro in due parti, in modo

che una parte superi l’altra di 600 euro.

[700 euro; 1300 euro]

344 Alberto e Paolo compiono gli anni lo stesso giorno,

ma Alberto e nato due anni dopo di Paolo. La somma del-

le eta di Alberto e Paolo e 20. Quali sono le eta di Alberto

e Paolo? [9; 11]

345 Suddividi un insieme di 55 persone in tre gruppi, in

modo che nel secondo gruppo ci siano 5 persone in piu

che nel primo e nel terzo gruppo ci siano il doppio delle

persone che ci sono nel secondo.

[I gruppi devono essere costituiti di 10, 15 e 30 persone]

346 E possibile suddividere un insieme di 50 persone in

tre gruppi, in modo che nel secondo gruppo ci siano 5

persone in piu che nel primo e nel terzo gruppo ci siano

il doppio delle persone che ci sono nel secondo? [No]

347 In un parcheggio ci sono moto e automobili. Sapen-

do che le ruote sono 240 e che in tutto ci sono 66 veicoli,

calcola il numero delle moto e quello delle auto.

[54 auto e 12 moto]

348 In una classe un terzo degli allievi sono stati pro-

mossi con debito e 18 sono stati promossi senza debito.

Da quanti alunni e formata la classe? [27]

349 Un’edizione illustrata di un libro costa 6 euro e 50

centesimi in piu dell’edizione non illustrata. Comprando

una copia dell’edizione illustrata e una copia di quella

non illustrata, si spendono complessivamente 27 euro e

70 centesimi. Quanto costa una copia dell’edizione non

illustrata? [10 euro e 60 centesimi]

350 Una compagnia telefonica fa pagare un canone

mensile di 10 euro, e 8 centesimi per ogni minuto di con-

versazione. Un’altra compagnia fa pagare un canone

mensile di 15 euro, e 6 centesimi per ogni minuto di con-

versazione. Quanti minuti si dovrebbe conversare in un

mese, per pagare la stessa cifra sia con l’una che con l’al-

tra compagnia? [250]

351 Un’associazione ha 500 iscritti e prevede un aumen-

to di 20 iscritti all’anno; un’altra ne ha 450 e prevede un

aumento di 30 iscritti all’anno. Supposto che si verifichi-

no queste previsioni di crescita, dopo quanti anni le due

associazioni avranno lo stesso numero di iscritti? [5]

352 La somma delle eta di Maria, Elisa e Silvia e 49. Sa-

pendo che Maria ha 3 anni meno di Silvia e che Elisa ha i

16

15degli anni di Maria, determina le eta delle tre ragazze.

[Maria: 15 anni; Elisa: 16 anni; Silvia: 18 anni]

353 Luca e Paolo possiedono, rispettivamente, 120 e 80

euro. Luca spende 15 euro al giorno e Paolo 10 euro al

giorno; dopo quanti giorni avranno la stessa somma?

[8 giorni]

354 Si vuole formare la somma di 7 euro e 30 centesimi

utilizzando 20 monete, alcune da 20 centesimi e altre da

50 centesimi. Quante monete da 20 centesimi e quante

da 50 centesimi occorrono?

[11 da 50 centesimi e 9 da 20 centesimi]

355 Si vuole formare la somma di 4 euro utilizzando 10

monete, alcune da 20 centesimi e altre da 50 centesimi.

Quante monete da 20 centesimi e quante da 50 centesimi

occorrono? [Impossibile]

356 Si vuole dividere la somma di 12 000 euro fra tre

persone in modo che la prima persona riceva un terzo di

quanto riceve la seconda e che la terza riceva 1000 euro

in piu della meta di quanto riceve la seconda. Come va ri-

partito il denaro?

[Rispettivamente 2000, 6000 e 4000 euro]

357 Paolo spende1

3della somma che possiede, poi

spende1

2della somma rimasta e a quel punto gli restano

nel portafoglio 60 euro in meno di quello che aveva in

origine. Quanto aveva Paolo nel portafoglio? [90 euro]

358 Si vuole conficcare un palo nel terreno. A ogni col-

po il palo affonda di1

6della sua lunghezza; dopo 4 colpi

la parte emersa del palo e 1 m. Calcola la lunghezza del

palo. [3 m]

359 Un’auto, su un’autostrada, parte da un casello A a un certo istante, verso il casello B che dista 280 km da A; dopo 10

minuti, dal casello B parte una seconda auto che si muove in verso opposto al precedente (cioe verso il casello A). Le due

auto viaggiano a una velocita che si puo considerare mediamente costante e uguale a 130 km all’ora per la prima auto e

di 120 km all’ora per la seconda; dopo quanto tempo dalla sua partenza la prima auto incontrera la seconda?

[Dopo 1 ora e 12 minuti]

360 Un test e costituito da 25 quesiti a risposta multipla. Ogni quesito risolto correttamente fa guadagnare 3 punti, ogni

risposta sbagliata fa perdere 2 punti e ogni risposta non data non fa ne perdere ne guadagnare alcun punto. Paolo rispon-

de a tutte le domande del test ma, dopo aver visto la correzione, si rende conto di non avere totalizzato alcun punto. A

quanti quesiti ha risposto correttamente Paolo? [10]

356


ESERCIZI

361 Risolvi i seguenti tre problemi, apparentemente simili:

a. Paolo spende prima un terzo e poi la meta di cio che ha nel portafoglio, dopodiche gli restano 4 euro. Quanto aveva

nel portafogli?

b. Paolo spende prima un terzo di cio che ha nel portafoglio e poi la meta di cio che gli rimane, dopodiche gli restano

4 euro. Quanto aveva nel portafogli?

c. Paolo spende prima un terzo di cio che ha nel portafoglio e poi la meta di cio che ha speso inizialmente, dopodiche

gli restano 4 euro. Quanto aveva nel portafoglio? [a. 24 euro; b. 12 euro; c. 8 euro]

362 Risolvi i seguenti tre problemi, apparentemente simili:

a. Un’urna contiene delle palline. Dopo che e stato estratto prima un quarto e poi un terzo di quelle inizialmente con-

tenute nell’urna, ne restano 30. Quante palline erano contenute inizialmente nell’urna?

b. Un’urna contiene delle palline. Dopo che e stato estratto prima un quarto di quelle contenute nell’urna e poi un

terzo di quelle restanti, ne restano 30. Quante palline erano contenute inizialmente nell’urna?

c. Un’urna contiene delle palline. Dopo che e stato estratto prima un quarto di quelle contenute nell’urna e poi un

terzo di quelle inizialmente estratte, ne restano 30. Quante palline erano contenute inizialmente nell’urna?

[a. 72; b. 60; c. 45]

Problemi con le percentuali

363 Il prezzo di un paio di pantaloni, dopo aver subito un rialzo del 10%, e di 121 euro. Qual era il prezzo dei pantaloni

prima del rialzo? [110 euro]

364 Il prezzo di un capo di abbigliamento, dopo avere subito uno sconto del 12%, e di 44 euro. Qual era il prezzo origi-

nario? [50 euro]

365 Il signor Rossi preleva dal suo conto in due tempi successivi prima la somma di 2000 euro e poi il 20% di cio che gli

rimane sul conto. Effettuati i due prelevamenti, sul conto restano 10400 euro. Quanto aveva sul conto il signor Ros-

si? [15 000 euro]

366 In una elezione come rappresentante di istituto, il vincitore riceve il 30% in piu dei voti del suo avversario. I voti to-

tali sono stati 92. Quanti voti ha ricevuto ciascuno di essi? [40; 52]

367 Una libreria, in occasione delle feste natalizie, vende il 30% dei libri che ha; dall’inventario fatto alla chiusura, risul-

ta che in negozio rimangono ancora 420 libri. Quanti libri c’erano inizialmente? [600]

368 Due diverse commissioni devono esprimersi per l’approvazione di un farmaco. La prima commissione e costituita

dal doppio dei membri della seconda. Il 20% della prima commissione e il 30% della seconda hanno votato favorevol-

mente all’approvazione del farmaco. Se in tutto i voti favorevoli sono stati 28, da quanti membri era composta ciascuna

commissione? [40; 80]

369 Viene acquistato un appartamento pagandolo in 3 rate. Nella prima rata si paga il 20%, nella seconda il 50% di

quello che resta da pagare e nella terza si versa la somma di 31000 euro. Quanto costa l’appartamento? [77500 euro]

370 Una persona ha impiegato per un anno il suo capitale in due diversi investimenti: 10 000 euro sono stati impiegati

in un investimento che gli ha fruttato un interesse del 6%, mentre la parte restante del capitale e stata impiegata in un

investimento che gli ha fruttato un interesse pari all’8%. L’intero capitale ha fruttato un interesse di 4000 euro. Qual era

il capitale? [52 500 euro]

371 Videolezione Il fatturato di un’azienda e aumentato nel 2007 del 10% rispetto all’anno precedente. Nel 2008 in-

vece e aumentato del 5% rispetto al 2007. In questi due anni l’aumento e stato complessivamente di 62000 euro. Qual

era il fatturato nel 2006? [400 000 euro]

372 Miscelando una soluzione A contenente il 2% di liquido anticongelante con una soluzione B che ne contiene il

4%, si vogliono ottenere 10 litri di soluzione contenente il 2,5% di liquido anticongelante. Quali quantita delle due solu-

zioni A e B si devono utilizzare? [7,5 litri di soluzione A e 2,5 litri di soluzione B]

373 La purezza dell’oro e misurata in carati. Essendo l’oro puro di 24 carati, un oro a 18 carati contiene18

24di oro pu-

ro, cioe il 75% di oro puro; un oro a 12 carati contiene12

24di oro puro, cioe il 50% di oro puro. Quanto oro puro e

quanto oro a 12 carati vanno mescolati per ottenere 96 grammi di oro a 18 carati?

[48 grammi di oro puro e 48 di oro a 12 carati]

357


ESERCIZI

374 Il prezzo di un abito viene ridotto del 30%. Poiche, anche dopo la riduzione, l’abito non viene venduto, il prezzo

scontato viene ulteriormente ribassato del 30%. Dopo i due sconti, l’abito costa 98 euro. Qual era il prezzo origina-

rio? [200 euro]

375 Dopo una vincita al Lotto, il signor Rossi investe il 60% della somma per acquistare un nuovo computer. Spende il

20% della somma restante in libri. Poi deposita sul conto corrente il 50% della cifra che gli rimane. Alla fine gli restano

360 euro. A quanto ammontava la vincita? [2250 euro]

376 Un acquario contiene 120 pesci, il 10% dei quali e rosso. Quanti pesci rossi occorre aggiungere nell’acquario affin-

che la percentuale di pesci rossi diventi il 20% del totale dei pesci? [15]

377 Il sig. Bianchi ha investito, per un periodo di tempo di un anno, la cifra di 50000 euro, in parte in un fondo obbli-

gazionario e in parte in un fondo azionario. Il fondo obbligazionario ha registrato, alla fine dell’anno, un incremento del

5%, mentre il fondo azionario ha registrato, alla fine dell’anno, una perdita del 3%. Il sig. Bianchi, complessivamente (te-

nendo conto cioe sia dei guadagni sia delle perdite), ha chiuso l’anno con un guadagno di 1000 euro. Quanto aveva inve-

stito nel fondo obbligazionario e quanto in quello azionario?

[31 250 euro nell’obbligazionario e 18 750 euro nell’azionario]

378 Il prezzo al kilogrammo di un dato bene subisce un aumento del 10%, quindi il prezzo rialzato subisce un ribasso

del 20%; a questo punto il bene viene venduto al prezzo di 11 euro al kg. Qual era il prezzo al kg del bene, prima che su-

bisse l’aumento e il successivo ribasso? [12,50 euro al kilogrammo]

Problemi geometrici su lunghezze, perimetri, aree

379 I due rettangoli disegnati qui sotto hanno lo stesso perimetro. Determina x. [x ¼ 4]

x

x + 4

x + 6

1

2x

380 I due rettangoli disegnati qui sotto hanno la stessa area. Determina x. [x ¼ 6]

x + 2

x

x + 10

x − 3

381 Un quadrato e un rettangolo hanno lo stesso perimetro. La base del rettangolo supera di 5 cm il lato del quadrato e

l’altezza del rettangolo e la meta del lato del quadrato. Qual e il perimetro del quadrato? [40 cm]

382 Un quadrato e un rettangolo hanno la stessa area. La base del rettangolo supera di 5 cm il lato del quadrato e l’altez-

za del rettangolo e 3 cm in meno del lato del quadrato. Qual e l’area del quadrato? [56,25 cm2]

383 Dividi un segmento di 11 cm in tre parti, in modo che la seconda sia 1 cm in piu della prima e la terza sia i2

5della

seconda. [4 cm; 5 cm; 2 cm]

384 In un rettangolo un lato e il doppio dell’altro e il perimetro e di 42 cm. Determina la lunghezza della base e quella

dell’altezza. [7 cm; 14 cm]

385 Dividi un segmento di 24 cm in tre parti, in modo che la seconda parte superi di 1 cm i2

5della prima e la terza sia

2 cm in meno dei5

4della seconda. [12,5 cm; 6 cm; 5,5 cm]

386 In un triangolo isoscele, la lunghezza della base e3

2della lunghezza dei lati congruenti. Sapendo che il perimetro

del triangolo e di 21 cm, determina le lunghezze dei lati. [6 cm; 6 cm; 9 cm]

387 Videolezione Considera un segmento AB, di lunghezza 18 cm. Due punti P e Q appartenenti ad AB, con

AP < AQ, sono tali che PQ supera di 6 cm i2

3di AP e QB e 3 cm in meno della meta di PQ. Determina le lunghezze dei

tre segmenti AP, PQ e QB. [AP ¼ 6 cm; PQ ¼ 10 cm; QB ¼ 2 cm]

358


ESERCIZI

388 Un quadrilatero ABCD e tale che la lunghezza di AB

supera di 2 cm quella di BC, la lunghezza di CD e2

3di

quella di BC e la lunghezza di AD e1

4di quella di AB. Sa-

pendo che il perimetro del quadrilatero e 20 cm, determi-

na le lunghezze dei suoi lati.

[AB ¼ 8 cm; BC ¼ 6 cm; CD ¼ 4 cm; AD ¼ 2 cm]

389 Un quadrato e un rettangolo hanno lo stesso peri-

metro. La base del rettangolo supera di 6 cm il lato del

quadrato e l’altezza del rettangolo e la meta del lato del

quadrato. Qual e il perimetro del quadrato? [48 cm]

390 Un quadrato e un rettangolo hanno la stessa area.

La base del rettangolo supera di 6 cm il lato del quadrato

e l’altezza del rettangolo e 2 cm in meno del lato del qua-

drato. Qual e l’area del quadrato? [9 cm2]

391 Dato un segmento AB che misura 12 cm, determina

su di esso un punto P in modo che il quadrato costruito

su PB abbia perimetro che supera di 23 cm i3

4del perime-

tro del triangolo equilatero costruito su AP. [AP ¼ 4 cm]

392 Dividi un segmento di 21 cm in tre parti, in modo

che la seconda sia 1 cm in piu della prima e la terza sia i1

5della seconda. [9 cm; 10 cm; 2 cm]

393 In un triangolo ABC, il lato AB supera di 1 cm il lato

BC, il quale e a sua volta e5

2del lato AC. Sapendo che il

perimetro del triangolo e 25 cm, determina le lunghezze

dei lati. [4 cm; 10 cm; 11 cm]

394 Un triangolo ABC, di perimetro 19 cm, e tale che il

lato di lunghezza intermedia supera di 1 cm il lato di lun-

ghezza minore, mentre il lato di lunghezza maggiore su-

pera di 2 cm il doppio del lato di lunghezza minore. Quali

sono le lunghezze dei lati del triangolo?

[Indicando con x la misura del lato di lunghezza minore

e risolvendo l’equazione che traduce il problema

si trova x ¼ 4; tuttavia il problema geometrico

e impossibile: perche?]

395 Un triangolo ABC, di perimetro 27 cm, e tale che il

lato di lunghezza intermedia supera di 1 cm il lato di lun-

ghezza minore, mentre il lato di lunghezza maggiore e il

doppio del lato di lunghezza intermedia. Quali sono le

lunghezze dei lati del triangolo?

[Problema impossibile; vedi l’esercizio precedente]

396 In un trapezio isoscele la base maggiore e il doppio

della base minore e i lati obliqui sono lunghi un centime-

tro in meno della base minore. Sapendo che il perimetro

del trapezio e di 28 cm, determina le lunghezze dei lati.

[6 cm; 12 cm; 5 cm; 5 cm]

397 Figure dinamiche In un quadrato ABCD, di lato

1 cm, determina un punto P sul lato AB, in modo che,

detto M il punto medio di BC, l’area del triangolo PMD

sia di5

16cm2. [AP ¼ 0,75 cm]

398 Sia E un punto sul lato CD di un quadrato ABCD di

lato 12 cm; individua la posizione di E in corrispondenza

della quale l’area del trapezio ABCE e il doppio dell’area

del triangolo ADE. [EC ¼ 4 cm]

399 Considera un quadrato ABCD di lato 10 cm e indica

con M il punto medio di CD. Determina un punto P, sul

lato AB, tale che l’area del trapezio APMD sia 10 cm2 in

piu di1

3dell’area del trapezio PBCM. [AP ¼ 1,5 cm]

400 In un rettangolo, un lato e lungo 2 cm in piu dell’al-

tro. Diminuendo di 1 cm le lunghezze di tutti i lati del

rettangolo, l’area diminuisce di 7 cm2. Quanto sono lun-

ghi i lati del rettangolo? [3 cm; 5 cm]

401 In un rettangolo, un lato e la meta dell’altro. Dimi-

nuendo di 1 cm le lunghezze di tutti i lati del rettangolo,

l’area diminuisce di 8 cm2. Quanto sono lunghi i lati del

rettangolo? [6 cm; 3 cm]

402 Nella figura qui sotto, l’area del quadrato arancione

supera di 45 cm2 l’area del quadrato azzurro. Quali sono

le lunghezze dei lati dei due quadrati? [6 cm; 9 cm]

15 cm

403 In un trapezio rettangolo ABCD, la base maggiore

AB e lunga 6 cm e l’altezza e congruente alla base minore.

Determina le lunghezze dei lati del trapezio sapendo che

la retta per D parallela al lato obliquo BC divide il trapezio

in due parti equivalenti. [2 cm; 6 cm; 2 cm;ffiffiffiffiffiffi

20p

cm]

404 In un triangolo equilatero ABC, di lato 1 cm, si con-

duce una corda DE, parallela ad AB, con D su AC ed E su

BC. Determina la lunghezza della corda DE in modo che

il perimetro del trapezio ABED sia uguale a quello del

triangolo DEC. E possibile condurre una corda DE in mo-

do che il perimetro del trapezio ABED sia la meta di quel-

lo del triangolo DEC?

[DE ¼ 0,75 cm; e impossibile condurre una corda DE

che soddisfi la seconda condizione]

405 In un trapezio rettangolo ABCD:

a. la base minore CD e 3 cm in meno della base mag-

giore AB;

b. il lato obliquo BC e 1 cm in piu dell’altezza AD;

c. l’altezza AD e2

3della base minore CD.

Sapendo che il perimetro del trapezio e 24 cm, determina

le lunghezze dei lati del trapezio e la sua area.

[AB ¼ 9 cm; CD ¼ 6 cm; AD ¼ 4 cm; BC ¼ 5 cm;

Area ¼ 30 cm2]

359


ESERCIZI

Problemi geometrici sugli angoli

406 Due angoli complementari sono uno i5

4dell’altro. Quali sono le ampiezze dei due angoli? [40o; 50o]

407 Due angoli supplementari sono uno1

5dell’altro. Quali sono le ampiezze dei due angoli? [150o; 30o]

408 Sapendo che r e s sono parallele, trova il valore di x nelle seguenti figure.

r

t

s

a

(3x – 2)°

(68 – 4x)°

r

t

s

b

(3x – 2)°

(12x + 2)°

[a. x ¼ 10; b. x ¼ 12

409 Considera la poligonale in figura, in cui AB k CD e

BC k DE. Gli angoli AbBBC e C bDDE rappresentati sono espressi

in funzione di una incognita x. Determina il valore di x.

A B

2x + 12°4x

C D

E

[28�]

410 Considera la figura qui sotto, in cui le due rette r ed

s sono parallele. Due degli angoli rappresentati sono

espressi in funzione di una incognita x. Determina il va-

lore di x.

r

s

2x + 25°

100°

x12

[50�]


In un triangolo isoscele ciascuno degli angoli alla base e i5

26dell’angolo al vertice. Determina le ampiezze degli

angoli del triangolo.

� Scrivi i dati e l’obiettivo, facendo riferimento alla figura qui a fianco.

C

A B� Indica con x l’ampiezza di bCC. Allora le ampiezze di bAA e di bBB sono ....................

� Ricorda che la somma delle ampiezze degli angoli di un triangolo e 180o; puoi quindi scrivere la seguente equazione:

x þ :::::::::: þ :::::::::: ¼ 180o

� Risolvendo l’equazione trovi che x ¼ :::::

� La soluzione trovata e accettabile, quindi puoi concludere che le ampiezze degli angoli del triangolo sono

............................................. [25o; 25o; 130o]

412 In un triangolo ABC, isoscele sulla base AB, l’angolo bCC e 20o in piu della somma delle ampiezze degli angoli bAA e bBB.

Quali sono le ampiezze degli angoli del triangolo? [40o; 40o; 100o]

413 In un triangolo ABC, l’angolo bAA e 30o in piu dell’angolo bBB, il quale a sua volta risulta uguale al doppio di bCC. Quali

sono le ampiezze degli angoli del triangolo? [30o; 60o; 90o]

414 L’angolo esterno adiacente a uno dei due angoli alla base di un triangolo isoscele e8

7dell’angolo al vertice. Quali

sono le ampiezze degli angoli del triangolo? [20o; 20o; 140o]

415 Determina gli angoli di un triangolo, sapendo che il primo e4

9del secondo e che il terzo supera il primo di 95�.

[20�; 45�; 115�]

360


ESERCIZI

416 In un triangolo, l’angolo maggiore e7

5dell’angolo minore. Il restante angolo ha una ampiezza che e uguale alla

media aritmetica delle ampiezze dell’angolo minore e dell’angolo maggiore. Determina le ampiezze degli angoli del trian-

golo. [50�; 60�; 70�]

417 In un triangolo ABC, l’angolo interno di vertice B supera di 10� il doppio dell’angolo interno di vertice A e l’angolo

esterno di vertice C supera di 85� la meta dell’angolo interno di vertice A. Determina le ampiezze degli angoli interni del

triangolo ABC. [bAA ¼ 30�, bBB ¼ 70�, bCC ¼ 80�]

418 In un parallelogramma ABCD, l’angolo bBB supera di 40� i3

4dell’angolo bCC. Determina le ampiezze di bBB e di bCC.

[bBB ¼ 100�, bCC ¼ 80�]

419 In un parallelogramma ABCD, l’angolo bBB supera di 20� i2

3dell’angolo bCC. Determina le ampiezze di bBB e di bCC.

[bBB ¼ 84�, bCC ¼ 96�]

420 Due poligoni convessi sono tali che uno ha 5 lati in piu dell’altro. La somma delle ampiezze degli angoli interni di

entrambi i poligoni e 4500�. Quanti lati hanno i due poligoni? [12, 17]

421 Due poligoni convessi sono tali che uno ha 3 lati piu dell’altro. La somma delle ampiezze degli angoli interni di en-

trambi i poligoni e 2700�. Quanti lati hanno i due poligoni? [8, 11]

Problemi geometrici risolvibili utilizzando il teorema di Pitagora

422 In un triangolo rettangolo l’ipotenusa e lunga 4 cm

in piu di uno dei due cateti e l’altro cateto e lungo 6 cm.

Quali sono le lunghezze dell’ipotenusa e dell’altro cate-

to? [6,5 cm; 2,5 cm]

423 In un triangolo rettangolo l’ipotenusa e lunga 3 cm

in piu di uno dei due cateti e l’altro cateto e lungo 2 cm.

Quali sono le lunghezze dell’ipotenusa e dell’altro cate-

to? [Non esiste un triangolo rettangolo

che soddisfi queste condizioni]

424 In un triangolo ABC, isoscele sulla base AB, i lati

congruenti sono i5

8di AB. Sapendo che l’altezza relativa

ad AB e 4 cm in meno della lunghezza dei due lati obli-

qui, determina le lunghezze dei lati del triangolo.

[16 cm; 10 cm; 10 cm]

425 In un rombo la diagonale minore e3

4della diago-

nale maggiore. Sapendo che il perimetro del rombo e di

40 cm, determina l’area. [96 cm2]

426 In un trapezio rettangolo ABCD, di base maggiore

AB e base minore CD, il lato obliquo e congruente alla ba-

se minore, la quale e5

3dell’altezza. Il perimetro del trape-

zio e 44 cm. Qual e l’area del trapezio? [84 cm2]

427 In un triangolo ABC, isoscele sulla base AB, la base

AB e6

5del lato obliquo. Sapendo che l’altezza relativa a

BC supera di 4 cm l’altezza relativa ad AB, determina le

lunghezze dei lati del triangolo. [25 cm; 25 cm; 30 cm]

428 In un trapezio isoscele ABCD, la base minore CD e

1

4della base maggiore e i lati obliqui superano di 5 cm i

5

4della base minore. Sapendo che il perimetro del trape-

zio e 40 cm, determina la sua area. [80 cm2

429 In un rettangolo ABCD, la base AB e il doppio di BC.

Costruisci, esternamente al rettangolo, il triangolo ABP,

isoscele sulla base AB, avente l’altezza relativa ad AB con-

gruente ai4

3di BC. Sapendo che il perimetro del penta-

gono APBCD e 44 cm, determina l’area di APBCD.

[Area ¼ 120 cm2

430 In un trapezio rettangolo ABCD, la base maggiore

AB e4

3dell’altezza AD e l’altezza AD e

4

3della base mino-

re CD. Sapendo che il perimetro del parallelogramma che

congiunge i punti medi dei lati del trapezio e 35 cm, cal-

cola l’area e il perimetro del trapezio.

[Area ¼ 150 cm2; Perimetro ¼ ð37 þffiffiffiffiffiffiffiffiffi193

pÞ cm]

Dalla risposta al problema

431 Inventa tu. Inventa un problema, avente come modello un’equazione di primo grado, che ammetta la seguente ri-

sposta «i quattro numeri cercati sono 15, 16, 17 e 18».

432 Inventa tu. Inventa un problema, avente come modello un’equazione di primo grado, che ammetta la seguente ri-

sposta «le ampiezze degli angoli del triangolo sono 40o, 60o e 80o».

433 Inventa tu. Scrivi il testo di un problema che possa essere formalizzato tramite l’equazione1

2x ¼ 21 � x e che

chieda di determinare «quante monete da 1 euro e quante da 50 centesimi possiede Paolo».

434 Inventa tu. Scrivi il testo di un problema che abbia come modello un’equazione di primo grado e che non abbia

soluzioni.

361


ESERCIZI

ESERCIZI DI RIEPILOGO

Esercizi interattivi

Test

435 Quale delle seguenti equazioni ammette come soluzione x ¼ 2?

436 Quale delle seguenti equazioni e equivalente all’equazione ð2x 3Þ2 ¼ 3x2 þ ð5 xÞ2?

437 Per quale valore di k l’equazione 4kx 9 ¼ 2x 3k ammette come soluzione x ¼ 3?

438 Quale delle seguenti equazioni non ammette soluzioni in R?

439 Considera il seguente problema: «Dopo avere speso prima il 10% e poi il 20% di cio che ho nel portafoglio, mi ri-

mangono 10 euro. Quanto avevo nel portafoglio prima delle spese?». Individua quale delle seguenti equazioni costitui-

sce il modello algebrico del problema (x indica la cifra che avevo originariamente nel portafoglio).

440 Considera il seguente problema: «Dopo avere speso prima il 10% di cio che ho nel portafoglio e poi il 20% della ci-

fra rimanente, mi rimangono 10 euro. Quanto avevo nel portafoglio prima delle spese?». Individua quale delle seguenti

equazioni costituisce il modello algebrico del problema (x indica la cifra che avevo originariamente nel portafoglio).

441 Considera il seguente problema: «Dopo avere speso prima il 10% di cio che ho nel portafoglio e poi il 20% di cio

che ho speso inizialmente, mi rimangono 10 euro. Quanto avevo nel portafoglio prima delle spese?». Individua quale

delle seguenti equazioni costituisce il modello algebrico del problema (x indica la cifra che avevo originariamente nel

portafoglio).

442 La tabella mostra i profitti di un’azienda in milioni di euro nei sei anni dal 2006 al 2011.

Per un errore di stampa, il dato del 2010 non compare. Si sa pero che il profitto del 2010 e stato il 18% del profitto totale

dei 6 anni. Quale delle seguenti equazioni permette di trovare il dato mancante, indicato con x?

(Test di selezione, Facolta di Scienze 2012)

Ax

2þ

x

4¼ 1 B

x

2þ

3x

2¼ 4 C

x

2þ

x

8¼

7

4D

3

2xþ

x

4¼

9

2

A 2xþ 4 ¼ 0 B 2xþ 8 ¼ 0 C 2xþ 16 ¼ 0 D 2xþ 32 ¼ 0

A k ¼ 0 B k ¼ 1 C k ¼ 2 D Per nessun valore reale di k

A ðx 3Þ2 ¼ ð3 xÞ2 B ð2x 3Þ2 ¼ ð2x 3Þð2xþ 3Þ

C ðx 3Þ2 ðxþ 3Þ2 ¼ 4ð1 3xÞ D 2x2 ¼ 0

A x 0,1 0,2 ¼ 10 B x 0,1x 0,2 � 0,1x ¼ 10 C x 0,1x 0,2ðx 0,1xÞ ¼ 10

D x 0,1x 0,2x ¼ 10 E Nessuna delle altre risposte

A x 0,1 0,2 ¼ 10 B x 0,1x 0,2 � 0,1x ¼ 10 C x 0,1x 0,2ðx 0,1xÞ ¼ 10


A x 0,1 0,2 ¼ 10 B x 0,1x 0,2 � 0,1x ¼ 10 C x 0,1x 0,2ðx 0,1xÞ ¼ 10


2006 2007 2008 2009 2010 2011

6,5 8,5 9,8 8,5 11,8

A 45,1 0,18 ¼ x B x ¼ 0,18ð45,1 xÞ C x ¼ 0,18 � 45,1

D x ¼ 0,18 � ð45,1þ xÞ E 45,1þ x ¼ 0,18x

362


ESERCIZI

443 Il quadrato ABCD in figura e stato suddiviso in sette

quadrati. La somma dei perimetri dei tre quadrati colorati

in giallo e uguale a 112 cm. Qual e l’area del quadrato

ABCD?

444 Un appartamento e costituito da cucina-soggiorno,

due camere, bagno e corridoio. Il bagno, come il corri-

doio, misura 5 m2; le camere occupano la meta dell’ap-

partamento; la cucina-soggiorno ha una estensione pari a

quella del bagno insieme alla meta di quella totale delle

camere. Allora l’appartamento e di:


445 In un’azienda il macchinario A produce 10 pezzi al

minuto, mentre il macchinario B produce 12 pezzi al mi-

nuto. I pezzi vengono poi imballati in scatole da 15 pezzi

ciascuna. Un giorno viene acceso prima il macchinario A

e dopo mezz’ora viene utilizzato anche B. Quando A e B

hanno prodotto lo stesso numero di pezzi, quante scatole

sono state riempite in tutto?


446 Un foglio di carta di forma quadrata viene piegato

in due parti uguali in modo da formare due rettangoli so-

vrapposti. Sapendo che il perimetro del quadrato origina-

rio supera di 15 cm la meta del perimetro di uno dei due

rettangoli sovrapposti ottenuti con la piegatura, qual e

l’area del quadrato originario?


4471

2x �

1

4¼ ð2x � 1Þ2 � 4x2

5

18

� �

448 ðx þ 2Þðx þ 5Þ ¼ ðx � 4Þ22

5

� �

4491

10x �

1

5¼

1

4x �

1

2[2]

450 ð5 � xÞð5 þ xÞ þ ðx � 2Þ2 ¼ 1 [7]

4514x2 � ð2x � 1Þ2

3¼

x

2

2

5

� �

4521

2ðx � 2Þ þ

1

3ðx � 3Þ ¼ 2

24

5

� �

453x � 2

10�

x

5¼ x2 þ ð2 � xÞð2 þ xÞ [�42]

454 ð5x � 1Þ2 � ðx � 5Þðx þ 5Þ � 24x2 ¼ 2ð13 � 5xÞ

[Indeterminata]

4554x2 � ð2x � 5Þ2

6¼

1

3x þ

11

2

�

[2]

4561

2ð2x � 1Þ2 ¼

ðx � 2Þðx þ 2Þ

2[Impossibile]

457 ð�x � 1Þ2 þ ðx � 1Þ2 ¼ ðx þ 1Þ2 þ ð�x þ 1Þ2 [Indeterminata]

458 �2 ½�2ðx � 1Þ � 1 � 1f g � 1 ¼ ðx þ 2Þ2 � ðx � 2Þ2 �1

4

� �

459 ð3x þ 1Þð2x � 1Þ þ ð2x þ 1Þð3x � 2Þ ¼ 12ðx � 3Þðx þ 1Þ �3

2

� �

460 ðx � 1Þ2 � ðx þ 1Þ2h i2

¼ ð4x � 3Þ23

8

� �

461x þ 16

10�

x

5¼

1

2þ x [1]

462x � 2

4�

x þ 2

2¼

1

4x �

3

2[0]

463 ðx þ 1Þ2 � ðx � 2Þð3 � xÞ ¼ 2ðx � 1Þðx þ 1Þ [3]

464 ðx � 2Þ2 � ðx � 2Þð1 � xÞ ¼ 2ðx � 3Þðx þ 3Þ � 7x [Impossibile]

4651

2x �

x þ 3

10þ

x

5¼

3

5x �

3

10[Indeterminata]

466 0,2x þ1

2¼

1

2x � 0,2

7

3

� �

A 36 cm2

B 25 cm2

C 144 cm2

D 72 cm2

E 441 cm2

CD

BA

A 65 m2B 55 m2

C 75 m2D 60 m2

E 70 m2

A 300 B 270 C 180 D 250 E 240

A 9 cm2B 36 cm2

C 24 cm2

D 72 cm2E 16 cm2

363


ESERCIZI

467x � 1

3�

2 � x

2¼

1

2x �

1

3þ

5

41 �

1

5x

� �

27

7

� �

468 2x � ½3x � ðx � 2Þ ¼ �2 [Indeterminata]

469 ð2x � 3Þð2x þ 3Þ � ð2x � 3Þ2 ¼ ð3 � 2xÞð2x þ 3Þ þ ð2x � 3Þ23

2

� �

470ð2a � 1Þð2a þ 1Þ � ð1 � 2aÞ2

5�

a

10¼ �

2 � a

2[�3]

4711

2ðx þ 1Þ2 � ðx � 2Þðx þ 2Þ ¼ x2 �

3

2ðx � 1Þðx þ 2Þ �

3

5

� �

472 ðx � 0,1Þ2 � ðx � 0,2Þ2 ¼ 0,033

10

� �

4731

2y � 1

� �2

�1

2y þ 1

� �2

¼ �11

2

� �

474x þ 1

2

� �2

�x þ 2

2

� �2

¼ðx � 1Þ2

2�

ðx � 2Þ2

2

1

2

� �

4751 � x

2�1þ

3 þ x

3�1¼

x

2�1[11]

4761

10ðx þ 1Þ �

3

5ðx � 1Þ ¼

1

2ð3 � xÞ [Impossibile]

477 ðx � 0,2Þ2 � xðx þ 1Þ ¼ 0,04 � 0,5x [0]

4783

4x �

1

2

2

3x �

1

2

x þ 1

2�

x � 1

3

� ��

¼ �17

24[�2]

4793

2x � 2

� �

3

2x þ 2

� �

� 31

2x �

1

3

� �2

¼3

2x2 �

19

3[�2]

480 x þ3

2

� �2

� x �1

2

� �2

¼ 2x � 1 �3

2

� �

481ðx þ 2Þ2 � ð2 þ xÞð2 � xÞ

2¼ ðx � 4Þ2

8

5

� �

482 Inventa tu. Scrivi:

a. un’equazione di secondo grado intera

b. un’equazione letterale frazionaria nell’incognita x e nel parametro k

c. un’equazione impossibile in N ma non in Z

d. un’equazione impossibile in Z ma non in Q

e. un’identita in R

483 Caccia all’errore. Individua l’errore commesso nella risoluzione della seguente equazione.

4ðx � 3Þ ¼ 3ðx � 4Þ Equazione da risolvere

4x � 12 ¼ 3x � 12 Per la proprieta distributiva

4x ¼ 3x Sommando a entrambi i membri 12 (1o principio)

4 ¼ 3 Dividendo entrambi i membri per x (2o principio)

) l’equazione e impossibile

484 Impostando un’opportuna equazione, risolvi la proporzione ð2x � 1Þ : ð5x � 4Þ ¼ 6 : 8 x ¼8

7

� �

485 Impostando un’opportuna equazione, risolvi la proporzione x �1

2

� �

:

3

2¼ x �

5

2

� �

:

1

2x ¼

7

2

� �

486 Determina k in modo che la soluzione dell’equazionek � x

2�

x � k

4¼

x þ 2k

3�

k

12sia x ¼ �1 k ¼ �

13

2

� �

487 Determina k in modo che la soluzione dell’equazione ðx � kÞ2 � ðx þ kÞ2 ¼ 2kx � x þ k sia x ¼ �2 k ¼2

11

� �

364


ESERCIZI

Focus sui concetti

Analizza le seguenti catene di implicazioni e spiega quali errori conducono alle conclusioni evidentemente para-

dossali.

488 Siano a e b due numeri reali non nulli. Allora:

a ¼ b ) a2 ¼ ab ) a2 b2 ¼ ab b2 ) ðaþ bÞða bÞ ¼ bða bÞ )

membri per amoltiplicando i due

membri b2sottraendo dai due

) aþ b ¼ b ) aþ a ¼ a) 2a ¼ a ) 2 ¼ 1

membri per ða bÞdividendo i due

a ¼ b

poichemembri per adividendo i due

489 Siano a e b due qualsiasi numeri reali e sia c la loro differenza. Allora:

a b ¼ c ) ða bÞ2 ¼ cða bÞ ) a2 2abþ b2 ¼ ac bc ) a2 abþ b2 ¼ abþ ac bc)

membri per ða bÞmoltiplicando i due

membri abaggiungendo ai due

) a2 ab ac ¼ ab b2 bc) aða b cÞ ¼ bða b cÞ ) a ¼ b)

membri ðb2 þ acÞsottraendo dai due

membri per ða b cÞdividendo i due

) tutti i numeri sono uguali!

Problemi

490 Sommando un numero alla sua meta e alla sua terza

parte si ottiene come risultato 33. Qual e il numero? [18]

491 Sottraendo da2

5un numero si ottiene come risulta-

to2

5del numero stesso. Qual e il numero?

2

7

� �

492 La somma di due numeri naturali consecutivi e 201.

Quali sono i due numeri? [100; 101]

493 Determina le ampiezze degli angoli di un triangolo,

sapendo che il primo e la meta del secondo e che il terzo

e3

4del primo. [96�; 48�; 36�]

494 La somma delle eta di Maria e Silvia e 40. Sapendo

che Silvia ha 5 anni meno del doppio dell’eta di Maria,

determina le loro eta. [Maria: 15 anni; Silvia: 25 anni]

495 In una classe un terzo degli allievi ha preso un voto

insufficiente all’ultimo compito in classe di matematica,

mentre 12 allievi hanno preso un voto almeno sufficien-

te. Da quanti alunni e formata la classe? [18]

496 Una libreria, in occasione delle feste natalizie, ven-

de il 25% dei libri che ha; dall’inventario fatto alla chiu-

sura, risulta che in negozio rimangono ancora 300 libri.

Quanti libri c’erano inizialmente? [400]

497 Dividi il numero 20 in due parti in modo che la

somma tra il doppio della prima parte e un quarto della

seconda sia uguale a 19. [8; 12]

498 La somma di tre numeri interi consecutivi e11

9

della somma dei due interi consecutivi immediatamente

seguenti. Qual e il piu grande di questi cinque numeri?

[14]

499 Andrea entra in un negozio con la somma di denaro

esatta per comprare una caramella per ciascuno dei suoi

compagni di classe, al prezzo di tredici centesimi l’una. Il

prezzo delle caramelle pero e sceso a dieci centesimi l’una

e Andrea compra sei caramelle in piu del previsto, finen-

do il denaro che aveva. Quanti sono i compagni di classe

di Andrea? [20]

500 L’anno scorso in un coro polifonico gli uomini era-

no 30 in piu rispetto alle donne. Quest’anno il numero

degli elementi del coro e cresciuto del 10%. Il numero

delle donne e cresciuto del 20%, quello degli uomini del

5%. Quanti elementi ha il coro quest’anno? [99]

501 Un gruppo di compagni di classe sta progettando

una gita. Se ognuno contribuisse alle spese di viaggio con

14 euro, essi avrebbero 4 euro meno del necessario; se in-

vece ognuno di essi contribuisse con 16 euro, avanzereb-

bero 6 euro. Quale deve essere il contributo di ciascuno

per raccogliere esattamente la cifra necessaria per il viag-

gio? [14,80 euro]

502 Determina le ampiezze degli angoli di un triangolo,

sapendo che il secondo e3

2del primo e il terzo e

13

3del

secondo. [20�; 30�; 130�]

503 In un rettangolo la base e doppia dell’altezza. Se si

aumentano la base di 3 cm e l’altezza di 5 cm l’area au-

menta di 41 cm2. Determina la lunghezza della base e la

lunghezza dell’altezza del rettangolo. [4 cm; 2 cm]

504 In un trapezio isoscele la base maggiore e il dop-

pio della base minore e i lati obliqui sono ciascuno5

6della base minore. Sapendo che il perimetro del trapezio

e 28 cm, determina la sua area. [36 cm2]

365


ESERCIZI

505 Problemi nella storia Un quinto di uno sciame di api si poso su un fiore di Kadamba, un terzo su un fiore di Silind-

ha. Tre volte la differenza tra questi due numeri volo sui fiori di un Kutujan, e rimase solo un’ape che si libro qua e la nel-

l’aria, attirata dal profumo di un Gelsomino e di un Pandamus. Dimmi tu ora, donna affascinante, qual era il numero

delle api.

(Dal Lilivati di Bhaskara) [15]

506 Problemi nella storia Un tale, recandosi a Lucca per affari, vi ricavo il doppio di quanto possedeva, anche se poi spe-

se 12 denari. Partendo da Lucca si diresse a Firenze, dove ricavo il doppio di quanto possedeva, spendendo poi ancora 12

denari. Tornando a Pisa, ricavo nuovamente il doppio di quanto possedeva e poi spese i soliti 12 denari. Alla fine del

viaggio il mercante si accorse di non avere piu neanche un denaro. Quanti denari aveva all’inizio del suo viaggio?

(Dal Liber Abaci di Fibonacci) [10,5]

ESERCIZI DALLE GARE DI MATEMATICA

507 Ogni volta che il cammello Desiree ha sete, l’84% del suo corpo e costituito da acqua. Dopo aver bevuto il suo peso

raggiunge gli 800 kg e l’acqua costituisce l’85% del suo peso. Qual e il peso del cammello Desiree quando ha sete?

A 672 kg B 680 kg C 715 kg D 720 kg E 750 kg

(Kangourou di matematica 2001) [E]

508 Una nave raccoglie in mare 30 naufraghi. I viveri a bordo prima dell’incontro sarebbero stati sufficienti per 60 gior-

ni, ma diventano sufficienti solo per 50 giorni non appena i naufraghi mettono piede sulla nave. Supponendo che tutte

le persone imbarcate consumino la stessa quantita di viveri, quante erano le persone a bordo prima dell’incontro con i

naufraghi?

A 15 B 40 C 110 D 140 E 150

(Kangourou di matematica 2002) [E]

509 Da un gruppo formato da ragazzi e ragazze se ne vanno 15 ragazze: a questo punto per ogni ragazza che rimane ci

sono esattamente 2 ragazzi. Dopo un po’ abbandonano il gruppo 45 ragazzi: ora per ogni ragazzo che rimane sono pre-

senti 5 ragazze. Quante ragazze c’erano originariamente nel gruppo?

A 20 B 25 C 35 D 40 E 75

(Kangourou di matematica 2002) [D]

510 7 cugini sono nati nello stesso giorno, ma in 7 anni consecutivi. Sommando oggi le eta dei tre piu giovani, si ottie-

ne 42. Qual e la somma delle eta attuali dei tre piu vecchi?

A 51 B 54 C 57 D 60 E 63

(Kangourou 2008) [B]

SOLVE MATH IN ENGLISH

511 The equationsx 2

2

xþ 4

6:2

3¼ 1 and kx 3 ¼ 3x 5 have the same solution. What is the value of k?

k ¼5

2

� �

512 I am now four years younger than twice what my age was five years ago. What is my age now? [14]

513 Joe has a total of $200 in his two pockets. He takes one fourth of the money in his left pocket and puts it in his

right pocket. He then takes $20 from his left pocket and puts it in his right pocket. If he now has an equal amount of mo-

ney in each pocket, how much money did he originally have in his left pocket?

(High school Math Contest 2006) [$160]

366


ESERCIZI


1 Vero o falso?

a. l’equazione 5xþ 4 ¼ 1 non ha soluzioni nell’insieme Z V F

b. le due equazioni 2xþ 3 ¼ 1 e xþ 15 ¼ 52 23 sono equivalenti V F

c. l’equazione ðxþ 2Þ2 ¼ x2 þ 4xþ 4 e un’identita V F

d. 1 e una soluzione dell’equazione x3 þ 2x ¼ 3 V F

e. l’equazione ðxþ 2Þ2 ¼ x2 þ 3xþ 1 ha grado 2 V F

2 Per ciascuna delle seguenti equazioni poni una crocetta sul piu piccolo insieme numerico in cui l’equazione am-

mette soluzione.

a. 2x 1 ¼ 3xþ 5 N Z Q R

b. 3xþ 6 ¼ 12 N Z Q R

c. 2xþ 3 ¼ 6xþ 7 N Z Q R

d. 2xþ 4 ¼ 10 N Z Q R


3 xðx 2Þ ð2 2xÞ ¼ ðxþ 3Þ2 2ðxþ 3Þ

4 5x ð3xþ 1Þ ¼ ðxþ 2Þ2 x2 2ðxþ 3Þ

5 3ðx 2Þ ¼ ðxþ 3Þ2 x2 3ð3xþ 1Þ

6x 5

4

x 4

5¼

1

2ðxþ 4Þ

x 1

10

23

20

7 0,06xþ10

3

� � 2

ð15 xÞ ¼ 1,05

8 Nel 1996, alle elezioni presidenziali negli Stati Uniti, Bill Clinton e Bob Dole ricevettero, insieme, 538 voti elettora-

li. Clinton ricevette 220 voti in piu di Dole. Quanti voti ricevette ciascun candidato?

9 Oggi un negozio ha incassato 1380 euro. Sapendo che l’incasso di oggi e stato il 15% in piu dell’incasso medio del

negozio, qual e l’incasso medio?

Valutazione

Esercizio 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Totale

Punteggio 0,2 �5¼1 1 1 1 1 1 1 1,5 1,5 10

Punteggio

ottenuto

Tempo massimo: 1 h 30 min

Risposte p. 673Scheda per il recupero

367

ESERCIZI

Prova di autoverifica

C EQUAZIONI, DISEQUAZIONI TEMA E FUNZIONI · da zero o per una espressione algebrica definita e non...

Documents

Transcript of C EQUAZIONI, DISEQUAZIONI TEMA E FUNZIONI · da zero o per una espressione algebrica definita e non...