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ANNAMARIA MAZZIA

Dispensa di

Calcolo Numerico

Il foglio elettronico

Dipartimento di Metodi e Modelli Matematici per le Scienze

Applicate

Università degli Studi di Padova

http://dispense.dmsa.unipd.it/

a.a. 2009/2010

http://dispense.dmsa.unipd.it/

I N D I C E

1 TABELLE E GRAFICI CON IL FOGLIO ELETTRONICO 1

1.1 Il foglio elettronico 1

1.2 Inserire funzioni 1

1.3 Formule ricorsive 3

1.4 Fare grafici nel foglio elettronico 9

1.4.1 Grafici multicolonna 15

1.5 Inserire dati da files 15

ii

1 T A B E L L E E G R A F I C I C O N I L F O G L I OE L E T T R O N I C O

Io dico di aver capito un’equazione quando sono ingrado di predire le proprietà delle sue soluzioni senzaeffettivamente risolverla.

Paul Adrien Maurice Dirac

1.1 IL FOGLIO ELETTRONICOIl foglio elettronico può essere usato nell’ambito del Calcolo Numerico per imple-

mentare ed eseguire semplici algoritmi ricorsivi. Inoltre può essere utilizzato perimportare dati e per fare grafici. Nel seguito, daremo alcune indicazioni su comeusare il foglio elettronico, in particolare la versione in lingua inglese di OpenOffice2.4 (in questa versione i numeri decimali vanno scritti facendo uso del punto . –ad esempio 2.1023 – a differenza della versione in lingua italiana dove i numeridecimali, di default, vanno scritti facendo uso della virgola – ad esempio 2, 1023.1

Tenendo conto di questa differenza saremo in grado di usare correttamente il foglioelettronico.

Figura 1: Si vuole lavorare sulla cella C7. La lettera C e il numero 7 che individuano lacolonna C e la riga 7 sono evidenziate rispetto alle altre colonne e righe. La cellaC7 ha il bordo più scuro rispetto alle altre celle. Sono state cerchiate in rosso le duerighe chiamate Name Box (Casella del Nome) e Input Line (Riga di digitazione).

1.2 INSERIRE FUNZIONIUn foglio elettronico si presenta come una tabella di cellette, ognuna delle quale

viene individuata dal numero che contraddistingue la corrispondente riga e dalla

1 Lasciando la versione italiana di OpenOffice, si può scegliere di scrivere i numeri decimali usando ilpunto . anzichè la virgola , andando, mediante il Menu, su Strumenti −− > Opzioni −− > Imposta-zioni della Lingua −− > Lingue e scegliere come Lingua Locale (nella seconda riga a partire dall’alto)quella Italiana (Svizzera) o un’altra lingua che permette di ottenere come separatore delle cifre decimaliil punto.

1

2 TABELLE E GRAFICI CON IL FOGLIO ELETTRONICO

Figura 2: Scriviamo = nella cella C7 per inserire un numero o per valutare una funzione inun numero.

lettera che indica la corrispondente colonna. Ad esempio, la cella C7 si trova sullacolonna C e sulla riga 7.

Quando, con il mouse, ci spostiamo su una cella e clicchiamo il tasto sinistrodel mouse, allora il contorno della cella diventa di colore nero grassetto: vuol direche possiamo ”lavorare” su quella cella (si veda la Figura1). Inoltre, sopra la tabelladelle celle, sulla sinistra, viene visualizzato nella Name Box (nella Casella del Nome)il nome della cella su cui vogliamo lavorare.

Se in una cella scriviamo un numero o applichiamo una formula numerica cheavrà come risultato un numero, la cella può essere considerata come una variabilee sarà chiamata con la coppia lettera-numero che la individua (per esempio la cellaC7).

Per scrivere un numero o applicare una formula numerica, una strada da seguireè la seguente:

G Una volta che siamo sulla cella (per esempio la cella C7 evidenziata rispettoalle altre) scriviamo = e poi il numero che vogliamo scrivere, ad esempio 0.1(oppure 0,1 se la versione di Office è quella italiana). Vediamo che quelloche scriviamo sulla cella compare anche nella riga di Input Line (o riga perimmettere i comandi, Riga di digitazione) che si trova sopra la tabella dellecelle. Nel momento in cui scriviamo =, accanto a quella riga compare unsimbolo a forma di x dal colore rosso (al posto del simbolo di sommatoriache c’era prima) e il simbolo di accettazione in verde (vedasi le immagini inFigura 2 e 3 e le si confronti con la Figura1).

G Se invece di un numero vogliamo applicare una formula numerica, possiamoo scrivere direttamente il valore della funzione (per esempio cos(0.1) + 0.3 )oppure possiamo avvalerci dell’aiuto delle funzioni predefinite che possiamoutilizzare nel foglio elettronico. Dal menu del foglio elettronico, cliccandosu Insert (Inserisci) troviamo le due voci Function. . . (Funzione) e Functionlist (Lista di funzioni). Di qui possiamo vedere quali sono le funzioni chepossiamo utilizzare. Ricordiamo che nella versione italiana, la funzione valoreassoluto si chiama ASS (ABS in quella inglese), la funzione seno si chiama SEN(SIN in quella inglese). Nel momento in cui iniziamo a digitare il nome di unafunzione, molto probabilmente ci verrà già data indicazione sulla funzioneche inizia in quel modo, se l’abbiamo già utilizzata precedentemente. Inoltre,nel Name Box, dove prima era individuata la cella su cui stavamo lavorando,

1.3 FORMULE RICORSIVE 3

Figura 3: Inseriamo il valore 0.1 nella cella C7.

vengono visualizzate le funzioni più recenti che abbiamo utilizzato (si vedanole Figure 4 e 5).

1.3 FORMULE RICORSIVESupponiamo ora di voler implementare l’algoritmo dello schema di punto fisso,

applicato alla funzione g(x) = cos(x).Nella colonna A scriveremo le iterazioni k che facciamo nell’implementare lo

schema. Per implementare la formula xk = g(xk−1) useremo le colonne B e C: in Bmetteremo i valori delle approssimazioni xk, in C scriveremo il valore g(xk).

Nella riga 1 delle colonne A, B e C, per ricordare ciò che stiamo facendo, scrivia-mo semplicemente k, xk e g(xk), rispettivamente.

Al primo passo, nella cella A2 diamo il valore 0 per indicare l’iterazione k = 0, aB2 assegniamo il valore iniziale per x0, per esempio 0.0 e in C2 assegniamo il valoreg(x0), cioè cos(B2), che ci servirà al passo successivo. Osserviamo che abbiamousato la cella B2 come una variabile avendo dato a C2 il valore cos(B2). Possiamoscrivere a mano cos(B2) oppure, inserendo la funzione cos() e cliccando con il mousesulla variabile-cella in cui valutare la funzione (i cui contorni diventeranno di colorerosso), automaticamente viene inserito il nome della cella all’interno delle parentesi(in questo caso la cella B2). Dopo aver schiacciato il tasto di invio comparirà ilvalore numerico della funzione calcolata (si veda la Figura 6).

Al passo successivo, il passo k deve essere uguale a 1: applichiamo alla cella A3

la formula A2+1 in modo da ottenere 1 (vedremo perchè conviene applicare questasemplice formula). La cella B3 ha come significato x1 = g(x0)= cos(B2)=C2, il valoreche si trova nella cella C2. Nella cella C3 andremo a valutare cos(B3), in modo dautilizzarlo nella cella B4 al passo successivo.

Siamo ora in grado di scrivere queste formule in maniera ricorsiva effettuandouna sola operazione di copia-incolla o di trascinamento. . .

Difatti, ora sulla riga 4 noi dobbiamo:

G in A4, incrementare il valore dell’iterazione che viene effettuata (la cella A4

deve essere uguale ad A3 +1);

G in B4, aggiornare la variabile xk mettendo nella cella B4 il valore che si trovanella cella C3;


Figura 4: Inseriamo il valore cos(0.1) nella cella C7 partendo dal menu Insert (Inserisci) eFunction (Funzione).


Figura 5: Inseriamo il valore cos(0.1) nella cella C7. Nella figura in alto si vede l’ultimopassaggio di cosa accade dopo aver inserito la funzione da menu. Nella figura inbasso si vede cosa succede quando si scrive direttamente la formula.


Figura 6: Inseriamo in C2 il valore cos(B2).

G in C4, aggiornare la variabile g(xk) calcolando cos(B4).

Questa operazione andrà ripetuta fino a quando non ci accorgiamo di essere arrivatia convergenza - vedremo poi come.

Per aggiornare la riga 4 basta semplicemente ”annerire” con il mouse le cellet-te A3-B3-C3 (dove ci sono delle formule che si riferiscono alla riga precedente),spostandoci con il mouse e cliccando contemporaneamente con il tasto sinistro delmouse stesso. Clicchiamo quindi con il tasto destro del mouse e si aprirà una fi-nestra di comandi: in particolare, clicchiamo alla voce Copy (Copia) e poi con ilmouse ”anneriamo” (con la stessa tecnica descritta prima) le tre cellette successive.

Clicchiamo di nuovo il tasto destro del mouse e facciamo Paste (Incolla). Vedre-mo che le cellette ora sono aggiornate e con le stesse formule che avremmo scrittoa mano celletta per celletta (in A4 troviamo la formula A3+1, in B4 troviamo C3, inC4 troviamo cos(B4) ). Si vedano le Figure 7 e 8. Se anzichè ”annerire” solo le cel-lette della riga successiva, ”annerrissimo” le cellette di molte più righe, l’algoritmoverrà applicato in successione (talmente rapida che ci sembra istantanea) per moltipiù passi (tanti quante sono le righe su cui abbiamo applicato la formula ricorsivamediante l’operazione di copia e incolla). Si veda la Figura 9.

L’operazione di copia e incolla si può fare anche in un’altra maniera mediante l’o-perazione di trascinamento del mouse. Una volta che abbiamo ”annerito” le cellettein cui si trovano le formule ricorsive da applicare sulle righe successive, osserviamoche l’angolo in basso a destra della cornice nera che si è venuta a creare ha un bordi-no più spesso. Ci avviciniamo con il tasto sinistro del mouse su quel bordino e poitrasciniamo il mouse verso il basso. Vediamo che, via via che andiamo verso il bas-so, i bordi delle cellette su cui vogliamo applicare le formule ricorsive diventano dicolore rosso. Una volta che lasciamo il tasto sinistro del mouse, le formule vengonoapplicate e troviamo i valori numerici nelle cellette. Notiamo che nella versione 2.3di OpenOffice, una volta che lasciamo il tasto sinistro del mouse, per completarel’operazione di trascinamento dobbiamo cliccare su Formule nella finestra che au-tomaticamente viene aperta. Dopo aver completato questa operazione, si concludecorrettamente l’operazione di trascinamento. Osserviamo che ci sono al più duecifre decimali nella rappresentazione dei numeri. Per visualizzare meglio i numeri,conviene cambiare formato: ”anneriamo” le cellette delle colonne B e C, clicchiamoil tasto destro del mouse e, sulla finestra che si apre, andiamo su Format Cells (For-matta Celle). Si apre una nuova finestra da cui clicchiamo su Numbers (Numeri) escegliamo la categoria del formato scientifico. Qui possiamo definire manualmente


Figura 7: Operazione di copia-incolla per applicare le formule ricorsive dalla riga 3 alla riga4. Nella figura in alto, abbiamo ”annerito” le tre cellette della riga 3. Nella figurain basso, dopo aver fatto Copy delle tre cellette della riga 3, ”anneriamo” le trecellette della riga 4 su cui incolleremo le formule ricorsive.


Figura 8: Risultato dell’operazione di copia e incolla dalle cellette della riga 3 alle cellettedella riga 4.

Figura 9: Risultato dell’operazione di trascinamento (o di copia e incolla) su più righe.

1.4 FARE GRAFICI NEL FOGLIO ELETTRONICO 9

Figura 10: Finestra per modificare il formato numerico dei risultati. Viene scelto un formatoscientifico definito dall’utente.

il numero di zeri che vogliamo nella mantissa (vedasi Figura 10). 2 Se vogliamo oraaggiungere delle iterazioni all’algoritmo, mediante un’operazione di copia e incollao di trascinamento, oltre alle formule anche il formato viene incollato/trascinatonelle celle successive. Per capire quando arrestare l’algoritmo, utilizziamo il test diarresto sugli scarti. Sulla colonna D andremo a scrivere il valore assoluto della dif-ferenza tra due approssimazioni successive e applicheremo tale formula in manieraricorsiva. Faremo quindi ABS(B3-B2) e trascineremo questa formula nelle celle suc-cessive con il formato che ci sembrerà più opportuno (si veda la Figura 11). In basealla tolleranza prefissata, quando lo scarto diverrà minore della tolleranza, alloraarresteremo l’algoritmo (e quindi ci fermeremo nell’operazione di copia e incolla odi trascinamento delle formule da una cella alla successiva).

1.4 FARE GRAFICI NEL FOGLIO ELETTRONICOUna volta terminata l’implementazione del metodo di punto fisso, possiamo

pensare di fare un grafico semilogaritmico degli scarti in funzione delle iterazioni.Dobbiamo quindi vedere come fare nel foglio elettronico un grafico in cui sull’as-

se delle ascisse mettiamo i valori delle iterazioni e sull’asse delle ordinate inseriamoi valori assoluti degli scarti. Inoltre, dobbiamo rendere il grafico semilogaritmicoper studiare il profilo di convergenza del metodo.

Incominciamo ”annerendo” solo la colonna che contiene le iterazioni dal valore 1

fino alla fine delle iterazioni che abbiamo effettuato: questa operazione viene fattatenendo premuto il tasto sinistro del mouse.

Dobbiamo poi passare alla colonna degli scarti, dal valore ottenuto all’iterazione1 fino al valore ottenuto all’ultima iterazione. Per non perdere ”traccia” della co-lonna delle iterazioni, prima di iniziare a premere con il tasto sinistro del mousesulla colonna degli scarti, dobbiamo schiacciare anche il tasto Ctrl della tastiera delcomputer. Solo dopo andiamo ad annerire la colonna degli scarti. In questo modolasciamo ”nera” anche la colonna delle iterazioni (si veda la Figura 12).

2 Osserviamo che il formato scelto può andare “stretto” nella cella/celle selezionate: in tal caso, al postodel numero saranno visualizzati i simboli ###. Per avere una corretta visualizzazione dei numeri, sidovrà allargare la colonna corrispondente in cui si trovano le celle per le quali non si vede il formatocorretto. Cliccando con il tasto sinistro del mouse sulla cella che porta la lettera della colonna chedesideriamo allargare, vedremo che tutte le celle della colonna selezionata si ”anneriscono”. Ci si spostapoi, con il mouse, verso il bordo destro della cella (per esempio ci troviamo sulla cella della colonna Cal contorno con la cella della colonna D) e vedremo comparire una doppia freccia, grazie alla quale sipotrà allargare tutta l’ampiezza della colonna verso destra. Allargheremo la colonna fino a quando tuttele celle saranno visualizzate correttamente nel loro formato.


Figura 11: Schema del punto fisso, in cui è stata aggiunta, nella colonna D, il valore assolutodello scarto tra due approssimazioni successive. Si noti che abbiamo scelto unformato numerico diverso per gli scarti rispetto a quello usato per xk e cos(xk).

Figura 12: Selezione delle colonne per fare il grafico.


Figura 13: Finestra per la scelta del grafico

Figura 14: Finestra del Data Series

A questo punto, andiamo sul Menu principale del foglio elettronico alla voceInsert (Inserisci) e di qui su Chart (Diagramma).

Si apre una finestra che ci permette la scelta del grafico. Noi sceglieremo il graficoXY (Scatter) (nella versione italiana XY (Dispersione) ) con solo linee - Lines Only(vedasi Figura 13). Procedendo (con Next - Avanti), si vede che l’intervallo deipunti su cui fare il grafico è stato già scelto e compare nella riga relativa al DataRange (Area dati). Per la serie dei dati, Data Series, si vede quali sono i valori delleascisse (X-values) e quali le ordinate (Y-values). Si vede anche la scritta Column Dche indica il fatto che abbiamo preso per le ordinate i valori presi dalla colonna D(vedremo che poi uscirà il nome Column D nella legenda della figura e vedremocome dare un nome più significativo) (si veda la Figura 14).


Figura 15: Titolo, sottotitolo, etichette.

Figura 16: Grafico

Andando ancora avanti, nella Chart Elements (Elementi del diagramma), si puòdecidere cosa scrivere come titolo, sottotitolo, etichette sugli assi x e y. Nella Figu-ra 15 abbiamo dato titolo, sottotitolo. . . A questo punto si clicca su Finish (Fine) esul foglio elettronico compare il nostro grafico (che non è ancora semilogaritmico),mostrato nella Figura 16.

Per fare modifiche al grafico, bisogna cliccare una volta con il tasto sinistro delmouse posizionato sul grafico, in modo da vedere in alto a sinistra un’icona con ilsimbolo dell’àncora. Ci si posiziona con il mouse all’interno del grafico e si cliccauna volta con il tasto destro. Compare una finestra e qui si clicca la voce Edit (Edita).Ora è possibile cambiare il tipo di assi o le linee del grafico, i colori, la legenda. . . .

Ad esempio, andando con il mouse sull’asse delle Y e cliccando due volte con iltasto sinistro del mouse, si apre una finestra da cui poter cambiare le linee, i colori,i caratteri, ma soprattutto la scala del grafico.

Da Scale (Scala) è infatti possibile scegliere la scala logaritmica come si vede nellaFigura 17.


Figura 17: Scelta della scala

Una volta cliccato su OK, si torna al grafico che non è più quello di prima ma èin scala semilogaritmica (si veda la Figura 18).

Figura 18: Grafico semilogaritmico

Possiamo fare altre modifiche (per esempio cliccando sulla curva del grafico (DataSeries Column D), possiamo cambiare lo spessore della curva). Inoltre, possiamocambiare i caratteri usati per il titolo, i colori dello sfondo. E così via.

Quello che ci interessa ora è come cambiare la legenda.

Clicchiamo due volte con il tasto sinistro del mouse sul grafico. Poi clicchiamocon il tasto destro: si apre una finestra con varie opzioni di scelta tra cui DataRanges. Clicchiamo su Data Ranges e si aprirà una finestra, quella che vediamonella Figura 19. Per cambiare la scritta Column D, dobbiamo inserire nella casellaRange for Name (Area per Nome) il nome di una cella del foglio elettronico in cuiabbiamo scritto un nome di legenda che riteniamo più appropriato (per esempio,nella cella E1 abbiamo scritto punto fisso). Cliccando sull’icona che si trova a destradella finestra del Range for Name, possiamo poi direttamente cliccare sulla cellaE1 in modo da inserire automaticamente il nome della cella sulla casella Range forName (il risultato di questa operazione è mostrata nella Figura 20. Vediamo chenon compare più il nome Column D ma punto fisso sia su questa finestra sia, dopoaver dato l’OK, sul grafico (vedasi la Figura 21).


Figura 19: Finestra del Data Ranges

Figura 20: Finestra del Data Ranges dopo aver operato la modifica

Figura 21: Grafico finale semilogaritmico

1.5 INSERIRE DATI DA FILES 15

Figura 22: Dopo aver schiacciato sul tasto Add (Aggiungi), per aggiungere altri dati nelgrafico, bisogna selezionare i nuovi dati.

Figura 23: Dopo aver selezionato le cellette opportune dei valori delle ascisse da aggiungereal grafico, i valori vengono visualizzati sulla finestra. Analogamente si procedeper l’asse y.

1.4.1 Grafici multicolonna

Osserviamo che la procedura eseguita per fare il grafico semilogaritmico appe-na descritto può essere ripetuta in maniera analoga per fare grafici multicolonna(per esempio, sull’asse delle x riportiamo le iterate, mentre sull’asse delle ordinateriportiamo i valori assoluti degli scarti relativi ai metodi di Newton-Raphson, Re-gula Falsi, tangente fissa, secante fissa. . . ): una volta che abbiamo inserito i datirelativi alle ascisse e alle ordinate della prima serie di dati (per esempio quelli delmetodo di Newton-Raphson), e mentre stiamo ancora lavorando sulla finestra checi permette di costruire il grafico, dopo la scelta del tipo di grafico (Chart Type) eData Range, al passo del Data Series possiamo aggiungere (Add) altre serie di dati(per esempio iterazioni e scarti del metodo della Regula Falsi) per fare un graficomulticolonna. Si vedano le Figure 22 e 23.

1.5 INSERIRE DATI DA FILESSpesso il foglio elettronico viene utilizzato per fare grafici importando dati nu-

merici da files esterni – per esempio files di tipo testo generati dall’esecuzione diprogrammi scritti in FORTRAN o altri linguaggi di programmazione.

Per inserire correttamente i dati su più colonne, si può seguire questo percorso:dal Menu principale del foglio elettronico si va su Insert (Inserisci) −− > Sheetfrom file (Foglio da file). A questo punto si apre una finestra da cui è possibileselezionare il percorso in cui si trova il file da aprire. Una volta che importiamoil file, si apre un’altra finestra (la finestra di Text import (importa testo)) in cui


Figura 24: Importare dati da un file esterno.

dobbiamo selezionare alcuni parametri che ci permetteranno di importare i datiinserendoli su più colonne (se i dati sono scritti su più colonne, che è la cosa che ciimporta per poter fare i successivi grafici).

Le opzioni che dobbiamo selezionare sono, oltre a Tab, che già troviamo indicato,anche Merge delimiters e Space (si veda la Figura 24). Una volta dato l’OK, siapre un’altra finestra (Insert Test) in cui digitiamo di nuovo OK. Troviamo i datidel file messi in colonna come erano nel file di partenza. Il formato numericonon è molto carino (solo due cifre decimali, anche se andando a vedere cellettaper celletta possiamo osservare che i valori sono memorizzati così come erano nelfile originario), ma selezionando le celle possiamo cambiare il formato in mododa visualizzarlo correttamente. A questo punto, abbiamo i nostri dati in tabellasul foglio elettronico e possiamo fare i grafici o altre operazioni tramite il foglioelettronico.

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