BANDE DI ENERGIA

PERCHE’ ESISTONO I LIVELLI ENERGETICI?

In meccanica quantistica le particelle hanno anche una componente ondulatoria

BANDE DI ENERGIA

Una particella confinata in una certa zona dello spazio può essere vista come un’onda stazionaria su una corda con estremi fissi

BANDE DI ENERGIA

Naturalmente l’analogo degli estremi fissi della corda sono le pareti della scatola in cui è confinata la particella

BANDE DI ENERGIA

Il punto fondamentale è che gli estremi devono essere fissi: ma gli unici punti fissi di un’onda sono i nodi

BANDE DI ENERGIA

Questo significa che i nodi devono coincidere con gli estremi della corda

BANDE DI ENERGIA

Ma la distanza tra due nodi vicini è pari a mezza lunghezza d’onda, ciò significa che la metà della lunghezza d’onda deve essere una frazione intera della distanza tra gli estremi della corda

λ/2

BANDE DI ENERGIAIn formule, se λ è la lunghezza d’onda, L quella della corda, n un numero intero:

n

L

2

n

L2

BANDE DI ENERGIA

Nel caso di una particella racchiusa in una scatola L è lo spigolo della scatola

n

L2

L

BANDE DI ENERGIA

Ma la lunghezza d’onda è legata alla velocità dalla relazione di DeBroglie

mv

h

BANDE DI ENERGIA

Combinando queste due e ricavandone la velocità si ottiene:

mv

h

n

L2

nmL

hv2

BANDE DI ENERGIA

Nel caso di una particella che si muova liberamente tra le pareti della scatola l’energia è puramente cinetica

2

2

1mvE

BANDE DI ENERGIA

Quindi, combinando le due formule, si ottiene:

2

2

1mvE n

mL

hv2

22

2

8n

mL

hE

BANDE DI ENERGIA

Questa è la formula dei livelli energetici di una particella che si muove liberamente in una scatola

22

2

8n

mL

hE

n è il numero quantico principale

BANDE DI ENERGIA

Non è, ovviamente, paragonabile alla formula di Bohr per l’atomo di idrogeno; in quel caso infatti l’elettrone non è libero

2

6,13

n

eVE

BANDE DI ENERGIA

Nel legame metallico gli elettroni di valenza sono per certi versi liberi di muoversi nel reticolo degli ioni

BANDE DI ENERGIA

D’altra parte essi risentono ancora fortemente del campo coulombiano generato dagli ioni

BANDE DI ENERGIA

I livelli energetici nel campo coulombiano sono pochi e separati da un grosso salto di energia,

BANDE DI ENERGIA

Nel caso dell’atomo di idrogeno, ad esempio, i livelli 1 e 2 sono separati da un salto di quasi 10 elettronvolt

BANDE DI ENERGIA

Al contrario, i livelli della particella nella scatola sono moltis-simi ed estremamente ravvicinati

ENERGIA

BANDE DI ENERGIA

I livelli energetici degli elettroni in un solido cristallino assumono una struttura intermedia tra i due casi:

BANDE DI ENERGIA

Vi è un enorme numero di livelli molto ravvicinati, come nel caso della particella nella scatola……ma questi livelli sono raggruppati in BANDE DI ENERGIA, separate da intervalli molto ampi privi di livelli

BANDE DI ENERGIA

Bande

Intervalli

ENERGIA

BANDE DI ENERGIA

Bisogna inoltre ricordare che gli elettroni sono fermioni, quindi su ogni livello ce ne possono stare al più due con spin opposto

ENERGIA

BANDE DI ENERGIA

Poiché ogni banda è formata da un numero grande, ma finito di livelli, ciò significa che le bande verranno riempite di elettroni dalla più bassa a salire

ENERGIA

BANDE DI ENERGIA

La più alta banda piena si dice BANDA DI VALENZA.La prima banda vuota BANDA DI CONDUZIONE

ENERGIA

BANDE DI ENERGIA

L’intervallo tra banda di conduzione e banda di valenza si dice ENERGY GAPBANDA DI VALENZA

BANDA DI CONDUZIONE

ENERGIA

ENERGY GAP

BANDE DI ENERGIA

L’energy gap è tipicamente dell’ordine di alcuni elettronvolt, energia paragonabile a quella dei salti tra i livelli atomici

BANDA DI VALENZA

BANDA DI CONDUZIONE

ENERGIA

ENERGY GAP

BANDE DI ENERGIA

In un conduttore percorso da corrente l’energia degli elettroni è di due tipi:• energia termica, che origina il moto caotico degli elettroni nel reticolo cristallino•Energia elettrica, che genera il moto ordinato noto come corrente elettrica

BANDE DI ENERGIA

L’energia termica degli elettroni, a temperature ordinarie, è dell’ordine di qualche centesimo di eV

BANDE DI ENERGIA

L’energia che un generatore elettrico può fornire ad un elettrone è in genere molto più piccola di quella termica, non più di pochi decimillesimi di eV

BANDE DI ENERGIA

Ricordiamo inoltre questo principio basilare: un elettrone può saltare da un livello ad un altro a due condizioni:• che il livello di destinazione sia libero• che gli sia fornita un’energia pari alla differenza di energia tra i due livelli

BANDE DI ENERGIA

Ricapitoliamo poi le energia in gioco:

• Energy gap: qualche elettronvolt• Energia termica: qualche centesimo di elettronvolt• Energia elettrica: qualche decimillesimo di elettronvolt

BANDE DI ENERGIA

Ne concludiamo quindi che

L’ENERGIA ELETTRICA NON PUO’ CONSENTIRE IL SALTO DA UNA BANDA ALL’ALTRA, MA SOLO TRA LIVELLI DELLA STESSA BANDA

BANDE DI ENERGIA

Consideriamo il caso di un corpo in cui la banda di valenza è totalmente occupata da elettroni mentre la banda di conduzione è vuota

BANDA DI VALENZA

BANDA DI CONDUZIONE

ENERGIA

ENERGY GAP

BANDE DI ENERGIA

Gli elettroni non possono acquistare energia elettrica perché non hanno livelli vuoti abbastanza vicini in cui saltare

BANDA DI VALENZA

BANDA DI CONDUZIONE

ENERGIA

ENERGY GAP

BANDE DI ENERGIA

Il corpo risulterà quindi un ISOLANTE

BANDA DI VALENZA

BANDA DI CONDUZIONE

ENERGIA

ENERGY GAP

BANDE DI ENERGIA

Consideriamo il caso di un corpo in cui la banda di valenza non è del tutto piena…

BANDA DI VALENZA

BANDA DI CONDUZIONE

ENERGY GAP

BANDE DI ENERGIA

O quello equivalente in cui l’energy gap non esiste e le due bande sono fuse

BANDA DI VALENZA

BANDA DI CONDUZIONE

BANDE DI ENERGIA

In entrambi i casi gli elettroni possono acquisire anche minime quantità di energia elettrica in quanto hanno livelli liberi vicinissimi

BANDA DI VALENZA

BANDA DI CONDUZIONE

BANDE DI ENERGIA

In questo caso il corpo risulta un CONDUTTORE

BANDA DI VALENZA

BANDA DI CONDUZIONE

BANDE DI ENERGIA

Si è fin qui trascurato il ruolo dell’energia termica: pur essendo in media molto bassa alcuni elettroni potrebbero averne abbastanza per superare l’energy gap

BANDE DI ENERGIA

Si avrebbero così livelli liberi in banda di valenza ed elettroni in banda di conduzione

BANDA DI VALENZA

BANDA DI CONDUZIONE

ENERGY GAP

BANDE DI ENERGIA

Questo può avvenire di fatto solo se l’energy gap è piccolo, mentre se è grande l’effetto è insignificanteBANDA DI VALENZA

BANDA DI CONDUZIONE

ENERGY GAP

BANDE DI ENERGIA

Le sostanze in cui nonostante la struttura a bande sia da isolante avviene la conduzione si dicono semiconduttori

BANDA DI VALENZA

BANDA DI CONDUZIONE

ENERGY GAP

BANDE DI ENERGIA

Germanio e silicio hanno un energy gap pari rispettivamente a 0,67 e 1,1 eV, e sono i più noti semiconduttori

BANDE DI ENERGIA

Il carbonio nella forma di diamante ha un energy gap di 5,5 eV ed è un ottimo isolante