Azionamenti elettrici con motore in corrente alternata3 Il motore asincrono negli azionamenti a...
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Controllo di Azionamenti Elettrici
Lezione n°8Corso di Laurea in Ingegneria dell’Automazione
Facoltà di IngegneriaUniversità degli Studi di Palermo
Azionamenti elettrici con motore in corrente alternata
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svantaggi del motore in corrente continua: ingombro, elevati costi di manutenzione, limiti di sovraccarico e di massimo valore della tensione di alimentazione;
primi tentativi di utilizzo del motore asincrono negli azionamenti a velocitàvariabile: alimentazione mediante convertitori rotanti con tensioni di ampiezza e frequenza variabile (difficoltà nella realizzazione dei dispositivi di controllo, bassa affidabilità e alti costi di impianto);
Il motore asincrono negli azionamenti a velocità variabile
evoluzione dell’elettronica di potenza (transistor bipolari, MOSFET e IGBT) che ha condotto a dispositivi di comando dei motori in corrente alternata (inverter) con alto grado di affidabilità e costo contenuto;
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Il motore asincrono negli azionamenti a velocità variabile (2)
per effettuare lo studio del comportamento statico e dinamico dei motori in corrente alternata si assumono, in genere, alcune ipotesi semplificative che consistono nel trascurare le eventuali anisotropie presenti nel circuito magnetico, nel considerare il circuito magnetico lineare e nel supporre che tutte le perdite siano dovute solo alle correnti statoriche e rotoriche (cioè, assumere nulle le perdite nel ferro)
risulta conveniente ricorrere ad una schematizzazione bifase equivalente, secondo due assi ortogonali, che permette di ottenere una semplificazione delle equazioni differenziali che descrivono il comportamento dinamico del motore;
negli azionamenti con motore asincrono, il cui utilizzo si estende in un campo di potenza notevolmente ampio (da pochi kW fino a qualche MW), la macchina più utilizzata è quella con rotore a gabbia;
in alcune applicazioni di elevata potenza, che richiedono un limitato campo di variazione della velocità, si fa spesso ricorso a motori a rotore avvolto con controllo sul circuito di rotore;
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il motore asincrono trifase è il motore elettrico strutturalmente più semplice e più compatto; dal punto di vista elettrico esso è composto da due circuiti, uno fisso con lo statore e uno rotante con il rotore, elettricamente separati e magneticamente accoppiati;
il circuito di statore è costituito da un avvolgi mento trifase; il circuito di rotore può essere anche esso realizzato con un avvolgi mento trifase che, nel normale funzionamento del motore, è chiuso in corto circuito (motore a rotore avvolto) oppure può essere ottenuto con un insieme di barre conduttrici disposte longitudinalmente al rotore e saldate da ambo i lati del rotore a due anelli conduttori (rotore a gabbia );
anche nel caso in cui il rotore sia a gabbia, è però possibile schematizzare l'avvolgimento di rotore come un avvolgi mento trifase chiuso in corto circuito;
Il motore asincrono negli azionamenti a velocità variabile (3)
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sia nel caso di rotore avvolto che in quello di rotore a gabbia, il motore asincrono trifase può essere rappresentato mediante il seguente circuito elettrico:
Modello del motore asincrono
circuito di statore:statore di circuito del propria resistenza =tsR
monofase toavvolgimenciascun di propria induttanza =tsL
statore di tiavvolgimen due trainduttanza mutua =sM
circuito di rotore:rotore di circuito del propria resistenza =trR
monofase toavvolgimenciascun di propria induttanza =trL
rotore di tiavvolgimen due trainduttanza mutua =rM
ijsrij MM γcos =
rotore di j quello e
statore di i toavvolgimenl' trainduttanza mutua =ijM
induttanze mutue:
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Schematizzazione bifase equivalente:
Modello del motore asincrono (2)
tiRv t d
d 11 1
φ+=t
iRv t dd 2
2 2φ+=
tiRv t d
d 33 3
φ+=
( )321 1 iiMiLt ++=φ
( )312 2 iiMiLt ++=φ
( )213 3 iiMiLt ++=φ
Ipotesi di linearità dei circuiti magnetici:
monofase toavvolgimenciascun di propria induttanza =tL
tiavvolgimenduetrainduttanza mutua=M
Il comportamento del circuito può essere studiato mediante un sistema di tre equazioni differenziali tra loro dipendenti. Tale sistema può essere semplificato ricorrendo alla schematizzazione bifase equivalente, che consente di ottenere un sistema composto da tre equazioni differenziali indipendenti.
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Schematizzazione bifase equivalente:
Modello del motore asincrono (3)
nella trasformazione bifase equivalente, le variabili (tensioni, correnti e flussi) sono rappresentate, invece che dalle loro componenti secondo gli avvolgimenti l, 2 e 3, dalle componenti secondo tre avvolgimenti fittizi α, β e ole componenti di ciascuna variabile, riferite a tali avvolgimenti, sono legate a quelle riferite agli avvolgi menti 1, 2 e 3 mediante le seguenti trasformazioni lineari:
( )
+−= 321 2
132 xxxxα ( )322
1 xxx −=β ( )32131 xxxxo ++=
le precedenti equazioni rappresentano una trasformazione biunivoca; infatti, dalle componenti xα xβ e xo è possibile ricavare le componenti x1 x2 e x3 mediante le seguenti equazioni
( )oxxx 2 26
11 += α ( )oxxxx 2 3
61
2 ++−= βα ( )oxxxx 2 36
13 +−−= βα
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Modello del motore asincrono (4)Schematizzazione bifase equivalente:
applicando la trasformazione alle equazioni che descrivono le componenti v1, v2 e v3 ed esplicitando in funzione delle componenti vα, vβ, e vo della tensione si ottiene:
tiRv t d
d
ααα
φ+=t
iRv t dd
β
ββφ
+=t
iRv ooto d
d
φ+=
ripetendo lo stesso procedimento per le equazioni che descrivono i flussi si ottiene:
( ) ααφ iMLt −= ( ) ββφ iMLt −= ( ) oto iML 2 +=φ
le equazioni precedenti coincidono con quelle che descrivono il comportamento di un sistema composto da due avvolgimenti (α e β) uguali e perpendicolari tra loro e, quindi, non concatenati e da un terzo avvolgimento (o) a sua volta non concatenato con i precedenti, purché i parametri di tali avvolgi menti siano legati a quelli dell'avvolgimento trifase dalle seguenti relazioni:
to RRR == ( ) MLL t −= ( ) 2 MLL to +=
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Modello del motore asincrono (5)Schematizzazione bifase equivalente:
si può osservare che, nel caso di collegamento a triangolo, la somma delle tensioni v1, v2 e v3 applicate all'avvolgimento trifase è nulla e, quindi, anche la tensione vo risulta nulla; dualmente, nel caso di collegamento a stella senza neutro, la somma delle tre correnti i1, i2e i3 (e, quindi, la corrente io risulta nulla)
poiché l'avvolgimento o non si concatena con nessun altro avvolgimento, quando l'avvolgimento trifase è alimentato con solo tre fili sia la tensione vo che la corrente io sono nulle ed èsufficiente, nella schematizzazione bifase, considerare solo gliavvolgimenti α e β; il modello bifase equivalente risulta costituito dalle seguenti due equazioni differenziali:
tiRv t d
d
ααα
φ+=t
iRv t dd
β
ββφ
+=
e dai seguenti legami tra le componenti del flusso e della corrente:
ααφ iL = ββφ iL =
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Modello del motore asincrono (6)Schematizzazione bifase equivalente:
si vuole ora determinare come si modificano le relazioni che legano tra loro le componenti della tensione, della corrente e del flusso quando, invece delle proiezioni secondo gli assi αe β, si considerano le proiezioni secondo due assi ortogonali d e q fittizi e rotanti con velocità angolare ω
qd
dd tiRv φωφ
dd
−+=
θθ βα sin cos xxxd +=
dd iL =φ qq iL =φ
θθ βα cos sin xxxq +−=
θθα sin cos qd xxx −= θθβ cos sin qd xxx +=
dq
qq tiRv φω
φ
dd
++=
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Modello del motore asincrono (7)Schematizzazione bifase equivalente:
è possibile effettuare una schematizzazione equivalente ad un avvolgimento trifase mediante una coppia di avvolgi menti α e β, fissi rispetto all'avvolgimento trifase e ortogonali tra loro, e un avvolgimento o che non si concatena con nessuno dei due precedenti
inoltre è possibile prendere in considerazione, invece delle componenti della tensione, della corrente e del flusso secondo gli assi α e β, le componenti delle stesse grandezze secondo due assi ortogonali d e q fittizi e rotanti con velocità ω rispetto all'avvolgimento reale; in quest'ultimo caso, però, occorre tener conto, nelle equazioni differenziali che legano le componenti della tensione, della corrente e del flusso, dei termini di moto
la schematizzazione bifase equivalente (con assi fissi o rotanti) può essere adottata anche nel caso in cui l'avvolgimento trifase abbia un numero di coppie polari "p" diverso dall'unità; in questo caso, però, la velocità angolare ω deve essere espressa in radianti elettrici al secondo, cioè deve essere pari alla velocità angolare degli assi rotanti moltiplicata per il numero di coppie polari
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Modello del motore asincrono (8)
Schematizzazione bifase equivalente con assi fissi con lo statore:
applicando agli avvolgimenti di statore e di rotore la schematizzazione bifase equivalente secondo una coppia di assi ortogonali α e β fissi con lo statore, si ottiene lo schema bifase equivalente del motore asincrono
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Modello del motore asincrono (9)
Schematizzazione bifase equivalente con assi fissi con lo statore:l'avvolgimento di rotore è cortocircuitato, le tensioni vrα, vrβ e vro sono nulle; gli avvolgimenti rα e rβ risultano quindi chiusi in corto circuito mentre l'avvolgimento ro, non essendo concatenato con nessun altro avvolgimento, può essere soppressolo statore è alimentato con solo tre fili, quindi anche l'avvolgimento so può venire soppresso
tss RR =
( )stss MLL −=
trr RR =
( )rtrr MLL −= omologhi rotore di e
statore di tiavvolgimen trainduttanza mutua 23
=
== srM ML
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Modello del motore asincrono (10)
Schematizzazione bifase equivalente con assi fissi con lo statore:per ricavare le equazioni differenziali che descrivono il comportamento dinamico delle componenti secondo gli assi α e β delle variabili elettriche e magnetiche del motore, occorre considerare che avendo scelto gli assi α e β fissi con l'avvolgimento di statore, essi ruotano con una velocità pari a – ω rispetto all'avvolgi mento di rotore (essendo ω la velocità angolare del rotore espressa in radianti elettrici al secondo)
tiRv ssss d
d
ααα
φ+=t
iRv ssss d
d
βββ
φ+= β
αα φωφ
rr
rr tiR
dd0 ++= α
ββ φω
φr
rrr t
iR d
d0 −+=
αααφ rMsss iLiL +=
βββφ rMsss iLiL +=
αααφ rrsMr iLiL +=
βββφ rrsMr iLiL +=
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Modello del motore asincrono (11)
Schematizzazione bifase equivalente con assi fissi con lo statore:dal modello della macchina asincrona è possibile ricavare l'espressione della coppia elettromagnetica effettuando un bilancio energetico;
moltiplicando ambo i membri della prima equazione per isα , i membri della seconda per isβ, quelli della terza per irα e quelli della quarta per irβ e sommando membro a membro le equazioni ottenute, si ottiene
( ) ( )
( )αββα
ββ
αα
ββ
αα
βαβαββαα
φφω
φφφφ
rrrr
rr
rr
ss
ss
rrrsssssss
ii
it
it
it
it
iiRiiRiviv
d
dd
dd
dd
d
22
22
−+
+++++
++++=+
assorbita elettrica potenza =+ ββαα ssss iviv
( ) ( ) Joule effettoper dissipata potenza22
22 =+++ βαβα rrrsss iiRiiR
magnetico circuito nel ataimmagazzin potenza d
dd
dd
dd
d =+++ ββ
αα
ββ
αα φφφφ
rr
rr
ss
ss i
ti
ti
ti
t
( ) macchina dalla generata meccanica potenza =− αββα φφω rrrr ii
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Modello del motore asincrono (12)
Schematizzazione bifase equivalente con assi fissi con lo statore:
coppia elettromagnetica generata dalla macchina:
( )αββα φφ rrrr iipc −=
polari coppie di numero =p
esprimendo la coppia elettromagnetica generata dalla macchina in funzione delle sole componenti dei flussi o di quelle di corrente si ottiene:
( )βαβα φφφφ rssrMrs
M
LLLLpc 2 −
−=
( )βαβα rssrM iiiiLpc −=
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Modello del motore asincrono (13)
Schematizzazione bifase equivalente con assi solidali con il rotore:
βα
αα ωφφs
ssss t
iRv −+=d
d
tiR rrr d
d0 α
αφ+=
tiR rrr d
d0
ββ
φ+=
αβ
ββ ωφφ
ss
sss tiRv ++=
dd
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Modello del motore asincrono (14)
Schematizzazione bifase equivalente con assi rotanti a velocità qualsiasi:
sqasd
sdssd tiRv φωφ
dd
−+=
( ) rqard
rdr tiR φωωφ
dd0 −−+=
sdasq
sqssq tiRv φω
φ
dd
++=
se si considerano le componenti della tensione, delle correnti e dei flussi secondo una coppia di assi d e q ortogonali tra loro e rotanti con una velocità angolare qualsiasi (indicata con ωa il comportamento dinamico dei circuiti elettromagnetici del motore èdescritto dalle seguenti equazioni differenziali:
( ) rdarq
rqr tiR φωω
φ
dd
0 −++=
rdMsdssd iLiL +=φ
rqMsqssq iLiL +=φ
rdrsdMrd iLiL +=φ
rqrsqMrq iLiL +=φ
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Modello del motore asincrono (15)
Schematizzazione bifase equivalente con assi rotanti a velocità qualsiasi:se si esplicitano le componenti delle correnti si ottiene:
s
rdrsdsd L
Ki
σ
φφ −=s
rqrsqsq L
Ki
σφφ −
=
r
sdsrdrd L
Ki
σ
φφ −=r
sqsrqrq L
Ki
σφφ −
=
r
Mr L
LK =s
Ms L
LK = sr KK 1−=σ
( )rqsdsqrds
rL
Kpc φφφφσ
−=
( )rqsdsqrdM iiiiLpc −=
coppia elettromagnetica generata dalla macchina:
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Modello del motore asincrono (16)
in genere, si utilizza la schematizzazione con assi rotanti alla velocità ωa (con ωapari alla pulsazione delle tensioni di alimentazione) quando il dispositivo di controllo è collegato allo statore e interessa, essenzialmente, mettere in evidenza l'effetto della prima armonica della tensione di alimentazione
si utilizza la schematizzazione con assi fissi con lo statore quando il dispositivo di controllo è collegato allo statore e si desidera mettere in evidenza l'influenza dell'effettivo comportamento del dispositivo di alimentazione
si utilizza la schematizzazione con assi solidali al rotore nel caso in cui il dispositivo di controllo sia connesso al rotore
sostituendo nelle equazioni differenziali che descrivono il comportamento dinamico del motore secondo assi rotanti a velocità qualsiasi ai termini in cui compaiono le derivate delle componenti dei flussi, le loro espressioni in funzione delle componenti delle correnti, si ottiene:
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sqard
Msd
ssdssdiLiLiRv φω dt d
dt d −++= sda
rqM
sqssqssq
iL
iLiRv φω
dt d
dt d
+++=
( ) rqard
rrdrsd
MiLiRiL φωω dt d
dt d0 −−++= ( ) rda
rqrrqr
sqM
iLiR
iL φωω
dt d
dt d
0 −+++=
Modello del motore asincrono (17)
sommando e sottraendo al secondo membro della prima equazione il termine LM disd/dt, a quello della seconda il termine LM disq/dt, a quello della terza il termine LM dird/dt e a quello della quarta il termine LM dirq/dt, si ottiene:
( )sqa
rdsdM
sdssdssd
iiLiLiRv φωσ dt
ddt d −+++=
( )sda
rqsqM
sqssqssq
iiL
iLiRv φωσ
dt d
dt d
++
++=
( ) ( ) rqardsd
Mrd
rrdriiLiLiR φωωσ
dt d
dt d 0 −−+++=
( ) ( ) rdarqsq
Mrq
rrqrii
Li
LiR φωωσ dt
ddt d
0 −++
++=
statore di edispersion di induttanza =−= Mss LLLσ
rotore di edispersion di induttanza =−= Mrr LLLσ
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Modello del motore asincrono (18)Circuito equivalente bifase della macchina asincrona, valido in regime comunque variabile
( )sqa
rdsdM
sdssdssd
iiLiLiRv φωσ dt
ddt d −+++=
( )sda
rqsqM
sqssqssq
iiL
iLiRv φωσ
dt d
dt d
++
++=
( ) ( ) rqardsd
Mrd
rrdriiLiLiR φωωσ
dt d
dt d 0 −−+++=
( ) ( ) rdarqsq
Mrq
rrqrii
Li
LiR φωωσ dt
ddt d
0 −++
++=
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Modello del motore asincrono (19)
Modello in forma di spazio di stato con i flussi come variabili di stato
sdrds
rsqasd
s
sd vT
KT
+++−= φσ
φωφσ
φ
1
dt d
sqrqs
rsq
ssda
sq vT
KT
++−−= φσ
φσ
φωφ
1
dt d
( ) rqardr
sdr
srdTT
K φωωφσ
φσ
φ 1
dt d −+−=
( ) rqr
rdasqr
srq
TTK φ
σφωωφ
σφ
1
dt d
−−−=
statorica tempodi costante=sT rotorica tempodi costante=rT
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Modello del motore asincrono (20)
Modello in forma di spazio di stato con le correnti statoriche e i flussi
rotorici come variabili di stato
++++
−+−= sdrqrrdr
rsqassds
rss
sd vKTKiLiL
TTLi φωφωσσ
σ 11
1
dt d
++−
−+−−= sqrqr
rrdrsqs
rssdas
s
sq vTKKiL
TTiL
Li
φφωσωσσ
11 1
dt d
( ) rqardr
sdr
MrdT
iT
L φωωφφ 1 dt
d −+−=
( ) rqr
rdasqr
Mrq
Ti
TL φφωω
φ 1 dt
d−−−=