Avvertenza Iniziale

1. Questi appunti potrebbero contenere errori, per favore se trovate affermazioni, formule o conti errati avvisate il docente.

2. Questi appunti NON sostituiscono il libro di testo, che deve essere studiato.

3. L’ordine degli argomenti discussi in questi appunti a volte è differente da quello seguito dal libro di testo.

4. Non limitatevi a fare solo gli esercizi consigliati. Prendete spunto dalle esperienze che farete e fate i temi di esame che trovate sul sito web del corso.

5. La complessità e la densità degli argomenti trattati a lezione crescerà con il progredire del corso

Misura: “Insieme di operazioni sperimentali e/o numeriche che assegnano un numero ad una osservabile fisica attraverso confronto di questa con un'altra grandezza a lei omogenea detta unità di misura “

Si definisce grandezza fisica di un sistema fisico una sua caratteristica (i.e. lunghezza, massa, velocità) sulla quale possa essere eseguita una operazione di misura mediante una definita procedura sperimentale. La grandezza fisica implica anche una definizione operativa che descrive la procedura sperimentale necessaria per ottenere il valore numerico della misura della grandezza stessa (il profumo non è una grandezza fisica a meno di non avere una accurata definizione operativa sulla procedura sperimentale per la sua misura). L’operazione di misura non deve (per quanto possibile) perturbare il sistema fisico e deve dare un valore (entro una incertezza che deve essere accuratamente valutata) riproducibile e indipendente dallo sperimentatore.

Se uno di voi effettua la misura della lunghezza della cattedra con un metro a nastro,

deve dare un valore numerico e una incertezza tale per cui chiunque altro di voi che effettui la stessa misura con qualunque strumentazione ottenga un valore ‘uguale’ (diremo in seguito ‘compatibile’)

Esempio: Definisco la lunghezza del tavolo come: 1) Si appronta un’asta sulla quale siano tracciate due tacche la cui distanza è assunta,

arbitrariamente, come unità di lunghezza. 2) Si mette a confronto la lunghezza del tavolo con il campione di unità di lunghezza

rilevando quante volte la dimensione del tavolo è più grande (o più piccola) del campione.

3) Il numero cosi dedotto rappresenta la misura della grandezza “lunghezza” del tavolo - ricordate la necessità di avere una misura riproducibile e indipendente dall’osservatore 3a) se si vuole eseguire una misura più precisa è possibile suddividere la distanza tra le

tacche in sottomultipli. Il risultato di questa operazione è un numero con tante cifre significative (a breve

discuteremo la definizione in dettaglio) quanti sono i sottomultipli (decimi, centesimi e millesimi) dell’unità di misura riportati sullo strumento usato (in questo caso l’asta).

Il numero dovrà essere sempre seguito dal simbolo dell’unità di misura adottata. Tutte le grandezze che possono essere misurate con la medesima procedura (descritta dalla

definizione operativa) sono dette grandezze fisiche omogenee.

Operazione di Misura:

1) Sia stata definita una unità di misura (con eventuali multipli o sottomultipli) 2) Ad ogni misura della grandezza fisica possa essere attribuito un valore numerico 3) Tra due grandezze omogenee sia possibile stabilire quale è la maggiore o la minore 4) Tra grandezze omogenee possa essere eseguita l’operazione di somma o differenza

Nota: Ricordatevi che è necessario avere una definizione operativa della grandezza fisica Nota: • Supponete di misurare un tavolo con un metro a nastro con tacche da 1 mm. • Supponete che il risultato della misura sia L = 2.452 ± 0.001 m. • Questo significa che avete stimato che la lunghezza del tavolo sia compresa tra i

valori di 2.451 e 2.453 m e che chiunque altro facesse la stessa misura otterrebbe lo stesso risultato.

• Non ha senso fornire ulteriori cifre significative poiché inferiori all’incertezza. La valutazione corretta dell’incertezza ed il significato statistico da dare all’incertezza

stessa è l’obiettivo di questo corso Nota: A volte può capitare che non venga riportata una incertezza, in questo caso è

convenzione che essa sia una unità o mezza unità dell’ultima cifra significativa

MISURE DIRETTE

La misura di una grandezza fisica è diretta se può essere eseguita per confronto con l’unità di

misura. L’esempio nel lucido precedente tratta di una misura diretta.

MISURE INDIRETTE

Talvolta non e’ possibile misurare direttamente una grandezza fisica ( Velocità, Pressione,

Forza….) ma e’ possibile misurare direttamente grandezze ad esso collegate mediante una

formula definita ( v= Dl/Dt).

In questo caso l’operazione di misura e’ un’operazione algebrica:

si sostituisce nella formula alle grandezze fondamentali la loro misura e si calcola il numero

reale che costituisce una misura indiretta della grandezza fisica in osservazione detta anche

grandezza derivata.

L’unità di misura della grandezza derivata si ottiene allo stesso modo della misura diretta

sostituendo, nella formula, alle grandezze fondamentali le rispettive unita’ di misura e definendo

cosi’, algebricamente, l’unita’ di misura della grandezza derivata.

Grandezze Derivate

Fissato un determinato sistema di unità di misura e quindi delle grandezze che diremo fondamentali (ad esempio il sistema MKS o SI, vedi dopo) allora è possibile definire le grandezze derivate. Nota che la scelta delle grandezze fondamentali è arbitrario e per convenzione si segue la scelta fatta dalla metrologia per la meccanica (lunghezza, tempo, massa)

Esempio: Velocità = DL / DT [v] = [L][t-1]

Nella relazione algebrica che definisce la grandezza fisica in esame si pongono, per convenzione, i simboli delle grandezze fondamentali, misurate direttamente, tra parentesi quadra [ ] e si ignorano eventuali coefficienti numerici. La relazione cosi ottenuta si chiama equazione dimensionale Più in generale, nel sistema MKS (dove la misura di lunghezza, massa e tempo sono le grandezze fondamentali) una grandezza fisica derivata può essere espressa come :

[G] = [La][Mb][tg]

Grandezze adimensionali e numeri puri

E’ possibile che una grandezza derivata risulti non avere unità di misura. Queste grandezze sono in generale definite come rapporti tra grandezze omogenee (i.e. la densità relativa) . Questo tipo di grandezze sono dette grandezze adimensionali o numeri puri. Nota: • Il p è un numero puro in quanto definito come il rapporto tra la lunghezza della semicirconferenza ed il raggio del cerchio.

• Alcune grandezze fisiche possono essere adimensionali solo in certi sistemi di unità di misura.

• Ad esempio la costante di accoppiamento della forza elettrostatica nel sistema CGS è un numero puro, nel sistema SI si assume che abbia le dimensioni di [F][Q-2]L2}

• Le funzioni sen(a),cos(a), tg(a), ea, senh(a), … ed i loro argomenti sono , per definizione, numeri puri.

• Il seno o la tangente sono un rapporto di lunghezze devono essere numeri puri.

• Se sviluppo in serie una esponenziale ottengo una serie di potenze l’esponenziale ed il suo argomento devono essere numeri puri.

.....6

1

2

11

32 ttte t

Angoli

Gli angoli misurati in gradi non sono un numero puro e non devono essere usati Gli angoli misurati in radianti sono numeri puri, infatti sono definiti come il rapporto tra due lunghezze. In questo corso e in generale sono da usare solamente gli angoli misurati in radianti

nzacirconfere della raggior

angolodall' sotteso nzacirconfere di arcodell' lunghezza

/

l

rl

Sistemi di unità di misura

Misura ed errori: • A priori non si conosce il valore di ciò che si misura, sicuramente si dovrà avere una idea del suo

ordine di grandezza o si avrà una stima ‘teorica’ dell’osservabile.

• Il valore vero di una grandezza non potrà mai essere conosciuto (in fisica classica) e quindi anche il valore dell’errore non potrà essere noto. • L’incertezza di una misura, che possiamo chiamare “s”, può essere considerata una buona

stima dell’errore (in generale è una sovrastima). • Se la misura è fatta correttamente, il valore vero deve della grandezza fisica deve essere con

altissima probabilità nell’intervallo xmis-s < xvero < xmis+s • D’ora in avanti i termini incertezza ed errore (anche se in italiano con significati differenti)

saranno considerati sinonimi

• Nessuna misura, per quanto fatta con cura, può essere completamente libera da incertezze o errori.

• E’ di importanza fondamentale essere capaci di calcolare/estrarre/ricavare queste incertezze e di pianificare un esperimento in grado di ridurle al minimo.

• Ogni qualvolta si effettua una misura è quindi necessario/obbligatorio fornire un errore o una incertezza. • Errore non vuol dire uno sbaglio o un comportamento/procedura non corretta • Gli errori non si possono eliminare • Il concetto di errore è insito nel concetto di misura

Esempio:

Massa = (0.23 ± 0.01) 10-5 kg

Il risultato di una misura NON consiste SOLO nel valore fornito dallo strumento, ma anche di un errore e di una unità di misura (la mancanza di uno di questi termini rende gli altri inutili).

Una misura DEVE dare una informazione COMPLETA.

E’ una notazione compatta che esprime il risultato della misura, cioè

Vedremo successivamente quale è il significato in termini probabilistici di una tale

notazione

kgMassakg 55 1024.01022.0

In altre parole:

L’incertezza o errore deve avere la stessa precisione della misura (ne minore ne

maggiore) a cui è associata. In generale dovrà avere uno o (meglio) due cifre

significative. Le altre cifre si tagliano arrotondando X = 12.345689 ± 0.190865 X = 12.35 ± 0.19 E’ necessario definire cosa sono le cifre significative

Cifre Significative: Il numero di cifre significative si calcola contando le cifre, a partire dalla prima cifra non nulla,

da sinistra verso destra.

Lo zero non è significativo se è l’ultima cifra alla sinistra (p.es. 0.0012)

Lo zero è significativo se è in mezzo a due cifre non zero oppure se si trova a destra.

2.30 104 3 cifre significative

0.23 104 2 cifre significative

0.02 104 1 cifre significative

2.301 104 4 cifre significative

Inevitabilità dell’incertezza

Immaginiamo di misurare la larghezza dell’aula: • Contiamo le piastrelle, sapendo le dimensioni delle piastrelle, otteniamo una misura

della larghezza dell’aula • Sorgenti di errore che possono influenzare la misura (non sono tutte):

1. Le distanza tra le piastrelle non sarà sempre la stessa 2. Le piastrelle non saranno sempre di dimensioni esattamente uguali 3. L’ultima piastrella sarà certamente tagliata

• Errore: probabilmente qualche centimetro

• una certa frazione delle dimensioni della piastrella

• Usiamo un metro a nastro • Sorgenti di Errore che possono influenzare la misura (non sono tutte):

1. la sensibilità del metro (legata alla minima suddivisione apprezzabile sullo strumento) 2. Il metro a nastro è steso perpendicolarmente alle pareti ?

• Errore: probabilmente qualche millimetro

• una certa percentuale della sensibilità strumentale

• Usiamo un sistema laser

• Sorgenti di Errore che possono influenzare la misura (non sono tutte): 1. La rugosità delle pareti fa cambiare la larghezza dell’aula

• Errore: al massimo una frazione di mm

Altre sorgenti di errore:

• Anche se fossero risolti tutti i precedenti problemi la larghezza potrebbe dipende dalle condizioni di temperatura, umidità, …

Errore casuale (fenomeni fuori dal controllo dello sperimentatore) Se le pareti della stanza non fossero parallele tra loro o perpendicolari al pavimento ? - ondulate - inclinate Errore sistematico (errato procedimento di misura)

Errore Casuale

In fisica classica nessuna quantità può essere misurata con una infinita precisione. Indipendentemente dallo strumento che usiamo per effettuare la misura di una osservabile fisica, esistono sempre una vasta gamma di fenomeni (detti fenomeni casuali perche al di fuori del controllo dello sperimentatore) che ne possono modificare il valore. L’errore casuale determina una distribuzione delle misure attorno al valore ‘vero’ della grandezza fisica. Si vedrà che, aumentando il numero di misure, si riduce l’incertezza nella determinazione del valore vero. La presenza di un errore casuale, una volta sicuri che il protocollo di misura sia corretto, è indice del fatto che si stanno usando degli strumenti di sensibilità appropriata. Se si adoperasse uno strumento di scarsa sensibilità i valori numerici delle misure ripetute sarebbero tutti coincidenti. Questo non è indice di assenza di errore ma del fatto che la precisione della misura non è sufficiente a misurare la grandezza fisica e che quindi lo strumento usato è probabilmente inadeguato per tale misura. In questo caso tuttavia si prende come incertezza l’ultima cifra del display dello strumento.

Esiste un altro tipo di errore, molto piu difficile da riconoscere e da correggere, esso è definito come Errore Sistematico. E’ difficile dare una definizione generale di “errore sistematico”. In generale, questo deriva da uno strumento difettoso o mal calibrato, oppure da un’ipotesi errata, o da un’approssimazione eccessiva nel nostro modello di lavoro. La sua caratteristica principale è quella di influenzare tutte le misure allo stesso modo (per esempio sempre in eccesso, o sempre in difetto, ma non `e detto che si sappia in che verso). Al contrario degli errori casuali, gli errori sistematici non si riducono aumentando il numero di misure. In presenza di errori sistematici non è possibile misurare il valore ‘vero’ di una osservabile indipendentemente dal numero di misure effettuate. La presenza di errori sistematici (non corretti) sostanzialmente invalida la teoria statistica che presenteremo a lezione. E’ quindi necessario identificare/stimare la presenza di errori sistematici e correggere di conseguenza il valore misurato.

Esempio: 1. Supponiamo di dover pesare un determinato corpo, ma di avere una bilancia mal calibrata, in cui cioè il risultato è sempre il 10% maggiore di quello reale.

• Se non pesiamo il corpo con una strumentazione differente non saremo mai in grado di riconoscere questo tipo di errore nella misura

• Se ricalibriamo lo strumento potremmo correggere anche le misure già effettuate

2. Supponiamo di dover confrontare la velocità del suono nota dalla pressione e temperatura dell’aria v=(g po/ro) 0.5 con quella ottenuta con la misura delle frequenze delle onde stazionarie in un tubo di Kundt (v=ln.

• Per estrarre questo valore leggerò la pressione e la temperatura da un sensore nella stanza. • Tuttavia l’aria all’interno del mio strumento non necessariamente ha la stessa temperatura presente in prossimità del sensore e sicuramente il valore della temperatura nel tubo e nel laboratorio non rimarrà costante nel tempo (come potrà cambiare la pressione atmosferica).

• La velocità cosi estratta sarà sempre leggermente differente da quella reale poichè la temperatura/pressione usata nelle formule non è quella misurata all’interno del tubo

3. Eccessiva semplificazione del modello adottato: una molla ad esempio è supposta lineare su un ampio intervallo di allungamenti, ma in realtà lo è sicuramente solo sull’intervallo nel quale si è misurata k; se per esempio, per pesi elevati la molla subisce allungamenti minori di quelli previsti dalla legge di Hooke, le misure di peso vengono sistematicamente sottostimate.

Esempio: 4. Si misura g attraverso la misura del periodo del pendolo T, si fa oscillare il pendolo con un angolo massimo di 30◦ e si calcola g con la formula T2 = 4π2 (ℓ/g), valida solo per “piccole oscillazioni”; l’approssimazione è eccessiva, perché l’angolo di oscillazione scelto può essere grande e quindi la formula non corretta

5. La misura è affetta da condizioni sperimentali sfavorevoli. Per esempio, vogliamo misurare l’allungamento di una molla mediante una scala graduata in millimetri, che per motivi di montaggio dell’esperimento si trova ad una certa distanza dalla molla stessa. In tal caso, come mostrato l’incertezza della lettura è affetta dalla posizione dell’occhio, cosicché l’errore di misura `e ben più di 1 mm (distanza fra le tacche). Essa andrà quindi valutata dallo sperimentatore

Morale:

L'errore sistematico e` per sua natura molto difficile da individuare, perché ha cause

in linea di principio ignote: • lo strumento e` calibrato bene?

• il nostro modello descrive bene la realtà?

• es: le pareti sono davvero lisce, parallele etc.

Quand'anche si riescano a considerare tutte le possibili fonti di incertezza, la

valutazione quantitativa del loro impatto spesso implica una qualche discrezionalità

dello sperimentatore - anche per questo non possiamo attribuirgli un significato di

deviazione standard o di intervallo di confidenza.

Spesso aiuta ripetere la stessa misura con due tecniche sperimentali

completamente diverse ed indipendenti, per esempio misurare la k della molla con

un metodo statico (allungamenti) e uno dinamico (periodi):

la presenza di discrepanze significative suggerisce che ci siano degli effetti

sistematici non valutati

In presenza di un errore sistematico accertato

Valore dell’osservabile = xbest ± scasuale ± ssistematico (unità di misura)

g = 9.70 ± 0.02 ± 0.08 m/s2

Esistono quindi due espressioni per l’incertezza, quella casuale e quella sistematica (se presente e quantificata) Nota: la formulazione sopra scritta è solo simbolica, non indica una convoluzione o una azione di somma tra gli errori. Infatti:

Errore Casuale

In presenza di un errore sistematico accertato

Valore dell’osservabile = xbest ± scasuale ± ssistematico (unità di misura)

g = 9.70 ± 0.02 ± 0.08 m/s2

Esistono quindi due espressioni per l’incertezza, quella casuale e quella sistematica (se presente e quantificata) Nota: la formulazione sopra scritta è solo simbolica, non indica una convoluzione o una azione di somma tra gli errori. Infatti:

Errore Sistematico

Errore Casual

Cosa fare in presenza sia di errore sistematico che di casuale ? - Se l’errore sistematico è maggiore dell’errore casuale è assolutamente inutile fare più misure, infatti l’incertezza nella misura è caratterizzata dall’errore sistematico che non si riduce con il numero di misure

- Se devo confrontare una misura sperimentale (con errore sistematico e casuale) con una previsione teorica o con una altra misura allora sarebbe possibile sommare in quadratura i due errori (deviazioni standard o della media) anche se il risultato non ha le proprietà statistiche della deviazione standard o di quelle della media (che saranno definite nelle prossime lezioni)

- Non è vero ad esempio che esiste il 68% di probabilità che la misura vera sia entro una deviazioni standard o della media - invece che un punto e una barra di errore è meglio mettere semplicemente una barra

L’errore sistematico e l’errore casuale sono legati dal concetto di accuratezza e precisione: Accuratezza:

• Stima di quanto il risultato di una misura è vicino al valore reale della quantità misurata

Precisione:

• Stima della ripetibilità della misura indipendentemente dal fatto che la misura sia accurata

Una misura molto accurata sarà senza errore sistematico. Una misura molto precisa potrà essere affetta anche da un grande errore sistematico

26

Bassa Accuratezza Alta Precisione (errore piccolo,

valor medio lontano dal valore

vero, errore sistematico)

Alta Accuratezza Alta Precisione

Alta Accuratezza Bassa Precisione (errore grande)

Bassa Accuratezza Bassa Precisione

In questa serie di figure è molto semplice identificare l’errore casuale e quello sistematico, questo perché sappiamo a priori il valore ‘vero’ dell’osservabile, cioè il centro della figura. Cosa succede quando (in quasi tutte le situazioni reali) non è noto il valore vero dell’osservabile da misurare ?

Esiste un terzo tipo di errore, è chiamato Errore grossolano Come si può dedurre dal nome è un errore unicamente dovuto allo sperimentatore e facilmente riconoscibile ripetendo i conti e/o una misura. Esso puo essere generato da:

• Una lettura non corretta dello strumento

• Una sbagliata unità di misura

• Una non corretta procedura di misura

• ………….

Ovviamente in queste lezioni considereremo sempre assenti gli errori grossolani

E’ tutto Chiaro ?

• Definizione di misura • Unità di misura (MKS, SI, angoli, numeri puri) • Definizione operativa • Riproducibilità e indipendenza della misura • Cifre Significative • Misure dirette e misure indirette • Errore Incertezza • Tipologia di errore e sua origine • Errore Casuale, Sistematico, Grossolano • Rappresentazione dell’errore sistematico.

Fino ad ora, tuttavia, sono stati dati concetti generali . Bisogna ora trovare il metodo per estrarre il valore ‘vero’ di una grandezza fisica (o quantomeno qualcosa che si avvicini il più possibile a questo valore) e soprattutto trovare il valore dell’incertezza della misura stessa.

Stima dell’incertezza casuale

Immaginate tre casi generali: 1) Si usa uno strumento inadatto, cioè uno strumento con una sensibilità

bassa rispetto all’errore casuale

E’ inutile fare tante misure (darebbero tutte lo stesso risultato) Si ha un errore di sensibilità pari alla sensibilità dello strumento definito come la più piccola frazione di unità misura che lo strumento è in grado di misurare (un righello ad esempio avrà una sensibilità compresa tra 0.5 e 0.25 mm)

Stima dell’incertezza casuale

2) Si usa uno strumento adatto, cioè uno strumento con una sensibilità buona

rispetto a quella richiesta dalla misura ma è possibile fare solo poche misure - La statistica fornisce strumenti per dare una stima dell’incertezza (ad esempio la ‘t di student’) - Una sovrastima grossolana per l’incertezza è quella di usare la semidispersione massima definita come la metà tra la differenza tra il valore massimo e minimo della misura

2

minmax XXx

D

Stima dell’incertezza casuale 3) Si usa uno strumento adatto, cioè uno strumento con una sensibilità buona

rispetto a quella richiesta dalla misura ed è possibile fare un buon numero di misure (N> 10-30) - la semidispersione massima non può essere usata come stima

dell’incertezza poiché è una sua sovrastima. - E’ necessario trovare una osservabile in grado di quantificare in maniera corretta questa incertezza. - La differenza dal caso precedente è che, in questo caso, si ha a

disposizione un elevato numero di misure e quindi questo permette una più accurata valutazione (magari con delle ipotesi) della incertezza delle misure.

Caso 3 – Ipotizziamo vere le seguenti due ipotesi Ipotesi-1: Le condizioni sperimentali non devono variare lungo l’arco di tempo in cui si effettuano le misure (Indipendenza e Ripetibilità) Ipotesi-2: Non sono presenti errori sistematici Date N misure di una data osservabile fisica (x1, x2, ... xN) e supposte valide le ipotesi 1 e 2 allora la migliore stima del valore dell’osservabile da misurare potrebbe essere data dalla media aritmetica delle singole misure: Altre possibili stime del valore vero potrebbero essere la MODA o la MEDIANA

N

x

N

xxx

N

x

N

xxxxx

N

i

i

NN

N

N

i

i

Nbest

121

121

lim...

lim

...

Date N misure di una data osservabile fisica (x1, x2, ... xN) e supposte valide le ipotesi 1 e 2 allora la migliore stima della incertezza media delle misure è data dalla deviazione standard definita come: Come nel caso del valore vero che si stima con il valore medio, può essere utile definire la deviazione standard di un campione e quella di popolazione. Se si hanno a disposizione poche misure e se si usasse la formula della deviazione standard di popolazione (usando il valore medio) in generale si ha una sottostima del valore vero di s. Notate come in un caso si usa il simbolo s e nell’altro il simbolo s

N

N

x

N

xxx

N

i

i

N 1

2

22

2

2

1

)()(...)()(

s

1

)(

1

)(...)()( 1

2

22

2

2

1

N

xx

N

xxxxxxs

N

i

i

N

Deviazione standard

del campione

Deviazione standard

di popolazione

mostriamo la definizione di deviazione standard

Media

Moda

Mediana

s s

FWHM

Conte

ggi / 0.0

5g

La deviazione standard è un indicatore della larghezza della distribuzione

Stima dell’incertezza casuale

Lo strumento usato è la prima sorgente di incertezza Lo strumento tuttavia non è la sola sorgente di incertezza. Di questo parleremo diffusamente nelle lezioni successive

Per convenzione si prende come incertezza strumentale di una misura la metà della sensibilità dello strumento usato per fare la misura stessa. Ricordate che non necessariamente la sensibilità coincide con la minima suddivisione (anche se in generale è così) p.es. Caso 1 Migliore stima = 36 mm Incertezza = 0.5 mm Caso 2 Migliore Stima = 5.3 Volt Incertezza = 0.3 Volt Nota: Poiché è una convenzione potrebbe capitare che in campi specifici o in particolari protocolli di misura questa regola venga modificata.

Non scrivere una cifra o un decimale nel riportare il valore di una data misura indica implicitamente l’impossibilità di conoscere il valore della cifra non scritta, e viceversa. La scrittura 12.0 indica: 12.0 Il numero di decimali usati per una misura fornisce di per se stesso una stima dell’incertezza presente. E’ un errore GRAVE mettere un numero errato di decimali nelle relazioni/schede/scritti

Rappresentazione dell’incertezza

Da un punto di vista sperimentale/statistico, è molto differente scrivere:

12. mm 120000 mm

12.0 mm 1.2 105 mm

12.00 mm 12 104 mm

12.000 mm 120 103 mm

indica un valore non noto ma non per questo nullo

Attenzione: Quando viene fatto un conto, utilizzando un calcolatore, NON bisogna mai copiare senza riflettere sul risultato: Esempio: Pesiamo insieme tre masse uguali e otteniamo 4.0 grammi. Vogliamo sapere quanto pesa una massa. Effettuando la divisione 4:3 con la calcolatrice si ottiene 1.333333. E’ un grave errore copiare senza riflettere il risultato di 1.333333 grammi, un lettore sarà autorizzato ad assumere che la precisione della vostra misura è del milionesimo di grammo, cosa non vera.

Il numero di decimali usati per una misura fornisce di per se stesso una stima dell’incertezza presente, tuttavia non è una rappresentazione soddisfacente della incertezza di una misura

Attenzione: Quando viene fatto un conto, utilizzando delle costanti (come ad esempio p, bisogna sempre usare un numero ‘sufficiente’ di decimali. Esempio: Misuriamo il diametro di un tavolo e vogliamo calcolare la sua superficie. Il tavolo ha un diametro di 123 .31 cm, la sensibilità della misura è pari a 0.30 cm.

L’uso di un numero troppo basso di decimali nell’uso di costanti note, puo’ distruggere la precisione della misura. Quando usate delle costanti nei vostri conti usate quanti piu decimali possibile. Vedremo in seguito come si puo’ estrarre l’errore e l’incertezza di una misura e quindi scegliere il numero di decimali corretto (s , sm)

S = R2 p

Il risultato di una qualsiasi misura di una osservabile fisica si scrive come:

Valore dell’osservabile = xbest ± s (unità di misura)

Massa = (0.23 ± 0.01) 10-5 Kg

Nota: Non ha senso scrivere X = 12.345689 ± 0.1 X = 12.3 ± 0.137845 X = 12.345689 ± 0.190865 Attenzione ai decimali ogni cifra scritta in una misura ha un preciso significato, le misure precedenti si scriveranno come: X = 12.3 ± 0.1 X = 12.3 ± 0.1 X = 12.35 ± 0.19 L’ultima cifra significativa, in qualunque risultato, dovrebbe di solito essere dello stesso ordine di grandezza (nella stessa posizione decimale) dell’incertezza.

L’incertezza è stata

indicata con s

poichè

successivamene

sarà chiamata

deviazione

standard

123.456789 ± 0.17 11123.456789 ± 345.17 123.456789 ± 0.17908 123.456789 ± 1.17 123.456789 ± 1.1 123.456789 ± 1 123.456789 ± 0.00017 123.456789 ± 0.0017 123.456789 ± 0.017 123.456789 ± 0.170

123.46 ± 0.17 1.112 ± 0.035 104

123.46 ± 0.18 123.5 ± 1.2 123.5 ± 1.1 123 ± 1 123.45679 ± 0.00017 123.4568 ± 0.0017 123.457 ± 0.017 123.46 ± 0.17

Esercizio: Scrivete correttamente i risultati delle seguenti misure

Cifre Significative:

Il numero di cifre significative si calcola contando le cifre, a partire dalla prima cifra non nulla,

da sinistra verso destra.

Lo zero non è significativo se è l’ultima cifra alla sinistra (p.es. 0.0012)

Lo zero è significativo se è in mezzo a due cifre non zero oppure se si trova a destra.

2.30 104 3 cifre significative

0.23 104 2 cifre significative

0.02 104 1 cifre significative

2.301 104 4 cifre significative

• Quando si moltiplicano o si dividono due numeri il risultato non può avere più cifre significative

del fattore meno preciso

• Nelle addizioni e sottrazioni l’ultima cifra significativa del risultato occupa la stessa posizione

relativa dell’ultima cifra significativa degli addendi.

Non e’ quindi importante il numero di cifre significative ma la loro posizione decimale

Esempio: a = 187.3 4 cifre significative b = 1234.584 7 cifre significative

a+b = 1421.884 1421.9 5 cifre significative

ATTENZIONE Le regole sul calcolo delle cifre significative ora viste valgono solo quanto si sommano,

sottraggono, moltiplicano o dividono due numeri. Non valgono nel caso di altre operazioni:

Esempio: Sen (85°) = 0.996194698

Se dicessi: 85° ha 2 cifre significative: allora

Sen(85°) = 0.99 ma Arsen (0.99) = 81.9 °

Arsen (0.9961) = 84.9 °

Per riottenere l’angolo di partenza devo utilizzare 4 cifre significative

Il medesimo ragionamento vale per tutte le funzioni trigonometriche, per i logaritmi, per gli

esponenziali .....

NOTA

La regola delle cifre significativa è una rozza approssimazione (limitata alle quattro

operazioni fondamentali) di come è possibile valutare un errore e propagarlo nelle

operazioni matematiche

Nel corso vi verrà spiegata una metodologia piu accurata e rigorosa che DEVE

essere sempre usata

Le regole con le cifre significative è utilissima per una stima veloce, senza l’uso di

matematica sofisticata, di quale possa essere l’incertezza di una misura o di come si

propaga

Esercizi:

Fare le seguenti operazioni usando le cifre significative corrette

Esercizi:

Fare le seguenti operazioni usando le cifre significative corrette