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Elettromagnetismo - Cap. XXIII Cutnell 1

La Materia

I corpi materiali della meccanica, gli atomi e le molecole della termodinamica sono sistemi estremamente complessi regolati dall’interazione elettromagnetica, nucleare

forte e nucleare debole.

Una molecola è costituita da due o più (fino a diverse centinaia o migliaia come nel DNA) atomi di diversi elementi. Ad esempio l’anidride carbonica C02 è formata da

due molecole di ossigeno ed una di carbonio, il metano NH3 è formato da tre molecole di idrogeno ed una di azoto.

I materiali come l’idrogeno, l’ossigeno, l’azoto, il carbonio, il ferro, … che costituiscono i mattoni con cui si costruiscono le molecole si chiamano elementi e

sono costituiti da atomi. Un atomo è composto da un nucleo di carica positiva e da un numero caratteristico di elettroni tale da neutralizzare completamente la carica del

nucleo.

NH3

CO2

Gli elettroni in un atomo sono posti in orbitali ciascuno con una determinata energia. Le modalità di come due o più atomi si legano tra loro sono definite unicamente dal numero e dall’energia degli elettroni e dall’interazione elettromagnetica.

Gli elettroni sono particelle ‘identiche’ a tutti gli effetti puntiformi ciascuno di massa me=9.11 10-31 Kg e una carica elettrica negativa pari a qe=1.602 10-19 C

Attenzione questa visione grafica dell’atomo, sebbene molto usata non è corretta


Le dimensione di un atomo sono dell’ordine di qualche nanometro, cioè circa 10-9 m. Estremamente più piccole sono le dimensione del nucleo atomico (100000 di volte più piccole) cioè dell’ordine di 10-14 m. Nel nucleo atomico inoltre è concentrato più del 99.99 % della massa dell’atomo. La struttura atomica è quindi una struttura fondamentalmente vuota.

Se diamo al nucleo atomico le dimensioni di una mosca ( ≈1 cm) allora le dimensioni di un atomo sono pari a ≈105 cm cioè ≈102 m.

A tutti gli effetti un atomo può essere visto come una mosca al centro di uno stadio e qualche zanzara (gli elettroni) che vola all’interno.

Ogni elemento ha un numero ben definito di elettroni, l’idrogeno uno, l’elio due, il berillio tre sino a materiali come il piombo o l’uranio che ne hanno rispettivamente 82 e 92. L’insieme di tutti gli elementi opportunamente ordinati secondo il numero di elettroni (chiamato Numero Atomico) costituiscono la tabella periodica degli elementi

I composti costituiti da più atomi sono chiamati molecole


La massa dei protoni è molto simile (ma non uguale) alla massa dei neutronied è pari ad 1.67 10-27 kg ma circa 1000 volte superiore a quella degli elettroni.

La densità del nucleo atomico è molto maggiore di quella della materia normale.

Le stelle a neutroni, che sono corpi celesti del raggio di circa una decina di km ma con la massa pari a quella di più Soli, sono oggetti composti solo di materia nucleare.

Una pallina da ping-pong di materia nucleare peserebbe circa 1015 Kg , cioè come un cubo d’acqua di 110 Km di lato.

Anche il nucleo atomico ha, a sua volta, una struttura. E’ infatti costituito da due tipi di particelle, i protoni (che portano una carica positiva) ed i neutroni (che non portano carica). All’interno del nucleo entrano in gioco oltre che l’interazione elettromagnetica anche la forza nucleare forte e quella debole. Le proprietà nucleari sono quindi caratterizzare dalla combinazione di queste tre interazioni.

31945

27

3

27

/104102.41067.1

34

1067.1 mkgrV

m

protone

protonenucleo ⋅≈

⋅⋅

≈⋅

≈≈ −

−−

πρ

I protoni portano una carica positiva pari a 1.602 10-19 C che è esattamente uguale in modulo a quella dell’elettrone ma oppostain segno.

In un elemento il numero di elettroni ed il numero di protoni è identico. Più aumenta il numero atomico quindi più l’elemento diventa pesante


Anche i protoni ed i neutroni (diversamente dagli elettroni) hanno una loro struttura interna costituita da quarks.

In generale le particelle elementari che costituiscono i mattoni con cui è fatta la materia presente nell’universo si dividono in due classi distinte

Leptoni

I leptoni costituiscono un insieme di 6 particelle accoppiate a due a due sensibili solo all’interazione elettromagnetica ed alla forza nucleare debole

Adroni

Gli adroni sono tutte le particelle che sono costituite da combinazione di più quarks (minimo due). Al momento sono stati scoperti 6 diversi tipi di quarks.

Ad esempio un neutrone è composto da due quarks down ed uno upmentre il protone è composto da due quarks up ed uno down

Elettrone neutrino elettronicoMuone neutrino muonicoParticella τ neutrino τ

Up Charme Top

Down Strange Bottom


Ogni singola particella ha una sua caratteristica massa, carica elettrica (che eccetto per i quarks è un multiplo intero di quella del

protone o dell’elettrone), momento magnetico ed angolare

Quindi

MassaCarica Sono caratteristiche intrinseche della materiaMomento MagneticoMomento Angolare

La carica, il momento magnetico ed angolare intrinseco sono quantità che si conservano. Cioè non è possibile creare una carica Q o un momento angolare dal nulla. E’ invece possibile con una opportuna quantità di energia creare due particelle (una particella con la sua antiparticella) ciascuna con una carica, un momento magnetico ed angolare definito ma la cui somma totale è zero.

Delle tre interazioni che entrano in gioco nel microscopico verrà analizzata solo quella elettromagnetica. L’interazione più semplice delle tre (che cioè non necessita sin dall’inizio una trattazione quantistica) e che è responsabile di tutta la chimica e di tutta la fenomenologia elettrica.

Ogni fenomeno di tipo elettromagnetico che vedremo, comunque, nasce da interazioni a livello atomico, da fenomeni cioè microscopici.

}


L’Elettroscopio

Avvicinando una barra (su cui ho strofinato un panno) le due lamelle dell’elettroscopio si allontanano. Se allontano la barra le due alette si riavvicinano. Cioè subiscono una forza repulsiva ogni qualvolta si avvicina la barra che scompare ogni qualvolta la si allontana. Chiaramente questa interazione dipende dalla distanza.

Il fenomeno esiste per diversi materiali strofinati ma non per tutti (almeno a prima vista).

Se avvicino la barra senza averla strofinata non accade nulla

mgmg

FF

L’elettroscopio è composto da un cilindro di un materiale metallico con due sottili lamelle attaccate all’estremità inferiore. Il tutto è protetto da una scatola di materiale plastico

mgmg


Toccando l’elettroscopio con la barra di plexiglass o il righello elettrizzo l’elettroscopio indipendentemente dalla presenza (le lamelle rimangono aperte). Le lamelle dell’elettroscopio si respingono cioè anche in assenza della barra o di qualsiasi altro oggetto.

Se tocco l’elettroscopio con le mani la forza repulsiva tra le lamelle scompare

Avvicinando a sua volta la barra all’elettroscopio elettrizzato dal righello posso variare la forza repulsiva delle lamelle. Tanto più lo avvicino tanto più riduco la forza di repulsione. Esattamente ilcontrario di quel che era accaduto precedentemente.

Cosa accade ?


Esattamente la stessa cosa accade scambiando il righello con la barra

Avvicinando a sua volta il righello all’elettroscopio elettrizzato dalla barra posso variare la forza repulsiva delle lamelle. Tanto più lo avvicino tanto più riduco la forza di repulsione..

Cosa accade ?


Ogni materiale è composto da atomi, cioè da oggetti carichi positivamente (i nuclei) e negativamente (elettroni) che in condizione di equilibrio si annullano esattamente.

L’energia ceduta alla barra per strofinamento ha separato una certa quantità di carica (positiva o negativa non si sa) della barra che è passata allo straccio.

Avvicinando la barra (con una carica non nulla) all’elettroscopio si inducono delle cariche che fanno allontanare le alette dell’elettroscopio. Infatti anche le lamelle (come ogni altro materiale) sono composte da atomi cioè da cariche positive e negative che si equiparano in condizioni di equilibrio.

La barra (p.es. caricata negativamente) attira verso di sè le cariche positive dell’elettroscopio. Sulle lamelle quindi rimane una maggioranza di cariche negative (la carica totale deve essere zero) che generano la forza repulsiva che fa allontanare le ali dell’elettroscopio.

Quindi cariche opposte si attraggono e cariche uguali si respingono !


Quando l’elettroscopio viene toccato dalla barra (su cui è presente una carica p.es. negativa) parte dell’eccesso di carica è trasferito sull’elettroscopio.Allora in tutta la struttura dell’elettroscopio è presente un eccesso di carica che genera una forza repulsiva sulle alette dell’elettroscopio

Sul righello invece è presente un eccesso di carica opposto a quello del plexiglass. Quindi avvicinando il righello allontano le cariche dalle lamelle e quindi riduco la forza repulsiva.


mgmg

Se invece di due lamelle di oro o di un metallo in generale avessi usato due lamelle di materiale plastico, legno, terra, plexiglass nessuno dei fenomeni prima visti risulta essere osservabile.

Allo stesso modo se avessi strofinato invece che una barra di plexiglass una barra di alluminio nessuno dei fenomeni prima visti sarebbe stato osservabile.

Esistono allora due diversi tipi di materiali, entrambi composti da atomi cioè da cariche positive e negative, dove però in uno le cariche sono libere di muoversi mentre nell’altro le cariche sono confinate nel punto dove sono state prodotte.

Le sostanze con un’alta conduttività elettrica sono detti conduttori. In generale tutti i buoni conduttori termici sono anche buoni conduttori elettrici (i metalli prima di tutto).

Le sostanze che sono dei cattivi conduttori, cioè le sostanze dove una carica non può muoversi al loro interno, sono dette isolanti.

Esiste poi una terza classe di materiali le cui proprietà di conduzione dipendono da parametri esterni come la temperatura o particolarisituazioni fisico-chimiche che sono detti semiconduttori.


Legge di Coulomb

Il modulo |F| della forza che si esercita da una carica puntiforme q1 su un’altra carica puntiforme q2 è direttamente proporzionale al prodotto delle due quantità di carica ed inversamente proporzionale al quadrato della distanza

k è una costante di proporzionalità detta costante elettrostatica di Coulomb. La direzione della forza è quello della congiungente le due cariche puntiformi ed il verso è attrattivo per due cariche di segno opposto e repulsivo per due cariche dello stesso segno.

Nel sistema internazionale di unità di misura la carica si misura in Coulomb e legge di coulomb si scrive come

Un Coulomb è quella quantità di carica che se poste ad 1 metro di distanza subiscono una forza attrattiva/repulsiva pari a 8.99 109 N

221

rqqkF =

[ ][ ][ ]2

29

02

21

0

1099.84

14

1CmNconr

rqqF ⋅==

∧

πεπε

+ q2

- q1- q2

- q1


Principio di sovrapposizione

La forza che piu cariche puntiformi esercitano su una carica qo è pari alla somma vettoriale delle forze che ciascuna di queste cariche singolarmente eserciterebbero

Nota:

Se la carica q1 esercita una forza F sulla carica q2 anche la carica q2esercita una forza uguale e contraria su q1.

Cariche puntiformi significa che i corpi carichi devono avere delle dimensioni molto piccole rispetto alla dimensione del sistema stesso.

+ q4

- q1 - q3

- q2

- q1Un analogo ragionamento deve

essere ovviamente fatto per calcolare la forza totale che

subiscono q2, q3, e q4Ftot


Esempi alla lavagna

La forza presente tra un elettrone ed un protone

La forza di repulsione tra i protoni di un nucleo


Campo di Forza

Sono date una carica Q (positiva) fissa in un determinato punto P ed una carica q0positiva. Utilizziamo la carica q0 come una sonda per verificare le caratteristiche della forza elettrostatica (modulo direzione verso) subita da q0 generata da Q. Posizioniamo q0 in punti differenti intorno a Q e riportiamo il vettore forza F.

Estendendo il procedimento a tutti i punti dello spazio è possibile associare ad ogni punto (x,y,z) un vettore, il vettore forza elettrostatica, che la carica q0 sente (a causa di Q) in quella determinata posizione (matematicamente abbiamo un campo vettoriale).

L’inviluppo di tutti i vettori visualizza delle linee dette linee di forza. Il vettore tangente alle linee di forza nel punto P rappresenta la direzione ed il verso della forza generata dalla carica Q sentita dalla carica positiva q0. La densità delle linee da una stima dell’intensità. Dove cioè le linee sono più dense la forza è più intensa


Il procedimento ovviamente può essere applicato sostituendo alla carica Q positiva una carica Q negativa o una distribuzione di più cariche puntiformi o continue.

Carica puntiforme negativa Due cariche puntiforme positive

Dipolo elettrico


Le linee di forza risentono del fatto che il vettore forza elettrica dipende ovviamente dal valore della carica sonda q0.

Campo Elettrico

L’intensità del campo elettrico E che esiste in un punto P(x,y,z) è la forza elettrostatica F che si esercita su una carica prova q0 collocata in quel punto divisa

per il valore della carica sonda stessa q0.

L’intensità del campo elettrico è una grandezza vettoriale e la sua direzione orientata è uguale alla direzione orientata della forza F che si esercita su una carica di prova

positiva.

E’ possibile costruire le linee di campo elettrico con lo stesso procedimento con cui sono state costruite le linee di forza. Anzi, graficamente le linee di forza e le linee di

campo sono identiche, cambia solo il significato concettuale.

0qFE = [ ] [ ]

[ ][ ][ ][ ] [ ]Cs

mkgCNE 2==


Note importanti:

• Le linee di campo elettrico non si originano nè terminano nello spazio tra le cariche ma solo su una carica elettrica che si dice sorgente del campo.

• Le linee di campo elettrico si originano dalla carica positive e sono dirette verso la carica negativa.

• La configurazione delle linee di campo elettrico da anche una stima sull’intensità del campo elettrico. Tanto maggiore è il numero di linee di campo tanto maggiore è l’intensità del campo stesso.

• Le linee di campo elettrico non sono ovviamente sempre rettilinee

• Concettualmente il campo elettrico nel punto generico P(x,y,z) indica la forza che una ipotetica carica elettrica positiva unitaria posta in P(x,Y,Z) sentirebbe.

• Per avere un campo elettrico è necessaria una distribuzione di carica sorgente ma non è necessaria una carica prova (come invece per la forza) in altre parole il campo elettrico è sempre presente laddove sono presenti della cariche ma si manifesta solo in presenza di cariche prova.


Dipolo Elettrico

La configurazione di cariche molto semplice e molto importante dopo quella di una carica puntiforme, è il dipolo elettrico.

Si dice dipolo elettrico un sistema costituito da due cariche (una positiva ed una negativa posta ad una distanza d tra loro

Campo di dipolo elettrico


Il campo elettrico nei conduttori

I conduttori sono dei materiali con la particolarità di permettere alle cariche di muoversi liberamente al loro interno.

Consideriamo una sfera piena di materiale conduttore (rame, alluminio, ferro, oro, ….) con al suo interno una data quantità di carica Q (p.es. Negativa)

La forza di repulsione elettrostatica farà allontanare il più possibile le cariche (che in un conduttore possono muoversi al suo interno).

Il luogo dei punti dove le cariche massimizzano la loro distanza reciproca è la superficie esterna.

All’equilibrio, in condizioni elettrostatiche (cioè con tutte le cariche ferme), la carica in eccesso, di qualunque polarità sia, risiede sulla superficie esterna del conduttore, qualsiasi sia la forma del conduttore.

Ovviamente la densità di carica può essere differente in punti diversi della superficie del conduttore. In particolare la densità di carica si concentrerà soprattutto sulle punte.

Nel caso in cui ci fosse un conduttore cavo (di qualsiasi forma interna ed esterna) con al suo interno una carica Q (positiva) allora sulla superficie interna del conduttore si verrà ad accumulare una carica -Q mentre sulla superficie esterna ci sarà una carica +Q (ovviamente la carica totale del conduttore deve essere zero).

Un osservatore esterno vede solo la carica Q (positiva) sulla superficie esterna del conduttore.

Non è possibile in alcun modo conoscere cosa ci sia all’interno del conduttore. Bisogna ‘romperlo’.


All’equilibrio, in condizioni elettrostatiche (cioè con tutte le cariche ferme), la carica in eccesso di qualunque polarità sia risiede sulla superficie esterna del

conduttore.

All’interno del conduttore, di conseguenza, il valore del campo elettrico è nullo. Infatti se fosse non nullo indurrebbe un movimento nelle cariche.

Poiché all’interno di un conduttore il campo è nullo le linee di campo non possono entrare in un conduttore ma si fermano sulla sua superficie.

Una qualsiasi carica posta in una cavità all’interno di un conduttore non sentirà in alcun modo un campo elettrico generato da delle cariche esterne

Il campo elettrico in prossimità della superficie di un conduttore in equilibrio è sempre perpendicolare al conduttore stesso. Se cosi’ non fosse allora la

componente non perpendicolare indurrebbe un moto nelle cariche presenti sulla superficie.


Condensatore a piatti piani paralleli

In moltissime applicazioni (p.es. in uno oscilloscopio o in uno schermo televisivo) è importante avere un campo elettrico costante nello spazio o, in altre parole, una regione dello spazio dove è possibile confinare un campo elettrico costante in direzione, verso e modulo.

Un sistema formato da due piatti piani paralleli su cui è presente una carica Q identica ma opposta in modulo in prima approssimazione produce nella regione centrale un campo elettrico costante.

-Q+Q Se la superficie dei piani è pari ad A e se su ciascun piano è presente una carica Q, il campo elettrico all’interno di un condensatore a piatti piani paralleli è pari a

AQE

0

1ε

=

Alle estremità del condensatore a piatti piani paralleli si ha un “effetto di bordo” per cui il campo elettrico non è più costante.

In prima approssimazione se le armature sono di dimensioni moltosuperiori rispetto alla loro distanza è possibile vedere il condensatore come un oggetto con un campo elettrico costante in direzione verso e modulo al suo interno ed un campo elettrico nullo al suo esterno.


In generale il calcolo del campo elettrico generato da una distribuzione di cariche qualsiasi è un problema estremamente difficile da risolvere a meno che il sistema abbia delle speciali simmetrie. In generale lo si risolve con metodi numerici con una integrazione sul volume.

zyxincaricadiDensitàzyxr

dVzyxzyxEvol

,,),,(

),,(4

1),,( 20

000

=

= ∫ρ

ρπε

P(x0,y0,z0)r

Per calcolare il campo elettrico generato da una qualsiasi distribuzione continua di carica in un punto P(x0,y0,z0) si divide la distribuzione in volumi infinitesimi, ciascuno con una densità di carica ρ(x,y,z) e si integra su tutto il volume.

Campo generato da una distribuzione qualsiasi di carica


Sviluppo in multipoli

Spesso non è necessario conoscere nei dettagli estremi il campo elettrico generato da una sorgente (potrebbe essere numericamente troppo

complesso, o potrebbe essere non necessaria una precisione estrema)

Esempio:

Data una sorgente delle dimensioni di un francobollo carica positivamente

• A grandi distanze (p.es. 100 metri) la sorgente può essere praticamente considerata come una carica puntiforme

• Riducendo la distanza osservatore-sorgente, gli effetti indotti dall’estensione finita della sorgente iniziano ad essere importanti. E quindi possibile immaginare la sorgente come composta da due sorgenti puntiformi (cioè la vedo come un dipolo)

• In terza approssimazione la sorgente può essere approssimata come compostada quattro sorgenti puntiformi (Quadrupolo)

• ……………..

…… ⇒ …….

Matematicamente il procedimento si chiama sviluppo in multipoli econsiste nello sviluppare in serie la densità di carica attorno ad un puntox,y,z. I valori dei termini dello sviluppo in serie indicano quanto bene posso approssimare la sorgente come una carica puntiforme, dipolo, quadrupolo, ……..

+ + +


Note importanti

In elettrostatica si ipotizza SEMPRE che le cariche elettriche, comunque siano distribuite, siano sempre FERME.

Il mattone di partenza di tutta la trattazione è la forza di Coulomb. Dalla relazione che da’ la forza con cui si attraggono e respingono due cariche puntiformi è possibile ricavare la forza che subisce una distribuzione di carica qualsiasi in presenza di una seconda distribuzione di carica qualsiasi (attenzione che questa ‘forza’ NON è detto che abbia una relazione tipo quella di Coulomb)..

Analizzare il problema nei termini di campo elettrico risulta essere più semplice in quanto non bisogna più preoccuparsi della carica sonda ma è concettualmente assolutamente identico ad una analisi in termini di forza.

Poiché è più facile conoscere l’andamento del campo elettrico che la distribuzione di cariche più in generale si dice che:

Data una certa distribuzione di cariche che genera un campo elettrico E=E(x,y,z) la forza elettrica che una carica Q posta nel P(x0,y0,z0) subisce è pari al prodotto del valore del campo elettrico nel punto P per il valore della carica Q.

Da notare che con questa nuova definizione di forza non entrano più in gioco le distribuzioni di cariche. Tutto dipende dal punto P (x0,y0,z0). Ciòche c’é attorno non è importante.

EQF =


Esempio alla lavagna

moto e forza indotta da un campo elettricoOscilloscopio


Energia Potenziale Elettrica e Potenziale elettrico

La forza di Coulomb, mattone di tutta l’elettrostatica, è una forza conservativa. E’ quindi possibile definire una funzione Energia Potenziale.

• L’energia potenziale è la funzione U(x,y,z) definita in ogni punto P(x,y,z) dello spazio che da il lavoro necessario per portare una carica q0 dal punto P ad un punto di riferimento precedentemente determinato.• Come per ogni forza conservativa il calcolo del lavoro non dipende dalla

traiettoria che viene percorsa• Le proprietà dell’energia potenziale elettrica saranno le medesime di quella

gravitazionale mgh trovata in meccanica

Una situazione simile a quella della forza peso della meccanica (una forza cioè costante) rivolta verso il basso F = -mg si può ottenere all’interno di un condensatore a piatti piani paralleli, nella regione in cui il campo è costante

)( AB hhmgUjmgF−=

−=∧

))(/(/

00

00

AB hhAQqUEqFjAQE

−==−=

∧

εε


L’energia potenziale per una carica puntiforme si può calcolare a partire dalla definizione stessa di energia potenziale.

L’energia potenziale posseduta da una carica puntiforme q0 nel punto A (xA,yA,zA) immersa in un campo elettrico generato dalla carica puntiforme Q è dato dal lavoro necessario portare la carica da A ad un punto di riferimento P

dsrrQqdsFAU

ll

⋅=⋅= ∫∫ 20

041)(πε

Poiché il lavoro non dipende dalla traiettoria posso scegliere una traiettoria ‘facile’ per andare da A a P

1) Mi muovo su un arco di circonferenza di centro in Q da A al punto B Poiché lo spostamento è ortogonale alla forza (radiale) il lavoro è nullo

2) Mi muovo in direzione radiale da B a P

Qq0

A(xA,yA,zA)

q0

P(xrif,yrif,zrif)B dr

rQqAU

PA∫>−

= 20

041)(πε

−=

−=

−=

−=== ∫∫

>−>−

rifApA

BB

P

BPBPA

rrQq

rrQqAU

rrQq

rQqdr

rQqdr

rQqAU

114

1114

1)(

114

114

114

14

1)(

00

00

00

00

200

20

0

πεπε

πεπεπεπε

Se considero il punto di riferimento all’infinito. Il potenziale di una carica puntiforme q0 posta nel punto A all’interno del campo elettrico generato dalla carica Q distante da q0 rA è dato da:

=

ArQqAU 0

041)(πε


Esempio:

esercizio massimo avvicinamento di particella ad atomo


Potenziale

Si definisce potenziale del punto A V(A) il rapporto dell’energia potenziale con il valore della carica sonda q0..

E lo stesso approccio con cui si è passati dalla forza al campo elettrico si elimina cioè la carica prova e si crea una funzione che dipende solo dalla sorgente del campo.

Nel caso in cui Q è una sorgente puntiforme allora

Il potenziale è associato unicamente alla distribuzione di carica che genera il campo elettrico. Il potenziale di una carica puntiforme costituisce il mattone con cui, con un processo di integrazione, si costruisce il potenziale di una qualsiasi distribuzione di cariche

∫∫>−>−

⋅−=⋅

==Arifrifa

dsEqdsF

qAUAV

00

)()(

==

AA r

QrQVAV04

1),()(πε

[ ] [ ][ ] VoltCJV ==

P(x0,y0,z0)r

zyxincaricadiDensitàzyxr

dVzyxzyxVvol

,,),,(

),,(4

1),,(0

000

=

= ∫ρ

ρπε


Come è possibile passare dal campo elettrico al potenziale (con un processo di integrazione nello spazio) è anche possibile ritornare indietro, passare cioè dal potenziale al campo elettrico. Il procedimento matematico è quello, ovviamente, di derivazione.

Tuttavia:Il potenziale è uno scalare il campo elettrico è un vettore.

Il passaggio da campo elettrico a potenziale è stato fatto mediante un prodotto scalare. Da potenziale dobbiamo recuperare tutte e tre le componenti di E.

L’operatore matematico in grado di fare questo procedimento inverso è il gradiente indicato come ∇ o come Grad.

( )

∂∂

−

∂∂

−

∂∂

−

=

∂∂

−

∂∂

−

∂∂

−

=

∂∂

−

∂∂

−

∂∂

−

=−∇=

zV

Vr

rV

Vr

Vr

rV

zVyVxV

VEθ

ϕθ

θ1

sin1

1

Le componenti del campo elettrico si ottiene a partire dal potenziale come la derivata parziale del potenziale rispetto alla variabile stessa cambiata di segno.

In dipendenza dal sistema di coordinate usato la derivata parziale può avere o meno un coefficiente moltiplicativo.

In generale per descrivere un sistema di cariche più che la forza o il campo elettrico si usa il potenziale. Infatti:

• Il potenziale è uno scalare (ho cioè una sola componete, invece che tre)• Mediante il gradiente è facile passare dal potenziale all campo• Il potenziale mi permette il calcolo del lavoro, che in generale è

l’osservabile che serve nei problemi pratici


E’data una carica puntiforme Q posta nell’origine del sistema di coordinate sferiche. Il potenziale generato da questa carica nel punto A posto ad una distanza radiale rA è dato da:

L’andamento del potenziale V in funzione della distanza radiale è di tipo iperbolico.

Potenziale di una carica puntiforme

==

AA r

QrQVAV04

1),()(πε

Passando dalla posizione A alla posizione B (avvicinandosi quindi a Q carica sorgente del campo) una carica qualsiasi q0 passa da una regione a potenziale più basso ad una regione a potenziale più alto. Il lavoro che dovrà fare la carica è pari a:

E’ cioè negativo per una carica positiva e positivo per una carica negativa

Una carica positiva, se lasciata libera di muoversi, accelererà da una regione di potenziale maggiore verso una regione a potenziale minore

• rotola giù dalla curva

Una carica negativa, se lasciata libera di muoversi, accelererà da una regione di potenziale minore verso una regione a potenziale maggiore

Ovviamente non cambia assolutamente nulla per un campo elettrico generato da una carica -Q basta solo invertire i segni

( )( ) ( )( )

−=

−=−−=

BA

BA

rrqL

rQVrQVqAVBVqL

114

1

),(),()()(

00

00

πε


Superfici Equipotenziali

Una superficie equipotenziale è una superficie dello spazio 3D su cui il potenziale elettrico è lo stesso in ogni punto.

Nel caso di un campo elettrico generato da una carica puntiforme le superfici equipotenziali sono delle sfere.

costanter

costanterQrQV

=

=

=

041),(πε

In caso di distribuzione di cariche più complesse le superfici equipotenziali possono assumere forme piu complicate

Nero = potenzialeGiallo = Sup. equipotenziale

Nota:

Non si deve compiere lavoro per muovere una carica su una superficie equipotenziale

L’intensità del campo elettrico generato da una qualsiasi distribuzione di cariche è sempre perpendicolare alle superfici equipotenziali ed è orientata nel verso del potenziale crescente



Potenziale di un condensatore a piatti piani parallelisuperfici equipotenziali


Circuiti Elettrici

Dato un corpo carico positivamente ed uno carico negativamente. I due corpi generano un campo elettrico e ciascuno si trova ad un potenziale differente. Esiste cioè una differenza di potenziale tra i due corpi

Collegando i due corpi con un filo di materiale condutture le cariche negative si muoveranno verso il corpo carico positivamente per azzerare la differenza di potenziale

Collocando una ipotetica paletta lungo la strada delle cariche è possibile generare lavoro.

Ricollocando le componenti è stato creato un circuito elettrico

+ -V1 V2

+ -V1 V2

+ -V1 V2

+

-

V1

V2

Generatore di forza elettromotrice

(f.e.m.)

Dispositivo elettrico

Generatore di forza elettromotrice

∆V (f.e.m.)Dispositivo

elettrico semplice∆V=V1-V2-

+


Generatore

Strumento in grado di mantenere ai suoi capi un differenza di potenziale DVchiamata forza elettromotrice (f.e.m.)

Corrente elettricaIl movimento ordinato di cariche elettriche è detto corrente elettrica

Intensità di corrente elettricaL’intensità di corrente elettrica è data dalla quantità di carica dq che passa

nell’intervallo di tempo dt. L’intensità di corrente elettrica si misura in Ampere

La corrente elettrica, per convenzione, scorre dal polo positivo al polo negativo (in verso opposto al reale verso di scorrimento degli elettroni)

Se le cariche si muovono sempre nel medesimo verso la corrente è detta continua, se le cariche cambiano verso di scorrimento periodicamente la corrente è detta alternata.

PotenzaLa potenza dissipata da un circuito in cui scorre una corrente I indotto da una differenza

di potenziale ∆V costante nel tempo è dato dal prodotto I∆V

[ ] [ ][ ] AmperesCI

dtdqI ===

( ) ( )

temponelcostanteVseVIdtdqVP

VqdtdU

dtd

dtdLP

∆∆=∆=

∆=∆==


Esempi:

Una batteria di automobile mediamente genera una corrente di circa 10A con una differenza di potenziale di 12 V. La potenza che è in grado di generare è quindi pari a 1.2 102 Watt.

La corrente elettrica erogata dalle prese di corrente è una corrente alternata che varia sinusoidalmente con frequenza pari a 50 Hz ed ampiezza pari a 220 Volt

La potenza dissipata P in questo caso dipende ovviamente dal tempo. Allora si calcola una potenza media, calcolata in un periodo T

Allora la f.e.m. efficace erogata da una presa è pari a Veff = 155 Volt

V

t220 V

0.02 s

sTHz 02.050150 ==⇒

( ) ( ) ( )

effeffeffeff

T

VIPVVII

IVTTIV

wTIVwtwt

wTIVP

dwtwtTwIVdtwtIV

TwtIV

TP

wtIVVIP

wtRVwtII

wtVV

===

=

==

−=

===

==

==

=∆

∫∫→→

00

0000002

0

00

20

200

0

200

200

200

00

0

21

21

2242sin

2

)(sin)(sin1)(sin1)(sin

)sin()sin(

)sin(

ππ

ππ

π


Legge di Ohm

Sperimentalmente si osserva che, nella grande maggioranza dei conduttori (ma non in tutti), l’intensità di corrente elettrica dipende linearmente dalla differenza di potenziale applicata. La costante di proporzionalità si chiama resistenza e dipende dalle proprietà

fisico chimiche (struttura atomica, forma, temperature, … ) del conduttore.

[ ]

( )( ) atemperaturditecoefficienTT

materialedelàresistivitconduttoredelsezioneSconduttoredellunghezzal

SlR

OhmRresistenzaRRIV

⇒−+=

⇒⇒⇒

=

===∆

ααρρ

ρρ

00 1

l

S

In generale, abbassando la temperatura, la resistenza dei conduttori diminuisce. In certi casi specifici, a temperature molto vicine allo zero assoluto, la resistenza elettrica improvvisamente diventa zero. Questi materiali sono detti superconduttori. In materiali come il Germanio o il Silicio invece la resistenza elettrica diminuisce con l’aumentare della temperatura.


Esempio



Potenza dissipata da una pila da 1.5 Volt con differenticonduttori

Potenza dissipata da un tostapane

potenza tostapane = 450 W

Costo di una lampadina da 60 Watt accesa per un giornoCosto di un toast

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