STATISTICA e PROBABILITA'

Il problema della misura si pone in termini probabilistici, determinando un intervallo di valori aventi una certa probabilità di essere osservati.

E' necessario quindi introdurre alcuni elementi di teoria della probabilità

La Statistica è la disciplina che studia quantitativamente i fenomeni collettivi

L'insieme di tutte le possibili osservazioni di un fenomeno costituisce la Popolazione

L'insieme di osservazioni parziali costituiscono un Campione

●metodi e le finalita' della statistica sono diversi secondo che la popolazione venga osservata per intero o in modo parziale. Nel caso della misura, l'indagine viene condotta su un campione di dati e la statistica, che va sotto il nome di Inferenza statistica,nferenza statistica, fornisce i metodi con cui le informazioni fornisce i metodi con cui le informazioni contenute nel campione vengono estese, riferite, all'intera contenute nel campione vengono estese, riferite, all'intera popolazione.popolazione.

Le diverse definizioni di Probabilita'1-DEFINIZIONE CLASSICA di probabilità: (a priori)

● Il risultato di un esperimento si possa presentare con n eventi possibili ( modalita' dell'evento) e sia A un evento possibile.

● La probabilita’ di un evento A, P(A), è uguale al rapporto fra il numero di casi favorevoli n(A) al verificarsi dell’evento stesso e il numero n dei casi possibili, purché tutti equiprobabili:

P(A) = n(A)/n

2-DEFINIZIONE EMPIRICA o STATISTICA di probabilità:(a posteriori)

● Supponendo che sia possibile ripetere un esperinento un numero N di volte nelle stesse condizioni ,la probabilità P(A) di un determinato evento A è il limite del rapporto tra il numero M(A) di volte in cui si è manifestato l’evento favorevole e il numero N di prove, al tendere all’infinito del numero di prove stesse, cioé

P(A) = lim M(A)/N per N infinito→● Da entrambe le definizioni risulta 0DP(A)P1 ; P(A)=0 per evento impossibile

P(A)=1 evento certo

● La definizione classica di probabilita' e' insoddisfacente per 2 motivi: in primo luogo sottointende il concetto di equiprobabilita', cosicche' nell'ambito della definizione si usa il concetto stesso da definire. Inoltre essa e' applicabile solo se gli eventi elementari hanno tutti la medesima probabilita'

● La definizione empirica di probabilita' sottointende che l'evento sia ripetibile nelle stesse condizioni sperimentali un numero N grande di volte. Inoltre presuppone a priori una convergenza della frequenza relativa al crescere di N, verso un valore ben definito.

● Le due definizioni (classica ed empirica) trovano una consistenza nella legge dei grandi numeri o Teorema di Bernoulli) .

Teorema di Bernoulli L'enunciato in forma semplificata e' il seguente:

● Sia A un evento possibile In una serie di prove di un dato esperimento ripetuto nelle stesse condizioni . Se l'evento A si e'presentato M(A) volte in N prove, la probabilita' che la frequenza relativa f(A)=M(A)/N differisca dalla sua probabilita' classica P(A) di una quantita' in valore assoluto minore di un ε positivo piccolo a piacere , tende a 1 col crescere del numero delle prove.

La convergenza nella legge dei grandi numeri o Teorema di Bernoulli e' quindi intesa in senso statistico (o debole)e non implica una convergenza esatta nel senso dell'analisi: non implica cioe'che, preso un numero positivo ε piccolo a piacere sia possibile determinare in conseguenza un intero M tale che per ogni N>M risulti sicuramente |f(A)-P(A)| <ε

Cosa significa convergenza statistica

● Gli studenti hanno gia' verificato nei risultati della loro esperienza (lancio dei dadi) il significato di convergenza statistica .

● Vale ancora sottolineare che tale convergenza non preveda che all'aumentare del numero delle prove l'uscita di un evento A (comparsa di una determinata faccia di un dado) sia certa ma solo che aumenti la probabilita' del verificarsi di A ,senza che si raggiunga mai la certezza..

● esempio: nel gioco del lotto non esiste un numero M di volte dopo il quale un numero prefissato che non e’ uscito per M volte , esca con certezza.

Rappresentazione grafica di una convergenza statistica

3-DEFINIZIONE ASSIOMATICA di probabilita'

La definizione assiomatica di probabilita' e' matematicamente consistente e supera le incongruenze delle definizioni precedenti.● La probabilita' di un evento A e' definita come una funzione

d'insieme

E' necessario pertanto premettere alla sua definizione alcune nozioni● -Eventi - Insieme e sottoinsieme di eventi .

Spazio campionario degli eventi,● - Operazioni d'Insieme (unione -intersezione)● -Funzione d'insieme

EVENTI e INSIEME o SOTTOINSIEME di EVENTI SPAZIO CAMPIONARIO

●Eventi semplici o elementari = possibili risultati o modalita' dell'esperimento non ulteriormente scomponibili

●Spazio degli eventi S = totalità degli eventi elementari associati all'esperimento

●Insieme o sottoinsieme di eventi=combinazione di uno o piu' eventi semplici

●Eventi complessi = sottoinsieme dello spazio campionario

Esempio 1: Lancio di un dado

●Spazio campionario: E1 (comparsa faccia 1), E2, E3, E4, E5, E6

●Evento complesso: comparsa faccia pari E2, E4, E6

Esempi

Esempio 2: lancio 2 dadi a 6 facce

● Spazio campionario; tutti gli eventi semplici che sono le 36 coppie di valori (1,1) (1,2) ............ rappresentabili in un piano cartesiano dai punti in figura

● Evento complesso

esempio: risultato del lancio somma 7 :

(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)

Esempio 3: lancio di una moneta 3 volte

● Spazio degli eventi:TTT,TTC,TCT,TCC,CTT,CTC,CCT,CCC Evento complesso :prima uscita T= sottoinsieme TTT, TTC, TCT, TCC,

Esempio 4: misura della lunghezza di una barra d'acciaio in un processo produttivo. L'osservazione del fenomeno assegna

● Spazio degli eventi = Valori compresi fra 295 e 305 cm

● Evento complesso:=Valori di lunghezza >300 cm

● valori > 300 cm : sottoinsieme 300-305 cm

Operazioni su insiemi

● Data la corrispondenza fra eventi e insieme di punti, lo studio della relazione tra eventi è riconducibile allo studio della relazione fra insiemi.

● Uno schema molto utile per illustrare gli insiemi e mostrarne le relazioni è il diagramma di Venn. Si tratta di un diagramma che rappresenta l'insieme con i punti contenuti in un cerchio, in un rettangolo o in altra figura piana.

● Insieme complementare = tutti gli elementi di S che non Āappartengono ad A

● Insieme vuoto = insieme che non contiene alcun Ǿelemento

● Insiemi A e B disgiunti

o mutualmente esclusivi

● Insiemi A e B congiunti

● Insieme unione di insiemi A e B si indica A∪Binsieme degli elementi di A o di B o di entrambi● Insieme intersezione di insiemi A e B si indica A∩B

insieme dei punti che appartengono ad A ed a B

A∩B= ∅ Insiemi congiunti Insiemi disgiunti

Funzione d'insieme

● Nell'accezione usuale, una funzione f(x) e' una legge che associa a cascun punto di un dato insieme di punti (dominio)uno e un sol punto di un altro insieme (codominio).Tale nozione puo' essere facilmente estesa al caso in cui gli elementi del dominio siano insiemi di punti anziche' singoli punti.

● Esempio● si considerino i cerchi nel piano (x,y) di raggio r= (x2+y2) ½ ;a

ciascun cerchio si puo' associare l'area corrispondente s = r2 .● s cosi' definita e' funzione d'insieme.

Nella successiva definizione assiomatica di probabilita' si associa ad un insieme o ad un sottoinsieme A una funzione P(A)

3-DEFINIZIONE ASSIOMATICA di probabilità

● Ad ogni insieme A viene assegnata una funzione d'insieme P(A) detta Probabilità dell'insieme che deve soddisfare le seguenti proprietà

– P(A) ≥ 0 per ogni A– P(S) = 1– P(A U B U C …) = P(A) + P(B) + P(C) per ogni serie finita o

infinita di eventi disgiunti (o mutualmente esclusivi).● E' una definizione puramente formale basata su 3 assiomi.

● Si tratta di dare una definizione operativa di probabilità ovvero di definire operativamente la misura della probabilità di un insieme A.

Legge della probabilità totale (forma semplice)

La proprieta' della definizione assiomatica

P(A U B U C …) = P(A) + P(B) + P(C) per ogni serie finita o infinita di eventi disgiunti (o mutualmente esclusivi)

e' nota come regola della Probabilita' totale per insiemi disgiunti . Essa e' anche formulata come:

Se un evento puo' manifestarsi con modalita' diverse che si escludono a vicenda, la probabilita' dell'evento e' la somma

delle probabilita' corrispondenti a quelle modalita'.

Assegnazione della probabilta' agli eventi

● Sia la definizione classica, sia la definizione empirica di probabilita' soddisfa gli assiomi,e risultano con cio' matematicamente consistenti.

● La definizione assiomatica di probabilita', non dice nulla su come assegnare dei valori alla probabilita'. Tuttavia su tali valori si possono fare delle ipotesi , verificabili poi analizzando gli eventi reali osservati. Si facciano ,per tutti, gli esempi dell'assegnazione delle probabilita' nei giochi d'azzardo in cui in genere gli eventi sono supposti non equiprobabili. L'assegnazione della probabilita' agli eventi di S deve soddisfare la condizione di normalizzazione P(S)=1

Esempio di assegnazione della probabilita' ad eventi non equiprobabili

Agli eventi semplici che sono il risultato del lancio di un dado a sei facce equiprobabile si assegnano le probabilita' mediante la definizione classica

P(E1 )=P(E2 )=P(E3)=P(E4)=P(E5)=P(E6)=1/6

Se si suppone che il dado sia “truccato” (per esempio si sospetti che la faccia “2” abbia probabilita' doppia delle altre) si usano le proprieta' della

definizione assiomatica

P(E1 )=P(E2 )=P(E4)=P(E5)=P(E6)=1/7 P(E2)=2/7

Esempio di assegnazione della probabilita' ad eventi complessi

Si voglia valutare adesso (utilizzando il dado “truccato”)

la probabilita' degli eventi complessi A (punteggio pari =2,4,6)

B (punteggio inferiore a 3 =1,2)

C (punteggio pari o inferiore a 3 =A ∪ B) gli eventi A e B sono congiunti.

Per calcolare P(A) e P(B) si applica la proprieta' assiomatica degli eventi disgiunti da cui P(A)=2/7+1/7+1/7=4/7

P(B)=1/7+2/7=3/7 ma per il calcolo d P(A ∪ B ) con A e B congiunti non

abbiamo ancora la regola!

Legge della probabilità totale(forma generale)

● La proprieta' assiomatica

● P(A U B U C …) = P(A) + P(B) + P(C) per ogni serie finita o infinita di eventi disgiunti

● permette di ricavare la regola della proprieta' totale nella che forma generale ,estesa anche ad insiemi congiunti .

P(A U B ) = P(A) + P(B) ─ P(A∩B)● Dimostrazione:

● Siano A e B insieme congiunti

In figura e' mostrato come e' sempre possibile esprimere l'insieme unione A U B di insiemi congiunti come l'unione di insiemi disgiunti

e applicare all'insieme (A U B) la proprieta' della somma di insiemi disgiunti

● inoltre sia A che B possono sempre esprimersi come unione di insiemi disgiunti nella forma:

● da cui si ottiengono le relazioni

● che sostituiti nella precedente

● danno il risultato P(A U B)=P(A)+P(B)–P(A∩B)

P(A∣B) = Probabilità condizionata di A dato B

Risulta talora necessario in alcuni problemi ,valutare la probabilita' che si verifichi un evento A essendosi gia' verificato un evento B

Siano A e B due eventi dello spazio campionario S e

sia P(B)0 non nulla.

Si definisce probabilita' condizionata di A dato B , che si indica come P(A∣B) la probabilita' dell'intersezione A∩ B diviso la

probabilita' di B

P(A∣B)=P(A∩B)/P(B)

[ovviamente P(A∣B)=0 se gli eventi o insiemi sono disgiunti essendo A∩B=Ǿ]

La P(A∣B) soddisfa gli assiomi

Si puo' verificare che questa definizione di probabilita' soddisfa le proprieta' della definizione assiomatica.

Infatti se B e' un sottonsieme di S ,dalla proprieta'

P(A∩B)≤P(B)<1 e P(A∣B)=P(A∩B)/P(B) risulta

0≤P(A∣B)≤1

essendo 0=P(A∣B) se gli eventi A e B sono disgiunti e P(A∣B)=1 se B⊂A o B=A

La probabilita' condizionata P(A∣B) puo' essere <=> P(A)

Esempio P(A∣B) > P(A) il verificarsi dell'evento B favorisce il verificarsi di A

1)Nell'ipotesi che una famiglia abbia 2 figli,cercare la probabilita' condizionata che ambedue i figli siano maschi, sapendo che almeno uno

di essi e' maschio.

Spazio campionario: (m,m) , (m,f), (f,m),(f,f) supposti equiprobabili gli eventi hanno probabilita' 1/4

sottoinsieme A: (m,m)

sottoinsieme B:(m,m), (m,f), (f,m)

P(A∣B)=P(A∩B)/P(B)=1/4/3/4=1/3>P(A)=1/4

Se A⊂B P(A∣B)=P(A∩B)/P(B)=P(A)/P(B) >P(A)

Esempio : P(A∣B) < P(A)Se P(A∣B) < P(A) il verificarsi dell'evento B sfavorisce il verificarsi di A

i

2)Nell'ipotesi che una famiglia abbia 2 figli,cercare la probabilita' condizionata che almeno uno sia un maschio ,sapendo che il primo e'

una femmina

evento A: (m,m),(m,f),(f,m) ; evento B (f,f),(f,m)

P(A∣B)=P(A∩B)/P(B)=1/4/1/2=1/2<P(A)=3/4

La probabilita' condizionata P(A∣B) puo' essere = P(A)Se P(A∣B) = P(A) il verificarsi dell'evento B non influisce sul verificarsi

dell'evento Agli eventi A e B sono indipendenti tra loro

Esempio : Si consideri il lancio di 2 dadi simmetrici.Sia A l'evento che la somma dei 2 dadi sia 7 e B l'evento che il I dado sia 4 Si calcoli la

probabilita' condizionata P(A∣B)

Evento A:(1,6) (2,5),(3,4) (4,3)(5,2)(6,1)

Evento B :(4,1) (4,2)(4,3) (4,4)(4,5) (4,6)

Evento A∩B = (4,3)

P(A∣B) = P(A∩B)/ P(B)=1/36/ 1/6=6/36=P(A)

Legge della probabilità composta (forma generale)

● Dalla definizione di probabilita' condizionata P(A∣B)=P(A∩B)/P(B)

● si ricava

P(A∩B)=P(A∣B) P(B) o anche

P(B∩A)=P(B∣A) P(A)

● La legge si generalizza a piu' eventi o insiemi nella forma

P(A∩B∩C∩… )= P(A)P(B∣A) P(C∣A∩B)......

Eventi indipendenti- Legge della Probabilita’ composta ( forma semplice)

Se i due eventi A e B sono indipendenti P(A∣B)=P(A) e

la legge della probabilita' composta (forma generale)

diventaP(A∩B )=P(A) P(B)

Se gli eventi sono piu' di due ,la legge si generalizza nella forma

P(A∩B ∩.C….)=P(A) P(B)P(C)...

Legge della probabilità composta (per eventi indipendenti): se un evento E risulta dal concorso contemporaneo o successivo di 2 o piu' eventi completamente indipendenti tra loro , ciascuno con probabilita' P(A), P (B),

P(C)...la probabilita' che si verifichi l'evento A∩B ∩C..

C

e' il prodotto delle singole probabilita'

Esempio 1 insiemi congiunti non indipendenti

lancio di una moneta simmetrica 3 volte

Spazio degli eventi : TTT,TTC,TCT,TCC,CTT,CTC,CCT,CCC supposti equiprobabili la probabilita' di ogni singolo evento =1/8

a)Si voglia valutare la probabilta' dell'evento “almeno 2 T” se al primo lancio si e' verificato l'evento C

A=[CTT, TTT,TTC, TCT] B=[CTT,CTC,CCT,CCC]

P(A∣B)=P(A∩B)/P(B)=1/8/1/2=1/4<P(A)=1/2

Esempio 2 eventi congiunti indipendenti

Si voglia valutare la probabilita' di Croce al III lancio essendosi verificato l'evento 2C al I e II lancio

A=[TTC,TCC,CTC,CCC] B=[CCC,CCT]

P(A∣B)=P(A∩B)/P(B)=1/8/1/4=1/2=P(A)

vale la legge della probabilita' composta in forma semplice

P(A∩B)=P(A) P(B) =1/2*1/4=1/8

ESEMPIO 3 eventi congiunti non indipendenti

Si consideri il lancio di 2 dadi simmetrici.Sia A l'evento che la somma dei 2 dadi sia 6 e B l'evento che il I dado sia 4 Si calcoli la probabilita'

condizionata P(A∣B)

Evento A:(1,5) (2,4),(3,3) (4,2)(5,1)

Evento B :(4,1) (4,2)(4,3) (4,4)(4,5) (4,6)

P(A∣B) = P(A∩B)/ P(B)=1/36/ 1/6=6/36>P(A)=5/36

Il verificarsi dell'uscita 4 al I lancio favorisce la somma 6

ESEMPIO 4 eventi congiunti non indipendenti

Nel lancio di un dado simmetrico ,qual'e' la probabilita' che esca un numero minore o uguale a 3,dato che e'uscito un numero dispari?

A:(1,2,3)

B:(1,3,5)

P(A∣B) = P(A∩B)/ P(B)=2/6/1/2=2/3>P(A)=1/2

L'uscita di un numero dispari favorisce l'uscita di un numero minore o uguale a 3.

Anche con la definizione classica P(E)=2/3!

Quadro riassuntivoLegge della probabilita' totale (forma generale)

P(A U B ) = P(A) + P(B) ─ P(A∩B)

Legge della probabilita' composta (forma generale) P(A∩B)=P(A∣B) P(B)=P(B∣A) P(A)

caso a) Eventi A e B disgiunti o incompatibili

P(A∩B)=0

P(A U B ) = P(A) + P(B)

caso b) Eventi A e B congiunti e indipendenti

P(A U B ) = P(A) + P(B) ─ P(A∩B)

P(A∩B)=P(A) P(B)

Eventi A e B congiunti indipendenti

Se si chiede qual'e' la probabilita' che esca un pari al II lancio se al I e' uscito un dispari (Attenzione lo spazio campionario e‘ costituito dalle 36 coppie

(1,1),(1,2)......

Evento A (1,2) (2,2) (3,2)……………………

(1,4) (2,4) (3,4)……..

(1,6) (2,6) (3,6)……..

Evento B (1,1) (1,2) (1,3)……………………

(3,1) (3,2) (3,3)…….

(5,1) (5,2) (5,3)…….

P(A∣B)=P(A∩B) /P(B)=9/36/1/2= 9/18

P(A∩B)=P(A) P(B)=1/2*1/2=1/4