Elettromagnetismo - Cap. XXIII Cutnell 88

Induzione Elettromagnetica

Un campo elettrico (che induce quindi una corrente elettrica) produce un campo magnetico.

Un campo magnetico è in grado di produrre un campo elettrico ?

Quando non c’e’ moto relativo fra il magnete ed il circuito non si induce un campo elettrico. Se il magnete si muove, produco un campo elettrico.La f.e.m. Che si produce si dice f.e.m. indotta e la corrente che circola si dice corrente indotta

Elettromagnetismo - Cap. XXIII Cutnell 89

Posso produrre una f.e.m. indotta:

• Variando l’intensità del campo magnetico

• Variando la superficie del circuito immersa nel campo magnetico

Elettromagnetismo - Cap. XXIII Cutnell 90

In alcuni casi l’effetto non è altro che la banale conseguenza della forza di Lorentz

• Il magnete produce un campo verticale• Il filo (le cariche) si muove orizzontalmente

• Ho una forza di Lorents F=qvB• Induco una corrente elettrica

• Sebbene l’effetto sia locale, la corrente scorre in tutto il filo, gli elettroni cioè si spingono etirano a vicenda ( .. Principio del Telegrafo)

BvqF ∧=

Elettromagnetismo - Cap. XXIII Cutnell 91

Per la grande maggioranza dei casi l’effetto è assolutamente nuovo e non spiegabile con le leggi trovare fino ad ora

• Induco una corrente elettrica se:

• Il filo è fermo• Il magnete è in movimento

• Il filo è fermo• Un secondo filo è in moto

• Il filo è fermo• Vario la corrente in un secondo filo

Variando il campo magnetico intercettato da un circuito (posso variare il modulo, l’intensità, il verso o qualsiasi combinazioni di queste), variando l’area di un ciruito immesso in un campo magnetico oppure variando l’orientamento del circuito nel campo magnetico si induce nel circuito stesso una f.e.m.

Questo fenomeno è detto induzione elettromagnetica

• Se ho un circuito aperto ⇒ Induco una corrente elettrica⇒ Ho una forza che spinge gli elettroni⇒ f.e.m.

• Se ho un circuito chiuso ⇒ Non può passare corrente⇒ induco una ddp

Elettromagnetismo - Cap. XXIII Cutnell 92

Sperimentalmente si osserva che:• Induco una f.e.m. in un circuito Se

• Vario B• Vario la forma del circuito immersa nel campo magnetico• Vario l’orientamento del circuito immerso nel campo magnetico

• La direzione della f.e.m. Indotta è tale da creare un campo magnetico che si oppone alla variazione data

Elettromagnetismo - Cap. XXIII Cutnell 93

Devo trovare una osservabile che dipenda da B e dall’area sottesa dal circuito.

La cosa più semplice è il prodotto scalare

• Dove

• B è il vettore compo magnetico

• A è il vettore che ha per modulo l’area della superficie considerata e per direzione quella normale alla superficie stessa

• Spesso il vettore A si scrive come A n con A lo scalare che indica la superficie ed n un versore ortogonale alla superficie stessa

AB ⋅

B

n

AnBAB )( ⋅=⋅

gasoliquidineiflussodiconcettodeleequivalentleesattamentèedmagneticocampodelflussochiamasiAnBABBprodottoIl

')()( ⋅=⋅=Φ

Elettromagnetismo - Cap. XXIII Cutnell 94

B

n

BAAnBB −=⋅=Φ )()(

0)()( =⋅=Φ AnBB

θ

( )θcos)(

)()(

BAB

AnBB

=Φ

⋅=Φ

Elettromagnetismo - Cap. XXIII Cutnell 95

Nel caso di superfici curve è sufficiente dividerle in areole infinitesime cosi da poter considerare ciascuna di queste come piatta

∑ ∫ ⋅=⋅=ΦSup

danBAnBB)(

Flusso del campo Magnetico

Data una superficie qualsiasi A immersa in un campo magnetico B, si definisce flusso di B l’integrale di superficie definito come

Se la superficie A è piana e il vettore B è costante, l’integrale si riduce al prodotto del modulo di B con il valore della superficie ed il coseno dell’angolo sotteso tra la normale alla superficie e B

[ ] [ ] [ ][ ]

dasuperficiedielementoallortogonaleVersorenmagneticocampoVettoreB

WebersVWdanBBS

'

)(

⇒⇒

===Φ⋅=Φ ∫

( )θcos)( BAdanBBSup

=⋅=Φ ∫

Elettromagnetismo - Cap. XXIII Cutnell 96

dtBdmef )(... Φ

−=

Legge di Faraday Neumann Lentz

Il valore della f.e.m. Indotta su un circuito è dato dalla derivata del flusso del campo magnetico cambiata di segno

Esempio:

( ) ( )( ) ( )

( )( )

( )( ) BLvBvtxLdtdB

dtdmef

BvtxLB

BvtxLBAdanBBSup

−=+−=Φ−=

+=Φ

+==⋅=Φ ∫

0

0

0

)(...

)(

0coscos)( θ

Elettromagnetismo - Cap. XXIII Cutnell 97

Esempio:

( ) ( )

( )

( )tBAmef

tBAdtdB

dtdmef

tBABAdanBBSup

ωθω

ωθ

ωθθ

+=

+−=Φ−=

+==⋅=Φ ∫

0

0

0

sin...

cos)(...

coscos)(

Ho prodotto una corrente alternata

Elettromagnetismo - Cap. XXIII Cutnell 98

Attenzione:

Se invece di un circuito ho una bobina allora devo moltiplicare per il numero di spire. Infatti il flusso passa per ciascuna spira

L’energia elettrica che si ottiene per mezzo del fenomeno dell’induzione magnetica non viene dal nulla. Il lavoro meccanico che è stato fatto per muovere la sbarra o per far ruotare la spira è quello che ritrovo in forma di corrente elettrica.

Infatti

• Nel caso della spira devo contrastare la forza di lorentz che il filo in quanto percorso da corrente ed immerso nel campo magnetico F = ilB cheguarda caso è diretto in direzione opposta a quella della velocità

• Nel caso della spira rotante devo contrastare il momento della forza dovuto al fatto di avere una spira percorsa da corrente in un campo magnetico

dtBdNmef )(... Φ

−=

F

Elettromagnetismo - Cap. XXIII Cutnell 99

Induttanza Propria

In un qualsiasi circuito in cui passa della corrente variabile nel tempo

1) La corrente varia nel tempo2) Si crea un campo magnetico variabile nel tempo3) Si crea a sua volta una f.e.m. indotta che contrasta la variazione

di corrente4) Goto 1

Il problema può essere quindi estremamente complesso in quanto la corrente che circola in un circuito influenza se stessa

Per quantificare questo effetto si definisce un coefficiente L detto induttanza propia come

L’induttanza propia quindi mi dice come il circuito risponde, intermini di corrente, ad una variazione di flusso del campo magnetico. Se le proprietà geometriche del circuito non cambiano allora l’induttanza propria è una caratteristica tipicadel circuito.

La f.e.m. Indotta dal fenomeno dell’autoinduzione quindi si può ricavare dalla legge di faraday Neumann Lents

[ ] [ ][ ][ ] HenryAsVL

diBdL ==

Φ=

)(

dtdiL

dtdi

diBd

dtBdmef −=

Φ−=

Φ−=

)()(...

Elettromagnetismo - Cap. XXIII Cutnell 100

Esempio:

Indittanza di un Solenoide

egeometrichichecratteristdallesolodipendeL

SlnSlindid

diBdL

SlinB

dailndainnldaBnldanBNB

inB

solenoidenelpassachecorrenteisolenoidedellunghezzalsolenoidedelsuperficieS

lunghezzadiunitàperspirenumeronsolenoideDati

ssss

02

02

02

02

0

0

)(

)(

)(

µµ

µ

µµ

µ

==Φ

=

=Φ

===⋅=Φ

=

====

∫∫∫∫

Elettromagnetismo - Cap. XXIII Cutnell 101

Induttanza Mutua

In una qualsiasi coppia di circuiti vicini tra loro in cui passa della corrente variabile nel tempo

1) La corrente varia nel tempo in entrambi i circuiti2) Si crea un campo magnetico variabile nel tempo somma dei

campi magnetici creati dai due circuiti3) Si creano a loro volta, in ciascun circuito, una f.e.m. indotta che

contrasta la variazione di corrente4) Goto 1

Il problema può essere quindi estremamente complesso in quanto la corrente che circola in un circuito influenza se stessa ed è influenzata da quello accade nelle vicinanze

Per quantificare questo effetto si definisce un coefficiente M detto induttanza mutua come

Nel caso più semplice, in cui in un solo circuito passa corrente, allora nel secondo si induce una f.e.m. pari a

L’importanza della mutua induzione consiste nel fatto che permette il trasferimento di energia (sotto forma di energia elettrica) da un circuito ad un secondo circuito senza la necessita di alcun contatto fisico. Basta che siano vicini

[ ] [ ][ ][ ] HenryAsVMM

diBd

diBdM ===

Φ=

Φ= 21

1

12

2

2112

)()(

dtdiM

dtdi

diBd

dtBdmef 11

1

1212 )()(... −=Φ

−=Φ

−=

Elettromagnetismo - Cap. XXIII Cutnell 102

Elettromagnetismo - Cap. XXIII Cutnell 103

Esempio alla lavagna

Trasformatorequesito 3 pg 732esercizio 3 pg 733