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SEZIONE

AARITMETICA E ALGEBRA

CAPITOLO 1 Il problema del contare – Elementi di base del calcolo combinatorio

CAPITOLO 2 Il campo ordinato dei numeri reali

MATEMATICA & MATEMATICA: Numeri algebrici e trascendenti

CAPITOLO 3 Elementi di calcolo approssimato

CAPITOLO 4 La fattorizzazione dei polinomi

CAPITOLO 5 Le frazioni algebriche e le operazioni tra frazioni algebriche

CAPITOLO 6 Complementi su equazioni e disequazioni

MATEMATICA & CHIMICA: L’acidità dell’aceto

CAPITOLO 7 L’algebra dei vettori

LABORATORIO DI MATEMATICA CON LO SMARTPHONE:

Una camminata “smart”

Test interattivi su ZTE

INIZIAMO

CON UN PROBLEMA

Fattorizzazione

e zeri

di polinomi

2

SEZIONE A • Aritmetica e algebra

È vero che…

se un polinomio P(x) di grado n $ 2 ha uno zero reale allora si fattorizza nel campo reale?

se un polinomio non ha zeri reali, allora non si fattorizza nel campo reale?

Ricordiamo il teorema del resto.

Se esiste uno zero reale del polinomio P x^ hdi grado n $ 2, allora P x^ h si fattorizza nel campo reale nel prodotto fra un polinomio di primo grado e uno di grado n - 1.

Grazie a questo risultato possiamo quindi rispon-dere in modo affermativo alla domanda 1 .

Per rispondere alla domanda 2 partiamo dall’ipo-tesi che il polinomio non abbia zeri reali e chiedia-moci se possiamo concludere che non si fattorizza nel campo reale.

Consideriamo il polinomio:

P x x x 14 2= + +^ h .

P x^ h non può avere zeri reali. Infatti, qualunque sia il numero reale x, x x4 2

+ è un numero non negativo e la sua somma con 1 restituisce un numero maggiore o uguale a 1 e quindi diverso da 0.

1

2

Ci chiediamo se P x^ h si può fattorizzare. Conside-riamo le seguenti uguaglianze:

x x x x x x x1 2 14 2 2 2 4 2 2+ + + - = + + - =

x x12 2 2+ -= ^ h .

Possiamo quindi pensare x4 + x2 + 1 come diffe-renza di due quadrati.Ricordiamo che:

A2 - B2 = A B A B- +^ ^h h.

Poniamo A = x2 + 1 e B = x:

x x x x1 14 2 2 2 2+ + = + - =^ hx x x x1 12 2

= + + + -^ ^h h.

Abbiamo trovato un polinomio che non ha zeri ma si fattorizza nel campo reale.

Ciò equivale a dire che la risposta alla domanda 2

è negativa.

Esiste un insieme numerico in cui sia sempre possibile esprimere un polinomio di grado n come prodotto di n fattori di primo grado?

Riformuliamo la domanda:

“Esiste un insieme nel quale un polinomio di grado n ha n zeri?”

La risposta alla domanda 2 dimostra che questo insieme non può essere quello dei numeri reali.

INIZIAMO CON UN PROBLEMA

Fattorizzazione e zeri di polinomi

x2 + 5x + 6

2 + 3 = 5

2 × 3 = 6

(x + 2)(x + 3)

3

Fattorizzazione e zeri di polinomi

In questo testo non vogliamo affrontare lo studio dei numeri complessi, ma un’idea possiamo darla considerando l’equazione di secondo grado x2 + 1 = 0, che nei numeri reali non ha soluzioni.Supponiamo di dare significato all’equazione x2 = -1, in modo da potere affermare che esiste un numero, non reale, che elevato al quadrato sia uguale a -1. Identifichiamo questo numero con la lettera i, iniziale di immaginario, e affer-miamo che:

i2 = -1.

Allora i è una soluzione non reale dell’equa-zione x2 + 1 = 0. Quindi, nell’insieme dei numeri complessi, il polinomio x2 + 1 si fattorizza nel prodotto x xi i- +^ ^h h.

Ma a quale tipo di insieme numerico dovremmo pensare? È lecito “inventarsi” nuovi numeri? Hai già assistito a operazioni di ampliamento degli insiemi numerici per risolvere nuovi problemi. Per esempio, abbiamo introdotto i numeri interi per risolvere il problema di determinare x tale che x + a = 0. I numeri razionali sono stati “inventati” per risolvere il problema di determinare x tale che ax + b = 0 (con a diverso da 0). Infine, abbiamo definito i numeri reali per risolvere il problema di assegnare una misura a ogni segmento.

Possiamo quindi chiederci se esiste un insieme numerico nel quale ogni polinomio di grado n ammette n zeri e quindi può essere scritto come prodotto di n fattori di primo grado. Questo insieme esiste e si chiama insieme dei numeri complessi.

Quantità silvestri e immaginarie

Il matematico bolognese Rafael Bombelli, nella sua opera L’algebra, si occupò dei numeri complessi. Prima di lui Erone aveva parlato di radice di un numero negativo e Cardano aveva coniato il termine “quantità silvestri”, con il quale anche Bombelli identifica i numeri complessi. Ma Bombelli fu il primo a definire la quantità immaginaria e a stabilire regole di calcolo con i numeri complessi. L’introduzione dei numeri immaginari non avvenne per scomporre un polinomio di grado n in n fattori di primo grado. Infatti Bombelli introdusse i numeri complessi per dare senso alla formula risolutiva generale proposta da Cardano per le equazioni di terzo grado, che prevedeva la radice quadrata di un numero negativo.

Numeri complessi e fenomeni

fisici

Charles Proteus Steinmetz (1865-1923), ingegnere e matematico tedesco, elaborò un modello teorico per la corrente alternata sfruttando proprio i numeri complessi. Di lui è stato detto che “ha prodotto energia tramite i numeri complessi”.Questo è solo uno dei tanti campi della fisica dove entrano in gioco questi numeri: tutti i fenomeni di oscillazione, come per esempio quelli legati alla propagazione delle onde radio, possono essere descritti utilizzando i numeri complessi.

Puoi ricavare dalla rete o dal tuo libro di fisica informazioni interessanti a riguardo, che potrai approfondire quando studierai le funzioni goniometriche.

▶ Algebra di Rafael Bombelli: frontespizio dell’edizione bolognese del 1579.

4


CAPITOLO

1Il problema del contare – Elementi di base del calcolo combinatorio

Quante targhe?Il sistema attuale delle targhe automobilisti-che in Italia prevede l’utilizzo di due insiemi di simboli: l’insieme delle 10 cifre , , ,0 1 9…" ,e quello di 22 lettere A,B, ,Z…" , nel quale sono comprese le lettere J, K, W, X, Y ed escluse le lettere I, O, Q, U.Ogni targa è formata ordinatamente da:

• 2 lettere anche non distinte;• 3 cifre anche non distinte;• 2 lettere anche non distinte.

Quanti autoveicoli è possibile identificare con questo sistema?

Risoluzione

Poiché l’insieme delle targhe è in corrispondenza biunivoca con l’insieme degli autovei-coli, è sufficiente contare quante sono le possibili targhe.

• La prima lettera può essere scelta fra 22 possibilità. Per ciascuna di queste, ci sono 22 possibili scelte della seconda lettera. Quindi le prime due lettere possono essere scelte in

22 $ 22 = 222 = 484

modi differenti.

• Passiamo ora alla sequenza di 3 cifre. Abbiamo 10 possibili scelte per la prima cifra e per ciascuna di queste abbiamo 10 possibili scelte per la seconda cifra, quindi:

10 $ 10 = 102 = 100.

Per ciascuna di queste 100 ci sono 10 possibilità per la terza cifra:

10 $ 10 $ 10 = 103 = 1000.

Si tratta, in sostanza, dei 1000 numeri naturali che vanno da 0 a 999.Poiché per ciascuna delle 484 coppie di lettere iniziali ci sono 1000 terne di cifre, ab-biamo fin qui

484 $ 1000 = 484 000

diverse targhe.

• L’ultima coppia di lettere ha altre 484 possibili scelte, dunque in totale il numero delle possibili targhe differenti tra loro è:

22 $ 22 $ 10 $ 10 $ 10 $ 22 $ 22 = 224 $ 103 = 234 256 000.

PROBLEMA

5

Il problema del contare – Elementi di base del calcolo combinatorio • CAPITOLO 1

Poiché in Italia si vendono circa 1 milione di auto all’anno, questo sistema può durare an-cora a lungo!

Alcune domande che aprono nuove prospettive

Quanti sono i sottoinsiemi di 4 elementi scelti in un insieme di 10 elementi?

Qual è il coefficiente di a4 nello sviluppo di a 1 10+^ h ?

Quante sono, tra le parole di 10 caratteri formate dalle sole lettere A e B, quelle in cui la lettera A compare esattamente 4 volte?

Se lanciamo una moneta 10 volte, in quante sequenze diverse possono uscire esattamente 4 teste?

Contare gli anagrammi: il fattoriale

Uno dei primi problemi di combinatoria è il seguente: in quanti modi diversi si possono ordinare n oggetti distinti? Per risolverlo è molto utile il modello degli anagrammi.

Troviamo quanti sono gli anagrammi (anche privi di senso) della parola amore.Ci sono:

• 5 possibilità per la prima lettera;

• 4 possibilità per la seconda lettera (tutte le lettere tranne la prima);

• 3 possibilità per la terza lettera (tutte le lettere tranne la prima e la seconda);

• 2 possibilità per la quarta lettera (tutte le lettere tranne la prima, la seconda e la terza);

• 1 possibilità per la quinta e ultima lettera (l’ultima lettera rimasta).

Indichiamo il prodotto dei primi 5 numeri naturali (escluso lo 0) con il simbolo 5! (si legge 5 fattoriale):

5! = 5 $ 4 $ 3 $ 2 $ 1 = 120.

Possiamo generalizzare.

n oggetti distinti si possono ordinare in

n! = 1 $ 2 $ … $ n

modi diversi. Ciascuno di essi si chiama permutazione di n oggetti distinti. Dunque ci sono n! permutazioni di n oggetti distinti.

Elenchiamo tutte le possibili permutazioni delle tre lettere o, r, a:

ora, oar, roa, rao, aro, aor.

Come possiamo verificare, sono 3! = 3 $ 2 $ 1 = 6.

Se avessimo considerato un insieme di 4 lettere, le possibili permutazioni sarebbero state 4! ossia 4 $ 3 $ 2 $ 1 = 24.

PER ESEMPIO

5

5 $ 4 = 20

5 $ 4 $ 3 = 60

5 $ 4 $ 3 $ 2 = 120

5 $ 4 $ 3 $ 2 $ 1 = 120

▶

PER ESEMPIO

6


Dall’esempio precedente possiamo verificare che 4! = 4 $ 3!. Questa osservazione vale in ge-nerale e consente di dare una definizione di n! detta ricorsiva.

!

! !n n n

0 1

1$

=

= -I M*

La definizione 0! = 1 è giustificata dal fatto che in un prodotto, in assenza di fattori, ciò che resta è l’elemento neutro, cioè 1.

Vediamo come sia possibile calcolare 4! utilizzando la definizione ricorsiva del fatto-riale di un numero:

4! = 4 $ 3!3! = 3 $ 2!2! = 2 $ 1!1! = 1 $ 0!

Quindi:

1! = 1 $ 1 = 12! = 2 $ 1 = 23! = 3 $ 2 = 64! = 4 $ 6 = 24

Il numero n! cresce molto rapidamente al crescere di n (e questo spiega il punto esclama-tivo della notazione).

• 10! = 3 628 800 . 3.6 $ 106;

• 20! = 2 432 902 008 176 640 000 . 2.4 $ 1018;

• 30! = 265 252 859 812 191 058 636 308 480 000 000 . 2.7 $ 1032;

• 40! = 815 915 283 247 897 734 345 611 269 596 115 894 272 000 000 000 . 8.2 $ 1047.

Fino a pochi decenni fa il calcolo di n! doveva essere effettuato senza calcolatori ed era dun-que molto laborioso. Si utilizzava allora un’approssimazione di n! dovuta a James Stirling

(1692-1770):

!n n en2

n

. r b ldove

• r = 3.14159265… è il numero pi greco, definito come il rapporto tra la lunghezza di una circonferenza e quella del suo diametro;

• e = 2.718281828… è il numero di Eulero, che incontreremo più volte e che in Italia viene spesso denominato anche numero di Nepero.

La formula di Stirling sembra ben più complicata di ciò che vuole approssimare: essa però può essere calcolata direttamente qualunque sia n. Invece il prodotto 1 $ 2 $ … $ n richiede n - 1 moltiplicazioni iterate.

Per calcolare n! con un foglio elettronico, si può usare il comando:

=FATTORIALE(n) .

Possiamo confrontare, per n = 10, 20, …, 50, il numero n! con l’approssimazione di Stirling.

▶

PER ESEMPIO

PER ESEMPIO

7


Puoi ricostruire la tabella a fianco in un fo-glio elettronico e dare altri valori a n.

Se 8 atleti partecipano a una gara di corsa, ci sono 8! = 40 320 possibili ordini di arrivo diversi. Cerchiamo di capire in quanti modi diversi si può comporre il podio (cioè i primi 3 classificati).Lo schema sfrutta sempre lo stesso metodo: ci sono 8 possibili atleti per il primo posto, 7 per il secondo, 6 per il terzo. In totale 8 $ 7 $ 6 = 336 diversi podi.Osserviamo che, usando la definizione ricorsiva di fattoriale, 8 $ 7 $ 6 si può scrivere come:

8 $ 7 $ 6 = !!

58 .

Infatti:

!!

!!

58

58 7 6 5

8 7 6$ $ $

$ $= =^ h

.

Il problema proposto nel precedente esempio è equivalente a contare tutte le parole di 3 let-tere diverse che si possono scrivere con un alfabeto di 8 lettere.

Possiamo generalizzare questo problema e chiederci qual è il numero di parole di k lettere diverse che si possono formare con un alfabeto di n lettere.La prima lettera può essere scelta fra le n lettere dell’alfabeto, la seconda fra le n - 1 lettere ri-manenti e via così fino alla k-esima lettera per la quale ci sono le rimanenti n - k + 1 possibilità.Quindi il numero di parole di k lettere diverse scelte in un alfabeto di n lettere è dato da:

n n n n k1 2 1…$ $ $ $- - - +^ ^ ^h h h.Generalizziamo.

Gli ordinamenti di k oggetti scelti tra n oggetti distinti sono:

!!

!!

.n k

nn k

n n n n k n kn n n k

1 2 11 1

……

$ $ $ $ $$ $ $

-=

-

- - - + -= - - +^ ^^ ^ ^ ^ ^ ^h hh h h h h h

Ciascuno di essi si chiama disposizione di k oggetti su n.

Contare i sottoinsiemi: i coefficienti binomiali

Riprendiamo l’esempio degli 8 atleti e determiniamo in quanti modi diversi può es-sere composto il podio, senza curarci dell’ordine di arrivo. In altri termini, con-tiamo quanti sono i sottoinsiemi di 3 elementi scelti in un insieme di 8, per esempio

, , , , , , ,1 2 3 4 5 6 7 8X = " ,.Come abbiamo appena visto, il numero di ordinamenti di 3 oggetti scelti tra 8 oggetti

distinti è !!

58 .

n n! Stirling(n)

10 3.6288 $ 106 3.5987 $ 106

20 2.4329 $ 1018 2.4228 $ 1018

30 2.6525 $ 1032 2.6452 $ 1032

40 8.1592 $ 1047 8.1422 $ 1047

50 3.0414 $ 1064 3.0363 $ 1064

PER ESEMPIO

▶

PER ESEMPIO

8


Ma se non siamo interessati all’ordine, significa che ogni sottoinsieme di 3 elementi viene contato più volte. Per esempio, il sottoinsieme , ,3 6 7" , viene contato 6 volte:

, , , , , , , , , , , , , , , , ,3 6 7 3 7 6 6 3 7 6 7 3 7 3 6 7 6 3" " " " " ", , , , , ,e 6 è esattamente il numero di permutazioni di 3 oggetti, cioè 3!Allora, per ottenere il numero di sottoinsiemi di 3 elementi scelti tra 8, dobbiamo divi-dere il numero di ordinamenti per 3!:

! !!

!3 58

38 7 6 8 7 6 566$

$ $ $ $= = = .

Il numero così ottenuto si chiama coefficiente binomiale e si indica con il simbolo 38b l.

Generalizziamo.

Se n è un numero naturale e k è un numero naturale compreso tra 0 e n, si indica con il

simbolo knb l il numero di sottoinsiemi di k elementi scelti in un insieme di n elementi:

! !!

kn

k n kn

=-I M

b l .

Ciascuno di questi sottoinsiemi si chiama combinazione di k oggetti su n.

knb l è detto coefficiente binomiale.

Un consiglio di amministrazione formato da 12 persone deve eleggere al proprio interno una giunta formata da 4 persone. In quanti modi diversi può farlo?La risposta è:

412

4 3 212 11 10 9 11 5 9 495$ $

$ $ $$ $= = =b l .

Proprietà dei coefficienti binomiali

Sia X un insieme che contiene un numero n qualsiasi di elementi.

0n

1=b l : l’unico sottoinsieme con 0 elementi è l’insieme vuoto Ø.

n

n1=b l : l’unico sottoinsieme che contiene n elementi è X stesso.

nn1 =b l : in X infatti ci sono n sottoinsiemi con 1 elemento.

n

nn1- =b l : c’è una corrispondenza biunivoca tra i sottoinsiemi da 1 elemento e i sot-

toinsiemi da n - 1 elementi in X; infatti, un sottoinsieme con n - 1 elementi è caratte-rizzato dall’unico elemento che non gli appartiene.

k

n

n k

n=

-b bl l: c’è una corrispondenza biunivoca tra i sottoinsiemi con k elementi e i

sottoinsiemi con n - k elementi in X; infatti, ogni sottoinsieme con k elementi è associato al sottoinsieme complementare, che ha n - k elementi.

La sequenza degli n + 1 coefficienti binomiali n0b l, n

1b l, …, nnb l è simmetrica.

• Se n è pari, la sequenza è simmetrica rispetto al valore centrale nn

2f p, che è anche il

valore massimo.

Per esempio, se n = 6, i 7 coefficienti binomiali 06c m, 6

1b l, …, 66c m sono:

1, 6, 15, 20, 15, 6, 1.

▶

PER ESEMPIO

1

2

3

4

5

6

9


• Se n è dispari, la sequenza degli n + 1 coefficienti binomiali è simmetrica rispetto ai due

valori centrali nn

nn

21

21- =

+f fp p.Per esempio, se n = 7, gli 8 coefficienti binomiali sono:

1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1.

La somma di tutti i coefficienti binomiali di n è uguale a 2n.

Per esempio, se n = 3, la somma di tutti i coefficienti binomiali è:

03

13 3 3

2 3 1 3 3 1 23+ + + = + + + =b b b bl l l l .

In generale:

…n nnn

0 1 2n+ + + =b b bl l l .

Questa somma coincide con il numero di tutti i sottoinsiemi di X.Infatti, un sottoinsieme A di X si può scegliere in 2n modi diversi, perché per ciascun ele-mento di X si hanno due alternative possibili: appartiene o non appartiene ad A.Per esempio, un insieme di 5 elementi ha 25 = 32 sottoinsiemi.

I coefficienti binomiali si possono calcolare con un foglio elettronico con il comando:

=COMBINAZIONE(n;k) .

Il triangolo di Tartaglia

I coefficienti binomiali si possono costruire, riga per riga, mediante il triangolo di Tartaglia (o di Pascal). Ogni valore si ottiene addizionando i due coefficienti che gli stanno immedia-tamente sopra e a sinistra, nella riga precedente:

se

se , , ,kn

k k n

kn

kn

k n

1 0

11 1 1 2 1…

0

=

= =

-

-+

-= -

b c cl m m*n k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 1

1 1 1

2 1 2 1

3 1 3 3 1

4 1 4 6 4 1

5 1 5 10 10 5 1

6 1 6 15 20 15 6 1

7 1 7 21 35 35 21 7 1

8 1 8 28 56 70 56 28 8 1

9 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1

10 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

7

10


25

14

24 104 6= + = + =b b bl l l .

Infatti i sottoinsiemi di 2 elementi in , , , ,a b c d eX = " , sono:

• i 44 1= b l sottoinsiemi di 2 elementi di X che contengono e: ,a e" ,, ,b e" ,, ,c e" ,, ,d e" ,;• i 26 4

= b l sottoinsiemi di 2 elementi di X che non contengono e (quindi scelti in un

insieme di 4 elementi): ,a b" ,, ,a c" ,, ,a d" ,, ,b c" ,, ,b d" ,, ,c d" ,.

Potenza di un binomio

Il triangolo di Tartaglia ha un’importante applicazione algebrica: fornisce la sequenza dei coefficienti degli addendi nello sviluppo di a b n

+^ h .

Sappiamo già che risulta:

a b a ab b22 2 2+ = + +^ h

a b a a b ab b3 33 3 2 2 3+ = + + +^ h

In modo analogo otteniamo qualsiasi potenza naturale n di a + b; per esempio:

a b a a b a b a b ab b5 10 10 55 5 4 3 2 2 3 4 5+ = + + + + +^ h .

Infatti:

a b a b a b a b a b a b5+ = + + + + +^ ^ ^ ^ ^ ^h h h h h h.

Lo sviluppo di questo prodotto ha 25 = 32 addendi. Ciascuno di essi si ottiene scegliendo a oppure b da ciascun a b+^ h e moltiplicando i 5 fattori: per esempio aabab = a3b2. Questo prodotto si può ottenere in diversi modi, per esempio bbaaa, oppure babaa. Cia-scuno di essi è associato al corrispondente sottoinsieme di , , , ,1 2 3 4 5X = " ,: per esempio al prodotto aabab associamo il sottoinsieme , ,1 2 4" ,, al prodotto bbaaa il sottoinsieme

, ,3 4 5" ,, e così via. Dunque a3b2 si può ottenere in 35b l modi.

PER ESEMPIO

ESPLORA CON UN FOGLIO ELETTRONICO

I coefficienti binomiali

Esplora le regolarità dei coefficienti binomiali e verifica le proprietà precedentemente elencate usando il foglio elettronico che trovi sull’eBook e sul sito del libro.

coefficienti: 1, 2, 1 (riga 2 del triangolo di Tartaglia)

coefficienti: 1, 3, 3, 1 (riga 3 del triangolo di Tartaglia)

b33a2ba3 3ab2

a

a

b

b

a

b

b

a

aba b

b2a2 2ab

a

a

b

ba b

coefficienti: 1, 5, 10, 10, 5, 1 (riga 5 del triangolo di Tartaglia)

11


Generalizziamo.

Per ogni ,n n 1N! $ risulta:

…nn

a nn

a b nn

a bn

ba b 1 2 0n n n n n1 2 2= +

-+

-+ ++

- -I M b b b bl l l l .

Oppure, considerando la simmetria dei coefficienti binomiali di un dato n fissato:

…na

na b

na b n

nba b 0 1 2

n n n n n1 2 2+ + + ++ =

- -I M b b b bl l l l .

Lanciamo 10 volte una moneta a due facce, testa (T) e croce (C).

Ci chiediamo quanti sono i possibili risultati, tenendo conto dell’ordinamento.I possibili risultati di 10 lanci sono 210 = 1024. Infatti a ogni lancio può uscire T o C e a ogni lancio si raddoppia il numero di possibili risultati:

• T, C;• TT, TC, CT, CC;• TTT, TTC, TCT, CTT, TCC, CTC, CCT, CCC;…

Calcoliamo quanti risultati contengono 4 teste (e 6 croci).Il numero di risultati che contengono 4 teste è:

! !!

410

4 610

4 3 210 9 8 7 210

$ $ $

$ $ $= = =b l .

Questa soluzione può essere utilizzata per calcolare delle probabilitˆ. Infatti, se sup-poniamo che tutti i risultati abbiano la stessa probabilità di realizzarsi, allora ciascuna

sequenza di 10 esiti della moneta ha probabilità 10241 . La probabilità di ottenere

4 teste su 10 lanci è proprio il rapporto tra il numero di risultati con 4 teste e il numero totale di risultati:

. %24

10

1024210 20 510 .=

b l.

Campioni estratti da una popolazione

I metodi di conteggio che abbiamo visto negli esempi precedenti possono essere strutturati in un problema di carattere generale: da una popolazione di n elementi si vuole estrarre un campione di k elementi. Quanti differenti campioni si possono estrarre?Consideriamo le seguenti possibili situazioni:

• i campioni possono essere ordinati oppure non ordinati;• i campioni possono essere estratti senza ripetizione o con ripetizione.

Supponiamo che un elemento estratto dalla popolazione non possa più essere estratto (cam-pione senza ripetizione). In questo caso possiamo considerare due tipi di campioni: ordinati e non ordinati.

▶

PER ESEMPIO

1

2

12


• Campioni ordinati senza ripetizione: due campioni differiscono per almeno un ele-mento oppure per il diverso ordine degli stessi elementi.

Nella popolazione costituita dai quattro elementi , , ,a b c d" ,:• i campioni , ,a c d" , e , ,a b d" , sono differenti perché hanno elementi diversi;

• i campioni , ,a b d" , e , ,a d b" , sono differenti perché gli stessi elementi hanno ordine diverso.

Per quanto abbiamo visto, in generale esistono:

n n n k1 1…$ $ $- - +^ ^h hdifferenti campioni ordinati (senza ripetizione) di dimensione k estratti da una popola-zione di n elementi.

• Campioni non ordinati senza ripetizione: due campioni differiscono se hanno almeno un elemento diverso e non importa quale sia l’ordine degli elementi. In sostanza un campione non ordinato è semplicemente un sottoinsieme della popola-zione; in un certo senso è il campione per antonomasia. Per quanto abbiamo visto, in generale esistono:

nkb l

campioni non ordinati senza ripetizione.

Supponiamo ora che un elemento estratto dalla popolazione venga reimmesso nella popo-lazione e dunque possa essere estratto di nuovo (campione con ripetizione).

• Campioni ordinati con ripetizione: ogni scelta prevede n possibili individui, quindi un campione di k elementi si potrà scegliere in nk modi differenti.

Ci chiediamo quante parole si possono scrivere con tre lettere, anche ripetute scelte in un alfabeto di 26 lettere.Senza ripetizioni il numero di parole è:

26 $ 25 $ 24 = 15 600.

Se le lettere possono essere ripetute, allora ogni lettera può essere scelta in 26 modi di-versi e il risultato è:

26 $ 26 $ 26 = 17 576.

I campioni con ripetizione possono avere dimensione k maggiore della dimensione n della popolazione. Per esempio A , , , ,a a a b b= " , è un campione con ripetizione k 5=^ h dalla popolazione

,a b n 2X = =^ h" , . In questo caso il termine “campione” è da intendersi in senso lato.

• Campioni non ordinati con ripetizione: due campioni non ordinati con ripetizione dif-feriscono per gli elementi che contengono o per il numero di volte che ciascun elemento compare nel campione. Per esempio nella popolazione , ,a b c" , i due campioni , ,a b a" , e , ,a a b" , sono uguali mentre i due campioni , ,a a b" , e , ,a b b" , sono diversi.

Da un alfabeto di 4 lettere a, b, c, d vogliamo formare coppie di lettere, anche ripetute, senza tenere conto dell’ordine. Ci chiediamo quante sono queste parole.

PER ESEMPIO

PER ESEMPIO

OSSERVA

PER ESEMPIO

13


Possiamo elencarle e contarle, perché il numero è relativamente piccolo.Iniziamo a elencare tutte le parole che contengono almeno una a:

aa, ab, ac, ad.

Poi contiamo tutte le parole che contengono almeno una b, avendo cura di escludere la parola ba che è già stata considerata in precedenza. Infatti, poiché non conta l’ordine, dobbiamo considerare uguali due parole che differiscono solo per l’ordine delle lettere:

bb, bc, bd.

Procediamo con le parole che contengono almeno una c, senza curarci come prima delle parole ca e cb:

cc, cd.

Infine, rimane da prendere in considerazione la parola dd.Riassumendo, abbiamo le seguenti parole:

aa, ab, ac, ad

bb, bc, bd

cc, cd

dd

cioè 10 parole in tutto.

Il conteggio effettuato nell’esempio precedente è stato semplice, perché il numero di pa-role era relativamente piccolo. In generale però il conteggio del numero di campioni non ordinati con ripetizione è piuttosto complesso.

È possibile dimostrare che il numero di campioni non ordinati con ripetizione di k ele-menti scelti in una popolazione di n elementi è uguale al numero di campioni non or-dinati senza ripetizione di k elementi scelti in una popolazione di n + k - 1 elementi.In simboli esistono:

! !!

kn k

k nn k1

11+ -

=-

+ -

I MI Mc m

campioni non ordinati con ripetizione di k elementi scelti in una popolazione di n ele-menti.

In un ufficio ci sono 8 pratiche e 5 impiegati. Calcoliamo in quanti modi diversi le pra-tiche possono essere assegnate agli impiegati.

Ammettiamo che ogni impiegato possa ricevere più di una pratica e consideriamo lecito addirittura che un solo impiegato riceva tutte e 8 le pratiche.La risposta è:

kn k 1

812 495+ -

= =c bm l .

Riassumiamo nella tabella seguente i risultati trovati. Abbiamo indicato con n il numero di elementi della popolazione e con k il numero di elementi del campione.

Campioni ordinati non ordinati

senza ripetizione n n n k1 1…$ $ $- - +^ ^h h knb l

con ripetizione nk

kn k 1+ -c m

PER ESEMPIO

14


ESERCIZI

In un ristorante si può scegliere tra 3 antipasti, 5 primi, 3 secondi e 1 dolce. Quanti diversi pranzi completi si possono fare? 456 @

Quanti sono i sottoinsiemi di un insieme di 10 elementi? 10246 @

Quattro studenti vengono mandati dal preside per delle comunicazioni. Nella sala d’attesa devono mettersi in fila per essere ricevuti. Quanti sono i modi possibili in cui i quattro stu-denti possono disporsi? 246 @

Dimostra algebricamente che kn

kn

kn

11 1-

- -= +b c cl m m.

Considera l’equazione n 14403 =b l in cui n è un numero naturale. Ha soluzioni? In caso

di risposta affermativa, determinale; in caso di risposta negativa, spiega perché non ha so-luzioni.

Espandi a b 6+^ h .

Qual è il coefficiente di a10 nello sviluppo di a 1 20+^ h ? 184 7566 @

Qual è il coefficiente di a3b3 nello sviluppo di a b2 3 6+^ h ? 43206 @

Quanti sono gli anagrammi della parola matematica? 151 2006 @

In un sacchetto ci sono 10 palline colorate: 2 marroni, 2 rosse, 3 arancioni, 1 blu, 1 celeste, 1 verde. Estrai a caso una pallina senza reimmissione e annota il colore. Poi fai lo stesso con la seconda, con la terza e così via fino alla decima. In quanti modi diversi puoi estrarre le dieci palline? 151 2006 @

Quante sono le possibili strette di mano tra 10 persone? E tra 20? E tra 100? , ,45 190 49506 @

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

15


Quante diagonali ci sono in un poligono convesso di n lati?

Il gioco del Lotto consiste nell’estrarre 5 numeri tra 1 e 90, senza ripetizione e per i quali l’ordine non ha importanza. Fare un ambo vuol dire indovinare due numeri, in qualunque ordine, sulla cinquina estratta.

Quanti sono le possibili cinquine? 439492686 @

Quanti sono i possibili ambi? 40056 @

Se giochi l’ambo ,7 20" , quante sono le possibili cinquine che lo contengono? 1097366 @

Fare un terno al gioco del lotto vuol dire in-dovinare tre numeri, in qualunque ordine essi escano, sulla cinquina estratta. Se giochi il terno

, ,7 20 51" , quante sono le possibili cinquine che lo contengono? 37416 @

La password di accesso a un sito web è formata da 3 cifre, anche ripetute, scelte nell’insieme , , , , , , , , ,0 1 2 3 4 5 6 7 8 9" , e da due lettere minuscole, anche ripetute, scelte in un alfabeto di

26. Quante sono le possibili password? 6760006 @

Supponi di avere 5 lettere identiche che vuoi inserire in 7 buste tutte di colore diverso. In ogni busta può entrare al massimo una lettera e 2 buste rimarranno vuote. In quanti modi puoi inserire le lettere nelle buste? 216 @

Devi mandare quattro lettere diverse a quattro destinatari diversi. Se metti a caso le lettere nelle buste indirizzate, quante diverse configurazioni puoi ottenere? 246 @

Se lanci 3 dadi distinguibili (quindi , ,1 2 2" , è considerato diverso da , ,2 1 2" ,), quanti risultati puoi ottenere? 2166 @

Vuoi mettere 4 palline indistinguibili in 4 scatole distinguibili. In quanti modi puoi proce-dere? 356 @

Una famiglia di 10 persone possiede due automobili (A e B), ciascuna con 6 posti. In quanti modi diversi i famigliari si possono distribuire per un viaggio? 6726 @

12

13

a ]

b ]

c ]

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17

18

19

20

DCA

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