ARITMETICA BINARIA - Liceo Scientifico Statale Arturo Tosi

Unità Didattica 2. Aritmetica binaria

1

ARITMETICA

BINARIA

Ing. Daniele Corti

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2

PREREQUISITI

Sistema binario.

Codifica.

OBIETTIVI

Applicare l’aritmetica nel linguaggio binario.

ARGOMENTI

Addizione.

Sottrazione.

Moltiplicazione.

Divisione.


3

CAP6 – ARITMETICA BINARIA

ARITMETICA BINARIA

L’aritmetica binaria consiste nelle operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione

tra numeri binari e, si basa sugli stessi principi dell’aritmetica decimale applicate su solo due cifre

(ricordiamo che il bit può assumere due valori logici differenti, 0 e 1) anziché dieci.

ADDIZIONE

Le regole dell’addizione in binario sono le stesse del sistema decimale.

Dati due cifre binarie, A e B, l’addizione segue la seguente regola:

A B A + B Riporto

(Carry)

0 0 0 0

0 1 1 0

1 0 1 0

1 1 0 1

+ 0 1

0 0 1

1 1 0 (R=1)

Riporto: 1 + 1 (= 210 ) = 102 1+1 = 0 (CON RIPORTO 1)

Riporto: 1 + 1 + 1 (= 310) = 112 1+1+1 = 1 (CON RIPORTO 1)

Mentre nel sistema decimale il riporto, alla posizione superiore (quella immediatamente alla sinistra)

si ha quando si oltrepassa la cifra 9; nel sistema binario si ha riporto, analogamente, quando si

oltrepassa la cifra 1.


4

NB Nel sistema binario, dopo la cifra 1 non esiste la cifra 2, ovviamente.

Esempio 1

Un esempio chiarirà meglio il modo di esecuzione di una somma aritmetica:

BINARIO DECIMALE

16 8 4 2 1 PESI

1 1 1 1 RIPORTI

1 1 1 1 + 15 +

0 1 1 = 3 =

1 0 0 1 0 18

Esempio 2

DEC BIN

POT 8 4 2 1

riporti 1 1 1

7 0 1 1 1

5 0 1 0 1

7+5=12 1 1 0 0


5

Esempio 3

1 1 1 1

1 1 0 1 0 0 +

1 1 1 0 1 =

------------------------------------------

1 0 1 0 0 0 1

Esempio 4

1102 + 102 = 10002

1 1

1 1 0 + 6

1 0 = 2

----------------------

1 0 0 0 8

OVERFLOW


6

SOTTRAZIONE

Metodo 1 (formale) – sottrazione diretta

- 0 1

0 0 (1)1

1 1 0

Prestito (borrow): 102 – 12 (= 210 – 110) = 012 0-1=1 (CON PRESTITO 1)

Analogamente al sistema decimale si ha un prestito, dalla cifra alla sinistra, quando la sottrazione delle

due cifre porta ad un risultato negativo: 0 – 1 non si può fare quindi prendo in prestito l’1 dalla sinistra,

e faccio 10 – 1 e il risultato è 1. Nel sistema decimale se facciamo 20 – 3, 0 – 3 non si può fare quindi

prendo in prestito una cifra dalla sinistra, e faccio 10-3=7; la cifra alla sinistra 2 è diventata 1 e quindi:

2 0 -

3 =

1 7

Esempio 1

Un esempio chiarirà meglio il modo di esecuzione di una sottrazione diretta.

0 0 1

1 0 1 0 0 1 -

1 0 1 1 0 =

-------------------------------------

1 0 0 1 1

Bit1 Operazione Bit2 Risultato Prestito (Borrow)

0 - 0 0 0

1 - 0 1 0

1 - 1 0 0

0 - 1 1 1

1


7

128 64 32 16 8 4 2 1 DEC

0 0 1 0 1 0 0 1 32+8+1=41

0 0 0 1 0 1 1 0 16+4+2=22

0 0 0 1 0 0 1 1 16+2+1=19

Se eseguendo una sottrazione diretta dobbiamo, per qualche bit, prendere il borrow (PRESTITO) dalle

cifre che lo precedono, bisogna distinguere due casi:

la cifra immediatamente precedente è uno nel qual caso è sufficiente ricordare che la cifra da

cui si prende il borrow, si riduce a zero e la cifra successiva aumenta di due (10 in binario);

la cifra (od alcune cifre) immediatamente precedente è zero, nel qual caso il borrow si prende

dalla prima cifra non nulla, tutti gli zeri diventano uno ed infine il bit su cui si sta operando è

aumentato di due (10 in binario).

Esempio 2

111102 – 112 = 3010 - 310

0 0

1 1 1 1 0 - 30

1 1 = 3

1 1 0 1 1 27

Esempio 3

pesi 16 8 4 2 1 DEC

prestiti 10

Minuendo

0

1 0 -

2

sottraendo 1 = 1

differenza 1 1


8

Esempio 4

pesi 16 8 4 2 1 DEC

prestiti 10 10

Minuendo

0

1 0

0

1 0 1 -

21

sottraendo 0 1 0 1 0 = 10

differenza 0 1 0 1 1 11

Esempio 5

0 10 0 10 PRESTITI

1 0 1 0 -

1 0 1 =

0 1 0 1

10102 1*23 + 1*21 = 1010

1012 1*22 + 1*2° = 510

Altri esempi

In decimale

DEC 1000 100 10 1 PESI

2 9 PRESTITI

4 3 0 2 -

3 2 5 9 =

1 0 4 3

DEC 1000 100 10 1 PESI

8 9 9 PRESTITI

9 0 0 0 -

2 =

8 9 9 8


9

DEC BIN 8 4 2 1 PESI

11 - 1 0 1 1 -

10 = 1 0 1 0 =

1 0 0 0 1


0 1 PRESTITI

4 - 1 0 0 -

1 = 0 0 1 =

3 0 1 1


0 0 1 PRESTITI

12 - 1 1 0 0 -

5 = 1 0 1 =

7 0 1 1 1


0 0 1 PRESTITI

12 - 1 1 0 0 -

5 = 1 0 1 =

7 0 1 1 1


0 1 1 PRESTITI

8 - 1 0 0 0 -

7 = 1 1 1 =

1 0 0 0 1


10

Metodo 2 (complemento a 2) La sottrazione attraverso la regola del complemento a 2

Complemento ad 1

Definizione 1. Il Complemento ad 1 (CMP1) di un numero binario è la differenza tra la

configurazione di tutti '1' del codice ed il numero dato.

a – b = a + (-b)

Il complemento ad 1 di 'A' è simbolicamente indicato dall'apice 1 che precede la variabile 'A'; es: 1A

Per il calcolo si procede nel modo indicato dalla definizione.

Esempio 1

Determinare il complemento a 1 del numero binario A = '0110 1101':

1111 1111 - (configurazione con tutti i bit a '1')

0110 1101 = (A)

---------------

1001 0010 (1A = complemento ad 1 di A)

Quindi: 1'0110 1101' = '1001 0010'.

Definizione 2. Il Complemento ad 1 (CMP1) di un numero binario è la configurazione negata del

numero dato.

Questo significa che per ottenere il CMP1 di un numero binario occorre trasformare ogni bit a 0 in 1

e ogni bit a 1 in 0.

Non è un caso che il CMP1 coincida con la configurazione negata di A (not A). Infatti vale sempre

la relazione:

1A = not(A)

Pertanto, calcolare il complemento ad 1 di 'A' equivale a dire di calcolare la negazione di 'A'.

Ciò deriva direttamente dal fatto che sottrarre il bit 'x' da 1, dà come risultato 'x' negato, ossia not(x).


11

Esempio 2

DEC BIN

POT 8 4 2 1

9 1 0 0 1

4 0 1 0 0

CMP1 DI 4 1 0 1 1

CMP2 1

-4 1 1 0 0

9+(-4)=5 0 1 0 1

Esempio 3

Complementare a 1 il numero binario 1011.

1 0 1 1 NUM.BINARIO

0 1 0 0 CMP1

Complemento a 2

Definizione 3. Il complemento a 2 (CMP2) di un numero binario, è uguale alla sua sottrazione da 2N,

dove con 'N' si è indicato il numero di bit impiegati per la rappresentazione del codice.

Il numero da complementare deve essere minore di 2(N-1).

Il complemento a 2 di 'A' è simbolicamente indicato dall’apice 2 che precede la variabile 'A'; es: 2A

In definitiva: 2A = 2N - A

Esempio 4

Rappresentazione dei numeri a 8 bit: N = 8

2N = 28 = 256 = '1 0000 0000'

2(N-1) = 27 = 128 = '1000 0000'


12

I numeri da rappresentare in complemento a 2 devono quindi essere minori di 128, ossia

<= '0111 1111'.

In realtà esiste un’eccezione.

Per il calcolo si procede nel modo indicato dalla definizione.

Esempio 5

Sia A = '0110 1101' la configurazione binaria di cui si vuole calcolare il complemento a 2:

1 0000 0000 - (configurazione corrispondente a 28)

0110 1101 = (A)

-----------------

1001 0011 (2A = complemento a 2 di A)

Non è affatto casuale che il complemento a 2 di un numero sia maggiore di 1 del complemento a 1

dello stesso numero.

Infatti 2N = '1 0000 0000' = '1111 1111' + 1

Quindi

2A = 2N - A = 100000000 - A =

= (11111111 + 1) - A = (11111111 - A) + 1 = 1A + 1

C.V.D. #

Definizione 4. Il Complemento a 2 (CMP2) di un numero binario equivale alla addizione del numero

ottenuto dal complemento a 1 del numero dato e del 1.


13

Esempio 6

Complementare a 2 il numero binario 1100:

1 1 0 0 NUM.BINARIO

0 0 1 1 CMP1

1 1 RIPORTI

0 0 1 1 + CMP1

1 =

0 1 0 0 CMP2

Esempio 7

Sulla base di 4 bit:

410 - 510

8 4 2 1 PESI DEC

0 1 0 0 - 4 -

0 1 0 1 = 5 =

0 1 0 0 + 4 +

1 0 1 1 + -5 =

1 1 1 1 = -1

Nell’effettuare operazioni con numeri con segno occorre fare attenzione che ogni numero e anche il

risultato possa essere rappresentato correttamente all’interno della memoria.

Esempio 8

Sulla base di 4 bit, la somma fra i seguenti numeri positivi con segno non è possibile:

16 + 4

Con 4 bit:

2n = 24 = 16 numeri che vanno da (-2n-1 = -8) a (+2n-1-1 = +7)


14

Il 16, quindi, non può essere rappresentato sulla base di 4 bit e quindi l’operazione di addizione non

può essere effettuata.

Esempio 9

-4 + (-5)

Sebbene i due numeri rientrino nel range (-8 , +7), il risultato, -9, no.

Questa operazione non può essere effettuata utilizzando soltanto 4 bit.

Quanti bit occorressero per rappresentare il -9:

(-2n-1 = -16) a (+2n-1-1 = +15) n = 5

16 8 4 2 1 PESI DEC

0 0 1 0 0 4

CMP1 1 1 0 1 1 +

1 =

CMP2 1 1 1 0 0 -4

16 8 4 2 1 PESI DEC

1 1 1 0 0 + -4 -

0 0 1 0 1 = 5 =

1 1 1 0 0 -4 +

1 1 0 1 1 -5 =

1 1 0 1 1 1 -9

16 8 4 2 1 PESI DEC

1 0 1 1 1 -9

CMP1 0 1 0 0 0 +

1 =

CMP2 0 1 0 0 1 +9


15

Definizione 5. Mediante la tecnica del complemento a 2 è possibile rappresentare i numeri negativi

e trasformare, conseguentemente, una sottrazione binaria in una addizione.

Per esempio, sapendo che

A – B = A + (-B)

è dimostrabile che la differenza

A - B

può essere sempre ricondotta alla somma

A + 2B

Analogamente la somma

A + (-B)

equivale alla somma

A + 2B


16

Esempio 10

Sottrazione mediante il complemento a 2, sulla base di 8 bit:

0 1 0 0 1 0 1 -

0 0 0 1 0 1 0 =

0 1 0 0 1 0 1 +

1 1 1 0 1 0 1 +

1 =

1 0 0 1 1 0 1 1

Fuori memoria (da 8 bit) NON LO CONSIDERO

1001012=1+4+32=3710

10102=2+8=1010

110112=1+2+8+16=2710

Definizione 6. In un numero binario, il bit di peso maggiore (il primo di sinistra) è detto MSB ('Most

Significant Bit')

Definizione 7. Nella rappresentazione dei numeri interi con segno, l’MSB è riservato al segno del

numero che si vuole rappresentare in binario: questo bit viene chiamato bit di segno.

Il bit di segno = 0, indica che il numero è positivo. Il bit di segno = 1, indica che il numero è negativo.

Definizione 8. Per risalire al numero rappresentato, è sufficiente ricalcolare il complemento a 2

dell’intero numero (compreso il bit di segno).

Infatti vale la proprietà che 2(2A) = A

Per convincersi: 2(2A) = 2N - (2N - A) = 2N - 2N + A = A

C.V.D. #

ECCEZIONE

In precedenza abbiamo detto che il valore del numero per cui calcolare il complemento a due deve

essere < 2(N-1).


17

Cioè strettamente vero per la rappresentazione dei numeri positivi (che non devono essere

complementati a 2), ma in realtà per la rappresentazione di un numero negativo è ammesso il range

fino a 2(N-1) compreso.

Ecco così spiegato perché un Byte può rappresentare i valori compresi fra:

0…255 se trattasi di numeri interi senza segno.

-128…0…+127 se trattasi di numeri interi con segno.

Esempio 11

DEC BIN

POT 8 4 2 1

11 1 0 1 1

7 0 1 1 1

CMP1 DI 7 1 0 0 0

CMP2 1

1 0 0 1

1 0 1 0 0

Esempio 12

DEC BIN

POT 8 4 2 1

14 1 1 1 0

8 1 0 0 0

CMP1 DI 8 0 1 1 1

CMP2 1

1 0 0 0

1 0 1 1 0

DEC BIN


18

POT 16 8 4 2 1

16 1 0 0 0 0

5 0 0 1 0 1

CMP1 DI 5 1 1 0 1 0

CMP2 1

1 1 0 1 1

1 0 1 0 1 1

Esercizio


19

Esercizio


20

Esercizio


21

Moltiplicazione

* 0 1

0 0 0

1 0 1

Si incolonnano le moltiplicazioni e si somma.

Esempio 1

1 0 0 1 *

1 1 =

-------------------------------------

1 0 0 1

1 0 0 1 -

------------------------------------- 1 1 0 1 1

Esempio 2

111010 * 1011 = 5810 * 1110 = 63810

1 1 1 0 1 0 *

58

1 0 1 1 =

11

1 1 1 0 1 0 +

1 1 1 0 1 0 - +

0 0 0 0 0 0 - - +

1 1 1 0 1 0 - - - =

1 0 1 0 1 1 1 0 +

1 1 1 0 1 0 0 0 0 =

1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 638


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Esercizi

10112=1+2+8=1110

1012=1+4=510

1101112=1+2+4+16+32=5510

Esempio 3

Esempio 4

1 1 1 x

1 0 0 =

0 0 0

0 0 0 -

1 1 1 - -

1 1 1 0 0

Operazione di shifting

In questo esempio, significativo, il numero iniziale 111 è stato traslato a sinistra di 2 posizioni,

aggiungendo a destra due 0: 11100. Questo è logico visto che ho moltiplicato per 100.

Esempi

Svolgere i seguenti esercizi

1101 x 101

1011 x 1011

11110 x 1011

1001 x 1110

1 0 1 1 x

1 0 1 =

1 0 1 1

0 0 0 0 -

1 0 1 1 - -

1 1 0 1 1 1


23

Divisione

Anche per la divisione tra due numeri binari si applicano le stesse regole del sistema decimale.

Dividendo (num1): Divisore (num2) = Risultato (ris) con Resto (R)

Divisione fra due bit - Regola:

/ 0 1

0 0 0

1 -- 1

NB. Le divisioni 0 / 0 e 1/0 sono indefinite.

Divisione fra due numeri - Regola

Supponiamo di avere due numeri, num1 (il dividendo) e num2 (il divisore), costituiti entrambi dallo

stesso numero di bit (n), allora, se num1 è maggiore o uguale a num2, il risultato della divisione

num1:num2 sarà 1 (con resto in decimale pari a num1 - num2), altrimenti sarà 0.

Se num2 è contenuto in num1 allora il risultato è 1, altrimenti è 0.

Esempio 1

Un esempio ci permette di verificare che il procedimento è analogo a quello seguito per i numeri

decimali. Poiché le cifre del quoziente possono essere soltanto 0 oppure 1, il divisore o non è

contenuto nel dividendo parziale oppure lo è una volta sola.

110112 : 1012

11001

101

101

101

010

000

101

101

0


24

In questo esempio il divisore 101 è contenuto 1 volta nel dividendo parziale 110 e la differenza

parziale è 1. Abbassiamo poi la cifra successiva 0 e otteniamo il numero 10 in cui il divisore 101 è

contenuto zero volte. Proseguiamo abbassando ancora la cifra 1 e, in questo caso, il divisore è

contenuto una volta nel dividendo, con resto 0.

Possiamo fare la verifica della divisione moltiplicando il quoziente per il divisore e addizionando

l’eventuale resto, che in questo caso uguale a zero.

101 x

101 =

101

000-

101--

11001

Esempio 2

Vediamo una divisione in cui il resto che si ottiene è nullo.

Si vuole dividere il numero binario 111100 con il numero binario 100 che indicano, rispettivamente,

i numeri decimali 60 e 4 (60 : 4=15).

Procediamo nei modi consueti: (dividendo/divisore)

1. Abbassiamo le prime tre cifre del dividendo 111 e

dividiamo per 100. Il risultato è 1.

2. Moltiplichiamo 1 per 100 e otteniamo 100. Eseguiamo 111 -

100 = 11.

3. Abbassiamo la quarta cifra del dividendo 1 e dividiamo 111

per 100. Il risultato è 1.


100 = 11.

5. Abbassiamo la quinta cifra del dividendo 0 e dividiamo 110



100 = 10.

7. Abbassiamo l'ultima cifra del dividendo 0 e dividiamo 100



25


100 = 0.

Quindi la divisione tra 111100 e 100 è uguale a 1111 (con resto 0).

Verifichiamo con il SISTEMA DECIMALE:

NUMERO BINARIO NUMERO DECIMALE

111100 : 60 :

100 = 4 =

1111 15

Infatti:

1 x 23 + 1 x 22 + 1 x 21+ 1 x 20 =

= 1 x 8 + 1 x 4 + 1 x 2 + 1 x 1 =

= 8 + 4 + 2 + 1 = 15.

Esempio 3

Vogliamo dividere il numero binario 11001 con il numero binario 101 che indicano,

rispettivamente, i numeri decimali 25 e 5.

Procediamo nei modi consueti:

1. Abbassiamo le prime tre cifre del dividendo 110 e dividiamo per 101. Il

risultato è 1.

2. Moltiplichiamo 1 per 101 e otteniamo 101. Eseguiamo 110 - 101 = 1.

3. Abbassiamo la quarta cifra del dividendo 0 e dividiamo 10 per 101. Il

risultato è 0.

4. Abbassiamo la quinta cifra del dividendo 1 e dividiamo 101 per 101. Il

risultato è 1.

5. Moltiplichiamo 1 per 101 e otteniamo 101. Eseguiamo 101 - 101 = 0.

Quindi la divisione tra 11001 e 101 è uguale a 101.

Verifichiamo con il SISTEMA DECIMALE:


26

NUMERO BINARIO NUMERO DECIMALE

11001 : 25 :

101 = 5 =

101 5

Infatti:

1 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20 =

= 1 x 4 + 0 x 2 + 1 x 1 =

= 4 + 0 + 1 = 5.

Esempio 4

1110 : 1000 = 1 (con resto 1110-1000=110)

Esempio 5

1 1 0 1 1 1 : 1 0 1 = 1 0 1 1

1 0 1

1 1 1

1 0 1

1 0 1

Vediamo un esempio in cui il resto non è nullo:


27

1 1 0 1 0 1 1 : 1 0 1 1 = 1 0 0 1

1 0 1 1

- - 1 0 0 1 1

1 0 1 1

1 0 0 0 R E S T O

1. L’1011 nel 1101 ci sta 1 volta con resto 10.

2. Abbasso lo 0.

3. L’1011 nel 100 ci sta 0 volte.

4. Abbasso l’1.

5. L’1011 nel 1001 ci sta 0 volte.

6. Abbasso l’ultimo 1.

7. L’1011 nel 10011 ci sta 1 volta con resto 1000

Infatti 107 : 11 = 9 con Resto 8

Esercizi

Svolgere i seguenti esercizi

11011 : 11 (R. 1001)

1101011 : 1011 (R. 1001 con resto 1000)


28

Esercizi finali da svolgere

1. Eseguire le seguenti somme nel sistema binario:

101011 + 10111 =

11111 + 101111 =

1100111 + 10111 =

10101111 + 1111111 =

2. Eseguire le seguenti sottrazioni nel sistema binario:

11101 - 101 =

110110 - 101101 =

1100111 - 101111 =

100000 - 10101 =

3. Eseguire le seguenti moltiplicazioni nel sistema binario:

1010 × 101 =

110101 × 1011 =

111011 × 10111 =

111111 × 11111 =

4. Eseguire le seguenti divisioni nel sistema binario:

11001 : 101 = con Resto =

11111 : 110 = con Resto =

1011011 : 1101 = con Resto =

1111011 : 10011 = con Resto =

Fate l’addizione dei numeri 11002 e 11012. Verificate il risultato nella maniera seguente:

decodificate i numeri 11002 e 11012 nella rappresentazione decimale, fate l’addizione dei

numeri in base 10 ottenuti, e poi codificate la somma ottenuta nella rappresentazione binaria.

Risoluzione:

11002 + 11012 = 110012 (11002 = 1210, 11012 = 1310, 2510 = 110012)

Ripetete la domanda precedente usando i numeri 10012 e 11012.

10012 + 11012 = 101102 (10012 = 910, 11012 = 1310, 2210 = 101102)


29

Altri esercizi conclusivi

ADDIZIONE

1 1 1

1 1 0 1 +

1 1 1 =

0 1 0 0

Con riporto 1

16 8 4 2 1

1 1 0 1 +

0 1 1 1 =

1 0 1 0 0

11012 = 1310

1112 = 710

0100 = 410

264

SOTTRAZIONE

IN DECIMALE Metodo della presa in prestito Partendo da destra, se il minuendo è minore del sottraendo lo si considera un numero con anche una decina.

0 10

Minuendo 1 0 -

Sottraendo 1 =

Differenza 9


30

1 10

2 0 -

1 =

1 9

5 9 11

6 6 0 1 -

6 3 0 9 =

2 9 2

IN BINARIO

pesi 2 1 decimale

prestiti 0 10

Minuendo 1 0 - 210

Sottraendo 0 1 = 110

Differenza 0 1 110

pesi 4 2 1 decimale

prestiti 0 1 10

Minuendo 1 0 0 - 410

Sottraendo 0 0 1 = 110

Differenza 0 1 1 310

3 13

4 3 -

6 =

3 7


31

pesi 32 16 8 4 2 1 decimale

prestiti 0 0 1

Minuendo 1 0 1 1 0 0 - 32+8+4=44

Sottraendo 1 1 0 1 1 = 16+8+2+1=27

Differenza 0 1 0 0 0 1 44-27=17


32

OROLOGIO CLASSICO

OROLOGIO DECIMALE

OROLOGIO DIGITALE

ARITMETICA BINARIA - Liceo Scientifico Statale Arturo Tosi

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