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$: Argomenti del Precorso di Matematica Generale - unipa.it · Universit a degli Studi di Palermo Facolt a di Economia Dip. di Scienze Statistiche e Matematiche \Silvio Vianelli" Argomenti$
Universita degli Studi di PalermoFacolta di Economia

Dip. di Scienze Statistiche e Matematiche “Silvio Vianelli”

Argomenti del Precorso

di

Matematica Generale

V. Lacagnina A. Pecorella

2006–2007

Indice

Capitolo 1. GLI INSIEMI 7Premessa 71.1. Notazioni (insieme, elemento, appartenenza) 71.2. Descrizione di un insieme (1◦ metodo) 71.3. Notazioni (quantificatore esistenziale ed universale) 81.4. Descrizione di un insieme (2◦ metodo) 91.5. Definizione di uguaglianza 91.6. Definizione di sottoinsieme 91.7. Principio di doppia inclusione 101.8. Definizione di non contenuto 101.9. Definizione di insieme vuoto 101.10. Definizione di insieme delle parti 101.11. Definizione di insieme unione 111.12. Definizione di insieme intersezione 121.13. Definizione di insieme differenza 121.14. Definizione di prodotto cartesiano 121.15. Definizione di coppie uguali 131.16. Esercizi di riepilogo 16

Capitolo 2. GLI INSIEMI NUMERICI 17Premessa 172.1. I Numeri Naturali 172.2. I Numeri Interi Relativi 172.3. Rappresentazione grafica dei numeri interi relativi 182.4. I Numeri Razionali 182.5. Definizione di insieme discreto 192.6. Densita di Q 192.7. Proprieta dei numeri reali 212.8. La retta cartesiana 222.9. Convenzioni (interi, razionali e reali positivi e negativi) 22

Capitolo 3. LA FUNZIONE 25Premessa 253.1. Definizione di funzione 263.2. Definizione di piano cartesiano 293.3. Definizione di grafico di una funzione 303.4. Criterio per stabilire il grafico di una funzione 313.5. Definizione di insieme delle immagini 31

3

4 V. Lacagnina A. Pecorella

3.6. Definizione di funzione reale di variabile reale 323.7. Esercizi di riepilogo 35

Capitolo 4. LA RETTA 37Premessa 374.1. Definizione di luogo geometrico 374.2. Definizione di rette perpendicolari e parallele 414.3. Coefficiente angolare retta passante per 2 punti 424.4. Retta passante per un punto con coefficiente angolare m 424.5. Retta passante per due punti 434.6. Esercizi di riepilogo 47

Capitolo 5. LA PARABOLA 495.1. Definizione di parabola 495.2. Equazione della parabola 505.3. Osservazioni di carattere generale sulla parabola 535.4. Esercizi di riepilogo 55

Capitolo 6. EQUAZIONI DI PRIMO E SECONDO GRADO 57Premessa 576.1. Equazioni di primo grado 586.2. Equazioni di secondo grado 586.2.1. Equazione spuria 596.2.2. Equazione pura 616.2.3. Equazione completa 616.3. Relazione tra radici e coefficienti dell’equazione 636.4. Decomposizione di un’equazione di secondo grado 646.5. Esercizi di riepilogo 67

Capitolo 7. DISEQUAZIONI DI PRIMO E SECONDO GRADO 69Premessa 697.1. Definizione di insieme numerico 697.2. Definizione di minorante 697.3. Definizione di maggiorante 697.4. Definizione di insieme limitato 697.5. Definizione di intervallo 707.6. Definizione di sistema esteso dei numeri reali 717.7. Disequazioni di primo grado 727.8. Disequazioni di secondo grado 757.9. Esercizi di riepilogo 78

Capitolo 8. SISTEMI DI DISEQUAZIONI E DISEQUAZIONIRAZIONALI FRATTE 79

Premessa 798.1. Definizione di soluzione di un sistema di disequazioni 798.2. Definizione di disequazione razionale fratta 818.3. Definizione del segno di un polinomio 81

Argomenti del Precorso di Matematica Generale 5

8.4. Esercizi di riepilogo 85

Capitolo 9. RELAZIONE FRA GRADO E NUMERO RADICI,EQUAZIONI BINOMIE E TRINOMIE 87

Premessa 879.1. Teorema fondamentale dell’algebra 889.2. Definizione di complesso coniugato 889.3. Teorema II 899.4. Corollario I 899.5. Numero soluzioni di un’equazione 899.6. Definizione di equazioni binomie 909.7. Definizione di equazioni trinomie 919.8. Esercizi di riepilogo 93

Capitolo 10. I POLINOMI 95Premessa 9510.1. Definizione di polinomio 9710.2. Definizione di polinomio nullo 9710.3. Definizione di radice di un polinomio 9710.4. A(x) divisibile per (x− α)⇔ A(α) = 0 9810.5. Regola 10110.6. Esercizi di riepilogo 107

Capitolo 11. EQUAZIONI RECIPROCHE 107Premessa 10711.1. Definizione di equazione reciproca 10711.2. Equazione reciproca di terzo grado prima specie 10911.3. Esercizi di riepilogo 113

Capitolo 12. EQUAZIONI E DISEQUAZIONI CON IL VALOREASSOLUTO 115

Premessa 11512.1. Definizione di valore assoluto di un numero reale 11612.2. Esercizi di riepilogo 126

Capitolo 13. EQUAZIONI E DISEQUAZIONI IRRAZIONALI 127Premessa 12713.1. Proprieta delle potenze ad esponente intero 12713.2. Equazioni irrazionali: indice della radice n dispari 12813.3. Equazioni irrazionali: indice della radice n pari 12813.4. Disequazioni irrazionali 13213.5. Disequazioni irrazionali: indice della radice n dispari 13213.6. Disequazioni irrazionali: indice della radice n pari 13313.7. Proprieta degli operatori irrazionali 13713.8. Esercizi di riepilogo 140

Capitolo 14. EQUAZIONI E DISEQUAZIONI ESPONENZIALIE LOGARITMICHE 141


14. La funzione esponenziale e la funzione logaritmo 14114.1. La funzione esponenziale 14114.2. La funzione logaritmo 14315. Equazioni esponenziali 14616. Equazioni logaritmiche 14817. Disequazioni esponenziali 15218. Disequazioni logaritmiche 154

Capitolo 15. CENNI DI TRIGONOMETRIA 157Premessa 15715. Funzioni trigonometriche e formule di trasformazione 15815.1. Funzioni trigonometriche e relative proprieta 15815.2. Funzioni inverse 16415.3. Formula di trasformazione delle funzioni trigonometriche 16415.3.1. Formule notevoli 16415.3.2. Archi complemetari: 16515.3.3. Archi che differiscono di π

2: 165

15.3.4. Archi supplementari: 16515.3.5. Archi che differiscono di π: 16515.3.6. Archi opposti: 16515.3.7. Formule di addizione e sottrazione 16515.3.8. Formule di duplicazione 16615.3.9. Formule di bisezione 16615.3.10. Formule parametriche 16615.3.11. Formule di Werner 16715.3.12. Formule di prostaferesi 16715.4. Determinazione del periodo di funzioni trigonometriche

semplici 16715.4.1. Costanti moltiplicative 16715.4.2. Costanti additive 16815.4.3. Somma, prodotto e divisione di funzioni periodiche 169

Capitolo 16. EQUAZIONI TRIGONOMETRICHE 171Premessa 17116. Equazioni elementari 171

Indice analitico 173

CAPITOLO 1

GLI INSIEMI

Premessa

In matematica, in genere, si e soliti definire un concetto prima diutilizzarlo. Nel descrivere, pero, la teoria degli insiemi, le nozioni di“insieme”, “elemento”, “appartenenza” sono cosı semplici che non pos-sono essere definite mediante altre ancora piu semplici. Tali nozionivengono dunque assunte come nozioni primitive, ossia non definibilimediante concetti piu semplici.Talvolta capita di dire o ascoltare frasi quali:“l’insieme delle vocali”,“l’insieme dei numeri pari”, “l’insieme delle matricole della Facolta diEconomia dell’Universita degli Studi di Palermo, che frequentano il cor-so di laurea in Economia Aziendale”. In altri termini nell’uso comunetrova posto la parola insieme con il significato di collezione di oggetti diqualsiasi natura ed aventi una o piu caratteristiche in comune. Comeconcetto matematico l’insieme continuera ad avere lo stesso significatoe gli oggetti si chiameranno elementi.

1.1 Notazioni (insieme, elemento, appartenenza)Gli insiemi si indicheranno mediante le lettere maiuscole: A,B, · · · , Z;gli elementi mediante le lettere minuscole: a, b, · · · , z.

La scrittura a ∈ T si legge “a appartiene a T”, e significa che a eun elemento dell’insieme T . Il segno “∈” si dice di appartenenza.

La negazione di a ∈ T e a /∈ T , che si legge “a non appartiene a T”e significa che a non e un elemento di T .

1.2 Descrizione di un insieme (1◦ metodo)Per descrivere un insieme e possibile scrivere fra parentesi graffe glielementi di cui esso e costituito utilizzando la virgola come segno diseparazione.

EsempioA = {1, 7, 5} significa che A e un insieme costituito dai 3 elementi: 1, 7 e5; evidentemente in relazione ai numeri 4 e 7 si ha: 4 /∈ A , 7 ∈ A.

7


Con questo metodo gli elementi non descritti esplicitamente si de-ducono per semplice estrapolazione.Per esempio e facile intuire che C = {0, 1, ..., 9} e costituito dalle 10cifre del sistema decimale.

Quando poi si vogliono descrivere insiemi costituiti da infiniti ele-menti e necessaria anche una certa elasticita mentale.

Di fondamentale importanza sono i due seguenti insiemi:

N = {0, 1, 2, ...} (Insieme dei Numeri Naturali)

Z = {...,−2,−1, 0, 1, 2, ...} (Insieme dei Numeri Interi Relativi)

E bene evidenziare che gli elementi di un insieme sono distintifra loro e che l’ordine con cui si elencano e ininfluente.

Non e corretto, per esempio, scrivere A = {1, 7, 5, 7}.

In relazione all’ordine con cui si descrivono gli elementi di un insiemesi ha:

A = {1, 5, 7} = {1, 7, 5} = {5, 1, 7} = {5, 7, 1} = {7, 1, 5} = {7, 5, 1}

Prima di esporre un secondo metodo per descrivere un insieme, eopportuno introdurre le seguenti notazioni:

1.3 Notazioni (quantificatore esistenziale ed universale)Il simbolo “∃” si legge “esiste” e viene usato spesso per ragioni di sintesie precisione. Per esempio, la seguente espressione:

∃ x ∈ A t.c. ...

si legge: “Esiste almeno un elemento x in A tale che1 ... ”Questa seconda scritura abbreviata, che differisce dalla precedente sol-tanto per l’introduzione del punto esclamativo:

∃ ! x ∈ A t.c. ...

si legge: “Esiste ed e unico l’elemento x in A tale che ... ”Invece l’espressione:

∀ x ∈ A : ...

si legge: “Per ogni elemento x di A risulta ... ”I simboli “∃” e “∀” si chiamano rispettivamente quantificatore esisten-ziale e quantificatore universale.

1 in sostituzione di “t.c.” si utilizza spesso il simbolo “ : ”, o anche “ / ”


1.4 Descrizione di un insieme (2◦ metodo)Un modo alternativo per descrivere un insieme A e quello di scegliere uninsieme “noto” che contiene A ed individuare gli elementi specificandouna o piu condizioni caratterizzanti.

Esempio 1L’insieme C = {0, 1, ..., 9} potrebbe rappresentarsi scrivendo:

C = {x ∈ N : 0 ≤ x ≤ 9}Esempio 2

L’insieme D = {1, 3, 5, ...} dei numeri naturali dispari puo rappresentarsiscrivendo:

D = {x ∈ N : x = 2k + 1, k ∈ N}Questo secondo procedimento come si vede e molto piu rigoroso del

primo in quanto non lascia nulla di indeterminato.

Siano A e B due insiemi, di notevole importanza sono le seguentidefinizioni:

1.5 Definizione di uguaglianzaLa scrittura A = B si legge “A e uguale a B ” e vuol dire che A e Bhanno i medesimi elementi.

Esempio

Sia A = {1, 3, 7, 4, 17} e B = {7, 1, 4, 17, 3}A e B hanno gli stessi elementi e dunque risulta A = B.

1.6 Definizione di sottoinsiemeSi scrive A ⊆ B, si legge “A e contenuto o uguale a B ” ovvero Ae un sottoinsieme di B e significa che ogni elemento di A e anche unelemento di B o che A e B sono uguali.

Esempio 1Sia A = {1, 3, 7} e B = {1, 3, 4, 6, 7}Ogni elemento di A e contenuto in B e dunque risulta A ⊆ B.Si osserva anche che esiste almeno un elemento che sta in B ma non inA. Tale circostanza, in modo piu preciso, si indica scrivendo A ⊂ B esi dice che A e un sottoinsieme proprio di B o che A e contenutopropriamente in B. Mediante la notazione dei diagrammi di Venn si pos-sono rappresentare gli insiemi con una forma geometrica del piano e meglioevidenziare le relazioni che intercorrono fra essi. In tal caso si ha:

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AB

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.......................

.1.3

.7

.4

.6

Fig. 1. A e un sottoinsieme proprio di B


Esempio 2Sia A = {2, 5, 7, 10, 17} e B = {2, 5, 10, 7, 17}

Anche in tal caso si ha: A ⊆ B. In modo piu preciso, si puo scrivere: A = B.

1.7 Principio di doppia inclusioneDa quanto detto puo dedursi che per dimostrare che A = B e possibileapplicare il principio di doppia inclusione:

A ⊆ B e B ⊆ A

1.8 Definizione di non contenutoLa scrittura A 6⊂ B si legge “A non e contenuto in B ”, ossia esistealmeno un elemento dell’insieme A che non sta in B.

Esempio

Sia A = {3, 5, 7} e B = {0, 2, 3, 5} allora A 6⊂ B perche 7 ∈ A e 7 /∈ B.

Mediante la notazione dei diagrammi di Venn:

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

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B

0.

2.

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A

7.

3.5.

Fig. 2. A non e contenuto in B.

1.9 Definizione di insieme vuotoPer una trattazione semplice e lineare dell’insiemistica e necessario in-trodurre un insieme privo di elementi che indicheremo con il simbolo ∅e chiameremo insieme vuoto.Per ogni insieme A risulta : ∅ ⊂ A. 2

1.10 Definizione di insieme delle partiDato un insieme S, si indica con P (S) l’insieme che ha per elementitutti e soltanto i sottoinsiemi di S.P (S) si chiama l’insieme delle parti di S.

Esempio 1Sia S = {a, b, c} allora l’insieme delle parti di S e:P (S) = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}

2Non puo risultare ∅ 6⊂ A perche dovrebbe esistere almeno un elementodell’insieme vuoto non contenuto in A.


Esempio 2

Se fosse S = {a, 7} allora si avrebbe P (S) = {∅, {a}, {7}, {a, 7}}.

E’ possibile dimostrare che se S e costituito da n elementi allora P (S)contiene 2n elementi.

Di considerevole importanza sono le operazioni fra gli insiemi.Siano A e B due sottoinsiemi di S.

1.11 Definizione di insieme unioneA ∪ B si legge “A unione B ” ed indica l’insieme degli elementi di Sche appartengono ad almeno uno dei due insiemi.

A ∪B = {x ∈ S : (x ∈ A) ∨ (x ∈ B)}3

In altri termini, equivalentemente, un elemento x sta nell’unione sex e un elemento di A, oppure se e un elemento che sta in B, o ancorase e un elemento che sta sia in A che in B.

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S

B

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A

Fig. 3. Il rettangolo rappresenta l’insieme S. La parte punteggiata A∪B

Esempio

S = N

A = {2, 3, 7, 11, 13}

B = {1, 3, 7, 9}

A ∪B = {1, 2, 3, 7, 9, 11, 13}

1.12 Definizione di insieme intersezioneA ∩ B si legge “A intersezione B ” ed indica l’insieme degli elementidi S che appartengono sia ad A che a B, in altri termini gli elementicomuni ai due insiemi.

A ∩B = {x ∈ S : (x ∈ A) ∧ (x ∈ B)}4

un elemento x sta nell’intersezione se x appartiene ad A e a B.

3 il simbolo ∨ verra definito in modo rigoroso in logica ed ha il significato cheviene dato usualmente alla vocale “ o ”

4 analogamente il simbolo ∧ verra definito in seguito ed ha il significato cheviene dato usualmente alla vocale “ e ”


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S

A

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.B

Fig. 4. Il rettangolo rappresenta l’insieme S. La parte punteggiata A∩B

Esempio

S = N

A = {2, 3, 4, 5, 7, 11, 13} B = {1, 3, 5, 7, 9}

A ∩B = {3, 5, 7}

1.13 Definizione di insieme differenzaLa differenza insiemistica si denota con la scrittura A \ B si legge “Ameno B ” ed indica l’insieme degli elementi di A che non appartengonoa B. Sinteticamente: A \B = {(x ∈ A) ∧ (x /∈ B)}.

S

...............................................................................................................................................................................................................................................................................................

.............................

................................................................................................................................... A ....................................................................................................................................................................................................................................

..............................

.................................................................................................... B......

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Fig. 5. Il rettangolo rappresenta l’insieme S. La parte punteggiata A\B

EsempiA = {2, 5, 7, 11, 13} B = {1, 5, 7, 9} A\B = {2, 11, 13} B\A = {1, 9}

N \ {0} indica l’insieme dei Numeri Naturali con esclusione dello zero

1.14 Definizione di prodotto cartesianoDati due insiemi A e B, si chiama prodotto cartesiano di A per B esi indica con A×B l’insieme di tutte le possibili coppie ordinate (a, b)con a ∈ A e b ∈ B.

A×B = {(a, b) : (a ∈ A) ∧ (b ∈ B)}

Parlando di coppia ordinata (a, b), a viene detta prima coordinata e bseconda coordinata.


1.15 Definizione di coppie ugualiSiano a1, a2 ∈ A e b1, b2 ∈ B allora(a1, b1) = (a2, b2)⇔ (a1 = a2) ∧ (b1 = b2).Se A 6= B si avra evidentemente A×B 6= B × A.

Esempi di prodotto cartesiano

A = {a, b, c}

B = {1, 2}

A×B = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)}

B ×A = {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)}


1.16 Esercizi di riepilogo

1. [��] Rappresentare l’insieme dei numeri interi positivi pari.

2. [��] Rappresentare l’insieme dei numeri interi negativi multipli di 3.

3. [��] Si considerino gli insiemi :

A = {2,−1, 3, 7, 5, 17} B = {−1, 2, 3, 5, 7, 17}

A ⊆ B ?

B ⊆ A ?


A = {2, 3, 4, 5, 6, 7} B = {1, 7, 2, 3, 5, 6, 10, 17}Stabilire se vale la relazione: A ⊆ B.


A = {−1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} B = {−1, 3, 5, 6, 7}Stabilire se vale la relazione: B ⊆ A.


A = {2, 3, 4, 5, 7, 11} B = {1, 3, 5, 6, 10, 17}Determinare A ∩B e A ∪B.

7. [��] Si consideri l’insieme:

S = {2, 3, 7}Si trovi P (S) cioe l’insieme delle parti di S.


A = {−3, 0, 5, 7, 17} B = {−3,−2, 1, 3, 5, 17}Determinare A \B e B \A.


A = {1, 3, 5} B = {2, 4}Determinare A×B e B ×A.


Risultati-Svolgimento esercizi proposti

1. [��] Una possibile rappresentazione dei numeri interi positivi pari e:

P = {x ∈ N : x = 2k , k ∈ Z+}

2. [��] Una rappresentazione dei numeri interi negativi multipli di 3 e:

T = {x ∈ Z : x = −3k , k ∈ N \ {0}}


A = {2,−1, 3, 7, 5, 17} B = {−1, 2, 3, 5, 7, 17}Risulta: A ⊆ B , B ⊆ A e dunque A = B.


A = {2, 3, 4, 5, 6, 7} B = {1, 3, 5, 6, 10, 17}Risulta: A " B


A = {−1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} B = {−1, 3, 5, 6, 7}Risulta: B ⊆ A


A = {2, 3, 4, 5, 7, 11} B = {1, 3, 5, 6, 10, 17}A ∩B = {3, 5} A ∪B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 17}

7. [��] Si consideri l’insieme:

S = {2, 3, 7}allora P (S) = {∅, {2}, {3}, {7}, {2, 3}, {2, 7}, {3, 7}, {2, 3, 7}}


A = {−3, 0, 5, 7, 17} B = {−3,−2, 1, 3, 5, 17}

A \B = {0, 7}

B \A = {−2, 1, 3}



A = {1, 3, 5} B = {2, 4}

A×B = {(1, 2), (1, 4), (3, 2), (3, 4), (5, 2), (5, 4)}

B ×A = {(2, 1), (2, 3), (2, 5), (4, 1), (4, 3), (4, 5)}

CAPITOLO 2

GLI INSIEMI NUMERICI

Premessa

L’obiettivo principale del corso e lo studio delle funzioni reali di unasola variabile reale. Le funzioni sono espresse da formule matematichecontenenti numeri ed e proprio per questo che gli insiemi numerici han-no particolare importanza in matematica.

La loro introduzione puo essere affrontata con differenti modalita. Sipreferisce un approccio induttivo: si considera l’insieme N dei numerinaturali, noto nelle sue caratteristiche generali e poi, come conseguenzadi semplici considerazioni, si costruiscono con successivi ampliamentil’insieme Z dei numeri interi relativi, l’insieme Q dei numeri razionalied infine l’insieme R dei numeri reali che e l’insieme in cui e definital’analisi matematica.

2.1 I Numeri NaturaliL’insieme dei numeri naturali e:

N = {0, 1, 2, 3, ...}

In N si possono introdurre le operazioni di somma e di moltiplicazioneche sono operazioni interne nel senso che:

∀ n1, n2 ∈ N n1 + n2 ∈ N n1 · n2 ∈ NEsiste l’opposto in N?

∀ n1 ∈ N ∃ n2 ∈ N t.c. n1 + n2 = 0?

E facile rendersi conto che, in N , a parte n = 0, nessun altro elementoha l’opposto.Si conviene di indicare con N+ l’insieme dei numeri naturali positivi.

2.2 I Numeri Interi RelativiPer rimuovere questo limite e rendere possibile l’operazione di sottra-zione si introducono i numeri interi relativi:

Z = {...,−2,−1, 0, 1, 2, ...}

Si conviene di indicare con Z+ l’insieme dei numeri interi positivi, conZ− l’insieme dei numeri interi negativi.

17


2.3 Rappresentazione grafica dei numeri interi relativiGraficamente i numeri naturali ed i numeri interi relativi, si possonorappresentare su una retta: si fissano due punti distinti O e U , con Ualla destra di O, e si conviene di far corrispondere al punto O il numero0 ed al punto U il numero 1, si stabilisce che la lunghezza del segmentoOU sia l’unita di misura.

Poi, a partire dal punto U e spostandosi verso destra di un segmentolungo 1, si individua un punto che corrispondera al numero 2; iteran-do il ragionamento precedente, si potrebbe individuare il punto, sullaretta, corrispondente ad un qualunque numero naturale.

Per i numeri interi negativi si procede in modo analogo, spostandosialla sinistra del punto O.

O U· · ·

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4· · ·

Fig. 1. Rappresentazione grafica dei numeri interi relativi

Siamo fortemente interessati ad individuare un insieme nume-rico che ci consenta di stabilire una corrispondenza biunivocafra gli elementi dell’insieme ed i punti della retta.E evidente che preso comunque un punto sulla retta ad esso non cor-risponde un numero intero. Per esempio, sia A il punto medio del

segmento OU, allora per quanto detto ad A corrisponde1

2che non e

un numero intero.Alla ricerca di questo insieme, e per consentire l’operazione di divisionesi introduce un ampliamento dell’insieme dei numeri interi relativi:

2.4 I Numeri Razionali

Q =

{p

q: (p, q ∈ Z) ∧ (q 6= 0)

}Il termine razionale deriva dal latino ratio = quoziente, ed infatti i nu-meri razionali si esprimono come quoziente, rapporto di numeri interi.

Due frazionip

qe

r

ssi definiscono equivalenti ⇔ ps = rq.

E semplice dimostrare che Z ⊂ Q. Infatti ∀z ∈ Z risulta:

z =z

1∈ Q1

1Un numero razionale e un numero che puo esprimersi come frazionep

qove

p, q ∈ Z e q 6= 0 ed in tal caso z ∈ Z per ipotesi, 1 ∈ Z e 1 6= 0


2.5 Definizione di insieme discretoUn insieme A si dice discreto se ∀ x, y ∈ A fra x e y ci sono al piu unnumero finito di elementi di A.

Dalla definizione di insieme discreto si deduce che fra due elementidistinti di un insieme discreto o non cade alcun elemento o ne cadonoun numero finito. E facile rendersi conto che N e Z sono insiemidiscreti.Per esempio fra i numeri interi -3 e -2 non cade alcun intero; fra inumeri naturali 1 e 4 cadono gli elementi 2 e 3; ed in generale, presicomunque due interi ovviamente fra essi cadono al piu un numero finitodi elementi.Ci si chiede: l’insieme Q e discreto?

2.6 Teorema (densita di Q)L’insieme dei numeri razionali e denso in se. Cioe presi comunque duenumeri razionali q1 e q2 con q1 < q2 e sempre possibile trovare unnumero razionale compreso fra essi e quindi infiniti numeri.

Dimostrazione. Basta, per esempio, calcolarne la media aritmetica:

m1 =q1 + q2

2

Il medesimo procedimento si puo ripetere scegliendo come primo nu-mero ancora q1 e come secondo numero m1. Si determinera il numerorazionale

m2 =q1 + m1

2Iterando l’algoritmo in modo analogo, al passo k-imo si trovera:

mk =q1 + mk−1

2

mk m2 m1· · ·

q1 q2· · ·

Fig. 2. Al passo k si calcola la media aritmetica fra q1 e mk−1

E dunque calcolando ad ogni passo la media aritmetica, e potendoiterare un qualsivoglia numero di volte tale procedimento, si e provatoche fra due razionali cadono infiniti altri numeri razionali.

�

La proprieta di essere un insieme denso in se, di cui gode l’insieme deinumeri razionali, fa ben sperare riguardo al problema di individuareun insieme numerico da poter porre in corrispondenza biunivoca con i


punti della retta.

Cioe fissati su una retta l’origine O, ed alla destra di O il punto U inmodo che OU = 1. Si individuano 2 semirette aventi origine in O, unacontenente U , che si conviene di chiamare semiretta positiva, e l’altra,che non lo contiene, chiamata semiretta negativa.

E evidente che, fissato un qualsiasi numero razionalep

q, e possibile in-

dividuare sulla retta un punto P in modo che risulti OP =p

q.

Dunque scelto comunque un numero razionalep

qe possibile individuare

un sol punto P sulla retta in modo che OP =p

q.

Viceversa, scelto un qualsiasi punto P sulla retta e possibile determi-

nare un numero razionalep

qin modo che OP =

p

q?

Purtroppo la risposta e negativa, pur essendo Q denso in se!

Nel V secolo A.C. fiorı nell’Italia Meridionale la scuola pitagorica.I pitagorici si posero il seguente problema: dato un quadrato di latoOU , unitario, misurarne la diagonale.

Ovviamente usando i numeri interi non e possibile misurare la diago-nale perche e certamente un numero piu grande di 1 e piu piccolo di 2.

Si potrebbe pensare che ∃ p, q ∈ Z+ t.c. OA =p

q.

O U

A

A′· · ·

.......... · · ·

......................................................................................................................................................................................................................

.......

.......

.......

.......

.......

.......

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.......

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....

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.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

....

..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Fig. 3. La misura di OA′ non e esprimibile mediante un numero razionale

E possibile dimostrare che non esiste alcun razionale che mi-sura la diagonale del quadrato.

Ed allora il punto A′ costruito mediante il compasso in modo che risultiOA = OA′ non e misurabile mediante un numero razionale. Infatti,per il teorema di Pitagora, tale problema ha come soluzione 2

√2 /∈ Q.


Cio non era facilmente intuibile perche i numeri razionali sono densisulla retta reale. Quindi i punti a cui corrisponde un’ascissa razionaleson fitti ma non sono tutti, cioe esistono dei “buchi”, delle “lacune”.

Fra i numeri razionali rappresentati sulla retta esistono altri numerinon razionali detti appunto numeri irrazionali.

Il generico numero razionalep

qsi puo pensare come un numero deci-

male che puo essere finito o periodico.Tale numero si ottiene eseguendo la divisione di p per q.

Per esempio facendo la divisione fra 2 e 5 si ottiene il numero decimalefinito 0, 4; 2 diviso 7 da come risultato il numero decimale illimitatoperiodico 0, 285714.

I numeri irrazionali hanno invece la caratteristica comune diavere infinite cifre decimali non periodiche.

L’insieme dei numeri reali, che si conviene indicare con R, ecostituito dall’unione dei numeri razionali e dei numeri irra-zionali ed e l’insieme numerico tanto cercato.

R = {numeri razionali ∪ numeri irrazionali}

Per esempio3

7∈ Q, 2

√5 /∈ Q, 2

√5 ∈ R.

2.7 Proprieta dei numeri realiFissato sulla retta reale un punto O, denominato origine, edun punto U che si conviene di scegliere alla destra dell’originet.c. OU = 1, comunque si scelga sulla retta un punto P alladestra del punto O, ad esso corrisponde un solo numero realex > 0 tale che OP = x e viceversa.

Grazie a questa proprieta dei numeri reali e possibile introdurre ilconcetto di coordinate cartesiane sulla retta reale.

2.8 La retta cartesianaSi consideri una retta orientata r, si fissino su di essa due punti: O edU in modo che O preceda U .La retta r risulta cosı suddivisa in due semirette: quella avente originein O e contenente U , che si conviene di chiamare semiretta positiva, el’altra avente origine nel punto O e non contenente U , che chiameremosemiretta negativa.


Scelto comunque un punto P1 sulla semiretta positiva, esiste un solonumero reale positivo x1 che da la misura di OP1 che si definisce ascissadi P1. Preso comunque un punto P2 sulla semiretta negativa, esiste unsolo numero reale positivo x2 che da la misura di P2O, e poiche P2 estato scelto sulla semiretta negativa si definisce ascissa di P2 il numero−x2. Infine, se il punto scelto coincide con O (il punto origine), ad essosi fa corrispondere il numero reale 0.

P2 O U P1

· · · r−x2 0 1 x1

> · · ·

Fig. 4. Coordinate cartesiane sulla retta reale

Viceversa: ad ogni numero reale corrisponde uno ed un sol punto sullaretta reale. Il numero reale 0 corrisponde al punto O origine dellaretta cartesiana; scelto comunque un numero reale x1 > 0 e possibileindividuare alla destra diO quell’unico punto P1 che verifica la relazioneOP1 = x1. Se infine si considerasse un numero reale x2 < 0 allora epossibile individuare alla sinistra di O quell’unico punto P2 che verificala relazione P2O = −x2.La corrispondenza biunivoca cosı stabilita fra i punti della retta r edi numeri reali, permette di identificare tali insiemi. Per cui si parlera

del punto 1, del punto 7, del punto1

4.

2.9 Convenzioni (razionali,reali positivi e negativi)Analogamente a quanto convenuto per i numeri interi positivi e nega-tivi, con i simboli Q+,R+ si indicheranno rispettivamente l’insieme deinumeri razionali e quello dei numeri reali positivi:

Q+ = {x ∈ Q : x > 0} R+ = {x ∈ R : x > 0}

Analoghe considerazioni valgono per i numeri razionali e reali negativi.

Mediante la notazione dei diagrammi di Venn, il rapporto esistente fragli insiemi N, Z, Q e R puo sintetizzarsi mediante la seguente figura:

NZQR

Fig. 5. N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R


Dunque, le considerazioni sino ad ora fatte ed altre importanti pro-prieta che verranno esposte e discusse in seguito, determinano la sceltadell’insieme dei numeri reali come insieme numerico di lavoro.In altri termini l’insieme dei numeri reali presenta caratteristiche e pro-prieta idonee per lo sviluppo della teoria delle funzioni reali.

Allora d’ora in poi, se non dovesse essere specificato diversamente,quando si considereranno quantita numeriche si intendera parlare dinumeri reali.

CAPITOLO 3

LA FUNZIONE

Premessa

Si vuole adesso introdurre il concetto di funzione che e di fondamentaleimportanza nello studio della Matematica Generale.Le funzioni intervengono sovente nelle attivita dell’uomo, talvolta inmodo celato altre volte in modo esplicito.In ogni caso quando ad un elemento di un insieme si fa corrispondere unelemento di un altro insieme si ha a che fare con il concetto di funzione.

Spesso, quando si acquista un certo bene, il prezzo che si paga e fun-zione della quantita del bene in questione.

Per esempio quando si acquista il pane si paga in proporzione alla quan-tita del bene comprato, cosı se 1 kg di pane costa 1 euro e cinquantacentesimi, 2 kg costeranno 3 euro.

Talvolta la legge che lega le due quantita: bene da acquistare e corri-spondente prezzo da pagare, potrebbe essere variabile.

Per esempio volendo, acquistare alcuni DVD, non ci si stupirebbe af-fatto se il prezzo unitario dipendesse dalla quantita del bene.

Il rivenditore, ovviamente, vuole invogliare ad acquistare piu mercepossibile e quindi propone un prezzo unitario che varia in base allaquantita: fino a 10 DVD il prezzo unitario potrebbe, per esempio, esse-re 1 euro, da 11 a 30 pezzi 90 centesimi, da 31 a 50 pezzi 80 centesimi,piu di 50 DVD 70 centesimi.

Quantita di DVD Prezzo unitario

fino a 10 DVD 1 euroda 11 a 30 DVD 90 centesimida 31 a 50 DVD 80 centesimipiu di 50 DVD 70 centesimi

Tab. 1. Quantita DVD e relativi prezzi unitari

25


3.1 Definizione di funzioneSiano A e B due insiemi non vuoti. Diremo che in A e definita unafunzione a valori in B e scriveremo f : A → B se e fissata una legge(una regola) che ad ogni elemento di A fa corrispondere (associa) unoed un solo elemento dell’insieme B.

f : A→ B si legge f da A in B

ed esprime il fatto che f opera da A verso B.

Se con x si indica il generico elemento di A, allora f(x) (leggasi “f dix”) e l’elemento di B che la funzione f fa corrispondere a x e si chiamaimmagine di x mediante f , valore di f in x, oppure f calcolatain x.I due insiemi A e B si dicono rispettivamente insieme di partenza1

e insieme di arrivo della funzione f .Sinonimo di funzione e applicazione.Per definizione, una funzione f : A → B viene assegnata quando ven-gono stabiliti i due insiemi non vuoti A e B e comunque si scelga x inA si e in grado di determinare l’elemento f(x) di B.

Esempio 1 (f e una funzione da A in B)

A = {1, 3, 4, 5} B = {0, 2, 7}f : A→ B

f(1) = 0, f(3) = 2, f(4) = 0, f(5) = 2

............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................................................

A

1•

3•

4•

5•

............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................................................

B

0•

2•

7•

......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ...................

.......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ...................

......................................

......................................

......................................

......................................

......................................

......................................

......................................

......................................

......................................

......................................

......................................

...................................................

..............................................

..............................................

..............................................

..............................................

..............................................

..............................................

..............................................

..............................................

..............................................

...............................................

Fig. 1. Rappresentazione della funzione mediante i diagrammi di Venn

f e una funzione da A in B: infatti A e B sono 2 insiemi non vuoti e ad

ogni elemento di A e stato associato, mediante la f , uno ed un sol elemento

di B. Si osservi che in questo esempio, l’elemento 7 ∈ B non gioca alcun

ruolo!!! Ma cio non contraddice la definizione di funzione.

1di sovente A si chiama dominio o anche insieme di definizione dellafunzione


Esempio 2 (f non e una funzione da A in B)

A = {1, 3, 2} B = {7, 4, 5}f : A→ B

f(1) = 4, f(3) = 5

............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................................................

A

1•

3•

2•

............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................................................

B

7•

4•

5•

.................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. ...................

.................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ...................

Fig. 2. Rappresentazione mediante i diagrammi di Venn

Il diagramma di Venn ben evidenzia che f non e una funzione da A in

B perche all’elemento 2 ∈ A non e stato associato alcun elemento di B (2

e l’unico elemento di A dal quale non parte una freccia).

Esempio 3 (f non e una funzione da A in B)

A = {1, 3, 2, 7} B = {7, 4, 5}f : A→ B

f(1) = 7, f(3) = 4, f(2) = 5, f(7) = 5, f(3) = 7

............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................................................

A

1•3•

2•

7•

............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................................................

B

7•

4•

5•

......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ...................

..........................................................................................

..........................................................................................

..........................................................................................

..........................................................................................

........................................................................................

.......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ...................

............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. ...................

......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ...................

Fig. 3. Rappresentazione mediante i diagrammi di Venn

f non e una funzione da A in B perche all’elemento 3 ∈ A vengono

associati i due elementi 4 e 7 appartenenti all’insieme B, e cio contraddice

la definizione di funzione.2

2Utilizzando la rappresentazione mediante i diagrammi di Venn, si ha una fun-zione se e solo se da ogni elemento del primo insieme parte una ed una solafreccia che colpisce un solo elemento del secondo insieme.


Esempio 4 (f e una funzione da A in B)Si considerino gli insiemi:

A = {Vocaboli della lingua italiana}

B = {Lettere dell’alfabeto italiano}f(x) = { La prima lettera del vocabolo x }

f : A → B e la funzione che ad ogni vocabolo della lingua italiana associala sua lettera iniziale.

Ed allora, per esempio, f(casa) = c, f(matricola) = m, f(albero) = a, ... .

Ovviamente quando A contiene infiniti elementi, la funzione non puoessere assegnata specificando per ciascun valore di A il corrispondentevalore di B, ma bensı mediante una legge, una formula, che consentadi calcolare f(x) ∀x ∈ A.

Esempio 5 (f e una funzione da N in Z)Si consideri:

f : N→ Z f(x) = x2

f e la funzione che ad ogni numero naturale associa il suo quadrato.

La legge assegnata consente di determinare l’immagine di qualsiasi numero

naturale. Ed allora, per esempio, f(0) = 0, f(1) = 1, f(2) = 4, ... .

3.2 Definizione di piano cartesianoMediante la (1.14) si e definito il prodotto cartesiano, un esempio diparticolare interesse e quello in cui A = B = R.In tal caso si ha:

R× R = R2 = {(x, y) : x ∈ R e y ∈ R}

cioe l’insieme di tutte le possibili coppie ordinate di numeri reali.E possibile stabilire una corrispondenza biunivoca fra i puntidel piano e le coppie ordinate (x, y) ∈ R× R = R2.

Si posizionano sul piano due rette: una in posizione orizzontale e l’al-tra in posizione verticale, in modo che esse risultino perpendicolari traloro. Sia O = (0, 0) il loro punto di intersezione.Si scelga sulla retta orizzontale ed alla destra del punto O un punto U ,sia OU = 1 l’unita di misura valida per entrambe le rette.La retta orizzontale, che chiameremo asse delle ascisse, e suddivisa indue semirette aventi origine in O. Si conviene di chiamare semirettapositiva quella contenente il punto U , semiretta negativa l’altra.


Analogamente la retta verticale, che chiameremo asse delle ordinate, esuddivisa dal punto O in due semirette quella contenente i punti al disopra dell’asse delle ascisse, che si definisce semiretta positiva, e l’altrache viene denominata semiretta negativa delle ordinate.Le due rette vengono anche chiamate assi cartesiani.

Per quanto visto in (2.8), ognuna delle due rette e in corrispondenzabiunivoca con R, in modo tale che i numeri crescono da sinistra versodestra sulla retta orizzontale, e dal basso verso l’alto sulla retta verti-cale. Quanto detto viene evidenziato posizionando due freccette comein Fig. 4. Per stabilire la corrispondenza biunivoca tra R2 ed i puntidel piano si puo procedere come di seguito descritto.

Sia P un qualsiasi punto del piano, si traccia la retta r passante per Ped ortogonale all’asse delle ascisse e si indica con Px il punto di interse-zione della retta r con l’asse delle ascisse; si traccia la retta s passanteper P ed ortogonale all’asse delle ordinate e sia Py il punto di interse-zione di s con l’asse delle ordinate. Al generico punto P corrisponde lacoppia ordinata (Px, Py) ∈ R2.

Viceversa, alla coppia ordinata (Px, Py) ∈ R2 corrisponde il punto Pdel piano ottenuto come punto d’intersezione della retta ortogonale al-l’asse delle ascisse passante per Px con la retta ortogonale all’asse delleordinate e passante per Py.

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x

y

Op

−

U•Px

.•Py P

r

s............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. .

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Fig. 4. Corrispondenza tra i punti del piano e le coppie (Px, Py) ∈ R2.

Inoltre, l’asse delle ascisse e delle ordinate suddividono il piano inquattro quadranti, che si conviene di denotare: I◦, II◦, III◦ e IV ◦

QUADRANTE, come mostrato in Fig. 5.


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x

y

OpU

I◦ QUADR.II◦ QUADR.

III◦ QUADR. IV ◦ QUADR.

Fig. 5. Suddivisione in quattro quadranti del piano cartesiano

3.3 Definizione di grafico di una funzioneSia f : A → B una funzione. Si chiama grafico di f il sottoinsiemeGf di A× B formato da tutte le coppie (x, f(x)) al variare di x in A.In simboli:

Gf = {(x, f(x)) : x ∈ A}

Esempio 6

f : N→ Z

f(x) = x2

Gf = {(0, f(0)), (1, f(1)), (2, f(2)), · · · } = {(0, 0), (1, 1), (2, 4), · · · }

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x

y

O 1 2

1

4

••

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Fig. 6. I punti in grassetto costituiscono il grafico della funzione


Esempio 7

f : R→ R f(x) = x2

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x

y

O

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Fig. 7 Grafico di f(x) = x2

3.4 Criterio per stabilire il grafico di una funzioneSi indichi con G un generico grafico tracciato su un sistema di assicartesiani ortogonali. Diremo che G e il grafico di una funzione realedi variabile reale se comunque si tracci una retta parallela all’asse delley essa interseca G al piu in un punto.

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x

y

O•••

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x

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O

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Fig. 8. Grafico di una funzione Fig. 9. Non e il grafico di una funzione

3.5 Definizione di insieme delle immaginiSia f : A→ B una funzione.Si chiama codominio di f o insieme delle immagini di f , e sidenota con codom(f), im(f) o f(A), l’insieme delle immagini di tuttigli elementi del dominio A:

codom(f) = im(f) = f(A) = {f(x), x ∈ A}

Per le funzioni rappresentate in Fig. 6. e Fig. 7. risulta rispettivamente:

im(f) = {y ∈ N : y = x2, x ∈ N} im(f) = R+ ∪ {0}

3.6 Definizione di funzione reale di variabile realeSi dice che f : A→ B e una funzione reale di variabile reale se Ae B sono sottoinsiemi di R.



1. [��] Si considerino gli insiemi:

A = {1, 3, 5, 7} B = {−2, 0, 2, 4, 6}

e sia f(1) = 2, f(3) = 4, f(5) = 6, f(7) = 8.

Stabilire se f e una funzione.

2. [��] Stabilire se f : Z→ N f(x) = x+ 1 e una funzione.

3. [��] Stabilire se f : N→ R f(x) =√x e una funzione.

4. [��] Sia f : [0, 4]→ R e f(x) = x+ 1.

4.1 Tracciare il grafico qualitativo della funzione.

4.2 Dedurre dal grafico Im(f).

5. [��] Si consideri la funzione f : Q→ R f(x) = x.

Tracciare il grafico qualitativo di f .

6. [��] Sia f : N→ R e f(x) = 2x+ 1.

6.1 Tracciare il grafico qualitativo della funzione.

6.2 Dedurre dal grafico Im(f).

7. [��] Si consideri la funzione f : R→ R f(x) = −x.

7.1 Tracciare il grafico qualitativo di f .

7.2 Determinare Im(f).



1. [��]

A = {1, 3, 5, 7} B = {−2, 0, 2, 4, 6}

f(1) = 2, f(3) = 4, f(5) = 6, f(7) = 8

f non e una funzione perche f(7) = 8 /∈ B.

2. [��]

f : Z→ N f(x) = x+ 1

f non e una funzione perche scelto per esempio nel dominio x = −7

risulta f(−7) = −7 + 1 = −6 /∈ N.

3. [��]

f : N→ R f(x) =√x e una funzione.

Infatti (∀x ∈ N) f(x) =√x ∈ R

4. [��]

Sia f : [0, 4]→ R e f(x) = x+ 1.

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x

y

O

5−

1−

4p

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Im(f) = [1, 5]


5. [��]

Si consideri la funzione f : Q→ R f(x) = x.

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x

y

O

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6. [��]

f : N→ R f(x) = 2x+ 1.

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x

y

O

•5−

•3−

1•−

1p

2p.......

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Im(f) = {x ∈ N : f(x) = 2x+ 1} = {1, 3, 5, 7, · · · }


7. [��]

f : R→ R f(x) = −x

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x

y

O

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Im(f) = R

CAPITOLO 4

LA RETTA

Premessa

E stata stabilita una corrispondenza biunivoca fra i punti del piano ele coppie ordinate (x, y) ∈ R× R = R2.Cio consente di interpretare geometricamente le proprieta analitiche eviceversa.

Esempio

Se P1 = (x1, y1) e P2 = (x2, y2) allora

P1 e a destra e piu in alto di P2 ⇐⇒ (x1 > x2) e (y1 > y2).

4.1 Definizione di luogo geometrico nel pianoUn luogo geometrico nel piano e l’insieme di tutti e soli i punti delpiano che soddisfano una determinata proprieta geometrica.

Esempio

Per esempio la circonferenza di centro l’origine e raggio unitario e l’insieme

di tutti e soli i punti del piano che soddisfano la condizione di avere distanza

unitaria dall’origine degli assi.

Da un punto di vista analitico, un luogo geometrico L nel piano, edunque l’insieme di tutte e sole le coppie (x, y) ∈ R2 che verificanoun’equazione del tipo: f(x, y) = 0.

L = {(x, y) ∈ R2 : f(x, y) = 0}

Esempio

Da un punto di vista analitico, per esempio, la circonferenza avente centro

nell’origine e raggio unitario e l’insieme di tutte e sole le coppie (x, y) ∈ R2

che verificano l’equazione x2 + y2 = 1.

Il piu semplice luogo geometrico e quello della retta.E possibile dimostrare che ad ogni retta del piano si puo associare unaequazione di primo grado in due variabili, e reciprocamente ad ogniequazione di primo grado in due variabili si puo associare una retta.

37


L’equazione della generica retta in forma implicita e:

ax+ by + c = 0 (con a, b, c ∈ R) (1)

Se a 6= 0, b 6= 0 e c 6= 0 dividendo nella (1) ambo i membri per b siottiene:

a

bx+ y +

c

b= 0

esplicitando rispetto a y:

y = −a

bx− c

b

e posto −a

b= m,− c

b= q si ottiene:

y = mx+ q (2)

che prende il nome di equazione della retta in forma esplicita e rap-presenta la generica retta del piano purche non parallela all’asse delleordinate.Il numero m = −a

bsi chiama coefficiente angolare della retta ed

indica la pendenza che ha la retta rispetto al semiasse positivo delle x.

Esempio 1

y = 3x− 5

l’equazione e data in forma esplicita ed allora il coefficiente angolare e ilcoefficiente della x e dunque m = 3.

Esempio 2

−4x+ 2y − 7 = 0

l’equazione e data in forma implicita e dunque il coefficiente angolare e

m = −a

b= −−4

2=

4

2= 2

Se nella (1) si suppone a 6= 0 b = 0 c 6= 0 si ottiene:

ax+ c = 0

ax = −c

x =−ca

Dunque un’equazione del tipo x = h (con h ∈ R).Il grafico di una retta di equazione x = h e caratterizzato dall’averel’ascissa di ogni punto uguale ad h ed e dunque una retta parallelaall’asse delle y.

In particolare x = 0 e l’equazione dell’asse delle y.


Esempio

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2 x

y

O

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Fig. 1. Grafico della retta di equazione x = 2

Si osservi che il grafico della retta di equazione x = 2 non e il grafico di

una funzione perche al valore x = 2 corrispondono infiniti valori della y e

precisamente tutti i possibili numeri reali.

D’altra parte se si fosse applicato il criterio (3.4) si sarebbe ottenuto il me-

desimo risultato: il grafico G di cui si vuole stabilire se costituisce o meno

il grafico di una funzione e x = 2.

Tutte le infinite rette test x = h (con h ∈ R) e h 6= 2 non intersecano il

grafico G in alcun punto, ma la retta x = 2 (pensata come una delle rette

test per stabilire se G e il grafico di una funzione ) interseca G in infiniti

punti e dunque G (x = 2) non e il grafico di una funzione.

In generale e possibile asserire che fra tutte le possibili rette del pianosolo quelle di equazione x = h (con h ∈ R) non sono grafici di funzioni.

Se nella (1) si ha a = 0 b 6= 0 c 6= 0 allora:

by + c = 0

by = −c

y =−cb

Dunque un’equazione del tipo y = h (con h ∈ R) cioe una funzionecostante.

Il grafico di una funzione costante del tipo y = h e caratterizzatodall’avere l’ordinata di ogni punto uguale ad h ed e dunque una rettaparallela all’asse delle x.


In particolare y = 0 e l’equazione dell’asse delle x.

Esempio

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O x

y

3..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Fig. 2. Grafico della retta di equazione y = 3

Come si e visto, disegnare il grafico di funzioni costanti e banale.

In generale tracciare il grafico di una retta e molto semplice basta in-fatti ricordare che per due punti del piano passa una ed una sola retta.Ed allora si individuano due qualsiasi punti della retta, si congiungonomediante una riga e si prolunga a piacere.

Operativamente: si tracciano due segmenti perpendicolari fra loro inmodo da formare una croce; si scrive x in una delle colonne che siformano e y nell’altra. Si attribuiscono due valori arbitrari alla x e siricavano dall’equazione che caratterizza la retta che si vuole disegnarei corrispondenti valori della y.

Esempio


Si considerino le rette di equazione y1 = 3x e y2 = 2x. Si tratta di duerette passanti per l’origine e di coefficiente angolare rispettivamente m1 = 3e m2 = 2.

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(y1 = 3x)

y1 = 3x

x y

0 0

2 6

•

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(y1 = 2x)

y1 = 2x

x y

0 0

•

4 8

•

x2 4

y

6

8

O

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Fig. 3. La pendenza della retta y1 = 3x e maggiore di y2 = 2x

4.2 Definizione (perpendicolarita e parallelismo)Siano r1 e r2 due rette di coefficiente angolare m1 e m2 rispettivamente.Allora r1 e perpendicolare a r2 se e solo se m1 ·m2 = −1.Le rette sono invece parallele se e soltanto se m1 = m2.

EsempioSi considerino le rette di equazione:

r : y = −2x+ 1 s : 2x− 4y + 1 = 0

La retta r ha coefficiente angolare m1 = −2; la retta s ha coefficiente ango-

lare m2 =−a

b=−2

−4=

1

2.

Risulta m1 =−1

m2

1 e dunque r e s sono ortogonali.

1La condizione m1 =−1

m2e equivalente alla condizione di perpendicolarita

infatti moltiplicando ambo i membri per m2 si trova m1 ·m2 = −1.


4.3 Osservazione (Coeff. angolare retta passante per due punti)Siano P1 = (x1, y1) e P2 = (x2, y2) due punti del piano cartesiano, conx1 6= x2. Sia r la retta passante per (x1, y1) e (x2, y2) (si noti che la condi-

zione x1 6= x2 e equivalente al fatto che r non e verticale) allora m =y2 − y1

x2 − x1.

Dimostrazione. Sia y = mx + q la generica retta in forma esplicitapassante per i punti P1 e P2. Allora valgono le relazioni{

y2 = mx2 + q,

y1 = mx1 + q

sottraendo membro a membro si ottiene y2− y1 = mx2−mx1 = m(x2−x1)e quindi m =

y2 − y1

x2 − x1.

�

EsempioDeterminare il coefficiente angolare della retta passante per i punti

P1 = (2, 4) P2 = (−1,−2)

m =y2 − y1

x2 − x1=−2− 4

−1− 2=−6

−3= 2

4.4 Retta passante per un punto con coefficiente angolare mSi consideri la generica equazione della retta in forma esplicita

y = mx+ q

ed un generico punto P1 = (x1, y1).Si imponga il passaggio della generica retta per P1:

y1 = mx1 + q

Sottraendo le due equazioni membro a membro si ha:

y − y1 = mx−mx1 + q − qsemplificando q e mettendo in evidenza m si ottiene:

y − y1 = m(x− x1)che e l’equazione della generica retta passante per il punto P1 = (x1, y1)e di coefficiente angolare m.

Esercizio (svolto)Scrivere l’equazione della retta passante per il punto P = (1, 2) ed ortogonalealla retta s di equazione 3x− 2y + 1 = 0.


La retta s ha coefficiente angolare: ms =−a

b=−3

−2=

3

2.

La retta richiesta ha coefficiente angolare m =−1

ms= −2

3.

E dunque applicando la formula della retta passante per un punto e dicoefficiente angolare m:

y − y1 = m(x− x1)

y − 2 = −2

3(x− 1)

Moltiplicando per 3 ambo i membri:

3y − 6 = −2x+ 2

2x+ 3y − 8 = 0 (ha coefficiente angolare m = −2

3e passa per P)

4.5 Retta passante per due puntiSiano P1 = (x1, y1) e P2 = (x2, y2) due punti del piano cartesiano e siconsideri la retta r passante per P1 e P2.Se x1 = x2 e y1 6= y2 allora r e una retta parallela all’asse delle y di equazione

x = x1

Se x1 6= x2 e y1 = y2 allora r e una retta parallela all’asse delle x di equazione

y = y1

Se x1 6= x2 e y1 6= y2, allora per l’osservazione (4.3) il coefficiente angolare

di r e: m =y2 − y1

x2 − x1.

Si consideri l’equazione della generica retta passante per P1 (o per P2)

y − y1 = m(x− x1)

e si sostituisca a m il valore del coefficiente angolare di r:

y − y1 =y2 − y1

x2 − x1(x− x1)

Dividendo ambo i membri per y2 − y1 ( y2 − y1 6= 0 in quanto per ipotesiy1 6= y2) si ottiene:

y − y1

y2 − y1=

x− x1

x2 − x1

che e l’equazione della generica retta passante per i punti P1 = (x1, y1) eP2 = (x2, y2).

EsempioSi considerino i punti P1 = (1, 2) e P2 = (2, 4) allora

y − 2

4− 2=

x− 1

2− 1,

y − 2

2=

x− 1

1, y − 2 = 2x− 2, y = 2x



1. [�] Determinare il coefficiente angolare della retta y = −2x+ 1.

2. [�] Determinare il coefficiente angolare della retta 2x− 2y + 1 = 0.

3. [�] Scrivere l’equazione della retta passante per i punti

P = (1, 2) Q = (2, 4)

4. [��] Tracciare il grafico qualitativo della funzione f(x) = −2x+ 1.

5. [��] Tracciare il grafico qualitativo della funzione f(x) = 2x+ 1.

6. [��] Tracciare il grafico qualitativo della retta di equazione y = 2.

7. [��] Tracciare il grafico qualitativo della retta di equazione x = 2.

8. [��] Si consideri la retta r di equazione y = 2x.Determinare l’equazione della retta s ortogonale alla retta r epassante per il punto P = (2, 1).Tracciare infine il grafico qualitativo delle due rette r e s.



1. [�] Il coefficiente angolare della retta y = −2x+ 1 e

m = −2

2. [�] Il coefficiente angolare della retta 2x− 2y + 1 = 0 e

m = 1

3. [�] L’equazione della retta passante per P = (1, 2) e Q = (2, 4) e

y = 2x

4. [��] Il grafico qualitativo della funzione f(x) = −2x+ 1 e:

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x y

0 1

1 −1

x

y

Op1

1

−1............

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5. [��] Il grafico qualitativo della funzione f(x) = 2x+ 1 e:


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x y

0 1

1 3

x

y

Op1

1

............3

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6. [��] Il grafico qualitativo della retta di equazione y = 2 e:

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x

y

O

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7. [��] Il grafico qualitativo della retta di equazione x = 2 e:


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x

y

Op2

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8. [��]s : x+ 2y − 4 = 0

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x

y

O

............2

p4

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CAPITOLO 5

LA PARABOLA

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x

y

O

y

n

m x

V•

F•P•

y = hH•

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Fig. 1. Il punto P ha stessa distanza dal fuoco e dalla direttrice.

5.1 Definizione di parabolaLa parabola e il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti daun punto fisso detto fuoco e da una retta fissa detta direttrice.

Si consideri inizialmente la generica parabola con asse di simmetriaparallelo all’asse delle y.Sia F = (m,n) il fuoco della parabola, ed allora l’asse di simmetria haequazione x = m.Sia y = h l’equazione della direttrice e P = (x, y) il generico puntodella parabola.Per la definizione data il punto P e un punto della parabola se risulta:

PF = PH (1)

5.2 Equazione della parabolaPer determinare l’equazione della generica parabola con asse di simme-tria parallelo all’asse delle y si puo procedere come segue:

PF =√

(x−m)2 + (y − n)2 PH = |y − h|49


Sostituendo nalla (1) ed elevando ambo i membri al quadrato:

(x−m)2 + (y − n)2 = (y − h)2

x2 − 2mx+m2 + y2 − 2ny + n2 = y2 − 2hy + h2

Portando i termini ove compare la variabile y a primo membro, irimanenti termini a secondo membro, e semplificando si ottiene:

2(h− n)y = −x2 + 2mx−m2 − n2 + h2

Moltiplicando per −1 ambo i membri:

2(−h+ n)y = x2 − 2mx+m2 + n2 − h2

Supposto h 6= n, dividendo ambo i membri per 2(−h+ n) si ottiene:

y =1

2(n− h)x2 − m

n− hx+

m2 + n2 − h2

2(n− h)

Posto:

1

2(n− h)= a

− m

n− h= b

m2 + n2 − h2

2(n− h)= c

(2)

si ottiene:

y = ax2 + bx + c (3)

che e l’equazione della generica parabola con asse di simmetria paralleloall’asse delle y.Supposti noti i valori di a, b e c allora (2) e un sistema di tre equazioninelle tre incognite m, n e h.Per determinare le coordinate del vertice, quelle del fuoco e l’equazionedella direttrice, si risolve il sistema di equazioni lineari nelle incognitem, n, e h.Liberando dal denominatore le tre equazioni del sistema:

2an− 2ah = 1−m = bn− bhm2 + n2 − h2 = 2cn− 2ch

2an = 2ah+ 1m = −bn+ bhm2 + n2 − 2cn− h2 + 2ch = 0


n = h+1

2a

m = −b(h+

1

2a

)+ bh = −bh− b

2a+ bh = − b

2a

b2

4a2+

(h+

1

2a

)2

− 2c

(h+

1

2a

)− h2 + 2ch = 0

n = h+1

2a

m = − b

2a

b2

4a2+ h2 +

h

a+

1

4a2− 2ch− c

a− h2 + 2ch = 0

n = h+1

2a

m = − b

2a

b2

4a2+

h

a+

1

4a2− c

a= 0

n = h+1

2a

m = − b

2a

h

a=

c

a− b2

4a2− 1

4a2=

4ac− b2 − 1

4a2=−1− (b2 − 4ac)

4a2=−1−∆

4a2

e semplificando nella terza equazione ambo i membri per a, si ottiene:


n = h+1

2a

m = − b

2a

h =−1−∆

4a

ed infine, sostituendo nella prima equazione il valore di h:

n =−1−∆

4a+

1

2a=−1−∆ + 2

4a=

1−∆

4a

m = − b

2a

h =−1−∆

4a

Ed allora ricordando che F = (m,n) e che vertice e fuoco hanno lamedesima ascissa, si ha:

xv = − b

2a

Essendo il vertice un punto della parabola, per trovare la corrispondenteordinata basta sostituire xv nella (3):

yv = a

(− b

2a

)2

+b

(− b

2a

)+c =

b2

4a2−b2

2a+c =

b2 − 2b2 + 4ac

4a= −∆

4a

Dunque risulta allora:

V =

(− b

2a,−∆

4a

)F =

(− b

2a,1−∆

4a

)y =−1−∆

4a


5.3 Osservazioni di carattere generale sulla parabola

• Si potrebbe dimostrare che se in (3) e a > 0 (a < 0) allora laparabola rivolge la concavita verso l’alto (il basso).

• Se b = 0 allora il vertice ha ascissa nulla e dunque l’asse disimmetria coincide con l’asse delle y.

• Se c = 0 allora la parabola passa per l’origine degli assi.

• Se (b = 0) ∧ (c = 0) allora il vertice della parabola coincidecon l’origine degli assi.

Analogamente si potrebbe dimostrare che l’equazione della genericaparabola con asse di simmetria parallelo all’asse delle x e:

x = ay2 + by + c

In modo analogo si potrebbe dimostrare che in tal caso risulta:

V =

(−∆

4a,− b

2a

)F =

(1−∆

4a,− b

2a

)x =−1−∆

4a



1. [�] Determinare l’equazione della parabola avente asse di simmetria

parallelo all’asse delle y e passante per i punti:

A = (1,−3) B = (2, 0) C = (3, 5)

2. [�] Sia y = x2 − 4x+ 6.

Stabilire le coordinate del vertice e quelle del fuoco.

3. [�] Sia y = x2.

Stabilire le coordinate del vertice.

4. [�] Sia y = 2x2 − 7.

Stabilire l’equazione dell’asse di simmetria.

5. [�] Sia y = −x2 + 4x+ 3.

Stabilire l’equazione della direttrice.

6. [�] Sia y = −x2 + 2x+ 3.

Stabilire :

1) Le coordinate del vertice.2) L’equazione dell’asse di simmetria.3) Se il grafico della parabola volge la concavita verso il basso o verso

l’alto.

7. [�] Determinare l’equazione della parabola avente asse di simmetria

parallelo all’asse delle y, passante per il punto A = (0, 3) ed avente come

vertice il punto V = (1, 1).



1. [�] y = x2 − 4 e l’equazione della parabola avente asse di simmetria

parallelo all’asse delle y e passante per i punti:

A = (1,−3) B = (2, 0) C = (3, 5)

2. [�] Sia y = x2 − 4x+ 6.

V = (2, 2) F =

(2,

9

4

)

3. [�] Sia y = x2.

V = (0, 0)

4. [�] Sia y = 2x2 − 7.

x = 0

5. [�] Sia y = −x2 + 4x+ 3.

x =29

4

6. [�] Sia y = −x2 + 2x+ 3.

V = (1, 4) x = 1 volge la concavita verso il basso

7. [�] L’equazione della parabola avente asse di simmetria paralleloall’asse delle y, passante per il punto A = (0, 3) ed avente come verticeil punto V = (1, 1) e:

y = 2x2 − 4x+ 3

CAPITOLO 6

EQUAZIONI DI PRIMO E SECONDO GRADO

Premessa

Diremo equazione nell’incognita x un’uguaglianza del tipo:

E(x) = 0

ove il primo membro e un’espressione algebrica nell’ incognita x.

I numeri reali che sostituiti all’ incognita rendono vera l’uguaglianza sidicono soluzioni o radici dell’equazione.

La generica equazione di grado n e:

anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a1x+ a0 = 0 (1)

ove a0, a1, ..., an−1, an ∈ R e an 6= 0

Diremo che x ∈ R e soluzione della (1) se:

anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a1x+ a0 = 0

cioe se sostituendo x alla variabile x si ottiene un’uguaglianza.

Esempio

x5 − 3x2 + 2 = 0 (†)E un’equazione di grado 5 perche 5 e il massimo grado con cui figura lavariabile x.

E facile verificare che x = 1 e una delle soluzioni della (†), infatti sostituendoil valore 1 al posto dell’incognita si ottiene: 1− 3 + 2 = 0 cioe 0 = 0.

Invece, per esempio, x = −1 non e soluzione

(−1− 3 + 2 = 0 e palesemente falsa)

57


6.1 Equazioni di primo gradoL’equazione piu semplice e quella di primo grado, la cui espressionegenerica puo sempre ricondursi alla forma:

ax = b ove a,b ∈ RDistinguiamo due casi:

1) Se a = 0 −↗↘b = 0 si ottiene: 0x = 0 soluzioni: ∀x ∈ Rb 6= 0 si ottiene: 0x = b nessuna soluzione

2) Se a 6= 0 allora dividendo ambo i membri per a si ottiene la

soluzione x =b

a.

Esempio

3x− x+ 2 = 8

2x = 6

x =6

2= 3

6.2 Equazioni di secondo gradoLa generica equazione di secondo grado nella variabile x e:

ax2 + bx+ c = 0 a, b, c ∈ R (2)

Diremo che a e il coefficiente del termine di secondo grado, b il coef-ficiente del termine di primo grado, c il termine noto e x l’incognitadell’equazione.

Anche se puo sembrare poco credibile, molti degli errori che lo studentecommette, nel risolvere un’equazione di secondo grado, dipendono dalnon saper stabilire in modo corretto i valori dei coefficienti dell’equa-zione!A tal proposito risultano utili i seguenti esempi:

Esempi

1) −x2 − 3x+ 2 = 0 a = −1 b = −3 c = 2

2) 2x2 − 7 = 0 a = 2 b = 0 c = −7

3) −3x2 + 5x = 0 a = −3 b = 5 c = 0

4) 7x2 = 0 a = 7 b = 0 c = 0


Al mutare dei parametri a, b, c varia il tipo di equazione ed anche latecnica per trovare le eventuali soluzioni.Il caso a = 0, b 6= 0, c 6= 0 e di scarso interesse perche in tal caso la (2)degenera in un’equazione di primo grado.

6.2.1 Equazione spuriaSe a 6= 0, b 6= 0, c = 0 si ha la generica equazione spuria :

ax2 + bx = 0

che si risolve mettendo in evidenza la x:

x(ax+ b) = 0

Per la legge dell’annullamento del prodotto si ha:

x = 0 oppure (ax+ b) = 0

Nel secondo caso:

ax+ b = 0

ax = −b

x = − ba

Le soluzioni sono dunque:

x1 = 0 , x2 = − ba

Si osservi che un’equazione spuria ammette sempre la soluzionex = 0.

Esempio 1

x2 − 7x = 0

x(x− 7) = 0

x1 = 0, x2 = 7

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Esempio 2

2x2 − 3x = 0

x(2x− 3) = 0

x1 = 0, x2 =3

2


6.2.2 Equazione puraSe a 6= 0, b = 0, c 6= 0 si ha la generica equazione pura :

ax2 + c = 0

passando a secondo membro il termine noto:

ax2 = −c

dividendo ambo i membri per a:

x2 = − ca

(3)

e ricordando che ogni numero reale positivo p ha nel campo reale unaed una sola radice quadrata positiva, indicata con

√p, allora:

1) se − ca> 0 una soluzione della (3) e:

x1 =

√− ca

Inoltre, poiche numeri opposti hanno quadrati uguali, la (3)ammette, in tal caso, anche la soluzione:

x2 = −√− ca

Dunque sintetizzando se − ca> 0 la (3) ammette le due solu-

zioni reali ed opposte:

x1,2 = ∓√− ca

2) Se − ca< 0 nella (3) a primo membro, al variare comunque di

x nell’insieme R, si ha un numero positivo o nullo, a secondomembro un numero negativo e dunque, per definizione di ra-dice di un’equazione, la (3) non ammette soluzioni.

Il caso − ca

= 0 non deve essere considerato perche

− ca

= 0 ⇔ c = 0 e per ipotesi c 6= 0


Esempio 1(− ca> 0)

(a = 4 c = −9)

4x2 − 9 = 0

4x2 = 9

x2 =9

4

x = ∓√

9

4

x1 = −3

2x2 =

3

2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Esempio 2(− ca< 0)

(a = 1 c = 1)

x2 + 1 = 0

L’equazione non ammette soluzioni.

6.2.3 Equazione completa

Se a 6= 0, b 6= 0, c 6= 0 si ha la generica equazione completa :

ax2 + bx+ c = 0 (4)

Per trovare le eventuali soluzioni si cerca di ricondurre la (4) ad unaequazione pura, gia trattata.Moltiplicando ambo i membri per 4a si ottiene:

4a2x2 + 4abx+ 4ac = 0

Il termine 4a2x2 e il quadrato di 2ax, mentre 4abx puo pensarsi comeil doppio prodotto di (2ax+ b)2 ed allora addizionando e sottraendo b2

si ottiene il quadrato del binomio (2ax+ b):

4a2x2 + 4abx+ b2 − b2 + 4ac = 0

(2ax+ b)2 = b2 − 4ac (5)

Ponendo (2ax+ b) = t, b2− 4ac = ∆ e sostituendo nella (5) si ottiene:

t2 = ∆

equazione di secondo grado, pura, nella variabile t.


Si possono verificare tre casi:

1) ∆ > 0⇒ si hanno due soluzioni reali e distinte:

t = ∓√

∆

sostituendo al posto di t→ (2ax+ b):

2ax+ b = ∓√

∆

2ax = −b∓√

∆

x =−b∓

√∆

2a

2) ∆ = 0⇒ si hanno due soluzioni reali e coincidenti:

x1 = x2 = − b

2a

3) ∆ < 0⇒ non esistono soluzioni reali.

Esempio 1 (∆ > 0) 1

x2 − 5x+ 6 = 0

∆ = 25− 24 = 1

x =5∓ 1

2x1 = 2 x2 = 3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Esempio 2 (∆ = 0)

x2 − 2x+ 1 = 0

∆ = 4− 4 = 0

x1 = x2 = − b

2a= −−2

2= 1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Esempio 3 (∆ < 0)

x2 + 1 = 0

∆ = 0− 4 = −4

non ammette soluzioni

1Quando un’equazione di secondo grado ammette due soluzioni distinte siconviene di indicare la piu piccola con x1, la piu grande con x2.


6.3 Relazione tra radici e coefficienti dell’equazioneE stato precedentemente dimostrato che nel caso in cui ∆ ≥ 0 lesoluzioni della generica equazione ax2 + bx+ c = 0 sono:

x1 =−b−

√∆

2a, x2 =

−b+√

∆

2a

E facile verificare che la loro somma e − ba

e che il loro prodotto ec

a:

Somma delle radici

x1 + x2 =−b−

√b2 − 4ac

2a+−b+

√b2 − 4ac

2a=−2b

2a= − b

a

Prodotto delle radici

x1 · x2 =−b−

√b2 − 4ac

2a· −b+

√b2 − 4ac

2a=b2 − b2 + 4ac

4a2=c

a

Talvolta le due relazioni:x1 + x2 = − b

a

x1 · x2 =c

a

agevolano il processo di calcolo delle radici di un’equazione completa.

EsempioSi consideri l’equazione x2 − 5x+ 6 = 0Le due proprieta si traducono in:{

x1 + x2 = 5x1 · x2 = 6

E immediato stabilire che gli unici due numeri che soddisfano il sistema sono2 e 3 e dunque le soluzioni dell’equazione sono: x1 = 2, x2 = 3.In particolare tale metodo viene spesso utilizzato quando a = 1 perche intal caso le due frazioni sono apparenti cioe numeri interi.


6.4 Decomposizione di un’equazione di secondo gradoNel caso in cui il ∆ ≥ 0 la generica equazione di secondo grado (4) puodecomporsi nel prodotto di due binomi di primo grado:

ax2 + bx+ c = 0

a

(x2 +

b

ax+

c

a

)= 0

utilizzando le relazioni tra le radici e i coefficienti dell’equazione:

a[x2 − (x1 + x2)x+ x1x2] = 0

a(x2 − x1x− x2x+ x1x2) = 0

a[x(x− x1)− x2(x− x1)] = 0

a(x− x1)(x− x2) = 0

Esempio 1Si consideri l’equazione x2 − 8x+ 7 = 0{

x1 + x2 = 8x1 · x2 = 7

Le soluzioni dell’equazione sono: x1 = 1, x2 = 7.Ed allora:

x2 − 8x+ 7 = 1(x− 1)(x− 7) = 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Esempio 2

x2 − 6x+ 9 = 0

∆ = 36− 36 = 0

x1 = x2 = − b

2a= −6

2= 3

Ed allora:

x2 − 6x+ 9 = 1(x− 3)(x− 3) = (x− 3)2 = 0

Le precedenti uguaglianze mostrano un polinomio di secondo grado, avente∆ = 0, espresso come quadrato di un binomio.Non si tratta di un caso fortuito, infatti e stato dimostrato che:

Se ∆ ≥ 0 ⇒ ax2 + bx+ c = a(x− x1)(x− x2)Se ∆ = 0 ⇒ x1 = x2

e dunque ax2 + bx+ c = a(x− x1)(x− x1) = a(x− x1)2



1. [�] Risolvere la seguente equazione:

2x2 − 5x+ 3 = 0


4x2 + 4x+ 1 = 0


x2 + x+ 2 = 0


9x2 − 4 = 0


−x2 + 17x = 0

6. [�] Trovare le radici dell’equazione x2 − 9x+ 8 = 0 utilizzandola somma ed il prodotto delle radici.

7. [�] Decomporre il polinomio 2x2 − 7x+ 6 nel prodotto di due binomi diprimo grado.

8. [��] Determinare per quale valore di m l’equazione:

(m+ 1)x2 + 2mx− 5 + 2m = 0

a) ammette almeno una radice nulla;b) ammette radici opposte.



1. [�] Le soluzioni dell’equazione 2x2 − 5x+ 3 = 0 sono:

x1 = 1 x2 =3

2

2. [�] Le soluzioni dell’equazione 4x2 + 4x+ 1 = 0 sono:

x1 = x2 = −1

2

3. [�] L’equazione x2 + x+ 2 = 0 non ammette soluzioni.

4. [�] Le soluzioni dell’equazione 9x2 − 4 = 0 sono:

x = ∓2

3

5. [�] Le soluzioni dell’equazione −x2 + 17x = 0 sono:

x1 = 0 x2 = 17

6. [�] Trovare le radici dell’equazione x2 − 9x+ 8 = 0 utilizzandola somma ed il prodotto delle radici.{

x1 + x2 = 9x1 · x2 = 8

x1 = 1 x2 = 8

7. [�]

2x2 − 7x+ 6 = 2

(x− 3

2

)(x− 2)

8. [��] Determinare per quale valore di m l’equazione:

(m+ 1)x2 + 2mx− 5 + 2m = 0

a) ammette almeno una radice nulla;b) ammette radici opposte.

a) Per definizione di soluzione, affinche x = 0 sia radice dell’equazio-ne

(m+ 1)x2 + 2mx− 5 + 2m = 0

deve valere la relazione:

(m+ 1) · 0 + 2m · 0− 5 + 2m = 0


− 5 + 2m = 0

m =5

2

In alternativa, e noto che l’equazione spuria

ax2 + bx = 0

ammette sempre la soluzione x = 0.Ed allora basta imporre che il termine noto sia nullo: cioe

−5 + 2m = 0

da cui si ricava il valore di m.

b) Siano x1 e x2 le radici dell’equazione.Affinche le radici risultino opposte si deve verificare che

x1 = −x2x1 + x2 = 0

− b

a= 0

b = 0

Nel caso in esame: (m + 1)x2 + 2mx − 5 + 2m = 0 dovra dunquerisultare:

2m = 0

m = 0

Bisogna verificare che il valore trovato di m conduce ad un’equazioneche ammette radici opposte:

x2 − 5 = 0 x = ∓√

5

CAPITOLO 7

DISEQUAZIONI DI PRIMO E SECONDOGRADO

Premessa

Nell’insieme dei numeri reali si possono definire gli intervalli. A talproposito premettiamo le seguenti definizioni:

7.1 Definizione di insieme numericoOgni sottoinsieme non vuoto di R si chiama insieme numerico.

Sia A un insieme numerico.

7.2 Definizione di minoranteDiremo che h e un minorante per A se:

(∀x ∈ A) h ≤ x

Ovviamente se A ammette h come minorante lo e pure ogni altroelemento h minore di h.

7.3 Definizione di maggioranteAnalogamente diremo che k e un maggiorante per A se:

(∀x ∈ A) k ≥ x

Se A ammette k come maggiorante, un qualsiasi altro elemento piugrande di k e ancora un maggiorante per A.

7.4 Definizione di insieme limitatoL’insieme A e limitato inferiormente se e dotato di minoranti.L’insieme A e limitato superiormente se e dotato di maggioranti.Si dice che A e limitato se lo e sia inferiormente che superiormente.

69


Esempi

Sono esempi di insiemi numerici R, R+, Q−, A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} . . ..R non e limitato ne inferiormente ne superiormente;

R+ e limitato inferiormente ed i minoranti sono gli infiniti numeri reali non

positivi;

Q− e limitato superiormente ed i maggioranti sono gli infiniti numeri reali

non negativi;

A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e limitato, piu in dettaglio: i minoranti sono gli

infiniti numeri reali non positivi, i maggioranti sono gli infiniti numeri reali

non minori del numero 7.

Si consideri la retta cartesiana e si fissino su di essa due puntidistinti O e U , con U alla destra di O.

A O U B· · · r

a 0 1 b> · · ·

Si conviene di far corrispondere al punto O il numero reale 0 ed alpunto U il numero reale 1, in modo che OU = 1.

Siano a, b ∈ R t.c. a < b due numeri reali arbitrari1 e A e B i corri-spondenti punti. Particolare interesse hanno in matematica i quattroseguenti insiemi numerici limitati:

7.5 Definizione di intervallo

]a, b[ = {x ∈ R t.c. a < x < b} (leggi:intervallo ab aperto)

[a, b] = {x ∈ R t.c. a ≤ x ≤ b} (leggi:intervallo ab chiuso)

[a, b[ = {x ∈ R t.c. a ≤ x < b} (leggi:int. ab aperto a destra)

]a, b] = {x ∈ R t.c. a < x ≤ b} (leggi:int. ab aperto a sinistra)

In tutti e quattro i casi si dice che a e l’estremo sinistro e che b el’estremo destro dell’intervallo. I numeri reali x tali che a < x < b sichiamano interni all’intervallo.

E possibile definire anche gli intervalli non limitati ed a tal propositoe opportuno premettere le seguenti definizioni:

1La scelta di a alla sinistra dello 0 e casuale si sarebbe potuto scegliere a e bentrambi negativi o entrambi positivi


7.6 Definizione di sistema esteso dei numeri realiAggiungendo all’insieme dei numeri reali i due simboli −∞ e +∞ si

ottiene l’insieme R, che si legge erre ampliato:

R = R ∪ {−∞,+∞}Vale la relazione: −∞ < x < +∞ ∀x ∈ RLe operazioni di addizione e moltiplicazione si prolungano coinvolgendoanche −∞ e +∞ con le seguenti convenzioni:

(+∞) + (+∞) = +∞ (−∞) + (−∞) = −∞

(∀x ∈ R)x+ (+∞) = (+∞) + x = +∞x+ (−∞) = (−∞) + x = −∞

(∀x ∈ R+)x · (+∞) = (+∞) · x = +∞x · (−∞) = (−∞) · x = −∞

(∀x ∈ R−)x · (+∞) = (+∞) · x = −∞x · (−∞) = (−∞) · x = +∞

Si pone inoltre:

(∀x ∈ R)x

∓∞= 0

Ed allora riguardo gli intervalli non limitati si possono dare le seguentidefinizioni:

]−∞, a] = {x ∈ R t.c. x ≤ a} (limit. sup. ma non limit. inf.)

]−∞, a[ = {x ∈ R t.c. x < a} (limit. sup. ma non limit. inf.)

[a,+∞[ = {x ∈ R t.c. x ≥ a} (limit. inf. ma non limit. sup.)

]a,+∞[ = {x ∈ R t.c. x > a} (limit. inf. ma non limit. sup.)

Prima di passare allo studio delle disequazioni si ritiene opportunorichiamare alcune proprieta dei numeri reali. Siano a, b, c ∈ R:

Se a < b allora a+ c < b+ c

Se a < b e c > 0 allora ac < bc

Se a < b e c < 0 allora ac > bc


7.7 Disequazioni di primo gradoRisolvere le disequazioni di primo grado non comporta alcuna difficolta.Si risolva, per esempio, la disequazione:

ax+ b > 0 a, b ∈ R e a 6= 0

ax > −b

Si distinguono due casi:

1) se a > 0 si ha:

x > − ba

2) se a < 0 si ha:

x < − ba

Dunque sintetizzando se il numero per il quale si dividono ambo i mem-bri dovesse essere positivo la disequazione non cambia verso, lo cambiase dovesse essere negativo.Piu precisamente se il numero per il quale si dividono ambo i membrie negativo e la disequazione e di tipo “≤” diventera di tipo “≥”, se edi tipo “>” diventera di tipo “<” ... etc ... etc... .

Esempio 1

− 3x+ x− 7 ≤ 0

− 2x ≤ 7

x ≥ 7

−2= −7

2

Esempio 2

1 + 2x− 9 < 0

2x− 8 < 0

2x < 8

x <8

2= 4


7.8 Disequazioni di secondo gradoLa generica disequazione di secondo grado si puo porre nella forma:

ax2 + bx+ c > 0 (a, b, c ∈ R) ∧ (a 6= 0) (1)

Si ipotizzi a > 0. Tale ipotesi non lede la generalita della trattazioneperche se cosı non fosse si potrebbe sempre moltiplicare ambo i membriper −1 per ricondursi, in tal modo, al suddetto caso.Per risolvere la (1) si considera l’equazione corrispondente

ax2 + bx+ c = 0 (2)

e se ne calcola il ∆ = b2 − 4ac per individuare le eventuali radici.

Secondo che il ∆ sia positivo, nullo o negativo si distinguono i seguentitre casi:

a) ∆ > 0 ⇒ l’equazione ammette due soluzioni reali e distintex1 e x2. Si supponga, senza perdita di generalita x1 < x2 e sidecompoga il polinomio di secondo grado nel prodotto di duebinomi di primo grado:

ax2 + bx+ c = a(x− x1)(x− x2)

e si considerino i valori x tali che:

1.a) x < x1 schematicamente:x x1 x2

x− x1 < 0 x− x2 < 0

e tenendo in considerazione che per ipotesi a > 0 risulta:

ax2 + bx+ c = a

<0︷︸︸︷(x− x1)

<0︷︸︸︷(x− x2) > 0

ossia la (1) risulta soddisfatta per tutti i valori x < x1, intermini di intervallo: S1.a =]−∞, x1[

1.b) x > x2 schematicamente:x1 x2 x

x− x1 > 0 x− x2 > 0

e per l’ipotesi fatta su a risulta:

ax2 + bx+ c = a

>0︷︸︸︷(x− x1)

>0︷︸︸︷(x− x2) > 0

ed allora la (1) risulta soddisfatta anche da tutti i valorix > x2, in termini di intervallo: S1.b =]x2,+∞[

1.c) Se x1 < x < x2 schematicamente:x1 x x2

x− x1 > 0 x− x2 < 0


e per l’ipotesi fatta su a risulta:

ax2 + bx+ c = a

>0︷︸︸︷(x− x1)

<0︷︸︸︷(x− x2) < 0

ossia la (1) non risulta soddisfatta per x1 < x < x2.

Quindi in definitiva 1.a),1.b) e 1.c) possono cosı sintetiz-zarsi: se a > 0 allora ax2 + bx + c > 0 per valori esterniall’intervallo delle radici: (x < x1) ∨ (x > x2) cioe:

S = S1.a ∪ S1.b = ]−∞, x1[ ∪ ]x2,+∞[

Ed allora in generale sintetizzando il caso ∆ > 0 si pro-cede come segue:

1. Si determinano le soluzioni dell’equazione corri-spondente

2. Si esaminano il coefficiente di x2 ed il segno deltrinomio

3. Se dovessero essere CONCORDI allora la disequa-zione e verificata per valori esterni all’intervallodelle radici. Se dovessero essere DISCORDI al-lora la disequazione e verificata per valori interniall’intervallo delle radici.

1.a), 1.b) e 1.c) hanno anche un’interessante interpretazionegeometrica:y = ax2 + bc+ c puo pensarsi come il grafico di una parabolacon la concavita rivolta verso l’alto (a > 0), che interseca l’assedelle x in due punti di ascissa x1 e x2 (∆ > 0).

Allora ax2 + bc + c, cioe la y, e positiva per x < x1 ex > x2 (tratto continuo); e negativa per x1 < x < x2 (trattopunteggiato).

....................................................

..........................

.........

ax2 + bx+ c > 0

...........................................................................................................................................................................................

..

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

..........................

.......................

x1 x2

..........................................................................................................................................................................................................................................

b) ∆ = 0⇒ l’equazione ax2 + bx+ c = 0 ha due soluzioni reali e

coincidenti x1 = x2 = − b

2a.


Decomponendo il polinomio si ha dunque:

ax2 + bx+ c = a(x− x1)2 = a

(x+

b

2a

)2

Ed allora la disequazione ax2 + bx+ c > 0 e verificata ∀x ∈ Rescluso il valore x = − b

2aove si annulla.

ax2 + bx+ c > 0

...........................................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................................................

.......................

x1 =x2◦

.............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

(Invece la disequazione ax2 + bx+ c < 0 non ha soluzioni).

c) ∆ < 0 ⇒ l’equazione ax2 + bx + c = 0 non ha soluzioni reali.Il polinomi si puo scrivere nella seguente forma:

ax2 + bx+ c = a

(x2 +

b

ax+

c

a

)=

= a

(x2 +

b

ax+

b2

4a2+c

a− b2

4a2

)=

= a

[(x+

b

2a

)2

+4ac− b2

4a2

]Stabiliamo il segno delle quantita trovate:

•(x+

b

2a

)2

≥ 0

• Per ipotesi ∆ = b2 − 4ac < 0 ⇔ −b2 + 4ac > 0

• 4a2 > 0

e dunque la quantita fra parentesi quadre e certamentepositiva, essendo inoltre a > 0 allora:

ax2 + bx+ c > 0 ∀x ∈ R

ax2 + bx+ c > 0

...........................................................................................................................................................................................

..

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

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.......

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.......

.......

.......

.......

..........................

.......................

..................................................................................................................................................................................................................................................

(Invece la disequazione ax2 + bx+ c < 0 non ha soluzioni).



1. [�] Risolvere la disequazione:

2x− 5x+ 3 > −3

2. [��] Risolvere la disequazione:

x2 − 4x+ 3 > 0

Fornire l’interpretazione geometrica.

3. [��] Risolvere la disequazione:

x2 + 3x+ 3 > 0

Fornire l’interpretazione geometrica.

4. [�] Risolvere la seguente disequazione:

−x2 + 4x ≥ 0


−x2 − 4 > 0


x2 − 4x+ 4 ≤ 0


−x2 + 5x− 6 ≥ 0



1. [�] La disequazione 2x− 5x+ 3 > −3 ammette le soluzioni x < 2.

2. [��]

x2 − 4x+ 3 = 0

∆

4= 4− 3 = 1

x = 2∓ 1

x1 = 1, x2 = 3

Allora x2 − 4x+ 3 > 0 per x < 1 x > 3.

Invece x2 − 4x+ 3 < 0 per 1 < x < 3.

Si ricordi che il vertice della parabola e il punto di coordinate

(− b

2a,−∆

4a

).

................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

..

.......

.......

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.......

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.......

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.......

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.............................

.......................

x

y

0 1 2 3

3

−1............. ............. .............

.............

...........

.............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

3. [��]

x2 + 3x+ 3 = 0

∆ = 9− 12 = −3

x2 + 3x+ 3 > 0 ∀x ∈ R

..................................................................................................................................................................................................................................................................

..

.......

.......

.......

.......

.......

.......

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.......

.......

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.......

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.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

...........................

.......................

x

y

0−32

3

34

.............

..

............. ............. ....

...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................

4. [�]

−x2 + 4x ≥ 0 ammette come soluzioni l’insieme S = [0, 4]


5. [�] La disequazione:−x2 − 4 > 0

non ammette soluzioni.

6. [�] La disequazione: x2 − 4x+ 4 ≤ 0 ammette la soluzione S = {2}.

7. [�] La disequazione: −x2 + 5x− 6 ≥ 0 ammette come insieme soluzione:

S = [2, 3]

CAPITOLO 8

SISTEMI DI DISEQUAZIONI EDISEQUAZIONI RAZIONALI FRATTE

Premessa

Talvolta puo essere necessario selezionare quei valori che soddisfano ndisequazioni contemporaneamente. A tal proposito risulta opportunointrodurre il concetto di sistema di disequazioni.

La generica disequazione nella sola variabile x e una qualunque espres-sione del tipo,

A(x) > 0; B(x) < 0; C(x) ≥ 0; D(x) ≤ 0

Si consideri un sistema costituito da n disequazioni:A1(x) > 0A2(x) ≤ 0...An(x) < 0

8.1 Definizione di soluzione di un sistema di disequazioniSi dice che il numero reale x0 e soluzione del sistema se:

A1(x0) > 0A2(x0) ≤ 0...An(x0) < 0

ossia se x0 soddisfa le n disequazioni. Attenzione: anche se soltanto unadelle n disequazioni non dovesse essere verificata, x0 perde la proprietadi essere soluzione del sistema !!!

Se il sistema ammette almeno una soluzione si dice compatibile, incaso contrario incompatibile.

Per risolvere un sistema di disequazioni si risolvono tutte le dise-quazioni e poi si scelgono le soluzioni comuni. In termini piu rigorosi:si indichino con S1, S2, . . ., Sn gli insiemi delle soluzioni della prima,seconda, . . ., n-sima disequazione rispettivamente e con S le soluzionidel sistema di disequazioni, allora:

S = S1 ∩ S2 ∩ . . . ∩ Sn79


Si osservi che se una qualsiasi delle disequazioni di un sistema non am-mette soluzioni allora l’intero sistema non ammette soluzioni. Infattisia, per esempio, S1 = ∅ (la prima disequazione non ammette soluzio-ni), allora anche S = ∅ ∩ S2 ∩ . . . ∩ Sn = ∅.

Operativamente, dopo aver trovato S1, S2, . . ., Sn, conviene procederecome segue: si traccia una linea orizzontale, si dispongono al di sopra diessa ed in ordine crescente le m soluzioni delle n equazioni che vengonodenominate caposaldi. Tale riga costituisce la prima riga di uno schema.

A partire dalla seconda riga si scrivono, alla sinistra dei caposaldi, len disequazioni. Da ciascuno dei caposaldi si traccia un segmento ver-ticale lungo fino all’ennesima disequazione.

Alla destra di ciascuna delle disequazioni si traccia un segmento oriz-zontale costituito da tratti continui e discontinui. Il tratto continuoindica gli intervalli ove la disequazione e verificata, mentre il tratto di-scontinuo indica gli intervalli in cui la disequazione non e soddisfatta.Un tondino pieno sulla verticale che parte dal caposaldo e interseca lalinea dell’equazione e sinonimo di condizione verificata, il pallino vuotoindica che la condizione non e verificata.

Gli m caposaldi individuano (m + 1) intervalli. L’intervallo (α, β) esoluzione del sistema se e solo se la relativa colonna contiene solo tratticontinui.

EsempioSi risolva il seguente sistema di disequazioni: x+ 3 ≥ 0

x2 + 3x− 10 < 0x2 + x− 2 > 0

Le soluzioni delle tre disequazioni sono:

S1S2S3

x ≥ −3−5 < x < 2x < −2, x > 1

Da queste, mediante il diagramma descritto precedentemente si ricavano lesoluzioni del sistema:

-5 -3 -2 1 2

.............................................................................................................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................

............. ............. ............. ............. ............. .............

............. ............. ............. ............. ............. .............

............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. .............

•◦ ◦

◦ ◦

x+ 3 ≥ 0

x2 + 3x− 10 < 0

x2 + x− 2 > 0NO NO SI NO SI NO

S = [−3,−2[ ∪ ]1, 2[


(Si osservi, per esempio, che x = 2 e soluzione della prima e terza dise-

quazione ma non e soluzione della seconda e dunque non e soluzione del

sistema.)

8.2 Definizione di disequazione razionale frattaOgni disequazione razionale fratta e riconducibile ad una delle seguenti:

N(x)

D(x)> 0;

N(x)

D(x)< 0;

N(x)

D(x)≥ 0;

N(x)

D(x)≤ 0 (1)

essendo N(x) e D(x) due polinomi nella variabile x.

Per rendere semplice la trattazione di questo argomento e opportu-no dare la seguente:

8.3 Definizione del segno di un polinomioStabilire il segno del generico polinomio P (x) vuol dire stabilire perquali valori della x risulta P (x) > 0 P (x) = 0 P (x) < 0.

Esempio (segno di un polinomio)

Sia P (x) = x2 − 9

Si risolve x2 − 9 > 0

A tal scopo si determinano le soluzioni dell’equazione x2 − 9 = 0 :

x1 = −3 x2 = 3

E dunque:

P (x) > 0 per x < −3 e x > 3

P (x) = 0 per x = −3 e x = 3

P (x) < 0 per − 3 < x < 3

Come si puo facilmente osservare, l’unione degli intervalli soluzione e l’in-sieme dei numeri reali:

(−∞,−3) ∪ {−3} ∪ (−3, 3) ∪ {3} ∪ (3,+∞) = R

E dunque, il segno del polinomio, consente, al variare comunque di x nei

reali, di stabilire se P (x) R 0.

Per esempio P (−5) > 0, P (√

17) > 0, P (−3) = 0, P (2.99) < 0....

Ed allora per risolvere una disequazione razionale fratta, ricordandoche un numero frazionario e positivo se e solo se numeratore e deno-minatore sono concordi ed e negativo se e solo se numeratore e de-nominatore sono discordi, si stabilisce il segno del numeratore e deldenominatore. Si distinguono due casi:

1. seN(x)

D(x)> 0 oppure

N(x)

D(x)< 0 allora si trova il segno del

numeratore e del denominatore risolvendo le due disequazioniN(x) > 0 e D(x) > 0.


2. seN(x)

D(x)≥ 0 oppure

N(x)

D(x)≤ 0 allora si trova il segno del

numeratore e del denominatore risolvendo le due disequazioniN(x) ≥ 0 e D(x) > 0.

Si sintetizzano i risultati trovati mediante uno schema analogo a quelloeffettuato per risolvere un sistema di disequazioni e poi con sempliciconsiderazioni si giunge agevolmente alla determinazione delle soluzio-ni.Si osservi che il metodo proposto consente di risolvere anche problemidel tipo A1(x)A2(x)...An(x) R 0.

EsempioSi risolva la seguente disequazione:

5x− 1

x2 − 3x− 10< 0

5x− 1 > 0 5x > 1 x >1

5

x2 − 3x− 10 > 0

x2 − 3x− 10 = 0

∆ = b2 − 4ac = 9 + 40 = 49

x =3∓ 7

2x1 = −2 x2 = 5

x < −2 x > 5

-2 15 5

...............................................................................................................................................

........................................................................ ........................................................................

............. ............. ............. ............. ............. .............

............. ............. ............. ............. ............. .............

◦◦ ◦

5x− 1 > 0

x2 − 3x− 10 > 0N(x)D(x) ⊕ ⊕

Le soluzioni sono dunque i numeri reali x: x ∈ (−∞,−2) ∪(

1

5, 5

).

Si osservi che se in sostituzione della disequazione appena risolta avessimoavuto:

5x− 1

x2 − 3x− 10> 0

avremmo fatto i medesimi passi ed infatti la soluzione la si puo leggere dal

medesimo schema x: x ∈(−2,

1

5

)∪ (5,+∞).



1. [��] Risolvere il seguente sistema di disequazioni: 2x− 7 < 5x+ 2

2x2 − 3x+ 1 > 0

2. [��] Risolvere il seguente sistema di disequazioni:

(2x+ 1)2 > 0

x2 − 9 > 0

(5x+ 3)

(x− 1

2

)> 0

3. [�] Risolvere la seguente disequazione razionale fratta:

x2 − 5x+ 6

x2 − 4≥ 0

4. [�] Risolvere la seguente disequazione razionale fratta:

x− 7

x(x− 2)≤ 0

5. [�] Trovare le soluzioni della seguente disequazione:

x · (x− 2) · (x2 − 8x+ 7) ≤ 0

6. [�] Trovare le soluzioni della seguente disequazione:

x · (x− 2) · (x2 − 8x+ 7) ≥ 0



1. [��] In relazione al sistema di disequazioni: 2x− 7 < 5x+ 2

2x2 − 3x+ 1 > 0

S1 = (−3,+∞) S2 =

(−∞, 1

2

)∪ (1,+∞)

S =

(−3,

1

2

)∪ (1,+∞)

2. [��] In relazione al sistema di disequazioni:

(2x+ 1)2 > 0

x2 − 9 > 0

(5x+ 3)

(x− 1

2

)> 0

S1 = R \{−1

2

}S2 = (−∞,−3)∪ (3,+∞) S3 =

(−∞,−3

5

)∪(

1

2,+∞

)S = (−∞,−3) ∪ (3,+∞)

3. [�]x2 − 5x+ 6

x2 − 4≥ 0

S =]−∞,−2[∪[3,+∞[

4. [�]x− 7

x(x− 2)≤ 0

S =]−∞, 0[∪]2, 7]

5. [�]

x · (x− 2) · (x2 − 8x+ 7) ≤ 0

S = [0, 1] ∪ [2, 7]


6. [�]x · (x− 2) · (x2 − 8x+ 7) ≥ 0

S =]−∞, 0[∪[1, 2] ∪ [7,+∞[

CAPITOLO 9

RELAZIONE FRA GRADO E NUMERORADICI, EQUAZIONI BINOMIE E TRINOMIE

Premessa

Un interessante argomento sul quale si vuole indagare e quello distabilire se esiste un legame fra il grado di un’equazione ed il numerodi radici che essa ammette.

Si e visto che la generica equazione di primo grado:

ax = b ove a,b ∈ R, a 6= 0

ha come soluzione x =b

a.

Per la generica equazione di secondo grado:

ax2 + bx+ c = 0

si e visto che posto b2 − 4ac = ∆ si ha:

a) Se ∆ > 0⇒ si hanno due soluzioni reali e distinte;b) Se ∆ = 0⇒ si hanno due soluzioni reali e coincidenti;c) Se ∆ < 0⇒ non esistono soluzioni reali.

In linea generale questo legame sembrerebbe esistere. Relativamentea quanto sino ad ora esaminato, fa eccezione il caso dell’equazione disecondo grado avente ∆ < 0. In tal caso, infatti, si dovrebbe daresignificato alla radice quadrata di un numero negativo.Ed allora se si ipotizza di introdurre i =

√−1 ⇒ i2 = −1 e

di ritenere valide le proprieta formali delle potenze, si potra porre, peresempio √

−9 =√

(−1) · 9 =√

(−1) ·√

9 = i · 3D’altra parte le soluzioni della generica equazione di secondo grado:

x1,2 =−b ∓

√∆

2a

sono state trovate quando ∆ = b2 − 4ac ≥ 0.Invece, se ∆ = b2 − 4ac < 0, con la introduzione di i le formulediventano:

x1,2 =−b ∓

√(−1)(−∆)

2a=−b ∓ i ·

√−∆

2a87


e ammettendo valide le proprieta formali che regolano il calcolo lettera-le, si potrebbe dimostrare che esse sono ancora soluzioni della genericaequazione di secondo grado.

Esempio

x2 + 2x+ 2 = 0

∆ = b2 − 4ac = 4− 8 = −4

x =−b∓

√∆

2a=−2∓

√(−1) · 4

2=−2∓

√i24

2=−2∓ i2

2= −1∓ i

x1 = −1− i x2 = −1 + i

I valori trovati sono effettivamente soluzioni:

(−1− i) e soluzione :

(−1− i)2 + 2(−1− i) + 2 = 1 + i2 + 2i− 2− 2i+ 2 = 1− 1 = 0

(−1 + i) e soluzione :

(−1 + i)2 + 2(−1 + i) + 2 = 1 + i2 − 2i− 2 + 2i+ 2 = 1− 1 = 0

Per approfondire questo interessante argomento, si deve fare un brevecenno ai numeri complessi.Si chiama numero complesso l’espressione:z = a+ ib a, b ∈ R ed i unita immaginaria t.c. i =

√−1.

Usando la notazione matematica:

C = {z : z = a+ ib, a, b ∈ R, i =√−1 cioe i2 = −1}

Si dimostra che R ⊂ C.Per definizione si deve mostrare che un qualsiasi numero reale e anchecomplesso, cioe esprimibile nella forma z = a+ ib, a, b ∈ R.

∀r ∈ R, r = r + i · 0 ∈ C

Si ritiene di fondamentale importanza richiamare un teorema riguar-dante il numero delle possibili soluzioni di un’equazione.

9.1 Teorema fondamentale dell’algebraOgni equazione algebrica a coefficienti reali di grado n:

anxn + an−1x

n−1 + ...+ a1x+ a0 = 0 an 6= 0

ammette nel campo complesso n radici.

9.2 Definizione di complesso coniugatoSi definisce complesso coniugato di α = a + ib il numero complessoα = a− ib.


9.3 TeoremaSe un’equazione a coefficienti reali ha α come soluzione complessa,ammette anche α ed entrambe le ammette con lo stesso ordine dimolteplicita.

9.4 CorollarioOgni equazione a coefficienti reali ha un numero pari di radici complessenon reali, quindi se il suo grado e dispari, ammette almeno una radicereale.

Esempio 1

x3 + x = 0

x(x2 + 1) = 0

x1 = 0, x2 = −i, x3 = i

L’equazione ammette 3 soluzioni: 1 reale e 2 complesse coniugate.

Esempio 2

x4 − 1 = 0

(x2 − 1)(x2 + 1) = 0

(x− 1)(x+ 1)(x2 + 1) = 0

x1 = 1, x2 = −1, x3 = i, x4 = −i

L’equazione ammette 4 soluzioni: 2 reali ed opposte e 2 complesse coniugate.

Esempio 3

(x2 − 2x+ 1) · (x2 − 8x+ 7) · x2 = 0

(x− 1)2 · 1 · (x− 1) · (x− 7) · x · x = 0

x1 = 1, x2 = 1, x3 = 1, x4 = 7, x5 = 0, x6 = 0

L’equazione ammette 6 radici reali:

x = 1 con molteplicita 3,

x = 0 con molteplicita 2,

x = 7 con molteplicita 1.

9.5 Osservazione (numero soluzioni di un’equazione)Il teorema fondamentale dell’algebra assicura che un’equazione algebri-ca a coefficienti reali, di grado n, ammette in C n radici. Ed allora sele n radici dovessero essere numeri reali, si e certi di aver trovato tuttele soluzioni che ammette l’equazione. In ogni caso, dunque, il numerodelle radici reali non puo superare il grado dell’equazione.


9.6 Definizione di equazioni binomie

Le equazioni binomie sono del tipo:

axn + b = 0 a ∈ R \ {0} , b ∈ R , n ∈ N \ {0}axn = −b

xn = − ba

Se n = 1 o n = 2 allora si ha rispettivamente un’equazione di primogrado o di secondo grado gia trattate.Negli altri casi, per calcolare le radici, e opportuno distinguere due casi:

• se n e dispari:

x1 =n

√− ba

le altre (n− 1) sono complesse

• se n e pari si distinguono tre sottocasi:

1) Se − ba> 0 x1,2 = ∓ n

√− ba

le altre (n− 2) sono complesse

2) Se − ba< 0 n radici complesse

3) Se − ba

= 0 x = 0 con molteplicita n

9.7 Definizione di equazioni trinomie

Le equazioni trinomie sono del tipo:

ax2n + bxn + c = 0 a, b, c ∈ R, a 6= 0, n intero positivo maggiore di 1.

Posto xn = t si ottiene un’equazione di secondo grado nella variabile t:

at2 + bt+ c = 0

Se tale equazione ammette due radici reali che, per fissare le idee, indi-cheremo con t1 e t2, e possibile trovare le radici dell’equazione originariarisolvendo le due equazioni binomie:

xn = t1

xn = t2


Esempio 1

x4 + 3x2 − 28 = 0 posto x2 = t

si ottiene:

t2 + 3t− 28 = 0

∆ = 9 + 112 = 121

t =−3∓ 11

2t1 = −7 t2 = 4

x2 = −7 nessuna soluzione

x2 = 4 x1,2 = ∓2

In definitiva l’equazione ammette 2 radici reali ed opposte e 2 complesse.Si osservi che questa particolare equazione trinomia si e ottenuta da quel-la generica ponendo n = 2; in tal caso l’equazione viene detta biquadratica.

Esempio 2

x8 + x4 + 7 = 0 posto x4 = t

si ottiene:

t2 + t+ 7 = 0

∆ = 1− 28 = −27

L’equazione di secondo grado in t non ammette radici reali e quindi l’equa-zione originaria di ottavo grado non ammette radici reali (le 8 radici sonocomplesse).

Esempio 3

4x4 − 25x2 + 36 = 0 posto x2 = y

si ottiene:

4y2 − 25y + 36 = 0

∆ = 625− 576 = 49

y =25∓ 7

8

y1 =9

4, y2 = 4

E ricordando la posizione fatta si ottengono le radici:

x1,2 = ∓3

2, x3,4 = ∓2



1. [�] Se un’equazione a coefficienti reali di grado cinque ammette due

radici reali, e si volesse indagare circa le soluzioni in C, cosa puo dirsi

delle altre?

2. [�] Risolvere la seguente equazione binomia:

1

9x3 − 3 = 0

3. [�] Risolvere la seguente equazione binomia:

x6

8− 8 = 0

4. [�] Risolvere la seguente equazione trinomia:

−x6 − 63

8x3 + 1 = 0


−x8 + 65x4 − 64 = 0


x4 − 10x2 + 9 = 0



1. [�] Le rimanenti tre radici o sono reali oppure una reale e due complesseconiugate.

2. [�]1

9x3 − 3 = 0

x = 3

3. [�]x6

8− 8 = 0

x = ∓2

4. [�]

−x6 − 63

8x3 + 1 = 0

x = −2 x =1

2

5. [�]−x8 + 65x4 − 64 = 0

x = ∓1 x = ∓2√

2

6. [�]x4 − 10x2 + 9 = 0

x = ∓1 x = ∓3

CAPITOLO 10

I POLINOMI

Premessa

Volendo fare il punto circa il calcolo delle radici di un’equazione, sie visto che e sempre possibile trovare le soluzioni di equazioni algebri-che di primo e secondo grado.

Per le equazioni binomie e trinomie, di qualunque grado, sono statiproposti metodi risolutivi che utilizzano soltanto le quattro operazionielementari e l’estrazione di radice.

In generale, il problema della determinazione delle radici reali diun’equazione di grado n e piuttosto delicato. Piu in dettaglio, per leequazioni di grado superiore al quarto non si e ancora trovato un me-todo generale.

Ed allora risolveremo soltanto alcuni particolari casi di equazioni digrado n (n ≥ 3). Si indichi con Pn(x) il generico polinomio di grado n.

Pn(x) = anxn+an−1x

n−1 + · · ·+a1x+a0 a0, a1, · · · , an ∈ R e an 6= 0

L’equazione di grado n associata al generico polinomio di grado n e:

anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a1x+ a0 = 0 (1)

Il procedimento per il calcolo delle radici si articola in tre fasi:

1) Si cerca di scomporre il polinomio dato Pn(x) in piu polinomidi grado al massimo pari al secondo e si considera la corrispon-dente equazione.

2) Si applica la legge dell’annullamento del prodotto: il prodottodi piu fattori e uguale a zero se e solo se almeno uno dei fattorie zero.

3) Ciascun fattore potra fornire una, due o nessuna soluzione rea-le. Le soluzioni dell’equazione iniziale saranno l’unione dellesoluzioni dei vari fattori.

95


Esempio 1

x5 − x = 0

Mettendo x in evidenza si ottiene:

x · (x4 − 1) = 0

x · (x2 − 1) · (x2 + 1) = 0

x · (x− 1) · (x+ 1) · (x2 + 1) = 0

Per la legge dell’annullamento del prodotto:

x = 0

x− 1 = 0

x+ 1 = 0

x2 + 1 = 0

Il primo fattore fornisce la soluzione x = 0, il secondo x = 1, il terzox = −1, il quarto ammette 2 soluzioni complesse coniugate. E dunque, ri-cordando che lo studio mira alla determinazione delle radici reali, si avra:x1 = −1, x2 = 0, x3 = 1.

Esempio 2

x6 − 4x5 + 4x4 − 16x2 + 64x− 64 = 0

Mettendo in evidenza x4 tra i primi tre termini si ottiene:

x4 · (x2 − 4x+ 4)− 16x2 + 64x− 64 = 0

Si considerino gli ultimi tre termini e si metta in evidenza −16:

x4 · (x2 − 4x+ 4) + (−16)(x2 − 4x+ 4) = 0

Mettendo in evidenza x2 − 4x+ 4 si ha:

(x2 − 4x+ 4) · (x4 − 16) = 0

(x− 2)2 · (x2 + 4) · (x2 − 4) = 0

(x− 2)2 · (x2 + 4) · (x+ 2) · (x− 2) = 0

(x− 2)3 · (x2 + 4) · (x+ 2) = 0

Le soluzioni sono: x = 2 con molteplicita 3, e x = −2.1

Nei due esempi precedenti, mettendo opportunamente in evidenzae stato possibile scomporre il polinomio dato in piu polinomi di gradoal massimo pari al secondo. Ma in generale, pur mettendo in evidenzaopportunamente, non si riesce nella scomposizione voluta.

Invero, quando si e esposto il procedimento per il calcolo delle radicidell’equazione (1), e piu in dettaglio, in relazione alla prima delle trefasi, si e soltanto detto che si deve cercare di scomporre il polinomiodato in piu polinomi di grado al massimo pari al secondo, ma su come

1Se non viene specificato nulla si sottintende che la radice ha molteplicita 1.


agire per raggiungere tale obiettivo, non si e detto nulla. Ed allora atal scopo risulta importante quanto segue:

10.1 Definizione di polinomioIl generico polinomio nella variabile x di grado n puo sempre esprimersinella forma:

anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a1x+ a0 a0, a1, · · · , an ∈ R e an 6= 0

akxk si dice monomio di grado k,

ak coefficiente del termine di grado k.

10.2 Definizione di polinomio nulloSi definisce polinomio nullo un polinomio avente tutti i coefficientiuguali a zero.

10.3 Definizione di radice di un polinomioSia A(x) il generico polinomio di grado n a coefficienti reali, un numeroα ∈ R : A(α) = 0, si dice soluzione o radice del polinomio. Le radici diA(x) si dicono anche radici o soluzione dell’equazione A(x) = 0.

Nell’ambito dei polinomi, particolare interesse riveste, per i nostriscopi, l’operazione di divisione.

Siano A(x) e B(x) due polinomi nella variabile x di grado m ed nrispettivamente e si supponga m ≥ n.

E possibile effettuare la divisione fra A(x) e B(x) ottenendo unpolinomio Q(x), di grado (m − n), detto polinomio quoziente edun polinomio R(x), di grado minore di n, detto polinomio resto inmodo che risulti:

A(x) = B(x) · Q(x) + R(x)

Se R(x) dovesse essere il polinomio nullo, allora si dira che A(x) e di-visibile per B(x) o che B(x) e un divisore di A(x).

L’algoritmo per effettuare la divisione fra polinomi, viene chiamato di-visione secondo le potenze decrescenti e consta di quattro fasi:

1) Si scrivono i polinomi A(x) e B(x) ordinati secondo le potenzedecrescenti di x, se un termine dovesse mancare si inserira 0(il monomio nullo).


2) Si divide il primo termine del dividendo A(x) per il primotermine del divisore B(x) e si ottiene il primo termine del po-linomio quoziente Q(x).

3) Il primo termine di Q(x) si moltiplica per B(x) e si riporta,cambiato di segno, sotto A(x) rispettando le potenze di cia-scun monomio, si addiziona membro a membro ottenendo cosıil primo resto parziale.

4) Se il grado del resto parziale e maggiore o uguale del grado diB(x) si continua, altrimenti l’algoritmo ha termine.

Esempio

A(x) = x4 + 7x3 − 5x− 6 B(x) = x2 − 1

x4 +7x3 0 −5x −6 x2 −1

−x4 +x2 x2 +7x +1

�� 7x3 +x2 −5x −6−7x3 +7x

�� x2 +2x −6−x2 +1

�� 2x −5

In tal caso si ha:

Q(x) = x2 + 7x+ 1 R(x) = 2x− 5

e risulta: x4 + 7x3 − 5x− 6 = (x2 − 1) · (x2 + 7x+ 1) + 2x− 5

10.4 TeoremaIl polinomio A(x) e divisibile per (x− α)⇔ A(α) = 0.

Ed allora sia A(x) il generico polinomio di grado n che si vuole scom-porre. Il teorema precedente e quanto detto circa la divisibilita frapolinomi consentono di asserire che, se si riesce ad individuare unaradice α di A(x) allora A(x) e divisibile per il polinomio (x − α), edeffettuando la divisione fra A(x) e (x−α) si ottiene un polinomio Q(x)di grado (n − 1) ed un polinomio R(x) coincidente con il polinomionullo in modo che sussista la seguente relazione:

A(x) = (x− α) · Q(x) + 0


Il polinomio A(x) di grado n puo dunque esprimersi come prodotto diun polinomio di primo grado per uno di grado (n− 1).

Esempio

Sia A(x) = x4 − 2x3 − 2x2 − 2x − 3 e facile verificare che A(−1) = 0 edunque A(x) e divisibile per (x+ 1).

x4 −2x3 −2x2 −2x −3 x +1

−x4 −x3 x3 −3x2 +x −3

�� −3x3 −2x2 −2x −3+3x3 +3x2

�� x2 −2x −3−x2 −x

�� −3x −3+3x +3

��

x4 − 2x3 − 2x2 − 2x− 3 = (x+ 1) · (x3 − 3x2 + x− 3)

Sia A(x) il generico polinomio di grado n e sia A(α1) = 0. Effettuandola divisione fra A(x) e (x − α1) si ottiene: come polinomio quozienteQ1(x) di grado (n− 1) e come polinomio resto il polinomio nullo:

A(x) = (x− α1) · Q1(x) + 0

Se fosse Q1(α2) = 0 2 allora effettuando la divisione per (x− α2) :

Q1(x) = (x− α2) · Q2(x)

e sostituendo:

A(x) = (x− α1) · (x− α2) · Q2(x)

ove Q2(x) e un polinomio di grado (n− 2).

Iterando il ragionamento si potrebbe ottenere una scomposizione in(n− 2) polinomi di primo grado ed un polinomio di secondo grado.

2Ovviamente in tal caso risulterebbe anche A(α2) = 0


EsempioTrovare le radici dell’equazione

x4 − 2x3 − 2x2 − 2x− 3 = 0

Nell’esempio precedente si era trovato:

x4 − 2x3 − 2x2 − 2x− 3 = (x+ 1) · (x3 − 3x2 + x− 3)

D’altra parte x3−3x2 +x−3 e facile verificare che ammette come soluzionex = 3 e dunque dividendolo per (x− 3) si ottiene un polinomio quoziente disecondo grado e come resto il polinomio nullo:

x3 −3x2 +x −3 x −3

−x3 +3x2 x2 +1

�� x −3−x +3

�� Ed allora si ha:

x3 − 3x2 + x− 3 = (x− 3) · (x2 + 1) + 0

e sostituendo nell’espressione del polinomio di quarto grado si ottiene:

x4 − 2x3 − 2x2 − 2x− 3 = (x+ 1) · (x− 3) · (x2 + 1)

Si e cosı scomposto il polinomio iniziale nel prodotto di due polinomi di pri-mo grado per uno di secondo.

Applicando la legge di annullamento del prodotto e osservando che l’equazio-

ne x2 + 1 = 0 non ammette soluzioni in R, le soluzioni reali dell’equazione

di quarto si ottengo facendo l’unione delle soluzioni reali dei vari fattori e

sono dunque: x1 = −1, x2 = 3.

Si indichi con A(x) il generico polinomio di grado n a coefficienti reali:

A(x) = anxn +an−1x

n−1 + · · ·+a1x+a0 a0, a1, · · · , an ∈ R e an 6= 0

A(x) = 0 e dunque la generica equazione di grado n a coefficienti reali.L’unico problema rimasto e allora quello di individuare una radice αdi A(x). In generale tale problema non ha soluzione.Tuttavia, per i polinomi a coefficienti interi, esiste un criterio cheagevola tale ricerca.

Sia anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a1x+ a0 a0, a1, · · · , an ∈ Z e an 6= 0


10.5 RegolaLe eventuali radici razionali di un’equazione a coefficienti in-

teri, sono da ricercare fra tutte le frazionin

dove n e un divisore del

termine noto e d e un divisore del coefficiente del termine di gradomassimo.

EsempioIndividuare le eventuali radici razionali dell’equazione:

P (x) = 2x4 + 3x3 − 9x2 + x+ 3 = 0 (2)

Il termine noto e il numero 3 e dunque i suoi divisori sono: ∓1 e ∓3Il coefficiente del termine di grado massimo, in tal caso il coefficiente di x4,e il numero 2 e dunque i suoi divisori sono: ∓1 e ∓2.

I candidati ad essere radici razionali della (2) sono dunque:

∓1, ∓3, ∓1

2e ∓ 3

2

x = −1 non e radice della (2):

P (−1) = 2 · (−1)4 + 3 · (−1)3− 9(−1)2− 1 + 3 = 2− 3− 9− 1 + 3 = 8

x = 1 e radice della (2):

P (1) = 2 · (1)4 +3 · (1)3−9(1)2 +1+3 = 2+3−9+1+3 = 9−9 = 0

In particolare si potrebbe verificare che x = 1 e una radice con molteplicitadue.

Sostituendo alla x gli altri numeri candidati si verifica che

x = −3 e x = −1

2

sono le altre radici razionali dell’equazione (2).

Ed allora, sintetizzando, si puo asserire che la (2) ammette le seguentiquattro radici razionali:

x1 = −3 x2 = −1

2x3 = x4 = 1

Il metodo di divisione secondo le potenze decrescenti assume una formapiu semplice quando il polinomio divisore e un binomio di primo gradodel tipo (ax− b).Piu precisamente la divisione, in tal caso, viene semplificata sensibil-mente e operativamente si riduce alla creazione di una tabella che vienecompilata con opportuni numeri sui quali si agisce mediante operazionidi moltiplicazione, addizione e sottrazione.


Si supponga a=1, il polinomio divisore diviene x− b.Sia A(x) il generico polinomio a coefficienti interi di grado n:

A(x) = anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a1x+ a0 a0, a1, · · · , an ∈ Z an 6= 0

e sia b una radice di A(x).

Il metodo prevede di scrivere su una riga i coefficienti del polinomiodivisore ordinati secondo le potenze decrescenti della x (se ne dovessemancare uno si mette 0).

Si tracciano due segmenti verticali e paralleli fra loro ed uno orizzontale.

Si scrive a sinistra del primo segmento verticale e sopra il segmentoorizzontale, la radice b.

an an−1 ... a1 a0b

Si abbassa il coefficiente del termine di grado massimo an al di sottodella linea orizzontale e si moltiplica per b.Il valore ottenuto vn−1 = b · an si copia sotto an−1.

an an−1 ... a1 a0b vn−1 ...an ...

Il numero qn−1 = an−1 + vn−1 si trascrive nella medesima colonna al disotto della linea orizzontale.

an an−1 ... a1 a0b vn−1 ...an qn−1 ...

Iterando l’algoritmo si giunge infine ad una tabella del seguente tipo:

an an−1 ... a1 a0b

Q(x) R(x)

ove Q(x) e il polinomio quoziente di grado (n− 1) e R(x) il polinomioresto che, nell’ipotesi in cui b sia radice di A(x), e il polinomio nullo.L’algoritmo descritto e conosciuto come regola di Ruffini.


Esempio

Mediante l’operazione di divisione fra polinomi si era ottenuto:

x4 − 2x3 − 2x2 − 2x− 3 = (x+ 1) · (x3 − 3x2 + x− 3)

Piu precisamente la divisione fra A(x) = x4−2x3−2x2−2x−3 e B(x) = x+1aveva dato come risultato:

Q(x) = x3 − 3x2 + x− 3

R(x) = 0

Applicando la regola di Ruffini e tenendo presente che A(−1) = 0 si ha:

1 −2 −2 −2 −3−1 −1 +3 −1 +3

1 −3 +1 −3 0

Il polinomio quoziente Q(x) e di terzo grado ( un grado in meno rispetto aquello del polinomio dividendo ).I numeri 1 − 3 + 1 − 3 situati al di sotto della linea orizzontale, sononell’ordine: il coefficiente di x3, quello di x2, quello di x e il termine notodel polinomio quoziente.

Sempre al di sotto della linea orizzontale si nota lo 0 (il polinomio nullo)che e il resto della divisione.

E dunque, pur riconoscendo che il metodo della divisione secondo le potenzedecrescenti non presenta alcuna difficolta, risulta evidente che la regola diRuffini consente di ottenere gli stessi risultati in modo piu semplice e rapido.

Si supponga adesso a 6=1.In tal caso basta dividere polinomio dividendo e divisore per a e ci siriconduce al caso precedentemente esaminato.In effetti il quoziente non cambia 3 mentre il resto si dovrebbe dividereper a. Considerato che nel nostro caso risulta R(x) = 0 la divisioneper a e ininfluente.

3La medesima proprieta vale anche nella divisione fra numeri interi:

28 : 8 = 3 con il resto di 4

dividendo per 2 sia il dividendo che il divisore:

14 : 4 = 3 con il resto di 2


EsempioSi consideri l’equazione:

6x4 − 29x3 − x2 + 11x− 2 = 0 (3)

Applicando la regola (10.5) e possibile verificare che x =1

2e soluzione della

(3) e dunque in tal caso il polinomio divisore e 2x− 1.

Dividendo polinomio dividendo (6x4−29x3−x2+11x−2) e divisore (2x−1)per a = 2 si ottiene:

polinomio dividendo: 3x4 − 29

2x3 − 1

2x2 +

11

2x− 1

polinomio divisore: x− 1

2

Ci si riconduce al caso precedente ( a = 1 ) e applicando la regola di Ruffini:

3 −29

2−1

2

11

2−1

1

2

3

2−13

2−7

2+1

3 −13 −7 2 0

Dunque:

3x4 − 29

2x3 − 1

2x2 +

11

2x− 1 = (3x3 − 13x2 − 7x+ 2) ·

(x− 1

2

)



1. [�] Stabilire fra quali numeri si deve ricercare un’eventuale radicerazionale della seguente equazione:

2x4 − x3 − x+ 6 = 0

2. [�] Stabilire fra quali numeri si deve ricercare un’eventuale radice razio-nale

della seguente equazione:

3x5 − x4 − 2x3 + 7x2 − x+ 8 = 0

3. [�] Risolvere la seguente equazione di grado quattro:

x4 − x2 = 0

4. [�]

A(x) = x5 − 3x2 + 2x− 7 B(x) = x2 − 1

Effettuare la divisione fra A(x) e B(x) utilizzando l’algoritmo delle divisionisecondo le potenze decrescenti.


x3 − 6x2 + 11x− 6 = 0

utilizzando come primo passo la conoscenza della radice x1 = 1.

6. [�] Facendo riferimento all’esercizio precedente, si chiede di stabilire,senza eseguire alcun calcolo, il risultato della seguente divisione:

A(x) : B(x)

A(x) = x3 − 6x2 + 11x− 6 B(x) = x2 − 5x+ 6

7. [�] Utilizzando il metodo di Ruffini trovare le soluzioni dell’equazione:

x4 − 13x3 + 53x2 − 83x+ 42 = 0



1. [�]2x4 − x3 − x+ 6 = 0

±1, ±2, ±3, ±6, ±1

2, ±3

2

2. [�]3x5 − x4 − 2x3 + 7x2 − x+ 8 = 0

±1, ±2, ±4, ±8, ±1

3, ±2

3, ±4

3, ±8

3

3. [�]x4 − x2 = 0

x1 = −1 x2 = x3 = 0 x4 = 1

4. [�]A(x) = x5 − 3x2 + 2x− 7 B(x) = x2 − 1

Q(x) = x3 + x− 3 R(x) = 3x− 10

5. [�]x3 − 6x2 + 11x− 6 = 0

x1 = 1 x2 = 2 x3 = 3

6. [�]

A(x) = x3 − 6x2 + 11x− 6 B(x) = x2 − 5x+ 6

(x3 − 6x2 + 11x− 6) : (x2 − 5x+ 6) = (x− 1)

7. [�]x4 − 13x3 + 53x2 − 83x+ 42 = 0

x1 = 1 x2 = 2 x3 = 3 x4 = 7

CAPITOLO 11

EQUAZIONI RECIPROCHE

Premessa

Fra le equazioni di grado n risolvibili sfruttando particolari proprietadei coefficienti si hanno le equazioni reciproche:

11.1 Definizione di equazione reciprocaSi dice reciproca un’equazione che ha i coefficienti del primo e dell’ulti-mo termine, e quelli dei termini equidistanti da questi uguali o oppo-sti. Nel primo caso l’equazione si dice reciproca di prima specie,nel secondo caso reciproca di seconda specie.

Esempi6x3 + 7x2 + 7x+ 6 = 0

x4 − 2x3 + 8x2 + 2x− 1 = 0

L’equazione di terzo grado e una reciproca di prima specie, quella di quarto

e un’equazione reciproca di seconda specie.

Qualunque sia il grado e la specie di un’equazione reciproca, si potrebbedimostrare che se x0 e una radice diversa da zero, e l’equazione ammette

almeno due radici reali, anche1

x0e radice dell’equazione.

Si consideri, per esempio, il caso della generica equazione di quartogrado reciproca di prima specie:

ax4 + bx3 + cx2 + bx+ a = 0 (1)

Se x0 e una radice ⇒ ax40 + bx30 + cx20 + bx0 + a = 0

Dividendo ambo i membri per x40 6= 0 si ottiene:

a+ b1

x0+ c

1

x20+ b

1

x30+ a

1

x40= 0

Ordinando opportunamente:

a

(1

x0

)4

+ b

(1

x0

)3

+ c

(1

x0

)2

+ b

(1

x0

)+ a = 0

che mostra che anche1

x0e soluzione dell’equazione (1).

107


Dunque le radici di un’equazione reciproca sono costituite da coppie dinumeri reciproci, da cui il nome di equazione reciproca.

Di notevole interesse e il seguente caso di equazioni reciproche:

11.2 Equazione reciproca di terzo grado prima specie

ax3 + bx2 + bx+ a = 0 (2)

E facile verificare che l’equazione (2) ammette la radice x1 = −1.Si applichi la regola di Ruffini per abbassare il grado dell’equazione:

a b b a−1 −a −b+ a −a

a b− a a 0

Allora la (2) puo esprimersi anche:

(x+ 1)[ax2 + (b− a)x+ a] = 0

Per la legge dell’annullamento del prodotto deve risultare:

x+ 1 = 0 oppure ax2 + (b− a)x+ a = 0

L’equazione di primo grado ovviamente ha come radice x1 = −1.

Riguardo l’equazione di secondo grado:

ax2 + (b− a)x+ a = 0

∆ = (b− a)2 − 4a2 =

= (b− a+ 2a)(b− a− 2a) =

= (b+ a)(b− 3a)

si distinguono tre casi:

a) Se ∆ > 0 allora le radici dell’equazione sono reali e distinte ed

essendo: x2 · x3 =a

a= 1, esse sono reciproche.

b) Se ∆ < 0 l’equazione non ammette soluzioni.

c) Se ∆ = 0 allora l’equazione ha due soluzioni coincidenti:

x2 = x3 = − b

2a

Nel nostro caso si ha: x2 = x3 = −b− a2a

=a− b

2a


Si distinguono due sottocasi:

Se b = −a allora x2 = x3 =a+ a

2a= 1

Se b = 3a allora x2 = x3 =a− 3a

2a= −1

Esempio 1

7x3 + 57x2 + 57x+ 7 = 0

si tratta di un’equazione reciproca di terzo grado di prima specie

x1 = −1 e soluzione.

Applicando la regola di Ruffini:

7 57 57 7−1 −7 −50 −7

7 50 7 0

L’equazione di terzo grado si puo allora scomporre come segue:

(x+ 1)(7x2 + 50x+ 7) = 0

Per la legge dell’annullamento del prodotto deve essere:

x+ 1 = 0 oppure 7x2 + 50x+ 7 = 0

L’equazione di primo grado ammette la radice x1 = −1.


7x2 + 50x+ 7 = 0

∆ = 2500− 196 = 2304

x =−50∓ 48

14

x2 = −7 x3 = −1

7

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Esempio 2

6x3 + 7x2 + 7x+ 6 = 0


x = −1 e soluzione.


6 7 7 6−1 −6 −1 −6

6 1 6 0


(x+ 1)(6x2 + x+ 6) = 0



x+ 1 = 0 oppure 6x2 + x+ 6 = 0

L’equazione di primo grado ammette la radice x1 = −1.Riguardo l’equazione di secondo grado:

6x2 + x+ 6 = 0

∆ = 1− 144 = −143

non ammette soluzione.

Considerando il caso delle equazioni reciproche di terzo grado diseconda specie:

ax3 + bx2 − bx− a = 0

e possibile fare considerazioni analoghe a quelle fatte per le equazioni diprima specie, solo che, al primo passo, la regola di Ruffini viene usatacon la radice x1 = 1.

Esempio

7x3 + 43x2 − 43x− 7 = 0

si tratta di un’equazione reciproca di terzo grado di seconda specie

x = 1 e soluzione.


7 43 −43 −71 7 50 +7

7 50 7 0


(x− 1)(7x2 + 50x+ 7) = 0


x− 1 = 0 oppure 7x2 + 50x+ 7 = 0

L’equazione di primo grado ammette la radice x1 = 1.


7x2 + 50x+ 7 = 0

∆ = 2500− 196 = 2304

x =−50∓ 48

14

x2 = −7 x3 = −1

7



1. [��] Determinare le eventuali radici dell’equazione:

x3 − x2 − x+ 1 = 0

2. [�] Determinare le eventuali radici dell’equazione:

x3 + 3x2 + 3x+ 1 = 0


2x4 − 3x3 + 3x− 2 = 0

4. [�] Risolvere la seguente equazione reciproca:

−3x3 + 7x2 + 7x− 3 = 0


2x4 + 7x3 + 10x2 + 7x+ 2 = 0


7x4 − 50x3 + 50x− 7 = 0



1. [��]

x3 − x2 − x+ 1 = 0


x = −1 e soluzione.


1 −1 −1 1−1 −1 +2 −1

1 −2 +1 0


(x+ 1)(x2 − 2x+ 1) = 0


x+ 1 = 0 oppure x2 − 2x+ 1 = 0

L’equazione di primo grado ammette la radice x1 = −1.


x2 − 2x+ 1 = 0

∆ = 4− 4 = 0

x2 = x3 = −−2

2= 1

2. [�]x3 + 3x2 + 3x+ 1 = 0

x1 = x2 = x3 = −1

3. [�]2x4 − 3x3 + 3x− 2 = 0

x1 = −1 x2 = 1

4. [�]−3x3 + 7x2 + 7x− 3 = 0

x1 = −1 x2 =1

3x3 = 3


5. [�]2x4 + 7x3 + 10x2 + 7x+ 2 = 0

x1 = x2 = −1

6. [�]7x4 − 50x3 + 50x− 7 = 0

x1 = −1 x2 =1

7x3 = 1 x4 = 7

CAPITOLO 12

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI CON ILVALORE ASSOLUTO

Premessa

Un argomento di fondamentale importanza nello studio dell’ AnalisiMatematica e quello del valore assoluto di un numero reale e piu ingenerale del valore assoluto di una funzione. Infatti tale concetto vienerichiamato quando si introduce la definizione di limite di una funzionereale di variabile reale, quando si studiano le successioni, ... etc ... .

12.1 Definizione di valore assoluto di un numero realeSi definisce valore assoluto di un numero reale x:

|x| = ......................................................................................................................

......................

............................................................................................................................................

x se x ≥ 0

−x se x < 0

Esempi

| − 4| = 4 |7| = 7 | − 3.12| = 3.12

La definizione di valore assoluto di una funzione e analoga alla de-finizione data di valore assoluto di un numero reale. Il ruolo di x in talcaso lo gioca f(x):

|f(x)| = ......................................................................................................................

......................

............................................................................................................................................

f(x) se f(x) ≥ 0

−f(x) se f(x) < 0

E opportuno commentare la definizione data di valore assoluto di unafunzione f ed evidenziare importanti proprieta che la caratterizzano.

115


La definizione prevede due possibili casi:

1. valore assoluto di f(x) e f(x) coincidono se f(x) ≥ 0;2. valore assoluto di f(x) e uguale a f(x) cambiato di segno se

f(x) < 0.

Ed allora, in definitiva, se f(x) e non negativa valore assoluto di fed f coincidono, se f e negativa valore assoluto di f e uguale a −f edunque, visto che in tal caso f(x) e negativa, cambiare il segno vuoldire renderla positiva.

Tutto quello che e stato detto circa il valore assoluto di una funzione,ci permette di asserire che:

∀x ∈ dom(f) |f(x)| ≥ 0

Esempio 1Si consideri la funzione:

f(x) = 2

Si desidera tracciare il grafico della funzione |f(x)|.

La funzione f e definita in tutto R ed e sempre positiva.Per definizione di valore assoluto di una funzione risulta:

|f(x)| = f(x) = 2

Graficamente:

...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

..

.......

.......

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x

y

· · ·2· · ·−1

O

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Fig. 9 Grafico di f(x) = |f(x)| = 2

In definitiva se la funzione f e ovunque positiva allora |f | ha la medesima

legge e dunque, ovviamente, la medesima rappresentazione grafica.


Esempio 2

Si consideri la funzione:

f(x) = −3

Si vuole tracciare il grafico della funzione |f(x)|.

La funzione f e definita in tutto R ed e sempre negativa.

Poiche ∀x ∈ R f(x) < 0, per definizione di valore assoluto di una funzione:

|f(x)| = −f(x) = −(−3) = 3

Infatti poiche la funzione f in esame e negativa in tutto il suo dominio,allora, per definizione, il valore assoluto di f e l’opposto di f .

Per quanto detto, allora, |f | e una funzione positiva il cui grafico si sviluppanel primo e secondo quadrante ed e il simmetrico di f rispetto all’asse delleascisse.

Graficamente:

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x

y

−1

−2

· · ·

· · ·

3

O−−1

−−2

−3

· · ·

· · · ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. .............

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Fig. 10 Segno tratteggiato grafico di f , tratto continuo grafico di |f |


Esercizio 1 (svolto)Si consideri la funzione f(x) = x2 − 4, si vuole disegnare:

|f(x)| = |x2 − 4|

Ricordando la definizione di valore assoluto di una funzione, si deve stabilireper quali valori di x la funzione x2 − 4 ≥ 0 ed in quali intervalli risultax2 − 4 < 0.

x2 − 4 ≥ 0

x2 − 4 = 0

x1 = −2 x2 = 2

e dunque:

x2 − 4 ≥ 0 in ]−∞,−2] ∪ [2,+∞[

x2 − 4 < 0 in ]− 2, 2[

Allora, per definizione, risulta:

|x2 − 4| = ......................................................................................................................

......................

............................................................................................................................................

x2 − 4 se x2 − 4 ≥ 0

−(x2 − 4) se x2 − 4 < 0

|x2 − 4| = ......................................................................................................................

......................

............................................................................................................................................

x2 − 4 se x ∈]−∞,−2] ∪ [2,+∞[

−(x2 − 4) se x ∈]− 2, 2[

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x

y

O−2 2

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Fig. 11. Grafico della funzione |f(x)| = |x2 − 4|


Un secondo metodo per disegnare il grafico di

|f(x)|

consiste nel disegnare in un primo tempo il grafico della funzione f(x)e poi, mediante semplici considerazioni circa il valore assoluto di unafunzione, tracciare agevolmente il grafico della funzione con il valoreassoluto.

Esercizio 1 (secondo metodo)In un primo tempo si disegna il grafico della parabola:

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xx1

f(x1)

f(x3)

f(x2)

x2x3

y

O

•

•

•

−2 2............................................................................................................................................................................................................................. ............. ............. ............. ............. ............. ............. .............

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Fig. 12. Grafico della funzione f(x) = x2 − 4

Per definizione |f(x)| e f(x) coincidono quando f(x) ≥ 0.Dal grafico si osserva che f(x) ≥ 0 quando x ≤ −2 1 e x ≥ 2 2 e dunquein ]−∞,−2] ∪ [2,+∞[ grafico di f(x) e di |f(x)| coincidono.

1Il grafico della funzione f(x) = x2 − 4 mostra, ad esempio, che incorrispondenza a x1 < −2 risulta f(x1) > 0

2In corrispondenza al valore x3 > 2 risulta f(x3) > 0


Invece |f(x)| = −f(x) quando f(x) < 0.Il grafico mostra che se −2 < x < 2 3 allora f(x) < 0.per x = 0 f(0) = −4 |f(0)| = −f(0) = 4 A = (0,−4) A = (0, 4)per x = 1 f(1) = −3 |f(1)| = −f(1) = 3 B = (1,−3) B = (1, 3)In breve ∀ x ∈ (−2, 2) y = f(x) < 0 |f(x)| = −f(x) = −y > 0

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x

AB•

y

O

AB•

•

•

−2 2

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Fig. 13. Grafico della funzione |f(x)| = |x2 − 4|

Dunque quanto detto puo riassumersi con le seguenti considerazioni,conseguenze immediate della definizione di valore assoluto di una fun-zione.

Per disegnare il valore assoluto di una funzione f(x) dellaquale si conosca il grafico, e sufficiente lasciare inalterata laparte del grafico di f(x) che si sviluppa nel primo e secondoquadrante, (gli intervalli in cui risulta f(x) ≥ 0) e tracciare ilsimmetrico, rispetto all’asse delle x, della rimanente parte (gliintervalli in cui risulta f(x) < 0).

3Per esempio −2 < x2 < 2 e risulta f(x2) < 0


Esercizio 2Trovare le soluzioni della disequazione:

|x− 7| ≤ 3 (1)

Per definizione la (1) e equivalente a risolvere i seguenti sistemi:

1)

{x− 7 ≤ 3

x− 7 ≥ 02)

{−x+ 7 ≤ 3

x− 7 < 0

1)

{x ≤ 10

x ≥ 72)

{−x ≤ −4

x < 7

1)

{x ≤ 10

x ≥ 72)

{x ≥ 4

x < 7

Allora S1 = [7, 10], S2 = [4, 7[ e dunque le soluzioni di (1) sono:

S = S2 ∪ S1 = [4, 7[∪[7, 10] = [4, 10]

L’esercizio ha un’interessante interpretazione geometrica:

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x

y

O

−7

7

y = 3

4 7 10

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Fig. 14 Grafico di f(x) = |x− 7|. In evidenza l’intervallo soluzione

La parte in grassetto e l’intervallo in cui il grafico di |x− 7| e al di sotto o

coincide con la retta di equazione y = 3.


In generale, riguardo il valore assoluto di una funzione, valgono leseguenti 6 proprieta di cui si omette la dimostrazione:

1. (∀x ∈ dom(f)) |f(x)| ≥ 0

2. (∀x ∈ dom(f)) |f(x)| = 0⇔ f(x) = 0

3. (∀x ∈ dom(f)) |f(x)| = | − f(x)|

4. (∀x ∈ dom(f))(∀a ∈ R+) |f(x)| = a⇔ f(x) = a o f(x) = −a

5. (∀x ∈ dom(f)) (∀a ∈ R+) |f(x)| ≤ a ⇔ −a ≤ f(x) ≤ a

6. (∀x ∈ dom(f) ∩ dom(g)) |f(x) + g(x)| ≤ |f(x)|+ |g(x)|disuguaglianza triangolare



1. [��] Trovare le soluzioni dell’equazione:

|x2 − 2x| =∣∣∣∣x2 +

1

4

∣∣∣∣2. [�] Determinare le eventuali radici della disequazione:

x|x| < 1


|x2 + 2x| = |x|+ 2x


|2x− 4||x|

= x+ 1



1. [��]

|x2 − 2x| =∣∣∣∣x2 +

1

4

∣∣∣∣Si stabilisce il segno di (x2 − 2x) e di

(x

2+

1

4

)

x2 − 2x ≥ 0

x2 − 2x = 0

x(x− 2) = 0

x1 = 0 x2 = 2

Ed allora x2 − 2x ≥ 0 per valori esterni all’intervallo delle radici:

x ≤ 0 x ≥ 2

x

2+

1

4≥ 0

x+1

2≥ 0

x ≥ −1

2= −0.5

Per eliminare i valori assoluti e opportuno fare il seguente schema che

sintetizza il segno di (x2 − 2x) e di

(x

2+

1

4

)al variare di x in R.

-0.5 0 2

................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. ...............................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

............. ............. ............. ............. ............. .............

............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ...

• •

•

x2 − 2x ≥ 0

x

2+

1

4≥ 0

L’equazione iniziale e dunque equivalente ai seguenti sistemi:

1)

x2 − 2x =

x

2+

1

4[−1

2, 0

]∪ [2,+∞[

2)

x2 − 2x = −x

2− 1

4]−∞,−1

2

[∪]0, 2[


Riguardo il sistema 1):

x2 − 2x =x

2+

1

4

4x2 − 8x = 2x+ 1

4x2 − 10x− 1 = 0

∆

4=

(b

2

)2

− ac = 25 + 4 = 29

x =−b

2±√

∆

4a

=5±√

29

4

x1 ∼= −0.095 x2 ∼= 2.595

Entrambe le soluzioni sono accettabili in quanto ricadono nell’intervallo:[−1

2, 0

]∪ [2,+∞[

Le soluzioni del sistema 2) sono:

x2 − 2x = −x

2− 1

4

4x2 − 8x = −2x− 1

4x2 − 6x+ 1 = 0

∆

4=

(b

2

)2

− ac = 9− 4 = 5

x =−b

2±√

∆

4a

=3±√

5

4

x1 ∼= 0.192 x2 ∼= 1.307

Entrambe le soluzioni sono accettabili in quanto ricadono nell’intervallo:]−∞,−1

2

[∪]0, 2[

2. [�]x|x| < 1

S = (−∞, 1)


3. [�]|x2 + 2x| = |x|+ 2x

x1 = 0 x2 = 1

4. [�]|2x− 4||x|

= x+ 1

x1 = 1

CAPITOLO 13

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI IRRAZIONALI

Premessa

E opportuno premettere la seguente proposizione di fondamentale im-portanza per la risoluzione delle equazioni e disequazioni irrazionali.

13.1 Proprieta delle potenze ad esponente interoSiano x, y ∈ R+ e n ∈ N+ oppure x, y ∈ R e n ∈ N+ un numero dispari,allora valgono le seguenti proprieta:

x = y ⇔ xn = yn x < y ⇔ xn < yn (1)

Un’equazione (disequazione) si dice irrazionale se l’incognitacompare anche sotto il segno di radice.

Esempi

4

√x− 1

x+ 1= x2 − 10

√x− 1 =

√x+ 3

3√

2x3 + 7 = 3− x

Come si risolvono?Si supponga che l’equazione irrazionale sia

A(x) = B(x) (2)

L’idea base e quella di eliminare le radici elevando ambo i membri aduna opportuna potenza. In generale. per eliminare le radici da ambo imembri, l’operazione di elevazione a potenza potrebbe essere necessa-rio effettuarla anche piu di una volta.Ed allora il problema che nasce e il seguente: l’equazione a cui sigiunge effettuando l’elevazione a potenza, conduce ad una equazioneequivalente 1 alla data?Si distinguono il caso n pari da quello in cui n e dispari.

1Due equazioni sono equivalenti se ammettono le stesse radici

127


13.2 Equazioni irrazionali: indice della radice n dispariSi supponga che elevando ambo i membri della (2) ad un opportunoindice n dispari:

[A(x)]n = [B(x)]n (3)

si ottenga un’equazione razionale.Per le proprieta (1) l’equazione (3) e equivalente alla (2) e dunque, indefinitiva, l’elevazione ad indici dispari mantiene l’equivalenza.

Esempio3√x3 − 28 = x− 4

Elevando al cubo il primo ed il secondo membro si ottiene:

x3 − 28 = (x− 4)3

x3 − 28 = x3 − 12x2 + 48x− 64

semplificando e portando tutti i termini a primo membro:

12x2 − 48x+ 64− 28 = 0

12x2 − 48x+ 36 = 0

dividendo per 12 ambo i membri

x2 − 4x+ 3 = 0

Sfruttando la relazione che lega radici e coefficienti dell’equazione deve ri-sultare: {

x1 + x2 = 4x1 · x2 = 3

x1 = 1 x2 = 3

13.3 Equazioni irrazionali: indice della radice n pariElevando ambo i membri ad un opportuno indice n pari

[A(x)]n = [B(x)]n

non si perviene, in genere, ad una equazione equivalente all’equazioneirrazionale iniziale (2). Infatti bisogna stare attenti al fatto che leproprieta (1), nel caso n pari, valgono solo per numeri non negativi.

Ed allora, coscienti del fatto che l’elevazione al quadrato di ambo imembri della (2) conduce ad un’equazione equivalente soltanto nel ca-so in cui le quantita in gioco siano non negative, si ritiene interessanteapprofondire il caso n = 2.


Elevando ambo i membri della (2) al quadrato si ottiene:

[A(x)]2 = [B(x)]2 (4)

[A(x)]2 − [B(x)]2 = 0

[A(x)−B(x)] · [A(x) +B(x)] = 0

e per la legge di annullamento del prodotto si ha:

A(x)−B(x) = 0

A(x) = B(x)

che e l’equazione irrazionale iniziale, oppure risulta:

A(x) +B(x) = 0

A(x) = −B(x) (5)

e le soluzioni della (5) non sono, in genere, soluzioni dell’equazione (2).Ed allora se n e pari, a posteriori, si dovrebbe verificare la validita dellesoluzioni trovate.

EsempioRisolvere l’equazione: √

2x− 1 = x− 2 (6)

Affinche il primo membro non perda di significato deve risultare:

2x− 1 ≥ 0

2x ≥ 1

x ≥ 1

2Elevando ambo i membri al quadrato2 si ottiene:

2x− 1 = (x− 2)2

2x− 1 = x2 − 4x+ 4

x2 − 6x+ 5 = 0

Sfruttando la relazione che lega radici e coefficienti dell’equazione deve ri-sultare: {

x1 + x2 = 6x1 · x2 = 5

gli unici numeri che soddisfano entrambe le condizioni sono:

x1 = 1 x2 = 5

Adesso sarebbe necessario verificare la validita delle soluzioni trovate.Sostituendo nell’equazione irrazionale iniziale:

x1 = 1 :√

2 · (1)− 1 = 1− 2 1 = −1

x2 = 5 :√

2 · (5)− 1 = 5− 2 3 = 3

2E opportuno evidenziare che l’elevazione al quadrato della (6) conduce adun’equazione equivalente ⇔ x− 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2


Ed allora x1 = 1 e da scartare x2 = 5 e accettabile.

Puo dirsi qualcosa in piu circa la soluzione scartata?Richiamando la teoria sviluppata per il caso n = 2 si era constatato cheelevando al quadrato ambo i membri si era ottenuto:

[A(x)−B(x)] · [A(x) +B(x)] = 0

Per la legge di annullamento del prodotto risulta: A(x) = B(x) (l’equazioneiniziale) oppure A(x) = −B(x), che potrebbe introdurre nuove soluzioni nonaccettabili. La soluzione scartata e dunque radice di A(x) = −B(x).Nel nostro esempio

A(x) =√

2x− 1 B(x) = x− 2

ed allora x1 = 1 e radice dell’equazione:

A(x) = −B(x)√

2x− 1 = −x+ 2

infatti sostituendo il numero 1 alla x:√

2 · 1− 1 = −1 + 2 ⇔√

1 = 1 ⇔ 1 = 1

Ma e proprio necessaria la sostituzione di ciascuna delle radici trovate perstabilire se accettarle o scartarle?

Si consideri l’equazione iniziale:√

2x− 1 = x− 2.

Si e imposto x ≥ 1

2per dare senso alla radice quadrata.

Tale restrizione dei valori attribuibili alla variabile x, rende il primo mem-bro una quantita positiva o nulla, ed allora anche il secondo membro dovraessere, al variare di x, una quantita non negativa. D’altra parte, imponen-do che anche il secondo membro risulti, al variare di x, una quantita nonnegativa si creano le condizioni per la validita delle proprieta (1).

Deve allora risultare anche:

x− 2 ≥ 0

x ≥ 2

12 2

.............................................................................................................................................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

............. ............. ............. ............. ............. .............

............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ..........

••

2x− 1 ≥ 0

x− 2 ≥ 0

Dallo schema si evince che affinche ambo i membri della (6) siano nonnegativi deve risultare

x ≥ 2 (7)

Ed allora questa ulteriore restrizione, che assicura la non negativita di amboi membri al variare di x, consente di applicare le proprieta (1) e dunque


l’equazione (6) e equivalente al seguente sistema:2x− 1 ≥ 0

x− 2 ≥ 0

2x− 1 = (x− 2)2

che ammette una sola soluzione: x = 5.Si osservi che l’equazione del sistema presenta a secondo membro, al variarecomunque di x, una quantita non negativa, ed allora anche il primo membrorisultera non negativo e dunque il primo vincolo risulta superfluo.Il sistema risolvente e dunque: x− 2 ≥ 0

2x− 1 = (x− 2)2

Ed allora, in generale l’equazione:

n√f(x) = g(x) (n pari)

ammette il seguente sistema risolvente:f(x) ≥ 0

g(x) ≥ 0

f(x) = gn(x)

Nel terzo vincolo, poiche gn(x) ≥ 0 risulta certamente f(x) ≥ 0 e cosıla prima disequazione e superflua.

Il sistema risolvente e dunque: g(x) ≥ 0

f(x) = gn(x)

13.4 Disequazioni irrazionaliAnche nel caso delle disequazioni c’e una profonda differenza fra il casoin cui compaiono radici con indice pari e quello in cui figurano radicicon indici dispari.


13.5 Disequazioni irrazionali: indice della radice n dispariAnche questa volta il caso indice dispari e il piu semplice da trattare.

In generale si avranno disequazioni del tipo:

f(x) ≥ n√g(x)

che si risolvono elevando ad n (dispari) ambo i membri:

[f(x)]n ≥ g(x)

L’elevamento a potenza dispari mantiene la disuguaglianza, qualunqueessa sia, e la seconda disequazione e equivalente alla prima.

Esempio

3√x3 + 5x2 + 20x− 7 ≥ x+ 2

Elevando al cubo ambo i membri della disequazione:

x3 + 5x2 + 20x− 7 ≥ (x+ 2)3

x3 + 5x2 + 20x− 7 ≥ x3 + 6x2 + 12x+ 8

−x2 + 8x− 15 ≥ 0

moltiplicando ambo i membri per −1:

x2 − 8x+ 15 ≤ 0

x2 − 8x+ 15 = 0

∆

4= 16− 15 = 1

x = 4∓ 1

x1 = 3 x2 = 5

E tornando alla disequazione, poiche il coefficiente di x2 e discorde con ilsegno del trinomio, le soluzioni sono i valori di x interni all’intervallo delleradici:

3 ≤ x ≤ 5


13.6 Disequazioni irrazionali: indice della radice n pariAnche questa volta il caso indice dispari e il piu semplice da trattare.

Dapprima si consideri il caso:

n√f(x) < g(x) (8)

Per dare senso alla radice si deve imporre

f(x) ≥ 0

ma √f(x) < g(x) ⇒ Si deve imporre anche g(x) > 0

Ma se f(x) ≥ 0 e g(x) > 0 allora la (8) presenta ad ambo i membri,al variare comunque di x, quantita non negative e dunque valgono leproprieta (1).

Il sistema che risolve la disequazione e il seguente: f(x) ≥ 0g(x) > 0f(x) < [g(x)]n

EsempioSi consideri la disequazione:

√5− 2x < 6x− 1

Il sistema risolvente e il seguente: 5− 2x ≥ 06x− 1 > 05− 2x < (6x− 1)2

Si risolvano le disequazioni del sistema risolvente.Prima disequazione:

5− 2x ≥ 0

− 2x ≥ −5

2x ≤ 5

x ≤ 5

2


Seconda disequazione:

6x− 1 > 0

6x > 1

x >1

6

Si consideri infine la terza disequazione del sistema risolvente:

5− 2x < 36x2 − 12x+ 1

36x2 − 10x− 4 > 0

18x2 − 5x− 2 > 0

18x2 − 5x− 2 = 0

∆ = 25 + 144 = 169

x =5∓ 13

36

x1 = −2

9x2 =

1

2

Riconsiderando la disequazione 18x2−5x−2 > 0 si constata che il coefficien-te del termine di secondo grado ed il segno della disequazione sono concordie dunque la disequazione e soddisfatta per valori esterni all’intervallo delleradici:

x < −2

9x >

1

2

Lo schema che riassume i risultati delle disequazioni del sistema e:

−2

9

1

6

1

2

5

2

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............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. .............

•◦

◦◦

5− 2x ≥ 0

6x− 1 > 0

18x2 − 5x− 2 > 0

per determinare le soluzioni si devono scegliere gli intervalli ove le 3 dise-quazioni sono verificate:

1

2< x ≤ 5

2


Si consideri la disequazione di tipo:

n√f(x) > g(x) (9)

Per dare senso alla radice quadrata deve risultare f(x) ≥ 0.Ovviamente i valori di x che rendono g(x) < 0 soddisfano la disequa-zione (9). Ed allora un primo sistema risolvente e:{

f(x) ≥ 0g(x) < 0

(†)

Sempre imponendo la condizione f(x) ≥ 0 si osservi che la (9) esoddisfatta anche da quei valori di x che rendono:

g(x) ≥ 0 e n√f(x) > g(x)

Ed allora si ha un secondo sistema risolvente: f(x) ≥ 0g(x) ≥ 0f(x) > gn(x)

La terza disequazione del sistema si giustifica tenendo in considerazioneche:

f(x) ≥ 0

g(x) ≥ 0

ed allora primo e secondo membro della (9) sono quantita positive onulle e dunque valgono le proprieta (1).

Il sistema risolvente si puo semplificare eliminando la prima disequazio-ne, infatti, i valori di x che rendono f(x) > gn(x) soddisfano certamenteanche f(x) ≥ 0 che puo dunque essere tralasciata.

In definitiva il secondo sistema risolvente e:{g(x) ≥ 0f(x) > gn(x)

(‡)

L’unione delle soluzioni dei due sistemi (†) e (‡) fornisce l’insieme dellesoluzioni della disequazione(9).


Esempio √x2 − 1 > x+ 5 (10)

Si tratta di una disegnazione di tipo (9) ove f(x) = x2 − 1 e g(x) = x+ 5.Il primo sistema risolvente e:

(†){x2 − 1 ≥ 0x+ 5 < 0

Si consideri la prima disequazione del sistema. L’equazione corrispondenteammette le due soluzioni x1 = −1 e x2 = 1. Ed allora la disequazione everificata per x ≤ −1 x ≥ 1.La seconda disequazione e verificata per x < −5.

−5 −1 1

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...........................................................................................................

............. ............. ............. ............. .......

............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. .............

• •◦

x2 − 1 ≥ 0x+ 5 < 0

SI NO NO NO

Le soluzioni del sistema (†) sono: S1 =]−∞,−5[.In relazione al secondo sistema:

(‡){x+ 5 ≥ 0x2 − 1 > (x+ 5)2

La prima disequazione del sistema e verificata per x ≥ −5Si consideri la seconda disequazione di (‡):

x2 − 1 > x2 + 10x+ 25

10x+ 26 < 0

5x+ 13 < 0

5x < −13

x < −13

5

−5 −13

5

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.............................................................................................................................................................................................................................................................................................

............. ............. ............. ............. ............. .............

............. ............. ............. ............. ............. .............

•◦

x+ 5 ≥ 0

(x+ 5)2 < x2 − 1NO SI NO

Le soluzioni del sistema (‡) sono: S2 =

[−5,−13

5

[Se con S si indica l’insieme delle soluzioni della disequazione (10) allora siha :

S = S1 ∪ S2 =]−∞,−5[∪[−5,−13

5

[=

]−∞,−13

5

[


13.7 Proprieta degli operatori irrazionali

∀ a, b ∈ R+ ∪ {0}∀ n,m ∈ N+

valgono le seguenti proprieta:

(1) ( n√a)n = n

√an = a

(2) n√ab = n

√a n√b

(3) n

√a

b=

n√a

n√b, b > 0

(4) ( n√a)m = n

√am

(5) m√

n√a = nm

√a

(6) m√a = nm

√an



1. [�] Risolvere la seguente equazione:√

3x− 2 +√x− 2 = 2

√2x− 3

2. [�] Risolvere la seguente equazione:√

17x− 4 = 2x− 1

3. [��] Risolvere la disequazione:√x+ 1 +

√x+ 6 >

√7x+ 4

4. [�] Risolvere la disequazione:√x− 7 < x− 5

5. [�] Risolvere la disequazione:√x− 4 +

√x+ 4 < 2

6. [�] Risolvere la disequazione:

6x+ 2 <√

8x2 + x− 9



1. [�] √3x− 2 +

√x− 2 = 2

√2x− 3

x1 = 2 x2 = 6

2. [�] √17x− 4 = 2x− 1

x = 5

3. [��]

√x+ 1 +

√x+ 6 >

√7x+ 4

Perche le radici quadrate abbiano senso deve verificarsi: x+ 1 ≥ 0x+ 6 ≥ 07x+ 4 ≥ 0

ossia x ≥ −1x ≥ −6

x ≥ −4

7

−6 −1 −4

7

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.................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

...........................................................................................................

............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. .............

............. ............. ............. ............. .......

............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. .............

••

•

x+ 1 ≥ 0

x+ 6 ≥ 0

7x+ 4 ≥ 0NO NO NO SI

il sistema e verificato per x ≥ −4

7.

In

[−4

7,+∞

[certamente x+ 1, x+ 6 e 7x+ 4 sono quantita non negative

⇒ elevando al quadrato ambo i membri della disequazione si mantiene ladisuguaglianza:

x+ 1 + 2√

(x+ 1)(x+ 6) + x+ 6 > 7x+ 4

2√

(x+ 1)(x+ 6) > 5x− 3

√(x+ 1)(x+ 6) >

5x− 3

2(11)


La disequazione (11) e di tipo√f(x) > g(x) e dunque si risolve come visto

in precedenza.

La soluzione finale della disequazione e l’intervallo :

S =

[−4

7, 3

[

4. [�] √x− 7 < x− 5

x ≥ 7

5. [�] √x− 4 +

√x+ 4 < 2

La disequazione non ammette soluzioni.

6. [�]

6x+ 2 <√

8x2 + x− 9]−∞,−9

8

]

CAPITOLO 14

EQUAZIONI E DISEQUAZIONIESPONENZIALI E LOGARITMICHE

14. La funzione esponenziale e la funzione logaritmo

14.1. La funzione esponenziale

Si vuole definire una funzione

x→ ax

x ∈ R, a ∈ R e a > 0Prima definiamo an con n ∈ N:

n ∈ N, a ∈ R, a > 0

definita da

n→ ax

tale che a0 = 1a1 = a · a0a2 = a · a1...an = a · an−1 con n = 1, 2, . . .

Dalla definizione di tipo ricorsivo possiamo ricavare due proprieta fon-damentali delle esponenziali:

(i) an · am = an+m

(ii) (an)m = an·m(12)

Supponiamo adesso che l’esponente sia un intero relativo, z ∈ Z. Siottiene

a−z =1

az

Poiche a 6= 0 segue che az 6= 0 e continuano a valere le proprieta (12)da cui:

az · a−z = az−z = a0 = 1

ossia a−z e il reciproco di az.Supponiamo adesso di utilizzare i numeri razionali come esponente

p

q∈ Q,∀p ∈ Z, q ∈ N, q 6= 0

141


si ottiene

apq = q√ap

sempre valida se si impone a > 0.

apq · a r

s =

= q√ap · s√ar = qs

√aps qs√arq = qs

√aps · arq = qs

√aps+rq =

= aps+rq

qs

Chiaramente possiamo anche dire che

a−pq =

1

apq

Si noti che se a = 1 ne segue che aq = 1q = 1 ∀q ∈ Q, e quindi da orain poi si considerera a > 0 ed a 6= 1.

E possibile distinguere i due casi

1) a > 1⇒ ar > 10 < a−r < 1

∀r ∈ Q+

2) a < 1⇒ 0 < ar < 1a−r > 1

∀r ∈ Q+

Inoltre se

a > b⇒⟨ar > br se r > 0ar < br se r < 0

Finalmente supponiamo il caso piu generale

ax

con x ∈ R, a > 0, a 6= 1.Si puo definire una funzione

f : x→ ax

detta funzione esponenziale di base a tale che:

(1) dom(f) = R(2) imm(f) = R++

(3) a0 = 1 e ax+y = ax · ay ∀x, y ∈ R(4) La funzione esponenziale e strettamente crescente se a > 1(5) La funzione esponenziale e strettamente decrescente se a < 1

Tale funzione puo essere disegnata come segue


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.......................

x

y

0

ax (a > 1)

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............................

.......................

x

y

0

ax (a < 1)

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Un caso interessante e quello in cui a = e = 2.717282818284 . . .detto numero di Nepero. Poiche 2 < e < 3 si ha 2x < ex < 3x se x > 0e 2x > ex > 3x se x < 0

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.......................

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....................................................................................................................

............. ............. ............. ............. ............. ..........................

...................................................................................................................................

ex 2x3x

2x

3x x

y

0

14.2. La funzione logaritmo

Il proprieta (2) della funzione esponenziale per cui imm(f) = R++

consente di definire la sua funzione inversa chiamata funzione logarit-mo. Fissato y in imm(f) = (0,+ inf) siamo sicuri dell’esistenza di uncorrispondente unico valore x tale che ax = y. Tale valore di x perdefinizione e

x = loga y

Si noti chea0 = 1 ⇒ 0 = loga 1a1 = 1 ⇒ 1 = loga a

per cui, fissato a > 0, a 6= 1 seguono le proprieta:

(1) loga 1 = 0(2) loga a = 1(3) loga(b · c) = loga b+ loga c

1

(4) loga(bc) = c loga b

2

(5) logab

c= loga b− loga c

3

1Infatti se loga b = x ⇒ ax = b e loga c = y ⇒ ay = c, allora loga(b · c) = z ⇒az = b · c = ax · ay = ax+y da cui la proprieta

2Poiche ax = b allora bc = (ax)c = ac·x

3Dato cheb

c= b · c−1


(6) logb c =loga c

loga b

Si noti che per la (4) in particolare

logan√b =

1

nloga b

mentre per la (5)

loga1

b= − loga b

La proprieta (6) serve per passare da una base all’altra. Conseguenzedi tale proprieta sono la seguente

log 1ab =

loga b

loga1a

= − loga b

e quest’ultima

loga b =logb b

logb a=

1

logb a

Poiche la funzione logaritmo e la funzione inversa della funzioneesponenziale il grafico di tale funzione e:

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.......................

x

y

0

ax

a > 1

loga x

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........

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.......

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.......

.............................

.......................

x

y

0

ax

a < 1

loga x

.............................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................

..........................

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...............................................

......................................

..............................

.........................

.......................

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EsempioDato il log2 27 si vuole passare alla base 10 senza utilizzare la formula

di trasformazione.Poiche

log2 27 = x

ne consegue che2x = 27

da cuilog10 2x = log10 27

ossiax log10 2 = log10 27

x =log10 27

log10 2


che come si vede fornisce la proprieta (6).Esempio

Dato il log 13

4 si vuole esprimere tale logaritmo in base e (tale logaritmo

verra indicato da ora in poi con ln).

log 13

4 = x(1

3

)x= 4

x ln1

3= ln 4

x =ln 4

ln 13

x = − ln 4

ln 3Esercizi (risolti)

1) Semplificare il log574√

5

log574√

5

log5 7− log54√

5

log5 7− log5 514

log5 7− 1

4log5 5

log5 7− 1

42) Calcolare log3 81 mediante la definizione

x = log3 81

3x = 81 = 34

da cuix = 4

3) Calcolare log√35

√1

3mediante la definizione

x = log√35

√1

3

(√

3)x =5

√1

3

3x2 = 3−

15

x

2= −1

5

x = −2

54) Risolvere in funzione di x la seguente

log2 x = 2

x = 2



log 3√2 x = 4

x = (3√

2)4 =3√

24 = 23√

2


logx 9 = −2

x−2 = 9

x2 =1

9

x =1

3

Si noti che si rigetta la soluzione −1

3poiche la base di un logaritmo puo

essere solo positiva

15. Equazioni esponenziali

Una equazione esponenziale e una equazione in cui l’incognita com-pare ad esponente. Vediamo alcuni esempi significativi.

1) Si consideri

af(x) = ag(x)

con a > 0 e a 6= 1, ove f(x) e g(x) sono due funzioni.Poiche la funzione esponenziale e strettamente crescente (decrescente)se a > 1 (0 < a < 1) si ha l’eguaglianza fra primo e secondo membrosolo se sono eguali gli esponenti

f(x) = g(x)

EsempioSi risolva la seguente equazione esponenziale

9x+3

273−2x=

1

931+x

Come si vede l’equazioni e esprimibile in termini di un’unica base “3”

(32)x+3

(33)3−2x=

1

3231+x

32x+6

39−6x= 31+x−2

32x+6−9+6x = 3x−1

38x−3 = 3x−1

da cui finalmente8x− 3 = x− 1

ossia

x =2

72) Un caso particolare della precedente e

af(x) = b


con a > 0, a 6= 1 e b > 0Si riconduce al caso precedente considerando che

af(x) = aloga b

da cui

f(x) = loga b

EsempioPer risolvere la

2x−3

4= 5

si consideri che2x−3

22= 5

2x−3−2 = 5

2x−5 = 2log2 5

che conduce a

x− 5 = log2 5

ossia

x = 5 + log2 5

3) Caso

af(x) = bf(x)

con a, b > 0 e a, b 6= 1. Considerando che tutte le esponenziali siintersecano in un solo punto, ossia y = 1, ne consegue che essendo labase a primo membro diversa da quella a secondo membro le soluzionipossibili sono quelle per cui l’esponente e nullo ossia

f(x) = 0

EsempioPer risolvere la

15 · 2x

9= 40 · 3x−4

si consideri che compaiono funzioni esponenziali nella base 2 e 3 da cui

5 · 2x

3

1

40= 3x−4

2x1

8= 3 · 3x−4

che conduce a

2x−3 = 3x−3

da cui

x = 3

4) Caso

f(ax) = 0


con f(·) una funzione polinomiale oppure una funzione irrazionale dellavariabile ax. Basta porre

ax = t

e risolvere

f(t) = 0

Supponendo che t1, t2, . . . , tk siano le soluzioni della equazione nellavariabile t, si ricercano i valori delle x tali che

ax = ti

con i = 1, 2, . . . , k. E evidente che le ti ≤ 0 vanno scartate.EsempioSi risolva la seguente equazione

4x + 2x+2 − 5 = 0

si consideri che compaiono funzioni esponenziali nella base 2 da cui

(22)x + 22 · 2x − 5 = 0

ossia

(2x)2 + 42x − 5 = 0

Ponendo

2x = t

si ottiene

t2 + 4t− 5 = 0

con soluzioni t1 = 1 e t2 = −5 scartando la t2 si ha

2x = 1

da cui

x = 0

16. Equazioni logaritmiche

Una equazione e detta logaritmica quando la sua incognita e argo-mento della funzione logaritmo.

1) La piu semplice equazione logaritmica e

loga x = b

con a > 0, a 6= 1, x > 0 e b ∈ R.Si risolve utilizzando la definizione

x = ab

Esempio

log3 x = 2

x = 32 = 9


2) Lo stesso tipo di risoluzione della precedente si puo applicare alcaso

logx a = b

con a > 0, a 6= 1, x > 0, x 6= 1, b 6= 0.Infatti basta considerare che

logx a =1

loga x= b

da cui

loga x =1

be quindi

x = a1b

Esempio

logx 25 = 2

1

log25 x= 2

log25 x =1

2

x = 2512 = 5

3) Casologa f(x) = loga g(x)

si risolve ricordando che le funzioni logaritmo sono strettamente cre-scenti (a > 1) o decrescenti (0 < a < 1) e quindi basta imporre

f(x) = g(x)

con le condizioni che assicurano l’esistenza del logaritmo, ossia

x ∈ (dom(f) ∩ {x ∈ R : f(x) > 0}) ∩ (dom(g) ∩ {x ∈ R : g(x) > 0})Esempio

Si risolva la seguente equazione logaritmica

log4(x+ 6) + log4 x = 2

ricordando che per il primo addendo

x+ 6 > 0

perx > −6

e che per il secondo addendo

x > 0

e che le due condizioni devono essere verificate contemporaneamente,la condizione che assicura validita all’equazione e la piu stretta ossia

x > 0


quindilog4[x(x+ 6)] = 2

log4[x(x+ 6)] = log4 42

x(x+ 6) = 16

x2 + 6x− 16 = 0∆

4= 9 + 16 = 25 = 52

x = −3∓ 5 =

⟨2−8

Si rigetta la soluzione x = −8 in quanto deve essere x > 0 e quindil’unica soluzione e

x = 2

4) Caso particolare del precedente:

loga f(x) = b

con a > 0, a 6= 1, b ∈ RSi considerano le

x ∈ dom(f(x)) ∩ {x ∈ R : f(x) > 0}e poiche

loga f(x) = loga ab

ne segue che deve esseref(x) = ab

EsempioSi risolva la seguente equazione logaritmica

1

2log10(x+ 10) = log10 2 +

1

4log10(x+ 10)

Per avere validita la scrittura deve essere

x > −10

ponendoz = log10(x+ 10)

si ha1

2z = log10 2 +

1

4z

da cui2z = 4 log10 2 + z

z = 4 log10 2

risostituendolog10(x+ 10) = 4 log10 2

log10(x+ 10) = log10 24

da cuix+ 10 = 16


x = 6

accettabileEsercizi (risolti)1) Si risolva

log5(x2 − 4)− log5(x+ 2) = 2

x2 − 4 > 0

x < −2ox > 2

inoltre deve essere contemporaneamente

x > −2

-2 2

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◦ ◦

◦

x2 − 4 > 0

x+ 2 > 0

da cui

x ∈ (2,+∞)

log5

x2 − 4

x+ 2= log5 52

x2 − 4

x+ 2= 25

(x+ 2)(x− 2)

x+ 2= 25

si puo semplificare operando in (2,+∞)

x− 2 = 25

x = 27

2) Si risolva

log3 x+ 2 log9 x = 2

con

x > 0

log3 x+ 2log3 x

log3 9= 2

log3 x+ 2log3 x

2= 2

2 log3 x = 2

log3 x = 1

x = 3


17. Disequazioni esponenziali

1) Un primo interessante caso e

af(x) > ag(x)

(considerazioni analoghe si possono fare nei casi “≤”, “<”, “≥”)Poiche la funzione esponenziale e strettamente crescente (decrescen-

te) se a > 1 (a < 1) si dovra studiare

af(x) > ag(x) ⇒⟨f(x) > g(x) se a > 1f(x) < g(x) se a < 1

Esempi1) Si risolva

2x ≤ 4

2x ≤ 22

x ≤ 2

il cui significato grafico e il seguente

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......

.......

......

.......

......

.......

...

y = 2x

y = 4

x

y

0 22) Si risolva la seguente disequazione

22x+4

x <

(1

4

)−2La funzione a primo membro ha dominio

x ∈ R/{0}L’idea base e quella i ricondurre ambo i membri ad una funzione espo-nenziale della stessa base:

22x+4

x <(2−2)−2

22x+4

x < 24

2x+ 4

x< 4


2x+ 4

x− 4 < 0

2x+ 4− 4x

x< 0

4− 2x

x< 0

2(2− x)

x< 0

0 2

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◦

◦

2− x > 0

x > 0

da cui si evince

x ∈ (−∞, 0) ∪ (2,+∞)

2) Casof(ax) > c

Si puo ricondurre ad un processo di sostituzione del tipo

ax = t

riconducendo lo studio af(t) > c

Risolta la disequazione nella variabile t ci si riconduce all’esponenzialetramite la posizione.EsempioSi risolva la disequazione

4x − 3 · 2x + 2 ≥ 0

22x − 3 · 2x + 2 ≥ 0

(2x)2 − 3 · 2x + 2 ≥ 0

2x = t

t2 − 3t+ 2 ≥ 0

t ≤ 1oppuret ≥ 2

ma 2x = t e quindi si deve risolvere

2x ≤ 1

2x ≤ 20

x ≤ 0

e anche2x ≥ 2

x ≥ 1


da cui la soluzione e

x ∈ (−∞, 0] ∪ [1,+∞)

18. Disequazioni logaritmiche

La disequazione di base

loga f(x) = loga g(x)

tenendo conto delle condizioni di esistenza dei logaritmi ha sistemarisolvente

caso a > 1 caso 0 < a < 1 f(x) > 0g(x) > 0f(x) > g(x)

f(x) > 0g(x) > 0f(x) < g(x)

Esempi1) Si risolva la disequazione

log10(x2 − 15x) ≥ 2

log10(x2 − 15x) ≥ log10 102

log10(x2 − 15x) ≥ log10 100

a = 10 > 1 x2 − 15x > 0100 > 0 sempre verificatax2 − 15x > 100

Come si vede l’ultima condizione e piu restrittiva della prima, quindibasta risolvere quest’ultima

x2 − 15x− 100 > 0

x2 − 15x− 100 = 0

∆ = 225 + 400 = 625 = 252

x =15∓ 25

2da cui

x1 = −5 x2 = 20

e quindix ∈ (−∞,−5) ∪ (20,+∞)

2) Si risolva √log3(x

2 − 1) >√

log3(2x+ 1)

Si noti che in questo caso bisogna soddisfare contemporaneamente lacondizione sia dell’argomento del logaritmo (f(x) > 0) che di quellodella radice da cui imponendo logaf(x) ≥ 0 si soddisfano entrambi equindi il sistema risolvente diventa log3(x

2 − 1) ≥ 0log3(2x+ 1) ≥ 0log3(x

2 − 1) ≥ log3(2x+ 1)


ossia x2 − 1 ≥ 12x+ 1 ≥ 1x2 − 1 ≥ 2x+ 1 x ≤ −√

2 o x ≥√

2x ≥ 0x2 − 2x− 2 > 0

da cui x ≤ −√

2 o x ≥√

2x ≥ 0

x < 1−√

3 o x > 1 +√

3

−√

2 1−√

3 0√

2 1 +√

3

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• •

•

◦ ◦

da cui si evincex > 1 +

√3

CAPITOLO 15

CENNI DI TRIGONOMETRIA

Premessa

Fissato un sistema di assi cartesiani ortogonali, sia U il punto sul-l’asse delle ascisse di coordinate (1, 0). Per misurare le lunghezze sisceglie come unita di misura il segmento OU.

Si potrebbe dimostrare che il rapporto fra la lunghezza della generi-ca circonferenza ed il corrispondente diametro e una costante indipen-dente dal raggio. Tale costante viene indicata con π ed e un numeroirrazionale il cui valore e approssimativamente 3.1415926....

Sia C la circonferenza di centro (0,0) e raggio 1. Si denoti conπ la meta della lunghezza della circonferenza C. Poiche gli archi dicirconferenza hanno lunghezze direttamente proporzionali alleampiezze degli angoli su cui insistono, la definizione precedenteconsente di calcolare facilmente le lunghezze di archi che insistono suangoli la cui ampiezza e un multiplo o un sottomultiplo dell’ampiezzadell’angolo piatto (180◦).

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C

xU

π

4

π

2

y

Oπ..............................................................................

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Ad esempio, poiche per definizione π e la lunghezza di qualsiasi arco

che insiste su un angolo piatto, alloraπ

2e la lunghezza di qualsiasi arco

che insiste su un angolo di 90◦,π

4e la lunghezza di qualsiasi arco che

insiste su un angolo di 45◦.

157


15. Funzioni trigonometriche e formule di trasformazione

15.1. Funzioni trigonometriche e relative proprieta

DEFINIZIONE (seno e coseno) Sia x un numero reale non negati-vo. Costruiamo su C, a partire dal punto (1, 0) ed in senso antiorario,un arco di circonferenza di lunghezza x. Sia P (x) l’estremo finale diquesto arco. Si definisce:

cos(x) = ascissa diP (x) = OB

sen(x) = ordinata diP (x) = OC

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xB

C P (x)

x

y

O

U....................................................................................................................................................................................................

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Da semplici considerazioni su opportuni triangoli rettangoli si ottienela seguente tabella:

x 0 π6

π4

π3

π2

π 32π 2π

cos(x) 1√32

√22

12

0 −1 0 1

sen(x) 0 12

√22

√32

1 0 −1 0

Tabella 1. Valori notevoli per la funzione coseno e seno

In particolare si considerino alcuni di questi angoli.

Nel casoπ

6(equivalente a 30◦) si consideri la figura


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x

y

P

P ′

Q AO...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................

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Poiche POQ =π

6e PQO =

π

2e evidente che OPQ = π− π

6− π

2=π

3.

Si consideri il punto P ′ simmetrico di P rispetto all’asse delle ascisse:

avremo QPO =π

3e POP ′ =

π

6+π

6=π

3. Si evince che il triangolo

OPP ′ e equilatero e poiche OP = 1 ne segue che PQ = 1 e quindi

PQ =1

2. Utilizzando il teorema di Pitagora o ricordando la relazione

fondamentale si ottiene OQ =

√1− 1

4=

√3

4=

√3

2da cui sen

π

6=

1

2

e cosπ

6=

√3

2.

Nel casoπ

4(equivalente a 45◦) si consideri la figura

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x

y

P

Q AO..........................................................................................................................................................................................................................................................

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Poiche OPQ = π − π

4− π

2=

π

4allora il triangolo OPQ e isoscele.

Ne consegue che senπ

4= cos

π

4e quindi poiche sen2π

4+ cos2

π

4= 1 ne

segue che sen2π

4+ sen2π

4= 1 da cui sen2π

4=

1

2ossia sen

π

4= cos

π

4=

1√2

=

√2

2.


Le funzioni cos(x) e sen(x) sono definite per ogni x ∈ R e per costru-zione:

(∀x ∈ R)− 1 ≤ cos(x) ≤ 1(∀x ∈ R)− 1 ≤ sen(x) ≤ 1

Inoltre e facile rendersi conto che:(∀x ∈ R)(∀k ∈ Z) cos(x+ 2kπ) = cos(x)(∀x ∈ R)(∀k ∈ Z) sen(x+ 2kπ) = sen(x)

DEFINIZIONE (funzione periodica) Una funzione f : A → R sidice periodica di periodo T (T > 0) se:

(1) (∀x ∈ A)(x− T ∈ A e x+ T ∈ A)(2) (∀x ∈ A)f(x + T ) = f(x) e T e il piu piccolo numero reale

positivo che gode di tale proprieta.

La funzione coseno e la funzione seno sono periodiche di periodo T =2π.

Le proprieta fondamentali della funzione coseno sono:

(1) dom(cos) = R, Im(cos) = [−1, 1](2) In [0, 2π]:

e positiva in[0,π

2

)∪(

3

2π, 2π

]e negativa in

(π

2,3

2π

)si annulla per x =

π

2, x =

3

2π

e decrescente in [0, π]e crescente in [π, 2π]

(3) e una funzione pari cioe cos(t) = cos(−t)Il grafico della funzione coseno e dunque:

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x

y

O−x x

y

−π2

π

2

−π π−3π

2

3π

2−1

1

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Le proprieta fondamentali della funzione seno sono:

(1) dom(sen) = R, Im(sen) = [−1, 1](2) In [0, 2π]:

e positiva in (0, π)e negativa in (π, 2π)si annulla per x = 0, x = π, x = 2π


e crescente in[0,π

2

]∪[

3

2π, 2π

]e decrescente in

[π

2,3

2π

](3) e una funzione dispari cioe sen(−t) = −sen(t)

Il grafico della funzione seno e dunque:

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x

y

O−x

x

y

−y

−π2

π

2

−π π−3π

2

3π

2

−1

1

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La relazione fondamentale che sussiste tra le funzioni coseno e senoe:

(cos t)2 + (sen t)2 = 1

che si conviene di scrivere:

cos2 t+ sen2 t = 1

ed e detta equazione fondamentale della trigonometria. La di-mostrazione e immediata conseguenza del teorema di Pitagora.

DEFINIZIONE (tangente) Si riconsideri la circonferenza C di cen-tro O e raggio unitario. Sia A = (1, 0), e fissiamo comunque un x ∈ R+.A partire dal punto A, costruiamo su C, in senso antiorario, un arco dicirconferenza di lunghezza x. Si viene cosı ad individuare un punto Psulla circonferenza. Dal punto P si tracci un segmento perpendicolereall’asse delle x fino ad incontrare l’asse stessa nel punto Q. Si tracci laretta tangente alla circonferenza nel punto A ed un segmento aventeorigine in O, passante per P, che intersechi la retta tangente in un pun-to A∗. Si definisce tangente di x l’ordinata del punto A∗. I triangolirettangoli A∗AO e PQO sono simili e dunque vale la relazione:

AA∗ : AO = QP : QO

tan x : 1 = sen x : cos x

dalla relazione precedente si ricava:

tan x =sen x

cos x

.


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C

xA

A∗

Q

P

y

O.....................................................................................................................

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Le proprieta fondamentali della funzione tangente sono:

(1) dom(tan)={x ∈ R : cos x 6= 0} = {x ∈ R : x 6= π

2+kπ, k ∈ Z}

Im(tan) = R(2) In (−π

2,π

2):

e positiva in (0,π

2)

e negativa in (−π2, 0)

si annulla per x = 0

e crescente in (−π2,π

2)

(3) e una funzione dispari cioe tan(−x) = − tan(x)1

Il grafico della funzione tangente e dunque:

1e sufficiente ricordare che tan(−t) =sen(−t)cos(−t)

=−sen(t)

cos(t)= − tan(t)


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x

y

O−xx

y

−y−π

2

π

2−π π−3π

2

3π

2

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In modo analogo alla tangente possiamo definire la funzione cotan-gente come

cot(x) =cos(x)

sen(x)

Le proprieta fondamentali della funzione cotangente sono:

(1) dom(cot)={x ∈ R : sen x 6= 0} = {x ∈ R : x 6= π + kπ, k ∈ Z}Im(cot) = R

(2) In (0, π):

e positiva in (0,π

2)

e negativa in (π

2, π)

si annulla per x =π

2e decrescente in (0, π)

(3) e una funzione dispari cioe cot(−x) = − cot(x)2

Il grafico della funzione cot e:

2e sufficiente ricordare che cot(−t) =cos(−t)sen(−t)

=cos(t)

−sen(t)= − cot(t)


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x

y

O

−π2

π

2−π π−3π

2

3π

2

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15.2. Funzioni inverse

Date le funzioni sen, cos, tan e possibile, nei tratti in cui queste so-no crescenti o decrescenti, introdurre le funzioni inverse ossia, rispet-tivamente: la funzione arcoseno, arcocoseno e arcotangente cosıdefinite:

arcsin : [−1, 1]→ [−π2,π

2]

arccos : [−1, 1]→ [0, π]

arctan : (−∞,∞)→ [−π2,π

2]

Le funzioni inverse permettono di risalire all’arco x che ha origi-nato il valore della funzione. Evidentemente data la periodicita dellefunzioni tale valore di x puo essere esteso a tutto l’asse reale.

15.3. Formula di trasformazione delle funzioni trigonometri-che

15.3.1. Formule notevoli.

sen2x+ cos2 x = 1;

{sen x = ±

√1− cos2 x

cos x = ±√

1− sen2x;

sen x = ± tan x√1 + tan2 x

; cos x = ± 1√1 + tan2 x

.


15.3.2. Archi complemetari:

sen x = cos(π

2− x)

; cos x = sen(π

2− x)

;

tan x = cot(π

2− x)

; cot x = tan(π

2− x).

15.3.3. Archi che differiscono di π2:

sen α = − cos(π

2+ x)

; cos α = sen(π

2+ x)

;

tan α = − cot(π

2+ x)

; cot α = − tan(π

2+ x).

15.3.4. Archi supplementari:

sen x = sen(π − x); cos x = − cos(π − x);

tan x = − tan(π − x); cot x = − cot(π − x).

15.3.5. Archi che differiscono di π:

sen x = −sen(π + x); cos x = − cos(π + x);

tan x = tan(π + x); cot x = cot(π + x).

15.3.6. Archi opposti:

sen x = −sen(−x); cos x = cos(−x);

tan x = − tan(−x); cot x = − cot(−x).

15.3.7. Formule di addizione e sottrazione.

sen(α±β) = senα cos β±cosαsenβ; cos(α±β) = cosα cos β∓senαsenβ;

tan(α± β) =tan α± tan β

1∓ tan α tan β.

Dimostrazione per sen e cos. Si consideri la figura di seguito

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x

y

Pα+β = (cos(α + β), sen(α + β))

Pβ = (cos β, senβ)Pα = (cosα, senα)

P−α = (cosα,−senα)

P0 = (1, 0)

O..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................

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Pα+βP02

= PβP−α2


ossia (√(cos(α + β)− 1)2 + (sen(α + β)− 0)2

)2=

=(√

(cos β − cosα)2 + (senβ + senα)2)2

da cui

cos2(α + β) + 1− 2 cos(α + β) + sen2(α + β) =

cos2 β + cos2 α− 2 cosα cos β + sen2β + sen2α + 2senαsenβ

che fornisce

− cos(α + β) = − cosα cos β + senαsenβ

ed infine

cos(α + β) = cosα cos β − senαsenβ

Con costruzioni simili si possono ricavare le altre formule.15.3.8. Formule di duplicazione. Si ottengono dalle formule di ad-

dizione ponendo α = β = x

sen 2x = 2sen x cos x;

cos 2x = cos2 x− sen2x = 2 cos2 x− 1 = 1− 2sen2x;

tan 2x =2 tan x

1− tan2 x.

15.3.9. Formule di bisezione. Se, rispetto a prima, ci si pone il pro-blema opposto di esprimere x in funzione di x

2si ottengono le formule

di bisezione avendo cura di sostituire x a 2x e x2

al posto di x e diesplicitare rispetto senx

2, cos x

2e tan x

2

senx

2= ±

√1− cos x

2; cos

x

2= ±

√1 + cos x

2;

tanx

2= ±

√1− cos x

1 + cos x=

sen x

1 + cos x=

1− cos x

sen x.

15.3.10. Formule parametriche.

sen x =2 tan x

2

1 + tan2 x2

; cos x =1− tan2 x

2

1 + tan2 x2

;

tan x =2 tan x

2

1 + tan2 x2

.


15.3.11. Formule di Werner. Utilizzando ancora le formule di ad-dizione e sottrazione, se si considera ad esempio,

sen(α + β) = sen α cos β + cos α sen β

esen(α− β) = sen α cos β − cos α sen β

e si sommano membro a membro si ottiene

sen(α + β) + sen(α− β) = 2senα cos β

ossia

sen α cos β =1

2(sen(α + β) + sen(α− β));

Con analoghi artifici si possono ottenere le restanti formule di Werner

sen α sen β =1

2(cos(α− β)− cos(α + β));

cos α cos β =1

2(cos(α + β) + cos(α− β));

cos α sen β =1

2(sen(α + β)− sen(α− β)).

15.3.12. Formule di prostaferesi. Utilizzando le formule di Wernere avendo cura di sostituire α = p+q

2, β = p−q

2, α+ β = p e α− β = q si

ottengono le seguenti formule

sen p+ sen q = 2 senp+ q

2cos

p− q2

;

sen p− sen q = 2 senp− q

2cos

p+ q

2;

cos p+ cos q = 2 cosp+ q

2cos

p− q2

;

cos p− cos q = −2 senp+ q

2sen

p− q2

.

15.4. Determinazione del periodo di funzioni trigonometrichesemplici

15.4.1. Costanti moltiplicative. Una costante moltiplicativa nell’ar-gomento della funzione tigonometrica riduce o aumenta il periodo aseconda che sia in valore assoluto maggiore o minore di 13. Per indivi-duare il nuovo periodo si puo seguire il seguente procedimento.Sia “trig” la generica funzione elementare trigonometrica di periodop = m. Si consideri la variabile x rappresentante l’arco del cerchio

3Il suo segno non influenza il periodo ma il grafico della funzione,e cio solo nelcaso che la funzione elementare sia dispari.


trigonometrico e una costante α ∈ R+. Ci chiediamo quale sia il periododi trig(αx).Dato che la funzione ha periodo p deve succedere che trig(αx) =trig(α(x+p)) =trig(αx+ αp).Se chiamiamo t = αx si vede subito che trig t =trig(t + αp) da cuipoiche αp = m ne segue che il nuovo periodo e

p =m

α

da cui si vede chiaramente che se α > 1 ne riduce il periodo. Viceversase 0 < α < 1 ne aumenta il periodo.

Esempio 1 Sia f : x→ senx

2, si vuole individuare il periodo di essa.

Si ricordi che la funzione sen ha periodo 2π.

senx

2= sen

(1

2(x+ p)

)= sen

(x2

+p

2

)Se poniamo t =

x

2ne segue

sen t = sen(t+

p

2

)e quindi

p

2= 2π

da cui

p = 4π

Esempio 2 Sia cos 5x, si vuole individuare il periodo di essa.La funzione cos ha periodo 2π.

cos 5x = cos (5(x+ p)) = cos (5x+ 5p)

da cui

5p = 2π

ossia

p =2

5π

15.4.2. Costanti additive. Una costante additiva nell’argomento del-la funzione tigonometrica non influenza il periodo della funzione ma latrasla in avanti o all’indietro a seconda che essa sia positiva o negativa.Esempio 3 Sia

cos x+π

3

La funzione cos ha periodo 2π. Evidentemente se ne facciamo il grafico e loconfrontiamo con quello di cosx


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x

y

O

cos(x+

π

3

)cos x

.......................................................................................................................π

3π

3

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Si noti che il valore 1 della funzione si e ottenuto a x = −π3

.

15.4.3. Somma, prodotto e divisione di funzioni periodiche. Sianof1 ed f2 die funzioni di periodo p1 e p2 rispettivamente. Il periodo pdelle nuove funzioni

f1 + f2, f1 × f2,f1f2

e il minimo comune multiplo dei due periodi p1 e p2.Esempio 4 Sia f : x→ senx+ tanx, si vuole individuare il periodo di essa.Ricordando che la funzione sen ha periodo p1 = 2π e la funzione tan haperiodo p2 = π. Il periodo di f e dato da

p = m · p1 = n · p2da cui

m · 2π = n · πe quindi

m

n=

π

2π=

1

2da cui si ricava m = 1 o n = 2 che permettono di calcolare

p = 1 · 2π = 2 · π = 2π

Esempio 5 Sia f : x → sen4x + sen14

3x, si vuole individuare il periodo di

essa.sen4x⇒ 4p1 = 2π ⇒ p1 =

π

2

sen14

3x⇒ 14

3p2 = 2π ⇒ p2 =

6

14π =

3

7π

Avendo individuato i due periodi delle fulzioni moltiplicande possiamo indi-viduare il periodo di f .

p = m · p1 = n · p2m

n=p2p1

=3

7π

2

π=

6

7con m = 6 o n = 7 da cui

p = 6 · π2

= 7 · 3

7π = 3π

CAPITOLO 16

EQUAZIONI TRIGONOMETRICHE

Premessa

Le soluzioni delle equazioni sono i valori della variabile indipendenteche soddisfano l’identita fra primo e secondo membro. Ma dato chele funzioni trigonometriche sono periodiche il lavoro maggiore e quel-lo di individuare tutte tali soluzioni. Il miglior modo di procedere edi trovare il periodo della funzione e, fissato un intervallo pari a taleperiodo (che possibilmente contenga l’origine) individuare la o le solu-zioni. Finalmente, ricordando il periodo della funzione esplicitare tuttele possibili soluzioni in R.

16. Equazioni elementari

Si consideri le due equazioni elementari senx = c e cosx = c conc ∈ R. E evidente che se |c| > 1 entrambe non hanno soluzione, essendoil codominio della funzione sen e della funzione cos l’intervallo [−1, 1].Se |c| ≤ 1 avremo ∞ soluzioni.Per la risoluzione si puo procedere come indicato nella premessa.

ESERCIZI DI TRIGONOMETRIA

(1) Risolvere la seguente disequazione

|cos x− 1| < cos x

SOLUZIONE:

1)

{cos x− 1 < cos x

cos x− 1 ≥ 02)

{−cos x+ 1 < cos x

cos x− 1 < 0

Poiche cosx−1 > 0 non ammette soluzioni allora il primo siste-ma si riduce a considerare solo il caso cosx−1 = 0. E possibileallora unificare i 2 sistemi risolventi nell’unico sistema:{

−cos x+ 1 < cos x

cos x− 1 ≤ 0

(infatti se cos x− 1 = 0 anche −cos x+ 1 = 0 e dunque in taleipotesi, sia il sistema 1 che il sistema 2 conducono in ogni casoa considerare 0 < cos x)

171


{−2cos x < −1

cos x ≤ 1{2cos x > 1

cos x ≤ 1

E dunque si ottiene 12< cos x ≤ 1

(2) Risolvere la seguente disequazione

cos2 x− 2cos x− 3 < 0

SOLUZIONE:Pongo cos x=t. Si ottiene la seguente disequazione nella variabile t

t2 − 2t − 3 < 0

Le soluzioni dell’equazione corrispondente sono t1 = −1, t2 = 3.Considerando la disequazione si ha (il coefficiente di t2 e discorde conil segno del trinomio e dunque la diseq. e verificata per valori interniall’intervallo delle radici):−1 < t < 3

e ricordando la posizione fatta risulta−1 < cos x < 3o equivalentemente −1 < cos x ≤ 1 che e soddisfatta da ogni valoredella x ad esclusione dei valori della x che rendono cos x = −1.Dunque le soluzioni sono S = {x ∈ R : x 6= π + 2Kπ,∀K ∈ Z}.

Indice analitico

appartenenza, 7

diagramma di Venn, 9differenza di due insiemi, 12dominio di una funzione, 26

elemento, 7

funzione, 26

grafico di una funzione, 30

insieme, 7delle immagini, 31delle parti, 10discreto, 19limitato, 69numerico, 69vuoto, 10

insieme di arrivo di una funzione, 26insieme di partenza di una funzione,

26intersezione di due insiemi, 11

maggiorante di un insieme, 69

numeriinteri relativi, 17naturali, 17razionali, 18reali, 21

parabola, 49piano cartesiano, 28principio di doppia inclusione, 10prodotto cartesiano, 12

quantificatoreesistenziale, 8universale, 8

retta cartesiana, 21

sottoinsieme, 9

unione di due insiemi, 11

173

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