Arbitraggi nel mercato obbligazionario

durante la crisi dei debiti sovrani Europei

Alessandro Bacci

19 luglio 2013

Indice

1 Le obbligazioni e i tassi di interesse 3

1.1 Cosa sono le obbligazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Come valutare il prezzo di un’obbligazione . . . . . . . . . . . 5

1.2.1 Zero Coupon Bond . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.2 Obbligazione con cedole fisse . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Relazione fra tassi spot e tassi forward . . . . . . . . . . . . . 5

2 La Macaulay’s Duration 7

2.1 Definizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Proprieta della duration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3 Duration di portafoglio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3 Il principio di arbitraggio 10

3.1 Definizione di Principio di arbitraggio . . . . . . . . . . . . . . 10

3.2 Arbitraggio con zero coupon bond . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.2.1 Caso di uno ZCB sottoprezzato . . . . . . . . . . . . . 12

3.2.2 Caso di uno ZCB sovrapprezzato . . . . . . . . . . . . 13

3.3 Arbitraggio con obbligazione con cedole fisse . . . . . . . . . . 14

3.3.1 Caso di un’obbligazione sottoprezzata . . . . . . . . . . 14

3.3.2 Caso di un’obbligazione sovrapprezzata . . . . . . . . . 16

4 I Credit Default Swap 18

4.1 Definizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.2 Probabilita di default con i CDS . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.3 Arbitraggio tra mercato dei CDS e mercato dei bond . . . . . 22

4.3.1 Negative basis (C < S) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1

4.3.2 Positive basis (C > S) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.3.3 Considerazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

5 Analisi dei dati empirici 25

5.1 Arbitraggio con BtP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5.2 Copertura dal rischio default tramite CDS . . . . . . . . . . . 27

5.3 Stima delle probabilita di default . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5.4 Spread BtP-BOT, un nuovo indicatore di rischio? . . . . . . . 30

Bibliografia 34

2

Capitolo 1

Le obbligazioni e i tassi di

interesse

1.1 Cosa sono le obbligazioni

Le obbligazioni (bond) sono strumenti finanziari, titoli di debito, che trovano

ampio spazio nei moderni mercati finanziari. Sono considerate meno rischiose

delle azioni perche il rimborso del capitale al possessore del titolo di debito

da parte dell’emittente avviene alla scadenza (maturity) al valore nominale

e in un’unica soluzione, mentre gli interessi sono liquidati tramite cedola

(coupon) periodicamente (trimestralmente, semestralmente o annualmente).

Chi sottoscrive un’obbligazione deve sopportare i seguenti rischi:

• Rischio default: e la possibilita che l’emittente fallisca e non riesca a

rimborsare il prestito.

• Rischio di perdita in conto capitale: e la possibilita che il possesso-

re dell’obbligazione debba vendere prima della scadenza l’obbligazio-

ne acquistata e sopportare per questo un’eventuale perdita in conto

capitale.

Esistono Vari tipi di obbligazione:

3

• Obbligazioni callable: sono delle obbligazioni a tasso fisso per le quali

l’emittente si riserva la facolta di rimborso prima della reale scadenza

delle stesse.

• Obbligazioni convertibili: sono obbligazioni che incorporano la facolta

di convertire, a una scadenza prefissata, il prestito obbligazionario in

azioni secondo un rapporto di cambio predeterminato.

• Obbligazioni a tasso fisso: sono obbligazioni che remunerano l’inve-

stimento a un tasso di interesse fisso stabilito prima dell’emissione.

All’interno di questa categoria esistono almeno due diverse tipologie

di obbligazioni, che prevedono che il tasso fisso prestabilito cresca o

diminuisca durante la vita del titolo (clausole step up e step down).

• Obbligazioni a tasso variabile: sono obbligazioni che remunerano l’in-

vestimento a un tasso di rendimento che varia in base a un parametro

di riferimento, che puo essere di natura monetaria, finanziaria o in base

all’andamento del prezzo di materie prime. Il tasso varia a determinate

scadenze temporali seguendo i tassi di mercato (classicamente il Cct

spread + Euribor o rendimento BOT)

• Obbligazioni Zero-Coupon (ZCB): sono obbligazioni senza cedola che

quindi non liquidano periodicamente gli interessi ma li corrispondono

unitamente al capitale alla scadenza del titolo.

• Obbligazioni strutturate: sono obbligazioni il cui rendimento dipende

dall’andamento di un’attivita sottostante.

• Obbligazioni subordinate: sono obbligazioni il cui rimborso, in caso

di procedura fallimentare, avverra solo dopo aver soddisfatto tutti i

creditori privilegiati e chirografari.

• Rendite perpetue: sono obbligazioni che corrispondono perpetuamente

una cedola predefinita. Tali obbligazioni non presuppongono nessun

rimborso a termine (irredimibili).

4

1.2 Come valutare il prezzo di un’obbligazio-

ne

1.2.1 Zero Coupon Bond

Per calcolare il prezzo di uno ZCB e sufficiente scontare il valore nominale

con il tasso di rendimento a scadenza:

p = N(1 + i)−t (1.1)

Solitamente pero siamo interessati a sapere quale sara il tasso di rendi-

mento a scadenza perche nella realta abbiamo il valore nominale e il prezzo

di mercato dell’obbligazione; con un semplice passaggio algebrico ricaviamo

lo spot yeld:

i =

(N

p

) 1t

− 1

1.2.2 Obbligazione con cedole fisse

Se un’ obbligazione paga una cedola fissa c per tutta la sua vita ad un tasso

fisso, il prezzo sara dato dal valore attuale netto dei flussi di cassa:

p =c

1 + i+

c

(1 + i)2+ ...+

c+N

(1 + i)t(1.2)

sfruttando le proprieta della somma di progressioni geometrica con ragio-

ne 11+i

posso riscrivere l’equazione in:

p =c

i

[1− 1

(1 + i)t

]+

N

(1 + i)t

1.3 Relazione fra tassi spot e tassi forward

La struttura dei tassi a termine (spot yeld) fornisce informazioni sui tassi

forward impliciti. Il tasso forward (forward yeld) e la sintesi delle previsioni

medie del mercato sui futuri tassi spot, quindi il valore del tasso forward di

adesso e il valore del tasso spot che il mercato si aspetta di avere tra un anno.

5

Il valore del tasso forward fra un’anno sara il tasso spot fra due anni, il tasso

forward fra due sara lo spot fra tre e cosı via. Definiamo f(0, t, T ) un tasso

forward deciso al tempo 0, per un prestito concesso al tempo t e rimborsato

al tempo T . Allora il tasso spot e un caso particolare del forward perche e

un prestito che viene deciso e concesso in 0 e rimborsato in t:

f(0, 0, T ) = i(0, t)

La relazione che lega questi due tassi e

[1 + i(0, t)]t [1 + f(0, t, T )]T−t = [1 + i (0, T )]T (1.3)

L’equazione precedente permette di esprimere il tasso forward f(0, t, T )

come funzione dei tassi spot(0, t) e i (0, T ):

f(0, t, T ) =

[[1 + i (0, T )]T

[1 + i(0, t)]t

] 1T−t

− 1

6

Capitolo 2

La Macaulay’s Duration

2.1 Definizione

La duration e la durata finanziaria di un titolo, ovvero la sua vita residua,

ponderata con il flusso di cedole che il titolo paghera in futuro. La duration

di un portafoglio e pari alla media ponderata delle duration dei singoli titoli

che lo compongono: il valore della duration e espresso in anni e indica in

quanto tempo il possessore di un titolo obbligazionario rientra in possesso del

capitale inizialmente investito, tenendo conto delle cedole. Matematicamente

la duration e definita come

D = 1c/N

1 + i+ 2

c/N

(1 + i)2+ ...+ T

(c+N)/N

(1 + i)T(2.1)

o in forma compatta

D =1

N

T∑t=1

tct (1 + i)−t con cT = (c+N) (2.2)

2.2 Proprieta della duration

Adesso dimostriamo che la duration e, in maniera approssimativa, il tasso di

decrescita relativa del valore dell’obbligazione quando il tasso di rendimento

a scadenza aumenta dell’ 1%. Consideriamo l’equazione P =∑T

t=1 ct [1 + i]−t

e deriviamola rispetto a i

7

dP

di= − 1

1 + i

T∑t=1

tct (1 + i)−t (2.3)

divido la 2.3 per P e ottengo un’equazione che contiene la 2.2

1

P

dP

di= − 1

1 + i

T∑t=1

tct (1 + i)−t /P

1

P

dP

di= − D

1 + i(2.4)

D = −1 + i

P

dP

di(2.5)

Dall’ equazione 2.4 posso introdurre il concetto di duration modificata,

che non e nient’altro che la duration divisa per 1 + i

Dm =D

1 + i(2.6)

Dalle equazioni 2.2, 2.4 e 2.3 posso stabilire che:

• piu e lontana la scadenza del titolo, maggiore e la sua duration

• ad una duration maggiore corrispondera una volatilita maggiore

• un titolo con cedole piu frequenti avra una volatilita ridotte

I titoli zero coupon hanno duration pari alla loro vita residua. In linea

teorica il rendimento a scadenza dei titoli a cedola variabile non e calcolabile

in quanto non sono conosciuti i flussi di cassa generati nel futuro dalle cedole

di questi titoli. Nella prassi la duration viene fatta coincidere con il solo

tempo mancante allo stacco della cedola successiva: tra uno stacco e l’altro

la cedola si puo infatti assumere come fissa. Per questo motivo un titolo a

cedola variabile, ad esempio un Cct viene classificato come un titolo di mer-

cato monetario con un rischio pressoche nullo, al pari di un Bot semestrale.

Per questo, azzardo un’ipotesi, la sua quotazione oscilla sempre attorno alla

parita, salvo sotto attacco speculativo (ad esempio 2011) quando il loro corso

e sceso parecchio sotto la pari, seguendo il rendimento a scadenza dei Bot.

8

2.3 Duration di portafoglio

Consideriamo, per semplicita, soltanto due titoli e chiamiamo i loro prezzi

rispetttivamente B1(i) e B2(i).e le inseriamo in portafoglio per una quantita

pari a θ1 e θ2. Il valore di portafoglio sara pari a

P = θ1B1(i) + θ2B2(i) = P (i) (2.7)

derivando otteniamo

dP (i)

di= θ1

dB1(i)

di+ θ2

dB2(i)

di

e se moltiplico entrambe i membri per −(1 + i)/P e semplifico a destra e

a sinistra rispettivamente per B1(i) e B2(i) ottengo

DP = θ1B1(i)

P (i)D1 + θ2

B2(i)

P (i)D2 (2.8)

Se definisco θ1B1(i)P (i)

= X1 e θ2B2(i)P (i)

= X2 con X1 + X2 = 1. allora ho

X2 = (1−X1) e quindi posso riscrivere la 2.8 come

DP = X1D1 + (1−X1)D2 (2.9)

A questo punto e immediata l’estenzione a un portafoglio di n obbligazioni

DP =n∑

j=1

XjDj conn∑

j=1

Xj = 1

che non e nient’altro che la media ponderata delle duration dei titoli, con

peso Xj = θjBj(i)

P (i)

9

Capitolo 3

Il principio di arbitraggio

3.1 Definizione di Principio di arbitraggio

Con il termine arbitraggio si indica un’operazione che consente di ottenere un

profitto certo senza che il soggetto che la pone in essere corra alcun rischio.

Solitamente l’arbitraggio consiste nell’acquisto o vendita di un bene o di

un’attivita finanziaria e in una contemporanea operazione di segno opposto

sullo stesso strumento negoziato su un mercato diverso dal precedente, oppure

su uno strumento diverso, ma avente le stesse caratteristiche del primo in

termini di payout. Si sfruttano in questo modo le differenze di prezzo al fine

di ottenere un profitto. L’arbitraggio si differenzia dalla speculazione per

il fatto che la seconda lucra sulle differenze di prezzo di uno stesso bene in

tempi diversi.

Supponiamo di essere in un mercato perfetto

• gli operatori possono acquistare o vendere allo scoperto qualsiasi titolo

anche senza possederlo;

• non esistono costi di transazione;

• i titoli negoziati sono free risk;

• i titoli sono divisibili;

• esiste un prezzo unico per ogni attivita;

10

• nessun operatore puo influenzare il mercato

Definito il portafoglio di arbitraggio come un portafogglio che non richiede

alcun esborso iniziale di moneta e ha un rendimento positivo indipendente-

mente dalle circostanze che possono accadere (ossia ogni stato del mondo

possibile):

p1x1 + p2x2 + ...+ pnxn =n∑

i=1

pixi = 0 (3.1)

non avremo profitti di arbitraggio se:

n∑i=1

vkixi = 0 per ogni stato k = 1....m; (3.2)

oppure

n∑i=1

vkixi > 0 per qualche stato k = 1....m e R(x; k) per qualche altro stato k

(3.3)

dove vki e il prezzo dell’attivita i nello stato del mondo k. Il Principio di

Arbitraggio stabilisce che nell’equilibrio di mercato non esistono profitti di

arbitraggio.

Se non vale la relazione fra tassi spot e tassi forward (1.3) allora non vale

il principio di arbitraggio.

Supponiamo quindi:

[1 + i(0, t)]t [1 + f(0, t, T )]T−t > [1 + i (0, T )]T

Questo significa che e piu remunerante prestare e piu costoso prendere a

prestito per mezzo di due contratti fino al periodo T che per mezzo di un

unico contratto da 0 a T . L’arbitraggista allora prende a prestito un euro da

0 a T , investe da 0 a t e nello stesso momento investe quelli che saranno

i proventi a t nel mercato forward da t a T

11

0 t T

+1 - − [1 + i (0, T )]T

−1 + [1 + i (0, t)]t -

- − [1 + i (0, t)]t + [1 + i (0, t)]t [1 + f (0, t, T )]T−t

[1 + i(0, t)]t [1 + f(0, t, T )]T−t − [1 + i (0, T )]T > 0

ottenendo cosı un guadagno sicuro. Sfruttando un arbitraggio lo eliminia-

mo perche la domanda aumenta sul mercato i(0, T ) facendo salire il prezzo,

mentre l’offerta diminuisce sui mercati i(0, t) e f(0, t, T ) facendo diminuire

il prezzo. Questo processo continuera fino a quando il mercato tornera in

equilibrio e non sara piu possibile porre in essere arbitraggi.

3.2 Arbitraggio con zero coupon bond

Consideriamo uno ZCB senza rischio di default come una sommatoria i flussi

di cassa che verranno ricevuti in futuro. Supponiamo che oggi, al tempo 0,

il tasso di interesse fino a T sia i(0, T ) e che uno ZCB paghi alla scadenza

BT . Se esiste un mercato per i tassi di interesse con scadenza T , dove e

possibile prestare o prendere in prestito al tasso i(0, T ), esiste un prezzo di

equilibrio per questo ZCB. Infatti e possibile fare arbitraggio per ogni prezzo

diverso da B0 = BT [1 + i(0, T )]−T . Andremo ora a vedere due casi: il caso

di un’obbligazione sottoprezzata e di una sovrapprezzata.

3.2.1 Caso di uno ZCB sottoprezzato

Supponiamo che il mercato prezzi l’obbligazione V0 meno di B0:

V0 < B0 = BT [1 + i(0, T )]−T (3.4)

Supponiamo di prendere a prestito, al tempo 0, V0 al tasso i(0, T ) per il

periodo T e usiamo questa somma per comprare l’obbligazione. Al tempo

zero quindi il cash flow e nullo. Al tempo T restituiamo il prestito per un

ammontare pari a V0 [1 + i(0, T )]T e riceviamo il rimborso dell’obbligazione

12

pari a BT . Ma se e valida la disequazione 3.4, allora avremo un profitto

positivo senza rischio perche:

V0 < BT [1 + i(0, T )]−T

V0 [1 + i(0, T )]T < BT

e quindi

BT − V0 [1 + i(0, T )]T > 0

Gli arbitraggisti, operando in questo modo, porteranno in eccesso di

domanda V0 e i(0, T ), facendoli aumentare e ristabilendo l’equilibrio del

mercato.0 T

Transazioni Cash flow Transazioni Cash flow

Prestito a i(0, T ) +V0 Rimborso prestito −V0 [1 + i(0, T )]T

Acquista il bond −V0 Pagamento bond +BT

Cash flow: 0 Cash flow netto:

BT − V0 [1 + i(0, T )]T > 0

3.2.2 Caso di uno ZCB sovrapprezzato

Supponiamo di trovarci di fronte a un’ obbligazione sopraprezzata, tale che

V0 > B0 = BT [1 + i(0, T )]−T (3.5)

Poiche ho supposto che gli operatori possano acquistare o vendere allo

scoperto titoli anche senza possederli, l’operazione e simmetrica perche l’ar-

bitraggista vendera l’obbligazione a V0 e investira i proventi al tasso i(0, T )

per il periodo T . A termine ricevera V0 [1 + i(0, T )]T e riacquistera, con que-

sta somma, l’obbligazione venduta allo scoperto per un valore pari a BT . Ma

se e vera la disequazione 3.5 allora avremo

V0 > BT [1 + i(0, T )]−T

V0 [1 + i(0, T )]T > BT

13

e quindi

V0 [1 + i(0, T )]T −BT > 0

L’arbitraggista mettera in moto un processo esattamente opposto a quello

precedentemente descritto: V0 verra spinto in basso per ecceso di offerta, cosı

come i(0, T ), ristabilendo l’equilibrio del mercato.

0 T

Transazioni Cash flow Transazioni Cash flow

Short sul bond +V0 Proventi investimento +V0 [1 + i(0, T )]T

Investi i proventi short −V0 Riascquisto del bond −BT

Cash flow netto:0 Cash flow netto:

V0 [1 + i(0, T )]T −BT > 0

3.3 Arbitraggio con obbligazione con cedole

fisse

Valutiamo adesso un portafoglio di ZCB come se fosse un’obbligazione con

cedole. Supponiamo l’esistenza di T mercati di fondi mutuabili, ognuno

stabilisce un prezzo che e il tasso di interesse a pronti i(0, t); t = 1; ...;T .

Definiamo ct come cash flow del portafoglio, ossia la cedola, per t = 1; ...;T −1; per t = T la cedola c sara pari alla somma dei delle cedole pagate piu il

rimborso dell’obbligazione BT . Esiste allora un prezzo di equilibrio di questa

obbligazione; infatti e possibile fare arbitraggio per ogni valore diverso da

B0 =∑T

t=1 ct [1 + i (0; t)]−t. Andremo nuovamente a vedere due casi: il caso

di un’obbligazione sottoprezzata e di una sovrapprezzata.

3.3.1 Caso di un’obbligazione sottoprezzata

Supponiamo che il mercato prezzi l’obbligazione V0 meno di B0, quindi

abbiamo

V0 < B0 =T∑t=1

ct [1 + i (0; t)]−t (3.6)

Se conosciamo V0 e B0 possiamo determinare un coefficiente α , stretta-

mente compreso fra zero e uno, tale che V0 = αB0; abbiammo quindi

14

α =V0B0

< 1 (3.7)

L’arbitraggista prende a prestito al tempo 0 un’ammontare pari a V0 =

α∑T

t=1 ct [1 + i (0; t)]−t, dividendolo per i T mercati mutuabili, ossia finan-

ziandosi per αc1 [1 + i (0; 1)]−1 a un anno, αc2 [1 + i (0; 2)]−2 a due anni,

αct [1 + i (0; t)]−t a t anni e cosı via; al tempo T si finanziera per cT , la

cedola c piu il rimborso, quindi αcT [1 + i (0;T )]−T . Con la somma ricevuta

acquistera l’obbligazione per un valore pari a V0. Dopo un anno ricevera c1 e

dovra rimborsare αc1; tuttavia, se e vera l’equazione 3.7, (1− α) c1 > 0. Se

estendiamo questa operazione a tutti i mercati otterremo

Cash flow attualizzato =T∑t=1

(1− α)ct [1 + i (0; t)]−t

= (1− α)T∑t=1

ct [1 + i (0; t)]−t

e dall’equazione 3.6 e 3.7 otteniamo

(1− α)T∑t=1

ct [1 + i (0; t)]−t = B0 − αB0 = B0 − V0 > 0 (3.8)

Ancora una volta gli arbitraggisti, operando in questo modo, porteran-

no in eccesso di domanda V0 e i(0, t); t = 1; ...;T , facendoli aumentare e

ristabilendo l’equilibrio del mercato.

15

Tempo Transazioni Cash flow

0 Prestito ad ogni periodo t +V0 = α∑T

t=1 ct [1 + i (0; t)]−t

Acquisto bond −V0Cash flow: 0

1 Rimborsa αc1 −αc1Ricevi c1 +c1

Cash flow: (1− α) c1

... ... ...

T Rimborsa αcT −αcTRicevi cT +cT

Cash flow: (1− α) cT

Cash flow totale al tempo 0: eq. 3.8

3.3.2 Caso di un’obbligazione sovrapprezzata

Supponiamo adesso che il prezzo di mercato dell’obbligazione sia superiore

al suo valore teorico

V0 > B0 =T∑t=1

ct [1 + i (0; t)]−t (3.9)

Anche qui se conosciamo V0 e B0 possiamo determinare un coefficiente α

che pero sara maggiore di uno perche V0 = αB0; abbiammo quindi

α =V0B0

> 1 (3.10)

e dalle equazioni 3.9 e 3.10 ricaviamo

V0 = αB0 = α

T∑t=1

ct [1 + i (0; t)]−t , α > 1 (3.11)

L’arbitraggista vendera allo scoperto l’obbligazione per un valore pari a

V0 = αB0 e investira i proventi per αc1 [1 + i (0; 1)]−1 a un anno, αct [1 + i (0; t)]−t

a t anni e cosı via fino a αcT [1 + i (0;T )]−T a T anni; dopo un anno ricevera

αc1 e dovra rimborsare c1; tuttavia, se e vera l’equazione 3.10, (α− 1) c1 > 0.

Se estendiamo questa operazione a tutti i mercati otterremo

16

Cash flow attualizzato =T∑t=1

(α− 1)ct [1 + i (0; t)]−t

= (α− 1)T∑t=1

ct [1 + i (0; t)]−t

e dall’equazione 3.11 otteniamo

(α− 1)T∑t=1

ct [1 + i (0; t)]−t = αB0 −B0 = V0 −B0 > 0 (3.12)

Quello che accade nei mercati finanziari dovrebbe essere, a questo punto,

abbastanza ovvio: l’arbitraggista mettera in moto un processo esattamente

opposto a quello precedentemente descritto: V0 verra spinto in basso per

ecceso di offerta, cosı come i(0, T ), ristabilendo l’equilibrio del mercato.

Tempo Transazioni Cash flow

0 Short sul bond +V0 = α∑T

t=1 ct [1 + i (0; t)]−t

Investi ogni periodo t −V0Cash flow: 0

1 Ricevi αc1 +αc1

Rimborsa c1 −c1Cash flow: (α− 1) c1

... ... ...

T Ricevi αcT +αcT

Rimborsa cT −cTCash flow: (α− 1) cT

Cash flow totale al tempo 0: eq. 3.12

17

Capitolo 4

I Credit Default Swap

4.1 Definizione

Il Credit Default Swap (CDS) e uno swap che ha la funzione di trasferire il

rischio di credito; classificato come uno strumento di copertura ed e il piu

comune tra i derivati creditizi. E un contratto bilaterale in cui una parte

(protection buyer) paga un’ammontare fisso e a scadenze regolari a un altra

parte (protection seller) per coprirsi dal rischio default, o eventi di credito

simili, di uno Stato o societa. Il CDS e nato negli anni novanta per rispondere

alle esigenze di istituti finanziari, principalmente banche, di diversificazione

e copertura del rischio default. Attualmente sono negoziati nei mercati OTC

Le norme che standardizzano i CDS sono dettate dai regolamenti ISDA

Small Bang (Europa) e Big Bang (Nord America), entrati in vigore nel 2009.

Ad oggi in Europa la struttura dei CDS e la seguente:

• Conventional Spread: e il valore che troviamo quotato sul mercato

• Upfront: e il prezzo che il protection buyer deve pagare alla stipula-

zione del contratto ed e una percentuale sul valore nominale del titolo

sottostante (vedi Markit CDS Converter. Release Notes for Version 2.3

/ Thursday, March 21, 2013)

• Running Coupon: e il pagamento periodico che devo all’istituto che mi

protegge solitamente e trimestrale ed e dato dal valore nominale del

CDS diviso quattro. Le date standard sono 20 marzo, 20 giugno, 20

18

settembre, 20 dicembre. Mentre in Nord America sono negoziati solo i

CDS con running coupon 100 e 500 bps, in Europa e possibile negoziare

25, 50, 100 e 500 bps.

• Maturity date: e la data in cui scade la protezione, solitamente coincide

con le date standard (20 marzo, 20 giugno, 20 settembre, 20 dicembre.)

• Recovery Rate: e il tasso di recupero del fallimento ed e convenzional-

mente il 40% per di debiti sovrani e il 20% per i corporate. Se in caso

di default lo Stato rimborsa il 40%, il CDS rimborser

Anche se, nonostante la standardizzazione, i contratti rimangono molto

personalizzabili e adattabili alle esigenze del singolo istituto, gli strumenti

piu liquidi sono i CDS con un running coupon pari a 100bps e maturity 5

anni. Nonostante l’ampio utilizzo i mercati sono poco liquidi, poco profondi

e per questo molto volatili (4.2).

Figura 4.1: numero scambi dei CDS da giugno a dicembre 2010

Com’e visibile dal grafico (4.1) sono stati negoziati soltanto 11196 con-

tratti, 9762 dei quali sono CDS a 5 anni

19

Figura 4.2: scambi dei CDS con maturity 5 anni

4.2 Probabilita di default con i CDS

Possiamo considerare il prezzo dei CDS come una prima approssimazione

della probabilita di insolvenza di uno Stato o di un’ azienda. Nel modello

piu semplice possiamo assumere che il prezzo dei CDS e pari alla probabilita

di default corretta per il recovery rate:

CDS = PD ∗ (1−RR) (4.1)

PD =CDS

(1−RR)(4.2)

dove PD∗(1−RR) e la perdita attesa (Expected Loss); Il prezzo dei CDS

puo anche riflettere il premio per il rischio (RP), quindi abbiamo

CDS = EL+RP (4.3)

Mentre il primo rimane costante, il risk premium puo cambiare nel tempo

a seconda del livello di avversita al rischio degli agenti. Ci sono due fattori

di rischio per i quali gli agenti vogliono essere compensati:

• Jump-to-default risk: e un default improvviso, talmente rapido che i

mercati non hanno il tempo di assorbirlo.

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• Volatility of systemic risk factors: e il rischio di volatilita di sistema.

Questo significa che c’e un premio per il rischio sia per il default inatteso

(JtD-R) che per uno atteso (e previsto attraverso modelli)

La Credit Market Analysis Vision Ltd, nel suo report del 2010 (CMA

Global Sovereign Credit Risk Report), definisce la probabilita di default

cumulata entro 5 anni (CPD) con la seguente regressione:

CPD = 0.0016 ∗ 5yCDS0.843 R2 = 0.9908 (4.4)

Figura 4.3: con 5yCDS il prezzo in punti base di un CDS con maturity 5

anni

I fattori che compaiono nelle equazioni 4.1 e 4.3 sono gli stessi che si usano

negli spread dei bond. In teoria quindi lo spread dei bond e uguale al prezzo

dei CDS, perche, una posizione long di bond con CDS replica un asset privo

di rischio, quindi il rendimento dei titoli meno il prezzo del CDS deve essere

uguale al tasso privo di rischio, di conseguenza lo spread (yield less riskfree

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rate - R - r) deve essere pari al prezzo di CDS (CDS = R - r). Gli arbitraggi

dovrebbero garantire questo equilibrio.

4.3 Arbitraggio tra mercato dei CDS e mer-

cato dei bond

Indichimo con F il tasso repo, S lo spread fra un’obbligazione e il tasso free

risk e C il premio pagato per la protezione dal default. Poiche CDS = R− rabbiamo:

C = R− rS = R− rC = S

Basis = C − S = 0 (4.5)

Qualora Basis 6= 0 e possibile mettere in moto arbitraggi teoricamente

senza rischio.

4.3.1 Negative basis (C < S)

Acquisto un’obbligazione finanziandomi al tasso repo F e ottengo un ottengo

a scadenza di R = S + r; acquisto inoltre un CDS che mi copra dal rischio

default pagando un premio C. Poiche uso il bond acquistato come collaterale

nella transazione repo,che e un titolo free risk perche coperto da un CDS,

allora posso assumere che F = r. Il guadagno di questo portafoglio free risk

e pari a:

(S + r)− F − C(S + r)− r − CS − C

quindi finche C < S ho un ritorno positivo. Queste transazioni continue-

ranno fino a che C = S.

22

4.3.2 Positive basis (C > S)

In questo caso l’operazione e speculare: vendita allo scoperto dell’obbliga-

zione attraverso una posizione di prestito titoli e vendita della protezione

attraverso la cessione del CDS (incassando il premio C). Poiche questa po-

sizione e un reverse repo ricevero F , che per le motivazioni precedentemente

fornite e uguale a r. Il guadagno di questo portafoglio free risk e pari a:

F + C − (S + r)

r + C − (S + r)

C − S

quindi finche C > S ho un ritorno positivo. Queste transazioni continue-

ranno fino a che C = S.

4.3.3 Considerazioni

Nella realta questi arbitraggi non sono completamente senza rischio:

• Il rischio di controparte dei CDS non rende l’arbitraggio risk free (caso

Lehman Brothers)

• Queste strategie generano il pay off atteso se portate fino a scadenza

(bond maturity o credit event), per cui un cambio di F nel tempo

puo causare perdite inattese. Stesso risultato se ipotizzo di chiudere la

posizione appena C = S.

• Possono esserci frizioni e inefficienze nel mercato che impediscono l’im-

mediata allocazione del portafoglio

Per queste ragioni nel mercato reale, specialmente dopo il default di

Lehman Brothers, e molto difficile osservare C = S (fig. 4.3.3).

23

24

Capitolo 5

Analisi dei dati empirici

Per l’analisi dei dati empirici ho scelto una data significativa, ossia il 24

novembre 2011. Questo e il periodo di maggior speculazione in Italia. La

data precedente e un giorno a caso di Aprile 2011, quando la situazione era

apparentemente calma; quella successiva e il 5 gennaio 2012 che mi e servita

come base per fare rilevamenti periodici, ogni giugno e gennaio, fino a giugno

2013

Figura 5.1: Curva dei rendimenti a scadenza, 24 novembre 2011

25

5.1 Arbitraggio con BtP

Il nei giorni intorno al 24/11/11 l’Italia subisce un poderoso attacco specu-

lativo. L’attacco e talmente forte da rovesciare la curva dei rendimenti a

scadenza, come visibile in figura 5.1

Quindi e possibile configurare un arbitraggio utilizzando obbligazioni che

in quel periodo abbiano maturity nel tratto discendente della curva. Rife-

rendoci alla prima figura utiliziamo BTP ITALY 2003 4 1/4% 01/08/13 con

rendimento a scadenza del 8.17% e BTP ITALY 2006 3 3/4% 01/08/21 con

rendimento del 7.23%.

Acquistiamo il primo (long) e vendiamo allo scoperto il secondo (short)

ma, contrariamente a quanto descritto nella teoria, dovremo chiudere la posi-

zione il prima possibile. La prima data utile e stata il 5 gennaio 2012, quando

la curva e tornata parzialmente in ordine e i titoli rendevano rispettivamente

il 5,79% e il 6.94%. Stesso meccanismo, ma con margini di guadagno minori,

per quanto riguarda i bund (seconda figura). Come ho accennato prima non

e possibile portare la posizione a scadenza perche il tasso repo per lo short

26

puo portare l’operazione in perdita: consideriamo un privato con un conto

trading online che puo utilizzare la formula prestito titoli ad un tasso del 5%

annuo. e evidente che non potra portare l’operazione a scadenza. Inoltre non

possiamo considerare questi arbitraggi completamente privi di rischio:

• Esiste la probabilita di default dello Stato emittente.

• Esiste la possibilita che il mercato non corregga in tempi utili, portando

l’operazione in perdita. Un esempio e BTP 4% 01 Feb 2037 che continua

ad avere un rendimento inferiore al titolo con maturity immediatamente

prima, ma che rimane in questa situazione da piu di tre mesi ormai.

• Quando si confrontano due titoli e opportuno considerare i volumi,

perche eventuali differenze di rendimento potrebbero essere premi per

la liquidita.

Per l’esistenza del vincolo del tasso repo non ho trovato arbitraggi (questo

non vuol dire che non ci siano) con titoli sopravvalutati anche se i Bund T-Bill

vanno spesso sopra cento nel periodo analizzato.

5.2 Copertura dal rischio default tramite CDS

Consideriamo nei relativi periodi i titoli con scadenza 5 anni e affianchiamo

un CDS con uguale maturity per coprirci dal rischio default dello Stato ita-

liano. Per l’acquisto del CDS dovremo cosiderare di pagare l’upfront subito

e un quarto di nominale del CDS ogni tre mesi. Utilizziamo il calcolatore

dell’ISDA per conoscere il prezzo dell’upfront e CDS con valore nominale 100

(che sono i piu liquidi). I rendimenti a scadenza sono i seguenti (fig. 5.2

E interessante osservare i rendimenti di questo portafoglio, considerabile

free risk, rispetto al Bund di pari durata: nei periodi di normalita o di bassa

tensione questo portafoglio rende meno del titolo tedesco (com’e normale che

sia); nel periodo di alta tensione invece osserviamo che il bund (in questo caso

BUNDESREPUB.DTL. 2006 4% 04/07/16, corso) ha un rendimento minore

del portafoglio BtP 01/08/2016 3,75% + CDS. Questo, se consideriamo i ti-

toli a parita di rischio, da luogo ad arbitraggi. Alla luce di questi risultati ho

27

Figura 5.2: BtP - CDS vs. Bund

analizzato il comportamento del CDS Conventional Spread di Italia, Francia

e Spagna in relazione allo spread dei rendimenti obbligazionari verso la Ger-

mania. Come era da aspettarsi non c’e coincidenza fra gli spread, ma non si

puo nemmeno definire una tendenza definita a sovrastimare o sottostimare

un rischio (fig. 5.3)

Figura 5.3: CDS Conventional Spread e Germania

28

5.3 Stima delle probabilita di default

In questo paragrafo cerchero di stimare in maniera approssimativa la proba-

bilita di default di uno stato. Partendo dal modello piu semplice descritto nel

paragrafo 4.2 e supponendo un recovery rate pari al 40%, mettero a confronto

i risultati ottenuti prima utilizzando il rendimento del Bund tedesco come

free risk, poi il Conventional Spread. Si tratta chiaramente di una forzatura

teorica perche, cosı facendo, assumo che la Germania sia free risk.

Figura 5.4: Confronto tra le Probabilita di Default

Come visibile dal grafico 5.4 c’e una certa aderenza fra i risultati, ma

le mie conclusioni sono le stesse della figura 5.3: non si puo dire che un

mercato sovrastimi o sottostimi un rischio in maniera consistente, anche per

la poca disponibilita di dati. Se invece utilizzo il modello 4.4, calcolandomi

gli upfornt ottengo la probabilita di default cumulata:

Data Upfront CPD

22/04/2011 3.14 20.37%

24/11/2011 17.62 87.20%

05/01/2012 17.37 86.15%

05/06/2012 16.20 81.22%

04/01/2013 6.49 37.59%

05/06/2013 6.94 39.77%I risultati ottenuti sono molto simili alla tabella 4.3

29

5.4 Spread BtP-BOT, un nuovo indicatore di

rischio?

Il 17 giugno 2013 esce il rapporto di Mediobanca a cura degli analisti Gugliel-

mini e Rovere, dove viene messo in discussione l’indicatore spread BtP-Bund.

Le ragioni degli analisti sono che sostanzialmente questo dato sia ormai con-

dizionato esogenamente da politiche monetarie. Da novembre 2011 si possono

analizzare quattro momenti chiave:

Figura 5.5: Spread vs. Germania ed eventi significativi

• 5 dicembre 2011: Draghi pronuncia il discorso Europe’s last minute

deal, dove concede il primo piano di rifinanziamento a lungo termine

(LTRO1) da 490 miliardi di euro; lo spread scende.

• Marzo 2012: la BCE ritiene opportuna una nuova iniezione da 530

miliardi(LTRO2), chiaro segnale che il problema non e risolto. I mercati

reagiscono e lo spread sale tornando ai livelli di novembre 2011.

30

• Novembre 2012: nonostante la caduta del governo Monti lo spread scen-

de costantemente per via delle Operazioni Monetarie Definitive (OMT)

annunciato a giugno. Questa manovra fa chiaramente perdere signifi-

cativita all’indicatore, infatti le OMT consistono nell’acquisto diretto

da parte della BCE di titoli di stato a breve termine emessi da paesi in

difficolta macroeconomica grave e conclamata. L’obiettivo che le OMT

si pongono e infatti quello di salvaguardare il canale di trasmissione

della politica monetaria per la area dell’euro, ovvero di impedire che

forti tensioni sui mercati dei titoli di stato causino effettivamente un

default ( Nell’ambito del suo mandato, la BCE e pronta a salvaguarda-

re l’euro con ogni mezzo. E, credetemi, sara sufficiente Mario Draghi,

26 luglio 2012).

• Febbraio 2013: lo stallo politico post elettorale e l’incertezza fanno

risalire le tensioni sull’Italia.

Figura 5.6: Unit root test sulle serie storiche

La differenza fra il BOT e il BtP e sostanzialmente che il primo e uno

strumento del mercato monetario e quindi non soggetto a ristrutturazione.

La stessa cosa non si puo dire per il secondo. Lo spread BtP-BOT e quindi

positivamente correlato con la probabilita di default. Per questo ho cercato di

31

analizzare la loro correlazione da luglio 2012 fino ad oggi. Come visibile dalla

figura 5.4 la serie BtP-Bund non e stazionaria, quindi non e possibile mo-

dellarla con metodi econometrici standard. Rimanendo in ambito descrittivo

c’e una blanda correlazione fra i due indicatori, pari allo 0.3648. Per quanto

riguarda la serie BtP-BOT, possiamo dire che e stazionaria (fig.5.4) e che,

analizzandola graficamente, presenta una certa correlazione con le situazioni

di pessimismo e ottimismo dello Stato italiano.

Nel periodo pre-elettorale 2013 l’indicatore sembra mantenere un rischio

costante con volatilita ridotta. Subito dopo lo stallo elettorale si verifica un’

32

accelerazione verso l’alto, seguito da un trend a ribasso fino alla dichiarazione

di Bernake (stop al piano di finanziamento nel 2014). Comunque gia dai primi

di maggio si puo notare un aumento delle volatilita che prelude l’inversione

del trend.

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Bibliografia

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[4] Brigo, D.B, (29 September 2009). Charting a Course Through the CDS

Big Bang. 2nd ed. : Fitch Solutions.

[5] Markit (July 20th, 2009). CDS Small Bang: Understanding the Glo-

bal Contract & European Convention Changes. [ONLINE] Available at:

http://www.markit.com/en/

[6] Guglielmini A., Rovere R., (17 June 2013). Italy seizing up caution

required. Mediobanca Securities.

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