Appunti di Finanza quantitativa - Aracne editrice - 1 Il principio di assenza di arbitraggi 1.1 Il...
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Appunti di Finanza quantitativa Antonio Mannolini Roberto Renò ARACNE
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Appunti di Finanza quantitativa
Antonio MannoliniRoberto Renò
ARACNE
Copyright © MMVIIIARACNE editrice S.r.l.
via Raffaele Garofalo, 133 A/B00173 Roma
(06) 93781065
ISBN 978–88–548–1740–1
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con qualsiasi mezzo, sono riservati per tutti i Paesi.
Non sono assolutamente consentite le fotocopiesenza il permesso scritto dell’Editore.
I edizione: aprile 2008
Indice
1 Il principio di assenza di arbitraggi 7
1.1 Il modello di Cox, Ross e Rubinstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Mercato uniperiodale ad eventi finiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Il modello di Black, Scholes e Merton 13
2.1 Ipotesi del modello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 La valutazione dei derivati di tipo europeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3 Il valore di una call europea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4 Hedging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.5 Volatilita implicita model-free . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3 Modelli a volatilita stocastica 23
3.1 I limiti del modello di Black e Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.1.1 Test di normalita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.1.2 Dipendenza seriale dei rendimenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.1.3 Effetto smile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.1.4 Proprieta dei rendimenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2 Modelli a tempo discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2.1 Modelli omoschedastici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1
3.2.2 Modello ARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2.3 Modello GARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2.4 Stima del modello GARCH(1, 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2.5 Il modello GARCH-M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2.6 Modelli GARCH asimmetrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2.7 Modelli a volatilita stocastica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3 Modelli a tempo continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3.1 Il modello GARCH(1, 1) continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3.2 Il modello SABR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3.3 Modelli affini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4 Modelli per i tassi di interesse 44
4.1 Introduzione: il caso deterministico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.2 Alcune definizioni di base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.3 Modelli per il tasso a breve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.4 Alcuni modelli specifici per il tasso a breve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.4.1 Il modello di Vasicek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.4.2 Il modello di Cox, Ingersoll e Ross . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.4.3 Modelli affini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.4.4 Il modello di Hull and White, ovvero il Vasicek esteso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.5 Duration stocastica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.6 La pratica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.7 I Modelli HJM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.7.1 I prezzi delle opzioni europee nel Modello HJM Gaussiano . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2
5 Modelli di mercato per i derivati sui tassi di interesse 65
5.1 Modello di Black: formulazione generale e sua giustificazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.2 Misure di Martingala equivalenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.2.1 Il Bank account come numerario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.2.2 Il prezzo di uno Zero coupon Bond come numerario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.3 Cap e Floor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.3.1 I caplet sono opzioni put sugli zero coupon Bond! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.3.2 Il Benchmark: il modello di Black per i CAP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.3.3 Alcune osservazioni sul significato della volatilita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.3.4 Cap con modelli che ammettono espressioni in forma chiusa delle Bond options . . . 71
5.3.5 Cap con modelli che non ammettono espressioni in forma chiusa delle Bond options . 71
5.3.6 Osservazioni sul significato di ATM CAP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.3.7 Esempio di una possibile applicazione pratica di Cap&Floor . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.4 Le swap option . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.4.1 Richiami sul contratto swap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.4.2 Swaption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.4.3 La descrizione analitica del payoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.5 La Valutazione con gli short rate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.5.1 La Procedura di Jamshidian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.5.2 Applicazione alle Swaption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.5.3 La Valutazione con il modello di Black-76 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.5.4 Sul significato di ATM Swaption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.6 Ritardi non naturali ed aggiustamenti per la convessita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.6.1 Approccio 1: Espansione in Serie del tasso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3
5.6.2 L’approccio del cambio di numerario. Differential swap . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6 Modelli per il rischio di credito 85
6.1 Modelli strutturali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.2 Modelli in forma ridotta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.2.1 Statistica binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.2.2 Processi di Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.2.3 Il valore di un TCN soggetto a rischio di credito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.2.4 Un modello per il rischio di credito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
7 Modelli per i prezzi dell’energia elettrica 93
7.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
7.2 Proprieta empiriche dei prezzi dell’energia elettrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
7.2.1 Volatilita elevata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
7.2.2 Salti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
7.2.3 Stagionalita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
7.2.4 Mean reversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
7.2.5 Persistenza della volatilita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
7.3 Modelli: specificazione e stima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
7.3.1 Modelli a tempo discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
7.3.2 Modelli a tempo continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
7.3.3 Stima di un modello continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Riferimenti bibliografici 105
A Esercizi e quesiti 109
A.1 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4
A.2 Quesiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
A.3 Approfondimenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
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Questo testo rappresenta una guida ai principali argomenti che sono, ad oggi, oggetto dello studio della finanza quanti-
tativa; piu che come un testo completo esso e pensato come una bussola per orientarsi in un mondo oggi estremamente
ampio ed allo stesso tempo altamente specializzato. La finanza quantitativa e oggi infatti una disciplina estrema-
mente ingegnerizzata e di difficile collocazione accademica, frequentata da matematici, fisici, statistici, economisti.
Abbiamo quindi voluto presentare i principali modelli per le azioni, i tassi di interesse, i bond soggetti a rischio di
credito, l’energia elettrica, concentrandoci sempre sull’intuizione economica piu che sul formalismo, che e comunque
ineliminabile. L’organizzazione del materiale e contemporanea all’organizzazione dei corsi quantitativi della laurea
specialistica in Finanza presso l’Universita di Siena, che sono stati progettati con lo stesso spirito. L’esposizione ha
giovato dell’esperienza di alcuni anni di insegnamento in tali corsi.
La lettura di questi appunti presuppone una preparazione buona di matematica, probabilita e statistica e va comunque
integrato a testi dedicati per la precisazione dei concetti piu complessi dal punto di vista formale, e a testi ed arti-
coli specializzati per l’approfondimento di temi singoli, ai quali viene fatto puntuale riferimento nel testo. Si tenga
comunque presente che la maggior parte dei concetti necessari per la finanza quantitativa sono descrivibili con una
matematica standard, e che l’eccesso di formalismo va lasciato a chi vi e interessato.
Gli esercizi proposti in appendice sono volutamente privi di soluzione per invitare gli studenti al gusto della riflessione.
Riflettere e discutere su di un problema e di gran lunga piu importante che risolverlo, e ci auguriamo che il nostro
lavoro ci aiuti ad insegnare almeno questo.
Desideriamo anche ringraziare i nostri studenti (che come spesso accade in questi casi sono anche le nostre cavie),
cui questo testo e dedicato, per il loro inesauribile pungolo e per la loro spesso vivace intelligenza. In particolare,
ringraziamo Davide Pirino, Alessandro Rubino e Alessandro Russo. Tutti gli errori, soprattutto quelli piu grossolani,
restano comunque i nostri.
Antonio Mannolini
Roberto Reno
Siena, 11 marzo 2008
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Capitolo 1
Il principio di assenza di arbitraggi
1.1 Il modello di Cox, Ross e Rubinstein
Consideriamo un mercato uniperiodale (ci sono solo due tempi: t = 0 e t = 1) in cui siano presenti due
attivi finanziari. Il primo e un conto in banca: a fronte di un investimento in t = 0 pari a B, restituisce in
t = 1 la somma B(1 + R). Il secondo, un’azione, a fronte di un investimento S in t = 0, restituisce in t = 1
la somma uS con probabilita p oppure la somma dS con probabilita 1 − p, con u > d. Perche non siano
possibili arbitraggi, si ha:
u > 1 +R > d
In tale mercato, supponiamo di voler valutare un derivato; cercare cioe il prezzoC di un titolo che promette,
in t = 1, Cu o Cd a seconda dell’andamento del sottostante. Un esempio e rappresentato da una semplice
opzione digitale con strikeK; se il prezzo del sottostante e maggiore diK, l’opzione paga 1, se e minore di
K l’opzione paga 0.
Come fare a trovare il prezzo C? Una prima e intuitiva risposta potrebbe essere di calcolare il valore atteso
scontato del derivato, cioe:
C?=
1
1 +R[pCu + (1 − p)Cd]
Vedremo ora come questa intuizione sia del tutto errata. Il motivo economico e che tale valutazione e valida
se l’agente e neutrale al rischio; ma in finanza gli agenti sono avversi al rischio.
Poiche includere in un modello finanziario l’avversione al rischio degli agenti e impraticabile, valutiamo
allora il derivato usando il seguente ragionamento. Investiamo S nel titolo rischioso eB nel conto in banca.
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In totale, quindi, il valore dell’investimento e S + B, e tale investimento restituisce uS + B(1 + R) con
probabilita p oppure dS +B(1 +R) con probabilita 1− p. Risolviamo allora il sistema, con incognite S e B:
uS +B(1 +R) = Cu
dS +B(1 +R) = Cd(1.1)
La soluzione e:
S =Cu − Cdu− d
B =1
1 +R
uCd − dCuu− d
(1.2)
Poiche il nostro investimento replica esattamente il derivato in t = 1, se imponiamo l’assenza di arbitraggi
abbiamo che il valore del derivato in t = 0 deve essere uguale a S + B, con S e B dati da (1.2). Abbiamo
quindi aggirato le preferenze degli agenti e trovato che:
C =Cu(1 +R− d) + Cd(u− 1 −R)
u− d
Anzitutto, notiamo che il valoreC del derivato non dipende da p. Quindi il prezzo del derivato non dipende
dal valore atteso futuro del sottostante. Notiamo poi che, se definiamo
q =1 +R− d
u− d
abbiamo che:
C =1
1 +R[qCu + (1 − q)Cd]
che sarebbe un valore atteso scontato se q fosse la probabilita di ottenere Cu.
Notiamo infine che vale l’identita:
S =1
1 +R[quS + (1 − q)dS]
1.2 Mercato uniperiodale ad eventi finiti
I risultati del modello di Cox-Ross-Rubinstein non sono una casualita legata al modello binomiale, ma
nascondono in realta un fatto piu profondo, pur di natura formale, che lega la consistenza fra gli attivi
finanziari ad un’adeguata interpretazione probabilistica.
In questo paragrafo analizziamo un mercato stilizzato che, pur nella sua semplicita, e costituito da tutti gli
ingredienti fondamentali del problema delle scelte in condizione di incertezza, e nel quale le preferenze
degli agenti non giocano un ruolo. Gioca invece un ruolo fondamentale l’ipotesi di mercati perfetti, e in
particolare il principio di assenza di arbitraggi.
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Supponiamo che in un mercato perfetto siano presenti N attivi, S1, . . . , SN , i quali sono contrattabili solo
in due istanti di tempo (mercato uniperiodale), che indicheremo con t = 0 e t = 1. Il valore degli attivi
nel futuro e aleatorio, e per semplicita ipotizzeremo che lo spazio degli eventi Ω sia un insieme finito,
anche se arbitrariamente vasto. DettaK la cardinalita di Ω, denotiamo con ω1, . . . , ωK i possibili eventi. La
probabilita di ogni evento e data da p(ωj), j = 1, . . . ,K, dove p(·) soddisfa la condizione:
K∑
i=1
p(ωi) = 1
La probabilita p(·) prende il nome di probabilita della natura ed e la probabilita con la quale si verificano idiversi eventi. Pertanto ciascuno degli attivi finanziari Si ha K possibili realizzazioni in t = 1 che denotia-
mo con Si1(ω1), . . . , Si1(ωK), con i = 1, . . . , N . Il valore al tempo t = 0, o prezzo, delle N attivita finanziare
e noto e lo indichiamo con S10 , . . . , S
N0 . Tra queste attivita puo essere presente o meno un titolo privo di
rischio, che ha cioe la stessa realizzazione in t = 1 in tutti gli stati di natura.
Commento 1.1 Notiamo come in questo mercato siano perfettamente note le realizzazioni degli attivi nel futuro in
corrispondenza dei diversi stati di natura. In pratica non e cosı: le realizzazioni degli attivi non sono conosciute dagli
agenti, che utilizzano un modello. Il modello va poi giudicato a seconda di quanto spieghi i dati osservati nei mercati.
Nel mercato qui considerato, il modello e considerato perfettamente noto.
Esempio 1.2 Supponiamo che gli stati di natura vengano determinati dal lancio di una moneta, e pertanto siano due:
testa o croce, entrambi con probabilita 0.5. Nel mercato siano presenti tre attivi, entrambi con valore pari ad 1 prima
del lancio. Dopo il lancio, il primo attivo vale 1. Il secondo vale 3 se viene testa, e 0 se viene croce. Il terzo vale 1.5 se
viene testa, e 0.75 se viene croce. Quale attivo preferite? I prezzi permettono arbitraggi?
Avendo a disposizione una data ricchezzaW , possiamo investirla in un portafoglio delle attivita finanziarie.
Se compriamo xi unita dell’attivo Si, il vincolo di bilancio sara quindi:
W =N∑
i=1
xiSi0 (1.3)
In un mercato perfetto, le unita xi possono anche essere negative indicando la possibilita di vendita allo
scoperto. Il valoreW ′ del portafoglio al tempo t = 1 dipende dalla realizzazione futura ω ∈ Ω, e sara quindi
dato da:
W ′(ω) =
N∑
i=1
xiSi1(ω) ω ∈ Ω (1.4)
Per decidere se in tale mercato sono possibili o meno arbitraggi e possibile svolgere il seguente ragionamen-
to. Per ottenere un arbitraggio, devo trovare, ad esempio, dei pesi xi tali che W in (1.3) sia negativo (cioe
un guadagno immediato), e che W ′ sia positivo o nullo. Ci viene in aiuto il seguente teorema di algebra
lineare:
9
Teorema 1.3 (Farkas’ Lemma) Si considerinom+ 1 vettori d0, d1, . . . , dm in Rn. Allora le seguenti due possibilita
sono mutualmente esclusive:
• Esistonom numeri non negativi z1, . . . , zm tali che
d0 =
m∑
i=1
zidi (1.5)
• Esiste un vettore h ∈ Rn tale che∑ni=1 hid0,i < 0 e
∑ni=1 hidk,i ≥ 0 per ogni k = 1, . . . ,m.
Possiamo applicare il Teorema 1.3 al nostro caso: il vettore d0 e il vettore dei prezzi degli attivi in t = 0; i
vettori d1, . . . , dK sono i vettori Si(ω) al variare di i, per ognuno dei possibiliK valori di ω. L’assenza della
possibilita di arbitraggi implica che il vettore h della seconda possibilita del Teorema 1.3 non puo esistere,
pertanto e vera la prima possibilita. D’altra parte, se e vera la prima possibilita, il Teorema 1.3 ci dice che
non e possibile effettuare arbitraggi, in quanto un arbitraggio in questo mercato si puo, senza perdita di
generalita, sempre scrivere in tale forma.
Abbiamo percio dimostrato il seguente:
Corollario 1.4 Il mercato uniperiodale con attivita aleatorie finite ed eventi finiti e privo di arbitraggi se e soltanto
se esistonoK numeri zj ≥ 0, j = 1, . . . , N , tali che:
Si0 =
N∑
i=1
zjSi1(ωj), i = 1, . . . , N (1.6)
L’assenza di arbitraggi e quindi equivalente al poter esprimere i prezzi delle attivita aleatorie come com-
binazioni lineari dei valori futuri, con pesi che non dipendono dagli attivi finanziari. La combinazione
lineare (1.6) puo formalmente essere espressa come un valore medio. Se indichiamo con Z =∑Ki=1 zi e con
qi = zi/Z, otteniamo:
Si0 = Z
N∑
i=1
qiSi1(ωj), i = 1, . . . , N
dove∑Ki=1 qi = 1. Pertanto, interpretando i pesi normalizzati qi come una misura di probabilita Q,
possiamo scrivere:
Si0 = ZEQ [Si1
], i = 1, . . . , N (1.7)
Abbiamo quindi dimostrato la seguente equivalenza: il mercato e privo di arbitraggi se e soltanto se esi-
stono una misura di probabilita Q e una costante Z per cui vale l’equazione (1.7). Tale probabilita assumeun ruolo fondamentale in matematica finanziaria: essa si indica come probabilita neutrale al rischio, perche
nell’equazione (1.7) il prezzo dipende solo dal valore atteso del valore futuro; si chiama inoltre probabilita
martingala equivalente, per le sue proprieta probabilistiche che verranno approfondite in seguito. In ogni ca-
so, a parte migliorie tecniche, come rendere continuo il tempo e infiniti i possibili eventi, l’equazione (1.7) e
la formula di valutazione che si utilizza in matematica finanziaria anche dopo aver introdotto l’aleatorieta.
10
Nella pratica, uno degli attivi e privo di rischio: il conto in banca o le obbligazioni. Pertanto e usuale
ipotizzare che uno degli attivi assuma sempre lo stesso valore nell’istante t = 1, indipendentemente dalla
realizzazione ω. Supponiamo che tale attivo sia il primo, pertanto se il suo prezzo e S10 il suo valore in t = 1
sara S11 = S1
0(1 +R) con certezza, essendo R una costante reale, positiva se vale il postulato d’impazienza,
che esprime il tasso di interesse. Pertanto il valore atteso della (1.7) scompare, e si ottiene S10 = Z(1 +R)S1
0
da cui segue:
Z =1
1 +R
Riassumiamo quindi nel seguente:
Teorema 1.5 (Primo teorema fondamentale della matematica finanziaria) Supponiamo che in un mercato uniperio-
dale esistano un numero finito di attivi, e che lo spazio degli eventi sia finito. Supponiamo inoltre che esista un attivo
privo di rischio, e che il suo rendimento percentuale istantaneo sia pari a R. Il mercato sara privo di arbitraggi se e
soltanto se esiste una probabilita Q tale che, per ogni attivo S, il suo prezzo e dato da:
S0 =1
1 +REQ[S1] (1.8)
Commento 1.6 L’equazione (1.8) e un’equazione di valutazione che esprime il prezzo come valore atteso scontato
dell’attivo nel futuro! Pero la probabilita usata non e quella che regola gli eventi futuri, ma la probabilita neutrale al
rischio. A questo punto potremmo supporre che esista un legame fra la probabilita neutrale al rischio e le preferenze
degli agenti, ed in effetti e cosı per approfondimenti si veda Huang and Litzenberger (1988).
Esempio 1.7 Nel mercato dell’esempio 1.2 non e possibile effettuare arbitraggi. Basta trovare una probabilita neutrale
al rischio, ad esempio con R = 0, q1 = 2/3, q2 = 1/3 si ottengono i prezzi unitari dei tre attivi.
Notiamo come in tale mercato il problema della valutazione degli attivi rischiosi non sia ancora risolto.
Infatti, il Teorema 1.3 assieme all’ipotesi di assenza di arbitraggi implicano l’esistenza della probabilita
neutrale al rischio, ma non la sua unicita: potrebbero esistere diverse probabilita neutrali al rischio, e quindi
diversi prezzi S0 compatibili con l’assenza di arbitraggio. Quali sono le condizioni per cui tale prezzo e
unico? Si tratta di risolvere un tipico problema di algebra lineare, cioe chiederci sotto quali condizioni la
soluzione del sistema lineare (1.5) e unica. Conviene pero riformulare il problema in termini economici.
Definizione 1.8 Il mercato uniperiodale con attivita finite ed eventi finiti si dice completo se, per ogni variabile
aleatoria X(ω), con ω ∈ Ω, esistono N numeri reali xi, i = 1, . . . , N tali per cuiW ′(ω) = X(ω) per ogni ω ∈ Ω.
L’estensione della definizione di completezza in mercati piu complicati (multiperiodali, tempi continui e
eventi infiniti) e analoga. L’interpretazione della definizione di completezza e immediata; il mercato e
completo se, ogni volta che viene introdotto un nuovo attivo X , questo e replicabile con un portafoglio xi
11
degli attivi gia presenti sul mercato. Se ne deduce che, se i prezzi degli attivi sono dati, in assenza di
arbitraggi e dato anche il prezzo di X e tale prezzo e determinato in maniera univoca.
Ogni variabile aleatoriaX haK possibili realizzazioni: tante quante gli eventi diΩ. Pertanto la completezza
e equivalente al fatto che, per ogni vettoreX ∈ RK , esistono un vettore x ∈ RN per cui vale Sx = X , con S
la matrice di RK×N che all’elemento (i, j) associa il valore Sj1(ω(i)), i = 1, . . . ,K, j = 1, . . . , N . Pertanto il
mercato e completo se l’immagine di S e tutto RK . Abbiamo dimostrato la seguente:
Proposizione 1.9 Il mercato uniperiodale con attivita finite ed eventi finiti e completo se e soltanto se il rango della
matrice Si(ωj), i = 1, . . . , N, j = 1, . . . ,K e pari aK.
Se il mercato e privo di arbitraggi ed e presente un titolo privo di rischio, vale la caratterizzazione (1.8). Ma
se il mercato e completo, allora e possibile una sola realizzazione del prezzo S0, perche l’esistenza di una
seconda realizzazione porterebbe ad un arbitraggio. D’altro canto, se esiste un unico prezzo allora vuol
dire non solo che la matrice S ha per immagine RN , ma anche che il suo nucleo e nullo. Ma se il nucleo e
nullo, allora la matrice S ha per immagine anche RK , cioe N = K. Combinando la completezza e l’assenza
di arbitraggi si ottiene quindi il seguente:
Teorema 1.10 (Secondo teorema fondamentale della matematica finanziaria) Un mercato uniperiodale con un nume-
ro finito di attivi e un numero finito di eventi, in cui sia presente un titolo privo di rischio, e privo di arbitraggi e
contemporaneamente completo se e soltanto se esiste una misura di probabilita neutrale al rischio per la quale vale la
(1.8), e tale probabilita e unica.
Notiamo che la probabilita naturale non ha nessun ruolo nel determinare i prezzi, in quanto potrebbe
avercelo solo se introduciamo le preferenze degli agenti, che invece qui sono assenti.
Esempio 1.11 Nel modello uniperiodale CRR, abbiamo due attivi (N = 2), il titolo privo di rischio e il titolo rischio-
so, e due stati di natura (K = 2). Quindi N = K e il mercato risulta privo di arbitraggi e completo. Pertanto ogni
nuovo attivo e replicabile usando i due attivi di partenza.
Un esempio di mercato incompleto e il modello CRR in cui sia abbiano tre possibili stati di natura in t = 1
anziche due.
12
Capitolo 2
Il modello di Black, Scholes e Merton
Il modello descritto in questo capitolo e stato formulato nella sua forma originari da Black and Scholes
(1973) e Merton (1973) ed e valso ai suoi tre ideatori il premio Nobel per l’economia. Esso e piu spesso
citato come modello di Black e Scholes, senza citare il contributo di Merton.1 Tale modello e nato pensando
al problema della valutazione delle opzioni finanziarie su azioni o indici azionari, ed e il punto di partenza
nonche il metro di paragone naturale (benchmark) per qualsiasi modello piu ampio.
Molti identificano il modello di Black e Scholes con la distribuzione lognormale dei prezzi. Tuttavia il con-
tributo fondamentale di questa teoria non sta nella specificazione del modello dei prezzi, che e chiaramente
smentita dai fatti, come discusso nel capitolo 3, ma nella tecnica per trovare il prezzo di un’opzione con un
modello in tempo continuo senza far ricorso alle preferenze degli agenti, ma utilizzando solo l’assenza di
arbitraggio e il concetto di replicazione di un portafoglio.
2.1 Ipotesi del modello
L’ipotesi principale del modello di Black e Scholes e che il mercato sia perfetto. Un mercato si dice perfetto
se ha tre proprieta. La prima e che esso sia perfettamente competitivo, cioe gli operatori non sono in grado
di influenzare il prezzo dei titoli scambiati con le loro operazioni e sono percio detti price taker, ed inoltre
gli agenti preferiscono il piu al meno (non sazieta). La seconda proprieta e che il mercato sia privo di attriti,
cioe non ci siano tasse, costi di transazione e sia possibile vendere allo scoperto. Inoltre i titoli possono
essere acquistati e venduti in quantita arbitrarie e infinitamente divisibili, e non c’e rischio di credito.
1I risultati esposti in questo capitolo sono stati raggiunti indipendentemente da Black e Scholes prima, e da Merton poi. Merton
racconta che quando Black e Scholes hanno tenuto il loro seminario alla sua universita, lui si e svegliato tardi e non vi ha assistito;
pertanto non sapeva che lavorassero sullo stesso argomento.
13
Le prime due proprieta hanno un carattere tecnico, e servono a semplificare la trattazione. Pur essendo
generalmente non rispettate nei mercati reali, esse hanno un impatto minimo sui risultati raggiunti. Si pensi
ad esempio ai costi di transazione: essi ci sono ma sono minuscoli rispetto ai volumi tipicamente scambiati
sui mercati finanziari. Piu delicata e la possibilita di vendere allo scoperto, la quale pero e generalmente
verificata per grandi istituti finanziari, e perfettamente verificata nel caso che il titolo scambiato sia un
futures su di un indice, come nel caso delle opzioni piu scambiate al mondo, contrattate con sottostante il
futures sullo S&P 500.
La terza proprieta e invece cruciale, ed e l’assenza nel mercato di arbitraggi non rischiosi. Definiamo un
arbitraggio non rischioso come un portafoglio di titoli che ha costo nullo, e che ha, in una qualsiasi data
futura, valore nullo e positivo in almeno uno stato di natura2. E chiaro che l’esistenza di un portafoglio
di arbitraggio comporterebbe una domanda infinita dello stesso, e quindi e ragionevole supporre che tali
portafoglio non esistano nei mercati finanziari reali. Come vedremo in seguito, le conseguenze dell’assenza
di arbitraggi non rischiosi sono cruciali per la teoria.
Nel modello di Black e Scholes sono presenti due titoli scambiabili. Consideriamo l’orizzonte temporale
[0, T ], identificando con t = 0 l’istante iniziale. Il primo titolo, B(t), prende il nome dimoney market account,
e segue la seguente dinamica:
dB(t) = rB(t)dt, (2.1)
con r una costante reale positiva. La notazione usata nell’equazione (2.1) e una riscrittura formale dell’e-
quazione differenziale ordinaria B′(t) = rB(t), la cui soluzione e:
B(t) = B(0)ert (2.2)
Pertanto il valore del money market account evolve secondo una legge esponenziale di tasso r. In qualche
maniera possiamo interpretarlo come una specie di conto in banca. L’ipotesi di mercato perfetto implica
che e possibile comprare e vendere B(t), il che vuol dire che e possibile finanziarsi o prestare il denaro allo
stesso tasso r. Mentre tale ipotesi non e chiaramente verificata per prestiti di piccole dimensioni, essa e
invece piuttosto solida per le banche di affari, che si scambiano il denaro al tasso Euribor, e il differenziale
di tasso fra domanda e offerta e minimo.
Il secondo titolo scambiabile, S(t), e invece un attivo rischioso e la sua dinamica e data dall’equazione
differenziale stocastica:
dS(t) = µS(t)dt+ σS(t)dWt, (2.3)
dove µ e σ sono costanti reali e positive. Nel caso che S(t) rappresenti un’azione o un indice azionario,
poiche in equilibrio la domanda aggregata dei titoli rischiosi e positiva e gli investitori sono avversi al
rischio, deve essere µ > r, altrimenti non ci sarebbe domanda del titolo rischioso. In un mondo in cui gli
investitori sono neutrali al rischio sarebbe invece µ = r.
2Uno stato di natura e un evento ω ∈ Ω
14
L’attivo rischioso e quindi determinato da un’equazione differenziale stocastica nota comemoto browniano
geometrico, poiche µ e σ sono costanti. La soluzione dell’equazione (2.3) si trova notando che, per il lemma
di Ito:
d logS =dS
S− σ2
2dt
per cui:
S(t) = S(0) exp
[(
µ− σ2
2
)
t+ σWt
]
, (2.4)
pertanto S(t) e distribuito secondo una densita di probabilita lognormale con media (µ− σ2
2 )t e varianza σ2t.
Cio vuol dire che il rendimento logaritmico, definito come log(S(t)S(0)
)
e distribuito secondo una densita di
probabilita normale.
2.2 La valutazione dei derivati di tipo europeo
Per derivato, nel modello di Black e Scholes, intendiamo un attivo il cui valore dipenda dal valore di S(t).
Ad esempio, nel caso di un’opzione call europea, abbiamo che il valore a scadenza T , o payoff, e dato da
(S(T ) −K)+, dove x+ = max(x, 0) indica la parte positiva di un numero x e K e il prezzo di esercizio, o
strike. In generale, definiamo un derivato tramite una funzione ϕ(S(T )) che indichi il valore del derivato a
scadenza3. Per l’opzione call europea si avra ϕ(x) = (x − K)+, per l’opzione put europea si avra ϕ(x) =
(K − x)+.
Come viene valutato un derivato in t = 0, conoscendo il suo valore a scadenza (t = T )? E chiaro che poiche
il valore terminale di S(T ) e aleatorio, anche il valore del derivato in T lo sara. Scriviamo il valore del
derivato in un istante generico t tramite una funzione di due variabili, che chiamiamo F (t, S(t)). Potremmo
essere tentati dal rispondere a questa domanda facendo il valore atteso del payoff futuro, cioe:
F (0, S(0)) = P (0, T )E[ϕ(S(T ))],
dove P (0, T ) e il fattore di sconto. In teoria saremmo in grado di svolgere questo calcolo, perche conosciamo
la distribuzione di probabilita di S(T ), data dalla (2.4) e il fattore di sconto, dato dalla legge esponenziale
di tasso r, ma come sappiamo dalle nozioni di scelte in condizioni di incertezza, tale risposta sarebbe erra-
ta, perche non tiene conto dell’avversione al rischio degli agenti, che richiedono un premio al rischio per
detenere un attivo rischioso.
Per effettuare la valutazione, utilizzeremo allora l’ipotesi di assenza di arbitraggio. L’argomento svolto e
il seguente. Supponiamo di disporre di un’unita di ricchezza, e di investire una quota uS e una quota uF
della propria ricchezza nel titolo rischioso S(t) e nel derivato F (t, S(t)) rispettivamente. Si avra quindi
3L’estensione a derivati il cui valore dipenda dall’intera traiettoria, come le opzioni asiatiche, e immediata.
15
uS + uF = 1, e per l’ipotesi di mercato perfetto, una delle due quantita potra essere negativa. Chiamiamo
V (t) il valore di tale portafoglio. Avremo quindi V (0) = uSS(0)+uFF (0, S(0)). Per conoscere l’evoluzione
V (t) del valore di tale portafoglio, occorre conoscere la dinamica di S(t), data dalla (2.3), e di F (t, S(t)).
Poiche la dinamica del derivato dipende solo dal tempo e dalla dinamica di S(t), che e nota, possiamo
usare il lemma di Ito e scrivere:
dF (t) =∂F
∂tdt+
∂F
∂SdS +
1
2σ2S2 ∂
2F
∂S2dt =
(∂F
∂t+ µS
∂F
∂S+
1
2σ2S2 ∂
2F
∂S2
)
dt+ σS∂F
∂SdW (t). (2.5)
dove abbiamo sostituito dS con la (2.3). Sfruttando quindi il fatto che:
dV
V= uS
dS
S+ uF
dF
F,
la dinamica del portafoglio e data da:
dV (t)
V (t)= uF
1
F
(∂F
∂t+ µS
∂F
∂S+
1
2σ2S2 ∂
2F
∂S2
)
dt+ uS1
SµSdt+ uF
1
FσS
∂F
∂SdW (t) + uSσdW (t). (2.6)
La scelta di uS e uF modifica la scelta del portafoglio. E sempre possibile effettuare questa scelta in maniera
tale da annullare la parte stocastica della diffusione di V (t), risolvendo il sistema:
uS + uF = 1
uFS
F
∂F
∂S+ uS = 0
(2.7)
la cui soluzione e data da:
uF =1
1 − S
F
∂F
∂S
, uS =−S
F
∂F
∂S
1 − S
F
∂F
∂S
(2.8)
A questo punto entra in gioco l’argomento dell’assenza degli arbitraggi non rischiosi. Se scegliamo di in-
vestire nel portafoglio V , formato dal titolo rischioso S e dal derivato F , secondo le proporzioni indicate
dalla (2.8), otteniamo un portafoglio privo di rischio, cosı come privo di rischio e il money market account
B(t). Pertanto, affinche non siano possibili arbitraggi, i due attivi B(t) e V (t) devono avere lo stesso rendi-
mento, pari a r. Imponiamo questa condizione sostituendo uF e uS , dati dalla (2.8), nella diffusione (2.6),
e poi imponiamo che il drift sia pari a r. Dopo un po’ di algebra, e imponendo la condizione a scadenza
F (T, S(T )) = ϕ(S(T )), otteniamo:
∂F
∂t+ rS
∂F
∂S+
1
2σ2S2 ∂
2F
∂S2= rF
F (T, S) = ϕ(S)(2.9)
Osserviamo l’equazione (2.9). Si tratta di un’equazione alle derivate parziali del secondo ordine, in partico-
lare tale equazione e nota come equazione del calore. Data la funzione ϕ(x), che ne definisce la condizione
a scadenza, essa puo essere risolta o mediante tecniche analitiche, o con metodi numerici. L’equazione (2.9)
16
fornisce quindi, in forma implicita, la soluzione al nostro problema, cioe il valore di F (t, S(t)) in ogni istan-
te t ∈ [0, T ], e in particolare in t = 0. Infine notiamo che il risultato ottenuto resta valido anche se µ e σ non
sono costanti, ma sono anch’esse funzioni di t, S(t).
Notiamo poi una caratteristica dell’equazione (2.9) che ha un’importante interpretazione economica. Nel-
l’equazione (2.9), non compare la costante µ, cioe il termine di deriva del titolo rischioso. Tale parametro e
pertanto ininfluente ai fini della valutazione delle opzioni, mentre invece i parametri r e soprattutto σ influi-
scono sul valore del derivato. Per intuire il motivo per il quale µ non compare nella (2.9), usiamo un’inter-
pretazione probabilistica dell’equazione alle derivate parziali fornita dalla formula di Feynman-Kac. Tale
formula ci dice che la soluzione F (t, S) dell’equazione (2.9) e data da:
F (t, S(t)) = e−r(T−t)E [ϕ(X(T )) |Ft ] (2.10)
dove la variabile aleatoria X soddisfa l’equazione differenziale stocastica:
dX(t) = rX(t)dt+ σX(t)dW ′(t) (2.11)
con X(0) = S(0) e W ′(t) e un moto browniano. Ecco che nell’equazione (2.10) rispunta il valore atteso
scontato del payoff dell’opzione! Tuttavia abbiamo sostituito al valore effettivo del titolo sottostante S
la variabile fittizia X , che pero differisce da S solo per il fatto di aver sostituito µ con r. La variabile X
rappresenta quindi il valore del titolo rischioso in un mondo neutrale al rischio. Riscriviamo quindi la
soluzione F nel seguente modo:
F (t, S(t)) = e−r(T−t)EQ [ϕ(S(T )) |Ft ] (2.12)
dove il valore atteso EQ e calcolato con una densita di probabilita Q in cui µ = r. Se definiamo tale
probabilita come probabilita neutrale al rischio, possiamo dire che il valore di un derivato e dato dal valore
atteso scontato, sotto la probabilita neutrale al rischio, del payoff del derivato a scadenza. Quindi la logica
di calcolare il valore del derivato come valore atteso scontato e sbagliata se si usa il valore atteso sotto la
misura di probabilita in cui S(t) segue la diffusione (2.3). Definiamo tale probabilita probabilita naturale e
la indichiamo con P . E invece un ragionamento giusto se usiamo la probabilita neutrale al rischio. Comesi passa dalla probabilita naturale a quella neutrale al rischio? E chiaro che cambiare misura di probabilita
ha effetto solo sul moto Browniano, che e l’unica variabile aleatoria da cui le altre dipendono. In termini
matematici, il cambio di probabilita e fornito dal teorema di Girsanov. Per passare dalla diffusione (2.3) alla
diffusione (2.11) occorre che:
W ′(t) = W (t) +µ− r
σt, (2.13)
e il teorema di Girsanov ci dice che in questo caso il cambio di probabilita e dato da:
dQdP = exp
(
−µ− r
σt− 1
2
(µ− r)2
σ2t
)
(2.14)
17
La grandezza µ−rσ, che gioca quindi un ruolo cruciale nel passare dalla probabilita naturale alla probabilita
neutrale al rischio, e detta premio al rischio. Essa ha un’interpretazione economica naturale: e il rendimento
in eccesso richiesto dagli investitori per unita di σ, che e una misura della rischiosita del titolo, per detenere
il titolo rischioso.
Dal punto di vista pratico, le soluzioni fornita dall’equazione differenziale parziale (2.9) e dal valore atteso
(2.12) sono entrambe fornite in forma esplicita. La possibilita di scrivere la soluzione in forma esplicita
dipende dalla funzione ϕ(·) che esprime il payoff del derivato. Tuttavia, qualora la funzione ϕ(·) sia taleda non consentire di scrivere la soluzione in forma implicita, la formulazione (2.10) e piu comoda perche
permette il raggiungimento della soluzione con tecniche Monte Carlo. Anche l’equazione (2.9) puo essere
risolta con metodi numerici (metodo delle differenze finite), ma con molte piu difficolta.
Notiamo infine che i risultati esposti dipendono unicamente dall’assenza di arbitraggio, e sono totalmente
indipendenti dalle preferenze degli agenti. Questo fatto e un notevole punto di forza della teoria, poiche le
preferenze degli agenti sono difficilmente “quantificabili” , mentre l’assenza di arbitraggi e verificabile (e
verificata) in ogni mercato.
2.3 Il valore di una call europea
Usiamo i risultati nel paragrafo precedente per trovare il valore di una call europea. In questo caso abbiamo
ϕ(x) = (x−K)+. Usiamo la formulazione probabilistica (2.10) e scriviamo quindi:
F (t, S(t)) = e−r(T−t)∫ +∞
0
(S(T ) −K)+dQ(S)
L’integrale inizia da 0 perche S(T ) ha una distribuzione lognormale, quindi con supporto solo sui numeri
positivi. L’integrale in questione si calcola sfruttando esplicitamente la soluzione per S(T ) sotto Q. InfattiS(T ) = S(t)eY , dove Y e, sotto Q, una variabile aleatoria normale con media
(
r − σ2
2
)
(T − t) e varianza
σ2(T − t). Allora conviene scrivere S(T ) = exp[(
r − σ2
2
)
(T − t) + σ√T − t Z
]
, dove Z e una variabile
normale standard. Il prezzo della call diventa quindi:
F (t, S(t)) = e−r(T−t)∫ +∞
−∞
(
S(t)e
“
r−σ2
2
”
(T−t)+σ√T−t z −K
)+
φ(z)dz
dove φ(z) = 1√2πe−
z2
2 e la densita di una distribuzione normale standard. L’argomento dell’integrale e
nullo se:
S(t)e
“
r−σ2
2
”
(T−t)+σ√T−t z ≤ K,
cioe se:
z <log K
S(t) −(
r − σ2
2
)
(T − t)
σ√T − t
= z0,
18
quindi abbiamo:
F (t, S(t)) = e−r(T−t)∫ +∞
z0
(
S(t)e
“
r−σ2
2
”
(T−t)+σ√T−t z −K
)
φ(z)dz.
Ora calcoliamo separatamente i due pezzi nell’integrale. Per il primo abbiamo:
e−r(T−t)∫ +∞
z0
S(t)e
“
r−σ2
2
”
(T−t)+σ√T−t z 1√
2πe−
z2
2 dz =S(t)√
2π
∫ +∞
z0
e−12 (z−σ
√T−t)2dz.
Se definiamo la funzione N (x) =∫ x
−∞ φ(x)dx, cioe la densita normale standard cumulata, sfruttando la
simmetria della distribuzione normale abbiamo che l’integrale sopra e uguale a S(t)N (−z0 +σ√T − t). Per
il secondo pezzo dell’integrale abbiamo:
e−r(T−t)∫ +∞
z0
− K√2πe−
z2
2 dz = −Ke−r(T−t)N (−z0)
In conclusione, abbiamo:
F (t, S(t)) = S(t)N (−z0 + σ√T − t) −Ke−r(T−t)N (−z0)
Definiamo ora:
d1 = σ√T − t− z0 =
log S(t)K
+(
r + σ2
2
)
(T − t)
σ√T − t
(2.15)
d2 = d1 − σ√T − t (2.16)
Abbiamo:
F (t, S(t)) = S(t)N (d1) −Ke−r(T−t)N (d2) (2.17)
La formula (2.17) e nota come formula di Black e Scholes. La formula per l’opzione put puo essere trovata
facendo ricorso alla put-call parity.
2.4 Hedging
La procedura di hedging (copertura) consiste nel risolvere il seguente problema: dato un derivato, il cui
valore nel tempo e dato dalla funzione F (t, S(t)), si costruisca un portafoglio formato dal sottostante e dal
titolo privo di rischio che abbia lo stesso valore in ogni istante temporale. Tale portafoglio garantirebbe
una replicazione, cioe la possibilita di detenere un attivo finanziario del tutto equivalente al derivato, ma
utilizzando i due titoli che costituiscono il modello di Black & Scholes.
Supponiamo di avere un attivo rischioso che si evolve secondo il moto geometrico browniano (2.3) e un
titolo risk-free che se evolve secondo la legge esponenziale (2.1). Supponiamo di avere venduto un’opzione
europea con payoff a scadenza dato da ϕ(S(T )).
19
Il payoff a scadenza e incerto: l’acquisto di un’opzione e un’attivita rischiosa. L’hedging (o copertura) con-
siste nell’annullamento del rischio insito nell’acquisto del derivato. Per eliminare il rischio, aggiungiamo in
portafoglio quote del sottostante. Costruiamo dunque un portafoglio dal valore V composto da uS quote
del sottostante e (1 − uS) quote del titolo risk-free. La variazione percentuale di valore di tale portafoglio
sara data da:
dVtVt
= uSdStSt
+ (1 − uS)dBtBt
da cui si ricava facilmente:
dVtVt
= uS(µdt+ σdWt) + (1 − uS)rdt = us(µ− r)dt+ rdt+ usσdWt
Adesso imponiamo che il valore del portafoglio Vt sia uguale al valore F (t, St) che vogliamo replicare.
Utilizzando il lemma di Ito e sostituendo nell’espressione precedente otteniamo:
dF
F=
1
F
(∂F
∂t+ µSt
∂F
∂S+
1
2σ2S2 ∂
2F
∂S2
)
dt+1
F
∂F
∂SσSdWt
La soluzione di una SDE e unica, pertanto se V0 e pari al prezzo dell’opzione, i termini diffusivi di V e di F
devono coincidere; pertanto ricavo la condizione di hedging:
uS =S
F
∂F
∂S(2.18)
Notiamo che il termine di drift di V coincide con quello di F automaticamente, per l’assenza di arbitraggio
che impone la PDE (2.9).
Pertanto, la quota di portafoglio da investire nel sottostante per effettuare la copertura non dipende dalla
volatilita del sottostante stesso. Tale quota uS e proporzionale a∂F∂S, che rappresenta il numero di quote del
sottostante da acquistare per unita del derivato. Tale termine prende il nome di ∆ definito da
∆ =∂F
∂S,
e per questo motivo la procedura appena esposta e nota come ∆-hedging.
Ad esempio, per un’opzione call si ottiene facilmente:
∆ = N (d1)
Possiamo anche affermare che il delta esprime la variazione infinitesima di prezzo del derivato per unita di
variazione del prezzo del sottostante.
20
La strategia di hedging mira quindi a neutralizzare l’effetto stocastico di un derivato. La somma del porta-
foglio replicante e del derivato ha valore zero in ogni istante. Dov’e dunque la convenienza dell’operazio-
ne? Per un intermediario finanziario, il guadagno deriva dalla vendita dell’opzione ad un prezzo superiore
a quello teorico per la presenza di un margine di intermediazione. Tale margine costituisce il costo del
servizio finanziario, ma poiche tale servizio riguarda un evento dall’esito incerto (il payoff a scadenza del-
l’opzione), e possibile che il guadagno in media (rappresentato dal margine) non sia in realta sufficiente
a coprire le perdite potenziali. Quindi viene reinvestito nella strategia di hedging per realizzare un por-
tafoglio completamente immunizzato. In tale maniera, gli intermediari riescono a trasformare un bilancio
positivo ma stocastico in un bilancio positivo e certo.
Tuttavia, e anche necessario osservare che il delta varia nel tempo, costringendo ad un continuo ribilan-
ciamento del portafoglio costruito per la copertura. Il ∆-hedging e quindi limitato da costi di transazione
(dipendono dai volumi scambiati), mancanza di liquidita sul mercato del sottostante e dal costo di even-
tuali vendite allo scoperto del sottostante; tutto questo senza accennare al rischio di modello, cioe il rischio
che il modello di Black e Scholes non descriva adeguatamente la dinamica del sottostante e che quindi il∆
non sia adeguato alla copertura.
In ogni caso, il ∆-hedging funziona tanto meglio quanto minore e la velocita di variazione del delta. Tale
velocita non e altro che la derivata del delta rispetto al sottostante, e prende il nome di Γ:
Γ =∂∆
∂S=∂2F
∂S2
Allo stesso modo si definiscono poi le restanti greche per ogni fattore di rischio relativo al prezzo di un’op-
zione, precisamente:
• ρ = ∂F∂resprime il rischio di tasso di interesse
• V ega = ∂F∂σesprime il rischio di volatiltia
• Θ = ∂F∂tesprime il rischio temporale
Come nel caso del Gamma, le derivate seconde incrociate (valga, vanna)permettono di esprimere le rischio-
sita delle greche stesse.
2.5 Volatilita implicita model-free
La volatilita implicita, ottenuta invertendo la formula di Black e Scholes, gioca un ruolo fondamentale in
finanza. In varie salse, essa rappresenta l’ingrediente di valutazione fondamentale per i derivati, sia sulle
azioni che sui tassi di interesse. Tuttavia, essa soffre della limitazione di essere definita dal modello di Black
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e Scholes, cioe dalla diffusione lognormale. Non rappresenta quindi un indicatore affidabile se il modello
sottostante non e lognormale.
Per questo motivo, sui mercati finanziari odierni e utilizzata una volatilita implicita che non dipende da
alcun modello (model-free), e che coincide con la volatilita implicita di Black e Scholes nel caso in cui questo
sia il modello che ha generato i rendimenti.
La definizione di volatilita implicita model-free si basa sulla seguente osservazione (Britten-Jones and
Neuberger, 2000). Il prezzo in t di una call con maturita T e strikeK si scrive:
Ct(T,K) = e−r(T−t)∫ +∞
0
(ST −K)+ψ(ST = S)dS
dove ψ(ST = S) e la probabilita risk neutral di osservare il prezzo S a scadenza, non necessariamente data
dalla lognormale. Se derivo rispetto aK ottengo:
∂C
∂K= e−r(T−t)
∫ +∞
K
−ψ(St = S)dS
e se derivo una seconda volta rispetto aK ottengo:
∂2C
∂K2= e−r(T−t)ψ(ST = K)
Pertanto, posso ottenere la probabilita futura di ottenere un certo prezzo derivando due volte il prezzo oggi
della call rispetto allo strike. Tale intuizione viene generalizzata nella seguente proposizione:
EQ
(∫ T
t
dSuSu
)2
= 2
∫ +∞
0
C0(T,Ker(T−t)) − C0(t,Ke
r(T−t))
K2dK (2.19)
Definiamo la model-free implied volatility proprio come:
IV (t, T ) = EQ
(∫ T
t
dSuSu
)2
(2.20)
In teoria, essa puo essere calcolata disponendo dei prezzi di call con strike che vanno da 0 a +∞; in ognicaso, essa viene calcolata ed ampiamente utilizzata con gli strike disponibili, usando tecniche di interpo-
lazione. Il vantaggio di questa misura di volatilita implicita e di non dipendere dal modello con cui sono
state valutate le call.
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