Elenco dei simboli più importanti

Elenco dei simboli più importanti

SIMBOLO SIGNIFICATO= uguale≠ diverso (disuguale)≅ circa uguale< minore> maggiore≤ minore o uguale≥ maggiore o uguale± più o meno

∣a∣ valore assoluto (modulo) di a: a2=∣a∣={ a , se a≥0−a , se a0

Insiemi

∈ appartiene∉ non appartiene∃ esiste (ovvero ∃ è il quantificatore esistenziale)∀ per ogni (ovvero ∀ è il quantificatore universale)

Insiemi numericiℕ Numeri interi positivi o numeri naturaliℤ Numeri interi relativiℚ Numeri razionaliℝ Numeri realiℂ Numeri complessi o immaginari

Operazioni insiemistiche

∪ Unione

∩ Intersezione

Relazioni insiemistiche

⊆ È contenuto o è uguale a... (concetto di sottoinsieme)

⊂ È contenuto in ...

⊇ Contiene o è uguale a... (concetto di soprainsieme)

⊃ Contiene...

∅ Insieme vuoto (cioè ∅ è l'insieme che non contiene alcun elemento)

Logica∨ o (inclusivo), vel, or (disgiunzione inclusiva)∧ e, et, and (congiunzione)

⇒ oppure se…allora… oppure: implica (deduzione)⇔ se e solo se

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Proprietà delle potenze e alcune formule algebriche più importanti

Proprietà delle potenze e alcune formule algebriche più importanti

Proprietà delle potenze

Siano a∈ℝed n∈ℤ. Ricordiamo, anzitutto, le seguenti definizioni: 1) se n > 1, si chiama potenza ennesima (o n-ma) del numero reale a, il prodotto di n fattori

uguali ad a, cioè:an= a⋅a⋅a⋅. . . . . .⋅a

n volte

2) se n = 1, si pone a1=a ;3) se n = 0 e a ≠ 0, si pone: a0=1 ;

4) se n < 0 e a ≠ 0, si pone: an= 1

a−n.

Dalle definizioni date segue che le proprietà delle potenze a esponente intero dei numeri razionali, valgono anche per le potenze a esponente intero dei numeri reali.Cioè, se a ,b∈ℝed m ,n∈ℤ , risulta:

a) am⋅an=amn ; d) a⋅b n=an⋅bn ;

b) am :an=am−n ; e) ab n

=an

bn .

c) a m n=amn ;

Elenco di alcune formule algebriche più importantiDati a ,b e c∈ℝ si può provare facilmente che valgono le seguenti identità:

1. Differenza fra quadrati: a2−b2= a−b ⋅ab

2. Quadrato di un binomio: a±b 2=a2±2a bb2 ;

3. Cubo di un binomio: a±b 3=a3±3 a2 b3ab2±b3

4. Somma e differenza fra cubi: a3±b3=a±b ⋅a2∓abb2 5. Quadrato di un trinomio: abc 2=a2b2c22a b2ac2bc

N.B. Nell'insieme dei numeri reali R la somma di quadrati a2b2 non si può scomporre. Tuttavia, esistono delle formule, utili in determinati casi, che consentono una fattorizzazione particolare di un gruppo di polinomi ed esattamente:

• a2b2= a±b 2∓2a b

• a4b4=a2±b2 2∓2 a2 b2 e, in generale:

• ∀ n∈N si ha: a2nb2n=an±bn 2∓2an bn

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I sistemi di equazioni di primo grado

I sistemi di equazioni di primo grado

Innanzitutto ricordiamo che la forma normale (o canonica) di un sistema in due equazioni di primo grado è la seguente:

{a xb y=ca ' xb' y=c '

(1)

dove a, b, c, a', b' e c'∈ e ℝ x e y rappresentano le incognite. Tuttavia, se il sistema assegnato non fosse scritto in forma normale, con le operazioni di m.c.m., somme fra monomi simili, semplificazioni ecc..., è sempre possibile riuscire a riscriverlo nella forma algebrica migliore possibile per applicare uno dei metodi risolutivi illustrati nei paragrafi seguenti. Domanda: che cosa ci facciamo con un sistema?Risposta: l'obiettivo che ci poniamo è trovare una soluzione, sempre ammesso che esista.A questo proposito, se il sistema (1) ha una soluzione, si dirà che è determinato, se, invece, il sistema (1) non ha soluzione si dirà che è impossibile e, infine, se il sistema (1) ha infinite soluzioni si dirà che è indeterminato. Ammesso che il sistema (1) sia determinato. una soluzione sarà rappresentata da una coppia ordinata di numeri reali che si potrà indicare in uno dei due seguenti modi:

x0 , y0 oppure {x= x0

y= y0

, dove x0 e y0∈ℝ .

Esempi:

1. Il sistema: {13 x21 y=2254 x−5 y=−11

è determinato e l'unica soluzione è: 6 ,7 oppure {x=6y=7

;

2. Il sistema: {x y=1x y=0

è impossibile poiché non ha soluzione;

3. Il sistema: {x y=12 x2 y=2

è indeterminato poiché ha infinite soluzioni.

I. Metodo di sostituzioneDopo aver effettuato tutte le operazioni presenti nel sistema e ridotto i monomi simili, si isola un'incognita da una delle due equazioni, ossia si ricava un’incognita in funzione dell’altra seguendo possibilmente il consiglio di isolare quell'incognita il cui coefficiente numerico è o uguale esattamente ad 1 oppure più prossimo ad 1. Poi, se la variabile isolata si trova al membro di sinistra dell'uguaglianza, sostituiamo l'espressione che è al membro di destra, nella restante equazione che, riducendosi ad una sola variabile, si risolve facilmente.Infine il valore dell’incognita così ottenuto lo sostituiamo nell’equazione in cui l’altra incognita era stata isolata.Esempio: risolviamo il seguente sistema con il metodo di sostituzione:

{3 x−6 44 y−7

5= x4

10− y−3

42 x3− y1

2=3 x−1

5−5 y1

12

calcoliamo il m.c.m:

{15 x−6 16 y−7 20

=2 x4 −5 y−3 20

40 x−30 y1 60

=36 x−1 −5 5 y1 60

eliminiamo i denominatori:

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I sistemi di equazioni di primo grado

{15 x−9016 y−112=2 x8−5 y1520 x−30 y−30=36 x−36−25 y−5

isoliamo le incognite dalle costanti:

{15 x−2 x16 y5 y=9015811240 x−36 x−30 y25 y=−36−530

semplifichiamo e scriviamo il sistema in forma normale:

{13 x21 y=2254 x−5 y=−11

isoliamo x nella seconda equazione:

{13 x21 y=225

x=5 y−114

sostituiamo nella prima equazione

{135 y−114 21 y=225

x=5 y−114

nella prima equazione abbiamo una sola incognita: risolviamo allora rispetto ad essa:

{65 y−14384 y=900

x=5 y−114

⇒{149 y=1043

x=5 y−114

⇒ {y=1043149=7

x=5 y−114

infine sostituiamo il valore di y così determinato nella seconda equazione per trovare x:

{y=7

x=5⋅7−114=24

4=6

e la soluzione, riscritta in forma ordinata, è:

{x=6y=7

.

II. Metodo di somma o sottrazione o metodo di riduzione

Dopo aver effettuato tutte le operazioni presenti nel sistema, ridotto i monomi simili e posto il sistema nella forma canonica,

II.a si individua il minimo comune multiplo dei coefficienti di un’incognitaII.b si trova il fattore che consente di ottenere tale m.c.m. (e il suo opposto) per

l’incognita considerataII.c si sommano algebricamente in colonna le due equazioni: in questo modo scompare

un’incognitaII.d si risolve l’equazione così ottenuta ad una sola incognitaII.e a scelta si può ripetere il procedimento per l’eliminazione dell’altra incognita oppure

effettuare il metodo di sostituzione.Esempio svolto (riprendendo l'esempio del numero I):

{13 x21 y=225, chiamiamo (1 ) la prima equazione4 x−5 y=−11 , chiamiamo (2 ) la seconda equazione

Procediamo cercando di eliminare la x: il m.c.m. tra 13 e 4 è 52, perciò moltiplichiamo la prima equazione per 4 e la seconda per 13 (queste moltiplicazioni sono ammesse in virtù del secondo principio di equivalenza per le equazioni). Fatto ciò, eseguiamo la sottrazione membro a membro. Conveniamo di indicare questa operazione con la seguente notazione:

4 1 −13 2

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I sistemi di equazioni di primo grado

dove 1 e 2 indicano, rispettivamente come scritto sopra, la prima e la seconda equazione del sistema e conseguentemente:

{4 13 x21 y =4⋅22513 4 x−5 y =13⋅−11

Per eliminare la y è sufficiente eseguire la sottrazione membro a membro ovvero:

{52 x84 y=90052 x−65 y=−143

⇒ {52 x84 y=90052 x−65 y=−143

__________________________________

52 x−52 x84 y65 y=900143

⇒ 149 y=1043⇒ y=7

In maniera del tutto equivalente, eseguiamo l'operazione:5 1 21 2

allo scopo, stavolta di eliminare la y:

{5 13 x21 y =5⋅22521 4 x−5 y =21⋅−11

⇒ {65 x105 y=112584 x−105 y=−231

__________________________________

65 x84 x105 y−105 y=1125−231

⇒ 149 x=894⇒ x=6

Quindi la soluzione è: {x=6y=7

.

III. Metodo del confrontoÈ un'applicazione della proprietà transitiva dell'uguaglianza che afferma che se A=B e B=C allora A=C . Infatti, se il sistema è ridotto alla forma normale, isoliamo la

stessa espressione in entrambe le equazioni e, poi (in virtù della proprietà transitiva dell'uguaglianza), uguagliamo le espressioni situate ai membri di destra.Si ottiene così un’equazione in una sola incognita (per es. x), facilmente risolvibile.Allo scopo di individuare il valore dell'altra incognita (la y), sostituiamo il valore ottenuto (di x) in una delle due equazioni di partenza e così riusciamo ad ottenere la soluzione completa.Esempio svolto (riprendendo ancora l'esempio del numero I):

{13 x21 y=2254 x−5 y=−11

isoliamo x da entrambe le equazioni:

{x=225−21 y13

x=5 y−114

uguagliamo i due membri di destra:225−21 y

13=5 y−11

4⇒ 900−84 y

52=65 y−143

52eliminiamo i due denominatori e risolviamo rispetto ad y:

−65 y−84 y=−900−143⇒−149 y=−1043⇒ y=−1043−149

=7

Adesso, isoliamo y da entrambe le equazioni ed uguagliamo ancora i due membri di destra:

{y=225−13 x21

y=114 x5

⇒225−13 x21

=114 x5

calcoliamo il m.c.m (=110), eliminiamo i due denominatori e risolviamo rispetto ad x :

1125−65 x=23184 x⇒−65 x−84 x=231−1125⇒−149 x=−894⇒ x=−894−149

⇒ x=6

Quindi la soluzione è: {x=6y=7

.

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I sistemi di equazioni di primo grado

IV. Metodo di Cramer o delle matrici

Consideriamo ancora un sistema ridotto alla forma normale: {a xb y=ca ' xb' y=c '

.

Siano delta, delta x, delta y, rispettivamente, le seguenti espressioni:

=∣a ba' b'∣=a⋅b '−a '⋅b, x=∣c b

c ' b '∣=c⋅b'−c '⋅b e y=∣a ca ' c '∣=a⋅c '−a '⋅c .

Se ≠0 le soluzioni si trovano calcolando:

x=x

e y=

y

Esempio svolto (riprendendo un'ultima volta l'esempio del numero I):

{13 x21 y=2254 x−5 y=−11

=∣13 214 −5∣=13⋅−5 −4⋅21=−65−84=−149,

x=∣225 21−11 −5 ∣=225⋅−5 11⋅21=−1125231=−894 e

y=∣13 2254 −11 ∣=13⋅−11 −4⋅225=−143−900=−1043

⇒{ x=x

=−894−149

=6

y= y

=−1043−149

=7

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Definizione e proprietà dei radicali

Definizione e proprietà dei radicali

Definizione: dati tre elementi a∈R+ e m , n∈N si definisce radicale di indice m e radicando an

la potenza anm ed esattamente:

anm =

DEF. =

m√an

Quindi per poter svolgere agevolmente qualunque operazione con i radicali sarà necessario applicare correttamente le proprietà delle potenze. Intanto ricordiamo che:

Se n è numero intero pari Se n è numero intero dispari

na=b significa a=bn

se a, b sono numeri reali positivi o nulli

na=b significa a=bn

se a, b sono numeri reali positivi, negativi o nulli

Esempi: 9=3 ; mentre −9 non esiste ; 327=3 e 3−27= -3 .

Operazioni:Semplificazione: nan=a ; ad esempio

454=5 .n⋅pam⋅p=

nam ; esempio: 14a30=

7a15 ; poiché si semplifica la frazione 3014

=157 .

Somma di radicali: si esegue solo se i radicali sono simili : an xb

n x= ab n x ;Esempio: 2252=72 ; mentre non si può calcolare: 2352 .

Prodotto di radicali: si esegue solo se gli indici delle radici sono uguali:n xm⋅

n y p=n x m y p .

Esempio 1: na x⋅mb y=

pa x⋅ p

n b y⋅pn ; dove con p si è indicato il m.c.m.(n, m)

Esempio 2: 325⋅435=

3⋅4 254⋅4⋅ 3 35 3=12 220⋅315 .Quoziente di radicali: si esegue solo se gli indici delle radici sono uguali: n xm :

n y p=n xm: y p .

Esempio 1: na x:mby=

pa x⋅p

n : b y⋅ p

n = p a x⋅ p

n

b y⋅ p

n ; dove con p si è indicato il m.c.m.(n, m)

Esempio 2: 325:

435=3⋅4 25 4 :

4⋅ 3 353=12 220

315.

Trasporto di fattori sotto il segno di radice: anbm=

nbm⋅an ; Es.: 3⋅354=

354⋅ 33 ;

Trasporto di fattori fuori dal segno di radice: nbm⋅an=a

n bm ; Es.: a6⋅b3=a6⋅b21=a3⋅b⋅b

Potenza di radicali: na m= nam ; Esempio: 43 3= 433 .

Radice di radice: mna= m⋅n a ; Esempio:

467=4⋅ 6 7=247 .

Razionalizzazione del denominatore. Esaminiamo tre casi:

1. ab= ab⋅bb=ab

b; 2.

abc

= abc

⋅b−cb−c

=a b−c b−c

;

3. a

nbm= a

nbm⋅

nbn−m

nbn−m= a⋅

nbn−m

nbmn−m=a⋅

nbn−m

nbn=a⋅

nbn−m

b.

Radicali doppi:vale la seguente identità (utile se la quantità (a2 - b) è un quadrato):

a±b= aa2−b2

± a−a2−b2

.

Esempio: 23= 222−32

2−22−32

= 212 2−1

2= 3

2 1

2.

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Formula risolutiva dell'equazione algebrica di secondo grado e fattorizzazione del trinomio di 2°

Formula risolutiva dell'equazione algebrica di secondo grado e fattorizzazione del trinomio di 2°

Un’equazione algebrica di secondo grado (=2°) è un oggetto algebrico che, scritto nella forma completa, si può rappresentare così:

ax 2bxc=0 dove a , b e c∈R e a ≠ 0.Possiamo facilmente provare che le soluzioni possono essere scritte nella seguente forma:

x=−b±b2−4 ac2a

Adesso conveniamo di chiamare il radicando del radicale che compare nella formula risolutiva discriminante dell’equazione di 2° ponendolo, per comodità, uguale a Δ (si legge: delta) e cioè:

=b2−4 a c .Per classificare le due soluzioni dobbiamo considerare tre casi (in base alle variazioni del segno di ∆):1) Δ > 0 . Allora la è un numero reale e abbiamo due soluzioni x1 , x2 reali e distinte

x1≠x2 2) Δ = 0 . Allora la è uguale a 0 e abbiamo due soluzioni x1 , x2 reali ma coincidenti

x1=x2 3) Δ < 0 . Allora la non è un numero reale e l’equazione completa ax 2bxc=0 non ha

soluzioni reali.

Esempio:risolviamo l’equazione: 2 x 2−9 x−5=0 .

Innanzitutto si ha: {a=2b=−9c=−5

. Applichiamo la formula e otteniamo:

x=−b±b2−4 ac2a

=9±81−4 2 −5 4

==9±1214

=9±114

.

Allora: x1=911

4=20

4=5 e x2==

9−114=−2

4=−1

2.

Troviamo un'applicazione di questa formula nella fattorizzazione a coefficienti reali del trinomio di secondo grado a x2b xc . A questo proposito è facile dimostrare che vale la seguente identità:(1) a x2b xc =

≥0

a x− x1 x−x2 dove x1 e x 2 sono le soluzioni reali dell'equazione algebrica associata al trinomio e cioè le soluzioni

dell'equazione: ax 2bxc=0 .

Esempio:

Consideriamo il trinomio: −12

x2−3 x2 . Troviamo le soluzioni dell'equazione algebrica asso-ciata:

−12

x2−3 x2=0⇒ x=3±94−1

=−3±13 . Applicando la formula (1) possiamo quindi

fattorizzare il trinomio e esattamente:

−12

x2−3 x2=−12x−3−13 ⋅ x−313 .

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Indice

Indice

Indice generaleElenco dei simboli più importanti..........................................................................................................1Proprietà delle potenze e alcune formule algebriche più importanti......................................................2I sistemi di equazioni di primo grado.....................................................................................................3Definizione e proprietà dei radicali........................................................................................................7Formula risolutiva dell'equazione algebrica di secondo grado e fattorizzazione del trinomio di 2°.....8Indice......................................................................................................................................................9

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