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APPUNTI DI TOPOGRAFIA

IDONEITA’ ALLA CLASSE 4a

PROF. SPADARO EMANUELE

Topografia: Argomenti Minimi Per l’Idoneità Alla Classe Quarta

http://spadaroemanueletopografia.bloog.it/topografia 2

Alfabeto Greco

Lettera Greca

minuscola maiuscola

Corrispondentelettera italiana

Nome dellelettere

A a alfa B b beta g gamma d delta E e épsilon Z z zeta H e éta th theta I i iota K c cappa l lambda M m mu N n nu cs csi O o òmicron p pi (greco) P r rho s sigma T t tau Y u (francese) upsilon f fi X ch chi ps psi o oméga

Segni Matematici

Segno significato Segno significato

perpendicolare, a 90° circa non perpendicolare maggiore parallelo maggiore o uguale uguale e parallelo minore uguale (identico) minore o uguale coincidente sommatoria non uguale (diverso) appartiene congruenete non appartiene simile da, a



DEFINIZIONE DI ANGOLO

Si definisce angolo la parte di piano compresa fra due semirette che hanno origine nello stessopunto

fig. 1

DEFINIZIONE DI ANGOLO ORIENTATO

Per evitare l’incertezza se si intenda o l’angolo fra i due segmenti OA e OB è opportuno dareun orientamento al senso di rotazione che deve avere un segmento per sovrapporsi all’altro con ilquale forma l’angolo in questione.In topografia si usa il senso orario e si dirà che l’angolo è rappresentato dalla rotazione che devecompiere il segmento OA per sovrapporsi ad OB. Si scriverà quindi:

= AOB; = BOA.

Esercizio propostoRappresentare in scala opportuna la spezzata (poligonale aperta) della quale sono noti i seguenti

elementi:

AB = 16,28m; BC = 19,32m; CD = 15,12m; DE = 10,92m; EF = 13,12m; ABC = = 140°;BCD = = 130°; CDE = = 100°; DEF = = 280°.

Suggerimento: utilizzando un goniometro destrorso (che avanza con la graduazione in senso orario),posizionare lo zero nella direzione della prima lettera della terna che individua il generico angolo eil numero che rappresenta la sua ampiezza nella direzione della terza lettera.

UNITA’ DI MISURA DEGLI ANGOLI

Le unità di misura angolari utilizzati in topografia sono :i sessagesimali (sg);i sessadecimali (sd);i centesimali o gon (g);i radianti (rad) per la verità questi sono quasi mai utilizzati in topografia.

I Sessagesimali

L’unità di misura è il grado che si definisce come la novantesima parte dell’angolo retto.L’angolo sessagesimale si indica con i gradi (°), i primi (‘) e i secondi (“). primi e secondi sonosottomultipli del grado.



In particolare:

1° (un grado) = 60’ (sessanta primi)

1’ (un primo) = 60” (sessanta secondi)

perciò: 1° = 3600”

In genere un angolo in sessagesimali si indica: sg = g° p’ s”. Ad esempio = 65°44’38”.

I Sessadecimali

L’unità di misura è la stessa del sistema sessagesimale.Il sistema sessadecimale è stato introdotto per semplificare le operazioni di calcolo un tempo

onerose. L’angolo sessadecimale è composto da gradi, decimi, centesimi,millesimi e decimillesimidi grado.

Un esempio di angolo sessadecimale è il seguente: = 121°,6359.

Sia per i sessagesimali che per i sessadecimali le calcolatrici scientifiche vanno impostate inDEG (D).

I Centesimali (o Gon)

Sono strutturati in modo analogo ai sessadecimali, perciò hanno una parte intera rappresentatadai gradi centesimali (o gon) e quattro decimali che rappresentano i decimi, centesimi, millesimi edecimillesimi di grado.

L’angolo giro in centesimali conta 400gon, l’angolo piatto 200gon e l’angolo retto 100gon.Perciò il grado centesimale corrisponde alla centesima parte dell’angolo retto.

Vi sono modi diversi per scrivere un angolo centesimale.

1° modo: = 75c, 42¯73¯ ¯

75c = gradi centesimali

42¯ = primi centesimali

73¯ ¯ = secondi centesimali

essendo: 1¯ (un primo centesimale) = 1c /100 (un centesimo di grado)

ed 1¯ ¯ (un secondo centesimale) = 1c /10000 (un decimillesimo di grado)

2° modo: = 75g, 42c 73 cc

75g = gradi centesimali

42c = primi centesimali



73cc = secondi centesimali

analogamente a prima si avrà:

1c = 1g /100 ed 1cc = 1g /10000.

3° modo: è molto utilizzato perché più pratico e veloce

= 75c, 4273.

4° modo: è il modo più utilizzato perché più pratico, veloce e moderno

= 75g, 4273 oppure = 75,4273gon.

Per operare con i centesimali le calcolatrici scientifiche vanno impostate in GRAD (G).

Sistema Assoluto O Analitico

L’unità di misura è il radiante che è l’angolo che sottende un arco lungo come il raggio dellacirconferenza a cui l’arco appartiene.

= 1rad se AB = R

Tra arco, angolo e raggio del settore circolareOAB esiste la seguente relazione:

rad = AB / Rfig. 2

L’angolo giro nel sistema assoluto vale 2 radianti, l’angolo piatto vale radianti, l’angoloretto vale /2 radianti.

Per operare con i radianti le calcolatrici scientifiche vanno impostate in RAD (R).

PASSAGGIO FRA SESSADECIMALI, CENTESIMALI E RADIANTI

Per effettuare questi passaggi, tenendo conto della proporzionalità fra l’angolo in una determinataunità di misura e il corrispondente angolo piatto, è sufficiente applicare le seguenti uguaglianze:

sd g rad

------- = ---------- = -------- .180° 200gon rad



FUNZIONI

Si dice funzione l’operatore matematico che ad ogni valore della variabile indipendente x associaun solo valore della variabile dipendente y.In generale si scrive:

y = f(x)Alcuni esempi di funzioni sono i seguenti:

y = 2x + 3; y = x2 - 1; xy .

FUNZIONI GONIOMETRICHE

Nelle funzioni goniometriche la variabile indipendente è un angolo mentre la variabiledipendente è un numero adimensionato.Le funzioni goniometriche più importanti per la topografia sono:

1. la funzione seno (sin);2. la funzione coseno (cos);3. la funzione tangente (tg);4. la funzione cotangente (cotg).

DEFINIZIONE DI SENO E COSENO TANGENTE E COTANGENTE

Per definire le funzioni goniometriche utilizzeremo il cerchio goniometrico. Tale cerchio ècaratterizzato dal fatto che il suo raggio è sempre unitario. Ciò non vuol dire che devenecessariamente valere un centimetro o un decimetro o un metro o un ..... ma vuol dire chequalunque sia la sua lunghezza essa va presa come unità di misura del disegno.

fig. 3

Si definisce seno dell’angolo la proiezione del raggio BC sull’asse orizzontale (per questodetto asse dei seni) perciò:

CD = AB = sin



Analogamente si definisce coseno dell’angolo la proiezione del raggio BC sull’asse verticale(per questo detto asse dei coseni) perciò:

AC = BD = cos.

In base alla definizione data sia il seno che il coseno avranno valori compresi fra -1 e 1.

Si definisce tangente dell’angolo il segmento EF della retta tangente al cerchio goniometrico eparallela all’asse dei seni. Essendo E il punto di tangenza col cerchio ed F il punto di intersezionefra la retta tangente e il prolungamento del raggio del cerchio goniometrico. Perciò:

EF = tg.

Si definisce cotangente dell’angolo il segmento GH della retta tangente al cerchiogoniometrico e parallela all’asse dei coseni. Essendo G il punto di tangenza col cerchio e H il puntodi intersezione fra la retta tangente e il prolungamento del raggio del cerchio goniometrico. Perciò:

GH = cotg.

In base alla definizione data sia la tg che la cotg hanno valori compresi fra meno infinito (- ) epiù infinito (+ ).

Esercizio risoltoCalcolare graficamente, in base alle definizioni, e con l’uso della calcolatrice scientifica il seno,

il coseno, la tangente e la cotangente del seguente angolo: = 56°.Raccogliere i risultati in una tabella scrivendoli con 2 decimali per la risoluzione grafica e con 5 perla risoluzione con calcolatrice scientifica.

Risoluzione grafica:Si costruisce la figura in modopreciso assumendo come unità dimisura il raggio BC. Quindi simisurano con accuratezza isegmenti CD, AC, EF ed GHdividendo la lunghezza di ognisegmento per la lunghezza delraggio BC si determinano i valoridelle funzioni goniometriche.Dalla figura si legge:

BC = 27 mm; CD = 23 mm;AC = 15 mm;EF = 38 mm; GH = 19 mm.

fig. 4

sin = 23 : 27 = 0,85; cos = 15 : 27 = 0,56; tg = 38 : 27 = 1,41; cotg = 19 : 27 = 0,70.



Risoluzione con calcolatrice scientifica:Dopo avere impostato la calcolatrice in DEG si procede nel seguente modo:

sin 5 6 = 0,82904; cos 5 6 = 0,55919;

tg 5 6 = 1,48256.

risoluzione grafica risoluzione con calcolatricescientifica

sin56°cos56°tg56°

cotg56°

0,850,561,410,70

0,829040,559191,48256

non siamo ancora in gradodi calcolarlo

Si nota una sufficiente rispondenza fra le due serie di risultati. Naturalmente i risultati grafici sonoaffetti da inevitabili errori di graficismo.

Esercizio propostoCalcolare graficamente, in base alle definizioni, e con l’uso della calcolatrice scientifica il seno,

il coseno, la tangente e la cotangente del seguenti angoli: = 20°; = 40°; = 70°.Raccogliere i risultati in una tabella scrivendoli con 2 decimali per la risoluzione grafica e con 5 perla risoluzione con calcolatrice scientifica.

RELAZIONI FONDAMENTALI

Fra le funzioni goniometriche esistono alcune importanti proprietà.

Relazione fra seno e coseno

Fra seno e coseno esiste la seguente importante relazione fondamentale:

sin2 + cos2 = 1

Relazione fra seno coseno e tangente

Fra seno, coseno e tangente esiste la seguente importante relazione fondamentale:

tg = sin / cos

Relazione fra seno coseno e cotangente

Fra seno, coseno e cotangente esiste la seguente importante relazione fondamentale:

cotg = cos / sin



Relazione fra tangente e cotangente

Fra tangente e cotangente esiste la seguente importante relazione fondamentale:

cotg = 1 / tg

Esercizio risoltoCalcolare la cotangente di 58°.

Dopo aver impostato la calcolatrice in DEG si procede nel seguente modo:

1 : tg 5 8 = 0,62487

Esercizio risolltoDato sin = 3 / 5 determinare: cos, tg e cotg.

sapendo che: sin2 + cos2 = 1 _________si ricava: cos = 1 - sin2 = 4 / 5

per la tangente utilizzando la (3) si ricava: tg = sin / cos = 3/4

per la cotangente utilizzando la (5) si ricava: cotg = cos / sin = 4 / 3.

Esercizio risoltoData tg = 5 determinare: sin; cos e cotg.

per la cotangente si utilizza la sua relazione con la tangente: cotg = 1 / tg = 1 / 5

per determinare seno e coseno si scrive il seguente sistema: sin / cos = 5 sin2 + cos2 = 1

risolviamo per sostituzione: sin = 5 cos (5 cos)2 + cos2 = 1

25 cos2+ cos2 = 1

26 cos2 = 1 ______cos = 1 / 26

___e razionalizzando: cos = 26 / 26 ___infine: sin = 5 26 / 26.

Esercizio propostoSapendo che cotg = 3 determinare sin, cos, e tg.

Esercizio propostoSapendo che: sin x tg = 2 determinare sin, cos, tg e cotg.



SEGNI DELLE FUNZIONI GONIOMETRICHE NEI VARI QUADRANTI

In base alle definizioni date per le funzioni goniometriche, ragionando sul cerchio goniometricodeterminiamo i segni del seno e del coseno. Tenendo conto che se la proiezione del raggio è unsegmento a destra dell’origine (sull’asse dei seni) o verso l’alto (sull’asse dei coseni) il segno è piùviceversa è meno. Per i segni delle funzioni tangente e cotangente si utilizzano le relazioni (3) e (5).

1°quadrante0°90°

2°quadrante

90°180°

3°quadrante

180°270°

4° quadrante

270°360°

sin

cos

tg

cotg

+

+

+

+

+

-

-

-

-

-

+

+

-

+

-

-

fig. 5

VALORI DELLE FUNZIONI GONIOMETRICHE DI ALCUNI ARCHI NOTEVOLI

0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360°

sin 0 ½ 22

23 1 0 -1 0

cos 1 23

22 ½ 0 -1 0 1

tg 0 33 1 3 imp. 0 imp. 0

cotg imp. 3 1 33 0 imp. 0 imp.

FUNZIONI GONIOMETRICHE INVERSE

Nelle funzioni inverse le variabili cambiano di significato cioè la x diventa variabile dipendente ela y variabile indipendente. Se ad esempio la funzione diretta o semplicemente funzione è laseguente:

y = x2

la funzione inversa è: __x = y .

Le funzioni inverse goniometriche associano un angolo (arco) ad un numero. Per questo sonodette funzioni arco. Le funzioni goniometriche inverse che assumono importanza per la topografiasono:

arcoseno (arcsin) che è la funzione inversa del seno;



arcocoseno (arccos) che è la funzione inversa del coseno; arcotangente (arctg) che è la funzione inversa della tangente.

Arcoseno

L’arcoseno di un numero è l’angolo il cui seno è uguale al numero di partenza.La funzione arcoseno si scrive nel seguente modo:

= arcsin ydove: = angolo (arco) arcsin = funzione inversa y = numero adimensionato.

Poichè come già detto (vedi pag. 11) il seno può assumere solo valori compresi fra -1 e 1 lavariabile indipendente y potrà avere solo valori compresi in questo intervallo (estremi inclusi).

Esercizio risoltoCalcolare l’arcoseno di 0,38.Si imposta la calcolatrice nell’unità di misura in cui si intende ottenere l’angolo, (DEG per isessagesimali e i sessadecimali, GRAD per i centesimali) supponiamo DEG quindi:

2NDF sin 0 , 3 8 = 22°,33368 2NDF DMS 22°20'01",25

Arcocoseno

L’arcocoseno di un numero è l’angolo il cui coseno è uguale al numero di partenza.La funzione arcocoseno si scrive nel seguente modo:

= arccos ydove: = angolo (arco) arccos = funzione inversa y = numero adimensionato.

Poichè come già detto (vedi pag. 11) il coseno può assumere solo valori compresi fra -1 e 1 lavariabile indipendente y potrà avere solo valori compresi in questo intervallo (estremi inclusi).

Esercizio risoltoCalcolare l’arcocoseno di 0,38.Si imposta la calcolatrice nell’unità di misura in cui si intende ottenere l’angolo, (DEG per isessagesimali e i sessadecimali, GRAD per i centesimali) supponiamo DEG quindi:

2NDF COS 0 , 3 8 = 67°,66632 2NDF DMS 67°39'58",75



Arcotangente

L’arcotangente di un numero è l’angolo la cui tangente è uguale al numero di partenza.La funzione arcotangente si scrive nel seguente modo:

= arctg ydove: = angolo (arco) arctg = funzione inversa y = numero adimensionato.

Poichè come già detto (vedi pag. 10) la tangente può assumere solo valori compresi fra - e + lavariabile indipendente y potrà avere tutti i valori compresi in questo intervallo.

Esercizio risoltoCalcolare l’arcotangente di 43.Si imposta la calcolatrice nell’unità di misura in cui si intende ottenere l’angolo, (DEG per isessagesimali e i sessadecimali, GRAD per i centesimali) supponiamo DEG quindi:

2NDF tg 4 3 = 88°,66778 2NDF DMS 88°40'04",01

Esercizio propostoCalcolare l’arcoseno, l’arcocoseno e l’arcotangente dei seguenti numeri: 0,23499; 0,56232;2,87940.

TRIGONOMETRIA

La trigonometria (dal greco misura dei triangoli) studia le relazioni tra i lati e gli angoli deitriangoli. Essa utilizza le funzioni goniometriche per la risoluzione dei triangoli.

Risolvere un triangolo vuol dire determinare tutti i suoi elementi (tre lati, tre angoli e lasuperficie).

Una cosa nota a priori per qualsiasi triangolo è che la somma dei suoi angoli interni corrispondeall’angolo piatto. Questa affermazione può essere dimostrata nel modo seguente:

fig. 6

si traccia AD prolungamento di AB,si traccia AE parallela a BC quindi sinota che:

CAE = (angoli alterni interni) e EAD = (angoli corrispondenti)

Perciò: + + = 180°.



TRIANGOLI RETTANGOLI

Sono quei triangoli che hanno sempre un angolo retto (90°). In esso i lati che definisconol’angolo retto sono detti cateti mentre il lato opposto all’angolo retto è detto ipotenusa.Per risolvere questo tipo di triangoli si possono utilizzare alcuni teoremi già noti quali ad esempioPitagora ed Euclide oppure i seguenti teoremi trigonometrici.

PRIMO TEOREMA SUI TRIANGOLI RETTANGOLI

Enunciato: in un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto fra l’ipotenusa e il senodell’angolo ad esso opposto.

In base all’enunciato si possono scrivere leseguenti formule:

c = a sinb = a sin (7)

fig. 7

le (7) possono anche essere scritte nel modoseguente:

AB = BC sin

AC = BC sin

SECONDO TEOREMA SUI TRIANGOLI RETTANGOLI

Enunciato: in un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto fra l’ipotenusa e il cosenodell’angolo ad esso adiacente.


b = a cosc = a cos (8)

fig. 8


AC = BC cos

AB = BC cos

TERZO TEOREMA SUI TRIANGOLI RETTANGOLI

Enunciato: in un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto fra l’altro cateto e latangente dell’angolo ad esso opposto.




c = b tgb = c tg (9)

fig. 9


AB = AC tg

AC = AB tg

QUARTO TEOREMA SUI TRIANGOLI RETTANGOLI

Enunciato: in un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto fra l’altro cateto e lacotangente dell’angolo ad esso adiacente.

In base all’enunciato, con riferimento alla fig. 11, si possono scrivere le seguenti formule:

b = c cotgc = b cotg

le precedenti possono anche essere scritte nel modo seguente:

AC = AB cotg

AB = AC cotg

Esercizio risoltoDel triangolo ABC retto in A sono noti i seguenti elmenti: c = 31,08 m; a = 51,98 m. Risolvere

il triangolo.Nella risoluzione di questi problemi è sempre opportuno disegnare il triangolo, in scala perverificare i risultati, mettendo i vertici in senso orario qualora non venga specificato, esplicitamenteo implicitamente, il contrario.

22 cab

in questo caso che fra i dati non vi sono angoli si èliberi di scegliere per essi l’unità di misura che sidesidera.Scegliamo i centesimali perciò impostiamo lacalcolatrice in GRAD.Essendo: c = a sin

si ricava: = arcsin (c /a) = 40,8014 gon

= 100g - = 59,1986 gon S = ½ b c = 647,40 m2.



Esercizio risoltoDel triangolo ABC retto in A sono noti i seguenti elmenti: b = 27,45 m; CBA = = 32,865

gon. Risolvere il triangolo.

La calcolatrice va impostata in GRAD

= 100g - = 67,135 gon

essendo: b = a sin

si ricava: a = b / sin = 55,61 m

c = b tg = 48,36 m

S = ½ b c = 663, 74 m2

Esercizio propostoDel triangolo ABC retto in A sono noti i seguenti elementi: c = 35,61 m; b = 25,88 m.

Risolvere il triangolo.(R. a = 44,02 m; = 59,9909 gon; = 40,0091 gon; S = 460,79 m2.)

Esercizio propostoDel triangolo ABC retto in A sono noti i seguenti elementi: a = 68,51 m; CBA = = 12,5133

gon. Risolvere il triangolo. (R. b = 13,38 m; c = 67,19 m; = 87,4867 gon; S = 449,50 m2.)

FORMULE PER IL CALCOLO DELL’AREA DI UN TRIANGOLO RETTANGOLO

Per calcolare l’area di un triangolo rettangolo possono essere utilizzate formule diverse a secondadegli elementi noti.

In particolare se sono noti i cateti la formula da utilizzare è:S = ½ b c. (10)

Quando invece è noto un cateto e un angolo si utilizza laseguente formula:

S = ½ b2 tgopuure:

S = ½ c2 tg.

Le precedenti si ottengono dalla (10) dove, utilizzando ilterzo teorema sui triangoli rettangoli, alla c prima e alla bpoi si sostituiscono le seguenti espressioni:

c = b tg e b = c tg.

Quando è nota l’ipotenusa e un angolo si può utilizzare la seguente espressione:

S = 1/4 a2 sin(2).



A questa formula si giunge ragionando sulla figura 13 che si ottiene ribaltando intorno al lato ACil triangolo della figura 12.

fig. 10

SABC = ½ SBCB’ = ½ ( ½ B’CBH)

ed essendo:

B’C = a e BH = a sin(2) dal triangolorettangolo BCH

si ha:SABC = 1/4 a2 sin(2).

Esercizio risoltoDel triangolo ABC retto in A sono noti i seguenti elementi: CBA = = 75,2018gon, S =

864,30m2. Risolvere il triangolo.La calcolatrice va impostata in GRAD.Essendo:

S = ½ c2 tgsi ricava:

tgSc

2 = 26,64 m

quindi:b = c tg = 64,89 m

22 cba = 70,15 m; = 100g - = 24,7982 gon.

Esercizio risoltoDel triangolo ABC retto in A sono noti i seguenti elementi: BC = a = 58,3m, S = 615,00 m2.

Risolvere il triangolo.

La calcolatrice va impostata in GRAD.Essendo:

S = 1/4 a2 sin(2)si ricava:

= ½ arcsin (4 S : a2) = 25,7019gonquindi:

= 100g - = 74,2981gon

c = a sin = 22,58m b = a cos = 53,66m.



Esercizio propostoDel triangolo ABC retto in A sono noti i seguenti elementi: S = 6482,00m2; = 53° 31’ 42”.

Risolvere il triangolo. (R. a = 164,68m; b = 97,89m; c = 132,43m; = 36° 28’ 18”.)

Esercizio propostoDel triangolo ABC retto in A sono noti i seguenti elementi: a = 254,36m; S = 10000m2.

Risolvere il triangolo. (R. = 19° 05’ 39”; = 70° 54’ 21”; b 240,37m; c = 83,21m.)

CONSIDERAZIONI CONCLUSIVE SUI TRIANGOLI RETTANGOLI

Come sin qui visto per risolvere un triangolo rettangolo è necessario conoscere almeno dueelementi dei quali almeno uno deve essere lineare (lati, perimetro, superficie, .......).

RISOLUZIONE DEI TRIANGOLI QUALSIASI

Sono qualsiasi quei triangoli per i quali l’unica cosa nota a priori è la somma degli angoli interni(180° o 200 gon o rad). Per la risoluzione di questi triangoli, a seconda dei dati e dopo averliscomposti in due triangoli rettangoli, si possono utilizzare i teoremi sui triangoli rettangoli. Ma larisoluzione risulta molto più spedita se vengono applicati i teoremi per essi specifici. Esistonodiversi teoremi per la risoluzione dei triangoli rettangoli, fra questi assumono particolareimportanza:

1. il teorema dei seni;2. il teorema di Carnot.

TEOREMA DEI SENI

Enunciato: in un triangolo qualsiasi il rapporto fra il lato e il seno dell’angolo opposto ècostante ed è uguale al doppio del raggio del cerchio circoscritto (il cerchio circoscritto passa per itre vertici del triangolo. Il suo centro è detto circocentro e si ottiene come intersezione degli assi deitre lati. Ciascun asse di ciascun lato passa per il punto medio del lato ed è perpendicolare al lato).

fig.11

HO, MO ed NO sono gli assi rispettivamentedei lati AB, BC ed AC.

In base all’enunciato possiamo scrivere laseguente formula:

a : sin = b : sin = c : sin = 2 R (11)

Dalla (11) si possono scrivere le seguenti seirelazioni:



a : sin = b : sin; a : sin = c : sin; b : sin = c : sin;

a : sin = 2 R; b : sin = 2 R; c : sin = 2 R.

Esercizio risoltoDel triangolo ABC sono noti i seguenti elementi:

a = 28,23m; = 53,1200 gon; = 71,1600gon. Risolvere il triangolo.

B = 200g - ( + ) = 75,7200gon

c a b : sin = a : sin b = a sin : sin = 34,26m h A C c : sin = a : sin c = a sin : sin = 35,36m

bS = ½ b h

essendo: h = a sin

sostituendo nella precedente si ha:

S = ½ a b sin = 448,83m2.

La formula utilizzata per il calcolo della superficie è detta di camminamento. Si può esprimerenel modo seguente:l’area di un triangolo qualsiasi è data dal semi prodotto fra due lati e il seno dell’angolo compreso.Perciò:

S = ½ a b sinS = ½ a c sinS = ½ b c sin

Esercizio risoltoDel triangolo ABC sono noti: = 71,43gon; = 49,58gon. Ed il raggio del cerchio ad esso

circoscritto:R = 33,12m. Risolvere il triangolo.

= 200g - ( + ) = 78,99gon

a : sin = 2 R a = 2 R sin = 59,68m

b : sin = 2 R b = 2 R sin = 46,53m

c : sin = 2 R c = 2 R sin = 62,67m

S = ½ a c sin = 1313,59 m2.



Esercizio propostoDel triangolo ABC sono noti i seguenti elementi:

b = 403,82m; = 53° 27’ 24”; = 58° 19’ 42”. Risolvere il triangolo.

(R. = 68° 12’ 54”; c = 370,11m; a = 349,38m; S = 60037,09m2.)

Esercizio propostoDel triangolo ABC sono noti il il raggio del cerchio circoscritto R = 191,24m e gli angoli

= 65,0500gon; = 56,8889gon. Risolvere il triangolo.

(R. = 78,0611gon; a = 326,27m; b = 359,99m; c = 298,08m; S = 45769,00m2.)

TEOREMA DI CARNOT

Se gli elementi noti sono due lati e l’angolo compreso, oppure i tre lati il problema non puòessere risolto con il teorema dei seni.

In questo caso entra in gioco il Teorema di Carnot il cui enunciato si esprime nel seguente modo:

In un triangolo qualunque il quadrato di un lato è uguale alla somma del quadrato deglialtri due diminuiti del doppio prodotto fra questi ultimi e il coseno dell’angolo che essicomprendono.

B

c a

A b C fig. 12

(15) cosbc2cba 222 cosbc2cba 22

cosac2cab 222 cosac2cab 22

cosab2bac 222 cosab2bac 22

Per trovare gli angoli quando sono noti i tre lati si applicano le seguenti formule che si ottengonoinvertendo le (15)

bc2acbcosar

222

ac2bcacosar

222

ab2cbacosar

222

Esercizio risoltoRisolvere il triangolo ABC del quale sono noti i seguenti elementi:

AB = c = 52,40m; BC = a = 42,65 m; CA = b = 65,40m .



B

c a

A b C

cos2222 bccba222cos2 acbbc

bcacbar

2cos

222 112445

40,5240,65265,4240,5240,65cosar g

,

222

cos2222 accab

222cos2 bcaac acbcaar

2cos

222 900695

40,5265,42240,6540,5265,42cos ,

222gar

cos2222 abbac

222cos2 cbaab abcbaar

2cos

222 987158

40,6565,42240,5240,6565,42cos ,

222gar

211,11151123,4540,5240,6521

21 msensencbS g


BC = a = 24,05m; CA = b = 22,82m; ACB = = 41,7705gon.

B

c a

A b C

cos222 abbac 7705,41cos)82,2205,24(282,2205,24 22 g m15,15

cos2222 bccba222cos2 acbbc

bcacbar

2cos

222 007984

15,1582,22205,2415,1582,22cos ,

222gar

cos2222 accab

222cos2 bcaac acbcaar

2cos

222 216074

15,1505,24282,2215,1505,24cos ,

222gar



Per la calcolatrice usa ndF2 cos ((................) : (................)) = Ricordati di impostarla inGrad

244,1670079,8415,1582,2221

21 msensencbS g

Formule per il calcolo dell’area di un tiangolo qualsiasi

B

c a h

H A b C fig. 13

S = ½ bh

sincb21S

sinca21S

sinba21S

Formula di CAMMINAMENTOper un Triangolo

gcotgcotc

21S

gcotgcotb

21S

gcotgcota

21S

2

2

2

Formula delle COTANGENTI

Si usa quando sono noti:

un Lato + i due Angoliadiacenti

Anche

L'area + 2 Angoli

)cP)(bP)(aP(PS Formula di ERONE dove: 2cbaP




CBA = = 60,128gon; ACB = = 88,031gon; S = 10,8830m2.

B

c a

A b C

8410,51)(200 gg

ggaS

cotcot21 2

)cot(cot2 ggSa = )031,88cot12860(cot30,10882 gg gg = 44,60 m

69,49128,60sin8410,51sin

60,44sinsin

gg

ab

m

24,60031,88sin8410,51sin

60,44sinsin

gg

ac

m

Esercizio proposto:Risolvere il triangolo ABC che ha l’angolo BAC = ottuso (si dice ottuso un angolo maggiore

di 90°) e del quale sono noti i seguenti elementi AB = c = 86,55m; CA = b = 62,40m; S =1815,00m²

(R. a = 139,22m; = 137°46’05”; = 17°32’01”; = 24°41’54”)

CONSIDERAZIONE SUI TRIANGOLI QUALSIASI

Per risolvere un triangolo qualsiasi è necessario conoscere tre elementi dei quali almeno unodeve essere lineare (altezza, superficie, lato ecc. ecc.).

Con i teoremi sviluppati si sono ricavate delle formule che consentono di calcolare lati o angoli.Bisogna però prestare molta attenzione quando si fa l’arcoseno per ricavare gli angoli (perché lacalcolatrice ci da sempre un angolo del 1° quadrate e questo, a volte non è sufficiente) e precedere ilcalcolo dalla risoluzione grafica del problema (fare la figura in scala partendo dai dati).

E’ consigliabile, tutte le volte che è possibile, applicare Carnot nella ricerca degli angoli.



CERCHI NOTEVOLI DEI TRIANGOLI

Un cerchio si dice notevole quando basta il nome per individuarlo in tutte le sue caratteristiche.

Oltre al cerchio circoscritto del quale abbiamo già parlato nel teorema dei seni esistono altri duecerchi notevoli dei quali tratteremo: il cerchio inscritto e il cerchio ex-inscritto.

IL CERCHIO INSCRITTO

E' il cerchio interno al triangolo che contemporaneamente tange ai tre lati. Il suo centro si chiamaincentro e si ottiene come intersezione delle bisettrici degli angoli del triangolo (si ricorda che labisettrice è una linea interna al triangolo che partendo da un vertice divide in due parti ugualil'angolo di quel vertice).

Per determinare il raggio:

cbaS2

r ABC

fig. 14

IL CERCHIO EX-INSCRITTO

E' il cerchio "inscritto fuori", esso è contemporaneamente tangente ad un lato ed alprolungamento degli altri due. Quindi come il cerchio inscritto esso è tangente ai tre lati ma sta fuoridal triangolo. Da quanto detto si evince che ogni triangolo hatre cerchi ex-inscritti uno per ogni lato.Il centro del cerchio ex-inscritto, si chiama ex-incentro e si ottiene come intersezione dellebisettrici degli angoli esterni al triangoloadiacenti al lato di tangenza e della bisettricedell'angolo interno opposto al lato detto.

Per determinare i raggi:

acbS2

r ABCa

bcaS2

r ABCb

cbaS2

r ABCc

fig. 15



RISOLUZIONE DEI QUADRILATERI

Per risolvere un quadrilatero è necessario sapere che la somma degli angoli interni vale 360°.Inoltre è necessario conoscere almeno 5 elementi dei quali almeno 2 devono essere lineari.

Per la risoluzione dei quadrilateri ci si serve dei triangoli utilizzando uno dei seguenti metodi:

si considera il quadrilatero come somma di due triangoli qualsiasi;si considera il quadrilatero come differenza di due triangoli qualsiasi;si considera il quadrilatero come somma di tre triangoli rettangoli e di un rettangolo.

Primo metodo

Si utilizza questo metodo quando:si conoscono due lati consecutivi e tre angoli;si conoscono tre lati e due angoli opposti, in questo caso però si corrono i rischi visti nel teorema

dei seni per la risoluzione di un triangolo del quale sono noti due lati e un angolo non compreso;si conoscono tre lati e i due angoli fra essi compresi;si conoscono tutti i lati e un angolo. B

b

C

ac

A D fig. 16 d

Le formule da utilizzare sono quelle dei triangoli qualsiasi.

Secondo metodo

Si utilizza questo metodo quando:non è possibile utilizzare il primo metodo;si conoscono due lati opposi e tre angoli.

B b

C a '

c ' E

A d D fig. 16

Per la risoluzione:si prolungano i due lati incogniti fino a farli intersecare nel punto E;



quindi dopo aver calcolato: ’ = 180° - e ’ = 180° -

si calcolano con le formule dei triangoli qualsiasi gli elementi dei due triangoli ABE ed CED;ed infine per differenza fra gli elementi dei due triangoli sopra detti si calcolano gli elementi del

quadrilatero.

Terzo metodo

Si utilizza questo metodo quando:non è possibile utilizzare il primo e il secondo metodo;si conoscono due lati opposi e tre angoli e quindi in alternativa al secondo metodo;si conoscono tre lati e i due angoli compresi.

B b

T C a

c

A K H D fig. 18d

Per la risoluzione:si tracciano le perpendicolari (BK e CH) ad uno dei lati incogniti (in questo caso AD);partendo da un vertice (in questo caso C) si traccia la perpendicolare (CT) ai segmenti tracciati

prima;si calcolano con le formule dei triangoli rettangoli gli elementi incogniti.

RISOLUZIONE DEI POLIGONI

Per risolvere un poligono di n lati è necessario conoscere almeno 2n – 3 elementi dei qualialmeno n – 2 devono essere lineariPer la risoluzione dei poligoni ci si serve dei triangoli considerando, in genere, il poligono comesomma di triangoli.

La somma degli angoli interni di un poligono si ottiene con la seguente formula:

= (n – 2) 180.

Alla quale si giunge facendo il seguente ragionamento:

l'esagono della figura è stato scomposto in 6 triangoli, sapendo che la somma degli angoli interni diun triangolo è 180° e togliendo l'angolo giro (360° = 2180°) si ottiene:

= 6180 - 2180°



fig. 19

quindi sostituendo a 6 la lettera n, che indica il numerodei vertici di un generico poligono, e raccogliendo il 180°si ottiene:

= (n – 2)180.

FORMULA DI CAMMINAMENTO

Si applica per determinare l'area di un poligono (per cui anche di un triangolo e di unquadrilatero), del quale sono noti tutti i lati meno uno e tutti gli angoli meno i due adiacenti allato incognito

D d E

c e

C F

b

B A fig. 20a

Applichiamo la regola al poligono della figura nel quale abbiamo supposto di conoscere i lati a,b, c, d, e e gli angoli , , ,

S = ½ a b sin + b c sin + c d sin + d e sin - a c sin(+) - b d sin(+) – c e sin(+) + a d

sin(++) + b e sin(++) – a e sin(+++).

La formula sopra scritta si legge nel seguente modo:

la superficie è uguale ad un mezzo della somma dei prodotti dei lati consecutivi (presi a due a due)per il seno dell'angolo fra essi compreso, diminuita dalla somma dei prodotti fra i lati alterni (presi adue a due) per il seno della somma degli angoli fra essi compresi, aumentata dalla somma deiprodotti fra i lati bi-alterni (presi a due a due) per il seno della somma degli angoli fra essi compresi,diminuita dalla somma dei prodotti fra i lati tri-alterni (presi a due a due) per il seno della sommadegli angoli fra essi compresi, e così via.Ogni tornata inizia da uno dei lati adiacenti a quello incognito e finisce quando si arriva all'altro latoadiacente al lato incognito.La formula si blocca quando si moltiplicano insieme i due lati adiacenti al lato incognito.Il segno davanti ad ogni termine dipende dal numero di angoli che sono all'argomento del seno ed è+ se tale numero è dispari, - in caso contrario.



PROBLEMI SULLE COORDINATE CARTESIANE E POLARI

PREMESSE

Per individuare la posizione di un punto nei piano, e per la successiva rappresentazionegrafica, è necessario dare le sue coordinate rispetto ad un sistema di riferimento.

Le coordinate planimetriche di un punto sono sempre due numeri e possono essereessenzialmente di due tipi:

coordinate cartesiane ;

coordinate polari.

COORDINATE CARTESIANE

Le coordinate cartesiane (più correttamente dette coordinate cartesiane ortogonali perchégli assi cartesiani di riferimento sono ortogonali fra loro) sono particolarmente utili nellarestituzione (disegno) di un rilievo topografico.

La posizione di ogni punto P è definita dalle due coordinate xp ed yP che ad esso siassociano.

La coordinata xP è la distanza che c'è fra il punto P e l'asse delle Y (asse delle ordinate),analogamente la yp è la distanza che c'è fra il punto P e l'asse delle X (asse delle ascisse).

Spesso lo studente non riesce ad associare in modo corretto l’asse X o Y al termine ascisseo ordinate. Si suggerisce la seguente assonanza ascisse = ascix per favorire la correttaassociazione.

Le coordinate cartesiane del punto P possono essere indicate in uno dei seguenti modi:

esplicito: xP = ...........; yP = ..............

implicito: P(xP; yP); P(xP; yP)

nel modo implicito si mette sempre prima la x e poi la y.



COORDINATE POLARI

Le coordinate polari sono utili in fase di rilievo. Esse si riferiscono ad un sistema costituito da ununico asse ON detto asse polare.

Le coordinate polari di un punto P sono:

la distanza fra l’origine O del sistema (detto polo) e il punto stesso;

e l’angolo orizzontale (misurato su di un goniometro orizzontale) OP (dettoazimutale) di cui si deve ruotare, in senso orario, l’asse polare per farlo sovrapporrealla congiungente l’origine con il punto in questione.

Le coordinate cartesiane del punto P possono essere indicate in uno dei seguenti modi:

esplicito: OP = ...........; OP = ..............

implicito: P(OP; OP); P(OP; OP)

in questo caso non esiste un ordine di precedenza fra l’angolo e la distanza poiché l’angoloe la distanza sono grandezze di tipo diverso.

L’angolo azimutale diventa azimut quando l’asse polare ON viene indirizzato verso ilnord oppure è parallelo all’asse Y di un sistema di riferimento cartesiano.

esplicito: (OP) = ...........; OP = ..............

implicito: P(OP); OP; P(OP); OP

La distanza OP non varia ne come simbolo necome valore numerico, mentre l’angolo cambia siacome simbolo, che come nome, che come valorenumerico.



PASSAGGIO DA COORDINATE POLARI A CARTESIANE

Poiché il rilievo viene molto spesso effettuato con coordinate polari (utilizzando tacheometri eteodoliti che inizieremo a conoscere nel modulo 4), mentre il disegno viene molto spesso effettuatocon coordinate cartesiane (perché è più preciso) è necessario effettuare il passaggio dalle une allealtre.

Allo scopo si utilizzeranno le formule (1), ricavate applicando il primo e secondo teorema suitriangoli rettangoli (vedi modulo 1) OP’P in figura

Nella figura si è fatto coincidere l’originedel sistema cartesiano con l’origine deisistema polare e l’asse delle ordinate conl’asse polare.

xp = OP Sin(OP) (1) yp = OP cos(OP)

PASSAGGIO DA COORDINATE CARTESIANE A POLARI

In alcuni problemi didattici e della pratica operativa del Geometra, vengono fornite le coordinatecartesiane di punti già rappresentati su di un disegno (vertici, ad esempio, di un appezzamento diterreno), e sì richiede di calcolare le coordinate polari degli stessi rispetto ad un sistema polare conorigine coincidente con quella del sistema cartesiano e asse delle ordinate coincidente con l’assepolare (allo scopo, ad esempio, dell’effettuazione di calcoli relativi all’appezzamento inquestione).

Le formule necessarie per raggiungere lo scopo verranno ricavate. come segue, applicando ilprimo, secondo e terzo teorema sui triangoli rettangoli (vedi modulo 1) al triangolo rettangolo OP’Pin figura.

Per calcolare la distanza OP possiamo utilizzarela seguente formula (2) ottenuta applicando ilteorema di Pitagora al triangolo prima detto:

2P

2P yxOP (2)

oppure una delle seguenti (3) ricavate applicandoil primo e secondo teorema sui triangoli rettangoli

OP = xp / sin(OP) (3)

OP = yP / cos(OP)



Per calcolare l’azimut (OP) applichiamo il terzo teorema sui triangoli rettangoli sempreal triangolo OP’P:

(OP) = arctg(xp / yP) + k (4)

Il k che compare nella (4) è un termine correttivo che consente di eliminare l’errore checommetterebbe la calcolatrice.

Infatti facendo l’arcotangente di un numero positivo la calcolatrice ci da sempre unangolo dei primo quadrante (mentre però potrebbe essere anche del terzo) analogamentetacendo l’arcotangente di un numero negativo la calcolatrice ci da sempre un angolo delprimo quadrante col segno meno (mentre però potrebbe essere un angolo del secondo o delquarto quadrante).

Stabiliremo il valore da assegnare al k in base al segno di xP e di yp come riassunto nellatabella che segue:

Valore da attribuire al kSegni delRapporto

x/y

Quadrante diAppartenenza dell’angolo sessagesimali centesimali

1°caso + / +

L’azimut è del primoquadrante 0° 0g

2°caso + / -

L’azimut è del secondoquadrante 180° 200g

3°caso - / -

L’azimut è del terzoquadrante 180° 200g

4°caso - / +

L’azimut è del quartoquadrante 360° 400g

COORDINATE TOTALI E PARZIALI

Se in un piano cartesiano vengono date le coordinate cartesiane di due punti A e B sidice che xA , yA , xB , yB , sono le coordinate totali (che comunque noi chiameremosemplicemente coordinate) perché si riferiscono all’unico sistema esistente OXY.

Se introduciamo un secondo sistema cartesiano di riferimento con origine in A e conasse X’ parallelo a X e Y’ parallelo ad Y si avrà che i punti A e B in questione oltre adavere le coordinate totali riferite al vecchio sistema (che chiameremo sistema principale)OXY avranno delle coordinate dette parziali riferite al sistema secondario AX’Y’.

Le coordinate parziali si indicano conseguenti termini:

(xB)A e (yB)A

Il termine:

(xB)A si legge x di B rispetto ad A

ed analogamente il termine:

(yB)A si legge y di B rispetto ad A



Le coordinate parziali sono legate alle coordinate totali dalle seguenti relazioni ricavateragionando sulla precedente figura:

(xB)A = xB - xA (5)

(yB)A = yB - yA

CALCOLO DELLA DISTANZA E DELL’AZIMUT FRA DUE PUNTI DI NOTECOORDINATE CARTESIANE

Ragionando sul triangolo rettangoloABB’ della figura a fianco ed applicando iteoremi sui triangoli rettangoli, (comeabbiamo fatto nel passaggio da coordinatecartesiane a polari), per la distanza siottiene:

2AB

2AB )y()x(AB

Che sostituendo le (5) diventa:

2AB

2AB )yy()xx(AB (6)

Alla (6), per il calcolo della distanza, si possono affiancare le seguenti:

)ABsin()x(

AB AB)ABcos(

)y(AB AB

nelle quali sostituendo le (5) otteniamo:

)ABsin(xx

AB AB )ABcos(

yyAB AB (7)

Per calcolare l’azimut (AB) applicando il terzo teorema sui triangoli rettangoli al triangoloin figura, (come abbiamo fatto nel passaggio da coordinate cartesiane a polari), otteniamo:

tg(AB) = (xB)A / (yB)Ada cui:

k)y()x(

arctg)AB(AB

AB

nella quale sostituendo le (5) otteniamo:

kyyxx

arctg)AB(AB

AB

(8)

il valore da attribuire al k della (8) lo si deduce, in base ai segni che assumono il numeratoreed il denominatore dopo aver sostituito i numeri, dalla tabella di pag. 5.



AZIMUT E CONTROAZIMUT

Se indichiamo con (AB) l’azimut del segmento che da A va verso B, l’azimut che da B vaverso A si chiamerà (BA).

I due azimut hanno le stesse lettere ma invertite cioè l’uno è il contrario dell’altro in altritermini possiamo dire che l’uno è il controazimut dell’altro.

Quindi se diciamo che (AB) è l’azimut (BA) è il suo controazimut. Viceversa se diciamoche (BA) è l’azimut (AB) è il suo controazimut.

Fra azimut e controazimut la relazione, come sìvede dalla figura, è la seguente;

(BA) = (A B) ± 180°dove:si metterà il segno + se (AB) è minore di 180°si metterà il segno - se (AB) è maggiore di 180°.

RISOLUZIONE DI UN TRIANGOLO DEL QUALE SONO NOTE LECOORDINATE CARTESIANE DEI VERTICI

Se di un triangolo conosciamo le coordinate cartesiane dei vertici, possiamoeffettuare la risoluzione del triangolo utilizzando:

le formule per il calcolo della distanza fra due punti di note coordinatecartesiane per trovare i lati;

il teorema di Carnot per trovare gli angoli; la formula di camminamento per trovare la superficie.

La procedura da seguire per la figura afianco é la seguente:l) si calcolano i lati con le seguenti formule:

2BC

2BC

2AC

2AC

2AB

2AB

)yy()xx(BC

)yy()xx(AC

)yy()xx(AB

2) si calcolano gli angoli con le seguentiformule:

BCAC2ABBCACarccos

BCAB2ACBCABarccos

ACAB2BCACABarccos

222

222

222



3) si calcala la superficie con una delle seguenti formule:

S = ½ ACBCsinS = ½ ABBCsinS = ½ ABACsin

RISOLUZIONE DI UN POLIGONO DEL QUALE SONO NOTE LECOORDINATE CARTESIANE DEI VERTICI

Se di un poligono conosciamo le coordinate cartesiane dei vertici, possiamoeffettuare la risoluzione del triangolo utilizzando:

le formule per il calcolo della distanza fra due punti di note coordinat ecartesiane per trovare i lati;

la differenza degli azimut per trovare gli angoli (dopo aver trovato gli azimutcon le formule per il loro calcolo):

la formula di camminamento per trovare la superficie di un poligono con più diquattro lati, oppure somma di aree di due triangoli se il poligono è unquadrilatero oppure le formule di Gauss che dimostreremo nel modulo 9.

La procedura da seguire per la figura a fiancoè la seguente:

1) si calcolano i lati con le seguenti formule:

2AD

2AD

2CD

2CD

2BC

2BC

2AB

2AB

)yy()xx(AD

)yy()xx(CD

)yy()xx(BC

)yy()xx(AB

2) si calcolano gli angoli con le seguenti formule

kyyxx

arctg)AD(

kyyxx

arctg)AB(

AD

AD

AB

AB

= (AD) – (AB);

180)AB()BA(

kyyxx

arctg)BC(BC

BC

= (BA) – (BC);



180)BC()CB(

kyyxx

arctg)CD(CD

CD

= (CB) – (CD);

= 360°- ( + + )

3) si calcola la superficie con una delle seguenti formule: la formula di camminamento per trovare la superficie di un poligono con più di quattro

lati; lati somma di aree di due triangoli se il poligono è un quadrilatero; le seguenti formule di Gauss che dimostreremo nel modulo 9.

n

1i1i1ii )yy(x

21S ;

n

1i1i1ii )xx(y

21S (per i vertici che ruotano in senso orario)

n

1i1i1ii )yy(x

21S ;

n

1i1i1ii )xx(y

21S (per i vertici che ruotano in senso antiorario)

dove per i = 1 si pone 1 - 1 = n, essendo n il vertice antecedente ad i e per i = n si pone n+ 1 = l, essendo 1 il vertice successivo a n.

REGOLA DEL TRASPORTO DEGLI AZIMUT

Alcune volte sono note le coordinate dei vertici dl un po1igono e si richiede la suarisoluzione (come nel due paragrafi precedenti), altre volte, invece, sono noti tutti glielementi di un poligono, le coordinate di un suo vertice ed un azimut e si richiede il calcolodelle coordinate di tutti gli altri vertici (questo è particolarmente utile nella realizzazione diun disegno nel modo più preciso possibile)

Analogamente:xC = xB + BC sin(BC)

yC = yB + BC cos(BC)

Se nella figura a fiancosupponiamo di conoscere tutti ilati (meno eventualmente AFtutti gli angoli (menoeventualmente , le coordinatedi A e l’azimut (AB) epossibile calcolare lecoordinate di tutti gli altrivertici utilizzando invertite le(7) di pagina 8. Ad esempio per il punto Bavremo:

xB = xA + AB sin(AB)

yB = yA + AB cos(AB)



prima però, come si vede dalle formule bisogna calcolare l’azimut (BC). Allo scopopossiamo applicare la regola del trasporto degli azimut che si enuncia come segue:

l’azimut di un lato è uguale all’azimut del lato precedente più o meno (±) l’angolo alvertice formato tra i due lati, più a meno (±) l’angolo piatto (180°).

Con riferimento alla figura la regola si può scrivere nel seguente modo:

(BC) = (AB) 180°

Per stabilire i segni nel primo trasporto si ragiona sulla figura:

si trasporta (AB) sul vertice B; si tiene conto che l’azimut (BC) parte dalla direzione verticale passante per B e

raggiunge la direzione BC; che ruotando in senso orario si effettua somma mentre ruotando in senso antiorario si

effettua sottrazione; ed infine che l’azimut non può essere ne negativo ne maggiore dell’angolo giro (360°).

Nel caso della figura si avrà quindi che:

con + (AB) si e superata la direzione BC quindi si deve tornare indietro (ruotare insenso antiorario);

si torna indietro quindi si sottrae 180°, ma si è tornato troppo indietro perciò bisognaritornare avanti (ruotare io senso orario);

si somma quindi .

L’azimut (BC) sarà perciò:(BC) = (AB) + - 180°.

Per i trasporti successivi il segno davanti all’angolo del poligono non varia (se gli angolisono dalla stessa parte rispetto ad un osservatore che percorre il contorno del poligono, incaso contrario si ripete il ragionamento fatto sulla figura per il primo trasporto) mentre per ilsegno davanti al 180° si avrà che:

esso sarà positivo se la somma dei primi due termini e minore di 180°; viceversa sarà negativo se la somma dei primi due termini é maggiore di 180°.

Infine se sottraendo i 180° (detti sopra) l’azimut rimane maggiore di 360° ad essobisognerà sottrarre ancora 360°.



ESERCIZI

1) Rappresentare in scala opportuna la spezzata (poligonale aperta) della quale sono noti i seguentielementi:AB = 26,28m; BC = 29,44m; CD = 25,12m; DE = 16,95m; EF = 23,12m; ABC = = 130°;DCB = = 100°; CDE = = 130°; FED = = 150°.

2) Trasformare, con e senza calcolatrice scientifica, in sessadecimale i seguenti angoli:

= 13°15’52” = 172°09’33”; = 93°59’01” (R. = 13°,2644; = 172°,1592; = 93°,9836)

3) Trasformare, con e senza calcolatrice scientifica, da sessadecimale a sessagesimale i seguentiangoli:

= 29°,5234; = 115°,2619.(R. = 29°31’24”; = 115°15’43”)

4) Trasformare, con e senza l’uso della calcolatrice scientifica, da sessagesimale a centesimale iseguenti angoli:

= 9°13’22”; = 115°55’32”; = 79°42’38”.(R. = 10g,2475; = 128g,8062; = 88g,5673)

5) Trasformare, con e senza l’uso della calcolatrice scientifica, da sessagesimale a centesimale iseguenti angoli:

= 112°56’41”; = 32°11’09”; = 14°55’51”.(R. = 125g,4941; = 35g,7620; = 16g,5898)

6) Trasformare, con e senza l’uso della calcolatrice scientifica, da centesimale a sessagesimale iseguenti angoli:

= 22,5681gon; = 34,2290gon; = 43,6331gon.(R. = 20°18’41”; = 30°48’22”; = 39°16’11”)

7) Dati: = 32°,5451; = 29,2298gon; = 43°53’31”; = 0,1264rad. Effettuare, con esenza l’uso della calcolatrice scientifica, le seguenti operazioni e dare il risultato in sessagesimali:

;

.2

(R. = 44°37’28”; = 55°53’19”)

8) Calcolare graficamente, in base alle definizioni, e con l’uso della calcolatrice scientifica il seno, ilcoseno, la tangente e la cotangente del seguenti angoli: = 40°; = 140°; = 250°.Raccogliere i risultati in una tabella scrivendoli con 2 decimali per la risoluzione grafica e con 5 perla risoluzione con calcolatrice scientifica.

9) Sapendo che: sin = 1/3, senza utilizzare la calcolatrice scientifica, determinare cos, e tg,cotg.

(R. 22gcot;42tg;

322cos

)



10) Sapendo che: cotg = ½ e che al terzo quadrante, senza utilizzare la calcolatricescientifica, determinare sin, cos, e tg.

(R. 2tg;55cos;

552sin

)

11) Sapendo che: sin tg = 3 e che al primo quadrante, determinare sin, cos,tg e cotg.

(R. sin = 0,95307; cos = 0,30278; tg = 3,14773 e cotg = 0,31769)

12) Calcolare l’arcoseno, l’arcocoseno e l’arcotangente dei seguenti numeri: 0,44499; 0,58832;1,87940.

13) Del triangolo ABC retto in A sono noti i seguenti elementi:b = 37,35m; CBA = = 42,845gon. Risolvere il triangolo.

(R. = 57g,155; c = 46,85m; a = 59,92m; S = 874,92m2)

14) Del triangolo ABC retto in A sono noti i seguenti elementi: c = 25,61m; b = 37,88m.Risolvere il triangolo.

(R. a = 45,72m; = 34°03’43”; = 55°56’17”; S = 485,05m2)

15) Del triangolo ABC retto in A sono noti i seguenti elementi:a = 118,22m; CBA = = 32,5143gon. Risolvere il triangolo.

(R. b = 57,79m; c = 103,13m; = 67,4857gon; S = 2979,94m2)

16) Del triangolo ABC retto in A sono noti i seguenti elementi:ABC = = 65,2018gon, S = 564,58m2. Risolvere il triangolo.

(R. a = 50,43m; b = 43,08m; c = 26,21m; = 34,7982gon;)

17) Del triangolo ABC retto in A sono noti i seguenti elementi:BC = a = 58,35m, S = 515,00 m2. Risolvere il triangolo.

(R. b = 55,30m; c = 18,63m; = 79,3156gon; = 20,6844gon;)

18) Del triangolo ABC retto in A sono noti i seguenti elementi: S = 5482,39m2; = 57°32’41”.Risolvere il triangolo.

(R. a = 155,61m; b = 83,50m; c= 131,30m; = 32°27’19”)

19) Del triangolo ABC retto in A sono noti i seguenti elementi: AD = altezza relativaall’ipotenusa = 84,63 m; S = 7645,56 m2. Risolvere il triangolo.

(R. a = 180,68m; b = 148,44m; c = 103,02m; = 55°14’21”; = 34°45’39”)

20) Del triangolo ABC sono noti i seguenti elementi:a = 38,23 m; = 63,1205gon; = 71,1666gon. Risolvere il triangolo.

(R. = 65,7129gon; b = 41,08m; c = 39,22m S = 674,08m2)

21) Del triangolo ABC sono noti: = 69,43gon; = 52,58gon ed il raggio del cerchio ad essocircoscritto R = 43,14m. Risolvere il triangolo.

(R. = 77,99gon; a = 76,52m; b = 63,43m; c = 81,17m S = 2283,23m2)



22) Del triangolo ABC sono noti i seguenti elementi:b = 383,82m; = 55°37’24”; = 63°19’42”. Risolvere il triangolo.

(R. = 61°02’54”; a = 362,03m; c = 391,96m; S = 62084,35m2)

23) Del triangolo ABC sono noti il il raggio del cerchio circoscritto R = 201,24m e gli angoli = 65,0500gon; = 56,8889gon. Risolvere il triangolo.

(R. = 78,0611gon; a = 343,34m; b = 378,82m; c = 313,67m; S = 50681,94m2)

24) Risolvere il triangolo acutangolo, ABC del quale sono noti i seguenti elementi:b = 79,22m; c = 108,84 m; = 84,6855gon. (R. a = 95,86m; = 65,3332gon; = 49,9813gon; S = 3687,68m2)

25) Risolvere il triangolo ABC del quale sono noti i seguenti elementi:AB = c = 55,45 m; BC = a = 39,65 m; CA = b = 63,43 m .

(R. = 42,4748gon; = 90,9431gon; = 66,5821gon; S = 1088,19m2)

26) Risolvere il triangolo ABC del quale sono noti i seguenti elementi:BC = a = 28,15m; CA = b = 42,82m; ACB = = 44,7705gon.

(R. c = 28,06m = 44,9587gon; = 110,2708gon; S = 389,76m2)

27) Risolvere il triangolo ABC del quale sono noti i seguenti elementi:CBA = = 60°,128; ACB = = 88°,031; S = 108,83m2.

(R. = 31°,841; a = 11,51m; b = 18,92m; c = 21,82m)

28) Risolvere il triangolo ABC che ha l’angolo BAC = ottuso e del quale sono noti i seguentielementi:AB = c = 86,55m; CA = b = 62,40m; S = 1815,00m²

(R. a = 139,22m; = 137°46’05”; = 17°32’01”; = 24°41’54”)

29) Del triangolo ABC sono noti: AB = c = 65,45 m; BC = a = 49,65 m; CA = b = 55,43 m .Risolvere il triangolo, fare la figura in scala 1:800, quindi trovare i raggi dei cerchi inscritto ed ex-inscritti e rappresentare tali cerchi in figura.

(R. = ...........gon; = ..............gon; = ..............gon; S = .............m2;r = ..........m; Ra = ...........m; Rb = ...........m; Rc = ...........m)

30) Del triangolo ABC sono noti: a = 123,12m; b = 109,45m; = 57°13’52”. Risolvere iltriangolo. Quindi tracciati gli ex-incentri relativi ad ogni lato collegarli tra loro e risolvere iltriangolo che ne viene fuori.

(R. c = 112,03m; = 67°32’00”; = 55°14’08”; S = 5665,50m2;OaOb = 233,92m; OaOc = 181,95m; ObOc = 221,52m; A = 56°14’00”;

B = 62°22’56”; C = 61°23’04”; S1 = 17690,96m2)

31) Dal vertice A del triangolo ABC si sono collimati i vertici B e C, utilizzando undistanziometro elettronico e si sono ottenuti i seguenti elementi:

punto distazione

punticollimati

letture al cerchioorizzontale

distanzetopografiche

B 23°14’21” 439,88mA C 320°21’11” 1829,59m



risolvere il triangolo.(R. a = ...........m; b = ...........m; c = ...........m; = ...............; = ................; = .................)

32) Dal punto S di stazione si sono collimati i vertici A, B e C di un triangolo, utilizzando undistanziometro elettronico e si sono ottenuti i seguenti elementi:

punto distazione

punticollimati

letture ai lerchioorizzontale

distanzetopografiche

A 23,6214gon 2991,15mB 170,1648gon 3014,77mS C 295,4965gon 4399,13m

risolvere il triangolo.(R. a = ...........m; b = ...........m; c = ...........m; = ...............; = ................; = .................)

33) Del quadrilatero ABCD sono noti: AB = 42,16m; BC = 39,76m; CD = 53,28m; = 127°42’13”; = 84°35’22”. Risolvere il quadrilatero.

(R.: AD = .............m; = ..............; = .............; S = .............m2)

34) Del quadrilatero ABCD sono noti: AB = 165,82m; AD = 202,44m; CD = 112,45m; = 91,556gon; = 135,658gon. Risolvere il quadrilatero.

(R.: BC = 152,47m; = 86,269gon; = 86,517gon; S = 23658,17m2)

35) Del quadrilatero ABCD sono noti: AB = 82,365m; CD = 160,449m; = 112,35gon; = 129,66gon; = 98,44gon. Risolvere il quadrilatero.

(R.: BC = 78,815m; AD = 141,615m; = 59,55gon; S = 12043,37m2)

36) Del quadrilatero ABCD sono noti: BC = 56,15m; AD = 50,34m; CD = 49,05m; = 57°,315; = 74°,919. Risolvere il quadrilatero.

(R.: AB = 89,39m; = 91°,104; = 136°,662; S = ..............m2)

37) Del quadrilatero ABCD sono noti: AB = 79,44m; BC = 107,67m; AD = 66,90m;CD = 34,02m; BD = 110,81m. Risolvere il quadrilatero.

(R.: = 98°......; = 54°.......; = 86°.........; = 121°........; S = ..............m2)

38) Del quadrilatero ABCD sono noti: AB = 102,32m; BC = 124,44m; CD = 53,23m; = 133,2734gon; = 107,4321gon. Calcolare la lunghezza del lato AD e la distanza fra il verticeA e il punto E ottenuto dall’intersezione delle due diagonali.

(R.: AD = 61,90m; AE = 39,40m)

39) Del poligono ABCDE si sono misurati i seguenti elementi: AB = 39,82m; BC = 42,16m;CD = 33,33m; = 123°45’; 117°34’; = 93°12’; = 95°44’. Risolvere il poligono.

(R.: DE = ..........m; AE = ............m; = .............; S = ..............m2)

40) Del poligono ABCDE si sono misurati i seguenti elementi: AB = 28,92m; BC = 42,53m;CD = 29,66m; DE = 36,32m; 122°14’; = 117°35’; = 103°46’. Calcolare l’area.

(R.: S = ..............m2)



41) Del appezzamento triangolare ABC sono note le coordinate cartesiane dei vertici:A(19,42m, 13,18m); B(55,26m, 63,98m); C(80,84m, -18,89m).

Risolvere il triangolo.(R.: AB = 62,17m; AC = 69,29m; BC = 86,73m;

= 82°22’07”; = 52°21’28”; = 45°16’25”; S = 2134,80m2.)

42) Dell’appezzamento quadrilatero ABCD sono note le coordinate cartesiane dei vertici:A(12,35m, -6,42m); B(-15,40m, 16,71m); C(39,41m, 27,82m); D(43,16m, 7,02m).

Effettuare la figura in scala opportuna e risolvere il quadrilatero.(R.: AB = 36,13m; BC = 55,92m; CD = 21,14m; AD = 33,61m;

= 116°37’13”; = 51°16’13”; = 88°45’41”; = 103°20’53”; S = 1133,74m2.)

43) Di un triangolo ABC sono note le coordinate cartesiane dei suoi vertici:xA = 12,03m; yA = 9,10m; xB = 65,45m; yB = 89,32m; xC = 142,58m; yC = 63,94m.

Risolvere il triangolo, determinare i1 raggio del cerchio inscritto e le coordinatedell’incentro. Fare il disegno in scala opportuna.

(R.: AB = 96,38m; BC = 81,20m; AC = 141,60m; = 33°33’19”; = 105°26’37”; = 41°00’04”; S = 3771,74m2; r = 23,63m; xO = 75,14m; yO = 61,24m.)

44) Della poligonale aperta ABCD sono noti i seguenti elementi:xA = 13,03m; yA = 20,99m; (AB) = 136°11’

AB = 33,12m; BC = 79,39m; CD = 37,45m; CBA = = 278°49’; DCB = = 74°15’.Determinare le coordinate cartesiane dei vertici della poligonale e le aree dei triangoli AEB eCDE (essendo E il punto d’incontro fra il lato BC e la congiungente AD). Fare la figura inscala opportuna.

(R.: xB = 35,96m; yB = -2,91m; xC = 84,14m; yC = 60,19m;xD = 106,62m; yD = 30,24m; SAEB = …….m2; SCDE = …….m2.)

45) Della poligonale aperta ABCDE sono noti i seguenti elementi:AB = 31,12m; BC = 8,39m; CD = 23,44m; DE = 12,12m;ABC = = 121°10’; BCD = = 254°15’; EDC = = 115°18’.

Determinare le coordinate cartesiane dei vertici della poligonale rispetto ad un sistema di assicartesiani con origine in A e semiasse positivo delle ascisse coincidente con il lato AB.

(R.: xA = yA = 0,00m; xB = 31,12m; yB = 0,00m; xC = 35,46m; yC = 7,18m;xD = 58,06m; yD = 0,95m; xE = 60,14m; yE = -10,99m.)

46) Il triangolo ABC é stato rilevato con un teodolite sessagesimale destrorsodeterminando gli elementi riassunti nel seguente specchietto (registro di campagna):

Punto distazione

Punticollimati

Letture al cerchioorizzontale (azimutali)

Distanzatopografica

B 31°22’15” 49,042mA C 343°44’12” ---C 241°42’05” ---B A 196°00’35” 49,044m

Riferendo il triangolo ad un sistema di assi cartesiani con origine in A e semiassepositivo delle ordinate diretto lungo AB, si determino le coordinate dei vertici e l’areadel triangolo.

(R.: xA = yA = 0,000m; xB = 0,000m; yB = 49,043m;xC = -25,974m; yC = 23,689m; S = 636,920m2.)



47) Il quadrilatero ABCD è stato rilevato con un teodolite sessagesimale destrorsodeterminando gli elementi riassunti nel seguente specchietto (registro di campagna):

Punto distazione

Punticollimati


Distanzatopografica

D 35°22’45” 124,674mB 335°44’12” 122,383mAC 356°12’05” 179,684m

Riferendo il poligono ad un sistema di assi cartesiani con origine in A e semiassepositivo delle ascisse diretto lungo AC.Determinare le coordinate dei vertici e calcolare gli elementi del quadrilatero.

(R.: A(0,000m, 0,000m); B(114,659m; 42,789m); C(179,684m; 0,000m);D(96,646m; -78,760m); DC = 114,449m; BC = 77,841m; = 59°37’50”;

= 126°11’21”; = 76°49’53”; = 97°20’13”; S = 10920,205m2.)

48) Di un triangolo ABC, i cui vert ici ruotano in senso ant iorario, sono note lecoordinate dei punti A e C e i corrispondenti angoli interni:

xA = 12,00m; yA = 36,00 m; xC = 48,00m; yC =156,00 m = 92g,0164 = 65g,9095

Determinare: le coordinate del vertice B; le coordinate del baricentro G e del centro O del cerchioinscritto al triangolo: l'area del triangolo AGO.

(R.: x B = 185,12m; yB = 6,99m; x O = 67,64m; yO = 70,63m;xG = 81,70m; yG = 66,33m; SAGO = 363,04 m2.)

49) Il quadrilatero ABCD è stato rilevato con un teodolite centesimale destrorsodeterminando gli elementi riassunti nel seguente specchietto (registro di campagna):

Punto distazione

Punticollimati


Distanzatopografica

A 331,345gon 31,99mB C 46,125gon 35,15mB 73,347gon ---C D 171,893gon 46,58m

Sono inoltre noti:xA = 23,04m; yA = 18,33m; (AB) = 135,389gon

Determinare le coordinale dei vertici e calcolare gli elementi del quadrilatero.(R.: B(50,21m; 1,35m); C(75,13m; 26,24m); D(39,56m; 56,03m); AD = 41,16m; = 109,097gon; = 114,780gon; = 77,577gon; = 77,577gon; S = …….m2.)

50) Di un triangolo ABC, i cui vert ici ruotano in senso ant iorario, sono note 1ecoordinate dei punti A e B e i lati AC e BC:

x A = 52,00m; yA = 206,00m; xB = 65,00m; yB = 77,00mAC = 98,50m; BC =112,30m

Determinare: le coordinate del vertice C, le coordinate dei centri Oa, Ob ed Oc dei cerchi ex-inscritti altriangolo e l'area del triangolo OaObOc.

(R.: xC = ..........m; yC = ...........m; xOa = 151,09m; yOb = -123,75m;xOb = 227,99m; yOb = 157;39 m; xOc = ...............m; yOc = .................5m; S = 28279,98m2)

51) In un triangolo ABC sono state misurate le lunghezze dei tre lati:AB = 57,50m; BC = 74,40m; AC =114,85m

Fissando un, sistema di riferimento cartesiano ortogonale con origine in A e con asse delle ascisseorientato sulla direttrice AB, determinare: le coordinate del vertice C, le coordinate dell'ortocentro H



del triangolo (ortocentro = punto di intersezione delle altezze di un triangolo), le coordinate del puntoK su BC, intersezione della congiungente tra il punto H e il punto medio M del lato AC e il lato BC,l'area del triangolo MKC.

(R.: xC = 95,35m; yC = -64,07m; xH = 149,25m; yH = -88,12m;xK = ............m: yK = ............m; SMKC = ................m2)

52) In un triangolo ABC, i cui vert ici ruotano in senso ant iorario, sono state misurate lelunghezze dei tre lati:

AB =152,60m; BC=132,70m; AC =167,56mFissando un sistema di riferimento cartesiano ortogonale con origine in A e con asse delle ascisseorientato sulla direttrice AB, determinare: le coordinate del vertice C, le coordinate del punto Kintersezione tra la bisettrice dell'angolo in A e della mediana relativa al lato AC; le coordinate del pun-to O centro del cerchio inscritto a1 triangolo ABK; 1’area del triangolo ABK.

(R.: xC = ..........m; yC = ...........m; xK = 89,79m; yK = 40,63m;xO = 88,17m; yO =19,02 m; SABK = 3100,17m2)

53) In un quadrilatero ABCD sono note le coordinate dei suoi vertici:xA = 0,00m; yA = 0,00m; xB = 162,50m; yB = 0,00m

xC = 130,40m; yC = 128,80m; xD = 32,60m; yD = 97,80mDeterminare le coordinate del punto K intersezione delle diagonali, le coordinate del punto Hintersezione tra gli assi dei lati AD e CD, l'area del quadrilatero.

(R.: xK = 70,29m; yK = 69,42m; xH =112,03m; yH = 16,99m; S = 14742,12m2)

54) In un quadrilatero ABCD sono note le coordinate dei suoi vertici:xA = 0,00m; yA = 0,00m; xB =162,50m; YB = 0,00m

xC = 130,40m; yC = 128,80m; xD = 32,60m; yD = 97,80mDeterminare le coordinate del centro O del cerchio inscritto al triangolo ABC, le coordinate delbaricentro G del triangolo che ha come vertici il precedente centro O e i punti medi dei lati AD e CD,l'area di quest'ultimo triangolo.

(R.: xO = 82,64m; yO = 27,84m; xG = 44,85m; yG = 84,16m; S = 6202,51m2)

55) In un quadrilatero ABCD, i cui vert ici ruotano in senso ant iorario, sono note lecoordinate dei punti A e C:

xA = 0,00m; yA = 0,00m; xC = 148,00m; yC = 126,00mSono poi stati misurati i seguenti elementi:

= 97g,0709; = 85g,0171; CD = 137,82m; AD = 135,81mDeterminare: le coordinate dei vertici B e D, le coordinate del punto K intersezione della diagonale ACcon la congiungente i punti medi del lati AD e BC; le coordinate del punto H intersezione delladiagonale BD con la congiungente i punti medi dei lati AD e B C.

(R.: xB = .............m; yB = .............m; xD = .............m; yD = .............m;xK = 75,58m; yK = 64,35m; xH = 94,61m; yH = 63,44 m)

56) Di un triangolo ABC, i cui vert ici ruotano in senso ant iorario, sono noti: = 62g,5200; xA = 0,00m; yA = 0,00m; xC = 106,50m; yC = 70,80m

Non potendo misurare la lunghezza del lato AB si è sviluppata la spezzata AMNB misurando i seguentielementi: BAM = 22g,4500; AMN = 208g,7700; MNB = 117g,5153;

AM = 42,00m; MN = 48,50m; NB = 51,80mDeterminare: le coordinate del vertice B e le coordinate del baricentro G del triangolo.

(R.: xB =108,98m; yB = - 45,48m; xG = 71,83m; yG = 8,44m; AB = 118,09m)



57) L'asse di un canale è composto da una sequenza di segmenti di estremi ABCDEF. Si sonomisurati i seguenti elementi:

AB = 85,36m; BC = 110,18m; CD = 101,38m; DE = 92,70m; EF = 74,50m;ABC = = 108°,0370; BCD = = 249°,7407; CDE = = 132°,0370; DEF = = 233°,4444Determinare la distanza tra gli estremi A ed F del canale.

(R.: AF = 383,71m)

58) Si sono collegati gli estremi A ed E di un tratto di strada rettilinea con una spezzata ABCDE, esono state effettuate le seguenti misure:

AB = 273,25m; BC = 524,08m; CD = 388,43m; DE = 356,91m;ABC = =135g,3210; BCD = = 144g,0154; CDE = = 141,2098

Determinare la lunghezza del tratto di strada e gli angoli che essa forma con i lati AB ed ED dellaspezzata.

(R.: AE = 930,88m; EAB = 94g,0430; AED = 85g,4104)

59) Tra i punti A ed E sono presentì ostacoli che impediscono la misura diretta della distanza tra ipunti stessi. Questi sono poi stati collegati con una spezzata ABCDE e sono state effettuate leseguenti misure:

AB = 165,00m; BC = 72,50m; CD = 90,46m; DE = 122,34m;ABC = = 54g,0503; BCD = = 123g,6391; CDE = =142g,1165

Determinare: la distanza tra A ed E e le coordinate del punto K intersezione del segmento AEcon Ia bisettrice dell'angolo BCD, rispetto a un sistema di riferimento cartesiano con originein A e asse delle ordinate diretto lungo AB.

(R.: AE = ............m; xK = ...........m; yK = ............m)

60) Tra i punti A ed E sono presenti ostacoli che impediscono la misura diretta delladistanza. Questi sono poi stati collegati con una spezzata ABCDE e sono state effettuate leseguenti misure:

AB = 65,00m; BC = 92,50m; CD = 110,40m; DE=105,80mABC = = 154g,0503; BCD = = 163g,6391; CDE = =142g,1100

Determinare: la distanza tra A ed E e le coordinate del punto K intersezione del segmento AEcon la bisettrice dell'angolo BCD, rispetto a un sistema di riferimento cartesiano con originein A e asse delle ascisse diretto lungo AB.

(R.: AE = 272,59m; xK = 47,07m; yK = 116,31m)

61) Tra í punti A e D è stata sviluppata la spezzata ABCD e sono state effettuate le seguentimisure:

AB = 75,00m; BC = 112,60m; CD = 83,50m;ABC = = 144g,7419; BCD = = 151g,5315

Determinare: la distanza tra A e D; le coordinate del punto K intersezione tra ilprolungamento de: Iato DC, dalla parte di C. e la perpendicolare, tracciata da A, allacongiungente AD, rispetto a un sistema di riferimento cartesiano con origine in A e asse delleascisse diretto lungo AB, le coordinate del baricentro G del triangolo ADK.

(R.: AD = 221,52m; xK = 160,86m; yK = -135,78m; xG = 101,22 m; yG = 11,18m)

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