APPUNTI DI MATEMATICA GEOMETRIA … 1 La Geometria analitica: la retta 1.1 Introduzione La geometria...

APPUNTI DI MATEMATICA

GEOMETRIA ANALITICA: LA RETTA

ALESSANDRO BOCCONI

Indice

1 La Geometria analitica: la retta 2

1.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Il piano cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Il punto nel piano cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4 Il punto medio di due punti e il baricentro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.5 La distanza fra due punti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.6 Il reticolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.7 La retta e le equazioni di primo grado (facoltativo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.8 L’equazione della retta in forma esplicita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.8.1 Rappresentare una retta sul piano cartesiano nota la sua equazione . . . . . . 14

1.8.2 Appartenenza di un punto ad una retta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.9 Il coefficiente angolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.9.1 Il termine noto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.9.2 Equazione generica di una retta in forma esplicita . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.10 Il fascio di rette per un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.10.1 La condizione di parallelismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.10.2 La condizione di perpendicolarita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.11 La retta per due punti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.12 L’intersezione fra due rette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.13 Dimostrazione che due rette perpendicolari fra loro hanno il prodotto dei coefficientiangolari uguale a −1 (facoltativo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.14 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1

Capitolo 1

La Geometria analitica: la retta

1.1 Introduzione

La geometria cosı come siamo stati abituati a studiarla fino ad ora, si occupa di alcune proprietadelle figure che sono indipendenti dalla loro posizione nel piano. Se ad esempio dobbiamo stabilirese un triangolo e isoscele non importa come e posizionato detto triangolo (figura 1.1).

A tal proposito e illuminante la definizione di uguaglianza fra 2 figure (congruenza per gli autoripiu pignoli): due figure sono uguali se possono essere perfettamente sovrapposte tramite movimentirigidi.

Questa definizione, in parole povere, significa che, prendendo sempre ad esempio la figura 1.1, queitriangoli sono uguali se, ritagliandone uno, si puo far combaciare su entrambi gli altri. Movimentorigido significa che, una volta ritagliato il triangolo, non si puo ne tirare ne piegare.

L’“indistinguibilita” di queste figure rispetto alla loro posizione e dovuta all’assenza di un sistemadi riferimento. In effetti se noi fossimo in un’infinita pianura sempre uguale e in totale assenzadi punti di riferimento (anche al di fuori di tale pianura come il sole o le stelle), variare la nostraposizione cambierebbe ben poco: rimarrebbero soltanto le caratteristiche del nostro corpo comead esempio il peso e l’altezza che ovviamente non dipendono da dove siamo all’interno di questainfinita pianura.

Fu un filosofo e matematico francese, Rene Descartes italianizzato in Cartesio, vissuto nella primameta del 1600, che ebbe un approccio geometrico profondamente diverso: egli utilizzava metodialgebrici, prima di tutto le equazioni, per stabilire relazioni fra le varie grandezze presenti in unproblema geometrico.

Figura 1.1: Essendo uguali tali triangoli o sono entrambi isosceli o non lo e nessuno

Alessandro Bocconi 3

-2 -1 0 1 2

1,2874536....

U

Figura 1.2: Retta orientata (la freccia che indica il verso), in cui e definita un’unita di misura e adogni punto corrisponde un numero reale

Dai suoi studi alla geometria analitica come la conosciamo oggi e come ci apprestiamo a studiarenelle prossime pagine, il passo non e affatto breve. Ma e innegabile che Cartesio fu il precursoredi una nuova concezione del problema geometrico e, in suo onore, il piano sul quale collocheremotutti i nostri enti geometrici, si chiama piano cartesiano.

1.2 Il piano cartesiano

Ricordiamo che una retta si dice orientata se al suo interno e definito un verso che stabilisce,presa una qualunque sua coppia di punti, chi precede l’altro. Graficamente la retta orientata erappresentata con una freccia ad una sua estremita (quella in cui cresce).

Nella prima parte di Appunti di Matematica abbiamo sottolineato che esiste una corrispondenzabiunivoca fra punti della retta e numeri reali (cioe ad ogni punto della retta corrisponde uno ed unsolo numero reale). Per questo possiamo parlare di retta dei numeri reali.

Su una retta orientata possiamo definire un’unita di misura, ovvero la lunghezza del segmentoavente come estremi 2 numeri interi consecutivi. D’ora in poi quando parleremo di rette orientatesottointenderemo che su di esse e stata definita un’unita di misura (vedi figura 1.2).

Definizione di piano cartesiano. Un piano con due rette orientate fra loro perpendicolari sidice piano cartesiano.

�

Osservazione. Generalmente le due rette orientate hanno la stessa unita di misura, ma non eaffatto obbligatorio che sia sempre cosı.

�

Definizione di assi cartesiani e di origine. Le rette orientate del piano cartesiano si chiamanoassi cartesiani. In particolare l’asse orizzontale viene detto asse delle ascisse e si indica con la letterax, mentre l’asse verticale viene detto asse delle ordinate e si indica con la lettera y. Il punto diintersezione degli assi si chiama origine e viene indicato con la lettera O(figura 1.3).

�


O x

y

Figura 1.3: Il piano cartesiano

1.3 Il punto nel piano cartesiano

Il punto e un concetto primitivo (cioe non si puo ne definire ne spiegare meglio di come loimmaginiamo intuitivamente) ed e considerato l’entita geometrica piu semplice.

Nel piano cartesiano, per individuare un punto, sono necessarie due coordinate (cioe due numeri).Convenzionalmente il primo dei due numeri identifica uno spostamento sull’asse delle x, mentre ilsecondo uno spostamento sull’asse delle y. Chiariamo quanto detto con un esempio:

Esempio

. Individuare sul piano cartesiano i punti A di coordinate 3 e 2 (piu brevemente scriveremoA(3; 2)); B(−2; 5

2); C(0;−4); D(−43 ;−2) e E(0; 0)

Cominciamo col punto A(3; 2): abbiamo detto che per convenzione la prima coordinata si riferisceallo spostamento sull’asse delle x. Partendo dall’origine ci spostiamo sull’asse delle x di 3 unita adestra (perche il numero 3 e positivo e quindi si va nel senso della freccia dell’asse x). Da dovesiamo arrivati ci spostiamo di 2 unita nella direzione dell’asse y verso l’alto (perche il numero 2 epositivo e quindi si va nel senso della freccia dell’asse y). Abbiamo cosı individuato il punto A(3; 2)come mostrato in figura 1.4

Individuiamo adesso il punto B(−2; 52): sempre partendo dall’origine ci spostiamo sull’asse delle x

di 2 unita a sinistra (perche il numero −2 e negativo e quindi si va nel senso opposto della frecciadell’asse x). Da dove siamo arrivati ci spostiamo di 5

2 unita nella direzione dell’asse y verso l’alto(perche il numero 5

2 e positivo e quindi si va nel senso della freccia dell’asse y). Abbiamo cosıindividuato il punto B(−2; 5

2) come mostrato in figura 1.4

Individuiamo adesso il punto C(0;−4): partiamo dall’origine ma lo spostamento sull’asse delle x e0 (perche 0 e la prima coordinata) e quindi rimaniamo fermi nell’origine. Dall’origine ci spostiamodi 4 unita nella direzione dell’asse y verso il basso (perche il numero −4 e negativo e quindi si va nelsenso opposto della freccia dell’asse y). Abbiamo cosı individuato il punto C(0;−4) come mostratoin figura 1.4

Lasciamo per esercizio l’individuazione del punto D e individuiamo il punto E(0; 0): partiamodall’origine ma lo spostamento sull’asse delle x e ancora una volta 0 e quindi rimaniamo ferminell’origine. Dall’origine ci dovremmo spostare in alto o in basso sull’asse y ma anche lo spostamentosu questo asse e zero perche zero e la seconda coordinata di E. Quindi E coincide con l’origine.

�


O x

y

AB

C

D

3

-2

-4

-4/3-2

25/2

Figura 1.4:

A

M

B

XM XBXA

YA

YM

YB

H

K

Figura 1.5: M divide il segmento AB in due parti uguali

Osservazione. Dall’ultimo esempio segue che il punto O, l’origine, ha coordinate (0; 0).

�

Convenzione. I punti sono sempre indicati con una lettera maiuscola.

�

1.4 Il punto medio di due punti e il baricentro

Definizione. Siano A e B due punti nel piano cartesiano. Per punto medio di A e B si intende unpunto, generalmente chiamato M , che divide il segmento di estremi A e B in due segmenti uguali.

�

Il problema da risolvere e quindi come determinare le coordinate di M note le coordinate del puntoA e del punto B.

Supponiamo allora di avere un punto A di coordinate (xA; yA) e un punto B di coordinate (xB; yB).Dobbiamo determinare le coordinate (xM ; yM ) del loro punto medio M . Disegniamo quindi nelpiano cartesiano i punti A e B, il segmento che li congiunge e prendiamo M in modo tale cheAM = MB. Dal punto A tracciamo una linea orizzontale, dal punto B una linea verticale, e dalpunto M una linea orizzontale e verticale (figura 1.5).


I triangoli AHM e MKB sono uguali (si potrebbe dimostrare col secondo criterio di congruenza).Quindi risulta che AH = MK da cui xM − xA = xB − xM . In altre parole xM e il valor mediofra xA e xB. Inoltre, sempre dall’uguaglianza dei due triangoli risulta che HM = KB da cuiyM − yA = yB − yM . In altre parole yM e il valor medio fra yA e yB.

Dal momento che il valor medio fra due numeri si trova dividendo per 2 la somma di tali numeri,le coordinate del punto medio M si ottengono:

xM =xA + xB

2yM =

yA + yB2

Esempi

. Determinare il punto medio fra i punti A(1; 4) e B(3; 3)

Si applicano le formule appena scritte:

xM =xA + xB

2=

1 + 3

2= 2 yM =

yA + yB2

=4 + 3

2=

7

2

Pertanto il punto medio M ha coordinate (2; 72)

. Determinare il punto medio fra i punti A(1;−2) e B(−1; 4)

Si applicano le formule:

xM =xA + xB

2=

1− 1

2= 0 yM =

yA + yB2

=−2 + 4

2=

2

2= 1

Pertanto il punto medio M ha coordinate (0; 1)

. Determinare il punto medio fra i punti A(12 ;−1) e B(35 ;−1)

xM =xA + xB

2=

12 + 3

5

2=

5+610

2=

11

20yM =

yA + yB2

=−1− 1

2= −1

Pertanto il punto medio M ha coordinate (1120 ;−1)

. Sia A(5; 1). Determinare il punto B affinche M(3; 2) sia il punto medio fra A e B.

Si applicano le solite formule ma stavolta conosciamo xM e yM e non conosciamo xB e yB:

xM =xA + xB

2→ 3 =

5 + xB2

→ 6 = 5 + xB → xB = 1

yM =yA + yB

2→ 2 =

1 + yB2

→ 4 = 1 + yB → yB = 3

Pertanto il punto B ha coordinate (1; 3)

�

Il concetto di punto medio fra 2 punti si estende facilmente a quello di punto medio fra 3 o piupunti come si vede facilmente dali seguenti:

Esempi

. Determinare il punto medio fra i punti A(1;−1), B(−4;−1) e C(0; 3)

Il problema si risolve calcolando la media delle ascisse e delle ordinate di questi 3 punti:

xM =xA + xB + xC

3=

1− 4 + 0

3=− 6363

= −1 yM =yA + yB + yC

3=−1− 1 + 3

3=

1

3


O x

y

A

B

CD

E

M

Figura 1.6: Il baricentro del pentagono coincide col suo punto medio

Pertanto il punto medio M ha coordinate (−1; 13)

. Determinare il punto medio fra i punti A(1;−1), B(−4;−1), C(0; 3) e D(−2; 7)

Il problema si risolve calcolando la media delle ascisse e delle ordinate di questi 4 punti:

xM =xA + xB + xC + xD

4=

1− 4 + 0− 2

4=−5

4= −5

4

yM =yA + yB + yC + yD

4=−1− 1 + 3 + 7

4=

8

4= 2

Pertanto il punto medio M ha coordinate (−54 ; 2)

�

Dobbiamo pero osservare che la definizione di punto medio fra 2 punti perde significato nel casoi punti siano piu di due. Per dare un significato al punto medio fra piu punti premettiamo laseguente:

Definizione fisica di baricentro di un poligono (sperimentale). Supponiamo di avere unpoligono convesso (cioe che non ha “rientranze”) ritagliato di materiale rigido e di avere una colonnaestremamente sottile fissata a terra. Il baricentro del poligono e l’unico punto che va “appoggiato”sulla colonna affinche il poligono resti in equilibrio su di essa.

Consideriamo allora i punti di cui bisogna trovare il punto medio come vertici di un poligono: sesono tre si trattera di un triangolo, se sono 4 di un quadrilatero e cosı via. Vale il seguente:

Teorema. Il punto medio dei vertici di un poligono convesso corrisponde al baricentro del poligono.

Esempio

. Rappresenta sul piano cartesiano il poligono di vertici A(2;−1), B(5; 2), C(1; 3), D(−1; 3) eE(−2;−1) e determina il suo baricentro.

Rappresentiamo i punti sul piano cartesiano e costruiamo il poligono (figura 1.6).

Il baricentro corrisponde al punto medio dei vertici quindi:

xM =xA + xB + xC + xD + xE

5=

2 + 5 + 1− 1− 2

5=

5

5= 1

yM =yA + yB + yC + yD + yE

5=−1 + 2 + 3 + 3− 1

5=

6

5

Pertanto il baricentro ha coordinate (1; 65)

�


A

B

XBXA

YA

YB

H

Figura 1.7: Per determinare la distanza fra A e B si usa il teorema di Pitagora

1.5 La distanza fra due punti

Definizione. Per distanza fra due punti A e B si intende la lunghezza del segmento avente comeestremi A e B.

�

Per determinare la distanza fra due punti si usa il teorema di Pitagora. Supponiamo infatti didover determinare la distanza fra il punto A di coordinate (xA; yA) e il punto B di coordinate(xB; yB). Disegniamo nel piano cartesiano i punti A e B e il segmento che li congiunge. Dal puntoA tracciamo una linea orizzontale e dal punto B una linea verticale e sia H il punto di incontro fraqueste due linee (figura 1.7).

Il triangolo AHB e un triangolo rettangolo e quindi possiamo applicare il Teorema di Pitagora(nella sua versione algebrica):

AB =√AH2 + HB2

ma risulta che:AH = xB − xA HB = yB − yA

pertanto

AB =√AH2 + HB2 =

√(xB − xA)2 + (yB − yA)2

Esempi

. Determinare la distanza fra i punti A(1; 6) e B(4; 2).

Usando la formula appena trovata:

AB =√

(xB − xA)2 + (yB − yA)2 =√

(4− 1)2 + (2− 6)2 =√

32 + (−4)2 =√

9 + 16 =√

25 = 5

Pertanto la distanza fra A e B e 5.

. Determinare la distanza fra i punti A(1;−2) e B(−5;−10).

Usando la formula appena trovata:

AB =√

(xB − xA)2 + (yB − yA)2 =√

(−5− 1)2 + (−10 + 2)2 =√

(−6)2 + (−8)2 =√

36 + 64 =√

100 = 10


. Determinare la distanza fra i punti A(1; 2) e B(4; 2).


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6

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3

2

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0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Figura a

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10

9

8

7

6

5

4

3

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0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Figura b

Figura 1.8: Figura a: la cella identificata dalle coordinate (6; 4). Figura b: la striscia verticale dicelle aventi prima coordinata 7

Osserviamo che A e B hanno uguale la seconda coordinata. Pertanto per ottenere la loro distanzabasta fare la differenza delle ascisse:

AB = 4− 1 = 3

Osserviamo comunque che avremmo ottenuto lo stesso risultato utilizzando la formula della distanzafra due punti:

AB =√

(xB − xA)2 + (yB − yA)2 =√

(4− 1)2 + (2− 2)2 =√

32 + 02 =√

9 = 3


�

1.6 Il reticolo

Si consideri il reticolo di figura 1.8 lettera a.

Ogni cella e identificata da due numeri (chiamati coordinate): il primo indica di quante celle cispostiamo a destra e il secondo di quante celle ci spostiamo in alto (ovviamente il punto di partenzae la cella in basso a sinistra). Quindi nella figura la casella annerita e identificata dalla coppia dinumeri (6; 4). Come per il piano cartesiano indichiamo la prima coordinata con la lettera x e laseconda con la lettera y.


Il lettore si sara accorto delle somiglianze con il piano cartesiano. Evidenziamo adesso le differenzefra il reticolo e il piano cartesiano:

1. Nel piano cartesiano possono esserci le coordinate negative, mentre i numeri che individuanole celle del reticolo sono sempre positivi.

2. Nel reticolo ci possiamo spostare di un numero finito di celle sia a sinistra che in alto, mentrele rette del piano cartesiano hanno, come tutte le rette, lunghezza infinita.

3. (la piu importante). Nel piano cartesiano le coordinate possono essere anche numeri decimalimentre nel reticolo le coordinate sono sempre intere. Questo implica che ha senso parlare didue celle adiacenti (ad esempio la cella (5; 1) e la cella (6; 1) sono accanto e non c’e nessunaltra cella in mezzo) mentre non ha senso parlare di due punti adiacenti nel piano cartesiano,infatti o due punti coincidono (quindi sono lo stesso punto) oppure fra qualunque coppia dipunti distinti ne esistono sempre infiniti altri. Questa situazione si rappresenta dicendo cheil piano cartesiano e continuo mentre il reticolo e discreto.

Nonostante queste importanti differenze e istruttivo introdurre alcuni concetti validi per il pianocartesiano tramite il reticolo.

Consideriamo adesso l’insieme di tutte le celle del reticolo che hanno la prima coordinata uguale,per fare un esempio, a sette. Dal momento che la prima coordinata e indicata tramite la lettera x,possiamo chiamare tale insieme tramite l’equazione:

x = 7

“anneriamo” tutte le celle di questo insieme (1.8 lettera b)

e osserviamo che si e formata una striscia verticale. Osserviamo che nella striscia ci sono tutte lecelle del reticolo che hanno x = 7 e che nessuna cella avente x diversa ci appartiene. Avessimo sceltouna x diversa avremmo trovato un’altra striscia sempre verticale e con le caratteristiche appenadescritte.

Se adesso invece consideriamo l’insieme di tutte le celle del reticolo che hanno la seconda coordinatauguale, per esempio, a cinque. Dal momento che la seconda coordinata e indicata tramite la letteray, possiamo chiamare tale insieme tramite l’equazione:

y = 5

“anneriamo” tutte le celle di questo insieme (1.9 lettera a).

e osserviamo che si e formata una striscia orizzontale e che valgono le stesse caratteristiche eviden-ziate in precedenza.

Consideriamo adesso l’insieme di tutte le celle che hanno la seconda coordinata uguale alla primaaumentata di uno, come ad esempio (1; 2), (2; 3) ecc. Dal momento che la caratteristica delle celle diquesto insieme e che hanno la “seconda coordinata uguale alla prima coordinata piu uno”, passandoin simboli matematici si ottiene:

y = x + 1

e osserviamo che si e formata una striscia obliqua (1.9 lettera b). Osserviamo che nella striscia neraci sono tutte le celle del reticolo che hanno la coordinata y uguale alla coordinata x aumentata di1 e che nessuna cella che non ha tale caratteristica appartiene alla striscia.

Consideriamo adesso le celle che hanno la seconda coordinata uguale al doppio della prima menouno. In simboli

y = 2x− 1

e anneriamo le celle che hanno tale caratteristica (1.10 lettera a)


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3

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0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Figura a

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0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Figura b

Figura 1.9: Figura a: la striscia orizzontale di celle aventi seconda coordinata 5. Figura b: Lastriscia obliqua di celle aventi seconda cordinata uguale alla prima aumentata di 1

A differenza di prima non possiamo parlare di una striscia ma di celle fra loro staccate. Si osservafacilmente pero che e possibile disegnare una retta che le attraversi tutte: in altre parole tali cellegiacciono sulla stessa retta.

Tale proprieta non e invece verificata se consideriamo le celle che hanno la seconda coordinatauguale alla prima elevata al quadrato. In simboli:

y = x2

e anneriamo le celle che hanno tale caratteristica (1.10 lettera b).

Nonostante dobbiamo fermarci a sole 4 celle (la quinta avrebbe come seconda coordinata 25 euscirebbe dal reticolo) e immediato osservare che non esiste una retta che le attraversi tutte.

E giusto quindi chiedersi che differenza c’e fra l’ultimo esempio (y = x2) rispetto ai precedenti peri quali e verificata la proprieta che tutte le celle stanno su una retta. La risposta e molto semplice:tutti gli esempi precedenti avevano come caratteristica che l’equazione che legava le coordinate dellecelle era di primo grado, mentre nell’ultimo esempio no.

Se adesso noi infittissimo le celle (cioe nello stesso spazio invece di un reticolo 20 per 20 mettessimoun reticolo ad esempio 2000 per 2000) la striscia di celle (ad esempio quella di 1.8 lettera b)si assottiglierebe fino ad “assomigliare” sempre di piu ad un segmento. Se poi aumentassimo adismisura le dimensioni del reticolo, il segmento diventerebbe una retta (effettuare queste operazionisignifica trasformare il reticolo in piano cartesiano).


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Figura a

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9

8

7

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4

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0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Figura b

Figura 1.10: Figura a: le celle non sono a contatto una con l’altra ma giacciono su un’unica retta.Figura b: Non esiste una retta che attraversi tutte le celle annerite

Quindi passando da un reticolo al piano cartesiano, le striscie che abbiamo “annerito”diventano rette.

Vale quindi il seguente fondamentale teorema la cui dimostrazione viene effettuata nel successivoparagrafo:

Teorema. Nel piano cartesiano un insieme di punti le cui coordinate sono legate fra loro daun’equazione di primo grado forma una retta. In particolare:

• se in tale equazione e presente soltanto la coordinata x la retta e parallela all’asse delle y equindi e verticale.

• se in tale equazione e presente soltanto la coordinata y la retta e parallela all’asse delle x equindi e orizzontale.

• se in tale equazione sono presenti entrambe le coordinate (x e y) la retta e obliqua.

Dal momento che tutti i punti della retta hanno le coordinate che “obbediscono” a tale equazione,la retta prende il nome dell’equazione stessa.

�


Esempi

. L’insieme di punti che hanno la seconda coordinata il triplo della prima, in simboli y = 3x,forma una retta, e tale retta viene identificata con l’equazione y = 3x.

. L’insieme di punti che hanno la seconda coordinata uguale a −32 , in simboli y = −3

2 , forma unaretta, e tale retta (parallela all’asse x cioe orizzontale) viene identificata con l’equazione y = −3

2 .

�

1.7 La retta e le equazioni di primo grado (facoltativo)

Scopo di questo paragrafo e quello di dimostrare che ogni equazione di primo grado rappresentauna retta e che ogni retta e rappresentata da un’equazione di primo grado.

Innanzitutto precisiamo che ogni equazione di primo grado in x e in y puo essere scritta come:

y = ax + b

dove a e b sono numeri qualunque.

Precisiamo inoltre che la retta e l’unca curva nel piano che ha la seguente proprieta: presa unaqualunque coppia di punti della curva, anche il punto medio appartiene a tale curva.

Dimostriamo ora che ogni equazione del tipo y = ax + b rappresenta una retta. Per farlo bisognadimostrare che presa qualunque coppia di punti A(xA; yA) e B(xB; yB) che soddisfa la precedenteequazione, anche il punto medio fra A e B soddisfa la stessa equazione.

Il fatto che A e B soddisfino l’equazione significa che:

yA = axA + b yB = axB + b

Bisogna dimostrare che il punto medio fra yA e yb coincide con axM + b cioe:

yA + yB2

= axM + b

risulta che:

yA + yB2

=axA + b + axB + b

2=

a(xA + xB) + 2b

2= a

xA + xB2

+2b

2= axM + b

che prova che tutte le equazioni di primo grado rappresentano una retta.

Per provare adesso che qualunque retta e rappresentata da un’equazione di primo grado si consideriuna retta e si prendano su tale retta due punti A(xA; yA) e B(xB; yB). Il sistema:{

yA = axA + byB = axB + b

nelle incognite a e b (xA, yA, xB e yB sono numeri) ammette una soluzione. Quindi esiste un’equa-zione di primo grado soddisfatta dai punti A(xA; yA) e B(xB; yB). Ma abbiamo provato prima cheogni equazione di primo grado rappresenta una retta che, in questo caso, passa per i punti A e B.Dal momento che per una coppia di punti passa una e una sola retta, la retta da cui siamo partiticoincide con quella descritta dall’equazione di primo grado. Pertanto ogni retta e rappresentata daun’equazione di primo grado.

Per questo un’equazione di primo grado si dice anche un’equazione lineare


1.8 L’equazione della retta in forma esplicita

Definizione. L’equazione di una retta e in forma esplicita se al primo termine compare la sola ycon coefficiente 1.

�

Se l’equazione di una retta non e in forma esplicita puo essere portata in tale forma seguendo i bennoti principi di equivalenza delle equazioni, come emerge dai seguenti esempi:

. Portare in forma esplicita l’equazione y = 3x + 1

L’equazione e gia in forma esplicita.

. Portare in forma esplicita l’equazione 2x + 3y − 5 = 0

L’equazione non e in forma esplicita. Portiamola quindi in tale forma:

2x + 3y − 5 = 0→ 6363y =−2x + 5

3→ y =

−2x + 5

3

Per “evidenziare” il coefficiente di x si preferisce scrivere la precedente equazione nella formaequivalente:

y =−2x + 5

3→ y = −2

3x +

5

3

. Portare in forma esplicita l’equazione −x + 6y = 2

L’equazione non e in forma esplicita. Portiamola quindi in tale forma:

−x + 6y = 2→ 6666y =

x + 2

6→ y =

x + 2

6→ y =

1

6x +62 1

66 3→ y =

1

6x +

1

3

�

Osservazione. L’affermazione che l’equazione di una retta puo essere portata in forma esplicita hauna importante eccezione: si considerino infatti le rette parallele all’asse y, come ben sappiamo laloro equazione contiene soltanto la x e quindi non puo essere portata in forma esplicita. Possiamoquindi affermare che: le uniche rette la cui equazione non puo essere portata in formaesplicita sono quelle parallele all’asse y.

�

1.8.1 Rappresentare una retta sul piano cartesiano nota la sua equazione

Dal quarto postulato di Euclide sappiamo che per due punti passa una e una sola retta.

Il problema di rappresentare una retta sul piano nota la sua equazione si risolve quindi individuandodue punti appartenenti alla retta e disegnando l’unica retta che passa per tali due punti. Perindividuare i due punti:

• si porta l’equazione in forma esplicita

• si attribuiscono a x due valori qualunque, e si determinano i relativi valori di y. Le due coppiedi valori cosı determinati rappresentano le coordinate dei due punti cercati.


3

1

1

Figura 1.11: Individuati i 2 punti esiste un’unica retta passante per questi punti

Esempio

. Rappresentare sul piano cartesiano la retta di equazione 2x + y − 3 = 0

Portiamo l’equazione in forma esplicita:

2x + y − 3 = 0→ y = −2x + 3

Attribuiamo ad x un valore qualunque (ad esempio 0) e determiniamo il relativo valore di y:

y = −2 · 0 + 3→ y = 3

quindi un punto della retta ha coordinate (0; 3).

Attribuiamo adesso a x un altro valore (ad esempio 1) e determiniamo il relativo valore di y:

y = −2 · 1 + 3→ y = 1

quindi un altro punto della retta ha coordinate (1; 1)

Possiamo allora disegnare l’unica retta passante per i punti (0; 2) e (1; 1) (figura 1.11).

�

Osservazione 1. Per determinare una retta sono necessari e sufficienti due punti (quindi uno epoco e tre sono troppi). Individuare tre punti della retta e un’inutile perdita di tempo e va quindiconsiderata un errore.

�

Osservazione 2. Per attribuire i valori ad x e determinare i relativi valori di y risulta comoda laseguente tabella (applicata in questo caso all’esempio precedente):

x y

0 31 1

�

Osservazione 3. Alla x possiamo attribuire qualunque valore. E naturale pero che attribuendoalcuni valori anziche altri si semplificano i calcoli. Ad esempio attribuire a x il valore 0 risultasempre conveniente.

�


Esempi

. Rappresentare sul piano cartesiano la retta di equazione 2x− 4y − 1 = 0


2x− 4y − 1 = 0→ 6−4

6−4y =−2x + 1

−4→ y =

6−2 1

6−4 2x− 1

4→ y =

1

2x− 1

4

Usiamo la tabella dell’osservazione 2 e, attribuendo ad x due valori qualunque (ad esempio 0 e 2),determiniamo i relativi valori di y:

x y

0 −14

2 34

quindi i due punti hanno coordinate (0;−14) e (2; 3

4) e possiamo disegnare la relativa retta.

. Rappresentare sul piano cartesiano la retta di equazione y + 3 = 0


y + 3 = 0→ y = −3

sappiamo che un’equazione contenente solo la y rappresenta una retta orizzontale. Infatti taleequazione non dipende da x pertanto possiamo attribuire ad x qualunque valore ma y rimanesempre −3:

x y

0 −32 −3

la retta passante per i punti di coordinate (0;−3) e (2;−3) e orizzontale.

�

1.8.2 Appartenenza di un punto ad una retta

Per stabilire se un punto appartiene ad una retta, si sostituisce, nell’equazione della retta, adx la prima coordinata del punto e ad y la seconda. L’equazione, priva di lettere, e diventataun’uguaglianza. Se e vera il punto appartiene alla retta, se e falsa non ci appartiene.

Esempi

. Data la retta di equazione 3x− y = 9, verificare se i punti A(4; 3) e B(3; 1) vi appartengono.

Punto A: sostituiamo nell’equazione della retta ad x la prima coordinata di A (cioe 4) e ad y laseconda (cioe 3). Si ottiene:

primo termine: 3 · 4− 3 = 12− 3 = 9

secondo termine: 9.

Dal momento che il primo e il secondo termine sono uguali, l’uguaglianza e vera e quindi Aappartiene alla retta.

Punto B: sostituiamo nell’equazione della retta ad x la prima coordinata di B (cioe 3) e ad y laseconda (cioe 1). Si ottiene:

primo termine: 3 · 3− 1 = 9− 1 = 8

secondo termine: 9.


Dal momento che il primo e il secondo termine sono diversi, l’uguaglianza e falsa e quindi B nonappartiene alla retta.

. Data la retta di equazione y = 4x + 1, verificare se i punti A(12 ; 3) e B(0; 1) vi appartengono.

Punto A: sostituiamo nell’equazione della retta ad x la prima coordinata di A (cioe 12) e ad y la

seconda (cioe 3). Si ottiene:

primo termine: 3

secondo termine: 64 2 · 1621 + 1 = 2 + 1 = 3.

Dal momento che il primo e il secondo termine sono uguali, l’uguaglianza e vera e quindi Aappartiene alla retta.

Punto B: sostituiamo nell’equazione della retta ad x la prima coordinata di B (cioe 0) e ad y laseconda (cioe 1). Si ottiene:

primo termine: 1

secondo termine: 4 · 0 + 1 = 1.

Dal momento che il primo e il secondo termine sono uguali, l’uguaglianza e vera e quindi Bappartiene alla retta.

. Data la retta di equazione y = −2x + 5 e un punto A di ascissa 3. Che ordinata deve avere Aper appartenere alla retta?

Sostituiamo nell’equazione della retta a x l’ascissa del punto A cioe 3. Il secondo termine diventa:

−2 · 3 + 5 = −6 + 5 = −1

quindi il primo termine, per essere uguale al secondo deve essere anch’esso −1. Quindi ad y bisognasostituire −1, per cui A per appartenere alla retta deve avere ordinata −1.

�

1.9 Il coefficiente angolare

Definizione di coefficiente angolare di una retta. Supponiamo di avere una retta la cuiequazione e scritta in forma esplicita. Si definisce coefficiente angolare della retta il coefficiente dix. Per convenzione il coefficiente angolare di una retta si indica con la lettera m (minuscola, danon confondere con il punto medio M che e indicato, come tutti i punti, con la lettera maiuscola).

Esempi

. Determinare il coefficiente angolare della retta di equazione y = −2x + 11

L’equazione e in forma esplicita, quindi il coefficiente angolare e il coefficiente di x. Pertantom = −2

. Determinare il coefficiente angolare della retta di equazione x + 3y = 3

L’equazione non e in forma esplicita. Portiamola in tale forma:

x + 3y = 5→ 3y = −x + 5→ y = −1

3x +

5

3

adesso l’equazione e in forma esplicita e quindi il coefficiente angolare e il coefficiente di x. Pertantom = −1

3

. Determinare il coefficiente angolare della retta di equazione y = 8


m=-1

m=0

m=1/2

m=2

x

y

Figura 1.12: Maggiore e il coefficiente angolare maggiore e la pendenza della retta

L’equazione e in forma esplicita, quindi il coefficiente angolare e il coefficiente di x. Il fatto che xnon ci sia significa che il suo coefficiente e zero. Pertanto m = 0

�

Significato geometrico di coefficiente angolare di una retta. Il coefficiente angolare di unaretta indica la pendenza della retta stessa. Maggiore il valore del coefficiente angolare, maggiore ela pendenza della retta. In particolare:

• se m > 0 la retta “sale”

• se m < 0 la retta “scende”

• se m = 0 la retta non sale ne scende e quindi e in “piano” (cioe orizzontale).

figura 1.12.

1.9.1 Il termine noto

Supponiamo di avere un’equazione di una retta in forma esplicita.

Definizione di termine noto. Si definisce termine noto il numero presente al secondo termine inun’equazione posta in forma esplicita. Convenzionalmente il termine noto si indica con la letteraq.

�

Esempi

. Nell’equazione y = 3x + 11 il termine noto e 11.

. Nell’equazione y = 2x− 23 il termine noto e −2

3 .

. Nell’equazione y = 2x il termine noto e 0.

�

Significato geometrico di termine noto. Il termine noto corrisponde al’ordinata del punto incui la retta interseca l’asse delle y.

�


m=-1

m=0

m=1/2m=2

x

y

A

Figura 1.13: Ad ogni valore di m corrisponde una diversa retta per A

1.9.2 Equazione generica di una retta in forma esplicita

Un’equazione generica in forma esplicita, per quanto abbiamo visto, si scrive:

y = mx + q

1.10 Il fascio di rette per un punto

Sappiamo che per un punto passano infinite rette.

Si definisce fascio di rette per un punto tutte le infinite rette passanti per tale punto.

Assegnato un punto A(xA; yA) l’equazione delle infinite rette passanti per A e dato da:

y − yA = m(x− xA)

Esempio

. Determinare l’equazione delle infinite rette passanti per A(−2; 4).

Sostituisco i valori numerici alla precedente formula ottenendo:

y − 4 = m(x + 2)

�

Tramite l’ultimo esempio chiariamo la precedente formula. m rappresenta il coefficiente angolare epuo assumere qualunque valore. Ad ogni valore che assume corrisponde una diversa retta sul pianocartesiano (ma sempre passante per A). Agli infiniti valori che puo assumere m corrispondonoquindi infinite rette (figura 1.13).

Finche m non e specificato l’equazione rappresenta le infinite rette per A; nel momento che attri-buiamo a m un valore, “spariscono” le infinite rette lasciando solo quella che ha come coefficienteangolare il valore attribuito a m.

Quindi:y − 4 = m(x + 2)

rappresenta le infinite rette per A. Se, ad esempio, poniamo m = 3, le infinite rette diventano unasola di equazione:

y − 4 = 3(x + 2)→ y = 3x + 6 + 4→ y = 3x + 10


Osservazione 1. Continuando a prendere ad esempio il punto A(−2; 4) notiamo che qualunquevalore di m, le rette passano per il punto A. Verifichiamolo come abbiamo visto nel paragrafo 1.8.2sostituendo a x l’ascissa di A e a y l’ordinata di A:

primo termine: 4− 4 = 0

secondo termine: m(−2 + 2) = m · 0 = 0

quindi A appartiene alla retta qualunque valore di m, che prova che l’equazione iniziale rappresentale infinite rette passanti per A.

�

Osservazione 2. L’equazione iniziale rappresenta tutte le infinite rette passanti per A eccettol’unica la cui equazione non puo essere portata in forma esplicita e cioe quella parallela all’asse yche ha equazione x = xA. Quindi il fascio di rette per A e:

y − yA = m(x− xA) piu x = xA

�

Esempio

. Determinare il fascio di rette passanti per il punto A(4;−1). Successivamente si prenda la rettadel fascio di coefficiente angolare m = −2.

Applichiamo la formula delle infinite rette per un punto, al punto A:

y + 1 = m(x− 4)

Per avere il fascio di rette bisogna considerare anche la retta parallela all’asse y passante per A cioex = 4. Quindi il fascio di rette per A e:

y + 1 = m(x− 4) piu x = 4

Se da questo fascio vogliamo prendere la retta che ha coefficiente angolare −2 basta sostituire adm il valore −2:

y + 1 = −2 · (x− 4)→ y + 1 = −2x + 8→ y = −2x + 7

�

1.10.1 La condizione di parallelismo

Due rette si dicono parallele se non si intersecano mai. Per essere parallele due rette devono averela stessa pendenza e quindi lo stesso coefficiente angolare. Vale quindi la seguente:

Condizione di parallelismo fra rette. Due rette sono fra loro parallele se hanno lo stessocoefficiente angolare.

�

Convenzione. Talvolta e utile indicare le rette con delle lettere. Per convenzione tali letteredevono essere minuscole.

�


Esempio

. Determinare se la retta r di equazione y = 2x− 3 e la retta s di equazione 4x− 2y− 5 = 0 sonoparallele fra loro.

r e in forma esplicita e quindi e immediato determinare il coefficiente angolare che e 2. s non e informa esplicita. Portiamola in tale forma:

4x− 2y − 5 = 0→ 6−2

6−2y =−4x + 5

−2→ y =

6−4 2

6−2 1− 5

2→ y = 2x− 5

2

quindi anche s ha coefficiente angolare 2 ed e quindi parallela ad r.

. Determinare se la retta r di equazione y = 3x+ 1 e la retta s di equazione y = 4x sono parallelefra loro.

r e in forma esplicita e quindi e immediato determinare il coefficiente angolare che e 2. Anche s ein forma esplicita e ha coefficiente angolare 4. Pertanto r e s non sono fra loro parallele.

. Determinare se la retta r di equazione x = 2 e la retta s di equazione x = −3 sono parallele fraloro.

r e s non sono in forma esplicita ne possono essere portate in tale forma perche la loro equazionenon contiene y. Sappiamo pero che le rette la cui equazione contiene la sola x sono parallele all’assey e quindi sono fra loro parallele.

�

1.10.2 La condizione di perpendicolarita

Sia r una retta avente coefficiente angolare m1 e s una retta avente coefficiente angolare m2. Valela seguente:

Condizione di perpendicolarita fra rette. r e s sono fra loro perpendicolari se il prodotto deiloro coefficienti angolari e −1. In formule:

m1 ·m2 = −1

(la dimostrazione di questa formula verra data alla conclusione del capitolo).

�

Esempio

. Dire se sono fra loro perpendicolari la retta r di equazione y = 2x− 3 e la retta s di equazione2x + 4y − 5 = 0

r e in forma esplicita e quindi e immediato determinare il coefficiente angolare che e 2. s non e informa esplicita. Portiamola in tale forma:

2x + 4y − 5 = 0→ 6464y =−2x + 5

4→ y =

6−2 −1

64 2+

5

4→ y = −1

2x +

5

4

quindi s ha coefficiente angolare −12 . Calcoliamo il prodotto fra il coefficiente angolare di r (che e

2) e il coefficiente angolare di s (che e −12) Se e −1 le due rette sono fra loro perpendicolari:

62 ·(−1

62) = −1

e quindi le due rette sono fra loro perpendicolari.


�

Un problema che ricorre spesso e quello di determinare una retta passante per un punto che siaparallela o perpendicolare a una retta assegnata. Si vedano i seguenti esempi:

Esempi

. Determinare la retta passante per il punto A(−1; 2) e parallela alla retta x + 2y − 3 = 0.

Si scrive l’equazione delle infinite rette passanti per A:

y − 2 = m(x + 1)

Fra tali infinite rette, quella parallela alla retta assegnata e quella il cui coefficiente angolare euguale al coefficiente angolare di x + 2y − 3 = 0.

Ricaviamoci allora il coefficiente angolare di x+ 2y−3 = 0 portando l’equazione in forma esplicita:

x + 2y − 3 = 0→ 6262y =−x + 3

2→ y = −1

2x +

3

2

quindi il coefficiente angolare e −12 .

Sostituiamo allora tale valore, alla m, nell’equazione delle infinite rette per A:

y − 2 = −1

2(x + 1)→ y = −1

2x− 1

2+ 2→ y = −1

2x +

3

2

che conclude l’esercizio.

. Determinare la retta passante per il punto A(3; 0) e perpendicolare alla retta y = 6x + 2.

Si scrive l’equazione delle infinite rette passanti per A:

y = m(x− 3)

Fra tali infinite rette, quella perpendicolare alla retta assegnata e quella che ha il coefficienteangolare che moltiplicato per quello della retta assegnata ha come risultato −1. Quindi, dato cheil coefficiente angolare della retta assegnata e 6, il coefficiente m deve soddisfare:

6 ·m = −1

quindi dividendo entrambi i termini per 6 otteniamo:

6666m =

−1

6→ m = −1

6

sostituiamo allora −16 alla m nell’equazione delle infinite rette per A:

y = −1

6(x− 3)→ y = −1

6x +63 1

66 2→ y = −1

6x +

1

2

che conclude l’esercizio.

1.11 La retta per due punti

Sappiamo che per due punti passa una e una sola retta. L’equazione della retta per due puntiassegnati non conterra quindi nessun parametro e avra come sole lettere x o y (o solo una delledue).


Premettiamo la seguente:

Osservazione. Se i due punti assegnati hanno la stessa ascissa (x), vuol dire che stanno sullastessa verticale. L’equazione della retta per questi due punti e quindi x = ascissa dei due punti.

Esempio

. Determinare la retta passante per i punti A(−2; 3) e B(−2;−1).

Tali punti hanno la stessa ascissa (−2) pertanto l’equazione della retta per questi due punti ex = −2.

�

Affrontiamo adesso, con due metodi diversi, il caso in cui i due punti abbiano ascissa diversa: ilproblema e quello di determinare l’equazione della retta passante per questi due punti.

Primo metodo:

• Si scrive l’equazione delle infinite rette passanti per uno dei due punti assegnati.

• Si sostituisce a tale equazione alla x e alla y rispettivamente l’ascissa e l’ordinata dell’al-tro punto. Si ottiene una equazione che ha come unica lettera la m e quindi la possiamodeterminare.

• Si sostituisce la m trovata nell’equazione delle infinite rette passanti per il primo punto.

Chiariamo con un esempio.

. Determinare l’equazione della retta passante per A(−1; 3) e B(2; 9)

• Si scrive l’equazione delle infinite rette passanti per A:

y − 3 = m(x + 1)

• Si sostituisce a tale equazione alla x e alla y rispettivamente l’ascissa e l’ordinata di B:

9− 3 = m(2 + 1)

Abbiamo ottenuto una equazione che ha come unica lettera m. Determiniamola:

6 = m · 3→ 6363m =

66 2

63 2→ m = 2

• Si sostituisce la m trovata nell’equazione delle infinite rette per A:

y − 3 = 2(x + 1)→ y = 2x + 2 + 3→ y = 2x + 5

Quindi la retta cercata ha equazione y = 2x + 5

�

Osservazione. Saremmo arrivati allo stesso risultato cominciando con le infinite rette passantiper il punto B.

�


Secondo metodo.

Sappiamo che una retta generica puo essere scritta come

y = mx + q

e che una volta determinati m e q abbiamo trovato la retta.

• Sostituiamo nell’equazione y = mx + q alla x l’ascissa del punto A e alla y l’ordinata delpunto A. Otteniamo un’equazione contenenti le lettere m e q.

• Sostituiamo nell’equazione y = mx + q alla x l’ascissa del punto B e alla y l’ordinata delpunto B. Otteniamo un’equazione contenenti le lettere m e q.

• Mettiamo a sistema le due equazioni e in tal modo determiniamo le incognite m e q

• Sostituiamo i valori trovati per m e q nell’equazione y = mx + q.

Chiariamo con lo stesso esempio di prima.

. Determinare l’equazione della retta passante per A(−1; 3) e B(2; 9)

• Sostituiamo nell’equazione y = mx + q alla x l’ascissa del punto A e alla y l’ordinata delpunto A. Otteniamo 3 = −m + q

• Sostituiamo nell’equazione y = mx + q alla x l’ascissa del punto B e alla y l’ordinata delpunto B. Otteniamo 9 = 2m + q

• Mettiamo a sistema le due equazioni: {3 = −m + q9 = 2m + q

e risolviamo ad esempio ricavando q dalla prima e sostituendolo nella seconda:{q = m + 3

9 = 2m + m + 3

{q = m + 3

3m = 6

{q = m + 3

m = 2

{q = 2 + 3 = 5

m = 2

• Sostituiamo i valori trovati per m e q nell’equazione y = mx + q ottenendo y = 2x + 5.

Quindi la retta cercata ha equazione y = 2x+5 (che conferma il risultato trovato col primo metodo).

�

1.12 L’intersezione fra due rette

Se consideriamo due rette, esse possono essere fra loro:

1. incidenti

2. parallele e distinte

3. parallele e coincidenti (in pratica sono la stessa retta).


Nel primo caso le due rette hanno un unico punto di intersezione, nel secondo nessuno e nel terzoinfiniti.

Per determinare il punto di intersezione, bisogna trovare un punto le cui coordinate x, y soddisfinosia l’equazione della prima retta, sia l’equazione della seconda retta. Da un punto di vista algebricocio si ottiene mettendo a sistema l’equazione delle due rette, come si vede dai seguenti:

Esempi

. Determinare il punto di intersezione fra le rette di equazione x + 2y = 5 e −2x + 5y + 1 = 0.

Mettiamo a sistema le due equazioni: {x + 2y = 5

−2x + 5y + 1 = 0

e risolviamo ad esempio ricavando x dalla prima e sostituendola nella seconda:{x = −2y + 5

−2(−2y + 5) + 5y + 1 = 0

{x = −2y + 5

4y − 10 + 5y + 1 = 0

{x = −2y + 5

6969y = 69

69

{x = −2 + 5 = 3

y = 1

Dal momento che il sistema ha una soluzione le due rette sono incidenti e il loro punto di intersezioneha coordinate (3; 1).

. Determinare il punto di intersezione fra le rette di equazione −2x + 4y = 5 e x− 2y = 2.

Mettiamo a sistema le due equazioni: {−2x + 4y = 5

x− 2y = 2

e risolviamo ad esempio ricavando x dalla seconda e sostituendola nella prima:{−2x + 4y = 5

x = 2y + 2

{−2(2y + 2) + 4y = 5

x = 2y + 2

{−4y + 4y = 5 + 4

x = 2y + 2

{0 = 9

x = 2y + 2

Osserviamo che e “scomparsa” l’incognita dalla prima equazione. Ricordando la teoria dei sistemiquesto significa che il sistema e o impossibile (assenza di soluzioni) o indeterminato (infinite solu-zioni). Se l’uguaglianza (la prima equazione senza incognite e diventata un’uguaglianza) e vera ilsistema e indeterminato, mentre se l’uguaglianza e falsa il sistema e impossibile. In questo caso,dato che l’uguaglianza e falsa, il sistema e impossibile (assenza di soluzioni).

Dal momento che il sistema non ha soluzioni significa che non esiste un punto di intersezione fra ledue rette e quindi le due rette sono parallele e distinte.

. Determinare il punto di intersezione fra le rette di equazione 3x− y = 2 e −9x + 3y = −6.

Mettiamo a sistema le due equazioni: {3x− y = 2

−9x + 3y = −6

e risolviamo ad esempio ricavando y dalla prima e sostituendola nella seconda:{−y = −3x + 2−9x + 3y = −6

{y = 3x− 2

−9x + 3(3x− 2) = −6

{y = 3x− 2

−9x + 9x− 6 = −6

{y = 3x− 2

0 = 0

Osserviamo che e “scomparsa” l’incognita dalla seconda equazione. In questo caso, dato chel’uguaglianza e vera, il sistema e indeterminato (infinite soluzioni).


A

BO

y=m1x

y=m2x

x=k

Figura 1.14: Il triangolo AOB e rettangolo se le due rette oblique sono fra loro perpendicolari

Dal momento che il sistema ha infinite soluzioni significa che esistono infiniti punti di intersezionefra le due rette e quindi le due rette sono coincidenti. La soluzione e quindi rappresentata dagliinfiniti punti della retta y = 3x− 2

�

1.13 Dimostrazione che due rette perpendicolari fra loro hanno ilprodotto dei coefficienti angolari uguale a −1 (facoltativo)

Sappiamo che una retta passante per l’origine ha il termine noto q = 0 ed ha quindi equazionegenerica y = mx.

Consideriamo allora due rette passanti per l’origine di equazioni y = m1x e y = m2x, dove m1 e m2

sono i coefficienti angolari di tali rette. Consideriamo anche la retta verticale x = k e individuiamoil triangolo ABO i cui vertici sono le intersezioni di tali rette (fig 1.14).

Determiniamo le coordinate dei vertici A e B (O e l’origine che ha coordinate (0; 0)).

A e l’intersezione fra le rette x = k ed y = m1x (nella risoluzione dobbiamo vedere k, m1 e m2

come dei numeri):

{x = k

y = m1x

{x = k

y = m1k

quindi risulta A(k;m1k).

B e l’intersezione fra le rette x = k ed y = m2x:

{x = k

y = m2x

{x = k

y = m2k

quindi risulta B(k;m2k).

Ricaviamoci adesso le lunghezze dei lati:

BA =√

(xA − xB)2 + (yA − yB)2 =√

(k − k)2 + (m1k −m2k)2 =√

(m1k −m2k)2 = m1k −m2k

AO =√

(xA − 0)2 + (yA − 0)2 =√

k2 + (m1k)2 =√k2 + m2

1k2


OB =√

(xB − 0)2 + (yB − 0)2 =√k2 + (m2k)2 =

√k2 + m2

2k2

A questo punto possiamo dimostrare la condizione di perpendicolarita.

Infatti le rette y = m1x e y = m2x sono perpendicolari se e soltanto se il triangolo AOB erettangolo, e il triangolo AOB e rettangolo se e solo se su di esso vale il teorema di pitagora, quindise e solo se:

BA2 = AO2 + OB2

sostituendo ai segmenti le lunghezze dei lati appena determinate si ottiene:

(m1k −m2k)2 =(√

(k2 + m21k

2)2

+(√

(k2 + m22k

2)2

dal momento che la radice quadrata e l’elevamento alla seconda si elidono a vicenda, si ottiene:

m21k

2 + m22k

2 − 2m1m2k2 = k2 + m2

1k2 + k2 + m2

2k2

dividendo tutti i termini per k2:

6m21 + 6m2

2 −2m1m2 = 2+ 6m21 + 6m2

2→ −2m1m2 = 2

dividendo per −2 entrambi i termini si ottiene

m1m2 = −1

che dimostra che due rette sono perpendicolari se e solo se il prodotto dei loro coefficienti angolarie −1.

�

1.14 Esercizi

Paragrafo 1.4

1. Determina il punto medio fra le seguenti coppie di punti e rappresenta il tutto sul pianocartesiano.

• A(2; 0) e B(3; 4)

• A(−2; 1) e B(−3; 4)

• A(0; 0) e B(3; 0)

• A(2; 52) e B(34 ;−4

3)

• A(2; 12) e B(3; 1

2)

2. Determina il baricentro del poligono avente come vertici i punti A(−3; 2), B(−3; 4), C(1; 2)e D(1; 4) e rappresenta il tutto sul piano cartesiano.

3. Determina il baricentro del poligono avente come vertici i punti A(−4; 1), B(−3; 3), C(1; 2)e D(1; 6) e rappresenta il tutto sul piano cartesiano.

4. il baricentro del poligono avente come vertici i punti A(−3; 2), B(−3; 4), C(1; 2), D(1; 4) eE(−6; 0) e rappresenta il tutto sul piano cartesiano.


5. il baricentro del poligono avente come vertici i punti A(−2; 1), B(4;−2) e C(1;−4) e rappre-senta il tutto sul piano cartesiano.

6. il baricentro del poligono avente come vertici i punti A(−4; 0), B(4;−2), C(2;−4) e D(−1; 1)e rappresenta il tutto sul piano cartesiano.

7. Sia A(−2; 1). Determina le coordinate del punto B affinche il punto medio fra A e B siaM(0; 2)

8. Sia A(3; 0). Determina le coordinate del punto B affinche il punto medio fra A e B sia M(1; 0)

Paragrafo 1.5

9. Determina, dopo aver rappresentato A e B sul piano cartesiano la distanza fra A e B dicoordinate:

• A(2; 0) e B(5;−4)

• A(−2; 0) e B(−2; 4)

• A(−2;−3) e B(4; 5)


• A(12 ; 3) e B(92 ; 0)

• A(−2; 0) e B(−1; 1)

• A(2;−3) e B(2;−3)


• A(−12; 8) e B(−7;−4)

• A(−2; 3) e B(−2; 5)

• A(−2;−3) e B(4; 5)

Paragrafo 1.6

Disegna un reticolo di 15 x 15 celle:

12. “annerisci” le caselle che hanno la seconda coordinata uguale alla prima e traduci in simboliquesta relazione fra coordinate.

13. “annerisci” le caselle che hanno la seconda coordinata uguale a 8 e traduci in simboli questarelazione fra coordinate.

14. “annerisci” le caselle che hanno la seconda coordinata uguale alla meta della prima e traduciin simboli questa relazione fra coordinate.

15. “annerisci” le caselle che hanno la seconda coordinata uguale al triplo della prima piu 1 etraduci in simboli questa relazione fra coordinate.

16. “annerisci” le caselle che hanno la seconda coordinata uguale alla prima elevata alla secondae traduci in simboli questa relazione fra coordinate.

17. “annerisci” le caselle che hanno la seconda coordinata uguale alla prima meno due e traduciin simboli questa relazione fra coordinate.


18. “annerisci” le caselle che hanno la seconda coordinata uguale al doppio della prima meno 2 etraduci in simboli questa relazione fra coordinate.

Paragrafo 1.8

Porta quando possibile in forma esplicita le seguenti rette e successivamente rappresentale sulpiano cartesiano:

19. 2x− y = 4

20. 3x + 4y − 1 = 0

21. 2x = −y + 1

22. −y = 3x + 4

23. −x + 5y − 2 = 0

24. −2x− 2y − 3 = 0

25. x− y = 0

26. x = 4

27. y + 3 = 0

28. 3x− 6y = 6

29. 2x + y = 1

30. −3x− 2y = −3

Verifica se i punti A e B appartengono alla retta indicata:

31. 2x− y = 4 A(0; 4) B(2; 0)

32. 3x + 4y − 1 = 0 A(−1; 1) B(2;−2)

33. 2x = −y + 1 A(0; 1) B(2; 3)

34. −y = 3x + 4 A(13 ;−5) B(2; 13)

35. −x + 5y − 2 = 0 A(2; 1) B(2; 45)

36. −2x− 2y − 3 = 0 A(1; 1) B(−2;−1)

37. x− y = 0 A(2;−2; ) B(−3;−3)

38. x = 4 A(4; 3) B(3; 4)

39. y + 3 = 0 A(3; 3) B(3;−3)

40. 3x− 6y = 6 A(4; 1) B(0; 1)

41. 2x + y = 1 A(12 ; 2) B(32 ;−2)

42. −3x− 2y = −3 A(1; 0) B(0; 0)

Paragrafo 1.12

Determina il coefficiente angolare m e il termine noto q delle seguenti rette:

43. 2x− y = 3


44. 3x + 4y − 8 = 0

45. 2x = −y + 2

46. −y = 3x− 5

47. −x + 5y − 15 = 0

48. −2x− 2y − 3 = 0

49. x− y = 0

50. x = 1

51. y + 2 = 0

52. 3x− 6y = 6

53. 4x + y = 1

54. −10x− 2y = −3

Paragrafo 1.10

Determina il fascio di rette passanti per il punto A di coordinate:

55. (0; 4); (2; 0)

56. (−1; 1); (2;−2)

57. (0; 1); (2; 3)

58. (13 ;−5); (2; 13)

59. (2; 1); (2; 45)

60. (1; 1); (−2;−1)

61. (2;−2; ); (−3;−3)

62. (4; 3); (3; 4)

63. (12 ; 2); (32 ;−2)

64. (1; 0); (0; 0)

Dire se le seguenti coppie di rette sono fra loro parallele:

65. x + 2y − 3 = 0; y = −12x + 1

66. −3x + 2y = 0; y = −23x + 1

67. x + y − 3 = 0; y = −x + 4

68. 4x− 6y − 5 = 0; y = 23x + 1

69. −x + 2y − 1 = 0; −2x− 4y = 1

70. y = 0; y = −12

71. 3x + y = 0; y = −13x + 1

72. 2y − 3 = 0; y = 32x + 4


73. x = 2; x = 1

74. x + 5y = 0; y = 5x + 1

Dire se le seguenti coppie di rette sono fra loro perpendicolari:

75. x + 2y − 3 = 0; y = 2x + 1

76. 2x + y − 9 = 0; y = −12x + 1

77. −3x + 2y + 1 = 0; y = −23x + 1

78. −x + y = 0; y = −x + 4

79. y = −32x + 1; y = 2

3x + 1

80. y = 2x; −2x− 4y = 1

81. y = 0; x = −12

82. 3x + y = 0; y = 13x + 1

83. 2y − 3 = 0; y = 32x + 4

84. x = 2; y = 1

85. x + 5y = 0; y = 5x + 1

Nei seguenti esecizi vengono indicate le coordinate di A e l’equazione di una retta. Determi-nare sia la retta passante per A e parallela alla retta assegnata, sia la retta passante per A eperpendicolare alla retta assegnata.

86. (0; 4); x + 2y − 3 = 0

87. (2; 0); 2x + y − 9 = 0

88. (−1; 1); −3x + 2y + 1 = 0

89. (2;−2); −x + y = 0

90. (0; 1); y = −32x + 1

91. (2; 3); y = 2x

92. (13 ;−5); y = 0

93. (2; 13); 3x + y = 0

94. (2; 1); 2y − 3 = 0

95. (2; 45); x = 2

96. (1; 1); x + 5y = 0

97. (−2;−1); y = 2x + 1

98. (2;−2; ); y = −12x + 1

99. (−3;−3); y = −23x + 1

100. (4; 3); y = −x + 4

101. (3; 4); y = 23x + 1


102. (12 ; 2); −2x− 4y = 1

103. (32 ;−2); x = −12

104. (1; 0); y = 13x + 1

105. (0; 0); y = 1

Paragrafo 1.11

Determinare l’equazione della retta passante per i punti A e B di coordinate:

106. A(0; 4) B(2; 0)

107. A(−1; 1) B(2;−2)

108. A(0; 1) B(2; 3)

109. A(13 ;−5) B(2; 13)

110. A(2; 1) B(2; 45)

111. A(1; 1) B(−2;−1)

112. A(2;−2; ) B(−3;−3)

113. A(4; 3) B(3; 4)

114. A(12 ; 2) B(32 ;−2)

115. A(1; 0) B(0; 0)

Paragrafo 1.12

Determinare il punto di intersezione, se esiste, delle seguenti coppie di rette. In base alrisultato dire poi se tali rette sono incidenti, parallele o coincidenti

116. x + 2y − 3 = 0 2x + y = 3 (1; 1)

117. 2x + y − 1 = 0 x + y = −2 (3;−5)

118. −3x + 2y = 2 6x + 2y = 5 (13 ; 32)

119. −x + y = 0 3y = −x (0; 0)

120. x + 2y = 2 − 2x− 4y = 1 Nessun punto.

121. x− 3y = 4 2x− 28y = 23 (5; 1

3)

122. y = 0 x + 2y = 4 (4; 0)

123. x + 3y + 3 = 0 − 2x− 6y = 6 Tutti i punti della retta x = −3y − 3

124. 2y − 3 = 0 x = 1 (1; 32)

125. x− 5y = −2 3x + 2y = 11 (3; 1)

126. 2x + 5y = 6 − 3x + y = −9 (3; 0)

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