Appunt i di:Cont rolli Aut omat ici A cura di:Francesco di Dio francesco1983@t ele2.it I ndice Cont rolli Aut omat ici ....................................................................................................... 1 I ndice .......................................................................................................................... 2 1.I nt roduzione ........................................................................................................ 4 Obiet t ivi del Corso.................................................................................................... 4 I l Cont rollo a Ret roazione .......................................................................................... 4 2.Esempi di Modelli e Sist emi di Cont rollo ........................................................... 5 2.1 Modello Motore a t ensione cost ante ................................................................... 5 Equazioni del Modello ............................................................................................... 5 Schema a blocchi det t agliat o ..................................................................................... 5 Schema a blocchi sint et ico ........................................................................................ 6 Analisi quant it at iva................................................................................................... 6 Conclusioni.............................................................................................................. 6 2.2 Cont rollo di Livello ............................................................................................. 7 Modello Mat emat ico del Serbat oio .............................................................................. 7 Schema a Blocchi del Serbat oio ................................................................................. 7 Schema a Blocchi Sint et ico del Sist ema ...................................................................... 7 Analisi delle condizioni dequilibrio del Sist ema ............................................................ 8 Conclusioni.............................................................................................................. 8 2.3 Schema St andard del Cont rollo a Ret roazione ................................................... 9 Riduzione a Reazione Unit aria .................................................................................. 10 Separazione Processo Cont rollore............................................................................. 11 2.4 Semplificazioni con lo Spazio di St at o .............................................................. 12 2.5 Cont rollo di Temperatura ................................................................................. 13 Modello dello Scambiat ore ....................................................................................... 13 Schema det t agliat o scambiat ore di calore ................................................................. 14 Schema dello Scambiat ore St andardizzat o .............................................................. 15 Schema dello scambiat ore con lo Spazio di St at o ....................................................... 15 Funzione di t rasferiment o (Tecnica) .......................................................................... 16 2.6 Modello del Diodo Cont rollat o .......................................................................... 17 3.Analisi dei Sist emi di Cont rollo ................................................................... 19 3.1 Scelt a dei paramet ri proget t uali e St abilit del Sist ema .................................. 19 Esempio:Cont rollo di Livello ................................................................................... 19 4.Relazione Tra Specifiche e Paramet ri di proget t o .................................... 22 4.1 Metodo Di Nyquistper la St abilit .................................................................... 22 St udio Della St abilit :IDiagrammi di Nyquist . .......................................................... 23 Margini di Fase e Di Guadagno ................................................................................. 27 4.2 St udio della Precisione .................................................................................... 28 Rapport o ingresso- errore ........................................................................................ 31 Calcolo prat ico dellerrore ........................................................................................ 32 Rispost a ai dist urbi ................................................................................................. 33 4.3 Analisi della Rispost a Transit oria ..................................................................... 35 Casi di St udio ........................................................................................................ 36 Iparamet ri della rispost a Transit oria ........................................................................ 38 4.4 La Cart a Di Nichols ........................................................................................... 40 Esempi:Cart a di Nichols ......................................................................................... 44 4.5 St udio della Robust ezza: Funzione di Sensibilit ............................................. 46 Robust ezza del sist ema per il singolo paramet ro ........................................................ 47 4.6 St abilit Robusta ............................................................................................. 48 Esempio di St abilit Robust a:Mot ore a Cont rollo I n Corrent e ( V cost ant e) .................... 48 St abilit Robust a e Precisione Robust a ...................................................................... 49 5.Sint esi di G( s)............................................................................................... 53 5.1 Sint esi di G( s) : Ret i Compensat rici .................................................................. 53 La Funzione Ant icipat rice ........................................................................................ 54 La funzione At t enuat rice ......................................................................................... 55 Regolat ori P.Ie Regolat ori P.I .D............................................................................... 56 5.2 Sint esi di G( s) : Esercizi Prat ici per Funzioni Compensat rici ............................. 58 Funzione Ant icipat rice:........................................................................................... 58 Funzione At t enuat rice ............................................................................................. 59 Funzione Ant icipat rice:Caso I I................................................................................ 60 Sint esi con pi ret i compensat rici ............................................................................. 61 6.Analisi con il Luogo delle Radici ................................................................. 62 6.1 Calcolo del Luogo delle Radici .......................................................................... 62 6.2 Sint esi di G( s)con il Luogo delle Radici ........................................................... 64 1. I nt roduzione I l corso di Cont rolli aut omat ici prevede lanalisi e la proget t azione di sist emi a comando aut omat ico, per esempio, il cont rollo della t emperat ura di una caldaia. Per pot ere effet t uare st udi di analisi e proget t azione di sist emi con cont rolli (comandi)aut omat ici, occorre: Modellizzare mat emat icament e il sist ema;Analizzare come risponde il sist ema;Proget t are il cont rollo nel modo migliore possibile; Obiet t ivi del Corso -Modelli Mat emat ici dei Sist emi di Cont rollo:Cont rollo di Velocit ;Cont rollo di Temperat ura;Cont rollo di Livello;Cont rollo di posizione;-Met odi di Analisi dei Modelli;-Met odi di Proget t o:Luogo delle Radici;Aut ovalori;Cont rollo Ot t ico;Diagrammi di Bode;-Proget t azione Assist it a:Mat lab;Simulink;I l Cont rollo a Ret roazione I n quest o corso ci occuperemo prevalent ement e del cont rollo a ret roazione. I l cont rollo a ret roazione ot t iene un obiet t ivo dal sist ema, valut ando di volt a in volt a il suo int ervent o at t raverso delle misurazioni sul paramet ro da cont rollare.Si basa su t re fat t ori:-Misura -Errore -Comando Processo Misurazione Errore? I nt ervengo? SI NO

Met odi di I nt ervent o 2. Esempi di Modelli e Sist emi di Cont rollo 2.1 Modello Mot or e a t ensione cost ant e Modelliamo un mot ore elet t rico a t ensione cost ant e:Le variabili in gioco sono:VTensione;Velocit angolare del mot ore;I Corrent e ( ampere) ; I = Cm/ Km RResist enza;EForza elet t ro cont ro mot rice;E= Km;KmCoefficient e dat t rit o del mot ore(spazzole,ecc) CmCoppia mot rice;Cm= KmI ;CrCoppia resist ent e; Cr= Cd+ F CdCoefficient e di dist urbi est erni ( avarie, meccanica,ecc) FCoefficient e dat t rit o volvent e;Equazioni del Modello I l mot ore elet t rico carat t erizzat o da due element i, uno di t ipo elet t rico, lalt ro di t ipo meccanico. Le equazioni che lo descrivono t engono cont o di quest i due element i;Part e Elet t ricaPart e Meccanica V E RIdtdIL = + + r mC CdtdJ =O Con le dovut e sost it uzioni, dalla prima equazione, ci ricaviamo (I nt egrando)I :V- ( Km) - RI +|.|

\|dtdIL1= IDalla seconda grazie a Iricaviamo : ( KmI ) - ( Cd+ F) +O = |.|

\| OdtdJ1 Schema a blocchi det t agliat o A quest o punt o vediamo com fat t o lo schema a blocchi. Cd +F + V+ +I- Omega 1/ LI nt .Km + 1/ J I nt .- - R KmSchema a blocchi sint et ico Possiamosint et izzarequest oschemaedeliminarepart edeglianelliandandoamanipolarele equazioni del modello ut ilizzando la t rasformat a di Laplace. sLIdtdIL = eO =OsJdtdJApplicandole avremo:1) V E RI sLI = + + da cui: R sLE VI+=2) O = O F C C sJd m da cui:F sJC Cd m+= OI n quest o modo avremo uno schema pi sint et ico in quest o modo: Analisi quant it at iva Analisiquant it at ivacipermet t ediconoscereiparamet ridaiqualidipendeilsist emaquandosi t rovaincondizionicost ant i.Aquest oscoposit rat t anocomevaloricost ant it ut t elevariabili,e si annullano t ut t e le derivat e. ( La derivat a di una cost ant e 0! ) . Quindi le equazioni che descrivono il mot ore divent ano:1)RE VI=2)r mC C=Dalla 2 sost it uendo ot t eniamo: O + = F C I Kd m

Dalla 1 ot t eniamo: O + = |.|

\| O F CRK VKdmm=O +O= FRKC V Kmd m2 =( )d mmRC V KK FR

O += O21 Relazione St at ica del Mot ore (Dat o che

O +21mK FR cost ant e possiamo indicarlo con K ) Conclusioni Abbiamo st abilit o quali sono le equazioni che descrivono un modello di un semplice mot ore, abbiamo cost ruit o lo schema det t agliat o e sint et ico. Ma la part e pi import ant e quella che riguarda la st at ica del modello, in quant o post a a sist ema con lequazioni st at iche di alt ri sist emi int erconnessi ad un mot ore, permet t e di analizzare la scelt a dei paramet ri del sist ema di cont rollo. Cd VICm - Omega +1/ sL+ R1/ sJ+ F -+ E Km Omega Qr Qd h Serbat oio 2.2 Cont rollo di Livello Esaminiamoilmodellodiunsist emamot ore- pompa- serbat oio- cont rollo; I lsist emadicont rollo deve imporre che il livello dellacqua del serbat oio sia cost ant e. Modello Mat emat ico del Serbat oio Ricorda che:Ah V = ; Lequazione che descrive il modello :d pQ KdtdhA O = ModelloMat emat icoSerbat oio Schema a Blocchi del Serbat oio Schema a Blocchi Sint et ico del Sist ema d rQ QdtdV =I l volume deve eguagliare laQuant it dacqua t ot ale; O =p rK QLa quant it Qr proporzionale alla capacit della pompa( Kp) Mot oreSerbat oi o Pompa Kp Qd ( Ut enza)h Mi sura - +Hri fAl t ezza diri feri ment o Cont rol l o error e u Cd OmegaKp- +Qd 1/ A I nt egra h M Pompa Ut enza Serbat oio Analisi delle condizioni dequilibrio del Sist ema Una volt a cost ruit o il modello mat emat ico di t ut t o il sist ema, necessario st udiarlo nella condizione di equilibrio, al fine di st abilire quali sono i paramet ri sui quali int ervenire nella proget t azione del cont rollo a ret roazione. I n condizione di equilibrio, nel serbat oio, lacqua che ent ra eguaglia lacqua che esce. d pQ K = O I n condizione di equilibrio la velocit del mot ore ( vedi Modello Mot ore) cost ant e e vale:) ( 'd m aRC u K K K = O I nfine in condizione di equilibrio,anche lingresso del sist ema sar cost ant e e vale:) ( h h K urif c = Iparamet ri sui quali possiamo int ervenire sono Ka e Km. Andando a sost it uire le variabili avremo un'unica equazione che le lega t ut t e:dc a mdc a m prifCK K KQK K K K Kh h1'1+ = Dat o che il nost ro obiet t ivo e di azzerare la quant it h- hr if, chiaro che dobbiamo scegliere i paramet ri del nost ro cont rollo ( il guadagno Ka)quant o pi grande possibile, in modo che ent rambi gli addendi del secondo membro t endano a zero. Conclusioni La scelt a in casi come quest o di guadagno ( Ka)molt o grande permet t e: 1.Protezione da dist urbi est erni; 2.Protezione da errori del modello; At t enzione! Non sempre possibile scegliere il guadagno cos grande per diversi mot ivi, ( limit azioni t ecniche, specifiche,concet t uali)a volt e possibile che il sist ema oscilli anzich convergere per un valore di K t roppo grande. F( s) +-ruy 2.3 Schema St andard del Cont rollo a Ret roazione Non necessario det erminare lo schema det t agliat o di ogni component e del sist ema sul quale vogliamo effet t uare un cont rollo. I n generale t ut t i i sist emi a ret roazione possono essere ricondot t i ad un unico modello. Isegni degli addizionat ori sono convenzionali e possono cambiare da sist ema a sist ema. Le equazioni del sist ema sono:)` = = =y s H r us uG zz d y) () (sost it uendo possiamo ot t enere una variabile in funzione delle alt re.I n quest o caso y e z con la configurazione in figura. ) ( ) ( 1) () ( ) ( 1 s H s Gs rGs H s Gdy+++= rs H s Gs Gds H s Gs H s Gz) ( ) ( 1) () ( ) ( 1) ( ) (+++= Bast a ora sost it uire le variabili r,d,G( s) e H( s) con le rispet t ive funzioni del sist ema che vogliamo modellizzare. Ovviament e non sempre lo schema che vogliamo modellizzare del t ipo ( o assimilabile) allo schema st andard. Per esempio: I n quest o caso, facendo i dovut i calcoli, si t rova che la funzione di t rasferiment o (W( s) ) associat a a quest o schema con ingresso r e uscit a y :W( s) =Dat o che F( s) a sua volt a una funzione di t rasferiment o, si pu scrivere: VariabileDescrizione DDist urbo del sist ema rRiferiment o del cont rollo G( s)Funzione di Trasferiment o r+ u

- G( s) H( s) z+ y - d E quindi: Riduzione a Reazione Unit aria Quest a riduzione consent e di semplificare not evolment e i calcoli e ci permet t e di effet t uare alt re semplificazioni in maniera pi agevole. Generalment e abbiamo pi di un blocco che descrive il nost ro sist ema, per esempio: Manipoliamo il nost ro sist ema aggiungendo due blocchi che non ne alt erino le carat t erist iche: Dando un nome ai diversi rami cos creat i possiamo fare delle manipolazioni al fine di eliminare il ramo di ret roazione H(s) . Allora possiamo scrivere: Quest ult ima equazione ci dice che il seguent e sist ema equivalent e al precedent e: Quest o comport a che, a pat t o di post -molt iplicare il riferiment o per 1 su H, e aggiungere H a mont e dellerrore, permet t e di eliminare il ramo di ret roazione e semplificare lo schema a reazione unit aria. Separazione Processo Cont rollore A volt e molt o ut ile separare i blocchi in modo da esplicit are il processo dal disposit ivo di cont rollo. I n quest o modo possibile esplicit are il dist urbo in modo da pot ere ot t enere una funzione di t rasferiment o che leghi luscit a al dist urbo st esso. Nella maggior part e dei casi abbiamo due possibili schemi: Dist urbo a valle del processo:

Se indichiamo con F( s) =G(s) P( s) , ot t eniamo che: Dist urbo in un punt o del processo: I n quest o caso abbiamo: P( s) = ( P2( s) + d) P1( s) ) F( s) = G( s) P( s) Y= P2( s) ( d+ P1( s) G(s) u);Facendo i calcoli ot t eniamo: Pert ut t iglialt ricasi,perricavarelafunzionedit rasferiment ochelegauna part icolare entrat a ( quindi anche un disturbo)alluscit a, bast a dividere la funzione di t rasferimentochesiavrebbeinassenzadiret roazioneapart iredallingresso desiderat o, per la somma dellunit pi il di anello. 2.4 Semplificazioni con lo Spazio di St at o Unmodoforsepisemplicepersemplificareunmodello,quellodiut ilizzareleequazionidi st at o del modello per pot erlo ricondurre ad un Sist ema Lineare del t ipo:Du Cx yBu Ax x+ =+ =- 2.1 Sist ema lineare Essendoilnost romodellogeneralment edescrit t odaequazionidiquest ot ipo,possibile scriverlosot t oquest aforma,cos comecivieneinsegnat onella Teoriadei Sist emie calcolarne lesuefunzionidit rasferiment ocheleganoleent rat edelsist ema,alleuscit e.I nquest omodo lo schema a blocchi risult a di molt o semplificat o. Ricordiamo come si ot t engono le funzioni di t rasferiment o W( s)a part ire da un sist ema lineare. W( s) una mat rice che si ot t iene:B A sI C s W1) ( ) ( =2.2 Equazioni di t rasferiment o Generalment e si procede in quest o modo:1.Si calcola la mat rice ( sI - A) 2.Si calcola linversa:Si calcola il det erminant e della mat rice ( sI - A) che indichiamo con Ds;Si calcolano i complement i algebrici di t ut t i gli element i di ( sI - A) = Aij;I l rapport o DsAj i , d linversa di ( sI - A);3.Si calcola il prodot t o con le mat rici C e B; I n quest o modo, gli element i del vet t ore W( s) sono sempre dei rapport i di polinomi. Al denominat ore abbiamo Ds di grado n;Al numerat ore un polinomio in s di grado n- 1; Lesempio di quest o procediment o riport at o nellesempio del cont rollo di t emperat ura.

2.5 Cont rollo di Temperat ura Vediamo di applicare lo schema st andard ad un sist ema di cont rollo della t emperat ura. I l sist ema in quest ione quello in figura. Modello dello Scambiat ore La part e pi import ant e del sist ema lo scambiat ore. Ta Tl TrR PPot enza dissipat a dalla resist enza R RResist enza TrTemperat ura della Resist enza Tl Temperat ura del liquido TaTemperat ura dellambient e Kt Coefficient e di proporzionalit della t emperat ura ( Resist enza Liquido) K2Coefficient e di proporzionalit della t emperat ura ( Liquido- Ambient e) CrCapacit t ermica della resist enza ClCapacit t ermica del liquido Le equazioni che descrivono lo scambiat ore sono dei bilanci t ermici. I l primo t ra Resist enza e Liquido, il secondo t ra Liquido e Ambient e. Bilancio TermicoEquazioneCondizione dequilibrio R- L dtdTC T T K Plr l r t+ = ) () (l r tT T K P =L- A dtdTC T T K T T Kll a l l r t+ = ) ( ) (2 ) ( ) (2 a l l r tT T K T T K = I l nost ro sist ema, sint et icament e cos fat t o:Ent rateP,Ta Variabili di St at oTr,Tl Uscit eTl Diodo Cont rollat o Piast ra di rame Resist enza R Schema det t agliat o scambiat ore di calore Comesipuvedereloschemadet t agliat orisult at roppocomplicat o,ut ilizzeremoloschema st andardpersemplificarlo.Dividiamo innanzit ut t oloschemaindueblocchi: BloccoA eBloccoB.NelBloccoAindividuiamole analogieconloschemast andardperassociare allevariabilidelloschemast andard ( Y,Z,G(s) ,H(s) ,ecc) quelle del nost ro sist ema. Blocco A I lbloccoAperfet t ament eanalogoallo schema st andard. P= r;G( s) =Cs1;H( s) = Kt ;d= Tl; Quellocheciint eressacalcolarelaYdel sist emainquant oindispensabileper sint et izzareilbloccoB.Quindicalcoliamolay ( Vedi Schema St andard) che vale:rs H s Gs Gs H s Gdy) ( ) ( 1) () ( ) ( 1 +++= Sost it uendo le variabili e semplificando: PK s CTK s Cs CYtlt+++=1 111 I nquest omodopossiamocost ruirciuno schemanot evolment episemplicedel precedent e. Blocco B I l blocco B anchesso analogo allo schema st andard, solo che in quest o caso dobbiamo esplicit are la variabile ( z)che rappresent a lent rat a del dist urbo nel blocco A. La variabile z nello schema st andard vale:rs H s Gs Gds H s Gs H s Gz) ( ) ( 1) () ( ) ( 1) ( ) (+++=G( s) =Cls;H( s) = Kl;d= Ta;r= luscit a del blocco A;Sost it uiamo, semplifichiamo e ot t eniamo:l l l ll aK s CrK s CK Tz+++= Schema dello Scambiat ore St andar dizzat o A part ire dalle due equazioni che abbiamo t rovat o possiamo cost ruire uno schema sicurament e pi sint et ico: Come possiamo vedere lo schema risult a pi semplice anche se si sono complicat e le equazioni allint erno dei blocchi. Schema dello scambiat ore con lo Spazio di St at o Le equazioni di st at o che descrivono lo scambiat ore abbiamo vist o essere:1.)] ( [1l r trlT T K PC dtdT =2.)] ( ) ( [12 a l l r tllT T K T T KC dtdT =E facile ident ificare le variabili di st at o, dat o che sono quelle che vengono derivat e. Lo schema comprende le variabili u,x e y con: VariabileDescrizioneSpecifica uVet t ore a due component iP; Ta; I ngressi xVet t ore a due component iTr; Ta; Variabili di St at o yVet t ore a un component eTlUscit e I l sist ema divent a quindi:( )||.|

\|=||.|

\||||.|

\|+||.|

\|||||.|

\| =||.|

\|--lrarlrl ltltrtrtlrTTYTPKCTTCKCKCKCKCKTT1 000122 Wp WtP T Ta

++ Funzione di t rasferiment o ( Tecnica)Avendo le mat rici A,B e C possibile det erminare le funzioni di t rasferiment o associat e al sist ema. W( s) = C( sI -A)- 1B B AssC s W1)00( ) (||.|

\|= sI - A =||||.|

\| + +l ltltrtrtCKCKsCKCKCKs2det ( sI - A) = s2+ a1s+ a2= Ds;I l complement are algebrico di sI -A frat t o Ds d linversa di (sI -A) . I l complement are algebrico di una mat rice 2x2 di t ipo ||.|

\|=||.|

\|a cb dd cb a Quindi il complement are algebrico di (sI -A)vale:DsCKsCKCKCK Ksrtltrtlt12||||.|

\|++ Che molt iplicat o per C= ( ) 1 0divent a:||.|

\|+rtltCKsCK;Che molt iplicat o per B=|||.|

\|2001KCrdivent a:Ds CKsCKC CKs Wrtl r l1) ( ) (2 2||.|

\|+ = I ndichiamo con:DsC CKs Wr lP2) ( =La funzione di t rasferiment o che lega P alluscit a; DsCKsCKs WrtlT) () (2+=La funzione di t rasferiment o che lega T alluscit a;A quest o punt o possiamo cost ruire lo Schema a Blocchi: 2.6 Modello del Diodo Cont rollat o Ilpr obl ema delcont r ol l o che st i amo anal i zzando quel l o dipot er e var i ar e l a pot enza di ssi pat a (at t r aver so i ldi odo) nel l a r esi st enza, e f ar e i n modo che quest o pr ocesso dicont r ol l o si a poco di spendi oso. A quest o scopo ciser vi amo diun diodo cont rollat o, che ha un compor t ament o di ver so da un diodo semplice. I lDiodo"semplice"l asci apassar e l acor r ent esempl icement e quandol at ensi oneposi t i va:si amoi nr egi medi cor r ent e al t er nat a, qui ndii lgr af i co del l a t ensi one ilseguent e. I l diodo cont rollat o i nvece sicompor t a come quel l o sempl i ce, ma l asci a passar e l a t ensi one sol t ant o quando pr esent e un segnal e (i n ver de nelgr af i co), (gener al ment e un pi ccol o i mpul so), neli ngr esso " C" . Or a dobbi amo veder e come possi amo cont r ol l ar e l a cor r ent e ef f i cace,che nelgr af i co r appr esent at a dal l ar ea sot t esa dal l a f unzi one V nel l ul t i mo gr af i co e che var i asempl i cement e spost ando nelt empo l ' i mpul so nel l ' i ngr esso C.

La cor r ent e ef f i cace def i ni t a qui ndicome: comunque possi bi l e sempl i f i car e quest o i nt egr al e con l a seguent e f or mul a che l ega l ' i ngr esso u con l a cor r ent e ef f i cace che l asci amo scor r er e nelci r cui t o. La pot enza di ssi pat a, i nf i ne def i ni t a come: P=RI2ef f

A quest o punt o posso scr i ver e l o schema a bl occhidell ' aliment at ore a diodo cont rollat o: Ka ( I eff2) R/ 8 1 uP erroreP ka ( I eff2) R/ 8 1 W( Ta)W( p)+++++-Cont roll o:Kc T Tr if Taa A quest o punt o si amo i n gr ado dicost r ui r e l o schema compl et o del l o scambi at or e dicont r ol l o, (ma ancor a senza i lbl occo dicont r ol l o (che a par t i r e dal l ' er r or e gener a i lcomando sul l ' ali ment at or e)). 3. Analisi dei Sist emi di Cont rollo 3.1 Scelt a dei paramet ri proget t uali e St abilit del Sist ema Abbiamo gi vist o nelle prime analisi qualit at ive effet t uat e, che convenient e scegliere i paramet ri Ka e Kc (paramet ri del cont rollo del sist ema) , molt o grandi per fare in modo che il nost ro sist ema risult i abbast anza robust o da sopport are event uali errori di proget t o, event uali dist urbi est erni eccOvviament e esist ono dei limit i alla possibilit di scelt a di quest i paramet ri, limit i che anno diversa nat ura:Limit i di Specifica:Le specifiche di proget t o non consent ono di impost are a piacere quest i paramet ri;Limit i Tecnici:Idisposit ivi hanno valori gi prefissat i che non possono essere variat i;Limit i St rut t urali:I l sist ema perde di st abilit olt re cert i valori limit i di quest i paramet ri; Lult imo limit e quello pi int eressant e, in quant o ci consent e di ot t enere informazioni circa la st abilit del sist ema, e ci consent e di st abilire quali sono le variabili in gioco che influiscono sulla st abilit del sist ema. Quest e limit azioni si t rovano per via analit ica, at t raverso delle t ecniche mat emat iche. Esempio: Cont rollo di Livello Prendiamo per esempio lo schema del cont rollo di livello che abbiamo gi vist o nelle sezioni precedent i: r+ u

- G( s) H( s) z+ y - d Adesso cercheremo di semplificare t ut t o il modello ad una sola funzione di t rasferiment o al fine di pot erne calcolare la st abilit ( quindi prescindendo dai dist urbi est erni Cd,Qd) . Ovviament e ut ilizzeremo lo schema st andard per far ci. Se riprendiamo lo schema st andard possiamo subit o associare le nost re equazioni a quelle dello schema st andard: Schema St andardCont r.Livello G( s) rV dCd H( s)Km Adesso, grazie allo schema st andard,possiamo scrivere una sola funzione che descrivi t ut t o il comport ament o del mot oreda V a Omega ( vedi Schema) . La funzione di t rasferiment o del mot ore : Facendo t ut t i i calcoli: Adesso, esprimendo il nost ro amplificat ore e il nost ro disposit ivo di cont rollo come cost ant i ( Ka,Kc) , ed ignorando Qd nel modello del serbat oio. Ot t eniamo uno schema di quest o t ipo: Come abbiamo gi vist o in precedenza, (vedi sez. Schema St andard del cont rollo a Ret roazione )quest ult imo schema pu essere descrit t o da un'unica funzione di t rasferiment o che leghi Hrif alluscit a h. At t raverso la formula: Effet t uando t ut t i i calcoli, si t rova che lequazione carat t erist ica ( quella al denominat ore e con lint roduzione di opport une variabili per semplificare i calcoli) del t ipo: Applicando il crit erio di Rout h (Vedi Appunt i di Teoria dei Sist emi pp.44 e seg.)t roviamo che il sist ema st abile alle seguent i condizioni: Ma K lo abbiamo post o uguale al prodot t o Ka Kc, quindi affinch il sist ema sia st abile e robust o dobbiamo scegliere Ka e Kc abbast anza grandi ma non t roppo dat o che non possiamo superare la quant it : . 4. Relazione Tra Specif iche eParamet ri di proget t o Definiamo specifiche di un sist ema le seguent i propriet : St abilit ;Errore;Robust ezza; St abilit : E import ant e cont rollare la st abilit di un sist ema, e vedere come essa dipenda dai paramet ri sui quali possiamo int ervenire al fine di far convergere il sist ema verso i valori che desideriamo; Errore: Lerrore la dist anza che separa la variabile cont rollat a dal valore che vogliamo che assuma, import ant e osservare come lerrore sia legat o agli alt ri paramet ri del sist ema in modo da pot erlo mant enere il pi basso possibile; Robustezza: I l sist ema cont iene diversi component i le cui specifiche t endono a variare col t empo e comunque ad avere un cert o margine, specie se quest e sono legat e a disposit ivi con pot enze in gioco alt e, in quant o avranno margini di t olleranza pi ampi. E import ant e che il sist ema sia st abile e funzioni bene ent ro i valori di t olleranza che ci aspet t iamo. Creare una relazione di dipendenza t ra le specifiche e i paramet ri di proget t o, ci permet t e di scegliere con met odo, i valori dei paramet ri in modo da soddisfare le specifiche. Nel caso della st abilit abbiamo diversi met odi: Met odo di Rout h;Met odo di Nyquist ; I l met odo di Rout h labbiamo gi vist o nel corso di Teoria dei Sist emi, t ut t avia siamo pi int eressat i ai met odi che ci permet t ono di visualizzare graficament e la dipendenza di cert i paramet ri dagli alt ri. 4.1 Met odo Di Nyquistper la St abilit Quest o crit erio consent e di visualizzare graficament e la funzione di t rasferiment o di un sist ema a reazione unit aria nel piano complesso, ed int erpret are il grafico che si ot t iene, riuscendo ad osservare levent uale st abilit del sist ema e i suoi margini di St abilit .Per semplificazione ut ilizzeremo un sist ema del t ipo riport at o in figura, (in ogni caso sempre possibile ricondurre qualsiasi sist ema allo schema seguent e at t raverso le t ecniche di riduzione che abbiamo gi vist o) . Se scriviamo la rappresent azione con lo spazio di st at o del sist ema ad anello apert o ot t eniamo: A noi int eressa per st udiare il sist ema ad anello chiuso, nel qualeu= r-y; F( s) +-ruy Per il sist ema ad anello chiuso, facile osservare che il polinomio carat t erist ico vale: La formula fondament ale per lo st udio della st abilit con il met odo di Nyquist , ci dice che: Dove: Grazie a quest a equazione fondament ale siamo in grado di esprimere la st abilit del sist ema F( s)sia esso ad anello apert o, sia esso chiuso. I nfat t i: Caso 1: dch ha uno zero complesso I n quest o caso avremo che: E dal diagramma di Nyquist , quest o lo si vede perch il grafico passa dal punt o ( - 1,0) ; Caso 2: dap ha uno zero complesso I n quest o caso la funzione (1+ F( s) )t ende a infinit o ( per valori di omega prossimi allo zero) , poich quest a sarebbe unanomalia, approssimiamo il grafico per valori di omega sufficient ement e piccoli, in modo che il grafico non vada allinfinit o, ma giri su se st esso. Ci import ant e, come vedremo, per cont are il numero di rot azioni del grafico sul punt o ( -1,0) St udio Della St abilit : IDiagrammi di Nyquist . Al fine di pot ere st udiare la st abilit di un sist ema, ut ile t racciare il diagramma di Nyquistin quant o met t e subit o in evidenza la st abilit del sist ema e ci permet t e di capire e visualizzare det erminat i paramet ri che ci consent ono di calcolare deimargini di guadagno e di fase del sist ema per i quali quest i risult i ancora st abile. I l Diagramma di Nyquist , non alt ro che la rappresent azione nel piano complesso della rispost a armonica del sist ema. Abbiamo gi imparat o a descrivere la rispost a armonica at t raverso i diagrammi di Bode, quest i ci permet t ono di t rasferire la st essa informazione nel piano complesso, ut ilizzando un sist ema di coordinat e polari.Vediamo adesso la nomenclat ura che useremo per pot ere t rasferire i diagrammi di Bode in quelli di Nyquist . Idiagrammi di Bode esprimono la f.d.t in due diagrammi separat i:quello del modulo e quello della fase. Nel diagramma di Nyquistinvece ogni punt o del piano individuat o proprio dal modulo, e dalla fase indicat i da Bode, per frequenze sempre crescent i, ecco perche nel diagramma indispensabile individuare il verso della funzione in quant o ci indica che frequenza st iamo considerando. I n violet t o indicat a la frequenza di Omega, il vet t ore verde, indica il modulo in quel punt o e larco blu indica la fase. Per indicare la fase, si dist inguono i casi in cui quest a posit iva o negat iva. Fase Posit iva: I l piano si suddivide in spicchi da 90 a part ire dal Ramo dei reali posit ivi e procedendo in senso ant i- orario, come in figura. Fase Negat iva:I l piano si suddivide in spicchi da 90 quest a volt a per procedendo in senso ant i- orario come riport at o in figura. Per quant o riguarda il modulo, ai fini della st abilit impot rt ant e st abilire il valore del modulo quando la fase 180. Se il modulo maggiore di 0 in dB, allora il grafico int ersecher ( in quel punt o)lasse dei reali olt re il valore unit ario. Viceversa se il modulo minore di 0, allora il grafico per quel valore della frequenza avr un valore minore di uno. Esempio n1 Ammet t iamo di avere un sist ema che ha per diagramma di Bode il seguent e: A quest o punt o ut ilizziamo il diagramma di Nyquistper ot t enere informazioni sulla st abilit del sist ema. Tracciamo il grafico per frequenze negat ive ( che non hanno nessun significat o fisico ma purament e mat emat ico) , facilment e ot t enibile ribalt ando simmet ricament e il grafico che abbiamo appena ot t enut o. Come si vede in figura, olt re a ribalt are il grafico abbiamo anche congiunt o gli est remi. Per verificare la STABI LI TA non dobbiamo far alt ro che sommare i mezzi giri at t orno al valore 1 ;Sommando + 1/ 2 per ogni mezzo giro nel punt o - 1se il verso in senso orario; Sommando - 1/ 2 per ogni mezzo giro nel punt o - 1 se il verso in senso ant iorario; La somma di quest i valori, mi da il numero N di rot azioni orarie che la funzione F compie da infinit o a +infinit o. Se Zch il numero di Radici A Part e Reale Posit iva della funzione ad anello chiuso;E Se Zap il numero di Radici A Part e Reale Posit iva della funzione ad anello apert o;Vale la RelazioneN= Zch- Zap Dat o che N si t rova col met odo di Nyquist , e Nap not o, possiamo t rovarci Zch, che deve essere uguale a zero per avere st abilit nel sist ema. Margini di Fase e Di Guadagno Con quest i t ermini indichiamo delle grandezze che met t ono in evidenza la quant it di Guadagno e di Fase che il sist ema pu ancora t ollerare rimanendo asint ot icament e st abile. Definiamo Margine di Guadagno la dist anza t ra il punt o dint ersezione della funzione nel diagramma di Nyquist , e il punt o ( - 1,0) . Definiamo Margine di Fase langolo compreso t ra lasse dei Reali, e la ret t a che int erseca lorigine del piano complesso e il punt o della funzione che int erseca la circonferenza unit aria cent rat a sullorigine degli assi. Un buon sist ema deve avere un margine di guadagno del 50%, ci significa che il punt o t deve essere posizionat o allincirca nel punt o ( - 1/ 2,0) . E il margine di fase, deve superare langolo di 45. 4.2 St udio della Precisione Lo st udio della precisione consist e nello st udio dellandament o dellerrore dipendent ement e da alcune classi not evoli di segnali e di sist emi: Ricordandoci che in un sist ema del t ipo:

Lerrore dat o da:e( t ) = yr if( t ) y(t ) Facendo i calcoli, t roviamo che la funzione t rasferiment o derrore dat a da: Classi di segnali di riferiment o notevoli: Polinomi:yrif = K= 0Yrif=1 Cost ant e K= 1Yrif=t Rampa K= 2Yrif=t / 2 Parabola F( s) Yrif d Y Quello che ci int eressa st udiare, la rispost a a regime permanent e della funzione di t rasferiment o derrore (che dora in poi chiameremo f.d.tderrore! ) . Se ho un sist ema del t ipo: E calcolo la rispost a a regime permanent e mi accorgo che: W( s)t ende a zero in quant o pi sono a part e reale negat iva ( per ipot esi parliamo sempre di sist emi st abili) ; Affinch il sist ema W( s) sia definit o di t ipo k, necessario che: Ck = 0;C00; Per verificare velocement e ci abbiamo due modi: tyr if Periodo iniziale Regime Permanent e W( s) W( s) yrif F( s) yyrif e Sapendo che: 1) Se Werr( s)ha uno zero ( numerat ore)nellorigine di molt eplicit k, allora il sist ema del t ipo k; Difficilment e si ha che fare con sist emi del t ipo k> 2;Dalle equazioni precedent i si not a anche che: 2) Se F( s)ha un polo ( denominatore)nellorigine di molt eplicit k, allora il sist ema di t ipo k; Per verificare velocement e se la Werr( s) ha zeri nellorigine, bast a guardare i coefficient i dei suoi polinomi: I n una sit uazione di quest o t ipo, Wer r(s) =1-W(s)Dove: Perci Adesso, per st abilire il t ipo, bast a osservare i coefficient i: Tipo 0 Tipo 1 Tipo 2 W( s) yrif Rapport o ingresso- errore Adesso ci int eressa sapere come si comport a lerrore, a seconda della funzione in ingresso e del t ipo k del sist ema. Abbiamo det t o che in un sist ema del t ipo k, la rispost a in uscit a vale: e deve valere:Ck = 0;C00; Di conseguenza, la rispost a permanent e in un sist ema del t ipo k vale: Lingresso ovviament e, pu essere di qualsiasi t ipo, se ci riferiamo alla classe di segnali not evoli , yr if pu valere: E facile osservare che, se noi vogliamo che la nost ra rispost a permanent e, sia il pi vicino possibile al segnale di riferiment o, dovremo avere cura di: Verificare il t ipo di segnale di riferiment o ( K= 0,1,2) ; Verificare il t ipo del sist ema a cui sot toponiamo il segnale; Dalla t abella vediamo lerrore che ci si aspet t a nelle diverse possibilit : Riferiment oY( t ) = 1Y( t ) = tY( t ) = t2/ 2 Tipo 0C0I nfinit oI nfinit o Tipo 10C0I nfinit o Tipo 200C0 E quello che ci aspet t iamo, infat t i, indicando con: Kr La classe dei segnali di riferiment o;Kp La rispost a permanent e di un sist ema t ipo K( r); Abbiamo diverse possibili combinazioni, che di volt a in volt a, annullano, rendono proporzionale o infinit o lerrore. (Lerrore la differenza t ra il riferiment o e luscit a!) ; Rispost a Permanent e Calcolo prat ico dellerrore Dopo avere analizzat o landament o dellerrore per t ipi di sist emi e per classi di segnali, ci int eressa ora, saper quant ificare lerrore nei sist emi a ret roazione. Se il sist ema di t ipo k; Se; Allora Lerrore (y- yr if) , a regime permanent e varr:Co, k ( come in precedenza most rat o) ; Quant o vale Co, k che corrispondenza c con F( s) ? Se abbiamo t ipo k, allora Ricordando che: Tipo k= 0 Dove F( 0) lo indichiamo come Guadagno della Funzione F( s) ; Da not are anche come il guadagno sia inversament e proporzionale allerrore, cos come avevamo gi det t o nei capit oli precedent i; Tipo k> 0 F( s) yyrif Rispost a ai dist urbi Consideriamo ora lo st udio dellerrore a part ire dal dist urbo. Poich generalment e t rasformiamo il sist ema in modo da avere il ramo di ret roazione unit ario, non ci aspet t iamo grandi cambiament i nello st udio della rispost a ai dist urbi. I mmaginiamo di avere il seguent e schema: Abbiamo che: Quindi lo st esso del caso precedent e! Casi di studio notevoli sono:Dist urbo Cost ant e:TI PO 0 :errore non nullo; TI PO 1 :errore nullo; Quindi luscit a relat iva al dist urbo pu essere nulla o non nulla, ovviament e noi vogliamo che il dist urbo non abbia nessun impat t o sulluscit a del sist ema e quindi dobbiamo capire come si genera un errore in uscit a in modo da pot erlo azzerare; Nel caso precedent e, bast a imporre che la F( s) sia di t ipo 1 ( ovviament e se il dist urbo cost ant e) , ma se il sist ema pi complesso Noi vogliamo che abbia almeno uno zero di molt eplicit 1 nellorigine ( TI PO 1) . Not iamo che: Se F2 si annulla nellorigine, allinfinit o, in quant o F2 sia al numerat ore che al denominat ore;Se allinfinit o per s= 0, allora anche Quindi se F1 ha un polo nellorigine, allora ho dist urbo nullo;Pi in generale: I n un sist ema a ret roazione, la rispost a al dist urbo t ende a zero per tinfinit o SE E SOLO SE Nel ramo diret to c un polo in s= 0 a mont e del punt o dingresso del dist urbo; I l Ruolo di 1/ s Vediamo adesso di capire il perch un int egrat ore a mont e di un dist urbo cost ant e, annulla il suo effet t o sulluscit a. Lint egrat ore non fa alt ro che lint egrale del suo ingresso. Quindi: Vediamo quindi che m( t ) raggiunge un valore di equilibrio, che viene appunt o compensat o ( prima di arrivare in uscit a)dalla sot t razione del dist urbo. D Yrif e( t ) y( t ) m(t ) int egrat oreK 4.3 Analisi della Rispost a Transit oria Abbiamo appena analizzat o la rispost a ai dist urbi- errori di un sist ema, ammet t endo per ipot esi che quest i siano cost ant i nel t empo, ci non sempre vero nella prat ica, un t ermost at o ad esempio, consent e di variare il riferiment o per ot t enere la t emperat ura desiderat a. E quindi int eressant e lo st udio del sist ema al variare del dist urbo;in part icolare ci si aspet t a che il sist ema converga al valore desiderat o in maniera veloce e senza brusche variazioni. Lo st udio di ci si t raduce nellanalisi della rispost a t ransitoria. Per visualizzare graficament e la rispost a t ransit oria, immaginiamo di variare bruscament e il riferiment o ed osservare la rispost a del sist ema. Dal grafico si vede che la rispost a effet t iva t ende ad oscillare fino ad assest arsi verso il valore desiderat o. La part e evidenziat a in grigio appunt o la rispost a t ransit oria. Da un punt o di vist a analit ico, lo st udio della rispost a t ransit oria equivale allo st udio della funzione che si ot t iene molt iplicando la funzione di t rasferiment o del sist ema per la t rasformat a della funzione gradino. Ovviament e in quest a sede ci int eressa capire quali siano i paramet ri qualit at ivi che descrivono il t ransit orio di un sist ema, e come quest i siano legat i ai paramet ri della funzione di t rasferiment o, in modo t ale che il proget t ist a possa int ervenire sui paramet ri di propria compet enza per il migliorament o delle prest azioni del sist ema. Parametri Carat t erizzant i della rispost a al gradino La rispost a al gradino carat t erizzat a da due paramet ri fondament ali: Sovraelongazione;Tempo di Salit a; -La sovra elongazione la part e della funzione che supera per la prima volt a il valore di regime, ed t ollerabile se non lo supera del 15- 20%;-I l Tempo di Salit a il t empo necessario alla funzione ad arrivare a circa il 90% del valore di regime; N.B. Se la rispost a al gradino ha un cert o rit ardo iniziale, il t empo di salit a la differenza t ra il t empo necessario a raggiungere il 90% del valore di regime, meno il t empo necessario a superare il 10% ( a causa appunt o del rit ardo! ) ;

Casi di St udio Rispost a al Gradino di un sist ema TI PO 1, con radici complesse coniugat e; Prendiamo un sist ema di TI PO 1 asint ot icament e st abile: Possiamo riscrivere lequazione in quest o modo: Possiamo anche scrivere le radici in funzione della pulsazione: Posizionando le radici nel piano complesso at t raverso un sist ema di coordinat e polari dove: Ci rendiamo cont o che la rispost a t ransit oria dipende dalla pulsazione t et a; I n part icolare vediamo che il valore ot t imo della pulsazione per avere il miglior t ransit orio 0,707. Vediamo adesso quali sono i comandi mat lab che ci permet t ono di t rovare la rispost a al gradino per diversi valori di t et a: t=[0:.3:30]; %Crea Un vettore t, da 0 a 30 a intervalli di 0.3; teta=0.9;%Variabile che contiene il valore di teta; num=[ 1 ]; %Crea il numeratore come costante; den=[1 2*teta 1 ]; %Crea il denominatore, vale s2 + 2*teta*s + 1; SYS=tf(num,den); %Crea il sistema step(SYS,t); %Stampa a video la risposta al gradino; axis([0 30 0 1.5]) %Normalizza gli assi ([minX maxX minY maxY ]); grid on %Attiva la griglia; hold on %Sovrappone eventuali altri grafici; E quest i sono i risult at i per diversi valori di t et a: Tet a= 0.9Tet a= 0.8 Tet a= 0.7Tet a= 0.6 Tet a= 0.5Tet a= 0.4 Tet a= 0.3 Rispost a al gradino di un sistema di TI PO 1 con radici a Parte RealeConsideriamo adesso lo st esso sist ema di TI PO 1 del caso precedent e, ma che abbia radici a part e reale (negat iva, in quant o ci int eressa st udiare sist emi asint ot icament e st abili! ) Prendiamo il sist ema di TI PO 1: Ci accorgiamo st udiando diversi valori di p1 e p2 , che pi ci si allont ana dal piano degli immaginari, pi la rispost a veloce. I nfat t i, immaginando di piazzare le radici p1 e p2 nel piano immaginario, pi quest e sono vicine a zero, pi sono vicine allasse immaginario. Con mat lab ci rendiamo cont o di come varia la rispost a. verde: p1= p2= 0,1;rosso: p1= p2= 1;blu: p1 e p2 > > 1; Iparamet ri della rispost a Transit oria Possiamo sint et izzare le informazioni cont enut e nella rispost a t ransit oria at t raverso due paramet ri:Sovra elongazione;Tempo di Salit a; Quindi occorre un modo prat ico e veloce per pot ere calcolare quest e due quant it . Per fare ci ut ilizziamo la rispost a in frequenza del sist ema (e quindi i diagrammi di Bode) . Sappiamo che la rispost a a regime di un ingresso sinusoidale ad una dat a funzione di t rasferiment o, anchessa una funzione sinusoidale: I n uscit a quindi la y(t )sar carat t erizzat a ( come t ut t e le funzione sinusoidali)da un modulo e da una fase: Con quest i element i cost ruisco il diagramma di Bode ed ident ifico due paramet ri import ant i di quest a rappresent azione: I l Modulo alla Risonanza: I l massimo valore che il modulo assume;La Banda Passante: I l Valore nel quale il modulo si at t enua di un fat t ore 3dB pari a, circa 0,707; Quest i paramet ri sono legat i da una legge empirica la quale prevede che: Chiamat i: Valgono le relazioni: Conclusioni I n quest o modo posso sia int ervenire sulla rispost a armonica per ot t enere det erminat e carat t erist iche nel t ransit orio, sia individuare immediat ament e il comport ament o del t ransit orio a part ire dai diagrammi di Bode; 4.4 La Cart a Di Nichols Abbiamo appena vist o come la rispost a t ransit oria sia legat a a det erminat i paramet ri della W( s) , t ut t avia spesso ci t roveremo a lavorare diret t ament e sulla funzione di t rasferiment o ad anello apert o F(s) , per cui molt o ut ile cercare di t rovare carat t erist iche nella F( s)che si leghino diret t ament e con la rispost a al gradino. Ci deve essere t eoricament e possibile in quant o la F( s) collegat a ai paramet ri B3,Mr e quest i sono a loro volt a collegat i, abbiamo vist o alla Sovraelongazione e al Tempo di Salit a; F( s)W( s) Funzione ad anello Apert oFunzione d anello chiuso Possiamo adesso scrivere la Funzione F( s)in forma polare: Dove: Anche la W(s)pu essere scrit t a in quest a forma: Quindi Abbiamo la Relazione: Adesso il modulo di possiamo scriverlo in funzione di (A,) che sono parametri della F( s) . Poich modulo e fase adesso sono funzioni di due variabili, i grafici che ot t eniamo sono delle superfici: Ovviament e t rat t are le superfici non semplifica il problema, anzi. Ma esist e il modo di rappresent are una superficie t ridimensionale in un piano, at t raverso le linee di livello; le linee di livello non fanno alt ro che rappresent are nel piano (A,), i luoghi dei punt i in cui M si mant iene cost ant e; A M Nellimmagine appunt o, si individuano delle linee di livello e ad ogni colore corrisponde una quot a specifica;

Con quest a t ecnica possiamo cost ruire un insieme di linee di livello che vanno poi ad ident ificare una superficie! Con quest a t ecnica rappresent iamo sia il diagramma dei moduli sia quello delle fasi nello st esso diagramma st rut t urat o present ando i moduli e le fasi not evoli; Negli assi della cart a sono riport at i Modulo e Fase della F(s) ; Le curve rappresent ano Moduli e Fasi Not evoli della W( s) ; La cart a si present a in quest o modo:

Per ut ilizzare la cart a di Nichols, bast a t rovare i diagrammi di Bode della F(s) , e t rasferire i valori di omega nella cart a di Nichols. Come illust rat o nella figura: St ep 1: Si cost ruisce il diagramma di Bode della funzione ad anello apert o F( s) ;St ep 2: Si individuano due punt i not evoli e* eek rispet t ivament e le int ersezioni con lasse delle fasi nella cart a di Nichols, e lasse dei moduli;St ep 3: Si t rasferiscono t ut t i i valori nella cart a di Nichols;(facendo riferiment o agli assi e non alle curve not evoli! ) ; Adesso possiamo disegnare il diagramma di Bode della funzione di t rasferiment o ad anello apert o W( s) ; Anche senza disegnare il diagramma di Bode, posso comunque individuare graficament e sulla cart a di Nichols i due paramet ri che carat t erizzano la rispost a in frequenza della W( s) :Modulo alla Risonanza( Mr) , Banda Passant e ( B3) . Mr: E il valore della curva di livello not evole t angent e alla funzione F( s) disegnat a sulla cart a (I n quest o caso 12dB) ;B3: E il valore di e che at t raverso la curva di livello not evole di 3dB;( sulla figura indicat a dal segno arancione! ) ; Esempi: Cart a di Nichols Vediamo adesso con Mat lab che aspet t o hanno alcune funzioni not evoli: Esempio 1: Icomandi Mat lab sono: >> num=[0 0 0 sqrt(.1)]; >> den=conv(conv([5 1],[1 1]),[1 0])); >> om=logspace(-2,0,100); >> bode(num,den,om) >> ngrid(new) >> nicols(num,den,om) >> >> bode(den,num+den,om) Nel diagramma sono evidenziat i: I n rosso: Margine di Fase: 0.2rad/ s- 1490dB I n blu: Margine di Guadagno: 0.4rad/ s- 180- 11dB I l Modulo alla risonanza della Funzione ad anello chiuso vale:7dB; Come viene fuori dai dat i, ma anche graficament e, il margine di fase della F( s) (11dB) sempre leggerment e maggiore del modula alla risonanza di W( s)(7dB) 4.5 St udio della Robust ezza: Funzione di Sensibilit Vediamo adesso come possiamo analizzare la funzione derrore, per fare in modo che quest a abbia un andament o che sia del t ipo che vogliamo. Abbiamo gi definit o la funzione derrore, e sappiamo che vale: Volendo analizzare la rispost a in frequenza della funzione derrore, ci accorgiamo che per definizione abbiamo: Quindi, la rispost a armonica della funzione derrore ( come ci aspet t avamo) una sinusoide di ampiezza. Ovviament e, noi desideriamo che quest o modulo sia quant o pi piccolo possibile. Quest o modulo viene anche chiamat o Funzione di Sensibilit . Tut t avia, sappiamo gi che landament o del modulo di F(s) , generalment e del t ipo: cio, t ende a zero per omega che t ende a infinit o! Per cui: Quindi:Non possiamo avere un errore piccolo a frequenze alt e. Non possiamo pret endere che lerrore sia piccolo per qualsiasi frequenza, ma che sia minore di una cert a funzione M( w) che generalment e ha un andament o del t ipo:errore piccolobasse frequenze 10% errore grandealt e frequenze + 100% Generalment e possiamo pret endere che lerrore abbia un grafico di quest o t ipo: Dobbiamo, quindi imporre che: Per esempio: Noi vogliamo che: Se pongo:( Funzione Peso) Posso Scrivere: Robust ezza del sist ema per il singolo paramet ro Vediamo come risponde il sist ema a pert urbazioni relat ive ai singoli paramet ri. Quest o t ipo di pert urbazioni sono abbast anza frequent i, perch generalment e il valore nominale di un paramet ro in realt varia ent ro un cert o margine di t olleranza. Vediamo quali sono le carat t erist iche affinch la F( s) risponda bene a quest e variazioni. Ammet t iamo che la F(s)abbia un paramet ro p al suo int erno, quindi F( s,p) . Se vogliamo quant ificare le variazioni della rispost a del sist ema rispet t o alle variazioni del paramet ro , scriviamo:

Dat o che a noi int eressa vedere il modo in cui p influenza F, scriviamo:

E chiaro dunque che se vogliamo minimizzare leffet t o delle variazioni allora, la quant it deve essere minore di 1; Se quest a condizione soddisfat t a, leffet t o delle pert urbazioni dei paramet ri di F(s)viene at t enuat o di un fat t oreOvviament e, t ale valore varia al variare della omega, per cui, dal diagramma di Bode possiamo capire quali sono le frequenza per le quali ci avviene. 4.6 St abilit Robust a Abbiamo vist o che le qualit di un sist ema sono:St abilit ; Precisione; Robustezza; Abbiamo gi analizzat o le prime due, con robust ezza int endiamo la capacit del sist ema di lasciare inalt erat e st abilit e precisione nonost ant e sollecit azioni e dist urbi. Definiamo: Pert urbazione st rut turat a: i dist urbi che int ervengono in paramet ri del sist ema a noi not i, con int ensit che possiamo racchiudere ent ro un cert o int ervallo di incert ezza; Pert urbazione non st rut turat a: Idist urbi che int ervengono a causa di element i di cui non element i del modello t rascurat i, ecc Esempio di St abilit Robust a: Mot or e a Cont rollo I n Corrent e ( V cost ant e) Nel primo modello del mot ore, abbiamo post o come ipot esi semplificat iva, che limpedenza darmat ura fosse zero e che quindi R0 sia infinit a. Sappiamo in realt che R0 non infinit a e quindi avremo una cert a corrent e I 1.

Se non sappiamo quant o quest o element o sia t rascurabile dobbiamo aggiungere allequazione P( s)una cert a equazione che t enga cont o di quest o fat t o. Se pongo P0( s)uguale allequazione che ot t engo t rascurando R0;W2( s) =allequazione che t iene cont o delleffet t o di R0 diverso da zero su P( s) ;e Delt a il grado in cui W2( s) int erviene in P( s) ; Ot t engo: Esempio:Mot ore A Tensione Cost ant e:Le equazioni in gioco sono: F( s) +-rey Eliminiamo la V dalla seconda equazione ed ot t eniamo: Da cui ot t eniamo il seguent e schema a blocchiche differisce da quello gi vist o per il t ermine ( R+ R0) La cui Funzione di Trasferiment o sul Ramo diret t o Con: La P( s)pu essere adesso vist a come la produt t oria di due component i: P0:La part e che non cont iene la modellizzazione di R0 e assume che quest o sia infinit o, e prat icament e ha la st essa funzione di t rasferiment o del modello del mot ore a t ensione cost ant e che abbiamo gi vist o;:La part e che t iene cont o delleffet t o di R0 sul sist ema. Difat t i, facendo t endere R0 a infinit o t roviamo quella che chiamiamo P0( s) : La Part e Rimanent e: Lint roduzione di quest o t ermine fa si che posso incorporare nel mio modello semplice anche leffet t o di element i che ho t rascurat o ( Pert urbazioni non St rut turat e) . St abilit Robust a e Precisione Robust a Per effet t uare uno st udio sulla Precisione Robust a, vediamo la funzione derrore dal punt o di vist a della rispost a in frequenza. Supponiamo di avere un sist ema carat t erizzat o dallo schema in figura: La funzione di t rasferiment o derrore vale: Se pensiamo di ot t enere la funzione derrore ad un ingresso sinusoidale nel dominio del t empo, quello che ci aspet t iamo : Quindi il massimo errore che ci aspet t iamo :Funzione di Sensibilit ; Poich generalment e le funzioni che st udiamo hanno un andament o dei moduli decrescent e, ovvio che a grandi valori della frequenza non possiamo avere un errore nullo. Not a che alle alt e frequenze F(s)t ende a divent are molt o piccola, per cui Ne deduciamo che non possiamo avere un errore arbit rariament e piccolo alle alt e frequenze. Tut t avia possiamo imporre che lerrore abbia un andament o del t ipo: Quindi vogliamo imporre che:| S( s) | < M( s) per ogni omega. Se pongo:Funzione Peso derrore E sapendo che: Ne consegue che: Per ci che riguarda la Stabilit Robust a, possiamo suddividere le problemat iche in due gruppi: Pert urbazioni Strut t urat e: Paramet ri di proget t o sui quali abbiamo un cert o int ervallo di confidenza;Pert urbazioni non St rut t urat e: Element i del proget t o del sist ema che abbiamo t rascurat o in favore di una pi semplice modellazione; Dobbiamo quindi t rovare delle t ecniche che ci permet t ono di sopperire a quest i inconvenient i in maniera generale. PERTURBAZI ONISTRUTTURATE I mmaginiamo di avere la funzione: Ed immaginiamo che allint erno della F( s) abbiamo un paramet ro p di cui non conosciamo nient e. La misura con la quale quest o paramet ro pert urba la W(s) dat a da: Adesso molt iplichiamo e dividiamo per. Se quindi vogliamo che le pert urbazioni di p rispet t o alla F( s) siano at t enuat i, bast a imporre che PERTURBAZI ONINON STRUTTURATE Abbiamo vist o cosa dobbiamo imporre per at t enuare leffet t o di pert urbazioni indesiderat e sui paramet ri del sist ema. Vediamo adesso cosa bisogna fare per incorporare e t ener cont o nel nost ro sist ema di event uali element i del sist ema fisico che abbiamo t rascurat o in fase di modellizzazione. Ammet t iamo di avere un processo che abbiamo modellizzat o t enendo cont o dei valori nominali dei paramet ri e lo chiamiamo P0( s) , sapendo che il nost ro modello una semplificazione si pu dimost rare che il modello effet t ivo P(s) uguale a: Dove;e W2(s) una f.d.tdet t a Peso della Pert urbazione cos fat t a: I n quest o modo, riusciamo ad inserire nel nost ro sist ema leffet t o di element i che non abbiamo ( ovvero che abbiamo male)modellizzat o. E quest o effet t o lo inseriamo nella misura del valore di DELTA. Alla luce di ci si dimost ra che il sist ema robust ament e st abile ( St abilit Robust a) , anche sot t o leffet t o di W2 ( Processo Pert urbat ivo con modello molt iplicat ivo) se e solo se: I ndicando con G( s)una funzione che st abilizzi P0( s) ;I ndicando con W0( s)la funzione:; Abbiamo che: N.B. :Purch il numero di zeri a part e reale negat iva della funzione ad anello apert o ( Zap)sia uguale a quelli della funzione ad anello chiuso ( Zch) . STABI LI TA E PRECI SI ONE ROBUSTIDat o che la st abilit e la precisione robust a sono legat i dal t ermine W0 possibile associare una formula che implichi st abilit e precisione robust e, facendo due cont i si t rova che: Abbiamo st abilit e precisione robust i se e solo se: N.B. Ricordiamoci che S la funzione di sensibilit e valese ad F sost it uiamo GP0 ot t eniamo la funzione di sensibilit nominale che si indica con S0 Le funzioni in gioco in quest a equazione sono da un cert o punt o di vist a complement ari: 5. Sint esi diG(s)Dopo avere analizzat o t ut t i gli st rument i che ci permet t ono di met t ere in relazione t ra loro i paramet ri della funzione di t rasferiment o del sist ema con le specifiche di proget t o, vediamo adesso le t ecniche ut ilizzat e per sint et izzare una funzione G(s)t ale che la funzione di t rasferiment o ad anello apert o soddisfi det erminat e specifiche. Le specifiche si dividono in due grandi gruppi: Specifiche RI GI DE: Tipo K di un sist ema, guadagno, ecc;quest o t ipo di specifiche hanno una corrispondenza diret t a con i paramet ri della f.d.t . Specifiche MORBI DE: St abilit Robust a, Rispost a in frequenza ( B3,Mr) ,eccLe specifiche morbide si chiamano cos, perch esist ono classi di funzioni G(s)che possono soddisfare le specifiche richiest e, scopo del proget t ist a quello di riuscire a sint et izzare la migliore ( dal punt o di vist a delle prest azioni)G( s) t ra la classe che soddisfa quella specifica; Abbiamo due t ipi di approccio per la sint esi di G(s)per le specifiche morbide:1.Approccio Element are:Sint esi Per Tent at ivi, Funzioni Compensat rici;2.Approccio Analit ico; 5.1 Sint esi di G( s) : Ret i Compensat rici Abbiamo vist o che alcune carat t erist iche dei Sist emi sono qualit at ivament e indicat ive di molt i aspet t i che riguardano Precisione, Robust ezza, St abilit . Parametri Carat t erist iciSpecifiche Corrispondent i Margine di Fase > 40Robust ezza, Precisione;Margine di GuadagnoRobust ezza, St abilit ;Modulo Alla RisonanzaPrecisione;Banda Passant ePrecisione;Frequenza di At t raversament oSt abilit ; Poich quest e carat t erist iche sono ben evidenziat e dai Diagrammi di Bode, di Nyquiste di Nichols, possiamo pensare di aggiungere una funzione G( s) alla P( s) , in modo da avere una F( s)che abbia un det erminat o comport ament o in frequenza ( Bode) e che quindi risponda a det erminat e specifiche. La G( s) compost a da pi part i, una quella che soddisfa le specifiche rigide, t ipicament e noi vogliamo per esempio che la P( s)abbia un polo nellorigine ( TI PO 1)e che lerrore a regime non si discost i pi di una cert a quant it . Ricordandosi che per il t ipo 1 lerrore vale: Quindi: Ovviament e una G(s)fat t a in quest o modo non risolve t ut t e le specifiche, abbiamo bisogno di unalt ra funzione che molt iplichi G( s)per la soddisfazione delle specifiche morbide. La Funzione Ant icipat rice Quando vogliamo che la F( s) abbia un cert o valore della pulsazione di at t raversament o ( omt) e un cert o margine di fase ( Mf) , dobbiamo fare in modo che il diagramma di bode della G( s)sommat o a quello della P( s) , dia il risult at o desiderat o. Possiamo avere diversi casi: Caso 1. Possiamo t rovarci ad avere una funzione P( s) , a cui abbiamo gi applicat o una funzione G( s)che incorpori le specifiche rigide, che abbia il seguent e diagramma di bode ( in rosso sulla figura) . Not iamo che se riusciamo ad aument are le fasi in corrispondenza di omt , riusciamo ad aument are il margine di fase, che alt riment i sarebbe zero. Applichiamo quindi una funzione Ra(s)t ale che la somma di Ra con P dia il risult at o desiderat o ( in verde sulla figura) . Una funzione che svolge quest o lavoro chiama Funzione Ant icipat rice si indica con Ra( s)e ha la forma seguent e. Dove: ma st abilisce il modulo dellaument o delle fasi;ta st abilisce la pulsazione nella quale deve avvenire quest o aument o; Per det erminare quest i paramet ri si usano delle t avole con dei valori st andard di ma e per valori di ta normalizzat i. I nfat t i considerando che: Se poniamo: Le t avole ut ilizzano appunt o quest ult ima equazione per valori not evoli di ma, e per u che va da 0 a 102. Nel caso della figura, se laument o di fase desiderat o nel punt o omt di 40, andiamo a leggere nel diagramma delle fasi delle t avole per quale Ma si ha un valore 40 in u= 1. N.B. La funzione Ant icipat rice ha il vizio di spost are verso destra la pulsazione di at t raversamento, per limit are ci nel caso in quest ione e in t ut t i quelli analoghi, ta deve valere 1/ omt, cio andiamo a pescare Ma in corrispondenza di u= 1= 100; Nel caso in quest ione vediamo che per u= 1, la curva con fase che arriva a 40 quella fucsia corrispondent e a Ma= 5; A quest o punt o abbiamo i due valori, ta ed Ma. Se applichiamo Ra al sist ema ot t eniamo il migliorament o che abbiamo previst o. La funzione At t enuat rice Abbiamo vist o come, sfrut t ando landament o delle fasi della funzione Ant icipat rice, possiamo aument are la fase in corrispondenza della omega di at t raversament o per ot t enere un cert o Margine di Fase, t ut t avia, se la nost ra F( s)ha un buon margine di fase per valori alla dest ra della nost ra omega di at t raversament o ( come in figura) , possiamo pensare di at t enuare la funzione in modo t ale che la nuova omega di at t raversament o risult i in quel punt o. Ovviament e non possiamo far ci diminuendo il guadagno, in quant o il guadagno che abbiamo gi specificat o il minimo necessario a t enere basso lerrore secondo specifica! Quindi vogliamo sint et izzare una funzione che at t enui la F( s)dopo una cert a frequenza. La funzione che svolge quest o lavoro det t a Funzione At t enuat rice: I l cui andament o, nei diagrammi di Bode uguale a quello della funzione ant icipat rice ma con i segni invert it i:

Leffet t o negat ivo delle fasi, che pu risult are un inconvenient e, si limit a not evolment e se scegliamo t ao1 e omega1 in modo che lint ervallo evidenziat o in figura sia spost at o pi a sinist ra possibile rispet t o alla omega di at t raversament o, in modo che in corrispondenza di quest a, abbiamo comunque lat t enuazione dei moduli, e un limit at o ant icipo delle fasi. Luso delle t avole molt o simile a quello della funzione ant icipat rice, con due sole eccezioni: 1.I l paramet ro Mi si sceglie per valori di u abbast anza grandi;( alla dest ra del grafico per int enderci, dove la diminuizione di fase minima) 2.Igrafici vanno let t i come se fossero ribalt at i, infat t i le quant it in gioco della funzione at t enuat rice vanno sot t rat t e dalla F( s) ;Regolat ori P.Ie Regolat ori P.I .D. Generalment e la funzione G( s)ha quest a forma: Se consideriamo valori di Ma abbast anza grandi ne consegue che;Se chiamiamo Ki il guadagno di Ot t eniamo: Dove:Azione I nt egrale Kp=K; Ki= Ka; Azione Proporzionale 5.2 Sint esi di G( s) : Esercizi Prat ici per Funzioni Compensat rici Funzione Ant icipat rice: Carat t erist iche:Aument o della Fase; Spostamento a destra della t; Nel caso in cui vogliamo limit are lo spost ament o a dest ra della tscelgo ma (nelle t avole) in corrispondenza di u= 1 (100)in quest o modo:Dat o che:u=t Esempio: Vogliamo sint et izzare G( s) t ale che G( s) P( s) sia:1.TI PO 1 2.E1= 0.01 3.Mf= 40 1.Aggiungiamo un polo nellorigine: 2.Se lerrore deve valere 0.01 allora: 3.Ut ilizziamo la funzione Ant icipat rice: a.Guardando il diagramma di Bode di G(s) P( s)not iamo che:t= 3x101; Mf= 0; b.Guardando i grafici not evoli scegliamo il coefficient e Ma t ale che per u= 1 (100) la fase della funzione valga 40; Vediamo che i valori che t roviamo sono:u=tt= 1 t = 1/t1/3x101=0.03 Ma= 10; c.A quest o punt o possiamo scrivere t ut t a la funzione compensat rice: Guardando i grafici di F( s) , W( s)e di S( s)ci accorgiamo che abbiamo ott enut o ci che volevamo. Funzione At t enuat rice Carat t erist iche:Spostamento a sinistra della t ; Diminuzione della fase in corrispondenza di t; Nel caso in cui vogliamo limit are la diminuzione della fase in corrispondenza della nuova tscelgo ma (nelle t avole)in corrispondenza di u50 (5x101) in quest o modo, (lo si vede dai grafici not evoli) , massimizziamo lat t enuazione dei moduli e minimizziamo la diminuzione delle fasi, ma anche in quest o modo perdo un po di fase, quindi inizialment e cerco un margine di fase maggiore di quello volut o per compensare quest o effet t o. Esempio: Vogliamo sint et izzare G( s) t ale che G( s) P( s) sia:1.TI PO 1 2.E1= 0.01 3.Mf= 40 a.Aggiungiamo un polo nellorigine: b.Se lerrore deve valere 0.01 allora: c.Ut ilizziamo la funzione At t enuat rice: d.Guardando il diagramma di Bode di G(s) P( s)not iamo che:t= 3x101; Mf= 0; Ma in corrispondenza di t 1= 7 ( 7x100)not iamo che la fase vale circa 130 ( che sono il margine di fase che cerchiamo) , ment re il modulo vale circa 22dB;e.Guardando i grafici not evoli scegliamo il coefficient e Ma t ale che per u= 50 ( 5x100)il modulo della funzione valga circa 22dB; Vediamo che i valori che t roviamo sono:u=tt 1= 50 t = 50/t 1 50/7x100= 7.14 = i

Ma= 12; f.A quest o punt o possiamo scrivere t ut t a la funzione compensat rice: Guardando i grafici di F( s) , W( s)e di S( s)ci accorgiamo che abbiamo ott enut o ci che volevamo. Funzione Ant icipat rice: Caso I I Carat t erist iche:Aument o della Fase; Spostamento a destra della t; Nel caso in cui non vogliamo limit are lo spost ament o a dest ra della tscelgo ma (nelle t avole) in corrispondenza di u= x in modo che il modulo della funzione not evole in x valga t ant o quant o laument o del modulo che desideriamo applicare alla nuova t 1 per farla divent are una pulsazione di at t raversament o. Esempio: Vogliamo sint et izzare G( s) t ale che G( s) P( s) sia:1.Mf= 40 2.t 1= 13rad/ s a.Ut ilizziamo la funzione Ant icipat rice: b.Guardando il diagramma di Bode di P( s)not iamo che:t= 7x100; Mf= 10; t 1= 13rad/ s; Mf1= - 10 ( - 190)c.Guardando i grafici not evoli scegliamo il coefficient e Ma t ale chela curva abbia una fase massima di 50 (i 40 che vogliamo +10 dat o che in quel punt o siamo sot t o i 180) ; Vediamo che i valori che t roviamo sono:u=tt 1= 2 t = 2/ 12 1/ 6=0.17 Ma= 10; d.A quest o punt o possiamo scrivere t ut t a la funzione compensat rice: Guardando i grafici di F( s) , W( s)e di S( s)ci accorgiamo che non abbiamo ot t enuto ci che volevamo, in quant o la t 1 ancora a dest ra del punt o desiderat o. Quindi: int roduciamo un guadagno K> 1, ricordandoci che lecit o in quant o il guadano che si st abilisce allinizio il minimo per avere lerrore definit o dalla specifica, se aument iamo il guadagno ancora diminuiamo lerrore ma generalment e si perde st abilit . I n quest o caso possiamo farlo perch lint roduzione di quest o guadagno aument o la st abilit . ( Lo abbiamo int rodot t o per far si che in t 1 abbiamo un margine di fase di 40) Nel grafico not iamo che nel punt o 13rad/ s il modulo vale-7dB (un fat t ore 2.25) . Aument iamo il guadagno ot t eniamo ci che vogliamo. Sint esi con pi ret i compensat rici I mmaginiamo di avere la seguent e funzione: E di sint et izzare una G( s)t ale che G(s) P( s)abbia:1.t 1= 1x101; ( At t enuiamo i moduli)2.Mf= 50; ( Aument iamo la fase) Per facilit are la sint esi e diminuire i t ent at ivi invert iamo lordine degli int ervent i. Not iamo nel grafico di P(s)che:t= 20rad/ s ( 2x101) ; Mf= 197; t 1= 10rad/ s ( 1x101) ; 12,6dB Mf1= + 10 ( - 170) Per aument are la fase nel punt o t 1 ut ilizzo la funzione ant icipat rice, in modo da avere un aument o di fase di 40 ( -170+ 40= 130; circa 50) , senza curarmi dello spost ament o a dest ra, e quindi non impongo u= 1, ma prendo la u in corrispondenza della massima fase. u=tt 1= 2,5 t = 2,5/ 10 a=0.25; Ma= 5; Applico la Ra alla P( s)con i valori t rovat i: Guardando il diagramma di bode di RaP( s) vedo che: 6. Analisi con il Luogodelle Radici I l luogo delle radici uno st rument o che ci permet t e di det erminare la posizione degli zeri e dei poli nel piano complesso, dipendent ement e dalla scelt a di un paramet ro K. Quest o st rument o ci permet t e di st abilire quant o vale K, e di st abilizzare il sist ema. Sappiamo che la st abilit di un sist ema a ret roazione dipende dai poli della W(s) .Se Allora Se vogliamo che i poli della W( s) dipendano da un paramet ro K, aggiungiamo alla F( s)un coefficient e K det t o guadagno ad alt a frequenza ( che non il guadagno della funzione, in quant o bene ricordare che il guadagno definit o come il valore che la funzione assume per s= 0) . A quest o punt o avremo: Quindi i poli della W( s) dipenderanno da s e da K, e quindi la nost ra funzione carat t erist ica sar: Al variare di K varieranno le radici di f( s,K) , dobbiamo cercare ora di cost ruire nel piano complesso, gli spost ament i degli zeri e dei poli in funzione di K, in modo da pot ere scegliere il valore corrispondent e alla migliore configurazione possibile. 6.1 Calcolo del Luogo delle Radici Adesso ci occuperemo di come pot er disegnare velocement e e con una buona approssimazione il Luogo delle Radici. Per far quest o abbiamo delle regole di comport ament o generale, ed una scalet t a delle operazioni da fare.I nnanzi t ut t o bene ricordare che il luogo delle radici diverso per K> 0 e per K< 0. Regola 1. I l verso della freccia del luogo delle radici, indica sempre la direzione crescent e di K.Quindi nel luogo posit ivo le frecce indicheranno i valori 0infinit o;Nel luogo negat ivo invece i valori infinit o0; Regola 2. Per K= 0 il luogo coincide con gli n poli della W( s) . Per K= infinit o il luogo converge agli Zeri. Dalle prime due regole deduciamo che:I l luogo posit ivo esce dai Poli ed ent ra negli Zeri; il luogo negat ivo esce dagli Zeri ed ent ra nei Poli. Regola 3. Se n la molt eplicit di uno Zero o di un Polo, per ognuno di essi vi saranno n- rami del luogo ent rant i, ed n rami del luogo uscent i; Dalle prime t re regole osserviamo che perKI nf, i rami convergeranno agli Zeri e vi sar un numero proporzionale di rami ent rant i negli Zeri proporzionale alle event uali molt eplicit . Ma in t ut t e le funzioni W(s)il numero di Zeri al pi uguale a quello dei Poli ( W( s) sempre una funzione frat t a propria! ) , per quest o mot ivo si dimost ra che: Regola 4. Per KI nf, ( n-m)rami del luogo convergono al punt o improprio del piano complesso. I l punt o improprio il punt o che ident ifica il valore infinit o nel piano. E possibile che i rami del luogo si scont rino, dando vit a a punt i singolari. Regola 5. Ipunt i singolari sono soluzione dellequazione: Quest a equazione rest it uisce i valori di s in corrispondenza dei quali abbiamo una singolarit . Le soluzioni valide sono SOLO quelle appart enent i ai Reali. I l numero di punt i singolari che ci aspet t iamo minore o uguale a: n+ m- 1; I n corrispondenza dei punt i singolari i rami si dividono e t endono agli asint ot i. Regola 6. Gli asint ot i sono in numero ( n- m) , hanno un cent ro S0 appart enent e allasse reale soluzione dellequazione: E dividono langolo giro in (n- m) part i uguali; Regola 7. Gli n- rami che convergono ad uno zero, si dispongono dividendo langolo giro in n part i uguali. Regola 8. Ivalori di K per i quali i coefficient i, della prima colonna della t abella di Rout h del polinomio carat t erist ico, si annullano, sono quelli per i quali il luogo at t raversa lasse I mmaginario. Regola 9. Sullasse reale il luogo delle radici si dispone alt ernat ivament e t ra posit ivo e negat ivo, ad ogni passaggio su di uno Zero o su di un Polo. La regola 9 ci indica il luogo delle radici sullasse reale, part endo da sinist ra il luogo sempre negat ivo, appena passa un Polo o uno Zero, il luogo divent a negat ivo. Se il Polo o lo Zero hanno molt eplicit n, il luogo cambier alt ernat ivament e n volt e.I n generale se la molt eplicit dispari il luogo commut a da posit ivo a negat ivo e viceversa, se la molt eplicit n un numero pari, il luogo non commut a nellat t raversare quel Polo o quello Zero. Dat e le regole possiamo passare alla realizzazione di un Luogo delle Radici, seguendo la scalet t a propost a: 1.Si riport ano i Poli( x)e gli Zeri( o)sul piano complesso; 2.Si det ermina il luogo sugli assi reali; 3.Si det erminanoevent uali punt i singolari; 4.Si det ermina il cent ro e linclinazione degli asint ot i; Seguendo la scalet t a e le regole, si pu facilment e det erminare il luogo delle radici. 6.2 Sint esi di G( s)con il Luogo delle Radici Vediamo adesso come ut ilizzare il luogo delle radici in modo da pot erlo ut ilizzare per la compensazione di una funzione. I mmaginiamo di avere un sist ema del t ipo rappresent at o in figura: Vediamo se con quest a configurazione di poli e zeri riesco a t rovare un valore di K che renda st abile t ut t o il sist ema. Andiamo a guardare il luogo delle radici posit ive ( K> 0) : Come si vede, quale che sia K, il Polo in 2, non at t raverser mai lasse immaginario. Supponiamo ora: Con quest e condizioni siamo in grado di affermare che riusciamo sempre a t rovare un valore di K per il quale il sist ema risult i st abile. Ci evident e quando il cent ro degli asint ot i post o a sinist ra dellasse immaginario, nel caso non lo sia, possiamo fare alcune operazioni. I mmaginiamo che il cent ro degli asint ot i abbia un valore < 0: Posso comunque aggiungere un t ermine ( - p+ z) , che equivale allaggiunt a nella funzione compensat rice di uno zero e di un polo: Quest a funzione, non modifica il numero di asint ot i (n-m fa sempre due! ) , ma scegliendo con accort ezza p e z posso modificare il cent ro degli asint ot i: Generalment e scelgo p abbast anza grande da compensare ( o t ant o quant o)le due sommat orie, e z rest a un paramet ro di libera scelt a. I n quest o modo, ot t engo la st abilit del sist ema compensandolo con una funzione del t ipo: Che ha un st rut t ura molt o simile a quella delle funzioni compensat rici gi vist e. Ed in effet t i si t rat t a di una funzione ant icipat rice (in quant o p> z! ) . E dal diagramma di Bode ce ne accorgiamo subit o: Lipot esi che abbiamo fat t o fino ad adesso che n-m= 2, vediamo cosa succede per n-m= 3; Supponiamo quindi: Se guardiamo il luogo delle radici ci accorgiamo subit o della sit uazione: I l cent ro degli asint ot i S0= Poich dobbiamo ricondurci al caso n-m= 2, aggiungiamo uno zero a part e reale posit iva ( come da ipot esi) I l cent ro degli asint ot i si ora spost at onel punt o 1.

Adesso che ci siamo ricondot t i nel caso n-m= 2, non ci rest a che spost are gli asint ot i aggiungendo un polo e uno zero alla funzione, in modo che S0 risult i minore di 0; Osservando S0, e volendo porlo a - 1, poniamo p= - 6, z= 2;La funzione divent a quindi: Andando a guardare il luogo delle radici, osserviamo che per valori di K sufficient ement e elevat i ( K> 17) , il polo in + 1, si spost a a sinist ra dellasse immaginario! Tut t avia la funzione compensat rice cosi t rovat a:non fisicament e realizzabile, occorre necessariament e aggiungere un Polo. La scelt a del Polo non pu essere casuale, ma deve in t ut t i i modi, cercare di non alt erare i risult at i gi raggiunt i. La funzione ut ilizzat a allo scopo deve avere la forma: Scegliendo t ao abbast anza piccolo, si limit a lat t enuazione dei moduli a valori della frequenza superiori a 1/ t ao. Se t ao piccolo si ot t iene leffet t o solo alle frequenze pi alt e, che poi sono quelle che int eressano meno. Per concludere la funzione st abilizzat a ha ora la forma: N.B. Abbiamo aggiunt o un Polo, quindi il numero degli asint ot i di nuovo 3> 2, ma se andiamo a guardare il luogo delle radici, ci accorgiamo che esist e un int ervallo di valori di K per i quali i poli della funzione sono t ut t i a part e reale negat iva.