Appunti delle Lezioni di Elettrotecnica - 2 · 2019. 12. 19. · 2 Appunti delle Lezioni di...

Appunti delle Lezionidi Elettrotecnica

Parte 2

A. A. 2001–2002

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Appunti delle Lezioni di Elettrotecnica — Parte 2

Versione del 19 maggio 2002

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Indice

7 Componenti dinamici 17.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

7.1.1 Carica e flusso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.1.2 Condensatori e induttori . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

7.2 Condensatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27.2.1 Caratteristica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27.2.2 Comportamento energetico . . . . . . . . . . . . . . . . . 47.2.3 Proprieta di continuita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

7.3 Induttore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67.3.1 Caratteristica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67.3.2 Comportamento energetico . . . . . . . . . . . . . . . . . 77.3.3 Proprieta di continuita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

7.4 Induttori accoppiati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87.4.1 Caratteristica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87.4.2 Comportamento energetico . . . . . . . . . . . . . . . . . 107.4.3 Induttori perfettamente accoppiati . . . . . . . . . . . . 117.4.4 Proprieta di continuita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

7.5 Induttori e condensatori in serie e parallelo . . . . . . . . . . . . 127.5.1 Induttori in serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127.5.2 Induttori in parallelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137.5.3 Condensatori in serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147.5.4 Condensatori in parallelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

7.6 Cenni sulle funzioni impulsive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

8 Circuiti dinamici 198.1 Generalita sui circuiti dinamici . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

8.1.1 Ingressi e risposte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198.1.2 Circuiti resistivi e circuiti dinamici . . . . . . . . . . . . 198.1.3 Stato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218.1.4 Equazioni di un circuito dinamico lineare . . . . . . . . . 218.1.5 Circuiti degeneri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228.1.6 Risposta di un circuito dinamico lineare . . . . . . . . . 23

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8.1.6.1 Risposta nello stato zero e risposta con ingressozero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

8.1.6.2 Determinazione della risposta . . . . . . . . . . 268.1.6.3 Componente transitoria e componente di regime 27

8.2 Circuiti dinamici in regime stazionario . . . . . . . . . . . . . . 288.3 Circuiti elementari del primo ordine . . . . . . . . . . . . . . . . 30

8.3.1 Circuito RC con generatore di tensione . . . . . . . . . . 308.3.2 Circuito RL con generatore di corrente . . . . . . . . . . 318.3.3 Risposta di un circuito del primo ordine . . . . . . . . . 33

8.3.3.1 Generatori costanti . . . . . . . . . . . . . . . . 348.3.3.2 Generatori sinusoidali . . . . . . . . . . . . . . 36

8.4 Metodo semplificato per l’analisi di circuiti del primo ordine . . 398.4.1 Circuito con un solo condensatore . . . . . . . . . . . . . 398.4.2 Circuito con un solo induttore . . . . . . . . . . . . . . . 40

8.5 Circuiti elementari del secondo ordine . . . . . . . . . . . . . . . 428.5.1 Circuito RLC serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428.5.2 Circuito RLC parallelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458.5.3 Risposta di un circuito del secondo ordine . . . . . . . . 468.5.4 Circuiti LC serie e LC parallelo . . . . . . . . . . . . . . 53

8.6 Analisi di circuiti lineari non degeneri . . . . . . . . . . . . . . . 558.6.1 Relazioni tra stato, ingresso e risposta . . . . . . . . . . 558.6.2 Equazioni di stato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 578.6.3 Transitori e condizioni iniziali . . . . . . . . . . . . . . . 608.6.4 Analisi di circuiti dinamici lineari non degeneri mediante le

equazioni di stato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 628.6.4.1 Equazione risolvente . . . . . . . . . . . . . . . 628.6.4.2 Condizioni iniziali . . . . . . . . . . . . . . . . 668.6.4.3 Determinazione della risposta . . . . . . . . . . 678.6.4.4 Metodo semplificato per il calcolo della risposta 67

9 Regimi sinusoidali 699.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

9.1.1 Funzioni sinusoidali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 699.1.2 Regime sinusoidale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

9.2 Trasformata di Steinmetz(o metodo simbolico) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 709.2.1 Definizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 709.2.2 Proprieta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

9.2.2.1 Unicita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 759.2.2.2 Linearita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 769.2.2.3 Regola di derivazione . . . . . . . . . . . . . . . 77

9.2.3 Applicazione alla risoluzione di equazioni differenziali . . 779.3 Bipoli in condizioni di regime sinusoidale . . . . . . . . . . . . . 80

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INDICE iii

9.3.1 Bipoli lineari elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . 809.3.1.1 Resistore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 819.3.1.2 Induttore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 829.3.1.3 Condensatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

9.3.2 Impedenza e ammettenza . . . . . . . . . . . . . . . . . 859.3.3 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

9.3.3.1 Bipolo R-L serie . . . . . . . . . . . . . . . . . 869.3.3.2 Bipolo R-L parallelo . . . . . . . . . . . . . . . 889.3.3.3 Bipolo R-C parallelo . . . . . . . . . . . . . . . 899.3.3.4 Bipolo R-C serie . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

9.4 Componenti multipolari in condizioni di regime sinusoidale . . . 929.4.1 Generalita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 929.4.2 Generatori dipendenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 939.4.3 Trasformatore ideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 949.4.4 Induttori accoppiati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

9.5 Circuiti in condizioni di regime sinusoidale . . . . . . . . . . . . 959.5.1 Leggi di Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 959.5.2 Analisi di circuiti in regime sinusoidale . . . . . . . . . . 959.5.3 Generalizzazioni dei teoremi dei circuiti . . . . . . . . . . 96

9.5.3.1 Teorema di Tellegen . . . . . . . . . . . . . . . 969.5.3.2 Teoremi di non amplificazione . . . . . . . . . . 969.5.3.3 Teorema di sostituzione . . . . . . . . . . . . . 969.5.3.4 Teorema di sovrapposizione . . . . . . . . . . . 969.5.3.5 Teorema di reciprocita . . . . . . . . . . . . . . 979.5.3.6 Teoremi di Thevenin e Norton . . . . . . . . . . 97

9.5.4 Equivalenze riguardanti trasformatori ideali e induttori ac-coppiati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 989.5.4.1 Trasformazione dell’impedenza di carico . . . . 989.5.4.2 Relazioni tra il trasformatore ideale e gli induttori

accoppiati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 999.6 Potenze in regime sinusoidale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

9.6.1 Potenza assorbita da un bipolo in regime sinusoidale . . 1029.6.1.1 Potenza assorbita da un resistore . . . . . . . . 1039.6.1.2 Potenza assorbita da un induttore . . . . . . . 1049.6.1.3 Potenza assorbita da un condensatore . . . . . 106

9.6.2 Potenza attiva e reattiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1069.6.3 Potenza complessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1099.6.4 Bilanci energetici in regime sinusoidale . . . . . . . . . . 1109.6.5 Valori efficaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1129.6.6 Teorema del massimo trasferimento di potenza attiva . . 1139.6.7 Rifasamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

9.7 Risonanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1179.7.1 Risonanza serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

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9.7.2 Risonanza parallelo (o antirisonanza) . . . . . . . . . . . 1229.7.3 Curve di risonanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

10 Sistemi trifase 12910.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

10.1.1 Tensioni concatenate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13010.1.2 Sistemi simmetrici di tensioni . . . . . . . . . . . . . . . 13010.1.3 Correnti di linea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

10.2 Generatori trifase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13310.2.1 Generatori a stella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13410.2.2 Generatori a triangolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

10.3 Carichi trifase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13810.3.1 Carichi a triangolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13910.3.2 Carichi a stella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14310.3.3 Spostamento del centro delle tensioni di fase . . . . . . . 147

10.4 Sistemi trifase con neutro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15010.5 Potenza assorbita da un carico trifase . . . . . . . . . . . . . . . 151

10.5.1 Generalita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15110.5.2 Equivalenza dei carichi trifase - Formula di Aron . . . . . 15210.5.3 Potenza nei sistemi trifase simmetrici e equilibrati . . . . 154

10.6 Rifasamento di un carico trifase . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15510.7 Vantaggi dei sistemi trifase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

A Cenni sulle equazioni differenziali 161A.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

A.1.1 Definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161A.1.2 Soluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162A.1.3 Condizioni iniziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

A.2 Equazioni lineari omogenee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163A.2.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163A.2.2 Insieme fondamentale di soluzioni . . . . . . . . . . . . . 164A.2.3 Equazione caratteristica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165A.2.4 Soluzioni reali distinte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166A.2.5 Soluzioni reali multiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166A.2.6 Soluzioni complesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

A.3 Equazioni lineari non omogenee . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169A.3.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169A.3.2 Risoluzione dell’equazione non omogenea . . . . . . . . . 170A.3.3 Determinazione della soluzione particolare . . . . . . . . 171

A.4 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173A.4.1 Equazioni omogenee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173A.4.2 Equazioni non omogenee . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

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Capitolo 7

Componenti dinamici

7.1 Introduzione

7.1.1 Carica e flusso

Per caratterizzare i componenti dinamici e opportuno introdurre due grandezzeassociate alle correnti e tensioni descrittive dette, rispettivamente, carica e flusso.

• Si definisce carica associata alla corrente i(t) la quantita

q(t)�=

∫ t

−∞i(t′)dt′ (7.1)

La carica si misura in coulomb (simbolo C).

• Si definisce flusso associato alla tensione v(t) la quantita

φ(t)�=

∫ t

−∞v(t′)dt′ (7.2)

Il flusso si misura in weber (simbolo Wb).

Dalle (7.1)-(7.2) si ricavano anche le relazioni

i(t) =dq

dt(7.3)

v(t) =dφ

dt(7.4)

E opportuno notare che dal punto di vista formale la carica e il flusso possonoessere definiti per qualsiasi componente e, di conseguenza, non rappresentanonecessariamente una carica o un flusso localizzabili all’interno della superficielimite del componente.

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7.1.2 Condensatori e induttori

Alcuni bipoli sono descritti da relazioni costitutive che legano, istante per istante,la tensione alla carica o la corrente al flusso:

• Si definisce condensatore un bipolo la cui equazione caratteristica mette inrelazione i valori assunti nello stesso istante dalla tensione e dalla carica e,quindi, puo essere espressa in termini di v(t) e q(t) nella forma

f [v(t), q(t), t] = 0 (7.5)

in cui f rappresenta una funzione generica.

• Si definisce induttore un bipolo la cui caratteristica mette in relazione ivalori assunti nello stesso istante dalla corrente e dal flusso e, quindi, puoessere espressa in termini di i(t) e φ(t) nella forma

g [i(t), φ(t), t] = 0 (7.6)

in cui g indica una funzione generica.

Se le funzioni f e g dipendono esplicitamente dal tempo, come indicato nelle(7.5) e (7.6), i componenti sono detti tempo-varianti. Se il tempo non compareesplicitamente e le (7.5) e (7.6) si riducono a

f [v(t), q(t)] = 0 (7.7)

g [i(t), φ(t)] = 0 (7.8)

si parla di componenti tempo-invarianti. Se f e g sono funzioni lineari, rispetti-vamente, di v e q e di i e φ, i componenti sono detti lineari, mentre si parla dicomponenti non lineari negli altri casi.

Nell’uso comune i termini induttore e condensatore sono impiegati per indica-re i componenti lineari tempo-invarianti. In seguito si adottera tale convenzione,quindi gli aggettivi lineare e tempo-invariante saranno sottintesi, mentre quan-do si intendera considerare un componente non lineare o tempo-variante lo siindichera esplicitamente.

7.2 Condensatore

7.2.1 Caratteristica

Un condensatore (lineare, tempo-invariante) e un bipolo avente caratteristica deltipo

q(t) = Cv(t) (7.9)

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Componenti dinamici 3

0

q

i

vv C

a) b)

Figura 7.1: Simbolo e caratteristica del condensatore

in cui q(t) e la carica associata alla corrente del bipolo1. La costante di propor-zionalita, C, si chiama capacita del condensatore. Il suo valore si misura in farad(simbolo F). Per i condensatori fisici C assume sempre valori positivi.

Il condensatore e indicato mediante il simbolo riportato in fig. 7.1a. La suarelazione costitutiva puo essere rappresentata graficamente nel piano v-q medianteuna retta passante per l’origine e avente pendenza C, come indicato in fig. 7.1b.

Tenendo conto della relazione tra corrente e carica, l’equazione caratteristicapuo essere posta nella forma

v(t) =1

C

∫ t

−∞i(t′)dt′ (7.10)

da cui si ottiene anche

i(t) = Cdv

dt(7.11)

La (7.10) mostra che la tensione di un condensatore all’istante t dipende dai valoriassunti dalla corrente in tutti gli istanti precedenti t. Per questo si dice che ilcondensatore e un componente dotato di memoria.

Se si considera un generico istante t0, per il quale la tensione vale

V0 = v(t0) =1

C

∫ t0

−∞i(t′)dt′ (7.12)

per ogni t ≥ t0 risulta

v(t) =1

C

∫ t

−∞i(t′)dt′ =

1

C

∫ t0

−∞i(t′)dt′+

1

C

∫ t

t0

i(t′)dt′ = V0+1

C

∫ t

t0

i(t′)dt′ (7.13)

1I versi della tensione e della corrente si intendono orientati secondo la convenzione normale.

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i i

v t V� ��0 0

v tC� ��0

v vC

C

a) b)

�V0

vC

Figura 7.2: Rappresentazione della condizione iniziale di un condensatore

Pertanto la tensione all’istante t puo essere determinata se si conoscono la ten-sione ad un istante precedente, t0, e l’andamento della corrente nell’intervallo ditempo [t0, t]. La tensione all’istante t0, quindi, riassume il comportamento delcomponente per t ≤ t0. La stessa informazione puo essere rappresentata anchedal valore assunto all’istante t0 dalla carica del condensatore

Q0 = q(t0) = CV0 (7.14)

L’espressione finale della tensione del condensatore per t ≥ t0 fornita dalla(7.13) puo essere interpretata anche come l’equazione di un bipolo costituito daun generatore di tensione costante V0 posto in serie con un condensatore aventetensione nulla all’istante t0 (cioe un condensatore scarico all’istante t = t0).Quindi per t ≥ t0 i bipoli rappresentati in fig. 7.2 risultano equivalenti.

7.2.2 Comportamento energetico

La potenza istantanea assorbita da un condensatore e data da

pa(t) = v(t)i(t) = Cv(t)dv

dt=

d

dt

[1

2Cv2(t)

](7.15)

Pertanto l’energia assorbita fino all’istante t e

wa(t) =

∫ t

−∞pa(t

′)dt′ =∫ t

−∞

d

dt′

[1

2Cv2(t′)

]dt′ =

1

2Cv2(t) (7.16)

Da questa espressione, tenendo conto della relazione tra carica e tensione, siottiene anche

wa(t) =q2(t)

2C(7.17)

Tali espressioni mostrano che, se C e positiva, l’energia assorbita e sempre mag-giore o uguale a zero e quindi il condensatore e un elemento passivo.

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Inoltre si puo notare che l’energia assorbita fino all’istante t dipende unica-mente dal valore che la tensione (o equivalentemente la carica) assume all’istantet stesso e che l’energia assorbita in un intervallo [t1, t2], data da

wa(t1, t2) =

∫ t2

t1

pa(t′)dt′ =

1

2C[v2(t2)− v2(t1)

]=

1

2C

[q2(t2)− q2(t1)

](7.18)

risulta funzione solo dei valori assunti dalla tensione (o dalla carica) all’istanteiniziale e all’istante finale dell’intervallo e non dell’andamento della tensione (odella carica) durante l’intervallo stesso.

La (7.18) mostra che, anche nell’ipotesi che C sia positiva, l’energia assorbitain un particolare intervallo puo essere negativa e, quindi, il condensatore puoerogare energia. Cio avviene se la tensione (o la carica) all’istante finale e minore,in valore assoluto, di quella all’istante iniziale. D’altra parte, essendo C > 0,risulta

we(t1, t2) =1

2C[v2(t1)− v2(t2)

] ≤ wa(t1) =1

2Cv2(t1) (7.19)

Pertanto l’energia erogata in un certo intervallo di tempo [t1, t2] da un conden-satore passivo non puo superare il valore dell’energia assorbita fino all’istantet1.

Quindi si puo concludere che un condensatore (con C > 0) e un bipolo cheaccumula l’energia assorbita ed e in grado, in seguito, di restituirla integralmente.

7.2.3 Proprieta di continuita

Un’importante proprieta dei condensatori e la cosiddetta proprieta di continuitadella tensione in base alla quale, se la corrente di un condensatore e limitata, latensione del condensatore e una funzione continua del tempo.

Tale proprieta puo essere dimostrata facendo riferimento all’espressione del-la tensione (7.10) ed utilizzando la nota proprieta di continuita della funzioneintegrale.

Dal punto di vista fisico la proprieta di continuita deriva dal fatto che unadiscontinuita della tensione provocherebbe, per la (7.16), anche una discontinuitadell’energia accumulata nel condensatore. Ma una variazione dell’energia in untempo nullo richiederebbe un valore tendente a infinito della potenza assorbita oerogata dal condensatore e cio, evidentemente, non e possibile se la corrente havalore finito.

Ovviamente in un circuito fisico correnti e potenze hanno sempre valori finitie, di conseguenza, le tensioni dei condensatori sono sempre funzioni continue deltempo. Quindi si incontreranno discontinuita delle tensioni dei condensatori soloin particolari casi ideali.

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0

�

i

iv L

a) b)

Figura 7.3: Simbolo e caratteristica dell’induttore

7.3 Induttore


Un induttore (lineare, tempo-invariante) e un bipolo avente caratteristica del tipo

φ(t) = Li(t) (7.20)

in cui φ(t) e il flusso associato alla tensione del bipolo 2. La costante di propor-zionalita, L, si chiama induttanza. Il suo valore si misura in henry (simbolo H).Per gli induttori fisici L assume sempre valori positivi.

L’induttore e indicato mediante il simbolo riportato in fig. 7.3a. La sua re-lazione costitutiva puo essere rappresentata graficamente nel piano i-φ medianteuna retta passante per l’origine e avente pendenza L come indicato in fig. 7.3b.

In termini di tensione e corrente l’equazione caratteristica dell’induttore as-sume la forma

i(t) =1

L

∫ t

−∞v(t′)dt′ (7.21)

oppure

v(t) = Ldi

dt(7.22)

Confrontando le (7.20)-(7.22) con le (7.9)-(7.11) e immediato riconoscere chel’induttore costituisce il componente duale del condensatore, nel senso che leaffermazioni fatte a proposito del condensatore possono essere ripetute nel caso

2La tensione e la corrente si intendono orientate secondo la convenzione normale.

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ii

i t I� ��0 0 i tL� ��0v vL L

a) b)

� I0

iL

Figura 7.4: Rappresentazione della condizione iniziale di un induttore

dell’induttore scambiando i ruoli della tensione e della corrente e sostituendo allaparola carica la parola flusso e alla parola capacita la parola induttanza.

Come il condensatore, l’induttore e un componente dotato di memoria inquanto il valore della sua corrente a un certo istante t dipende, come mostra la(7.21), dall’andamento della tensione in tutti gli istanti che precedono t. Se siconsidera un istante t0, nel quale la corrente vale

I0 = i(t0) =1

L

∫ t0

−∞v(t′)dt′ (7.23)

per ogni t ≥ t0 si ha

i(t) =1

L

∫ t

−∞v(t′)dt′ =

1

L

∫ t0

−∞v(t′)dt′+

1

L

∫ t

t0

v(t′)dt′ = I0+1

L

∫ t

t0

v(t′)dt′ (7.24)

Quindi, per determinare la corrente per t > t0, occorre conoscere il valore inizialedella corrente all’istante t0 o, equivalentemente, il valore del flusso allo stessoistante

Φ0 = φ(t0) = LI0 (7.25)

assieme all’andamento della tensione nell’intervallo [t0, t]. L’espressione finaledella corrente fornita dalla (7.24) puo essere interpretata come l’equazione di unbipolo costituito dal parallelo di un generatore di corrente costante I0 con uninduttore avente corrente nulla all’istante t0. Quindi per t ≥ t0 vale l’equivalenzarappresentata in fig. 7.4.


Le espressioni della potenza e dell’energia assorbite da un induttore sono analoghea quelle viste per il condensatore. La potenza e data da

pa(t) = v(t)i(t) = Li(t)di

dt=

d

dt

[1

2Li2(t)

](7.26)

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e di conseguenza l’energia assorbita fino all’istante t e

wa(t) =

∫ t

−∞pa(t

′)dt′ =∫ t

−∞

d

dt′

[1

2Li2(t′)

]dt′ =

1

2Li2(t) (7.27)

cioe, in termini di flusso,

wa(t) =φ2(t)

2L(7.28)

Quindi, se L > 0, l’induttore e un componente passivo dato che, in tali condizioni,risulta sempre wa(t) ≥ 0.

Dalla (7.26) si ricava anche che l’espressione dell’energia assorbita in unintervallo [t1, t2] e

wa(t1, t2) =

∫ t2

t1

pa(t′)dt′ =

1

2L[i2(t2)− i2(t1)

]=

1

2L

[φ2(t2)− φ2(t1)

](7.29)

Tale valore dipende solo dal valore della corrente, o del flusso, agli estremi dell’in-tervallo e puo essere negativa, anche se L > 0, se il valore assoluto della corrente(o del flusso) all’istante t2 e minore di quello all’istante t1. Comunque, come nelcaso del condensatore, si puo verificare che, l’energia erogata in un certo interval-lo [t1, t2] da un induttore passivo non puo mai superare l’energia assorbita finoall’istante iniziale t1 dell’intervallo stesso.

Quindi un induttore passivo e un bipolo che accumula l’energia assorbita ede in grado, in seguito, di restituirla integralmente.


Per gli induttori vale la proprieta di continuita della corrente secondo la quale, sela tensione ai capi di un induttore e limitata, la corrente e una funzione continuadel tempo.

La dimostrazione di questa proprieta e del tutto analoga a quella vista peril condensatore nel paragrafo 7.2.3. In questo caso la proprieta e da mettere inrelazione con il fatto che una discontinuita della corrente comporterebbe, per la(7.27), anche una discontinuita dell’energia accumulata nell’induttore.

7.4 Induttori accoppiati


Il componente denominato induttori accoppiati e un 2-porte avente le seguentiequazioni caratteristiche

φ1(t) = L1i1(t) +Mi2(t)

φ2(t) = Mi1(t) + L2i2(t)(7.30)

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i1

v1 L1 L2

i2

v2

M

Figura 7.5: Induttori accoppiati

in cui φ1 e φ2 rappresentano i flussi associati alle due tensioni di porta3. In termini

di correnti e tensioni alle porte, le relazioni precedenti assumono la forma

v1(t) = L1di1dt

+Mdi2dt

v2(t) = Mdi1dt

+ L2di2dt

(7.31)

I parametri L1 e L2 prendono il nome di induttanze proprie o autoinduttanze,mentre M e detta mutua induttanza. I valori di questi parametri sono espressi inhenry. Il simbolo degli induttori accoppiati e riportato in fig. 7.5.

Il dispositivo fisico corrispondente a questo componente e costituito dall’in-sieme di due induttori fisici disposti in modo che il flusso di induzione magneticagenerato da ciascuno di essi sia, almeno in parte, concatenato anche con l’altro.Il comportamento di questi induttori fisici non puo essere rappresentato con duebipoli separati, dal momento che le loro interazioni non sono determinate dallesole tensioni e correnti ai terminali, quindi e necessario trattarli come un unicocomponente a quattro terminali.

Per il dispositivo fisico sono sempre verificate le seguenti relazioni

L1 > 0

L2 > 0

|M | <√

L1L2

(7.32)

(Si noti che M puo essere sia positivo che negativo.) In queste condizioni e semprepossibile porre le (7.30) anche nella forma

i1(t) = Γ1φ1(t) + ΓMφ2(t)

i2(t) = ΓMφ1(t) + Γ2φ2(t)(7.33)

con [Γ1 ΓMΓM Γ2

]=

[L1 MM L2

]−1

(7.34)

3Al solito, tensioni e correnti si intendono orientate secondo la convenzione normale.

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quindi i coefficienti Γk sono dati da

Γ1 =L2

L1L2 −M2Γ2 =

L1

L1L2 −M2ΓM = − M

L1L2 −M2(7.35)

A sua volta la (7.33) puo essere scritta in termini di tensioni e correnti nel modoseguente

i1(t) = Γ1

∫ t

−∞v1(t

′)dt′ + ΓM

∫ t

−∞v2(t

′)dt′

i2(t) = ΓM

∫ t

−∞v1(t

′)dt′ + Γ2

∫ t

−∞v2(t

′)dt′(7.36)

Se si considera un generico istante t0, nel quale le correnti assumono i valori

I10 = i1(t0) = Γ1

∫ t0

−∞v1(t

′)dt′ + ΓM

∫ t0

−∞v2(t

′)dt′

I20 = i2(t0) = ΓM

∫ t0

−∞v1(t

′)dt′ + Γ2

∫ t0

−∞v2(t

′)dt′(7.37)

dalla (7.36), per t ≥ t0 si ricava

i1(t) = Γ1

∫ t

t0

v1(t′)dt′ + ΓM

∫ t

t0

v2(t′)dt′ + I10

i2(t) = ΓM

∫ t

t0

v1(t′)dt′ + Γ2

∫ t

t0

v2(t′)dt′ + I20

(7.38)

Queste ultime relazioni mostrano che le correnti degli induttori accoppiati pert ≥ t0 possono essere determinate se sono note le correnti all’istante t0 e gliandamenti delle tensioni per t ≥ t0.


La potenza assorbita dagli induttori accoppiati e data da

pa(t) = v1(t)i1(t) + v2(t)i2(t) =

= L1i1(t)di1dt

+Mi1(t)di2dt

+ L2i2(t)di2dt

+Mi2(t)di1dt

=

=d

dt

{1

2

[L1i

21(t) + 2Mi1(t)i2(t) + L2i

22(t)

]} (7.39)

Quindi l’energia assorbita fino all’istante t e

wa(t) =1

2

[L1i

21(t) + 2Mi1(t)i2(t) + L2i

22(t)

](7.40)

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Come nel caso dell’induttore, l’energia assorbita dipende unicamente dai va-lori assunti dalle correnti (o equivalentemente dai flussi), all’istante t e nondall’andamento delle correnti negli istanti precedenti.

Si puo verificare che se sono soddisfatte le condizioni (7.32) il componente epassivo. Infatti, essendo L1 �= 0, e possibile riscrivere la (7.40) nel modo seguente

wa(t) =1

2

[L1i

21(t) + 2Mi1(t)i2(t) + L2i

22(t) +

M2

L1

i22(t)−M2

L1

i22(t)

]=

=1

2L1

[i1(t) +

M

L1

i2(t)

]2

+L1L2 −M2

2L1

i22(t)

(7.41)

Evidentemente, se valgono le (7.32), questa espressione e sempre positiva, a parteil caso in cui entrambe le correnti sono nulle, nel quale anche wa si annulla.

7.4.3 Induttori perfettamente accoppiati

Nel caso ideale in cui e verificata la relazione

|M | =√

L1L2 (7.42)

si dice che l’accoppiamento tra gli induttori e perfetto. In questa condizioni lamatrice di induttanza[

L1 MM L2

]

e singolare, quindi non e possibile esprimere le correnti in funzione dei flussi odelle tensioni. Se vale la (7.42) si ha:

φ1(t) = Li1(t) +Mi2(t) = L1

[i1(t) +

M

L1

i2(t)

]

φ2(t) = Mi1(t) + L2i2(t) = M

[i1(t) +

L2

Mi2(t)

]= M

[i1(t) +

M

L1

i2(t)

] (7.43)

Quindi, se le correnti i1 e i2 soddisfano la condizione

i1 +M

L1

i2 = 0 (7.44)

e possibile che entrambi i flussi siano nulli anche per valori diversi da zero dellecorrenti.

Per gli induttori perfettamente accoppiati, tenendo conto delle (7.41) e (7.42),si puo esprimere l’energia accumulata nella forma

wa(t) =1

2L1

[i1(t) +

M

L1

i2(t)

]2

(7.45)

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Questa relazione mostra che, quando le correnti soddisfano la (7.44), anchel’energia accumulata e nulla.

Dal punto di vista fisico, wa = 0 significa che e nulla l’energia associataal campo magnetico prodotto dalle correnti i1 e i2. Cio richiede che lo stessocampo magnetico sia nullo. D’altra parte, se le correnti non sono nulle, il campogenerato da ciascuna corrente non e nullo. Da cio si conclude che in condizioni diaccoppiamento perfetto, se le correnti soddisfano la (7.44), i campi magnetici cheesse generano sono in ogni punto uguali e opposti. Ovviamente cio rappresentauna condizione ideale che, in pratica, in un dispositivo fisico puo essere realizzatasolo in modo approssimato.


Se gli induttori non sono perfettamente accoppiati e, quindi, e possibile esprimerele loro relazioni costitutive nella forma (7.36), vale la proprieta di continuitadelle correnti, in base alla quale, se le tensioni limitate, le correnti sono funzionicontinue del tempo.

Anche in questo caso la proprieta, che si puo dimostrare a partire dalle (7.36)e dalla proprieta di continuita della funzione integrale, puo essere messa in rela-zione con il fatto che una discontinuita delle correnti comporterebbe anche unadiscontinuita dell’energia accumulata.

La proprieta di continuita non vale, invece, per gli induttori perfettamenteaccoppiati. In questo caso si puo osservare che l’energia accumulata non varia sele correnti subiscono variazioni ∆i1, e ∆i2 tali che

∆i1 = −M

L1

∆i2 (7.46)

Di conseguenza e possibile che l’energia accumulata sia una funzione continuaanche se le correnti presentano delle discontinuita.

7.5 Induttori e condensatori in serie e parallelo

7.5.1 Induttori in serie

Si considerino N induttori collegati in serie come indicato in fig. 7.6. Per ricavarela caratteristica del bipolo risultante si possono scrivere i vincoli derivanti dalleleggi di Kirchhoff, espressi dalle relazioni

i = ik per k = 1, 2, . . . , N (7.47)

v =N∑k=1

vk (7.48)

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vii1

v1

L1

v2

L2 LN

vN

i2 iN

Figura 7.6: Induttori in serie

e le relazioni costitutive degli induttori nella forma

vk = Lkdikdt

per k = 1, 2, . . . , N (7.49)

Eliminando le vk e le ik nelle (7.47)-(7.49), si ottiene

v = LSdi

dt(7.50)

dove

LS�=

N∑k=1

Lk (7.51)

rappresenta l’induttanza equivalente serie degli N induttori. Quindi N induttoriin serie equivalgono ad un induttore avente come induttanza la somma delleinduttanze dei singoli induttori.

7.5.2 Induttori in parallelo

Nel caso di N induttori collegati in parallelo (fig. 7.7), conviene esprimere lerelazioni costitutive nella forma

ik =1

Lk

∫ t

−∞vk(t

′)dt′ per k = 1, 2, . . . , N (7.52)

v

i

i1

v1 v2 vN

i2 iN

L1 L2 LN

Figura 7.7: Induttori in parallelo

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In questo caso le leggi di Kirchhoff richiedono che sia

v = vk per k = 1, 2, . . . , N (7.53)

i =N∑k=1

ik (7.54)

Eliminando le ik e le vk dalle (7.52)-(7.54) si ottiene la seguente relazione tra latensione comune e la corrente complessiva

i =1

LP

∫ t

−∞v(t′)dt′ (7.55)

dove

LP�=

1N∑k=1

1

Lk

(7.56)

rappresenta l’induttanza equivalente parallelo degli N induttori.

7.5.3 Condensatori in serie

Nel caso di N condensatori in serie (fig. 7.8), ai vincoli derivanti delle leggi diKirchhoff, espressi ancora dalle (7.47) e (7.48), si devono aggiungere le relazionicostitutive

vk =1

Ck

∫ t

−∞ik(t

′)dt′ per k = 1, 2, . . . , N (7.57)

Quindi si ricava la seguente relazione tra la tensione comune e la corrente com-plessiva

v =1

CS

∫ t

−∞i(t′)dt′ (7.58)

vii1

v1

C1

v2

C2 CN

vN

i2 iN

Figura 7.8: Condensatori in serie

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dove

CS�=

1N∑k=1

1

Ck

(7.59)

rappresenta la capacita equivalente serie degli N condensatori.

7.5.4 Condensatori in parallelo

Nel caso di N condensatori in parallelo (fig. 7.9), conviene esprimere le relazionicostitutive nel modo seguente

ik = Ckdvkdt

per k = 1, 2, . . . , N (7.60)

A tali equazioni si devono aggiungere quelle derivanti dalle leggi di Kirchhoffespresse dalle (7.53)-(7.54)

Eliminando le ik e le vk, si ottiene la seguente relazione tra la tensione comunee la corrente complessiva

i = CPdv

dt(7.61)

dove

CP�=

N∑k=1

Ck (7.62)

rappresenta la capacita equivalente parallelo degli N condensatori. Quindi Ncondensatori in parallelo equivalgono ad un condensatore avente come capacitala somma delle capacita dei singoli condensatori.

v

i

i1

v1 v2 vN

i2 iN

C1 C2 CN

Figura 7.9: Condensatori in parallelo

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7.6 Cenni sulle funzioni impulsive

Come si e visto, escludendo casi particolari, le tensioni dei condensatori e le cor-renti degli induttori sono funzioni continue del tempo. Un esempio nel qualela tensione di un condensatore risulta discontinua puo essere introdotto consi-derando il circuito di fig. 7.10. Si assuma che la corrente del generatore abbial’andamento rappresentato in fig. 7.11a, cioe che sia

iG(t) =

0 per t < 01

∆per 0 < t < ∆

0 per t > ∆

(7.63)

L’andamento della corrente e rappresentato da un impulso rettangolare aventedurata ∆ e area unitaria. Questa funzione sara indicata, in seguito, con il simbolop∆(t). In queste condizioni la tensione del condensatore, data da

v(t) =1

C

∫ t

−∞p∆(t

′)dt′ (7.64)

ha l’andamento riportato in fig. 7.11b, cioe cresce linearmente nell’intervallocompreso tra 0 e ∆ e si mantiene costante per t > ∆.

A questo punto si riduca la durata dell’impulso mantenendone costante l’area,come indicato in fig. 7.12. Di conseguenza l’ampiezza dell’impulso aumenta el’andamento di v(t) tra 0 e ∆ diviene piu ripido. Per ∆ tendente a zero si ha lasituazione riportata in fig. 7.13. In queste condizioni la tensione del condensatoree data da

v(t) = lim∆→0

1

C

∫ t

−∞p∆(t

′)dt′ =1

CuG(t) (7.65)

in cui uG(t) indica la funzione gradino unitario definita da

uG(t) =

{0 per t < 0

1 per t > 0(7.66)

i

i tG� � vC

Figura 7.10: Condensatore alimentato da un generatore di corrente

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a) b)

00 tt

i tG� � v t� �

� �

�1

C1

Figura 7.11: Andamento di iG(t) e v(t)

a) b)

00 tt

i tG� �

v t� �

�0�0

Figura 7.12: Effetto della variazione di ∆

a) b)

00 tt

i tG� � v t� �

Figura 7.13: Situazione limite per ∆ → 0

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Quindi si ha una discontinuita della tensione v(t) per t = 0 che deve essere messain relazione con il fatto che la corrente per t = 0 non e limitata.

L’andamento della corrente per ∆ tendente a zero puo essere rappresentatoper mezzo della cosiddetta funzione impulsiva o impulso di Dirac, indicata colsimbolo δ(t). In genere l’impulso di Dirac viene rappresentato sui grafici medianteuna freccia, come in fig. 7.13a.

L’impulso di Dirac non e una funzione nel senso ordinario. La sua defini-zione in termini rigorosi puo essere introdotta solo nell’ambito della teoria delledistribuzioni (o funzioni generalizzate). Qui ci si limitera a indicare che esso ecaratterizzato dalle seguenti proprieta

δ(t) = 0 ∀t �= 0

∫ ε

−εδ(t)dt = 1 ∀ε > 0

(7.67)

Evidentemente tali proprieta non possono essere soddisfatte da una funzioneordinaria. L’impulso di Dirac soddisfa inoltre la relazione

lim∆→0

∫ t

−∞p∆(t

′)dt′ =∫ t

−∞δ(t′)dt′ = uG(t) (7.68)

Questo comunque non consente di affermare

lim∆→0

p∆(t) = δ(t) (7.69)

infatti in questo caso non e lecito scambiare il segno di limite con il segno diintegrale nella (7.68).

La (7.68) suggerisce anche la possibilita di scrivere formalmente

δ(t) =duGdt

(7.70)

e quindi di interpretare l’impulso di Dirac come “derivata” del gradino unitario.Tale derivata e da intendersi in senso generalizzato e puo essere definita in terminirigorosi sono nell’ambito della teoria delle distribuzioni, infatti la funzione gradinounitario, essendo discontinua, non e derivabile nel senso ordinario.

Nell’esempio considerato si e visto che un andamento di tipo impulsivo dellacorrente di un condensatore comporta una discontinuita della tensione. In mododel tutto analogo, nel caso di un induttore, si puo verificare che un andamentoimpulsivo della tensione provoca una discontinuita della corrente.

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Capitolo 8

Circuiti dinamici

8.1 Generalita sui circuiti dinamici

8.1.1 Ingressi e risposte

Tra le variabili descrittive di un circuito le tensioni dei generatori indipendentidi tensione e le correnti dei generatori indipendenti di corrente svolgono un ruoloparticolare, infatti tali grandezze sono funzioni del tempo note a priori e quindicostituiscono i termini noti delle equazioni del circuito. A queste grandezze, ilcui andamento e imposto dall’esterno viene dato il nome di ingressi, mentre allealtre variabili descrittive, che dipendono anche dalle proprieta del circuito, vienedato il nome di risposte o uscite.

Anche se nel senso piu generale risolvere un circuito significa calcolare tuttele tensioni e correnti descrittive, spesso ai fini pratici interessa determinare soloalcune di esse. In questo caso il termine risposte viene impiegato per indicare leparticolari grandezze a cui si e interessati.

8.1.2 Circuiti resistivi e circuiti dinamici

Nel caso di un circuito resistivo, le equazioni del circuito vincolano in ogni istan-te i valori delle risposte ai valori assunti nello stesso istante dagli ingressi. Inparticolare, se il circuito e lineare, dato che (come si e visto nel paragrafo 6.4.1)tutte le tensioni e le correnti possono essere espresse come combinazioni linearidelle grandezze impresse dei generatori indipendenti, il legame tra le risposte egli ingressi e sempre esprimibile nella forma

yj(t) =∑k

hjkuk(t) (8.1)

in cui yj(t) rappresenta una generica risposta, uk(t) rappresenta un ingresso ela sommatoria si intende estesa a tutti gli ingressi del circuito. I coefficienti

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della combinazione, hjk, sono funzioni dei parametri dei componenti diversi daigeneratori indipendenti.

Se nel circuito sono presenti anche componenti non lineari, le risposte ingenerale sono funzioni non lineari degli ingressi.

In ogni caso i valori istantanei delle risposte dipendono solo dai valori assuntidagli ingressi nello stesso istante. Quindi il comportamento di un circuito resistivocon ingressi variabili nel tempo e identico, istante per istante, a quello di uncircuito con ingressi costanti di valore pari al valore istantaneo.

Nel caso di circuiti contenenti componenti dotati di memoria, detti circuitidinamici, le relazioni tra gli ingressi e le risposte sono di tipo piu complicato e,in particolare, non consentono di determinare i valori istantanei delle risposte apartire dai valori degli ingressi allo stesso istante.

Si consideri ad esempio il circuito di fig. 8.1, nel quale e presente un conden-satore, e si assuma di voler determinare come risposta del circuito la tensionevC(t). Come si e visto nel capitolo 7, la tensione di un condensatore ad un certoistante e funzione dei valori assunti dalla sua corrente in tutti gli istanti prece-denti. D’altra parte, nel circuito in esame, la corrente nel condensatore soddisfala relazione

iC(t) =vG(t)− vC(t)

R(8.2)

Di conseguenza, la risposta ad un certo istante t dipende dall’andamento dell’in-gresso vG(t) per ogni t ≤ t.

Nel capitolo 7 si e visto anche che il comportamento di un condensatore finoad un particolare istante t0 puo essere riassunto dal valore della sua tensione all’i-stante t0, cioe che la tensione vC(t) per t ≥ t0 puo essere ricavata se si conosconola tensione vC(t0) e la corrente iC(t) per t ≥ t0. Come indica la (8.2), cio richiedeche sia noto l’andamento dell’ingresso vG(t) a partire dall’istante t0.

Quindi per determinare la risposta vC(t) per t ≥ t0 occorrono due informa-zioni:

vR

iR

vCvG

iCR

C

Figura 8.1: Circuito dinamico

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Circuiti dinamici 21

• l’andamento dell’ingresso per t ≥ t0;

• il valore della tensione vC(t) all’istante iniziale t0.

8.1.3 Stato

L’esempio precedente mostra che per valutare la risposta di un circuito dinamicoper t ≥ t0 non e sufficiente la conoscenza dell’ingresso per t ≥ t0 . L’informazioneaggiuntiva che occorre conoscere per determinare la risposta per t ≥ t0, noti gliingressi per t ≥ t0, e detta stato del circuito all’istante t0. Lo stato di un circuitoe rappresentato mediante un opportuno insieme di variabili, funzioni del tempo,dette variabili di stato.

Per il circuito di fig. 8.1, la discussione svolta nel paragrafo precedente mostrache lo stato puo essere rappresentato dalla tensione vC(t). In questo caso latensione del condensatore svolge contemporaneamente il ruolo di risposta e divariabile di stato. Questo pero rappresenta solo un caso particolare. In generale,infatti, le risposte e le variabili di stato sono grandezze distinte.

Inoltre e opportuno sottolineare il fatto che la scelta delle grandezze che posso-no essere impiegate come variabili di stato in genere non e univoca. Ad esempio,per il circuito in questione, il ruolo di variabile di stato potrebbe essere svoltoanche dalla carica del condensatore.

8.1.4 Equazioni di un circuito dinamico lineare

Si consideri un circuito formato da componenti resistivi lineari, condensatori einduttori lineari e da generatori indipendenti. Si indicheranno con l il numero dilati del circuito, con n il numero di nodi e con lD il numero di lati corrispondentia componenti dinamici.

Come avviene per qualunque circuito, le tensioni e le correnti dei lati devonosoddisfare un sistema di equazioni costituito dalle equazioni dei collegamenti edalle equazioni dei componenti.

Si assuma di scrivere le equazioni dei componenti dinamici nella forma diffe-renziale, cioe

ik = Ckdvkdt

(8.3)

per i condensatori,

vk = Lkdikdt

(8.4)

per gli induttori e

vk1 = Lk1

dik1

dt+Mk1k2

dik2

dt

vk2 = Mk1k2

dik1

dt+ Lk2

dik2

dt

(8.5)

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per gli induttori accoppiati. Il sistema delle equazioni dei circuito comprende:

• n− 1 equazioni lineari algebriche omogenee nelle correnti di lato che espri-mono i vincoli imposti dalla LKI;

• l − n + 1 equazioni lineari algebriche omogenee nelle tensioni di lato cheesprimono i vincoli imposti dalla LKV;

• l − lD equazioni lineari algebriche derivanti dalle relazioni costitutive deilati che contengono componenti privi di memoria;

• lD equazioni differenziali omogenee (del tipo (8.3)-(8.5)) nelle tensioni ecorrenti dei lati corrispondenti ai componenti dinamici.

Le equazioni dei componenti privi di memoria sono le sole equazioni del sistemache possono essere di tipo non omogeneo. I termini noti sono diversi da zero peri lati che contengono generatori indipendenti e sono rappresentati dalle tensionio dalle correnti impresse di tali generatori.

Complessivamente le equazioni del circuito costituiscono un sistema di tipodifferenziale, la cui soluzione e determinata univocamente se vengono assegnatelD condizioni iniziali, rappresentate dai valori all’istante iniziale delle grandezzeche compaiono sotto il segno di derivata nelle equazioni del tipo (8.3)-(8.5). Ciomostra che generalmente le tensioni di tutti i condensatori e le correnti di tuttigli induttori possono essere adottate come variabili di stato del circuito e quindiche, generalmente, le variabili di stato di un circuito con lD lati corrispondenti acomponenti dinamici sono lD.

Si noti che le variabili di stato consentono anche di determinare il valoredell’energia accumulata nei componenti dinamici e quindi definiscono anche lostato energetico del circuito.

8.1.5 Circuiti degeneri

In alcuni casi il numero di variabili necessarie per rappresentare lo stato delcircuito, N , e inferiore a lD.

Questa condizione si verifica se le tensioni dei condensatori o le correnti degliinduttori non sono indipendenti, cioe se il circuito ha una struttura tale da im-porre dei vincoli tra queste variabili o tra queste variabili e le grandezze impressedei generatori. Un circuito per il quale risulta N < lD e detto degenere.

Si puo verificare che se il circuito e formato solo da bipoli passivi e generatoriindipendenti, le tensioni dei condensatori o le correnti degli induttori non sonoindipendenti solo nel caso in cui il circuito contiene almeno una maglia formata dacondensatori e, eventualmente, generatori di tensione (detta brevemente magliadi condensatori) o un taglio formato da induttori e, eventualmente, generatori dicorrente (detto brevemente taglio di induttori).

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In presenza di una maglia di condensatori una delle tensioni dei condensatoripuo essere determinata in funzione delle altre e, eventualmente, delle tensionidei generatori indipendenti. Quindi ogni maglia di condensatori riduce di unoil numero di tensioni di condensatori necessarie per rappresentare lo stato delcircuito. Analogamente ogni taglio di induttori riduce di uno il numero di correntidi induttori necessarie per rappresentare lo stato.

Il numero delle variabili di stato indipendenti e quindi

N = lD −mC − tL (8.6)

dove mC indica il numero di maglie di condensatori e tL il numero di tagli diinduttori.

Se il circuito contiene altri bipoli attivi oltre ai generatori indipendenti, ose contiene componenti con piu di due terminali, e possibile che le tensioni deicondensatori o le correnti degli induttori non siano indipendenti anche se nonsono presenti maglie di condensatori o tagli di induttori.

Dato che i circuiti degeneri corrispondono a casi ideali e che il loro studio epiu complesso di quello dei circuiti non degeneri, in seguito si prenderanno inesame prevalentemente questi ultimi.

8.1.6 Risposta di un circuito dinamico lineare

8.1.6.1 Risposta nello stato zero e risposta con ingresso zero

Si consideri un circuito il cui stato e rappresentato da N variabili, che saran-no indicate con i simboli x1(t), . . . , xN(t). La generica variabile xk(t), quindicorrisponde alla tensione di un condensatore o alla corrente di un induttore.

Si assuma che il circuito sia dotato di Ni ingressi, cioe che contenga Ni genera-tori indipendenti. Per indicare gli ingressi si utilizzeranno i simboli u1(t), . . . , uNi

(t).Quindi la generica uk(t) puo rappresentare la tensione di un generatore indipen-dente di tensione o la corrente di un generatore indipendente di corrente.

Infine si impiegheranno i simboli y1(t), . . . , yNr(t) per indicare le Nr rispostedel circuito1, cioe le tensioni e le correnti di cui si vuole determinare l’andamento.

Per indicare sinteticamente lo stato e gli ingressi e le risposte si impiegherannoinoltre i vettori

x(t)�=

x1(t)...

xN(t)

u(t)

�=

u1(t)...

uNi(t)

y(t)

�=

y1(t)...

yNr(t)

(8.7)

Come si e visto la risposta y(t) di un circuito per t ≥ t0 dipende dallo statodel circuito per t = t0, x(t0) e dagli ingressi u(t) per t ≥ t0.

1Quindi risulta Nr ≤ 2l dove l e il numero di lati del circuito.

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Lo stato caratterizzato da valori nulli di tutte le variabili xi(t) e detto statozero. Questa situazione corrisponde a un valore nullo dell’energia accumulata neicomponenti dinamici del circuito. Se all’istante iniziale il circuito si trova nellostato zero, la sua risposta e detta risposta nello stato zero o risposta forzata. Evi-dentemente la risposta nello stato zero e determinata unicamente dall’andamentodegli ingressi.

Se per t ≥ t0 tutti gli ingressi sono nulli, la risposta del circuito e detta rispostacon ingresso zero o risposta libera. In questo caso la risposta dipende unicamentedallo stato all’istante iniziale, e quindi dall’energia inizialmente accumulata neicomponenti dinamici.

Proprieta Per un circuito dinamico lineare valgono le seguenti proprieta, checostituiscono la generalizzazione del teorema di sovrapposizione illustrato, nelcaso di circuiti resistivi, nel paragrafo 6.4.1.

• La risposta di un circuito dinamico lineare agli ingressi u(t), a partire dauno stato iniziale x(t0), e uguale alla somma della risposta nello stato zeroagli ingressi u(t) e della risposta con ingresso zero dallo stato iniziale x(t0).

• La risposta nello stato zero e una funzione lineare degli ingressi y(t).

• La risposta con ingresso zero e una funzione lineare dello stato iniziale x(t0).

Dimostrazione Queste proprieta possono essere dimostrate basandosi sul fattoche le risposte devono soddisfare il sistema delle equazioni del circuito, costituitodalle equazioni dei collegamenti e dei componenti, illustrato nel paragrafo 8.1.4.A differenza di quanto si e fatto in tale paragrafo, conviene riscrivere le equazio-ni dei componenti dinamici in forma integrale, in modo da rendere esplicita ladipendenza dai valori iniziali delle variabili di stato. Al posto delle (8.3)-(8.5) siconsidereranno quindi le equazioni

vk(t) = vk(t0) +1

Ck

∫ t

t0

ik(t′)dt′ (8.8)

per i condensatori,

ik(t) = ik(t0) +1

Lk

∫ t

t0

vk(t′)dt′ (8.9)

per gli induttori e

ik1(t) = ik1(t0) + Γk1

∫ t

t0

vk1(t′)dt′ + Γk1k2

∫ t

t0

vk2(t′)dt′

ik2(t) = ik2(t0) + Γk1k2

∫ t

t0

vk1(t′)dt′ + Γk2

∫ t

t0

vk2(t′)dt′

(8.10)

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per gli induttori accoppiati. Al fine di considerare il caso piu generale si assumache il vettore delle risposte includa tutte le tensioni e le correnti descrittive delcircuito.

La risposta nello stato zero, che sara indicata con ys0(t) e la soluzione delsistema che si ottiene, a partire dalle equazioni del circuito, azzerando i valoriiniziali delle variabili di stato x(t0), cioe le vk(t0) nelle equazioni del tipo (8.8) ele ik(t0) nelle equazioni del tipo (8.9)-(8.10).

La risposta con ingresso zero, che sara indicata con yi0(t) e la soluzione delsistema che si ottiene, a partire dalle equazioni del circuito, azzerando gli ingressiu(t), cioe le tensioni e le correnti dei generatori indipendenti che compaiono nelgruppo di equazioni relative ai componenti privi di memoria.

Quindi, sommando membro a membro i sistemi di equazioni soddisfatti days0(t) e yi0(t) e tenendo conto del fatto che tutte le equazioni sono lineari, sipuo riconoscere che la somma della risposta nello stato zero e della risposta coningresso zero, ys0(t) + yi0(t), e la soluzione delle equazioni del circuito con statoiniziale x(t0) e ingressi u(t) e cio prova che la somma della risposta nello statozero e della risposta con ingresso zero costituisce la risposta completa del circuito

y(t) = ys0(t) + yi0(t) (8.11)

Le altre due proprieta derivano anch’esse dalla linearita delle equazioni delcircuito e possono essere dimostrate seguendo un procedimento simile. In par-ticolare si puo riconoscere che la risposta con ingresso zero puo essere ottenutacome somma di tutte le risposte che corrispondono a ingressi nulli e a valori nullidi tutte le variabili di stato tranne una. Analogamente, con lo stesso procedi-mento, si puo riconoscere che la risposta nello stato zero puo essere ottenutasommando tutte le risposte che corrispondono a valori iniziali nulli delle variabilidi stato e a valori nulli di tutti gli ingressi tranne uno. �

Osservazioni

• A differenza di quanto avviene per i circuiti resistivi, nel caso dei circuitidinamici le risposte non sono dovute solo agli effetti dei generatori, maanche all’effetto dello stato iniziale.

• Nel caso della valutazione della risposta nello stato zero, e possibile ap-plicare la sovrapposizione degli effetti come nel caso dei circuiti resistivi,e quindi si puo esprimere la risposta come somma delle risposte ottenutefacendo agire un generatore alla volta e azzerando i rimanenti.

• Se il circuito all’istante iniziale e in uno stato x(t0) diverso dallo statozero, la risposta puo essere ottenuta sommando le risposte nello stato zerorelative ai singoli generatori e la risposta con ingresso zero a partire dallostato x(t0).

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8.1.6.2 Determinazione della risposta

Almeno in linea di principio, una particolare risposta yk(t) di un circuito dinamicodescritto dal sistema di equazioni differenziali illustrato nel paragrafo 8.1.4 puoessere determinata eliminando dal sistema, mediante sostituzioni e derivazioni,tutte le tensioni e le correnti del circuito tranne la yk stessa. Si puo dimostrareche in questo modo dal sistema si ottiene un’equazione differenziale lineare, dettaequazione risolvente, il cui ordine, N ′, risulta uguale (o in casi particolari minore)al numero N delle variabili di stato. Il termine noto di questa equazione ingenerale e dato da una combinazione lineare degli ingressi e di alcune loro derivaterispetto al tempo.

Per determinare la soluzione, si devono associare all’equazione differenzialeN ′ condizioni iniziali, rappresentate dai valori all’istante iniziale della funzioneincognita e delle sue derivate fino all’ordine N ′−1. Come sara illustrato is seguito(v. paragrafo 8.6.4 e paragrafo 8.6.3), queste informazioni possono sempre esserericavate a partire dai valori iniziali delle variabili di stato.

Si noti che, nel caso dei circuiti non degeneri, si ha una riduzione sia del nume-ro delle variabili di stato sia dell’ordine dell’equazione risolvente. Di conseguenzail numero di condizioni iniziali necessarie per la determinazione della soluzionenon supera il numero delle variabili di stato.

I casi in cui l’ordine N ′ risulta inferiore a N si verificano con configurazioniparticolari del circuito, tali da rendere nulla l’interazione tra alcune risposte ealcune variabili di stato.

Un esempio tipico e rappresentato dai circuiti in cui si possono individuaredue blocchi collegati in parallelo a un generatore indipendente di tensione, comenel circuito di fig. 8.2. In questo caso le tensioni e correnti della parte di circuitoposta a sinistra del generatore vG non dipendono dalla variabile vC , mentre quellerelative alla parte a destra del generatore vG non dipendono da iL.

v2

i2

vG

i1

v1

vL

vC

iL

iC

R2

R1

L

C

Figura 8.2: Esempio di circuito per cui la determinazione della risposta richiedela soluzione di un’equazione di ordine inferiore al numero delle variabili di stato.

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8.1.6.3 Componente transitoria e componente di regime

Come e noto (v. appendice A), il metodo generale per la risoluzione di un equa-zione differenziale lineare non omogenea si basa sulla determinazione di una solu-zione particolare dell’equazione e dell’integrale generale dell’equazione omogeneaassociata. La somma di questi termini costituisce l’integrale generale dell’equa-zione non omogenea e contiene un numero di costanti, da determinare imponendole condizioni iniziali, pari all’ordine dell’equazione stessa.

L’integrale generale dell’equazione omogenea associata e costituito da unacombinazione lineare di funzioni esponenziali del tipo eλkt, in cui λk e una solu-zione dell’equazione caratteristica. Se λk e una soluzione multipla, oltre a questefunzioni nell’integrale generale compaiono anche termini del tipo tmeλkt, con mcompreso tra 1 e l’ordine di molteplicita della soluzione meno 1.

Di conseguenza, se l’equazione caratteristica ha solo soluzioni reali negative ocomplesse coniugate con parte reale negativa, l’integrale generale dell’equazioneomogenea associata tende a zero per t tendente all’infinito. In queste condizioni,al crescere di t la soluzione tende ad identificarsi con la soluzione particolaredell’equazione non omogenea. Quest’ultima, nei casi di interesse pratico, coincidecon una funzione dello stesso tipo di quelle che descrivono l’andamento dellegrandezze impresse dei generatori, cioe degli ingressi del circuito.

In particolare, escludendo alcuni casi che saranno illustrati nel paragrafo 8.2,per un circuito con ingressi costanti l’equazione risolvente ammette una soluzionecostante. Analogamente, nel caso di ingressi sinusoidali aventi tutti la stessafrequenza, l’equazione in genere ammette una soluzione di tipo sinusoidale ancoracon la stessa frequenza. Se, infine, gli ingressi sono periodici e hanno tutti la stessafrequenza, l’equazione generalmente ammette una soluzione periodica avente lastesa frequenza.

Quindi, se la soluzione dell’equazione omogenea associata tende a zero alcrescere di t, il circuito tende a portarsi in una condizione di funzionamento nellaquale le risposte non risentono piu dello stato iniziale e hanno un andamentodipendente solo da quello degli ingressi. Questa condizione di funzionamento edetta condizione di regime. In particolare si parla di regime stazionario se tutte letensioni e le correnti sono costanti, di regime sinusoidale se sono tutte sinusoidalicon la stessa frequenza e di regime periodico se sono tutte periodiche con la stessafrequenza.

In questi casi la risposta puo essere suddivisa in due contributi, uno tendentea zero per t tendente ad infinito, detto componente transitoria, e uno permanente,detto componente di regime.

Proprieta Se il circuito contiene solo generatori indipendenti e componenti pas-sivi, le soluzioni dell’equazione caratteristica hanno necessariamente tutte partereale negativa o al piu nulla.

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Dimostrazione In primo luogo si osserva che le soluzioni dell’equazione omo-genea associata rappresentano anche le possibili risposte con ingresso zero delcircuito, cioe le risposte valutate con i generatori indipendenti azzerati. Se gliunici componenti attivi sono i generatori indipendenti, la risposta con ingressozero rappresenta la risposta di un circuito formato esclusivamente da elementipassivi.

Se l’equazione caratteristica ammettesse delle soluzioni con parte reale positi-va, le tensioni e le correnti del circuito tenderebbero a infinito al crescere di t. Inqueste condizioni anche le energie assorbite o erogate dai componenti tenderebbe-ro a ad infinito. Ma se tutti i componenti sono passivi questo non e possibile datoche nessuno dei componenti e in grado di erogare un’energia illimitata. Infatti icomponenti dinamici possono, al piu, erogare complessivamente una quantita dienergia pari a quella accumulata all’istante iniziale, mentre i componenti privi dimemoria non possono erogare energia.

In un circuito passivo senza generatori, l’energia inizialmente accumulata neicomponenti dinamici viene assorbita dai componenti resistivi e quindi sottrattaal circuito. Di conseguenza l’energia accumulata nel circuito tende a esaurirsial crescere di t e, quindi, anche tutte le tensioni e le correnti devono tenderea zero per t tendente ad infinito. Cio richiede che le soluzioni dell’equazionecaratteristica abbiano tutte parte reale negativa.

Se il circuito e formato solo da condensatori e induttori l’energia accumula-ta nel circuito viene scambiata tra i componenti ma complessivamente rimanecostante. In questo caso, le tensioni e le correnti non tendono a zero, ma simantengono limitate. Cio richiede che le soluzioni dell’equazione caratteristicaabbiano parte reale nulla.

Di conseguenza si puo concludere che le soluzioni dell’equazione caratteristi-ca possono avere parte reale positiva solo se nel circuito sono presenti, oltre aigeneratori indipendenti, altri componenti attivi, come ad esempio dei generatoridipendenti o dei resistori con resistenza negativa. �

8.2 Circuiti dinamici in regime stazionario

Come si e visto nel paragrafo precedente, si dice che un circuito e in condizionidi regime stazionario se tutte le tensioni e le correnti sono costanti nel tempo.In queste condizioni, per ogni condensatore presente nel circuito, dovendo esserecostante nel tempo la tensione, si ha

iC(t) = CdvCdt

= 0 (8.12)

mentre per ogni induttore, dovendo essere costante la corrente, risulta

vL(t) = LdiLdt

= 0 (8.13)

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vCiG

iC

C

Figura 8.3: Circuito che non ammette una soluzione particolare costante

Quindi in regime stazionario ogni condensatore si comporta come un circuitoaperto e ogni induttore come un cortocircuito.

Questo fatto suggerisce un semplice procedimento che consente di determina-re direttamente la soluzione particolare di tipo stazionario senza fare uso delleequazioni differenziali. Infatti, applicando il teorema di sostituzione, e possibiledeterminare i valori corrispondenti alla soluzione stazionaria di tutte le tensionie correnti risolvendo il circuito che si ottiene sostituendo

• i condensatori con dei circuiti aperti;

• gli induttori con dei cortocircuiti.

Questo procedimento non e applicabile quando la sostituzione da luogo a circuitiimpossibili o indeterminati. Nel primo caso il circuito non ammette una soluzionedi tipo stazionario, nel secondo ne ammette infinite, quindi per determinare ilregime a cui tende il circuito e necessario studiare la risposta completa.

Queste situazioni si verificano, ad esempio, se nel circuito sono presenti tagliformati da condensatori e, eventualmente, generatori di corrente (detti breve-mente tagli di condensatori) o maglie formate da induttori e, eventualmente,generatori di tensione (dette maglie di induttori).

Un esempio di circuito che non ammette la soluzione stazionaria e riportatoin fig. 8.3. In questo caso il generatore impone un valore costante alla correntedel condensatore, e quindi alla derivata della sua tensione. Di conseguenza latensione ai capi del condensatore cresce linearmente con t.

vG vG

i iiL1

iL1

iL2

iL2

R R

L1 L2 �

Figura 8.4: Circuito che ammette infinite soluzioni particolari costanti

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In fig. 8.4 e riportato, invece, un circuito che ammette infinite soluzioni di tipostazionario. In questo caso e determinato il valore complessivo i della correntenei due induttori, ma una qualunque coppia di valori di corrente negli induttorila cui somma dia i e compatibile con le equazioni del circuito.

8.3 Circuiti elementari del primo ordine

8.3.1 Circuito RC con generatore di tensione

Si consideri il circuito rappresentato in fig. 8.5. Si vogliono determinare gli anda-menti delle tensioni e correnti a partire da un istante iniziale che per semplicita siassume coincidente con l’istante t = 0. Si assuma, inoltre che sia R > 0 e C > 0.

Equazione risolvente Le correnti nel condensatore e nell’induttore sono ugualie possono essere espresse in funzione di vC(t) nel modo seguente

iR(t) = iC(t) = CdvCdt

(8.14)

Inoltre, per la LKV, si ha

vR(t) + vC(t) = vG(t) (8.15)

cioe

RiR(t) + vC(t) = vG(t) (8.16)

quindi si ottiene l’equazione differenziale

RCdvCdt

+ vC(t) = vG(t) (8.17)

vR

iR

vCvG

iCR

C

Figura 8.5: Circuito RC

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La (8.17) consente di determinare la tensione vC(t), nota la quale si puo ricavare lacorrente comune ai componenti mediante la relazione costitutiva del condensatoree la tensione vR(t) mediante la LKV.

Il procedimento illustrato, che conduce ad un’equazione differenziale nellafunzione incognita vC(t), non rappresenta l’unico modo in cui si puo risolve-re il circuito. In alternativa, ad esempio, e possibile esprimere le tensioni deicomponenti in funzione della corrente del condensatore

vR(t) = RiC(t) (8.18)

vC(t) = vC(0) +1

C

∫ t

0

iC(t′)dt′ (8.19)

Quindi, facendo uso della LKV, si ottiene l’equazione integro-differenziale

RiC(t) + vC(0) +1

C

∫ t

0

iCt′dt′ = vG(t) (8.20)

Derivando rispetto al tempo il primo e il secondo membro di questa equazione,si ottiene, infine, l’equazione differenziale

RdiCdt

+1

CiC(t) =

dvGdt

(8.21)

Questa equazione consente di ricavare iC(t), nota la quale si possono determinarele tensioni mediante le equazioni dei componenti.

Condizione iniziale Per determinare la tensione vC(t) tramite la (8.17) occorreassociare a questa equazione una condizione iniziale del tipo

vC(0) = V0 (8.22)

cioe occorre conoscere il valore all’istante iniziale della tensione del condensatore.Per risolvere la (8.21) occorre il valore iniziale della corrente del condensatore.

Anche questa informazione puo essere ottenuta a partire dal valore iniziale dellatensione del condensatore, infatti risulta

iC(0) =vG(0)− V0

R(8.23)

8.3.2 Circuito RL con generatore di corrente

Si consideri il circuito rappresentato in fig. 8.6. Si vogliono determinare gli anda-menti delle tensioni e correnti a partire da un istante iniziale che per semplicita siassume coincidente con l’istante t = 0. Si assuma, inoltre che sia R > 0 e L > 0.

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vRiG

iR

vL

iL

R L

A

B

Figura 8.6: Circuito RL

Equazione risolvente Applicando la LKI al nodo A si ottiene le seguente rela-zione tra le correnti nei componenti

iR(t) + iL(t) = iG(t) (8.24)

Mediante le relazioni costitutive, tenendo conto del fatto che le tensioni deicomponenti sono uguali, si possono esprimere iL e iR in funzione di vL

vL(t) = LdiLdt

(8.25)

iR(t) =vR(t)

R=

L

R

diLdt

(8.26)

Quindi, sostituendo queste espressioni nell’equazione del nodo, si ottiene l’equa-zione differenziale

L

R

diLdt

+ iL(t) = iG(t) (8.27)

Questa equazione consente di determinare la corrente iL(t), nota la quale si puoricavare la tensione comune all’induttore e al resistore mediante la (8.25) e lacorrente nel resistore mediante la LKI.

Anche in questo caso si puo risolvere il circuito seguendo procedimenti diversi.Ad esempio, e possibile esprimere le correnti dei componenti in funzione dellatensione del l’induttore

iR(t) =1

RvL(t) (8.28)

iL(t) = iL(0) +1

L

∫ t

0

vL(t′)dt′ (8.29)

Quindi, facendo uso della LKI, si ottiene l’equazione integro-differenziale

1

RvL(t) + iL(0) +

1

L

∫ t

0

vLt′dt′ = iG(t) (8.30)

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Derivando rispetto al tempo il primo e il secondo membro di questa equazione,si ottiene, infine, l’equazione differenziale

1

R

dvLdt

+1

LvL(t) =

diGdt

(8.31)

Condizione iniziale Per risolvere la (8.27) si deve imporre una condizione ini-ziale del tipo

iL(t0) = I0 (8.32)

quindi occorre conoscere il valore iniziale della corrente nell’induttore.Per risolvere la (8.31) occorre il valore iniziale della tensione dell’induttore.

Anche questa informazione puo essere ottenuta a partire dal valore iniziale dellacorrente dell’induttore, infatti risulta

vL(0) = R(iG(0)− I0) (8.33)

8.3.3 Risposta di un circuito del primo ordine

Per i circuiti RL e RC si sono ottenute delle equazioni differenziali del primoordine che possono essere poste nella forma canonica

dy

dt+

1

τy(t) = u(t) (8.34)

La costante τ e indicata con il nome di costante di tempo del circuito. Nelcaso del circuito RC si ha

τ = RC (8.35)

mentre per il circuito RL si ottiene

τ =L

R(8.36)

Si puo verificare che τ ha le dimensioni di un tempo, infatti nei due casi in esamerisulta

[resistenza]× [capacita] =[tensione]

[corrente]× [carica]

[tensione]= [tempo]

e

[induttanza]

[resistenza]=

[flusso]

[corrente]× [corrente]

[tensione]= [tempo]

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L’integrale generale della (8.34) puo essere ottenuto come somma dell’integralegenerale dell’equazione omogenea associata

yH(t) = ke−tτ (8.37)

e di una soluzione particolare dell’equazione, che sara indicata con yp(t)

y(t) = ke−tτ + yp(t) (8.38)

La costante k si determina imponendo la condizione iniziale

y(0) = Y (0) (8.39)

quindi si ha

ke−0τ + yp(0) = Y0 ⇒ k = Y0 − yp(0) (8.40)

e di conseguenza la soluzione e

y(t) = (Y0 − yp(0))e− t

τ + yP (t) (8.41)

Nell’ipotesi che i parametri R, L e C siano positivi, per i circuiti RC e RL risultaτ > 0, quindi il primo addendo nella (8.41) rappresenta la componente transitoriadella risposta, mentre il secondo addendo rappresenta la componente di regime.

Di seguito si prenderanno in esame i casi in cui i generatori, e quindi i termininoti delle equazioni, sono costanti o sinusoidali

8.3.3.1 Generatori costanti

In questo caso il termine noto e costante, quindi l’equazione ammette una solu-zione particolare costante

yP (t) = YP (8.42)

e, di conseguenza, la soluzione dell’equazione differenziale e

y(t) = (Y0 − YP )e− t

τ + YP (8.43)

Nel caso delle (8.17) e (8.27) si puo osservare che le soluzioni particolari coin-cidono, rispettivamente, con la tensione costante e con la corrente costante dalgeneratore (che saranno indicate con i simboli VG e IG). Quindi si ottiene

vC(t) = (V0 − VG)e− t

RC + VG (8.44)

e

iL(t) = (I0 − IG)e−R

Lt + IG (8.45)

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Per quanto riguarda le (8.21) e (8.31), se i generatori sono costanti i termininoti sono nulli, quindi anche le soluzioni particolari sono nulle. In questo caso lesoluzioni delle equazioni differenziali sono

iC(t) = iC(0)e− t

RC =VG − V0

Re−

tRC (8.46)

e

vL(t) = vL(0)e−R

Lt = R(IG − I0)e

−RLt (8.47)

Nelle espressioni delle risposte (8.44)-(8.47) e possibile mettere in evidenzaun termine dipendente dal valore all’istante iniziale della variabile di stato e untermine dipendente dal generatore

vC(t) = V0e− t

RC + VG

[1− e−

tRC

](8.48)

iL(t) = I0e−R

Lt + IG

[1− e−

RLt]

(8.49)

iC(t) = − 1

RV0e

− tRC +

1

RVGe

− tRC (8.50)

vL(t) = −RI0e−R

Lt +RIGe

−RLt (8.51)

In questo caso, il primo addendo, che e funzione solo dello stato iniziale e nondipende dall’ingresso, rappresenta la risposta con ingresso zero, mentre il secondoaddendo, che e funzione solo dell’ingresso, rappresenta la risposta nello stato zero.

L’andamento della risposta di un circuito del primo ordine con generatoricostanti e del tipo rappresentato nel grafico di fig. 8.7, nel quale sono mostrati icasi in cui il valore iniziale e maggiore o minore del valore di regime (se il valoreiniziale e il valore di regime coincidono, evidentemente y(t) e costante per t ≥ 0).

La costante di tempo τ definisce la rapidita con cui la componente transitoriadella risposta tende a zero. Osservando l’andamento della funzione e−

tτ , si puo

verificare che, ai fini pratici, la componente transitoria puo essere consideratatrascurabile dopo un tempo pari ad alcune costanti di tempo. Ad esempio, inun tempo pari a 5τ la componente transitoria si riduce a meno dell’1% del suovalore iniziale (tabella 8.1) e in un tempo pari a 7τ a meno dell’1 per mille.

Si puo verificare, inoltre, che la retta tangente per t = 0 alla curva che rappre-senta l’andamento di y(t) raggiunge il valore asintotico YP per t = τ , cioe dopoun tempo τ a partire dall’istante iniziale. Infatti risulta

y(0) +dy

dt

∣∣∣∣t=0

· τ = Y0 − Y0 − YPτ

· τ = YP (8.52)

Fino a questo punto si e fatto riferimento al caso in cui i parametri R, L e Csono positivi, come avviene per resistori, induttori e condensatori fisici. In pre-senza di resistori, condensatori o induttori attivi la costante di tempo puo essere

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negativa. In questo caso i termini esponenziali nelle risposte non si annullanoper t tendente ad infinito, ma tendono anch’essi ad infinito. Quindi il circuitonon tende ad una condizione di regime. L’andamento della risposta in questecondizioni e del tipo rappresentato nel grafico di fig. 8.8, nel quale sono mostratii casi in cui il valore iniziale e maggiore o minore della soluzione particolare (chein queste condizioni non puo essere chiamata valore di regime).

8.3.3.2 Generatori sinusoidali

Se le grandezze impresse dei generatori sono sinusoidali

vG(t) = VM cosωt (8.53)

iG(t) = IM cosωt (8.54)

i termini noti delle equazioni differenziali (8.17) e (8.27) sono funzioni sinusoidalidel tipo

f(t) = FM cosωt (8.55)

mentre nelle (8.21) e (8.31) sono del tipo

f(t) = FM senωt (8.56)

In tutti i casi il termine noto e una funzione sinusoidale di pulsazione ω, quindil’equazione ammette una soluzione particolare del tipo

yP (t) = YPM cos(ωt+ ϑ) (8.57)

In seguito si fara riferimento al caso in cui il termine noto e espresso dalla (8.55),nell’altro caso la soluzione particolare si ricava in modo analogo.

Inserendo l’espressione di yP (t) nell’equazione differenziale si ottiene

−ωYPM sen(ωt+ ϑ) +1

τYPM cos(ωt+ ϑ) = FM cosωt (8.58)

cioe

− ωYPM senϑ cosωt− ωYPM cosϑ senωt+

+1

τYPM cosϑ cosωt− 1

τYPM senϑ senωt = FMcosωt

(8.59)

Imponendo che i termini in cosωt e in senωt a primo e secondo membro sianouguali, si ricava il sistema

−ωYPM cosϑ− 1

τYPM senϑ = 0

1

τYPM cosϑ− ωτ senϑ = FM

(8.60)

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0

Y0

Y Y0 � P

Y Y0 � P

YP

Y0

2 3 4 5 6 7

y t� �

t

Figura 8.7: Risposta di un circuito del primo ordine con ingresso costante

t 0 τ 2τ 3τ 4τ 5τ 6τ 7τ

e−tτ 1.000 0.368 0.135 0.050 0.018 0.0067 0.0025 0.00091

Tabella 8.1: Andamento di e−tτ

0

Y Y0 � P

Y Y0 � P

YP

y t� �

Figura 8.8: Risposta di un circuito del primo ordine con τ < 0

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cioe, risolvendo rispetto a VPM cosϑ e VPM senϑ

YPM cosϑ =τFM

1 + ω2τ 2

YPM senϑ = − ωτ 2FM1 + ω2τ 2

(8.61)

Pertanto si ha

YPM =

√(τFM)2

(1 + ω2τ 2)2+

(ωτ 2FM)2

(1 + ω2τ 2)2=

τFM√1 + ω2τ 2

(8.62)

e cosϑ =

1√1 + ω2τ 2

senϑ = − ωτ√1 + ω2τ 2

(8.63)

da cui

ϑ = arctg(−ωτ) = − arctgωτ (8.64)

La soluzione dell’equazione differenziale e quindi

y(t) = (Y0 − YPM cosϑ)e−tτ + YPM cos(ωt+ ϑ) =

=Y0(1 + ω2τ 2)− τFM

1 + ω2τ 2e−

tτ +

τFM√1 + ω2τ 2

cos [ωt− arctg(ωτ)](8.65)

Dato che, per il circuito RC e per il circuito RL f(t) si identifica, a meno diun fattore τ con la grandezza impressa del generatore le espressioni di vC(t) eiL(t)sono rispettivamente

vC(t) =V0(1 + ω2τ 2)− VM

1 + ω2τ 2e−

tτ +

VM√1 + ω2τ 2

cos [ωt− arctg(ωτ)] (8.66)

iL(t) =I0(1 + ω2τ 2)− IM

1 + ω2τ 2e−

tτ +

IM√1 + ω2τ 2

cos [ωt− arctg(ωτ)] (8.67)

Nell’ipotesi che τ sia positivo), per t tendente ad infinito il circuito tendead una condizione di regime sinusoidale, cioe ad una condizione in cui tutte letensioni e le correnti hanno andamento di tipo sinusoidale con la stessa pulsazioneω del generatore. L’andamento della risposta e quindi del tipo rappresentato infig. 8.9.

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0

V0

2 3 4 5 6 7

v tC� �

t t� 0

Figura 8.9: Risposta di un circuito del primo ordine con ingresso sinusoidale

8.4 Metodo semplificato per l’analisi di circuiti delprimo ordine

Lo studio di un circuito lineare contenente, oltre a componenti resistivi, un soloinduttore o un solo condensatore richiede la soluzione di un’equazione differenzialedel primo ordine.

In generale l’equazione risolvente puo essere ottenuta scrivendo le equazionidei componenti e dei collegamenti per il circuito in esame ed eliminando tuttele variabili diverse dalla risposta che si vuole determinare. In alternativa, unmetodo che in genere consente di semplificare la risoluzione del circuito e quelloesposto nei paragrafi seguenti.

8.4.1 Circuito con un solo condensatore

Si consideri dapprima un circuito lineare formato da un condensatore e da al-tri componenti privi di memoria (fig. 8.10a). Se la parte resistiva del circuitoammette la rappresentazione equivalente di Thevenin, e possibile ricondurre lostudio del circuito in esame a quello di circuito RC elementare (fig. 8.10b), la cuiequazione, in termini di vC e

ReqCdvCdt

+ vC = veq(t) (8.68)

Se, in particolare, la tensione del generatore equivalente e costante (cosa cheavviene se i generatori del circuito assegnato sono costanti)

veq(t) = Veq (8.69)

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veqvCvC

iCiC

Req

CC �

a) b)

Componentiresistivi

+generatori

indipendenti

Figura 8.10: Applicazione del teorema di Thevenin allo studio di circuiti con unsolo condensatore

la soluzione e

vC(t) = (V0 − Veq)e− t

τ + Veq (8.70)

dove

τ = ReqC (8.71)

Quindi, se Req e positivo, la tensione del condensatore tende asintoticamente, concostante di tempo ReqC, ad un valore di regime rappresentato da Veq.

Nota la tensione vC(t), la corrente del condensatore puo essere ottenuta facen-do uso della relazione costitutiva, mentre il calcolo delle altre tensioni e correntipuo essere ricondotto allo studio di un circuito privo di memoria. Infatti, per ilteorema di sostituzione, il condensatore puo essere sostituito con un generatoredi tensione, a questo punto nota, vC(t).

8.4.2 Circuito con un solo induttore

In modo analogo a quanto visto nel paragrafo 8.4.1, un circuito lineare formatoda un induttore e da componenti privi di memoria puo essere semplificato comeindicato in fig. 8.11 se il bipolo visto dall’induttore ammette il circuito equivalentedi Norton.

In questo caso la corrente dell’induttore e soluzione dell’equazione differenziale

L

Req

diLdt

+ iL = ieq(t) (8.72)

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ieqvLvL

iLiL

ReqLL

Componentiresistivi

+generatori

indipendenti

�

a) b)

Figura 8.11: Applicazione del teorema di Norton allo studio di circuiti con unsolo induttore

Quindi, se in particolare ieq e costante

ieq(t) = Ieq (8.73)

la soluzione e

iL(t) = (I0 − Ieq)e− t

τ + Ieq (8.74)

dove

τ =L

Req

(8.75)

Pertanto iL tende con costante di tempo L/Req ad un valore di regime rappre-sentato da Ieq.

Nota iL le altre tensioni e correnti possono essere determinate studiando ilcircuito ottenuto sostituendo all’induttore un generatore di corrente.

Osservazioni

• Se la parte resistiva del circuito contiene generatori dipendenti e possibileche la resistenza Req risulti negativa. In questo caso, come si e visto, l’e-sponenziale non si annulla per t tendente ad infinito, ma tende anch’essa ainfinito.

• Se il bipolo collegato al condensatore in fig. 8.10a equivale ad un genera-tore di corrente, e quindi non ammette la rappresentazione equivalente diThevenin, la tensione vC(t) e soluzione dell’equazione differenziale

CdvCdt

= iG(t) (8.76)

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In particolare se la corrente del generatore e costante si ha

iG(t) = IG (8.77)

e quindi

vC(t) = V0 +1

C

∫ t

t0

IGdt′ = V0 +

1

CIG(t− t0) (8.78)

Pertanto la tensione del generatore cresce linearmente nel tempo e, diconseguenza, in questo caso il circuito non tende ad una condizione diregime.

• Analogamente, se il bipolo collegato all’induttore in fig. 8.11a equivale adun solo generatore di tensione e, quindi, non ammette la rappresentazioneequivalente di Norton, la corrente iL e soluzione dell’equazione

LdiLdt

= vG(t) (8.79)

e in particolare se vG e costante

vG(t) = VG (8.80)

si ottiene

iL(t) = I0 +1

L

∫ t

t0

VGdt′ = I0 +

1

LVG(t− t0) (8.81)

quindi la corrente iL(t) cresce linearmente nel tempo.

8.5 Circuiti elementari del secondo ordine

8.5.1 Circuito RLC serie

Si consideri il circuito rappresentato in fig. 8.12. Si vuole determinare l’andamentodelle tensioni e delle correnti a partire da un istante iniziale che, per semplicita,si assume coincidente con l’istante t = 0. Si assume inoltre che i parametri R, Le C siano tutti positivi.

Equazione risolvente Si osserva che tutti i componenti sono percorsi dallastessa corrente i(t)

i(t) = iC(t) = iL(t) = iR(t) (8.82)

Inoltre per la LKV si ha

vR(t) + vL(t) + vC(t) = vG(t) (8.83)

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vR

vC

iR

iC

vLvG

iLR

C

L

Figura 8.12: Circuito RLC serie

Mediante le equazioni dei componenti si possono esprimere tutte le tensioni infunzione di vC(t)

i(t) = CdvCdt

(8.84)

vR(t) = Ri(t) = RCdvCdt

(8.85)

vL(t) = Ldi

dt= LC

d2vCdt2

(8.86)

Inserendo queste espressioni nell’equazione della maglia si ottiene un’equazionedifferenziale del secondo ordine

LCd2vCdt2

+RCdvCdt

+ vC(t) = vG(t) (8.87)

Questa equazione consente di determinare vC(t), nota la quale le altre tensionie la corrente i(t) possono essere calcolate mediante le equazioni (8.84), (8.85) e(8.86).

In alternativa si puo formulare un’equazione risolvente in i(t). Infatti sipossono esprimere tutte le tensioni in funzione di i(t) nel modo seguente

vR(t) = Ri(t) (8.88)

vL(t) = Ldi

dt(8.89)

vC(t) = vC(0) +1

C

∫ t

0

i(t′)dt′ (8.90)

Inserendo queste espressioni nell’equazione della maglia si ha quindi

Ldi

dt+Ri(t) +

1

C

∫ t

0

i(t′)dt′ = vG(t)− vC(0) (8.91)

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In questo caso si e ottenuta un’equazione integro-differenziale che puo esserericondotta ad un’equazione differenziale derivando il primo e il secondo membrorispetto al tempo

Ld2i

dt2+R

di

dt+

1

Ci(t) =

dvGdt

(8.92)

Questa equazione consente di ricavare i(t), nota la quale si possono calcolare letensioni mediante le equazioni dei componenti.

Condizioni iniziali Per determinare la soluzione dell’equazione (8.87) o dell’e-quazione (8.92), occorre associare ad esse delle condizioni iniziali rappresentatedal valore all’istante iniziale della funzione incognita e della sua derivata.

Si puo verificare che, in entrambi i casi, le condizioni iniziali possono esseredeterminate se si conoscono i valori per t = 0 della tensione del condensatore edella corrente dell’induttore

vC(0) = V0 (8.93)

iL(0) = I0 (8.94)

Per quanto riguarda la derivata di vC(t), dato che tale tensione e legata dalla(8.84) alla corrente i(t), che coincide con quella dell’induttore, vale la relazione

dvCdt

=1

Ci(t) (8.95)

e quindi il valore per t = 0, che sara indicato in con V ′0 , e

V ′0

�=

dvCdt

∣∣∣∣t=0

=1

CiC(0) =

I0

C(8.96)

Analogamente la derivata della corrente dell’induttore e data da

diLdt

=1

LvL(t) (8.97)

Dalla (8.83) si ricava che la tensione dell’induttore e

vL(t) = vG(t)− vR(t)− vC(t) (8.98)

Quindi, inserendo questa espressione nella (8.97), si ottiene

I ′0�=

diLdt

∣∣∣∣t=0

=1

LvL(0) =

vG(0)−RI0 − V0

L(8.99)

In conclusione, le condizioni da associare alla (8.87) sono rappresentate dalle(8.93) e (8.96), mentre le condizioni da associare alla (8.92) sono rappresentatedalle (8.94) e (8.99).

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8.5.2 Circuito RLC parallelo

Si consideri il circuito rappresentato in fig. 8.13. Anche in questo si vuole deter-minare l’andamento delle tensioni e delle correnti a partire da un istante inizialeche, per semplicita, si assume coincidente con l’istante t = 0. Come nel casoprecedente si assume che i parametri R, L e C siano positivi.

Equazione risolvente Tutti i componenti sono sottoposti alla stessa tensione

vR(t) = vL(t) = vC(t) = v(t) (8.100)

inoltre, per la LKI si ha:

iR(t) + iL(t) + iC(t) = iG(t) (8.101)

Mediante le equazioni dei componenti e possibile esprimere tutte le correnti infunzione di iL(t)

v(t) = LdiLdt

(8.102)

iR(t) =1

Rv(t) =

L

R

diLdt

(8.103)

iC(t) = CdvCdt

= LCd2iLdt2

(8.104)

quindi di ottiene

LCd2iLdt2

+L

R

diLdt

+ iL(t) = iG(t) (8.105)

In alternativa si possono esprimere tutte le correnti in funzione di v(t) e inseri-re le espressioni nell’equazione del nodo A. In questo modo si ottiene l’equazioneintegro-differenziale

Cdv

dt+

1

Rv(t) +

1

L

∫ t

0

v(t′)dt′ = iG(t)− iL(0) (8.106)

vRiG

iR

vL vC

iL iC

R L C

A

B

Figura 8.13: Circuito RLC parallelo

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e quindi, derivando primo e secondo membro rispetto a t, l’equazione differenziale

Cd2v

dt2+

1

R

dv

dt+

1

Lv(t) =

diGdt

(8.107)

Condizioni iniziali Anche in questo caso le condizioni iniziali da associare alla(8.105) o alla (8.107) possono essere determinate a partire dai valori iniziali divC(t) e di iL(t) (indicati, rispettivamente con V0 e I0). Infatti valgono le relazioni

I ′0�=

diLdt

∣∣∣∣t=0

=1

LvL(0) =

V0

L(8.108)

e

V ′0

�=

diCdt

∣∣∣∣t=0

=1

CvC(0) =

iG(0)− V0

R− I0

C(8.109)

8.5.3 Risposta di un circuito del secondo ordine

Equazione differenziale Per i circuiti RLC serie e RLC parallelo si sono otte-nute delle equazione differenziali del secondo ordine che possono essere espressenella forma canonica

d2y

dt2+ 2α

dy

dt+ ω2

0y = F (t) (8.110)

I parametri α e ω0 sono detti rispettivamente coefficiente di smorzamentoe pulsazione naturale. Per il circuito RLC serie i parametri sono definiti dellerelazioni

α =R

2L(8.111)

ω20 =

1

LC(8.112)

mentre per il circuito RLC parallelo si ha

α =1

2RC(8.113)

ω20 =

1

LC(8.114)

Nell’ipotesi che i parametri dei componenti R, L e C siano positivi anche α e ω20

risultano positive.

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Risoluzione dell’equazione L’integrale generale dell’equazione differenziale sidetermina combinando una sua soluzione particolare con l’integrale generale del-l’equazione omogenea associata.

Soluzione particolare Per quanto riguarda la soluzione particolare, nei casidi interesse pratico e possibile cercare una funzione dello stesso tipo del terminenoto. I casi piu significativi sono quelli in cui la tensione del generatore e costanteo sinusoidale.

• Se il circuito e alimentato da un generatore di costante il termine noto F (t) ecostante, in questo caso l’equazione differenziale generalmente ammette unasoluzione costante. Per la (8.87) e la (8.105) si puo notare che la soluzioneparticolare coincide con la grandezza impressa del generatore, cioe si harispettivamente

vCP (t) = VG (8.115)

e

iLP (t) = IG (8.116)

Nel caso della (8.92) e della (8.107) se il generatore e costante il terminenoto e nullo, cioe l’equazione e omogenea, quindi la soluzione particolare enulla.

• Se il circuito e alimentato da un generatore sinusoidale con pulsazione ω,i termini noti delle equazioni differenziali sono sinusoidali con pulsazio-ne ω. Quindi le equazioni ammettono soluzioni particolari sinusoidali conpulsazione ω.

Per determinare queste soluzioni si puo procedere per sostituzione, comesi e visto per l’esempio del paragrafo 8.3.3.2, tuttavia questo procedimentogeneralmente risulta gravoso. Un metodo piu efficiente per il calcolo di unasoluzione particolare sinusoidale sara illustrato nel capitolo 9.

In seguito la soluzione particolare sara indicata con yp(t) e si impiegheranno isimboli YP0 e Y ′

P0 per indicare il suo valore e quello della sua derivata all’istantet = 0.

Integrale generale dell’equazione omogenea associata L’integrale generaledell’equazione omogenea associata si determina risolvendo l’equazione caratteri-stica

λ2 + 2αλ+ ω20 = 0 (8.117)

Si possono distinguere tre casi, a seconda del valore del discriminante

∆ = α2 − ω20 (8.118)

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t

y t� �

YP

Y k eP1 2� 2

�� t�k e1

�� t

k e1

�� t1

k e2

��2t

0

Y0

Figura 8.14: Risposta di un circuito del secondo ordine con generatori costanti.Caso sovrasmorzato

t

y t� �

YP

Y k eP1 2� 2

�� t�k e1

�� t

k e1

�� t1

k e2

��2t

0

Y0

Figura 8.15: Risposta di un circuito del secondo ordine con generatori costanti.Caso sovrasmorzato

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Caso n◦ 1: ∆ > 0 (α2 > ω20) In queste condizioni si dice che il circuito e

sovrasmorzato. L’equazione caratteristica ammette due soluzioni reali distintedel tipo

λ1, λ2 = −α±√

α2 − ω20 = −α± αd =

↗↘

−α1

−α2

(8.119)

dove si e posto

αd =√

α2 − ω20 (8.120)

Si noti che, essendo ω20 > 0, risulta αd < α e di conseguenza le soluzioni sono

negative. L’integrale generale dell’equazione omogenea e quindi dato da

yH(t) = k1e−α1t + k2e

−α2t (8.121)

pertanto, l’integrale generale dell’equazione non omogenea e

yG(t) = k1e−α1t + k2e

−α2t + yP (t) (8.122)

Imponendo le condizioni iniziali e tenendo conto del fatto che

dyGdt

= −α1k1e−α1t − α2k2e

−α2t +dyPdt

(8.123)

si ottiene{k1 + k2 = Y0 − YP0

−α1k1 − α2k2 = Y ′0 − Y ′

P0

(8.124)

quindi le costanti k1 e k2 valgono

k1 =Y ′

0 − Y ′P0 + α2(Y0 − YP0)

α2 − α1

k2 =Y ′

0 − Y ′P0 + α1(Y0 − YP0)

α1 − α2

(8.125)

In fig. 8.14 e fig. 8.15 sono riportati due possibili andamenti della soluzione,corrispondenti a valori diversi dei parametri del circuito e delle condizioni iniziali,relativi al caso in cui i generatori sono costanti. Per t tendente a infinito, larisposta tende asintoticamente al valore XP che rappresenta la componente diregime.

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t

y t� �

YP

k e1

��tk te2

��t

Y k teP � 2

��t�k e1

��t

0

Y0

Figura 8.16: Risposta di un circuito del secondo ordine con generatori costanti.Caso con smorzamento critico

t

y t� �

YP

k e1

��t

k te2

��t

Y k teP � 2

��t�k e1

��t

0

Y0

Figura 8.17: Risposta di un circuito del secondo ordine con generatori costanti.Caso con smorzamento critico

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Caso n◦ 2: ∆ = 0 (α2 = ω20) In questo caso si dice che il circuito e in condizioni

di smorzamento critico.L’equazione caratteristica ammette due soluzioni reali negative coincidenti

λ1 = λ2 = −α (8.126)

Quindi l’integrale generale dell’equazione omogenea associata e

yH(t) = k1e−αt + k2te

−αt (8.127)

e l’integrale generale dell’equazione non omogenea e

yG(t) = k1e−αt + k2te

−αt + yP (t) (8.128)

Imponendo le condizioni iniziali e tenendo conto del fatto che

dyGdt

= −αk1e−αt + k2e

−αt − αk2te−αt +

dyPdt

(8.129)

si ottiene{k1 = Y0 − YP0

−αk1 + k2 = Y ′0 − Y ′

P0

(8.130)

Quindi le costanti k1 e k2 valgono

k1 = Y0 − YP0

k2 = Y ′0 − Y ′

P0 + α(Y0 − YP0)(8.131)

In fig. 8.16 e fig. 8.17 sono riportati degli esempi di andamenti della soluzione,sempre nel caso in cui il generatore e costante, corrispondenti a valori diversidei parametri del circuito e delle condizioni iniziali. Anche in questo caso, per ttendente a infinito, la soluzione tende asintoticamente al valore di regime YP .

Caso n◦ 3: ∆ < 0 (α2 < ω20) In questo caso si dice che il circuito e sottosmor-

zato.In queste condizioni si hanno due soluzioni complesse coniugate con parte

reale negativa del tipo

λ1, λ2 = −α± j√

ω20 − α2 = −α± jωd (8.132)

in cui si e posto

ωd�=√

ω20 − α2 (8.133)

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Quindi l’integrale generale dell’equazione omogenea associata e

yH(t) = Ae−αt cos(ωdt+ ϕ) (8.134)

mentre l’integrale dell’equazione non omogenea e

yG(t) = Ae−αt cos(ωdt+ ϕ) + yP (t) (8.135)

Imponendo le condizioni iniziali e tenendo conto della relazione

dyGdt

= −αAe−αt cos(ωdt+ ϕ)− ωdAe−αt sen(ωdt+ ϕ) +dyPdt

(8.136)

si ottiene che le costanti A e ϕ sono soluzione del sistema{A cosϕ+ YP = Y0

−αA cosϕ− ωdA senϕ+ Y ′P0 = Y ′

0

(8.137)

cioe

A cosϕ = Y0 − YP

A senϕ =Y ′P0 − Y ′

0 − α(Y0 − YP )

ωd

(8.138)

L’andamento della soluzione, nel caso in cui il generatore e costante, e del tiporappresentato in fig. 8.18. In questo caso si ha un’oscillazione con pulsazione datada ωd, la cui ampiezza decresce con legge esponenziale, quindi per t tendenteall’infinito la risposta y(t) tende al valore di regime YP .

t

y t� �

YP

YP�A YP�Ae��t

Ae t��t

cos( )� �� YP

YP�Ae��t

YP�A

0

Y0

Figura 8.18: Risposta di un circuito del secondo ordine con generatori costanti.Caso sottosmorzato

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vL

iL

vCvG

iCL

C

Figura 8.19: circuito LC serie

8.5.4 Circuiti LC serie e LC parallelo

Se si annulla la resistenza R il circuito RLC serie si riduce al circuito LC serierappresentato in fig. 8.19. Analogamente, facendo tendere a infinito la resistenzaR nel circuito RLC parallelo si ottiene il circuito LC parallelo rappresentato infig. 8.20. In entrambi i casi, come mostrano le (8.111) e (8.113) il parametroα si annulla. In queste condizioni il discriminante dell’equazione caratteristica enegativo e le soluzioni dell’equazione caratteristica sono immaginarie coniugate

λ1 = λ2 = ±jω0 (8.139)

Quindi l’integrale dell’equazione omogenea associata e

yH(t) = A cos(ω0t+ ϕ) (8.140)

e l’integrale generale dell’equazione completa e

yG(t) = A cos(ω0t+ ϕ) + yp(t) (8.141)

iG vL vC

iL iC

L C

Figura 8.20: circuito LC parallelo

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t

y t� �

YP

YP�A

YP�A

0

Y0

A tcos( )� �� YP

Figura 8.21: Risposta di un circuito LC con generatore costante

Le costanti A e ϕ si determinano come nel caso sottosmorzato imponendo lecondizioni iniziali, in particolare si ottiene

A cosϕ = Y0 − YP0

A senϕ =Y ′P0 − Y ′

0

ω0

(8.142)

In questo caso l’andamento di y(t), nell’ipotesi che il generatore sia costante, edel tipo rappresentato in fig. 8.21, cioe e costituito da un’oscillazione sinusoidalecon pulsazione

ω0 =

√1

LC(8.143)

attorno al valore medio YP . Quindi, per t tendente a infinito y(t) non tende aun valore di regime, ma si ha un’oscillazione permanente. In queste condizioniil circuito e detto privo di perdite dato che, nella risposta con ingresso zero,l’energia totale accumulata nell’induttore e nel condensatore si mantiene costantenel tempo.

Confrontando le espressioni di λ1 e λ2 con quelle ottenute per α �= 0 e ∆ < 0,si vede che risulta sempre

ωd =√

ω20 − α2 < ω0 (8.144)

Quindi, per α �= 0 la pulsazione e sempre inferiore a quella che si ha per α = 0,inoltre, al crescere di α, la pulsazione dell’oscillazione diminuisce, fino a che,quando α raggiunge il valore di ω2

0, detto anche valore critico, la pulsazione ωd si

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annulla. Da questo punto in avanti, al crescere di α la risposta y(t), non ha piuun andamento oscillatorio ma, a seconda delle condizioni iniziali, puo presentareandamento monotono o avere, al piu, un punto in cui la derivata cambia segno.

8.6 Analisi di circuiti lineari non degeneri

8.6.1 Relazioni tra stato, ingresso e risposta

Per i circuiti dinamici non degeneri valgono e seguenti proprieta:

• Lo stato puo essere rappresentato dalle tensioni di tutti i condensatori edalle correnti di tutti gli induttori.

• Lo stato all’istante t0, assieme all’andamento dell’ingresso per t ≥ t0,determina l’evoluzione dello stato per t ≥ t0.

• Ad ogni istante t, la risposta e determinata dai valori all’istante t stessodelle variabili di stato e degli ingressi.

Dimostrazione La prima affermazione e gia stata dimostrata nei paragrafi 8.1.4-8.1.5. Per quanto riguarda le altre, conviene partire dalla dimostrazione dell’ul-tima affermazione e assumere che l’andamento delle tensioni dei condensatori edelle correnti degli induttori sia noto.

In queste condizioni e possibile applicare il teorema di sostituzione e inserire alposto di ogni condensatore un generatore di tensione e al posto di ogni induttoreun generatore di corrente. Cio e sempre lecito se il circuito non e degenere,mentre nel caso dei circuiti degeneri la sostituzione da luogo a circuiti impossibilio indeterminati.

Mediante questa sostituzione si ottiene un circuito resistivo nel quale ognitensione e ogni corrente dipende, istante per istante, dai valori istantanei dellegrandezze impresse dei generatori indipendenti, cioe dai valori degli ingressi e dellevariabili di stato. E quindi verificato che il valore istantaneo di ogni risposta edeterminato dagli ingressi e dallo stato allo stesso istante. Quindi la genericarisposta yj(t) di un circuito non degenere con N induttori e condensatori e conNi generatori, cioe con N variabili di stato e Ni ingressi, puo essere espressa dauna relazione del tipo

yj(t) =N∑k=1

cjkxk(t) +

Ni∑h=1

djhuh(t) (8.145)

dove xk(t) (con k = 1, . . . , N) e uh(t) (con h = 1, . . . , Ni) rappresentano, rispet-tivamente, le variabili di stato e gli ingressi.

In funzione degli ingressi e delle variabili di stato si possono esprimere tuttele tensioni e le correnti e quindi, in particolare, anche le correnti dei condensatori

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ComponenteVariabiledi stato x

Variabileconiugata x

Relazionecostitutiva

condensatore tensione v corrente i i = Cdv

dt

induttore corrente i tensione v v = Ldi

dt

Tabella 8.2: Variabili di stato e variabili coniugate.

e le tensioni degli induttori. Queste grandezze verranno indicate con il nome divariabili coniugate alle variabili di stato.

Quindi la generica variabile coniugata xj(t) (con j = 1, . . . , N) puo essereespressa mediante una combinazione lineare delle variabili di stato e degli ingressidel tipo

xj(t) =N∑k=1

cjkxk(t) +

Ni∑h=1

djhuh(t) (8.146)

D’altra parte, per le relazioni costitutive dei condensatori e degli induttori, levariabili coniugate sono proporzionali alle derivate delle variabili di stato. Cioevalgono relazioni del tipo

xj(t) = Kjdxjdt

(8.147)

dove Kj rappresenta, a seconda del caso, una capacita o un’induttanza. Com-binando le (8.146) e (8.147) si ottiene che le variabili di stato costituiscono lasoluzione di un sistema di equazioni differenziali lineari con N incognite del tipo

dxjdt

=N∑k=1

ajkxk(t) +

Ni∑h=1

bjhuh(t) (8.148)

in cui si e posto ajk = cjk/Kj e bjh = djh/Kj. Quindi, per determinare l’an-damento della soluzione delle (8.148) per t ≥ t0 occorre conoscere i valori dellexj(t) all’istante t0, che rappresentano le condizioni iniziali del sistema, e l’anda-mento per t ≥ t0 degli ingressi, da cui dipendono i termini noti delle equazioni.Cio costituisce un’ulteriore conferma del fatto che le tensioni dei condensatori ele correnti degli induttori possono rappresentare lo stato del circuito e mostrache la conoscenza dello stato all’istante t0 e degli ingressi per t ≥ t0 consente dideterminare l’evoluzione dello stato per t ≥ t0. �

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8.6.2 Equazioni di stato

Nel caso di un circuito non degenere con Ni generatori indipendenti, N variabilidi stato e Nr uscite, le equazioni (8.145) e (8.148), che esprimono le relazioni tragli ingressi, lo stato e le risposte, possono essere scritte sinteticamente in formamatriciale nel modo seguente

dx

dt= Ax + Bu (8.149a)

y = Cx + Du (8.149b)

dove x rappresenta un vettore di dimensione N i cui elementi sono le variabili distato, u un vettore di dimensione Ni i cui elementi sono le tensioni o le correntiimpresse dai generatori indipendenti, y un vettore di dimensione Nr i cui elementisono le risposte, A (N×N), B (N×Ni), C (Nr×N) e D (Nr×Ni) sono matricicontenenti i coefficienti ajk, bjk, cjk, djk.

Le equazioni del primo gruppo, che consentono di determinare l’evoluzionedello stato in funzione degli ingressi prendono il nome di equazioni di stato, quelledel secondo gruppo, che consentono di determinare le risposte in funzione dellostato e degli ingressi, prendono il nome di equazioni di uscita.

Esempio 8.1 Scrivere le equazioni di stato e le equazioni di uscita relative allerisposte v1(t) e di i2(t) per il circuito di fig. 8.22.

v2

i2

iGvG

i1

v1

vL

vC

iL

iC

R2

R1

L

C

Figura 8.22: Esempio 8.1

Risoluzione Per il circuito di fig. 8.22, lo stato puo essere rappresentato me-diante le variabili iL(t) e vC(t).

Infatti, se iL(t) e vC(t) fossero note, il circuito potrebbe essere modificato comeindicato in fig. 8.23. Per quest’ultimo circuito, ogni risposta puo essere espressamediante una combinazione lineare delle tensioni e delle correnti impresse dai

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v2

i2

iGvG

i1

v1

vL

vC

iL

iC

R2

R1

Figura 8.23: Applicazione del teorema di sostituzione

generatori. In particolare per v1(t) e i2(t) si ha

v1 = iLR1R2

R1 +R2

− vCR1

R1 +R2

+ vGR1

R1 +R2

− iGR1R2

R1 +R2

i2 = −iLR1

R1 +R2

− vC1

R1 +R2

+ vG1

R1 +R2

+ iGR1

R1 +R2

(8.150)

Queste relazioni possono essere scritte in forma piu sintetica nel modo seguente

y = Cx + Du (8.151)

avendo introdotto il vettore degli ingressi

u�=

[vGiG

](8.152)

il vettore di stato

x�=

[iLvC

](8.153)

e il vettore delle risposte

y�=

[v1

i2

](8.154)

Nell’esempio in questione, le espressioni delle matrici C e D sono

C =

R1R2

R1 +R2

− R1

R1 +R2

− R1

R1 +R2

− 1

R1 +R2

(8.155)

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e

D =

R1

R1 +R2

− R1R2

R1 +R21

R1 +R2

R1

R1 +R2

(8.156)

In funzione degli ingressi e delle variabili di stato si possono esprimere gli anda-menti di tutte le altre tensioni e correnti, in particolare si possono esprimere levariabili coniugate, che per il circuito considerato sono vL(t) e iC(t)

vL = −iL

R1R2

R1 +R2

+ vCR1

R1 +R2

+ vGR2

R1 +R2

+ iGR1R2

R1 +R2

iC = −iLR1

R1 +R2

− vC1

R1 +R2

+ vG1

R1 +R2

− iGR2

R1 +R2

(8.157)

Questo sistema, mediante le relazioni costitutive dell’induttore e del condensato-re, puo essere posto nella forma seguente

diLdt

=1

L

[−iL

R1R2

R1 +R2

+ vCR1

R1 +R2

+ vGR2

R1 +R2

+ iGR1R2

R1 +R2

]

dvCdt

=1

C

[−iL

R1

R1 +R2

− vC1

R1 +R2

+ vG1

R1 +R2

− iGR2

R1 +R2

] (8.158)

Quest’ultimo e un sistema di equazioni differenziali lineari nelle incognite iL(t)e vC(t), che puo essere risolto se sono assegnati i valori all’istante iniziale dellefunzioni incognite. Il sistema (8.158) puo essere espresso sinteticamente nellaforma

dx

dt= Ax + Bu (8.159)

dove:

dx

dt

�=

diLdtdvCdt

(8.160)

e le matrici A e B hanno le seguenti espressioni

A =

−

R1R2

L(R1 +R2)

R1

L(R1 +R2)

− R1

C(R1 +R2)− 1

C(R1 +R2)

(8.161)

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e

B =

R2

L(R1 +R2)

R1

L(R1 +R2)1

C(R1 +R2)− R2

C(R1 +R2)

(8.162)

8.6.3 Transitori e condizioni iniziali

Negli esempi considerati fino a questo punto si e sempre supposto che i valo-ri iniziali delle correnti degli induttori e delle tensioni dei condensatori fosseroquantita note. Spesso, pero, si incontrano problemi in cui tali quantita devonoessere determinate a partire da informazioni di tipo diverso.

Una categoria importante di problemi di questo tipo e costituita dalle anali-si dei transitori. In questi problemi generalmente si ha un circuito che si trovain una condizione di funzionamento nota (ad esempio di regime stazionario o diregime sinusoidale), in cui, ad un certo istante t0, viene introdotta una perturba-zione dovuta, ad esempio, a brusche variazioni delle grandezze impresse di uno opiu generatori o alla variazione della configurazione del circuito stesso prodottadall’azionamento di uno o piu interruttori.

In queste condizioni le tensioni e le correnti possono presentare delle disconti-nuita all’istante t0, pertanto il loro valore in tale istante puo non essere definito.Per le grandezze rappresentate da funzioni discontinue si parla quindi di valori al-l’istante t−0 e all’istante t+0 , intendendo con tali espressioni il limite della funzioneper t tendente a t0 rispettivamente da valori minori e maggiori di t0

f(t−0 ) = limt→t0, t<t0

f(t) (8.163)

f(t+0 ) = limt→t0, t>t0

f(t) (8.164)

La conoscenza del comportamento del circuito per t < t0 consente di determinarei valori all’istante t−0 delle tensioni e delle correnti. Tali valori saranno indicaticon il nome di dati iniziali.

D’altra parte, per determinare le soluzioni delle equazioni differenziali chedescrivono il comportamento del circuito per t > t0 occorre conoscere il valoreall’istante t+0 delle funzioni incognite e di alcune loro derivate. Si pone quindiil problema di mettere in relazione i valori noti che tali grandezze assumonoall’istante t−0 , cioe i dati iniziali con quelli relativi all’istante t+0 , necessari perdefinire le condizioni iniziali.

Nel caso dei circuiti non degeneri, si puo dimostrare che vale una proprieta dicontinuita dello stato in base alla quale, se gli ingressi sono funzioni limitate, levariabili di stato sono funzioni continue del tempo. Tale proprieta e da metterein relazione con la proprieta di continuita della tensione per i condensatori e la

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proprieta di continuita della corrente per gli induttori, illustrate nel capitolo 7.La dimostrazione si basa sul fatto che la discontinuita di una variabile di statorichiederebbe un andamento impulsivo della corrente di un condensatore o dellatensione di un induttore. Si puo dimostrare che un tale comportamento, oltre anon essere accettabile dal punto di vista fisico, se non in un caso ideale, risultaanche incompatibile con le equazioni del circuito2.

La proprieta di continuita dello stato non vale, invece, nel caso dei circuitidegeneri. Infatti questi circuiti presentano configurazioni che possono richiedereandamenti discontinui delle variabili di stato. Ad esempio, se la tensione di ungeneratore inserito in una maglia formata da condensatori e discontinua, affinchesia soddisfatta la LKV almeno una delle tensioni dei condensatori della magliadeve essere discontinua.

Per un circuito non degenere, la proprieta di continuita dello stato consentedi affermare che i valori all’istante t−0 delle tensioni dei condensatori e delle cor-renti degli induttori devono coincidere con quelli all’istante t+0 (quindi per taligrandezze il valore all’istante t0 e sempre definito).

Noti i valori all’istante t0 delle variabili di stato, e possibile determinare i valoriiniziali di tutte le altre tensioni e correnti. Infatti all’istante t+0 , per il teorema disostituzione, si possono sostituire tutti i condensatori con generatori di tensionenota e gli induttori con generatori di corrente nota. Pertanto la determinazionedei valori iniziali delle altre grandezze richiede lo studio di un circuito resistivo.

Per quanto riguarda la determinazione delle derivate all’istante t+0 , si osservache, in primo luogo, e possibile risalire ai valori iniziali delle derivate delle tensionidei condensatori partire da quelli delle loro correnti e ai valori delle derivate dellecorrenti degli induttori a partire dai quelli delle loro tensioni

dvCdt

∣∣∣∣t=t+0

=1

CiC(t

+0 ) (8.165)

diLdt

∣∣∣∣t=t+0

=1

LvL(t

+0 ) (8.166)

Quindi per calcolare il valore all’istante t+0 della derivata di una tensione ocorrente generica si puo procedere nel modo seguente

• studiando il circuito nell’istante t+0 , si determinano i valori delle correntinei condensatori e delle tensioni degli induttori;

• si calcolano i valori all’istante t+0 delle derivate delle variabili di statomediante le (8.165) e (8.166);

2La dimostrazione si basa sul fatto che la discontinuita della tensione di un condensatoreo della corrente di un induttore richiederebbe un andamento di tipo impulsivo della derivata.Se si esclude che gli ingressi abbiano andamento impulsivo, nelle equazioni di stato (8.149)in queste condizioni a primo membro comparirebbero dei termini impulsivi non bilanciati datermini impulsivi a secondo membro.

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• si determina l’espressione della grandezza di cui si vuole valutare la derivatain funzione delle variabili di stato (come si e visto nel paragrafo 8.6.1 ciopuo sempre essere fatto studiando un circuito resistivo);

• si deriva l’espressione ottenuta, quindi si ricava un’espressione della derivatarichiesta in funzione delle derivate delle variabili di stato;

• si sostituiscono nell’espressione i valori forniti dalle (8.165) e (8.166).

Il procedimento puo essere iterato per calcolare le derivate di ordine superiore.Infatti, derivando rispetto al tempo le relazioni costitutive degli induttori e deicondensatori, si ottengono le relazioni

d2vCdt2

∣∣∣∣t=t+0

=1

C

diCdt

∣∣∣∣t=t+0

(8.167)

d2iLdt2

∣∣∣∣t=t+0

=1

L

dvLdt

∣∣∣∣t=t+0

(8.168)

Quindi se sono note le derivate delle correnti dei condensatori e delle tensioni degliinduttori, che possono essere calcolate con il metodo precedentemente esposto, epossibile determinare le derivate seconde delle variabili di stato. Di conseguenza,per valutare la derivata seconda all’istante t+0 di qualunque altra grandezza esufficiente derivare due volte la sua espressione in funzione delle variabili di statoe inserire i valori forniti dalle (8.167) e (8.168).

Procedendo in modo analogo e possibile determinare le derivate di ordinesuperiore.

8.6.4 Analisi di circuiti dinamici lineari non degeneri mediantele equazioni di stato

Si consideri il problema di determinare la risposta di un circuito dinamico nondegenere a partire da un certo istante iniziale t0 e si assuma di conoscere i valorirelativi a tale istante delle sue variabili di stato.

Basandosi sulle proprieta esposte nel paragrafo 8.6.1 e possibile formulare unmetodo generale per risolvere tale problema. Di seguito questo metodo verra illu-strato facendo riferimento al caso di un circuito con due variabili di stato, anchese il procedimento puo essere facilmente esteso al caso di un numero arbitrario divariabili.

8.6.4.1 Equazione risolvente

L’equazione differenziale risolvente puo essere formulata mediante il seguenteprocedimento

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• Si considera la configurazione del circuito per t > t0, quindi, in particolare,se il circuito contiene interruttori che commutano per t = t0 si fa riferimentoalla configurazione assunta dal circuito stesso a commutazioni avvenute.

• Si sostituiscono i condensatori con generatori indipendenti di tensione e gliinduttori con generatori indipendenti di corrente.

• Studiando il circuito resistivo ottenuto in questo modo, si determinano leespressioni delle variabili coniugate, cioe delle correnti dei condensatori edelle tensioni degli induttori

• Mediante le relazioni costitutive del condensatore e dell’induttore si espri-mono le variabili coniugate in funzione delle derivate delle variabili di stato.In questo modo si ottiene un sistema di due equazioni differenziali nellevariabili di stato che ha, in generale, la forma

dx1

dt= a11x1(t) + a12x2(t) + f1(t)

dx2

dt= a21x1(t) + a22x2(t) + f2(t)

(8.169)

dove i coefficienti aij sono funzione dei parametri dei componenti diversidai generatori indipendenti, mentre le fi(t) sono i termini noti e dipendo-no, oltre che da tali parametri, anche dalle forme d’onda delle grandezzeimpresse dai generatori indipendenti (cioe dagli ingressi).

• Dato che in ciascuna equazione del sistema compare la derivata di una soladelle variabili di stato, ciascuna equazione consente di esprimere una dellevariabili in funzione dell’altra variabile e della derivata dell’altra variabile.

Ad esempio, mediante la prima equazione, si puo esprimere x2(t) nel modoseguente

x2(t) =1

a12

dx1

dt− a11

a12

x1(t)− 1

a12

f1(t) (8.170)

Derivando rispetto al tempo la (8.170) si ricava

dx2

dt=

1

a12

d2x1

dt2− a11

a12

dx1

dt− 1

a12

df1

dt(8.171)

Sostituendo l’espressione di x2(t) e della sua derivata nell’altra equazione siottiene infine l’equazione differenziale del secondo ordine nell’incognita x1(t)

d2x1

dt2− (a11 + a22)

dx1

dt+ (a11a22 − a12a21)x1(t) =

=df1

dt− a22f1(t) + a12f2(t)

(8.172)

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In modo analogo si puo ottenere l’equazione differenziale in x2(t)

d2x2

dt2− (a11 + a22)

dx2

dt+ (a11a22 − a12a21)x2(t) =

=df2

dt− a11f2(t) + a21f1(t)

(8.173)

Si puo osservare che le equazioni (8.172) e (8.173) possono essere poste nellaforma

d2xjdt2

+ 2αdxjdt

+ ω20xj(t) = Fj(t) (8.174)

dove

2α = −(a11 + a22) = − tr(A) (8.175)

e uguale alla traccia della matrice dei coefficienti ajk cambiata di segno e

ω20 = (a11a22 − a12a21) = det(A) (8.176)

e uguale al determinante di tale matrice.

Un circuito formato da componenti resistivi lineari, da generatori indipendentie da due bipoli dinamici, puo essere visto come un due porte privo di memoriacon le porte collegate ai bipoli dinamici.

Nel caso in cui i bipoli dinamici sono due condensatori, se il circuito none degenere e, quindi, il circuito che si ottiene sostituendo ai condensatori duegeneratori di tensione ammette una soluzione unica, valgono le ipotesi del teo-rema di rappresentazione dei doppi bipoli relativo ai parametri di conduttanzaparagrafo 6.4.5, di conseguenza il doppio bipolo privo di memoria puo essererappresentato nel modo indicato in fig. 8.24.

In modo analogo si puo vedere che per un circuito non degenere con dueinduttori il doppio bipolo ammette la rappresentazione indicata in fig. 8.25, basatasui parametri di resistenza, e che nel caso di un circuito non degenere con uninduttore e un condensatore si puo impiegare la rappresentazione di fig. 8.26,basata sui parametri ibridi paragrafo 6.4.5.

Per il circuito con due condensatori le equazioni di stato hanno quindi leespressioni

dvC1

dt= −g11

C1

vC1(t)− g12

C1

vC2(t) + iG1(t)

dvC2

dt= −g21

C2

vC1(t)− g22

C2

vC2(t) + iG2(t)

(8.177)

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GC1 C1C2 C2

iG2iG1

�

Figura 8.24: Circuito del secondo ordine con due condensatori

R

vG1 vG2

L1 L1 L2L2 �

Figura 8.25: Circuito del secondo ordine con due induttori

H

vG1

iG2

LL CC �

Figura 8.26: Circuito del secondo ordine con un induttore e un condensatore

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dove i coefficienti gjk sono i parametri di conduttanza del doppio bipolo che siottiene azzerando i generatori indipendenti presenti nel doppio bipolo privo dimemoria, mentre i generatori vG1 e vG2 rappresentano le tensioni a vuoto alleporte del doppio bipolo privo di memoria paragrafo 6.4.5.

In modo analogo si ricava che per un circuito con due induttori le equazionidi stato sono

diL1

dt= −r11

L1

iL1(t)− r12

L1

iL2(t) + vG1(t)

diL2

dt= −r21

L2

iL1(t)− r22

L2

iL2(t) + vG2(t)

(8.178)

e che per un circuito con un induttore e un condensatore sono

diLdt

= −h11

LiL(t)− h12

LvC(t) + vG1(t)

dvCdt

= −h21

CiL(t)− h22

CvC(t) + iG2(t)

(8.179)

Se il circuito e passivo i parametri dei doppi bipoli rispettano le condizioni(3.76), (3.84) e (3.86) del capitolo 3, mentre le induttanze e le capacita sono tuttepositive. In queste condizioni, tenendo conto delle espressioni (8.175) e (8.176), sipuo verificare che risulta sempre α > 0 e ω2

0 > 0, quindi le soluzioni dell’equazionecaratteristica sono necessariamente reali negative o complesse coniugate con partereale negativa.

8.6.4.2 Condizioni iniziali

Per determinare, ad esempio, l’andamento di x1(t) a partire dall’istante inizialet0 mediante la (8.172), occorre associare a tale equazione le condizioni inizialirappresentate dai valori all’istante t0 della funzione incognita x1(t) e della suaderivata.

Per quanto riguarda la derivata, inoltre, si deve tenere conto del fatto cheessa potrebbe anche essere una funzione discontinua per t = t0 se in tale istanteavvengono commutazioni o brusche variazioni degli ingressi. Di conseguenza, perla derivata si deve fare riferimento al valore relativo all’istante t+0 , cioe

dx1

dt

∣∣∣∣t=t+0

�= lim

t→t0, t>0

dx1

dt(8.180)

Quindi le condizioni da imporre sono

x1(t0) = X10

dx1

dt

∣∣∣∣t=t+0

= X ′10

(8.181)

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Il valore iniziale X ′10 della derivata puo essere determinato, in ogni caso, se

sono noti i valori iniziali delle variabili di stato, cioe se si dispone delle condizioni

x1(t0) = X10

x2(t0) = X20

(8.182)

Infatti, dato che le equazioni (8.169) valgono per ogni t > t0 e quindi, al limite,anche per t = 0+, dalla prima di tale equazioni si ottiene

X ′10 = a11X10 + a12X20 + f1(t

+0 ) (8.183)

8.6.4.3 Determinazione della risposta

Se la risposta che si vuole determinare non si identifica con una variabile di stato,per la sua valutazione si puo procedere nel modo seguente:

• Risolvendo, ad esempio, l’equazione differenziale (8.172) si determina lafunzione x1(t).

• Nota x1(t), si puo determinare anche l’andamento di x2(t) facendo usodell’equazione (8.170).

• A questo punto le grandezze impresse dei generatori introdotti per rap-presentare gli induttori e i condensatori sono delle funzioni note, quindi larisposta puo essere calcolata risolvendo un circuito resistivo.

• Nel caso particolare in cui si e interessati alla determinazione dell’andamen-to di una variabile coniugata non occorre risolvere il circuito, dato che levariabili coniugate possono essere ottenute direttamente dalle variabili distato mediante le relazioni costitutive degli induttori e dei condensatori.

8.6.4.4 Metodo semplificato per il calcolo della risposta

In alcuni casi la soluzione particolare delle equazioni del circuito puo essere deter-minata direttamente senza fare ricorso alle equazioni differenziali. Ad esempio sela soluzione particolare e di tipo stazionario si puo impiegare il metodo illustratonel paragrafo 8.2. Se invece la soluzione particolare e di tipo sinusoidale si puofare uso del metodo che sara esposto nel capitolo 9.

In casi come questi e possibile determinare la risposta con un procedimentosemplificato che, in generale, risulta vantaggioso quando la risposta stessa non siidentifica con una variabile di stato.

Tale procedimento si basa sul fatto che, escludendo il caso in cui le equazionidel sistema (8.169) sono disaccoppiate, ogni risposta, yk(t), ha un’espressione deltipo

yk(t) = k1eλ1t + k2e

λ2t + ykP (t) (8.184)

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in cui λ1 e λ2 sono le soluzioni dell’equazione caratteristica

λ2 − tr(A)λ+ det(A) = 0 (8.185)

e quindi possono essere determinate dalle equazioni di stato del circuito.Se la soluzione particolare ykP (t) puo essere determinata direttamente, per

ottenere la risposta occorre solo valutare le costanti k1 e k2. Tali costanti possonoessere valutate imponendo alla (8.184) due condizioni iniziali relative al valoredella yk(t) e della sua derivata rispetto al tempo nell’istante t+0 .

Per determinare le queste condizioni iniziali si puo utilizzare l’equazione diuscita relativa alla risposta yk(t), che ha la forma

yk(t) = ck1x1(t) + ck2x2(t) + gk(t) (8.186)

nella quale gk(t) e una funzione nota e rappresenta il contributo degli ingressi.La (8.186) vale per t > t0 e quindi anche per t = t+0 , quindi si ha

yk(t+0 ) = ck1x1(0) + ck2x2(0) + gk(t0+) (8.187)

Inoltre dalla (8.186) si ottiene anche

dykdt

= ck1dx1

dt+ ck2

dx2

dt+

dgkdt

(8.188)

quindi il valore iniziale della derivata e

dykdt

∣∣∣∣t=t+0

= ck1dx1

dt

∣∣∣∣t=t+0

+ ck2dx2

dt

∣∣∣∣t=t+0

+dgkdt

∣∣∣∣t=t+0

(8.189)

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Capitolo 9

Regimi sinusoidali

9.1 Introduzione

9.1.1 Funzioni sinusoidali

Per funzione sinusoidale si intende una funzione del tipo1

a(t) = AM cos(ωt+ α) (9.1)

in cui

• AM e l’ampiezza o valore massimo della funzione.

• ω e la pulsazione o frequenza angolare e corrisponde al numero di perio-di contenuti in un intervallo di ampiezza 2π. Il valore della pulsazione eespresso in radianti al secondo.

• α e la fase iniziale, detta anche semplicemente fase, e rappresenta il valoreper t = 0 dell’argomento del coseno.

0 t

AM cos�

A tM cos��

�AM

AM

T 2T

Figura 9.1: Funzione sinusoidale

1Una funzione del tipo a(t) = AM sen(ωt+ϕ) puo essere ricondotta alla forma (9.1) ponendoα = ϕ − π/2

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La pulsazione e legata al periodo T dell’oscillazione dalla relazione

ω =2π

T(9.2)

e quindi alla frequenza f , che rappresenta il numero di periodi nell’unita di tempo,dalla relazione

ω = 2πf (9.3)

Il valore della frequenza si esprime in hertz (simbolo Hz): 1 Hz corrisponde a unperiodo al secondo.

9.1.2 Regime sinusoidale

Si consideri un circuito dinamico lineare alimentato da generatori di tensione edi corrente le cui grandezze impresse variano nel tempo con legge sinusoidale ehanno tutte la stessa pulsazione ω.

L’analisi del circuito richiede la risoluzione di un sistema di equazioni differen-ziali lineari i cui termini noti sono funzioni sinusoidali aventi ancora pulsazione ω.In queste condizioni, le equazioni del circuito in genere ammettono una soluzioneparticolare sinusoidale con la stessa pulsazione.

Quindi, se le soluzioni dell’equazione caratteristica del circuito hanno tutteparte reale negativa, il circuito tende, al crescere di t, ad una condizione diregime caratterizzata dal fatto che le tensioni e le correnti hanno tutte andamentosinusoidale con la stessa pulsazione. Tale condizione di funzionamento e dettacondizione di regime sinusoidale.

9.2 Trasformata di Steinmetz(o metodo simbolico)

9.2.1 Definizione

Una funzione sinusoidale di pulsazione ω e determinata univocamente da dueparametri: l’ampiezza AM e la fase α.

Se tali parametri vengono interpretati come modulo e argomento di un numerocomplesso

A = AMejα = AM(cosα+ j senα) (9.4)

e possibile far corrispondere ad ogni funzione sinusoidale a(t) di pulsazione ω unnumero complesso A, che viene indicato col nome di numero complesso rappre-sentativo o fasore della funzione a(t).

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Regimi sinusoidali 71

�

�

Re

Im

t

AM

AM

A eM

j t��

�AM

�AM

0

0

A tM cos��

Figura 9.2: Interpretazione geometrica della trasformata di Steinmetz

La trasformazione che associa a ciascuna funzione sinusoidale di pulsazione ωun numero complesso e detta trasformata di Steinmetz o trasformata simbolica eviene indicata con l’espressione

A = S {a(t)} (9.5)

La trasformazione inversa (o antitrasformata) puo essere espressa nel modo se-guente

a(t) = S−1{A}= Re

[Aejωt

]= Re

[AMej(ωt+α)

]= AM cos(ωt+ α) (9.6)

La relazione tra le funzioni sinusoidali e i numeri complessi puo essere ancheinterpretata geometricamente come indicato in (fig. 9.2). Si consideri la funzionecomplessa

z(t) = AMej(ωt+α) (9.7)

Questa funzione puo essere rappresentata, nel piano complesso, da un punto cheruota intorno all’origine in senso antiorario e con velocita angolare ω su unacirconferenza di raggio AM . La funzione a(t) e legata a z(t) dalla relazione

a(t) = Re[z(t)] (9.8)

e quindi rappresenta l’andamento nel tempo della proiezione del punto sull’assereale.

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Il numero complesso A definisce la posizione del punto all’istante t = 0. Taleinformazione, nota ω, consente di determinare la posizione del punto e, quindi,della sua proiezione sull’asse reale, per ogni t.

Esempio 9.1 Determinare i numeri complessi rappresentativi delle seguenti fun-zioni sinusoidali

a(t) = 3√2 cos

(ωt− 3

4π

)

b(t) = 4 cos(ωt+

π

6

)c(t) = 2 sen (ωt)

Risoluzione Facendo uso della (9.4) si ha immediatamente

A = 3√2e−j

34π = 3

√2

[cos

(−3

4π

)+ j sen

(−3

4π

)]=

= 3√2

(−√2

2− j

√2

2

)= −3− 3j

B = 4ejπ6 = 4

(cos

π

6+ j sen

π

6

)= 4

(√3

2+

1

2j

)= 2

√3 + 2j

Per quanto riguarda c(t), dato che

c(t) = 2 sen (ωt) = 2 cos(ωt− π

2

)si ottiene

C = 2e−jπ2 = −2j

Esempio 9.2 Determinare le funzioni sinusoidali (di pulsazione ω) rappresentatedai seguenti numeri complessi

A = 2 + 2j

B = −2 + 3j

C = 1− 2j

D = −1− j

E = 3j

F = 2

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Risoluzione Per determinare le funzioni sinusoidali occorre convertire i numericomplessi in forma polare:

• il modulo corrisponde all’ampiezza della funzione sinusoidale

• l’argomento corrisponde alla fase.

∣∣A∣∣ = 2√2

arg(A) = arctg

(2

2

)=

π

4

⇒ a(t) = 2√2 cos

(ωt+

π

4

)

∣∣B∣∣ = √13

arg(B) = arctg

(3

−2

)+ π

⇒ b(t) =√13 cos

[ωt− arctg

(3

2

)+ π

]

∣∣C∣∣ = √5

arg(C) = arctg

(−2

1

) ⇒ c(t) =√5 cos [ωt− arctg(2)]

∣∣D∣∣ = √2

arg(D) = arctg

(−1

−1

)− π = −3

4π

⇒ d(t) =√2 cos

(ωt− 3

4π

){ ∣∣E∣∣ = 3

arg(E) =π

2

⇒ e(t) = 3 cos(ωt+

π

2

)= −3 sen (ωt)

{ ∣∣F∣∣ = 2arg(F) = 0

⇒ f(t) = 2 cos (ωt)

Nota Per quanto riguarda il valore dell’argomento, dato il numero complessoz = a+ jb = ρejϑ, si ha

a = ρ cosϑ

b = ρ senϑ(9.9)

e quindi, se a �= 0 vale anche la relazione

tg ϑ =b

a(9.10)

Questo pero non autorizza a scrivere relazioni del tipo

ϑ = arctgb

a(9.11)

oppure

ϑ = arcsenb

ρ= arcsen

(b√

a2 + b2

)(9.12)

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Infatti il valore dell’argomento di un numero complesso puo variare su un in-tervallo2 di ampiezza 2π, mentre le funzioni seno e tangente sono biunivoche, equindi invertibili, solo su intervalli dei ampiezza π.

Di conseguenza, la (9.11) non consente di distinguere gli argomenti di duenumeri complessi aventi le parti reali e le parti immaginarie con segno opposto,mentre la (9.12) non consente di distinguere l’argomento di due numeri complessiaventi parti immaginarie uguali e parti reali con segno opposto.

Se per le funzioni arcotangente e arcoseno si considera il valore principaledefinito nell’intervallo3 [−π/2, π/2], si riconosce che le (9.11) e (9.12) fornisconorisultati corretti solo quando la parte reale e positiva, mentre quando la partereale e negativa occorre aggiungere un termine ±π nel caso della (9.11) e ±π/2nel caso della (9.12). In entrambi i casi il segno da attribuire a questo termine,se si vogliono ottenere valori compresi nell’intervallo ] − π, π], coincide con ilsegno della parte immaginaria. Quindi, per determinare l’argomento, si devonoimpiegare le relazioni

ϑ =

arctg

b

a+ π sgn(b) per a < 0

π

2sgn(b) per a = 0

arctgb

aper a > 0

(9.13)

oppure

ϑ =

arcsenb

ρ+

π

2sgn(b) per a < 0

π

2sgn(b) per a = 0

arcsenb

ρper a > 0

(9.14)

dove sgn indica la funzione segno

sgn(x) =

−1 per x < 0

0 per x = 0

1 per x > 0

2Di solito si considera l’intervallo ]− π, π].3Questo, in particolare, e l’intervallo in cui sono compresi i risultati che si ottengono

valutando tali funzioni mediante una calcolatrice.

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9.2.2 Proprieta

L’applicazione della trasformata di Steinmetz allo studio dei circuiti in regimesinusoidale si basa su tre proprieta fondamentali della trasformata:

• unicita

• linearita

• regola di derivazione

Nei paragrafi seguenti tali proprieta sono esaminate in dettaglio.

9.2.2.1 Unicita

La corrispondenza stabilita dalla trasformata di Steinmetz tra le funzioni sinu-soidali di pulsazione ω e i numeri complessi e biunivoca. Cioe se si consideranodue funzioni sinusoidali

a(t) = AM cos(ωt+ α)

b(t) = BM cos(ωt+ β)(9.15)

e si indicano con

A = S {a(t)} = AMejα

B = S {b(t)} = BMejβ(9.16)

i loro numeri complessi rappresentativi, allora risulta

a(t) = b(t) per ogni t ⇔ A = B. (9.17)

Dimostrazione

• Si assuma che sia A = B. In queste condizioni e immediato ricavare

a(t) = Re[Aejωt

]= Re

[Bejωt

]= b(t) (9.18)

• Si assuma che sia a(t) = b(t) per ogni t.

Allora, in particolare, deve essere

a(0) = b(0) (9.19)

Dato che

a(0) = Re[A]

b(0) = Re[B] (9.20)

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risulta

Re[A]= Re

[B]

(9.21)

Inoltre, se si considera l’istante t = π/(2ω), dovendo essere

a( π

2ω

)= b

( π

2ω

)(9.22)

e dato che

a( π

2ω

)= Re

[Aej

π2

]= Re

[jA

]= − Im

[A]

b( π

2ω

)= − Im

[B] (9.23)

risulta

Im[A]= Im

[B]

(9.24)

Quindi dalle (9.21) e (9.24) si ottiene A = B.

�

9.2.2.2 Linearita

Si considerino due funzioni sinusoidali

a(t) = AM cos(ωt+ α)

b(t) = BM cos(ωt+ β)(9.25)

e si indichino con A e B i loro numeri complessi rappresentativi

A = S {a(t)} = AMejα

B = S {b(t)} = BMejβ(9.26)

Se con k1 e k2 si indicano due costanti reali arbitrarie, vale la relazione

S {k1a(t) + k2b(t)} = k1A + k2B (9.27)

quindi la trasformata di una combinazione lineare di funzioni sinusoidali e da-ta dalla combinazione lineare dei numeri complessi rappresentativi delle singolefunzioni.

Dimostrazione Dato che la relazione che lega un numero complesso alla suaparte reale e lineare, e immediato ricavare

k1a(t) + k2b(t) = k1 Re[Aejωt

]+ k2 Re

[Bejωt

]= Re

[k1Aejωt

]+Re

[k2Bejωt

]= Re

[k1Aejωt + k2Bejωt

] (9.28)

da cui discende la (9.27). �

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9.2.2.3 Regola di derivazione

Si consideri una funzione sinusoidale

a(t) = AM cos(ωt+ α) (9.29)

e si indichi con A il suo numero complesso rappresentativo.

A = S {a(t)} = AMejα (9.30)

La trasformata della derivata di a(t) rispetto al tempo e

S

{da

dt

}= jωA (9.31)

Dimostrazione Dato che

da

dt= −ωAM sen(ωt+ α) = ωAM cos

(ωt+ α+

π

2

)(9.32)

si ottiene immediatamente

S

{da

dt

}= ωAMej(α+π

2) = ωAMejαej

π2 = jωA (9.33)

�

Nota Applicando ricorsivamente la regola di derivazione si possono esprimerele trasformate delle derivate di qualunque ordine di a(t), infatti risulta

S

{d2a

dt2

}= jωS

{da

dt

}= (jω)2A = −ω2A

S

{d3a

dt3

}= jωS

{d2a

dt2

}= (jω)3A = −jω3A

...

S

{dna

dtn

}= jωS

{dn−1a

dtn−1

}= (jω)nA

(9.34)

9.2.3 Applicazione alla risoluzione di equazioni differenziali

Si consideri l’equazione differenziale

a2d2y

dt2+ a1

dy

dt+ a0y(t) = b(t)

in cui il termine noto e una funzione sinusoidale di pulsazione ω

b(t) = BM cos(ωt+ β)

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Come e noto, un’equazione di questo tipo ammette una soluzione particolaresinusoidale anch’essa con pulsazione ω

yP (t) = YM cos(ωt+ ϕ)

Per la determinazione di tale soluzione si puo impiegare vantaggiosamente latrasformata di Steinmetz.

Sostituendo nell’equazione differenziale la soluzione particolare, a primo mem-bro si ottiene una funzione sinusoidale di pulsazione4 ω. Dato che il primo e ilsecondo membro devono essere uguali, per la proprieta di unicita devono essereuguali anche le loro trasformate di Steinmetz

S

{a2

d2yPdt2

+ a1dyPdt

+ a0yP (t)

}= S {b(t)}

Facendo uso della proprieta di linearita, il primo membro puo essere espresso nelmodo seguente

a2S

{d2yPdt2

}+ a1S

{dyPdt

}+ a0S {yP (t)} = S {b(t)}

Infine, se si indicano con B e Y i fasori di b(t) e yP (t) e si fa uso della regola diderivazione, si ottiene la relazione

−ω2a2Y + jωa1Y + a0Y = B

dalla quale si ricava Y

Y =B

a0 − ω2a2 + jωa1

e quindi si possono determinare le costanti YM e ϕ

YM =

∣∣B∣∣|a0 − ω2a2 + jωa1| =

BM√(a0 − ω2a2)2 + (ωa1)2

ϕ = arg(B)− arg(a0 − ω2a2 + jωa1) =

=

β − arctg

(ωa1

a0 − ω2a2

)se a0 − ω2a2 > 0

β − π

2sgn(ωa1) se a0 − ω2a2 = 0

β − arctg

(ωa1

a0 − ω2a2

)− π sgn(ωa1) se a0 − ω2a2 < 0

Il procedimento, qui esposto nel caso particolare di un’equazione del secondoordine, puo essere applicato ad equazioni di ordine qualunque.

4Infatti la derivata di qualunque ordine di una funzione sinusoidale di pulsazione ω e una fun-zione sinusoidale di pulsazione ω e una combinazione lineare di funzioni sinusoidali di pulsazioneω fornisce ancora una funzione sinusoidale con la stessa pulsazione.

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Esempio 9.3 Determinare una soluzione particolare dell’equazione

3dy

dt+ 5y(t) = 5

√2 cos

(5t− 4

π

4

)

Risoluzione La trasformata del termine noto e

B = 5√2e−j

π4 = 5

√2(cos

π

4− j sen

π

4

)= 5− 5j

Indicando con Y il numero complesso rappresentativo della soluzione particolaree trasformando l’equazione si ricava

3 · 5j · Y + 5Y = 5− 5j

Quindi si ha

Y =5− 5j

5 + 15j= −1

5− 2

5j

Dato che

∣∣Y∣∣ = 1

5

√1 + 4 =

√5

5

arg Y = arctg

(−2

−1

)− π = arctg(2)− π ≈ −2.03

si ottiene

yP (t) =

√5

5cos(5t− 2.03)

Esempio 9.4 Determinare una soluzione particolare dell’equazione5

2d2y

dt2+

dy

dt+ 6y(t) = 12 sen(2t)

Risoluzione Per il termine noto si ha

12 sen(2t) = 12 cos(2t− π

2

)Quindi il numero complesso rappresentativo e

B = 12e−jπ2 = −12j

5Si confronti il procedimento illustrato in questo esempio con quello impiegato per ladeterminazione della soluzione particolare nell’esempio A.9 dell’appendice A.

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Indicando con Y il fasore della soluzione particolare e trasformando l’equazionesi ricava

2 · (−4) · Y + 2j · Y + 6Y = −12j

da cui

Y =−12j

−2 + 2j= −3 + 3j

Dato che

|Y | = √9 + 9 = 3

√2

arg(Y) = arctg

(3

−3

)+ π = arctg(−1) + π =

3

4π

si ottiene, infine

yP (t) = 3√2 cos

(2t+

3

4π

)

9.3 Bipoli in condizioni di regime sinusoidale

9.3.1 Bipoli lineari elementari

Si consideri un bipolo facente parte di un circuito in condizioni di regime sinu-soidale e siano

v(t) = VM cos(ωt+ ϕV )

i(t) = IM cos(ωt+ ϕI)(9.35)

la tensione e la corrente ai terminali del bipolo definite secondo la convenzionenormale. Si indichino inoltre con

V = S {v(t)} = VMejφV

I = S {i(t)} = IMejφI(9.36)

i fasori della tensione e della corrente e con

ϕ = ϕV − ϕI (9.37)

la differenza tra le fasi della tensione e della corrente. In seguito si esamineran-no le relazioni tra V e I che derivano dalle relazioni costitutive dei componentielementari.

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9.3.1.1 Resistore

Dalla relazione

v(t) = Ri(t) (9.38)

per la proprieta di linearita della trasformata di Steinmetz, si ottiene

V = RI (9.39)

e analogamente dalla relazione

i(t) = Gv(t) (9.40)

si ottiene

I = GV (9.41)

Pertanto, nell’ipotesi che sia R > 0, si ha

VM =∣∣V∣∣ = R

∣∣I∣∣ = RIM (9.42)

ϕV = ϕI ⇒ ϕ = 0 (9.43)

Quindi i fasori della tensione e della corrente hanno modulo proporzionale eargomento uguale.

I fasori V e I possono essere rappresentati mediante due vettori nel pianocomplesso disposti come indicato in fig. 9.3b. L’andamento in funzione del tempodella tensione e della corrente e invece rappresentato in fig. 9.3c. La tensione ela corrente, come indica la (9.43), hanno la stessa fase. In questo caso si dice chesono in fase tra loro.

Re

Im

0 0

v t� �

v t� �

i t� �

i t� �

t

I

V

� �V I=R

a) b) c)

Figura 9.3: Resistore in regime sinusoidale

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9.3.1.2 Induttore

Dalla relazione

v(t) = Ldi

dt(9.44)

facendo uso della proprieta di linearita e della regola di derivazione, si ottiene larelazione

V = jωLI = jXLI (9.45)

in cui si e introdotto il parametro

XL = ωL (9.46)

detto reattanza induttiva, il cui valore e espresso in ohm. Inoltre si ha

I = −j1

ωLV = jBLV (9.47)

dove

BL = − 1

ωL= − 1

XL

(9.48)

rappresenta la suscettanza induttiva (misurata in siemens). Pertanto, nell’ipotesiche sia L > 0, si ha

VM = ωLIM (9.49)

ϕV = ϕI +π

2⇒ ϕ =

π

2(9.50)

Il modulo di V e proporzionale a quello di I, con un fattore di proporzionalitache, a sua volta, e direttamente proporzionale alla pulsazione. Inoltre la fase dellatensione e maggiore di π/2 rispetto a quella della corrente. In queste condizioni sidice che la tensione e sfasata in anticipo di π/2, o che e in quadratura in anticiporispetto alla corrente.

Dalla (9.49), per ω tendente a zero, si ricava

VM = 0 (9.51)

il che e coerente con il fatto che in regime stazionario l’induttore si comportacome un cortocircuito. Per ω tendente a infinito la (9.49) indica che, affinche latensione abbia ampiezza finita, deve essere

IM = 0 (9.52)

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Re

Im

0 0

v t� �

v t� �

i t� �

i t� �

t

I

V

�I

�V

L

a) b) c)

Figura 9.4: Induttore in regime sinusoidale

Quindi, al crescere della pulsazione, l’induttore tende a comportarsi come uncircuito aperto.

I fasori V e I possono essere rappresentati nel piano complesso come indicatoin fig. 9.4b. Si noti che, se si immagina di far ruotare i vettori in senso antiorarioa partire dalle posizioni indicate in figura (come avviene nella fig. 9.2), il vettoreche rappresenta la tensione precede quello che rappresenta la corrente.

Gli andamenti nel tempo della tensione e della corrente sono del tipo indicatonel grafico di fig. 9.4c. Come si vede dal grafico, l’andamento della tensione in unintervallo di ampiezza pari a un quarto di periodo riproduce l’andamento dellacorrente nel quarto di periodo successivo.

9.3.1.3 Condensatore

Dalla relazione

i(t) = Cdv

dt(9.53)

facendo uso della proprieta di linearita e della regola di derivazione, si ottiene

I = jωCV = jBCV (9.54)

dove

BC = ωC (9.55)

rappresenta la suscettanza capacitiva (misurata in siemens). Analogamente si ha

V = −j1

ωCI = jXC I (9.56)

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Re

Im

0 0

v t� �

v t� �

i t� �

i t� �

t

I

V

�V

�I

C

a) b) c)

Figura 9.5: Condensatore in regime sinusoidale

dove

XC = − 1

ωC= − 1

BC

(9.57)

e la reattanza capacitiva (misurata in ohm). Pertanto, nell’ipotesi che sia C > 0,si ha

VM =1

ωCIM (9.58)

ϕV = ϕI − π

2⇒ ϕ = −π

2(9.59)

Quindi, il modulo di V e proporzionale a quello I, con un fattore di proporzionalitache, a sua volta, e inversamente proporzionale alla pulsazione. Inoltre la fase dellatensione e minore di π/2 rispetto a quella della corrente. In queste condizioni sidice che la tensione e sfasata in ritardo di π/2, o che e in quadratura in ritardorispetto alla corrente.

Dalla (9.58), per ω tendente a zero, si ricava

IM = 0 (9.60)

il che e coerente con il fatto che in regime stazionario il condensatore si comportacome un circuito aperto. Per ω tendente a infinito, dalla (9.58) si deduce chedeve essere

VM = 0 (9.61)

Quindi, al crescere della pulsazione, il condensatore tende a comportarsi come uncortocircuito.

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I fasori V e I possono essere rappresentati nel piano complesso come indicatoin fig. 9.5b. Gli andamenti nel tempo della tensione e della corrente sono deltipo indicato nel grafico di fig. 9.5c. Come si vede dal grafico, l’andamento del-la tensione in un intervallo di ampiezza pari a un quarto di periodo riproducel’andamento della corrente nel quarto di periodo precedente.

9.3.2 Impedenza e ammettenza

Le relazioni tra i fasori della tensione e della corrente ricavate nei paragrafi pre-cedenti per il resistore, l’induttore e il condensatore possono essere rappresentatesinteticamente mediante l’espressione

V = ZI (9.62)

oppure mediante l’espressione

I = YV (9.63)

nella quale

Y =1

Z(9.64)

La quantita Z definita dalla (9.62), che risulta reale nel caso del resistore e im-maginaria nel caso dell’induttore o del condensatore, viene indicata col nome diimpedenza, mentre il suo reciproco Y e detto ammettenza.

Il modulo dell’impedenza rappresenta il rapporto tra le ampiezze della ten-sione e della corrente∣∣∣Z∣∣∣ = VM

IM(9.65)

mentre il suo argomento e pari allo sfasamento tra tensione e corrente

arg Z = ϕV − ϕI = ϕ (9.66)

Nel caso di un generico bipolo formato da componenti resistivi lineari, indut-tori e condensatori, la tensione e la corrente sono legate da un’equazione diffe-renziale lineare omogenea, quindi per i loro fasori, in generale, valgono ancorarelazioni del tipo (9.62) e (9.63).

Nel caso generale l’impedenza e l’ammettenza sono complesse. Quindi si ha:

Z = R + jX (9.67)

e

Y = G+ jB (9.68)

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La parte reale dell’impedenza, R, e detta resistenza mentre la parte imma-ginaria, X, e detta reattanza6. I valori di R e X si esprimono in ohm. Per unbipolo generico sia R che X sono funzione della pulsazione e, salvo casi particola-ri, non sono identificabili, rispettivamente, con la resistenza di un resistore e conla reattanza di un induttore o di un condensatore.

Per quanto riguarda l’ammettenza, la parte reale, G, e la parte immaginaria,B, sono dette rispettivamente conduttanza e suscettanza7. I loro valori si espri-mono in siemens. Anche G e B in genere sono funzione della pulsazione e, salvocasi particolari, non si identificano con la conduttanza di un resistore e con lasuscettanza di un induttore o di un condensatore.

Per la (9.64) i parametri R, X, G e B sono legati dalle relazioni

G =R

R2 +X2=

R∣∣Z∣∣2 (9.69a)

B = − X

R2 +X2= − X∣∣Z∣∣2 (9.69b)

R =G

G2 +B2=

G∣∣Y∣∣2 (9.69c)

X = − B

G2 +B2= − B∣∣Y∣∣2 (9.69d)

E importante notare che le quantita complesse V, I e Z, Y che compaiononelle (9.62) e (9.63) hanno significato profondamente diverso:

• V e I rappresentano le funzioni sinusoidali v(t) e i(t), quindi sono dei fasori.

• Z e Y rappresentano le operazioni, in genere di tipo differenziale, che ese-guite sulla funzione i(t) danno come risultato la funzione v(t) e viceversa.Quindi Z e Y sono degli operatori

Al fine di mettere in evidenza questa differenza di ruoli, in questo testo si utiliz-zano simboli del tipo A per indicare i fasori e simboli del tipo A per indicare glioperatori.

9.3.3 Esempi

9.3.3.1 Bipolo R-L serie

Si considerino un resistore e un induttore collegati in serie (fig. 9.6). La tensionecomplessiva e data da

v(t) = vR(t) + vL(t) = Ri(t) + Ldi

dt(9.70)

6Si noti che la reattanza e una quantita reale.7Anche la suscettanza e una quantita reale.

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I

V

VR

VR

VL

VL

R L

Re

Im

0 I

V

�

b)a)

Figura 9.6: Bipolo R-L serie

Nell’ipotesi che v(t) e i(t) siano sinusoidali, facendo uso della proprieta di linearitae della regola di derivazione, si ottiene

V = VR + VL = (R + jωL)I (9.71)

I fasori della corrente e delle tensioni sono rappresentati in fig. 9.6b, nella quale,per semplicita, si e assunto che la fase della corrente sia nulla.

Dalla (9.71) si ricava che l’impedenza del bipolo e

Z = R + jωL (9.72)

L’impedenza ha, quindi, una parte reale coincidente con la resistenza del resistoree una parte immaginaria coincidente con la reattanza dell’induttore. Il modulodell’impedenza e∣∣∣Z∣∣∣ = √

R2 + (ωL)2 (9.73)

e tende a R per ω tendente a zero e tende all’infinito al crescere di ω. L’argomentodell’impedenza e

arg(Z) = arctg

(ωL

R

)(9.74)

e tende a zero per ω tendente a zero e a π/2 per ω tendente ad infinito.Quindi, per piccoli valori della pulsazione, il comportamento del bipolo e si-

mile a quello di un resistore: lo sfasamento tra la tensione e la corrente tende azero e il rapporto tra VM e IM tende a R. Al crescere della pulsazione la pre-senza dell’induttore diviene sempre piu significativa: lo sfasamento tra tensionee corrente aumenta e tende a π/2, mentre il rapporto tra VM e IM tende a ωL.

L’ammettenza del bipolo e

Y =R

R2 + (ωL)2− j

ωL

R2 + (ωL)2(9.75)

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Si noti che la parte reale di Y dipende sia da R che da L e risulta funzionedella pulsazione, pertanto non si identifica con la conduttanza del resistore. Ana-logamente la parte immaginaria dipende sia da R che e da L e non e diret-tamente proporzionale alla pulsazione, quindi non coincide con la suscettanzadell’induttore.

9.3.3.2 Bipolo R-L parallelo

Nel caso di un resistore e un induttore collegati in parallelo (fig. 9.7) valgono lerelazioni

v(t) = vL(t) = LdiLdt

(9.76)

i(t) = iR(t) + iL(t) = Gv(t) + iL(t) (9.77)

In condizioni di regime sinusoidale, passando ai fasori, si ha quindi

V = jωLIL (9.78)

I = IR + IL = GV + IL (9.79)

eliminando IL tra queste equazioni si ottiene

I =

(G− j

1

ωL

)V (9.80)

I fasori della tensione e delle correnti sono rappresentati in fig. 9.7b. In questocaso si e assunto un valore nullo per la fase della tensione.

L’ammettenza del bipolo vale

Y = G− j1

ωL(9.81)

I

V

IR

IR

IL

IL

R LRe

Im

0

I

V

�

b)a)

Figura 9.7: Bipolo R-L parallelo in regime sinusoidale

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e quindi ha parte reale coincidente con la conduttanza del resistore e parte imma-ginaria coincidente con la suscettanza dell’induttore. Il modulo dell’ammettenzavale

|Y | =√

G2 +

(1

ωL

)2

(9.82)

e tende infinito per ω tendente a zero e a G per ω tendente a infinito, mentre ilsuo argomento e

arg Y = arctg

(− 1

ωLG

)(9.83)

e tende a −π/2 per ω tendente a zero e a zero per ω tendente ad infinito. Inquesto caso, quindi, il bipolo si comporta in modo simile al solo induttore pervalori piccoli della pulsazione e al solo resistore per valori grandi.

Infine, per il bipolo R-L parallelo l’impedenza vale

Z =1

Y=

G

G2 +

(1

ωL

)2 +j

1

ωL

G2 +

(1

ωL

)2 =ω2RL2

R2 + (ωL)2+j

ωR2L

R2 + (ωL)2(9.84)

9.3.3.3 Bipolo R-C parallelo

Nel caso di un resistore e un condensatore collegati in parallelo (fig. 9.8), lacorrente complessiva e data da

i(t) = iR(t) + iC(t) = Gv(t) + Cdv

dt(9.85)

I

V

IR

IC

IC

R C

IR

Re

Im

0

I

V

�

b)a)

Figura 9.8: Bipolo R-C parallelo in regime sinusoidale

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In regime sinusoidale, passando ai fasori, si ottiene

I = IR + IC = (G+ jωC)V (9.86)

I fasori della tensione e delle correnti sono rappresentati in fig. 9.8b, nella qualesi e assunto che la fase della tensione sia nulla.


Y = G+ jωC (9.87)

ed ha quindi una parte reale coincidente con la conduttanza del resistore e unaparte immaginaria coincidente con la reattanza del condensatore. Il modulodell’ammettenza e∣∣∣Y∣∣∣ = √

G2 + (ωC)2 (9.88)

e tende a G per ω tendente a zero e tende all’infinito al crescere di ω. L’argomentodell’ammettenza e

arg(Y) = arctg

(ωC

G

)(9.89)

e tende a zero per ω tendente a zero e a π/2 per ω tendente ad infinito. Quindi,per piccoli valori della pulsazione il comportamento del bipolo e simile a quellodel solo resistore, mentre al crescere della pulsazione prevale il condensatore.

Infine l’impedenza del bipolo e

Z =G

G2 + (ωC)2− j

ωC

G2 + (ωC)2=

R

1 + (ωRC)2− j

ωR2C

1 + (ωRC)2(9.90)

9.3.3.4 Bipolo R-C serie

Nel caso di un resistore e un induttore collegati in serie (fig. 9.9) valgono lerelazioni

i(t) = iC(t) = CdvCdt

(9.91)

v(t) = vR(t) + vC(t) = Ri(t) + vC(t) (9.92)

In condizioni di regime sinusoidale, passando ai fasori, si ha quindi

I = jωCVC (9.93)

V = VR + VC = RI + VC (9.94)

eliminando VC tra queste equazioni si ottiene

V =

(R− j

1

ωC

)I (9.95)

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I fasori della corrente e delle tensioni sono rappresentati in fig. 9.9b, nella qualesi e assunto che la fase della corrente sia nulla.

L’impedenza del bipolo vale

Z = R− j1

ωC(9.96)

ed ha parte reale coincidente con la resistenza del resistore e parte immaginariacoincidente con la reattanza del condensatore. Il modulo dell’impedenza vale

|Z| =√

R2 +

(1

ωC

)2

(9.97)

e tende infinito per ω tendente a zero e a R per ω tendente a infinito, mentre ilsuo argomento e

arg Z = arctg

(− 1

ωCR

)(9.98)

e tende a −π/2 per ω tendente a zero e a zero per ω tendente ad infinito.

In questo caso, quindi, il bipolo si comporta in modo simile al solo condensa-tore per valori piccoli della pulsazione e al solo resistore per valori grandi.

Infine, per il bipolo R-C parallelo l’ammettenza vale

Y =1

Z=

R

R2 +

(1

ωC

)2 +j

1

ωC

R2 +

(1

ωC

)2 =ω2GC2

G2 + (ωC)2+j

ωG2C

G2 + (ωC)2(9.99)

I

V

VR VC

R C

V

VR

VC

Re

Im

0 I

V

�

b)a)

Figura 9.9: Bipolo R-C serie

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9.4 Componenti multipolari in condizioni di regimesinusoidale

9.4.1 Generalita

Per la proprieta di linearita della trasformata di Steinmetz, le relazioni tra letensioni e le correnti alle porte dei doppi bipoli lineari resistivi, e piu in generaledegli gli N -porte lineari resistivi, valgono anche tra i fasori delle tensioni e dellecorrenti, quindi, ad esempio, per un doppio bipolo descritto mediante matrice diresistenza anche fasori delle tensioni e delle correnti alle porte sono legati tra lorodalla matrice di resistenza.

Nel caso di un N -porte formato da componenti resistivi lineari e componentidinamici lineari le tensioni e le correnti alle porte sono legati equazioni differenzialiomogenee. Quindi le relazioni tra i fasori delle tensioni e delle correnti possonoessere espresse nella forma

p11V1 + · · ·+ p1N VN + q11I1 + · · ·+ q1N IN = 0

...

pN1V1 + · · ·+ pNN VN + qN1I1 + · · ·+ qNN IN = 0

(9.100)

analoga alla (3.128) del capitolo 3, ma nella quale i coefficienti pkj e qkj in generalesono complessi e dipendono dalla pulsazione. Le (9.100) possono essere espressepiu sinteticamente in forma matriciale nel modo seguente

PV + QI = 0 (9.101)

dove

V�=

V1...

VN

I

�=

I1...IN

P�=

p11 . . . p1N...

. . ....

pN1 . . . pNN

Q

�=

q11 . . . q1N...

. . ....

qN1 . . . qNN

(9.102)

Se i coefficienti pkj e qkj consentono di esprimere N fasori di tensioni e correntiin funzione dei rimanenti, dalle (9.101) si possono ricavare delle rappresentazionianaloghe a quelle introdotte nel capitolo 3.

In particolare per i doppi bipoli lineari dinamici si possono introdurre dellerappresentazioni in termini di parametri di impedenza e di ammettenza analoghealle rappresentazioni mediante matrice di resistenza e di conduttanza dei doppi

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bipoli lineari resistivi[V1

V2

]=

[z11 z12

z21 z22

]·[I1I2

]= Z ·

[I1I2

](9.103)[

I1I2

]=

[y11 y12

y21 y22

]·[V1

V2

]= Y ·

[V1

V2

](9.104)

e delle rappresentazioni mediante parametri ibridi complessi o parametri di tra-smissione complessi formalmente identiche a quelle introdotte per i doppi bipolilineari resistivi[

V1

I2

]=

[h11 h12

h21 h22

]·[I1V2

]= H ·

[I1V2

](9.105)

[I1V2

]=

[h′

11 h′12

h′21 h′

22

]·[V1

I2

]= H ′ ·

[V1

I2

](9.106)[

V1

I1

]=

[A B

C D

]·[V2

−I2

]= T ·

[V2

−I2

](9.107)[

V2

I2

]=

[A′ B′

C′ D′

]·[V1

−I1

]= T ′ ·

[V1

−I1

](9.108)

I coefficienti delle matrici hanno significato analogo a quello illustrato nel ca-pitolo 3 per le corrispondenti rappresentazioni dei doppi bipoli resistivi, con ladifferenza che, in questo caso, al posto di rapporti tra tensioni e correnti si devonoconsiderare rapporti tra fasori.

Si puo dimostrare che per un N -porte reciproco, i fasori di due insiemi di ten-sioni V′

k, I′k e V

′′k, I

′′k, con k = 1, . . . , N compatibili con le equazioni del componente

soddisfano la relazioneN∑k=1

V′k I

′′k =

N∑k=1

V′′k I

′k (9.109)

analoga alla (3.140). Di conseguenza si puo verificare che le relazioni tra i coef-ficienti delle matrici dei doppi bipoli e degli N -porte resistivi reciproci ricavatenel capitolo 3 valgono anche per i coefficienti delle matrici che descrivono i doppibipoli e gli N -porte dinamici in regime sinusoidale.

Si puo verificare, inoltre, che per i componenti simmetrici le relazioni tra icoefficienti delle matrici dei doppi bipoli ricavate nel capitolo 3 valgono anche peri doppi bipoli dinamici in regime sinusoidale.

9.4.2 Generatori dipendenti

I generatori dipendenti sono componenti resistivi, quindi le relazioni tra i fasoridelle tensioni e delle correnti coincidono con le relazioni tra i valori istantaneidelle tensioni e delle correnti

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• Generatore di tensione controllato in tensione

I1 = 0

V2 = µV1

(9.110)

• Generatore di tensione controllato in corrente

V1 = 0

V2 = rI1(9.111)

• Generatore di corrente controllato in tensione

I1 = 0

I2 = gV1

(9.112)

• Generatore di corrente controllato in corrente

V1 = 0

I2 = αI1(9.113)

9.4.3 Trasformatore ideale

Per un trasformatore ideale le relazioni tra i fasori delle tensioni e delle correntisono

V1 = KV2

I1 = − 1

KI2

(9.114)

Quindi le tensioni alla porta 1 e alla porta 2 sono in fase mentre le correnti hannosegni opposti e quindi sono in opposizione di fase.

9.4.4 Induttori accoppiati

Per due induttori accoppiati in regime sinusoidale, facendo uso della proprieta dilinearita e della regola di derivazione, si ottengono le relazioni

V1 = jωL1I1 + jωM I2

V2 = jωM I1 + jωL2I2(9.115)

Tali relazioni sono un caso particolare di rappresentazione in termini di parametridi impedenza. In questo caso i coefficienti della matrice di impedenza sono tuttiimmaginari.

Se gli induttori non sono perfettamente accoppiati, dalle (9.115) si possonoricavare le relazioni

I1 =1

jωΓ1V1 +

1

jωΓM V2

I2 =1

jωΓM V1 +

1

jωΓ2V2

(9.116)

che costituiscono una rappresentazione in termini di parametri di ammettenza.

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9.5 Circuiti in condizioni di regime sinusoidale

9.5.1 Leggi di Kirchhoff

Dato che le equazioni ottenute applicando le leggi di Kirchhoff sono lineari, laproprieta di linearita della trasformata di Steinmetz permette di affermare chein un circuito in regime sinusoidale anche i fasori delle tensioni e delle correntidevono soddisfare le leggi di Kirchhoff. Quindi per ogni maglia di in circuito inregime sinusoidale deve essere nulla la somma algebrica dei fasori delle tensioni(presi con segno piu o meno a seconda degli orientamenti dei versi di riferimentorami rispetto al verso della maglia)∑

k

±Vk = 0 (9.117)

e per ogni taglio di in circuito in regime sinusoidale deve essere nulla la sommaalgebrica dei fasori delle correnti (presi con segno piu o meno a seconda degliorientamenti dei versi di riferimento rami rispetto al verso del taglio)∑

k

±Ik = 0 (9.118)

Le equazioni di Kirchhoff scritte in termini di fasori sono indicate anche con ilnome di equazioni di Kirchhoff simboliche.

9.5.2 Analisi di circuiti in regime sinusoidale

A questo punto si puo notare che per un circuito lineare in regime sinusoidalei fasori delle tensioni e delle correnti devono soddisfare un insieme di equazioniche sono analoghe alle equazioni di un circuito lineare resistivo alimentato dageneratori costanti, infatti:

• le relazioni costitutive dei componenti, espresse in termini di fasori, diven-gono equazioni lineari algebriche in cui i termini noti sono rappresentati daifasori delle tensioni e delle correnti impresse dai generatori indipendenti;

• le leggi di Kirchhoff valgono anche per i fasori delle tensioni e delle correnti.

Questa analogia formale consente di estendere ai circuiti lineari in regime sinu-soidale i risultati e i metodi di analisi che si applicano ai circuiti resistivi linearie la cui validita deriva dalla struttura delle equazioni del circuito. Quindi, tuttoquello che e stato affermato relativamente ai circuiti resistivi lineari basandosisulle leggi di Kirchhoff e sul fatto che le equazioni dei componenti sono linearialgebriche puo essere ripetuto per i circuiti lineari in regime sinusoidale sosti-tuendo le parole tensione e corrente con le espressioni fasore della tensione efasore della corrente e le parole resistenza e conduttanza con le parole impedenzae ammettenza. In particolare:

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• Le relazioni di equivalenza e i risultati ad esse correlati che sono stati ricavatinei capitoli 2-3 per i circuiti resistivi, possono essere estese al caso dei circuitiin regime sinusoidale.

Quindi si possono ricavare regole per la combinazione in serie e in parallelodi impedenze o ammettenze analoghe a quelle viste per le resistenze e leconduttanze, si possono generalizzare le formule del partitore di tensionee di corrente, le formule di Millman, le formule di trasformazione stella-triangolo e cosı via.

• I metodi generali di analisi illustrati nel capitolo 5 possono essere estesi aicircuiti in regime sinusoidale. Le regole per la scrittura delle equazioni delcircuito in termini di fasori coincidono con quelle enunciate relativamenteai circuiti resistivi, a parte il fatto che al posto delle resistenze e delleconduttanze si devono considerare le impedenze e le ammettenze.

9.5.3 Generalizzazioni dei teoremi dei circuiti

9.5.3.1 Teorema di Tellegen

Il teorema di Tellegen (paragrafo 6.1) deriva dalle leggi di Kirchhoff, quindi puoessere applicato anche ai fasori delle tensioni e delle correnti. Dal teorema diTellegen derivano altri importanti risultati relativi al comportamento energeticodi un circuito in regime sinusoidale che saranno illustrati nel paragrafo 9.6.4.

9.5.3.2 Teoremi di non amplificazione

I teoremi di amplificazione (paragrafo 6.2) continuano a valere per i circuiti inregime sinusoidale ma consentono solo di fare affermazioni che riguardano i valoriistantanei della tensione e della corrente. Da tali affermazioni, non si puo trarrenessuna conclusione relativa ai fasori delle tensioni e delle correnti. Quindi iteoremi non possono essere formulati in termini di fasori.

9.5.3.3 Teorema di sostituzione

Il teorema di sostituzione (paragrafo 6.3) si basa su ipotesi che riguardano lastruttura delle equazioni del circuito, quindi vale anche per i fasori.

9.5.3.4 Teorema di sovrapposizione

Il teorema di sovrapposizione (paragrafo 6.4.1) si basa sulla linearita delle equa-zioni del circuito, quindi puo essere formulato anche in termini di fasori. Pertantosi puo affermare che in un circuito in regime sinusoidale i fasori delle tensioni edelle correnti di tutti i lati possono essere espressi come combinazioni lineari dei

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fasori delle tensioni e delle correnti impresse dai generatori indipendenti. Valgonocioe le relazioni

Vj =l∑

k=1

αjkVGk +l∑

k=1

Zjk IGk

Ij =l∑

k=1

YjkVGk +l∑

k=1

βjk IGk

(9.119)

che rappresentano l’estensione al caso dei regimi sinusoidali delle (6.24). I coef-ficienti αjk, βjk, Zjk e Yjk hanno significato analogo a quello dei coefficienti direte introdotti nel paragrafo 6.4.2, ma in questo caso sono complessi e sono fun-zioni della pulsazione. Tali coefficienti sono indicati, quindi, col nome di funzionidi rete. In particolare le funzioni di rete che legano fasori relativi allo stessolato sono dette funzioni di immettenza8, mentre i le funzioni di rete che lega-no fasori relativi allo stesso lato sono dette a lati diversi sono dette funzioni ditrasferimento.

9.5.3.5 Teorema di reciprocita

Il teorema di reciprocita si basa essenzialmente sul teorema di Tellegen che, co-me si e visto, vale anche per i fasori delle tensioni e delle correnti, quindi puoessere esteso ai circuiti dinamici in regime sinusoidale. Infatti, con un procedi-mento analogo a quello impiegato nel paragrafo 6.4.3, si puo dimostrare che unarete dinamica formata da resistori, induttori, condensatori e N -porte reciproci ereciproca.

Inoltre si puo verificare che, per quanto riguarda le funzioni di rete, per unarete reciproca valgono le relazioni

zjk = zkj (9.120)

yjk = ykj (9.121)

αjk = −βkj (9.122)

analoghe alle (6.31), (6.35), (6.39).

9.5.3.6 Teoremi di Thevenin e Norton

I teoremi di Thevenin e Norton (paragrafo 6.4.1) possono essere estesi ai circuitidinamici in regime sinusoidale.

• Il circuito equivalente di Thevenin e costituito da un generatore di tensioneVeq e in serie con un’impedenza Zeq.

8Il nome deriva dalla combinazione dei termini impedenza e ammettenza.

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– Veq coincide con il fasore della tensione a vuoto del bipolo;

– Zeq e l’impedenza equivalente del bipolo (cioe il rapporto tra i fasoridella tensione e della corrente ai terminali del bipolo) con i generatoriindipendenti azzerati.

• Il circuito equivalente di Norton e costituito da un generatore di tensioneIeq e in serie con un’impedenza Zeq.

– Ieq coincide con il fasore della corrente di corto circuito del bipolo;

– Zeq e l’impedenza equivalente del bipolo coi i generatori indipendentiazzerati.

9.5.4 Equivalenze riguardanti trasformatori ideali e induttoriaccoppiati

9.5.4.1 Trasformazione dell’impedenza di carico

Si consideri un trasformatore ideale con rapporto spire K al cui secondario(cioe alla porta 2) e collegata un’impedenza Z (fig. 9.10). Si puo verificare chel’impedenza equivalente al primario (cioe alla porta 1) e

Zeq = K2Z (9.123)

Cioe l’impedenza equivalente al primario e data dall’impedenza al secondario mol-tiplicata per il quadrato del rapporto spire. Infatti tenendo conto delle equazionidel trasformatore ideale e della relazione

V2 = −ZI2 (9.124)

si ottiene

Zeq =V1

I1=

KV2

− 1

KI2

= K2 V2

I2= K2Z (9.125)

I1 I1I2

V2V1 V1ZC K2ZC

K:1

. .�

Figura 9.10: Trasformatore ideale collegato a un’impedenza di carico

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9.5.4.2 Relazioni tra il trasformatore ideale e gli induttori accoppiati

Come si e visto nel paragrafo 7.4, nel caso di accoppiamento perfetto tra iparametri di due induttori accoppiati vale la relazione

L1L2 = M2 (9.126)

Quindi si puo porre

K =L1

M=

M

L2

(9.127)

e riscrivere le equazioni del componente nella forma

V1 = jωL1

(I1 +

M

L1

I2

)= jωL1

(I1 +

1

KI2

)

V2 = jωM

(I1 +

L2

MI2

)= jωM

(I1 +

1

KI2

) (9.128)

Facendo il rapporto tra le due equazioni si ottiene

V1 =L1

MV2 = KV2 (9.129)

Inoltre dalla prima delle (9.128) si ricava

I1 =1

jωLV1 − 1

KI2 = I ′1 + I ′′1 (9.130)

mentre dalla seconda si ha

I2 =K

jωMV2 −K I1 =

1

jωL2

V2 −K I1 = I ′2 + I ′′2 (9.131)

Si puo notare che le equazioni (9.129) e (9.130) coincidono con quelle del 2-portedi fig. 9.11a, mentre le (9.129) e (9.131), coincidono con le equazioni del 2-portedi fig. 9.11b.

I1 I1I1

I1 I2

I2 I2I2

V2 V2V1 V1

K:1 K:1

� �

� �

L1 L2

a) b)

Figura 9.11: Circuiti equivalenti a due induttori perfettamente accoppiati

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Quindi due induttori perfettamente accoppiati possono essere rappresentaticon un circuito equivalente costituito da un trasformatore ideale con rappor-to spire pari a K e con un induttanza L1 in parallelo al primario oppure conun’induttanza L2 in parallelo al secondario. Si noti che essendo

L1 =L1

M

M

L2

L2 = K2L2 (9.132)

i due circuiti di fig. 9.11 possono essere dedotti l’uno dall’altro mediante la regoladi trasformazione dell’impedenza. Le equazioni (9.129)-(9.131) mostrano ancheche il completamento di due induttori perfettamente accoppiati tende a quellodi un trasformatore ideale se l’induttanza L1 (e quindi L2) tendono ad infinito,oppure, per valori fissati delle induttanze, al crescere della pulsazione. Nel casoin cui gli induttori non sono perfettamente accoppiati e possibile scomporre leinduttanze L1 e L2 nella somma di due termini

L1 = L′1 + L′′

1

L2 = L′2 + L′′

2

(9.133)

tali che

L′′1L

′′2 = M2 (9.134)

Quindi posto

K =L′′

1

M=

M

L′′2

(9.135)

le equazioni degli induttori accoppiati possono essere scritte nella forma

V1 = jωL′′1

(I1 +

1

KI2

)+ jωL′

1I1

V2 = jωM

(I1 +

1

KI2

)+ jωL′

2I2

(9.136)

I1I1 I2I2

V2 V2V1 V1

K:1 K:1

� �� L1

L1 L1L2 L2

L2

a) b)

Figura 9.12: Circuiti equivalenti a due induttori accoppiati

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I1 I2

V2V1

K:1

� ��L1 R0

L1R1 L2 R2

Figura 9.13: Circuito equivalente di un trasformatore fisico

Queste tensioni sono date dalla somma di due termini di cui i primi sono identicialle tensioni alle porte di due induttori perfettamente accoppiati, mentre i secondicoincidono con le tensioni ai terminali di due induttanze di valore L′

1 e L′2. Quindi,

in generale, due induttori accoppiati possono essere rappresentati con i circuitiequivalenti di fig. 9.12. Si noti che la scomposizione indicata dalle (9.133) puoessere effettuata in infiniti modi e in particolare e possibile fare in modo che L′

1

o L′2 sia nulla.Queste equivalenze mostrano anche che il comportamento di due induttori ac-

coppiati puo essere assimilato a quello di un trasformatore ideale se sono verificatele seguenti condizioni

• l’accoppiamento tra gli induttori puo essere considerato perfetto, quindi leimpedenze degli induttori L′

1 e L′2 possono essere considerate nulle, quindi

L′1 e L′

2 possono essere considerati dei cortocircuiti

• l’impedenza di L′′1 puo essere considerata infinita, quindi L′′

1 puo essereconsiderato un circuito aperto

Dato che in pratica e possibile realizzare valori molto piccoli ma non nulli diL′

1 e L′2 le impedenze di L′

1 e L′2 potranno essere trascurabili solo se la frequenza

non e troppo elevata, mentre per frequenza tendenti a in finito le due induttanzetendono a comportarsi come due circuiti aperti

Analogamente, dato che non e possibile realizzare un valore infinito per L′′1,

la presenza dell’induttore in parallelo alla porta del trasformatore potra esseretrascurata solo se la frequenza e non e troppo bassa, infatti quando la frequenzatende a zero L′′

1 tende a comportarsi come un cortocircuito.Di conseguenza il comportamento di due induttori accoppiati puo approssima-

re quello di un trasformatore ideale solo all’interno di un intervallo di frequenzela cui estensione dipende dai valori delle induttanze L′

1 e L′2 e L′′

1.I circuiti di fig. 9.12, quindi, forniscono una rappresentazione di un trasforma-

tore fisico avente un campo di validita piu ampio rispetto al modello costituitoda un trasformatore ideale.

Un ulteriore modello che riproduce il comportamento del componente fisico inmodo ancora piu accurato e riportato in fig. 9.13. In questo modello sono presenti

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anche due resistori in serie a L′1 e L′

2 con i quali si tiene conto della resistenza, ingenere piccola ma non nulla, degli avvolgimenti del trasformatore e un resistoreR0 che serve a rappresentare alcuni fenomeni dissipativi che avvengono nel nucleodel trasformatore.

9.6 Potenze in regime sinusoidale

9.6.1 Potenza assorbita da un bipolo in regime sinusoidale

Si consideri un bipolo in condizioni di regime sinusoidale e si indichino con

v(t) = VM cos(ωt+ ϕV )

i(t) = IM cos(ωt+ ϕI)(9.137)

la tensione e la corrente orientate secondo la convenzione dell’utilizzatore. Siindichi inoltre con il simbolo ϕ la differenza tra la fase della tensione e la fasedella corrente

ϕ = ϕV − ϕI (9.138)

che, come si e visto, nel caso di un bipolo che non contiene generatori indipendentirappresenta anche l’argomento dell’impedenza.

La potenza istantanea assorbita dal bipolo in queste condizioni e data da

p(t) = v(t)i(t) = VMIM cos(ωt+ ϕV ) cos(ωt+ ϕI) =

=1

2VMIM [cos(2ωt+ ϕV + ϕI) + cos(ϕV − ϕI)] =

=1

2VMIM cos(2ωt+ ϕV + ϕI) +

1

2VMIM cosϕ

(9.139)

L’andamento di p(t) e del tipo indicato in fig. 9.14. Si noti che, in generale, sipossono avere intervalli di tempo in cui la potenza assorbita assume valori positivi,corrispondenti a valori entrambi positivi o entrambi negativi della tensione dellacorrente, alternati con intervalli in cui la potenza assorbita assume valori negativi,nei quali la tensione e la corrente hanno segni discordi.

La (9.139) mostra che la potenza e costituita dalla somma di due contributi:uno costante nel tempo e uno oscillante con pulsazione doppia rispetto a quelladella tensione e della corrente e con ampiezza data da 1/2VMIM .

Dato che il valore medio sul periodo del termine oscillante e nullo, il terminecostante corrisponde al valore medio P sul periodo della potenza istantanea

P�=

1

T

∫ T

0

p(t)dt =1

2VMIM cosϕ (9.140)

Il valore di P oltre che dall’ampiezza della tensione e della corrente dipende daltermine cosϕ, che viene indicato con il nome di fattore di potenza.

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0 t

V IM M cos�12

v t� �

i t� �

p t� �

Figura 9.14: Potenza assorbita da un bipolo in regime sinusoidale

Per un bipolo passivo P deve essere positivo o al piu nullo. Infatti se fosseP < 0 l’integrale sul periodo della potenza assorbita risulterebbe negativo equindi, complessivamente, in ogni periodo il bipolo cederebbe energia al resto delcircuito, ma questo per un bipolo passivo non e possibile.

Dalla (9.140) si ricava che, affinche risulti P ≥ 0, anche il fattore di potenzadeve essere positivo o nullo e quindi ϕ deve essere compreso tra −π/2 e π/2. Cioimplica che la parte reale dell’impedenza di un bipolo passivo deve essere positivao nulla.

A parita di tensione e corrente, per un bipolo passivo P e massimo se latensione e la corrente sono in fase (cosϕ = 1), mentre si annulla se la tensione ela corrente sono in quadratura (cosϕ = 0).

9.6.1.1 Potenza assorbita da un resistore

Per un resistore tensione e la corrente sono in fase, quindi risulta

ϕ = 0 (9.141)

di conseguenza il valor medio P della potenza istantanea vale

P =1

2VMIM =

1

2RI2

M =1

2GV 2

M (9.142)

e quindi la potenza assorbita dal resistore e

p(t) =1

2VMIM [1 + cos(2ωt+ 2ϕV )] (9.143)

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0 t

V IM M12

v t� �

i t� �

p t� �

Figura 9.15: Potenza assorbita da un resistore in regime sinusoidale

Dato che il valore medio della potenza e uguale all’ampiezza dall’oscillazione,la potenza assorbita non puo mai diventare negativa, pertanto si ha un flussounidirezionale di energia verso il resistore.

Gli andamenti della tensione, della corrente e della potenza assorbita sonorappresentati nel grafico di fig. 9.15.

9.6.1.2 Potenza assorbita da un induttore

Per un induttore, dato che la tensione e in quadratura in anticipo rispetto allacorrente, si ha

ϕ =π

2(9.144)

Pertanto risulta

P =1

2VMIM cosϕ = 0 (9.145)

e la potenza istantanea e data dal solo termine oscillante

p(t) =1

2VMIM cos

(2ωt+ 2ϕV − π

2

)=

1

2ωLI2

M cos(2ωt+ 2ϕV − π

2

)(9.146)

Quindi, in questo caso, si ha in flusso di energia bidirezionale caratterizzato dal-l’alternanza di intervalli di durata pari a un quarto del periodo della tensione edella corrente in cui l’induttore assorbe energia con intervalli di uguale durata incui l’induttore restituisce l’energia accumulata.


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0 t

v t� �

i t� �

p t� �

Figura 9.16: Potenza assorbita da un induttore in regime sinusoidale

0 t

v t� �

i t� �

p t� �

Figura 9.17: Potenza assorbita da un condensatore in regime sinusoidale

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9.6.1.3 Potenza assorbita da un condensatore

Per un condensatore, dato che la corrente e in quadratura in anticipo rispettoalla tensione, si ha

ϕ = −π

2(9.147)

Di conseguenza, anche in questo caso risulta

P =1

2VMIM cosϕ = 0 (9.148)

e la potenza istantanea e data dal solo termine oscillante

p(t) =1

2VMIM cos

(2ωt+ 2ϕV +

π

2

)=

1

2ωCV 2

M cos(2ωt+ 2ϕV +

π

2

)(9.149)

Quindi anche per il condensatore si ha un flusso di energia bidirezionale, analogoa quello visto per l’induttore.


9.6.2 Potenza attiva e reattiva

I risultati ottenuti nei tre casi considerati mostrano che per un bipolo puramenteresistivo si ha un flusso unidirezionale di energia verso il bipolo stesso, mentrenel caso di un bipolo puramente reattivo si ha un alternanza di intervalli incui il bipolo assorbe energia dal resto del circuito con intervalli in cui il bipolorestituisce l’energia assorbita.

Come e noto, cio corrisponde al fatto che in un bipolo resistivo l’energia assor-bita viene convertita in altre forme (trasformata in lavoro meccanico, dissipataper effetto Joule, ecc.), mentre in un bipolo reattivo l’energia assorbita vieneaccumulata e in seguito puo essere restituita.

Per un bipolo generico di solito i due fenomeni coesistono. Per mettere meglioin evidenza questo fatto e opportuno scomporre la corrente in due contributi,uno in fase con la tensione, come avviene nei resistori, e uno in quadratura, comeavviene per i bipoli reattivi

i(t) = IM cos(ωt+ ϕI) =

= IM cos[(ωt+ ϕV )− (ϕV − ϕI)] =

= IM cosϕ cos(ωt+ ϕV ) + IM senϕ sen(ωt+ ϕV )

(9.150)

Il primo termine

iA(t) = IM cosϕ cos(ωt+ ϕV ) (9.151)

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Re

Im

0

I

IAIR

V

� ��V 2

�

Figura 9.18: Componenti attiva e reattiva della corrente

in fase con la tensione, e detto componente attiva della corrente, mentre il secondotermine

iR(t) = IM senϕ sen(ωt+ ϕV ) = IM senϕ cos(ωt+ ϕV − π

2

)(9.152)

che e in quadratura di fase, e detto componente reattiva della corrente. Si notiche se si indicano con I, IA e IR i fasori della corrente e delle sue componentiattiva e reattiva e con V il fasore della tensione, la scomposizione della correntei(t) corrisponde alla scomposizione di I nella somma di due componenti, unaparallela a V (IA) e una ortogonale (IR), come illustrato in fig. 9.18.

Quindi la potenza istantanea assorbita dal bipolo puo essere scomposta nellasomma di due contributi derivanti dalle due componenti della corrente

p(t) = v(t)[iA(t) + iR(t)] = v(t)iA(t) + v(t)iR(t) = pA(t) + pR(t) (9.153)

Il primo termine

pA(t) = VM cos(ωt+ ϕV )IM cosϕ cos(ωt+ ϕV ) =

= VMIM cosϕ cos2(ωt+ ϕV ) =

=1

2VMIM cosϕ[1 + cos(2ωt+ 2ϕV )]

(9.154)

e detto potenza istantanea attiva ed e composto, a sua volta, da un terminecostante di valore P , cioe pari al valor medio della potenza istantanea, e da untermine oscillante di pulsazione 2ω e ampiezza ancora pari a P . Quindi la potenzaistantanea attiva ha sempre lo stesso segno (in particolare e positiva se cosϕ epositivo) e pertanto corrisponde ad un flusso unidirezionale di energia.

Il secondo termine

pR(t) = VM cos(ωt+ ϕV )IM senϕ sen(ωt+ ϕV ) =

=1

2VMIM senϕ sen(2ωt+ 2ϕV )

(9.155)

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t

t

t

v t� �

i t� �

i tA� �

p tA� �

i tR� �

p tR� �

0

0

0

V IM M cos�12

Figura 9.19: Potenza attiva e reattiva

detto potenza istantanea reattiva, e oscillante con pulsazione 2ω quindi corrispon-de a un flusso bidirezionale di energia.

Le relazioni tra la tensione, le componenti della corrente e le componenti dellapotenza istantanea sono mostrate nel grafico di fig. 9.19.

Il comportamento energetico del bipolo puo essere rappresentato mediantedue parametri.

• La potenza istantanea attiva e caratterizzata dal suo valore medio P cheviene chiamato semplicemente potenza attiva ed e definito dalla relazione

P�=

1

T

∫ T

0

pA(t)dt =1

T

∫ T

0

p(t)dt =1

2VMIM cosϕ (9.156)

La potenza attiva si misura in watt (simbolo W).

• la potenza istantanea reattiva e caratterizzata da un parametro detto po-tenza reattiva, indicato con Q, costituito dal suo valore massimo preso conil segno dello sfasamento ϕ tra la tensione e la corrente

Q�= max[pR(t)] sgn(ϕ) =

1

2VMIM senϕ (9.157)

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S

S

P

P

QQ

�

��

�

Figura 9.20: Triangolo delle potenze

La potenza reattiva e quindi, per definizione, positiva se la tensione e sfasatain anticipo sulla corrente, come avviene per gli induttori, mentre e negativase la tensione e sfasata in ritardo rispetto alla corrente, come avviene per icondensatori.

La potenza reattiva si misura in volt-ampere reattivi (simbolo VAR). Taleunita di misura e, dimensionalmente omogenea al watt.

Inoltre, viene indicata con il nome di potenza apparente la quantita:

S =1

2VMIM (9.158)

che rappresenta l’ampiezza dell’oscillazione della potenza istantanea attorno alsuo valor medio. La potenza apparente si misura in volt-ampere (simbolo VA),unita di misura anch’essa dimensionalmente omogenea al watt.

Tra potenza apparente, potenza attiva e potenza reattiva valgono le relazioni

S =√

P 2 +Q2 (9.159)

P = S cosϕ (9.160)

Q = S senϕ (9.161)

Q = P tgϕ (9.162)

che possono essere rappresentate mediante il diagramma di fig. 9.20 (detto anchetriangolo delle potenze).

9.6.3 Potenza complessa

Si definisce potenza complessa, N , la quantita

N�=

1

2VI∗ (9.163)

Si puo verificare che la parte reale e la parte immaginaria della potenza complessasono uguali rispettivamente alla potenza attiva e alla potenza reattiva

N = P + jQ (9.164)

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Infatti si ha

N =1

2VMejϕV IMe−jϕI =

1

2VMIMej(ϕV −ϕI) =

1

2VMIMejϕ =

=1

2VMIM(cosϕ+ j senϕ)

(9.165)

Quindi risulta

Re[N ] =1

2VMIM cosϕ = P

Im[N ] =1

2VMIM senϕ = Q

(9.166)

Tali relazioni consentono di ricavare i valori di P e Q direttamente dai fasori dellatensione e della corrente. Inoltre il modulo della potenza complessa coincide conla potenza apparente, infatti risulta

|N | = 1

2VMIM = S (9.167)

Per un bipolo di impedenza Z = R+ jX (e quindi di ammettenza Y = G+ jB),la potenza complessa puo essere espressa nelle forme seguenti

N =1

2VI∗ =

1

2ZII∗ =

1

2Z∣∣I∣∣2 =

=1

2V(YV)∗ =

1

2Y∗ ∣∣V∣∣2 (9.168)

Quindi risulta anche

P = Re

[1

2Z∣∣I∣∣2] =

1

2R∣∣I∣∣2 =

= Re

[1

2Y∗ ∣∣V∣∣2] =

1

2G∣∣V∣∣2 (9.169)

Q = Im

[1

2Z∣∣I∣∣2] =

1

2X∣∣I∣∣2 =

= Im

[1

2Y∗ ∣∣V∣∣2] = −1

2B∣∣V∣∣2 (9.170)

Queste relazioni mostrano che P e positiva se R (e quindi G) e positiva, mentreQ e positiva quando X e positiva (e quindi B negativa).

9.6.4 Bilanci energetici in regime sinusoidale

Si consideri un circuito con l lati in condizioni di regime sinusoidale e si indichinocon Vk e Ik , con k = 1, . . . , l, i fasori delle tensioni e delle correnti dei lati.

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Si assuma inoltre che per tutti i componenti i versi di riferimento siano definitisecondo la convenzione normale.

Come si e visto le Vk soddisfano la LKV, mentre le Ik soddisfano la LKI.Quest’ultimo fatto implica che anche i coniugati dei fasori delle correnti soddisfinola LKI. Quindi il teorema di Tellegen consente di affermare che vale la relazione

l∑k=1

Vk I∗k = 0 (9.171)

Quindi si ha anche

l∑k=1

Nk =l∑

k=1

1

2Vk I

∗k = 0 (9.172)

cioe e nulla la somma delle potenze complessa assorbite da tutti i rami del circuito.Questo richiede che sia anche

l∑k=1

Pk = 0 (9.173)

el∑

k=1

Qk = 0 (9.174)

cioe che siano nulle le somme estese a tutti i rami del circuito delle potenze attivee delle potenze reattive assorbite.

Se nel circuito sono presenti NG generatori indipendenti, supponendo, persemplicita, di numerare i rami mettendo ai primi posti quelli costituiti dai gene-ratori, si ha

−NG∑k=1

1

2Vk I

∗k =

l∑k=NG+1

1

2Vk I

∗k (9.175)

questa relazione indica che la somma delle potenze complesse erogate dei gene-ratori e uguale alla somma delle potenze complesse assorbite dagli altri rami. Siha inoltre

−NG∑k=1

Pk =l∑

k=NG+1

Pk

−NG∑k=1

Qk =l∑

k=NG+1

Qk

(9.176)

Quindi la potenza attiva e la potenza reattiva complessivamente erogate dai gene-ratori indipendenti sono uguali, rispettivamente, alla potenza attiva e alla potenzareattiva assorbite dagli altri componenti del circuito.

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9.6.5 Valori efficaci

Se a(t) e una funzione periodica di periodo T , si definisce valore efficace di a(t)la quantita

Aeff�=

√1

T

∫ T

0

a2(t)dt (9.177)

Cioe la radice quadrata del valore medio sul periodo del quadrato di a(t). Se, inparticolare, a(t) e una funzione sinusoidale di pulsazione ω, risulta

Aeff =

√2π

ω

∫ ω2π

0

A2M cos2(ωt+ ϕ)dt =

= AM

√2π

ω

∫ ω2π

0

1 + cos(2ωt+ 2ϕ)

2dt =

= AM

√π

ω

∫ ω2π

0

dt =AM√2

(9.178)

Quindi, per una funzione sinusoidale, il valore efficace si ottiene dividendo per√2

il valore massimo. Si noti che, facendo uso dei valori efficaci, la potenza attiva ela potenza reattiva possono essere espresse nella forma

P = VeffIeff cosϕ

Q = VeffIeff senϕ(9.179)

In particolare per un resistore si ha

P = RI2eff = GV 2

eff (9.180)

Confrontando queste espressioni con quelle della potenza assorbita da un re-sistore sottoposto a tensione e corrente costanti, si puo attribuire la seguenteinterpretazione fisica ai valori efficaci della tensione e della corrente:

Il valore efficace di una tensione (corrente) sinusoidale rappresenta ilvalore di una tensione (corrente) costante che, applicata a un resisto-re, da luogo ad una dissipazione di potenza pari al valore medio sulperiodo della potenza dissipata dalla tensione (corrente) sinusoidale,cioe che in ogni periodo da luogo alla stessa dissipazione di energiadeterminata dalla tensione (corrente) sinusoidale.

Nella pratica i valori efficaci sono impiegati comunemente, al posto dei valorimassimi, per indicare le ampiezze delle tensioni e delle correnti sinusoidali.

Inoltre e possibile definire la trasformata di Steinmetz basandosi sui valoriefficaci invece che sui valori massimi, cioe associando ad ogni funzione sinusoidaleun numero complesso avente modulo pari al valore efficace della funzione sinusoi-dale e argomento pari alla fase iniziale9. Seguendo questa impostazione le (9.4)

9Questa definizione e adottata in diversi testi di Elettrotecnica.

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e (9.6) devono essere modificate nel modo seguente

A = S {a(t)} =AM√2ejα (9.181)

a(t) = S−1{A}= Re

[√2Aejωt

]=

= Re[√

2∣∣A∣∣ ej(ωt+α)] = AM cos(ωt+ α)

(9.182)

Le proprieta della trasformata non cambiano e non cambiano le impedenze e leammettenze (essendo definite come rapporti tra fasori), mentre l’espressione dellapotenza complessa diviene

N = VI∗ (9.183)

9.6.6 Teorema del massimo trasferimento di potenza attiva

Si consideri un bipolo formato da un generatore di tensione sinusoidale, rappre-sentata mediante il fasore VG, in serie con un’impedenza Z e si colleghi a talebipolo un’impedenza di carico ZC (fig. 9.21). Si vuole determinare il valore ZCOda attribuire all’impedenza ZC affinche la potenza attiva che essa assorbe siamassima.

Il teorema del massimo trasferimento di impedenza attiva afferma che talevalore e dato da

ZCO = Z∗ (9.184)

Tale condizione e indicata come adattamento in potenza o adattamento coniugatodell’impedenza di carico.

Dimostrazione La trasformata della corrente in ZC vale

I =VG

Z + ZC(9.185)

Z

ZC

I

VG V

.

.

Figura 9.21: Teorema del massimo trasferimento di potenza attiva

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mentre la trasformata della tensione ai terminali di ZC e

V =VGZC

ZC + Z(9.186)

Quindi la potenza attiva assorbita da ZC e

PC = Re

[1

2

VGZC

ZC + Z

V∗G

(ZC + Z)∗

]=

∣∣VG

∣∣22

Re[ZC

]∣∣∣ZC + Z

∣∣∣2 (9.187)

Se si pone

ZC = RC + jXC

Z = R + jX(9.188)

si ha

PC =

∣∣VG

∣∣22

RC

(RC +R)2 + (XC +X)2(9.189)

Si osserva che la quantita (XC +X)2 si annulla se

XC = −X (9.190)

mentre e sempre maggiore di zero per gli altri valori di XC . Al variare di XC ,quindi, PC assume valore massimo se e verificata la (9.190). In queste condizionisi ha

PC =

∣∣VG

∣∣22

RC

(RC +R)2(9.191)

Per determinare il valore di RC per cui PC e massima si cerca il valore per cuirisulta

∂PC∂RC

=V2G

2

(RC +R)2 − 2RC(RC +R)

(RC +R)4(9.192)

Si ottiene quindi10

RC = R (9.193)

Si puo verificare facilmente che per quando vale la (9.193) si ha effettivamenteun massimo di PC . Infatti PC si annulla sia per RC tendente a zero che per

10Si scarta la soluzione RC = −R dato che in tali condizioni la potenza attiva assorbita dalcarico tende a −∞.

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RC tendente ad infinito e risulta positiva per ogni valore positivo di RC . Quindiil punto in cui si annulla la derivata non puo essere altro che un massimo. Inconclusione, dovendo essere verificate la (9.190) e la (9.193), si ottiene che ilvalore dell’impedenza, ZCO, per cui la potenza attiva e massima e il coniugato diZ, come indica la (9.184). �

Quando e verificata la (9.184) la potenza attiva assorbita dal carico risulta

PCmax =

∣∣VG

∣∣2 R2(R +R)2

=

∣∣VG

∣∣28R

(9.194)

Tale valore rappresenta la massima potenza attiva che il bipolo VG-Z e in gradodi erogare. Per questo motivo e indicata anche con il nome di potenza disponibile.

In condizioni di adattamento coniugato, la potenza attiva erogata dal gene-ratore indipendente vale

PG =

∣∣VG

∣∣24R

(9.195)

Quindi il rendimento, dato dal rapporto tra la potenza attiva fornita al carico ela potenza attiva erogata dal generatore

η =PCPG

(9.196)

in tali condizioni vale

η = 0.5 (9.197)

Cio mostra l’adattamento coniugato non risulta conveniente nei casi in cui eimportante ottenere un elevato rendimento.

9.6.7 Rifasamento

Un impianto elettrico, nella sua forma piu semplice, puo essere schematizzatocome indicato in fig. 9.22, mediante un circuito costituito da un generatore ditensione, da un’impedenza ZU che rappresenta un utilizzatore e da una linea(indicata nello schema come un 2-porte) che collega il generatore al carico. In se-guito si assumera che la linea possa essere rappresentata mediante un’impedenza

ZL = RL + jXL (9.198)

A causa dell’impedenza ZL la tensione all’uscita della linea non coincide conquella del generatore, infatti risulta

V = E− ZLI (9.199)

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ZU

ZL

I

E V

..

Figura 9.22: Impianto elettrico elementare

Inoltre lungo la linea viene dissipata per effetto Joule una potenza

Pd =1

2RLI

2M (9.200)

Per un funzionamento ottimale dell’impianto e necessario che entrambi gli effettisiano limitati. Infatti, in generale, per un corretto funzionamento dell’utilizzatoreoccorre che la tensione sul carico si mantenga praticamente costante al variaredella corrente assorbita dal carico stesso. Inoltre, in presenza di perdite lungola linea, per fornire data una potenza attiva al carico occorre, che il generatoreproduca una potenza maggiore.

Come indicano le (9.199) e (9.200) sia la caduta di tensione che le perditelungo la linea aumentano con l’ampiezza della corrente, che e legata alla potenzaattiva trasferita al carico dalla relazione

IM =2P

VM cosϕ(9.201)

Quindi, a parita di potenza, la corrente lungo la linea e tanto maggiore quantominore e il fattore di potenza, cosϕ, del carico. Cio corrisponde al fatto che aldiminuire del fattore di potenza aumenta l’ampiezza della componente reattivadella corrente, mentre l’ampiezza della componente attiva e fissata dal valoredella potenza attiva.

Per ridurre la corrente si puo ricorrere al rifasamento del carico, che consistenel collegare in parallelo al carico stesso un bipolo, BR, puramente reattivo taleda assorbire una potenza reattiva, QR, di segno opposto a quella del carico.

ZU

ZL

E .

.

jBR

Figura 9.23: Rifasamento

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P

QQR

Q´�

�´

Figura 9.24: Relazioni tra le potenze

La potenza reattiva assorbita dal parallelo del carico e del bipolo di rifasa-mento e (fig. 9.24)

Q′ = Q+QR (9.202)

Quindi, per portare il fattore di potenza da cosϕ a cosϕ′, occorre che la potenzareattiva assorbita dal bipolo di rifasamento sia

QR = −(Q−Q′) = −P (tgϕ− tgϕ′) (9.203)

Nella pratica si incontrano piu comunemente carichi per i quali il segnodi ϕ e positivo (cioe carichi ohmico-induttivi), quindi il bipolo di rifasamentonormalmente e un condensatore. In questo caso, si ha

QR = −1

2ωCRV

2M (9.204)

di conseguenza, dalla (9.202) si ricava che la capacita di rifasamento deve essere

CR =2P (tgϕ− tgϕ′)

ωV 2M

=P (tgϕ− tgϕ′)

ωV 2eff

(9.205)

La condizione di funzionamento ideale si ha se Q′ e nulla, cioe se cosϕ′ = 1.Tuttavia in genere si accettano valori inferiori del fattore di potenza scelti in mododa ottenere un buon compromesso tra i vantaggi che derivano dal rifasamento11 eil costo relativo all’installazione del banco di condensatori necessario per realizzarela capacita CR.

9.7 Risonanza

9.7.1 Risonanza serie

Si consideri un bipolo costituito da un resistore, un induttore e un condensatorecollegati in serie (fig. 9.25).

11Generalmente gli enti produttori di energia elettrica applicano tariffe maggiori nel caso diconsumi con basso fattore di potenza.

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I

V

VR VL VC

R L C

Figura 9.25: Circuito risonante serie

Supponendo che il bipolo sia in condizioni di regime sinusoidale, si vuoleesaminare il suo comportamento al variare della pulsazione.

L’impedenza del bipolo e data dalla somma delle impedenze dei componentida cui e formato, pertanto ha l’espressione

Z = R + jωL+1

jωC= R + j

(ωL− 1

ωC

)(9.206)

Quindi la parte reale dell’impedenza e costante, mentre la parte immaginaria edata dalla differenza di un termine direttamente proporzionale alla pulsazione e diuno inversamente proporzionale (fig. 9.26) dovuti, rispettivamente, all’induttoree al condensatore. Il grafico mostra che per piccoli valori di ω la reattanza indut-tiva e prevalente e, in pratica, tende ad identificarsi con la reattanza del bipolocomplessivo, mentre per ω tendente a infinito prevale la reattanza induttiva. Ilgrafico mostra inoltre che esiste un valore ω0 della pulsazione, detto pulsazione dirisonanza, in corrispondenza del quale la reattanza capacitiva e la reattanza in-duttiva si compensano e, quindi, la parte immaginaria dell’impedenza si annulla.Dalla (9.206) si ricava che cio avviene per

ω0 =1√LC

(9.207)

Il modulo e l’argomento dell’impedenza sono

∣∣∣Z∣∣∣ =√

R2 +

(ωL− 1

ωC

)2

(9.208)

e

arg(Z) = arctgωL− 1

ωCR

(9.209)

I loro andamenti sono riportati nei grafici di fig. 9.26 e fig. 9.27.Il modulo di Z presenta un minimo, pari al valore della resistenza, in corri-

spondenza della pulsazione di risonanza e tende a infinito per ω tendente a zeroe per ω tendente a infinito.

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0 ��0

�L

� 1�C

R

� �Z.

Im Z]�.

Re Z]�.

Figura 9.26: Andamento di Re[Z], Im

[Z]e∣∣∣Z∣∣∣ in funzione di ω

0 ��0

�2

�2

�

arg Z� �.

Figura 9.27: Andamento di arg Z in funzione di ω

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0 �0 �

� �Y.

G

Figura 9.28: Andamento di∣∣∣Y∣∣∣ in funzione di ω

L’argomento di Z si annulla in condizioni di risonanza. Per valori di ω inferiorialla pulsazione di risonanza e negativo, tende a −π/2 per ω tendente a zero. Pervalori ω maggiori della pulsazione di risonanza l’argomento e positivo e tende aπ/2 per ω tendente a infinito.

In fig. 9.28 e rappresentato l’andamento dell’ammettenza del bipolo, che pre-senta un massimo, pari alla conduttanza del resistore, in condizioni di risonanzae tende a zero per ω tendente a zero e per ω tendente a infinito.

Infine la fig. 9.29 mostra le relazioni tra il fasore della corrente e i fasori delletensioni. In questi grafici si e assunto, per semplicita, che la fase della correntesia nulla.

VR

VR

VL VL VL

VC VC VC

VL C�V

V�VR

VL C�V

I

I

IV

V

� � �0 � � �0 � � �0

Figura 9.29: Relazioni tra i fasori

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Complessivamente i grafici mostrano che

• Per valori della pulsazione minori di ω0 la reattanza capacitiva prevale suquella induttiva. La tensione del condensatore ha ampiezza maggiore diquella dell’induttore e quindi la tensione complessiva e sfasata in ritardorispetto alla corrente. In queste condizioni la reattanza e l’argomento del-l’impedenza sono negativi. Quindi il comportamento del bipolo e simile aquello di un bipolo R-C serie.

• Per ω tendente a zero l’argomento dell’impedenza tende a −π/2, mentre ilmodulo tende ad infinito e di conseguenza la corrente nel bipolo tende adannullarsi. Cio corrisponde al fatto che per piccoli valori della pulsazione ilcondensatore tende a comportarsi come un circuito aperto.

• In condizioni di risonanza, la reattanza capacitiva e la reattanza induttivasono uguali in modulo. In queste condizioni la tensione dell’induttore e latensione del condensatore hanno uguale ampiezza. Dato che le loro fasisono opposte, risulta

VC + VL = 0 (9.210)

Quindi la tensione del bipolo si identifica con quella del resistore. Di con-seguenza la tensione e la corrente del bipolo sono in fase e l’impedenza siriduce a R.

• Per valori della pulsazione maggiori di ω0 la reattanza induttiva prevalesu quella capacitiva. La tensione dell’induttore ha ampiezza maggiore diquella del condensatore e quindi la tensione complessiva e sfasata in anti-cipo rispetto alla corrente. In queste condizioni la reattanza e l’argomentodell’impedenza sono positivi. Quindi il comportamento del bipolo e similea quello di un bipolo R-L serie.

• Per ω tendente a infinito l’argomento dell’impedenza tende a π/2, mentre ilmodulo tende ad infinito quindi, anche in questo caso, la corrente nel bipolotende ad annullarsi. Cio corrisponde al fatto che per valori molto grandidella pulsazione l’induttore tende a comportarsi come un circuito aperto.

Per quanto riguarda il comportamento energetico del bipolo, la potenza attivaassorbita coincide con quella assorbita dal resistore

P =1

2RI2

M (9.211)

mentre la potenza reattiva e data dalla somma della potenza assorbita dal indut-tore(positiva) e di quella assorbita dal condensatore (negativa)

Q =1

2ωLI2

M − 1

2

1

ωCI2M (9.212)

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La (9.212) mostra che per valori di ω inferiori alla pulsazione di risonanza prevalela componente induttiva e, quindi, la potenza reattiva e positiva, mentre pervalori maggiori della pulsazione di risonanza prevale la componente capacitiva e,quindi, la potenza reattiva diventa negativa.

In condizione di risonanza il termine capacitivo e quello induttivo sono ugualie opposti e pertanto la potenza reattiva si annulla. Cio corrisponde al fatto che lepotenze istantanee assorbite dal’induttore e dal condensatore sono in ogni istanteuguali in modulo e opposte. Quindi, in tali condizioni, si ha un trasferimento del-l’energia accumulata alternativamente dal condensatore all’induttore e viceversache non comporta scambi energetici con l’esterno.

La potenza assorbita dal bipolo in condizioni di risonanza e quindi solo attivae coincide, come si e detto, con la potenza assorbita dal resistore.

9.7.2 Risonanza parallelo (o antirisonanza)

Il bipolo costituito da un resistore, un induttore e un condensatore collegati inserie di fig. 9.30 rappresenta il duale di quello di fig. 9.25. Quindi riguardo aquesto bipolo si possono fare considerazioni simili a quelle esposte nel paragrafoprecedente scambiando i ruoli della tensione e della corrente, dell’impedenza edell’ammettenza, della resistenza e della conduttanza e, infine, dell’induttanza edella capacita.


Y = G+ jωC +1

jωL= G+ j

(ωC − 1

ωL

)(9.213)

Quindi il suo modulo e il suo argomento sono rispettivamente

∣∣∣Y∣∣∣ =√

G2 +

(ωC − 1

ωL

)2

(9.214)

e

arg(Y) = arctgωC − 1

ωLG

(9.215)

I

V

IR

IL

IC

R L C

Figura 9.30: Circuito risonante parallelo

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0 ��0

�C

� 1�L

G

� �Y.

Im Y]�.

Re Y]�.

Figura 9.31: Andamento di Re[Y], Im

[Y]e∣∣∣Y∣∣∣ in funzione di ω

0 ��0

�2

�2

�

arg Y� �.

Figura 9.32: Andamento di arg(Y) in funzione di ω

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IL C��

IL C��

I��R

I

IV

V

V

� � �0 � � �0 � � �0

IC

IC

IC

IR

IR

IL

IL

IL

Figura 9.33: Relazioni tra i fasori

I loro andamenti in funzione della pulsazione sono riportati nei grafici difig. 9.31 e fig. 9.32, mentre i grafici di fig. 9.33 mostrano le relazioni tra i fasoridella tensione e delle correnti. In questo caso si e assunta nulla la fase dellatensione. Infine la fig. 9.34 mostra la dipendenza dalla frequenza del modulodell’impedenza.

Anche in questo caso, per il valore ω0 della pulsazione definito dalla relazione(identica alla (9.207))

ω0 =1√LC

(9.216)

si ha una condizione di risonanza in corrispondenza della quale la parte immagi-naria dell’ammettenza e quindi il suo argomento si annullano. In tali condizioniil modulo dell’ammettenza ha un minimo, pari al valore della conduttanza delresistore e quindi il modulo dell’impedenza ha un massimo pari al valore dellaresistenza.

• Per valori della pulsazione minori di ω0 la suscettanza induttiva prevalesu quella capacitiva. La corrente dell’induttore ha ampiezza maggiore diquella del condensatore e quindi la corrente complessiva e sfasata in ritardorispetto alla tensione. In queste condizioni il comportamento del bipolo esimile a quello di un bipolo R-L parallelo.

• Per ω tendente a zero l’argomento dell’ammettenza tende a π/2, mentre ilmodulo tende ad infinito e di conseguenza la tensione del bipolo tende adannullarsi. Cio corrisponde al fatto che per piccoli valori della pulsazionel’induttore tende a comportarsi come un cortocircuito.

• In condizioni di risonanza, la suscettanza capacitiva e la suscettanza indut-tiva sono uguali in modulo. In queste condizioni la corrente dell’induttore e

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0 �0 �

� �Z.

R

Figura 9.34: Andamento di∣∣∣Z∣∣∣ in funzione di ω

la corrente del condensatore hanno uguale ampiezza e fasi opposte. Quindila loro risultante e nulla e la corrente del bipolo si identifica con quella delresistore. Di conseguenza la tensione e la corrente del bipolo sono in fase el’ammettenza si riduce a G.

• Per valori della pulsazione maggiori di ω0 la suscettanza capacitiva prevalesu quella induttiva. La corrente del condensatore ha ampiezza maggiore diquella dell’induttore e quindi la corrente complessiva e sfasata in anticiporispetto alla tensione. In queste condizioni il comportamento del bipolo esimile a quello di un bipolo R-C parallelo.

• Per ω tendente a infinito l’argomento dell’ammettenza tende a π/2, mentreil modulo tende ad infinito quindi, anche in questo caso, la tensione delbipolo tende ad annullarsi. Cio corrisponde al fatto che per valori mol-to grandi della pulsazione il condensatore tende a comportarsi come uncortocircuito.

Per quanto riguarda il comportamento energetico del bipolo, la potenza attivaassorbita coincide con quella assorbita dal resistore

P =1

2GV 2

M (9.217)

mentre la potenza reattiva e data dalla somma della potenza assorbita dal indut-tore(positiva) e di quella assorbita dal condensatore (negativa)

Q =1

2

1

ωLV 2M − 1

2ωCV 2

M (9.218)

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In questo caso il termine induttivo prevale per ω < ω0, mentre per ω > ω0 emaggiore il contributo del condensatore. Analogamente a quanto avviene per ilbipolo R-L-C serie, in condizioni di risonanza Q si annulla e si ha, quindi, unoscambio continuo dell’energia accumulata tra l’induttore e il condensatore.

9.7.3 Curve di risonanza

Si consideri un bipolo RLC in condizioni di regime sinusoidale e si assuma cheesso sia alimentato da una tensione rappresentata dal fasore V. Per caratterizzareil comportamento del bipolo al variare della frequenza si puo fare riferimento allafunzione di trasferimento

H(ω)�=

VR

V=

R

Z(9.219)

definita come rapporto tra il fasore della tensione sul resistore e il fasore dellatensione complessiva.

Come mostra l’ultimo termine della (9.219) tale funzione rappresenta, in pra-tica, l’ammettenza normalizzata del bipolo. Infatti, indipendentemente dai valoridi R L e C, il suo modulo al variare di ω varia tra 0 e 1.

La funzione H(ω), inoltre, esprime il rapporto tra il fasore della correntenel bipolo ad una pulsazione generica, dato da V/Z, e il fasore della corren-te di ampiezza massima che puo circolare nel bipolo, dato V/R, che si ottieneevidentemente in condizioni di risonanza.

L’espressione di H(ω), tenendo conto della (9.206) e della (9.207), risulta

H(ω) =R

R + j

(ωL− 1

ωC

) =

=1

1 + jω0L

R

(ω

ω0

− 1

ωω0LC

) =

=1

1 + jQ

(ω

ω0

− ω0

ω

)(9.220)

Nell’ultimo passaggio e stato introdotto il parametro

Q�=

ω0L

R(9.221)

detto fattore di merito12. Per comprendere il significato del fattore di meritoconviene moltiplicare numeratore e denominatore della (9.221) per 1/2I2

M , dove

12Il fattore di merito e rappresentato tradizionalmente con la lettera Q. Per evitare che essovenga confuso con la potenza reattiva, in questo caso, il simbolo e stato rappresentato medianteun carattere corsivo.

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IM rappresenta l’ampiezza della corrente nel bipolo.

Q = ω0

1

2LI2

M

1

2RI2

M

= 2π

1

2LI2

M

T01

2RI2

M

(9.222)

A questo punto si puo riconoscere che valgono le relazioni

Q = ω0Energia immagazzinata

Potenza media dissipata in un periodo=

= 2πEnergia immagazzinata

Energia dissipata in un periodo

(9.223)

Il fattore di merito e, quindi, un parametro che mette in relazione la capacitache ha il bipolo di accumulare energia con gli effetti dissipativi che avvengono nelbipolo.

Gli andamenti del modulo e dell’argomento di H(ω) sono rappresentati nei gra-fici di fig. 9.35 e fig. 9.36, nei quali in ascissa e indicata la pulsazione normalizzatarispetto alla pulsazione di risonanza.

In tali grafici sono riportate varie curve corrispondenti a valori diversi delfattore di merito. Gli andamenti mostrano che al crescere di Q le curve hanno unandamento sempre piu ripido. In particolare il modulo presenta un picco semprepiu stretto in corrispondenza della pulsazione di risonanza.

Risultati analoghi possono essere ottenuti nel caso di un bipolo RLC paral-lelo alimentato da una corrente I. In questo caso conviene fare riferimento allafunzione di trasferimento

H(ω)�=

IRI

=G

Y(9.224)

che rappresenta l’impedenza normalizzata del bipolo. Per il bipolo RLC parallelo,il fattore di merito, definito secondo la (9.223), risulta

Q�=

ω0C

G(9.225)

Tenendo conto di questa espressione, e semplice verificare che anche in questocaso si ha

H(ω) =1

1 + jQ

(ω

ω0

− ω0

ω

) (9.226)

e che, quindi, anche in questo caso il comportamento del bipolo al variare dellapulsazione e descritto dai grafici di fig. 9.35 e fig. 9.36.

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�0

�

Q 0.5�

Q 1�

Q 2�

Q 5�

Q 10�

1 20

0.5

1

� ��H.

Figura 9.35: Modulo di H(ω)

�0

�

Q 0.5�

Q 1�

Q 2�

Q 5�

Q 10�

1 20

arg H� ��

�2

�2

�

.

Figura 9.36: Argomento di H(ω)

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Capitolo 10

Sistemi trifase

10.1 Introduzione

Per una serie di motivi che saranno precisati nel paragrafo 10.7, nella produ-zione, nel trasporto e nella distribuzione dell’energia elettrica sono impiegatiprevalentemente sistemi trifase.

Nella sua versione piu semplice un sistema trifase puo essere rappresentatomediante lo schema di fig. 10.1, nel quale si distinguono un generatore a treterminali e un carico, anch’esso a tre terminali, collegati mediante tre linee chesi assume di poter trattare, almeno in prima approssimazione, come conduttoriideali.

E opportuno precisare che, dal momento che un generatore trifase e sem-pre rappresentabile mediante tre generatori di tensione sinusoidali isofrequenzialiopportunamente collegati, i sistemi trifase sono casi particolari di circuiti funzio-nanti in regime sinusoidale. Quindi anche per i sistemi trifase restano validi iconcetti e i metodi illustrati nel capitolo 9.

V12

I1

I2

I3

V31V23

1

3

2Generatore Utilizzatore

Figura 10.1: Struttura di un sistema trifase

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10.1.1 Tensioni concatenate

Le tensioni tra i conduttori valutate in corrispondenza di una sezione di unalinea trifase sono dette tensioni concatenate. Se, come di solito si fara in questocapitolo, si assume di poter trattare le linee come conduttori ideali, tali tensionirisultano indipendenti dalla particolare considerata.

Le tensioni concatenate, per le quali si normalmente si assumono, i versi diriferimento indicati in fig. 10.1, saranno indicate con i simboli v12, v23 e v31.

Dato che tali tensioni sono disposte lungo un percorso chiuso, per la legge diKirchhoff per le tensioni risulta

v12(t) + v23(t) + v31(t) = 0 (10.1)

cioe, se si considerano i fasori,

V12 + V23 + V31 = 0 (10.2)

La (10.2) mostra che i fasori delle tensioni concatenate possono sempre essererappresentati, nel piano complesso, da vettori che formano un triangolo, comeillustrato in fig. 10.2.

V12

V31

V23

Figura 10.2: Interpretazione grafica della (10.2)

10.1.2 Sistemi simmetrici di tensioni

Un sistema di tensioni trifase e detto simmetrico se

• le tre tensioni hanno uguale ampiezza;

• lo sfasamento relativo tra una tensione e la successiva e di2

3π radianti;

mentre, se queste condizioni non sono verificate, il sistema di tensioni e dettodissimmetrico.

Se in un sistema simmetrico ciascuna tensione e sfasata in ritardo rispetto aquella che la precede, si dice che le tensioni formano una terna diretta, mentre,se gli sfasamenti sono in anticipo, la terna e detta inversa.

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Sistemi trifase 131

t0

v t12� � v t23� � v t31� �

Figura 10.3: Sistema simmetrico di tensioni: andamento nel tempo

In seguito, salvo esplicito avviso contrario, si fara riferimento a terne dirette.Cio non comporta perdita di generalita poiche il fatto che una terna sia direttao inversa e conseguenza anche dell’ordine seguito per numerare i conduttori.

Un esempio di sistema simmetrico e costituito dalle tensioni

v12(t) = VM cosωt

v23(t) = VM cos

(ωt− 2

3π

)

v31(t) = VM cos

(ωt+

2

3π

) (10.3)

che formano una terna diretta. L’andamento di queste tensioni e rappresentatonel grafico di fig. 10.3.

I fasori delle tensioni (10.3) sono

V12 = VM

V23 = VMe−j23π

V31 = VMej23π

(10.4)

e possono essere rappresentati nel piano complesso come indicato in fig. 10.4a.Si puo verificare facilmente le queste tensioni soddisfano le condizioni (10.1)

e (10.2), e quindi possono effettivamente rappresentare un sistema di tensioniconcatenate. La verifica puo essere condotta per via grafica, come indicato dallafig. 10.4b, osservando che i vettori che rappresentano V12, V23 e V31 possono esseredisposti in modo da formare un triangolo equilatero. In alternativa si possono

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V12

V12

V31

V31

V23

V23

2 �3

2 �3

2 �3

a) b)

Figura 10.4: Sistema simmetrico di tensioni: rappresentazione nel pianocomplesso

sostituire direttamente le (10.4) nella (10.2)

V12 + V23 + V31 = VM

(1 + e−j

23π + ej

23π)=

= VM

[1 + cos

(−2

3π

)+ j sen

(−2

3π

)+ cos

2

3π + j sen

2

3π

]=

= VM

(1− 1

2− j

√3

2− 1

2+ j

√3

2

)= 0

(10.5)

10.1.3 Correnti di linea

Le correnti nei conduttori i1, i2 e i3 sono dette correnti di linea. La legge diKirchhoff per le correnti richiede che sia

i1(t) + i2(t) + i3(t) = 0 (10.6)

cioe

I1 + I2 + I3 = 0 (10.7)

Quindi anche i fasori delle correnti di linea possono essere rappresentati, nel pianocomplesso, da vettori che formano un triangolo (fig. 10.5).

Un sistema di correnti trifase e detto equilibrato se

• le tre correnti hanno uguale ampiezza;

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Sistemi trifase 133

I1I3

I2

Figura 10.5: Interpretazione grafica della (10.7)

• lo sfasamento relativo tra una corrente e la successiva e di2

3π radianti;

mentre e detto squilibrato quando tali condizioni non sono verificate. Inoltre,anche nel caso delle correnti, si parla di terne dirette o inverse a seconda che ognicorrente sia sfasata in ritardo o in anticipo rispetto a quella che la precede.

Analogamente a quanto si e visto per le tensioni, i fasori di un sistema equili-brato di correnti possono essere rappresentati da tre vettori nel piano complessoche formano in triangolo equilatero.

10.2 Generatori trifase

Un generatore trifase puo essere realizzato come indicato in fig. 10.6a. Il genera-tore e formato da una parte rotante (detta rotore), che per semplicita si supponecostituita da un magnete permanente, e da una parte fissa (detta statore) costi-tuita da tre avvolgimenti identici, (rappresentati in sezione nella figura) dispostiin modo che i loro assi formino angoli di 2/3π radianti.

Se il magnete ruota con velocita angolare costante ω, il flusso del vettoreinduzione magnetica concatenato con ciascuno di questi avvolgimenti varia neltempo con legge periodica e periodo 2π/ω.

Di conseguenza, per la legge di Faraday-Neumann, in ciascun avvolgimen-to viene indotta una forza elettromotrice anch’essa periodica e avente lo stessoperiodo.

Seguendo opportuni accorgimenti e possibile fare in modo che la tensioneindotta in ciascun avvolgimento sia sinusoidale. In questo caso il valore della lapulsazione delle tensioni indotte coincide con ω.

Per le ipotesi fatte sugli avvolgimenti si puo affermare, inoltre, che le forzeelettromotrici indotte devono avere uguale ampiezza e devono essere sfasate di2/3π radianti tra loro.

Quindi, ciascuno degli avvolgimenti puo essere rappresentato mediante un ge-

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N

S

�

AA

BB

B’

B’

C’

C’

C

C

A’

A’

e tG1( )

e tG2( )

e tG3( )

a) b)

Figura 10.6: Schema di principio di un generatore trifase

neratore ideale1 di tensione sinusoidale di pulsazione ω, come indicato in fig. 10.6be le tensioni dei generatori costituiscono un sistema trifase simmetrico.

A questo punto il generatore a tre terminali presente nello schema di fig. 10.1puo essere realizzato collegando in modo opportuno i tre avvolgimenti, cioe i tregeneratori ideali di fig. 10.6b. Normalmente gli avvolgimenti vengono collegati astella o a triangolo.

10.2.1 Generatori a stella

In questo caso viene realizzata la connessione rappresentata in fig. 10.7. Come si edetto, di regola le tensioni dei generatori formano un sistema simmetrico,Quindi,se si assume uguale a zero la fase di eG1(t) e si indica con EGM l’ampiezza delletensioni, i loro fasori sono

EG1 = EGM

EG2 = EGMe−j23π

EG3 = EGMej23π

(10.8)

Note le tensioni dei generatori, che in questo caso vengono anche indicate con ilnome di tensioni stellate o tensioni di fase, le tensioni concatenate possono essere

1Cio richiede che sia possibile trascurare le impedenze degli avvolgimenti, in seguito taleipotesi si riterra sempre verificata salvo avviso contrario.

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Sistemi trifase 135

1

3

2G

EG2

EG1

EG3

Figura 10.7: Generatori collegati a stella

V12

V31

EG3

EG2

EG1

V23

�6

Figura 10.8: Tensioni di fase e tensioni concatenate per un generatore a stella

determinate applicando la legge di Kirchhoff per le tensioni

V12 = EG1 − EG2

V23 = EG2 − EG3

V31 = EG3 − EG1

(10.9)

Queste relazioni tra le tensioni concatenate e le tensioni stellate possono essererappresentate mediante il grafico di fig. 10.8. Si puo osservare che il centro delletensioni stellate corrisponde al baricentro del triangolo definito dalle tensioniconcatenate e, mediante semplici considerazioni geometriche2 si puo riconoscereche

2La lunghezza del segmento che rappresenta EG1 moltiplicata per cosπ/6, cioe per√3/2 e

pari alla meta della lunghezza del segmento che rappresenta V12

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• l’ampiezza delle tensioni concatenate e data dall’ampiezza delle tensionistellate moltiplicata per il fattore

√3;

• ciascuna delle tensioni concatenate e sfasata in anticipo di π/6 rispetto allatensione corrispondente nella terna delle tensioni stellate.

Allo stesso risultato si puo pervenire sostituendo le espressioni (10.8) nelle(10.9)

V12 = EGM − EGMe−j23π =

= EGM

[1− cos

(−2

3π

)− j sen

(−2

3π

)]=

= EGM

(2

3π +

√3

2

) (10.10)

Dato che risulta

∣∣V12

∣∣ = EGM

√9

4+

3

4=

√3EGM (10.11)

e

arg(V12) = arctg

√3

3=

π

6(10.12)

dalla (10.10) si ricava

V12 =√3EG1e

j π6 (10.13)

In modo analogo si possono ottenere le relazioni

V23 =√3EG2e

j π6

V31 =√3EG3e

j π6

(10.14)

10.2.2 Generatori a triangolo

La connessione a triangolo e rappresentata in fig. 10.9. In questo caso le tensioniconcatenate coincidono con le tensioni dei generatori

V12 = EG1

V23 = EG2

V31 = EG3

(10.15)

quindi, per uno stesso generatore trifase, questo collegamento degli avvolgimentifornisce tensioni inferiori rispetto al collegamento a stella.

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Sistemi trifase 137

1

3

2

EG2

EG1EG3

I1

I2

IG2

IG1

IG3

I3

Figura 10.9: Generatori collegati a triangolo

Riguardo al collegamento di fig. 10.9, si potrebbe obiettare che esso costituisceun caso anomalo in quanto in una maglia formata da generatori il valore dellecorrenti dei rami e indeterminato. Infatti la legge di Kirchhoff per le correnticonsente ricavare le seguenti relazioni tra le correnti di linea e le correnti deigeneratori

I1 = IG1 − IG3

I2 = IG2 − IG1

I3 = IG3 − IG2

(10.16)

Tali relazioni non sono indipendenti in quanto l’ultima puo essere ottenuta som-mando membro a membro le prime due e tenendo conto del fatto che la sommadelle correnti di linea e nulla. Quindi le tre correnti dei generatori sono vincolateda due sole relazioni.

Questa indeterminazione, comunque, puo essere eliminata se si tiene contodel fatto che i tre generatori ideali rappresentano tre avvolgimenti uguali, aventiimpedenze di uguale valore, che in seguito sara indicato con ZG. In genere taliimpedenze non vengono considerate, in quanto si ritiene soddisfatta l’ipotesi chele cadute di tensioni che esse determinano siano trascurabili rispetto alle tensionidei generatori. La presenza di tali impedenze consente, pero, di ricavare unaterza condizione che deve essere soddisfatta dalle correnti dei generatori. Infatti,imponendo che nella maglia la somma delle tensioni dei generatori sia uguale allasomma delle tensioni sulle impedenze si ha

ZGIG1 + ZGIG2 + ZGIG3 = EG1 + EG2 + EG3 (10.17)

Dato che le tensioni dei generatori costituiscono un sistema simmetrico, la lorosomma e uguale a zero, quindi deve essere anche

IG1 + IG2 + IG3 = 0 (10.18)

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A questo punto, anche senza disporre del valore di ZG, e possibile calcolare lecorrenti dei generatori.

Infatti, se si elimina IG3 nella prima delle (10.16), mediante la (10.18) si ottiene

I1 = 2IG1 + IG2 (10.19)

Sottraendo membro a membro da questa equazione la seconda delle (10.16) siricava IG1

IG1 =I1 − I2

3(10.20)

In modo simile si determinano i fasori delle altre correnti

IG2 =I2 − I3

3IG3 =

I3 − I13

(10.21)

10.3 Carichi trifase

Per quanto riguarda i carichi si assumera che essi siano costituiti da terne diimpedenze collegate a stella o a triangolo.

Configurazioni piu complesse normalmente possono essere ricondotte a questicasi mediante relazioni di equivalenza. Inoltre e sempre possibile trasformareuna stella di impedenze in un triangolo equivalente, o viceversa, per mezzo dellerelazioni (paragrafo 3.9.1)

Z1 =Z12Z31

Z12 + Z23 + Z31

Z2 =Z12Z23

Z12 + Z23 + Z31

Z3 =Z31Z23

Z12 + Z23 + Z31

(10.22)

Z12 =Z1Z2 + Z1Z3 + Z2Z3

Z3

Z23 =Z1Z2 + Z1Z3 + Z2Z3

Z1

Z31 =Z1Z2 + Z1Z3 + Z2Z3

Z2

(10.23)

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Sistemi trifase 139

11

33 22Z23

Z31Z12

�

��

O

Z1

Z2 Z3

�

� �

a) b)

Figura 10.10: Carico a stella e carico a triangolo

Se le tre impedenze che costituiscono un carico trifase sono uguali, il carico edetto regolare. In queste condizioni le equazioni (10.22) e (10.23) si riducono allarelazione

ZY =Z�3

(10.24)

in cui ZY indica il valore comune delle impedenze della stella e Z� indica il valorecomune delle impedenze del triangolo.

10.3.1 Carichi a triangolo

Nel caso di un carico collegato a triangolo, rappresentato in fig. 10.11, le tensionidelle impedenze coincidono con le tensioni concatenate.

Caso generale Per il momento non si fa nessuna ipotesi riguardo a tali tensioni,cioe si ammette che esse possano anche costituire un sistema dissimmetrico3. Notele tensioni concatenate, il calcolo delle correnti nelle impedenze, che in questo casosono dette anche correnti di fase, e immediato

I12 =V12

Z12

I23 =V23

Z23

I31 =V31

Z31

(10.25)

Quindi, a partire dalle correnti di fase, si possono determinare le correnti di lineaapplicando la legge di Kirchhoff per le correnti

I1 = I12 − I31

I2 = I23 − I12

I3 = I31 − I23

(10.26)

3Normalmente i circuiti trifase sono alimentati da terne simmetriche di tensioni, comunque,anche in queste condizioni, e possibile che le tensioni applicate al carico non formino una ternasimmetrica se non sono trascurabili le cadute di tensione lungo le linee.

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Le relazioni (10.26) possono essere interpretate graficamente come indicato infig. 10.12. Se i tre fasori delle correnti di fase sono rappresentati mediante vettoriche hanno origine in un punto comune O (detto centro delle correnti di fase), gliestremi di questi vettori definiscono un triangolo, i cui lati rappresentano i fasoridelle correnti di linea.

Carico regolare - tensioni dissimmetriche Se il carico e regolare, cioe se

Z12 = Z23 = Z31 = Z (10.27)

le correnti di fase soddisfano la relazione

I12 + I23 + I31 = 0 (10.28)

Infatti si ha

I12 + I23 + I31 =1

Z(V12 + V23 + V31) (10.29)

e la somma delle tensioni concatenate e nulla.La condizione (10.28) comporta che il centro O delle correnti di fase corri-

sponda al baricentro del triangolo delle correnti di linea, come si puo riconoscere,mediante semplici considerazioni geometriche4 dalla fig. 10.13.

In questo caso, seguendo un procedimento simile a quello impiegato per rica-vare le (10.20)-(10.21) e possibile esprimere le correnti di fase in funzione delle

4La (10.28) implica che i segmenti OA e OK siano uguali. Dato che le diagonali di unparallelogramma si dividono reciprocamente in parti uguali risulta anche CH = BH e HK = OH.Di conseguenza si ottiene OH = OA/2. Quindi il punto O e il baricentro del triangolo ABC.Infatti, come e noto, il baricentro di un triangolo e il punto di incontro delle mediane e divideciascuna mediana in due parti tali che la lunghezza di una e il doppio della lunghezza dell’altra.

1

3

2

I1

I2

I23 Z23

Z31Z12

I12

I31

I3

�

��

Figura 10.11: Carico trifase a triangolo

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Sistemi trifase 141

I1

I23

I31

I12

I3

I2

O

Figura 10.12: Rappresentazione grafica delle (10.26)

I2

I1

I31

I23I12

I3

O

A

B

CK

H

Figura 10.13: Correnti di linea e correnti di fase per un carico regolare a triangolo

correnti dei linea mediante le relazioni5

I12 =I1 − I2

3

I23 =I2 − I3

3

I31 =I3 − I1

3

(10.30)

Carico regolare - tensioni simmetriche Nel caso di un carico regolare alimen-tato da una terna simmetrica di tensioni concatenate le correnti di fase sono

5Se il carico non e regolare, e quindi non vale la (10.28), non e possibile ricavare le correntidi fase a partire dalle correnti di linea in quanto si dispone di due sole equazioni in tre incognite.Le (10.26) infatti non sono indipendenti tra loro dato che l’ultima puo essere ricavata sommandomembro a membro le prime due e ricordando che la somma delle correnti di linea e nulla

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I2

I1

I31

I23

I12

I3

�6

Figura 10.14: Correnti di fase e correnti di linea per un carico regolare a triangoloalimentato da un sistema simmetrico di tensioni

I12 =VM∣∣∣Z∣∣∣ e

−jϕ

I23 =VM∣∣∣Z∣∣∣ e

−j(ϕ+ 23π)

I31 =VM∣∣∣Z∣∣∣ e

−j(ϕ− 23π)

(10.31)

in cui si e posto

ϕ = arg Z (10.32)

Quindi le correnti di fase costituiscono una terna equilibrata e sono sfasa-te in ritardo rispetto alle tensioni concatenate di un angolo pari all’argomentodell’impedenza.

In queste condizioni la relazione tra le correnti di fase e le correnti di lineapuo essere visualizzata mediante il grafico di fig. 10.14, nel quale, per semplicita,si e assunto che la fase di I12 sia uguale a zero. Il grafico mostra che per un caricoregolare alimentato da una terna simmetrica le correnti di linea hanno ampiezzamaggiore di un fattore

√3 rispetto alle correnti di fase e che ciascuna corrente di

linea e sfasata in ritardo di π/6 rispetto alla corrente corrispondente nella ternadelle correnti di fase.

Tale risultato puo essere ricavato anche direttamente per via analitica. Infattie si indica con IFM l’ampiezza comune delle tre correnti di fase e si pone uguale

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Sistemi trifase 143

a zero la fase di I12, dalla prima delle (10.30) si ricava

I1 = I12 − I31 = IFM − IFMej23π =

= IFM

(1− cos

2

3π − j sen

2

3π

)= IFM

(3

2− j

√3

2

)(10.33)

Quindi si ha∣∣I1∣∣ = √3IFM arg(I1) = −π

6(10.34)

e di conseguenza

I1 =√3I12e

−j π6

I2 =√3I23e

−j π6

I3 =√3I31e

−j π6

(10.35)

10.3.2 Carichi a stella

La connessione a stella e rappresentata in fig. 10.15. In questo caso le corren-ti nelle impedenze coincidono con le correnti di linea, mentre le loro tensioni(E1, E2 e E3), dette tensioni stellate o tensioni di fase, sono legate alle tensioniconcatenate dalle relazioni

V12 = E1 − E2

V23 = E2 − E3

V31 = E3 − E1

(10.36)

che possono essere rappresentate mediante il grafico di fig. 10.16 nel quale i vettoriche rappresentano le tensioni di stellate sono disposti con l’origine in un puntocomune, detto centro delle tensioni di fase, mentre i loro estremi definiscono ivertici del triangolo delle tensioni concatenate.

Caso generale Note le tensioni concatenate e le impedenze di carico, e possibiledeterminare le tre correnti di linea risolvendo un sistema di tre equazioni: duebasate sulla LKV e una basata sulla LKI

V12 = Z1I1 − Z2I2

V23 = Z2I2 − Z3I3

I1 + I2 + I3 = 0

(10.37)

Quindi, note le correnti di linea, si possono calcolare le tensioni di fase mediantele relazioni

Ek = Zk Ik per k = 1, 2, 3 (10.38)

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1

3

2O

E3

E1Z1

Z2 Z3

E2

I1

I2

I3

�

� �

Figura 10.15: Carico trifase a stella

V31

E2

E3

E1

V23

V12

O

Figura 10.16: Tensioni concatenate e tensioni di fase

In alternativa e possibile ricavare direttamente le espressioni delle tensioni difase mediante le formule di Millman.

Si puo osservare che le tensioni concatenate potrebbero essere ottenute alimen-tando il carico con sue soli generatori, ad esempio nel modo indicato in fig. 10.17.Per questo circuito, la formula di Millman fornisce immediatamente il valore dellatensione E1

E1 =V12Y2 − V31Y3

Y1 + Y2 + Y3

(10.39)

Quindi, completando la soluzione del circuito, oppure applicando nuovamente laformula di Millman a circuiti contenenti le altre possibili coppie di generatori, si

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Sistemi trifase 145

possono determinare le altre tensioni di fase

E2 =V23Y3 − V12Y1

Y1 + Y2 + Y3

E3 =V31Y1 − V23Y2

Y1 + Y2 + Y3

(10.40)

A questo punto le correnti di linea possono essere calcolate mediante le relazioni

Ik = YkEk per k = 1, 2, 3 (10.41)

Carico regolare - tensioni dissimmetriche Se il carico e regolare, cioe se val-gono le relazioni

Z12 = Z23 = Z31 = Z (10.42)

La somma delle tensioni di fase risulta uguale a zero

E1 + E2 + E3 = 0 (10.43)

Infatti si ha

E1 + E2 + E3 = Z(I1 + I2 + I3) (10.44)

e la somma delle correnti di linea e nulla.Di conseguenza si ricava anche che il centro delle tensioni di fase coincide con

il baricentro del triangolo delle tensioni concatenate, come indicato dal grafico difig. 10.18

1

32

O

Z1 Z2 Z3

� � �E1 E2 E3

V12 V31

Figura 10.17: Applicazione della formula di Millman

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In questo caso, seguendo un procedimento analogo a quello che ha consentitodi ricavare le (10.20)-(10.21), oppure facendo uso delle (10.39)-(10.40), si possonoottenere le seguenti espressioni delle tensioni di fase

E1 =V12 − V31

3

E2 =V23 − V12

3

E3 =V31 − V23

3

(10.45)

Carico regolare - tensioni simmetriche Se si aggiunge l’ipotesi che le tensioniconcatenate costituiscano una terna simmetrica, il grafico di fig. 10.18 assume laconfigurazione rappresentata in fig. 10.19, nella quale, per semplicita, si e assuntoche la fase di V12 sia nulla. Tale grafico mostra che le tensioni di fase, in questocaso, hanno ampiezza inferiore di un fattore

√3 rispetto alle tensioni concatenate

e che ciascuna tensione di fase e sfasata in ritardo di π/6 rispetto alla tensionecorrispondente nella terna delle tensioni concatenate. Quindi devono valere lerelazioni

E1 =V12√3e−j

π6

E2 =V23√3e−j

π6

E3 =V31√3e−j

π6

(10.46)

Allo stesso risultato si puo giungere sostituendo nelle (10.45) le espressioni

V12

V31

E3

E2E1

V23

O

Figura 10.18: Tensioni concatenate e tensioni di fase per un carico regolare astella

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Sistemi trifase 147

delle tensioni concatenate. Ad esempio per E1 risulta

E1 =V12 − V31

3=

VM − VMej23π

3=

=VM3

(1− cos

2

3π − j sen

2

3π

)=

=VM3

(3

2− j

√3

2

) (10.47)

e quindi

∣∣E1

∣∣ = VM

√3

3=

VM√3

arg(E1) = −π

6

(10.48)

da cui deriva la prima delle (10.46).Si puo notare che in questo caso le tensioni sulle impedenze di carico coincido-

no con le tensioni della stella simmetrica di generatori che da luogo alle tensioniconcatenate del sistema in esame.

10.3.3 Spostamento del centro delle tensioni di fase

Ad un dato sistema di tensioni concatenate possono essere associate infinite ternedi tensioni stellate. Cio e dovuto al fatto che le equazioni (10.36) non sonoindipendenti in quanto l’ultima equazione e implicata dalle prime due.

V12

V31

E3

E2 E1

V23

�6

Figura 10.19: Tensioni concatenate e tensioni di fase per un carico regolare astella alimentato da un sistema equilibrato di tensioni

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1 32

O

G

Z1 Z2 Z3

� � �E1 E2 E3

E3E2E1

Figura 10.20: Rappresentazione equivalente di un sistema trifase con carico astella

La terna delle tensioni di fase risulta completamente specificata se alle (10.36)viene aggiunta un’ulteriore condizione. In particolare esiste una sola terna ditensioni stellate E1, E2, E3, dette tensioni principali di fase, che sodisfa la relazione

E1 + E2 + E3 = 0 (10.49)

Come si e visto nel paragrafo precedente, queste sono le tensioni che si stabi-liscono sulle impedenze di un generico carico regolare alimentato dal sistema ditensioni concatenate in esame.

Se si considerano i diagrammi nel piano complesso, ciascuna delle terne ditensioni di fase associate ad una terna di tensioni concatenate e individuata sesi specifica il suo centro, cioe il punto che e stato indicato con O nei grafici difig. 10.16 e fig. 10.18. Quindi, come si e visto nel paragrafo precedente, le tensioniprincipali di fase rappresentano la terna di tensioni stellate che ha come centro ilbaricentro del triangolo delle tensioni concatenate.

Si puo osservare che, indipendentemente da come e prodotto il sistema ditensioni concatenate, ai fini del calcolo delle tensioni e correnti nelle impedenzedel carico, e sempre lecito supporre che quest’ultimo sia alimentato da una stelladi generatori le cui tensioni coincidono con le tensioni principali di fase, e quindici si puo sempre ricondurre al circuito di fig. 10.20.

Per risolvere questo circuito si puo determinare la tensione tra i nodi O e Gmediante la formula di Millman

VOG =E1Y1 + E2Y2 + E3Y3

Y1 + Y2 + Y3

(10.50)

quindi le tensioni di fase del carico possono essere valutate come differenza tra le

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Sistemi trifase 149

V12

V31

E3

E3

E1 E2

E2

E1

V23

VOG

1

3

2

O

G

Figura 10.21: Spostamento del centro delle tensioni di fase

tensioni principali di fase e la tensione VOG

E1 = E1 − VOG

E2 = E2 − VOG

E3 = E3 − VOG

(10.51)

Le relazioni tra queste tensioni possono essere rappresentate mediante il graficodi fig. 10.21.

Si puo riconoscere che la tensione VOG rappresenta lo spostamento del centrodelle tensioni di fase rispetto al baricentro delle tensioni concatenate, cioe rispettoal punto in cui si troverebbe se il carico fosse regolare. Nel caso di carico regolaredalla (10.50) si ottiene, infatti

VOG = 0 (10.52)

e quindi la tensione di ciascuna impedenza coincide con quella del generatore acui essa e collegata

E1 = E1

E2 = E2

E3 = E3

(10.53)

cioe la situazione e la stessa che si avrebbe se i nodi O e G fossero collegati daun cortocircuito.

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10.4 Sistemi trifase con neutro

In alcuni casi, ai sistemi trifase con generatori e carico a stella si aggiunge unquarto conduttore detto neutro che collega il centro della stella dei generatoricon il centro del carico, come indicato nello schema di fig. 10.22.

In queste condizioni le tensioni di fase del carico coincidono con le tensionidei generatori

E1 = EG1

E2 = EG2

E3 = EG3

(10.54)

Quindi la presenza del neutro rende indipendenti dalle condizioni di carico ivalori delle tensioni di fase. Questi sistemi trovano impiego, in particolare, nelladistribuzione di energia elettrica a bassa tensione6 nella quale si ha l’esigenza difornire valori prefissati di tensioni a carichi generalmente irregolari.

Per quanto riguarda le correnti nelle linee la (10.7) deve essere sostituita,evidentemente, dalla condizione

I1 + I2 + I3 + IN = 0 (10.55)

Se le tensioni costituiscono una terna simmetrica e il carico e regolare, la correntedel neutro e nulla dato che le correnti I1, I2 e I3 sono equilibrate e, quindi, il

6Per quanto riguarda gli impianti elettrici si parla di bassa tensione nel caso di valori efficacientro i 1000 V, di media tensione per valori compresi tra 1000 e 30000 V e di alta tensione pervalori oltre i 30000 V. Nei sistemi a bassa tensione normalmente il valore efficace delle tensionidi fase e 220 V e quindi quello delle tensioni concatenate e 380 V (≈ 220

√3 V)

Z1

Z2 Z3

I1

I2

IN

I3

�

� �

EG2

EG1

EG3

N

1

2

3

Figura 10.22: Sistema trifase con neutro

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Sistemi trifase 151

neutro puo essere eliminato senza che cio alteri il comportamento del sistema.Infatti, come si e visto, in queste condizioni la tensione tra il centro della stelladei generatori e il centro della stella delle impedenze e sempre uguale a zero anchein assenza del neutro .

10.5 Potenza assorbita da un carico trifase

10.5.1 Generalita

La potenza istantanea assorbita complessivamente da un carico trifase a stellao a triangolo e data dalla somma delle potenze istantanee assorbite dalle treimpedenze da cui e formato

p(t) = p1(t) + p2(t) + p3(t) (10.56)

Come si e visto nel capitolo 9, per un circuito in regime sinusoidale dalla (10.56)deriva una relazione analoga per le potenze complesse

N = N1 +N2 +N3 (10.57)

e quindi anche per la potenza attiva e la potenza reattiva

P = P1 + P2 + P3

Q = Q1 +Q2 +Q3

(10.58)

Di conseguenza, nel caso di un carico a stella la potenza complessa e

N =1

2(E1I

∗1 + E2I

∗2 + E3I

∗3) (10.59)

dove le Ek rappresentano le tensioni di fase e le Ik rappresentano le correnti dilinea, mentre nel caso di un carico a triangolo vale al relazione

N =1

2(V12I

∗12 + V23I

∗23 + V31I

∗31) (10.60)

dove le Vjk sono le tensioni concatenate e le Ijk sono le correnti di fase.Per un carico trifase, si definiscono convenzionalmente la potenza apparente e

il fattore di potenza, in modo che risultino legati alla potenza attiva e alla potenzareattiva dalle stesse relazioni valide nel caso di un bipolo in regime sinusoidale(equazioni (9.159)-(9.162)). Quindi si pone

S�=√

P 2 +Q2 (10.61)

e

cosΦ�= cos

(arctg

Q

P

)(10.62)

In questo caso si e impiegato il simbolo Φ per mettere in evidenza che l’argomentodel coseno in generale non rappresenta la differenza della fase di una tensione edi una corrente, ma e solo un parametro convenzionale.

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V12 V12

I1 I1

I2 I2

I3 I3

V31 V31

V23 V23

1 1

3 3

2 2Utilizzatore O

Z1

Z2

Z3

�

�

�

E1

E2

E3

�

a) b)

Figura 10.23: Carico trifase e stella equivalente

10.5.2 Equivalenza dei carichi trifase - Formula di Aron

Si consideri un generico carico trifase che, alimentato da una terna di tensioniconcatenate V12, V23, V31, assorbe le correnti I1, I2, I3 (fig. 10.23a). Evidente-mente la potenza erogata dai generatori che alimentano il carico non cambia seesso e sostituito da una stella di impedenze che, alimentata dalle stesse tensioni,da luogo alle stesse correnti di linea (fig. 10.23b).

Si puo verificare che esistono infinite stelle di impedenze che equivalgono, dalpunto di vista della potenza assorbita, ad un carico assegnato. Infatti le tensioniconcatenate, le correnti di linea e le impedenze sono legate dalle relazioni

V12 = Z1I1 − Z2I2

V23 = Z2I2 − Z3I3

V31 = Z3I3 − Z1I1

(10.63)

Queste equazioni non sono indipendenti, dato che l’ultima e conseguenza delleprime due. Quindi le (10.63) non consentono di determinare in modo univoco letre impedenze.

Da un altro punto di vista, si puo notare che scegliere una stella di impedenzeequivale a fissare il centro delle tensioni di fase. Se si considerano due terne ditensioni di fase E1, E2 , E3 e E′

1, E′2 , E′

3, legate quindi dalle relazioni

E′1 = E1 − E0

E′2 = E1 − E0

E′3 = E1 − E0

(10.64)

in cui E0 rappresenta lo spostamento tra i due centri, e semplice verificare che lapotenza complessa e indipendente dalla terna considerata. Infatti se si indicano

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Sistemi trifase 153

con N e N ′ le potenze complesse valutate facendo riferimento alle due terneconsiderate si ha

N =1

2(E1I

∗1 + E2I

∗2 + E3I

∗3) (10.65)

e

N ′ =1

2(E′

1I∗1 + E′

2I∗2 + E′

3I∗3) =

=1

2

[(E1 − E0)I

∗1 + (E2 − E0)I

∗2 + (E3 − E0)I

∗3

]=

=1

2(E1I

∗1 + E2I

∗2 + E3I

∗3) +

1

2E0(I1 + I2 + I3)

∗

(10.66)

Dato che la somma delle correnti di linea e nulla si ha quindi

N = N ′ (10.67)

Di conseguenza, la potenza complessa puo essere determinata mediante le cor-renti di linea e una terna qualunque di tensioni di fase corrispondenti alle tensioniconcatenate del sistema in esame.

In particolare, se si sceglie una terna di tensioni di fase avente centro su unodei vertici del triangolo delle tensioni concatenate, come ad esempio (fig. 10.24b)

E1 = V12

E2 = 0

E3 = −V23

(10.68)

V12

I1

I3

�V23

1

1

3

2

2 O�

Utilizzatore

a) b)

V12

V31

E3

E1

V23

Figura 10.24: Interpretazione della formula di Aron

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e possibile esprimere la potenza complessa nella forma

N =1

2(V12I

∗1 − V23I

∗3) (10.69)

(detta formula di Aron) che fa uso esclusivamente delle tensioni concatenate edelle correnti di linea7.

10.5.3 Potenza nei sistemi trifase simmetrici e equilibrati

Si consideri un carico regolare a stella alimentato da una terna simmetrica ditensioni. Come si e visto, in queste condizioni le correnti assorbite costituisconoun sistema equilibrato. Si indichino con E il valore efficace delle tensioni stel-late, con I il valore efficace delle correnti di linea e con ϕ l’argomento delle treimpedenze (coincidente con lo sfasamento tra le tensioni stellate e le correnti dilinea).

Procedendo come nel caso della (9.139), si ottiene che la potenza istantaneaassorbita dal carico vale

p(t) = e1(t)i1(t) + e2(t)i2(t) + e3(t)i3(t) =

= EI cosϕ+ EI cos (2ωt+ ϕ)+

+ EI cosϕ+ EI cos

(2ωt+

2

3πϕ

)+

+ EI cosϕ+ EI cos

(2ωt− 2

3πϕ

) (10.70)

In questa espressione sono presenti tre termini costanti e tre termini oscillanti conpulsazione 2ω. Dato che questi ultimi hanno la stessa ampiezza e lo sfasamentotra un termine e il successivo e pari a 2/3π, si riconosce che la loro somma istanteper istante e nulla. Di conseguenza la potenza istantanea assorbita dal carico e

p(t) = 3EI cosϕ (10.71)

e quindi e costante nel tempo. Procedendo in modo del tutto analogo, per uncarico regolare a triangolo si ottiene

p(t) = 3V IF cosϕ (10.72)

dove V rappresenta il valore efficace delle tensioni concatenate, IF il valore efficacedelle correnti di fase e ϕ, come nel caso precedente, l’argomento delle impedenze.

Dato che per un sistema simmetrico e equilibrato valgono le relazioni

E =V√3

(10.73)

7Il fatto che siano sufficienti due tensioni e due correnti non deve sorprendere, in quanto,come e noto, le tensioni concatenate e le correnti di linea non sono indipendenti tra loro

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Sistemi trifase 155

e

IF =I√3

(10.74)

sia la (10.71) che la (10.72) possono essere poste nella forma comune

p(t) =√3V I cosϕ (10.75)

E importante notare che nella (10.75) ϕ non rappresenta lo sfasamento trale tensioni concatenate e le tensioni di linea, ma e lo sfasamento tra le tensionie le correnti delle impedenze che formano il carico (quindi tra tensioni di fase ecorrenti di linea per un carico a stella, tra tensioni concatenate e correnti di faseper un carico a triangolo).

A partire dalla (10.75) si ricava, inoltre, che la potenza attiva e la potenzareattiva sono date da

P =√3V I cosϕ (10.76)

e

Q =√3V I senϕ (10.77)

mentre il fattore di potenza in questo caso e

cosΦ = cosϕ (10.78)

e quindi e uguale al fattore di potenza di ciascuna delle impedenze che formanoil carico.

10.6 Rifasamento di un carico trifase

In questo paragrafo ci si limitera a considerare il caso di un carico regolare alimen-tato da una terna simmetrica di tensioni. Il problema del rifasamento di un caricotrifase e analogo a quello di un carico monofase esaminato nel paragrafo 9.6.7.

In questo caso si assume di avere un carico trifase che assorbe una potenzaattiva P e che e caratterizzato da un fattore di potenza cosϕ, e di volere ottenere,mediante rifasamento, un fattore di potenza cosϕ′.

A tale scopo si impiegano tre bipoli reattivi, uguali tra loro, collegati a stellao a triangolo come indicato in fig. 10.25 e tali da assorbire una potenza reattivaQR pari a

QR = −P (tgϕ− tgϕ′) (10.79)

Dato che in pratica si incontrano di prevalentemente carichi di tipo ohmico-induttivo (e quindi la potenza reattiva assorbita dal carico e positiva), i bipoli dirifasamento normalmente sono dei condensatori.

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Se con VC si indica il valore efficace delle tensioni dei condensatori, la potenzareattiva che essi assorbono complessivamente e

QR = −3ωCV 2C (10.80)

Nel caso di collegamento a stella le tensioni dei condensatori valgono

V YC =

V√3

(10.81)

dove V indica, al solito, il valore efficace delle tensioni concatenate. Se, invece,i condensatori sono collegati a triangolo, le loro tensioni coincidono con quelleconcatenate

V �C = V =

√3V Y

C (10.82)

Di conseguenza, per il collegamento a stella vale la relazione

QR = −ωCYV2 (10.83)

mentre per il collegamento a triangolo si ha

QR = −3ωC�V 2 (10.84)

Quindi, affinche la potenza reattiva assorbita corrisponda a quella richiesta dalla(10.79) il valore delle capacita deve essere

CY =P (tgϕ− tgϕ′)

ωV(10.85)

a) b)

UU

CY CYCY

C�

C�C�

Figura 10.25: Rifasamento di un carico trifase

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Sistemi trifase 157

per la stella e

C� =P (tgϕ− tgϕ′)

3ωV=

CY

3(10.86)

per il triangolo.I risultati mostrano che nel caso del collegamento a triangolo occorrono con-

densatori con capacita pari a un terzo del valore richiesto nel caso del collega-mento a stella, la tensione a cui sono sottoposti i condensatori, pero, nel caso deltriangolo risulta maggiore di un fattore

√3.

Dato che il costo dei condensatori aumenta sia con la loro capacita, sia con ilvalore della massima tensione che possono sostenere, la scelta del collegamento astella o a triangolo dipende da quale fattore incide maggiormente sul costo.

10.7 Vantaggi dei sistemi trifase

Come si e detto, i sistemi trifase sono impiegati comunemente nel trasporto enella distribuzione di energia elettrica in quanto presentano una serie di vantaggirispetto ai sistemi monofase8.

Un primo evidente vantaggio e costituito dal fatto che la potenza istantaneain un sistema simmetrico e equilibrato e costante nel tempo. Cio consente aigeneratori trifase di operare in condizioni migliori rispetto a quanto avviene peri generatori monofase.

L’energia erogata da un generatore del tipo di fig. 10.6 e ottenuta converten-do l’energia meccanica che viene fornita al generatore applicando una coppia alrotore. Se la potenza erogata e costante, la coppia motrice applicata deve essereanch’essa costante. Al contrario, come si e visto nel paragrafo 9.6.1, nel caso di uncarico monofase la potenza e variabile nel tempo e, se il carico non e puramenteresistivo, cambia segno quattro volte in un periodo. Di conseguenza, la coppiaapplicata al rotore di un generatore monofase deve essere variabile nel tempo ead ogni rotazione si hanno anche due intervalli di tempo in cui essa deve agirecome coppia resistente.

Un secondo vantaggio dei sistemi trifase rappresentato dal fatto che essiconsentono, a parita di condizioni, di ridurre il costo delle linee.

Si consideri il caso di un carico che, alimentato con tensione di valore efficaceV , assorbe una potenza attiva P ed e caratterizzato da un fattore di potenzacosϕ. Nel caso di un sistema monofase, tenendo conto della (9.179), si ricava cheil valore efficace I della corrente nelle linee e

I =P

V cosϕ(10.87)

8Per sistema monofase si intende un sistema costituito da un generatore sinusoidale collegatomediante una linea a due conduttori ad un carico a due terminali.

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mentre per un sistema trifase simmetrico ed equilibrato dalla (10.3) si ottiene cheil valore efficace delle correnti di linea IT e

IT =P√

3V cosϕ=

I√3

(10.88)

Quindi, nel caso trifase, la corrente nelle linee e inferiore di un fattore√3.

I conduttori delle linee, che fino ad ora sono stati trattati come ideali, hannoin realta una resistenza non nulla che e causa di dissipazione di potenza per effettoJoule. Se si assume di tollerare una potenza dissipata Pd, il fatto che la correntenei sistemi trifase sia inferiore consente di impiegare conduttori con resistenzamaggiore. Infatti, se si indica con R la resistenza di ciascuno dei conduttori dellalinea monofase e con RT la resistenza di ciascun conduttore della linea trifase, leespressioni della potenza dissipata nei due casi sono

Pd = 2RI2 (10.89)

e

Pd = 3RT I2T (10.90)

Quindi a parita di potenza dissipata risulta

RT = 2R (10.91)

Se si esprimono le resistenze in funzione della resistivita dal conduttore ρ, dellalunghezza delle linee l e della sezione, indicata con A nel caso monofase e con AT

nel caso trifase, si ha

R = ρl

A

RT = ρl

AT

(10.92)

da cui si ricava

AT =1

2A (10.93)

Quindi la sezione dei conduttori della linea trifase risulta pari alla meta di quellidella linea monofase. Di conseguenza, il volume del materiale necessario perrealizzare i conduttori e nei due casi

V = 2Al (10.94)

e

VT = 3AT l =3

4V (10.95)

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Sistemi trifase 159

e quindi, a parita di condizioni, nel caso trifase si ha un risparmio del volume delmateriale conduttore pari al 25% rispetto al caso monofase.

Infine, un ulteriore motivo a favore dell’impiego dei sistemi trifase e rappre-sentato dal fatto che, per ragioni costruttive, in genere le macchine elettriche dipotenza elevata richiedono un alimentazione trifase.

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Appendice A

Cenni sulle equazioni differenziali

A.1 Introduzione

A.1.1 Definizioni

Un’equazione differenziale e un’equazione in cui compaiono una funzione inco-gnita e un certo numero di sue derivate. Il massimo ordine delle derivate dellafunzione incognita presenti nell’equazione si dice ordine dell’equazione differen-ziale. Se la funzione incognita dipende da una sola variabile, l’equazione diffe-renziale e detta ordinaria, mentre nei casi in cui la funzione incognita dipendeda piu variabili, e quindi nell’equazione compaiono le derivate parziali rispetto atali variabili, si parla di equazioni differenziali alle derivate parziali.

Nelle equazioni differenziali che si incontrano nello studio dei circuiti elettricila funzione incognita dipende da una sola variabile, rappresentata dal tempo,quindi di seguito si considereranno esclusivamente le equazioni ordinarie. Laforma piu generale di un’equazione ordinaria di ordine n e

F

[y(t),

dy

dt,d2y

dt2, . . . ,

dny

dtn, t

]= 0 (A.1)

in cui F e una funzione assegnata e y(t) rappresenta la funzione incognita.In particolare ci si limitera a trattare le equazioni differenziali ordinarie lineari

a coefficienti costanti, cioe le equazioni della forma

andny

dtn+ an−1

dn−1y

dtn−1+ · · ·+ a1

dy

dt+ a0y(t) = b(t) (A.2)

in cui gli ak rappresentano delle costanti note, mentre b(t) e una funzione deltempo assegnata e rappresenta il termine noto dell’equazione. Se b(t) e nulla perogni t l’equazione si dice omogenea, altrimenti si dice non omogenea.

Le equazioni che si incontrano studiando i circuiti lineari e tempo-invariantisono sempre del tipo della (A.2). In questo caso i coefficienti ak sono quantita reali

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e dipendono dai parametri dei componenti diversi dai generatori indipendenti,mentre la funzione b(t), che e una funzione reale del tempo, in generale e costituitada una combinazione lineare delle funzioni che descrivono gli andamenti dellegrandezze impresse dai generatori indipendenti e di alcune loro derivate rispettoal tempo.

A.1.2 Soluzione

Si dice soluzione di un’equazione differenziale una funzione y(t) che soddisfa larelazione espressa dall’equazione per ogni t

F

[y(t),

dy

dt,d2y

dt2, . . . ,

dny

dtn, t

]≡ 0 ∀t (A.3)

In generale, se un equazione differenziale ammette soluzione, questa risultadefinita a meno di un numero di costanti pari all’ordine dell’equazione stessa.

L’espressione della soluzione in termini di queste costanti prende il nome disoluzione generale (o integrale generale), mentre ogni funzione che si ottiene attri-buendo un particolare insieme di valori alle costanti e detta soluzione particolare(o integrale particolare).

Esempio Si consideri l’equazione

d2y

dt2= t (A.4)

In questo caso, integrando due volte rispetto a t primo e secondo membro, si ha

y(t) =t2

2+ k1t+ k2 (A.5)

dove k1 e k2 indicano due costanti arbitrarie.

Tutte le funzioni che si ottengono assegnando una coppia di valori a que-ste costanti soddisfano la (A.4) per ogni t, e quindi sono soluzioni del’equazionedifferenziale. Inoltre non esistono altre soluzioni della (A.4) a parte quelle rappre-sentate globalmente dalla (A.5). Quindi la (A.5) costituisce l’integrale generaledella (A.4) mentre, ad esempio,

y(t) =t2

2+ 3t− 5 (A.6)

e una soluzione particolare.

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Cenni sulle equazioni differenziali 163

A.1.3 Condizioni iniziali

Come si e detto, la situazione incontrata nell’esempio elementare considera-to nel paragrafo precedente si verifica nel caso generale: l’integrale generaledi un’equazione differenziale di ordine n (se esiste) contiene sempre n costantiarbitrarie.

Affinche la soluzione sia definita in modo univoco occorre che all’equazionedifferenziale sia associato un insieme di n condizioni che devono essere soddisfattedalla funzione incognita.

Il modo in cui sono formulate queste condizioni puo essere diverso a secondadel tipo di problema considerato. Nello studio dei circuiti elettrici generalmentesi incontra il problema di determinare l’andamento di una funzione del tempoa partire da un certo istante iniziale t0, nel quale la funzione incognita e uncerto numero di sue derivate assumono valori noti (o che comunque possonoessere determinati per altra via). In questi casi all’equazione differenziale vieneassociato un insieme di condizioni del tipo

y(t0) = y0

dy

dt

∣∣∣∣t=t0

= y(1)0

...

dn−1y

dtn−1

∣∣∣∣t=t0

= y(n−1)0

(A.7)

in cui y0, y(1)0 , . . . , y

(n−1)0 indicano delle quantita note. Queste condizioni fissano i

valori della funzione incognita e delle sue derivate fino all’ordine n− 1 all’istanteiniziale e per questo sono dette condizioni iniziali.

Si puo dimostrare che per un’equazione di ordine n (che ammette soluzione)esiste una sola soluzione tale da soddisfare le (A.7).

A.2 Equazioni lineari omogenee

A.2.1 Introduzione

In primo luogo si prenderanno in esame le equazioni lineari omogenee, cioe leequazioni del tipo

andny

dtn+ an−1

dn−1y

dtn−1+ · · ·+ a1

dy

dt+ a0y(t) = 0 (A.8)

per le quali, come sara illustrato nei paragrafi seguenti, e possibile definire unmetodo generale di risoluzione.

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Proprieta Se le funzioni y1(t) e y2(t) sono soluzioni di un’equazione lineareomogenea e k1 e k2 sono due costanti reali o complesse, anche la funzione

y(t) = k1y1(t) + k2y2(t) (A.9)

e soluzione dell’equazione per ogni valore di k1 e k2.

Dimostrazione Per la linearita della derivata, per ogni m vale la relazione

dmy

dtm=

dm(k1y1 + k2y2)

dtm= k1

dmy1

dtm+ k2

dmy2

dtm(A.10)

Quindi sostituendo la funzione y(t) nell’equazione differenziale (A.8) si ottiene

andn(k1y1 + k2y2)

dtn+ · · ·+ a1

d(k1y1 + k2y2)

dt+ a0(k1y1(t) + k2y2(t)) =

= k1

[an

dny1

dtn+ · · ·+ a1

dy1

dt+ a0y1(t)

]+

+ k2

[an

dny2

dtn+ · · ·+ a2

dy2

dt+ a0y2(t)

] (A.11)

Ma se y1(t) e y2(t) sono due soluzioni della (A.8) risulta

andny1

dtn+ · · ·+ a1

dy1

dt+ a0y1(t) = 0 (A.12)

e

andny2

dtn+ · · ·+ a1

dy2

dt+ a0y2(t) = 0 (A.13)

Quindi l’espressione a secondo membro della (A.11) e uguale a zero e cio dimostrache anche y(t) e una soluzione della (A.8). �

A.2.2 Insieme fondamentale di soluzioni

Per la proprieta enunciata nel paragrafo precedente, una combinazione linea-re di soluzioni particolari di un’equazione differenziale omogenea e ancora unasoluzione dell’equazione.

Per un equazione di questo tipo, inoltre, e sempre possibile determinare degliinsiemi di soluzioni particolari tali che ogni altra soluzione dell’equazione e espri-mibile mediante combinazione lineare di queste soluzioni. Un insieme di soluzioniche gode di questa proprieta e detto fondamentale.

Quindi, data un’equazione differenziale lineare omogenea di ordine n, si diceinsieme fondamentale di soluzioni un insieme di funzioni y1(t), y2(t), . . . , yn(t)tale che l’integrale generale dell’equazione stessa puo essere espresso nella forma

yG(t) = k1y1(t) + k2y2(t) + · · ·+ knyn(t) (A.14)

in cui k1, k2, . . . , kn rappresentano delle costanti arbitrarie.

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A.2.3 Equazione caratteristica

Se an �= 0, la (A.8) puo essere scritta anche nel modo seguente

dny

dtn= −an−1

an· d

n−1y

dtn−1− · · · − a1

an· dydt

− a0

an· y(t) (A.15)

Quindi, affinche una funzione sia soluzione dell’equazione (A.8), occorre che lasua derivata n-esima sia uguale ad una combinazione lineare della funzione stessae delle sue derivate fino all’ordine n− 1. Cio suggerisce che la funzione

y(t) = eλt (A.16)

che ha la proprieta di essere proporzionale a tutte le sue derivate

d(eλt)

dt= λeλt

d2(eλt)

dt2= λ2eλt

...

dn(eλt)

dtn= λneλt

(A.17)

per opportuni valori di λ puo essere una soluzione dell’equazione omogenea. Ineffetti, sostituendo eλt a y(t) nella (A.8), si ottiene

anλneλt + an−1λ

n−1eλt + · · ·+ a1λeλt + a0e

λt = 0 (A.18)

Dato che eλt e maggiore di zero per ogni t, affinche il primo membro della (A.18)si annulli occorre che sia

anλn + an−1λ

n−1 + · · ·+ a1λ+ a0 = 0 (A.19)

Quindi eλt e soluzione dell’equazione differenziale (A.8) se il coefficiente λ e so-luzione dell’equazione algebrica (A.19). Tale equazione si dice equazione carat-teristica e puo essere ottenuta dall’equazione differenziale sostituendo ad ogniderivata di y(t) una potenza di λ di grado pari all’ordine della derivata stessa. Inparticolare alla y(t), che puo essere considerata la derivata di ordine 0 della y(t)stessa, si sostituisce λ0, cioe 1.

In generale, come sara illustrato nei paragrafi seguenti, a partire dalle soluzionidell’equazione caratteristica e possibile determinare un insieme di n funzioni checostituiscono un insieme fondamentale di soluzioni dell’equazione differenzialeomogenea (A.8).

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A.2.4 Soluzioni reali distinte

Se l’equazione caratteristica ammette n soluzioni reali distinte: λ1, λ2, . . . , λn sipuo dimostrare che le funzioni

y1(t) = eλ1t

y2(t) = eλ2t

...

yn(t) = eλnt

(A.20)

costituiscono un insieme fondamentale di soluzioni, cioe che l’integrale generalee dato da

yG(t) = k1eλ1t + k2e

λ2t + · · ·+ kneλnt (A.21)

Le costanti k1, k2, . . . , kn possono essere determinate imponendo che la y(t) sod-disfi le condizioni iniziali

yG(t0) = k1eλ1t + k2e

λ2t + · · ·+ kneλnt = y0

dyGdt

∣∣∣∣t=t0

= k1λ1eλ1t + k2λ2e

λ2t + · · ·+ knλneλnt = y

(1)0

...

dn−1yGdtn−1

∣∣∣∣t=t0

= k1λn−11 eλ1t + k2λ

n−12 eλ2t + · · ·+ knλ

n−1n eλnt = y

(n−1)0

(A.22)

In questo modo, infatti, si ottiene un sistema di n equazioni lineari nelle incognitek1, k2, . . . , kn.

A.2.5 Soluzioni reali multiple

Se una delle soluzioni dell’equazione caratteristica e multipla, cioe se l’equazioneammette n−m+1 soluzioni reali: λ1, λ2, . . . , λn−m+1 una delle quali, λp, ha mol-teplicita m, si puo dimostrare che l’integrale generale e dato dalla combinazionelineare delle funzioni esponenziali

y1(t) = eλ1t

y2(t) = eλ2t

...

yn−m+1(t) = eλn−m+1t

(A.23)

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e delle funzioni

yp 1(t) = teλpt

yp 2(t) = t2eλpt

...

ypm−1(t) = tm−1eλpt

(A.24)

cioe si ha

yG(t) = k1eλ1t + · · ·+ kp−1e

λp−1t+

+ kpeλpt + kp 1te

λpt + kp 2t2eλpt + · · ·+ kpm−1t

m−1eλpt+

+ kp−1eλp+1t + · · ·+ kn−m+1e

λn−m+1t

(A.25)

Le n costanti moltiplicative presenti nella (A.25) possono essere determinate,come nel caso precedente, imponendo le condizioni iniziali.

L’introduzione delle funzioni (A.24) puo essere giustificata, almeno a livellointuitivo, nel modo seguente. Si consideri un’equazione omogenea del secondoordine

a2d2y

dt2+ a1

dy

dt+ a0y(t) = 0 (A.26)

e si assuma che la sua equazione caratteristica abbia due soluzioni reali distinte

λ1 = λ0 −∆λ

λ2 = λ0 +∆λ(A.27)

essendo

λ0 = − a1

2a2

e ∆λ =

√a2

1 − 4a0a2

2a2

(A.28)

con a21 − 4a0a2 > 0. In queste condizioni la funzione

y(t) =e(λ0+∆λt) − e(λ0−∆λt)

2∆λ(A.29)

essendo una combinazione lineare di eλ1t e eλ2t, rappresenta una soluzione parti-colare dell’equazione. Quindi si assuma di variare il coefficiente a0 in modo dafare tendere a zero ∆λ. In questo modo la soluzione particolare considerata tendea

lim∆λ→0

y(t) = lim∆λ→0

e(λ0+∆λt) − e(λ0−∆λt)

2∆λ=

deλt

dλ

∣∣∣∣λ=λ0

= teλ0t (A.30)

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Cio mostra che, quando le due soluzioni dell’equazione caratteristica coincidonoin λ0, anche teλ0t e una soluzione dell’equazione differenziale.

Nel caso di piu di due soluzioni coincidenti, procedendo in modo simile, e pos-sibile introdurre le altre funzioni, che rappresentano le derivate di ordine superiorerispetto a λ della funzione e−λt.

Il discorso fatto per il caso di una sola soluzione multipla puo essere facilmentegeneralizzato al caso in cui si abbiano piu soluzioni multiple. In questo caso perciascuna soluzione multipla si dovranno considerare funzioni del tipo (A.24)

A.2.6 Soluzioni complesse

Se l’equazione caratteristica ha anche delle soluzioni complesse, l’integrale gene-rale puo essere espresso ancora mediante una combinazione lineare di funzioniesponenziali del tipo visto nei due casi precedenti, ma in cui alcune delle costan-ti λ1, λ2, . . . , λn sono complesse. Nei problemi derivanti dall’analisi di circuitielettrici i coefficienti dell’equazione differenziale (e quindi dell’equazione caratte-ristica) sono reali, dato che derivano dai valori dai parametri dei componenti. Unteorema dell’Algebra afferma che se un’equazione algebrica a coefficienti reali am-mette una soluzione complessa ammette anche la soluzione coniugata. Pertantoin seguito si considerera solo il caso in cui le soluzioni complesse si presentano acoppie con valori coniugati.

Si assuma quindi che l’equazione caratteristica ammetta una coppia di solu-zioni del tipo

λp = σp + jωp

λq = λ∗p = σp − jωp

(A.31)

e che di conseguenza nell’espressione dell’integrale generale compaia un terminedel tipo

kpeλpt + kqe

λqt = kpeλpt + kqe

λ∗pt (A.32)

Nello studio dei circuiti elettrici si e interessati solo a soluzioni dell’equazionedifferenziale che assumano valori reali per ogni t (la funzione incognita e in ge-nere una tensione o una corrente, quindi un valore complesso sarebbe privo disignificato fisico). Le condizioni iniziali associate all’equazione richiedono che lafunzione incognita e alcune sue derivate assumano all’istante iniziale valori reali.In particolare cio richiede che siano reali i termini

kpeλpt0 + kqe

λ∗pt0 (A.33)

e

kpλpeλpt0 + kqλ

∗pe

λ∗pt0 (A.34)

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Si puo verificare che, affinche siano rispettati questi vincoli, anche le costanti kpe kq devono essere complesse coniugate

kq = k∗p (A.35)

Quando e soddisfatta tale condizione si ottiene

kpeλpt + kqe

λqt = kpeλpt + (kpe

λpt0)∗ = 2Re[kpe

λpt]

(A.36)

Se si indica con ϕp l’argomento di kp si ha

kpeλpt = |kp| ejϕpe(σp+jωp)t = |kp| eσptej(ωpt+ϕp) (A.37)

Dato che per la formula di Eulero risulta

ej(ωpt+ϕp) = cos(ωpt+ ϕp) + j sen(ωpt+ ϕp) (A.38)

si ricava infine

kpeλpt + kqe

λqt = 2Re[kpe

λpt]= 2 |kp| eσpt cos(ωpt+ ϕp) =

= Apeσpt cos(ωpt+ ϕp)

(A.39)

nella quale si e posto

Ap = 2 |kp| (A.40)

Quindi, per ogni coppia di soluzioni complesse coniugate dell’equazione caratte-ristica, si deve introdurre nell’integrale generale un termine del tipo

Apeσpt cos(ωpt+ ϕp) (A.41)

in cui Ap e ϕp sono delle costanti da determinare imponendo le condizioni iniziali.In analogia con quanto si e detto per le soluzioni reali, se l’equazione caratteri-stica ha una coppia di soluzioni, p e q, complesse coniugate di molteplicita m,nell’integrale generale vanno inclusi anche termini del tipo

Ap 1teσpt cos(ωpt+ ϕp 1)

Ap 2t2eσpt cos(ωpt+ ϕp 2)

Apm−1tm−1eσpt cos(ωpt+ ϕpm−1)

(A.42)

A.3 Equazioni lineari non omogenee

A.3.1 Introduzione

Come si e visto, un’equazione differenziale lineare non omogenea ha la formaseguente

andny

dtn+ an−1

dn−1y

dtn−1+ · · ·+ a1

dy

dt+ a0y(t) = b(t) (A.43)

L’equazione omogenea che si ottiene azzerando il termine noto b(t) prende ilnome di equazione omogenea associata. Le soluzioni di un’equazione differenzialelineare non omogenea e quelle dell’equazione omogenea associata sono legate dallaseguente proprieta.

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Proprieta Se due funzioni y1(t) e y2(t) sono soluzioni di un’equazione linearenon omogenea la loro differenza e soluzione dell’equazione omogenea associata atale equazione.

Dimostrazione Per ipotesi valgono le relazioni

andny1

dtn+ · · ·+ a1

dy1

dt+ a0y1(t) = b(t)

andny2

dtn+ · · ·+ a1

dy2

dt+ a0y2(t) = b(t)

(A.44)

Sottraendo membro a membro le due equazioni e sfruttando la proprieta dilinearita della derivata, si ottiene

andn(y1 − y2)

dtn+ · · ·+ a1

d(y1 − y2)

dt+ a0[y1(t)− y2(t)] = 0 (A.45)

Questa relazione mostra che y1(t) − y2(t) e soluzione dell’equazione omogeneaassociata. �

A.3.2 Risoluzione dell’equazione non omogenea

Si e visto che per le equazioni lineari omogenee e disponibile un procedimento checonsente di determinare l’integrale generale. Sfruttando la proprieta precedentee possibile ricondurre il problema della determinazione dell’integrale generale diun equazione lineare non omogenea a quello della determinazione dell’integralegenerale dell’equazione omogenea associata.

Se si indica con yP (t) una qualunque soluzione particolare dell’equazione nonomogenea (A.43) e con yH(t) l’integrale generale dell’equazione omogenea asso-ciata, l’integrale generale dell’equazione non omogenea puo essere espresso nellaforma

yG(t) = yH(t) + yP (t) (A.46)

La (A.46), assegnando opportuni valori alle costanti presenti in yH(t), permettedi esprimere tutte le soluzioni della (A.43). Infatti la differenza tra yP (t) e unaqualunque altra soluzione della (A.43) e una soluzione dell’equazione omogeneaassociata e quindi puo essere espressa per mezzo di yH(t).

Quindi la risoluzione di un’equazione lineare non omogenea avviene in tre fasi:

• determinazione dell’integrale generale dell’equazione omogenea associata

• determinazione di una soluzione particolare dell’equazione non omogenea

• determinazione delle costanti mediante imposizione delle condizioni iniziali.

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A.3.3 Determinazione della soluzione particolare

Anche se per la determinazione di yP (t) esistono dei procedimenti di validitagenerale, di solito nei casi di interesse pratico non occorre ricorrere a tali metodi.Infatti, quando il termine noto appartiene a determinate classi di funzioni, epossibile individuare dei procedimenti semplificati. In particolare cio avviene seil termine noto appartiene a una classe di funzioni tale che una combinazionelineare di funzioni della classe e di loro derivate di qualunque ordine e ancora unafunzione della stessa classe.

Esempi di classi di funzioni di questo tipo sono i polinomi (e come casoparticolare le costanti) e le funzioni sinusoidali.

In questi casi e immediato verificare che l’equazione ammette come soluzioneparticolare una funzione appartenente alla stessa classe del termine noto.

Di seguito sono illustrati i procedimenti per la determinazione della yP (t)nel caso di termine noto costante, termine noto polinomiale e termine notosinusoidale.

Termine noto costante Se b(t) e una costante

b(t) = B (A.47)

e se a0 non e nullo, l’equazione ammette come soluzione particolare la soluzionecostante

yP (t) =B

a0

(A.48)

come si puo verificare direttamente sostituendo tale espressione nell’equazionedifferenziale.

Se a0 e nullo e a1 e diverso da zero, l’equazione ammette come soluzioneparticolare

yP (t) =B

a1

t (A.49)

Se anche a1 e nullo, ma a2 e diverso da zero, si ha una soluzione particolare deltipo

yP (t) =B

a2

t2 (A.50)

e cosı via.

Termine noto polinomiale Se b(t) e un polinomio di grado m in t

b(t) = bmtm + bm−1tm1 + · · ·+ b1t+ b0 (A.51)

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e il coefficiente a0 dell’equazione differenziale non e nullo, l’equazione ammettecome soluzione particolare un polinomio di grado m nella variabile t

y(t) = cmtm + cm−1tm1 + · · ·+ c1t+ c0 (A.52)

Infatti la derivata di qualunque ordine di un polinomio di grado m e un polinomiodi grado minore di m (o al limite e nulla) e una combinazione lineare di polinomidi grado minore o uguale a m da come risultato un polinomio di grado m. Diconseguenza, sostituendo una funzione del tipo (A.51) nell’equazione differenziale,si ottiene a primo membro un polinomio di grado m. Imponendo che i coefficientidei polinomi a primo e secondo membro siano uguali si ricavano le costanti ci.Se il coefficiente a0 e nullo, ma a1 e diverso da 0, il polinomio che si ottiene aprimo membro risulta di grado inferiore di uno rispetto a quello del polinomioche viene sostituito alla funzione incognita. In questo caso l’equazione ammettecome soluzione particolare un polinomio di grado m + 1. In modo analogo siottiene che, se anche a1 e nullo ma a2 e diverso da zero, l’equazione ammettecome soluzione particolare un polinomio di grado m+ 2, e cosı via.

Termine noto sinusoidale Se il termine u(t) e una funzione sinusoidale conpulsazione ω

b(t) = BM cos(ωt+ ϕ) (A.53)

l’equazione, in genere, ammette come soluzione particolare una funzione sinusoi-dale avente la stessa pulsazione ω

yP (t) = YM cos(ωt+ ϑ) (A.54)

Si osserva che b(t) e yP (t) possono essere poste nella forma

b(t) = BM cosϕ cos(ωt)−BM senϕ sen(ωt)

yp(t) = YM cosϑ cos(ωt)− YM senϑ sen(ωt)(A.55)

Sostituendo yP (t) nell’equazione, a primo membro si ottiene una combinazionedi termini in cos(ωt) e di termini in sen(ωt) che puo essere posta sinteticamentenella forma

A cos(ωt) +B sen(ωt) (A.56)

in cui A e B sono funzioni di YM , senϑ e cosϑ. Imponendo che i coefficienticos(ωt) e di sen(ωt) a primo e secondo membro siano uguali1{

A = BM cosϕ

B = −BM senϕ(A.57)

si ottiene un sistema di due equazioni in due incognite (YM e ϑ) che permette diricavare i coefficienti contenuti in yP (t).

1 Si esclude il caso particolare in cui A e B risultano entrambi nulli, nel quale l’equazionenon ammette una soluzione del tipo (A.54).

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A.4 Esempi

A.4.1 Equazioni omogenee

Esempio A.1 Risolvere l’equazione differenziale

3dy

dt+ 2y = 0

con la condizione iniziale

y(0) = 2

Risoluzione Per determinare l’integrale generale dell’equazione differenziale, sirisolve l’equazione caratteristica

3λ+ 2 = 0

da cui si ricava

λ = −2

3

Quindi l’integrale generale e dato da

yG(t) = ke−23t

La costante k si determina imponendo la condizione iniziale

yG(0) = ke−23·0 = 2 ⇒ k = 2

Quindi la soluzione dell’equazione differenziale e

y(t) = 2e−23t


5dy

dt+ 2y = 0


y(3) = 4

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Risoluzione Risolvendo l’equazione caratteristica

5λ+ 2 = 0

si ottiene

λ = −2

5

L’integrale generale e, quindi

yG(t) = ke−25t

Imponendo la condizione iniziale si determina k

yG(3) = ke−25·3 = ke−

65 = 4 ⇒ k = 4e

65

Pertanto la soluzione e

y(t) = 4e65 e−

25t = 4e−

25(t−3)


d2y

dt2+ 2

dy

dt− 15y = 0

con le condizioni iniziali

y(0) = 7

dy

dt

∣∣∣∣t=0

= −3

Risoluzione L’equazione caratteristica e

λ2 + 2λ− 15 = 0

ammette due radici reali distinte

λ1, λ2 = −1±√1 + 15 =

↗↘

−5

3

Quindi l’integrale generale e

yG(t) = k1e−5t + k2e

3t

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All’istante iniziale l’integrale generale vale

yG(0) = k1 + k2

e la sua derivata

dyGdt

= −5k1e−5t + 3k2e

3t

assume il valore

dyGdt

∣∣∣∣t=0

= −5k1 + 3k2

Imponendo le condizioni iniziali si ottiene un sistema nelle incognite k1 e k2

yG(0) = 7dyGdt

∣∣∣∣t=0

= −3⇒

{k1 + k2 = 7

−5k1 + 3k2 = −3

Risolvendo questo sistema si ricavano i valori delle costanti

{k1 = 3

k2 = 4


y(t) = 3e−5t + 4e3t


d2y

dt2+ 6

dy

dt+ 9y = 0


y(0) = 2

dy

dt

∣∣∣∣t=0

= −1

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Risoluzione L’equazione caratteristica

λ2 + 6λ+ 9 = 0

ammette due soluzioni reali coincidenti

λ1, λ2 = −3±√9− 9 = −3

pertanto l’integrale generale dell’equazione differenziale ha la seguente espressione

yG(t) = k1e−3t + k2te

−3t

Per t = 0 l’integrale generale vale

yG(0) = k1

mentre la sua derivata

dyGdt

= −3k1e−3t + k2e

−3t − 3k2e−3t

vale

dyGdt

∣∣∣∣t=0

= −3k1 + k2

Imponendo le condizioni iniziali si ricava

yG(0) = 0 ⇒ k1 = 2

dyGdt

∣∣∣∣t=0

= −1 ⇒ −3k1 + k2 = −1 ⇒ k2 = 5

Quindi la soluzione e

y(t) = 2e−3t + 5te−3t


d3y

dt3+ 3

d2y

dt2+ 3

dy

dt+ y = 0


y(0) = 5

dy

dt

∣∣∣∣t=0

= −1

d2y

dt2

∣∣∣∣t=0

= 3

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Risoluzione L’equazione caratteristica e

λ3 + 3λ2 + 3λ+ 1 = 0

cioe

(λ+ 1)3 = 0

Quindi si hanno tre soluzioni reali coincidenti

λ1 = λ2 = λ3 = −1

Pertanto l’integrale generale e

yG(t) = k1e−t + k2te

−t + k3t2e−t

Si determinano le espressioni relative all’istante iniziale dell’integrale generale

yG(0) = k1

della sua derivata prima

dyGdt

= −k1e−t + k2e

−t − k2te−t + 2k3te

−t − k3t2e−t

⇒ dyGdt

∣∣∣∣t=0

= −k1 + k2

e della sua derivata seconda

d2yGdt2

= k1e−t − k2e

−t − k2e−t + k2te

−t+

+ 2k3e−t − 2k3te

−t − 2k3te−t + k3t

2e−t

⇒ d2yGdt2

∣∣∣∣t=0

= k1 − 2k2 + 2k3

Quindi imponendo le condizioni iniziali si ottiene

yG(0) = 5 ⇒ k1 = 5

dyGdt

∣∣∣∣t=0

= −1 ⇒ −k1 + k2 = −1 ⇒ k2 = 4

d2yGdt2

∣∣∣∣t=0

= 3 ⇒ k1 − 2k2 + 2k3 = 3 ⇒ k3 = 3


y(t) = 5e−t + 4te−t + 3t2e−t = (3t2 + 4t+ 5)e−t

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d2y

dt2+ 4

dy

dt+ 13y = 0


y(0) = 3

dy

dt

∣∣∣∣t=0

= 3

Risoluzione L’equazione caratteristica

λ2 + 4λ+ 13 = 0

ha due soluzioni complesse coniugate

λ1, λ2 = −2±√4− 13 = −2± 3j

quindi l’espressione dell’integrale generale e

yG(t) = Ae−2t cos(3t+ ϕ)

All’istante iniziale si ha

yG(0) = 3

mentre la derivata

dyGdt

= −2Ae−2t cos(3t+ ϕ)− 3Ae−2t sen(3t+ ϕ)

vale

dyGdt

∣∣∣∣t=0

= −2A cosϕ− 3A senϕ

Imponendo le condizioni iniziali si ottiene un sistema nelle incognite A e ϕ

yG(0) = 3dyGdt

∣∣∣∣t=0

= 3⇒

{A cosϕ = 3

−2A cosϕ+ 3A senϕ = 3⇒

{A cosϕ = 3

A senϕ = 3

Per determinare A si elevano al quadrato il primo e il secondo membro delle dueequazioni e si esegue la somma membro a membro

A2(cos2 ϕ+ sen2 ϕ) = 18 ⇒ A2 = 18 ⇒ A = 3√2

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Infine si sostituisce il valore di A nel sistema2 e si ricava ϕcosϕ =

√2

2

senϕ =

√2

2

⇒ ϕ = −π

4

Quindi la soluzione dell’equazione e

y(t) = 3√2e−2t cos(3t− π

4)

A.4.2 Equazioni non omogenee


3dy

dt+ 5y = 2


y(0) = 0

Risoluzione Il primo passo della soluzione consiste nella determinazione dell’in-tegrale generale dell’equazione omogenea associata

3dy

dt+ 5y = 0

Questa equazione ha come equazione caratteristica

3λ+ 5 = 0

Pertanto si ottiene

λ = −5

3

L’integrale generale dell’equazione omogenea associata e quindi

yH(t) = ke−53t

2Per A e stato scelto il valore positivo, intendendo rappresentare con A l’ampiezza dellafunzione sinusoidale. Comunque sarebbe stato lecito anche attribuire ad A valore negativo. Inquesto caso, proseguendo nella soluzione, si sarebbe ottenuto ϕ = −3π/4. Si ha, quindi, unarotazione di π che compensa il cambiamento di segno del fattore A, pertanto le due soluzionicoincidono.

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A questo punto si determina una soluzione particolare dell’equazione completa.Dato che il termine noto e costante, si cerca una soluzione del tipo

yP (t) = Y

Sostituendo yP (t) nell’equazione si ottiene

3 · 0 + 5Y = 2 ⇒ yP (t) = Y =2

5

Sommando questa soluzione all’integrale generale dell’equazione omogenea asso-ciata si ottiene l’integrale generale dell’equazione completa

yG(t) = yH(t) + yP (t) = ke53t +

2

5

Infine si determina k imponendo la condizione iniziale

yG(0) = k +2

5= 0 ⇒ k = −2

5


y(t) =2

5

(1− e−

53t)


3dy

dt+ 5y = 5t2 + t+ 2


y(0) = 0

Risoluzione L’equazione omogenea associata all’equazione assegnata coincidecon quella dell’esempio A.7. Quindi anche in questo caso l’integrale generaledell’equazione omogenea associata e

yH(t) = ke−53t

Dato che il termine noto e un polinomio di secondo grado, si ricerca una soluzioneparticolare del tipo

yP (t) = c2t2 + c1t+ c0

Sostituendo yP (t) nell’equazione differenziale si ottiene

3(2c2t+ c1) + 5(c2t+ 2 + c1t+ c0) = 5t2 + t+ 2

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cioe

5c2t2 + (6c2 + 5c1)t+ 3c1 + 5c0 = 5t2 + t+ 2

Imponendo che i coefficienti dei polinomi a primo e secondo membro siano ugualisi ricava il seguente sistema di equazioni

5c2 = 5

6c2 + 5c1 = 1

3c1 + 5c0 = 2

Risolvendo questo sistema si determinano i valori dei coefficienti c0, c1, c2

c0 = 1

c1 = 1

c2 = −1

Quindi la soluzione particolare e

yP (t) = t2 − t+ 1

e l’integrale generale dell’equazione non omogenea e

yG(t) = yP (t) + yH(t) = ke−53t + t2 − t+ 1

All’istante iniziale si ha

yG(t) = k + 1

Pertanto, imponendo la condizioni iniziale si ottiene

yG(0) = 0 ⇒ k + 1 = 0 ⇒ k = −1


yG(t) = −e−53t + t2 − t+ 1


dy

dt+ 5y = 5

√2 cos(5t− π

4)


y(0) = 0

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Risoluzione Anche in questo caso l’equazione omogenea associata coincide conquella dell’esempio A.7, quindi l’integrale generale dell’equazione omogenea as-sociata e ancora

yH(t) = ke−53t

Dato che il termine noto e sinusoidale si ricerca una soluzione particolare del tipo

yP (t) = YM cos(5t+ ϑ)

Sostituendo yP (t) nell’equazione differenziale si ottiene

3(−5YM sen(5t+ ϑ) + 5YM cos(5t+ ϑ) = 5√2 cos(5t− π

4)

Facendo uso delle note relazioni trigonometriche

cos(α+ β) = cosα cos β − senα sen β

cos(α+ β) = cosα sen β + senα cos β

l’espressione precedente puo essere posta nella forma

− 15YM cosϑ sen 15t− 15YM senϑ cos 5t+ 5YM senϑ cos 5t+

− 15YM senϑ sen 5t = 5√2 cos

π

4cos 5t+ 5

√2 sen

π

4sen 5t

cioe

−YM(3 cosϑ+ senϑ) sen 5t+ YM(cosϑ− 3 senϑ) cos 5t = sen 5t+ cos 5t

Imponendo che i coefficienti di sen 5t e cos 5t a primo e secondo membro sianouguali si ottiene il sistema di equazioni{

3YM cosϑ− YM senϑ = 1

YM cosϑ− 3YM senϑ = 1

Risolvendo tale sistema rispetto a YM cosϑ e YM senϑ si ha

YM cosϑ = −1

5

YM senϑ = −2

5

Per determinare YM si elevano al quadrato il primo e il secondo membro delleequazioni e si somma membro a membro

Y 2M(cos2 ϑ+ sen2 ϑ) =

1

25+

4

25⇒ Y 2

M = −1

5⇒ YM = −

√5

5

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Sostituendo il valore di YM nel sistema precedente si ricavacosϑ = −

√5

5

senϑ = −2√5

5

quindi

ϑ = arctg 2− π ≈ −2.03

Pertanto la soluzione particolare e

yP (t) =

√5

5cos(5t− 2.03)

e l’integrale generale e

yG(t) = yH(t) + yP (t) = ke−53t +

√5

5cos(5t− 2.03)

Infine si impone la condizione iniziale per determinare k

yG(0) = k +

√5

5cos(−2.03) = k +

√5

5

(−√5

5

)= k +

1

5= 0

⇒ k =1

5


y(t) =1

5e−

53t +

√5

5cos(5t− 2.03)

Esempio A.10 Risolvere l’equazione

d2y

dt2+ 4

dy

dt+ 13y = 13


y(0) = 2

dy

dt

∣∣∣∣t=0

= −2− 3√3

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Risoluzione L’equazione omogenea associata coincide con l’equazione dell’esem-pio A.6. Quindi il suo integrale generale e

yH(t) = Ae−2t cos(3t+ ϕ)

Dato che il termine noto dell’equazione e costante si ricerca una soluzione parti-colare costante

yP (t) = Y

Sostituendo Y a y(t) nell’equazione si ottiene

13Y = 13 ⇒ Y = 1

Pertanto l’integrale generale dell’equazione non omogenea e

yG(t) = Ae−2t cos(3t+ ϕ) + 1

Per t = 0 l’integrale generale vale

yG(0) = A cosϕ+ 1

e la sua derivata

dyGdt

= −2Ae−2t cos(3t+ ϕ)− 3Ae−2t sen(3t+ ϕ)

all’istante iniziale vale

dyGdt

∣∣∣∣t=0

= −2A cosϕ− 3A senϕ

Quindi imponendo le condizioni iniziali si ottiene

yG(0) = 0 ⇒ A cosϕ = 1

e

dyGdt

∣∣∣∣t=0

= −2− 3√3 ⇒ 2A cosϕ+ 3A senϕ = 2 + 3

√3

Per determinare A e ϕ si deve risolvere il sistema{A cosϕ = 1

2A cosϕ+ 3A senϕ = 2 + 3√3

cioe {A cosϕ = 1

A senϕ =√3

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Elevando al quadrato le equazioni e sommando si determina A

A2 = 4 ⇒ A = 2

quindi si sostituisce il valore di A nel sistemacosϕ =

1

2

senϕ =

√3

2

e si ottiene

ϕ =π

3

La soluzione dell’equazione e, quindi

y(t) = 2e−2t cos(3t+π

3) + 1

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Appunti delle Lezioni di Elettrotecnica - 2 · 2019. 12. 19. · 2 Appunti delle Lezioni di...

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