Appunti del corso di

METODI MATEMATICI DELLA FISICA

Guido Cognola ∗

anno accademico 2009-2010

Questi appunti sono essenzialmente la trascrizione in maniera schematica e concisa delle lezioni svoltenel corso di Metodi Matematici della Fisica – Seconda Unita – nell’anno accademico 2009-2010. Ilmateriale e preso dai libri di testo consigliati e non deve assolutamente diventare un sostituto degli stessi.

http://science.unitn.it/˜cognola → didattica dicembre 2009

∗e-mail: cognola@science.unitn.it

Testi consigliati

A.N. Kolmogorov and S.V. Fomin. Elementi di teoria delle funzioni e di analisi funzionale. EdizioniMIR 1980.V.V. Vladimirov et Coll. Recuel de Problemes d’Equations de Physique Mathematique. Edizioni MIR1976.

Indice

1 Integrale di Lebesgue 31.1 Integrale di Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Misura di Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Funzioni misurabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4 Integrale di Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.5 Teoremi Classici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Spazi Metrici 72.1 Isometria fra spazi metrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2 Contrazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3 Spazi Normati 93.1 Esempi di spazi normati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4 Spazi Euclidei 104.1 Esempi di spazi euclidei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.2 Sistemi ortonormali chiusi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.3 Teorema di Riesz-Fischer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5 Spazi di Hilbert 165.1 Lo spazio L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175.2 Completezza di L1 e L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185.3 Basi ortonormali in L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195.4 Sistema trigonometrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195.5 Forma complessa della serie di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205.6 Completezza del sistema trigonometrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215.7 Polinomi di Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235.8 Polinomi di Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

6 Funzionali lineari continui 256.1 Spazio duale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276.2 Base duale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

7 Distribuzioni 297.1 Funzioni test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297.2 Lo spazio D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307.3 Lo spazio S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317.4 Distribuzioni di Schwartz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317.5 Distribuzioni regolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327.6 Prodotto di una distribuzione per una funzione C∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337.7 Cambiamento di variabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347.8 Derivazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357.9 Prodotto diretto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357.10 Prodotto di convoluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367.11 Condizioni sufficienti per l’esistenza del prodotto di convoluzione . . . . . . . . . . . . . . 377.12 Regolarizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387.13 Distribuzioni temperate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397.14 Trasformata di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397.15 Soluzioni fondamentali di operatori differenziali lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

8 Operatori Lineari 428.1 Operatoti Limitati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

8.1.1 Proprieta dell’operatore aggiunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468.1.2 Proprieta dell’operatore autoaggiunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

8.2 Spettro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488.3 Operatori Compatti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

i

9 Equazioni Integrali 549.1 Applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

9.1.1 Problema di Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 549.1.2 Problema di Abel (1823) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559.1.3 Problema della corda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

9.2 Equazioni di Fredholm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 569.2.1 Nuclei di Hilbert-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

9.3 Soluzione delle equazioni integrali di IIa specie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 589.3.1 Equazioni a nucleo simmetrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 599.3.2 Equazioni a nucleo degenere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 609.3.3 Equazioni di Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 619.3.4 Soluzioni sotto forma di serie di potenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 629.3.5 Nuclei Ortogonali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

10 Contrazioni: metodo delle approssimazioni successive 64

11 Spazi di Hilbert 66

12 Distribuzioni 68

13 Equazioni integrali 89

ii

Definizioni

Alcuni dei concetti seguenti si possono definire in spazi piu generali, ma qui siamo interessati agli spazieuclidei per i quali e definito il concetto di “distanza” fra due punti arbitrari. Questo e dato dalla normadella differenza dei due punti, che per spazi reali e una vera distanza ρ(x, y) fra punti (vedi sotto).

• Punto di accumulazione. – x ∈ X e detto punto di accumulazione se ogni suo intorno contienealmeno un punto di X.

• Chiusura. L’insieme X si dice chiuso se contiene tutti i suoi punti di accumulazione.

• Limitatezza. – X si dice limitato se la distanza fra ogni coppia di punti e finita. Vale a dire, perogni x, y ∈ X esiste C per cui ρ(x, y) ≤ C.

• Compattezza. – Uno spazio X si dice compatto se da ogni suo ricoprimento aperto e possibileestrarre un sottoricoprimento finito.G ∈ X si dice relativamente compatto o precompatto se la sua chiusura in X e compatta.

• Totale Limitatezza. – X e totalmente limitato se da e unione finita di “palle” aperte (ε-rete), cioeX =

⋃nk=1 B(xk, ε), dove B(x, ε) e la palla aperta di raggio ε centrata in x.

• Discontinuita di prima specie. – Quando i limiti destro e sinistro esistono entrambi ma sono diversifra loro.

• Funzione a variazione limitata. – f definita in [a, b] si dice a variazione limitata se, per ognisuddivisone dell’intervallo del tipo a = x0 < x1 < · · · < xn = b si ha

n∑

k=1

|f(xk) − f(xk−1)| < costante .

• Funzione assolutamente continua. – f definita in [a, b] si dice assolutamente continua se, fissatoarbitrariamente ε > 0, esiste δ per cui

∑

k

|f(bk) − f(ak)| < ε ,∑

k

(bk − ak) < δ ,

dove (ak, bk) e una qualsiasi famiglia finita di intervalli disgiunti.Ogni funzione assolutamente continua e uniformemente continua e a variazione limitata.In particolare, l’integrale indefinito di ogni funzione sommabile definisce una funzione assolutamentecontinua.

• Convergenza quasi ovunque. – Si dice che la successione fn converge a f quasi ovunque sefn(x) → f(x), a meno di un insieme di misura nulla, vale a dire, l’insieme dei punti in cui la funzionenon converge ha misura nulla.

• Sottoinsieme denso: un insieme G e denso in X se ogni punto di X e circondato da punti di Garbitrariamente vicini. In maniera precisa: per ogni x ∈ X e comunque scelto un numero ε > 0,esiste un elemento xg ∈ G tale che ρ(x, xg) < ε.

• Successione Fondamentale (o di Cauchy). – Una successione xk si dice fondamentale se soddisfail criterio di Cauchy, vale a dire se, comunque scelto un numero ε > 0, esiste un intero Nε taleche ρ(xn, xm) < ε, per ogni n,m > Nε. Ogni successione convergente ovviamente soddisfa questocriterio. In generale pero non vale il viceversa. Quindi il criterio di Cauchy e una condizionenecessaria ma non sufficiente per la convergenza delle successioni.

• Completezza di uno spazio. – Uno spazio X si dice completo se ogni successione fondamentale econvergente. Questo significa che in uno spazio completo, la condizione di Cauchy e necessaria esufficiente per la convergenza.Esempio. L’insieme Q dei numeri razionali non e completo. Esistono infatti successioni di numerirazionali che convergono ad un numero reale, ma non razionale. L’insieme dei numeri reali IR ecompleto ed e anche il completamento di Q. In IR ogni successione fondamentale converge ad unnumero reale.

1

• Spazio separabile. – Uno spazio X si dice separabile se contiene un insieme numerabile ovunquedenso in X (gli spazi che si incontrano comunemente lo sono).Esempio. Un numero reale si puo approssimare con precisione arbitraria mediante un numerorazionale. L’insieme dei numeri razionali Q e quindi denso in IR; inoltre Q e numerabile e dunqueIR e separabile.

2

1 Integrale di Lebesgue

E’ l’estensione dell’integrale di Riemann ad una classe piu vasta di funzioni1.

1.1 Integrale di Riemann

Analizziamo brevemente, da un punto di vista critico, la definizione di integrale secondo Riemann. Siaquindi f(x) una funzione limitata definita nell’intervallo I ≡ (a, b), m e M rispettivamente gli estremiinferiore e superiore che questa raggiunge al variare di x ∈ I, hi un “piccolo” intervallo in I con

∑

i hi = I,mi, Mi e mi ≤ fi ≤ Mi gli estremi inferiore, superiore e un valore “rappresentativo” che la funzioneassume al variare di x ∈ hi. Si ponga

σ =∑

i

hifi , s =∑

i

himi , S =∑

i

hiMi+1 .

La funzione f(x) e integrabile secondo Riemann se i limiti per i → ∞ delle espressioni precedenti sonocoincidenti. Il procedimento precedente e sensato se nell’intervallo hi i possibili valori di fi sono “vicini”fra loro, vale a dire se fi e effettivamente un punto rappresentativo della funzione. Se f e continua questoe certamente vero, ma non e necessario.

Come si vede, nella definizione precedente si discretizza il dominio di definizione della funzione nonsapendo quindi come saranno distribuiti i valori della stessa nel generico intervallo. Nella definizioneintegrale di Lebesgue il procedimento e simile, ma anziche il dominio della funzione, si discretizza ilco-dominio, avendo quindi il controllo sui valori che la funzione assume in ogni intervallino.

Prima di procedere alla definizione generale, consideriamo una speciale classe di funzioni f(x) comesopra, ma con la ulteriore restrizione che l’insieme Iαβ sia un multi-intervallo, dove

Iαβ ≡ x ∈ I, tali che m ≤ α ≤ f(x) ≤ β ≤M (1.1)

comunque scelti α e β.A questo punto dividiamo il co-dominio di f in tanti piccoli intervalli m = α0 < α1 < α2 < ... < αn =

β ad ognuno dei quali corrispondera un multi-intervallo

Iαiαi+1= h

(1)i + h

(2)i + ... ≡ hi ⊂ I ,

∑

i

hi = I , (1.2)

dove la funzione assumera i valori αi ≤ fi ≤ αi+1. Poniamo allora

s =∑

i

hiαi ≤ σ =∑

i

hifi ≤ S =∑

i

hiαi+1 (1.3)

e osserviamo che i limiti per i→ ∞ delle espressioni precedenti sono coincidenti, per costruzione. Infatti,scelta un’arbitraria discretizzazione con αi+1 − αi < ε, si ha

S − s =∑

i

(αi+1 − αi)hi < ε(b− a) .

♣ hi e la misura (lunghezza) del multi-intervallo Iαiαi+1. Se Iαβ non e un multi-intervallo, le espressioni

(1.3) non hanno alcun significato, a meno che non si definisca hi in modo preciso.Per poter estendere l’integrale di Lebesgue a funzioni arbitarie e prima necessario definire la misuradi un insieme qualunque.

1Per una trattazione elementare vedi: F.G. Tricomi, Istituzioni di analisi superiore, Edizioni CEDAM, Padova (1964).

3

1.2 Misura di Lebesgue

E’ una delle varie estensioni del concetto di misura ad un insieme qualunque.Sia P un intervallo (chiuso, aperto o semiaperto) in IR (o un rettangolo in IR2 o un iper-parallelepipedo

in Rn). La misura m(P ) di P e la lunghezza (l’area, l’iper-volume) e la misura dell’insieme vuoto e nullaper definizione; m(Φ) = 0. Questa misura gode delle proprieta

• m(P ) ≥ 0; la misura e reale e non negativa;

• m(P ) =∑nk=1 m(Pk) se P =

⋃nk=1 Pk e Pi

⋂

Pj = Φ;la misura di un numero finito di intervalli disgiunti e la somma delle misure dei singoli intervalli.

La misura si estende facilmente ad ogni insieme elementare, vale a dire a qualunque unione infinitadi intervalli disgiunti. Si definisce

m′(E) =∑

k

m(Pk) , E =⋃

k

Pk , Pi⋂

Pj = Φ .

Si osservi che rispetto alla seconda proprieta della misura sopra, nell’ultima espressione l’indice k puo assu-mere infiniti valori. In generale, la decomposizione dell’insieme elementare E in infiniti intervalli disgiuntipuo essere effettuata in piu modi; si dimostra che la misura m′(E) non dipende dalla decomposizione.

Si dimostra inoltre che se E e unione finita o numerabile di insiemi elementari Ek disgiunti, allora

m′(E) =∑

k

m′(Ek) , E =⋃

k

Ek , Ei⋂

Ej = Φ .

Questa importante proprieta della misura m′ e detta Addidivita numerabile o σ-additivita.Consideriamo ora un insieme qualsiasi A contenuto in una regione finita di IR (IRn) e un suo ri-

coprimento arbitrario mediante intervalli (rettangoli) Pk. Definiamo la misura esterna di A mediantel’espressione

µ∗(A) = infA⊂∪kPk

m(Pk) .

Si dimostra l’importante e “naturale” proprieta, che se A ⊂ B allora µ∗(A) ≤ µ∗(B).

• Definizione – Un insieme si dice misurabile nel senso di Lebesgue se si puo approssimare con precisionearbitraria mediante insiemi elementari. Piu precisamente, A sara misurabile (secondo Lebesgue) se, perogni ε > 0 esiste un insieme elementare E per cui

µ∗(A∆E) < ε ,

dove A∆E e l’insieme complemetare dell’intersezione. In tal caso la funzione µ∗ si chiama misura diLebesgue e si indica semplicemente con µ.

Unione e intersezione numerabile di insiemi misurabili e misurabile. Valgono inoltre le proprieta

A =⋃

n

An =⇒ µ(A) =∑

n

µ(An) , (σ-additivita) ,

dove An e una famiglia disgiunta di insiemi misurabili.

A =⋂

n

An , A1 ⊃ A2 ⊃ A3... =⇒ µ(A) = limn→∞

µ(An) . (1.4)

A =⋃

n

An , A1 ⊂ A2 ⊂ A3... =⇒ µ(A) = limn→∞

µ(An) .

L’estensione ad insiemi qualsiasi contenuti in tutto IR (IRn) e ora immediata in quanto l’asse reale puoessere visto come una somma di intervalli disgiunti e l’insieme A diventa la somma di (infiniti) insiemi,ognuno contenuto in un intervallo. Si osservi che in tal caso la misura puo essere infinita.

Usando le proprieta astratte che definiscono una misura, la misura di Lebesgue si puo estendere adinsiemi piu generali di IRn.

4

Esempi

Misura di un punto. – La misura di Lebesgue di un punto isolato A e banalmente nulla. Un puntoinfatti e contenuto in un intervallo Iε, con ε arbitrariamente piccolo, per cui µ(A) ≤ µ(Iε) = ε. Usandola σ-additivita si ricava che anche la misura di un’infinita numerabile di punti e nulla.

1.3 Funzioni misurabili

Sia f(x) definita in un insieme misurabile I e sia Iαβ l’insieme definito dalla (1.1). La funzione f si diramisurabile (secondo Lebesgue) se Iαβ e un insieme misurabile.Equivalentemente si dice che f e misurabile se, per ogni a, l’insieme Eα ≡ x ∈ I, tali che f(x) > α emisurabile.

♣ Se f e misurabile ed e uguale a g q.o. (quasi ovunque, vale a dire a meno di un insieme di misuranulla), allora anche g e misurabile; somme, prodotti, limiti di funzioni misurabili sono misurabili.

1.4 Integrale di Lebesgue

La definizione di integrale di Lebesgue e ora immediata. Si usa infatti lo stesso procedimento introdottosopra, dove anziche richiedere che l’insieme Iαβ in (1.1) sia un multi-intervallo, si richiede la misurabilitadella funzione limitata f . Questo, per definizione, garantisce la misurabilita di Iαβ , che nel caso specialesopra, equazione (1.2), era stata usata tacitamente ponendo hi uguale alla lunghezza del generico multi-intervallo (si sono usata la somma al posto dell’unione). Allora poniamo

hi = µ(Iαiαi+1) , s =

∑

i

hiαi ≤ σ =∑

i

hifi ≤ S =∑

i

hiαi+1 . (1.5)

Il limite delle espressioni precedenti per una suddivisione del co-dominio della funzione con infinitiintervalli infinitesimi definisce l’integrale di Lebesgue, cioe

∫

I

f(x) dx = limi→∞

∑

i

hifi . µ(I) =∞∑

i=1

hi

Valgono tutte le proprieta dell’integrale di Riemann. Inoltre se f e limitata in I e integrabile secondoRiemann, allora e anche integrabile secondo Lebesgue e i due integrali coincidono.

Se f = g q.o., allora∫

I

dx f(x) =

∫

I

dx g(x) .

Come si fa con l’integrate di Riemann, anche l’integrale di Lebesgue si estende, a funzioni non limitate.Per fare questo e sufficiente approssimare la funzione non limitata f mediante un successione di funzionilimitate (troncate) fn e definire l’integrale di f come limite degli integrali della serie fn usando i teoremiriportati di seguito. Se il limite e finito, la funzione si dice sommabile secondo Lebesgue.

1.5 Teoremi Classici

• • Teorema Io di Lebesgue – Se fn e una successione di funzioni misurabili, uniformementelimitata (vale a dire che esiste un numero N per cui vale relazione |fn(x)| < N) e convergente a fq.o., allora anche f e misurabile e si ha

∫

dx fn(x) →∫

dx f(x) .

Si osservi che per scambiare il limite con l’integrale basta la limitatezza uniforme e non la conver-genza uniforme come per l’integrale di Riemann.

5

Corollario – Se f(x) e la somma di una serie di funzioni misurabili un e le somme parziali sonouniformemente limitate, allora

∑

n

∫

dxun(x) =

∫

dx f(x) .

In queste ipotesi si puo integrare termine a termine.

• • Teorema IIo di Lebesgue – Se fn e una successione di funzioni sommabili convergente a fq.o. e per ogni n vale la relazione |fn(x)| ≤ φ(x), dove φ(x) e una funzione sommabile, allora anchef e sommabile e

∫

dx fn(x) →∫

dx f(x) .

Come sopra, si puo scambiare il limite con l’integrale.

Corollario I – Se f(x) e la somma (q.o.) di una serie di funzioni sommabili un e tutte le sommeparziali sono limitate da una funzione sommabile |φ(x)| , allora anche f e sommabile e il suo integralee la somma degli integrali di fn. Sotto queste condizioni si puo integrare termine a termine.Corollario II – Se una serie di funzioni sommabili non negative converge q.o. ad una funzionesommabile f , allora si puo integrare termine a termine.

• • Teorema di B. Levi – Se f1(x) ≤ f2(x) ≤ ... ≤ fn(x) ≤ ... e una successione di funzioniintegrabili e tutti gli integrali sono maggiorati da un’unica costante, allora la successione convergea f quasi ovunque e inoltre l’integrale di f e il limite degli integrali.

• • Teorema di Fatou – Se fn e una successione di funzioni sommabili non negative convergentea f e tutti gli integrali di fn sono maggiorati da una costante comune, allora l’integrale di f esisteed e maggiorato dalla stessa costante.

6

2 Spazi Metrici

• Definizione (spazio metrico) – Uno spazio metrico e un qualunque insieme X munito di un’appli-cazione ρ(x, y) che ad ogni coppia di elementi x, y ∈ X associa un numero reale, con le proprieta

1. ρ(x, y) ≥ 0 e ρ(x, y) = 0 se e solo se x = y,

2. ρ(x, y) = ρ(y, x) — simmetria,

3. ρ(x, z) ≤ ρ(x, y) + ρ(y, z) — disuguaglianza triangolare.

Un’applicazione con le proprieta precedenti e detta distanza.

Esempi

1. La retta reale IR con la distanza ρ(x, y) = |x − y|; si verifica banalmente che le tutte le proprietasono soddisfatte.

2. L’insieme delle n− uple ordinate di numeri reali (x1, x2, ..., xn) con la distanza

ρ(x, y) =

√

√

√

√

n∑

k=1

(xk − yk)2 .

Questo spazio metrico e detto spazio Euclideo n−dimensionale e si indica con IRn. Le prime due pro-prieta sono banalmente verificate, mentre la disuguaglianza triangolare deriva dalla disuguaglianzadi Cauchy-Bunjakowskij-Schwartz

(

n∑

k=1

akbk

)2

≤n∑

i=1

a2i

n∑

j=1

b2j (2.1)

che a sua volta e una banale conseguenza dell’identita

(

n∑

k=1

akbk

)2

=n∑

i=1

a2i

n∑

j=1

b2j −1

2

n∑

i=1

n∑

j=1

(aibj − ajbi)2

che si verifica direttamente. Per ricavare la disuguaglianza triangolare, presi tre punti x, y, z in IRn

conviene prima porre

ak = xk − yk , bk = yk − zk =⇒ xk − zk = ak + bk .

In questo modo si ha

[ρ(x, z)]2

=

n∑

k=1

(ak + bk)2 =

n∑

k=1

a2k +

n∑

k=1

b2k + 2

n∑

k=1

akbk

≤n∑

k=1

a2k +

n∑

k=1

b2k + 2

√

√

√

√

n∑

i=1

ai

√

√

√

√

n∑

b=1

bj =

√

√

√

√

n∑

k=1

ak +

√

√

√

√

n∑

k=1

bk

2

= [ρ(x, y) + ρ(y, z)]2. (2.2)

3. L’insieme IRn1 delle n− uple ordinate di numeri reali (x1, x2, ..., xn) con la distanza

ρ1(x, y) =

n∑

k=1

|xk − yk| .

Tutte le proprieta si verificano banalmente.

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4. L’insieme IRn∞ delle n− uple ordinate di numeri reali (x1, x2, ..., xn) con la distanza

ρ∞(x, y) = max1≤k≤n

|xk − yk| .

La disuguaglianza triangolare deriva dal fatto che, per ogni k

|xk − zk| ≤ |xk − yk| + |yk − zk| ≤ max1≤k≤n

|xk − yk| + max1≤k≤n

|yk − zk| .

5. Lo spazio ℓ2 costituito dalle successioni xk di numeri reali tali che∑

k x2k <∞ con la distanza

ρ(x, y) =

√

√

√

√

∞∑

k=1

(xk − yk)2 .

Se x, y ∈ ℓ2 allora la serie precedente converge come conseguenza delle disuguaglianze

(xk ± yk)2 ≤ 2(x2

k + y2k)

e la disuguaglianza triangolare e il limite della (2.2).

6. Lo spazio C[a, b] delle funzioni continue nell’intervallo [a, b] con la metrica

ρ(f, g) = maxa≤t≤b

|f(t) − g(t)| . (2.3)

Le proprieta si verificano facilmente.

7. Lo spazio C2[a, b] delle funzioni continue nell’intervallo [a, b] con la metrica

ρ2(f, g) =

√

∫ b

a

dt [f(t) − g(t)]2 .

La disuguaglianza triangolare si ricava usando la disuguaglianza di Cauchy-Bunjakowskij-Schwartzintegrata. Rispetto a tutti quelli precedenti, questo spazio metrico non e completo. Questosignifica che esistono successioni fondamentali di funzioni appartenenti a C2[a, b] che pero nonconvergono a funzioni di C2[a, b].

2.1 Isometria fra spazi metrici

• Definizione (continuita) – Siano dati due spazi metrici X e Y con distanze ρ e ρ1 rispettivamentee un’applicazione f : X → Y . Si dira che f e continua in x0 ∈ X se, comunque scelto ε > 0, esiste δ > 0tale che, per ogni x ∈ X per cui ρ(x, x0) < δ si abbia

ρ1(f(x), f(x0)) < ε .

Questa definizione di continuita coincide con quella nota se X e Y sono insiemi numerici.

• Definizione (omeomorfismo) – Se f : X → Y e un’applicazione biunivoca e bicontiuna, vale adire continua, invertibile e con inversa continua allora si dice omeomorfismo fra spazi metrici (la stessaterminologia si usa anche per gli spazi topologici), e i due spazi si dicono omeomorfi.

• Definizione (isometria) – Un omeomorfismo che conserva le distanze si dice isometria. L’isometriae quindi un’applicazione f : X → Y biunivoca e bicontiuna tale che

ρ(x1, x2) = ρ1(f(x1), f(x2)) , x1, x2 ∈ X .

Se fra due spazi metrici esiste un’isometria, i due spazi si dicono isometrici e, a tutti gli effetti, si possonoconsiderare identici.

• Definizione (convergenza) – Una successione di punti xn in uno spazio metrico X si diceconvergente a x ∈ X se

limn→∞

ρ(x, xn) = 0 .

• Definizione (completezza) – Uno spazio X si dice completo se ogni successione fondamentale con-verge ad un elemento di X. Si dimostra che ogni spazio metrico ha un completamento unico a meno diisometrie.

8

2.2 Contrazioni

• Definizione (contrazione) – Un’applicazione A da uno spazio metrico in se stesso e detta contrazionese esiste un numero reale α < 1 tale che, per ogni coppia di punti x, y ∈ X si abbia

ρ(Ax,Ay) ≤ αρ(x, y) , α < 1 .

• Teorema – Ogni contrazione e un’applicazione continua.

• Dimostrazione – Data infatti una successione xn convergente a x ∈ X si ha

ρ(Ax,Axn) ≤ αρ(xn, x) ≤ ρ(xn, x) → 0 .

• Teorema (principio delle contrazioni) – Ogni contrazione in uno spazio metrico completo ha unsolo punto fisso, vale a dire che l’equazione

Ax = x ,

ha sempre una e una sola soluzione.

• Dimostrazione – Per la dimostrazione si usano le proprieta della distanza, la continuita di A e lacompletezza di X. Dato un punto qualunque x0, si costruisce la successione

x1 = Ax0 , x2 = Ax1 = A2x0 , x3 = Ax2 = A3x0 , ... xn = Anx0 .

Questa e una successione fondamentale in quanto, per ogni m ≥ n si ha

ρ(xn, xm) = ρ(Anx0, AnAm−nx0) ≤ αnρ(x0, xm−n) ≤ αn [ρ(x0, x1) + ρ(x1, xm−n)]

≤ αn [ρ(x0, x1) + ρ(x1, x2) + ρ(x2, x3) + ...+ ρ(xm−n−1, xm−n)]

≤ αnρ(x0, x1)(1 + α+ α2 + ...+ αm−n) ≤ αnρ(x0, x1)

1 − α.

Poiche α < 1, l’ultimo termine e piccolo a piacere per n abbastanza grande. Data la completezza, lasuccessione xn converge ad un punto x ∈ X. Usando la continuita si ha anche

Ax = A limn→∞

xn = limn→∞

Axn = limn→∞

xn+1 = x

e quindi x e effettivamente un punto fisso, qualunque sia x0. L’unicita si dimostra per assurdo. Infatti,se x, y sono entrambi punti fissi, con x 6= y, allora ρ(x, y) 6= 0 e

ρ(x, y) = ρ(Ax,Ay) ≤ αρ(x, y) =⇒ α ≥ 0 ,

in contrasto con l’assunzione che A sia una contrazione.

♣ Per l’esistenza del punto fisso non e strettamente necessario che A sia una contrazione, ma e sufficienteche una qualche potenza B = An lo sia. Se B e una contrazione e x = Bx e un punto fisso per Ballora x e un punto fisso anche per A. Infatti, preso x0 = Ax come punto iniziale si ha

x = Bx = Bkx =⇒ Ax = ABkx = BkAx = Bkx0 (2.4)

e poiche B e una contrazione, per k → ∞, Bkx0 converge a x qualunque sia x0.

3 Spazi Normati

Sia X uno spazio lineare (vettoriale) e p : X → IR un funzionale (omogeneo e convesso) con le proprieta

1. p(x) ≥ 0 e p(x) = 0 se e solo se x = 0;

2. p(αx) = |α| p(x) per ogni α ∈ IC (omogeneo);

3. p(x+ y) ≤ p(x) + p(y) (disuguaglianza triangolare).

Lo spazio (X, p) e detto spazio normato e p(x) e detta norma di x e si indica con ‖x‖.Uno spazio normato completo si chiama spazio di Banach. In questo caso ovviamente la topologia e quellache segue dalla norma.

Ogni spazio (reale) normato e anche metrico con la distanza data da ρ(x, y) = ‖x− y‖.

9

3.1 Esempi di spazi normati

1. IR con la norma ‖x‖ = |x|;

2. IRn con la norma ‖x‖ =√∑nk=1 x

2k;

3. IRn1 con la norma ‖x‖1 =∑nk=1 |xk|;

4. IRn∞ con la norma ‖x‖∞ = max1≤k≤n |xk|;

5. ICn con la norma ‖x‖ =√∑nk=1 |xk|2;

6. C[a, b] con la norma ‖f‖ = maxa≤t≤b |f(t)|;

7. ℓ2 con la norma ‖x‖ =√∑∞k=1 |xk|2;

La verifica del fatto che quelle definite negli esempi sopra siano effettivamente delle norme si effettuacome per gli esempi dati nella sezione precedente.

4 Spazi Euclidei

♣ Se non specificato diversamente, in questa sezione x, y, z, ... sono arbitrari elementi (vettori) di unospazio lineare X, mentre α, β, ... sono numeri complessi arbitrari.

• Definizione (spazio euclideo) – Si chiama spazio euclideo (complesso) uno spazio lineare (complesso)X in cui e definito un prodotto scalare. Questo e un funzionale (x, y) che ad ogni coppia di elementix, y ∈ X associa un numero (complesso) e gode delle seguenti proprieta:

1. (x, x) ≥ 0 e inoltre (x, x) = 0 se e solo se x = 0;

2. (x, y) = (y, x) (la barra rappresenta la coniugazione complessa);

3. (x, α y) = α (x, y) , (αx, y) = α (x, y);

4. (x, y + z) = (x, y) + (x, z) , (x+ z, y) = (x, y) + (z, y).

Per la coniugazione complessa usiamo indifferentemente la barra sopra il simbolo o l’asterisco ∗.

♣ Se lo spazio euclideo e complesso bisogna fare attenzione all’ordine degli elementi che formano ilprodotto scalare, che in questo caso non e simmetrico a causa della proprieta 2.

Ogni spazio euclideo e anche normato e di conseguenza metrico (se e reale). Infatti, mediante ilprodotto scalare si puo definire la norma ‖x‖ del generico elemento x ∈ X, vale a dire

‖x‖ =√

(x, x) , (4.1)

che gode delle proprieta richieste1) ‖x‖ ≥ 0 e ‖x‖ = 0 se e solo se x = 0;

2) ‖αx‖ = |α| · ‖x‖;3) ‖x+ y‖ ≤ ‖x‖ + ‖y‖ (disuguaglianza triangolare).

Le proprieta 1) e 2) seguono direttamente dalle proprieta del prodotto scalare, mentre la 3) seguedalla disuguaglianza di Cauchy-Bunjakowskij-Schwartz. Nel paragrafo precedente questa disuguaglianza(vedi 2.1) si e dimostrata in un caso particolare, ma vale in generale e negli spazi euclidei si scrive nellaforma compatta2

|(x, y)| ≤ ‖x‖ ‖y‖ . (4.2)

2Si ricordi che il modulo del prodotto di due vettori e uguale al prodotto dei moduli per il coseno del’angolo compreso,che e sempre minore di 1.

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Questa si dimostra facilmente considerando la disuguaglianza

0 ≤ (λx+ y, λx+ y) = |λ|2(x, x) + λ(x, y) + λ(y, x) + (y, y) = ||x||2|λ|2 + 2Re [λ(y, x)] + ||y||2 .

Poiche λ e un un numero complesso arbitrario si puo scegliere

λ =(x, y)

|(x, y)| t , t ∈ IR =⇒ Re [λ(y, x)] = |(x, y)| t .

Con questa scelta si ricava la disequazione

||x||2t2 + 2|(x, y)|t+ ||y||2 ≥ 0 ,

che e sempre verificata se il discriminante e negativo o nullo. Imponendo tale condizione si ottienedirettamente la (4.2).

Mediante la norma si puo definire la “distanza” ρ(x, y) fra due punti arbitrari x, y ∈ X, ossia

ρ(x, y) = ‖x− y‖ .

Questa gode delle proprieta richieste:1) ρ(x, y) ≥ 0 e ρ(x, y) = 0 se e solo se x = y;

2) ρ(x, y) = ρ(y, x);3) ρ(x, y) ≤ ρ(x, z) + ρ(y, z) (disuguaglianza triangolare).

Se lo spazio euclideo e reale allora ρ e un vera distanza.In ogni spazio euclideo la somma, il prodotto per un numero e il prodotto scalare sono continui.

Questo significa che se xn e yn sono due successioni che convergono a x e y rispettivamente e αn euna successione numerica che converge ad α, allora si ha

xn + yn → x+ y , αnxn → αx , (xn, yn) → (x, y) .

La convergenza nello spazio X va intesa rispetto alla norma, vale a dire:xn → x significa che ‖xn − x‖ → 0.Per la dimostrazione si usano le proprieta della norma e del prodotto scalare. Quindi

‖(xn + yn) − (x+ y)‖ = ‖(xn − x) + (yn − y)‖ ≤ ‖xn − x‖ + ‖yn − y‖ → 0 ,

‖αnxn − αx‖ = ‖(αn − α+ α)(xn − x+ x) − αx‖≤ |αn − α| ‖xn − x‖ + |αn − α| ‖x‖ + |α| ‖xn − x‖ → 0 ,

|(xn, yn) − (x, y)| = |(xn − x+ x, yn − y + y) − (x, y)|= |(xn − x, yn − y) + (xn − x, y) + (x, yn − y)|≤ ‖xn − x‖ ‖yn − y‖ + ‖xn − x‖ ‖y‖ + ‖x‖ ‖yn − y‖ → 0 .

In uno spazio euclideo reale, la norma rappresenta la “lunghezza del vettore” e il prodotto scalarepermette di definire l’angolo φ formato da due vettori x, y (non nulli) mediante la relazione

cosφ =(x, y)

‖x‖‖y‖ , 0 ≤ φ ≤ π , (spazio reale). (4.3)

Se φ = π/2 i due vettori si dicono ortogonali. Se lo spazio in questione e complesso, la relazione (4.3)perde in generale il suo significato geometrico in quanto il prodotto scalare puo essere complesso (φ none piu un angolo, tuttavia rimane valido il concetto di ortogonalita fra vettori. In uno spazio euclideo(complesso) un sistema di vettori non nulli xi si dice ortonormale se

(xi, xj) = δij , δij =

0 per i 6= j1 per i = j

,

e semplicemente ortogonale se tutti i vettori in questione non hanno norma uguale a 1.Si verifica facilmente che i vettori ortogonali sono fra loro linearmente indipendenti. Infatti si ha

(basta moltiplicare scalarmente per xi generico)

α1x1 + α2x2 + ...+ αnxn = 0 =⇒ αi = 0 , i = 1, 2, ..., n .

11

Un sistema (ortogonale) si dice completo se il piu piccolo sottospazio (chiuso) di X che contiene lospazio generato dal sistema e X stesso. In tal caso il sistema (ortogonale/ortonormale) forma una base(ortogonale/ortonormale) e ogni elemento di X si puo scrivere (in un solo modo) come combinazionelineare dei vettori di base.

In ogni spazio euclideo X separabile esiste sempre un sistema ortonormale completo e ogni sistemaortonormale e numerabile (o finito). L’esistena di una base f1, f2, ...fn... deriva direttamente dall’ipotesidi separabilita. Infatti, se lo spazio e separabile, esiste un sottoinsieme G numerabile ovunque densoin X. Da questo sottoinsieme basta quindi estrarre un insieme di vettori linearmente indipendenti epoiche G e denso in X, il sistema estratto sara completo. A questo punto, usando la ‘procedura diortonormalizzazione (vedi sotto) si potra costruire una base ortonormale.

• Teorema (ortonormalizzazione) – Dato un insieme di vettori f1, f2, ..., fn, ... linearmente indipen-denti, e possibile costruire un insieme di vettori ortonormali ϕ1, ϕ2, ..., ϕn, ... tali che

1) ϕn =∑nk=1 ank fk, con ann 6= 0;

2) fn =∑nk=1 bnk ϕk, con bnn 6= 0.

• Dimostrazione – La dimostrazione e costruttiva nel senso che permette effettivamente di costruirel’insieme cercato. Per cominciare si pone

ϕ1 = a11f1 , |a11| =1

‖f1‖, b11 =

1

a11.

I coefficienti a11, b11 sono determinati a meno di un fattore di fase. Una volta costruito ϕ1 si costruisceϕ2 mediante

ϕ2 =h2

‖h2‖, f2 = b21ϕ1 + h2 .

Il coefficiente b21 si determina imponendo che h2 sia ortogonale a ϕ1. In tal modo si ha

(ϕ1, f2) − b21 = 0 =⇒ b21 = (ϕ1, f2) , h2 = f2 − (ϕ1, f2)ϕ1 .

Ora si procede allo stesso modo e si costruisce ϕ3, ϕ4, .... Dati ϕ1, ϕ2, ..., ϕn−1 si costruisce ϕn mediante

ϕn =hn‖hn‖

, fn =n−1∑

k=1

bnkϕk + hn

e i coefficienti si ricavano imponendo che hn sia ortogonale a tutti i ϕk per k < n. In tal modo si ottiene

bnk = (ϕk, fn) , k = 1, 2, ..., n− 1 .

In conclusione si ha

ϕn =hn‖hn‖

, hn = fn −∑

k = 1n−1 (ϕk, fn)ϕk ,

che permette di ricavare i vettori ortonormali in modo ricorsivo.

4.1 Esempi di spazi euclidei

IR – La retta reale e uno spazio euclideo (reale) di dimensione 1. Il prodotto scalare e banalmente ilprodotto fra numeri reali e la norma coincide con il modulo. La distanza e il modulo della differenza.

IRn – Le n-uple ordinate x ≡ (x1, x2, ..., xn) di numeri reali formano uno spazio euclideo (reale) didimensione n con il prodotto scalare dato da (x, y) = x1y1+x2y2+ ...+xnyn. Una base ortonormalee data dai versori

e1 = (1, 0, 0, ..., 0) , e2 = (0, 1, 0, ..., 0) , ... en = (0, 0, 0, ..., 1) .

ℓ2 – Lo spazio i cui elementi sono della forma x ≡ (x1, x2, ..., xn, ...) (xk ∈ IC) con la condizione∑∞k=1 |xk|2 < ∞. Questo spazio, munito del prodotto scalare (x, y) =

∑∞k=1 x

∗kyk , e uno spazio

euclideo (complesso) infinito-dimensionale. Una base e data dal sistema di infiniti vettori

e1 = (1, 0, 0, ...) , e2 = (0, 1, 0, ...) , e3 = (0, 0, 1, ...) , ....

12

C2[a, b] – Lo spazio delle funzioni complesse, continue nell’intervallo [a, b] munito del prodotto scalare

(f, g) =∫ b

af∗(t)g(t) dt e uno spazio euclideo complesso infinito-dimensionale. Una base

ϕn, ψn per questo spazio e data dalle funzioni trigonometriche

ϕ0(t) = 1 , ϕn(t) = cos

(

2πn t

b− a

)

, ψn(t) = sin

(

2πn t

b− a

)

, n = 1, 2, 3, ...

L’ortogonalita di questo sistema si verifica direttamente, mentre la completezza e una diretta con-seguenza del teorema di Weierstrass (La completezza di un sistema in genere e assai difficile dadimostrare).

♣ Si faccia attenzione a non confondere la completezza del sistema ortonormale con la completezzadello spazio su cui si lavora. In questo caso infatti il sistema trigonometrico e completo, mentre lospazio C2[a, b] non lo e, in quanto esistono successioni di funzioni continue che convergono a a funzionidiscontinue (si veda la sezione (5.4)),

4.2 Sistemi ortonormali chiusi

♣ Da ora in avanti si assumera che tutti gli spazi in esame siano separabili.

Dato un vettore x in IRn e una base ortonormale ek si ha

x =

n∑

k=1

ckek , ck = (ek, x) ,

dove i coefficienti ck rappresentano le coordinate del vettore rispetto alla base data (se la base e quelladell’esempio precedente allora ck sono le coordinate cartesiane, che sopra abbiamo indicato con xk).

Il concetto di “coordinata” si puo generalizzare anche al caso in cui lo spazio sia infinito-dimensionale.Sia infatti X uno spazio euclideo infinito-dimensionale (separabile) e ϕn un sistema ortonormale. Datoun arbitrario elemento f ∈ X, che chiameremo ancora vettore, definiamo le sue “coordinate” ck, dette inquesto caso coefficienti di Fourier (in senso generalizzato-vedi sezione (5.4)), mediante la relazione

ck = (ϕk, f) , c∗k = (ϕk, f) = (f, ϕk) , k = 1, 2, 3, ...

e consideriamo la serie formale∞∑

k=1

ckϕk , (serie di Fourier). (4.4)

La serie precedente sara detta serie di Fourier (in senso generalizzato-vedi sezione (5.4), del vettore frispetto al sistema ϕk. E’ chiaro che tutto questo e sensato se la serie e convergente e se questa convergeal vettore f .

Per prima cosa dimostriamo che effettivamente la serie precedente e convergente per qualunque f ∈ X.Abbiamo

Sn =

n∑

k=1

ckϕk , ‖f − Sn‖ ≥ 0 .

Usando le proprieta della norma e la definizione di ck si ha

0 ≤ ‖f −n∑

k=1

ckϕk‖2 =

[f −n∑

i=1

ciϕi] , [f −n∑

j=1

cjϕj ]

= ‖f‖2 −n∑

k=1

c∗k(ϕk, f) −n∑

k=1

ck(f, ϕk) +

n∑

i=1

n∑

j=1

c∗i cj(ϕi, ϕj)

= ‖f‖2 −n∑

k=1

|ck|2 . (4.5)

13

Dalla disuguaglianza precedente segue (per ogni n)

n∑

k=1

|ck|2 ≤ ‖f‖2 =⇒∞∑

k=1

|ck|2 ≤ ‖f‖2 , (disuguaglianza di Bessel)

e di conseguenza la serie di partenza e convergente (qualunque sia n, la (4.5) e inferiore a ‖f‖2). Co-me si vede, la serie (4.4) converge al vettore f (in norma) quando nell’ultima espressione sopra valel’uguaglianza.

♣ E’ interessante verificare che fra tutti i possibili vettori g =∑nk=1 αkϕk (dove n e αk sono arbitrari)

costruiti mediante combinazioni lineari delle ϕk, quello che da la migliore approssimazione per f siottiene con αk = ck. Infatti, procedendo come sopra si ha

‖f − g‖2 = ‖f −n∑

k=1

αkϕk‖2 = ‖f‖2 −n∑

k=1

(α∗kck + αkc

∗k) +

n∑

k=1

|αk|2

= ‖f‖2 −n∑

k=1

|ck|2 +

n∑

k=1

|αk − ck|2 .

Questa espressione e chiaramente minima per αk = ck.

Come detto sopra, la serie (4.4) converge al vettore f quando la relazione di Bessel diventa un’ugua-glianza, ossia quando il sistema ortonormale e chiuso.

• Definizione (sistema chiuso) – Il sistema ortonormale ϕk si dice chiuso se vale la relazione diParseval

∞∑

k=1

|ck|2 = ‖f‖2 , (uguaglianza di Parseval).

Si e detto precedentemente che in ogni spazio euclideo separabile esiste sempre un sistema ortonormale(numerabile) completo. Ora dimostriamo che ogni sistema ortonormale completo e anche chiuso e quindicompletezza e chiusura del sistema diventano concetti “equivalenti”.

• Teorema – In ogni spazio euclideo separabile X, ogni sistema ortonormale chiuso ϕk e completo eviceversa.

• Dimostrazione – Sia ϕk chiuso. Allora ogni elemento f ∈ X si puo sviluppare in serie di Fourier,ossia si puo approssimare, con precisione a piacere, mediante una combinazione di vettori ϕk. Questosignifica che lo spazio generato da ϕk e denso in X e quindi il sistema e completo per definizione dicompletezza.– Sia ϕk completo. Allora ogni elemento f ∈ X si puo approssimare, con precisione a piacere, medianteuna combinazione di vettori di base. In particolare, per quanto visto nell’osservazione sopra, fra tuttele possibili combinazioni che approssimano f , la somma costruita con i coefficienti di Fourier ck e la piuprecisa. Questo significa che fissato ε > 0 piccolo a piacere si ha

ε > ‖f −n∑

k=1

αkϕk‖ ≥ ‖f −n∑

k=1

ckϕk‖ (4.6)

e questo implica che la serie di Fourier converge a f e di conseguenza vale la relazione di Parseval. Quindiil sistema e chiuso.

♣ Questo teorema ci assicura che ogni vettore in uno spazio euclideo separabile e completo ha unosviluppo rispetto ad una base ortonormale. Questo sviluppo e unico e i coefficienti sono quelli diFourier.

14

4.3 Teorema di Riesz-Fischer

Siano dati un sistema ortonormale (non necessariamente completo) e una successione di numeri c1, c2, c3....Ci si puo chiedere sotto quali condizioni questi numeri sono i coefficienti di Fourier di qualche vettoref ∈ X rispetto al sistema dato. Come segue dalla disuguaglianza di Bessel, una condizione necessaria eche

∑∞k=1 |ck|2 <∞. Se lo spazio e completo, questa condizione e anche sufficiente.

• Teorema di Riesz-Fischer – Sia ϕk un sistema ortonormale in uno spazio euclideo X separabilee completo e ck una successione numerica tale che

∑∞k=1 |ck|2 < ∞. Allora esiste un elemento f ∈ X

per cui

ck = (ϕk, f) ,

∞∑

k=1

|ck|2 = ‖f‖2.

• Dimostrazione – Poniamo fn =∑nk=1 ckϕk. Questa e una successione fondamentale in quanto, per

n abbastanza grande si ha

‖fn+p − fn‖2 = ‖n+p∑

k=n+1

ckϕk‖2 =

n+p∑

k=n+1

|ck|2 < ε .

L’ultima espressione segue dall’ipotesi di convergenza. Inoltre, per l’ipotesi di completezza di X, deveesistere un vettore f ∈ X tale che

fn → f , vale a dire ‖f − fn‖ → 0 .

Ora osserviamo che, per n ≥ k si ha

(ϕk, f) = (ϕk, fn) + (ϕk, f − fn) = ck + (ϕk, f − fn) .

Passando al limite per n → ∞ e usando la continuita del prodotto scalare si ottiene la prima tesi(ϕk, f) = ck.Per ricavare la seconda basta sviluppare la norma

‖f − fn‖2 =

[f −n∑

i=1

ciϕi] , [f −n∑

j=1

cjϕj ]

= ‖f‖2 −n∑

k=1

|ck|2

e passare al limite per n→ ∞.

• Teorema – In uno spazio euclideo separabile e completo, un sistema ϕn ortonormale e completo seo solo se l’unico vettore ortogonale a tutti i ϕn e il vettore nullo.

• Dimostrazione – La condizione e necessaria. Infatti se ϕn e completo, allora e anche chiuso e perogni f vale l’uguaglianza di Parseval. In particolare, se f e ortogonale a tutti i ϕn, i suoi coefficientidi Fourier sono tutti nulli e dunque

‖f‖2 =∑

k

|ck|2 = 0 =⇒ f = 0 .

La condizione e sufficiente. Infatti, se ϕn non e completo si puo trovare un elemento g 6= 0 per cui valela disuguaglianza di Bessel

‖g‖2 >∑

k

|ck|2 , ck = (ϕk, g) .

D’altra parte, per il teorema di Riesz-Fischer, data la successione ck, esiste un elemento f ∈ X per cuivale l’uguaglianza

‖f‖2 =∑

k

|ck|2 , ck = (ϕk, f) .

Confrontando le due relazioni precedenti si ottiene

(ϕk, f − g) = 0 , ‖f‖2 =∑

k

|ck|2 > ‖g‖2 .

Dall’ultima uguaglianza segue che f − g e ortogonale a tutti i ϕk, mentre dalla disuguaglianza si ha chef − g 6= 0 .

15

5 Spazi di Hilbert

• Definizione – Due spazi euclidei X e X si dicono isomorfi se fra di essi esiste una corrispondenzabiunivoca che ad ogni elemento di x ∈ X associa un elemento x ∈ X che conserva la linearita e il prodottoscalare, vale a dire

x↔ x , y ↔ y =⇒ x+ y ↔ x+ y , αx↔ αx , (x, y) ↔ (x, y) .

♣ Tutti gli spazi euclidei (reali) di dimensione n finita sono isomorfi a IRn. Quindi IRn si puo usare comemodello per qualunque spazio euclideo (reale) n-dimensionale. Questo deriva dal fatto che il genericoelemento x dello spazio euclideo X di dimensione n si puo sviluppare rispetto ad una base di n vettoriortonormali. Le componenti (c1, ..., cn) di x formano un elemento di IRn (se X e reale, altrimenti diICn) e quindi ad ogni vettore in X corrisponde un elemento di IRn. Vale anche il viceversa. Questa

corrispondenza biunivoca conserva la linearita e il prodotto scalare.La stessa cosa non vale per gli spazi euclidei di dimensione infinita. A tale scopo basta ricordare chelo spazio C2[a, b] delle funzioni continue in [a, b] con il prodotto scalare

(f, g) =

∫ b

a

dt f(t)g(t) ,

non e completo (successioni di funzioni continue possono convergere a funzioni discontinue) e quindinon puo essere isomormfo ad uno spazio euclideo completo.

• Definizione – Uno spazio euclideo completo, infinito-dimensionale e detto spazio di Hilbert.Un esempio importante di spazio di Hilbert separabile e lo spazio ℓ2 i cui elementi sono della formax ≡ (x1, x2, ..., xn, ...) (xk ∈ IC) con la condizione∑∞k=1 |xk|2 <∞, munito del prodotto scalare (x, y) =

∑∞k=1 x

∗kyk.

• Teorema – Tutti gli spazi di Hilbert separabili sono isomorfi fra loro.

• Dimostrazione – E’ sufficiente dimostrare che ogni spazio di Hilbert H separabile e isomorfo a ℓ2.A tal scopo si consideri un generico vettore f ∈ H, una base ortonormale ϕn e i coefficienti di Fourierak = (ϕk, f). Per la disuguaglianza di Bessel, la successione a ≡ (a1, a2, a3, ...) e un elemento di ℓ2.Quindi ad ogni f ∈ H corrisponde un elemento di ℓ2.Viceversa, dato un vettore ak ∈ ℓ2, per il teorema di Riesz-Fischer si trova un vettore f ∈ H avente akcome coefficienti di Fourier. Dunque esiste una corrispondenza biunivoca fra H e ℓ2 .Usando la continuita del prodotto scalare si verifica facilmente che tale corrispondenza conserva la linearitae il prodotto scalare e quindi e un isomorfismo fra spazi di Hilbert. Infatti, dati f, g ∈ H e i corrispondentia, b ∈ ℓ2, cioe

f ↔ a ≡ (a1, a2, a3, ...) , g ↔ b ≡ (b1, b2, b3, ...) ,

si ha

α f ↔ αa , (f + g) ↔ (a+ b) , (f, g) ↔ (a, b) ,

per ogni α ∈ IC. Le prime due implicazioni si verificano immediatamente, mentre per la terza abbiamo

(f, g) =

∞∑

i=1

aiϕi ,

∞∑

j=1

bjϕj

=

∞∑

i,j=1

a∗i bj(ϕi, ϕj) =

∞∑

k=1

a∗kbk = (a, b) .

Da questo teorema segue che ogni spazio euclideo infinito-dimensionale, separabile e completo e isomorfoa ℓ2, il quale e quindi un modello per qualunque spazio di Hilbert separabile. Un altro modello importantee dato da L2, vale a dire dalle funzioni a quadrato sommabile (secondo Lebesgue).Lo spazio di Hilbert L2[a, b] e il completamento di C2[a, b].

16

5.1 Lo spazio L2

Per i nostri scopi sara sufficiente considerare funzioni f : IRn → IC, con la misura solita, ma IRn puoessere sostituito da qualunque spazio misurabile X con misura di Lebesgue µ.

Sia quindi

L2(X,µ) ≡

f : X → IC tali che

∫

dµ |f(x)|2 <∞

,

dove x ∈ X, dµ e la misura (di Lebesgue) di X e l’integrale e fatto su tutto X (nelle applicazioni fisicheX ≡ IRn (o un sottospazio) e dµ ≡ dx = dx1dx2 · · · dxn). Si dimostra che lo spazio L2(X,µ) (brevementeL2(X) o L2) con il prodotto scalare

(f, g) =

∫

dµ f(x)g(x) , (5.1)

e uno spazio di Hilbert separabile (euclideo, completo, infinito-dimensionale e separabile).

♣ Queste due ultime affermazioni dipendono dalla misura di Lebesgue definita in X. Ci sono infattispazi L2(X,µ) che non sono separabili e anche casi degeneri di dimensione finita.

Tutte le proprieta del prodotto scalare in (5.1) seguono banalamente dalle proprieta dell’integrale,dopo essersi accertati che tutti i passaggi formali sono effettivamente leciti. A questo scopo si deveosservare che, se f, g ∈ L2 e α ∈ IC allora

fg ∈ L1 , αf ∈ L2 , f + g ∈ L2 . (5.2)

Queste proprieta sono una diretta conseguenza di

|f(x)g(x)| ≤ 1

2

(

|f(x)|2 + |g(x)|2)

,

|αf(x)|2 = |α|2|f(x)|2 ,|f(x) + g(x)|2 = |f(x)|2 + 2|f(x)g(x)| + |g(x)|2 ≤ 2 |f(x)|2 + 2 |g(x)2] .

La prima delle proprieta in (5.2) assicura l’esistenza dell’integrale che definisce il prodotto scalare perogni coppia di funzioni appartenenti a L2.

Dato il prodotto scalare si ha la norma

‖f‖ ≡ ‖f‖2 =

[∫

|f(x)|2dx]1/2

e si dira che la successione di funzioni fn ∈ L2 converge in media (quadratica) a f ∈ L2 se

‖fn − f‖ =

[∫

|fn(x) − f(x)|2dx]1/2

→ 0 .

Questa e la convergenza di f come vettore in uno spazio di Hilbert e non va confusa con la convergenzapuntuale delle funzioni fn(x), che, fissato x e una convergenza in IC.

♣ Una funzione f a quadrato sommabile in X non e necessariamente integrabile, vale a dire che f ∈L2(X) non implica f ∈ L1(X). Allo stesso modo f ∈ L1(X) non implica f ∈ L2(X). A titolo diesempio si considerino le due funzioni

f1(x) =1

(x2/3 + 1)x2/3, f2(x) =

1

x2/3 + 1, x ∈ IR .

Come si verifica rapidamente, f1 ∈ L1(IR, dx) ma f1 /∈ L2(IR, dx) (|f1|2 non e integrabile nell’origine),mentre f2 ∈ L2(IR, dx) ma f2 /∈ L1(IR, dx) (|f2| non e integrabile all’infinito). Questo si verificain uno spazio con misura infinita. Se X ha misura finita, allora L2(X) ⊂ L1(X). Infatti, se X hamisura finita, le costanti appartengono a L2 (anche a L1 ovviamente). Usando la prima delle proprietariportate sopra allora si ha che f = 1 · f ∈ L1(X) per ogni f ∈ L2.

17

5.2 Completezza di L1 e L2

L1(X) e uno spazio di Banach, vale a dire normato e completo, ma non e uno spazio euclideo. In L1

infatti si puo definire una norma (anche se X ha misura infinita) mediante

‖f‖1 =

∫

X

dx |f(x)| ,

ma non un prodotto scalare. Ogni successione di Cauchy converge a un elemento di L1 e quindi lo spazioe completo.

Dimostriamo ora la completezza di L1 perche servira in seguito per dimostrare la completezza di L2,che e lo spazio di Hilbert che ci interessa. Consideriamo allora una generica successione fondamentalefn ∈ L1 e mostriamo che questa converge, nella norma di L1, sempre ad un elemento di L1. Poiche fnsoddisfa il criterio di convergenza di Cauchy, da essa si puo estrarre un sottosuccessione gk, anch’essafondamentale e tale che

‖gk+1 − gk‖1 =

∫

X

dx |gk+1(x) − gk(x)| <1

2k.

Con gk(x) costruiamo ora la successione di funzioni positive

Gk(x) = |g1(x)| + |g2(x) − g1(x)| + ...+ |gk(x) − gk−1(x)| ,

che per costruzione gode delle proprieta

G1(x) ≤ G2(x) ≤ G3(x) ≤ ...

∫

X

dxGk(x) <

k−1∑

j=0

1

2j< 2 .

La successione soddisfa tutte le ipotesi del teorema di Levi e questo ci assicura che Gk(x) converge quasiovunque ad una funzione G(x) (convergenza puntuale) il cui integrale e il limite degli integrali di Gk(x).

La convergenza e l’integrabilita di Gk(x) implica la convergenza (quasi ovunque) e l’integrabilita digk(x) in quanto si ha

|gk(x)| = |g1(x) + g2(x) − g1(x) + ...+ gk(x) − gk−1(x)| ≤ Gk(x) .

Poniamo g(x) = limk→∞ gk(x). Questa e una convergenza puntuale, mentre per la completezza e ne-cessaria la convergenza nella norma di L1. Questa si ottiene ricordando che gk(x) e una successionefondamentale in L1. Questo significa che comunque fissato ε > 0, per i, j abbastanza grandi si ha

‖gi(x) − gj(x)‖1 =

∫

X

dx |gi(x) − gj(x)| < ε .

Vediamo che fissato i, hj(x) = |gi(x) − gj(x)| e una successione di funzioni che soddisfa tutte le ipotesidel teorema di Fatou. E’ quindi lecito passare al limite j → ∞ sotto il segno di integrale. Prendendoquesto limite nell’equazione precedente si ricava

∫

X

dµ |gi(x) − g(x)| < ε =⇒ limk→∞

‖gk(x) − g(x)‖1 = 0 ,

ottenendo in tal modo che la successione di funzioni gk converge a g anche in norma L1.Per completare la dimostrazione si deve verificare che anche la successione originale fn converge af ∈ L1. A tale scopo osserviamo che per ogni ε > 0, per n, j abbastanza grandi si ha

‖fn − gk‖1 < ε , ‖gk − g‖1 < ε ,

da cui segue

‖fn − g‖1 = ‖fn − gk + gk − g‖1 ≤ ‖fn − gk‖1 + ‖gk − g‖1 < 2ε .

Questo significa che la successione originale converge a f = g ∈ L1 e lo spazio e quindi completo.

• Teorema – Lo spazio L2(X,µ) e completo.

• Dimostrazione – Consideriamo per semplicita il caso in cui la misura di X e finita, vale a direµ(X) <∞. Si deve dimostrare che ogni successione fondamentale fn di funzioni in L2 converge ad un

18

elemento di L2. In uno spazio di misura finita L2 ⊂ L1 e questo implica che una successione fondamentalein L2 sia anche fondamentale in L1. Infatti dalla (4.2) si ottiene

‖fn(x) − fm(x)‖1 ≡∫

X

dx |fn(x) − fm(x)| = (1, |fn − fm|)

≤ ‖1‖ ‖fn − fm‖ =√

µ(X) ‖fn(x) − fm(x)‖ < εµ(X) .

Qui ‖f‖ ≡ ‖f‖2 rappresenta la norma in L2. Per quanto si e visto sopra nel dimostrare la completezzadi L1, da ogni successione fondamenale fn si puo estrarre una sottosuccesione fondamentale gkconvergente quasi ovunque ad una funzione g(x) ∈ L1. Poiche gk e fondamentale anche in L2, per ogniε > 0 e i, j abbastanza grandi si ha

‖gi − gj‖2 =

∫

X

dx |gi(x) − gj(x)|2 < ε2 .

Fissato i, la successione di funzioni hj(x) = |gi(x) − gj(x)|2 soddisfa le ipotesi del teorema di Fatou equindi si puo passare al limite j → ∞ sotto il segno di integrale ottenendo

∫

X

dx |gi(x) − g(x)|2 < ε =⇒ limi→∞

‖gi − g‖ = 0 , g(x) ∈ L2 .

Il fatto che g ∈ L2 e dovuto alla linearita dello spazio. Infatti sappiamo che il vettore gi ∈ L2 e il teoremadi Fatou ci assicura che anche il vettore (g − gi) ∈ L2. Quindi anche la loro somma deve appartenere aL2.

Come sopra ora verifichiamo che g e anche il limite della successione originale fn. Per ogni ε > 0 en, k abbastanza grandi abbiamo

‖fn − g‖ = ‖fn − gk + gk − g‖ ≤ ‖fn − gk‖ + ‖gk − g‖ < 2ε ,

da cui segue che fn → f = g ∈ L2 e quindi lo spazio e completo.

♣ La dimostrazione si estende al caso in cui X e un insieme misurabile di misura infinita, usando ilfatto che X e unione numerabile di insiemi disgiunti di misura finita e la σ-additivita della misura diLebesgue.

5.3 Basi ortonormali in L2

Come segue dalle considerazioni di carattere generale, in L2 (spazio euclideo infinito-dimensionale, sepa-rabile e completo) esiste un sistema ortonormale completo ϕk per cui ogni f ∈ L2 si puo scrivere nellaforma f =

∑∞k=1 ckϕk, dove i coefficienti di Fourier ck formano un elemento di ℓ2. Valgono le relazioni

‖f‖2 = (f, f) =

∫

|f(x)|2dx =∞∑

k=1

|ck|2 , ck = (ϕk, f) .

5.4 Sistema trigonometrico

Si consideri lo spazio delle funzioni a quadrato sommabile nell’intervallo [−π, π]. E’ immediato verificareche le funzioni trigonometriche

ϕ0 =1√2π

, ϕn(x) =cosnx√

π, ψn(x) =

sinnx√π

(5.3)

appartengono a L2([−π, π]) e sono fra loro ortonormali. Inoltre formano un sistema completo comeconseguenza di un teorema di Weierstrass (vedi dimostrazione sotto). Ogni funzione f ∈ L2([−π, π]) avraquindi uno sviluppo della forma

f = c0ϕ0 +

∞∑

n=1

cnϕn +

∞∑

n=1

cnψn =a0

2+

∞∑

n=1

an cosnx+

∞∑

n=1

bn sinnx , (5.4)

19

dove i coefficienti di Fourier sono dati da

an =1

π

∫ π

−πf(x) cosnx dx , n = 0, 1, 2, ...

bn =1

π

∫ π

−πf(x) sinnx dx , n = 1, 2, 3, ... (5.5)

Non si deve dimenticare che la convergenza e in media quadratica. Questo significa che

∫ π

−π

∣

∣

∣

∣

∣

f(x) −(

a0

2+

∞∑

n=1

an cosnx+∞∑

n=1

bn sinnx

)∣

∣

∣

∣

∣

2

dx→ 0 .

In generale non vale la convergenza puntuale, vale a dire che la serie calcolata in un punto puo differiredal valore della funzione calcolata nello stesso punto.

Anziche [−π, π] si puo considerare un intervallo arbitrario [−a, a] di lunghezza 2a. In tal caso per ognif ∈ L2([−a, a]) si ha (basta fare il cambio di variabile x→ πx/a)

f =a0

2+

∞∑

n=1

an cosnπx

a+

∞∑

n=1

bn sinnπx

a,

an =1

a

∫ a

−af(x) cos

nπx

adx , n = 0, 1, 2, ...

bn =1

a

∫ a

−af(x) sin

nπx

adx , n = 1, 2, 3, ...

5.5 Forma complessa della serie di Fourier

Si ottiene come conseguenza diretta delle formule di Eulero

cosx =eix + e−ix

2, sinx =

eix − e−ix

2i.

Usando queste espressioni e ponendo

α0 =a0

2, α±n =

an ∓ ibn2

, n = 1, 2, 3, ...

per ogni f ∈ L2([−π, π]) si ha

αn =1

2π

∫ π

−πf(x)e−inx dx , n = 0,±1,±2, ...

f =∞∑

n=−∞αne

inx . (5.6)

♣ Il sistema einx non e normalizzato. Si ha infatti

(

eimx, einx)

=

∫ π

−πei(n−m) dx = 2π δmn .

Il sistema ortonormale corrispondente a quello in (5.3) e pertanto

ϕn =einx√

2π, n = 0,±1,±2, ... (5.7)

e la serie di Fourier diventa

f =

∞∑

n=−∞cnϕn , cn = (ϕn, f) =

1√2π

∫ π

−πf(x)e−inx dx , n = 0,±1,±2, ...

20

5.6 Completezza del sistema trigonometrico

La completezza del sistema trigonometrico e una diretta conseguenza di un teorema di Weierstrass, che,in questo contesto, e una conseguenza del teorema di Fejer che ora dimostreremo.

Consideriamo dapprima una funzione continua di periodo 2π sulla retta reale. Si deve osservare chela sua serie di Fourier potrebbe divergere in qualche punto. Quindi non basta la continuita per avere laconvergenza delle somme parziali della serie di Fourier. Esistono tuttavia altre maniere di sommare laserie in modo da avere la convergenza. A tale scopo poniamo

S0(x) =a0

2, Sn(x) =

n∑

k=1

[ak cos kx+ bk sin kx]

e consideramo la media aritmetica (somme di Fejer)

σn =S0 + S1 + S2 + ...+ Sn−1

n.

Introduciamo anche alcune utili funzioni che useremo nella dimostrazione del teorema di Fejer.

Nucleo di Dirichlet. Questo e definito dalla funzione

Dn(y) ≡sin(n+ 1/2)y

2π sin(y/2)=

1

π

[

1

2+

n∑

k=1

cos ky

]

. (5.8)

L’ultima espressione deriva dall’identita trigonometrica(

1

2+

n∑

k=1

cos ky

)

siny

2=

1

2sin

y

2+

1

2

n∑

k=1

[

sin

(

k +1

2

)

y − sin

(

k − 1

2

)

y

]

=1

2

[

siny

2+ sin

3y

2− sin

y

2+ ...+ sin

(

n+1

2

)

y − sin

(

n− 1

2

)

y

]

=1

2sin

(

n+1

2

)

y .

Nucleo di Fejer. Questo e definito mediante la funzione

Φn(y) =1

2πn

[

sinny/2

sin y/2

]2

=1

2πn

n−1∑

k=0

sin(k + 1/2)y

sin y/2. (5.9)

e gode delle proprieta (si verificano direttamente)

Φn(y) ≥ 0 ,

∫ π

−πdyΦn(y) = 1 ,

∫ −δ

−πdyΦn(y) =

∫ π

δ

dyΦn(y) ,

per ogni n e δ > 0 fissati. Inoltre si ha

limn→∞

∫ −δ

−πdyΦn(y) = lim

n→∞

∫ π

δ

dyΦn(y) = 0 .

L’uguaglianza trigonometrica in (5.9) si ottiene dall’identita seguente:

2 sin y sin(2k + 1)y = 2 sin y[cos y sin(2ky) + sin y cos(2ky)]

= sin 2y sin(2ky) + [1 − cos 2y] cos(2ky)

= cos 2ky − cos 2(k + 1)y . (5.10)

Sommando si ha infatti

n−1∑

k=0

2 sin y sin(2k + 1)y =n−1∑

k=0

[cos 2ky − cos 2(k + 1)y]

= 1 − cos 2y + cos 2y − cos4y + ...+ cos(2n− 1)y − cos(2ny)

= 1 − cos(2ny) = 2 sin2(ny) . (5.11)

21

• Teorema di Fejer – Se f e una funzione periodica e continua, allora la successione σn delle sommedi Fejer converge uniformemente a f in ogni punto.

• Dimostrazione – Dalla definizione dei coefficienti si ha

Sn(x) =1

π

∫ π

−π

[

1

2+

n∑

k=1

(cos kt cos kx+ sin kt sin kx)

]

f(t) dt

=1

π

∫ π

−π

[

1

2+

n∑

k=1

cos k(t− x)

]

f(t) dt

=

∫ π

−πDn(t− x) f(t) dt .

Usando questa espressione nella definizione delle somme di Fejer e la forma del nucleo di Dirichlet siottiene

σn(x) =1

2πn

∫ π

−πdz

n−1∑

k=0

sin(k + 1/2)z

sin z/2f(x+ z) =

∫ π

−πdzΦn(z) f(x+ z) , (5.12)

Tenendo conto della continuita e della periodicita di f si ha

|f(x)| ≤M , |f(x) − f(y)| < ε , per |x− y| < 2δ .

Quindi

|f(x) − σn(x)| =

∣

∣

∣

∣

∫ π

−πdz [f(x) − f(x+ z)] Φn(z)

∣

∣

∣

∣

≤∫ −δ

−πdz |f(x) − f(x+ z)| Φn(z) +

∫ δ

−δdz |f(x) − f(x+ z)| Φn(z)

+

∫ π

δ

dz |f(x) − f(x+ z)| Φn(z)

≤ 2M

∫ −δ

−πdzΦn(z) + ε

∫ δ

−δdzΦn(z) + 2M

∫ π

δ

dzΦn(z) .

Come conseguenza delle proprieta di Φ(z), l’espressione precedente si puo rendere piccola a piacereindipendentemente da x ∈ IR e questo implica la convergenza uniforme delle somme di Fejer.

Per dimostrare la completezza del sistema trigonometrico in L2[−π, π] ora basta osservare che

• La convergenza uniforme implica la convergenza in media quadratica. Infatti, se fissato ε > 0, pern abbastanza grande si ha |f(x) − fn(x)| < ε, qualunque sia x, allora

‖f − fn‖2 =

∫

X

|f(x) − fn(x)|2 dx ≤ µ(X) ε2 .

In questo caso particolare X = [−π, π], µ(X) = 2π e fn(x) = σn(x).

• Lo spazio delle funzioni continue in [−π, π] e denso in L2[−π, π], vale a dire che ogni funzione a qua-drato sommabile si puo approssimare, con approssimazione arbitraria, mediante funzioni continue.Nel caso in esame, data un’arbitraria funzione g ∈ L2[−π, π] e ε > 0, si puo trovare una funzionecontinua f(x) per cui ‖g − f‖ < ε e per l’osservazione precedente ‖f − σn‖ < ε per n abbastanzagrande. Si ha allora

‖g − σn‖ = ‖g − f + f − σn‖ ≤ ‖g − f‖ + ‖f − σn‖ < 2ε ,

da cui segue che qualunque funzione g ∈ L2[−π, π] si puo sviluppare usando il sistema trigonometrico(5.3) o equivalentemente il sistema (5.7). Il sistema trigonometrico (5.3) costituisce dunque unsistema ortonormale completo (chiuso) in L2[−π, π].

22

• Teorema Io di Weierstrass – Ogni funzione continua e periodica e il limite uniforme di unasuccessione di polinomi trigonometrici.

• Dimostrazione – Il teorema di Fejer dimostrato sopra afferma la stessa cosa e in piu fornisce lasuccessione di polinomi trigonometrici che converge uniformemente alla funzione.

• Teorema IIo di Weierstrass – Ogni funzione continua in un intervallo chiuso e il limite uniforme diuna successione di polinomi algebrici.

• Dimostrazione – Poiche la funzione data e continua in un intervallo chiuso, si puo estendere aduna funzione continua e periodica di periodo T . Mediante un cambiamento di variabile il periodo puotrasformare 2π e l’intervalle in [−π, π]. Per il teorema di Fejer la funzione ora si puo approssimaremediante polinomi trigonometrici. A koro volta, questi si possono sviluppare in serie di Taylor checonverge uniformemente in ogni intervallo finito. Mediante la trasformazione inversa si ottiene la tesi delteorema.

5.7 Polinomi di Legendre

Le funzioni 1, x, x2, ... permettono di costruire tutti i polinomi e quindi, come conseguenza del IIo

teorema di Weierstrass, formano una base per L2[a, b]. Ortogonalizzando (con il metodo descrittoprecedentemente) questa base nell’intervallo [−1, 1] rispetto al prodotto scalare

(f, g) =

∫ 1

−1

dx f∗(x)g(x) ,

si ottengono i polinomi di Legendre Pn(x), che sono polinomi di grado n per costruzione e, a meno di unfattore costante, coincidono con i polinomi

Rn(x) = Cndn

dxn(x2 − 1)n ,

dove Cn e un fattore di normalizzazione. Questi sono infatti polinomi di grado n e si verifica direttamenteche sono ortogonali. Quindi sia Pn che Rn appartengono al sottospazio generato da 1, x, ..., xn e sonoortogonali. Sono quindi proporzionali.

Il fattore di normalizzazione si ricava direttamente e vale

Cn =

√2n+ 1

n!2n√

2.

I polinomi di Legendre non sono normalizzati. Sono dati dalla formula di Rogrigues

Pn(x) =1

n!2ndn

dxn(x2 − 1)n .

♣ In L2[a, b] si possono introdurre altre basi polinomiali, rispetto ad una misura diversa da quella usatasopra, vale a dire che il prodotto scalare e dato da

(f, g) =

∫ b

a

dµ f∗(x)g(x) , dµ = p(x) dx ,

dove la funzione p(x) e una funzione data, sommabile e non negativa (funzione peso).

5.8 Polinomi di Hermite

Volendo usare basi polinomiali in L2[−∞,∞] si e costretti ad usare una funzione peso in quanto i polinominon sono a quadrato sommabile rispetto alla misura naturale sulla retta, ma lo diventano con la misuradi Lebesgue dµ = exp(−x2) dx. Ortogonalizzando 1, x, x2, ... in L2[−∞,∞] rispetto al prodotto scalare

(f, g) =

∫ ∞

−∞dx e−x

2

f∗(x)g(x) ,

23

si ottengono i Polinomi di Hermite

Hn(x) = (−1)n ex2 dn

dxne−x

2

.

I polinomi di Laguerre si ottengono in modo analogo ortogonalizzando 1, x, x2, ... in L2[0,∞] con ilprodotto scalare

(f, g) =

∫ ∞

0

dx e−x f∗(x)g(x) .

24

6 Funzionali lineari continui

• Definizione (funzionale) – Un funzionale e un’applicazione da uno spazio lineare X in IC. Il funzio-nale F : X → IC si dice lineare (anti-lineare) se e additivo e omogeneo, vale a dire se per ogni coppia dielementi x, y ∈ X e ogni numero complesso α si ha

F (x+ y) = F (x) + F (y) , F (αx) = αF (x) , lineare , ( F (αx) = α F (x) , anti-lineare ) .

♣ Si osservi che come conseguenza dell’omogeneita si ha F (0) = 0. Questo percheF (0) = F (0x) = 0F (x) = 0.Il prodotto scalare e l’integrale sono esempi importanti di funzionali lineari.

• Definizione (continuita) – Un funzionale lineare F definito in uno spazio topologico si dice continuonel punto x0 se, fissato ε > 0, esiste un intorno Ux0

di x0 per cui

|F (x) − F (x0)| = |F (x− x0)| < ε , ∀ x ∈ Ux0.

• Teorema – Se un funzionale lineare e continuo in un punto allora e continuo in ogni punto.

• Dimostrazione – Il teorema e una diretta conseguenza della linearita. Infatti, sia F un funzionalelineare continuo nel punto x0, con intorno Ux0

. La trasformazione (traslazione) x → y = x + y0 − x0

manda il punto x0 con intorno Ux0∋ x nel punto y0 con intorno Vy0 ∋ y e per la linearita segue

|F (y) − F (y0)| = |F (y − y0)| = |F (x) − F (x0)| < ε .

Per avere la continuita in X e quindi sufficiente che il funzionale sia continuo in un punto qualunque, adesempio nell’origine.

• Teorema – Affinche il funzionale lineare F sia continuo in X e necessario e sufficiente che F sia limitatoin un intorno dell’origine, vale a dire |F (x)| < C per ogni x ∈ U0.

• Dimostrazione – La condizione e necessaria. Se F e continuo, allora, fissato ε > 0 esiste un intornodell’origine U0 per cui

|F (x)| = |F (x− 0)| < ε , x ∈ U0

e quindi il funzionale e limitato in un intorno dell’origine.– La condizione e sufficiente. Se F e limitato in un intorno dell’origine U0, allora |F (x)| < C. Fissiamoε > 0 e un intorno dell’origine V0 ottenuto mediante la trasformazione y = εx/C, per ogni x ∈ U0. Perogni y ∈ V0 otteniamo

|F (y) − F (0)| = |F (y)| = |F (εx/C)| =ε

C|F (x)| < ε , y ∈ V0, x ∈ U0 .

Vediamo dumque che il funzionale e continuo nell’origine e quindi in tutto X.

• Teorema – In ogni spazio normato, un funzionale lineare e continuo se e soltanto se i suoi valoriall’interno della sfera unitaria sono limitati.

• Dimostrazione – E’ una diretta conseguenza del teorema precedente. Infatti negli spazi normati, ogniintorno dell’origine contiene una sfera e per la linearita si puo considerare la sfera di raggio arbitrario, inparticolare quella unitaria.

• Definizione (norma) – In uno spazio normato si definisce la norma di un funzionale lineare mediantela relazione

‖F‖ = sup‖x‖=1

|F (x)| . (6.1)

Valgono le relazioni

‖F‖ = supx6=0

|F (x)|‖x‖ , ‖F‖ = sup

‖x‖≤1

|F (x)| .

25

L’equivalenza fra la prima relazione e la (6.1) segue direttamente dall’omogeneita. Infatti si ha

|F (x)|‖x‖ =

∣

∣

∣

∣

F

(

x

‖x‖

)∣

∣

∣

∣

= |F (y)| , x 6= 0 , ‖y‖ = 1 .

Si vede dunque che l’estremo superiore della relazione precedente porta a (6.1). Per mostrare che anchela seconda e equivalente a (6.1), osserviamo che per ogni x ∈ X con x 6= 0 si ha

|F (x)| ≤ ‖x‖ ‖F‖ =⇒ |F (x)| ≤ ‖F‖ , if ‖x‖ < 1 .

Prendendo l’estremo superiore dell’ultima disuguaglianza abbiamo

sup‖x‖<1

|F (x)| ≤ ‖F‖ =⇒ sup‖x‖≤1

|F (x)| = ‖F‖

e questo implica che |F (x)| raggiunge il suo massimo sulla sfera unitaria (al variare di x con ‖x‖ ≤ 1).Le tre espressioni date per la norma del funzionale lineare sono dunque equivalenti.

♣ Dalle definizioni di norma segue l’utile disuguaglianza

|F (x)| ≤ ‖x‖ ‖F‖ , ∀x ∈ X .

Esempi

• Fissato un vettore a ∈ IRn, per ogni x ∈ IRn definiamo il funzionale

F (x) = (a, x) .

Dalle proprieta del prodotto scalare si verifica che questo e un funzionale lineare e inoltre e limitato(continuo). Infatti si ha

|F (x)| = |(a, x)| ≤ ‖a‖ · ‖x‖ =⇒ |F (x)|‖x‖ ≤ ‖a‖ .

Dalla prima disuguaglianza si vede che |F (x)| ≤ ‖a‖ all’interno della sfera unitaria ‖x‖ ≤ 1 equindi e continuo. Prendendo l’estremo superiore nell’ultima equazione e osservando inoltre cheF (a) = ‖a‖2, si ottiene

‖F‖ ≤ ‖a‖ , |F (a)|‖a‖ = ‖a‖ =⇒ ‖F‖ = ‖a‖ .

• L’integrale

F (g) =

∫ b

a

dt g(t) ,

con g(t) ∈ C[a, b] definisce un funzionale lineare limitato. La norma vale ‖F‖ = b− a. Infatti

|F (g)| ≤∫ b

a

dt |g(t)| ≤ maxt∈[a,b]

|g(t)|(b− a) = ‖g‖(b− a) .

Come per l’esercizio precedente il funzionale e limitato all’interno della sfera unitaria e quindi econtinuo. La relazione precedente vale per ogni g ∈ C[a, b]. In particolare, per g costante diventaun’uguaglianza, da cui segue il risultato cercato.

26

6.1 Spazio duale

Dati due funzionali lineari F1, F2 in uno spazio lineareX si definiscono le operazioni di somma F = F1+F2

e prodotto per un numero complesso G = αF1 mediante

F (x) = F1(x) + F2(x) , G(x) = αF1(x) = F1(αx) , ∀x ∈ X .

E’ evidente che F e G cosı definiti sono funzionali lineari e, se F1 e F2 sono continui, allora lo sono ancheF,G.

L’insieme dei funzionali lineari (continui) su X con le operazioni definite sopra costituisce uno spaziolineare, che viene detto spazio duale (o coniugato) di X e si indica con X∗ (o X ′). In particolare, se X enormato, allora anche X∗ e normato. Infatti, la norma introdotta sopra gode di tutte le proprieta dellanorma. La topologia corrispondente alla norma data viene detta topologia forte.

• Teorema – Lo spazio duale X∗ di uno spazio normato e completo (nella topologia forte).

• Dimostrazione – Sia Fn una successione fondamentale di funzionali lineari (continui) in X∗. Allorasi ha

|Fn(x) − Fm(x)| ≤ ‖Fn − Fm‖ ‖x‖ ≤ ε ‖x‖ .

Questo significa che per ogni x ∈ X, la successione di numeri complessi Fn(x) e fondamentale e quindiFn(x) → F (x), poiche IC e completo. Basta quindi verificare che F (x) definisce un funzionale F linearee continuo.– La linearita si verifica banalmente;– per dimostrare la continuta basta effettuare il limite m→ ∞ nell’espressione sopra. In tal modo si ha

|Fn(x) − F (x)| ≤ ε ‖x‖ =⇒ ‖Fn − F‖ ≤ ε =⇒ ‖F‖ ≤ ε+ ‖Fn‖ .

Il funzionale F e quindi limitato (continuo) ed e il limite della successione Fn.

♣ Si noti che non e richiesta la completezza di X. Se X non e completo e X e il suo completamento,allora X∗ e X∗ sono isomorfi.

6.2 Base duale

Sia X uno spazio lineare di dimensione n e ek una base. Allora ogni vettore x ∈ X e ogni funzionalelineare F si potranno scrivere nella forma

x =

n∑

k=1

xk ek , F (x) =

n∑

k=1

F (xk ek) =

n∑

k=1

xk F (ek) .

I valori sui vettori di base defininiscono univocamente il funzionale lineare.Si definiscano ora i funzionali

hi(ej) = δij =⇒ hi(x) =n∑

k=1

hi(xk ek) = xi , i, j = 1, 2, ..., n

In tal modo si ha

F (x) =n∑

k=1

xk F (ek) =n∑

k=1

F (ek)hk(x) =⇒ F =n∑

k=1

F (ek)hk

e quindi i funzionali hk costituiscono una base nello spazio duale. Questa e detta base duale di ek.

• Teorema di Riesz – Sia H uno spazio di Hilbert e F : H → IC un funzionale lineare continuo. Alloraesiste sempre un unico elemento a ∈ H tale che

F (x) = (a, x) , ∀x ∈ H , ‖F‖ = ‖a‖ . (6.2)

Vale anche il viceversa, ossia, un arbitrario elemento a ∈ H, definisce univocamente un funzionale linearecontinuo mediante l’equazione (6.2), la quale determina quindi un isomorfismo fra H e H∗.

27

• Dimostrazione – La dimostrazione del teorema e alquanto elaborata. Qui ci limitiamo a dimostraresoltanto la seconda parte, che e relativamente semplice.

Sia allora a ∈ H un generico vettore. L’equazione (6.2) definisce centamente un funzionale linearecontinuo come diretta conseguenza della linearita e continuita del prodotto scalare. Inoltre, sempre perle proprieta del prodottto scalare si ha

|F (x)| = |(a, x)| ≤ ‖a‖ ‖x‖ ,|F (a)| = |(a, a)| = ‖a‖2 ,

=⇒ ‖F‖ = supx6=0

|F (x)|‖x‖ = ‖a‖ .

♣ Questo teorema afferma di fatto che in uno spazio di Hilbert, il prodotto scalare rappresenta il piugenerale funzionale lineare continuo.

28

7 Distribuzioni

Furono introdotte da Dirac (1930) in maniera puramente formale e successivamente trattate in manierarigorosa da Sobolev (1936) e Schwartz (1950) e infine da Gelfand che ne completo l’opera.

La necessita di generalizzare il concetto di funzione si incontra nella fisica ad esempio quando si vuoleintrodurre la densita (di massa, di carica, ...) per un corpo estremamente piccolo (puntiforme). Infatti,se ρε(x) e la densita di massa per un corpo omogeneo, sferico di raggio ε e massa unitaria m = 1, allorasi ha

ρε(x) =

34πε3 , per ‖x‖ < ε ,0 , per ‖x‖ > ε ,

∫

IR3dx ρε(x) = 1 ,

dove x ≡ (x1, x2, x3) e dx = dx1dx2dx3 e la misura di Lebesgue di IR3. La densita di un punto materialedi massa unitaria sara data formalmente da

δ(x) = limε→0

ρε(x) =

∞ , per ‖x‖ = 0 ,0 , per ‖x‖ 6= 0 ,

(7.1)

e il suo integrale su tutto IR3 dovra essere uguale a 1 (la massa del corpo). E’ chiaro che questo non hasignificato nell’ambito delle funzioni. Per dare senso all’integrale di δ(x) si deve estendere il concetto difunzione. Ad esempio, presa un’arbitraria funzione continua ϕ(x), si ha

∣

∣

∣

∣

∫

IR3dxρε(x)ϕ(x) − ϕ(0)

∣

∣

∣

∣

=3

4πε3

∣

∣

∣

∣

∣

∫

‖x‖<εdx [ϕ(x) − ϕ(0)]

∣

∣

∣

∣

∣

≤ 3

4πε3

∫

‖x‖<εdx |ϕ(x) − ϕ(0)| ≤ η , (7.2)

dove, per la continuita della funzione, si e posto |f(x) − f(0)| ≤ η per ‖x‖ < ε. Dalla (7.2) si deduce

limε→0

∫

IR3dx ρε(x)ϕ(x) = ϕ(0) ,

per ogni funzione continua. La quantita δ introdotta sopra si puo quindi vedere come limite di unasuccessione di funzionali ρε che operano nello spazio delle funzioni continue e dunque δ = limε→0 ρε vainteso come

(δ, ϕ) = limε→0

(ρε, ϕ) = ϕ(0) , ∀φ ∈ C(IR3) .

δ ha un significato matematicamente preciso come funzionale lineare, continuo. Questo e detto funzionegeneralizzata o piu comunemente distribuzione. Per definire in modo matematicamente rigoroso il limitedell’integrale della densita ρε si e fatto ricorso all’uso di una funzione test ϕ(x) continua, ma arbitraria.Le distribuzioni sono dunque funzionali lineari, continui su uno spazio di funzioni test. E’ chiaro che “piugrosso” e lo spazio delle funzioni test e “piu piccolo” risultera lo spazio delle distribuzioni.

♣ L’azione del funzionale F sulla funzione test ϕ si indica cumunemente con la notazione F (ϕ) ≡ (F,ϕ),che non va confusa con un prodotto scalare (si ricordi che ϕ e F appartengono a spazi differenti).

7.1 Funzioni test

Si usano principalmente due spazi di funzioni test, ossia

• D ≡ ϕ : IRn → IC funzioni continue, indefinitamente derivabili e a supporto compatto, vale a direϕ(x) ∈ C∞(IRn) e ϕ(x) = 0 per ‖x‖ > Rϕ;

• S ≡ ϕ : IRn → IC funzioni continue, indefinitamente derivabili e a decrescenza rapida, vale adire che ϕ(x), come pure tutte le sue derivate, si annulla all’infinito piu rapidamente di qualunquepotenza.

29

Le proprieta delle distribuzioni dipendono dallo spazio a cui appartengono le funzioni test, in quanto,essendo funzionali lineari, vivono nello spazio duale D′ o S ′. Le prime, agenti sullo spazio D, si diconodistribuzioni di Schwartz, mentre le seconde, agenti sullo spazio S, si dicono distribuzioni temperate.

♣ Ogni funzione indefinitamente derivabile e a supporto compatto appartiene banalmente anche a Se quindi D ⊂ S (lo spazio S e “piu grosso” di D). Questo implica che S ′ ⊂ D′ e quindi tutte ledistribuzioni temperate sono anche distribuzioni di Schwartz (lo spazio S ′ e piu “piccolo” di D′).Si dimostra che D e denso in S. Questo significa che ogni funzione C∞ e a decrescenza rapida si puoapprossimare, con precisione a piacere, mediante funzioni C∞ e a supporto compatto.

Notazioni. – Per semplificare la scrittura, conviene introdurre le seguenti notazioni:

x ≡ (x1, x2, ..., xn) ∈ IRn , ‖x‖ =

[

n∑

k=1

x2k

]1/2

,

α ≡ (α1, α2, ..., αn) ∈ INn , |α| = α1 + α2 + ...+ αn ,

xα = xα1

1 xα2

2 ... xαnn , Dαϕ(x) =

∂α1+α2+...+αn

∂α1x1∂α2x2... ∂αn

xn

ϕ(x1, x2, ..., xn)

dove IN e l’insieme dei numeri naturali compreso lo zero e α e un multi-indice (ogni αk e intero o nullo).

7.2 Lo spazio DE’ costituito dalle funzioni ϕ : IRn → IC, C∞ e a supporto compatto. Questo significa che ogni funzionein D si annulla all’esterno di una sfera di raggio Rϕ,

ϕ(x) = 0 , ∀x : ‖x‖ > Rϕ .

La topologia dello spazio D e alquanto restrittiva.

• Definizione (convergenza di funzioni test) – Si dira che la successione ϕk ∈ D converge a ϕ ∈ Dse esiste U che contiene il supporto di ϕ e tutti i supporti di ϕk e Dαϕk(x) → Dαϕ(x), per ogni x ∈ U eogni α ∈ INn

• Teorema – Dato un operatore A : D → X (X spazio topologico) le affermazioni seguenti sonoequivalenti: A e continuo; A e limitato; Aϕk → 0, ∀ϕk : ϕk → 0.

Esempi

• Le funzioni (“campane”)

ωε(x) =

1Nε

exp(

− ε2

ε2−‖x‖2

)

, per ‖x‖ < ε ,

0 , per ‖x‖ ≥ ε ,(7.3)

sono elementi di D qualunque sia ε. Nε e una costante di normalizzazione inessenziale per i nostriscopi.

• Ogni operatore differenziale della forma

P (x, ∂x) ≡∑

|α|≤paα(x)Dα , aα(x) ∈ C∞ , p ≥ 0 ,

e continuo e quindi limitato.

30

7.3 Lo spazio SE’ costituito dalle funzioni ϕ : IRn → IC, C∞ e a decrescenza rapida, piu precisamente tali che

σp,α(ϕ) ≡ supx∈IRn

[

(1 + ‖x‖2)p/2 |Dαϕ(x)|]

<∞ , ∀p ∈ IN , α ∈ INn .

Le quantita σp,α(ϕ) o equivalentemente le quantita

σp(ϕ) = sup|α|≤p

σp,α(ϕ) = sup|α|≤p

supx∈IRn

[

(1 + ‖x‖2)p/2 |Dαϕ(x)|]

,

costituiscono una famiglia di seminorme (possono annullarsi anche se ϕ 6= 0) con la proprieta

σ0(ϕ) ≤ σ1(ϕ) ≤ σ2(ϕ) ≤ ... , ∀ϕ ∈ S(IRn) .

Mediante questa famiglia di seminorme si definisce la topokogia di S.

• Definizione (convergenza di funzioni test) – Si dira che una successione di funzioni test ϕk ∈ Sconverge a 0 se e solo se σp,α(ϕk) → 0 uniformemente per ogni p ∈ N e ogni α ∈ Nn.

• Definizione – L’operatore A : S → X (X e uno spazio lineare topologico), si dira continuo se per ogniϕk → 0 si ha Aϕk → 0.

Esempi

• E’ immediato verificare che le funzioni di Hermite

ϕn(x) = (2nn!√π)−1/2Hn(x) e

−x2/2 , Hn(x) = (−1)nex2 dn

dxne−x

2

,

appartengono a S(IR).

• L’operatore Dα : S → S e continuo ∀α ∈ INn.

♣ Si dimostra che S(IRn) e denso in Lp(IRn) e in particolare in L2(IR

n). Cio significa che ogni funzionea quadrato sommabile si puo approssimare mediante funzioni di S.

7.4 Distribuzioni di Schwartz

Sono funzionali lineari e continui f : D → IC. Le distribuzioni di Schwartz sono dunque elementi dellospazio duale D′ (o D∗).

Per ogni f ∈ D′, ϕ,ϕn, ψ ∈ D e α, β ∈ IC si ha

• (f, ϕ) ∈ IC;

• (f, αϕ+ βψ) = α(f, ϕ) + β(f, ψ), (linearita);

• (f, ϕn) → (f, ϕ), (continuita).

Per quanto detto precedentemente riguardo agli spazi duali, D′ e uno spazio lineare, vale a dire

(αf + βg, ϕ) = α(f, ϕ) + β(g, ϕ) , f, g ∈ D′ , ϕ ∈ D , α, β ∈ IC .

• Definizione (convergenza di distribuzioni) – Si dice che fn ∈ D′ converge debolmente a f ∈ D′

se per ogni ϕ ∈ D si ha

(fn, ϕ) → (f, ϕ) .

• Teorema – D′ e uno spazio completo (nella topologia debole). Questo significa che se (fn, ϕ) → cϕ,allora esiste f per cui cϕ = (f, ϕ). In effetti, dato il numero complesso cϕ, il funzionale f definito dallaseguente equazione:

(f, ϕ) = cϕ

31

e lineare e continuo e quindi e una distribuzione di Schwartz. Infatti, usando la linearita di fn si ha

(fn, ϕ) → cϕ ,(fn, ψ) → cψ ,

=⇒

(fn, ϕ+ ψ) → cϕ+ψ ≡ (f, ϕ+ ψ) ,(fn, ϕ+ ψ) → cϕ + cψ ≡ (f, ϕ) + (f, ψ) ,

(fn, αϕ) → cαϕ ≡ (f, αϕ) ,(fn, αϕ) → α cϕ ≡ α(f, ϕ) ,

e il funzionale e dunque lineare. Supponendo ϕk → ϕ in D, usando la continuita di fn e facendo i limitin, k → ∞ si ottiene

(fn, ϕk) → (fn, ϕ) → (f, ϕ) , (fn, ϕk) → (f, ϕk) .

Questo significa che fissato ε > 0 esistono n, k abbastanza grandi per cui

|(f, ϕk) − (fn, ϕk)| < ε , |(f, ϕ) − (fn, ϕk)| < ε ,

da cui segue

|(f, ϕ) − (f, ϕk)| = |(f, ϕ) − (fn, ϕk) + (fn, ϕk) − (f, ϕk)|≤ |(f, ϕ) − (fn, ϕk)| + |(fn, ϕk) − (f, ϕk)| < 2ε

e quindi il funzionale e anche continuo.

• Definizione (supporto di una distribuzione) – Si indichi con D(G) l’insieme delle funzioni testcon supporto in G Tutte queste funzioni sono nulle nel complementare di G (IRn −G).

Se (f, ϕ) = 0 per ogni ϕ ∈ D(G) allora f ≡ 0 per ogni x ∈ G e si dira che f ha supporto nelcomplementare di G.Si dira inoltre che f = g in G, se (f − g, ϕ) = 0 per ogni ϕ ∈ D(G).

7.5 Distribuzioni regolari

Sono quelle che si possono rappresentare mediante funzioni localmente sommabili. Quindi se f e regolare,allora esiste f(x) : IRn → IRn (o definita su qualche sottospazio di IRn), tale che, per ogni G ⊂ IRn

∫

G

dx |f(x)| <∞ =⇒ (f, ϕ) =

∫

IRndx f(x)ϕ(x) .

L’ultima espressione definisce un funzionale lineare e continuo. La continuita deriva da

|(f, ϕn − ϕ)| =

∣

∣

∣

∣

∫

U

dx f(x) [ϕn(x) − ϕ(x)]

∣

∣

∣

∣

≤ maxx∈U

|ϕn(x) − ϕ(x)|∫

U

dx |f(x)| → 0 ,

dove U e l’insieme che contiene il supporto di ϕ e tutti i supporti delle ϕk.

• Definizione (distribuzioni singolari) – Sono tutte quelle non rappresentabili mediante funzioni lo-calmente sommabili. Tutte le proprieta valide per le distribuzioni regolari saranno estese per definizioneanche a quelle singolari (vedi piu avanti).

Esempi

• Un esempio classico di distribuzione singolare e dato dalla δ di Dirac, definita mediante

(δ, ϕ) = ϕ(0) , supp δ ≡ 0 .

E’ evidente dalla definizione che il supporto di tale distribuzione e dato dall’origine. Infatti il valoredel funzionale e nullo se calcolato su qualunque funzione test il cui supporto non contenga l’origine.

Si dimostra per assurdo che questa deve essere una distribuzione singolare. Infatti se fosse rappre-sentabile mediante una funzione localmente integrabile, questa dovrebbe avere supporto nell’origine.Sarebbe quindi una funzione nulla quasi ovunque.

Si osservi che il limite di una distribuzione regolare puo essere una distribuzione singolare, come sie visto nell’esempio iniziale (7.1).

32

Un altro esempio di successione di distribuzioni regolari convergente a δ e dato dalle funzioni acampana ωε in (7.3) (normalizzate). Infatti si ha

∣

∣

∣

∣

∫

IRdxωε(x)ϕ(x) − ϕ(0)

∣

∣

∣

∣

≤∫ ε

−εdxωε(x) |ϕ(x) − ϕ(0)| ≤ sup

x∈[−ε,ε]|ϕ(x) − ϕ(0)| → 0 .

Quindi

(ωε, ϕ) → ϕ(0) =⇒ ωε(x) → δ(x) .

Questo appena visto e un caso particolare di un teorema che verra dimostrato piu avanti (vedi 12.1).

• Un altro importante esempio di distribuzione singolare e dato dalla parte principale di 1/x in D′(IR).Questa si indica con P(1/x) ed e definita nel seguente modo:

(

P 1

x, ϕ(x)

)

≡ v.p.

∫ ∞

−∞dx

ϕ(x)

x≡ limε→0+

[∫ −ε

−∞dx

ϕ(x)

x+

∫ ∞

ε

dxϕ(x)

x

]

=

∫ ∞

−∞dx

ϕ(x) − ϕ(0)

x.

• Importanti per la fisica sono le due distribuzioni 1/(x± i0) in D′(IR) definite mediante

(

1

x± i0, ϕ(x)

)

≡ limε→0+

∫ ∞

−∞dx

ϕ(x)

x± iε.

Valgono le formule di Sokhotski:

1

x± i0= P 1

x∓ iπδ(x) .

La dimostrazione si ricava direttamente dalla definizione. Infatti per qualunque funzione test consupporto in (−R,R) si ha

∫ ∞

−∞dx

ϕ(x)

x+ iε=

∫ R

−Rdx

ϕ(x)

x+ iε=

∫ R

−Rdx

ϕ(x) − ϕ(0)

x+ iε+ ϕ(0)

∫ R

−Rdx

x− iε

x2 + ε2

=

∫ R

−Rdx

ϕ(x) − ϕ(0)

x+ iε+ −2iε ϕ(0)

∫ R

0

dx

x2 + ε2

=

∫ R

−Rdx

ϕ(x) − ϕ(0)

x+ iε− 2i ϕ(0) arctan

R

ε.

Prendendo il limite per ε→ 0+ si ottiene il risultato cercato, vale a dire

(

1

x± i0, ϕ(x)

)

=

∫ R

−Rdx

ϕ(x) − ϕ(0)

x− iπ ϕ(0) =

(

P 1

x− iπδ, ϕ(x)

)

.

7.6 Prodotto di una distribuzione per una funzione C∞

Una distribuzione qualsiasi f ∈ D′(IRn) puo essere moltiplicata per un’arbitraria funzioney(x) ∈ C∞(IRn). Con queste ipotesi, y(x)ϕ(x) e una funzione test (se lo e ϕ(x)) e quindi si puo definire

(y f, ϕ) ≡ (f, y ϕ) ,

che e certamente vera per ogni distribuzione regolare. Per definizione si estende a tutte le distribuzioni.

33

Esempi

Data una funzione y(x) ∈ C∞(IR) si ha

(y(x)δ(x), ϕ(x)) = (δ(x), y(x)ϕ(x)) = y(0)ϕ(0) = (y(0)δ(x), ϕ(x)) ,

da cui segue che y(x)δ(x) = y(0)δ(x). In modo del tutto analogo si verifica che xP(1/x) = 1. Quindi

y(x)δ(x) = y(0)δ(x) , xδ(x) = 0 , xP 1

x= 1 .

♣ E’ immediato verificare che in generale non e possibile definire un prodotto fra distribuzioni, che siacommutativo e associativo. Infatti, se esistesse un tale prodotto, per assurdo si avrebbe

0 = 0 P 1

x= [x δ(x)]P 1

x= δ(x)

[

xP 1

x

]

= δ(x) .

7.7 Cambiamento di variabile

Sia f una distribuzione regolare in D(IRn). Allora, per ogni matrice A di ordine n, invertibile e ognivettore b ∈ IRn si ha

∫

IRndx f(Ax+ b)ϕ(x) =

1

|detA|

∫

IRndy f(y)ϕ(A−1(y − b)) .

Piu in generale, data una funzione y(x) ∈ C∞(IRn) si ha∫

IRndx f(y(x))ϕ(x) =

∫

IRndy J(y) f(y)ϕ(x(y)) , J(y) =

∣

∣

∣

∣

∂x

∂y

∣

∣

∣

∣

, (7.4)

dove J(y) e lo Jacobiano della trasformazione.Per ogni distribuzione regolare valgono allora le relazioni

(f(Ax+ b), ϕ(x)) =1

|detA|(

f(x), ϕ(A−1(x− b))

,

(f(y(x)), ϕ(x)) = (f(y), J(y)ϕ(x(y))) ,

e per definizione queste regole si estendono a qualunque distribuzione.

Esempi

Si consideri la distribuzione δ in D′(IR).

(δ(ax+ b), ϕ(x)) =1

|a|

(

δ(x), ϕ

(

x− b

a

))

=ϕ(−b/a)

|a| =⇒ δ(ax+ b) =δ(x+ b/a)

|a| .

(δ(y(x)), ϕ(x)) =

(

δ(y),ϕ(x(y))

|y′|

)

=∑

k

ϕ(xk)

|y′(xk)|,

dove y(xk) = 0 e la somma e fatta su tutti gli zeri (semplici) della funzione. In tal modo si ha

δ(y(k)) =∑

k

δ(x− xk)

|y′(xk)|.

Come esempio esplicito si consideri la distribuzione δ(x2 − 1). In questo caso y(x) = x2 − 1 e y′(x) = 2x.L’equazione y(x) = 0 ha due soluzioni x± = ±1 e pertanto

δ(x2 − 1) =δ(x− x+)

|y′(x+)| +δ(x− x−)

|y′(x−)| =1

2[δ(x− 1) + δ(x+ 1)] .

34

7.8 Derivazione

Sia data una funzione f(x) ∈ Cp(IR) con p ≥ 1. Questa e localmente sommabile e quindi definisce unadistribuzione regolare. Allora, per ogni funzione test si ha

(f ′, ϕ) =

∫ ∞

−∞dx f ′(x)ϕ(x) = −

∫ ∞

−∞dx f(x)ϕ′(x) .

Piu in generale, per ogni k ≤ p si ottiene

(f (k), ϕ) =

∫ ∞

−∞dx f (k)(x)ϕ(x) = (−1)k

∫ ∞

−∞dx f(x)ϕ(k)(x) .

Per una funzione f(x) ∈ Cp(IRn) con p ≥ 1 si ottiene un risultato simile, vale a dire

(Dα f, ϕ) =

∫ ∞

−∞dxDα f(x)ϕ(x) = (−1)|α|

∫ ∞

−∞dx f(x)Dα ϕ(x) , |α| =

n∑

k=1

αk ≤ p .

Quest’ultima espressione si usa come definizione di derivata di una distribuzione qualunque, quindi, perogni f ∈ D′(IRn) si definisce

(Dα f, ϕ) ≡ (−1)|α| (f,Dα ϕ) .

Si verifica direttamente che Dαf cosı definito e un funzionale lineare e continuo, ossia una distribuzione inD′(IRn). Dalle proprieta delle funzioni test segue che le distribuzioni hanno derivate di ordine qualunque.Valgono inoltre le proprieta seguenti, che si dimostrano applicando direttamente la definizione:

• DαDβf = DβDαf = Dα+βf , (α, β ∈ INn);

• ∂k [y(x)f ] = f∂ky(x) + y(x)∂k f , (y(x) ∈ C∞);

• Dαfk → Dαf , (α ∈ INn, fk → f);

• suppDαf ⊂ supp f .

• Ogni serie f =∑∞k=1 uk(x) di funzioni localmente sommabili e uniformemente convergente su ogni

compatto di IRn, in D′(IRn) si puo differenziare quanto si vuole e si ha Dαf =∑∞k=1 D

α uk(x).Quest’ultima proprieta deriva dalle proprieta della derivata e dalla continuita delle distribuzioni.Per le ipotesi fatte, posto fN (x) =

∑Nk=1 uk(x) si ha

limN→∞

∫

IRndx fN (x)ϕ(x) =

∫

IRndx lim

N→∞fN (x)ϕ(x) =

∫

IRndx f(x)ϕ(x) ,

qualunque sia ϕ(x) ∈ D(IRn). Allora

limN→∞

(DαfN , ϕ) = limN→∞

(−1)|α| (fN ,Dαϕ) = (−1)|α| (f,Dαϕ) = (Dαf, ϕ) .

7.9 Prodotto diretto

Date due funzioni localmente integrabili f(x) : IRn → IC e g(y) : IRm → IC, la funzione f(x)g(y) elocalmente integrabile in IRn+m e quindi definisce una distribuzione regolare in D′(IRn+m). Usando ilteorema di Fubini, per ogni ϕ(x, y) ∈ D(IRn+m) si ha

(f · g, ϕ) =

∫

IRn+mdx dy f(x)g(y)ϕ(x, y)

=

∫

IRndx f(x)

∫

IRmdy g(y)ϕ(x, y) = (f, (g, ϕ))

=

∫

IRmdy g(y)

∫

IRndx f(x)ϕ(x, y) = (g, (f, ϕ)) .

Per ogni coppia di distribuzioni f, g si definisce il prodotto diretto mediante

(f · g, ϕ) = (f, (g, ϕ)) = (g, (f, ϕ)) .

E’ immediato verificare che f · g ∈ D′(IRn+m), ossia e un funzionale lineare e continuo. Inoltre gode delleseguenti proprieta:

35

• f · g = g · f , (proprieta commutativa);

• f · g · h = g · h · f = h · f · g , (proprieta associativa – h(z) ∈ IRp);

• Dαx f · g = [Dα

xf ] · g , (α ∈ INn);

• α(x) f · g = [α(x)f ] · g , (α(x) ∈ C∞);

• (f(x) · 1, ϕ) =∫

IRm dy (f(x), ϕ(x, y)).

7.10 Prodotto di convoluzione

Siano f(x) e g(x) due funzioni localmente sommabili su IRn e sia inoltre

h(x) =

∫

IRndy |g(y)f(x− y)| =

∫

IRndy |f(y)g(x− y)|

anch’essa una funzione sommabile in IRn. Allora si definisce prodotto di convoluzione la funzione

[f ∗ g](x) =

∫

IRndy g(y)f(x− y) =

∫

IRndy f(y)g(x− y) = [g ∗ f ](x).

Se f e g si pensano come distribuzioni in D′(IRn), per ogni ϕ ∈ D(IRn) si ottiene

(f ∗ g, ϕ) =

∫

IRndξ [f ∗ g](ξ)ϕ(ξ) =

∫

IRndξ ϕ(ξ)

∫

IRndy g(y)f(ξ − y)

=

∫

IRndy g(y)

∫

IRndξ ϕ(ξ)f(ξ − y) =

∫

IR2ndx dy f(x)g(y)ϕ(x+ y)

= (f · g, ϕ(x+ y)) . (7.5)

Si osservi che l’uguaglianza precedente non si puo usare per definire il prodotto di convoluzione fra duedistribuzioni qualsiasi, in quanto ϕ ∈ D(IRn), ma in generale non appartiene a D(IR2n), perche non hasupporto compatto in IR2n.

Per estendere la definizione di prodotto di convoluzione, si fa uso di una successione di funzioni testηk(x) convergente a 1 in IRn. Per definizione si dice che una successione di unzioi test ηk converge a 1 inIRn se, fissata una sfera (palla) di raggio arbitrario UR ≡ x : ‖x‖ ≤ R, esiste K per cui si ha

ηk(x) = 1 , ∀k > K , ∀x ∈ UR .

Quindi, per k abbastanza grande ηk e costante all’interno di qualunque regione fissata e questo implicaanche tutte che le sue derivate si annullano in tale regione. Si richiede inoltre che ηk(x) e tutte le suederivate siano uniformemente limitate in tutto IRn, cioe

|Dα ηk(x)| < Cα , ∀x ∈ IRn , ∀α ∈ INn .

Si faccia attenzione al fatto che questa appena definita non e la convergenza in D(IRn) (1 /∈ D(IRn)).Ora osseviamo che la (7.5) si puo scrivere nella forma

(f ∗ g, ϕ) = limk→∞

(f · g, ηk(x, y)ϕ(x+ y)) , limk→∞

ηk(x, y) = 1 , (7.6)

dove ηk(x, y) e una qualunque funzione test convergente a 1 in IR2n. Poiche ηk(x, y)ϕ(x+ y) ∈ D(IR2n),l’espressione precedente esiste per qualunque coppia di distribuzioni se k e finito. Quando il limite esiste,il prodotto di convoluzione fra due distribuzioni qualunque si definisce mediante l’equazione (7.6). Siverifica che se il limite esiste non dipende dalla scelta di ηk.

Se f ∗ g esiste, allora valgono le proprieta seguenti

• f ∗ g = g ∗ f . Deriva banalmente dal fatto che il prodotto diretto e commutativo.

36

• [Dαf ] ∗ g = Dα[f ∗ g] = f ∗ [Dαg].Per la dimostrazione di questa utile proprieta basta osservare che per k abbastanza grande, lederivate di ηk(x, y) sono nulle nel supporto di ϕ(x), dove ηk(x, y) = 1. Qualunque sia y si ha quindi

∂xj [ηk(x, y)ϕ(x+ y)] = ηk(x, y) ∂xj ϕ(x+ y) k > K .

Qui y e visto come un parametro fissato. Ovviamente quando si deriva rispetto a qualche com-ponente yj di y, allora x diventa un parametro dato. Derivando la distribuzione rispetto a xj

abbiamo

(∂xj [f ∗ g], ϕ) = −(f ∗ g, ∂xjϕ) = − limk→∞

(f(x) · g(y), ηk(x, y)∂xjϕ(x+ y))

= − limk→∞

(f(x) · g(y), ∂xj [ηk(x, y)ϕ(x+ y)])

= limk→∞

(∂xjf(x) · g(y), ηk(x, y)ϕ(x+ y)) = ([∂xjf ] ∗ g, ϕ) .

Si noti tuttavia che l’esistenza di [Dαf ] ∗ g non garantisce quella di f ∗ [Dαg]. Infatti, procedendoformalmente si arriva alla seguente contraddizione:

ϑ′ ∗ 1 = δ ∗ 1 = 1 6= ϑ ∗ 1′ = ϑ ∗ 0 = 0 .

Questo succede perche ϑ ∗ 1 non esiste!

• Se fj → f e gj → g allora

fj ∗ g → f ∗ g , f ∗ gj → f ∗ g .

La dimostrazione segue direttamente dalla definizione di prodotto.

7.11 Condizioni sufficienti per l’esistenza del prodotto di convoluzione

Qui deriviamo alcune condizioni che ci assicurano l’esistenza del prodotto di convoluzione e ci fornisconoanche il modo per calcolarlo.

• f e g sono distribuzioni regolari e una delle due (diciamo g) ha supporto compatto contenuto nellasfera Ur di raggio r. Allora, per ogni R si ha

∫

UR

dxh(x) =

∫

UR

dx

∫

Ur

dy |g(y)f(x− y)|

=

∫

Ur

dy |g(y)|∫

UR

dx |f(x− y)| =

∫

Ur

dy |g(y)|∫

UR+r

dz |f(z)| <∞ .

La funzione h(x) e localmente sommabile e dunque il prodotto di convoluzione delle due distribuzioniesiste ed e dato direttamente dalla (7.5).

• f e g sono funzioni con supporto entrambe in IR+, contenuto nell’intervallo [0, R]. In tal caso si ha

∫ R

−Rdxh(x) =

∫ R

0

dx

∫ x

0

dy |g(y)f(x− y)|

=

∫ R

0

dy |g(y)|∫ R

y

dz |f(z)| ≤∫ R

0

dy |g(y)|∫ R

0

dz |f(z)| <∞ .

Anche in questo caso h(x) e localmente sommabile e quindi il prodotto di convoluzione e dato dalla(7.5).

37

• f e g sono funzioni sommabili in IRn. Allora banalmente segue

∫

IRndxh(x) =

∫

IRndx

∫

IRndy |g(y)f(x− y)| =

∫

IRndy |g(y)

∫

IRndz |f(z)| <∞ .

Anche in questo caso il prodotto di convoluzione e dato dalla (7.5).

• f e una distribuzione qualsiasi e g e una distribuzione con supporto compatto. In tal caso il prodottodi convoluzione e dato da

(f ∗ g, ϕ) = (f(x) · g(y), η(y)ϕ(x+ y)) , η(y)g(y) = g(y) ,

dove η e una qualunque funzione test che vale 1 nel supporto di g. Per la dimostrazione bastaosservare che

(f ∗ g, ϕ) = (f ∗ gη, ϕ) = limk→∞

(f(x) · g(y)η(y), ηk(x, y)ϕ(x+ y))

= limk→∞

(f(x) · g(y), η(y)ηk(x, y)ϕ(x+ y)) = (f(x) · g(y), η(y))ϕ(x+ y)) .

L’ultimo passaggio al limite e lecito in quanto η(y)ϕ(x+ y) ∈ D(IR2n).

• f qualunque e ψ ∈ D(IRn). In questo caso

(f ∗ ψ)(x) = (f(y), ψ(x− y)) ∈ C∞(IRn) ,

e una distribuzione regolare. Il prodotto esiste perche ψ ha supporto compatto. Allora

(f ∗ ψ,ϕ) = (f(x), (ψ(y), η(y)ϕ(x+ y))) =

(

f(x),

∫

IRndy ψ(y)ϕ(x+ y)

)

=

(

f(x),

∫

IRndz ψ(z − x)ϕ(z)

)

=

∫

IRndzϕ(z) (f(x), ψ(z − x)) .

Esempi

• La δ di Dirac e l’unita rispetto al prodotto di convoluzione, cioe δ ∗ f = f ∗ δ = f . Questo derivadirettamente dall’espressione del prodotto di convoluzione per distribuzioni con supporto compatto.Sia infatti η(x) una funzione test con η(0) = 1. Allora

(f ∗ δ, ϕ) = (f(x) · δ(y), η(y)ϕ(x+ y)) = (f(x), (δ(y), η(y)ϕ(x+ y))) = (f, ϕ) .

7.12 Regolarizzazione

Sia ωε(x) una funzione test tale che limε→0 ωε(x) = δ(x) e f ∈ D′(IRn) una qualunque distribuzione.Allora, per quanto visto sopra si ha

fε(x) ≡ (f ∗ ωε)(x) = (f(y), ωε(x− y)) ∈ C∞(IRn) .

La distribuzione fε si dice distribuzione regolarizzata (regolarizzazione di f).

• Teorema – Ogni distribuzione e il limite di funzioni test in D(IRn), ossia D e denso in D′.

• Dimostrazione – Sia ηε(x) → 1 nella sfera U1/ε di raggio 1/ε. Allora si ha

(ηε fε, ϕ) = (fε, ηε ϕ) = (fε, ϕ) → (f, ϕ) .

Poiche ηεfε ∈ D ne segue il teorema.

38

7.13 Distribuzioni temperate

Sono tutti i funzionali lineari e continui f : S → IC. Le distribuzioni temperate sono dunque elementidello spazio duale S ′. Dal fatto che D ⊂ S segue che S ′ ⊂ D′. Cio significa che tutte le distribuzionitemperate sono anche distribuzioni di Schwartz, ma non e vero il viceversa. La ragione per cui conviene“restringere” lo spazio delle distribuzioni e dovuta al fatto che in S ′ e possibile definire la trasformata diFourier e questa e ancora un elemento di S ′. Questo in generale non vero in D′.

Tutto quanto si e definito fin qui per le distribuzioni di Schwartz vale senza limitazioni anche per ledistribuzioni temperate.

• Teorema di Schwartz – Un funzionale lineare f : S → IC appartiene a S ′ se e solo se per ognifunzione test ϕ ∈ S esiste una costante C > 0 e un intero p ≥ 0 per cui

|(f, ϕ)| ≤ C σp(ϕ) , σp(ϕ) = sup|α|≤p;x∈IRn

(1 + ‖x‖p)|Dα ϕ(x)| . (7.7)

• Dimostrazione – La condizione e sufficiente. Infatti, se la (7.7) e soddisfatta, per ogni successioneϕk convergente in S si ha

|(f, ϕk − ϕ)| ≤ C σp(ϕk − ϕ) → 0 ,

quindi il funzionale e continuo.– La condizione e necessaria. Infatti, sia f ∈ S ′ e “per assurdo” la (7.7) non sia soddisfatta per qualcheϕ ∈ S. Allora, posto

ψk =ϕ√

k σk(ϕ)|(f, ϕ)| > k σk(ϕ) ,

si ha

|(f, ψk)| =1√

k σk(ϕ)|(f, ϕ)| >

√k . (7.8)

L’ultima espressione e in contrasto con la continuita del funzionale in quanto si deve avere (f, ψk) → 0,poiche ψk → 0 per costruzione.

7.14 Trasformata di Fourier

Data un’arbitraria funzione test ϕ ∈ S(IRn) si definisce la sua trasformata di Fourier mediante

F [ϕ](ξ) ≡ ϕ(ξ) =

∫

IRndx e−i(ξ,x) ϕ(x) , (ξ, x) =

n∑

k=1

ξk xk .

Per le proprieta di ϕ l’integrale converge e ϕ(ξ) ∈ C∞(IRn) e si ha

Dαξ F [ϕ](ξ) = F [(−ix)αϕ(x)](ξ) ,

F [Dαx ϕ(x)](ξ) = (iξ)α F [ϕ](ξ) .

Dalle relazioni precedenti segue

ξβ Dαξ F [ϕ](ξ) = ξβ F [(−ix)αϕ(x)](ξ) = (−i)|α|+|β| F [Dβ

x (xα ϕ)](ξ) .

Prendendo il modulo di questa equazione si ha

|ξ|β Dαξ F [ϕ](ξ)| = |F [Dβ

x (xα ϕ)](ξ)| ≤∫

IRndx |Dβ

x (xα ϕ(x)| <∞ .

Questo significa che ϕ(ξ) ∈ S. La trasformata di Fourier si puo quindi vedere come un operatoreF : S → S. E’ un operatore continuo e limitato.

La formula di inversione e data da

F−1[ϕ](x) ≡ ϕ(x) =1

(2π)n

∫

IRndξ ei(ξ,x) ϕ(ξ)

=1

(2π)nF [ϕ(ξ)](−x) =

1

(2π)nF [ϕ(−ξ)](x) .

39

Ora notiamo che la trasformata di Fourier F [f ](ξ) e ben definita per ogni funzione f sommabile inIRn e inoltre e una funzione continua di ξ e quindi definisce una distribuzione regolare (ogni funzionecontinua e localmente sommabile). Dalla definizione segue

(F [f ], ϕ) =

∫

IRndξ ϕ(ξ)

[∫

IRndx e−i(ξ,x) f(x)

]

=

∫

IRndx f(x)

[∫

IRndξ e−i(ξ,x) ϕ(ξ)

]

= (f, F [ϕ]) .

Questa proprieta delle funzioni sommabili si estende per definizione a tutte le distribuzioni f ∈ S ′, valea dire

(F [f ], ϕ) ≡ (f, F [ϕ]) .

Per la trasformata di Fourier delle distribuzioni temperate, valgono tutte le proprieta che si hannoper le funzioni. In particolare

• DαF [f ] = F [(−ix)αϕ(x)];

• F [Dαf ](ξ) = (iξ)αF [ϕ](ξ);

• F [f(x− x0)](ξ) = e−i(ξ,x0)F [f(x)](ξ);

• F [f(x)](ξ + ξ0) = F [e−i(ξ0,x)f(x)](ξ);

• F [f · g] = F [f ]F [g].

• Se il prodotto di convoluzione fra f e g esiste, allora si ha l’importante proprieta F [f∗g] = F [f ]F [g] .

Esempi

Le seguenti proprieta relative alla trasformata di Fourier della δ di Dirac si ottengono direttamentedalla definizione:

• F [δ(x− x0)] = e−i(ξ,x0) ; F [δ] = 1 ; F [1] = (2π)nδ;

• F [Dαδ](ξ) = (iξ)α F [δ](ξ) = (iξ)α;

• F [xα](ξ) = (iξ)αDα F [1] = (2π)n(iξ)α δ.

7.15 Soluzioni fondamentali di operatori differenziali lineari

Sia g ∈ D′(IRn) una distribuzione data e P (D) l’operatore differenziale

P (D) =∑

|α|≤paα(x)Dα , α(x) ∈ C∞(IRn) , p ∈ IN , α ∈ INn .

Una distribuzione f ∈ D′(IRn) si dira soluzione generalizzata dell’equazione

P (D)f = g ,

se per ogni ϕ ∈ D(IRn) soddisfa l’equazione

(P (D) f, ϕ) =∑

|α|≤p(−1)|α| (f, aαD

αϕ) = (g, ϕ) .

• Definizione (soluzione fondamentale) – La distribuzione E si dira soluzione fondamentale oelementare dell’operatore P (D) se soddisfa l’equazione

P (D) E = δ . (7.9)

In generale E non e unica. Infatti, se E0 soddisfa l’equazione omogenea, allora E + E0 e ancora soluzionefondamentale.

40

Data la soluzione fondamentale, una soluzione dell’equazione non omogenea e data da

P (D)u = g =⇒ u = E ∗ g ,

purche il prodotto di convoluzione abbia senso. In tal caso si ha infatti

P (D)[E ∗ g] = [P (D)E ] ∗ g] = δ ∗ g = g .

• Teorema – Tutti gli operatori differenziali lineari a coefficienti costanti (aα(x) = aα =costante)possiedono una soluzione fondamentale E ∈ S ′(IRn), che soddisfa l’equazione

P (iξ)F [E ] = 1 , P (iξ) =∑

|α|≤paα (iξ)α . (7.10)

• Dimostrazione – L’equazione (7.10) e la trasformata di Fourier della (7.9). P (iξ) e un polinomioalgebrico in ξ ∈ IRn e il suo inverso definisce effettivamente una distribuzione temperata E(ξ) e quindianche E(x) = F−1[E(ξ)](x) ∈ S ′(IRn) e una distribuzione temperata.

• Teorema – In D′+(IR) l’operatore lineare P a coefficienti costanti ak, della forma

P = a0 + a1d

dx+ ... + ap

dp

dxp=

p∑

k=0

akdk

dxk, p ≥ 1 ,

ha una sola soluzione fondamentale data da E(x) = ϑ(x)Z(x) dove Z(x) ∈ Cp(IR) e soluzione dell’equa-zione differenziale omogenea

P Z(x) = a0 + a1Z′(x) + ... + apZ

(p)(x) = 0 ,

con le condizioni iniziali

Z(p−1) = 1 , Z(k)(0) = 0 , k = 0, 1, 2, ... p− 2 .

• Dimostrazione – La dimostrazione si ottiene banalmente per verifica diretta. Poiche la funzione Z(x)soddisfa le condizioni iniziali precedenti, si ha

d

dxϑ(x)Z(p−1)(x) = ϑ(x)Z(p)(x) + δ(x)Z(p−1)(0) = ϑ(x)Z(p)(x) + δ(x) ,

d

dxϑ(x)Z(k)(x) = ϑ(x)Z(k+1)(x) + δ(x)Z(k)(0) = ϑ(x)Z(k+1)(x) , k = 0, 1, 2, ... p− 2 .

da cui segue

P E(x) = ϑ(x)P Z(x) + δ = δ .

Quindi E(x) ∈ D′+ e una soluzione fondamentale ad e anche unica come conseguenza dell’unicita di Z(x).

41

8 Operatori Lineari

Qui daremo alcune definizioni e teoremi riguardanti gli operatori lineari in spazi di Banach, vale a direnormati e completi, ma la definizione e parte dei risultati vale anche in spazi topologigi piu generali.

Siano X e Y due spazi di Banach e A : X ∈ Y un’applicazione fra questi due spazi, che a un puntox ∈ X associa un punto y ∈ Y .

• Definizione (operatore lineare) – L’applicazione A e un operatore lineare se, dati x1, x2 ∈ X eα, β ∈ IC, si ha

A(αx1 + βx2) = αAx1 + βAx2 .

♣ I funzionali lineari sono particolari operatori lineari da X in IC.

• Definizione (dominio) – In generale, gli operatori non sono definiti per ogni punto di X. L’insiemeDA ⊂ X dei punti in cui e definito l’operatore si chiama dominio di A. Si assume che il dominio di unoperatore lineare sia una varieta lineare, vale a dire che, per ogni coppia x1, x2 ∈ DA e α, β ∈ IC, si abbia

αx1 + βx2 ∈ DA ,

• Definizione (co-dominio) – L’insieme dei punti Ax = y ∈ Y si chiama co-dominio o immaginedell’operatore A e si indica con RA.

• Definizione (nucleo) – L’insieme dei punti x ∈ DA tali che Ax = 0 si chiama nucleo dell’operatore esi indica con KerA.

• Definizione (continuita) – L’operatore lineare A si dice continuo in x0 ∈ DA se, comunque sceltoε > 0 esiste δ > 0 per cui

‖Ax−Ax0‖ = ‖A(x− x0)‖ < ε , ∀x ∈ DA tali che ‖x− x0| < δ .

A si dice continuo se lo e in ogni punto x ∈ DA. Equivalentemente A e continuo se, data una qualsiasisuccessione convergente xk ∈ DA, si ha

limk→∞

‖A(x− xk)‖ = 0 , ∀xk ∈ DA tali che limk→∞

xk = x ∈ DA .

Esempi

• L’operatore identita I : X → X dato da Ix = x; DI = X; RI = X; KerI = 0.

• L’operatore nullo O : X → Y dato da Ox = 0; DO = X; RO = 0; KerO = X.

• L’operatore di derivazione A = D : X → X dato da Dx = x′; il dominio e l’immagine dipendonoda X. Se X ≡ C[a, b], allora DA e dato dalle funzioni derivabili con derivata continua. In tal casol’operatore non e continuo. Basta considerare la successione sin kx/k che e convergente e la suaderivata cos kx che non ha limite.L’operatore di derivazione e continuo in altri spazi, ad esempio D : C∞ → C∞.

• Definizione (limitatezza) – A : X → Y e limitato se e definito in tutto X e trasforma insiemi limitatiin insiemi limitati. Per spazi di Banach questo e equivalente a dire che l’operatore limitato trasformaogni sfera in X in un insieme limitato in Y . Per l’omogeneita dell’operatore questo e equivalente a direche, esiste una costante CA per cui la disuguaglianza

‖Ax‖ ≤ CA‖x‖ , ‖A‖ ≡ inf CA =⇒ ‖Ax‖ ≤ ‖A‖ ‖x‖ , (8.1)

e soddisfatta per ogni x ∈ X. L’estremo inferiore delle costanti che soddisfano la (8.1) definisce la normadi A.

• Teorema – Per ogni operatore limitato fra spazi normati si ha

‖A‖ ≡ inf CA = supx6=0

‖Ax‖‖x‖ = sup

‖x‖≤1

‖Ax‖ .

42

• Dimostrazione – Posto

α = supx6=0

‖Ax‖‖x‖ ,

si ha

‖Ax‖ ≤ α‖x‖ =⇒ ‖A‖ ≤ α .

Questo perche per definizione la norma e l’estremo inferiore delle costanti che soddisfano la disuguaglianzaprecedente. Osserviamo pero che, sempre per definizione di norma, ‖Ax‖ ≤ ‖A‖ ‖x‖ e quindi vale anchela disuguaglianza inversa rispetto a quella sopra in quanto

‖Ax‖‖x‖ ≤ ‖A‖ =⇒ α ≤ ‖A‖ .

• Teorema – Ogni operatore limitato e continuo e viceversa.

• Dimostrazione – Sia A limitato. Allora data una qualunque successione xk convergente a x si ha

limk→∞

‖A(xk − x)‖ ≤ ‖A‖ limk→∞

‖xk − x‖ = 0 .

Viceversa, sia A continuo e per assurdo non limitato. Allora si puo trovare una successione xn in Xper cui

‖Axn‖ > n‖xn‖ , yn =xn

n‖xn‖, ‖yn‖ =

1

n.

Da queste equazioni abbiamo

limn→∞

yn = 0 , ‖Ayn‖ =‖Axn‖n‖xn‖

> 1 ,

in contraddizione con l’ipotesi di continuta dell’operatore.

• Definizione (somma di operatori) – Dati due operatori lineari A e B fra due spazi X e Y si definiscela somma S : X → Y che ad ogni x ∈ DS associa il punto y ∈ Y mediante l’equazione

Sx = Ax+Bx , DS = DA

⋂

DB .

Si definisce anche l’operazione di prodotto per un arbitrario numero α ∈ IC mediante

P = αA , Px = αAx , x ∈ DA ≡ DP .

E’ immediato verificare che S e P sono operatori lineari e se A e B sono limitati, anche S e P lo sono esi ha

‖Sx‖ = ‖Ax+Bx‖ ≤ (‖Ax‖ + ‖Bx‖) ≤ (‖A‖ + ‖B‖)‖x‖) =⇒ ‖S‖ ≤ ‖A‖ + ‖B‖ ,

‖Px‖ = ‖αAx‖ = |α‖|Ax‖ =⇒ ‖P‖ = |α‖|A‖ .

• Definizione (prodotto di operatori) – Se A : X → Y e B : Y → Z, allora si puo definire l’operatoreprodotto C : X → Z, mediante

C ≡ BA , Cx = B(Ax) , Dc ≡ x ∈ DA per cui y = Ax ∈ DB .

E’ immediato verificare che questa equazione definisce un operatore lineare. Inoltre se A e B sonooperatori limitati allora anche il loro prodotto e limitato. Infatti

‖Cx‖ = ‖BAx‖ ≤ ‖B‖‖Ax‖ ≤ ‖B‖‖A‖‖x‖ =⇒ ‖C‖ ≤ ‖B‖‖A‖ .

Il prodotto di operatori e associativo, cioe, dati A : X → Y , B : Y → Z, C : Z →W si ha

C(BA) = (CB)A ≡ CBA , CBA : X →W .

43

Se Y ≡ X allora C = BA : X → X. In questo caso si puo definire anche l’operatore AB : X → X perogni x ∈ DB e tale che Bx ∈ DA. In generale AB 6= BA anche per operatori limitati che hanno dominioin tutto X.

• Definizione (commutatore) – Dati due operatori A e B da X in se stesso, si definisce il commutatoredi A,B mediante

[A,B] ≡ AB −BA .

Se [A,B] = 0 si dice che gli operatori commutano fra loro.

• Definizione (potenza) – Per un operatore A : X → X si puo definire la potenza ricorsivamente, cioeAn = AAn−1. Se A e limitato si ottiene

‖An‖ = ‖AAn−1‖ ≤ ‖A‖‖An−1‖ =⇒ ‖An‖ ≤ ‖A‖n .

• Definizione (inverso) – Si dice che A : X → Y e invertibile se per ogni y ∈ RA l’equazione Ax = yha una sola soluzione x. In tal caso ad ogni y ∈ RA corrisponde un solo x = By ∈ DA e viceversa.L’operatore B ≡ A−1 si dice inverso dell’operatore A.

Si verifica direttamente che A−1 e un operatore lineare. Infatti, posto

y1 = Ax1 , x1 = A−1y1 , y2 = Ax2 , x2 = A−1y2 , (8.2)

z = αx1 + βx2 , α, β ∈ IC . (8.3)

si ha

z = (αx1 + βx2) = αA−1y1 + βA−1y2 , (8.4)

Per la linearita di A si ha anche

Az = A(αx1 + βx2) = αAx1 + βAx2 = αy1 + βy2 =⇒ z = A−1(αy1 + βy2) . (8.5)

Confrontando le due espressioni (8.4) e (8.5) per z si ottiene

A−1(αy1 + βy2) = αA−1y1 + βA−1y2 . (8.6)

• Teorema Condizione necessaria e sufficiente affinche A sia invertibile e che Ker A ≡ 0.• Dimostrazione – La condizione e necessaria. Infatti, se A e invertibile la corrispondenza fra DA eRA e biunivoca e quindi solo x = 0 appartiene al nucleo,– La condizione e sufficiente. Sia infatti Ker A ≡ 0 e per assurdo Ax1 = Ax2 con x1 6= x2. Alloraabbiamo la contraddizione A(x1 − x2) = 0.

8.1 Operatoti Limitati

L’insieme L(X,Y ) degli operatori lineari limitati (continui) con le operazioni di somma e prodotto perun numero complesso forma uno spazio lineare completo se Y e completo e normato se X e Y lo sono.

• Teorema – Se Y e completo allora L(X,Y ) e completo nella (topologia uniforme o della norma), valea dire che ogni successione fondamentale Ak di operatori limitati converge in norma ad un operatorelimitato A, cioe

limk→∞

‖A−Ak‖ = 0 . (8.7)

• Dimostrazione – Sia Ak una qualunque successione di Cauchy in L(X,Y ). Per ogni x ∈ X si ha

‖yi − yj‖ ≡ ‖Aix−Ajx‖ ≤ ‖Ai −Aj‖ ‖x‖ < ε , ∀i, j > Nε .

Questo significa che yk = Akx e una successione fondamentale in Y . Se Y e completo, questa convergead un elemento y ∈ Y che e l’immagine di x tramite l’operatore A. Quindi definiamo A mediante

y = limk→∞

yk = limk→∞

Akx ≡ Ax , ∀x ∈ X .

44

L’operatore A cosı definito e lineare e limitato. La linearita e banale da verificare. Per dimostrare lacontinuta (limitatezza) poniamo x = x1 − x2 e y = Ax, dove x1, x2 sono punti “vicini”. Questo significache, fissato ε, per k > K abbastanza grande e per ‖x‖ < ε/‖Ak‖, possiamo porre ‖Ax − Akx‖ < ε e‖Akx‖ < ε. Abbiamo allora

‖y‖ = ‖Ax‖ = ‖(A−Ak +Ak)x‖ ≤ ‖Ax−Akx‖ + ‖Akx‖ < 2ε . k > K , ‖x‖ < ε

‖Ak‖.

Quindi A e continuo (limitato).

• Teorema – Sia Ak una successione di operatori lineari e limitati fra spazi di Banach e tale che

∞∑

k=0

‖Ak‖ <∞ . (8.8)

Allora si ha

∞∑

k=0

Ak = A , ‖A‖ ≤∞∑

k=0

‖Ak‖ . (8.9)

• Dimostrazione – Posto Bn =∑nk=0 Ak e fissato ε > 0 si ha, per n > m > Nε

‖Bn −Bm‖ = ‖n∑

k=m+1

Ak‖ ≤n∑

k=m+1

‖Ak‖ ≤ ε .

La successione Bn e fondamentale e per il teorema precedente converge ad un operatore lineare elimitato

A = limn→∞

Bn =

∞∑

k=0

Ak =⇒ ‖A‖ ≤∞∑

k=0

‖Ak‖ .

• Teorema di Banach – Un operatore lineare limitato che trasforma biunivocamente uno spazio diBanach X in uno spazio di Banach Y ha un inverso limitato.La dimostrazione e alquanto laboriosa e la tralasciamo.

• Teorema – Sia A : X → X un operatore limitato con ‖A‖ < 1. Allora l’operatore I − A e invertibilee limitato e si ha

(I −A)−1 =

∞∑

k=0

Ak , ‖(I −A)−1‖ ≤ 1

1 − ‖A‖ .

• Dimostrazione – Poiche la norma di A e minore di 1 si ha

limn→∞

‖An‖ = 0 =⇒ limn→∞

An = 0 ,∞∑

k=0

‖Ak‖ ≤∞∑

k=0

‖A‖k =1

1 − ‖A‖ (8.10)

e quindi (vedi (8.9)) esiste un operatore limitato dato da

B =

∞∑

k=0

Ak , B ∈ L(X,X) . (8.11)

Allora

(I −A)n∑

k=0

Ak =n∑

k=0

(

Ak −Ak+1)

= I −An+1 . (8.12)

Prendendo il limite per n→ ∞ e tenendo conto che An → 0 si ottiene il risultato cercato, ossia

(I −A)−1 =

∞∑

k=0

Ak , ‖(I −A)−1‖ ≤∞∑

k=0

‖A‖k =1

1 − ‖A‖ . (8.13)

45

• Definizione (aggiunto) – L’aggiunto di un operatore limitato A : X → Y e un operatore limitatoA† : Y ∗ → X∗ fra gli spazi duali. Qui diamo la definizione solo per operatori in spazi di Hilbert.

Sia A : H → H un operatore limitato in uno spazio di Hilbert H. Come conseguenza del teorema diRiesz, il duale di H, H∗, e isomorfo ad H stesso e quindi l’aggiunto di A sara di fatto un’applicazione diH in se stesso.

Fissato un arbitrario elemento g ∈ H si consideri il funzionale Fg[x] = (g,Ax). Questo e un funzionalelineare, limitato e quindi continuo. La linearita e una diretta conseguenza della linearita del prodottoscalare, mentre la limitatezza segue da

|Fg[x]| = |(g,Ax)| ≤ ‖g‖‖Ax‖ ≤ ‖g‖‖A‖‖x‖ =⇒ ‖Fg‖ ≤ ‖g‖‖A‖ .Ogni funzionale lineare in uno spazio di Hilbert si puo rappresentare sotto forma di prodotto scalare(teorema di Riesz). Questo significa che esiste un vettore h ∈ H tale che Fg[x] = (g,Ax) = (h, x). Postoallora h = Bg si ha

(g,Ax) = (h, f) ≡ (Bg, x) =⇒ (g,Ax) = (Bg, x) .

L’operatore B e detto aggiunto e si indica con A†. Poiche A e limitato, DA ≡ H e per come e definitol’aggiunto anche DA† ≡ H.

Se lo spazio ha dimensione finita (IRn o ICn), in una base qualunque l’operatore A e rappresentato dauna matrice quadrata Aij . In tal caso l’operatore aggiunto sara rappresentato dalla matrice coniugata-

trasposta, cioe A†ij = A∗

ji.

8.1.1 Proprieta dell’operatore aggiunto

• [A†]† = A.Infatti, ricordando le proprieta del prodotto scalare si ha

([A†]†g, f) = (g,A†f) = (A†f, g) = (f,Ag) = (Ag, f) .

• ‖A†‖ = ‖A‖.Dato un qualunque vettore f ∈ H si ha

‖A†f‖2 = |(A†f,A†f)| = |(f,AA†f)| ≤ ‖f‖‖A‖‖A†f‖ =⇒ ‖A†f‖ ≤ ‖A‖‖f‖ ,‖Af‖2 = |(Af,Af)| = |(A†Af, f)| ≤ ‖f‖‖A†‖‖Af‖ =⇒ ‖Af‖ ≤ ‖A†‖‖f‖ .

Dal confronto si ottiene il risultato cercato.

• (αA+ βB)† = αA† + βB†.Per arbitrari α, β ∈ IC si ha infatti

(g, (αA+ βB)f) = α(g,Af) + β(g,Bf) = α(A†g, f) + β(B†g, f) =(

(αA+ βB)†g, f)

.

• (AB)† = B†A†.Gli operatori A a B sono entrambi limitati e quindi il prodotto e limitato. Per ogni coppia di vettoriin H si ha

(g,ABf) = (A†g,Bf) = (B†A†, f) .

• [A−1]† = [A†]−1.Infatti, se l’operatore A e invertibile si ha

I = I† = [AA−1]† = [A−1]†A† =⇒ [A−1]† = [A†]−1.

• Definizione (normale) – Un operatore si dice normale se A†A = AA†.

• Definizione (autoaggiunto) – Un operatore che coincide con il suo aggiunto e detto autoaggiunto (ohermitiano). In tal caso

A = A† =⇒ (g,Af) = (Ag, f) , ∀g, f ∈ H . (8.14)

L’aggiunto di un operatore si puo definire anche per operatori non limitati per i quali il dominio noncoincide con tutto H. In tal caso l’operatore si dice autoaggiunto se vale la (8.14) e se inoltre DA† ≡ DA.Se i domini dei due operatori sono diversi allora l’operatore A si dice simmetrico.

46

8.1.2 Proprieta dell’operatore autoaggiunto

• (f,Af) ∈ IR.Infatti si ha banalmente

(f,Af) = (Af, f) = (f,Af) .

• Se esiste un autovalore λ per cui Af = λf , allora λ ∈ IR.Questa e una banale conseguenza della proprieta precedente, infatti

(f,Af) = (f, λf) = λ (f, f) = λ ‖f‖2 ∈ IR =⇒ λ ∈ IR .

• Se λ1, λ2 sono due autovalori distinti allora i corrispondenti autovettori f1, f2 sono ortogonali.Si ha infatti

λ1(f2, f1) = (f2, Af1) = (Af2, f1) = λ2(f2, f1) =⇒ (f2, f1) = 0 .

• Definizione (proiettore) – Un operatore P ∈ L(H) e detto operatore di proiezione se e idempotente,cioe P 2 = P e hermitiano, cioe P = P †.

Esempi

Sia ϕk una base ortonormale di H e Pk il proiettore sul sottospazio di H generato da ϕk, ossia

Pkϕk = ϕk , Piϕj = δij =⇒ PiPj = δijPj .

Dato un generico vettore ψ ∈ H si ha allora

ψ =

∞∑

j=1

cjϕj , Pkψ =

∞∑

j=1

cjPkϕj = ckϕk , P 2kψ = ckPkϕk = ckϕk = Pkψ .

• Definizione (positivo) – Sia A ∈ L(H) un operatore limitato in uno spazio di Hilbert. A e dettopositivo se per ogni x ∈ H si ha (x,Ax) ≥ 0. Si scrivera A ≥ 0 e piu in generale A ≥ B se A − B e unoperatore positivo.

♣ Per ogni B ∈ L(H), l’operatore A = B†B e positivo. Infatti, dalla definizone di operatore aggiuntosegue(x,Ax) = (Bx,Bx) = ‖Bx‖2 ≥ 0.

• Per ogni operatore positivo vale la disuguaglianza |(x,Ay)|2 ≤ (x,Ax)(y,Ay).Questa segue dalla disuguaglianza di Cauchy-Bunjakowskij-Schwartz ponendo A = B†B. Infatti

|(x,Ay)|2 = |(Bx,By)|2 ≤ ‖Bx‖2‖By2‖ = (Bx,Bx) (By,By) = (x,Ax)(y,Ay) .

• Ogni operatore positivo A ∈ L(H) con H complesso e autoaggiunto. Questa condizione e conse-guenza del fatto che in uno spazio di Hilbert complesso, la condizione (x,Ax) ∈ IR per ogni x implica(x,Ay) = (Ax, y) ∀x, y ∈ H. Infatti da (x,Ax) = (Ax, x) si ha

(x+ y,A(x+ y)) = (A(x+ y), x+ y) =⇒ (x,Ay) + (y,Ax) = (Ax, y) + (Ay, x) ,

(x+ iy, A(x+ iy)) = (A(x+ iy), x+ iy) =⇒ (x,Ay) − (y,Ax) = (Ax, y) − (Ay, x) .

Dal confronto si ricava il risultato richiesto. Si noti che e necessario che H sia complesso.

• Definizione (unitario) – Un operatore Ω ∈ L(H) e detto isometrico se (x,Ωy) = (x, y) per ognicoppia di vettori x, y ∈ H. Un operatore isometrico U per cui RU ≡ H e detto unitario.

• Teorema – Ogni operatore unitario U e invertibile e l’inverso U−1 coincide con l’aggiunto U†.

47

• Dimostrazione – Notiamo dapprima che U e invertibile poiche il suo nucleo e costituito dal solovettore nullo. Infatti se x ∈ Ker U , per le proprieta di U si ottiene

Ux = 0 , ‖Ux‖ = ‖x‖ = 0 =⇒ x = 0 .

Per ogni coppia di vettori x, y ∈ H si ha inoltre

(Ux,Uy) = (x, y) = (x,U†Uy) =⇒ U†U = I =⇒ U† = U−1 .

• Teorema – Gli autovalori di un operatore unitario sono numeri complessi λ di modulo uguale a 1e quindi si possono scrivere nella forma λ = eiα (α ∈ IR). Inoltre gli autovettori corrispondenti adautovalori distinti sono ortogonali.

• Dimostrazione – Sia Ux = λx con x 6= 0. Allora

‖Ux‖2 = ‖x‖2 = |λ|2‖x‖2 =⇒ |λ| = 1 .

Se λ1, λ2 sono due autovalori distinti con autovettori x1, x2 si ha

(Ux1, Ux2) = (x1, x2) = λ1λ2(x1, x2) =⇒ (x1, x2) = 0 .

♣ Ogni operatore unitario U si puo rappresentare nella forma

U = eiA , U† = U−1 = e−iA , A = A† .

8.2 Spettro

Sia data una trasformazione lineare in IRn o ICn rappresentata da una matrice quadrata A. Gli autovaloriλ della matrice si ottengono risolvendo l’equazione algebrica (equazione secolare)

det(λI −A) = 0 .

Questa e un’equazione di grado n che ha al piu n radici distinte λ1, λ2, ..., λn, che costituiscono lo spettrodi A. Il numero di autovalori indipendenti e ovviamente uguale al rango della matrice r ≤ n. Se λ nonappartiene allo spettro, allora l’operatore λI −A e invertibile.

In uno spazio con infinite dimensioni lo spettro di un operatore e assai piu ricco e complicato.

• Definizione (risolvente) – Si consideri un operatore limitato in X. Si dice che λ e un punto regolare oche appartiene all’insieme risolvente ρ(A) se l’operatore λI−A e bi-iettivo in tutto X. Quindi e invertibilee limitato per il teorema di Banach. In tal caso l’inverso

Rλ(A) = (λI −A)−1 (8.15)

si chiama risolvente di A in λ. Dall’equazione (8.13) si ricavano le rappresentazioni

Rλ(A) =

∞∑

k=0

λ−k−1Ak , ‖Rλ(A)‖ ≤∞∑

k=0

|λ|−k−1 ‖A‖k , ‖A‖ < |λ| ,

Rλ(A) =

∞∑

k=0

λk A−k−1 , ‖Rλ(A)‖ ≤∞∑

k=0

|λ|k ‖A‖−k−1 , ‖A‖ > |λ| .

Nella seconda espressione per il risolvente si deve assumere che A sia invertibile.

♣ Dalla prima espressione, detta serie di Neumann, si deduce che tutti i λ che soddisfano ladisuguaglianza λ > ‖A‖ sono punti regolari.

Se λ 6∈ ρ(A) allora appartiene allo spettro di A. Contrariamente a quanto si ha negli spazi finito-dimensionali dove lo spettro e sempre dato da un numero finito di autovalori, nel caso infinito-dimensionalesi possono incontrare due casi distinti:

• spettro puntuale: e costituito dai numeri complessi λ per cui Ax = λx, con X ∋ x 6= 0. In tal casoλ e x sono detti rispettivamente autovalore e autovettore di A.

48

• spettro continuo o residuo: e costituito da tutti i λ per i quali l’operatore (λI −A)−1 esiste ma none definito per tutti gli x ∈ X, ossia λI −A non e bi-iettivo.

♣ Se λ e un punto regolare, allora anche λ+ε, per ε sufficientemente piccolo, e un punto regolare. Questosignifica che ρ(λ) e un insieme aperto e di conseguenza lo spettro, che e l’insieme complementare diρ(λ), e un insieme chiuso.

8.3 Operatori Compatti

Questi hanno proprieta molto simili agli operatori limitati in spazi a dimensione finita e il loro studioe relativamente semplice rispetto allo studio degli operatori limitati. Si incontrano inoltre in molteapplicazioni fisiche.

• Definizione (spazio compatto) – Sia X uno spazio di Banach e G ⊂ X un sottospazio. G sidice relativamente compatto o precompatto se da ogni successione xk in G e possibile estrarre unasottosuccessione convergente ad un punto x ∈ X. Se x ∈ G allora G si dice compatto.Evidentemente se G e relativamente compatto allora la sua chiusura G e compatta.

♣ Un operatore continuo B trasforma insiemi relativamente compatti in insiemi relativamente compatti.Infatti, se da xk si puo estrarre una sottosuccessione convergente xkj

, allora anche Bxkj e una

successione convergente. Infatti, fissato ε > 0, per ki, kj > Nε si ha

‖Bxki−Bxkj

‖ ≤ ‖B‖‖xki− xkj

‖ < ε .

Quindi anche Bxkj e una sccessione fondamentale e poiche lo spazio X e completo questa converge

a un punto di X. L’immagine attraverso B di un insieme relativamente compatto e quindi ancora uninsieme relativamente compatto.

• In uno spazio di dimensione finita, uno spazio compatto e chiuso e limitato e viceversa, ma in unospazio a dimensione infinita il concetto di compattezza e piu generale, nel senso che esistono spazichiusi e limitati, ma non compatti.

Esempi

In ℓ2 si consideri la sfera unitaria G ≡ x : ‖x‖ ≤ 1 ⊂ ℓ2. Questo spazio e chiaramente chiuso elimitato, ma non compatto. Per verificare questo basta osservare che la successione ek costituita dallabase ortonormale appartiene a G, ma da essa non e possibile estrarre una sottosuccessione convergente.Infatti ek non contiene nessuna sottosuccessione fondamentale in quanto

‖ei − ej‖2 = (ei − ej , ei − ej) = 2 .

• Definizione (operatore compatto) – Un operatore A : X → X si dice compatto o completamentecontinuo se trasforma insiemi limitati in insiemi relativamente compatti o equivalentemente se dallatrasformata di ogni successione limitata e possibile estrarre una sottosuccessione convergente, cioe, se‖xk‖ < C, allora Axkj

converge.Il concetto di compattezza per gli operatori e piu “restrittivo” di quello di limitatezza o continuita

nel senso che lo spazio degli operatori compatti e contenuto in quello degli operatori limitati. Infattiesistono operatori limitati ma non compatti. Un esempio semplice e costituito dall’operatore identita,che e chiaramente limitato, ma non compatto in quanto trasforma la sfera unitaria in se stessa. Perquanto visto nell’esempio precedente, questa e chiusa e limitata ma non compatta.

Si vede facilmente che l’insieme degli operatori compatti forma una spazio lineare e quindi e unsottospazio chiuso di L(X,X).

• Teorema – Ogni operatore compatto e limitato.

• Dimostrazione – Sia per assurdo A compatto, ma non limitato. Allora esiste xn con ‖Axn‖ > n‖xn‖.Posto

yn =xn

‖xn‖, =⇒ ‖yn‖ = 1 , ‖Ayn‖ =

‖Axn‖‖xn‖

> n .

49

Dalla successione limitata yn non e possibile estrarre una sottosuccessione convergente in contrasto conl’ipotesi di compattezza.

• Teorema – Sia Ak → A una successione convergente di operatori compatti in uno spazio di BanachX; allora il limite e anch’esso un operatore compatto.

• Dimostrazione – Sia xn una successione limitata in X. Poiche A1 e compatto da A1xn epossibile estrarre una sottosuccessione convergente A1xn1

. Per la stessa ragione, da A2xn1 e possibile

estrarre una sottosuccessione convergente A2xn2. Procedendo in questo modo ricorsivo si ha che la

sottosuccessione Akxnj e convergente se k ≤ j. Allora, fissato ε > 0, per k ≤ i ≤ j abbastanza grandi

si ha

‖Axni−Axnj

‖ = ‖(A−Ak)xni+Akxni

−Akxnj) − (A−Ak)xnj

‖≤ ‖(A−Ak)xni

‖ + ‖(A−Ak)xnj‖ + ‖Akxni

−Akxnj)‖ < ε .

Questo deriva dal fatto che Ak converge in norma ad A e Akxni e fondamentale perche convergente.

In questo modo abbiamo verificato che Axnj e una sottosuccessione fondamentale e quindi convergente

poiche X e completo.

• Teorema – Sia A : X → X compatto e B : X → X limitato. Allora BA e AB sono entrambi operatoricompatti.

• Dimostrazione – Sia G ⊂ X limitato e G1 ≡ A(G) l’immagine, relativamente compatta, di Gattraverso A. Poiche B e continuo, G2 ≡ B(G1) e anch’esso relativamente compatto. QuindiG2 ≡ BA(G)e un insieme relativamente compatto e quindi l’operatore BA e compatto.In modo analogo si ha che B(G) e un insieme limitato poiche B e limitato e quindi AB(G) e relativamentecompatto.

Corollario. – L’inverso A−1 di un operatore compatto A non puo essere limitato. Per il teoremaappena dimostrato, se A−1 fosse limitato, allora AA−1 = I sarebbe compatto, ma per quanto dettosopra, l’identita non e un operatore compatto.

• Teorema – L’aggiunto di un operatore compatto e anch’esso compatto.La dimostrazione e alquanto laboriosa e qui la tralasciamo.

• Definizione (convergenze in uno spazio di Hilbert) – Per una successione xk in uno spazio diHilbert si hanno due tipi di convergenza:

• Convergenza forte: si dice che xk converge fortemente a x se ‖xk − x‖ → 0.

• Convergenza debole: si dice che xk converge debolmente a x se |(y, xk − x)| → 0 per ogni y in H.

Per una successione di operatori limitati Ak in uno spazio di Hilbert si possono avere tre tipi diconvergenza:

• Convergenza in norma: si dice che Ak converge in norma (o uniformemente) a A se ‖A−Ak‖ → 0.

• Convergenza forte: si dice che Ak converge fortemente a A se ‖(A−Ak)x‖ → 0 per ogni x ∈ H.

• Convergenza debole: si dice che Ak converge debolmente a A se |(x, (Ak −A)y)| → 0 per tutti glix, y ∈ H.

E’ immediato verificare che la convergenza uniforme implica quella forte che a sua volta implica quelladebole.

Criterio di compattezza. – In uno spazio di Hilbert un operatore compatto trasforma una successionedebolmente convergente in una fortemente convergente, Quindi se xk e una successione debolmenteconvergente a x e A e un operatore compatto, allora

|(y, xk − x)| → 0 , ∀y ∈ H =⇒ ‖Axk −Ax‖ → 0 .

Questa proprieta puo essere usata anche come definizione di operatore compatto.Lemma. Sia A ∈ L(H) un operatore autoaggiunto e compatto e xn una successione debolmente

convergente a x; allora si ha

(xn, Axn) → (x,Ax) .

50

• Dimostrazione – La successione Axn e fortemente convergente poiche A e compatto e ‖xn‖ < Cpoiche la successione e convergente. Allora si ha

|(xn, Axn) − (x,Ax)| = |(xn − x+ x,Axn) − (x,Ax)| = |x,A(xn − x)) + (xn − x,Axn)|≤ |x, (A(xn − x))| + |(xn − x,Axn)|≤ ‖Axn −Ax‖‖x‖ + ‖Axn −Ax‖‖xn‖ → 0 .

Lemma. Sia A ∈ L(H) un operatore autoaggiunto e compatto; allora si ha

‖A‖ = sup‖x‖=1

‖Ax‖ = sup‖x‖=1

|(x,Ax)| .

• Dimostrazione – Posto C = sup‖x‖=1 |(x,Ax)|, dalla disuguaglianza di Cauchy-Bunjakowskij-Schwartzsi ricava

|(x,Ax)| ≤ ‖Ax‖‖x‖ ≤ ‖A‖ ‖x‖2 =⇒ C ≤ ‖A‖ .

Per ricavare la disuguaglianza opposta scegliamo due arbitrari vettori x, y ∈ H e poniamoz± = (x± y)/

√2. Allora

|(x,Ay) + (y,Ax)| = |(z+, Az+) − (z−, Az−)|

≤∣

∣

∣

∣

(

z+‖z+‖

,Az+‖z+‖

)

‖z+‖2

∣

∣

∣

∣

+

∣

∣

∣

∣

(

z−‖z−‖

,Az−‖z−‖

)

‖z−‖2

∣

∣

∣

∣

≤ C(‖z+‖2 + ‖z−‖2) = C(‖x‖2 + ‖y‖2) .

Posto ora y = (‖x‖/‖Ax‖)Ax si ottiene

|(x,Ay) + (y,Ax)| = 2‖Ax‖‖x‖ ≤ 2C‖x‖2 =⇒ ‖A‖ ≤ C .

• Teorema (di esistenza) – Sia A ∈ L(H) un operatore autoaggiunto e compatto; allora esistonoIR ∋ λ 6= 0 e ϕ ∈ H con

Aϕ = λϕ , ‖A‖ = |λ| .

• Dimostrazione – Poniamo |λ| = ‖A‖ e mostriamo che λ ∈ IR e un autovalore di A e costruiamo ilcorrispondente autovettore. Per i due lemma precedenti, esiste una successione xn con ‖xn‖ = 1 per cui

limn→∞

|(xn, Axn)| = ‖A‖ = |λ| .

Poiche A e compatto, da Axn si puo estrarre una successione Axnk convergente a y ∈ H e che

ovviamente soddisfa la disuguaglianza

‖Axnk‖ ≤ |λ| =⇒ ‖y‖ ≤ |la| .

Vale anche la disuguaglianza inversa, infatti

0 ≤ ‖Axnk− λxnk

‖2 = ‖Axnk‖2 + λ2‖xnk

‖2 − 2λ(xnk, Axnk

) .

Prendendo il limite si ottiene

limnk→∞

‖Axnk− λxnk

‖2 = ‖y‖2 − λ2 ≥ 0 =⇒ ‖y‖ ≥ |λ| .

Confrontando i due risultati si ricava ‖y‖ = |λ| e di conseguenza (A− λ)xnk→ 0. Ora osserviamo che

‖λxnk− y‖ = ‖λxnk

−Axnk+Axnk

− y‖≤ ‖λxnk

−Axnk‖ + ‖Axnk

− y‖ → 0 =⇒ xnk→ y

λ≡ ϕ .

Quindi anche xnk e una successione convergente. Finalmente si ha

‖Aϕ− λϕ‖ = ‖Aϕ−Axnk+Axnk

− λϕ‖ ≤ ‖A(ϕ− xnk)‖ + ‖Axnk

− y‖≤ ‖A‖‖ϕ− xnk

)‖ + ‖Axnk− y‖ → 0 =⇒ Aϕ = λϕ .

51

• Teorema di Hilbert-Schmidt (convoluzione spettrale) – Per ogni operatore lineare, autoaggiuntoe compatto in uno spazio di Hilbert esiste un sistema ortonormale ϕk di autovettori corrispondenti agliautovalori λk e ogni elemento ψ ∈ H si scrive univocamente nella forma

ψ =∑

k

ckϕk + ψ0 , Aψ0 = 0 , (8.16)

Aψ =∑

k

ckλk ϕk =∑

k

λk Pkψ , ck = (ϕk, ψ) , Pkψ = (ϕk, ψ)ϕk .

Pk sono proiettori e ψ0 ∈ Ker A. Se il sistema e infinito, allora limk→∞ λk = 0 e ogni autovalore hamolteplicita finita.

• Dimostrazione – La dimostrazione si fa in maniera costruttiva. Posto A1 ≡ A e H1 ≡ H, per ilteorema precedente esistono un autovalore λ1 e un autovettore ϕ1 con

|λ1| = ‖A1‖ = supx1∈H1;‖x1‖=1

‖Ax1‖ .

Il vettore ϕ1 genera un sottospazio di H1 e H2 sara il sottospazio ortogonale, vale a dire

H = ϕ1 ⊕H2 , (ϕ1, x2) = 0 , ∀x2 ∈ H2 .

Ora osserviamo che l’operatore A ristretto ad H2 e invariante, vale a dire che A : H2 → H2, infatti,∀x2 ∈ H2 si ha

(Ax2, ϕ1) = (x2, Aϕ1) = λ1(x2, ϕ1) = 0 =⇒ Ax2 ∈ H2 .

Indichiamo con A2 la restrizione di A al sottospazio invariante H2. A2 e ancora un operatore limitato,autoaggiunto e compatto in quanto e la restrizione ad un sottospazio invariante di un operatore limitato,autoaggiunto e compatto. Se A2 non e nullo, per il teorema di esistenza ci sono allora λ2, ϕ2 tali che

|λ2| = ‖A2‖ = supx2∈H2;‖x2‖=1

‖Ax2‖ ≤ supx1∈H1;‖x1‖=1

‖Ax1‖ = ‖A1‖ = |λ1| .

Ora introduciamo il sottospazio H3 ⊂ H ortogonale allo spazio generato da ϕ1, ϕ2, ossia

H = ϕ1 ⊕ ϕ2 ⊕H3 , (αϕ1 + βϕ2, x3) = 0 , ∀x3 ∈ H3 .

H3 e un sottospazio invariante e quindi la restrizione A3 di A ad H3 e un operatore limitato, autoaggiuntoe compatto. Se non e nullo si puo procedere come sopra. In tal modo si costruiscono tutti gli autovalorie gli autovettori ortonormali dell’operatore A e si ottiene

Anϕn = λnϕn , |λ1| ≥ |λ2| ≥ |λ3| ≥ ...

Se l’operatore ha rango finito n, il processo si arresta dopo n passi (An+1 = 0), altrimenti si ottiene unasuccessione infinita di autovalori (serie spettrale).

Per vedere che λn → 0 si procede per assurdo. Sia infatti limn→∞ λn = a 6= 0. Allora la successione1/λn e limitata e quindi lo e anche la successione di vettori

gn =ϕnλn

, ‖gn‖ ≤ C .

Poiche A e compatto, dalla successione Agn = ϕn dovrebbe essere possibile estrarre una successioneconvergente, ma questo e chiaramente assurdo, perche ‖ϕn‖ = 1. Quindi λn → 0. Questo indirettamentedimostra anche che la molteplicita e finita, vale a dire che il numero di vettori distinti corrispondenti allostesso autovalore e finito. Se cosı non fosse, ci sarebbe almeno un autovalore λk ripetuto infinite volte equindi la successione degli autovalori non potrebbe convergere a zero.

Per completare la dimostrazione prendiamo un qualunque vettore ψ ∈ H e definiamo

xn ≡ ψ −n−1∑

k=1

ckϕk , ck = (ϕk, ψ) , xn ∈ Hn .

52

Per verificare l’ultima affermazione, basta moltiplicare scalarmente per un qualunque vettore ϕj conj < n. Si ha inoltre

‖xn‖2 = ‖ψ −n−1∑

k=1

ck ϕk ‖2 = ‖ψ‖2 −n−1∑

k=1

|ck|2 ≤ ‖ψ‖2 =⇒ ‖xn‖ ≤ ‖ψ‖ .

Infine

‖Aψ −n−1∑

k=1

ck λk ϕk ‖ = ‖Axn‖ = ‖Anxn‖ ≤ |λn| ‖xn‖ ≤ |λn| ‖ψ‖ → 0 ,

da cui segue

Aψ =∑

k

ckλk ϕk , ψ =∑

k

ckϕk + ψ0 . (8.17)

Corollario. – Un operatore lineare, autoaggiunto, compatto e invertibile ha un sistema di autovettoricompleto. Infatti se l’operatore e invertibile KerA ≡ 0 e quindi ogni ψ si puo sviluppare in autofunzionidi A (ψ0 = 0). L’invertibilita e una condizione necessaria. Infatti sia ϕk (k ≥ 1) una base per H e siconsideri l’operatore

A2 =

∞∑

k=2

λk Pk ,

∞∑

k=2

|λk|2 <∞ .

Questo e lineare, autoaggiunto e compatto. I suoi autovalori e i suoi autovettori sono λk, ϕk (k ≥ 2), iquali formano un insieme completo in H2 ma non in H. L’operatore A2 e infatti invertibile in H2 mannon e invertibile in H in quanto ϕ1 ∈ Ker A2 e quindi A2, visto come operatore in H, ha un autovalorenullo.

53

9 Equazioni Integrali

Sono equazioni in cui la funzione che si deve determinare compare anche sotto il segno di integrale. Lostudio sistematico e approfondito fu fatto a cavallo dei secoli XIX e XX principalmente ad opera diVolterra, Fredholm e Hilbert.Tutte le trasformate integrali possono essere viste come equazioni integrali. Ad esempio, la trasformatadi Fourier

φ(ξ) = g(ξ) =

∫ ∞

−∞dx e−ixξ φ(x) ,

diventa un’equazione integrale se si suppone nota la funzione g(ξ) e incognita la funzione φ(x) chee integrata. Come e ben noto, la soluzione di questa equazione integrale si determina mediante latrasformata inversa

φ(x) =1

2π

∫ ∞

∞dξ eixξ g(ξ) .

Questo rappresenta un esempio di equazione integrale di Fredholm di Ia specie.Qui si studieranno due classi di equazioni integrali lineari, ossia

• Equazioni di Fredholm di Ia specie: g(x) =∫ b

adtK(x, t)φ(t).

• Equazioni di Fredholm di IIa specie: φ(x) = g(x) +∫ b

adtK(x, t)φ(t).

• Equazioni di Volterra di Ia specie: g(x) =∫ x

adtK(x, t)φ(t).

• Equazioni di Volterra di IIa specie: φ(x) = g(x) +∫ x

adtK(x, t)φ(t).

La funzione K(x, t) e detta nucleo integrale. Questo determina tutte le caratteristiche della soluzione.

♣ Le equazioni integrali di Volterra si possono vedere come casi particolari di quelle di Fredholm incui K(x, t) = 0 per x ≥ t ≥ b. Tuttavia e bene studiarle separatamente in quanto presentanocaratteristiche assai diverse.

9.1 Applicazioni

Riportiamo alcuni storici problemi la cui formulazione conduce in modo naturale ad equazioni integrali.

9.1.1 Problema di Cauchy

Un’equazione differenziale φ′(t) = F (t, φ(t)) con la condizione iniziale φ(0) = φ0 si puo trasformare inun’equazione integrale. Se F (t, φ(t)) e lineare in φ, allora si ottiene un’equazione di Volterra di IIa specie.Integrando l’equazione sull’intervallo [0, x] si ha infatti

φ(x) = φ0 +

∫ x

0

dt F (t, φ(t)) ⇐⇒

φ′(t) = F (t, φ(t)) ,φ(0) = φ0 .

Piu in generale, un’equazione differenziale lineare della forma

F (t) = α0(t)φ(t) + α1(t)φ′(t) + φ′′(t) , φ(0) = φ0 , φ′(0) = φ1 ,

e equivalente all’equazione integrale di Volterra

ψ(x) = g(x) +

∫ x

0

dtK(x, t)ψ(t) ,

dove

ψ(x) = φ′′(x) , K(x, t) = −α1 − α0(x− t) , g(x) = F (x) − α0φ0 − (α1 + α0x)φ1 ,

54

β

z =0

z(y)

y

α

f

iz =x

β

0 l

y

x

y(x)

0

F

δ

ξ

y(x)

lα

Figura 1: problema di Abel (a sinistra) – problema della corda (a destra)

Questo deriva dal fatto che

∫ x

0

dt1

∫ t1

0

dt2 ...

∫ tn−1

0

dtn f(tn) =1

(n− 1)!

∫ x

0

dt (x− t)n−1f(t) ,

e quindi

φ′(x) = φ1 +

∫ x

0

dtψ(t) , φ(x) = φ0 + φ1x+

∫ x

0

dt (x− t)ψ(t) .

E’ interessante notare che se i coefficienti sono costanti, cioe αk(t) = ck, allora il nucleo dipende solo dalladifferenza degli argomenti. In questo caso l’integrale puo essere visto come il prodotto di convoluzionefra K(x) e ψ(x).

Trovata la funzione φ(x), la soluzione del problema si trova integrando due volte ψ(x) rispetto a x,vale a dire

φ(x) = φ(0) + φ1x+

∫ x

0

dt (x− t)ψ(t) .

Questa tecnica si puo estendere senza difficolta ad equazioni differenziali di ordine qualunque.Se la funzione differenziale originale ha coefficienti costanti, integrando direttamente si ricava l’equa-

zione integrale per φ(x) nella forma

φ(x) = g(x) +

∫ x

0

dtK(x− t)φ(t) ,

K(x, t) = −α1 − α0(x− t) , g(x) = φ0 + (φ1 + α1φ0)x+

∫ x

0

dt (x− t)F (t) .

Questo significa che le equazioni integrali di Volterra di II specie con nucleo della forma K(x, t) =Pn(x− t), dove Pn e un polinomio di grado n, sono equivalenti ad equazioni integrali di ordine n+1, conle condizioni iniziali φ(k)(0) = g(k)(0) per k = 0, 1, ..., n.

9.1.2 Problema di Abel (1823)

E’ uno dei primi problemi in cui si incontrano equazioni integrali. Questo consiste nel determinare laforma della guida, contenuta in un piano verticale, lungo la quale una particella cade in un tempo fissato(vedi figura 9.1.2). Si orienti l’asse z lungo la verticale e sia (y, z) il piano contenente la guida, la cuiforma e determinata da un’equazione z = z(y) che si deve determinare. Sia z = x la quota iniziale dellaparticella, inizialmente ferma e z = 0 la quota di arrivo al tempo t. In un istante generico la particella sitrovera in un punto P sulla guida ad una quota 0 < z < x e la tangente alla guida passante per P formeradue angoli α = π − β ≤ β con l’asse orizzontale y. Trascurando gli attriti, il modulo della velocita nelpunto P e v(z) =

√

2g(x− z) e la componente verticale (negativa)

vz(z) =dz(t)

dt= −v(z) sinα = −v(z) sinβ =⇒

√

2g dt = − φ(z)√x− z

dz , φ(z) =1

sinβ.

55

L’angolo β = β(z) determina indirettamente la forma della guida, ossia l’equazione z = z(y). Integrantol’ultima equazione fra 0 e t e quindi in z fra z(0) = x e z(t) = 0 si ha

g(x) ≡√

2g t =

∫ x

0

φ(z) dz√x− z

.

dove per maggior generalita, al posto della costante√

2g t si puo mettere un’arbitraria funzione di x.L’equazione di Abel e dunque un’equazione di Volterra di Ia specie.

9.1.3 Problema della corda

Consiste nel determinare la densita di una corda di lunghezza l vincolata nei due punti estremi(x, y) = (0, 0) e (x, y) = (l, 0), nota la sua forma y = y(x). Si suppone che la deformazione dovuta al pesosia piccola in modo che la forma si discosti di poco dalla retta orizzontale y = 0. Conviene orientare l’assey verso il basso. In tal modo lo spostamento y(x) dovuto al peso e positivo e ovviamente y(0) = y(l) = 0.

Prima di affrontare il problema posto, si consideri un filo di massa trascurabile, vincolato agli estremicome la corda sopra e soggetto ad un forza F diretta verso il basso e applicata nel punto P ≡ (ξ, δ),dove y(ξ) = δ e lo spostamento verticale (piccolo) dovuto all’applicazione della forza. La tensionedel filo T ∼ T0 si assume costante, che e un’ipotesi ragionevole se l’estensione e trascurabile (piccoledeformazioni). Per l’equilibrio delle forze di avra

F = T (sinα+ sinβ) ∼ T0

(

δ

ξ+

δ

l − ξ

)

=⇒ δ =ξ(l − ξ)F

lT0, (9.1)

dove α, β sono gli angoli che il filo forma con la retta orizzontale (in x = 0 e x = l rispettivamen-te). Lo spostamento y(x) in un generico punto si ricava dalla similitudine dei triangoli rattangoli ed eproporzionale a F . Lo si puo scrivere nella forma

y(x) = G(x, ξ)F , G(x, ξ) =

xδFξ = x(l−ξ)

lT0, 0 ≤ x ≤ ξ ,

(l−x)δF (l−ξ) = ξ(l−x)

lT0, ξ ≤ x ≤ l .

Torniamo ora al problema originale della corda pesante con densita di massa ρ(x). Se l’unica forzapresente e la forza peso, nel punto x = ξ sara applicata una forza infinitesima dF (ξ) = gρ(ξ) dξ dovutaall’elemento infinitesimo di corda di lunghezza dξ (g e l’accelerazione di gravita). Questa forza produceuna deformazione infinitesima

dy(x) = G(x, ξ) dF (ξ) = gG(x, ξ) ρ(ξ) dξ ,

nel generico punto x. La deformazione totale della corda nel punto x sara la somma dei contributi dovutia tutti gli elementi infinitesimi di corda, ossia

y(x) = g

∫ l

0

G(x, ξ) ρ(ξ) dξ .

Si vede quindi che, data la forma della corda y = y(x), la densita di massa ρ(x) e determinata daun’equazione integrale di Fredholm di Ia specie.

9.2 Equazioni di Fredholm

Con opportune ipotesi sul nucleo e sul termine noto, lo studio di queste equazioni diventa equivalenteallo studio delle proprieta di un operatore in uno spazio di Hilbert.

Definiamo l’operatore di Fredholm A mediante

(Aφ)(x) = ψ(x) =

∫ b

a

dtK(x, t)φ(t) . (9.2)

Con questa definizione l’equazione di Fredholm di IIa specie assume la forma Aφ+g = φ. In particolare,per le equazioni omogenee (g = 0), la soluzione φ e autofunzione dell’operatore A. Ovviamente affinchetutto questo abbia matematicamente senso, si deve specificare in modo preciso lo spazio in cui si lavora.

56

9.2.1 Nuclei di Hilbert-Schmidt

Costituiscono una classe importante di nuclei integrali a cui corrispondono operatori compatti, detti diHilbert-Schmid. Per semplicita consideriamo l’intervallo reale I = [a, b] con misura di Lebesgue dx e ilquadrato Q = I × I con misura di Lebesgue dµ = dx dt, ma in tutta la trattazione che segue I puo esseresostituito da uno spazio qualsiasi munito di misura, come ad esempio l’intera retta reale.

• Definizione – Il nucleo K(x, t) si dice nucleo di Hilbert-Schmidt se e a quadrato sommabile in Q, valea dire

∫

Q

dx dt |K(x, t)|2 <∞ .

• Teorema – Ad ogni nucleo di Hilbert-Schmidt K(x, t) corrisponde un operatore lineare compattoA : L2(I) → L2(I) definito dalla (9.2) e la sua norma soddisfa la disuguaglianza

‖A‖ ≤[∫

Q

dx dt |K(x, t)|2]1/2

= ‖K(x, t)‖L2(Q) .

• Dimostrazione – Dimostriamo dapprima che effettivamente A e un operatore in L2(I). A tale scopoosserviamo che, come conseguenza del teorema di Fubini, dalla (9.3) segue

∫ b

a

dt |K(x, t)|2 <∞ ,

∫ b

a

dx |K(x, t)|2 <∞ .

Le ultime due disuguaglianze sono vere a meno di insiemi di misura nulla, vale a dire per quasi tutti glix e per quasi tutti i t rispettivamente. Quindi la funzione K(x, t), pensata come funzione di una solavariabile (l’altra e un parametro), appartiene a L2(I). Data un’arbitraria funzione φ(t) ∈ L2(I) si haallora

|ψ(x)|2 =

∣

∣

∣

∣

∣

∫ b

a

dtK(x, t)φ(t)

∣

∣

∣

∣

∣

2

=∣

∣

(

φ(t),K(x, t))∣

∣

2 ≤ ‖φ‖2

∫ b

a

dt |K(x, t)|2 .

Integrando ora rispetto a x si ottiene

‖ψ‖2 ≡∫ b

a

dx |ψ(x)|2 ≤ ‖φ‖2

∫

Q

dt dx |K(x, t)|2 <∞ .

In questo modo abbiamo dimostrato che ψ ∈ L2(I). Inoltre si ha

‖ψ‖ = ‖Aφ‖ ≤ ‖φ‖ ‖K(x, t)‖L2(Q) =⇒ ‖A‖ ≤ ‖‖K(x, t)‖L2(Q)

Quindi A e un operatore limitato in L2(I).Per dimostrare che e anche compatto facciamo vedere che e il limite di una successione AN di

operatori compatti. Sia ϕn una base in L2(I). Allora tutti i possibili prodotti ϕi(I)ϕj(I) formano unabase per L2(Q) e quindi qualunque funzione in L2(Q) si puo sviluppare in serie di Fourier. In particolaresi ha

K(x, t) =

∞∑

ij=1

aij ϕi(x)ϕj(t) , KN (x, t) =

N∑

ij=1

aij ϕi(x)ϕj(t) .

La successione di funzioni converge in norma a K(x, t), cioe

limN→∞

‖K(x, t) −KN (x, t)‖L2(Q) = 0 .

Al nucleo KN (x, t) corrisponde un operatore AN definito dalla (9.2). Per quanto visto sopra si ha

‖A−AN‖ ≤ ‖K(x, t) −KN (x, t)‖L2(Q) → 0 .

Quindi la successione di operatori AN e uniformemente convergente all’operatore A. Se gli AN sonooperatori compatti, allora anche A e compatto. Gli operatori AN sono banalmente compatti perche di

57

rango finito, vale a dire che il loro co-dominio e uno spazio di dimensione finita. Questo si vede facilmentein quanto

ANφ(x) =

N∑

ij=1

aij ϕi(x)

∫ b

a

dt ϕj(t)φ(t) =

N∑

i

ciϕi(x) ,

dove si e posto

ci =

N∑

j=1

aij

∫ b

a

dt ϕj(t)φ(t) .

Si vede dunque che per ogni φ ∈ L2(I), ANφ appartiene al sottospazio di dimensione N generato daivettori ϕ1, ϕ2, ..., ϕN . AN e quindi compatto.

♣ Dalla dimostrazione segue direttamente che ogni operatore di Hilbert-Schmidt e il limite uniforme diuna successione di operatori integrali a rango finito.

• La corrispondenza fra operatori e nuclei di Hilbert-Schmidt e biunivoca, nel senso che, se A1φ = A2φper ogni φ ∈ L2(I), allora i nuclei corrispondenti coincidono quasi ovunque in L2(Q). Infatti se

∫ b

a

dt [K1(x, t) −K2(x, t)]φ(t) = 0 , ∀φ(t) ∈ L2(I) ,

allora si ha anche∫ b

a

dt |K1(x, t) −K2(x, t)|2 = 0 ,

questo perche K1(x, t)−K2(x, t) = f(t) ∈ L2(I). Integrando l’ultima equazione rispetto a x si ottieneil risultato.

• Teorema – SeA e l’operatore corrispondente al nucleo di Hilbert-SchmidtK(x, t), alloraA† corrispondeal nucleo coniugato K(t, x) (si noti lo scambio delle variabili), vale a dire

(A†φ)(x) =

∫ b

a

dt K(t, x)φ(t) .

• Dimostrazione – Per ogni coppia di funzioni f, g ∈ L2(I), usando il teorema di Fubini si ha

(f,Ag) =

∫ b

a

dx f(x)

[

∫ b

a

dtK(x, t) g(t)

]

=

∫ b

a

dt g(t)

[

∫ b

a

dxK(x, t) f(x)

]

=

∫ b

a

dt g(t)

[

∫ b

a

dx K(x, t) f(x)

]

=

∫ b

a

dx g(x)

[

∫ b

a

dt K(t, x) f(t)

]

= (A†f, g) .

♣ In uno spazio finito dimensionale un operatore e rappresentato da una matrice A ≡ Aij e l’operatoreaggiunto dalla matrice coniugata-trasposta, cioe A† ≡ Aji. Come dimostrato sopra i nuclei integraligodono di una proprieta simile, dove pero gli indici discreti sono sostituiti da variabili continue. Inparticolare, se l’operatore e autoaggiunto, allora il nucleo corrispondente soddisfa l’equazioneK(x, t) =K(t, x), che in uno spazio reale, diventa una semplice condizione di simmetria rispetto allo scambiodelle variabili.

9.3 Soluzione delle equazioni integrali di IIa specie

Per le equazioni integrali di IIa specie esistono dei teoremi che stabiliscono sotto quali condizioni esiste lasoluzione e permettono inoltre di studiarne le proprieta. Al contrario, per le equazioni di Ia non esistonoteoremi di carattere cosı generale e ognuna di esse richiede dunque uno studio particolareggiato.

58

9.3.1 Equazioni a nucleo simmetrico

Sono equazioni di Fredholm di IIa specie definite da un nucleo integrale di Hilbert-Schmidt soddisfacentela condizione di simmetria K(x, t) = K(t, x). Per i teoremi dimostrati sopra, queste equazioni sonoequivalenti ad equazioni della forma

φ = g +Aφ , (9.3)

dove A e un operatore compatto e autoaggiunto in uno spazio di Hilbert astratto.Sotto queste condizioni, per l’operatore A vale il teorema di Hilbert-Schmidt. Questo ci assicura che

in H esiste un insieme di autovettori ϕn con autovalori λn di molteplicita finita e ogni vettore ψ ∈ H sipuo scrivere nella forma

ψ =∑

k

ck ϕk + ψ0 , Aψ0 = 0 , ck = (ϕk, ψ) .

In particolare si possono sviluppare in questo modo la soluzione φ e il termine noto g. Poniamo quindi

φ =∑

k

ak ϕk + φ0 , Aφ0 = 0 ,

g =∑

k

bk ϕk + g0 , Ag0 = 0 , bk = (g, ϕk) .

Sostituendo questi sviluppi nell’equazione (9.3) e tenendo conto del fatto che Aϕk = λkϕk si ottiene∑

k

[bk − (1 − λk)ak]ϕk + g0 − φ0 = 0 .

Tenendo conto dell’indipendenza dei vettori ϕk si ricava

bk − (1 − λk)ak = 0 , g0 − φ0 = 0 .

Si vede dunque che condizione necessaria e sufficiente per l’esistenza della soluzione e che bk = 0 seλk = 1. In tal caso la soluzione e data da

φ0 = g0 , an =bn

1 − λn.

Queste equazioni determinano tutti i coefficienti di Fourier an della soluzione, tranne i termini corri-spondenti all’autovalore λn = 1. Esistono quindi m coefficienti arbitrari corrispondenti alle autofunzioniϕn1

, ϕn2, ..., ϕnm

con autovalore λn = 1 (m e la molteplicita di tale autovalore).Questi risultati sono di fatto il contenuto del teorema dell’alternativa di Fredholm nel caso simmetrico esono formulati normalmente nel seguente modo:

• Teorema di Fredholm (alternativa) –a) Se λ = 1 non e autovalore dell’operatore A, allora l’equazione di Fredholm di IIa specie ha una eduna sola soluzione per qualunque scelta di g.b) Se λ = 1 e autovalore dell’operatore A, allora l’equazione di Fredholm di IIa specie ha soluzione se e solose il termine noto g e ortogonale al sottospazio generato dalle autofunzioni corrispondenti all’autovaloreλ = 1. In tal caso esistono infinite soluzioni (la soluzione dipende da un numero di parametri pari allamolteplicita di tale autovalore).

59

♣ A volte puo essere conveniente considerare l’equazione di Fredholm dipendente da un parametroµ ∈ IC, mediante la sostituzione K(x, t) → µK(x, t). In tal caso l’equazione operatoriale diventaφ = g + µAφ e il teorema dell’alternativa vale con la banale sostituzione λ = 1 → µλ = 1. Quindi sihanno i due casi seguenti (per semplicita di scrittura supponiamo KerA ≡ 0):a) µλk 6= 1 per qualunque k; allora esiste una sola soluzione data da

φ = (1 − µA)−1 g =∑

k

(ϕk, g)

1 − µλkϕk .

b) µλn = 1 e (g, ϕnj) = 0 ∀j = 1, ...,m, dove m e la molteplicita dell’autovalore λn; allora la soluzione

dipende da m coefficienti arbitrari cj e ha la forma

φ =∑

k 6=n1,...,nm

(ϕk, g)

1 − µλkϕk +

m∑

j=1

cj ϕnj.

• Esistono teoremi di Fredholm simili al precedente anche per equazioni con nuclei non simmetrici oarbitrari (non di Hilbert-Schmidt).

9.3.2 Equazioni a nucleo degenere

Consideriamo ancora equazioni di Fredholm di IIa specie

φ(x) = g(x) +

∫ b

a

dyK(x, y)φ(x) , ‖K(x, y)‖L2(Q) <∞ ,

definite da un nucleo di Hilbert-Schmidt, non necessariamente simmetrico, ma degenere. Questo significache puo essere scritto come prodotto di funzioni dipendenti da una sola variabile. Piu precisamente siassume

K(x, y) =

N∑

k=1

Pk(x)Qk(y) , Pk(x) ∈ L2[I] , Qk(x) ∈ L2[I] ,

dove Pk sono funzioni (vettori) linearmente indipendenti. Sotto queste ipotesi, l’operatore A associatoal nucleo e un operatore di rango N in quanto trasforma ogni funzione φ ∈ L2 in una funzione Aφ cheappartiene al sottospazio generato dai vettori Pk. Infatti si ha

Aφ(x) =

∫ b

a

dyK(x, y)φ(y) =

N∑

k=1

Pk(x)

∫ b

a

dy Qk(y)φ(y) =

N∑

k=1

qk Pk(x) ,

dove si e posto

qk =

∫ b

a

dy Qk(y)φ(y) .

Dopo questa osservazione, l’equazione di Fredholm si puo scrivere nella forma

φ(x) = g(x) +

N∑

k=1

qk Pk(x) .

Usando questo sviluppo di φ nell’equazione originale (9.4) e tenendo conto che Pk sono vettori linermenteindipendenti (non necessariamente ortogonali), si ricava un sistema di equazioni algebriche che permettedi ricavare i coefficienti qj dello sviluppo. Per vedere questo poniamo

aij =

∫ b

a

dxQi(x)Pj(x) , bk =

∫ b

a

dxQk(x)g(x) .

Usando queste notazioni e (9.4) in (9.4) si ottiene

N∑

j=1

qjPj =

N∑

j=1

Pj

[

bj +

N∑

k=1

ajkqk

]

.

60

Poiche i vettori Pj sono linearmente indipendenti si ottiene un sistema di N equazioni algebriche nelleincognite qj , cioe

qj = bj +N∑

k=1

ajkqk , j = 1, 2, ... N

Ricavate le incognite qj , la soluzione dell’equazione (9.4) e data dalla (9.4). La soluzione esiste ed e unicase la matrice δij − aij e invertibile.

9.3.3 Equazioni di Volterra

Si consideri un’equazione di Volterra della forma

φ(x) = g(x) +

∫ x

a

dtK(x, t)φ(t) , |K(x, t)| ≤ C .

Come detto sopra, questa equazione si puo vedere come un’equazione di Fredholm di IIa specie ponendo

KF (x, t) =

K(x, t) , a ≤ t ≤ x ,0 , x ≤ t ≤ b .

Per l’ipotesi fatta, KF (x, t) e sommabile ed anche a quadrato sommabile in Q e dunque e un nucleo diHilbert-Schmidt. Valgono allora tutte le considerazioni fatte precedentemente. In questo caso tuttavia,la soluzione esiste sempre ed e unica per ogni g ∈ L2([0, x]). Questo e dovuto al fatto che una qualchepotenza dell’operatore

(Aφ)(x) =

∫ x

a

dtK(x, t)φ(t) ,

e una contrazione e questo per la (2.4) e sufficiente per affermare che esiste un’unica soluzione.Per vedere che, per n sufficientemente grande An e una contrazione, lavoriamo in C[a, b] con la norma

data da ‖φ‖ = maxa≤t≤b |φ(t)|. Dapprima osserviamo che

|Aφ(x1)| =

∣

∣

∣

∣

∫ x1

a

dtK(x1, t)φ(t)

∣

∣

∣

∣

≤ C‖φ‖ (x1 − a) .

Procedendo ulteriormente si ha

|A2φ(x2)| =

∣

∣

∣

∣

∫ x2

a

dx1K(x2, x1)[Aφ(x1)]

∣

∣

∣

∣

≤ C2‖φ‖∫ x2

a

dx1 (x1 − a) ≤ C2‖φ‖ (x2 − a)2

2.

Ora si puo procedere in questo modo indefinitamente. Dopo n passi si ottiene

|Anφ(x)| =≤ Cn‖φ‖ (x− a)n

n!≤ Cn‖φ‖ (b− a)n

n!,

da cui segue

‖Anφ‖ = maxx∈[a,b]

|Anφ(x)| ≤ Cn‖φ‖ (b− a)n

n!=⇒ ‖An‖ ≤ α ,

dove α < 1 per n abbastanza grande. L’equazione iniziale e della forma φ = Aφ+ g = Bφ e se Bn e unacontrazione, allora l’equazione ha un solo punto fisso. Per quanto visto sopra si ha

‖Bnφ1 −Bnφ2‖ = ‖An(φ1 − φ2‖ ≤ α ‖φ1 − φ2‖ , α = Cn(b− a)n

n!

e per n abbastanza grande α e certamente minore di 1, quindi Bn e una contrazione. Si faccia attenzioneal fatto che B non e un operatore lineare.

61

9.3.4 Soluzioni sotto forma di serie di potenze

Sia data l’equazione

φ = g + µAφ , ‖µA‖ < 1 ,

dove A e un operatore lineare limitato in uno spazio di Hilbert H e g ∈ H. Per l’ipotesi fatta, I − µA eun operatore invertibile e quindi si ha

φ = (I − µA)−1

g =

∞∑

k=0

(µA)k g = g + µAg + µ2A2g + ... (9.4)

Per la (8.13) la serie converge uniformemente e puo essere vista come una serie di potenze in µ. La serietroncata fornisce quindi una soluzione approssimata all’ordine desiderato nel parametro µ.

Le soluzioni delle equazioni integrali di Fredholm con nucleo di Hilbert-Schmidt si possono sempre rap-presentare sotto forma di serie di potenze per valori sufficientemente piccoli del parametro µ. L’operatoreI − µA corrispondente all’equazione integrale e infatti invertibile per piccoli valori di µ.

Per prima cosa verifichiamo che il “prodotto” di due nuclei di Hilbert-Schmidt e ancora un nucleo diHilbert-Schmidt. Infatti, dati due arbitrari nuclei di Hilbert-Schmidt K(x, t) e H(x, t) e posto

G(x, t) =

∫ b

a

dyK(x, y)H(y, t) ,

per la disuguadlianza di Cauchy-Bunjakowskij-Schwartz si ottiene

|G(x, t)|2 ≤[

∫ b

a

dy |K(x, y)|2] [

∫ b

a

dy |H(y, t)|2]

,

da cui segue

‖G(x, t)‖L2(Q) ≤ ‖K(x, t)‖L2(Q) ‖H(x, t)‖L2(Q) . (9.5)

Da questa considerazione segue che il “prodotto” di un numero arbitrario di nuclei di Hilbert-Schmidt eancora di Hilbert-Schmidt e in particolare lo sono tutti i nuclei iterati

K1(x, t) = K(x, t) , Kn(x, t) =

∫ b

a

dyK(x, y)Kn−1(y, t) , n = 2, 3, ...

Posto ‖K(x, t)‖L2(Q) = k, dalla (9.5) segue direttamente

‖K2(x, t)‖L2(Q) ≤ k2 , ‖Kn(x, t)‖L2(Q) ≤ kn .

Questo significa che per |kµ| < 1 la serie di funzioni

∞∑

n=1

µnKn(x, t) = µR(x, t;µ) , |kµ| < 1 ,

e convergente. Ai nuclei iterati Kn(x, t) corrispondono le potenze An dell’operatore. Questo significa chel’operatore I − µA e invertibile per |kµ| < 1, cioe

(I − µA)−1 =∞∑

n=0

µnAn = I +∞∑

n=1

µnAn ≡ I + µR(µ) , |kµ| < 1 ,

dove R(µ) e un operatore compatto il cui nucleo integrale di Hilbert-Schmidt e R(x, t;µ), detto risolventedel nucleo K(x, t). La soluzione puo essere scritta nella forma

φ(x) = ((I − µA)−1g(x) = g(x) + µ

∫ b

a

dtR(x, t;µ) g(t) .

62

♣ La condizione |kµ| < 1 e sufficiente ma non necessaria per l’esistenza della soluzione. Ad esempio,come si e mostrato sopra, le equazioni di Volterra con nucleo limitato hanno soluzione sotto forma diserie di potenze per qualunque valore di µ.

• Per il teorema dell’alternativa, se µ e diverso dall’inverso di uno degli autovalori di A allora l’e-quazione ha sempre una sola soluzione, mentre la serie di potenze (9.4) fornisce una soluzione soloper valori di µ < 1/k. Esiste pero una complicata espansione in serie di potenze che converge perqualunque valore del parametro diverso dall’inverso di uno degli autovalori.

• Si deve fare attenzione che l’unicita della soluzione e strettamente legata alla classe di funzioni scelta.Nei teoremi precedenti si e dimostrata l’unicita in L2(I), ma le equazioni integrali possono avere unasola soluzione in L2(I) e allo stesso tempo altre soluzioni piu generali (ad esempio non integrabili).

9.3.5 Nuclei Ortogonali

Due nuclei K(x, t) e H(x, t) si dicono ortogonali se

G1(x, t) =

∫ b

a

dyK(x, y)H(y, t) = 0 , G2(x, t) =

∫ b

a

dy H(x, y)K(y, t) = 0 .

Nel caso in cui valga solo una delle due equazioni precedenti i nuclei si dicono semi-ortogonali.Se il nucleo K(x, t) corrispondente ad una equazione di Fredholm e ortogonale a se stesso, allora

R(x, t;µ) = K(x, t) in quanto Kn(x, t) = 0 per n > 1. In tal caso la soluzione e data da

φ(x) = g(x) + µ

∫ b

a

dtK(x, t) g(t)

e ovviamente esiste per ogni valore del parametro.

63

Metodi Matematici della Fisica — Esercizi

10 Contrazioni: metodo delle approssimazioni successive

E’ un utile metodo per dimostrare l’esistenza e l’unicita della soluzione e per trovare soluzioni approssi-mate in molte situazioni sia matematiche che fisiche.

Esercizio 1. (Equazioni – Trovare le radici dell’equazione F (x) = 0 nell’intervallo [a, b].

Soluzione – La soluzione cercata e equivalente a trovare il punto fisso della funzione

f(x) = x− λF (x) , λ 6= 0 .

Se questa e una contrazione per qualche valore di λ, allora l’equazione originale ha una sola radice che sipuo trovare per approssimazioni successive, cioe

x1 = x0 − λF (x0) , x2 = x1 − λF (x1) , ... xn = xn−1 − λF (xn−1) .

♣ Se F (x) e un polinomio in x questo esercizio diventa banale perche e noto che ogni polinomio digrado n ha n radici e quindi f(x) non puo essere una contrazione per n > 1. Se invece n = 1,F (x) = ax e f(x) = (1−a)x e una contrazione per α = |1−a| < 1. Ovviamente la soluzione esiste perqualunque valore di α, ma il metodo delle contrazioni ci assicura l’esistenza solo per α < 1. Questosignifica semplicemente che l’essere f una contrazione e una condizione sufficiente, ma non necessariaper l’esistenza di un’unica soluzione. Questo appena discusso e un caso assolutamente banale, ma sipossono incontrare casi complicati in cui la soluzione trovata vale anche per valori dei parametri percui l’operatore in questione non e una contrazione. Questo si vede generalmente dopo avere trovatola soluzione esatta. Se pero ci si ferma ad una soluzione approssimata, bisogna considerare solo queivalori dei parametri per cui l’oeratore e una contrazione.

Esercizio 2. (Funzioni Liftsitziane) – Trovare la soluzione dell’equazione f(x) = x per una funzionecontinua nell’intervallo [a, b] e che soddisfa la condizione di Lifsitz

|f(x) − f(y)| ≤ K|x− y| , x, y ∈ [a, b] , K < 1 .

Soluzione – La funzione f e una contrazione in uno spazio metrico (l’intervallo [a, b] dotato della distanzadi IR, esempio 1 sopra) e quindi la soluzione esiste, e unica e si ottiene come limite della successione xn,dove

x1 = f(x0) , x2 = f(x1) , ... xn = f(xn−1) ,

con x0 arbitrario. xn rappresenta un valore approssimato della soluzione esatta x = limn→∞ xn.

Esercizio 3. (Equazioni di Fredholm) – Trovare la soluzione dell’equazione integrale non omogenea,lineare, di II-specie

f(x) = ϕ(x) + λ

∫ b

a

dyK(x, y) f(y) ,

dove λ e un parametro arbitrario, mentre ϕ(x) e K(x, y) sono funzioni date, continue nell’intervallo [a, b].K(x, y) e detto nucleo dell’equazione e, per l’ipotesi di continuita, |K(x, y| ≤M .

Soluzione – Nello spazio C[a, b] si consideri l’applicazione

g(x) = (Af)(x) = ϕ(x) + λ

∫ b

a

dyK(x, y) f(y) .

Dalla definizione di distanza in C[a, b] si ha

ρ(g1, g2) = max |g1 − g2| ≤ |λ|(b− a)M ρ(f1, f2) =⇒ ρ(Af1, Af2) ≤ |λ|(b− a)M ρ(f1, f2) .

64

Se λ (b − a)M < 1, l’applicazione A e una contrazione nello spazio C[a, b], che e completo. Per λsufficientemente piccolo l’equazione di Fredholm ha quindi un’unica soluzione che puo essere ottenuta perapprossimazioni successive a partire da una funzione arbiraria f0. Si ha

fn(x) = ϕ(x) + λ

∫ b

a

dyK(x, y) fn−1(y) , n = 1, 2, 3, ...

65

11 Spazi di Hilbert

Esercizio 4. (Funzioni di Hermite) – Si veda la trasformata di Fourier come un operatore lineareF : L2 → L2 e si cerchino le funzioni (autofunzioni) che rimangono invarianti (a meno di un fattore) perquesto tipo di trasformazione.

Soluzione – Se ψ e una funzione di L2 invariante per trasformazioni di Fourier, allora

F [ψ(x)](k) = ψ(k) = λψ(k) , (11.1)

dove λ e un numero complesso. Applicando tuttavia 4-volte di seguito la trasformata di Fourier si deveottenere la funzione di partenza, dunque

ψ = F 4[ψ] = F 3[λψ] = F 2[λ2ψ] = F [λ3ψ] = λ4ψ =⇒ λ = ±1,±i .

La trasformata di Fourier, vista come operatore F : L2 → L2 ha autovalori ±1,±i.Alcune autofunzioni si possono ricavare ricordando la proprieta della trasformata di Fourier

F [(−ix)n f(x)](k) =d

dknF [f ](k)

e il fatto che la gaussiana ψ0(x) = e−x2

2 e autofunzione, come si verifica direttamente. Infatti

F [ψ0](k) = e−k2

2 = ψ0(k) =⇒ λ0 = 1 .

Consideriamo ora la funzione ψ1(x) = −ixψ0(x). Per questa si ha

F [ψ1(x)](k) = F [−ixψ0(x)](k) = ψ′0(k) = −iψ1(k) =⇒ λ1 = −i .

Analogamente per ψ2(x) = [(−ix)2 + (1/2)]ψ0(x) si ha

F [ψ2(x)](k) = ψ′′0 (k) +

1

2ψ0 = −ψ2(k) =⇒ λ2 = −1 .

Per procedere oltre osserviamo che, se ψ(x) e autofunzione con autovalore λ, allora xψ(x) − ψ′(x) eautofunzione con autovalore −iλ. Infatti

F [xψ(x) − ψ′(x)] (k) = iψ′(k) − ikψ(k) = −iλψ(k) .

Per ottenere le autofunzioni di F basta quindi agire con l’operatore x− d/dx, partendo da ψ0. In questomodo abbiamo

ψ0 = e−x2

2 , ψ1 = 2xψ0 , ψ2 = (4x2 − 2)ψ0 , ...

Evidentemente esistono infinite autofunzioni che sono tutte della forma

ψn(x) = Hn(x) e− x2

2 , funzioni di Hermite, (11.2)

dove Hn sono polinomi di grado n con parita definita, detti polinomi di Hermite e coincidono con quellivisti sopra.

Esercizio 5. (Oscillatore armonico) – Trovare autofunzioni e autovalori dell’operatore differenziale

H : IR → IR dato da H = − d2

dx2 + α2x2.

Soluzione – Si consideri l’equazione differenziale(

− d2

dx2+ α2x2

)

ψ(x) = −ψ′′(x) + α2 x2ψ(x) = µαψ(x) , (11.3)

che, con un’opportuna scelta del parametro α diventa quella che descrive l’oscillatore armonico in mec-canica quantistica. α e un parametro dimensionale e per quanto concerne l’interesse matematico, si puoporre uguale a 1 senza perdere in generalita. Questo equivale a scegliere variabili a-dimensionali mediantela trasformazione x→ x/α. Le dimensioni corrette si potranno ristabilire a fine calcolo mediante l’analisidimensionale.

66

Si osservi che, per α = 1, l’equazione (11.3) e invariante rispetto a trasformazioni di Fourier. Infattisi ottiene

−(ik)2ψ(k) − α2ψ′′(k) = µψ(k) =⇒ −ψ′′(k) +k2

α2ψ(k) =

µ

αψ(k) . (11.4)

Questo significa che se ψ(x) = f(x) e soluzione della (11.3), allora ψ(k) = f(k) e soluzione della (11.4).In altre parole, le soluzioni dell’equazione (11.3) (autofunzioni dell’oscillatore armonico) sono anche au-tofunzioni dell’operatore F . Le autofunzioni di F sono le funzioni di Hermite (11.2). Sostituendo ψ(x)con ψn(x) nell’equazione differenziale (11.3) (con α = 1) si ottiene

−ψ′′n(x) + x2ψ(x) = − [H ′′

n(x) − (2x+ 1)H ′n(x)] e

− x2

2 = µnHne− x2

2 ,

da cui segue

H ′′n(x) − (2x+ 1)H ′

n(x) + µnHn(x) = 0 , Hn(x) =

n∑

j=0

ajxj . (11.5)

Usando nell’equazione (11.5) l’espressione esplicita per i polinomi Hn(x) si ottengono le formule diricorrenza

n∑

j=0

[(j + 1)(j + 2)aj+2 − (2j + 1 − µn)aj ] xj = 0 =⇒

aj+2 =2j + 1 − µn

(j + 1)(j + 2), j = 0, 1, ..., n− 2 , an+2 = 0 =

2n+ 1 − µn(n+ 1)(n+ 2)

.

Dall’ultima espressione si ricava µn = 2n + 1 che e l’autovalore corrispondente all’autofunzione ψn. Inconclusione si ha

H ′′n(x) − 2xH ′

n(x) + (2n+ 1)Hn(x) = 0 , aj+2 =2(j + 1 − n)

(j + 1)(j + 2), j ≤ n− 2 .

L’ultima espressione permette di ricavare esplicitamente i coefficienti dei polinomi di Hermite.Le funzioni di Hermite costituiscono un sistema ortogonale completo in L2(−∞,∞). Di norma la

completezza e di difficile dimostrazione, mentre invece e immediato verificare l’ortogonalita. Usando la(11.3) si ha

−ψ′′n + x2ψn = µnψn , −ψ′′

m + x2ψm = µmψm .

Moltiplicando la prima per ψm e la seconda per ψn e sottraendo si ottiene

ψ′′nψm − ψnψ

′′m =

d

dx(ψ′nψm − ψnψ

′m) = (µm − µn)ψnψm . (11.6)

Assumendo n 6= m e integrando si ricava il risultato desiderato, cioe∫ ∞

−∞ψnψm dx =

1

µm − µn

∫ ∞

−∞

d

dx(ψ′nψm − ψnψ

′m) dx = 0 .

67

12 Distribuzioni

Esercizio 6. (Proprieta di δ) – Verificare che per ogni a, y ∈ IC e α(x) ∈ C∞, per la distribuzioneδ ∈ D′(IR) valgono le seguenti proprieta,:

1) δ(x) = δ(−x) , 2) δ(x2 − a2) = δ(x−a)+δ(x+a)2|a| ,

3) δ(ax) = δ(x)|a| , 4) δ

(

1x − 1

y

)

= x2δ(x− y) = y2δ(x− y) ,

5) xδ(x) = 0 , 6) α(x) δ(x− a) = α(a) δ(x− a) .

Soluzione – Le prime quattro sono una diretta conseguenza delle regole sul cambiamento di variabile,mentre le altre due seguono dalla definizione usando il fatto che x e α(x) sono funzioni C∞. A titolo diesempio verifichiamo la 4) e la 6).

4) Soluzione – poniamo g(x) = 1/x − 1/y, g′(x) = −1/x2. L’equazione g(x) = 0 ha come unicasoluzione x1 = y, per cui si ha

δ

(

1

x− 1

y

)

=δ(x− x1)

|g′(x1)|= y2δ(x− y) = x2δ(x− y) .

6) Soluzione – osserviamo che

(α(x)δ(x− a), ϕ(x)) = (δ(x− a), α(x)ϕ(x)) = α(a)ϕ(a) = α(a) (δ(x− a), ϕ(x)) ,

da cui segue la 6).

Esercizio 7. (Funzione ϑ di Heaviside) – Verificare che la derivata della funzione ϑ(x) (funzione agradino, che vale 1 per x positivo e 0 per x negativo), vista come distribuzione in D′(IR) coincide conδ(x), mentre la sua primitiva e la distribuzione f = xϑ(x) + c (c costante arbitraria).

Soluzione – ϑ(x) e una funzione localmente sommabile e dunque definisce una distribuzione regolare.Si ha

(ϑ, ϕ) =

∫ ∞

−∞dxϑ(x)ϕ(x) =

∫ ∞

0

dxϕ(x) ,

da cui segue

(ϑ′, ϕ) = −(ϑ, ϕ′) = −∫ ∞

0

dxϕ′(x) = ϕ(0) = (δ, ϕ) =⇒ ϑ′ = δ .

Derivando f otteniamo

f ′ =d

dx[xϑ(x) + c] = ϑ(x) + xδ(x) = ϑ(x) ,

e quindi f e la primitiva di ϑ.

Esercizio 8. (Derivate successive di δ) – Verificare che le derivate successive δ(k) di δ in D′(IR) sonodistribuzioni linearmente indipendenti. Questo significa che, qualunque sia n

fn =

n∑

k=0

ak δ(k) = 0 =⇒ ak = 0 , k = 0, 1, 2, ..., n

Soluzione – Applicando fn ad un’arbitraria funzione test, usando la linearita del funzionale e ladefinizione di derivata, si ha

0 = (fn, ϕ) =

n∑

k=0

(−1)k ak (δ, ϕ(k)) =

n∑

k=0

(−1)k ak ϕ(k)(0) .

Poiche ϕ e arbitraria, tutti i coefficienti ak devono annullarsi.

68

Esercizio 9. (Rappresentazioni di δ) – Verificare che data una qualunque funzione f sommabile inIR e tale che

∫

IRdx f(x) = 1 ,

si ha

δ(x) = limk→∞

kf(kx) = limε→0

1

εf(x/ε) .

Soluzione – La dimostrazione si ottiene banalmente derivando la primitiva della funzione kf(kx). Siha

Fk(x) =

∫ x

−∞dt k f(kt) =

∫ kx

−∞dt f(t) → ϑ(x) , (12.1)

da cui

F ′k(x) = kf(kx) → ϑ′(x) = δ(x) .

Esercizio 10. (Derivate in D′(IR)) – Calcolare esplicitamente le derivate delle seguenti distribuzioni:

1) |x| , 2) log |x| , 3) P 1

x.

1) Soluzione – La distribuzione e regolare. Dalla definizione di derivata si ha

(

d|x|dx

, ϕ

)

= −(|x|, ϕ′) = −∫ ∞

−∞dx |x|ϕ′(x) = −

∫ ∞

0

dxxϕ′(x) +

∫ 0

−∞dxxϕ′(x)

= − [xϕ(x)]∞0 +

∫ ∞

0

dxϕ′(x) + [xϕ(x)]0−∞ −

∫ 0

−∞dxϕ′(x)

=

∫ ∞

−∞dxϑ(x)ϕ′(x) −

∫ ∞

−∞dxϑ(−x)ϕ′(x)

=

∫ ∞

−∞dx [ϑ(x) − ϑ(−x)]ϕ′(x) = (ϑ(x) − ϑ(−x), ϕ) .

Di qui segue d|x|dx = ϑ(x) − ϑ(−x).

2) Soluzione – La distribuzione e regolare. Come sopra si ha(

d log |x|dx

, ϕ

)

= −(log |x|, ϕ′) = −∫ ∞

−∞dx log |x|ϕ′(x)

= −∫ ∞

0

dx log xϕ′(x) −∫ 0

−∞dx log(−x)ϕ′(x)

= − limε→0

∫ ∞

ε

dx log xϕ′(x) +

∫ −ε

−∞dx log(−x)ϕ′(x)

= − limε→0

[log xϕ(x)]∞ε −

∫ ∞

ε

dxϕ(x)

x+ [log(−x)ϕ(x)]

−ε−∞ −

∫ −ε

−∞dx

ϕ(x)

x

= limε→0

log ε [ϕ(ε) − ϕ(−ε)] + limε→0

[∫ ∞

ε

dxϕ(x)

x+

∫ −ε

−∞dx

ϕ(x)

x

]

= limε→0

log ε [2εϕ′(0) + o(ε2)] + v.p.

∫ ∞

−∞dx

ϕ(x)

x=

(

P 1

x, ϕ

)

.

Quindi si ha d log |x|dx = P 1

x .

69

3) Soluzione – La distribuzione e singolare. Usando la definizione si ha(

d

dxP 1

x, ϕ

)

= −(

P 1

x, ϕ′)

= − limε→0

[∫ ∞

ε

dxϕ′(x)

x+

∫ −ε

−∞dx

ϕ′(x)

x

]

= − limε→0

[

ϕ(x)

x

]∞

ε

+

∫ ∞

ε

dxϕ(x)

x2+

[

ϕ(x)

x

]−ε

−∞+

∫ −ε

−∞dx

ϕ(x)

x2

= limε→0

[

2ϕ(0)

ε+ o(ε)

]

− limε→0

[(∫ −ε

−∞+

∫ ∞

ε

)

dxϕ(0)

x2

]

− v.p.

∫ ∞

−∞dx

ϕ(x) − ϕ(0)

x2

= −v.p.∫ ∞

−∞dx

ϕ(x) − ϕ(0)

x2= −

(

P 1

x2, ϕ

)

.

Si vede dunque che

d

dxP 1

x= −P 1

x2,

(

P 1

x2, ϕ

)

≡ v.p.

∫ ∞

−∞dx

ϕ(x) − ϕ(0)

x2.

Esercizio 11. (Limiti in D′(IR)) – In D′(IR) calcolare i limiti per ε→ 0 delle seguenti distibuzioni:

1)x

x2 + ε2, 2)

ε

x2 + ε2, 3)

sin(x/ε)

x, 4) eix/ε P 1

x, 5) cos(x/ε)P 1

x.

1) Soluzione – Osserviamo che

limε→0

x

x2 + ε2= limε→0

1

2

(

1

x+ iε+

1

x− iε

)

→ 1

2

(

1

x+ i0+

1

x− i0

)

= P 1

x.

Nell’ultima espressione si sono usate le formule di Sokhotski.

2) Soluzione – La funzione si puo scrivere nella forma (1/ε) f(x/ε) dove

f(x) =1

x2 + 1,

∫ ∞

−∞dx f(x) = [arctan(x)]∞−∞ = π .

Per quanto visto sopra la funzione e quindi una rappresentazione della δ e pertanto

limε→0

ε

x2 + ε2= πδ(x) .

3) Soluzione – La funzione data si puo scrivere nella forma (1/ε) f(x/ε) dove ora

f(x) =sinx

x, lim

R→∞

∫ R

−Rdx

sinx

x= π ,

e pertanto

limε→0

1

xsin

x

ε= πδ(x) .

L’integrale di f(x) si calcola facilmente usando il metodo dei residui.

4) Soluzione – Data un’arbitraria funzione test con supporto in [−R,R] si ha

(eix/ε P 1

x, ϕ) = v.p.

∫ R

−Rdx

eix/ε ϕ(x)

x= v.p.

∫ R/ε

−R/εdy

eiy ϕ(εy)

y.

Prendendo il limite ε→ 0 otteniamo

limε→0

(eix/ε P 1

x, ϕ) = v.p.ϕ(0)

∫ ∞

−∞dy

eiy

y= iπ ϕ(0) = iπ (δ, ϕ) .

In conclusione

limε→0

eix/ε P 1

x= iπ δ(x) .

70

Anche l’ultimo integrale si calcola usando il metodo dei residui.

5) Soluzione – Anziche applicare la distribuzione ad una funzione test osserviamo che

limε→0

[

cosx

εP 1

x

]

= limε→0

[

eix/ε − i sinx

εP 1

x

]

= limε→0

[

eix/ε P 1

x

]

− limε→0

[

i sinx

εP 1

x

]

= 0 .

Esercizio 12. (Limiti in D′(IR)) – In D′(IR) calcolare i limiti per t→ ∞ delle seguenti distibuzioni:

1)eixt

x± i0, 2)

e−ixt

x± i0, 3) tm e−ixt (m ≥ 0) .

1) Soluzione – Usando le formule do Sokhotski e i risultati dell’esercizio precedente otteniamo

limt→∞

eixt

x− i0= limt→∞

[

eixt(

P 1

x+ iπδ

)]

= 2πiδ(x) ,

limt→∞

eixt

x+ i0= limt→∞

[

eixt(

P 1

x− iπδ

)]

= 0 .

2) Soluzione – Volendo usare i risultati appena ottenuti poniamo x = −y, pertanto

limt→∞

e−ixt

x+ i0= − lim

t→∞eiyt

y − i0= −2πiδ(y) = −2πiδ(x) ,

limt→∞

e−ixt

x− i0= − lim

t→∞eiyt

y + i0= 0 .

3) Soluzione – La distribuzione e regolare. Applicandola ad una generica funzione test si ha

(tme−itx, ϕ) = tm∫ ∞

−∞dx e−itxϕ(x) = tm ϕ(t) ,

dove ϕ(t) e la trasformata di Fouriesr di ϕ(x). Poiche ϕ(x) ∈ C∞, ϕ(t) decresce all’infinito piu rapida-mente di qualsiasi potenza e pertanto il limite della distribuzione data e nullo per qualunque valore dim.

Esercizio 13. (Serie trigonometrica) – Verificare che la serie trigonometrica∑∞k=−∞ ake

ikx convergein D′(IR) se |ak| ≤ A|k|m+B, con A,B,m arbitrari, m ≥ 0. ak e quindi un polinomio di grado qualunque.

Soluzione – Per quanto visto nella sezione sulla derivazione in D′(IRn), le serie di funzioni localmen-te sommabili e uniformemente convergenti su ogni compatto si possono derivare quanto si vuole. Perdimostrare che la serie trigonometrica converge, basta mostrare che, sotto le ipotesi fatte, e ottenibilederivando una serie uniformemente convergente. A tale scopo costruiamo la serie di funzioni localmentesommabili

a0xm+2

(m+ 2)!+

∞∑

k=−∞

ak(ik)m+2

eikx (12.2)

che converge uniformente in tutto IR, in quanto e maggiorata da una serie numerica convergente. Infattisi ha

∣

∣

∣

∣

∣

∞∑

k=−∞

ak(ik)m+2

eikx

∣

∣

∣

∣

∣

≤∞∑

k=−∞

|ak||k|m+2

≤∞∑

k=−∞

[

A

k2+

B

km+2

]

.

Derivando m+ 2 volte la serie in (12.2) si ottiene esattamente la serie del problema.

Esercizio 14. (Serie di δ) – Mostrare che le serie seguenti convergono in D′(IR) qualunque sia ak ∈ IC:

1)

∞∑

k=−∞akδ(x− k) , 2)

∞∑

k=−∞akδ

(k)(x− k) .

71

1) Soluzione – Applicando la serie ad un’arbitraria funzione test con supporto in [−R,R] si ha( ∞∑

k=−∞akδ(x− k), ϕ(x)

)

=

∞∑

k=−∞ak (δ(x− k), ϕ(x)) =

∞∑

k=−∞ak ϕ(k) =

R∑

k=−Rak ϕ(k) <∞ .

La serie si tronca perche ϕ(k) = 0 per k > R.

2) Soluzione – Le derivate delle funzioni test sono ancora funzioni test e quindi( ∞∑

k=−∞akδ

(k)(x− k), ϕ(x)

)

=∞∑

k=−∞(−1)k ak ϕ

(k)(k) =R∑

k=−R(−1)k ak ϕ(k) <∞ .

Esercizio 15. (Formula di Poisson) – Dimostrare che in D′(IR) valgono le identita

1)∞∑

k=−∞δ(x− 2πk) =

1

2π+

1

π

∞∑

k=1

cos(kx) =1

2π

∞∑

k=−∞eikx =

1

2π

∞∑

k=−∞e−ikx ,

2)∞∑

k=−∞(−1)k δ(x− πk) =

2

π

∞∑

k=0

cos(2k + 1)x .

1) Soluzione – Ricordiamo che per x ∈ (0, 2π) vale lo sviluppo di Fourier

x− π =∑

n∈ZZ;n6=0

ieinx

n, ∀x ∈ (0, 2π) .

Per x ∈ IR, la serie precedente produce una funzione periodica f(x) (dente di sega), che puo essere scrittanella forma

f(x) = π +∑

n∈ZZ;n6=0

ieinx

n=

∞∑

n=−∞(x− 2πn)χn(x) , x ∈ IR , (12.3)

dove χn(x) e la funzione caratteristica dell’intervallo (2πn, 2π(n+1)), che vale 1 dentro l’intervallo e zeroaltrimenti. Quindi

χn(x) = ϑ(x− 2πn) − ϑ(x− 2π(n+ 1)) =⇒ χ′(x) = δ(x− 2πn) − δ(x− 2π(n+ 1)) .

Derivando la distribuzione f , tenendo conto che∑∞n=−∞ χn(x) = 1 e xδ(x) = 0 si ottiene

−∑

n∈ZZ;n6=0

einx = f ′(x) =

∞∑

n=−∞χn(x) + (x− 2πn) [δ(x− 2πn) − δ(x− 2π(n+ 1))]

= 1 − 2π

∞∑

n=−∞δ(x− 2π(n+ 1)) = 1 − 2π

∞∑

n=−∞δ(x− 2πn) ,

da cui segue direttamente la 1). Si deve osservare che in D′(IR) e lecito derivare termine a termine la(12.3) perche il membro di destra dell’equazione e la derivata di una serie uniformemente convergente.

2) Soluzione – In questo caso si puo procedere in modo opposto a quello precedente. Chiamando f ′(x)la primitiva del primo membro della 2) e ricordando che δ(x) e la derivata della funzione ϑ(x) si ha

f(x) =∞∑

k=−∞(−1)k ϑ(x− πk) ,

a meno di una costante inessenziale. Notiamo che

f(x) =∞∑

k=−∞(−1)k ϑ(x− πk) = ... + [ϑ(x+ 2π) − ϑ(x+ π)] + [ϑ(x) − ϑ(x− π)]

+[ϑ(x− 2π) − ϑ(x− 3π)] + [ϑ(x− 4π) − ϑ(x− 5π)] + ...

72

e la funzione ottenuta mediante il prolungamento periodico dell’impulso quadrato seguente:

ε(x) =

1 , x ∈ (0, π) ,0 , x ∈ (−π, 0) .

La serie di Fourier di tale funzione e data da

ε(x) =1

π

∞∑

n=1

1 − (−1)n

nsin(nx) =

2

π

∞∑

k=1

sin(2k + 1)x

2k + 1, x ∈ (−π, π) .

Per ogni x ∈ IR abbiamo dunque

f(x) =2

π

∞∑

k=1

sin(2k + 1)x

2k + 1,

da cui derivando si ottiene la 2) come richiesto. E’ lecito derivare termine a termine per lo stesso motivodell’esercizio precedente.

♣ Applicando il risultato ottenuto in 1) ad una funzione test si ottiene la formula di somma di Poisson.Si ha

( ∞∑

k=−∞δ(k − 2π), ϕ

)

=

∞∑

k=−∞ϕ(2πk) ,

∞∑

k=−∞

1

2π

∫

dx e−ikxϕ(x) =1

2π

∞∑

k=−∞ϕ(k) ,

da cui segue

∞∑

k=−∞ϕ(2πk) =

1

2π

∞∑

k=−∞ϕ(k) , formula di somma di Poisson.

Come per le distribuzioni temperate, la trasformata di Fourier e definita in maniera ‘asimmetrica‘mediante

ϕ(k) =

∫ ∞

−∞dx e−ikxϕ(x) , ϕ(x) =

1

2π

∫ ∞

−∞dk eikxϕ(k) .

Si noti che se φ(x) ∈ D allora il primo membro della formula di Poisson e costituito da una sommafinita. Se invece ϕ(x) ∈ S allora si ha un’identita fra due serie.A titolo di esempio prendiamo ϕ(x) = exp(−αx2) con α > 0. Allora abbiamo

φ(k) =

∫ ∞

∞dx e−ikxe−αx

2

= e−k2/4α

∫ ∞

−∞dx e−α(x+ikx/α)2 =

√

π

αe−k

2/4α .

Si ottiene in tal modo l’indentita di Jacobi

∞∑

n=−∞e−2παn2

=1

2√πα

∞∑

n=−∞e−n

2/4α .

Esercizio 16. (Equazioni algebriche) – Siano y = y(x) ∈ D′(IR), ϕ ∈ D(IR), α(x) ∈ C∞ e n ∈ IN.Si assuma inoltre che α(x) si annulli soltanto in x0 e si indichino con a, b, c, ak delle costanti arbitrarie.Risolvere le seguenti equazioni algebriche:

1) xy = 0 , 2) xy = 1 , 3) xy = P 1

x, 4) x2y = 2 , 5) xny = 0 ,

6) α(x)y = 0 , 7) x(x− 1)y = 0 , 8) y cosx = 0 , 9) x(x+ 1)2y = 0 .

73

1) Soluzione – Vista come funzione, y(x) = 0 per x 6= 0 e l’equazione perde di signifcato per x = 0.Nell’ambito delle distribuzioni l’equazione ha soluzioni per ogni valore di x. E’ evidente che la soluzioneavra supporto in 0. Applicando la distribuzione alla generica funzione test si ha

(xy, ϕ) = (y, xϕ) = 0 =⇒ y = a δ .

2) Soluzione – Una soluzione particolare e data da P 1x e pertanto la soluzione generale e

y = aδ + P 1

x.

3) Soluzione – Una soluzione particolare e data da P 1x2 e quindi

y = aδ + P 1

x2.

4) Soluzione – Una soluzione particolare e data da 2P 1x2 . Per trovare la soluzione generale dell’equa-

zione omogenea ricordiamo che

(xmδ(n), ϕ) = (δ(n), xmϕ) = (−1)ndn

dxn[xmϕ(x)]|x=0 .

L’espressione precedente e nulla per ogni n < m. In particolare si ha

(x2δ, ϕ) = 0 ,(x2δ′, ϕ) = 0 ,

=⇒ y = aδ + bδ′ + 2P 1

x2.

5) Soluzione – Per quanto visto nell’esercizio precedente si ha y =∑n−1k=0 akδ

(k).

6) Soluzione – E’ chiaro che y e una distribuzione che ha supporto su tutti gli zeri di α(x). In questocaso c’e’ un’unico zero semplice e pertanto y = aδ(x− x0).

7) Soluzione – La funzione x(x− 1) ha due zeri semplici e quindi y = aδ(x) + bδ(x− 1).

8) Soluzione – In questo caso ci sono infiniti zeri semplici nei punti xk e pertanto si ottiene

y =

∞∑

k=−∞akδ(x− xk) , xk =

(

k +1

2

)

π .

9) Soluzione – La funzione x(x+ 1)2 ha uno zero semplice in x = 0 e uno zero doppio in x = −1. Perquanto visto negli esercizi precedenti si avra

y = aδ(x) + bδ(x+ 1) + cδ′(x+ 1) .

Esercizio 17. (Equazioni differenziali) – In D′(IR) risolvere le equazioni differenziali seguenti (n,m =0, 1, 2, ..., a, b, c, ak, bk, ck costanti arbitrarie):

1) y(m) = 0 , 2) xny(m) = 0 , (n > m) , 3) xy′ = 1 , 4) xy′ = P 1

x,

5) x2y′ = 0 , 6) x2y′ = 1 , 7) y′′ = δ , 8) (x+ 1)y′′ = 0 , 9) (x+ 1)2y′′ = 0 .

1) Soluzione – E’ chiaro che se non ci sono punti singolari (zeri/infiniti), allora la soluzione ottenutaper le funzioni vale anche nell’ambito delle distribuzioni. Nel caso specifico la soluzione classica y =∑m−1k=0 akx

k e valida per ogni x e definisce una distribuzione regolare.

2) Soluzione – In questo caso si deve tenere conto degli zeri della funzione xn. Per quanto vistoprecedentemente (vedi equazione algebriche) si ha

y(m) = a0δ + a1δ′ + ... + an−1δ

(n−1) .

74

Integrando questa distribuzione 2 volte si ottiene

y(m−1) = bm + a0ϑ+ a1δ + ... + an−1δ(n−2) ,

y(m−2) = bm−1 + bmx+ a0ϑx+ a1ϑ+ ... + an−1δ(n−3) ,

Si vede dunque che integrando m volte si otterra il polinomio classico, piu una distribuzione in D′+(IR)

data dalle ϑ e una distribuzione con supporto in 0 dovuta alle δ. Il risultato finale ha la forma

y =

m−1∑

k=0

akxk +

m−1∑

k=0

bkϑxm−k−1 +

n−1∑

k=m

ckδ(k−m) ,

dove ak, bk, ck sono costanti arbitrarie.

3) Soluzione – Basta trovare una soluzione particolare e sommarla alla soluzione dell’equazioneomogenea scritta sopra. Per trovare la soluzione particolare y0 osserviamo che

y′0 = P 1

x=⇒ y0 = log |x| =⇒ y = a+ bϑ+ log |x| .

4) Soluzione – Procedendo come nell’esercizio precedente si ha

y′0 = P 1

x2=⇒ y0 = −P 1

x=⇒ y = a+ bϑ− P 1

x.

5) Soluzione – E’ un caso particolare del caso generale trattato sopra. Si ha y = a+ bϑ+ cδ.

6) Soluzione – Una soluzione particolare e data da

y′0 = P 1

x2=⇒ y0 = −P 1

x=⇒ y = a+ bϑ+ cδ − P 1

x.

7) Soluzione – La soluzione si ottiene integrando direttamente, cioe

y′′ = δ =⇒ y′ = a+ bϑ =⇒ y = ax+ bϑx+ c .

8) Soluzione – La funzione x+ 1 ha uno zero semplice in x = −1 e pertanto

y′′ = δ(x+ 1) =⇒ y′ = a+ bϑ(x+ 1) =⇒ y = ax+ b(x+ 1)ϑ(x+ 1) + c

9) Soluzione – In questo caso c’e’ uno zero doppio in x = −1, pertanto si ha

y′′ = aδ(x+ 1) + bδ′(x+ 1) =⇒ y′ = aδ(x+ 1) + bδ(x+ 1) + c ,

da cui y = a(x+ 1)ϑ(x+ 1) + bϑ(x+ 1) + cx+ d .

Esercizio 18. (Prodotto di convoluzione) – Ricordiamo alcune proprieta del prodotto diretto e delprodotto di convoluzione, supponendo che questo esista. In tal caso si ha

f ∗ g = g ∗ f , f(x+ y) ∗ g(x) = (f ∗ g)(x+ y) , Dα(f ∗ g) = f ∗Dαg = g ∗Dαf .

Il prodotto di convoluzione di una qualunque distribuzione con δ esiste e si ha

δ ∗ f = f , δ(m) ∗ f = f (m) .

Per δ ∈ D′(IRn) vale la relazione

δ(x1, x2, ... , xn) = δ(x1) · δ(x2) · ... · δ(xn) .

Questo segue direttamente dalla definizione di prodotto diretto. Infatti

(δ(x1) · δ(x2) · ... · δ(xn), ϕ(x1, x2, ... , xn)) = (δ(x2) · ... · δ(xn), (δ(x2), ϕ(x1, x2, ... , xn)))

= (δ(x2) · ... · δ(xn), ϕ(0, x2, ... , xn)) .

75

Procedendo in questo modo si ottiene

(δ(x1) · δ(x2) · ... · δ(xn), ϕ(x1, x2, ... , xn)) = ϕ(0, 0, ... , 0) = (δ(x1, x2, ... , xn), ϕ(x1, x2, ... , xn)) .

Prima di procedere definiamo anche una distribuzione δS che rappresenta la “restrizione” della δ ad unasuperficie S ⊂ IRn. Data una qualunque funzione µ(x) continua sulla superficie regolare S ⊂ IRn, sidefinisce la distribuzione µδS mediante

(µδS , ϕ) =

∫

S

dxµ(x)ϕ(x) . (12.4)

Quando la superficie e una iper-sfera di raggio R, cioe IRn ⊃ Sn ≡ x : |x| = R, si usa anchela notazioneδSn

= δ(R−|x|). Riportiamo esplicitamente i tre casi n = 1, 2, 3 che si incontrano spesso nella fisica. Pern = 1, 2, 3 si ottiene rispettivamente

(δS1, ϕ) = ϕ(R) + ϕ(−R) =⇒ δS1

≡ δ(R− |x|) = δ(x−R) + δ(x+R) ,

(δS2, ϕ) =

∫

|x|=Rdxϕ(x) = R

∫ 2π

0

dϑϕ(R,ϑ) ,

(δS3, ϕ) =

∫

|x|=Rdxϕ(x) = R2

∫

Ω

dΩϕ(R,Ω) ,

dove l’ultimo integrale e fatto sulla sfera unitaria e dΩ = sinϑdϑ dϕ e l’elemento infinitesimo di angolosolido.

In D′(IR) calcolare i prodotti di convoluzione seguenti:

1) f = ϑ ∗ ϑ , 2) f = ϑ ∗ x2ϑ , 3) f = xϑ ∗ xϑ ,

4) f = e−|x| ∗ e−|x| , 5) f = e−ax2 ∗ x e−ax2

, a > 0 .

1) Soluzione – Poiche entrambi i fattori hanno supporto in IR+ f esiste ed ha supporto in IR+

(f ∈ D′+(IR)) . Derivando si ha

f ′ = δ ∗ ϑ = ϑ =⇒ f = xϑ .

Si noti che la costante di integrazione e nulla perche f deve avere supporto in IR+.

2) Soluzione – Anche in questo caso f ∈ D′+(IR). Derivando otteniamo

f ′ = δ ∗ x2ϑ = x2ϑ =⇒ f =1

3x3ϑ .

3) Soluzione – Derivando e tenendo conto che f ha supporto in IR+ si ottiene

f ′ = (xδ + ϑ) ∗ xϑ = ϑ ∗ xϑ =⇒ f ′′ = δ ∗ xϑ = xϑ =⇒ f =1

6x2ϑ .

4) Soluzione – Il prodotto di convoluzione e definito perche entrambi i fattori sono sommabili in IR.In tal caso si ha

f(x) =

∫ ∞

−∞dy e−|y|e−|x−y| =

∫ ∞

0

dy e−ye−|x−y| +

∫ ∞

0

dy e−ye−|x+y| .

Si deve distinguere fra valori di x positivi e negativi. Allora

f(x) =

∫ x

0dy e−x +

∫∞x

dy exe−2y +∫∞0

dy e−xe−2y = (1 + x)e−x , x ≥ 0 ,∫ −x0

dy ex +∫∞−x dy e

−xe−2y +∫∞0

dy exe−2y = (1 − x)ex , x ≤ 0 .

Il risultato finale si puo scrivere nella forma compatta

f = ϑ(x)(1 + x)e−x + ϑ(−x)(1 − x)ex = (1 + |x|)e|x| .

76

5) Soluzione – Anche in questo caso entrambi i fattori sono assolutamente integrabili in IR. Persemplificare l’integrazione notiamo che f = g′, dove

g(x) = −e−ax2 ∗ e−ax2

2a= − 1

2a

∫ ∞

−∞dy e−ay

2

e−a(x−y)2

= −√π

2a√

2ae−ax

2/2 .

Derivando si ha infine

f = g′ =

√

π

2a

x

ae−ax

2/2 .

Esercizio 19. (Derivazione in D′+(IR)) – In D′

+(IR) si consideri la distribuzione

fα(x) =

ϑ(x)xα−1

Γ(α) , α > 0 ,

f ′α+1 , α ≤ 0 ,α ∈ IR ,

dove Γ(x) e la funzione Gamma di Eulero (integrale del II tipo).Mostrare che per ogni g ∈ D′

+(IR) e ogni n ∈ IN si ha

1) fα ∗ fβ = fα+β , 3) f−n ∗ g =dn

dxng ,

2) f0 ∗ g = δ ∗ g , 4) fn ∗ g = ϑ ∗ ϑ ∗ ϑ ∗ ... ∗ g .

Nell’ultima espressione ci sono n fattori ϑ. Tutti i prodotti di convoluzione sopra esistono perche ledistribuzioni appartengono a D′

+(IR).

1) Soluzione – Dalla definizione si ha

fα ∗ fβ =ϑ(x)

Γ(α)Γ(β)

∫ x

0

dy yα−1(x− y)β−1 = B(α, β)ϑ(x)xα+β−1

Γ(α)Γ(β)=ϑ(x)xα+β−1

Γ(α+ β)= fα+β .

La funzione Beta (integrale di Eulero del I tipo) e data da

B(x, y) =

∫ 1

0

dttx−1

(1 − t)y−1=

Γ(x)Γ(y)

Γ(x+ y)= B(y, x) , Rex > 0 , Re y > 0 . (12.5)

2) Soluzione – Dalla definizione per α = 0 abbiamo

f0(x) = f ′1(x) = ϑ′(x) = δ(x) =⇒ f0 ∗ g = δ ∗ g = g .

3) Soluzione – Usando la definizione per α ≤ 0 si ha

f−n = f ′−n+1 = f ′′−n+2 = ... f(n)0 = δ(n) =⇒ f−n ∗ g = δ(n) ∗ g = δ ∗ g(n) = g(n) .

4) Soluzione – Notiamo che la relazione fα = f ′α+1 vale anche per α > 0, infatti

f ′α+1 =αϑ(x)xα−1

Γ(α+ 1)=ϑ(x)xα−1

Γ(α)= fα .

Allora otteniamo

ϑ = f1 = f ′2 = f ′′3 = ... f (n−1)n =⇒ fn = ϑ ∗ ϑ ∗ ... ∗ ϑ , n fattori.

Si noti che la primitiva in D′+(IR) di ϑ si e scritta nella forma ϑ ∗ ϑ = xϑ.

Esercizio 20. (Derivate di ordine qualunque) – La distribuzione introdotta nell’esercizo precedentepermette di definire “derivate” e “primitive” di ordine qualunque in D′

+(IR) (anche non intero).Se g(x) e una funzione con supporto in IR+, per quanto visto sopra si ha

f−1 ∗ g =dg(x)

dx, f1 ∗ g = ϑ ∗ g =

∫ x

0

dy g(y) .

Sostituendo 1 con n ∈ IN si ottengono la derivata e la primitiva di ordine n (purche esistano).

77

Se g ∈ D′+(IR) non ci sono problemi di esistenza qualunque sia n. Piu in generale si definisce

g(α) = f−α ∗ g , derivata di ordine α ,g(α) = fα ∗ g , primitiva di ordine α ,

α ∈ IR .

Queste effettivamente generalizzano il concetto di derivata e integrale.Usando la definizione data, calcolare

1) δ(1/2) , 2) δ(1/2) , 3) ϑ(3/2) , 4) ϑ(3/2) .

1) Soluzione – Le primitive si calcolano applicando direttamente fα, cioe

δ(1/2) = f1/2 ∗ δ = f1/2 =ϑ(x)√πx

.

2) Soluzione – Per calcolare le derivate bisogna prima “spostarsi” verso gli α positivi usando la relazionedi ricorrenza per fα e usare poi la sua espressione in termini della funzione localmente sommabile. Quindi

δ(1/2) = f−1/2 ∗ δ = f ′1/2 =d

dx

ϑ(x)√πx

.

3) Soluzione – Come in 1) si ottiene

ϑ(3/2) = f ′5/2 ∗ ϑ = f5/2 =4ϑ(x)x3/2

3√π

.

4) Soluzione – Procedendo come in 2) si ricava

ϑ(3/2) = f−3/2 ∗ ϑ = f ′−1/2 ∗ ϑ = f ′′1/2 ∗ ϑ = f ′1/2 ∗ δ =d

dx

ϑ(x)√πx

.

♣ Si osservi che

δ(1/2) =d2

dx2ϑ(3/2) , δ(1/2) = ϑ(3/2) =

d

dxδ(1/2) .

Attenzione! Nelle espressioni delle derivate in 2) e 4) non e lecito effettuare esplicitamente la derivazio-ne della funzione perche derivando si otterrebbe una funzione non localmente sommabile. Ad esempio,g(x) = 2x−1/2 e una funzione localmente sommabile in IR e quindi rappresenta una distribuzione gregolare in D′(IR). La sua derivata g′ e ben definita, ma va calcolata applicando la distribuzionead una funzione test. Derivandola direttamente come fuinzione si ottiene −x−3/2 che non rapprentanessuna distribuzione.

Esercizio 21. (Equazione di Abel) – In D′+(IR), risolvere l’equazione integrale

∫ x

0

dtu(t)

(x− t)α= g(x) , g(x) ∈ C1(IR+) , g(0) = 0 , 0 < α < 1 .

Soluzione – Si deve trovare la distribuzione u(x) in termini della funzione g(x) data. Mediante ladistribuzione fα introdotta negli esercizi precedenti, l’equazione di Abel si puo scrivere nella formacompatta

Γ(β) fβ ∗ u = g(x) , 0 < β = 1 − α < 1 .

Ricordando le proprieta di fα, in particolare fα ∗ fβ = fα+β e f0 = δ, moltiplicando (convoluzione)l’equazione precedente per f−β otteniamo

Γ(β) f−β ∗ fβ ∗ u = f−β ∗ g =⇒ Γ(1 − α)u = fα−1 ∗ g = fα ∗ f−1 ∗ g = fα ∗ g′ .

78

Usando l’espressione esplicita per fα abbiamo infine

u(x) =1

Γ(α)Γ(1 − α)

∫ x

0

dtg′(t)

(x− t)1−α=

sinπx

π

∫ x

0

dtg′(t)

(x− t)1−α.

Esercizio 22. (Trasformate di Fourier) – Ricordiamo che in S ′(IRn) la trasformata di Fourier edefinita in maniera “asimmetrica” in quanto, data un’arbitraria funzione test ϕ ∈ S(IRn), si ha

F [ϕ](x) = ϕ(x) =∫

IRn dk e−i(k,x)ϕ(k) ,F−1[ϕ](x) = ϕ(x) = 1

(2π)n

∫

IRn dk ei(k,x)ϕ(k) ,=⇒ F [ϕ](x) = (2π)n F−1[ϕ](−x) .

Per ogni f ∈ S ′ valgono le proprieta seguenti:

1. F [(−ix)α f ] = Dα F [f ] ,

2. F [Dα f ] = (ik)α F [f ] ,

3. F [f ∗ g] = F [f ]F [g] , quando ha significato.

In S ′(IR) calcolare le trasformate di Fourier delle seguenti distribuzioni:

1) δ , 2) 1 , 3) ϑ , 4) ϑ ∗ δ′ , 5) xϑ(x) , 6) f(x− x0) , 7) eixk0 f(x) .

In S ′(IR),S ′(IR2) calcolare le trasformate di Fourier delle seguenti distribuzioni:

8) P 1

|x| , 9) P 1

|x|2 , (|x|2 = x21 + x2

2) .

dove(

P 1

|x|n , ϕ(x)

)

=

∫

|x|<1

dxϕ(x) − ϕ(0)

|x|n +

∫

|x|>1

dxϕ(x)

|x|n , dx = dx1dx2 ... dxn

e gli integrali precedenti sono fatti su IRn.

1) Soluzione – Dalla terza proprieta, per qualunque distribuzione f ∈ S si ha F [f ] = F [δ∗f ] = F [δ]F [f ]e quindi F [δ] = 1.

2) Soluzione – Osserviamo che F [1](x) = (2π)nF−1[1](−x) = (2π)n δ(−x) = (2π)n δ(x). In questocaso n = 1 e quindi F [1] = 2πδ.

3) Soluzione – Applicando la definizione si ha

(ϑ, ϕ) = (ϑ, ϕ) =

∫ ∞

0

dk ϕ(k) =

∫ ∞

0

dk

∫ ∞

−∞dx e−ikxϕ(x)

= limR→∞

∫ R

0

dk

∫ ∞

−∞dx e−ikxϕ(x) = i lim

R→∞

∫ ∞

−∞dx

e−iRx − 1

xϕ(x)

= i limR→∞

v.p.

∫ ∞

−∞dx

e−iRx − 1

xϕ(x)

= i limR→∞

(

e−iRx P 1

x, ϕ(x)

)

− i

(

P 1

x, ϕ(x)

)

.

Per quanto visto negli esercizi precedenti (vedi limiti) si ha finalmente

F [ϑ](x) = πδ(x) − iP 1

x= − i

x− i0, F [ϑ](−x) = πδ(x) + iP 1

x=

i

x+ i0.

4) Soluzione – Usando le proprieta del prodotto di convoluzione si ha

ϑ ∗ δ′ = ϑ′ ∗ δ = δ ∗ δ − δ =⇒ F [ϑ ∗ δ′] = F [δ] = 1 .

5) Soluzione – Dalla proprieta 1. scritta per α = 1 si ricava

F [xϑ(x)](k) = id

dkF [ϑ(x)](k) = i

d

dk

[

πδ(k) − iP 1

k

]

= iπδ′(k) − P 1

k2.

79

6) Soluzione – E’ sufficiente dimostrarlo per una distribuzione regolare. Dalla definizione di trasformatasegue

(F [f(x− x0)](k), ϕ(k)) = (f(x− x0), F [ϕ](x)) =

∫ ∞

−∞dx f(x− x0)

∫ ∞

−∞dk e−ikxϕ(k)

=

∫ ∞

−∞dx f(x)

∫ ∞

−∞dk e−ikxe−ikx0ϕ(k)

= (f(x), F [e−ikx0ϕ](x)) = (F [f ](k), e−ikx0ϕ(k)) = (e−ikx0F [f ](k), ϕ(k)) ,

da cui segue F [f(x− x0)](k) = e−ik0F [f(x)](k).

7) Soluzione – Anche qui assumiamo una distribuzione regolare, quindi

(F [eixk0f(x)], ϕ) =

∫ ∞

−∞dx eixk0f(x)

∫ ∞

−∞dk e−ikxϕ(k) =

∫ ∞

−∞dx f(x)

∫ ∞

−∞dk e−ixkϕ(k + k0)

= (f(x), F [ϕ(k + k0)](x)) = (F [f(x)](k), ϕ(k + k0)) = (F [f(x)](k − k0), ϕ(k)) ,

da cui segue F [eixk0f(x)](k) = F [f(x)](k − k0).

8) Soluzione – Applicando la definizione per n = 1 si ha(

F

[

P 1

|x|

]

(k), ϕ(k)

)

=

∫

|x|<1

dxϕ(x) − ϕ(0)

|x| +

∫

|x|>1

dxϕ(x)

|x|

=

∫ ∞

k=−∞dk ϕ(k)

∫

|x|<1

dx[e−ikx − 1]

|x| +

∫

|x|>1

dxe−ikx

|x|

= 2

∫ ∞

k=−∞dk ϕ(k)

∫ 1

x=0

dx[cos kx− 1]

x+

∫ ∞

x=1

dxcos kx

x

= 2

∫ ∞

k=−∞dk ϕ(k)

∫ k

y=0

dy[cos y − 1]

y+

∫ ∞

y=k

dycos y

y

= 2

∫ ∞

k=−∞dk ϕ(k)

∫ 1

y=0

dy[cos y − 1]

y+

∫ ∞

y=1

dycos y

y−∫ k

y=1

dy

y

= (−2 log |k| − 2c1, ϕ(k)) .

Si ha dunque

F

[

P 1

|x|

]

(k) = −2 log |k| − 2c1 , c1 =

∫ 1

0

dy1 − cos y

y−∫ ∞

1

dycos y

y.

9) Soluzione – In due dimensioni conviene usare coordinate polari x ≡ (r, ϑ), dx = r drdϑ. In questomodo si ha

(

F

[

P 1

|x|2]

(k), ϕ(k)

)

=

∫ 2π

0

dϑ

∫ 1

0

drϕ(r, ϑ) − ϕ(0)

r+

∫ ∞

1

drϕ(r, ϑ)

r

=

∫

IR2dk ϕ(k)

∫ 2π

0

dϑ

∫ 1

0

dr[e−i|k|r cosϑ − 1]

r+

∫ ∞

1

dre−i|k|r cosϑ

r

=

∫

IR2dk ϕ(k)

∫ 2π

0

dϑ

∫ 1

0

dy[e−iy cosϑ − 1]

y+

∫ ∞

1

dye−iy cosϑ

y−∫ |k|

1

dy

y

= (−2π log |k| − 2πc2, ϕ(k)) ,

da cui segue

F

[

P 1

|x|2]

(k) = −2π log |k| − 2πc2 , c2 =

∫ 1

0

dy1 − J0(y)

y−∫ ∞

1

dyJ0(y)

y.

Qui J0 e la funzione di Bessel

J0(z) =1

2π

∫ 2π

0

dϑ e−iz cosϑ =1

2π

∫ 2π

0

dϑ eiz cosϑ . (12.6)

80

Esercizio 23. (Trasformate di Fourier di δS – In S ′(IRn), per n = 1, 2, 3, calcolare le trasformate diFourier della distribuzione δS definita in (12.4), dove S e la superficie |x| = R.

(n=1) Soluzione – In questo caso si ha δS1= δ(x−R) + δ(x+R) e pertanto

F [δS1](k) = F [δ(x−R)](k) + F [δ(x+R)](k) = e−ikRF [δ(x)](k) + eikRF [δ(x)](k) = 2 cos kR .

(n=2) Soluzione – Dalla definizione otteniamo

(F [δ(|x| −R)](k), ϕ(k)) = (δ(|x| −R), ϕ(x)) =

∫

|x|=Rdx ϕ(x)

= R

∫ 2π

0

dϑϕ(R,ϑ) = R

∫

IR2dk

∫ 2π

0

dϑ e−i|k|R cosϑϕ(k)

= 2πR

∫

IR2dk J0(R|k|ϕ(k) = (2πRJ0(R|k|), ϕ(k)) .

Vediamo dunque che F [δ(R− |x|)](k) = 2πRJ0(R|k|), dove J0(z) e la funzione di Bessel in (12.6).

(n=3) Soluzione – Anche qui usiamo la definizione. Allora

(F [δ(|x| −R)](k), ϕ(k)) = (δ(|x| −R), ϕ(x)) =

∫

|x|=Rdx ϕ(x)

= R2

∫ 2π

0

dπ

∫ π

0

dϑ sinϑϕ(R,ϑ, ϕ)

= 2πR2

∫

IR3dk

∫ 1

−1

du e−i|k|Ruϕ(k) = 4πR

∫

IR3dk

sin |k|R|k| ϕ(k) ,

da cui segue

F [δ(R− |x|)](k) = 4πRsin |k|R

|k| .

Esercizio 24. – In S ′(IRn), per n = 1, 2, 3, verificare le identita seguenti

F−1

[

sin |k|R|k|

]

(x) =

ϑ(R−|x|)2 , x ∈ IR ,

ϑ(R−|x|)2π

√R2−r2 , x ∈ IR2 ,

δ(R−|x|)4πR , x ∈ IR3 .

(12.7)

Nel calcolo per n = 2 si consideri noto il risultato∫ R

0

drrJ0(r|k|)√R2 − r2

=sin |k|R

|k| ,

dove J0(z) e la funzione di Bessel in (12.6).

(n=1) Soluzione – Usando la definizione, facciamo le trasformate di Fourier del secondo membro in(12.7). Per x ∈ IR si ha

(F [ϑ(R− |x|)](k), ϕ(k)) = (ϑ(R− |x|), ϕ(x)) =

∫ R

−Rdx ϕ(x) =

∫ ∞

−∞dk

∫ R

−Rdx e−ikxϕ(k)

= 2

∫ ∞

−∞dk

sin kR

kϕ(k) = 2

(

sin kR

k, ϕ(k)

)

.

Poiche la funzione e pari, si puo sostituire k con il suo modulo ottenendo cosı il risultato richiesto.

(n=2) Soluzione – Per x ∈ IR2 si ha(

F

[

ϑ(R− |x|)√R2 − r2

]

(k), ϕ(k)

)

=

(

ϑ(R− |x|)√R2 − r2

, ϕ(x)

)

=

∫ R

0

∫ 2π

0

rdrdϑ√R2 − r2

ϕ(r, ϑ)

=

∫

IR2dk ϕ(k)

∫ R

0

∫ 2π

0

rdrdϑ er|k| cosϑ√R2 − r2

= 2π

∫

IR2dk ϕ(k)

∫ R

0

rdr J0(r|k|)√R2 − r2

= 2π

(

sin |k|R|k| , ϕ(k)

)

.

81

(n=3) Soluzione – Questo e esattamente il terzo problema dell’esercizio precedente.

Esercizio 25. (Soluzioni fondamentali di operatori differenziali lineari) – Ricordiamo che ognioperatore differenziale lineare a coefficienti costanti possiede una soluzione fondamentale E , la quale euna distribuzione temperata e soddisfa le equazioni

P (D)E = δ , P (ik)F [E ](k) = P (ik)E(k) = 1 , P (D) =∑

α

aαDα . (12.8)

In S ′(IR) e D′+(IR), trovare la soluzione fondamentale dei seguenti operatori lineari (x ∈ IR, a > 0

costante, n ∈ IN):

1)d

dx± a , 2)

(

d

dx± a

)n+1

, 3)d2

dx2− a2 , 4)

d2

dx2+ a2 , 5)

d2

dx2+ 2

d

dx+ 1 .

1) Soluzione – In S ′ si ha

P (ik) = ik ± a =⇒ E(k) =1

ik ± a=⇒ E(x) = F−1[E(k)](x) .

Calcolando la trasformata inversa otteniamo infine

E(x) =1

2πi

∫ ∞

−∞dk

eikx

k ∓ ia= ±ϑ(±x) e∓ax .

L’ultimo integrale si calcola rapidamente usando il metodo dei residui. E’ immediato verificare chel’espressione trovata soddisfa la (12.8).

1*) Soluzione – In D′+ la soluzione e della forma E(x) = ϑ(x)Z(x) dove

Z ′(x) ± aZ(x) = 0 ,Z(0) = 1 ,

=⇒ Z(x) = e∓ax =⇒ E(x) = ϑ(x) e∓ax .

♣ Notiamo che la soluzione coincide con quella ottenuta sopra nel primo caso in cui P (d/dx) = d/dx+a.In tal caso infatti la distribuzione e temperata. Nel secondo caso in cui P (d/dx) = d/dx−a la soluzionenon e temperata e quindi dufferisce rispetto a quella ottenuta sopra.

2) Soluzione – In S ′, procedendo come sopra abbiamo E(k) = (ik ± a)−(n+1) da cui segue

E(x) =1

2π(i)n+1

∫ ∞

−∞dk

eikx

(k ∓ ia)n+1=

xn

2πin!

∫ ∞

−∞dk

eikx

k ∓ ia= ±ϑ(±x) x

n

n!e∓ax .

Per ottenere il risultato precedente si e integrato n volte per parti.

2*) Soluzione – La soluzione in D′+ si ottiene risolvendo l’equazione differenziale di ordine n+ 1

(

ddx ± a

)nZ(x) = 0 ,

Z(n)(0) = 1 ,Z(0) = Z ′(0) = ... = Z(n−1) = 0 ,

=⇒ Z(x) =xn

n!e∓ax .

da cui segue E(x) = ϑ(x)xn e∓ax/n!.

3) Soluzione – In S ′ abbiamo

E(k) = − 1

k2 + a2=

1

2i|a|

[

1

k + ia− 1

k − ia

]

,

da cui segue

E(x) = − 1

2π

∫ ∞

−∞dk

eikx

k2 + a2=

1

4πia

∫ ∞

−∞dk

[

eikx

k + ia− eikx

k − ia

]

= −e−a|x|

2a.

82

Gli integrali precedenti si calcolano usando il metodo dei residui.

3*) Soluzione – In D′+ si ha facilmente

Z ′′(x) − a2Z(x) = 0 ,Z ′(0) = 1 , Z(0) = 0 ,

=⇒ Z(x) =eax − e−ax

2a=

sinh ax

a,

da cui E(x) = [ϑ(x) sinh ax]/a.

4) Soluzione – In questo caso si deve fare attenzione al fatto che il polinomio corrispondente all’ope-ratore non e invertibile (come funzione). Senza perdere in generalita possiamo assumere a > 0 e porrea = |a|. Otteniamo allora

[(ik)2 + a2]E(k) = −(k − a)(k + a)E(k) = 1 .

Come si verifica direttamente, una soluzione particolare di questa equazione algebrica e data da

E(k) = −P 1

k + aP 1

k − a=

1

2a

[

P 1

k + a− P 1

k − a

]

.

Si noti che il prodotto delle due distribuzioni sopra e ben definito perche sono “singolari” in punti distinti.Mediante l’antitrasformata otteniamo

E(x) =1

4πa

[

v.p.

∫ ∞

−∞dk

eikx

k + a− v.p.

∫ ∞

−∞dk

eikx

k − a

]

=1

2asin a|x| .

4*) Soluzione – In D′+ si ha come sopra

Z ′′(x) + a2Z(x) = 0 ,Z ′(0) = 1 , Z(0) = 0 ,

=⇒ Z(x) =eiax − e−iax

2ai=

sin ax

a,

e infine E(x) = [ϑ(x) sin ax]/a.

♣ Si noti che con la sostituzione a→ ia quest’ultima espressione diventa

1

iasin iax =

1

asinh ax ,

che coincide con la soluzione in D′+ dell’esercizio precedente.

5) Soluzione – In questo caso si ha E(k) = [−k2 + 2ki+ 1]−1 = −(k − i)−2 da cui segue

E(x) = − 1

2π

∫ ∞

−∞dk

eikx

(k − i)2= ϑ(x)x e−x .

5*) Soluzione – In D′+ si ha

Z ′′(x) + 2Z ′(x) + 1 = 0 ,Z ′(0) = 1 , Z(0) = 0 ,

=⇒ Z(x) = x e−x =⇒ E(x) = ϑ(x)x e−x .

In questo caso la soluzione in D′+ e temperata e coincide con quella in S ′.

Esercizio 26. (Soluzioni fondamentali del laplaciano) – In S ′(IRn) trovare le soluzioni fondamentalidell’operatore di laplace ∆ per n = 1, 2, 3, vale a dire:

1) ∆ =d2

dx2, 2) ∆ =

∂2

∂x21

+∂2

∂x22

, 3) ∆ =∂2

∂x21

+∂2

∂x22

+∂2

∂x23

.

1) Soluzione – In S ′(IR) si ha

F [∆ E(x)](k) = −k2E(k) = 1 =⇒ E(k) = −P 1

k2,

83

e quindi

E(x) = F−1

[

−P 1

k2

]

(x) =1

2πF

[

−P 1

(−k)2]

(x)

=1

2πF

[

d

dkP 1

k

]

(x) =ix

2πF

[

P 1

k

]

(x)

=ix

2πv.p.

∫ ∞

∞dk

e−ikx

x=

|x|2.

2) Soluzione – In S ′(IR2) abbiamo

F [∆ E(x)](k) = −|k|2E(k) = 1 =⇒ E(k) = −P 1

|k|2 , |k|2 = k21 + k2

2 .

Allora si ha

E(x) = F−1

[

−P 1

|k|2]

(x) =1

(2π)2F

[

−P 1

| − k|2]

(x) =1

2πlog |x| =

1

2πlog r ,

dove si e tralasciata la costante inessenziale e si e posto x ≡ (r, ϑ).

3) Soluzione – In S ′(IR3), 1/|k|2 e una funzione localmente sommabile e quindi definisce una distribu-zione regolare. Si ha

F [∆ E(x)](k) = −|k|2E(k) = 1 =⇒ E(k) = − 1

|k|2 , |k|2 = k21 + k2

2 + k23 .

La trasformata inversa si puo calcolare direttamente come funzione. Usando coordinate polarik ≡ (p, ϑ, ϕ), dk = p2 sinϑdp dϑ dϕ si ha

E(x) = − 1

(2π)3

∫ ∞

0

dp

∫ 2π

0

dϕ

∫ π

0

sinϑdϑ eipr cosϑ = − 1

(2π)2

∫ ∞

0

dp

∫ 1

−1

du eipru

= − 2

r(2π)2

∫ ∞

0

dpsin pr

p= − 1

r(2π)2

∫ ∞

−∞dy

sin y

y= − 1

4πr,

dove r = |x| (si noti che la soluzione e il potenziale newtoniano).

Esercizio 27. (Opetarore di Helmholtz) – In S ′(IR3) trovare la soluzione fondamentale degli operatori

1) ∆ +m2 , 2) ∆ −m2 , m > 0 .

1) Soluzione – Posto come sopra k ≡ (p, ϑ, ϕ) otteniamo

(−p2 +m2) E(k) = 1 =⇒ E(k) = − 1

p2 −m2 − i0,

dove si e introdotta la distribuzione singolare(

1

|x|2 −m2 + i0, ϕ(x)

)

= limε→0

∫

IR3dx

ϕ(x)

|x|2 −m2 − iε.

La trasformata di Fourier della funzione (p2 −m2 − iε)−1 in IR3 si puo calcolare direttamente. Infatti

F−1

[

− 1

p2 −m2 − i0

]

(x) = − 1

(2π)3

∫ ∞

0

dp

∫ 2π

0

dϕ

∫ π

0

sinϑdϑp2 eipr cosϑ

p2 −m2 − iε

= − 1

r(2π)2

∫ ∞

−∞dp

p sin pr

p2 −m2 − iε= −e

ir√m2+iε

4πr.

Facendo il limite ε→ 0 abbiamo le due soluzioni

E(x) = −eimr

4πr, E(x) = −e

−imr

4πr.

84

2) Soluzione – In questo caso la E(k) = −1/(p2 + m2) e una distribuzione regolare. Facendo latrasformata otteniamo

E(x) = − 1

(2π)3

∫ ∞

0

dp

∫ 2π

0

dϕ

∫ π

0

sinϑdϑp2 eipr cosϑ

p2 +m2

= − 1

r(2π)2

∫ ∞

−∞dp

p sin pr

p2 +m2= −e

−mr

4πr.

Questa soluzione corrisponde al potenziale di Yukawa.

Esercizio 28. (Equazione del calore) – La propagazione del calore attraverso un mezzo omogeneo egovernata dall’operatore

∂

∂t− α∆ ,

dove α > 0 e una costante che dipende dal mezzo, t ≥ 0 e il tempo e ∆ il laplaciano in n dimensionispaziali x ∈ IRn.

1) Determinare la soluzione fondamentale in D′+(IR) × S ′(IRn).

1) Soluzione – Facciamo la trasformata di Fourier dell’equazione rispetto a x ∈ IRn, considerando iltempo come un parametro esterno. Allora otteniamo

F [δ(t, x)] = F [δ(t) · δ(x)] = δ(t) · F [δ(x)] = δ(t) ,(

∂

∂t+ α |k|2

)

E(t, k) = δ(t) .

Poiche t ≥ 0, la soluzione dell’equazione precedente e della forma E(t, k) = ϑ(t) Z(t, k) con Z(0, k) = 1 e(

∂

∂t+ α |k|2

)

Z(t, k) =⇒ Z(t, k) = e−α|k|2t , |k|2 = k2

1 + ... + k2n .

La soluzione cercata e data da

E(t, x) = F−1[E(t, k)](x) = ϑ(t)F−1[Z(t, k)](x)

=ϑ(t)

(2π)n

∫

IRndx e−α|k|

2t ei(k,x) .

L’integrale si fa facilmente perche e il prodotto di n integrali della forma

1

2π

∫ ∞

−∞dp e−αp

2t eipq =1

2√παt

e−q2

4αt ,

con q = xi (i = 1, 2, ... n. Si ha finalmente

E(t, x) =ϑ(t)

(

2√παt

)n e− |x|2

4αt ,

Esercizio 29. (Laplaciano in dimensione qualunque – Metodo della discesa) – Sotto certecondizioni, il metodo della discesa permette di trovare la soluzione fondamentale di un operatore Ain IRn, partendo dalla soluzione fondamentale dell’operatore P = ∂t + A in IR1+n ( per analogia conl’equazione del calore, P si chiama operatore del calore).

A tale scopo si supponga di avere una funzione K(t, x), integrabile rispetto a t in IR+ e tale che(

∂

∂t+A

)

K(t, x) = 0 , limt→0

K(t, x) = δ(x) , limt→∞

K(t, x) = 0 .

Integrando l’equazione precedente rispetto a t si ottiene

0 =

∫ ∞

0

dt[

K(t, x) +AK(t, x)]

= K(∞, x) −K(0, x) +A

∫ ∞

0

dtK(t, x) ,

85

da cui segue

A

∫ ∞

0

dtK(t, x) = δ(x) .

Si vede dunque che l’integrale di K(t, x) e soluzione fondamentale dell’operatore A.Osserviamo ora che la soluzione fondamentale E(t, x) dell’operatore del calore P tende sempre a δ(x)

per t→ 0 poiche e della forma ϑ(t)Z(t, x), dove Z(t, x) soddisfa l’equazione del calore omogenea. Infatti

δ(t)δ(x) =

(

∂

∂t+A

)

ϑ(t)Z(t, x) = δ(t)Z(0, x) + ϑ(t)[

Z(t, x) +AZ(t, x)]

= δ(t)Z(0, x) ,

e quindi Z(0, x) = δ(x). Questo significa che se E(t, x) e integrabile in t allora la soluzione fondamentaledell’operatore A e data da

E(x) =

∫ ∞

0

dt E(t, x) .

♣ Il metodo descritto sopra ha validita piu generale come si evince dal seguente

• Teorema (metodo della discesa) – Sia u(t, x) ∈ D′(R1+n) la soluzione dell’equazione differenziale

P (∂t,Dx)u(t, x) = δ(t)g(x) , P (∂t,Dx) = P0(Dx) +∑

q>0

Pq(Dx) ∂qt ,

dove P0, Pq sono polinomi arbitrari. Se u(t, x) e integrabile in t, allora

P0(Dx)u0(x) = g(x) , u0(x) =

∫ ∞

0

dt u(t, x) = u(t, x) ∗ 1 . (12.9)

Nell’ultimo termine, ′′1′′ e pensato come funzione di t soltanto e quindi come distribuzione appartienea D′(IR). Dalla (12.9) segue che la soluzione fondamentale dell’operatore P0(Dx) si puo ottenereintegrando la soluzione fondamentale dell’operatore P (∂t,Dx) (quando l’integrale esiste).

• Dimostrazione – Qui diamo soltanto una semplice dimostrazione formale usando le proprietadelle distribuzioni. Indichiamo con E(t, x) e E0(x) le soluzioni fondamentali degli operatori P e P0

rispettivamente, quindi

P (∂t,Dx)E(t, x) = δ(t) · δ(x) , P0(Dx)E(x) = δ(x) .

Dalle proprieta del prodotto diretto e di convoluzione si ha anche

E(t, x) ∗ [1 · δ(x)] = 1 · [E0(x) ∗ δ(x)] = 1 · E0(x) ,

[δ(t) · δ(x)] ∗ [1 · δ(x)] = 1 · δ(x) .

Nella formula precedente si conserva la distribuzione ′′1′′, anche se inessenziale, perche siamo inD′(IR1+n). Applicando ora l’operatore P otteniamo finalmente

[P (∂t,Dx)E(t, x)] ∗ [1 · δ(x)] =

P (∂t,Dx)[1 · E0(x)] = 1 · P0(Dx)E0(x) ,[δ(t) · δ(x)] ∗ [1 · δ(x)] = 1 · δ(x) .

1) Usando il metodo della discesa, trovare le soluzioni fondamentali dell’operatore di laplace in IRn

(n ≥ 3), ossia

∆ =

n∑

k=1

∂2

∂x2k

, x ≡ (x1, x2, .. , xn) .

1) Soluzione – La soluzione fondamentale dell’equazione del calore ricavata precedentemente e unagaussiana della forma

E(t, x) =1

(

2√παt

)n e− |x|2

4αt ,

(

∂

∂t− α∆

)

E(t, x) = δ(t, x) .

86

Vediamo che E(t, x) e integrabile in t. Posto α = 1 abbiamo

E(x) = −∫ ∞

0

dt E(t, x) = − 1

(2√π)n

∫ ∞

0

dt e−|x|2

4t t−n2

= − 1

(2√π)n

(

4

|x|2)

)n2−1 ∫ ∞

0

dτ e−τ τn2−2 = −Γ(n/2 − 1)

4πn/21

|x|n−2.

Questa vale per n ≥ 3, ma “accidentalmente” da il risultato corretto anche per n = 1.

Esercizio 30. (Equazione di Schrodinger) – In D′+(IR) × S ′(IRn) trovare la soluzione fondamentale

dell’operatore

ih∂

∂t+h2

2m∆ , ∆ =

n∑

j=1

∂2

∂x2j

, h > 0 , m > 0 .

Soluzione – Come per l’equazione del calore, facciamo la trasformata di Fourier rispetto a x ≡(x1, ... , xn). In tal modo

[

ih∂

∂t− h2 |k|2

2m

]

E(t, k) = δ(t) =⇒ E(t, k) = ϑ(t)Z(t, k) ,

dove Z(t, k) e soluzione dell’equazione omogenea

ih ∂tZ(t, k) − h2 |k|22m

Z(t, k) = 0 , Z(0, k) = 1 .

La soluzione con la condizione iniziale fissata e

Z(t, k) = e−iαt|k|2

, α =h

2m,

da cui segue

E(t, x) =1

(2π)n

∫

IRndk e−iαt|k|

2

ei(k,x) =n∏

j=1

[

1

2π

∫ ∞

−∞dp e−iαt p

2

eipxj

]

=

n∏

j=1

[

eix2j/4αt

2π

∫ ∞

−∞du e−iαt u

2

]

=einπ/4

(2√παt)n

ei|x|2/4αt .

Finalmente si ha

E(t, x) = ϑ(t)( m

2πht

)n2

exp

(

im|x|22ht

+iπn

4

)

.

Esercizio 31. (Equazione delle onde) – Trovare le soluzioni fondamentali dell’operatore delle onde2 = ∂2

t − α2∆ (α > 0, costante) in D′+(IR) × S ′(IR), D′

+(IR) × S ′(IR2) e D′+(IR) × S ′(IR3).

1) ∆ =∂2

∂x2, 2) ∆ =

∂2

∂x21

+∂2

∂x22

, 3) ∆ =∂2

∂x21

+∂2

∂x22

+∂2

∂x23

.

1) Soluzione – Come per l’equazione del calore, facciamo la trasformata di Fourier solo rispetto allavariabile x e risolviamo l’equazione ottenuta rispetto a t. In questo modo si ottiene

∂2t E(t, k) + α2k2E(t, k) = δ(t) , E(t, k) = ϑ(t)Z(t, k) ,

dove Z(t, k) e soluzione del problema

∂2t Z(t, k) + α2k2Z(t, k) = 0 , Z ′(0, k) = 1 , Z(0, k) = 0 .

Integrando con le condizioni iniziali date si ha

E(t, k) =ϑ(t) sinαkt

αk=⇒ E(t, x) =

ϑ(t)

2πα

∫ ∞

−∞dk

eikx sinαkt

k.

87

Risolvendo l’integrale con il metodo dei residui si ottiene finalmente

E(t, x) =1

2αϑ(αt− |x|) .

Quest’ultima trasformata si poteva scrivere direttamente usando i risultati dell’esercizio (12.7).

2) Soluzione – Procedendo come sopra si ottiene

E(t, k) =ϑ(t) sinα|k|t

α|k| , |k| =√

k21 + k2

2 .

La trasformata inversa di questa distribuzione e gia stata calcolata nell’esercizio (12.7). Usando quelrisultato si ha direttamente

E(t, x) =ϑ(αt− |x|)

2α√

α2t2 − |x|2.

3) Soluzione – Anche in questo caso si ha

E(t, k) =ϑ(t) sinα|k|t

α|k| , |k| =√

k21 + k2

2 + k23 ,

e la trasformata inversa e stata calcolata in (12.7). Quindi

E(t, x) =ϑ(t) δ(αt− |x|)

4πα2 t=ϑ(t) δ(α2t2 − |x|2)

2πα.

88

13 Equazioni integrali

Esercizio 32. – Usando il metodo del risolvente trovare la soluzione dell’equazione

φ(x) = g(x) + µ

∫ π

0

dt sinx cos t φ(t) , g(x) ∈ C[0, π] .

Soluzione – Osserviamo che il primo nucleo iterato K2(x, t) e nullo. Infatti

K2(x, t) =

∫ π

0

dy sinx cos y sin y cos t =1

2sinx cos t

∫ π

0

dy sin 2y = 0 ,

e quindi il nucleo dell’equazione e ortogonale a se stesso. La soluzione esiste per qualunque valore di µed e data da

φ(x) = g(x) + µ

∫ π

0

dt sinx cos t g(t) .

Esercizio 33. – Usando il metodo delle contrazioni, risolvere l’equazione di Fredholm

φ(x) = Bφ(x) = 1 + 2

∫ 1

0

dt x2 t φ(t) .

Soluzione – E’ immediato verificare che la funzione φ(x) = 1 + 2x2 e un punto fisso dell’operatore B equindi e una soluzione. Volendo applicare il principio delle contrazioni si puo procedere in questo modo.Prima si verifica che B, o una sua qualche potenza, e una contrazione. A questo scopo osserviamo che

|Aφ(x)| =

∣

∣

∣

∣

2x2

∫ 1

0

dt tφ(t)

∣

∣

∣

∣

≤ 2x2 maxt∈[0,1]

|φ(t)|∫ 1

0

dt t ≤ x2‖φ‖ ,

|A2φ(x)| ≤ 2x2

∫ 1

0

dt t |Aφ(t)| ≤ 2x2‖φ‖∫ 1

0

dt t3 ≤ x2‖φ‖2

≤ ‖φ‖2

.

Prendendo ora il massimo dell’espressione precedente per x ∈ [0, 1] abbiamo

‖A2φ‖ ≤ ‖φ‖2

=⇒ ‖B2φ1 −B2φ2‖ = ‖A2(φ1 − φ2)‖ ≤ ‖φ1 − φ2‖2

.

L’operatore B2 : C[a, b] → C[a, b] e dunque una contrazione. Scelto allora un punto arbitrario in C[a, b]la soluzione si puo determinare per approssimazioni successive. Posto φ0(x) = 1 si ha banalmente

φ1 = Bφ0 = 1 + x2 , φ2 = B2φ0 = 1 +3

2x2 , φ3 = B3φ0 = 1 +

7

4x2 , ...

φn+1 = Bn+1φ0 = 1 +2n − 1

2n−1x2 =⇒ φ(x) = φ∞ = 1 + 2x2 .

Esercizio 34. – Usando il metodo del risolvente trovare la soluzione dell’equazione di Fredholm

φ(x) = g(x) + µ

∫ 1

0

dt xt φ(t) , g(x) ∈ C[0, 1] .

Soluzione – Posto K1(x, t) = K(x, t) = xt osserviamo che

k =

[∫ 1

0

∫ 1

0

dx dt |K(x, t)|2]1/2

=1

3.

Il metodo del risolvente si puo dunque applicare per |µ| < 3. Si ha

K2(x, y) =xt

3, K3(x, t) =

xt

9, ... Kn(x, y) =

xt

3n−1

89

e per |µ| < 3

R(x, t;µ) =∞∑

n=1

µn−1Kn(x, t) = xt∞∑

n=1

[µ

3

]n−1

=3xt

3 − µ.

La soluzione e quindi

φ(x) = g(x) +3µ

3 − µ

∫ 1

0

dt xt g(t) .

E’ interessante notare che la soluzione precedente esiste per qualunque µ 6= 3. Infatti, dopo la risomma-zione, il risolvente e definito per qualunque valore di µ 6= 3.

Esercizio 35. – Trovare la soluzione dell’equazione di Volterra

φ(x) = ex +

∫ x

0

dt ex−yφ(y) .

1) usando il metodo delle contrazioni;2) usando il metodo del risolvente.

1 Soluzione – Prendiamo come funzione iniziale φ0(x) = ex. Allora si ha

φ1(x) = ex[1 +

∫ x

0

dy e−yφ0(y)] = ex(1 + x) ,

φ2(x) = ex[1 +

∫ x

0

dy e−yφ1(y)] = ex(

1 + x+x2

2

)

,

φ3(x) = ex[1 +

∫ x

0

dy e−yφ2(y)] = ex(

1 + x+x2

2+x3

3!

)

,

... ...

φn(x) = exn∑

k=1

xk

k!=⇒ φ(x) = φ∞(x) = e2x .

2) Soluzione – Per usare il metodo del risolvente dobbiamo considerare il nucleo di Fredholm troncato

KF (x, t) =

ex−t , t ≤ x ,0 , t > x ,

=⇒ KF (t, y) =

et−y , t ≥ y ,0 , t < y .

Calcoliamo ora i nuclei iterati di KF (x, t). Si ha

K1(x, y) = KF (x, y) ,

K2(x, t) =

∫ x

0

dtKF (x, t)K1(t, y) = KF (x, y)

∫ x

y

dt = (x− y)KF (x, y) ,

K3(x, t) =

∫ x

0

dtKF (x, t)K2(t, y) = KF (x, y)

∫ x

y

(x− t) dt =(x− y)2

2KF (x, y) ,

... ...

Kn(x, y) =(x− y)n−1

(n− 1)!KF (x, y) .

Di qui segue

R(x, y; 1) = KF (x, y)∞∑

n=1

(x− y)n−1

n− 1!= e2(x−y) , x > y .

La soluzione ora si ricava senza difficolta e si ha

φ(x) = ex +

∫ x

0

dt e2(x−y)ey = e2y .

Esercizio 36. (Autovalori e autofunzioni delle equazioni integrali). – Ricavare autovalori eautofunzioni delle equazioni integrali equivale a risolvere un problema agli autovalori per un operatore in

90

uno spazio di Hilbert. Se il nucleo dell’equazione e di Hilbert-Schmidt e simmetrico, allora l’operatorecorrispondente A e autoaggiunto e compatto e di conseguenza il suo inverso A−1 e non limitato. A e A−1

hanno le stesse autofunzioni, mentre gli autovalori di A−1 sono l’inverso degli autovalori di A. Per certeclassi di nuclei integrali e relativamente semplice ricavare gli autovalori dell’inverso e quindi di A. Questosuccede quando l’inverso e un operatore differenziale a coefficienti costanti.

A titolo di esempio si consideri l’operatore integrale

Aφ(x) =

∫ b

a

dyK(x, y)φ(y) , K(x, y) = K(y, x) , ‖K(x, y)‖L2<∞ ,

con K(x, y) che soddisfa le condizioni

K ′′x (x, y) ≡ ∂2

∂x2K(x, y) = αδ(x− y) , K(a, y) = 0 , K ′(a, y) = 0 ,

o due condizioni al cortorno equivalenti. Nell’ambito delle distribuzioni otteniamo

d2

dx2Aφ(x) = αφ(x) =⇒ A−1 =

1

α

d2

dx2.

In questo caso gli autovalori λ = 1/µ e le autofunzioni ϕ di A si ottengono risolvendo il problema

Aϕ(x) = λϕ(x) =⇒ A−1ϕ(x) = µϕ(x) =⇒

1α ϕ

′′(x) = µϕ(x) ,

ϕ(a) =∫ b

adyK(a, y)ϕ(y) = 0 ,

ϕ′(a) =∫ b

adyK ′(a, y)ϕ(y) = 0 .

Il numero delle condizioni al contorno indipendenti deve essere uguale all’ordine dell’equazione differenzia-le. Si osservi che condizioni al contorno della forma ϕ(a) = cost da sole non danno nessuna informazionein quanto le autofunzioni sono sempre definite a meno di una costante arbitaria (vedi esempi sotto).

Trovati gli autovalori e le autofunzioni, la soluzione dell’equazine integrale si scrive come sviluppo inserie usando il teorema dell’alternativa.

Usando la tecnica descritta sopra, calcolare autovalori e autofunzioni dell’equazione integrale

φ(x) = µ

∫ 1

0

dyK(x, y)φ(y) = µAφ(x) .

nei seguenti casi:

1) K(x, y) =

x , x ≤ y ,y , x ≥ y ,

2) K(x, y) =

i , x ≤ y ,−i , x ≥ y ,

3) K(x, y) =

x(1 − y) , x ≤ y ,y(1 − x) , x ≥ y ,

4) K(x, y) =

(x+ 1)y , x ≤ y ,(y + 1)x , x ≥ y ,

5) K(x, y) =

sinx sin(1 − y) , x ≤ y ,sin y sin(1 − x) , x ≥ y .

6) K(x, y) =

sinhx sinh(1 − y) , x ≤ y ,sinh y sinh(1 − x) , x ≥ y .

1) Soluzione – Il nucleo e di Hilbert-Sschmidt in quanto e definito da una funzione limitata e quindi ea quadrato sommabile in [0, 1] × [0, 1]. Inoltre e simmetrico e puo essere scritto nella forma compatta

K(x, y) = ϑ(y − x)x+ ϑ(x− y)y = K(y, x) =⇒

K ′′x (x, y) = −δ(x− y) ,

K(0, y) = 0 ,K ′(1, y) = 0 ,K ′(0, y) = 1 .

Per quanto visto sopra, gli autovalori e le autofunzioni dell’equazione sono dati da

ϕ′′(x) + µϕ(x) = 0 , ϕ(0) = 0 , ϕ′(1) = 0 , ϕ′(0) = cost .

Si ricordi che le autofunzioni sono sempre definite a meno di una costante e per questo motivo il valoredi ϕ′(0) (se non e nullo) puo essere arbitrario. Di fatto questa condizione e ridondante e non da nessunainformazione.

91

Si vede facilmente che per µ ≤ 0 non ci sono soluzioni, mentre per µ > 0 si hanno le infinite soluzioni(normalizzate)

ϕn(x) =√

2 sin

(

n+1

2

)

πx , µn =

(

n+1

2

)2

π2 , n = 0, 1, 2, ...

2) Soluzione – Il nucleo e di Hilbert-Schmidt, simmetrico e puo essere scritto nella forma

K(x, y) = iϑ(y − x) − iϑ(x− y) = K(y, x) , =⇒

K ′x(x, y) = −2iδ(x− y) ,

K(0, y) = −K(1, y) = i .

In questo caso l’operatore inverso e un operatore differenziale del primo ordine che soddisfa l’equazioneagli autovalori

ϕ′(x) − 2iµϕ(x) = 0 , ϕ(0) + ϕ(1) = 0 .

Le due condizioni al contorno prese separatamente non danno alcuna informazione, perhe le autofunzionisono definite a meno di una costante arbitraria.

La soluzione dell’equazione differenziale e ϕ(x) = cost e2iµx e affinche siano soddisfatte le condizionial contorno 2µ deve essere un multiplo dispari di π. Le autofunzioni normalizzate sono dunque

ϕn(x) = e2iµnx , µn =

(

n+1

2

)

π , n ∈ ZZ .

3) Soluzione – Il nucleo e simmetrico e di Hilbert-Schmidt e si puo scrivere nella forma

K(x, y) = ϑ(y − x)x(1 − y) + ϑ(x− y)y(1 − x) =⇒

K ′′x (x, y) = −δ(x− y) ,

K(0, y) = 0 ,K(1, y) = 0 .

Si vede che il problema e simile a quello precedente, a parte le condizioni al contorno. Infatti

ϕ′′(x) + µϕ(x) = 0 , ϕ(0) = 0 , ϕ(1) = 0 .

Anche in questo caso si hanno soluzioni solo per µ > 0 date da

ϕn(x) =√

2 sinnπx , µn = n2π2 , n = 1, 2, 3, ...

4) Soluzione – Qui abbiamo

K(x, y) = xy + ϑ(y − x)y + ϑ(x− y)x =⇒

K ′′x (x, y) = δ(x− y) ,

K(0, y) = y ,K(1, y) = y + 1 ,K ′(0, y) = y ,K ′(1, y) = y + 1 ,

da cui segue

ϕ′′ − µϕ = 0 , ϕ(0) − ϕ′(0) = 0 , ϕ(1) − ϕ′(1) = 0 .

Per µ > 0 esiste un’unica soluzione data da

ϕ0(x) = ex , µ0 = 1 ,

mentre per µ < 0 si hanno le infinite soluzioni (non normalizzate)

ϕn(x) = sinnπx+ nπ cosnπx , µn = −n2π2 , n = 1, 2, 3, ...

5) Soluzione – Scriviamo il nucleo simmetrico e di Hilbert-Schmidt nella forma

K(x, y) = ϑ(y − x) sinx sin(1 − y) + ϑ(x− y) sin y sin(1 − x) =⇒

K(0, y) = 0 ,K(1, y) = 0 ,

92

e derivando K ′′(x, y) = − sin 1 δ(x − y) − K(x, y). Questo problema e un po’ diverso rispetto a quelliprecedenti in quanto si ha

d2

dx2Aφ(x) +Aφ(x) = −αφ(x) =⇒ A−1 = − 1

α

[

d2

dx2+ 1

]

,

dove α = sin 1. L’equazione agli autovalori coorispondente e percio

ϕ′′(x) + [µα+ 1]ϕ(x) = 0 , ϕ(0) = ϕ(1) = 0 , α = sin 1 .

Per µα+ 1 ≤ 0 non ci sono soluzioni, mentre per µα+ 1 > 0 si ottiene

ϕn(x) = sinnπx , µn =n2π2 − 1

sin 1, n = 1, 2, 3, ...

6) Soluzione – Questo problema e simile al precedente in quanto

K(x, y) = ϑ(y − x) sinhx sinh(1 − y) + ϑ(x− y) sinh y sinh(1 − x) =⇒

K(0, y) = 0 ,K(1, y) = 0 ,

e K ′′(x, y) = K(x, y) − sinh 1 δ(x− y). La corrispondente equazione agli autovalori e

ϕ′′(x) + [µα− 1]ϕ(x) = 0 , ϕ(0) = ϕ(1) = 0 , α = sinh 1 .

Per µα− 1 ≤ 0 non ci sono soluzioni, mentre per µα− 1 > 0 si ottiene

ϕn(x) = sinnπx , µn =n2π2 + 1

sinh 1, n = 1, 2, 3, ...

Esercizio 37. (Alternativa di Fredholm Usando il teorema dell’alternativa risolvere l’equazione diFredholm

φ(x) = g(x) +

∫ π

0

dyK(x, y)φ(y) ,

nei due casi sequenti:

1) g(x) = sin3x

2, K(x, y) =

sinx cos y , x < y ,sin y cosx , x > y ,

2) g(x) = 0 , K(x, y) =

sin y cosx , x < y ,sinx cos y , x > y .

1) Soluzione – Si verifica che il nucleo e simmetrico e di Hilbert-Schmidt. Lo scriviamo nella forma

K(x, y) = ϑ(y − x) sinx cos y + ϑ(x− y) cosx sin y =⇒

K ′′(x, y) = −K(x, y) − δ(x− y) ,K(0, y) = 0 ,K ′(π, y) = 0 .

L’equazione agli autovalori per A−1 e

ϕ′′(x) + [µ+ 1]ϕ(x) = 0 , ϕ(0) = ϕ′(π) = 0 ,

che ha soluzioni solo per µ+ 1 > 0. Si ottiene

ϕn(x) =

√

2

πsin

(

n+1

2

)

x , µn =

(

n+1

2

)2

− 1 , n = 0, 1, 2, ...

Vediamo che µn 6= 1 qualunque sia n e di conseguenza anche λn = 1/µn 6= 1. Questo significa che esisteuna soluzione, ed una sola, qualunque sia g(x). Nel caso particolare g(x) e proporzionale a ϕ1(x) e quinditutti i coefficienti dello sviluppo sono nulli, tranne b1. Si ha infatti

g(x) =

∞∑

n=0

bnϕn(x) =

√

π

2ϕ1(x) =⇒ b1 =

√

π

2, bn = 0 , ∀n 6= 1 .

93

La soluzione allora e data da

φ(x) =b1ϕ1(x)

1 − λ1=µ1 b1ϕ1(x)

µ1 − 1= 5 sin

3x

2.

2) Soluzione – Procedendo come sopra si ha

K(x, y) = ϑ(y − x) cosx sin y + ϑ(x− y) sinx cos y =⇒

K ′′(x, y) = −K(x, y) + δ(x− y) ,K(π, y) = 0 ,K ′(0, y) = 0 .

L’equazione che determina gli autovalori e

ϕ′′(x) + [1 − µ]ϕ(x) = 0 , ϕ(π) = ϕ′(0) = 0 ,

che ha soluzioni solo per 1 − µ > 0. Si ottiene

ϕn(x) =

√

2

πcos

(

n+1

2

)

x , µn = 1 −(

n+1

2

)2

, n = 0, 1, 2, ...

Anche in questo caso tutti gli autovalori sono diversi da 1 e pertanto la soluzione e unica per qualunqueg(x). Nel caso particolare g(x) = 0 e pertanto la soluzione e φ(x) = 0.

Esercizio 38. (Nuclei degeneri) – Ricordiamo che questi sono della forma

K(x, y) =

N∑

k=1

Pk(x)Qk(y) ,

dove Pk(x) ∈ L2 sono vettori linearmente indipendenti. La soluzione dell’equazione definita da un nucleodi questo tipo si puo scrivere nella forma

φ(x) = g(x) +

N∑

k=1

qkPk(x) ,

N∑

j=1

[δjk − ajk]qk = bj ,

bk =∫ b

adxQk(x)g(x) ,

aij =∫ b

adxQi(x)Pj(x) .

Si deve fare attenzione all’ordine perche in generale la matrice aij non e simmetrica. E’ evidente che lasoluzione e unica se la matrice δij − aij e invertibile. In tal caso, in assenza del termine noto la soluzionee identicamente nulla.

Usando la tecnica appena descritta si risolvano le seguenti equazioni:

1) φ(x) = x+

∫ 1

0

dy x(x+ y)φ(y) , 2) φ(x) = x+

∫ π

0

dy sinx cos yφ(y) ,

3) φ(x) = x+

∫ π/2

0

dy sinx cos yφ(y) , 4) φ(x) = 1 +

∫ π

0

dy (x sin y + y sinx)φ(y) .

1) Soluzione – Il nucleo e della forma

K(x, y) = P1Q1 + P2Q2 , P1 = x , P2 = x2 , Q1 = y , Q2 = 1 .

Integrando si ottiene

b1 =1

3, b2 =

1

2, a11 =

1

3, a12 =

1

4, a21 =

1

2, a22 =

1

3.

Il sistema che determina i coefficienti dello sviluppo della soluzione e quindi

23 q1 − 1

4 q2 = 13

− 12 q1 + 2

3 q2 = 12

=⇒

q1 = 2523 , q2 = 36

23 .

La soluzione dell’equazione e finalmente

ϕ(x) = x+25

23x+

36

23x2 =

48

23x+

36

23x2 .

94

2) Soluzione – In questo caso abbiamo K(x, y) = P1(x)Q1(y), P1(x) = sinx , Q1(y) = cos y. Dalladefinizione otteniamo banalmente

b1 = −2a11 = 0 ,

=⇒ q1 = −2 =⇒ φ(x) = x− 2 sinx .

3) Soluzione – Rispetto al problema precedente cambia solo l’intervallo di integrazione. Si ottiene

b1 = π2 − 1

a11 = 12 ,

=⇒ q1 = π − 2 =⇒ φ(x) = x+ (π − 2) sinx .

4) Soluzione – Qui abbiamo K(x, y) = P1(x)Q1(y) + P2(x)Q2(y) dove

P1(x) = x , P2(x) = sinx , Q1(y) = sin y , Q2(y) = y .

Allora otteniamo

b1 = 2 , b2 =π2

2, a11 = π , a12 =

π

2, a21 =

π3

3, a22 = π .

La soluzione dell’equazione e data da

φ(x) = 1 − 3(

8 − 8π + π3)

x

2 (−6 + 12π − 6π2 + π4)−

(

3π2 + π3)

sin(x)

−6 + 12π − 6π2 + π4.

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