Appunti del corso Algebre e gruppi di LieDenisNardin19luglio20112Indice1 AlgebrediLie 51.1 Algebrainviluppanteuniversale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Algebrenilpotenti,risolubili,semisemplici . . . . . . . . . . . . . 61.2.1 Algebrenilpotenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.2 Algebrerisolubili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.3 Algebresemisemplici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3 Rappresentazionidisl2(k) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4 MANCANTE:LadecomposizionediJordan. . . . . . . . . . . . 141.5 DecomposizionediCartan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.6 Teoriaassiomaticadeisistemidiradici . . . . . . . . . . . . . . . 181.7 MANCANTE:teoremidiconiugio,isomorsmoeesistenza . . . 221.8 Teoriadellerappresentazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 GruppidiLie 292.1 GruppiesottogruppidiLie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2 AlgebradiLiediungruppodiLie . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.3 RivestimentidiungruppodiLie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.4 SLn(C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.5 AlgebrediCliordegruppispin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3934 INDICECapitolo1AlgebrediLieUnalgebradi Lieg`eunospaziovettorialeequipaggiatodi unapplicazionebilineare[, ] : g g gtaleche [xx] = 0perognix g. [x[yz]] + [y[zx]] + [z[xy]] = 0perognix, y, z g(identit`adiJacobi).UnsottospaziohdiunalgebradiLie `edettoidealeseperognix g[xh] h.Se h`e unideale lo spazioquoziente g/hpossiede una struttura naturale dialgebradiLie. UnarappresentazionediunalgebradiLie `eunomomorsmodialgebrediLieg gln(k),dovegln(k) `elalgebradiLiedellematricin ncon[AB] = AB BA.1.1 AlgebrainviluppanteuniversaleOsserviamocheognialgebraassociativaAsuk`einmodonaturaleunalgebradiLie,conlastrutturadatada[xy] = xy yx.Lalgebrainviluppanteuniversaledi unalgebradi Lieg`eunalgebraassociativaU(g)conunomomorsmodi algebredi Lieg U(g)talecheperogni algebraassociativaAeper ogni omomorsmodi algebredi Lieg Aesiste un unico omomorsmo di algebre associative U(g) A che fa commutareildiagrammagU(g)ATeorema1. Perogni algebradi LieesisteunalgebrainviluppanteuniversaleU(g),unicaamenodiisomorsmo.56 CAPITOLO1. ALGEBREDILIEDimostrazione. Lunicit`a a meno di isomorsmo `e chiara perch`e U(g) `e denitatramiteunapropriet`auniversale. SiaT(g)lalgebratensorialesugvistacomespaziovettoriale. DeniamoU(g) = T(g)/(xy yx [xy] [ x, y g)dove quozientiamo rispetto allideale bilatero generato.`E chiaro che g U(g) `eun omomorsmo di algebre di Lie. Daltro canto, se A `e unalgebra associativa eg A `e un omomorsmo di algebre di Lie, prima di tutto si estende unicamentea un omomorsmo di algebre associative da T(g) A, inoltre passa al quozienteaunomomorsmoU(g) A, per cui g U(g)`epropriolanostraalgebrainviluppanteuniversale.Teorema2(Poincar`e-Birkho-Witt). Sia g unalgebra di Lie e sia z1, . . . , znuna base di g come spazio vettoriale. Allora una base di U(g) come spaziovettoriale`edatadazt11 ztnn[ t1, . . . , tn NInparticolareg U(g) `eunamappainiettiva.1.2 Algebrenilpotenti,risolubili,semisempliciSeg `eunalgebradiLie,ilsuocentro `eZ(g) = x g [ y g[xy] = 0SeZ(g) = g,g`edettaabeliana. UnalgebradiLiegsidicesemplicesenonhasottoalgebrenonbanaliesenon `eabeliana.1.2.1 AlgebrenilpotentiUnalgebradiLieg `edettanilpotenteselasuccessionecentrale,denitadag0= g gi+1= [ggi]`edenitivamentenulla(cio`eesisten > 0talechegn= 0.Proposizione1. SiagunalgebradiLie1. Seg `enilpotentealloralosonotuttelesuasottoalgebreeisuoiquozienti.2. Seg/Z(g)`enilpotentealloralo`eancheg.3. Seg`enilpotenteenonbanalealloraZ(g) ,= 0.Dimostrazione.`Echiaroche se h g, allorahigie analogamente se h`e unquoziente di gallorahi`e unquoziente di gi, per cui il punto1segueimmediatamente. Inoltreseg/Z(g)`enilpotenteesistei talechegiZ(g),quindigi+1= 0. Inneseg `enilpotenteesister`aitalechegi,= 0magi+1= 0,percuigi Z(g).1.2. ALGEBRENILPOTENTI,RISOLUBILI,SEMISEMPLICI 7Lemma1. Siagunasottoalgebradi gl(V ) compostadi elementi nilpotenti.Alloraesistev V talechegv= 0.Dimostrazione. Dimostriamoloper induzione sudimg. Il casodimg =0`eovvio. Sia h una sottoalgebra massimale. Allora h agisce in modo naturale sullospaziovettorialeg/h, percui perlipotesi induttiva(essendodimh1possiamotrovareunasottoalgebra propria (e.g. quella generata da un elemento), e la controimmaginesarebbeunasottoalgebratrageh,controlamassimalit`adih. Quindidimg =dimh + 1,percuipossiamotrovarex gtalecheg = x h .Ora,peripotesiinduttiva,linsiemev V [ hv= 0`enonvuoto. Inoltre `ex-invariante,infattisehv= 0,abbiamohxv= [hx]v +xhv= 0per ogni h h. Quindi, poich`ex`enilpotente, possiamotrovarev talechexv= 0ehv= 0,cio`egv= 0.Corollario1. Siagunasottoalgebradigl(V )fattadielementinilpotenti. Al-lora possiamo trovare una bandiera 0 = V0 V1 Vntale che gVi Vi1.Inparticolareg`enilpotente.Dimostrazione. PerinduzionesudimV . Prendiamovdallemmatalechegv=0. AlloragagisceinmodonaturalesuV/v. Sollevandolabandieradatadallipotesiinduttiva,abbiamolatesi.Teorema3(Engel). Siagunalgebradi Lie. Allora`enilpotenteseesolosetuttiglielementisonoad-nilpotenti.Dimostrazione. Se g `e nilpotente `e chiaro che tutti gli elementi sono ad-nilpotenti.Perilviceversaandiamoperinduzionesudimg. Setuttiglielementisonoad-nilpotenti, alloraad g`eunasottoalgebradi elementi nilpotenti di gl(g). Peril lemmapossiamotrovare x gtale che (ad g)x=0, cio`e [gx] =0, cio`ex Z(g). Maallorag/Z(g)`eunalgebradi Liedi dimensioneinferioreincuituttiglielementisonoad-nilpotenti. Allorag/Z(g)`enilpotente. Maallorag`enilpotente.1.2.2 AlgebrerisolubiliUnalgebradiLiegsidicerisolubileselasuccessionederivata,denitadag(0)= g g(i+1)= [g(i)g(i)]`edenitivamentenulla,cio`eseesistentalecheg(n)= 0.8 CAPITOLO1. ALGEBREDILIEProposizione2. SiagunalgebradiLie1. Se g`e risolubile alloralosonoanche tutte le sue sottoalgebre e i suoiquozienti.2. Seh`eunidealerisolubiledi gtalecheg/h`erisolubilealloraancheg`erisolubile.3. Se h1, h2 sono due ideali risolubili allora anche h1+h2 `e un ideale risolubile.Dimostrazione. Il punto1`eovvio(seh gallorah(i)g(i)eanalogamenteperiquozienti). Perquantoriguardailpunto2,sappiamocheesisteitaleche(g/h)(i)= 0,cio`eg(i) h(i). Quindig `erisolubile.Perquantoriguardailpunto3,consideriamolasuccessioneesatta0 h1 h1 + h2 (h1 + h2)/h1 0allora h1 `e risolubile, daltro canto (h1+h2)/h1= h2/(h1h2) `e risolubile perch`equozientedirisolubile. Quindih1 + h2`erisolubile.Quindiesisteununicoidealerisolubilemassimalechiamatoilradicaledig(Rad(g)).Dorainpoiilcampobaseksar`aalgebricamentechiusodicaratteristica0.Lemma2. Siagunasottoalgebrarisolubiledi gl(V ). Alloraesisteunv Vchesiaautovalorecomunepertuttiglielementidig.Dimostrazione. Dimostriamoloper induzione sudimg. Possiamotrovare unidealehdi dimensione1. Infatti [gg]`eunidealeproprio(senognonsarebberisolubile) e g/[gg] `e unalgebraabeliana, per cui ogni suosottospazio(e inparticolareunsottospaziodicodimensione1) `eunideale. Peripotesiinduttivahhaunautovettorecomunev,cio`eesiste htalecheW= v V [ hv= (h)vperognih h`enonbanale. Fissiamox gtalecheg=h x. SedimostriamocheW`einvariante per x possiamo concludere come prima (basta trovare un autovettoreperxinWepossiamoperch`eilcampo `ealgebricamentechiuso). Masev Vh(xv) = x(hv) + [hx]v= (h)xv +([xv])vperch`e h`e unideale e perci`o [hx] h. Ci rimane da dimostrare solo che([hx]) = 0.Fissiamov V nonnulloeconsideriamoperognii 0lospazioWi= Span(v, xv, . . . , xiv) .Inoltre sia mtale che v, . . . , xmv sia una base dellunione di tutti i Wi.VorremmodirechehagisceinmododiagonalesuWmecheperogni h htrWm h = m(h). Infattiunimmediatainduzioned`ache h hhxi(h)xi Wi1.1.2. ALGEBRENILPOTENTI,RISOLUBILI,SEMISEMPLICI 9QuindiinparticolaretrWm[hx] = m([hx]) .Ma,poich`e[hx] `eilcommutatoredidueendomorsmidiWm,hatraccianulla.Quindi m([hx]) =0. Poich`eorakhacaratteristica0abbiamo([hx]) =0comecercato.Teorema4(Lie). Sia g una sottoalgebra risolubile di gl(V ). Allora g stabilizzaunabandieraDimostrazione. Andiamo per induzione sudimV . Per il lemma precedentepossiamo trovare v Vnon nullo tale che sia un autovettore comune per tutta g.Quindi in particolare v `e g-invariante. Ma allora applicando lipotesi induttivaaV/vabbiamolatesi.Corollario 2. Sia g unalgebra di Lie risolubile, allora ha una bandiera di ideali.Inparticolareg`erisolubileseesolose[gg]`enilpotente.Dimostrazione. Seg`erisolubilepossiamoapplicareil teoremadi Lieaad g.Una bandiera di sottospazi di g stabilizzata da ad g `e esattamente una bandieradiideali.Quindiseg `erisolubilesia0 = g0 g1 gn= glabandieradi ideali. Sescegliamounabasedi gtalechegi= x1, . . . , xi, inquestabasetuttelematrici di ad gsonotriangolari superiori, perci`otuttelematrici di ad[gg] =[ad g ad g] sonostrettamentetriangolari superiori eperci`onilpotenti. Quindiad[gg] `enilpotenteeperci`oanche[gg] `enilpotente.Inoltre `echiarodalledenizionichese[gg] `enilpotenteallorag `erisolubile.LaformadiKillingdiunalgebradiLie `eunaformabilinearesimmetricadatada(x, y) = trg(ad xad y) .Conunsemplicecontosivericachevale([xy], z) = (x, [yz]) .Teorema5(CriteriodiCartan). Siagunasottoalgebradigl(V )condimV 0dovelultimauguaglianzaseguedallascritturadiadg tnellabasedatadaig.QuindiponendoE= EQ QRabbiamocostruitounamappa(g, h) (E, )che associa a ogni algebra di Lie (corredata di una sottoalgebra torale massimale)unacoppiadatadaunospazioeuclideoediunsistemadiradiciinesso.Infatti per ogni spazio euclideo Edeniamo un suo sottoinsieme E0comeunsistemadiradicisevalgonoleseguentipropriet`a:1. generaEcomespaziovettorialesu R.2. Se gliunicimultiplidiinsono .3. Perogni, ivalori , =2(,)(,)sonointeri.4. Perogni lesimmetriechemandanoxinx x, lascianoinvariato.1.6 TeoriaassiomaticadeisistemidiradiciSupponiamodi avereunsistemadi radici E. Osserviamocheper ogni, se`elangolotrae, =2(, )(, )=2[[[[[[[[cos .Maallora, , = 4 cos2`e un intero minore o uguale a 4. Questo lascia poche possibilit`a per . Supponi-amo [[[[ [[[[echenonsianoproporzionali(nelqualcaso= ). Alloralepossibilit`asono, , [[[[/[[[[0 0 /2 indeterminato1 1 /3 1-1 -1 2/3 11 2 /4 2-1 -2 3/4 21 3 /6 3-1 -3 5/6 31.6. TEORIAASSIOMATICADEISISTEMIDIRADICI 19Lemma9. Siano, nonproporzionali. Se(, )>0(rispettivamente(, ) < 0)allora (rispettivamente + ).Dimostrazione. Senzaperditadigeneralit`asupponiamo [[[[ > [[[[. Facciamoilcaso(, ) > 0. Alloradallatabellasappiamoche , = 1. Maallora , = .Deniamo il gruppo di Weil Wdi come il sottogruppo di GL(E)generatodalleriessioniper .Lemma10. Se GL(E)mandains`e,alloraperogniradice1=Unabasedi `eunsottoinsieme taleche `eunabasediE. Ogni elementodi si scrivecomesommaconcordedi elementi di ,cio`e= _

_con 0, 1Vogliamo dimostrare che esistono basi, anzi inuncerto senso vogliamotrovarletutte. Siaperogni Ep= x E [ (x, ) = 0(liperpiano ortogonale ad ). Le camerediWeil sono le componenti connessediE _p.Lemma 11. Esiste una corrispondenza biunivoca tra le camere di Weil e le basidi.Dimostrazione. SeC`eunacameradiWeile Cdeniamoleradicipositivecome+= [ (, ) > 0 .OsserviamochequestodipendesolodaCenonda. Inoltrechiamiamoradicinegativequelleradicichenonsonopositive(). Diciamocheunaradicepos-itiva `eindecomponibilesenon `esommadialtreradicipositive. Deniamoquindi(C) = +[ indecomponibile .`Echiarocheogni radice`ecombinazioneconcordedi elementi di (C)(seun +`edecomponibileloscrivocome = +

epoiinduco,tantosonounnumeronito). Quindi inparticolaregenerano. Ci mancadadimostraresolo20 CAPITOLO1. ALGEBREDILIEche siano linearmente indipendenti. Osserviamo che per ogni , (C) non `eunaradice,percui(, ) 0. Scriviamooraunacombinazionelineare

r = 0Separandoneiduelatilerpositivedaquellenegative

r>0r =

r0,r0perogni . Ma, preso Crisulta0 =

r(, )epoich`etuttigliaddendidelmembrodidestrasonopositividevesserer= 0perogni.Viceversaperogni basepossiamodeterminareunacamera. Infatti `esu-cienteprendereuntaleche(, ) >0per ogni eassociarealacameraincuista.Lemma12. Sia . Allorase +,con ,= ,allora +.Dimostrazione. Infattiscriviamo=

k .Poich`enon`eproporzionaleadesiste ,=conk>0. Main()= , cambiasololacoordinatadi,percui(),chehauncoecientepositivo,devessereunaradicepositiva.Teorema10. Sia Eunsistemadi radici eunasuabaseesiaWilgruppodiWeil di. Allora1. Sestainunacameraesiste Wtaleche C()(cio`eil gruppodiWeil`etransitivosullecamere).2. Se

`eunaltrabasedi esiste Wtaleche(

)=(cio`eW`etransitivosullebasi).3. Se esiste Wtaleche() .4. W`egeneratodaiper .1.6. TEORIAASSIOMATICADEISISTEMIDIRADICI 21Dimostrazione. DimostreremoprimaiprimitrerisultatiperilsottogruppoW

= [ epoidimostreremocheW

= W. Fissiamo C().(1). Consideriamo=12

+Sia W

taleche((), )siamassimo. Vogliamodireche(, )>0perogni (equindiin+).Infattisappiamoche(, ) (, ) .Ma(, ) = (, ) =__, 12

+()__= (, ) = (, ) (, )dove lapenultimauguaglianza`e datadal fattoche = , mache permutalealtreradicipositive. Cio`e(, ) > 0perogni +,che `equellochevolevamodimostrare.(2).`Eunaovviaconseguenzadi (1)edellacorrispondenzabiunivocatrabasiecamerediWeil.(3). Per(2)`esucientefarvederecheappartieneadalmenounabase.Prendiamo ptaleche ,ppernessunaltraradice ,= . Possiamoquinditrovare

taleche(

, ) = > 0,ma [(

, )[ > perognialtraradice ,= . Maallora`eindecomponibiletraleradici positiverispettoa

.Infattise = 1 + +k(

, ) = (

, 1) + + (

, k) > assurdo.(4). Bastafarvedereche W

per . Possiamotrovare W

chemanda() . Maallora1= W

eperci`o W

.Unsistemadi radici si diceirriducibilesenon`escrivibilecomeunionedisgiuntadiduesistemidiradiciortogonali.Dataunabase = 1, . . . , n,lamatricedi Cartandi`elamatrice(i, j)ij. Osserviamo che, poich`e due qualsiasi basi sono coniugate, la matricidiCartannondipendedallasceltadellabase(amenodiriordino).Unmodocomododi codicarelinformazionedellamatricedi CartansonoidiagrammidiDynkin. Ilgrafodi Coxeterdi `eilgrafochehaperverticiglielementidiehaesattamente i, jj, iarchitraiverticiiej. Il22 CAPITOLO1. ALGEBREDILIEdiagrammadiDynkin `e il grafo di Coxeter con linformazione aggiuntiva chei lati multipli (cheaccadonosoloquandoiejhannomoduli diversi)sonoortientativersolaradicedimodulomassimo.`Echiarocheilsistemadiradici`eirriducibileseesoloseilsuodiagrammadi Dynkin`econnesso. Inoltrelamatricedi Cartan(eperci`oil diagrammadiDynkin)determinacompletamenteilsistemadiradici.Teorema 11 (Teorema di Classicazione). Sia un sistema di radici ir-riducibiledirangol. Allorail suodiagrammadiDynkin`eunodeiseguenti:Al(l 1) :1 2 3 l 1 lBl(l 2) :1 2 3 l 1 lCl(l 3) :1 2 3 l 1 lDl(l 3) :1 2 3 l 2l 1lE6:1 3 4 5 62E7:1 3 4 5 6 72E8:1 3 4 5 6 7 82F4:1 2 3 4G2:1 21.7 MANCANTE:teoremidiconiugio,isomor-smoeesistenzaQuesta sezione conterr`a gli enunciati di tre teoremi molto importanti che n nonsonostatifattialezione.Teorema12(diisomorsmo). Sianog, g

algebrediLiesemisempliciesianoh, h

sottoalgebre torali massimali di sistemi di radici ,

rispettivamente. Sup-poniamocheesistaunisomorsmodicon

cheinducequindiunisomor-smodialgebrediLietraheh

. Inoltressiamobasedieperogni scegliamounisomorsmo: g g. Alloraesisteununico : g g

isomorsmocheestendegliisomorsmidihedig.QuindialgebrediLieconsistemidiradiciisomorsonoisomorfe.Teorema 13 (di coniugio). Siag algebradi Lie semisemplice e sianoh, h

sottoalgebretoralimassimalidig. Alloraesisteunautomorsmo : g gtaleche(h) = h

.Quindi tuttelesottoalgebretorali massimali di unalgebradi Liesemisem-plicehannosistemidiradiciisomor.1.8. TEORIADELLERAPPRESENTAZIONI 23Teorema14(di esistenzadi Serre). Siaunsistemadi radici esia=1, . . . , lunasuabase. SiaglalgebradiLiegeneratadaglielementixi, hi, yi [ i = 1, . . . , lsoggettiallerelazioni [hihj]perognii, j. [xiyi] = hie[xiyj] = 0peri ,= j. [hixj] = i, jxje[hiyj] = j, iyjperognii, j. (ad xi)j,i+1xj= 0e(ad yi)j,i+1yj= 0perognii ,= jAllorag`eunalgebradi Liesemisemplicenita, lasottoalgebrageneratadaglihi`eunalgebratoralemassimaleeil sistemadiradici`enaturalmenteisomorfoa.QuindiperognisistemadiradiciesisteunalgebradiLiesemisemplice.1.8 TeoriadellerappresentazioniSiaV ung-modulo(nonnecessariamentenito). Scegliamoinoltreunalgebratoralemassimaleheunabasedel sistemadi radici. Sia h. Deniamolospazio-pesodicomeV= v V [ hv= (h)v h h .Queglielementi hpercuiV ,= 0sonodettipesidiV .Unvettoremassimalev V (di peso)`eunvettorenonnulloinV=w V [ hw = (h)wtalecheperogni gv= 0. SeV`enitoesistonosemprevettorimassimali. InfattisiaB() = h

0guna sottoalgebra di Borel. Questa `e risolubile e perci`o ha un autovettore comuneperilteoremadiLie,che `eunvettoremassimale.Ung-moduloV si dicestandardciclicoseesisteunvettoremassimalevdipesotalecheV= U(g)v .Proposizione 7. SiaV =U(g)v standardciclicoe sia+= 1, . . . , nlinsiemedelleradicipositive. Allora(a) V `egeneratodaivettoriyi11 yinnv. InparticolareV `esommadirettadeisuoispazipeso.24 CAPITOLO1. ALGEBREDILIE(b) IpesidiV sonodellaforma =

kdoveik N.(c) PerognipesodimV< einparticolaredimV= 1.(d) OgnisottomodulodiV `esommadirettadeisuoispazipeso.(e) V `eindecomponibileehaununicosottomodulomassimale.Dimostrazione. (a) `e una conseguenza immediata del teorema di Poincar`e-Birko-Witt. Infattisiag=

g. AlloraV= U(g)v= U(g)U(B()v= U(g)v .(b)segueda(a). Infattituttiivettoridellaformayi11 yinnvstannonellospaziopesocorrispondentea n

j=1ijj(si tratta di un banale conto) per cui, sostituendo le espressioni dei jin terminideglielementidellabaseabbiamolatesi.(c)segueancorada(a). InfattiperognipesoV= Span(yi11 yinnv [ = n

i=jijje lo spazio vettoriale sulla destra `e chiaramente di dimensione nita (e didimensione1quando = ).(d) Prendiamo Wsottomodulo di V . Sappiamo che w =

vcon v V(perch`eV`esommadeisuoispazipeso),dobbiamodimostrarechev W. Secos`nonfosseprendiamowcontroesempioconilminornumerodiaddendinonnulliw = v1 + +vrvi Vi .`Echiarocher>1(senononsarebbeuncontroesempio). Senzaperditadigeneralit`asupponiamov2 ,W. Poich`e1 ,=2, esisteh htaleche1(h) ,=2(h). Allora1(h)w hw = (1(h) 2(h))v1 + + (1(h) r(h))vr W`euncontroesempiopi` upiccolo,assurdo.(e)BastaprendereW=

=V.Questo `e chiaramente un sottomodulo. Inoltre contiene tutti i sottomoduli pro-pri per cui `e lunico sottomodulo massimale (e perci`o non ha un complementare,quindiV`eindecomponibile).1.8. TEORIADELLERAPPRESENTAZIONI 25OsserviamocheseV`eunmodulostandardciclico,ilpesodelvettoremas-simale`ecaratterizzatodallesseremassimaletratutti i pesi di W(cio`ese`eunpeso diV `e unpeso positivo). Quindiilpeso massimalediunmodulostandard ciclico `e ben denito. Inoltre anche il vettore massimale `e ben denitoamenodiproporzionalit`a,infattidimV= 1.Teorema 15 (Esistenza e unicit`a). Per ogni hesiste esattamente un unicomoduloV ()standardciclicoirriducibiledipeso,eventualmentenonnito.Dimostrazione. Cominciamoconlunicit`a. SianoV, Wdue moduli standardciclici irriducibili di pesoe sianov, wvettori massimali. Consideriamoilg-moduloV W.`Echiaroche(v, w) `eunvettoremassimaledipeso.PrendiamooraT= U(g)(v, w). Questo`eunmodulostandardciclico. Con-sideriamoleproiezioni pV, pWsui duefattori. Poich`e V, WsonoirriducibilipV (T) = Ve pW(T) = W. Quindi ker pVe ker pWsono due sottomoduli massi-malidiT. MaT,essendostandardciclico,haunsolosottomodulomassimale,percuiker pV= ker pW. Cio`eV = T/ ker pV= T/ ker pW = W .Veniamoallesistenza. RicordiamolanotazionedellalgebradiBorelB() = h

+g.PrendiamooraD=kvediamogli unastrutturadi B()-moduloinquestomodogv= 0 +e hv= (h)v h h .QuindiDhaunanaturalestrutturadiU(B())-modulo. DeniamooraZ() = U(g) U(B()) Ddoveilprodottotensore `efattodandoaU(g)lanaturalestrutturadiU(B())modulodestro. QuestohaunanaturalestrutturadiU(g)-modulo,anzi`estan-dardciclicoperch`eZ() = U(g)(1 v)esi vedeimmediatamentechegv=0perogni +. Quindi Z()haununicosottomodulomassimaleW. Bene, deniamoV ()=Z()/W, questo`eung-modulostandardciclicoirriducibile.Lemma13. InU(g)valgonolerelazioniper, ,k > 0 [xyk] = 0se ,= . [hyk] = k(h)yk. [xyk] = kyk(k 1 h).26 CAPITOLO1. ALGEBREDILIEDimostrazione. Sono tutte una facile induzione,partendo dal fatto che ,.Sia= 1, . . . , nunabasedi . Unpeso h`edettodominanteinterosesipu`oscriverenellaforma =n

i=1miimi Ndove(1, . . . , n) `elabasedualedi_2i(i,i)_i,dimodoche i, j = ij.Teorema16. V ()`enitodimensionaleseesolose`edominanteintero.InoltreipesidiV ()sonopermutatidal gruppodiWeil.Dimostrazione. Assumiamoche V () sianito. Per ogni siaS=Span(x, y, h)unacopiadi sl2(k). Allorav`eunautovettoredi hdi peso(h). Magli autovettori di hinunarappresentazionedi sl2(k)sonosempreinteripositivionulli. Percui(h) N. Daquestoseguelatesi,perch`e =n

i=1i, i=n

i=1(hi)i.Viceversasupponiamochesiadominanteintero. Poniamomi=(hi) Ne(xi, hi, yi)=(xi, hi, yi)Fissiamounvettoremassimalev. Ladimostrazionesisvolger`ainvaripassi. Indichiamolarappresentazionecon : g gl(V ). Percominciareguardiamoilvettorew = ymi+1iv. Sej ,= icombinandolaprimapartedellemma13conilfattochexjv= 0abbiamochexjw= 0.Daltrocanto,sempreperillemma13xiw = ymi+1xiv kymi+1i(mi hi)v= kymi+1i(mi mi)v= 0 .Quindi w`eunvettoremassimale. Maquesto`eimpossibileperch`eil suopeso`e

i(mi+ 1)i(sempreconuncontodel lemma13, per cuiw = 0. IndichiamoconSi=hi gi gilacopiadi sl2(k)ingassociataalpeso i. Ora Vcontiene un Si-modulo nito dimensionale, precisamente lospandeivettoriv, yiv, . . . , ymiiv. Infattiperilpuntoprecedente`estabileperyieperil lemma13`estabileperxiehi. DeniamooraV

comelasommadi tutti gli Si-sottomoduli niti di V . SappiamocheV

,=0.Inoltre xV

V

per ogni . Infatti se W`e un Si-sottomodulo,lo `eanchexW. QuindiV

`eung-sottomodulodiV ,maV`eirriducibilepercuiV

= V . Vediamoorache(xi), (yi)sonoendomorsmi localmentenilpotenti diV3. Infattiogniw V stainunSi-sottomodulonitodimensionale,el`(xi)e(yi)sononilpotenti.3RicordiamocheunendomorsmoldiunospaziovettorialeV`elocalmentenilpotenteseperogniw V ,esisten Ntalechelnw= 0.1.8. TEORIADELLERAPPRESENTAZIONI 27 Possiamoquindideniresi= exp (xi) exp (yi) exp (xi) .Infatti lesponenziale di un endomorsmo localmente nilpotente l `e semprebendenitoperch`eperognivettorew V laserie(exp l)w =

j=01j!ljwhasolounnumeronitodi termini nonnulli (ed`eovviamentelineare).Inoltresi(V) = Vidove `eunpesoei= i`eunariessione.Lemma14. Perognix gl(V )localmentenilpotentevalelequazione(exp x)y(exp x)1= (exp ad x)y y gl(V ) .Dimostrazione. Infatti ad x = lx+rx dove lxy= xy, rxy= yx. Questisonodueendomorsmicommutantidigl(V ),percuiexp ad x = exp(lx +rx) = (exp lx)(exp rx) = lexp xrexp x.Perci`o,svolgendounpodicontisi(hi)s1i= ((exp ad xi)(exp ad yi)(exp ad xi)hi) = (hi) .si(hj)s1i= ((exp ad xi)(exp ad yi)(exp ad xi)hj) = (hj 2hi) .equindisew Vrisultahisiw = si(s1ihisi)w = si(hiw) = (hi)siw = (i)(hi)(siw)hisiw = si(s1ihisi)w = si(hiw) = (hj 2hi)siw = (i)(hj)(siw) . Quindi linsieme dei pesi `e stabile per lazione del gruppo di Weil4edimV= dimVse W.Facciamooravedere che i pesi sonoinnumeronito. Per cominciareosserviamochei pesi dominanti sonoinnumeronito. Infatti se`eunpesodominantedi V alloraovviamenteanche + `eancoradominante(anchesepotrebbenonesserepi` uunpesodi V ). Ma `esommadiradicipositive,percui( +, ) 0 [[[[ [[[[ .Quindi i pesi dominanti sonoinnumeronito. Daltrocantounpeso`edominanteseesolosestanellacameradi Weyl associataallabase4ricordiamocheilgruppodiWeil`egeneratodallei28 CAPITOLO1. ALGEBREDILIEscelta. MailgruppodiWeylagiscetransitivamentesullecamere,percuiognipeso`econiugatoadunpesodominante. Poich`eilgruppodiWeyl`enito,anchelinsiemedeipesilo `e. MaalloraV=

(V )V`enito.Capitolo2GruppidiLieUn gruppo di Lie G`e una variet`a dierenziabile che ha una struttura di gruppotalechelemappe:GG Gdi moltiplicazioneelemappe:G Gdiinversionesianolisce. Indichiamoperognig GconLg: G Glamappadimoltiplicazioneasinistraperg.2.1 GruppiesottogruppidiLieUncampodivettoriXsuG `edettoinvarianteasinistraseperognih Gd(Lg)hXh= Xgh.Unsottogruppoadunparametrodi G`eunomomorsmodi gruppi diLie : R G.Teorema17. SiaGungruppodi Lie. Lamappa

(0)`eunacorrispon-denzabiunivocatralinsiemedituttiisottogruppiadunparametroelospaziotangenteaGineGe.Dimostrazione. Siano, duesottogruppi adunparametrotali che

(0) =

(0). Derivandoinslarelazione(t +s) = (t)(s) = L(t)(s)evalutandolains = 0otteniamo

(t) = d(L(t))e

(0) .elunicit`aseguedalteoremadiesistenzaeunicit`aperleequazionidierenzialiordinarie.Per quantoriguardalesistenzaprendiamov Geedestendiamoloauncampodi vettori invarianteasinistraponendovx=d(Lx)ev. Consideriamolequazione

(t) = v((t) .2930 CAPITOLO2. GRUPPIDILIEPossiamotrovare>0talecheesistaununicasoluzione:(, ) Gtaleche(0) = e. Osserviamocheper [t[, [s[ < /2vale(t +s) = (t)(s) .Infatti entrambe le espressioni valgono(t) se s =0e soddisfanolastessaequazionedierenziale.Deniamoora(t) =__tN__Ndove [t[ < N. Questa denizione non dipende dalla scelta di N, infatti se N, Msoddisfanoentrambilipotesi__tN__N=__tMN__MN=__tM__MQuesta`eunsottogruppoadunparametrochecoincideconinunintornodi0,percuicidalesistenza.Deniamolamappaesponenziale : Ge Gdatadaexp(v) = v(1)dovev`elunicosottogruppoaunparametrotaleche

v(0)=v. Lamappaesponenziale `elisciaperilteoremadiregolarit`adellesoluzionidiunequazionedierenzialeordinaria:Teorema18. Siaapertodi Rn,I Rintervallocontenentelo0. Siainoltrev: I RnfunzioneC. Alloraperogni y0 esisteun>0, unVintornodiy0eunafunzionef: (, ) V taleche_f(0, y) = y y Vtf(t,y)= v(t, f(t, y)) (t, y) (, ) VTeorema 19. Dato : GHomomorsmo di gruppi di Lie. Allora ilseguentediagrammacommuta:GeHeG Hdeexp expDimostrazione. Osserviamochesev Geabbiamochede(v)=v(sonoentrambi sottogruppi aunparametroconlostessovettoretangente). Quindivaluntandoin1:exp(de(v)) = exp(v)che `elatesi.2.1. GRUPPIESOTTOGRUPPIDILIE 31Teorema20. Lamappaesponenziale`eundieomorsmodaunintornodi 0aunintornodie.Dimostrazione. Per il teorema della funzione inversa basta mostrare che d(exp)e`einvertibile. Maseprendiamov (Ge)0= Ged(exp)ev=ddt exp(tv)t=0=ddtv(t)t=0= v .percuid(exp)e= id.Ricordiamo il noto fatto che la componente connessa dellidentit`a di ungruppotopologicoG `eunsottogrupponormalechiuso.Proposizione 8. SiaGungruppotopologicoe G1lacomponente connessadellidentit`a. SiainoltreS G1unintornodellidentit` a. Allora S = G1.Dimostrazione. Infatti S`eapertoperch`eperogni x S, xS S. Daltrocanto `echiuso,perch`esey , S,yS S = .Teorema 21. Sia G un gruppo di Lie connesso, Hun altro gruppo di Lie. Allo-raogniomomorsmodigruppidiLie : G H`ecompletamentedeterminatodad()e: Ge He.Dimostrazione. PrendiamoU

Ge, U Gintorni di 0edi etali cheexp:U

Usiadieomorsmo. AnalogamenteperV

He, VH. AmenodirestringereU, U

possiamosupporre(U) V . Allora[U= exp [V de[U (expU )1.Quindi almenoil comportamentolocaledi `edeterminatodade. Daltrocantose,

sonodueomomorsmiconlostessodierenzialelinsiemex G [ (x) =

(x)`eunsottogruppochecontieneunintornodellidentit`a. Peril lemmacontienetuttoGperch`e `econnesso.Lemma15. SiaGungruppodi Liee: U Gunacartainunintornodellidentit`ataleche(0) = e. Allora((x), (y)) = (x +y +o([x[ +[y[))dovex, y Utalicheil loroprodottostianellimmaginediedove [[`eunaqualunquenormasuU.Dimostrazione. Lamappadi moltiplicazione:GG G`eC, percui incoordinatesipu`osriverecome(x, y) = (0, 0) +ax +by +o([x[ +[y[) .Ora(0, 0) = 0. Sitrattadifarvederechea = b = 0. Masex = 0,(0, y) = yperogniy U,percuidevessereb = 1. Analogamentepera = 1.32 CAPITOLO2. GRUPPIDILIETeorema22. SiaGungruppodiLieabelianoconnesso. Alloraesistonoa, b NtalicheG = TaRbdoveT= S1= R/Z.Dimostrazione. Per cominciare dimostriamo che exp : GeG`e unomo-morsmo di gruppi. Infatti prendiamo v, w Ge. Allora per ogni NNexp v exp w =_exp_vN__N_exp_wN__N=_exp_vN_exp_wN__Nperch`eG `eabeliano. Maperillemmaprecedenteexp v exp w =_exp_vN+wN+o_1N___N= exp(v +w +o(1)) .InnefacendotendereNa exp v exp w = exp(v +w) .Quindi exp(Ge) `e un sottogruppo di G che contiene un intorno di e (perch`e exp`edieomorsmolocale),quindi `etuttoG. Perci`oG = Ge/ ker exp.Mail nucleodi exp`eunsottogruppodiscretodi Ge =Rn, perch`eexp`eundieomorsmolocale. Perci`oker exp `eunreticoloker exp =a

i=1Zviconv1, . . . , valinearmenteindipendentisu R. Maquestocidalatesi.Sia G un gruppo di Lie. Un sottogruppo di Lie `e un omomorsmo iniettivodigruppidiLief: H G.Lemma16. UnsottogruppodiLief: H G`eunimmersioneiniettiva.Dimostrazione. Osserviamochedfe`einiettivoperch`esedfev=0risultachef(exp tv)=exp dfetv=exp 0=eperognit R. MaseprendiamoUintornodi 0sucui exp`edieoet abbastanzapiccoloper cui tv U, abbiamochef(exp(tv)) = emaexp(tv) ,= 0. Innepoich`edfedLg= dLf(g)dfgabbiamochef`eunimmersioneiniettiva.Quindi ogni sottogruppodi Liecorrispondeaunasottovariet`aimmersadiG. Nontuttei sottogruppi corrispondonoasottovariet`aregolari. Adesempioseconsideriamoilsottogruppo : Z S1datoda(n) = ein.Unasottovariet`a : N Mdiunavariet`adierenziabile`equasiregolareseperogni funzionef : K Nabbiamochef `elisciaseesolosef lo`e.Si dimostra(maqui nonlofaremo)cheogni sottogruppodi Lie`eunavariet`aquasiregolare.Ci chiediamo quand`e che un sottogruppo corrisponde a una variet`a regolare.2.1. GRUPPIESOTTOGRUPPIDILIE 33Teorema23. UnsottogruppoH