Anno accademico 2015/16, Laurea Triennale FISICA I · Testo di Riferimento: Jewett& Serway PRINCIPI...

Lezione 1 (3 ore + 4)

Carlo PaganiDipartimento di Fisica – Laboratorio LASA

Via F.lli Cervi 201, 20090 Segrate (Milano)web page: http://wwwsrf.mi.infn.it/Members/pagani/teaching

[email protected]

Università degli Studi di MilanoCorso di Laurea in Scienze Geologiche

Anno accademico 2015/16, Laurea Triennale

FISICA IIntroduzione, unità, sistemi di riferimento e vettori

Testo di Riferimento: Jewett & SerwayPRINCIPI DI FISICA, Vol.I, EdiSES , IV e V edizione

Cap. 1

Carlo Pagani

Informazioni generali

Testo di riferimentoSerway, JewettPRINCIPI DI FISICA

Volume I, IV o V EdizioneEdiSES

Programma: 24 ore lezione, 36 esercitazioni

Cap. 1-8, - Unità, Vettori, MeccanicaCap. 10, 11 e 12 – AccenniCap. 15 – Meccanica dei FluidiCap. 16-18 – Calorimetria e TermodinamicaEsame

• Scritto: 4 esercizi in 2 ore • Orale: su tutto il programma, partendo dallo scrittoDue prove scritte in itinere possono esonerare dallo scritto

Fisica I x Geologia – Lez. 1 - 2015/162

Carlo Pagani

Programma: Argomenti delle Lezioni

LEZ EX

1° Introduzione, Unità, Sistemi di Riferimento e Vettori 3 4

2° Cinematica in Una e Due Dimensioni 3 4

3° Dinamica: Leggi del Moto e Principali Applicazioni 2 4

4° Lavoro, Energia e sua Conservazione 3 5

5° Quantità di Moto, Urti e Centro di Massa 2 4

6° Cenni su: Relatività, Moto Rotatorio e Gravitazionale 2 2

7° Statica e Dinamica dei Fluidi 3 4

8° Temperatura, Gas Perfetti e Teoria Cinetica dei Gas 3 7

9° Principi, Trasformazioni e Cicli Termodinamici 3 4

3 Fisica I x Geologia – Lez. 1 - 2015/16

Carlo Pagani

Che cos’è la Fisica ?

È il tentativo dell’essere umano di descrivere in maniera quantitativa i fenomeni che osserviamo

– L’osservazione inizia attraverso i sensi e da essi è limitata.– La fisica ci ha dato strumenti per estendere le osservazioni al di là

dei nostri sensi, dal quark (10-19 m), all’universo (1026 m).

La Fisica non può affrontare il problema ontologico– Significato della fisica quantistica: “zitto e calcola”

(Richard Feynman / D. Mermin).


Carlo Pagani

Metodo Scientifico e sue Basi

Metodo scientifico:– Acquisire i dati necessari a descrivere un sistema oggetto di studio.– Costruire un modello matematico del sistema in esame.– Utilizzare il modello per predire il comportamento del sistema.– Verificare la correttezza delle previsioni (nuovo esperimento).

Conoscenze necessarie– Capacità di utilizzare strumentazione complessa per l’acquisizione

dei dati.– Conoscere gli strumenti matematici necessari per la costruzione del

modello e per la predizione di nuovi comportamenti.– Conoscenze tecnologiche per progettare e costruire l’esperimento.


Carlo Pagani

La fisica NON coincide con la matematica

La fisica parte da osservabili alle quali associa grandezze reali (massa, lunghezza, velocità, temperatura, ecc.) che è possibile misurare. Il procedimento operativo per la misura è parte della definizione della grandezza !La matematica è il linguaggio attraverso il quale la fisica può esprimere le sue leggi e calcolare altre grandezze collegate a quelle definite.

Nota: La forza esercitata da una molla è direttamente proporzionale al suo allungamento. Il coefficiente di proporzionalità, k, si dice costante elastica

F = - k x

x ⇒ allungamento della mollak ⇒ costante elastica della molla F ⇒ forza esercitata dalla molla

FisicaF = - k x

x ⇒ variabile indipendente ∊ ℛ

k ⇒ costante ∊ ℛ

F ⇒ variabile dipendente ∊ ℛ

Matematica

F

x < 0 x > 0


Carlo Pagani

Indagine Fisica

Osservazione del fenomeno [in natura o in laboratorio]Analisi e Misura delle sue caratteristiche delle circostanze che lo producono dei fattori che lo influenzano

Il fenomeno deve essere ripetibile posso fare e rifare la misura (aumentando la precisione) posso variare le condizioni ed i parametri iniziali

Ricerca di leggi matematiche [modelli/teorie]capaci di interpretare il maggior numero di fattisperimentali col minor numero di ipotesi possibili

modello/teoria devono avere un certo potere predittivo, devono essere cioè in grado di prevedere

come si comporterà la natura in una certa situazione sulla base dei dati sperimentali ottenuti in un’ altra situazione

Verifica SperimentaleOBBLIGATORIA


Carlo Pagani

Definizione di una Grandezza Fisica

Le Grandezze Fisiche descrivono ciò che osserviamo in modo quantitativo

La definizione di una grandezza fisica deve essere operativa, essadeve cioè descrivere le operazioni da compiere per misurare la grandezzain esame.

Queste operazioni devono consentire di associare alla grandezza unnumero [oppure un vettore: modulo(=numero) + direzione + verso],secondo operazioni fissate da regole ben precise.

Il numero esprime il rapporto tra la grandezza ed un’altra grandezzaomogenea usata come unità di misura.

10 chilometri 27 mele 100 watt 50 barili 75 chilogrammi

Osservazione Grandezza Fisica


Carlo Pagani

Relazioni tra grandezze fisiche

Le relazioni tra grandezze fisiche comunicano un’informazione.– L’informazione deve essere “strutturata”.

• Unità di Misura: fondamentali e derivate. • Sistemi di unità di misura: es. Sistema Internazionale (SI).

– Si deve fornire esattamente l’attendibilità di questa informazione.• Cifre significative !

– L’informazione deve essere coerente.• Calcolo dimensionale.

– L’informazione deve essere completa.

massa = 57.3 kg = 573 hg = 57.3 ·103 g ……

velocità = 72 km/ora = 20 m/s = ……v


Carlo Pagani

Unità di Misura: Sistema Internazionale (SI)

Il SI è un insieme minimo di grandezze di riferimento (7) dalle quali tutte le altre possono essere derivate attraverso relazioni coerenti.

Granzezza Unità di riferimento Simbolo SI– lunghezza metro m– massa (∝ al peso se c’è gravità) chilogrammo kg– tempo secondo s– intensità di corrente elettrica ampere A– temperatura kelvin K– quantità di sostanza mole mol – intensità luminosa candela cd

Tutte le altre grandezze fisiche possono essere espresse attraverso le grandezze fondamentali del Sistema Internazionale.Se si usa un altro sistema di grandezze di riferimento congruente le formule possono essere diverse.Se si mischiano i sistemi di riferimento il risultato che si ottiene è semplicemente sbagliato !http://physics.nist.gov/cuu/Units/units.html


Carlo Pagani

Grandezze fisiche derivateLe grandezze fisiche sono molte e la loro unità di misura (SI) ha, in molti casi, associato un nome specifico: watt, joule, volt, newton, ecc.Poiché il sistema SI è coerente, tutte possono comunque essere espresse attraverso le grandezze di riferimento: m, kg, s, A, K, mol, cd.Attenzione: in tutte le relazioni tra grandezze fisiche (equazioni):

– Si possono sommare o sottrarre solo grandezze omogenee.– In un’esponenziale, l’esponente deve sempre essere adimensionale, così

come gli argomenti dei logaritmi e delle funzioni trigonometriche*.– Moltiplicando e dividendo tra loro grandezze fisiche differenti si ottengono

altre grandezze fisiche, derivate da quelle che le hanno originate.Esempi di grandezze fisiche derivate:

* Nota: l’angolo è sempre espresso in radianti: rad [m/m] = adimensionale.

Velocità m/s = m s-1

Accelerazione m/s2 = m s-2

Volume m3

Forza N (newton) kg m s-2

Energia J (joule) kg m2 s-2

Potenza W (watt) kg m2 s-3

Tensione V (volt) kg m2 s-3 A-1


Carlo Pagani

Il Radiante (grandezza adimensionale)

Si rammenta la definizione: data una circonferenza di raggio r, l’angolo che sottende un arco lungo l misura l/r radianti (vedi figura).

Conversione:αrad : αdeg = 2π : 360º

αrad = (αdeg / 180º) π

Un angolo di 90º, 180º e 360ºcorrisponde rispettivamente aπ/2, π e 2π radianti.

1 radiante = 57,29578º = 57º 17´ 44,8''


Carlo Pagani

Prefissi SI ed esempi di lunghezze

Prefissi delle unità SIFattore Prefisso Simbolo Esempio

1018 exa- E1015 peta- P petawatt = 1015 W1012 tera- T terawatt = 1012 W109 giga- G gigawatt = 109 W106 mega- M megajoule = 106 J103 kilo- k kilometro = 103 m102 etto- h ettolitro = 102 litri101 deca- D decametro = 101 m10-1 deci- d decimetro = 10-1 m10-2 centi- c centimetro = 10-2 m10-3 milli- m millimetro = 10-3 m10-6 micro- micrometro = 10-6 m10-9 nano- n nanosecondo = 10-9 s10-12 pico- p picosecondo = 10-12 s10-15 femto- f femtosecondo = 10-15 s10-18 atto- a attosecondo = 10-18 s

Lunghezze, ordini di grandezza

Quark 10-19 mElettrone 10-18 mProtone/Neutrone 10-15 m = 1 fmAtomo 10-10 m = 1 ÅCellula 10-8 - 10-3 mEssere umano 100 m Terra 107 mSole 109 m = 1 GmSistema solare 1013 m = 10 TmVia lattea 1021 mUniverso 1026 m


Carlo Pagani

Unità di misura della lunghezza, m

Per misurare una lunghezza è necessario un metro campione Esempi storici:

– Il metro è la 1/40̇000̇000 parte della circonferenza della terra all’Equatore– Il metro è la lunghezza di una barra di Platino-Iridio conservata a Parigi

• La barra di Parigi non è un campione sufficientemente preciso (~10-7)• Le copie hanno un errore maggiore (~10-6)

Definizione attuale: 1 m ≡ Lunghezza percorsa dalla luce nel vuoto in un intervallo di tempo T = 1/299 792 458 secondi (c ≡ 299 792 458 m s-1 → valore esatto)

Limiti sperimentali:– Direttamente è possibile misurare lunghezze fino a qualche nm– In fisica entrano in gioco più di 40 ordini di grandezza

10-19 m Dimensione di un quark10-15 m Dimensione di un nucleone (protone), 1 fm10-10 m Dimensione atomica. 0.1 nm, 1 Angstrom6.4 106 m Raggio medio della terra. 6.4 Mm9.5 1015 m Un anno luce2 1026 m Distanza tra la Terra e la Quasar più lontana


Carlo Pagani

Unità di misura della massa, kg

Per misurare una massa è necessaria una massa campioneEsempi storici:

– 1 kg = la massa di un dm3 di acqua– 1 kg ≡ la massa del cilindro di Platino-Iridio conservato a Parigi

• Il cilindro di Parigi è un campione unico • Le copie hanno un errore che porta ad una precisione insufficiente (~10-8)

Una definizione sostitutiva e soddisfacente non c’è ancoraIn fisica nucleare/particelle si usa l’unità di massa atomica “u”u ≡ 1/12 della massa di un atomo di 12C

– La definizione di kg come un certo numero di “u” sarebbe ottima (vedi “s “e “m”)Il problema è che “u” è noto con solo 6 cifre significative: u = 1.66054‧10-27 kg

Nota: in Fisica le masse sono 2: inerziale e gravitazionale– La massa inerziale ha una definizione dinamica

– La massa gravitazionale ha una definizione gravitazionale

– La teoria della relatività generale ha come ipotesi di partenza che la massa inerziale “min” e quella gravitazionale “mgr” siano esattamente la stessa cosa

– in fisica entrano in gioco circa 83 ordini di grandezza: melettrone 9 10-31 Kg muniverso 1053 Kg

2,2,1

rmm

GF grgr

amF in


Carlo Pagani

Unità di misura del tempo, s

Per misurare un tempo è necessario un orologio, cioè un oggetto che conta qualcosa (es.: le oscillazioni di un fenomeno periodico)

Strumento Errore di misura– Pendolo (un secondo per anno)– Rotazione della terra (1 ms ogni giorno)– Oscillatore a quarzo (1 s ogni 10 anni)

Orologio atomico Cs (1 s ogni 300 000 anni)– 1 secondo ≡ 9 192 631 770 vibrazioni della radiazione emessa dal cesio

Limiti sperimentali:– Direttamente è possibile misurare intervalli di tempo fino a qualche fs (10-15 s)– In fisica entrano in gioco circa 40 ordini di grandezza

Fenomeni nucleari 10-22 s

Vibrazioni dei solidi 10-13 s

Un anno 3 107 s

Vita dell’Universo 4 1017 s = 13.8 miliardi di anni (Big Bang)


Carlo Pagani

Variazione della durata del giorno

sulla base della rotazione terrestre

scarto giornaliero [rispetto alla media] 3 ms errore = 3.5 10-8 = 3 ms/24 ore


Carlo Pagani

Precisione e Cifre significative - 1

In fisica è sempre necessario fornire l’ ‘errore’, cioè una stima ragionata dell’incertezza della misura che è stata effettuata (spesso è legata alla sensibilità dello strumento (righello, cronometro, termometro, ecc.)

Il risultato di una misura NON consiste SOLO nel valore fornito dallo strumento, ma anche di un errore e di una unità di misura (la mancanza di uno di questi termini rende gli altri inutili)

Esprimere il risultato con più cifre di quelle che conosciamo con certezza non ne migliora la qualità. E’ solo sbagliato !

Le cifre che utilizziamo per esprimere un risultato devono essere limitate a quelle di cui abbiamo certezza: cifre significative

Esempi:

Misura di una massa con una bilancia con precisione di 1 g

Massa = 874 ± 1 [g] = 8.74 ± 0.01 [hg] = 0.874 ± 0.001 [kg]

Misura di un tavolo con un metro a nastro (precisione del millimetro)

Lunghezza = 181 ± 0.1 [cm] = 1810 ± 1 [mm] = 1.81 ± 0.001 [m]


Carlo Pagani


Il numero (dimensionale) associato a una misura è una informazioneE’ necessario conoscere la precisione e l’accuratezza dell’informazione.La precisione di una misura è contenuta nel numero di cifre significativefornite o, se presente, nell’errore di misura.Il numero di cifre significative, o l’errore, forniscono le potenzialità ed i limiti dell’informazione a disposizione. Non deve dipendere dalle unità di misura scelte, o dalla notazione scelta (ad esempio, esponenziale).Una manipolazione numerica non può né aumentare né diminuire la precisione di una informazione: è una grave scorrettezza

• Il numero di cifre significative si calcola contando le cifre, a partire dalla prima cifra non nulla, da sinistra verso destra.

Esempi 187.3=1.873 102 4 cifre significative10.0000 6 cifre significative10.0101 6 cifre significative1 1 cifra significativa1234.584 7 cifre significative 0.00001 1 cifra significativa


Carlo Pagani


Un semplice esempio per capireProblema:

Faccio una torta con questi ingredienti310 g di farina 310 ± 1 g5 uova (1 uovo pesa 75 ± 5 g) 375 ± 25 g150 g di zucchero 150 ± 1 g15 grammi di lievito 15 ± 1 g

TOTALE 850 ± 28 g

La divido in 6 fette: quanto pesa una fetta ?– La torta non perde peso in cottura, è un cilindro perfetto e io la taglio con

una macchina perfetta• (850 ± 28) [g] / 6 = 141.66666 ± 4.66666 [g] = 142 ± 5 g

– In un caso più realistico, tagliando la torta con cura• (850 ± 28) / 6 ± 5÷10 % = 140 ± 10 g già la 2° cifra è poco significaiva

– Nel caso più realistico avremo che la fetta peserà 130÷150 gIn tutti i casi definire il peso con la precisione del grammo è sbagliato


Carlo Pagani

Analisi Dimensionale

dimensione denota la natura fisica di una grandezza;ad ogni grandezza associo una unità di misura

le dimensioni possono essere trattate come grandezze algebriche:posso sommare e sottrarre solo grandezze con le stesse dimensioni

esempio: i metri si possono sommare solo ai metrinon posso sommare m con kg o con s !

ogni equazione deve essere dimensionalmente coerente:ciascun membro di un’equazione deve avere le stesse dimensioni

–Lunghezza [L] m–Massa [M] Kg –Tempo [T] s

Gli argomenti delle funzioni trascendenti* devono essere adimensionali (numeri puri = numeri senza associata una dimensione)

* funzione esponenziale e logaritmo, funzioni trigonometriche,…

legge oraria x = ½ a t2Dimensioni [L]= [L/T2][T2]=[L]unità di misura m = m/s2 · s2 = m


Carlo Pagani

Coerenza delle unità di misura

Ogni Equazione oltre a dover essere dimensionalmente coerente è scritta presumendo che si usi uno specifico sistema di unità di misura, come il sistema SI (Sistema Internazionale).

– Se ci riferiamo ad equazioni scritte sulla base del sistema SI, tutte le lunghezze dovranno essere espresse in metri, i tempi in secondi, ecc.

– Se certe grandezze sono riferite ad altre unità di misura, la prima operazione da fare è la loro conversione nelle unità SI

Esempio: Legge di Newton ( Lunghezza [m] Massa [kg] Tempo [s] )

Forza (F ) = massa (m) x accelerazione (a)

[F] = N , [m] = kg, [a] = m s-2 , N = kg·m·s-2 F (N) = m (kg) a (ms-2)

posso sommare e uguagliare soltanto grandezze dimensionalmente coerenti prima di fare i conti devo convertire le grandezze non espresse secondo SI:

– 1 litro = 1 dm3 = 10-3 m3

– 1 ora = 60 minuti = 3.6 103 s– 1 pollice ≡ 25.4 mm = 2.54 10-2 m– 100 km/ora = 105 m / 3.6 103 s = 27.8 m/s = 27.8 m s-1

– 50 °C = 50 + 273.15 K = 323.15 K

F = m a


Carlo Pagani

Equazioni dimensionaliSupponiamo che io non conosca una legge fisica, ma che immagini per semplicità che una quantità ignota sia esprimibile come un monomio formato con quantità note (elevate ad opportuna potenza).

Esempio: il pendoloLe uniche quantità che possono intervenire sono: m, l, g m [kg] , l [m] , g [ms-2]La formula monomia è:

g x l y m z = periodo del pendolo = T [s]Nota: Le dimensioni a destra e sinistra devono essere coerenti !

Quindi, per la coerenza dimensionale:

(ms-2) x m y kg z = s = m 0 s 1 kg 0

m x+y s -2x kg z = m 0 s 1 kg 0

Soluzione: x+y =0, -2x=1, z =0

x= -1/2, y =1/2, z =0 T = (l/g)1/2

Nota: quella ottenuta è una relazione di proporzionalità, l’analisi dimensionale non può determinare le eventuali costanti, e vedremo che T = 2π (l/g)1/2.

La costante adimensionale si può determinare sperimentalmente

m g

m

l


Carlo Pagani

Esempio di analisi dimensionale

Dato un tronco di cono di raggi r1 ed r2, ed altezza h, quali delle seguenti espressioni

i) (r1+r2)[h2+(r1-r2)2]1/2

ii) 2 (r1+r2) iii) h(r1

2+r22+r1r2)

misura a) la circonferenza delle facce piane di baseb) il volumec) l’area delle superficie curva ?

Soluzione:la circonferenza ha dimensione L;il volume ha dimensioni L3 ;l’ area ha dimensioni L2. Dato che:Espressione i) ha dimensioni L(L2)1/2= L2 i) deve essere un’areaEspressione ii) ha dimensioni L ii) deve essere una lineaEspressione iii) ha dimensioni L(L2) = L3 iii) deve essere un volume

r1

r2

h


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Conversione di Unità di Misuraesempio 1Se un serbatoio di automobile contiene inizialmente 8.01 litri di benzina e viene introdotta benzina alla rapidità di 28.00 litri/minuto, quanta benzina contiene il serbatoio dopo 96 secondi ?

Benzina finale = Benzina iniziale + Benzina aggiunta

Benzina aggiunta = =

Benzina finale = 8.01 litri + 44.8 litri = 52.81 litri

secondi96minuto

litri00.28

secondi

minutolitri2688

secondisecondi 60litri2688 secondi

secondilitri8.44

esempio 21 miglio (mi) = 1 760 iarde (yd) ; 1 yd = 3 piedi (ft) ; 1ft = 12 pollici (in) ; 1 in ≡ 2.54 cm1 anno = 365 giorno ; 1 giorno = 24 ore (h) ; 1 ora = 60 minuti ; 1 minuto = 60 secondi (s)

A quale velocità, in km/h, procede un’autovettura che va a 40 yd/s ?


Carlo Pagani

Posizione di un Punto - 1

Per descrivere la posizione di un punto nello spazio, è necessario disporre di un sistema di coordinate rispetto al quale la posizione del punto è definitaLo spazio in cui un problema è descritto può essere a 1, 2 o 3 dimensioni: 1-D, 2-D, 3-DIl sistema di coordinate più comune e intuitivo è quello cartesiano

Sistema di coordinate cartesiane: 1-D

Origine delle Coordinate(posizione dell’osservatore)

OOggetto

Origine delle Coordinate(posizione dell’osservatore)

OOggetto

xog

xog

x

x

xog > 0

xog < 0


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Sistemi di coordinate 2-D

Cartesiane Polari

Relazioni tra coordinate cartesiane e polari

P(xP ,yP) = P(x,y) = P(r,)

x = r cos r = x2 + y2

y = r sin = arctan(y/x)

yP

x

y

P (r ,)•

xP

r

yP

x

y

P (xP ,yP)•

xP

yP

xP

O O


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P(r,θ,z)

y

z

x

0

θ


Cartesiane Polari Cilindriche

P(xP ,yP ,zP) = P(x ,y ,z) = P(r,θ,z)

– x = r cos(θ) r = x2 + y2

– y = r sin(θ) z = z – z = z θ = arctan(y/x)

P(xP,yP,zP)

y

z

x

0

xP

yP

zP

xP

yP

zP

r


Carlo Pagani


P(r,)

y

z

x

0

r


Cartesiane Polari Sferiche

P(xP ,yP ,zP) = P(x ,y ,z) = P(r)

– x = r sin (cos() r = x2 + y2 +z2

– y = r sin(sin() = arccos(z/r)– z = r cos() = arctan(y/x)

P(xP,yP,zP)

y

z

x

0

xP

yP

zP

xP

yP

zP

r sin()


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Grandezze Scalari e Vettoriali

Per caratterizzare completamente una grandezza fisica, a volte è sufficiente dare soltanto un numero (scalare), mentre altre volte questo non è sufficiente, serve anche una direzione e un verso (vettoriale)

– Massa, lunghezza, temperatura: grandezze scalari– Spostamento, velocità, accelerazione: grandezze vettoriali

• Quanto è veloce ? Modulo (lunghezza del segmento)• In quale direzione si muove ? Direzione (retta su cui giace)• Con quale verso ? Verso (orientamento)

Una grandezza vettoriale è caratterizzata SEMPRE da un valore numerico (modulo), da una direzione e da un verso

V

V

Notazione vettoriale

• vettore: V , V , V

• modulo: |V| , |V | , V


Carlo Pagani

Rappresentazione grandezze vettoriali

Così come le “informazioni fornite” da una grandezza scalare possono venire rappresentate mediante un punto su una retta, le “informazioni fornite” da una grandezza vettoriale possono venire rappresentate mediante un punto nello spazio

I vettori, rappresentazione matematica di una grandezza vettoriale, sono segmenti orientati (dall’origine del sistema al punto)Secondo la natura del problema possono essere a 2 dimensioni (2D) o a 3 dimensioni (3D)

x0 P

P

y

z

x

0

V


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Vettori in 2D e loro somma

Esempio: lo spostamento di un punto su un piano– Spostamenti da A a B e poi da B a C: vettore a e vettore b– Somma = spostamento da A a C: vettore a + vettore b = vettore s

Lo spostamento non dipende dalla traiettoriaLa somma vettoriale gode delle proprietà della somma algebrica

a + b = b + a a + b + c = a+(b+c) = b+ (a+c)= c+(a+b)

Regola del parallelogramma


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Vettore 2D sul piano

Un vettore 2D si può definire attraverso le sue componenti, che dipendono dal sistema di coordinate (cartesiane o polari) e dal loro orientamento ma non dalla posizione dell’origine

ax e ay sono le componenti di a in coordinate cartesiane

|a | e sono le sue coordinate polari


Carlo Pagani

x

y

Coordinate cartesiane e polari

Poiché le componenti di un vettore non dipendono dal punto di applicazione, si determinano posizionando il vettore all’origine del sistema di coordinate sceltoComponenti di un vettore in coordinate cartesiane e polari

– Coordinate cartesianeax , ay a (ax,ay)

– Coordinate polari|a| , a (|a|,)

Le equazioni sono le stesse di quelle viste per la posizione !

ax = |a| cos |a|2 = ax2 +ay

2 |a|= ax2 +ay

2

ay = |a| sin = arctan (ay / ax )

Nota: |a | si ottiene applicando il teorema di Pitagorasi ottiene dividendo ay per ax (e calcolandone l’arcotangente)


Carlo Pagani

Riassunto per il caso 3D

E’ tutto uguale ma le componenti del vettore sono 3La posizione di un punto P è definita da 3 coordinateI sistemi di coordinate sono a 3 dimensioni

I 3 sistemi di coordinate più importantiCartesiane: x, y, z

x = distanza dal piano yzy = distanza dal piano xzz = distanza dal piano xy

Polari Sferiche: r, x = r sin() cos () y = r sin() sin () z = r cos()

Polari Cilindriche: r, , zx = r cos()y = r sin()z = z

P (x,y,z)

V (Vx,Vy,Vz)

P (r,,)

V (|V|,)

P (r,,z)

V (|V|,Vz)

P

y

z

x

0Vx

Vy

Vz

V

V


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Significato di “sferiche” e “cilindriche”

V

P (r,,)

V (|V|,) P (r,, z)

V (|V|,Vz)

V


Carlo Pagani

Alcune considerazioni

Le componenti di un vettore dipendono dall’orientamento del sistema di coordinate, ma la grandezza espressa da un vettore non cambia

La somma di vettori si può fare graficamente o analiticamente,applicando le semplici relazioni trigonometriche dei triangoli rettangoli.

– Disegnati i vettori uno di seguito all’altro si chiude il poligono, stando attenti al verso del vettore risultante

– Si sommano le componenti x e le componenti y tra loro, ottenendo la componente x e la componente y del vettore somma (attenti ai segni)


Carlo Pagani

Operazioni con i vettori

Con i vettori sono possibili operazioni di somma e moltiplicazione– La matematica chiama questo capitolo algebra vettoriale

Somma: ne esiste un solo tipo possibile: somma algebrica:vettore + vettore → Risultato: vettore

Prodotto: ne esistono 3 (4) tipi possibili:1) Prodotto tra un Vettore e uno Scalare (numero dimensionale o no):

scalare per vettore → Risultato: vettore

2) Prodotto Scalare tra 2 vettorivettore • vettore → Risultato: scalare

3) Prodotto Vettoriale tra due vettorivettore x vettore → Risultato: vettore

4) Prodotto Tensorialevettore vettore → Risultato: tensore


Carlo Pagani

Esempi di somma di vettori

Esempio di costruzione geometrica

Esempio di calcolo del vettore somma, usando vettori diversi e dati in coordinate cilindriche: a (|a|,) , b (|b|,) , c (|c|,)

ab

cs

a

b

ca + b + c = s

sx = ax + bx + cx

sy = ay + by + cy

Partendo dai moduli e dagli angoli si ha:

ax = |a| cos> 0 ay = |a| sin> 0

cx = |c | cos > 0 cy = |c| sin < 0

bx = |b| cos < 0 by = |b| sin > 0a

c

b

x

y


Carlo Pagani

Prodotto di un vettore per un numero

Ha come risultato un vettore

Si ottiene moltiplicando le componenti cartesiane del vettore per il numero k (grandezza scalare dimensionale o numero puro)

B (Bx,By) = k A (Ax,Ay) Bx= k Ax By= k Ay

Se si hanno le coordinate polari: si moltiplica il modulo per il numero (NON l’angolo)

B (|B|,) = k A (|A|,) |B| = k |A| =

Le operazioni di somma vettoriale e di prodotto di un vettore per un numero ci permettono di introdurre una nuova rappresentazione dei vettori, usando i versori

I versori sono vettori unitari (modulo = 1) con direzione e verso conformi agli assi del sistema di coordinate cartesiane di riferimento


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AB

Ax i Ay j

Rappresentazione con i versori

In un sistema 3-D i versori sono 3, hanno modulo unitario, sono diretti secondo gli assi cartesiani e si indicano con la seguente notazione

In un sistema 2-D i versori sono solo 2: i e jNota: Ovviamente esistono versori anche nella rappresentazione polare…

A (Ax, Ay , Ay) = Ax i + Ay j + Az kB (Bx , By , By) = Bx i + By j + Bz k


Carlo Pagani

Prodotto Scalare - 1

Il Prodotto Scalare di due vettori, A e B, ha come risultato uno scalare. E’ il prodotto tra i moduli dei due vettori per il coseno dell’angolo compreso, OVVERO il prodotto della proiezione del primo vettore sulla direzione del secondo per il modulo del secondo (o viceversa).

A (Ax ,Ay) B (Bx ,By)

A • B ≡ |A| |B| cos |A| (|B| cos |A| cos |B| B • Ma vale anche:

A • B = (Ax Bx) + (Ay By) = C = scalare

(dimostriamo questa affermazione nella prossima trasparenza).

B

A


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Prodotto Scalare - 2

A (Ax ,Ay) • B (Bx ,By)

(Ax Bx) + (Ay By) = = [|A| cos(θA) |B| cos(θB)] + [|A| sin(θA) |B| sin(θB)] = = |A| |B| [cos(θA) cos(θB) + sin(θA) sin(θB)] == |A| |B| cos(θA-θB) = |A| |B| cos(θB-θA)

L’equivalenza è dimostrataLe due formule sono ambedue utili

Conseguenze:

Il Prodotto scalare tra due vettori ortogonali è nullo !Il Prodotto scalare tra due vettori paralleli è il prodotto dei loro moduli


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BA C

Il risultato del Prodotto Vettoriale tra 2 vettori, A e B, è un vettore, C, ortogonale al piano formato dai vettori A e B.

Prodotto Vettoriale (o Vettore)

Note• Il prodotto vettoriale tra due vettori paralleli è nullo• |C| è massimo per = ± /2

• A x B = - B x A (non è commutativo !)

A X B = A Λ B = C modulo: |C| = |A| |B| sin direzione: ⊥ al piano dei vettori verso: regola della mano destra,o anche: verso uscente se per portare il primo sul secondo devo ruotare insenso antiorario


Carlo Pagani

P. V. in Coordinate Cartesiane

A X B = A Λ B = CA (Ax ,Ay , Az) B (Bx , By , Bz) C (Cx ,Cy , Cz)A=Ax i +Ay j +Az k B=Bx i +By j +Bz k C=Cx i +Cy j +Cz k

Cx = (Ay Bz – Az By)Cy = (Az Bx – Ax Bz)Cz = (Ax By – Ay Bx)

C=(Ay Bz – Az By) i + (Az Bx – Ax Bz) j + (Ax By – Ay Bx) k

Esempio

A (1,1,1) B (2,2,0)C (0-2,0-2,2-2) = C (-2,2,0)C=-2 i +2 j +0 k = -2 i +2 j x

y

z

B

CA

i j kAx Ay Az

Bx By Bz


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Esercizi Lezione 11. Un cubo molto preciso ha il lato pari ha 5.35 cm e la massa m = 856 g. Determinare la

densità del cubo in unità SI. [5.59·103 kg/m3]Nota: la densità è la massa per unità di volume. Nel sistema SI [kg/m3]

2. Determinare quanti secondi ci sono in un giorno, in un anno normale e in un anno bisestile. [86400 s, 31536000 s, 31622400 s]

3. Un'unità astronomica (UA) vale 150 milioni di Km, un anno luce è la distanza percorsa dalla luce in un anno. Quanti anni luce vale 1 UA ? Cifre significative e stime. [1.59·10-5]

4. Determinare la massa della terra sapendo che il suo diametro e la sua densità sono rispettivamente: D = 12.75·103 km, = 5.515 kg/dm3. [5.99·1024 kg]

5. Determinare nelle unità di misura del sistema SI le seguenti velocità:130 km/ora [36.1 m/s o anche 36 m/s]20 miglia/minuto (1 ml = 1.609 km = 1609 m) [536 m/s non 536.33 m/s]1.5 105 pollici/ora (1 in ≡ 2.54 cm = 2.54·10-2 m) [1.1 m/s non 1.058 m/s]

6. Determinare nell’unità di misura [miglia/ora] le seguenti velocità:130 km/ora (1 m = 1/1609 ml = 6.214·10-4 ml) [80.8 ml/h o anche 81 ml/h]20 miglia/minuto [1.2·103 ml/h]1.5 105 pollici/ora (1 m = 1/0.0254 in = 39.37 in) [2.37 ml/h o meglio 2.4 ml/h]

7. Determinare nell’unità di misura [iarde/s] le seguenti velocità:Nota: 1 miglio ≡ 1760 iarde, 1 iarda ≡ 3 piedi, 1 piede ≡ 12 pollici, 1 pollice ≡ 25.4 mm

130 km/ora (1 ya = 0.9144 m) [39.5 ya/s o anche 40 ya/s o anche 39 ya/s]20 miglia/minuto (1 ml = 1760 ya) [587 ya/s o meglio 590 ya/s1.5 105 pollici/ora (1 in = 1/36 ya = 0.0278 ya) [1.16 ya/s o meglio 1.2 ya/s]


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Esercizi Lezione 1 - continua

8. Sapendo che F [N] = m [kg] ·a [m/s2], cioè che la forza è uguale alla massa moltiplicata per l’accelerazione, si determini quale forza si deve applicare ad un corpo di massa pari a 10kg perché subisca un’accelerazione pari a 5g. [490 N = 490 kg m s-2]Nota: g è l’accelerazione di gravità sulla superficie della terra e vale: g = 9.81 m/s2

9. Sapendo che la legge di gravitazione universale è la seguente:

determinare le unità di misura della costante G [G] = [N m2 kg-2][G] = [m3 kg-1 s-2]

Nota: F è la forza gravitazionale con cui le due masse m1 e m2 si attraggono, r è la loro distanza

10. Utilizzando il risultato dell’esercizio 4. e la legge di gravitazione, in cui G = 6.67·10-11 [Nm2 kg-2], determinare il valore della forza e dell’accelerazione a cui è sottoposto un corpo di massa m = 103 kg che si trovi a 104 km dal centro della terra. [F=4.00·103 N ; a = 4.00 m/s2]

11. Discutere brevemente i risultati degli esercizi precedenti sulla base delle cifre significative dei dati. Nota: di ogni dato si suppone che tutte le cifre indicate siano significative. In generale, se non è indicato esplicitamente l’errore, si suppone che l’ultima cifra sia stata approssimata alla cifra più vicina al vero, per eccesso o per difetto (1.3454 1.345, 372.8 373)

12. Ripetere l’esercizio 4. usando come dati del diametro della terra e della sua densità i valori: D = 13·103 km, = 5.5 kg/dm3. Confrontare i risultati e discutere il significato delle cifre significative [6.327·1024 kg 6.3·1024 kg o anche 6·1024 kg]

221

rmmGF


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Esercizi Lezione 1 - continua1. Dati i vettori a = 4.2 i - 1.5 j , b = -1.6 i + 2.9 j e c = -3.7 j , trovare il vettore somma

a+b, il vettore a+b+c, e il vettore a+b-c. Fare le operazioni sia con il metodo algebrico, che con il metodo grafico dopo averli disegnati su un piano cartesiano. Scrivere modulo, direzione e verso (coordinate polari) dei vettori che si sono trovati.[ a+b = 2.6 i + 1.4 j , a+b+c = 2.6 i -2.3 j , a+b-c = 2.6 i + 5.1 j , a+b (3.0 , 28.3 deg) , a+b+c (3.5 , - 41.5 deg) , a+b-c (5.7 , 63 deg) ]

2. La squadra che nel 1972 trovò la connessione nel sistema di grotte Mammut-Flint percorse, dall'ingresso di Austin del sistema di grotte Flint-Ridge fino all'Echo River della caverna del Mammut una distanza netta di 2.6 km verso ovest, 3.9 km verso sud e 25 m verso l'alto. Definire i 3 spostamenti come vettori e calcolare lo spostamento complessivo, in forma cartesiana. [ Ov[km] = 2.6 i + 0 j +0 k ; Su[km] = 0 i + 3.9 j +0 k ; Al[km] = 0 i + 0 j + 2.5·10-2 k ; S=Ov+Su+Al ;S[km] = 2.6 i + 3.9 j + 2.5·10-2 k ]

a

b

c

b

- c

x

y


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Esercizi Lezione 1 - continua3. Dati i vettori:

a = 2 i + 3 j [m]b (| b | , b ) , con | b | = 4 m e b = 65 gradi ⇒ b = 1.7 i + 3.6 j [m]c = - 4 i - 6 jd (| d | , d ) , con | d | = 5 m e d = 235 gradi ⇒ d = -2.9 i - 4.1 j [m]calcolare: a+ b ; c+ d ; a+ b+ c+ d ; b • d ; (a + b) • (c + d)[ a+b = (3.7 i + 6.6 j) m ; c+d = ( - 6.9 i – 10 j ) m; a+b+c+d = ( - 3.2 i - 3.5 j ) m ;b•d = - 20 m2 ; (a + b) • (c + d) = - 92 m2 ]

4. Disegnare nel piano cartesiano un quadrato con centro nell'origine e lati di 2 m. Definire le componenti dei vettori a = dal centro al vertice del quadrato nel 1° quadrante b = dal centro al vertice del quadrato nel 4° quadrante c = dal centro al punto medio del lato che attraversa il 2°

e il 3° quadrante. Calcolare a + b + c, e a • b.[ a =(1 i + 1 j) m ; b = (1 i - 1 j) m ; c =( - 1 i + 0 j ) m ; a+b + c = (1 i + 0 j ) m ; a • b = (1·1-1·1 ) m2 = 0 ]

5. Il vettore a giace nel piano xy. Il suo modulo è 18 e la sua direzione è 250 gradi rispetto all'asse x. Il vettore b ha modulo 12 ed è diretto lungo l'asse z (concorde con il verso di z). Calcolare il prodotto vettore c = a x b. [ a = - 6.2 i – 16.9 j ; b = 12 k c = a x b = - 203 i + 74 j ⇒ c (216, 160 deg)

6. Se a = 3 i – 4 j e b = - 2 i + 3 k, quanto vale c = a x b ? [ c = - 12 i -9 j - 8 k ]

x

y

a

b

c

III

III IV

0 1

1

2 m


Anno accademico 2015/16, Laurea Triennale FISICA I · Testo di Riferimento: Jewett& Serway PRINCIPI...

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