ANALISIFUNZIONALE SPAZIDIHILBERT - unipa.itmath.unipa.it/averna/did/Analisi...

1. Spazi pre- . . .

2. Spazi lineari . . .

3. Lo spazio di . . .


1. Sottospazi

2. Sottospazi . . .

3. Basi

4. Isomorfismi

1. Applicazioni . . .

2. Operatori lineari

3. Forme bilineari

4. Operatori . . .

5. Operatori di . . .

Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 106

Go Back

Full Screen

Close

Quit

ANALISI FUNZIONALESPAZI DI HILBERT

(ESEMPI, ESERCIZI eDIMOSTRAZIONI

che sono indicati e non risolti nella dispensa)

Diego AVERNA?

con ringraziamenti alle Dott.sseLoredana BONSIGNORE e Maria Stella CANDELA

che sono state mie studentesse durante l’A.A. 2006/07

? Dipartimento di Matematica e InformaticaFacoltà di Scienze MM.FF.NN.

Via Archirafi, 34-90123 Palermo (Italy)[email protected]

http://math.unipa.it/averna/

1

1. Spazi pre- . . .




1. Sottospazi

2. Sottospazi . . .

3. Basi

4. Isomorfismi



3. Forme bilineari

4. Operatori . . .


Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 106

Go Back

Full Screen

Close

Quit

Prima Edizione 13/03/2007. Ultima Edizione 26/10/2016.Questo documento è stampabile se preso da

http://math.unipa.it/averna/did/Analisi Funzionale/index.html.Typeset by AMS-LATEX .

2

1. Spazi pre- . . .




1. Sottospazi

2. Sottospazi . . .

3. Basi

4. Isomorfismi



3. Forme bilineari

4. Operatori . . .


Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 106

Go Back

Full Screen

Close

Quit

1. SPAZI DI HILBERT

CAPITOLO 1

SPAZI DI HILBERT

1. Spazi pre-hilbertiani

Esempio 1.1. Sullo spazio euclideo n-dimensionale, IRn =

{a = (α1, . . . , αn) : αk ∈ IR} definiamo:

a + b = (α1 + β1, . . . , αn + βn)

λa = (λα1, . . . , λαn)

〈a, b〉 = Σnk=1αkβk

Provare che gli assiomi p1), p2), p3), p4), p5) sono banalmen-te verificati e quindi 〈·, ·〉 è un prodotto interno.

3

1. Spazi pre- . . .




1. Sottospazi

2. Sottospazi . . .

3. Basi

4. Isomorfismi



3. Forme bilineari

4. Operatori . . .


Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 106

Go Back

Full Screen

Close

Quit

1. SPAZI DI HILBERT

Dim. p1) 〈a1 + a2, b〉 = Σnk=1(α1,k +α2,k)βk = Σn

k=1α1,kβk +Σnk=1α2,kβk = 〈a1, b〉+ 〈a2, b〉p2) 〈αa, b〉 = Σn

k=1(ααk)βk = Σnk=1α(αkβk) = αΣn

k=1αkβk= α 〈a, b〉

p3) 〈b, a〉 = Σnk=1βkαk = Σn

k=1αkβk = (poiché αkβk ∈ IR)= Σn

k=1αkβk = Σnk=1αkβk = 〈a, b〉

p4) 〈a, a〉 = Σnk=1α

2k ≥ 0

p5) (=⇒) : 〈a, a〉 = Σnk=1α

2k = 0 =⇒ αk = 0 ∀k =

1, . . . , n =⇒ a = (0, . . . , 0).(⇐=) : Sia a = (0, . . . , 0) =⇒ 〈a, a〉 = 0. �

4

1. Spazi pre- . . .




1. Sottospazi

2. Sottospazi . . .

3. Basi

4. Isomorfismi



3. Forme bilineari

4. Operatori . . .


Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 106

Go Back

Full Screen

Close

Quit

1. SPAZI DI HILBERT

Esempio 1.2. Sia n ≥ 1. Consideriamo lo spazio unitario n-dimensionale Cn = {a = (α1, . . . , αn) : αk ∈ C, k = 1, . . . , n} edefiniamo:

a + b = (α1 + β1, . . . , αn + βn)

λa = (λα1, . . . , λαn)

〈a, b〉 = Σnk=1αkβk

Verificare che tutte le condizioni menzionate nella definizionedi spazio pre-hilbertiano sono soddisfatte.

5

1. Spazi pre- . . .




1. Sottospazi

2. Sottospazi . . .

3. Basi

4. Isomorfismi



3. Forme bilineari

4. Operatori . . .


Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 106

Go Back

Full Screen

Close

Quit

1. SPAZI DI HILBERT

Dim. p1) 〈a1 + a2, b〉 = Σnk=1(α1,k +α2,k)βk = Σn

k=1α1,kβk +

Σnk=1α2,kβk = 〈a1, b〉+ 〈a2, b〉p2) 〈αa, b〉 = Σn

k=1(ααk)βk = Σnk=1α(αkβk) = αΣn

k=1αkβk= α 〈a, b〉

p3) 〈b, a〉 = Σnk=1βkαk = Σn

k=1αkβk = Σnk=1αkβk =

Σnk=1αkβk = 〈a, b〉p4) 〈a, a〉 = Σn

k=1αkαk = Σnk=1|αk |2 ≥ 0

p5)(=⇒) : 〈a, a〉 = Σnk=1αkαk = Σn

k=1|αk |2 = 0 =⇒ |αk | =0 ∀k = 1, . . . , n =⇒ αk = 0 ∀k = 1, . . . , n =⇒ a = (0, . . . , 0).

(⇐=) : Se a = (0, . . . , 0) =⇒ 〈a, a〉 = 0. �

6

1. Spazi pre- . . .




1. Sottospazi

2. Sottospazi . . .

3. Basi

4. Isomorfismi



3. Forme bilineari

4. Operatori . . .


Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 106

Go Back

Full Screen

Close

Quit

1. SPAZI DI HILBERT

Esempio 1.3. [Successione finite] Sia L = {a = (αk)∞k=1 :

αk ∈ C per k ∈ IN, αk = 0 per k > n(a)} e definiamo:

a + b = (αk + βk)∞k=1

λa = (λαk)∞k=1

〈a, b〉 = Σ∞k=1αkβk

N.B. La serie si riduce ad una somma finita.Verificare che L è uno spazio pre-hilbertiano.

7

1. Spazi pre- . . .




1. Sottospazi

2. Sottospazi . . .

3. Basi

4. Isomorfismi



3. Forme bilineari

4. Operatori . . .


Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 106

Go Back

Full Screen

Close

Quit

1. SPAZI DI HILBERT

Dim. Si osserva subito che la serie 〈a, b〉 = Σ∞k=1αkβk puòessere ridotta ad una somma finita (di quanti termini non di sa).

Infatti, se a, b ∈ L, allora chiaramente a = (αk)∞k=1 conαk ∈ C per k ∈ IN, αk = 0 per k > n(a) e b = (βk)∞k=1 conβk ∈ C per k ∈ IN, βk = 0 per k > n(b).

Quindi, posto n = min{n(a), n(b)} si deduce che: αkβk = 0

per k > n =⇒ αkβk = 0 per k > n =⇒ 〈a, b〉 = Σnk=1αkβk .

Procedendo in modo analogo all’esempio 1.2 si ricava che〈a, b〉 = Σ∞k=1αkβk è un prodotto interno su L. �

8

1. Spazi pre- . . .




1. Sottospazi

2. Sottospazi . . .

3. Basi

4. Isomorfismi



3. Forme bilineari

4. Operatori . . .


Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 106

Go Back

Full Screen

Close

Quit

1. SPAZI DI HILBERT

Esempio 1.4. Siano a, b ∈ IR con a < b. Poniano I = [a, b].Denotiamo con C(I) la classe di tutte le funzioni f : I → Ccontinue. Definiamo (puntualmente su I)

(f + g)(x) = f (x) + g(x), ∀x ∈ I

(λf )(x) = λf (x), ∀x ∈ IInoltre poniamo:

〈f , g〉 =

∫ b

a

f (x)g(x)dx

Provare che C(I) è uno spazio munito di prodotto interno.

9

1. Spazi pre- . . .




1. Sottospazi

2. Sottospazi . . .

3. Basi

4. Isomorfismi



3. Forme bilineari

4. Operatori . . .


Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 106

Go Back

Full Screen

Close

Quit

1. SPAZI DI HILBERT

Dim. p1) 〈f1 + f2, g〉 =∫ ba

(f1 + f2)(x)g(x)dx =∫ ba

(f1(x) +

f2(x))g(x)dx =∫ baf1(x)g(x)dx +

∫ baf2(x)g(x)dx = 〈f1, g〉 +

〈f2, g〉p2) 〈αf , g〉 =

∫ ba

(αf )(x)g(x)dx =∫ baαf (x)g(x)dx =

α∫ baf (x)g(x)dx = α 〈f , g〉

p3) 〈g, f 〉 =∫ bag(x)f (x)dx =

∫ baf (x)g(x)dx =∫ b

af (x)g(x)dx = 〈f , g〉p4) 〈f , f 〉 =

∫ baf (x)f (x)dx =

∫ ba|f (x)|2dx ≥ 0

p5)(=⇒) : 〈f , f 〉 =∫ baf (x)f (x)dx =

∫ ba|f (x)|2dx = 0 =⇒

|f (x)| = 0 ∀x ∈ I =⇒ f (x) = 0 ∀x ∈ I =⇒ f = 0.(⇐=) : Se f = 0 =⇒ 〈f , f 〉 = 0. �

10

1. Spazi pre- . . .




1. Sottospazi

2. Sottospazi . . .

3. Basi

4. Isomorfismi



3. Forme bilineari

4. Operatori . . .


Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 106

Go Back

Full Screen

Close

Quit

1. SPAZI DI HILBERT

Esercizio 1.1 Se {ek}nk=1 è una famiglia ortonormale di vet-tori, allora ‖f ‖2 =

∑nk=1 | 〈f , ek〉 |2 ⇐⇒ f =

∑nk=1 〈f , ek〉 ek .

11

1. Spazi pre- . . .




1. Sottospazi

2. Sottospazi . . .

3. Basi

4. Isomorfismi



3. Forme bilineari

4. Operatori . . .


Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 106

Go Back

Full Screen

Close

Quit

1. SPAZI DI HILBERT

Dim. (⇐=): Sia f =∑n

k=1 〈f , ek〉 ek . Allora:

‖f ‖2 = 〈f , f 〉 =

⟨n∑k=1

〈f , ek〉 ek ,n∑h=1

〈f , eh〉 eh

⟩=

=

n∑k=1

n∑h=1

〈f , ek〉〈f , eh〉〈ek , eh〉 .

Inoltre, sapendo che {ek}nk=1 è una famiglia ortonormale di vet-tori, dalla relazione precedente segue che

‖f ‖2 =

n∑k=1

| 〈f , ek〉 |2.

(=⇒): Si ponga g = f −∑n

k=1 〈f , ek〉 ek . Si è visto nelladimostrazione della disuguaglianza di Bessel che g ⊥ eh perh = 1, . . . , n e che i vettori g, 〈f , e1〉 e1, . . . , 〈f , en〉 en formanouna famiglia ortogonale.

Pertanto, per il Corollario 1.2 si ha che:12

1. Spazi pre- . . .




1. Sottospazi

2. Sottospazi . . .

3. Basi

4. Isomorfismi



3. Forme bilineari

4. Operatori . . .


Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 106

Go Back

Full Screen

Close

Quit

1. SPAZI DI HILBERT

‖f ‖2 = ‖g +

n∑k=1

〈f , ek〉 ek‖2 = ‖g‖2 +

n∑k=1

| 〈f , ek〉 |2

Ma, per ipotesi si ha che: ‖f ‖2 =∑n

k=1 | 〈f , ek〉 |2, da cuisegue che ‖g‖2 = 0 =⇒ ‖g‖ = 0 =⇒ g = 0.

Quindi:

0 = g = f −n∑k=1

〈f , ek〉 ek =⇒ f =

n∑k=1

〈f , ek〉 ek .

�

13

1. Spazi pre- . . .




1. Sottospazi

2. Sottospazi . . .

3. Basi

4. Isomorfismi



3. Forme bilineari

4. Operatori . . .


Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 106

Go Back

Full Screen

Close

Quit

2. SPAZI DI HILBERT

2. Spazi lineari normati

Esercizio 2.1. Provare che una successione convegente deter-mina univocamente il suo limite.

14

1. Spazi pre- . . .




1. Sottospazi

2. Sottospazi . . .

3. Basi

4. Isomorfismi



3. Forme bilineari

4. Operatori . . .


Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 106

Go Back

Full Screen

Close

Quit

2. SPAZI DI HILBERT

Dim. Supponiamo che limn→∞ fn = f e limn→∞ fn = g. Perogni ε

2> 0 esistono n1 = n1( ε

2) e n2 = n2( ε

2) tali che

‖f − fn‖ <ε

2∀n > n1

‖g − fn‖ <ε

2∀n > n2.

Per n > max{n1, n2}

‖f −g‖ = ‖f −fn+fn−g‖ ≤ ‖f −fn‖+‖fn−g‖ <ε

2+ε

2= ε > 0.

Allora: ‖f − g‖ = 0 =⇒ f = g. �

15

1. Spazi pre- . . .




1. Sottospazi

2. Sottospazi . . .

3. Basi

4. Isomorfismi



3. Forme bilineari

4. Operatori . . .


Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 106

Go Back

Full Screen

Close

Quit

2. SPAZI DI HILBERT

Esercizio 2.2. Ogni successione di Cauchy è limitata.

16

1. Spazi pre- . . .




1. Sottospazi

2. Sottospazi . . .

3. Basi

4. Isomorfismi



3. Forme bilineari

4. Operatori . . .


Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 106

Go Back

Full Screen

Close

Quit

2. SPAZI DI HILBERT

Dim. Sia (fn)∞n=1 una successione di Cauchy, allora fissato1 > 0 si può determinare un indice n = n(1) tale che ∀ n,m > nsi ha:

‖fn − fm‖ < 1.

Fissato m∗ > n risulta che ∀ n > n è ‖fn‖ − ‖fm∗‖ ≤ ‖fn −fm∗‖ < 1 per il Teorema 2.2, e per la relazione precedente. Dacui:

‖fn‖ < ‖fm∗‖+ 1 ∀ n > n.

Posto M = max{‖f1‖, . . . , ‖fn‖, ‖fm∗‖+ 1} risulta ‖fn‖ ≤ M∀ n ∈ IN. �

17

1. Spazi pre- . . .




1. Sottospazi

2. Sottospazi . . .

3. Basi

4. Isomorfismi



3. Forme bilineari

4. Operatori . . .


Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 106

Go Back

Full Screen

Close

Quit

2. SPAZI DI HILBERT

Teorema 2.5. Ogni successione convergente in L è di Cauchy.

18

1. Spazi pre- . . .




1. Sottospazi

2. Sottospazi . . .

3. Basi

4. Isomorfismi



3. Forme bilineari

4. Operatori . . .


Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 106

Go Back

Full Screen

Close

Quit

2. SPAZI DI HILBERT

Dim. Sia (fn)∞n=1 una successione convergente a f in L.Per ogni ε

2> 0 esiste un n = n( ε

2) tale che ‖fn − f ‖ < ε

2∀ n > n.

Allora ∀ n,m > n:

‖fn− fm‖ = ‖fn− f + f − fm‖ ≤ ‖fn− f ‖+‖f − fm‖ <ε

2+ε

2= ε.

Quindi la successione (fn)∞n=1 è una successione di Cauchy. �

19

1. Spazi pre- . . .




1. Sottospazi

2. Sottospazi . . .

3. Basi

4. Isomorfismi



3. Forme bilineari

4. Operatori . . .


Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 106

Go Back

Full Screen

Close

Quit

2. SPAZI DI HILBERT

Esempio 2.3. Sia L = Cn. Provare che L è completo nellanorma indotta dal prodotto interno dato nell’esempio 1.2.

20

1. Spazi pre- . . .




1. Sottospazi

2. Sottospazi . . .

3. Basi

4. Isomorfismi



3. Forme bilineari

4. Operatori . . .


Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 106

Go Back

Full Screen

Close

Quit

2. SPAZI DI HILBERT

Dim. Sia ai = (α1,i , . . . , αn,i) ∈ Cn e sia (ai)∞i=1 una succes-sione di Cauchy in L.

Allora per ogni ε > 0 esiste un i = i(ε) tale che per ognij, i > i è ‖ai − aj‖ < ε.

‖ai − aj‖2 = 〈ai − aj , ai − aj〉 = Σnk=1(αk,i −αk,j)(αk,i − αk,j) =

= Σnk=1|αk,i − αk,j |2 < ε2

Da |αk,i−αk,j |2 <∑n

k=1 |αk,i−αk,j |2 < ε2 si ha che per ognik = 1, . . . , n e per ogni ∀ i , j > i è |αk,i − αk,j | < ε.

Quindi ∀ k = 1, . . . , n la successione (αk,i)∞i=1 è una suc-cessione di Cauchy in C, (C è uno spazio metrico completo)allora converge ad un numero αk ∈ C. Ossia fissato ε√

nesiste

i∗ = i∗( ε√n) tale che

|αk − αk,i | <ε√n∀ i > i∗

Sia a = (α1, . . . , αn) ∈ Cn allora21

1. Spazi pre- . . .




1. Sottospazi

2. Sottospazi . . .

3. Basi

4. Isomorfismi



3. Forme bilineari

4. Operatori . . .


Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 106

Go Back

Full Screen

Close

Quit

2. SPAZI DI HILBERT

‖a − ai‖2 =

n∑k=1

|αk − αk,i |2 < nε2

n= ε2 ∀ i > i∗

e quindi ‖a − ai‖ < ε ∀ i > i∗ ossia limi→∞ ai = a, a ∈ Cn.�

22

1. Spazi pre- . . .




1. Sottospazi

2. Sottospazi . . .

3. Basi

4. Isomorfismi



3. Forme bilineari

4. Operatori . . .


Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 106

Go Back

Full Screen

Close

Quit

3. SPAZI DI HILBERT

3. Lo spazio di Hilbert l2

Esercizio 3.1. Sia U = {a = (αk)∞k=1 : αk ∈ C, |αk | < 1k, k ≥

1}.Dimostrare che:a) U ⊂ l2b) Ogni successione (an)∞n=1 ⊂ U contiene una sottosuc-

cessione convergentec) Per n ≥ 1 sia en = (δn,k)∞k=1; allora ogni sottosuccessio-

ne della successione (en)∞n=1 non converge.

23

1. Spazi pre- . . .




1. Sottospazi

2. Sottospazi . . .

3. Basi

4. Isomorfismi



3. Forme bilineari

4. Operatori . . .


Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 106

Go Back

Full Screen

Close

Quit

3. SPAZI DI HILBERT

Dim. a)∑∞

k=1 |αk |2 <∑∞

k=11k2 < +∞.

b) an = (αn,k)k , |αn,k | < 1k∀n ≥ 1, ∀k ≥ 1.

|αn,1| < 1 quindi è limitata, per un teorema di Analisi I (ilcaso complesso è lo stesso) esiste una sottosuccessione (αhn,1)nconvergente a α1.

Pigliamo la successione |αhn,2| < 12quindi è limitata, per lo

stesso teorema di Analisi I, esiste una sottosuccessione che nonè restrittivo continuare a chiamare (αhn,2)n convergente a α2.

Pigliamo la successione |αhn,3| < 13. . . . . . è cosi via.

La sottosuccessione che otteniamo alla fine è quella conver-gente richiesta: (αhn,k)n.

c) Osserviamo che comunque presi due elementi distinti, ened em, della successione (en)∞n=1 risulta ‖en−em‖ = (

∑∞k=1 |δn,k−

δm,k |2)12 =√

2 pertanto non è verificata la condizione di Cauchy.�

24

1. Spazi pre- . . .




1. Sottospazi

2. Sottospazi . . .

3. Basi

4. Isomorfismi



3. Forme bilineari

4. Operatori . . .


Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 106

Go Back

Full Screen

Close

Quit

4. SPAZI DI HILBERT

4. Lo spazio di Hilbert L2

Teorema 4.3. L2[a, b] è completo rispetto alla norma indottadal prodotto interno.

25

1. Spazi pre- . . .




1. Sottospazi

2. Sottospazi . . .

3. Basi

4. Isomorfismi



3. Forme bilineari

4. Operatori . . .


Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 106

Go Back

Full Screen

Close

Quit

4. SPAZI DI HILBERT

Dim. Se f ∈ L2[a, b], per la disuguaglianza di Cauchy, si ha:

(1)∫ b

a

|f (x)|dx = 〈|f |, 1〉 ≤ ‖f ‖‖1‖ =√b − a‖f ‖.

Supponiamo ora che (fn)∞n=1 sia una successione di Cauchyin L2[a, b]. Allora esiste un indice n1 = n1(1

2) tale che:

‖fm − fn‖ <1

2per m, n ≥ n1.

Per induzione costruiamo una successione crescente di nu-meri naturali n1 < n2 < . . . < nk < . . . tale che:

‖fm − fn‖ <1

2kper m, n ≥ nk .

Consideriamo la successione (fnk+1 − fnk )∞n=1 ⊂ L2[a, b]. Peril Teorema di Lebesgue sulla convergenza dominata 1 abbiamo:

1 Teorema di Lebesgue sulla convergenza dominata: Se la successione(gk)∞k=1 ⊂ M[X] ha la proprietà che limk→∞ gk esiste ed è finito q.o. in X ese |gk | ≤ h per qualche funzione h non negativa di L1[X] e per ogni k ≥ 1allora limk→∞ gk ⊂ L1[X] e

∫X limk→∞ gkdµ = limk→∞

∫X gkdµ.26

1. Spazi pre- . . .




1. Sottospazi

2. Sottospazi . . .

3. Basi

4. Isomorfismi



3. Forme bilineari

4. Operatori . . .


Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 106

Go Back

Full Screen

Close

Quit

4. SPAZI DI HILBERT

(2)∫ b

a

Σ∞k=1|fnk+1(x)− fnk (x)|dx =

Σ∞k=1

∫ b

a

|fnk+1(x)− fnk (x)|dx ≤√b − a Σ∞k=1‖fnk+1 − fnk‖

≤√b − a Σ∞k=1

1

2k=√b − a.

Per il Teorema di Beppo Levi 2 la serie Σ∞k=1|fnk+1(x)− fnk (x)|converge q.o. e così la serie:

fn1(x) +

∞∑k=1

[fnk+1(x)− fnk (x)] = limk→∞

fnk (x).

Di conseguenza la funzione f definita q.o. in [a, b] da f (x) =limk→∞ fnk (x) è finita q.o. e appartiene a M[a, b].

Inoltre, usando ancora il Teorema di Lebesgue sulla conver-genza dominata, abbiamo:

2 Teorema di Beppo Levi: Se la successione (gk)∞k=1 ⊂ L1[X] ha laproprietà che

∑∞k=1

∫X |gk |dµ < ∞, allora

∑∞k=1 gk converge q.o. in X a

una funzione integrabile e∫X(∑∞

k=1 gk)dµ =∑∞

k=1

∫X gkdµ.27

1. Spazi pre- . . .




1. Sottospazi

2. Sottospazi . . .

3. Basi

4. Isomorfismi



3. Forme bilineari

4. Operatori . . .


Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 106

Go Back

Full Screen

Close

Quit

4. SPAZI DI HILBERT

∫ b

a

|f (x)− fnh(x)|2dx ≤∫ b

a

[

∞∑k=h

|fnk+1(x)− fnk (x)|]2dx

= limm→∞

∫ b

a

[

m∑k=h

|fnk+1(x)− fnk (x)|]2dx

= limm→∞‖

m∑k=h

|fnk+1(x)− fnk (x)|‖2

≤ limm→∞

(m∑k=h

‖fnk+1(x)− fnk (x)‖

)2

≤ limm→∞

(m∑k=h

1

2k

)2

=

(1

2h−1

)2

.

Concludiamo così che (f − fnh) ∈ L2[a, b] e ‖f − fnh‖ ≤ 12h−1 .

Perciò abbiamo f = (f − fnh) + fnh ∈ L2[a, b] e per n > nhotteniamo

‖f − fn‖ ≤ ‖f − fnh‖+ ‖fnh − fn‖ ≤1

2h−1+

1

2h<

1

2h−2.

28

1. Spazi pre- . . .




1. Sottospazi

2. Sottospazi . . .

3. Basi

4. Isomorfismi



3. Forme bilineari

4. Operatori . . .


Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 106

Go Back

Full Screen

Close

Quit

4. SPAZI DI HILBERT

Questo prova che limn→∞ fn = f . �

29

1. Spazi pre- . . .




1. Sottospazi

2. Sottospazi . . .

3. Basi

4. Isomorfismi



3. Forme bilineari

4. Operatori . . .


Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 106

Go Back

Full Screen

Close

Quit

4. SPAZI DI HILBERT

Teorema 4.5 L2[a, b] è separabile.

30

1. Spazi pre- . . .




1. Sottospazi

2. Sottospazi . . .

3. Basi

4. Isomorfismi



3. Forme bilineari

4. Operatori . . .


Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 106

Go Back

Full Screen

Close

Quit

4. SPAZI DI HILBERT

Dim. Denotiamo con L′ l’insieme di tutte le combinazionilineari finite,

∑mk=−m α

′kek , delle funzioni

ek(x) =1

√b − a

e2πik x−ab−a , x ∈ [a, b]

con coefficienti complessi razionali α′k .L’insieme L′ è numerabile (vedi la dimostrazione del Teore-

ma 3.5).Proveremo ora che L′ è ovunque denso in L2[a, b].Sia f ∈ L2[a, b] e sia ε > 0. Per dimostrare che f =

Re f + i Im f può essere approssiamata con elementi di L′ daε è sufficiente provarlo separatamente per la funzioni reali:

Re f =1

2(f + f ) ∈ L2[a, b]

Im f =1

2i(f − f ) ∈ L2[a, b].

Senza perdita di generalità possiamo quindi supporre che fsia a valori reali.

Per n ≥ 1 definiamo su [a, b] la funzione:31

1. Spazi pre- . . .




1. Sottospazi

2. Sottospazi . . .

3. Basi

4. Isomorfismi



3. Forme bilineari

4. Operatori . . .


Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 106

Go Back

Full Screen

Close

Quit

4. SPAZI DI HILBERT

fn(x) =

−n se f (x) < −nf (x) se −n ≤ f (x) ≤ nn se f (x) > n.

Così fn ∈ M[a, b] e∫ b

a

|fn(x)|2dx ≤∫ b

a

|f (x)|2dx <∞

perciò fn ∈ L2[a, b] ⊂ L1[a, b] (Corollario 4.1). Inoltre per ilTeorema di Lebesgue sulla convergenza dominata risulta:

limn→∞‖f − fn‖2 = lim

n→∞

∫ b

a

|f (x)− fn(x)|2dx = 0.

Scegliamo quindi un indice n tale che ‖f − fn‖ ≤ ε/4.Per il Teorema di Lusin 3 scegliamo una funzione continua

h su [a, b] che coincide con fn su [a, b] eccetto un insieme dimisura di Lebesgue minore di

3 Teorema di Lusin: Per ogni f ∈ M(X) e per ogni ε > 0 esiste unafunzione a valori complessi h che è continua su X e coincide con f su Xeccetto un sottoinsieme Y ∈ X di misura µ(Y ) < ε.

32

1. Spazi pre- . . .




1. Sottospazi

2. Sottospazi . . .

3. Basi

4. Isomorfismi



3. Forme bilineari

4. Operatori . . .


Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 106

Go Back

Full Screen

Close

Quit

4. SPAZI DI HILBERT

ε2

128n2.

Senza perdita di generalità possiamo assumemere che h è avalori reali e che assume valori compresi nell’intevallo [−n, n].

Abbassando o alzando linearmente la funzione h in [b −ε2

128n2 , b] fino a farla coincidere con il valore h(a) otteniamo unafunzione reale g su [a, b] tale che g(a) = g(b), assume i valoriin [−n, n] e coincide con fn su [a, b] eccetto un insieme Y dimisura minore di ε2

64n2 .Troviamo:

‖fn−g‖2 =

∫ b

a

|fn(x)−g(x)|2dx ≤∫Y

(2n)2dx ≤ (2n)2 ε2

64n2=ε2

16.

Scegliamo una combinazione lineare complessa:

m∑k=−m

αkek

33

1. Spazi pre- . . .




1. Sottospazi

2. Sottospazi . . .

3. Basi

4. Isomorfismi



3. Forme bilineari

4. Operatori . . .


Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 106

Go Back

Full Screen

Close

Quit

4. SPAZI DI HILBERT

tale che |g(x) −∑m

k=−m αkek(x)| < ε

4√b−a , per ogni x ∈

[a, b], in virtù del Teorema di approssimazione di Weierstrass 4.Finalmente scegliamo dei numeri razionali α′k (−m ≤ k ≤

m) in modo tale che:

|αk − α′k | <ε

4(2m + 1), per −m ≤ k ≤ m.

Pertanto:

|g(x)−m∑

k=−m

α′kek(x)| ≤

≤ |g(x)−m∑

k=−m

αkek(x)|+m∑

k=−m

|αk − α′k ||ek(x)| ≤

≤ε

4√b − a

+ε

4√b − a

=

4 Teorema di approssimazione di Weierstrass: Sia f a valori complessi edefinita nel disco di raggio r e centro l’origine di C una funzione continua. Al-lora per ogni ε > 0 esiste un polinomio complesso p(x) = Σn

k=0Σnh=0αk,hx

kxh

tale che |f (x)− p(x)| ≤ ε per ogni x ∈ C con |x | ≤ r .34

1. Spazi pre- . . .




1. Sottospazi

2. Sottospazi . . .

3. Basi

4. Isomorfismi



3. Forme bilineari

4. Operatori . . .


Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 106

Go Back

Full Screen

Close

Quit

4. SPAZI DI HILBERT

ε

2√b − a

, per ogni x ∈ [a, b];

‖f (x)−m∑

k=−m

α′kek‖ ≤ ‖f − fn‖+ ‖fn − g‖+ ‖g −m∑

k=−m

α′kek‖

≤ε

4+ε

4+ε

2= ε.

�

35

1. Spazi pre- . . .




1. Sottospazi

2. Sottospazi . . .

3. Basi

4. Isomorfismi



3. Forme bilineari

4. Operatori . . .


Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 106

Go Back

Full Screen

Close

Quit

4. SPAZI DI HILBERT

36

1. Spazi pre- . . .




1. Sottospazi

2. Sottospazi . . .

3. Basi

4. Isomorfismi



3. Forme bilineari

4. Operatori . . .


Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 106

Go Back

Full Screen

Close

Quit

1. GEOMETRIA DEGLI SPAZI DI HILBERT

CAPITOLO 2

GEOMETRIA DEGLI SPAZI DI HILBERT

1. Sottospazi

Esercizio 1.1. Sia H = l2, definiamo:

M1 = {a = (αk)∞k=1 ∈ l2 : α2k = 0, k = 1, 2, . . .}

M2 = {b = (βk)∞k=1 ∈ l2 : β2k−1 = δk cos1

k,

β2k = δk sin1

k, k = 1, 2, . . .}

e sia c = (γk)∞k=1 dove γ2k−1 = 0, γ2k = sin 1k, per k =

1, 2, . . ..Provare le seguenti affermazioni:a) M1 e M2 sono due sottospazi.b) M1

∨M2 = l2.

c) c ∈ l2.d) c 6∈ M1 +M2.

37

1. Spazi pre- . . .




1. Sottospazi

2. Sottospazi . . .

3. Basi

4. Isomorfismi



3. Forme bilineari

4. Operatori . . .


Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 106

Go Back

Full Screen

Close

Quit


Dim.a) Sapendo che

H = l2 =

{(ζk)∞k=1 : ζk ∈ C, ∀k,

∞∑k=1

|ζk |2 <∞

},

si prova, innanzitutto, che

M1 = {a = (αk)∞k=1 ∈ l2 : α2k = 0, k = 1, 2, . . .}

è un sottospazio.Per prima cosa, bisogna fare vedere che M1 è una varietà

lineare. Ma:

a′ + a′′ = (α′k)∞k=1 + (α′′k)

∞k=1 = (α′k + α′′k)

∞k=1 ∈ M1,

∀a′ =(α′k)∞k=1

, a′′ =(α′′k)∞k=1∈ M1. Infatti:

α′2k + α′′2k = 0 per k = 1, 2, . . . ,

dal momento che α′2k = α′′2k = 0 per k = 1, 2, . . ..Inoltre:

λa = λ (αk)∞k=1 = (λαk)∞k=1 ∈ M1,38

1. Spazi pre- . . .




1. Sottospazi

2. Sottospazi . . .

3. Basi

4. Isomorfismi



3. Forme bilineari

4. Operatori . . .


Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 106

Go Back

Full Screen

Close

Quit


∀a = (αk)∞k=1 ∈ M1 e ∀λ ∈ C. Infatti:

λα2k = 0 per k = 1, 2, . . . ,

dato che α2k = 0 per k = 1, 2, . . ..Quindi, M1 è una varietà lineare.

È facile provare, ora, che M1 è un sottospazio.Infatti, se a′′ =

(α′′k)∞k=1∈ l2 è un punto di accumulazione per

M1, cioè a′′ =(α′′k)∞k=1∈ M1, allora per ogni ε > 0 esiste un

elemento a′ =(α′k)∞k=1∈ M1 tale che ‖a′′ − a′‖ < ε. Poiché∣∣α′′2k∣∣ =

∣∣α′′2k − α′2k∣∣ ≤ ‖a′′ − a′‖ < ε, ne segue, data l’arbi-trarietà di ε, che

∣∣α′′2k∣∣ = 0 per k = 1, 2, . . ., il che implicaα′′2k = 0 per k = 1, 2, . . .. Pertanto, a′′ =

(α′′k)∞k=1∈ M1 e,

quindi, M1 ⊂ M1. Sapendo, chiaramente, che M1 ⊂ M1, si hache M1 = M1, cioè M1 è una varietà lineare chiusa, ossia unsottospazio.

Analogamente, si dimostra che anche M2 = {b = (βk)∞k=1 ∈l2 : β2k−1 = δk cos 1

k, β2k = δk sin 1

kk = 1, 2, . . .} è un sottospazio

di H = l2.Per prima cosa, bisogna fare vedere che M2 è una varietà

39

1. Spazi pre- . . .




1. Sottospazi

2. Sottospazi . . .

3. Basi

4. Isomorfismi



3. Forme bilineari

4. Operatori . . .


Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 106

Go Back

Full Screen

Close

Quit


lineare. Ma:

b′ + b′′ = (β′k)∞k=1 + (β′′k )

∞k=1 = (β′k + β′′k )

∞k=1 ∈ M2,

∀b′ =(β′k)∞k=1

, b′′ =(β′′k)∞k=1∈ M2. Infatti:

β′2k−1 + β′′2k−1 = δ′

k cos1

k+ δ

′′

k cos1

k= (δ′k + δ′′k) cos

1

k

β′2k + β′′2k = δ′

k sin1

k+ δ

′′

k sin1

k= (δ′k + δ′′k) sin

1

kper k = 1, 2, . . ..Inoltre:

λb = λ (βk)∞k=1 = (λβk)∞k=1 ∈ M2,

∀b = (βk)∞k=1 ∈ M2 e ∀λ ∈ C. Infatti:

λβ2k−1 = λ

(δk cos

1

k

)= (λδk) cos

1

k

λβ2k = λ

(δk sin

1

k

)= (λδk) sin

1

k

per k = 1, 2, . . ..Quindi, M2 è una varietà lineare.

Ora proviamo che M2 è un sottospazio.40

1. Spazi pre- . . .




1. Sottospazi

2. Sottospazi . . .

3. Basi

4. Isomorfismi



3. Forme bilineari

4. Operatori . . .


Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 106

Go Back

Full Screen

Close

Quit


Osserviamo preliminarmente che se bε = (βε,k)∞k=1 ∈ M2,∀ε > 0, per la definizione di M2 si ha βε,2k−1 = δε,k cos 1

ke

βε,2k = δε,k sin 1k, k = 1, 2, ..., allora si verificherà che:

‖bε‖2 =

∞∑k=1

|βε,k |2 =

∞∑k=1

|δε,k |2(cos2 1

k+ sin2 1

k) =

=

∞∑k=1

|δε,k |2 = ‖δε‖2 .

Dall’osservazione precedente segue che se bε ∈ l2 allora δε =(δε,k)∞k=1 ∈ l2.

Proprio il fatto che l2 è completo, ci permette di dire che δεal tendete di ε a 0 ammette limite:

(3) limε→0

δε = δ∗ = (δ∗k)∞k=1 ∈ l2

Definiamo c = (γk)∞k=1 ∈ M2 come γε,2k−1 = δ∗k cos 1ke βε,2k =

δ∗k sin 1k, k = 1, 2, ....

41

1. Spazi pre- . . .




1. Sottospazi

2. Sottospazi . . .

3. Basi

4. Isomorfismi



3. Forme bilineari

4. Operatori . . .


Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 106

Go Back

Full Screen

Close

Quit


(4)

‖bε − c‖2 =

∞∑k=1

|βε,k − γk |2 =

∞∑k=1

|δε,k − δ∗k |2(cos2 1

k+ sin2 1

k) =

=

∞∑k=1

|δε,k − δ∗k |2 = ‖δε − δ∗‖2 ε→0→ 0,

per la definizione di limite (3).Se b′′ =

(β′′k)∞k=1∈ l2 è un punto di accumulazione per

M2, cioè b′′ =(β′′k)∞k=1∈ M2, allora per ogni ε > 0 esiste un

elemento bε = (βε,k)∞k=1 ∈ M2 tale che

(5) ‖b′′ − bε‖ < ε.

A questo punto ci basta dimostrare che b′′ = c,

‖b′′ − c‖ = ‖b′′ − bε + bε − c‖ ≤ ‖b′′ − bε‖+ ‖bε − c‖,

questo è minore di 2ε, per la (5), (4).Quindi:

0 ≤ ‖b′′ − c‖ < ε,42

1. Spazi pre- . . .




1. Sottospazi

2. Sottospazi . . .

3. Basi

4. Isomorfismi



3. Forme bilineari

4. Operatori . . .


Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 106

Go Back

Full Screen

Close

Quit


e data l’arbitrarietà di ε, b′′ = c ∈ M2, quindi, M2 ⊂ M2.Sapendo, chiaramente, che M2 ⊂ M2, si ha che M2 = M2, cioèM2 è una varietà lineare chiusa, ossia un sottospazio di H = l2.

b) Bisogna dimostrare, ora, che M1 ∨M2 = l2, dove

M1 ∨M2 = M1 +M2 ={a + b : a = (αk)∞k=1 ∈ M1, b = (βk)∞k=1 ∈ M2

}=

={

(αk + βk)∞k=1 : α2k = 0,

β2k−1 = δk cos1

k, β2k = δk sin

1

k, k = 1, 2, . . .

}=

=

{(ηk)∞k=1 : η2k−1 = α2k−1 + δk cos

1

k,

η2k = δk sin1

k, k = 1, 2, . . .

}.

Poiché M1 ed M2 sono sottospazi di H = l2, allora ancheM1 ∨ M2 è un sottospazio di H = l2, cioè M1 ∨ M2 ⊂ l2. Inparticolare, è il sottospazio generato da M1 ∪M2.

Per far vedere che M1 ∨ M2 = l2, rimane da provare chel2 ⊂ M1 ∨M2.

43

1. Spazi pre- . . .




1. Sottospazi

2. Sottospazi . . .

3. Basi

4. Isomorfismi



3. Forme bilineari

4. Operatori . . .


Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 106

Go Back

Full Screen

Close

Quit


In particolare proveremo che un qualunque elemento di l2appartiene alla chiusura diM1 +M2, cioè che ∀ c ∈ l2, fissato adarbitrio ε > 0 esiste η = (ηk)∞k=1 ∈ M1+M2 tale che ‖c−η‖ < ε.Poiché è c = (ck)∞k=1 ∈ l2, si ha che per ogni ε > 0 esiste unk∗ ∈ IN tale che la serie resto, rk , k-mo della serie

∑∞k=1 |ck |2,

visto che limk→∞ rk = 0:

(6) rk∗ =

∞∑k=k∗

|ck |2 < ε2.

Consideriamo ora l’elemento η ∈ M1 +M2 tale che

δk =

{ck

sin 1k

k < k∗

0 k ≥ k∗;

a2k−1 =

{c2k−1 − δk cos 1

kk < k∗

0 k ≥ k∗.

In particolare è:

η2k =

{δk sin 1

k= ck k < k∗

0 k ≥ k∗;

44

1. Spazi pre- . . .




1. Sottospazi

2. Sottospazi . . .

3. Basi

4. Isomorfismi



3. Forme bilineari

4. Operatori . . .


Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 106

Go Back

Full Screen

Close

Quit


η2k−1 =

{α2k−1 + δk cos 1

k= c2k−1 k < k∗

0 k ≥ k∗.

Si ha quindi c−η = (ck)∞k=k∗ e dalla (6) segue che ‖c−η‖ <ε.

Di conseguenza, è possibile affermare che M1 ∨M2 = l2.

c) Si consideri la successione c = (γk)∞k=1, dove γ2k−1 = 0,γ2k = sin 1

k, per k = 1, 2, . . ..

Per dimostrare che c ∈ l2, bisogna fare vedere che la serie

∞∑k=1

|γk |2 =

∞∑k=1

|γ2k |2 =

∞∑k=1

∣∣∣∣sin1

k

∣∣∣∣2 <∞,cioè che la serie considerata è convergente.

Ma, osservando che∣∣∣∣sin1

k

∣∣∣∣2 ≤ 1

k2per ogni k ≥ 1,

per il criterio del confronto, si ottiene che la serie data è con-

vergente essendo tale la serie∞∑k=1

1

k2.

45

1. Spazi pre- . . .




1. Sottospazi

2. Sottospazi . . .

3. Basi

4. Isomorfismi



3. Forme bilineari

4. Operatori . . .


Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 106

Go Back

Full Screen

Close

Quit


Infatti, per il criterio della serie di Cauchy, la serie∞∑k=1

1

k2ha

lo stesso carattere della serie∞∑k=1

2k

(2k)2, cioè della serie geome-

trica∞∑k=1

(1

2

)kdi ragione

1

2che è convergente.

Pertanto, c ∈ l2.

d) Si consideri, ancora, la successione c = (γk)∞k=1, conγ2k−1 = 0, γ2k = sin 1

k, per k = 1, 2, . . . e si provi che c /∈

M1 +M2, dove

M1 +M2 ={a + b : a = (αk)∞k=1 ∈ M1, b = (βk)∞k=1 ∈ M2

}=

=

{(αk + βk)∞k=1 : α2k = 0, β2k−1 = δk cos

1

k, β2k = δk sin

1

k,

k = 1, 2, . . .} =

=

{(ηk)∞k=1 : η2k−1 = α2k−1 + δk cos

1

k, η2k = δk sin

1

k,

k = 1, 2, . . .} .46

1. Spazi pre- . . .




1. Sottospazi

2. Sottospazi . . .

3. Basi

4. Isomorfismi



3. Forme bilineari

4. Operatori . . .


Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 106

Go Back

Full Screen

Close

Quit


Si supponga per assurdo che c ∈ M1 + M2. In tal caso, lasuccessione considerata si può scrivere nel modo seguente:

c = (ηk)∞k=1

conη2k−1 = α2k−1 + δk cos

1

k= 0

η2k = δk sin1

k= sin

1

k,

per k = 1, 2, . . ., da cui si ricava che

δk = 1

α2k−1 = − cos1

kper k = 1, 2, . . ..

Di conseguenza, si ottiene che

c = a + b,

dove

a = (αk)∞k=1 ∈ M1 con α2k = 0 e α2k−1 = − cos1

k,

b = (βk)∞k=1 ∈ M2 con β2k = sin1

ke β2k−1 = cos

1

k,

47

1. Spazi pre- . . .




1. Sottospazi

2. Sottospazi . . .

3. Basi

4. Isomorfismi



3. Forme bilineari

4. Operatori . . .


Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 106

Go Back

Full Screen

Close

Quit


per k = 1, 2, . . ..Naturalmente, si deve verificare, affinché a = (αk)∞k=1 ∈ M1

e b = (βk)∞k=1 ∈ M2, che a = (αk)∞k=1 ∈ H = l2 e b = (βk)∞k=1 ∈H = l2.

In particolare, perché a = (αk)∞k=1 ∈ H = l2, si deve avereche

∞∑k=1

|αk |2 <∞.

Ma, si osserva che∞∑k=1

|αk |2 =

∞∑k=1

|α2k−1|2 =

∞∑k=1

(cos

1

k

)2

è una serie divergente, dal momento che il suo termine generalenon tende a zero ed è una serie a termini positivi. Infatti:

limk→∞

(cos

1

k

)2

= 1 6= 0.

Da quanto detto, si deduce che si è ottenuta una contraddi-zione.

Pertanto, è possibile concludere che c /∈ M1 +M2. �

48

1. Spazi pre- . . .




1. Sottospazi

2. Sottospazi . . .

3. Basi

4. Isomorfismi



3. Forme bilineari

4. Operatori . . .


Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 106

Go Back

Full Screen

Close

Quit


2. Sottospazi ortogonali

Esercizio 2.1. Sia H = l2. Per ogni n ≥ 1 sia en = (δn,k)∞k=1 ∈l2 e sia A = (e2n−1 + e2n)∞n=1.

a) Identifica∨A e A⊥ in l2.

b) a = (αk)∞k=1 ∈ l2 allora P∨A a = (βk)∞k=1, dove β2n−1 =

β2n = 12(α2n−1 + α2n) per n ≥ 1; PA⊥ a = (γk)∞k=1 con

γ2n−1 = −γ2n = 12(α2n−1 − α2n) per n ≥ 1.

49

1. Spazi pre- . . .




1. Sottospazi

2. Sottospazi . . .

3. Basi

4. Isomorfismi



3. Forme bilineari

4. Operatori . . .


Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 106

Go Back

Full Screen

Close

Quit


Dim.a) Sia H = l2. Per ogni n ≥ 1 sia en = (δn,k)∞k=1 ∈ l2 e sia

A = (e2n−1 + e2n)∞n=1

Allora:

A⊥ ={c = (γk)∞k=1 ∈ l2 : (γk)∞k=1 ⊥ A

}=

={c = (γk)∞k=1 ∈ l2 : (γk)∞k=1 ⊥ (e2n−1 + e2n)

dove en = (δn,k)∞k=1, n = 1, 2, . . .} =

={c = (γk)∞k=1 ∈ l2 :

⟨(γk)∞k=1 , ((δ2n−1,k)∞k=1 + (δ2n,k)∞k=1)

⟩= 0,

n = 1, 2, . . .} =

=

{c = (γk)∞k=1 ∈ l2 :

∞∑k=1

γk((δ2n−1,k) + (δ2n,k)) = 0,

n = 1, 2, . . .} =

=

{c = (γk)∞k=1 ∈ l2 :

∞∑k=1

γk (δ2n−1,k) +

∞∑k=1

γk (δ2n,k) = 0,

n = 1, 2, . . .} =50

1. Spazi pre- . . .




1. Sottospazi

2. Sottospazi . . .

3. Basi

4. Isomorfismi



3. Forme bilineari

4. Operatori . . .


Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 106

Go Back

Full Screen

Close

Quit


={c = (γk)∞k=1 ∈ l2 : γ2n−1 + γ2n = 0, n = 1, 2, . . .

}=

={c = (γk)∞k=1 ∈ l2 : γ2n−1 = −γ2n, n = 1, 2, . . .

}.

∨A = A⊥⊥ =

{b = (βk)∞k=1 ∈ l2 : (βk)∞k=1 ⊥ A

⊥} =

={b = (βk)∞k=1 ∈ l2 : (βk)∞k=1 ⊥ (γk)∞k=1 , ∀ (γk)∞k=1 ∈ A

⊥} =

={b = (βk)∞k=1 ∈ l2 :

⟨(βk)∞k=1 , (γk)∞k=1

⟩= 0,

dove γ2n−1 = −γ2n, n = 1, 2, . . .} =

=

{b = (βk)∞k=1 ∈ l2 :

∞∑k=1

βkγk = 0,

dove γ2n−1 = −γ2n, n = 1, 2, . . .} =

=

{b = (βk)∞k=1 ∈ l2 :

∞∑k=1

(β2k−1γ2k−1 − β2kγ2k−1) = 0

}=

=

{b = (βk)∞k=1 ∈ l2 :

∞∑k=1

(β2k−1 − β2k) γ2k−1 = 0

}=

={b = (βk)∞k=1 ∈ l2 : β2k−1 − β2k = 0

}=

51

1. Spazi pre- . . .




1. Sottospazi

2. Sottospazi . . .

3. Basi

4. Isomorfismi



3. Forme bilineari

4. Operatori . . .


Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 106

Go Back

Full Screen

Close

Quit


={b = (βk)∞k=1 ∈ l2 : β2k−1 = β2k

}.

b) È possibile scrivere ogni successione a = (αk)∞k=1 ∈ l2 nelseguente modo:

a = (αk)∞k=1 = (βk)∞k=1 + (γk)∞k=1,

con (βk)∞k=1 ∈∨A e (γk)∞k=1 ∈ A⊥. Infatti:

β2n−1 + γ2n−1 =1

2(α2n−1 + α2n) +

1

2(α2n−1 − α2n) = α2n−1,

β2n + γ2n =1

2(α2n−1 + α2n)−

1

2(α2n−1 − α2n) = α2n.

Poiché la decomposizione di una qualunque successione nellasomma di una successione di A⊥ e di una successione di A⊥⊥ =∨A è unica per il Teorema 2.9, è possibile concludere che

P∨A a = (βk)∞k=1, con β2n−1 = β2n =1

2(α2n−1 +α2n) per n ≥ 1,

PA⊥ a = (γk)∞k=1, con γ2n−1 = −γ2n =1

2(α2n−1−α2n) per n ≥ 1.

�

52

1. Spazi pre- . . .




1. Sottospazi

2. Sottospazi . . .

3. Basi

4. Isomorfismi



3. Forme bilineari

4. Operatori . . .


Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 106

Go Back

Full Screen

Close

Quit


3. Basi

Esempio 3.4. Sia L2[0, 1] e sia e0 = 1, fk(x) =√

2 cos 2πkx,

gk(x) =√

2 sin 2πkx per k = 1, 2, . . .. Provare che la famigliaF = {e0} ∪ {fk}∞k=1 ∪ {gk}∞k=1 è ortonormale.

53

1. Spazi pre- . . .




1. Sottospazi

2. Sottospazi . . .

3. Basi

4. Isomorfismi



3. Forme bilineari

4. Operatori . . .


Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 106

Go Back

Full Screen

Close

Quit


Dim. Occorre verificare che nello spazio L2[0, 1] le funzionie0 = 1, fk(x) =

√2 cos 2πkx, gk(x) =

√2 sin 2πkx per k =

1, 2, . . . costituiscono una famiglia ortonormale.Cominciamo con l’osservare che la famiglia di funzioni

{e2kπi}∞k=−∞ è costituita da funzioni ortonormali. Infatti ∀ h, k ∈ZZ riesce

⟨e2kπi , e2hπi

⟩= 0 ∀ k 6= h in quanto è

(7)⟨e2kπi , e2hπi

⟩=

∫ 1

0

e2kπixe−2hπixdx =

∫ 1

0

e2(k−h)πixdx =

=1

2(k − h)π(e2(k−h)πi − 1)

=1

2(k − h)π(cos 2(k − h)π + i sin 2(k − h)π − 1) = 0

ciò prova che dette funzioni sono ortogonali.Proviamo ora che esse hanno norma 1 cioè che ‖e2kπi‖ =⟨

e2kπi , e2kπi⟩ 1

2 = 1; ciò è immediatamente verificato in quantoè: ∫ 1

0

e2kπixe−2kπixdx =

∫ 1

0

dx = 1.

54

1. Spazi pre- . . .




1. Sottospazi

2. Sottospazi . . .

3. Basi

4. Isomorfismi



3. Forme bilineari

4. Operatori . . .


Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 106

Go Back

Full Screen

Close

Quit


Essendo

e2kπix = cos 2kπx + i sin 2kπx

segue che

e2kπix + e−2kπix = 2 cos 2kπx e e2kπix − e−2kπix = 2i sin 2kπx

pertanto si ha:

(8) fk(x) =e2kπix + e−2kπix

√2

e gk(x) =e2kπix − e−2kπix

i√

2

Dalla (8) segue che fk ⊥ fh, ∀ k 6= h ∈ {1, 2 . . .} in quanto

〈fk , fh〉 =

∫ 1

0

fkfhdx =

∫ 1

0

e2kπix + e−2kπix

√2

e2hπix + e−2hπix

√2

dx =

=1

2

∫ 1

0

(e2kπix + e−2kπix)(e−2hπix + e2hπix)dx =

=1

2

∫ 1

0

(e2(k−h)πix + e2(k+h)πix + e−2(k+h)πix + e2(−k+h)πix)dx = 0

e questo per quanto ottenuto nella (7).55

1. Spazi pre- . . .




1. Sottospazi

2. Sottospazi . . .

3. Basi

4. Isomorfismi



3. Forme bilineari

4. Operatori . . .


Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 106

Go Back

Full Screen

Close

Quit


Analogamente si prova che gk ⊥ gh e che fk ⊥ gh, ∀ k, h ∈ IN,con k 6= h. Proviamo infine che fk ⊥ gk ; infatti si ha:

〈fk , gk〉 =

∫ 1

0

fkgkdx

=1

i2

∫ 1

0

(e2kπix + e−2kπix)(e−2kπix − e2kπix)dx =

=1

i2

∫ 1

0

[(e−2kπix)2 − (e2kπix)2]dx = 0

Banalmente si verifica che le funzioni fk e gk sono ortogonali ade0 = 1.

Proviamo ora che ‖fk‖2 = 1 (In modo analogo si prova che‖gk‖2 = 1).

‖fk‖2 =

∫ 1

0

fkfkdx = 2

∫ 1

0

cos2 2kπx dx

=2

2kπ

(2kπx + sin 2kπx cos 2kπx

2|10)

= 1

�

56

1. Spazi pre- . . .




1. Sottospazi

2. Sottospazi . . .

3. Basi

4. Isomorfismi



3. Forme bilineari

4. Operatori . . .


Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 106

Go Back

Full Screen

Close

Quit


Corollario 3.1. Sia F = {fk}χk=1 e G = {gk}χk=1 come nelTeorema 3.1. Allora valgono le seguenti affermazioni:

a) fk è una combinazione lineare di g1, . . . , gk per 1 ≤ k ≤χ

b)∨{fk}χk=1 =

∨{gk}χk=1

c) La famiglia {ek = gk‖gk‖}χk=1 è una famiglia ortonormale

verificante il Teorema 3.1d) Se {hk}χk=1 è un’altra famiglia ortogonale di vettori non

nulli verificante il Teorema 3.1 allora hk = αkgk e αk 6=0 per 1 ≤ k ≤ χ.

57

1. Spazi pre- . . .




1. Sottospazi

2. Sottospazi . . .

3. Basi

4. Isomorfismi



3. Forme bilineari

4. Operatori . . .


Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 106

Go Back

Full Screen

Close

Quit


Dim. a) L’affermazione è banale per k = 1. Supponiamoche sia vera per k − 1. Risulta:

gk =

k∑h=1

αk,hfh = αk,kfk +

k−1∑h=1

βk,hgh.

Poiché i vettori g1, . . . , gk non nulli e mutuamente ortogonalisono linearmente independenti, dovrà essere αk,k 6= 0.

In conclusione:

fk =1

αk,k(gk −

k−1∑h=1

βk,hgh).

b) Per la a) e il Teorema 3.1 ogni combinazione lineare fini-ta di vettori di F è una anche una combinazione lineare finitadi vettori di G e viceversa. L’affermazione è conseguenza delTeorema 1.4.

c) ovvia.d) Poiché hk è una combinazione lineare di f1, . . . , fk e poiché

ognuno di questi vettori è una combinazione lineare di g1, . . . , gksegue:

58

1. Spazi pre- . . .




1. Sottospazi

2. Sottospazi . . .

3. Basi

4. Isomorfismi



3. Forme bilineari

4. Operatori . . .


Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 106

Go Back

Full Screen

Close

Quit


hk =

k∑h=1

αk,hgh per 1 ≤ k ≤ χ.

D’altra parte, per lo stesso motivo, risulta:

gh =

h∑j=1

βh,jhj per 1 ≤ h ≤ χ.

In conclusione:

αk,h =〈hk , gh〉‖gh‖2

= 0 per 1 ≤ h ≤ χ.e

hk = αk,kgk . Da hk 6= 0 segue αk,k 6= 0.

�

59

1. Spazi pre- . . .




1. Sottospazi

2. Sottospazi . . .

3. Basi

4. Isomorfismi



3. Forme bilineari

4. Operatori . . .


Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 106

Go Back

Full Screen

Close

Quit


Teorema 3.2. Uno spazio di Hilbert H è separabile ⇐⇒possiede una base numerabile (finita o infinita).

60

1. Spazi pre- . . .




1. Sottospazi

2. Sottospazi . . .

3. Basi

4. Isomorfismi



3. Forme bilineari

4. Operatori . . .


Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 106

Go Back

Full Screen

Close

Quit


Dim. (=⇒): Supponiamo che H sia separabile e sia (fn)∞n=1

una successione in H ovunque densa. Scegliamo una sottosuc-cessione F = (fnk )

χk=1, di vettori linearmente indipendenti come

segue.Sia n1 il più piccolo indice n tale che fn 6= 0.Se n1 < . . . < nk sono scelti in modo che fn1, . . . , fnk so-

no linearmente indipendenti e fn è una combinazione lineare difn1, . . . , fnk per 1 ≤ n ≤ nk allora sia nk+1 il più piccolo indicen > nk tale che fn1, . . . , fnk , fn sono linearmente indipendenti (seun tale indice n esiste va bene, altrimenti il processo termina ak = χ).

Ovviamente ogni vettore fn è una combinazione lineare finitadi vettori di F .

Sia G = {ek}χk=1 una famiglia ortonormale ottenuta ortogo-nalizzando F . Allora ogni vettore fn è una combinazione linearefinita di vettori di G.

Supponiamo che esista f ∈ H tale che f ⊥ ek per ogni ek ∈G. Allora f ⊥ fn per n ≥ 1. Scegliamo una sottosuccessione(f ′n)∞n=1 che è ovunque densa e tale che: f = limn→∞ f ′n . Allora〈f , f 〉 = limn→∞ 〈f , f ′n〉 = 0 e quindi f = 0.

In questo modo G è una base.

61

1. Spazi pre- . . .




1. Sottospazi

2. Sottospazi . . .

3. Basi

4. Isomorfismi



3. Forme bilineari

4. Operatori . . .


Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 106

Go Back

Full Screen

Close

Quit


(⇐=): Viceversa, supponiamo che G = {ek}χk=1 sia una basenumerabile. Sia M la varietà lineare di tutte le combinazionilineari finite di vettori di G. Se f ⊥ M per qualche f ∈ H, alloraf ⊥ ek per ogni ek ∈ G e quindi f = 0. Per il Corollario 2.3segue che M è ovunque denso in H. Sia M ′ il sottoinsieme diM costituito da tutte le tutte le combinazioni lineari finite divettori di G a coefficienti razionali complessi. L’insieme M ′ ènumerabile. Proviamo che anche M ′ è ovunque denso in H.

Infatti per ogni f ∈ H e per ogni ε > 0 possiamo scegliereun elemento

g =

n∑k=1

αkek ∈ M tale che ‖f − g‖ <1

2ε.

Per 1 ≤ k ≤ n scegliamo un razionale complesso α′k in modoche |αk − α′k | <

ε2n. Sia g′ =

∑nk=1 α

′kek . Risulta:

‖f−g′‖ ≤ ‖f−g‖+‖g−g′‖ ≤1

2ε+

n∑k=1

|αk−α′k | <1

2ε+n

ε

2n= ε.

�

62

1. Spazi pre- . . .




1. Sottospazi

2. Sottospazi . . .

3. Basi

4. Isomorfismi



3. Forme bilineari

4. Operatori . . .


Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 106

Go Back

Full Screen

Close

Quit


Teorema 3.3 Sia {ek}χk=1 una famiglia ortonormale di H. Leseguenti affermazioni sono equivalenti:

a) {ek}χk=1 è una baseb) f ⊥ ek per ogni k ≥ 1 =⇒ f = 0c) H =

∨{ek}χk=1

d) f =∑χ

k=1 〈f , ek〉 ek per ogni f ∈ H (Serie di Fourier)e) 〈f , g〉 =

∑χk=1 〈f , ek〉〈g, ek〉 per ogni f , g ∈ H (Identità

di Parseval)f) ‖f ‖2 =

∑χk=1 | 〈f , ek〉 |2 per ogni f ∈ H (Identità di

Parseval)

63

1. Spazi pre- . . .




1. Sottospazi

2. Sottospazi . . .

3. Basi

4. Isomorfismi



3. Forme bilineari

4. Operatori . . .


Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 106

Go Back

Full Screen

Close

Quit


Dim. a) =⇒ b) per definizione di base.b) =⇒ c) Se

∨{ek}χk=1 6= H allora H deve contenere un

vettore f non zero ortogonale a∨{ek}χk=1 e questo contraddice

b).c) =⇒ d) Gli insiemi Mk = {αek : α ∈ C}, k ≥ 1, sono

sottospazi mutuamente ortogonali. Per il Teorema 2.4 risultaH =

∨χk=1Mk =

∑χk=1Mk e ogni vettore f ammette un’unica

rappresentazione in una serie convergente (o somma finita), f =∑χk=1 αk(f )ek per il Teorema 2.5.Facendo il prodotto interno con ek di ambo i membri si ha:

〈f , ek〉 = αk(f ).d) =⇒ e) 〈f , g〉 =

⟨∑χk=1 〈f , ek〉 ek , g

⟩=∑χ

k=1 〈f , ek〉〈g, ek〉per il Teorema 1.2.4 c).

e) =⇒ f) 〈f , f 〉 =∑χ

k=1 〈f , ek〉〈f , ek〉.f) =⇒ a) Se f ⊥ ek per k ≥ 1 allora ‖f ‖2 =

∑χk=1 | 〈f , ek〉 |2 =

0, quindi f = 0. �

64

1. Spazi pre- . . .




1. Sottospazi

2. Sottospazi . . .

3. Basi

4. Isomorfismi



3. Forme bilineari

4. Operatori . . .


Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 106

Go Back

Full Screen

Close

Quit


Esempio 3.5 Sia H = L2[0, 1] e consideriamo la basedell’esempio 3.4. Per ogni funzione reale f ∈ L2[0, 1] definiamo:

α0 =

∫ 1

0

f (x)dx,

αk =

∫ 1

0

f (x) cos 2kπxdx,

βk =

∫ 1

0

f (x) sin 2kπxdx,

per k = 1, 2, . . ..Nelle notazioni dell’esempio 3.4 si ha:

α0 = 〈f , e0〉 , αk =1√

2〈f , fk〉 , βk =

1√

2〈f , gk〉 , k = 1, 2, . . . .

Per l’identità di Parseval otteniamo:∫ 1

0

f 2(x)dx = α20 + 2Σ∞k=1(α2

k + β2k)

65

1. Spazi pre- . . .




1. Sottospazi

2. Sottospazi . . .

3. Basi

4. Isomorfismi



3. Forme bilineari

4. Operatori . . .


Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 106

Go Back

Full Screen

Close

Quit


Dim. Definiamo su L2[0, 1], per ogni funzione reale f ad essoappartenente:

α0 =

∫ 1

0

f (x)dx,

αk =

∫ 1

0

f (x) cos 2kπx dx,

βk =

∫ 1

0

f (x) sin 2kπx dx.

Dalle notazioni dell’esempio 3.4 si ha:

α0 = 〈f , e0〉

αk =1√

2〈f , fk〉 =

1√

2

∫ 1

0

f (x) cos 2kπx dx

βk =1√

2〈f , gk〉 =

1√

2

∫ 1

0

f (x) sin 2kπx dx

Per l’identità di Parseval otteniamo:66

1. Spazi pre- . . .




1. Sottospazi

2. Sottospazi . . .

3. Basi

4. Isomorfismi



3. Forme bilineari

4. Operatori . . .


Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 106

Go Back

Full Screen

Close

Quit


(9) ‖f ‖2 =

∫ 1

0

f 2(x)dx =

∞∑k=1

| 〈f , τk〉 |2,

dove {τk} è una famiglia numerabile di vettori ortonormali.Osservato che la famiglia {e0} ∪ {fk}∞k=1 ∪ {gk}∞k=1, come

provato nell’esempio 3.4, è una famiglia numerabile ortonormalee che la serie (9) è assolutamente convergente e pertanto lasua somma non cambia comunque si riordinino i suoi elementi,otteniamo pertanto (riordinando opportunamente gli elementi)∫ 1

0

f 2(x)dx = α20 + 2Σ∞k=1(α2

k + β2k).

�

67

1. Spazi pre- . . .




1. Sottospazi

2. Sottospazi . . .

3. Basi

4. Isomorfismi



3. Forme bilineari

4. Operatori . . .


Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 106

Go Back

Full Screen

Close

Quit


Teorema 3.4. Due qualunque basi di uno spazio di Hilbert Hseparabile hanno lo stesso numero cardinale.

68

1. Spazi pre- . . .




1. Sottospazi

2. Sottospazi . . .

3. Basi

4. Isomorfismi



3. Forme bilineari

4. Operatori . . .


Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 106

Go Back

Full Screen

Close

Quit


Dim. Per il Teorema 3.2, H contiene una base numerabileG = {ek}χk=1 (χ <∞ o χ =∞).

a) χ < ∞. Per 1 ≤ k ≤ χ sia Mk = {αek : α ∈ C}.Allora H =

∑χk=1Mk e ogni sottoinsieme di H contiene al più

χ vettori linearmente indipendenti. Una qualunque altra baseG ′ = {e ′k}

χ′

k=1 deve quindi avere χ′ ≤ χ.Per lo stesso fatto χ ≤ χ′ e quindi χ = χ′.b) χ = ∞. Per a) ogni base G ′ deve essere infinita. Se G ′

non fosse numerabile allora H non sarebbe separabile. Quindi G ′deve essere numerabilmente infinito. �

69

1. Spazi pre- . . .




1. Sottospazi

2. Sottospazi . . .

3. Basi

4. Isomorfismi



3. Forme bilineari

4. Operatori . . .


Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 106

Go Back

Full Screen

Close

Quit


4. Isomorfismi

Teorema 4.1. Se due spazi di Hilbert separabili, H e H′,hanno la stessa (finita o infinita) dimensione, allora esiste unaapplicazione biiettiva:

U : H → H′, f 7→ Uf

tale che per ogni f , g ∈ H e ∀ λ ∈ C, si ha:a) U(f + g) = Uf + Ugb) U(λf ) = λUfc) 〈Uf , Ug〉 = 〈f , g〉 (N.B. =⇒ ‖Uf ‖ = ‖f ‖)

70

1. Spazi pre- . . .




1. Sottospazi

2. Sottospazi . . .

3. Basi

4. Isomorfismi



3. Forme bilineari

4. Operatori . . .


Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 106

Go Back

Full Screen

Close

Quit


Dim. {ek}χk=1 e {e ′k}χk=1 basi per H e H′ rispettivamente

(χ ≤ ∞). Per ogni f ∈ H definiamo:

f ′ = Uf = Σχk=1 〈f , ek〉 e

′k

Questa definizione ha senso poiché per l’identità di Parseval

Σχk=1| 〈f , ek〉 |

2 = ‖f ‖2 <∞

e in virtù del Teorema 2.3 la serie Σχk=1 〈f , ek〉 e ′k converge in

H′. Inoltre: Uek = e ′k , ∀ k ≥ 1.Si prova adesso che U verifica le proprietà a), b) e c) e che

U è una biiezione.a) ∀f , g ∈ H, si ha:

U (f + g) =

χ∑k=1

〈f + g, ek〉 e′

k =

χ∑k=1

(〈f , ek〉+ 〈g, ek〉) e′

k =

=

χ∑k=1

〈f , ek〉 e′

k +

χ∑k=1

〈g, ek〉 e′

k = Uf + Ug.

71

1. Spazi pre- . . .




1. Sottospazi

2. Sottospazi . . .

3. Basi

4. Isomorfismi



3. Forme bilineari

4. Operatori . . .


Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 106

Go Back

Full Screen

Close

Quit


b) ∀f ∈ H e ∀λ ∈ C, si ha:

U (λf ) =

χ∑k=1

〈λf , ek〉 e′

k =

χ∑k=1

λ 〈f , ek〉 e′

k

= λ

χ∑k=1

〈f , ek〉 e′

k = λUf .

c) ∀f , g ∈ H, si ha:

〈Uf , Ug〉 =

⟨χ∑k=1

〈f , ek〉 e′

k ,

χ∑h=1

〈g, eh〉 e′

h

⟩

=

χ∑k=1

χ∑h=1

〈f , ek〉〈g, eh〉⟨e′

k , e′

h

⟩=

(sapendo che{e′

k

}χk=1

è una famiglia ortonormale di vettori)

=

χ∑k=1

〈f , ek〉〈g, ek〉 = (per l’identità di Parseval) = 〈f , g〉 .

Si osserva, inoltre, che ∀f ∈ H:

‖Uf ‖2 = 〈Uf , Uf 〉 = 〈f , f 〉 = ‖f ‖2 .72

1. Spazi pre- . . .




1. Sottospazi

2. Sottospazi . . .

3. Basi

4. Isomorfismi



3. Forme bilineari

4. Operatori . . .


Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 106

Go Back

Full Screen

Close

Quit


Per dimostrare ora che U è un’applicazione biiettiva bisognafare vedere che U è iniettiva e suriettiva.

Innanzitutto, si prova che U è iniettiva verificando che ∀f , g ∈H se f 6= g =⇒ Uf 6= Ug. Infatti:f 6= g =⇒ 0 6= ‖f − g‖ = ‖U (f − g)‖ =⇒ U (f − g) 6= 0 =⇒Uf − Ug 6= 0 =⇒ Uf 6= Ug.

Si mostra, infine, che U è suriettiva facendo vedere che∀f ′ ∈ H′∃f ∈ H tale che Uf = f ′. Per fare ciò basta consi-

derare f =

χ∑k=1

〈f ′, e ′k〉 ek . Infatti:

Uf =

χ∑h=1

〈f , eh〉 e ′h =

χ∑h=1

⟨χ∑k=1

〈f ′, e ′k〉 ek , eh

⟩e ′h =

χ∑h=1

χ∑k=1

〈f ′, e ′k〉〈ek , eh〉 e ′h =

χ∑h=1

〈f ′, e ′h〉 e ′h = (per il Teorema

3.3. punto d)) = f ′. �

73

1. Spazi pre- . . .




1. Sottospazi

2. Sottospazi . . .

3. Basi

4. Isomorfismi



3. Forme bilineari

4. Operatori . . .


Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 106

Go Back

Full Screen

Close

Quit


74

1. Spazi pre- . . .




1. Sottospazi

2. Sottospazi . . .

3. Basi

4. Isomorfismi



3. Forme bilineari

4. Operatori . . .


Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 106

Go Back

Full Screen

Close

Quit

1. OPERATORI LINEARI E LIMITATI

CAPITOLO 3

OPERATORI LINEARI E LIMITATI

1. Applicazioni (Operatori) lineari e limitati

Esempio 1.4. Sia h un vettore di H. Per ogni f ∈ H defi-niamo φf = 〈f , h〉 ∈ C. Allora provare che φ è un funzionalelineare e limitato su H e ‖φ‖ = ‖h‖.

75

1. Spazi pre- . . .




1. Sottospazi

2. Sottospazi . . .

3. Basi

4. Isomorfismi



3. Forme bilineari

4. Operatori . . .


Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 106

Go Back

Full Screen

Close

Quit


Dim. φ è lineare:∀ f , g ∈ H =⇒ φ(f + g) = 〈f + g, h〉 = 〈f , h〉 + 〈g, h〉 =

φ(f ) + φ(g).∀ λ ∈ C,∀ f ∈ H =⇒ φ(λf ) = 〈λf , h〉 = λ 〈f , h〉 = λφf .φ è limitato:‖φ‖ = supf ∈H,‖f ‖=1‖φf ‖ = supf ∈H,‖f ‖=1‖〈f , h〉‖ = ‖h‖. �

76

1. Spazi pre- . . .




1. Sottospazi

2. Sottospazi . . .

3. Basi

4. Isomorfismi



3. Forme bilineari

4. Operatori . . .


Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 106

Go Back

Full Screen

Close

Quit



Teorema 2.1. Siano A e B due operatori lineari in H convarietà lineari DA e DB rispettivamente. Allora le applicazioniA+ B, λA, e AB definite da:

(A+ B)f = Af + Bf , ∀ f ∈ DA ∩DB

(λA)f = λ(Af ), ∀ f ∈ DA

(AB)f = A(Bf ), ∀ f ∈ DAB = {f ∈ DB : Bf ∈ DA}sono operatori lineari in H nelle varietà lineari corrispondenti.

77

1. Spazi pre- . . .




1. Sottospazi

2. Sottospazi . . .

3. Basi

4. Isomorfismi



3. Forme bilineari

4. Operatori . . .


Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 106

Go Back

Full Screen

Close

Quit


Dim. (A + B)f = Af + Bf ∀ f ∈ DA ∩ DB è un operatorelineare. Infatti (∀ λ ∈ C,∀ f , g ∈ DA ∩DB):

(A+B)(f +g) = A(f +g)+B(f +g) = (Af +Ag)+(Bf +Bg) =

(Af + Bf ) + (Ag + Bg) = (A+ B)f + (A+ B)g,

(A+ B)(λf ) = A(λf ) + B(λf ) = λ(Af ) + λ(Bf ) =

= λ(Af + Bf ) = λ(A+ B)f .

(λA)f = λ(Af ) ∀ f ∈ DA è un operatore lineare. Infatti(∀ µ ∈ C, ∀ f , g ∈ DA):

(λA)(f + g) = λ(A(f + g)) = λ(Af + Ag) = λ(Af ) + λ(Ag)

= (λA)f + (λA)g,

(λA)(µf ) = λ(A(µf )) = λ(µA(f )) = (λµ)Af = µ((λA)f ).

(AB)f = A(Bf ), ∀ f ∈ DAB = {f ∈ DB : Bf ∈ DA} èun operatore lineare. Infatti (∀ λ ∈ C, ∀ f , g ∈ DAB):

78

1. Spazi pre- . . .




1. Sottospazi

2. Sottospazi . . .

3. Basi

4. Isomorfismi



3. Forme bilineari

4. Operatori . . .


Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 106

Go Back

Full Screen

Close

Quit


(AB)(f +g) = A(B(f +g)) = A(Bf +Bg) = A(Bf )+A(Bg) =

(AB)f + (AB)g,

(AB)(λf ) = A(B(λf )) = A(λBf ) = λA(Bf ) = λ(AB)f .

�

79

1. Spazi pre- . . .




1. Sottospazi

2. Sottospazi . . .

3. Basi

4. Isomorfismi



3. Forme bilineari

4. Operatori . . .


Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 106

Go Back

Full Screen

Close

Quit


Corollario 2.1. Con le operazioni definite nel Teorema 2.1l’insieme di tutti gli operatori lineari su H è uno spazio lineareverificante le seguenti proprietà:

a) (AB)C = A(BC)b) A(B + C) = AB + AC, (A+ B)C = AC + BCc) (αA)B = A(αB) = α(AB)d) IA = AI = Ae) 0A = A0 = 0

80

1. Spazi pre- . . .




1. Sottospazi

2. Sottospazi . . .

3. Basi

4. Isomorfismi



3. Forme bilineari

4. Operatori . . .


Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 106

Go Back

Full Screen

Close

Quit


Dim. L’insieme di tutti gli operatori lineari su H dotato delleseguenti operazioni:

(A+ B) f = Af + Bf , ∀f ∈ H

(λA) f = λ (Af ) , ∀f ∈ Hè uno spazio lineare. Infatti, dal Teorema 2.1 si deduce che A+Be λA (con A : H → H e B : H → H operatori lineari su H)sono a loro volta operatori lineari su H. Si vede, poi, facilmenteche tale insieme verifica tutte le condizioni menzionate nelladefinizione di spazio lineare su K.

Inoltre, l’operazione di moltiplicazione così definita

(AB) f = A (Bf ) , ∀f ∈ H

soddisfa sull’insieme di tutti gli operatori lineari su H le proprietàa), b), c), d) ed e) dell’enunciato. Infatti:

a) ∀f ∈ H, si ha:

(AB)Cf = A (B (Cf )) = A (BC) f .

Dunque,(AB)C = A (BC) .

b) ∀f ∈ H, si ha:81

1. Spazi pre- . . .




1. Sottospazi

2. Sottospazi . . .

3. Basi

4. Isomorfismi



3. Forme bilineari

4. Operatori . . .


Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 106

Go Back

Full Screen

Close

Quit


A (B + C) f = A ((B + C) f ) = A (Bf + Cf ) = (per lalinearità di A) = A (Bf ) + A (Cf ) = (AB) f + (AC) f .

Essendo tale relazione valida qualunque sia f ∈ H, si ricavache:

A (B + C) = AB + AC.

Analogamente, si ha che ∀f ∈ H: (A+ B)Cf =(A+ B) (Cf ) = A (Cf ) + B (Cf ) = (AC) f + (BC) f .

Di conseguenza:

(A+ B)C = AC + BC.

c) ∀f ∈ H, si ha:(αA)Bf = (αA) (Bf ) = α (A (Bf )) = α ((AB) f ) ,

il che implica che(αA)B = α (AB) .

Analogamente:

A (αB) f = A ((αB) f ) = A (α (Bf )) = αA (Bf ) = α (AB) f ,

da cui segue, essendo tale uguaglianza vera ∀f ∈ H, cheA (αB) = α (AB) .

Pertanto:

(αA)B = A (αB) = α (AB) .82

1. Spazi pre- . . .




1. Sottospazi

2. Sottospazi . . .

3. Basi

4. Isomorfismi



3. Forme bilineari

4. Operatori . . .


Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 106

Go Back

Full Screen

Close

Quit


d) ∀f ∈ H, si ha:(IA) f = I (Af ) = Af

e(AI) f = A (If ) = Af .

Quindi,IA = AI = A.

e) ∀f ∈ H, si ha:(0A) f = 0 (Af ) = 0

e(A0) f = A (0f ) = A0 = 0.

Dunque:0A = A0 = 0.

�

83

1. Spazi pre- . . .




1. Sottospazi

2. Sottospazi . . .

3. Basi

4. Isomorfismi



3. Forme bilineari

4. Operatori . . .


Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 106

Go Back

Full Screen

Close

Quit


Teorema 2.5 Un operatore lineare, limitato e invertibile è unabiiezione. L’inverso è unico.

84

1. Spazi pre- . . .




1. Sottospazi

2. Sottospazi . . .

3. Basi

4. Isomorfismi



3. Forme bilineari

4. Operatori . . .


Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 106

Go Back

Full Screen

Close

Quit


Dim. Sia A : H → H un operatore lineare, limitato e inverti-bile. Essendo A invertibile per ipotesi, allora esiste A−1 : H → Hoperatore lineare e limitato tale che AA−1 = A−1A = I.

Si dimostri che A è una biiezione.a) Per provare che A è iniettiva, bisogna fare vedere che se

Af = Ag ⇒ f = g.Si ponga

Af = Ag = h.

Allora:

f = If =(A−1A

)f = A−1 (Af ) = A−1h

eg = Ig =

(A−1A

)g = A−1 (Ag) = A−1h.

Da ciò segue chef = g

e, quindi, è possibile asserire che A è un’applicazione iniettiva.b) A è anche surgettiva. Infatti, ∀f ∈ H ∃A−1f ∈ H tale che

A(A−1f

)=(AA−1

)f = If = f .

Si prova, ora, l’unicità dell’inverso.85

1. Spazi pre- . . .




1. Sottospazi

2. Sottospazi . . .

3. Basi

4. Isomorfismi



3. Forme bilineari

4. Operatori . . .


Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 106

Go Back

Full Screen

Close

Quit


Siano A−11 e A−1

2 due operatori lineari e limitati su H tali cheAA−1

1 = A−11 A = I e AA−1

2 = A−12 A = I.

Bisogna fare vedere che A−11 = A−1

2 , ossia che A−11 f = A−1

2 f ,∀f ∈ H.

Poiché, ∀f ∈ H si ha che:

A−11 f = A−1

1 (If ) = A−11

(AA−1

2 f)

=(A−1

1 A) (A−1

2 f)

= I(A−1

2 f)

= A−12 f ,

si deduce che:A−1

1 = A−12 .

Pertanto, si può affermare che l’inverso di un operatore li-neare e limitato su H è unico. �

86

1. Spazi pre- . . .




1. Sottospazi

2. Sottospazi . . .

3. Basi

4. Isomorfismi



3. Forme bilineari

4. Operatori . . .


Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 106

Go Back

Full Screen

Close

Quit


3. Forme bilineari

Teorema 3.5. a) Sia A : H → H un operatore lineare elimitato. Allora la funzione ϕ : H ×H → K definita da:

(10) ϕ(f , g) = 〈f , Ag〉è una forma bilineare limitata su H e ‖ϕ‖ = ‖A‖.b) Viceversa, sia ϕ : H×H → K una forma bilineare limitata.

Allora esiste un unico operatore lineare e limitato A : H → H,tale che:

(11) ϕ(f , g) = 〈f , Ag〉 , ∀ (f , g) ∈ H ×H.

87

1. Spazi pre- . . .




1. Sottospazi

2. Sottospazi . . .

3. Basi

4. Isomorfismi



3. Forme bilineari

4. Operatori . . .


Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 106

Go Back

Full Screen

Close

Quit


Dim. a) A : H −→ H è un operatore lineare e limitato alloraabbiamo già visto la funzione ϕ definita da (10) è una formabilineare limitata e

(12) ‖ϕ‖ ≤ ‖A‖b) Viceversa, sia ϕ : H × H −→ C una forma bilineare li-

mitata. Per prima cosa proveremo l’esistenza di un operatoreA : H −→ H lineare e limitato verificante (11). Nel corso delladimostrazione proveremo anche che questo operatore A verificala disuguaglianza ‖A‖ ≤ ‖ϕ‖. Insieme con la disuguaglian-za (12) della dimostrazione della parte a) proverà la desideratauguaglianza ‖ϕ‖ = ‖A‖ se proveremo che A è unico.

A tal fine per ogni g ∈ H definiamo la funzione Φg(f ) :H −→ C da:

(13) Φg(f ) = ϕ(f , g).

Allora Φg è un funzionale lineare su H. Il funzionale lineareΦg è limitato; infatti:

|Φg(f )| = |ϕ(f , g)| ≤ ‖ϕ‖‖f ‖‖g‖88

1. Spazi pre- . . .




1. Sottospazi

2. Sottospazi . . .

3. Basi

4. Isomorfismi



3. Forme bilineari

4. Operatori . . .


Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 106

Go Back

Full Screen

Close

Quit


e quindi

‖Φg‖ ≤ ‖ϕ‖‖g‖.Per il teorema di rappresentazione di Riesz, esiste un unico

vettore Ag ∈ H, tale che:

(14) Φg(f ) = 〈f , Ag〉 , ∀ f ∈ H.Inoltre, per lo stesso teorema, abbiamo:

(15) ‖Ag‖ = ‖Φg‖ ≤ ‖ϕ‖‖g‖.L’operatore A : H −→ H definito da (14) è lineare; infatti:

〈f , A(αg)〉 = Φαg(f ) = ϕ(f , αg) = αϕ(f , g) = αΦg(f )

= α 〈f , Ag〉 = 〈f , αAg〉∀ f ∈ H, per cui:

〈f , A(αg)− αAg〉 = 0 , ∀ f ∈ He quindi: A(αg) = αAg.Analogamente da:

89

1. Spazi pre- . . .




1. Sottospazi

2. Sottospazi . . .

3. Basi

4. Isomorfismi



3. Forme bilineari

4. Operatori . . .


Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 106

Go Back

Full Screen

Close

Quit


〈f , A(g + h)〉 = Φg+h(f ) = ϕ(f , g + h) = ϕ(f , g) + ϕ(f , h)

= Φg(f )+Φh(f ) = 〈f , Ag〉+〈f , Ah〉 = 〈f , Ag + Ah〉 , ∀ f ∈ He quindi: A(g + h) = Ag + Ah.Così A è un operatore lineare su H.La disuguaglianza (15) prova che A è limitato e infatti ‖A‖ ≤

‖ϕ‖.Da (13) e (14) segue:

ϕ(f , g) = Φg(f ) = 〈f , Ag〉 , ∀ (f , g) ∈ H ×H.Finalmente supponiamo che B : H −→ H è un altro opera-

tore lineare e limitato avente la proprietà che ϕ(f , g) = 〈f , Bg〉∀ (f , g) ∈ H ×H.

Allora per ogni fissato g ∈ H, abbiamo:

〈f , Ag − Bg〉 = 〈f , Ag〉 − 〈f , Bg〉 = 0 , ∀ f ∈ He quindi:

Ag = Bg , ∀ g ∈ H.�

90

1. Spazi pre- . . .




1. Sottospazi

2. Sottospazi . . .

3. Basi

4. Isomorfismi



3. Forme bilineari

4. Operatori . . .


Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 106

Go Back

Full Screen

Close

Quit


Corollario 3.3. a) Sia A : H → H un operatore lineare elimitato. Allora la funzione φ : H ×H → K definita da:

φ(f , g) = 〈Af , g〉è una forma bilineare limitata su H e ‖φ‖ = ‖A‖.b) Viceversa, sia φ : H×H → K una forma bilineare limitata.

Allora esiste un unico operatore lineare e limitato A : H → H,tale che:

φ(f , g) = 〈Af , g〉 , ∀ (f , g) ∈ H ×H.

91

1. Spazi pre- . . .




1. Sottospazi

2. Sottospazi . . .

3. Basi

4. Isomorfismi



3. Forme bilineari

4. Operatori . . .


Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 106

Go Back

Full Screen

Close

Quit


Dim. a) Definiamo ϕ : H × H → K da ϕ(f , g) = φ(g, f ) =〈f , Ag〉. Allora per il Teorema 3.5 a) ϕ è una forma bilinearelimitata su H e ‖ϕ‖ = ‖A‖. Poiché ϕ(f , g) = φ(g, f ), anche φè una forma bilineare su H limitata e:

‖φ‖ = sup‖f ‖=‖g‖=1

|φ(f , g)| = sup‖f ‖=‖g‖=1

|ϕ(f , g)| = ‖ϕ‖ = ‖A‖.

b) Se ϕ è data allora ϕ(f , g) = φ(g, f ) è una forma bilinearelimitata e per il Teorema 3.5 b) esiste un unico operatore A :H −→ H lineare e limitato, tale che:

ϕ(f , g) = 〈f , Ag〉 , ∀ (f , g) ∈ H ×H.Quindi abbiamo:

φ(f , g) = ϕ(g, f ) = 〈Af , g〉 , ∀ (f , g) ∈ H ×H.�

92

1. Spazi pre- . . .




1. Sottospazi

2. Sottospazi . . .

3. Basi

4. Isomorfismi



3. Forme bilineari

4. Operatori . . .


Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 106

Go Back

Full Screen

Close

Quit


Corollario 3.4. Se A : H → H è un operatore lineare elimitato, allora:

‖A‖ = sup‖f ‖=‖g‖=1

| 〈f , Ag〉 | = sup‖f ‖=‖g‖=1

| 〈Af , g〉 |.

93

1. Spazi pre- . . .




1. Sottospazi

2. Sottospazi . . .

3. Basi

4. Isomorfismi



3. Forme bilineari

4. Operatori . . .


Home Page

Title Page

JJ II

J I

Page 93 of 106

Go Back

Full Screen

Close

Quit


Corollario 3.4. Se A : H → H è un operatore lineare elimitato, allora:

‖A‖ = sup‖f ‖=‖g‖=1

| 〈f , Ag〉 | = sup‖f ‖=‖g‖=1

| 〈Af , g〉 |.

Dim. Immediata. �

93

1. Spazi pre- . . .




1. Sottospazi

2. Sottospazi . . .

3. Basi

4. Isomorfismi



3. Forme bilineari

4. Operatori . . .


Home Page

Title Page

JJ II

J I

Page 94 of 106

Go Back

Full Screen

Close

Quit


4. Operatori aggiunti

Teorema 4.2. Siano A,B : H → H due operatori lineari elimitati. Allora:

a) A∗∗ = A

b) (λA)∗ = λA∗

c) (AB)∗ = B∗A∗

d) (A+ B)∗ = A∗ + B∗

e) Se A è invertibile, anche A∗ è invertibile e: (A∗)−1 =(A−1)∗.

94

1. Spazi pre- . . .




1. Sottospazi

2. Sottospazi . . .

3. Basi

4. Isomorfismi



3. Forme bilineari

4. Operatori . . .


Home Page

Title Page

JJ II

J I

Page 95 of 106

Go Back

Full Screen

Close

Quit


Dim. a) Essendo A∗ tale che 〈Af , g〉 = 〈f , A∗g〉 ∀f , g ∈ H,segue che A∗∗ è tale 〈A∗f , g〉 = 〈f , A∗∗g〉 ed essendo 〈A∗f , g〉 =

〈g, A∗f 〉 = 〈Ag, f 〉 = 〈f , Ag〉 ∀f , g ∈ H,segue che A∗∗ = A.b) Poiché (λA)∗ è tale che 〈(λA)f , g〉 = 〈f , (λA)∗g〉 ∀f , g ∈

H, ma poiché si ha anche 〈(λA)f , g〉 = 〈A(λf ), g〉 = 〈λf , A∗g〉=⟨f , λ(A∗g)

⟩=⟨f , (λA∗)g

⟩∀f , g ∈ H, segue che (λA)∗ =

λA∗.c) (AB)∗ è tale che ∀f , g ∈ H

〈(AB)f , g〉 = 〈f , (AB)∗g〉 ,ma si ha anche che ∀f , g ∈ H

〈(AB)f , g〉 = 〈A(Bf ), g〉 = 〈Bf , A∗g〉

= 〈f , B∗(A∗g)〉 = 〈f , (B∗A∗)g〉 .Quindi, (AB)∗ = B∗A∗.d) 〈(A+ B)f , g〉 = 〈Af + Bf , g〉 = 〈Af , g〉 + 〈Bf , g〉 =

〈f , A∗g〉+ 〈f , B∗g〉 = 〈f , (A∗ + B∗)g〉, ∀f , g ∈ H.Quindi, ricorrendo alla definizione di operatore aggiunto si

ha (A+ B)∗ = A∗ + B∗.95

1. Spazi pre- . . .




1. Sottospazi

2. Sottospazi . . .

3. Basi

4. Isomorfismi



3. Forme bilineari

4. Operatori . . .


Home Page

Title Page

JJ II

J I

Page 96 of 106

Go Back

Full Screen

Close

Quit


e) Sappiamo che (A−1A)∗ = A∗(A−1)∗ per la c). Da ciò,poiché (A−1A)∗ = I ed essendo 〈(A−1A)f , g〉 = 〈A−1(Af ), g〉 =〈(Af ), (A−1)∗g〉 = 〈f , A∗(A−1)∗g〉, ∀f , g ∈ H, e quindiA∗(A−1)∗ = I, si ha che (A−1)∗ = (A∗)−1.

�

96

1. Spazi pre- . . .




1. Sottospazi

2. Sottospazi . . .

3. Basi

4. Isomorfismi



3. Forme bilineari

4. Operatori . . .


Home Page

Title Page

JJ II

J I

Page 97 of 106

Go Back

Full Screen

Close

Quit


Teorema 4.5. Sia A : H → H un operatore lineare e limitato.Le seguenti affermazioni sono equivalenti:

a) A è autoaggiuntob) La forma bilineare ϕ definita da ϕ(f , g) = 〈Af , g〉 è

simmetricac) La forma quadratica ϕ̂ definita da ϕ̂(f ) = 〈Af , f 〉 è

reale.

97

1. Spazi pre- . . .




1. Sottospazi

2. Sottospazi . . .

3. Basi

4. Isomorfismi



3. Forme bilineari

4. Operatori . . .


Home Page

Title Page

JJ II

J I

Page 98 of 106

Go Back

Full Screen

Close

Quit


Dim. Dire che A è autoaggiunto significa affermare A∗ = A.a) ⇒ b): ϕ(f , g) = 〈Af , g〉 = 〈f , A∗g〉 = 〈f , Ag〉 = 〈Ag, f 〉

= ϕ(g, f ), ∀f , g ∈ H.b) ⇒ c): ϕ̂(f ) = 〈Af , f 〉 = ϕ(f , f ) = ϕ(f , f ), ∀f ∈ H.c) ⇒ a): ∀f ∈ H, 〈Af , f 〉 reale implica che 〈f , Af 〉 =

〈Af , f 〉 = 〈f , A∗f 〉. Poiché (dal Teorema 4.1) ogni operatorelineare e limitato ammette un (unico) operatore aggiunto A∗,segue che A = A∗. �

98

1. Spazi pre- . . .




1. Sottospazi

2. Sottospazi . . .

3. Basi

4. Isomorfismi



3. Forme bilineari

4. Operatori . . .


Home Page

Title Page

JJ II

J I

Page 99 of 106

Go Back

Full Screen

Close

Quit


5. Operatori di proiezione

Teorema 5.6. Siano P eQ due proiezioni sopra i sottospaziMe N rispettivamente. Le seguenti affermazioni sono equivalenti:

a) M ⊂ Nb) QP = Pc) PQ = Pd) Q− P è una proiezionee) 〈(Q− P )f , f 〉 ≥ 0, ∀ f ∈ Hf) ‖P f ‖ ≤ ‖Qf ‖, ∀ f ∈ H.

99

1. Spazi pre- . . .




1. Sottospazi

2. Sottospazi . . .

3. Basi

4. Isomorfismi



3. Forme bilineari

4. Operatori . . .


Home Page

Title Page

JJ II

J I

Page 100 of 106

Go Back

Full Screen

Close

Quit


Dim. a)⇒ b): Per ipotesi, siano P e Q due proiezioni soprai sottospazi M ed N, rispettivamente.

Allora,

M = {g : Pg = g} = {g : ‖Pg‖ = ‖g‖} = {P f : f ∈ H} ,

N = {h : Qh = h} = {h : ‖Qh‖ = ‖h‖} = {Qf : f ∈ H} .Sapendo che M ⊂ N, bisogna provare che QP = P , ossia

che (QP ) f = P f , ∀f ∈ H.Osservando che

P f ∈ M, ∀f ∈ H,

eM ⊂ N (per ipotesi),

si ha:P f ∈ N, ∀f ∈ H,

il che implica, per come è definito N,

Q (P f ) = P f , ∀f ∈ H.

Pertanto, è possibile dedurre che

QP = P.100

1. Spazi pre- . . .




1. Sottospazi

2. Sottospazi . . .

3. Basi

4. Isomorfismi



3. Forme bilineari

4. Operatori . . .


Home Page

Title Page

JJ II

J I

Page 101 of 106

Go Back

Full Screen

Close

Quit


b)⇒ c): Sapendo, per ipotesi, che QP = P e che P è unaproiezione, allora anche QP è una proiezione.

Pertanto, per il Teorema 5.4 si ha che

QP = PQ,

da cui segue facilmente che

PQ = P.

c)⇒ d): Sapendo, per ipotesi, che PQ = P , bisogna provareche Q − P è una proiezione, ossia che (per il Teorema 5.2)Q− P = (Q− P )∗ = (Q− P )2.

Si osserva, innanzitutto, che dal momento che PQ = P e Pè, per ipotesi, una proiezione, allora anche PQ è una proiezione,e, in particolare, per il Teorema 5.4 PQ = QP .

Quindi,P = PQ = QP.

Sapendo, inoltre, che P = P ∗ = P 2 (essendo P unaproiezione) e Q = Q∗ = Q2 (essendo anche Q una proiezione),si ha:

(Q− P )∗ = Q∗ − P ∗ = Q− Pe

(Q− P )2 = Q2 −QP − PQ+ P 2 = Q− P − P + P = Q− P.101

1. Spazi pre- . . .




1. Sottospazi

2. Sottospazi . . .

3. Basi

4. Isomorfismi



3. Forme bilineari

4. Operatori . . .


Home Page

Title Page

JJ II

J I

Page 102 of 106

Go Back

Full Screen

Close

Quit


Di conseguenza, si ricava che

Q− P = (Q− P )∗ = (Q− P )2

e, dunque, Q− P è una proiezione.d)⇒ e): Sapendo, per ipotesi, che Q− P è una proiezione,

ossia che Q − P = (Q− P )∗ = (Q− P )2, bisogna dimostrareche 〈(Q− P ) f , f 〉 ≥ 0, ∀f ∈ H.

Ma, ∀f ∈ H:

〈(Q− P ) f , f 〉 =⟨

(Q− P )2f , f⟩

= 〈(Q− P ) ((Q− P ) f ) , f 〉

=⟨

(Q− P ) f , (Q− P )∗ f⟩

= 〈(Q− P ) f , (Q− P ) f 〉 ≥ 0.

Pertanto:

〈(Q− P ) f , f 〉 ≥ 0, ∀f ∈ H.

e)⇒ f): Sapendo, per ipotesi che 〈(Q− P ) f , f 〉 ≥ 0, ∀f ∈H, bisogna dimostrare che ‖P f ‖ ≤ ‖Qf ‖, ∀f ∈ H.

Ma, ∀f ∈ H:0 ≤ 〈(Q− P ) f , f 〉 = 〈Qf − P f , f 〉 = 〈Qf , f 〉 − 〈P f , f 〉 =

(sapendo che P e Q sono proiezioni) = 〈Q2f , f 〉 − 〈P 2f , f 〉 =〈Qf ,Q∗f 〉 − 〈P f , P ∗f 〉 = (dal momento che P e Q sono proie-zioni) = 〈Qf ,Qf 〉 − 〈P f , P f 〉 = ‖Qf ‖2 − ‖P f ‖2.

102

1. Spazi pre- . . .




1. Sottospazi

2. Sottospazi . . .

3. Basi

4. Isomorfismi



3. Forme bilineari

4. Operatori . . .


Home Page

Title Page

JJ II

J I

Page 103 of 106

Go Back

Full Screen

Close

Quit


Da ciò segue che

‖P f ‖2 ≤ ‖Qf ‖2

e, quindi,‖P f ‖ ≤ ‖Qf ‖ ∀f ∈ H.

f)⇒ a): Per provare che M ⊂ N occorre provare che ognielemento di M è elemento di N.

Supponiamo per assurdo che esista un elemento g di M chenon sia appartenente ad N.

Per il Teorema 2.9 del capitolo 2 si ha che

‖g‖2 = ‖Qg‖2 + ‖Q⊥g‖2

(ovviamente ‖Q⊥g‖ 6= 0) e quindi ‖g‖2 > ‖Qg‖2 cioè

‖g‖ > ‖Qg‖Ora sappiamo che (vedi Teorema 5.1)

‖g‖ = ‖Pg‖,da cui segue che

‖Pg‖ > ‖Qg‖103

1. Spazi pre- . . .




1. Sottospazi

2. Sottospazi . . .

3. Basi

4. Isomorfismi



3. Forme bilineari

4. Operatori . . .


Home Page

Title Page

JJ II

J I

Page 104 of 106

Go Back

Full Screen

Close

Quit


e ciò è assurdo essendo per ipotesi ‖Pg‖ ≤ ‖Qg‖ ∀f ∈ H.�

104

1. Spazi pre- . . .




1. Sottospazi

2. Sottospazi . . .

3. Basi

4. Isomorfismi



3. Forme bilineari

4. Operatori . . .


Home Page

Title Page

JJ II

J I

Page 105 of 106

Go Back

Full Screen

Close

Quit


105

1. Spazi pre- . . .




1. Sottospazi

2. Sottospazi . . .

3. Basi

4. Isomorfismi



3. Forme bilineari

4. Operatori . . .


Home Page

Title Page

JJ II

J I

Page 106 of 106

Go Back

Full Screen

Close

Quit


Bibliografia

[1] D.AVERNA, Analisi Funzionale - Spazi di Hilbert. Dispensa (2010)

106

ANALISIFUNZIONALE SPAZIDIHILBERT - unipa.itmath.unipa.it/averna/did/Analisi...

Documents

Transcript of ANALISIFUNZIONALE SPAZIDIHILBERT - unipa.itmath.unipa.it/averna/did/Analisi...