Analisi Termo-meccanica di Piastre e Gusci FGM · Un ringraziamento particolare va al mio ragazzo...

POLITECNICO DI TORINO

Facolta di IngegneriaCorso di Laurea in Ingegneria Aerospaziale

Tesi di Laurea

Analisi Termo-meccanica di Piastre eGusci FGM

Relatore:Prof. Erasmo Carrera

Candidato:Maria Cinefra

Dicembre 2008

Ringraziamenti

Ringrazio, innanzitutto, il Professore Carrera che con i suoi preziosi insegnamenti mi hadato la possibilita di realizzare questo lavoro e che mi ha sempre guidata, rivelando unagrande professionalita. Ringrazio, inoltre, l’Ingegnere Brischetto che, nonostante i suoiimpegni, ha mostrato la massima disponibilita e dal quale ho imparato molto.Un ringraziamento particolare va al mio ragazzo Marco, che in prima persona ha vissutole mie ansie e i miei scleri, ma con il quale ho condiviso pure le gioie di questi mesi. Graziea lui ho potuto affrontare questo periodo con piu serenita.Ringrazio anche i miei amici, quelli sinceri, che hanno creduto in me e con i quali hotrascorso momenti di crescita e, soprattutto, di divertimento.I ringraziamenti piu sentiti vanno alla mia famiglia, tra cui mio padre, che mi ha sostenutain ogni mia scelta, e mio fratello, che ha sempre saputo consigliarmi in modo saggio. Lafelicita piu grande e sapere che saranno fieri di me.Infine, dedico questa tesi a due donne: mia madre, l’unica persona in grado di confortarmidavvero, e mia nonna Annunziata, che ormai non c’e piu, ma che sento vicina a me inogni momento. Entrambe costituiscono il mio punto di forza.

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Indice

Ringraziamenti I

1 Functionally Graded Materials FGMs 21.1 Introduzione, cosa sono gli FGMs? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Tecniche di produzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.1 Reazione di sintesi per combustione . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.2 Tecniche di produzione dell’FGM vetro-allumina . . . . . . . . . . . 41.2.3 Produzione mediante catodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.4 Deposizione elettroforetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.5 Metallurgia delle polveri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.6 Infiltrazione e deposizione di vapore chimico . . . . . . . . . . . . . 71.2.7 Vertical centrifugal casting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.8 Directional remelting and quenching process . . . . . . . . . . . . . 91.2.9 Resistance sintering under high-pressure . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.10 Impeller dry blending process (IDB) . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3 Micromeccanica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3.1 Rule of Mixtures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3.2 Modello 3-D micro-meccanico per gli FGMs . . . . . . . . . . . . . 131.3.3 Voronoi Cell Finite Element Method (VCFEM) . . . . . . . . . . . 141.3.4 Stress waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.3.5 Modello micromeccanico stocastico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4 Possibili applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 Estensione dell’Unified Formulation ai Functionally Graded Materials 182.1 Strutture bidimensionali multistrato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.1.1 Sistemi di riferimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.1.2 Geometria del guscio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2 Relazioni geometriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.2.1 Piastra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.2.2 Guscio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3 Cos’e la Unified Formulation? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.3.1 Formulazione agli spostamenti (PVD) . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.3.2 Modelli ESL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.3.3 Funzione Zig-Zag di Murakami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.3.4 Modelli LW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

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2.3.5 Assemblaggio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.4 Teorie usate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.5 Applicazione della UF alle proprieta elastiche e termiche degli FGMs . . . 322.6 Equazioni costitutive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.6.1 Legge di Hooke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3 Equazioni di governo per l’analisi termo-elastica di piastre e gusci inFGM 373.1 Introduzione al problema termo-elastico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.2 PVD (Principle of Virtual Displacements) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.2.1 Unified Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.2.2 Equazioni costitutive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.2.3 Relazioni geometriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.3 Equazioni di governo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.3.1 Equazioni differenziali di equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.3.2 Integrazione per parti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.3.3 Equazioni di governo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.4 Soluzione in forma chiusa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.4.1 Ipotesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.4.2 Metodo di Navier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.5 Nuclei fondamentali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.5.1 Guscio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.5.2 Piastra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.6 Carico termico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.6.1 Profilo di temperatura approssimato con la Unified Formulation . . 523.6.2 Calcolo del profilo di temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.7 Riepilogo assemblaggio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.8 Riepilogo delle teorie usate. Utilizzo degli acronimi . . . . . . . . . . . . . 56

4 Analisi termo-meccanica di piastre in FGM 594.1 Caratteristiche del materiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.2 Carichi applicati e condizioni al contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.3 Analisi del profilo di temperatura T (z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.4 Analisi 2-D termo-meccanica della piastra . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.5 Piastra in FGM discretizzata come multistrato . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.5.1 Carico meccanico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784.5.2 Carico termico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.6 Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5 Analisi termo-meccanica di gusci compositi multistrato 875.1 Guscio multistrato soggetto a carico meccanico . . . . . . . . . . . . . . . . 875.2 Guscio multistrato soggetto a carico termico . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

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6 Analisi termo-meccanica di gusci in FGM 1016.1 Caratteristiche del guscio FGM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1016.2 Guscio in FGM discretizzato come multistrato . . . . . . . . . . . . . . . . 103

6.2.1 Soluzione quasi 3-D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1036.3 Analisi 2D termo-meccanica del guscio in FGM . . . . . . . . . . . . . . . 107

7 Analisi termo-meccanica di un guscio sandwich con cuore in FGM 1257.1 Caratteristiche del guscio sandwich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1257.2 Analisi meccanica e termica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1267.3 Cuore FGM vs Cuore “classico” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

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INDICE

Premessa

Lo scopo di questa tesi e quello di estendere ai gusci contenenti strati FGM (FunctionallyGraded Material) l’analisi termo-meccanica che in passato e stata effettuata sulle piastreFGM, utilizzando la Formulazione Unificata sviluppata dal Prof. Carrera.Nel primo capitolo, vengono introdotti i materiali FGM. In particolare, si fa cenno adalcuni tipi di materiale, riportando le relative tecniche di produzione, e si descrivono imetodi con cui determinare le proprieta effettive locali.Nel capitolo 2, la Formulazione Unificata viene estesa ai gusci in materiale FGM. Si evi-denzia che, da un punto di vista geometrico, la piastra non e altro che la degenerazionedel guscio, pertanto, annullando alcuni parametri presenti nelle relazioni geometriche delguscio, si ottengono quelle della piastra. Vengono richiamate, inoltre, le equazioni cos-titutive che serviranno per la scrittura dei nuclei fondamentali. Dopodicche si entra nelmerito della Formulazione Unificata e delle teorie in essa contenute.Il terzo capitolo introduce il problema termo-elastico di piastre e gusci FGM. Tramitel’applicazione del PVD (Principle of Virtual Displacement) e delle relazioni viste nel capi-tolo 2, si giunge alla scrittura dei nuclei fondamentali per il guscio FGM soggetto a caricomeccanico e termico. A questo punto si utilizza il metodo di Navier per il calcolo dellasoluzione esatta e ci si sofferma sul problema del carico termico, calcolato mediante leggedi Fourier.Nel capitolo 4, viene riproposto il problema della piastra FGM soggetta a carico meccanicoe termico. Innanzitutto, la piastra viene analizzata in base alla teoria esposta nei capitoli2 e 3 e i risultati ottenuti vengono confrontati con la soluzione 3-D trovata in letteratura.Successivamente, si dimostra che la soluzione esatta al problema termo-meccanico dellapiastra FGM puo essere ricavata, considerando la stessa come un multistrato costituitoda un numero elevato di strati fittizzi con proprieta costanti lungo lo spessore.Il quinto capitolo ha l’obbiettivo di validare la nostra teoria nel caso di gusci multistratoin materiale classico, soggetti sia a carico meccanico che termico. Effettuata questa veri-fica, e possibile procedere per il guscio come per la piastra e ricavare la soluzione esattaal problema termo-meccanico dei gusci in FGM.Nel sesto capitolo si procede con l’analisi termo-elastica di un guscio FGM con geometriadi Ren. Dopo aver calcolato la soluzione 3-D, suddividendo il guscio in un numero moltoelevato di strati fittizzi, si passa allo studio dei risultati ottenuti estendendo la Formu-lazione Unificata ai materiali FGM.Infine, nel capitolo 7, viene studiato un guscio sandwich avente il cuore in FGM. Succes-sivamente, si effettua un confronto, a parita di condizioni, con un sandwich il cui cuorepresenta, invece, proprieta costanti lungo lo spessore. Lo scopo e quello di evidenziare ivantaggi che si possono trarre dall’utilizzo degli FGMs nelle strutture sandwich.

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Capitolo 1

Functionally Graded MaterialsFGMs

1.1 Introduzione, cosa sono gli FGMs?

I materiali compositi sono realizzati combinando materiali diversi allo scopo di ottenereun determinato spettro di proprieta altrimenti non disponibile. Nuove limitazioni possonopero insorgere a causa dell’incompatibilita che i diversi materiali utilizzati manifestano,dovute in particolare alla presenza di una discontinuita di struttura e/o composizionein corrispondenza dell’interfaccia tra gli stessi, la quale puo dare origine a fenomeni in-desiderati, quali l’insorgere di elevati sforzi residui e perdita di adesione.Allo scopo di superare le limitazioni dovute alla presenza di tale discontinuita, in tem-pi recenti e stato introdotto il concetto di Functionally Graded Materials (FGM), ovveromateriali a gradiente di funzionalita. Questi materiali presentano una variazione di compo-sizione e/o struttura di tipo “graduale”, alla quale corrisponde una determinata variazionegraduale di proprieta. Questo consente di integrare tra loro costituenti con caratteristicheanche molto diverse.Inizialmente la ricerca sui materiali FGM, intrapresa in Giappone negli anni ’80, e statamotivata da applicazioni pratiche in cui sono prevalenti i problemi di schermatura termicadei veicoli spaziali; tuttavia, materiali con proprieta fisiche gradualmente variabili hannoun potenziale quasi illimitato in molte altre applicazioni tecnologiche in cui si intendaottimizzare gli sforzi residui, ottenere strati resistenti all’usura o realizzare ricoprimentisuperficiali con particolari caratteristiche, in termini di porosita e composizione chimica,mantenendo una elevata forza di coesione tra ricoprimento e substrato.Nell’ambito dei materiali FGM vengono affrontate sostanzialmente tre problematiche: iprocessi di produzione con cui vengono realizzati; la legge con cui le proprieta del ma-teriale variano nello spazio; la modellizzazione di strutture contenenti FGM. Sebbenepunteremo l’attenzione maggiormente sull’ultima di queste tre, faremo cenno anche allerestanti problematiche.

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1 – Functionally Graded Materials FGMs

1.2 Tecniche di produzione

Un Functionally Graded Material e un composto di due materiali diversi, caratterizzato dauna composizione graduale che va da un costituente all’altro. A differenza dei composititradizionali, che forniscono semplicemente un compromesso tra le proprieta auspicabili perciascun componente, negli FGM ogni componente e presente in forma pura e, pertanto, epossibile usufruire a pieno delle proprieta di entrambi i materiali: ad esempio, la durezzadel metallo puo essere associata alla refrattarieta del ceramico. Riportiamo di seguitoalcuni esempi di materiali FGM e relative tecniche di produzione, tratti dalla letteraturascentifica.

1.2.1 Reazione di sintesi per combustione

La produzione del composito FGM NiTi-TiCx avviene tramite una reazione di sintesiper combustione (CS) che sfrutta il modo di propagazione (SHS). L’FGM NiTi-TiCx

unisce le ben note proprieta di superplasticita e memoria della forma del NiTi all’elevatadurezza, resistenza all’usura e resistenza alla corrosione del TiCx. Dalle figure (2.1) e(2.2) si osserva che i vari strati sono funzionalmente graduati in composizione e porosita epresentano delle interfacce ben distinte, pur mantenendo una buona interazione tra loro.Lo studio mediante diffrazione dei raggi X, ha rivelato che le dimensioni delle particelleTiCx si riducono all’aumentare del contenuto di NiTi e dalle prove di microindentazione,condotte lungo l’FGM, si nota anche una perdita di durezza all’aumentare di NiTi nelprodotto finale [1].

Figura 1.1. Interfacce tra gli strati FGM: (a) TiCx/TiCx-20vol.% NiTi (b) TiCx-20vol.% NiTi/TiCx-40vol.% NiTi (c) TiCx-40vol.% NiTi/TiCx-60vol.% NiTi (d) TiCx-

60vol.% NiTi/TiCx-80vol.% NiTi (e) TiCx-80vol.% NiTi/NiTi

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Figura 1.2. Strati di FGM: (a) TiCx (b) TiCx-20vol.% NiTi (c) TiCx-40vol.% NiTi (d)TiCx-60vol.% NiTi (e) TiCx-80vol.% NiTi (f) NiTi

1.2.2 Tecniche di produzione dell’FGM vetro-allumina

Esistono molte tecniche per produrre l’FGM vetro-allumina. Alcuni provini vengono real-izzati mediante un metodo che si basa sul trasporto naturale e che impiega la capacita delvetro liquefatto di filtrare in un substrato di allumina policristallina. Se il vetro viene usatosotto forma di polvere, questa arriva piu in profondita ma la cristallizzazione della zirconianon e controllata; se, invece, si utillizza il vetro in “bulk form”, questo ha un’attitudine allacristallizzazione piu bassa e raggiunge profondita di penetrazione minori. In questo modosi ottiene un profilo di variazione quasi lineare ma non strettamente monotono, in quantola microstruttura dell’FGM risulta essere discreta e eterogenea [2]. E’ stato sperimentato,inoltre, un metodo per produrre FGM in vetro-allumina che consiste nel costruire, stratoper strato, degli strati graduati spessi, tramite il processo plasma spraying. Questa tecnicae piu costosa ma piu controllabile e riproducibile dell’assorbimento. Tuttavia, questi FGMpresentano qualche porosita residua e una debole interfaccia substrato-ricoprimento, per-tanto necessitano di un appropriato trattamento termico che favorisca la sinterizzazionedel vetro e promuova una piu ampia, ma controllata, cristallizzazione (vedi fig.2.3) [3].

1.2.3 Produzione mediante catodo

Un catodo a forma di ottagono regolare viene utilizzato per la produzione di strati dimateriale, funzionalmente graduati, cambiando la posizione relativa tra anodo e catodo.Lo spessore dello strato prodotto, su ciascun lato del catodo, e il contenuto di particellesono tuttora oggetto di studio. La differenza di spessore sui due lati aumenta quando unelettrolita viene agitato in una soluzione pura di nickel. La concentrazione di particelle non

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a

b

c

d

e

Figura 1.3. FGM in vetro-allumina realizzato tramite: (a) e (b) assorbimento di vetroin “bulk form” (a 50 µm e 1600 µm di profondita); (c) assorbimento di polveri di vetro;

(d) e (e) plasma spraying, prima e dopo trattamento termico.

ha un effetto evidente sullo spessore dello strato, ma influisce sul contenuto di particellenei diversi strati. Basandoci su questo, lo strato viene realizzato ruotando il catodo.Questa tecnica e semplice da controllare, non comporta costi elevati ed e potenzialmenteapplicabile per la produzione in massa di barriere composite [4].

Figura 1.4. Microstruttura di una barriera composita graduata

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1.2.4 Deposizione elettroforetica

L’ FGM allumina/zirconia bidimensionale viene preparato mediante deposizione elettro-foretica (EPD) e successiva sinterizzazione in assenza di pressione. Il materiale presentauna microstruttura a grana fine, di elevata qualita, con una porosita molto bassa; inoltre,la zirconia e uniformemente distribuita all’interno degli strati omogenei.La durezza del materiale, la tenacita a frattura e le tensioni residue vengono misurate condelle prove di indentazione effettuate sulla sezione trasversale del provino e si vede chetali proprieta variano lungo lo spessore. In particolare il materiale esibisce sullo stratosuperficiale esterno una durezza comparabile a quella dell’allumina pura. I test di shocktermico dimostrano, inoltre, un’elevata resistenza dell’FGM alla propagazione trasversaledelle cricche che si possono formare in superfice a causa dell’impatto, usura o di altrimeccanismi di contatto. L’EPD e una tecnica semplice ed economica per realizzare formeceramiche complicate. Il profilo di variazione dell’FGM puo essere controllato in manieraprecisa regolando opportunamente la densita della corrente di deposizione, il rateo diflusso del secondo componente, la concentrazione della sospensione, etc. [5]

Figura 1.5. Microstruttura degli strati omogenei dell’FGM: (a) Strato esterno (b) Stratocentrale

1.2.5 Metallurgia delle polveri

Il Mullite/Mo FGM viene prodotto con un processo di metallurgia delle polveri. Leproprieta termo-meccaniche di questo materiale hanno una distribuzione graduale che

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Figura 1.6. Materiale sperimentale dopo il test di shock termico (a) FGM, crescitalimitata delle cricche trasversali all’interno dello strato esterno (in compressione) (b)

composito omogeneo

dipende dalla variazione di composizione lungo lo spessore. I test di shock termico riv-elano che i provini in FGM hanno una resistenza maggiore rispetto alla mullite mono-litica. Tale resistenza e influenzata dalle tensioni termiche residue indotte dalla sinteriz-zazione e potrebbe essere ulteriormente migliorata riducendo gli stress residui di trazioneo introducendo degli stress residui di compressione sulla superfice ceramica [6],[7].

Figura 1.7. FGM con gradiente lineare, a 6 strati

1.2.6 Infiltrazione e deposizione di vapore chimico

E’ stato prodotto un FGM costituito da uno strato in cui la composizione chimica variagradualmente dal carbonio (C) al carburo di silicio (SiC) e le cui caratteristiche sonocomprese tra quelle del composito C/C e quelle dello strato superficiale in SiC, il qualeserve per proteggere il composito dall’ossidazione. Il processo con cui esso viene realizzatoe il seguente: un preformato in fibre di carbonio disposte a formare un intreccio 3D vieneparzialmente solidificato, impregnandolo con resina fenolica allo stato liquido (per evitarela formazione di vuoti). Dopodicche, esso viene solidificato ulteriormente mediante infil-trazione di carbone proveniente dal propano, che si trova sotto forma di vapore chimico:

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si ottiene cosı un composito C/C. A questo punto viene aggiunto uno strato protettivoa composizione graduale mediante deposizione di SiC-C, presente sotto forma di vaporechimico,. Si ottiene cosı un FGM con una distribuzione di composizione continua. I testdi raffreddamento rapido evidenziano che in questo FGM non si generano cricche termichee che lo strato a composizione graduale rimane incollato al composito base [8],[9].

Figura 1.8. Procedura per la preparazione dell’FGM C/C-SiC

(a)

(b)

(c)

Figura 1.9. FGM C/C-SiC: (a) Preformato (b) Preformato parzialmente solidificato (c)Composito C/C ottenuto tramite impregnazione e infiltrazione con vapore chimico (CVI)

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1.2.7 Vertical centrifugal casting

Un altro metodo per produrre FGM e quello di muovere delle particelle ceramiche al-l’interno di un metallo fuso viscoso mediante l’azione di una forza centrifuga. La dis-tribuzione graduale delle particelle sferiche ceramiche all’interno dell’FGM viene influen-zata dai seguenti parametri di processo: la differenza di densita tra particelle e metallofuso, le dimensioni delle particelle, la viscosita del metallo fuso, la frazione in volume mediadelle particelle, lo spessore del cerchio e il tempo di solidificazione. E’ stato verificato chela composizione puo essere controllata piu precisamente, utilizzando contemporaneamenteparticelle miste di dimensioni differenti [10].

1.2.8 Directional remelting and quenching process

L’FGM multistrato Mg2Si/Al viene prodotto tramite un processo di rifusione direzionalee raffreddamento in bagno freddo. La struttura dell’FGM cosı realizzato contiene treregioni (non fusa, parzialmente rifusa, rifusa) e forma cinque strati (strato non fuso, stratodi transizione, strato semisolido, strato parzialmente rifuso, strato rifuso). Tre interfacceevidenti appaiono in successione tra gli strati I, II, III e IV (vedi figura 1.10) [11].

Figura 1.10. FGM multistrato Mg2Si/Al: (a) Interfaccia tra gli strati II e I (b) III e II(d) IV e III (c) Semisolido dello strato III e FGM Mg2Si/Al

1.2.9 Resistance sintering under high-pressure

E’ stato sviluppato un nuovo metodo one-step per la produzione dell’FGM W/Cu. Talemetodo viene chiamato “resistance sintering under high-pressure” e non richiede l’aggiuntadi additivi di sinterizzazione. Con questa tecnica si ottiene un FGM W/Cu con una densitarelativa che e piu del 97% di quella teorica e anche quella dello strato di W puro superail 96%. L’analisi microstrutturale mostra che l’FGM cosı prodotto presenta una buonacomposizione graduale. Le particelle di W sono ben saldate tra di loro, grazie soprattuttoalla sinterizzazione allo stato solido, e la dimensione dei grani dalla parte del tungstenoe circa la stessa che si ha inizialmente nelle polveri W. Poiche la resistenza elettrica del

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tungsteno e del rame sono ben distinte, si ottiene una distribuzione di resistenza graduale equando una corrente forte attraversa il materiale appena compattato, si instaura una zonaa temperatura molto elevata. Pertanto il tempo di sinterizzazione deve essere abbastanzabreve, in modo da evitare il surriscaldamento del rame [12],[13].

Figura 1.11. FGM W/Cu ben sinterizzato e i vari strati

1.2.10 Impeller dry blending process (IDB)

L’universita di Sidney ha sviluppato un nuovo processo per la produzione di FGM notocome “impeller dry blending process” (IDB). A differenza delle tecniche precedenti, chesfruttavano l’azione della forza di gravita per separare una miscela di polveri ceramichee metalliche, a formare un profilo di composizione graduale, nel “controlled blending”,i due componenti, che costituiscono l’FGM, vengono miscelati durante la formatura e ilrapporto tra i due varia in maniera continua tra il 100% del componente 1 e il 100% delcomponente 2. Questo approccio permette di ottenere un gradiente funzionale piu regolaree controllato; e una tecnica indipendente dalle caratteristiche delle particelle, nonchedai meccanismi gravitazionali; inoltre, e un processo molto rapido. Esso e utilizzato,soprattutto, per la produzione di sottili film di FGM [14].

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1.3 Micromeccanica

In questo paragrafo, vengono presentati alcuni metodi con i quali e possibile definire leproprieta termo-elastiche dei materiali FGM. La caratterizzazione di un materiale FGMnon e sempre facile e, spesso, si e costretti ad utilizzare un tipo di stima diverso a secondadei casi. Di seguito, riportiamo alcuni modelli micromeccanici, tra quelli adottati sino adoggi.

1.3.1 Rule of Mixtures

La Rule of Mixture e una regola ispirata dalla teoria dei materiali compositi tradizionali.Nel caso degli FGM vetro-allumina, essa si applica considerando il vetro, l’allumina ei pori residui come tre fasi differenti e calcolando la proprieta in esame, ad esempio ilmodulo di Young, tramite la seguente formula:

E = VaEa + VgEg + VpEp

dove Va, Vg e Vp sono le frazioni in volume dell’allumina, del vetro e dei pori nell’arearettangolare considerata, mentre Ea, Eg e Ep sono i rispettivi moduli di Young. La ROMpotrebbe essere applicata agli FGM prodotti per infiltrazione, ma i risultati rappresen-terebbero solo un’indicazione qualitativa del profilo elastico effettivo; inoltre, la ROMsovrastima ampiamente le proprieta elastiche dei provini realizzati col plasma-spraying.Risultati migliori si ottengono mediante simulazioni computazionali. Attualmente, al-cune inesattezze sono causate dalla difficolta di calcolare tutte le peculiarita e i dettaglidel modello. Nonostante cio, i dati sperimentali sono interpolati abbastanza bene dallesimulazioni computazionali di microscala, le quali danno anche ulteriori informazioni sulcomportamento trasversalmente isotropo dei materiali FGM.La figura 1.12 mostra una possibile distribuzione di composizione in un FGM metallo-ceramico. Se consideriamo semplicemente un FGM a due fasi, in cui la struttura e bendefinita nello spazio e la frazione in volume e costante in ogni direzione, possiamo schema-tizzare il nostro modello discreto con delle celle rettangolari e considerare la frazione involume del metallo Vm linearmente variabile tra 100% al bottom e 0% al top. Sebbeneesistano molti tipi di funzione con cui definire la frazione in volume, noi qui definiamo Vm

e Vc nel seguente modo:

Vm(y) = [(dG − y)/2dG]N

Vc(y) = 1− Vm(y)(1.1)

dove N e un numero reale non negativo. Variando il numero N si ottengono una serieinfinita di distribuzioni di composizione.Sono stati pubblicati un gran numero di paper riguardanti la stima della risposta meccani-ca e delle proprieta del materiale, i quali si dividono nelle categorie teorica e sperimentale.

11


Figura 1.12. FGM metallo-ceramico: (a) esempio illustrativo di una distribuzione dicomposizione reale (b) modello discreto con celle rettangolari (Vm varia linearmentenella direzione y; nero: metallo bianco:ceramico) (c) distribuzioni di frazioni in volume

del metallo

A sua volta, l’approccio teorico comprende gli studi a livello microscopico (considerandol’interazione tra matrice e inclusioni) e gli studi nel continuo (in termini solo di frazione involume e di proprieta individuali delle fasi costituenti). Finora e stato ampiamente utiliz-zato l’approccio sperimentale che generalmente si divide in: metodo diretto, variazionalee di approssimazione. Il metodo diretto cerca le soluzioni in forma chiusa; pertanto, sieffettuano delle semplificazioni allo scopo di facilitare la derivazione matematica. Un’al-ternativa e l’approccio variazionale che fornisce pero solo un’approssimazione globale suldominio della soluzione in forma chiusa. Infine abbiamo i metodi di approssimazione,semplici e convenienti da applicare, che permettono di prevedere le risposte e le proprietaglobali del materiale. Tuttavia, a causa delle semplificazioni adottate, la validita di questimetodi e fortemente influenzata dalla particolare microstruttura del materiale e da altrifattori. Alcuni esempi di metodi di approssimazione sono: la Rule Of Mixtures lineare,la Rule Of Mixtures modificata e la stima Wakashima-Tsukamoto.La ROM lineare (la stima piu semplice) impone che la proprieta del materiale P(x), neimateriali metallo-ceramici a due fasi, venga approssimata con una combinazione linearedelle frazioni in volume e delle proprieta individuali di ciascun costituente:

P(x) = PmVm(x) + Pc(1− Vm(x)) (1.2)

Tuttavia, poiche questo metodo non tiene conto della geometria dettagliata del sis-tema, la sua accuratezza e abbastanza discutibile.Con lo scopo di prevedere con maggiore precisione il modulo di Young di un materiale adue fasi, nel 1976 fu introdotta la Rule Of Mixtures modificata, che e stata poi adottatada molti altri ricercatori. Secondo questa stima, ogni strato graduato viene suddiviso insottostrati considerati isotropi, per i quali la tensione σ e la deformazione ε uniassiali sonoespressi in termini di tensioni e deformazioni medie e di frazioni in volume del ceramicoe del metallo:

σ = σmVm + σc(1− Vm)

ε = εmVm + εc(1− Vm)(1.3)

12


Inoltre, si introduce il seguente rapporto di trasferimento tensioni-deformazioni:

q = (σc − σm)/(εm − εc), dove 0 < q < +∞ (1.4)

Ovviamente, q = 0 e q = +∞ corrispondono alle proprieta mediate rispettivamentecon tensioni e deformazioni uguali. Con le equazioni 1.3 e 1.4 si calcola il modulo diYoung mediato:

E =

[(q + Ec

q + Em

)VmEm + (1− Vm) Ec

]/

[(q + Ec

q + Em

)Vm + (1− Vm)

](1.5)

E’ sbagliato pensare che il modulo di Young tenda a zero, per la Rule of Mixtures lin-eare, quando q va a +∞. La Rule of Mixtures modificata e ristretta al modulo di Young,pertanto, qualsiasi altro metodo puo essere utilizzato per stimare le restanti proprietatermo-meccaniche (normalmente viene utilizzata la Rule of Mixtures lineare). Un’altrometodo e dato dalla stima Wakashima-Tsukamoto, derivata basandosi sul metodo dell’in-tegrazione equivalente di Eshelby e incorporando il concetto di Mori-Tanaka. In questastima, le proprieta P del materiale sono definite come segue:

〈σ〉Ω = P : 〈ε〉Ω〈·〉Ω =

1

|Ω|∫

Ω

〈·〉dΩ(1.6)

dove Ω si riferisce a un elemento rappresentativo di volume (RVE) e 〈·〉Ω alle quantitaglobali.Confronti effettuati con i risultati sperimentali e con l’approccio agli elementi finiti evi-denziano che, nel caso di struttura soggetta a solo carico meccanico, la Rule of Mixturesmodificata produce una previsione della distribuzione di tensioni che varia sensibilmentecon q; e che i limiti inferiore e superiore di questa variazione sono dati dalle stime ottenutecon gli altri due metodi. Nel caso di struttura soggetta a carico termo-meccanico, invece,la Rule of Mixtures modificata non mostra sostanziali differenze per diversi valori di q. In-oltre, si osserva che i metodi sopra descritti forniscono tutti una distribuzione di tensioneabbastanza lontana da quella ottenuta con il modello discretizzato agli elementi finiti;tuttavia, fra questi, la stima Wakashima-Tsukamoto produce i risultati piu vicini [15].

1.3.2 Modello 3-D micro-meccanico per gli FGMs

E’ stato sviluppato un modello micromeccanico per gli FGM con una distribuzione dellefasi 3-D, non lineare e arbitraria, e la sua applicazione e stata confrontata con quella dimetodi che utilizzano un approccio simile. Il modello permette di prevedere le proprieta

13


base degli FGM 3-D, di calcolare le tensioni termiche ed, entro certi limiti, di valutarepreliminarmente la distribuzione di tensione/deformazione dinamica e il comportamentoanaelastico. Dal momento che tutte le equazioni del modello sono espresse in una formaanalitica semplice, il modello e abbastanza flessibile per i calcoli e puo essere facilmenteimplementato. L’ipotesi principale del modello micromeccanico e che un piccolo elementodi volume rappresentativo sia sufficente a prevedere le proprieta dell’FGM. A ogni sotto-cella viene assegnata una funzione che esprime la concentrazione di volume della secondafase (quella particolata) v2(x,y,z). La distribuzione della seconda fase all’interno dellastruttura puo essere definita da qualsiasi funzione, purche la v2 vari tra 0 e 1; inoltre, lafunzione deve soddisfare le condizioni al contorno. Le dimensioni delle sottocelle devonoessere piccole abbastanza da poter considerare la struttura al loro interno localmenteisotropa. In tal caso le sottocelle diventano elementi di volume locali rappresentativi(LRVE). Questi LRVE cubici vengono utilizzati per definire le componenti di tensione edeformazione, e accoppiare le proprieta locali. Le caratteristiche del materiale vengonocosı ricavate, sfruttando le relazioni esistenti tra le componenti di tensione sulle superficidell’LRVE e le sue deformazioni. Comunque, a causa della natura anisotropa degli FGM,combinata alla loro scarsa disponibilita in forme adatte alla valutazione delle proprietamaccaniche e delle tensioni, lungo gli assi appropriati, la determinazione sperimantale diquesti parametri e molto difficile. Pertanto, il modello micromeccanico, che e stato svilup-pato per determinare le proprieta base degli FGM, sembra essere utile anche per l’analisielastica e plastica degli FGM, fornendo per di piu una formulazione molto semplice. Leequazioni sono accessibili, esplicite e possono essere risolte senza ulteriori assunzioni oparametri di adattamento. Tuttavia, questo modello presenta delle limitazioni. Infatti,nel caso di analisi elastica e soprattutto plastica, sono necessarie delle misure sperimen-tali aggiuntive delle tensioni residue e di un’analisi FEM, per giustificare l’applicazionedel modello. Un’altra importante limitazione giace nella particolare microstruttura deimateriali FGM (particelle immerse in una matrice): il modello non puo essere applicatoa materiali rinforzati con fibre o particelle con un elevato aspect ratio. Ovviamente peruna data microstruttura e sempre possibile riformulare le equazioni base, prendendo inconsiderazione l’orientamento degli strati, la disposizione delle fibre e la contiguita dellefasi [16].

1.3.3 Voronoi Cell Finite Element Method (VCFEM)

Un altro metodo utilizzato per determinare le proprieta elastiche effettive degli FGM,dipendenti dalla microstruttura (modulo di Young, rapporto di Poisson), e il VoronoiCell Finite Element Method (VCFEM). Prima di applicare il VCFEM agli FGM, la mi-crostruttura dell’FGM stesso deve essere idealizzata come segue: quando la frazione involume di uno dei due materiali presenti nell’FGM e bassa rispetto all’altra, consideriamoche la microstruttura sia costituita da particelle discrete inserite in una matrice continua;invece, nella regione in cui le frazioni in volume dei due materiali sono comparabili, sup-poniamo che la microstruttura sia composta da grappoli di materiale attorcigliati tra diloro. Inoltre, in entrambi i tipi di microstruttura, vengono introdotti dei vuoto per tenereconto della porosita dell’FGM. Applicazioni del VCFEM al Ni/MgO e al Ni3Al/TiC hanno

14


fornito valori delle proprieta elastiche effettive che sono in accordo con i risultati speri-mentali piu di quanto non lo fossero i valori ottenuti con i metodi comunemente utilizzati,ovvero il metodo dell’inclusione equivalente di Eshelby e il metodo self-consistent.

Figura 1.13. (a) Rappresentazione schematica della variazione nella microstruttura del-l’FGM: (b) e (d) microstruttura tipica a frazioni in volume basse dei due materiali; (c)

microstruttura tipica a frazioni in volume comparabili dei due materiali.

Pertanto, possiamo concludere che i metodi classici non si possono applicare agli FGMin cui la microstruttura varia in maniera continua attraverso il materiale. Inoltre, i difettidel metodo dell’inclusione equivalente e del metodo self-consistent sono particolarmentepronunciati nelle regioni dell’FGM in cui la microstruttura e costituita da grappoli di due opiu fasi intrecciati tra di loro. Infine, il metodo bidimensionale Voronoi viene utilizzato perquantificare piu realisticamente le interazioni tra le varie entita microstrutturali presentinell’FGM [17].

1.3.4 Stress waves

Un metodo, tipicamente utilizzato per esaminare le onde elastiche in piastre FGM eccitatetramite piccole onde di pressione piane, puo essere impiegato anche per la caratterizzazionedel materiale. Nell’applicare tale metodo, si deve innanzitutto suddividere la piastra inelementi linearmente disomogenei (LIE: linearly inhomogeneous element). Dopodicche, sideriva una soluzione generale per le equazioni del moto che governano questi elementi e,insieme alle condizioni al contorno e alle condizioni di continuita, la si usa per calcolaregli spostamenti e le tensioni nel dominio delle frequenze, per una piastra arbitraria FGM.La risposta della piastra alle onde di pressione viene ottenuta impiegando le tecniche ditrasformazione di Fourier. A questo punto, si possono trovare delle relazioni tra la rispostain superfice della piastra FGM, in termini di spostamento, e le proprieta meccaniche delmateriale. Queste relazioni possono essere utilizzate per caratterizzare il materiale di cuie costituita la piastra [18].

1.3.5 Modello micromeccanico stocastico

Infine e stato presentato un modello micromeccanico stocastico per prevedere in manieraprobabilistica le proprieta elastico-meccaniche di un FGM isotropo, soggetto a incertezze

15


Figura 1.14. Modello agli elementi omogenei. Modello LIE.

Figura 1.15. Relazione tra lo spostamento della superfice al top e la costante di gradientebc di una piastra FGM lineare

statistiche per quanto riguarda le proprieta dei materiali costituenti e le rispettive frazioniin volume. Il modello implica: una rappresentazione casuale, non gaussiana e non omo-genea delle frazioni in volume; una descrizione delle proprieta dei materiali costituentitramite variabili casuali; un modello Mori-Tanaka a tre fasi per la micromeccanica el’omogenizzazione; e un nuovo metodo di decomposizione dimensionale per ottenere i mo-menti statistici e le densita di probabilita delle proprieta effettive dell’FGM. I risultatiindicano che il modello stocastico sviluppato fornisce una rappresentazione accurata del-la variabilita nello spazio delle frazioni in volume e provvede a un’accurata descrizioneprobabilistica delle proprieta elastiche dell’FGM. Gli sforzi computazionali, richiesti dalleversioni univariabile e bivariabile del metodo di decomposizione, sono lineari e quadrati-ci rispetto al numero di variabili casuali coinvolte. Percio, il modello sviluppato e an-che computazionalmente efficente se paragonato al metodo Monte Carlo di simulazionediretta [19].

1.4 Possibili applicazioni

Gli FGM offrono grandi possibilita di applicazioni laddove le condizioni operative sonoparticolarmente severe. Ad esempio, possono essere utilizzati per realizzare ricoprimentiresistenti all’urto di grandi particelle minerali abrasive, scudi termici per i razzi, tubi perscambiatori di calore, generatori termoelettrici, componenti di macchine termiche, rives-timenti protettivi per reattori a fusione e giunti metallo/ceramico elettricamente isolanti.Essi sono anche ideali per minimizzare l’accoppiamento termomeccanico all’interfaccia

16


ceramico-metallo.Nella maggior parte delle applicazioni in condizioni estreme, l’ideale sarebbe l’utilizzodei cosiddetti “Bulk FGMs”: FGM con uno spessore che va dall’ordine del millimetro alcentimetro, e con un profilo di variazione continuo. Tuttavia i “Bulk FGMs” rimangonomeramente un’ipotesi. Non sono ancora stati sviluppati processi per realizzare questimateriali che siano commercialmente perseguibili e nonostante la letteratura scientificaabbondi in pubblicazioni relative alla modellizzazione delle ipotetiche proprieta dei BulkFGMs, i pochi metodi di fabbricazione proposti sinora, sono tecniche di laboratorio alta-mente specializzate e con elevati costi commerciali.Un FGM ceramico-metallo a basso costo sarebbe l’ideale per la realizzazione di ricopri-menti resistenti all’usura, da utilizzare nelle industrie di produzione dei minerali. Talemateriale presenta una superfice dura in ceramico sul lato esposto, una superfice resistentein metallo sull’altro lato, che puo essere imbullonato a una struttura di supporto, e inmezzo un materiale a composizione graduale, che va dal ceramico al metallo. Questagradualita migliora la resistenza del ceramico e previene la delaminazione tra ceramico emetallo.

17

Capitolo 2

Estensione dell’Unified Formulationai Functionally Graded Materials

In questo capitolo, innanzitutto, vengono presentate le caratteristiche geometriche dellestrutture bidimensionali multistrato che sono oggetto del nostro studio, ovvero piastree gusci. In particolare, ai fini della trattazione svolta in questa tesi, si evidenzia che lepiastre non sono altro che una degenerazione dei gusci, ottenuta annullando determinatiparametri. Successivamente, viene introdotta la Unified Formulation e da qui vengonospiegate le varie teorie bidimensionali in essa contenute, tra cui quelle che utilizzeremoper effettuare le nostre analisi, con le relative procedure di assemblaggio. Infine, vengonoforniti gli strumenti necessari (da inserire nel principio variazionale PVD) per ricavare,nel capitolo successivo, i nuclei fondamentali di piastre e gusci FGM nel caso meccani-co e termico. Essi sono: le relazioni geometriche, le relazioni costitutive e le proprietadel materiale. Poiche quest’ultime variano con z in maniera continua, vengono scritteutilizzando la UF, come pure si fa per lo spostamento e la temperatura.

2.1 Strutture bidimensionali multistrato

Per strutture multistrato si intendono piastre e gusci costituiti da piu strati sovrapposti, iquali in genere hanno proprieta meccaniche diverse. Le piastre sono elementi consideratibidimensionali in quanto una dimensione, lo spessore, risulta trascurabile rispetto allealtre due, misurate sulla superfice media di riferimento nel piano. I gusci sono anch’essistrutture bidimensionali, ma presentano dei raggi di curvatura finiti lungo due direzioninel piano.Per studiare tali elementi sono necessarie delle teorie che riducano il problema da tridi-mensionale a bidimensionale. Tale riduzione ’in un certo senso’ trasforma un problemache e definito in ogni punto (x,y,z) della piastra/guscio, in un problema che e definitoin ogni punto (x,y) della superfice di riferimento della stessa. E’ possibile seguire duediversi approcci per il raggiungimento di tale scopo: uno di tipo asintotico, l’altro di tipoassiomatico. Nelle teorie asintotiche si introduce un parametro indicativo dello spessore(ad esempio, il rapporto tra lo spessore e la lunghezza del guscio) e facendolo tendere azero, si cerca di capire il grado di approssimazione della relativa teoria bidimensionale.

18

2 – Estensione dell’Unified Formulation ai Functionally Graded Materials

Un vantaggio di queste teorie e che forniscono approssimazioni ’consistenti’, nel senso chetutti i termini che hanno lo stesso ordine di grandezza del parametro introdotto, vengonoconservati. Inoltre, al tendere del parametro a zero, ci si avvicina sempre piu alla soluzione3D (vedi fig. 2.3). Nelle teorie assiomatiche (quelle che noi useremo), invece, si cerca dicapire come alcune grandezze devono variare lungo lo spessore per soddisfare particolarirequisiti (ad esempio, una condizione di equilibrio fra tensioni di due stati adiacenti).In questo modo si puo costruire un modello matematico che presenta gli andamenti pre-visti di tali grandezze e che permette il calcolo delle quantita incognite (ad esempio, glispostamenti) partendo dai dati assegnati (ad esempio, i carichi gravanti sulla struttura).Seguendo questo modo di ragionare si comprende subito che, se si suppone l’assenza didelaminazioni, le quali provocherebbero delle discontinuita nelle variabili strutturali, glispostamenti secondo una direzione qualsiasi devono essere uguali all’interfaccia tra unostrato e quello immediatamente adiacente. Si parla allora di continuita lungo lo spessore,cioe lungo la direzione che di solito viene indicata con z, degli spostamenti. E’ importantesottolineare come le derivate lungo z di tali spostamenti debbano essere in generale dis-continue. Per comprenderne le motivazioni si consideri la figura 2.1, nella quale si mostrache le tensioni trasversali σzx, σzy e σzz devono essere uguali all’interfaccia tra due stratiadiacenti per ragioni di equilibrio.

layer k+1

layer k

sxx

k+1

syy

k+1

sxy

k+1

sxx

k

syy

k

sxy

k

¹

sxz

k+1

syz

k+1

szz

k+1

sxz

k

syz

k

szz

k

=

X

YZ

discontinuous continuous

Figura 2.1. Condizioni di equilibrio fra le tensioni all’interfaccia fra due strati

Le tensioni in uno strato sono legate tramite dei coefficienti, dipendenti dalle proprietameccaniche del materiale, alle derivate degli spostamenti. Siccome le proprieta mecca-niche sono in generale diverse fra due strati si deduce che le tensioni trasversali sono ugualisolo se le derivate degli spostamenti sono diverse. Naturalmente tutte le tensioni diverseda quelle trasversali, σxx, σyy e σxy, non necessariamente devono essere uguali.

19


Riepilogando, le tensioni trasversali e gli spostamenti devono essere funzioni continue lun-go z, mentre le derivate prime non devono essere continue in quanto e la fisica del problemaad imporre cio (vedi fig. 2.2). Tali condizioni prendono il nome di requisiti C0

z , ossia con-tinuita lungo z della funzione in questione (0 sta per derivata di ordine zero)[20]. Quindii modelli matematici che vedremo scaturiscono dal soddisfacimento di tale requisito, ilquale a sua volta proviene dall’aver imposto che non ci sia delaminazione fra uno strato el’altro. Questo spiega perche le teorie che vedremo sono di tipo assiomatico: esse derivanodall’imposizione di determinate condizioni.

In plane stresses Transverse stressesDisplacements

sxx s syy xyu u ux y z sxz s syz zz

x,y

z

x,y x,y

z z

Figura 2.2. Possibili andamenti lungo lo spessore delle tensioni e degli spostamenti

h/L

f

Assiomatico

Asinto

tico

Esatta3D

Figura 2.3. Possibili andamenti per una funzione f calcolata usando un approccio 2Drispetto alla soluzione esatta 3D

2.1.1 Sistemi di riferimento

Il sistema di riferimento adottato per la piastra e quello di figura 2.4. In esso si introduceuna superfice di riferimento Ω ed un sistema di assi cartesiani (x,y,z), in cui l’asse zrisulta perpendicolare al piano individuato dagli assi x e y. Il tutto si ripete per ognisingolo strato, contraddistinto dal pedice k. In figura 2.4 si mostra anche la definizionedella coordinata adimensionalizzata ζk. Si noti che al top del generico strato k si ha cheζk = 1, mentre al bottom ζk = −1.

Per quanto riguarda il guscio, invece, la geometria di riferimento e quella di figura2.5. Anche in questo caso si definisce: una superfice di riferimento Ω, questa volta curva;due coordinate definite sul piano individuato da tale superfice, anch’esse curvilinee, che

20


k=1

k=NL

k

x,y

z ,k k

z

W

Wk

x ,yk kz

0k

hk

z

a

b

h

x

yz

Figura 2.4. Geometria e sistema di riferimento per piastra multistrato

indichiamo con α e β; ed infine, la coordinata z perpendicolare in ogni punto alla superficedi riferimento. Come per la piastra il tutto si puo replicare per i vari strati tramitel’aggiunta di un pedice k.

α

βΩ

Ω

Ω

α β

Γ

Figura 2.5. Geometria e sistema di riferimento per guscio multistrato

2.1.2 Geometria del guscio

A questo punto, e opportuno definire le caratteristiche geometriche del guscio per poterscrivere le relazioni che seguiranno nei paragrafi successivi. La superfice di riferimento Ωk

del guscio e una superfice curva e sono curve anche le coordinate αk e βk a essa riferite.La terza coordinata e quella perpendicolare zk. In un sistema di coordinate curvilineeortogonali si hanno le seguenti relazioni:

21


ds2k = (Hk

α)2 dα2k + (Hk

β)2 dβ2k + (Hk

z )2 dz2k

dΩk = Hkα Hk

β dαk dβk (2.1)

dV = Hkα Hk

β Hkz dαk dβk dzk

in esse i coefficienti Hk valgono:

Hkα = Ak (1 +

zk

Rkα

)

Hkβ = Bk (1 +

zk

Rkβ

) (2.2)

Hkz = 1

Rkα e Rk

β sono i raggi di curvatura rispettivamente nelle direzioni di αk e βk. Ak e Bk

sono i coefficienti della prima forma fondamentale della superficie media di riferimento:per gusci a curvatura costante assumono valore unitario (Ak = Bk = 1).

Dalla figura 2.6 si puo vedere come, annullando una delle due curvature, la geometriadel guscio sferico degeneri in quella del guscio cilindrico; mentre, facendo tendere a infinitoentrambi i raggi di curvatura Rk

α e Rkβ, otteniamo la piastra. Infatti, Hk

α e Hkβ assumono

valore unitario e le espressioni di ds2k, dΩk e dV diventano esattamente quelle della piastra

nel sistema di riferimento cartesiano.

α

β

Ω

ab

x

y

z

1/Rα=1/Rβ=01/Rα=0

Figura 2.6. Guscio sferico; Guscio cilindrico; Piastra

2.2 Relazioni geometriche

2.2.1 Piastra

Le relazioni geometriche legano le deformazioni agli spostamenti. Nella trattazione chesegue si suppone che questi legami siano di tipo lineare (non consideriamo eventuali nonlinearita); inoltre, splittiamo le relazioni geometriche in un contributo nel piano e unofuori dal piano, cosı si ha [22]:

22


εkp = Dp uk (2.3)

εkn = Dn uk = (DnΩ + Dnz ) uk (2.4)

in esse uk indica il vettore degli spostamenti:

uk =

ukx

uky

ukz

(2.5)

mentre εkp e εk

n sono le deformazioni espresse nel sistema di riferimento della strutturae suddivise in componenti nel piano e componenti normali ad esso:

εkp =

[εkxx εk

yy εkxy

]T; εk

n =[

εkxz εk

yz εkzz

]T(2.6)

Le matrici presenti nelle 2.3 e 2.4 contengono degli operatori differenziali e sono cosıfatte:

Dp =

∂∂x

0 0

0 ∂∂y

0

∂∂y

∂∂x

0

; Dn =

∂∂z

0 ∂∂x

0 ∂∂z

∂∂y

0 0 ∂∂z

(2.7)

DnΩ =

0 0 ∂∂x

0 0 ∂∂y

0 0 0

; Dnz =

∂∂z

0 0

0 ∂∂z

0

0 0 ∂∂z

(2.8)

2.2.2 Guscio

Nel caso del guscio, le relazioni differenziali che legano le deformazioni agli spostamentisono profondamente diverse da quelle relative alla piastra, a causa della nascita di terminiche non sono operatori differenziali e che raccogliamo nelle matrici A. Pertanto, le relazionigeometriche sono [22]:

εkp = Dp uk + Ap uk

(2.9)

εkn = DnΩ uk + An uk + Dnz uk

23


dove

Dp =

∂αHk

α0 0

0 ∂βHk

β0

∂βHk

β

∂αHk

α0

; Ap =

0 0 1Hk

αRkα

0 0 1Hk

βRkβ

0 0 0

(2.10)

DnΩ =

0 0 ∂αHk

α

0 0 ∂βHk

β

0 0 0

; Dnz =

∂∂z

0 0

0 ∂∂z

0

0 0 ∂∂z

; An =

1Hk

α Rkα

0 0

0 1Hk

β Rkβ

0

0 0 0

(2.11)

2.3 Cos’e la Unified Formulation?

Nel caso di strutture multistrato bidimensionali, la Formulazione Unificata (UF), in-trodotta dal Prof. Carrera [21],[22], permette di ottenere un gran numero di modelli 2-Dche differiscono tra loro per l’ordine di espansione utilizzato in direzione dello spessore eper l’approccio con cui le variabili vengono modellizzate: Equivalent Single Layer (ESL)o Layer Wise (LW). La caratteristica saliente delle Formulazione Unificata e, appunto,la maniera unificata in cui le variabili e i campi considerati (spostamento, temperatura,materiale) possono essere trattati. In figura 2.7 e rappresentato un caso tipico di piastraFGM costituita da un solo strato di materiale. Ad esempio, la generica variabile a(x,y,z)e la relativa variazione δa(x,y,z) si possono scrivere come espansione lungo z, nel seguentemodo:

FULL METALLIC

FULL CERAMIC

Figura 2.7. Singolo strato di FGM

a(x,y,z) = Fτ aτ (x,y) δa(x,y,z) = Fs δas(x,y) con τ,s = 1,...,N (2.12)

dove:

24


• N e l’ordine di espansione in direzione dello spessore;

• a = (ax,ay,az) sono le tre componenti della variabile considerata nel punto P (x,y,z),rispetto all’opportuno sistema di riferimento (vedi per piastre e gusci le figure 2.4ed 2.5);

• aτ = (aτx,aτy,aτz) sono le variabili di prima, calcolate pero nel punto P (x,y) dellasuperfice di riferimento σ;

• Fτ sono opportune funzioni, introdotte a priori, che variano lungo z.

In una struttura multistrato, le funzioni Fτ,s di una determinata variabile possonoessere assunte per l’intera struttura e , in tal caso, si parla di approccio Equivalent SingleLayer (ESL); oppure, possono essere definite per il singolo strato e , allora, l’approccio eLayer Wise (LW). Nel primo caso, vengono utilizzati i polinomi di Taylor, nel secondo,combinazioni dei polinomi di Legendre.

2.3.1 Formulazione agli spostamenti (PVD)

In questa tesi presenteremo i modelli per piastre e gusci multistrato FGM basati sullaformulazione PVD, avente come variabili solo gli spostamenti. Il tutto sara scritto inmodo da non fare differenza fra la geometria della piastra (coordinate x,y,z) e quella delguscio (coordinate α,β,z).La teoria piu semplice basata sulla formulazione agli spostamenti e la CLT (ClassicalLamination Theory) [23]. Essa si basa sull’ipotesi di Kirchoff pertanto, si ha che, quandola piastra si inflette, i segmenti di spessore non si allungano e non si accorciano; inoltre, adeformazione avvenuta, essi si conservano rettilinei e perpendicolari alla superfice di rifer-imento. Tali ipotesi assiomatiche si traducono in relazioni matematiche: infatti, l’ipotesidi spessore costante diventa εzz = 0; mentre, l’ipotesi che la sezione resti piana e perpen-dicolare alla superfice di riferimento si trasforma nella condizione di scorrimento a taglionullo, ovvero γxz = γyz = 0. Quest’ultima ipotesi permette di scrivere le rotazioni attornoagli assi x ed y come derivate dello spostamento lungo z calcolate rispetto ad x ed y.Invece, l’ipotesi di spessore costante ci porta a dire che lo spostamento trasversale nonvaria con z, ma resta sempre quello della superfice di riferimento Ω. Il tutto si traducenel seguente modello agli spostamenti:

ux(x,y,z) = ux0(x,y)− z uz,x(x,y)

uy(x,y,z) = uy0(x,y)− z uz,y(x,y) (2.13)

uz(x,y,z) = uz0(x,y)

Un modello piu accurato e quello di Reissner-Mindlin in cui, rispetto alla CLT, vienemeno l’ipotesi di deformabilita a taglio nulla e, quindi, le rotazioni non sono piu sostituibili

25


con le derivate dello spostamento lungo z rispetto ad x ed y; tuttavia, si conserva l’ipotesiεzz = 0. Questa teoria viene detta FSDT (First order Shear Deformation Theory) [24],[25]ed e caratterizzata dal seguente modello agli spostamenti:

ux(x,y,z) = ux0(x,y) + z φx(x,y)

uy(x,y,z) = uy0(x,y) + z φy(x,y) (2.14)


Da queste, scaturiscono teorie di ordine superiore che sono le HSDT (High orderShear Deformation Theories), nelle quali aumenta l’ordine di espansione dei termini in z,che si trovano nelle componenti di spostamento u e v (non compaiono termini in z nellospostamento trasversale perche permane l’ipotesi di spessore costante e εzz = 0).Se invece, rimuoviamo quest’ultima ipotesi ed estendiamo lo sviluppo in z anche al-lo spostamento trasversale, otteniamo le teorie di ordine superiore vere e proprie chechiameremo HOT (High Order Theory)[21],[22].

2.3.2 Modelli ESL

In una teoria Equivalent Single Layer le variabili in questione, che nel caso PVD sono sologli spostamenti, non cambiano da strato a strato e, quindi, non e necessario il pedice k.Pertanto, in un modello al primo ordine si puo scrivere:

ux(x,y,z) = ux0(x,y) + z ux1(x,y)

uy(x,y,z) = uy0(x,y) + z uy1(x,y) (2.15)

uz(x,y,z) = uz0(x,y) + z uz1(x,y)

il pedice 0 indica valori riferiti alla superfice Ω. Tale modello acquista l’acronimoED1, dove E sta per ESL, D sta per formulazione agli spostamenti e 1 sta per primoordine di espansione in z. Il tutto si puo scrivere in forma compatta ponendo:

τ = 0,1; F0 = 1; F1 = z (2.16)

ed inoltre:

u = (ux,uy,uz); u0 = (ux0,uy0,uz0); u1 = (ux1,uy1,uz1) (2.17)

In forma compatta il modello agli spostamenti del primo ordine diventa:

u = F0 u0 + F1 u1 = Fτ uτ ; con τ = 0,1 (2.18)

Si puo osservare che, se dalla ED1 elimino in uz il termine lineare, ottengo la ED1d,coincidente con la FSDT, poiche con tale operazione ripristino l’ipotesi di εzz = 0.A partire dalla ED1, aumentando l’ordine di espansione in z, si ottengono le EDN: adesempio, la ED2 se arresto al secondo ordine lo sviluppo in z, la ED3 se sviluppo fino al

26


terzo ordine e cosı via. I modelli di ordine superiore si presentano, allora, nella seguenteforma:

ux(x,y,z) = ux0(x,y) + z ux1(x,y) + z2 ux2(x,y) + ..... + zN uxN(x,y)

uy(x,y,z) = uy0(x,y) + z uy1(x,y) + z2 uy2(x,y) + ..... + zN uyN(x,y) (2.19)

uz(x,y,z) = uz0(x,y) + z uz1(x,y) + z2 uz2(x,y) + ..... + zN uzN(x,y)

Come prima, scriviamo il tutto in forma compatta:

u = F0 u0 + F1 u1 + ..... + FN uN = Fτ uτ ; con τ = 0,1,2,...,N (2.20)

dove N e l’ordine di espansione e le Fτ valgono:

F0 = 1, F1 = z, F2 = z2, ......, FN = zN (2.21)

Quindi, riepilogando, queste teorie, dal primo ordine fino agli ordini superiori, siscrivono con gli acronimi: ED1, ED2, ED3,..., EDN. In figura 2.8 e rappresentata unapiastra costituita da uno strato FGM compreso tra due strati di materiale classico, in cuilo spostamento e stato approssimato con i modelli ED1 e ED3 [21],[22].

z

x, y

CLASSICAL LAYER C=cost


FGM LAYER

C = C(z)

ED3ED1

Figura 2.8. Struttura multistrato con uno strato interno in FGM: approssimazione dellospostamento con i modelli ESL

2.3.3 Funzione Zig-Zag di Murakami

La funzione di Murakami ci permette di introdurre l’effetto zig-zag negli spostamenti,rimanendo comunque nell’ambito della Equivalent Single Layer, senza bisogno di passaredalle teorie di tipo Layer Wise [26].Cosı, ad esempio, si scrive la FSDT con in piu la funzione zig-zag:

ux(x,y,z) = ux0(x,y) + z ux1(x,y) + (−1)k ζk uxZ

uy(x,y,z) = uy0(x,y) + z uy1(x,y) + (−1)k ζk uyZ (2.22)


27


Il pedice Z indica che e stata introdotta la funzione di Murakami, il cui significatorisulta chiaro dall’osservazione della figura 2.9. Si ha una coordinata adimensionale chevale ζk = 2zk/hk ed inoltre l’esponente k fa si che ζk cambi di segno ad ogni strato. Iltutto e un artificio per ottenere la discontinuita della derivata prima dello spostamento,cosa che le teorie ESL non permettono di fare, ma che invece risulta importante se si vuoleavere continuita degli sforzi trasversali lungo i vari strati.

CLASSICAL LAYER

CLASSICAL LAYER

FGM LAYER

CLASSICAL LAYER

CLASSICAL LAYER

FGM LAYER

Figura 2.9. Funzione di Murakami per caso lineare e cubico.

Ora il tutto si puo estendere al caso della ED1, che modificata con l’aggiunta dellafunzione di Murakami per i motivi sopra esposti diventa una EDZ1, dove Z sta perfunzione zig-zag [21],[22].

ux(x,y,z) = ux0(x,y) + z ux1(x,y) + (−1)k ζk uxZ

uy(x,y,z) = uy0(x,y) + z uy1(x,y) + (−1)k ζk uyZ (2.23)

uz(x,y,z) = uz0(x,y) + z uz1(x,y) + (−1)k ζk uzZ

poi si introducono le seguenti notazioni:

τ = 0,1,2; F0 = 1; F1 = z; F2 = FZ = (−1)k ζk (2.24)

e

u = (ux,uy,uz); u0 = (ux0,uy0,uz0); u1 = (ux1,uy1,uz1); uZ = (uxZ ,uyZ ,uzZ) (2.25)

in tal modo ecco la forma compatta:

u = u0 + (−1)kζk uZ + z u1 = Fτ uτ ; con τ = 0,1,Z (2.26)

Risulta chiaro che il tutto si puo estendere anche a modelli di ordine superiore cosı daavere EDZ2, EDZ3, ......, EDZN :

ux(x,y,z) = ux0 + z ux1 + z2 ux2 + ... + zN uxN(x,y) + (−1)k ζk uxZ

uy(x,y,z) = uy0 + z uy1 + z2 uy2 + ... + zN uyN(x,y) + (−1)k ζk uyZ (2.27)

uz(x,y,z) = uz0 + z uz1 + z2 uz2 + ... + zN uzN(x,y) + (−1)k ζk uzZ

28


Tutto cio in forma compatta si scriva come:

u = u0 + (−1)kζk uZ + zr ur = Fτ uτ ; con τ = 0,1,2,...,N,Z (2.28)

dove N e l’ordine di espansione, e quindi:

F0 = 1; F1 = z; F2 = z2; ......; FN = zN ; FZ = (−1)k ζk (2.29)

2.3.4 Modelli LW

Rimanendo sempre nell’ambito della formulazione agli spostamenti, si puo ora descriverela teoria Layer Wise [21],[22]. In essa la variabile u risulta essere diversa per ogni singolostrato; nasce cosı l’esigenza di imporre le condizioni di compatibilita ad ogni interfaccia.Se usiamo un ordine di espansione in z pari ad 1 si perviene alla LD1, qui il modello deglispostamenti e il seguente:

ukx(x,y,z) = uk

x0(x,y) + z ukx1(x,y)

uky(x,y,z) = uk

y0(x,y) + z uky1(x,y) (2.30)

ukz(x,y,z) = uk

z0(x,y) + z ukz1(x,y)

l’apice k e relativo a ciascun strato, e questa e la sostanziale differenza rispetto al modelloED1, in cui invece la variabile spostamento e relativa all’intero multistrato.Per avere le condizioni di compatibilita ad ogni interfaccia si potrebbero utilizzare i poli-nomi di Lagrange, ad essi si preferisce pero l’utilizzo dei polinomi di Legendre.Viene adottata la seguente espansione:

ukx = Ft uk

xt + Fb ukxb

uky = Ft uk

yt + Fb ukyb (2.31)

ukz = Ft uk

zt + Fb ukzb

i pedici t e b indicano i valori relativi rispettivamente alla parte superiore (top) ed inferiore(bottom) della superficie dello strato (layer) in questione. Le funzioni Fτ (ζk) dato unostrato generico k sono cosı definite:

Ft =P0 + P1

2; Fb =

P0 − P1

2(2.32)

dove Pj = Pj(ζk) e il polinomio di Legendre di ordine j definito nel dominio -1 ≤ ζk ≤ 1.

I polinomi di Legendre sono cosı fatti: P0 = 1, P1 = ζk, P2 =3ζ2

k−1

2, P3 =

5ζ3k

2− 3ζk

2, P4 =

35ζ4k

8− 15ζ2

k

4+ 3

8. Grazie alla scelta di questo tipo di polinomi le funzioni prima definite

hanno la seguente proprieta:

ζk =

1 : Ft = 1; Fb = 0; Fl = 0

−1 : Ft = 0; Fb = 1; Fl = 0,(2.33)

Cosı non ho bisogno di ulteriori equazioni per imporre le condizioni C0z . La formulazione

unificata risulta essere:

uk = Ft ukt + Fb uk

b = Fτ ukτ , con τ = t,b (2.34)

29


Questa teoria e nota con l’acronimo LD1 dove L sta per Layer Wise, D per formulazioneagli spostamenti (Displacement), ed 1 sta per primo ordine di espansione.Le teorie Layer Wise di ordine superiore sono cosı fatte:

ukx = Ft uk

xt + Fb ukxb + F2 uk

x2 + .. + FN ukxN

uky = Ft uk

yt + Fb ukyb + F2 uk

y2 + .. + FN ukyN (2.35)

ukz = Ft uk

zt + Fb ukzb + F2 uk

z2 + .. + FN ukzN

doveFl = Pl − Pl−2, con l = 2,3,...,N (2.36)

Cosı la formulazione unificata risulta essere:

uk = Ft ukt + Fb uk

b + Fl ukl = Fτ uk

τ con τ = t,b, l = 2,3,..,N (2.37)

Si hanno cosı gli acronimi LD2, LD3, LD4, ....., LDN , in funzione dell’ordine di espan-sione. In figura 2.10 e rappresentata una piastra costituita da uno strato FGM compresotra due strati di materiale classico, in cui lo spostamento e stato approssimato con imodelli LD1 e LD3 [21],[22].

z

x, y



FGM LAYER

C = C(z)

LD1-LM1LD3-LM3

Figura 2.10. Struttura multistrato con uno strato interno in FGM: approssimazionedello spostamento con i modelli LW

2.3.5 Assemblaggio

Le procedure di assemblaggio per i modelli ESL e LW, nel caso della struttura multistratovista sopra, sono indicate nelle figure 2.11 e 2.12 rispettivamente.

L’assemblaggio ESL e quello classico, utilizzato anche per la scrittura delle matricidi rigidezza nei metodi agli elementi finiti, con la differenza che qui viene sviluppatoin direzione dello spessore anzicche nel piano. Come si puo notare dalla figura 2.11,le matrici scritte per ciascun strato vengono semplicemente a sovrapporsi, come se sieffettuasse una media delle incognite sui vari strati. Nell’assemblaggio LW, invece, lematrici si sovrappongono solo in corrispondenza di alcuni elementi, in modo che il valoredell’incognita al bottom di uno strato venga a coincidere con il valore al top dello stratoadiacente, garantendo cosı la continuita. Per quest’ultimo motivo, spesso si preferisce

30


Figura 2.11. Esempio di procedura di assemblaggio nel caso di modello EquivalentSingle Layer; gli strati possono essere in materiale classico o FGM

Figura 2.12. Esempio di procedura di assemblaggio nel caso di modello Layer Wise; glistrati possono essere in materiale classico o FGM

il modello LW a quello ESL: nella visione Layer Wise, infatti, le incognite hanno unsignificato fisico piu immediato e spesso e conveniente conoscere direttamente i valoridelle variabili d’interesse al top e al bottom [21],[22].

31


2.4 Teorie usate

In questo lavoro verranno analizzate strutture bidimensionali (piastra o guscio) costituiteda un solo strato di materiale FGM e sottoposte a due differenti condizioni di carico:carico meccanico o carico termico, entrambi applicati al top della piastra.Nel caso di piastra/guscio con un singolo strato, non vi e alcuna differenza tra model-lo Equivalent Single Layer e Layer Wise: infatti, non e piu necessaria la procedura diassemblaggio multi-layer e di conseguenza le dimensioni del vettore degli spostamenti edella matrice K sono le stesse in entrambi i casi. Tuttavia, si vedra che nell’approssimareil profilo di temperatura (sempre con la UF) risultera piu comodo l’utilizzo del modelloLW in quanto ci permette di trattare direttamente con i valori di temperatura al top e albottom dello strato, dove si andra ad imporre il carico termico.L’ordine di espansione N , utilizzato in direzione dello spessore, deve essere lo stesso per glispostamenti e per la temperatura affinche si abbia a che fare sempre con matrici quadrate.Dai risultati ottenuti, si potra valutare che per approssimare con accuratezza gli sposta-menti basta un ordine di espansione N pari a 5,6; tuttavia, tale ordine di espansione none sufficiente per il profilo di temperatura che richiede almeno un N = 13,14. Pertanto, nelcaso di puro carico meccanico, ci si fermera ad N = 6 , mentre nel caso di carico termicosara necessario arrivare ad N = 14 per ottenere una buona corrispondenza tra i dati.Il principio variazionale da cui si deriveranno le equazioni di governo del problema termo-meccanico e il PVD (Principle of Virtual Displacement) in cui le sole incognite sono glispostamenti.Infine, ricordiamo che il modello proposto e in grado di descrivere strutture multistratosia in materiale classico che in FGM.

2.5 Applicazione della UF alle proprieta elastiche e

termiche degli FGMs

Negli strati FGM le proprieta elastiche e termiche variano in maniera continua in direzionedello spessore. Solitamente, la variazione delle proprieta elastiche e data in termini di fun-zioni polinomiali o/e esponenziali applicate alle costanti ingegneristiche come i moduli diYoung Ei, i moduli a taglio Gi, i Bulk moduli Bi e i coefficienti di Poisson υi o diretta-mente alle rigidezze del materiale Cij. Tuttavia, poiche in ogni punto della piastra/gusciosussiste una relazione ben precisa tra le costanti ingegneristiche e le rigidezze del mate-riale, viene trattato solo il secondo caso. Generalmente, la variazione della matrice dellerigidezze in direzione dello spessore puo essere descritta moltiplicando la generica costantedel materiale per una funzione di z come segue:

C(z) = C0 · f(z) (2.38)

La stessa variazione in direzione dello spessore puo essere supposta per i coefficientidi conduttivita termica Ki e i coefficenti di espansione termica αi:

32


K(z) = K0 · g(z) (2.39)

α(z) = α0 · h(z) (2.40)

I coefficienti di accoppiamento termomeccanico sono dati dalla seguente relazione:

λ(z) = C(z) · α(z) = C0 · α0 · m(z) (2.41)

La procedura non dipende dalle funzione di spessore f(z), g(z), h(z) e m(z) pertan-to, possono essere esaminati materiali con qualunque legge di variazione delle proprieta.A questo punto, applicando le idee che sono alla base della Formulazione Unificata, siscrivono le seguenti espansioni [27]:

C(z) = Fb(z) Cb + Fγ(z) Cγ + Ft(z) Ct = Fr Cr (2.42)

K(z) = Fb(z) Kb + Fγ(z) Kγ + Ft(z) Kt = Fr Kr (2.43)

α(z) = Fb(z) αb + Fγ(z) αγ + Ft(z) αt = Fr αr (2.44)

λ(z) = Fb(z) λb + Fγ(z) λγ + Ft(z) λt = Fr λr (2.45)

dove le funzioni di spessore Fr sono prese come nell’espansione LW:

Ft =P0 + P1

2Fb =

P0 − P1

2Fγ = Pγ − Pγ−2 with γ = 2, . . . ,Nr (2.46)

La figura 2.13 spiega la procedura di espansione vista sopra per la matrice dellerigidezze: lo stesso loop viene impiegato per tutte le proprieta del materiale (coefficientedi conduttivita termica, coefficiente di espansione termica, coefficiente di accoppiamentotermomeccanico).

I valori effettivi di C, K, α e λ vengono calcolati come somma pesata di Cr, Kr, αr eλr, rispettivamente. I pesi sono dati dalle funzioni di spessore Fr. L’ordine di espansioneNr puo essere scelto liberamente come per gli spostamenti, tuttavia, e opportuno prenderealmeno Nr = 10 per garantire l’accuratezza necessaria.Il metodo per inserire le rigidezze, i coefficienti di conduttivita termica, di espansionetermica e di accoppiamento termomeccanico, variabili con z, nel nostro modello richiede ilcalcolo dei vettori Cr, Kr, αr e λr. Per far questo, basta risolvere per ciascuna componenteCijr, Kijr, αijr e λijr un semplice sistema algebrico di ordine Nr. I valori effettivi delleproprieta in esame vengono valutati in Nr posizioni diverse lungo lo spessore (z1, . . . ,zNr)e si ottiene la seguente formula [27]:

(Cij,Ki,αi,λi)(z1)

...

(Cij,Ki,αi,λi)(zNr)

=

Fb(z1) · · · Fγ(z1) · · · Ft(z1)

......

...

Fb(zNr) · · · Fγ(zNr) · · · Ft(zNr)

Cijb,Kib,αib,λib...

Cijr,Kir,αir,λir...

Cijt,Kit,αit,λit

(2.47)

33


Figura 2.13. Schema di espansione per la matrice delle rigidezze C

Per conoscere la legge con cui le proprieta del materiale variano lungo lo spessore, siricorre alla Rule of Mixtures, in cui si assume che la frazione in volume dei costituenti siadistribuita in direzione z secondo una determinata legge di potenza (come gia visto nelcapitolo 1).

2.6 Equazioni costitutive

Nel caso di problemi termo-meccanici, le equazioni costitutive sono le seguenti [27]:

σkpC = σk

pd − σkpt = Ck

pp(z) εkpG + Ck

pn(z) εknG − λk

p(z) T k

σknC = σk

nd − σknt = Ck

np(z) εkpG + Ck

nn(z) εknG − λk

n(z) T k(2.48)

dove i pedici C e G indicano che le grandezze corrispondenti derivano da relazionicostitutive e geometriche, rispettivamente; mentre i pedici d e t stanno per meccanico etermico. I vettori σk

p , σkn, εk

p e εkn sono i seguenti:

σkp =

[σk

xx σkyy σk

xy

]T; σk

n =[

σkxz σk

yz σkzz

]T(2.49)

εkp =

[εkxx εk

yy εkxy

]T; εk

n =[

εkxz εk

yz εkzz

]T(2.50)

I coefficienti λkp(z) e λk

n(z) sono legati ai coefficienti di espansione termica αkp(z) e

αkn(z), tramite le relazioni:

34


λkp(z) = λk

pp(z) + λkpn(z) = Ck

pp(z) αkp(z) + Ck

pn(z) αkn(z)

λkn(z) = λk

np(z) + λknn(z) = Ck

np(z) αkp(z) + Ck

nn(z) αkn(z)

(2.51)

con:

Ckpp(z) =

C11(z) C12(z) C16(z)C12(z) C22(z) C26(z)C16(z) C26(z) C66(z)

Ck

pn(z) =

0 0 C13(z)0 0 C23(z)0 0 C36(z)

Cknp(z) =

0 0 00 0 0

C13(z) C23(z) C36(z)

Ck

nn(z) =

C55(z) C45(z) 0C45(z) C44(z) 0

0 0 C33(z)

(2.52)

I coefficienti di espansione termica e i coefficienti di accoppiamento termomeccanicosono:

αkp(z) =

α1(z)α2(z)α6(z)

αk

n(z) =

00

α3(z)

λk

p(z) =

λ1(z)λ2(z)λ6(z)

λk

n(z) =

00

λ3(z)

(2.53)

Estendendo la Formulazione Unificata alle piastre/gusci FGM, i coefficienti del mate-riale vengono modellizzati nel seguente modo:

(Ckpp(z),Ck

pn(z),Cknp(z),Ck

nn(z)) =Fr(z) (Ckppr,C

kpnr,C

knpr,C

knnr) (2.54)

(λkp(z),λk

n(z)) =Fr(z) (λkpr,λ

knr) (2.55)

con r = 1, . . . ,10.Pertanto, le equazioni costitutive (3.8) diventano:

σkpC = σk

pd − σkpt = Fr Ck

ppr εkpG + Fr Ck

pnr εknG − Fr λk

pr T k

σknC = σk

nd − σknt = Fr Ck

npr εkpG + Fr Ck

nnr εknG − Fr λk

nr T k(2.56)

2.6.1 Legge di Hooke

Poiche gli strati in materiale FGM presentano proprieta isotrope, in questa sezione vieneriportata la legge di Hooke, valida appunto per i materiali isotropi.Un materiale isotropo presenta infiniti piani di simmetria; cio comporta che il numero

35


di coefficienti indipendenti usati per esprimere la legge di Hooke siano soltanto due. Alsolito si focalizza l’attenzione sul generico strato k:

σkxx

σkyy

σkxy

σkxz

σkyz

σkzz

=

Ck11 Ck

12 0 0 0 Ck13

Ck12 Ck

22 0 0 0 Ck23

0 0 Ck66 0 0 0

0 0 0 Ck55 0 0

0 0 0 0 Ck44 0

Ck13 Ck

23 0 0 0 Ck33

εkxx

εkyy

εkxy

εkxz

εkyz

εkzz

(2.57)

i vari coefficienti della matrice possono essere espressi in funzione di due soli coefficientiindipendenti:

Ck11 = Ck

22 = Ck33 = λk + 2 µk

Ck12 = Ck

13 = Ck23 = λk

Ck44 = Ck

55 = Ck66 = µk

(2.58)

dove:µk ≡ Gk = Ek

2 (1+υk)

λk = υkEk

(1+υk)(1−2υk)

(2.59)

in cui µk e λk sono i coefficienti di Lame, Ek indica il modulo di Young, Gk e il modulodi elasticita trasversale, e υk il coefficiente di Poisson.E’ doveroso precisare che, in quest’ambito, la legge di Hooke viene utilizzata in manieraimpropria, in quanto essa e nata per descrivere i materiali che mantengono le loro proprietacostanti lungo tutto lo spessore mentre, come abbiamo visto, per i materiali FGM lamatrice delle rigidezze varia con z, quindi non sappiamo quanto tale legge sia adatta adescrivere il comportamento elastico di questi materiali. Ciononostante, nella presente tesisi continua ad utilizzare la legge di Hooke poiche l’obbiettivo del nostro lavoro e quellodi trovare un modello che simuli correttamente il modo di deformarsi di una strutturasoggetta a carico termico e/o meccanico, al di la delle caratteristiche di rigidezza delmateriale: se queste cambiano, i risultati forniti dal modello varieranno ma saranno pursempre corretti, in maniera coerente alla legge assunta.

36

Capitolo 3

Equazioni di governo per l’analisitermo-elastica di piastre e gusci inFGM

In questo capitolo, dopo una breve introduzione sul problema termo-elastico, vengonoderivate le equazioni di governo basate sul PVD (Principle of Virtual Displacements),nel caso di piastre e gusci FGM soggetti a carichi termici e/o meccanici esterni. Suc-cessivamente, sara sviluppata la soluzione in forma chiusa, considerando un particolaremateriale e determinate condizioni al contorno. La procedura permette di ottenere icosiddetti nuclei fondamentali, che sono semplici matrici, rappresentanti l’elemento baseda cui le matrici di rigidezza dell’intera struttura possono essere calcolate. Infine, vienetrattata piu approfonditamente la questione del profilo di temperatura da assumere nellostrato FGM e viene dato un riepilogo delle teorie che sono raggruppate nella FormulazioneUnificata.

3.1 Introduzione al problema termo-elastico

Esistono numerosi ed importanti problemi dell’ingegneria che richiedono l’analisi dellesollecitazioni di natura termica. Problemi di questo tipo emergono, ad esempio, nellostudio di componenti soggetti ad elevate temperature ambientali e a brusche variazionidella temperatura stessa e sono stati generalmente risolti, in passato, usando la teoriadisaccoppiata della termoelasticita.In tale approccio l’analisi e tradizionalmente condotta in due fasi: prima viene determi-nata la distribuzione della temperatura nel corpo ed, in seguito, tale distribuzione vieneusata per determinare la risposta del corpo, in termini di spostamento e sforzo, al gra-diente termico imposto e agli altri carichi applicati. In questa tesi si utilizza l’approcciodisaccoppiato, ovvero le equazioni di governo del problema vengono derivate dal PVD(Principle of Virtual Dispacements), che tiene conto della temperatura solo come caricoesterno. Una teoria di questo tipo non comporta significativi errori nel caso di materialitradizionali e se si parla di strutture bidimensionali molto sottili l’assumere un profilo ditemperatura lineare lungo lo spessore diventa una approssimazione abbastanza realistica.

37

3 – Equazioni di governo per l’analisi termo-elastica di piastre e gusci in FGM

Tuttavia, per migliorare i risultati, anzicche assumere il profilo di temperatura, lo si puoricavare utilizzando la legge di Fourier e andando ad imporre il carico termico esclusiva-mente al top e al bottom della piastra/guscio. In seguito, questa procedura verra spiegatapiu approfonditamente.Nel caso di materiali ad alte prestazioni come i compositi e gli FGM, invece, una teoriadisaccoppiata pone delle limitazioni. In tali casi sarebbe piu opportuno adottare un ap-proccio accoppiato al problema termo-elastico. In esso si tiene conto del fatto che in uncorpo puo esservi produzione di calore a seguito del processo di deformazione e, quindi, icampi della temperatura e delle deformazioni sono considerati come mutuamente intera-genti. Inoltre, in una teoria accoppiata la temperatura viene vista come un’incognita alpari dello spostamento: cio comporta una scrittura del principio variazionale differente daquella da noi utilizzata, in cui la temperatura compare sotto forma di variazione virtuale,come accade per lo spostamento.L’importanza di studiare il problema termo-elastico per i materiali FGM, si e mostratagia nel momento in cui essi sono nati. Infatti, negli anni ’80 il Giappone, per primo,avanzo il concetto di Functionally Graded Materials nell’ambito delle barriere termicheprotettive e sono, comunque, molte le applicazioni ingegneristiche che vedono oggi i ma-teriali FGM soggetti a carichi termici molto elevati. Come gia detto sopra, questo lavorosi limita ad una trattazione disaccoppiata del problema termoelastico di piastre e gusciFGM; ciononostante, si vedra che i risultati ottenuti presentano una certa accuratezza,grazie anche all’estensione della Formulazione Unificata al profilo di temperatura.

3.2 PVD (Principle of Virtual Displacements)

A questo punto, l’unico strumento che manca, per poter scrivere le equazioni di governoper piastre e gusci FGM soggetti a carichi termici e/o meccanici esterni, e il principiovariazionale PVD. Nella formulazione agli spostamenti viene assunta come unica incognitail vettore degli spostamenti, cosı per esso viene introdotta un’opportuna espansione lungoz:

u = Fτ uτ (3.1)

in essa si ha:

u = (ux,uy,uz), ossia le tre componenti dello spostamento del punto P (x,y,z) rispettoall’opportuno sistema di riferimento cartesiano, vedi per piastre e gusci le figure 2.4e 2.5.

uτ = (uτx,uτy,uτz), sono variabili dello spostamento lungo la superficie di riferimento Ωdel punto PΩ(x,y,z).

Fτ sono opportune funzioni introdotte, che variano con z. L’ordine dell’espansione, cosıcome la scelta delle funzioni base per costruire le funzioni Fτ , sono completamente libere.Riportiamo, innanzitutto, l’espressione generale del principio variazionale PVD:

∫

V

δLi = δLe (3.2)

38


Se consideriamo una piastra o guscio multistrato con Nl strati, alcuni dei quali possonoessere strati FGM, il PVD, per il caso termo-meccanico, si scrive [27]:

Nl∑

k=1

∫

Ωk

∫

Ak

δεk

pG

Tσk

pC + δεknG

Tσk

nC

dΩkdz =

Nl∑

k=1

δLke (3.3)

dove Ωk e Ak sono i domini di integrazione nel piano (x,y) e in direzione z, rispetti-vamente. k indica lo strato e T il trasposto di un vettore. δLk

e e il lavoro esterno per lostrato k − esimo. I pedici G e C stanno ad indicare che le grandezze a cui sono riferitederivano le prime da relazioni geometriche, le altre da relazioni costitutive. σpC e σnC

contengono i contributi meccanici (d) e termici (t), cosı si ha:

Nl∑

k=1

∫

Ωk

∫

Ak

δεk

pG

T(σk

pd − σkpt) + δεk

nG

T(σk

nd − σknt)

dΩkdz =

Nl∑

k=1

δLke (3.4)

I passi successivi per ottenere le equazioni di governo sono:

• Sostituzione delle relazioni geometriche (pedice G);

• Sostituzione delle equazioni costitutive appropriate (pedice C);

• Introduzione della Formulazione Unificata (vedi Capitolo 2).

3.2.1 Unified Formulation

Visto che utilizzeremo la formulazione agli spostamenti (PVD), per ora risulta utile vederela formulazione unificata per quanto concerne gli spostamenti. Cosı si ha:

u = Ftut + Flul + Fbub = Fτuτ (3.5)

dove τ = t,b,l e l = 1,2, . . . ,N

Inoltre, la UF e stata applicata alle proprieta elastiche e termiche del materiale, percui i coefficenti del materiale vengono modellizzati nel seguente modo:

(Ckpp(z),Ck

pn(z),Cknp(z),Ck

nn(z)) =Fr(z) (Ckppr,C

kpnr,C

knpr,C

knnr) (3.6)

(λkp(z),λk

n(z)) =Fr(z) (λkpr,λ

knr) (3.7)

con r = 1, . . . ,10 [27].Il tutto e stato ampiamente trattato nel Capitolo 2, ricordiamo quindi solo il significatodei vari simboli.Il campo degli spostamenti e indicato come u(x,y,z) = (ux,uy,uz), esso e espresso come uncerto numero di variabili di spostamento uτ (x,y) sulla superficie di riferimento combinatecon delle funzioni Fτ dipendenti dalla sola coordinata z. L’indice τ puo assumere i valori t,l e b dove l e pari ad uno se la distribuzione e di tipo lineare. Analogamente, i coefficientidel materiale sono espressi come Ck(z) = Fr(z)Ck

r e λk(z) = Fr(z)λkr , ovvero come somma

di un certo numero di costanti moltiplicate per le Fr che sono funzioni di z [27],[28].

39


3.2.2 Equazioni costitutive

Il comportamento del materiale verra descritto tramite la legge di Hooke, la quale lega glisforzi σ alle deformazioni ε mediante la matrice elastica C. Inoltre, nelle equazioni cos-titutive relative al problema termoelastico le tensioni sono legate anche alla temperaturaT mediante il vettore λ [27]:

σkpC = σk

pd − σkpt = Ck

pp(z) εkpG + Ck

pn(z) εknG − λk

p(z) T k

σknC = σk

nd − σknt = Ck

np(z) εkpG + Ck

nn(z) εknG − λk

n(z) T k(3.8)

dove i vettori σkp , σk

n, εkp e εk

n sono i seguenti:

σkp =

[σk

xx σkyy σk

xy

]T; σk

n =[

σkxz σk

yz σkzz

]T(3.9)

εkp =

[εkxx εk

yy εkxy

]T; εk

n =[

εkxz εk

yz εkzz

]T(3.10)

e i coefficienti λkp(z) e λk

n(z) sono legati ai coefficienti di espansione termica αkp(z) e

αkn(z), tramite le relazioni [27]:

λkp(z) = λk

pp(z) + λkpn(z) = Ck

pp(z) αkp(z) + Ck

pn(z) αkn(z)

λkn(z) = λk

np(z) + λknn(z) = Ck

np(z) αkp(z) + Ck

nn(z) αkn(z)

(3.11)

con:

Ckpp(z) =

C11(z) C12(z) C16(z)C12(z) C22(z) C26(z)C16(z) C26(z) C66(z)

Ck

pn(z) =

0 0 C13(z)0 0 C23(z)0 0 C36(z)

Cknp(z) =

0 0 00 0 0

C13(z) C23(z) C36(z)

Ck

nn(z) =

C55(z) C45(z) 0C45(z) C44(z) 0

0 0 C33(z)

(3.12)

I coefficienti di espansione termica e i coefficienti di accoppiamento termomeccanicosono:

αkp(z) =

α1(z)α2(z)α6(z)

αk

n(z) =

00

α3(z)

λk

p(z) =

λ1(z)λ2(z)λ6(z)

λk

n(z) =

00

λ3(z)

(3.13)

40


Estendendo la Formulazione Unificata a piastre e gusci FGM, le equazioni costitutivediventano:

σkpC = σk

pd − σkpt = Fr Ck

ppr εkpG + Fr Ck

pnr εknG − Fr λk

pr T k

σknC = σk

nd − σknt = Fr Ck

npr εkpG + Fr Ck

nnr εknG − Fr λk

nr T k(3.14)

Ricordiamo che il tutto viene spiegato piu dettagliatamente nel Capitolo 2.

3.2.3 Relazioni geometriche

Si riprendono le relazioni esistenti tra le deformazioni ε e gli spostamenti u. Anche ora,il tutto viene splittato in componenti nel piano (p) e componenti normali ad esso (n),quindi per il caso piastra si ha:

εkp = Dp uk

(3.15)

εkn = DnΩ uk + Dnz uk

Le matrici Dp e Dn contengono gli operatori differenziali:

Dp =

∂∂x

0 0

0 ∂∂y

0

∂∂y

∂∂x

0

; Dn =

∂∂z

0 ∂∂x

0 ∂∂z

∂∂y

0 0 ∂∂z

(3.16)

DnΩ =

0 0 ∂∂x

0 0 ∂∂y

0 0 0

; Dnz =

∂∂z

0 0

0 ∂∂z

0

0 0 ∂∂z

(3.17)

Mentre, nel caso guscio si ha:

εkp = Dp uk + Ap uk

(3.18)

εkn = DnΩ uk + An uk + Dnz uk

dove

Dp =

∂αHk

α0 0

0 ∂βHk

β0

∂βHk

β

∂αHk

α0

; Ap =

0 0 1Hk

αRkα

0 0 1Hk

βRkβ

0 0 0

(3.19)

41


DnΩ =

0 0 ∂αHk

α

0 0 ∂βHk

β

0 0 0

; Dnz =

∂∂z

0 0

0 ∂∂z

0

0 0 ∂∂z

; An =

1Hk

α Rkα

0 0

0 1Hk

β Rkβ

0

0 0 0

(3.20)

Per maggiori dettagli vedi Capitolo 2 e [27].

3.3 Equazioni di governo

In questo paragrafo, sfruttando le relazioni geometriche e le equazioni costitutive viste nelparagrafo precedente, si passera dall’espressione generale del principio variazionale PVDalle equazioni differenziali di equilibrio vere e proprie, scritte in termini di spostamentoe temperatura. Da esse, tramite alcuni passaggi matematici, sara possibile ottenere leequazioni di governo, nonche i nuclei fondamentali. Tale procedura sara applicata peri gusci e per le piastre, evidenziando che, per ottenere le equazioni relative alle piastre,bastera annullare alcuni parametri [29].

3.3.1 Equazioni differenziali di equilibrio

Guscio

Sostituendo le relazioni geometriche valide per il guscio (3.18) e le equazioni costitutive(3.14) nell’espressione del principio variazionale (3.3), si ottiene per lo strato k-esimo:

∫

Ωk

∫

Ak

[((Dk

p + Akp) δuk)T (FrC

kppr(D

kp + Ak

p) uk + FrCkpnr(D

knΩ + Dk

nz −Akn)uk − Frλ

kprT

k)

+ ((DknΩ + Dk

nz −Akn)δuk)T (FrC

knpr(D

kp + Ak

p) uk + FrCknnr(D

knΩ + Dk

nz −Akn)uk

− FrλknrT

k)]dΩkdz = δLk

e

(3.21)

Ricordando che, grazie alla UF, le componenti di spostamento si scrivono:

(ux,uy,uz) = Fτ (uxτ ,uyτ ,uzτ ); (δux,δuy,δuz) = Fs (δuxs,δuys,δuzs) (3.22)

e la temperatura:

T k(x,y,z) = Fτ θkτ (3.23)

con τ,s = t,b,l e l = 2, . . . ,14si ottiene l’equazione differenziale:

42


∫

Ωk

∫

Ak

[((Dk

p + Akp) F sδu

ks)

T (F rCkppr(D

kp + Ak

p) F τukτ

+ F rCkpnr(D

knΩ + Dk

nz −Akn)F τu

kτ − Frλ

kprF τθ

kτ )

+ ((DknΩ + Dk

nz −Akn)F sδu

ks)

T (F rCknpr(D

kp + Ak

p) F τukτ

+ F rCknnr(D

knΩ + Dk

nz −Akn)F τu

kτ − F rλ

knrF τθ

kτ )

]dΩkdz = δLk

e

(3.24)

Piastra

Come prima, sostituendo le relazioni geometriche valide ora per la piastra (3.15) e leequazioni costitutive (3.14) nell’espressione del principio variazionale (3.3), si ottiene perlo strato k-esimo:

∫

Ωk

∫

Ak

[(Dp δuk)T (Ck

ppDp uk + Ckpn(DnΩ + Dnz)u

k − λkpT

k)

+ ((DnΩ + Dnz)δuk)T (Ck

npDp uk + Cknn(DnΩ + Dnz)u

k − λknT

k)]dΩkdz = δLk

e

(3.25)

Si vede che, per ottenere le suddette equazioni, basta semplicemente non considerarele matrici A nella corrispondente equazione del guscio (le quali tengono conto delle cur-vature). E’ stato gia discusso, invece, che le equazioni costitutive sono le stesse sia per lapiastra che per il guscio, pertanto non vi e alcuna differenza nei relativi termini.Estendendo la Formulazione Unificata agli spostamenti e alla temperatura, la (3.31)diventa:

∫

Ωk

∫

Ak

[(Dp Fsδu

ks)

T (FrCkpprDp Fτu

kτ + FrC

kpnr(DnΩ + Dnz)Fτu

kτ − Frλ

kprFτθ

kτ ) (3.26)

+ ((DnΩ + Dnz)Fsδuks)

T (FrCknprDp Fτu

kτ + FrC

knnr(DnΩ + Dnz)Fτu

kτ

− FrλknrFτθ

kτ )

]dΩkdz = δLk

e (3.27)

La differenza tra quest’equazione differenziale e quella relativa al guscio e sempre lastessa, ovvero, qui mancano le matrici A.A questo punto, lo step mancante per la scrittura delle equazioni di governo e l’integrazioneper parti.

3.3.2 Integrazione per parti

L’integrazione per parti e necessaria per ottenere la soluzione in forma chiusa delleequazioni differenziali sul dominio Ωk e le condizioni al contorno di tipo Neumann sul

43


bordo Γk. Data una generica variabile ak, la formula dell’integrazione per parti, validaper ogni singolo strato, e la seguente:

∫

Ωk

((DΩ)δak

)TakdΩk = −

∫

Ωk

δakT ((DT

Ω)ak)dΩk +

∫

Γk

δakT ((IΩ)ak

)dΓk (3.28)

dove Ω = p,np.Ricordando che dΩk = Hk

α Hkβ dαk dβk e applicando la suddetta formula all’equazione

differenziale di equilibrio per il guscio, si ottiene:

∫

Ωk

∫

Ak

( δuks)

T[((−Dk

p + Akp

)T (Ck

ppr(Dkp + Ak

p) + Ckpnr(D

knΩ + Dk

nz −Akn)

)

+(−Dk

nΩ + Dknz −Ak

n

)T (Ck

npr(Dkp + Ak

p)

+ Cknnr(D

knΩ + Dk

nz −Akn)

))F τF sF ru

kτ

]Hk

α Hkβ dαk dβkdz

+

∫

Ωk

∫

Ak

(δuks)

T[((−Dk

p + Akp

)T(−λk

pr)

+(−Dk

nΩ + Dknz −Ak

n

)T(−λk

nr))F τF sF rθ

kτ

]Hk

α Hkβ dαk dβkdz

+

∫

Ωk

∫

Ak

( δuks)

T[(

IkTp

(Ck

ppr(Dkp + Ak

p) + Ckpnr(D

knΩ + Dk

nz −Akn)

)

+ IkTnp

(Ck

npr(Dkp + Ak

p) + Cknnr(D

knΩ + Dk

nz −Akn)

))F τF sF ru

kτ

]Hk

α Hkβ dαk dβkdz

+

∫

Ωk

∫

Ak

(δuks)

T[(

IkTp (−λk

pr) + IkTnp (−λk

nr))F τF sF rθ

kτ

]Hk

α Hkβ dαk dβkdz = δLk

e

(3.29)

con:

Ikp =

1Hk

α0 0

0 1Hk

β0

1Hk

β

1Hk

α0

, Ik

np =

0 0 1

Hkα

0 0 1Hk

β

0 0 0

. (3.30)

Se invece si effettua l’integrazione per parti nel caso della piastra, si ha:

44


∫

Ωk

∫

Ak

( δuks)

T[((−Dk

p

)T (Ck

ppr(Dkp) + Ck

pnr(DknΩ + Dk

nz

)

+(−Dk

nΩ + Dknz

)T (Ck

npr(Dkp) + Ck

nnr(DknΩ + Dk

nz)))

F τF sF rukτ

]dxdydz

+

∫

Ωk

∫

Ak

(δuks)

T[((−Dk

p

)T(−λk

pr) +(−Dk

nΩ + Dknz

)T(−λk

nr))F τF sF rθ

kτ

]dxdydz

+

∫

Ωk

∫

Ak

( δuks)

T[(

IkTp

(Ck

ppr(Dkp) + Ck

pnr(DknΩ + Dk

nz))

+ IkTnp

(Ck

npr(Dkp) + Ck

nnr(DknΩ + Dk

nz)))

F τF sF rukτ

]dxdydz

+

∫

Ωk

∫

Ak

(δuks)

T[(

IkTp (−λk

pr) + IkTnp (−λk

nr))F τF sF rθ

kτ

]dxdydz = δLk

e

(3.31)

con:

Ikp =

1 0 00 1 01 1 0

, Ik

np =

0 0 10 0 10 0 0

. (3.32)

Pertanto, si puo notare che le matrici I hanno cambiato forma e che non compaionopiu le matrici A. Questo si spiega ricordando la definizione di Hk

α e Hkβ :

Hkα = Ak (1 +

zk

Rkα

)

Hkβ = Bk (1 +

zk

Rkβ

) (3.33)

poiche Ak e Bk sono di valore unitario per gusci a curvatura costante, se i raggi dicurvatura vanno a infinito (come accade per la piastra), Hk

α e Hkβ assumono anch’essi

valore unitario; di conseguenza, le matrici I presentano solo 1. Inoltre, se i raggi dicurvatura Rk

α e Rkβ tendono a infinito, tutti gli elementi delle matrici A vanno a zero (vedi

le 3.19 e 3.20)

3.3.3 Equazioni di governo

Una volta effettuata l’integrazione per parti, e possibile ottenere i nuclei fondamentali perconfronto tra le equazioni differenziali di equilibrio e le equazioni di governo. Quest’ultime,nel caso di piastra o guscio multistrato FGM, soggetta/o a carico termico e/o meccanico,si presentano nella forma:

45


δuks

T: Kkτsr

uu ukτ = Kkτsr

uθ θkτ + P k

uτ (3.34)

con relative condizioni al contorno sul bordo Γk:

Πkτsd uk

τ − Πkτst θk

τ = Πkτsd uk

τ − Πkτst θk

τ , (3.35)

dove (Kkτsruθ θk

τ ) e il carico termico e P kuτ e il carico meccanico esterno; insieme costi-

tuiscono il carico totale agente sulla struttura: se consideriamo θkτ = 0 e applicato solo

il carico meccanico; se, invece, P kuτ = 0 si ha solo carico termico. Si ricordi che, poiche

si sta effettuando una trattazione disaccoppiata del problema termoelastico, questi duecarichi sono indipendenti tra di loro e, per com’e costruito il modello, essi possono essereapplicati contemporaneamente o in modo separato.I nuclei fondamentali Kkτsr

uu e Kkτsruθ devono essere assemblati effettuando un’espansione

sugli indici k, τ , s ed r. Come si e gia detto, nel caso di presenza di strati FGM e nec-essario un loop interno sull’indice r che tenga conto della variazione delle proprieta delmateriale in direzione dello spessore; tramite τ ed s, invece, consideriamo l’espansione inz delle variabili in gioco e con k si effettua l’assemblaggio sul numero di strati.Si noti che, per la forma qui presentata, le equazioni di governo non posseggono alcunelemento che faccia la differenza tra il caso piastra e il caso guscio. In realta, quello checambia sono i nuclei fondamentali, ma di questo si parlera dettagliatamente nei paragrafisuccessivi.

3.4 Soluzione in forma chiusa

In questo paragrafo si ricava la soluzione in forma chiusa del problema termoelastico di pi-astre e gusci FGM, mediante il metodo di Navier. Poiche non e sempre possibile ottenereuna soluzione forte alle equazioni differenziali, se non per casi particolari, innanzituttovengono menzionate le ipotesi adottate, relative alla geometria della struttura, alle con-dizioni al contorno e al materiale. Dopodicche, viene esposta la procedura secondo Navierper ottenere la soluzione in forma chiusa alle equazioni differenziali.

3.4.1 Ipotesi

Le ipotesi adottate sono le seguenti:

• La piastra o guscio deve avere sezione in pianta rettangolare;

• La struttura deve essere semplicemente appoggiata in modo che, cercando la soluzionein forma bisinusoidale, le condizioni al contorno siano automaticamente soddisfatte;

• Alcuni coefficienti di elasticita del materiale devono essere nulli, ovvero:

Cpp16 = Cpp26 = Cpn63 = Cpn36 = Cnn45 = λp6 = 0

(3.36)

46


La ragione per cui quest’ultima condizione debba essere soddisfatta non viene quiriportata, ma basti sapere che, se cosı non fosse, non sarebbe possibile semplificare alcunitermini che impediscono di giungere alla soluzione forte.

3.4.2 Metodo di Navier

La soluzione in forma chiusa di tipo Navier viene ricercata esprimendo le componenti dispostamento e la temperatuta sotto forma di armoniche. Le relazioni che si ottengonosono le seguenti:

ukxτ

=∑m,n

(Ukxτ

) cos

(mπxk

ak

)sin

(nπyk

bk

)k = 1,Nl

ukyτ

=∑m,n

(Ukyτ

) sin

(mπxk

ak

)cos

(nπyk

bk

)τ = t,b,r

ukzτ

=∑m,n

(Ukzτ

) sin

(mπxk

ak

)sin

(nπyk

bk

)r = 2,N

θkτ =

∑m,n

(θkτ ) sin

(mπxk

ak

)sin

(nπyk

bk

)

(3.37)

dove Ukxτ

, Ukyτ

, Ukzτ

e θkτ sono le ampiezze, m ed n i numeri d’onda (essi vanno da

zero a infinito), ak e bk le dimensioni della piastra/guscio. Operando in questo modo,le equazioni di governo (3.34) diventano un sistema di equazioni algebriche, lineare. Laforma esplicita dei nuclei fondamentali sara data nel paragrafo successivo.Si noti che, nel caso di guscio, le coordinate x ed y corrispondono alle coordinate curvilineeα e β; tuttavia, si lasciano indicate come x ed y per non confonderli con i gli argomentidei seni e coseni.

3.5 Nuclei fondamentali

3.5.1 Guscio

E’ possibile trovare una prima espressione generale dei nuclei fondamentali, nel caso guscio,andando a confrontare l’equazione differenziale di equilibrio (3.29) con l’equazione digoverno (3.34) e le condizioni al contorno (3.35):

47


Kkτsuu =

∫

Ak

[(−Dks

p + Aksp

)T (Ck

ppr(Dkτp + Akτ

p ) + Ckpnr(D

kτnΩ + Dkτ

nz −Akτn )

)+ (3.38)

(−Dks

nΩ + Dksnz −Aks

n

)T (Ck

npr(Dkτp + Akτ

p ) + Cknnr·

(DkτnΩ + Dkτ

nz −Akτn )

)]FrFsFτH

kαHk

βdz ,

Kkτsuθ =

∫

Ak

[(−Dks

p + Aksp

)T (− λk

pr

)+

(−Dks

nΩ + Dksnz −Aks

n

)T

· (3.39)

(− λk

nr

)]FrFsFτH

kαHk

βdz ,

Πkτsd =

∫

Ak

[IkT

p

(Ck

ppr(Dkτp + Akτ

p ) + Ckpnr(D

kτnΩ + Dkτ

nz −Akτn )

)+ (3.40)

IkTnp

(Ck

npr(Dkτp + Akτ

p ) + Cknnr(D

kτnΩ + Dkτ

nz −Akτn )

)]FrFsFτH

kαHk

βdz ,

Πkτst =

∫

Ak

[IkT

p

(− λk

pr

)+ IkT

np

(− λk

nr

)]FrFsFτH

kαHk

βdz , (3.41)

Invece, ricordando che:

Ckppr =

Ck11 Ck

12 Ck16

Ck12 Ck

22 Ck26

Ck16 Ck

26 Ck66

Ck

pnr =

0 0 Ck13

0 0 Ck23

0 0 Ck36

Cknpr =

0 0 00 0 0

Ck13 Ck

23 Ck36

Ck

nnr =

Ck55 Ck

45 0Ck

45 Ck44 0

0 0 Ck33

(3.42)

e:

λkpr =

λkp1

λkp2

λkp3

λk

nr =

00

λkn3

(3.43)

e applicando l’ipotesi sul materiale (Cpp16 = Cpp26 = Cpn63 = Cpn36 = Cnn45 = λp6 =0), l’espressione esplicita dei nuclei fondamentali, ottenuti nel caso della soluzione in formachiusa vista sopra, e la seguente:

48


• Kuu

Kuu11 = Ck55J

kτzszrαβ +

1

Rkα

Ck55(−Jkτzsr

β − Jkτszrβ +

1

Rkα

Jkτsrβ/α ) + Ck

11Jkτsrβ/α α2 + Ck

66Jkτsrα/β β2

Kuu12 = Jkτsrαβ(Ck12 + Ck

66) = Kuu21

Kuu13 = Ck55(J

kτzsrβ α− 1

Rkα

Jkτsrβ/α α)− Ck

13Jkτszrβ α− 1

Rkα

Ck11J

kτsrβ/α α− Ck

12Jkτsrα

1

Rkβ

Kuu22 = Ck44J

kτzszrαβ +

1

Rkβ

Ck44(−Jkτzsr

α − Jkτszrα +

1

Rkβ

Jkτsrα/β ) + Ck

22Jkτsrα/β β2 + Ck

66Jkτsrβ/α α2

Kuu23 = Ck44(J

kτzsrα β − 1

Rkβ

Jkτsrα/β β)− Ck

23Jkτszrα β − 1

Rkβ

Ck22J

kτsrα/β β − 1

Rkα

Ck12J

kτsrβ

Kuu31 = Ck55J

kτszrβ α− Ck

55

1

Rkα

Jkτsrβ/α α− Ck

13Jkτzsrβ α− 1

Rkα

Ck11J

kτsrβ/α α− 1

Rkβ

Ck12J

kτsrα

Kuu32 = Ck44(J

kτszrα β − 1

Rkβ

Jkτsrα/β β)− Ck

23Jkτzsrα β − 1

Rkβ

Ck22J

kτsrα/β β − 1

Rkα

Ck12J

kτsrβ

Kuu33 = Ck55J

kτsrβ/α α2 + Ck

44Jkτsrα/β β2 + Ck

33Jkτzszrαβ +

1

Rkα

(1

Rkα

Ck11J

kτsrβ/α + Ck

13Jkτszrβ + Ck

13Jkτzsrβ )

+2

RkαRk

β

JkτsrCk12 +

1

Rkβ

(1

Rkβ

Ck22J

kτsrα/β + Ck

23Jkτzsrα + Ck

23Jkτszrα )

• Kuθ

Kuθ1 = αJkτsrβ λk

p1

Kuθ2 = βJkτsrα λk

p2

Kuθ3 = − Jkτsrβ

1

Rkα

λkp1 − Jkτsr

α

1

Rkβ

λkp2 − Jkτzsr

αβ λkn3

Per coerenza con il codice elaborato, nello scrivere i nuclei fondamentali espliciti, gliapici s e τ sono stati invertiti.

Il significato degli integrali nella direzione z e riportata di seguito:

49


(Jkτsr,Jkτsrα ,Jkτsr

β ,Jkτsrαβ

,Jkτsrβα

,Jkτsrαβ ) =

∫

Ak

FrFτFs

(1,Hk

α,Hkβ ,

Hkα

Hkβ

,Hk

β

Hkα

,HkαHk

β

)dz

(Jkτzsr,Jkτzsrα ,Jkτzsr

β ,Jkτzsrαβ

,Jkτzsrβα

,Jkτzsrαβ ) =

∫

Ak

Fr∂Fτ

∂zFs

(1,Hk

α,Hkβ ,

Hkα

Hkβ

,Hk

β

Hkα

,HkαHk

β

)dz

(Jkτszr,Jkτszrα ,Jkτszr

β ,Jkτszrαβ

,Jkτszrβα

,Jkτszrαβ ) =

∫

Ak

FrFτ∂Fs

∂z

(1,Hk

α,Hkβ ,

Hkα

Hkβ

,Hk

β

Hkα

,HkαHk

β

)dz

(Jkτzszr,Jkτzszrα ,Jkτzszr

β ,Jkτzszrαβ

,Jkτzszrβα

,Jkτzszrαβ ) =

∫

Ak

Fr∂Fτ

∂z

∂Fs

∂z

(1,Hk

α,Hkβ ,

Hkα

Hkβ

,Hk

β

Hkα

,HkαHk

β

)dz

3.5.2 Piastra

Il caso piastra non e altro che un caso limite del caso guscio. Per ottenere i nucleifondamentali relativi alla piastra FGM, basta porre Hα e Hβ uguali a 1. Pertanto, inuclei fondamentali scritti in forma esplicita sono:

• Kuu

Kuu11 = Ck55 Eτ,zs,zr + Ck

11α2 Eτsr + Ck

66β2 Eτsr

Kuu12 = Ck12αβ Eτsr + Ck

66αβ Eτsr

Kuu13 = − Ck13α Eτs,zr + Ck

55α Eτ,zsr

Kuu21 = Kuu12


22β2 Eτsr + Ck

66α2 Eτsr

Kuu23 = − Ck23β Eτs,zr + Ck

44β Eτ,zsr

Kuu31 = Ck55α Eτs,zr − Ck

13α Eτ,zsr

Kuu32 = Ck44β Eτs,zr − Ck

23β Eτ,zsr


44β2 Eτsr + Ck

55α2 Eτsr

50


• Kuθ

Kuθ11 = α Eτsr λkp1

Kuθ12 = Kuθ13 = Kuθ21 = 0

Kuθ22 = β Eτsr λkp2

Kuθ23 = Kuθ31 = Kuθ32 = 0

Kuθ33 = − Eτ,zsr λkn3

dove si e introdotta la seguente notazione:

(Eτsr , Eτ,zsr , Eτs,zr , Eτ,zs,zr

)=

∫

Ak

(Fτ Fs Fr , Fτ,z Fs Fr , Fτ Fs,z Fr , Fτ,z Fs,zFr

)dz

(3.44)

3.6 Carico termico

In questo modello, la temperatura viene vista come un carico esterno. Se si conosconoi valori della temperatura al top e al bottom della piastra, il carico termico puo essereconsiderato in due modi differenti. Il primo metodo introduce un profilo di temperaturaassunto Ta che varia linearmente dal top al bottom della piastra (vedi figura 3.1); ilsecondo calcola T (z) risolvendo l’equazione della conduzione del calore di Fourier : in talcaso, parliamo di profilo di temperatura calcolato Tc. Nell’ambito di questa tesi, vieneconsiderato solo il secondo metodo, infatti, anche negli strati FGM molto sottili il profilodi temperatura non e lineare. Quindi, l’assunzione di un T (z) lineare causerebbe erroririlevanti.

FULL METALLIC

FULL CERAMIC

T[°C]

Ttop=+2°

Tbottom=-1°

x,y

z

h/2

h/2

Figura 3.1. Esempio di profilo di temperatura assunto lineare Ta

51


3.6.1 Profilo di temperatura approssimato con la Unified For-mulation

Il profilo di temperatura viene descritto come gli spostamenti nell’approccio Layer-Wise:

T k(z) = Fτ θkτ with τ = t,b,l and l = 2, . . . ,14 (3.45)

Come prima, t e b indicano il top e il bottom dello strato k-esimo considerato. Lefunzioni di spessore Fτ sono una combinazione dei polinomi di Legendre.Se la variazione della temperatura viene assunta lineare attraverso lo spessore, i valori altop e al bottom della stessa, nonche le funzioni Ft e Fb, sono suffucienti a descrivere, permezzo della UF, il profilo di temperatura [29].

3.6.2 Calcolo del profilo di temperatura

Piastra

Se si considera una piastra soggetta a un carico termico bisinusoidale applicati al top e albottom, le condizioni al contorno sono:

T = 0 a x = 0,a e y = 0,b

T = Tb sin(mπx

a

)sin

(nπy

b

)a z = −h

2con b : bottom (3.46)

T = Tt sin(mπx

a

)sin

(nπy

b

)a z = +

h

2con t : top

dove m ed n sono i numeri d’onda lungo le due direzioni (x,y) nel piano della piastra;a e b sono le dimensioni della piastra; h e lo spessore; e Tb e Tt sono le ampiezze dellatemperatura al top e al bottom, rispettivamente.Nel caso di struttura multistrato, le condizioni di continuita per la temperatura T e ilflusso di calore qz, che si hanno in direzione dello spessore ad ogni interfaccia, sono:

T kt = T k+1

b qkz t = qk+1

z b for k = 1, . . . ,Nl − 1 (3.47)

dove Nl e il numero di strati nella struttura considerata.La relazione tra la temperatura e il flusso di calore e data da:

qkz = Kk

3

∂T k

∂z(3.48)

In generale, per lo strato K-esimo ortotropico omogeneo, l’equazione differenziale diconduzione del calore di Fourier e la seguente:

Kk1

∂2T

∂x2+ Kk

2

∂2T

∂y2+ Kk

3

∂2T

∂z2= 0 (3.49)

Kk1 , Kk

2 e Kk3 sono le conduttivita termiche nelle tre direzioni del piano della piastra

x, y e z e sono delle costanti nel caso di strati in materiale classico, mentre variano lungo

52


lo spessore negli strati FGM. Il simbolo ∂ indica la derivata parziale.Per uno strato in materiale “classico”, sia le equazioni di governo che le condizioni alcontorno sono soddisfatte assumendo il seguente campo di temperatura:

T (x,y,z) = f(z) sin(mπx

a

)sin

(nπy

b

)(3.50)

con:

f(z) = T0 exp(sk z

)(3.51)

Qui, T0 e una costante e sk e un parametro. Sostituendo l’espressione (3.50) nell’e-quazione (3.49) e risolvendo per sk, otteniamo:

sk1,2 = ±

√Kk

1 (mπa

)2 + Kk2 (nπ

b)2

Kk3

(3.52)

Percio:

f(z) = T k01 exp

(sk1 z

)+ T k

02 exp(sk1z

)or f(z) = Ck

1 cosh(sk1 z

)+ Ck

2 sinh(sk1 z

)(3.53)

La soluzione per uno strato k in materiale classico puo essere scritta come:

Tc(x,y,z) = T k =[Ck

1 cosh(sk1z

)+ Ck

2 sinh(sk1z

)]sin

(mπx

a

)sin

(nπy

b

)(3.54)

in cui i coefficienti Ck1 e Ck

2 sono delle costanti.Nel caso di uno strato FGM, i coefficienti Kk

1 , Kk2 and Kk

3 dipendono dalla coordinataz. Quindi, l’equazione di Fourier non rimane nella semplice forma data nell’equazione(3.49). Infatti, le conduttivita termiche variano in maniera continua in uno strato FGMe, pertanto, non e possibile trovare una soluzione analitica come quella mostrata prima.Il problema puo essere riformulato se conosciamo la legge di spessore con cui varianoi coefficienti Kk

1 , Kk2 e Kk

3 . L’equazione (3.49) viene risolta con un metodo matematicoLayer-Wise, in modo da trattare direttamente i valori della temperatura al top e al bottomdella piastra. L’idea principale e quella di dividere lo strato k-esimo FGM in Nml stratimatematici con proprieta costanti. Dopodicche, la procedura illustrata sopra per lo stratok-esimo viene applicata al j-esimo strato matematico.In uno strato FGM, le leggi per le conduttivita termiche lungo lo spessore z hanno laseguente forma:

(Kk1 (z), Kk

2 (z), Kk3 (z)) = (Kk

10, Kk20, K

k30) g(z) (3.55)

dove Kk10, Kk

20 e Kk30 sono costanti e g(z) e una particolare funzione della coordinata

di spessore z.Si puo suddividere lo strato FGM k-esimo in un certo numero di strati matematici Nml

per cui ogni strato j-esimo possiede valori costanti dei coefficienti K1, K2 e K3. Leproprieta “effettive” vengono calcolate prendendo la media dei valori all’interfaccia degli

53


strati matematici, ottenuti applicando l’equazione (3.55): si ricavano cosı Kj1 , Kj

2 e Kj3

per ogni strato matematico j. Per ogni strato matematico j, il parametro s1 e dato da:

sj1 =

√Kj

1 (mπa

)2 + Kj2 (nπ

b)2

Kj3

(3.56)

Dall’equazione (3.53) l’ampiezza della temperatura si scrive:

f(z) = Cj1 cosh

(sj1z

)+ Cj

2 sinh(sj1z

)(3.57)

Nell’equazione (3.57), per ogni strato matematico j rimangono due incognite (Cj1 e

Cj2). Percio, se il numero di strati matematici e Nml, il numero di incognite e 2Nml e,

quindi, sono necessarie 2Nml equazioni per determinare le incognite.La temperatura al top e al bottom costituiscono gia due condizioni:

Ttop = C11 cosh

(s11 ztop

)+ C1

2 sinh(s11 ztop

)

Tbot = CNml1 cosh

(sNml1 zbot

)+ CNml

2 sinh(sNml1 zbot

) (3.58)

Altre (Nml − 1) equazioni si possono ottenere dalla continuita della temperatura adogni interfaccia matematica ed, infine, (Nml − 1) equazioni derivano dalla continuita delflusso di calore attraverso le interfacce matematiche (vedi eq. (3.47)). Pertanto, si ha:

Cj1 cosh

(sj1 zj

t

)+ Cj

2 sinh(sj1 zj

t

)− Cj+11 cosh

(sj+11 zj+1

b

)− Cj+12 sinh

(sj+11 zj+1

b

)= 0

sj1 Kj

3

[Cj

1 cosh(sj1 zj

t ) + Cj2 sinh(sj

1 zjt )

]

− sj+11 Kj+1

3

[Cj+1

1 cosh(sj+11 zj+1

b

)− Cj+12 sinh

(sj+11 zj+1

b

)]= 0

(3.59)

Nelle equazioni (3.58) e (3.59), ztop e zbot indicano le coordinate del top e del bot-tom dell’intero strato FGM; zj

t e zj+1b rappresentano, rispettivamente, il top dello strato

matematico j-esimo e il bottom di quello (j + 1)-esimo.Risolvendo il sistema dato delle equazioni (3.58) e (3.59), si ricavano i 2Nml coefficientiCj

1 e Cj2 . La temperatura effettiva nello strato FGM j-esimo e data dalla:

Tc(x,y,z) = T j =[Cj

1 cosh(sj1 z

)+ Cj

2 sinh(sj1 z

)]sin

(mπ x

a

)sin

(nπ y

b

)(3.60)

Si calcola la temperatura a differenti valori zN della coordinata di spessore e, risolvendoil sistema (3.61), si ottengono gli N valori della θτ per la Unified Formulation:

Tc(z1)Tc(z2)

...

Tc(zN)

=

F0(z1) F1(z1) · · · FN(z1)F0(z2) F1(z2) · · · FN(z2)

......

......

F0(zN) F1(zN) · · · FN(zN)

θ0

θ1......

θN

(3.61)

54


Cosı, se si considera un generico strato k FGM, il profilo di temperatura e approssimatodall’equazione (3.45) e gli N valori della θτ sono dati dal sistema (3.61).

Guscio

Nel caso di guscio, la procedura da seguire per il calcolo del profilo di temperatura eesattamente la stessa, cambia soltanto l’equazione di conduzione del calore di Fourier, incui compaiono ora Hα e Hβ:

Kk1

H2α

∂2T

∂x2+

Kk2

H2β

∂2T

∂y2+ Kk

3

∂2T

∂z2= 0 (3.62)

Tale equazione e stata ottenuta seguendo le regole analitiche che permettono di es-primere le derivate nel riferimento cartesiano (x,y,z) rispetto alle derivate nelle coordinatecurvilinee (α,β,z).Poiche Hα e Hβ sono funzioni di z come Kk

1 , Kk2 e Kk

3 , si sfrutta anche in questo ca-so la suddivisione in strati matematici. Per ogni strato j-esimo, si calcolano Hj

α e Hjβ

(considerati costanti in tutto lo strato matematico), inserendo il raggio di curvatura dellasuperfice media di riferimento dello strato k e la coordinata z della superfice media dellostrato matematico j:

Hjα = (1 +

zj

Rkα

)

Hjβ = (1 +

zj

Rkβ

)(3.63)

Di conseguenza, l’unica cosa che cambia nel codice, e la formula per il calcolo di sj1,

che assume ora la seguente forma:

sj1 =

√√√√Kj

1

H2α

(mπa

)2 +Kj

2

H2β

(nπb

)2

Kj3

(3.64)

Si vedra in seguito qual’e l’effetto delle curvature sul profilo di temperatura e sullarisposta termo-meccanica del guscio.

3.7 Riepilogo assemblaggio

In questo paragrafo, vengono brevemente richiamate, tramite l’ausilio delle figure 3.2 e 3.3,le procedure di assemblaggio per i modelli ESL e LW, nel caso di struttura multistrato.

Per entrambi i modelli, alcuni strati di materiale possono essere di tipo FGM; in talcaso, e necessario un ulteriore assemblaggio sull’indice r che tiene conto della variazionedelle proprieta del materiale lungo lo spessore.

55


Figura 3.2. Esempio di procedura di assemblaggio nel caso di modello Equivalent SingleLayer; gli strati possono essere in materiale classico o FGM

3.8 Riepilogo delle teorie usate. Utilizzo degli acron-

imi

Gli acronimi vengono utilizzati per descrivere in modo completo e semplice le teorie bidi-mensionali che stanno alla base dei modelli presentati nei precedenti paragrafi. Infatti, inun modello che utilizza il calcolo variazionale di tipo PVD, la descrizione delle variabiliin gioco puo essere di tipo LW o ESL, si possono scegliere ordini di espansione diversi, sipuo considerare o meno l’effetto della εzz, e cosı via.Un completo riepilogo si ha in figura 3.4, in cui si spiega pure come tali acronimi vengonocostruiti.

La prima lettera puo essere una L se le variabili sono descritte con la teoria LayerWise, o una E se si usa l’Equivalent Single Layer. Quindi segue una lettera D, la qualeindica che si e impiegata una formulazione agli spostamenti basata sul principio dei lavorivirtuali (o la lettera M se si usa una formulazione di tipo misto). Dopo queste duelettere possono seguire una Z se si tiene conto dell’effetto Zig-Zag, e pure una d se tolgol’espansione in z per quanto riguarda la uz (si noti che la d si puo avere solo nel caso incui l’espansione in z sia di tipo lineare). Infine, si ha un numero che indica l’ordine diespansione in z.Si puo fare un riepilogo per vedere nei vari modelli come si possono combinare le varieteorie bidimensionali:

56


Figura 3.3. Esempio di procedura di assemblaggio nel caso di modello Layer Wise; glistrati possono essere in materiale classico o FGM

ESL: si hanno modelli EDN e modelli EDNd se tolgo l’espansione in z per quantoriguarda la uz, e modelli EDZN se introduco per gli spostamenti la funzione Zig-Zag.LW : i modelli che si hanno sono gli LDN , non posso avere la Z poiche non ho bisognodella Zig-zag function, visto che gia ogni strato e trattato singolarmente, e non si hanemmeno la d perche la FSDT e una teoria in cui viene assunto il campo di spostamentiglobali e non del singolo strato.Si ricordi che in questo lavoro verranno analizzate strutture bidimensionali (piastre ogusci) con un solo strato FGM, pertanto l’utilizzo dell’approccio ELS, per gli spostamenti,e equivalente a quello LW.

57


spost. uz costante in zd

d

Figura 3.4. Significato e costruzione degli acronimi

58

Capitolo 4

Analisi termo-meccanica di piastrein FGM

Al fine di validare la teoria presentata nei capitoli precedenti, si considera il problema diuna piastra, la cui soluzione 3-D viene data in [30]. Si tratta di una piastra rettangolare,come quella mostrata in figura 4.1, costituita da un singolo strato FGM, semplicementeappogiata e soggetta a un carico termico e/o meccanico bisinusoidale.

Figura 4.1. Piastra considerata per la valutazione numerica: piastra FGM con unsingolo strato, soggetta a carico termico e/o meccanico bisinusoidale.

In particolare, si analizza il profilo di temperatura e si studia la convergenza deirisultati ottenuti con la Formulazione Unificata, nonche l’effetto del gradiente del materialeng e del rapporto di spessore a/h sulla risposta termomeccanica della piastra.

59

4 – Analisi termo-meccanica di piastre in FGM

4.1 Caratteristiche del materiale

Nelle attuali condizioni di servizio, e tipico impiegare uno strato di Zirconia per rivestirecomponenti strutturali a base di Nickel nei motori degli aerei. Pertanto, un esempio tipico,per le applicazioni ad elevate temperature, e dato dalla piastra FGM costituita da Monel(70Ni-30Cu), una lega a base di Nickel, e dal ceramico Zirconia (ZrO2). Le proprieta delmateriale sono:

Bm = 227.24 GPa, µm = 65.55 GPa, αm = 15× 10−6 / K, Km = 25 W/mK, for Monel,

Bc = 125.83 GPa, µc = 58.08 GPa, αc = 10× 10−6 / K, Kc = 2.09 W/mK, for Zirconia.

Per un materiale composito a due fasi come questo, possono essere applicati diversimodelli micromeccanici per il calcolo delle proprieta effettive locali. In accordo al [30],sono state scelte le formule relative al modello di Mori-Tanaka, in cui il pedice 1 denotala matrice, ovvero la fase predominante, e il pedice 2 la restante fase:

• Il Bulk modulus B e lo shear modulus µ effettivi sono dati dalla stima di Mori-Tanaka:

B −Bm

Bc −Bm

=V2

1 + (1− V2)Bc−Bm

Bm+ 43µm

(4.1)

µ− µm

µc − µm

=V2

1 + (1− V2)µc−µm

µm+f1

with f1 =µm(9Bm + 8µm)

6(Bm + 2µm)(4.2)

• Il coefficiente di conduzione del calore K effettivo e dato dal modello di Hatta eTaya:

K −Km

Kc −Km

=V2

1 + (1− V2)Kc−Km

3Km

(4.3)

• Per il coefficiente di espansione termica si ha una relazione analoga:

α− αm

αc − αm

=1B− 1

Bm

1Bc− 1

Bm

(4.4)

Nelle equazioni (4.1)-(4.4), gli indici m e c si riferiscono alla fase metallica e ceramicarispettivamente. V2 e la frazione in volume della fase ceramica e nei calcoli viene assunta:

V2 = Vc = (z/h)ng (4.5)

dove, cambiando l’esponente ng, possono essere descritti diversi gradienti del materiale.La figura 4.2 mostra la distribuzione lungo lo spessore della frazione in volume Vc dellafase ceramica e dell’evoluzione del bulk modulus che ne risulta.

60


-0.5

-0.25

0

0.25

0.5

0 0.25 0.5 0.75 1

z / h

volume fraction

ng = 5

ng = 2

ng = 1

ng = 0.5

ng = 0.2

-0.5

-0.25

0

0.25

0.5

125 150 175 200 225

z / h

bulk modulus

ng = 5

ng = 2

ng = 1

ng = 0.5

ng = 0.2

Figura 4.2. Distribuzione lungo lo spessore della frazione in volume Vc della fase ceram-ica (a sinistra) e del bulk modulus (a destra).

61


4.2 Carichi applicati e condizioni al contorno

Sulla superficie al top della piastra sono applicati carichi termici e carichi meccanici puri,trasversalmente bisinusoidali (vedi figura 4.1):

p+z = p+

z sin(mπ x

a

)sin

(nπ y

b

)T+ = T+ sin

(mπ x

a

)sin

(nπ y

b

)(4.6)

Qui m, n sono i numeri d’onda e a, b le dimensioni della piastra. Una certa quantita,soprassegnata dal cappelletto, denota l’ampiezza del rispettivo carico. Dal momento cheviene proposta una teoria lineare, possono essere affrontati casi di carico piu complicati,sovrapponendo i contributi del carico meccanico puro con quelli del carico termico.Poiche si cerca una soluzione analitica di tipo Navier, la piastra deve essere semplicementeappoggiata. Pertanto le condizioni al contorno sono:

uy = uz = 0 at x = 0,a

ux = uz = 0 at y = 0,b

T = 0 at x = 0,a and y = 0,b

(4.7)

le quali sono soddisfatte assumendo campi di spostamento e di temperatura armonicinel piano (vdi eq. (3.37)). Inoltre, si assume m = n = 1 per i numeri d’onda.Come nel [30], vengono introdotte le seguenti quantita adimensionali:

ui =ui(z)

P aσij =

σij(z)

P B∗ T =α∗ T (z)

P(4.8)

dove viene preso P = p+z /B∗ o P = α∗ T+ , a seconda che al top della piastra venga

applicato un carico meccanico p+z o venga imposta la temperatura T+. I fattori di scala

sono B∗ = 1 GPa e α∗ = 10−6/K. Gli indici i e j possono essere x, y e z.

4.3 Analisi del profilo di temperatura T (z)

Poiche nel presente modello la temperatura viene considerata solo come un carico esterno,la sua distribuzione lungo lo spessore deve essere data a priori come input del problema.In letteratura, spesso, si assume che il campo di temperatura vari linearmente tra il top e ilbottom della piastra. Per calcolare la distribuzione effettiva della temperatura attraversolo spessore, dati il gradiente del materiale ng e le dimensioni della piastra, e stata utilizzatala procedura riportata nel paragrafo 3.6. Le condizioni al contorno al top e al bottomdella piastra sono rispettivamente:

T+ = 1 at z = +h

2T− = 0 at z = −h

2(4.9)

La figura 4.3 mostra la distribuzione lungo lo spessore della temperatura adimension-ale T per una piastra con rapporto di spessore a/h = 50, a/b = 1 e diversi gradienti del

62


materiale ng. Si noti che, per ng = 0 il profilo di temperatura diventa lineare. Infatti,inserire un valore di ng pari a 0 equivale a mantenere le proprieta termiche del materialecostanti lungo lo spessore. In pratica, e come se considerassimo uno strato di materialeclassico che, essendo in questo caso molto sottile (a/h = 50), presenta una variazione lin-eare della temperatura. Dalla figura 4.4 si deduce, infatti, che per uno strato in materialeclassico, con proprieta costanti in direzione z, all’aumentare di a/h, si ha un profilo ditemperatura che diventa lineare gia per a/h = 50. Cio non accade, invece, in uno stratoFGM (figura 4.5) anche se all’aumentare di a/h si nota, comunque, un’attenuazione dellacurvatura del profilo.Pertanto, si puo vedere che la distribuzione di temperatura in uno strato FGM differisce inmaniera rilevante da quella che si ha in uno strato di materiale classico. Inoltre, e evidenteche il profilo di temperatura e fortemente non lineare, il che contraddice l’assunzione divariazione di temperatura lineare, spesso trovata in letteratura. Tuttavia, si e visto che,anche per uno strato in materiale classico, l’equazione di Fourier 3-D conduce a un profilodi temperatura non lineare se lo strato e soggetto a un carico termico non costante opresenta un rapporto di spessore a/h non molto elevato. Pertanto, la composizione delmateriale, tramite ng, e la geometria della piastra, tramite a/h, giocano un ruolo moltoimportante nel determinare la distribuzione della temperatura.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

z

T

ng=0.0ng=0.5ng=1.0ng=2.0

Figura 4.3. Distribuzione lungo lo spessore della temperatura adimansionale T al variaredi ng (a/h = 50, a/b = 1).

Infine, in figura 4.6, si valuta la convergenza del metodo utilizzato per il calcolo delprofilo di temperatura, all’aumentare dell’ordine di espansione N lungo z. Si puo notareche le curve iniziano a sovrapporsi gia per N = 11, tuttavia, dall’analisi della rispostatermo-meccanica della piastra, si vedra che e necessario un ordine di espansione almenopari a 14, affinche i risultati ottenuti con la nostra teoria convergano alla soluzione esattafornita da [30].

63


0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

z

T

a/h=4a/h=10a/h=50

Figura 4.4. Distribuzione lungo lo spessore della temperatura adimansionale T , in unostrato di materiale classico, al variare di a/h (ng = 0, a/b = 1).

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

z

T

a/h=4a/h=10a/h=50

Figura 4.5. Distribuzione lungo lo spessore della temperatura adimansionale T , in unostrato FGM, al variare di a/h (ng = 2, a/b = 1).

64


0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

z

T

N=1N=3N=5N=7N=9

N=11N=13N=14

Figura 4.6. Distribuzione lungo lo spessore della temperatura adimansionale T , alvariare di N (ng = 2, a/b = 1, a/h = 50).

65


4.4 Analisi 2-D termo-meccanica della piastra

Le figure 4.7 e 4.8 mostrano la distribuzione lungo lo spessore dello spostamento trasversaleuz, per diversi valori del rapporto di spessore (a/h = 4,10,50) e del gradiente del materiale(ng = 0.5,1,2), rispettivamente, prendendo a/b = 1.

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

-25 -20 -15 -10 -5 0 5

z

uz

a/h=4a/h=10a/h=50

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

-0.2 -0.19 -0.18 -0.17 -0.16 -0.15z

uz

ng=0.5ng=1ng=2

Figura 4.7. Distribuzione lungo lo spessore dello spostamento trasversale uz adimen-sionale, dovuto a carico meccanico, per differenti rapporti di spessori (ng = 2), a sinistra,

e diversi gradienti del materiale (a/h = 10), a destra.

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0 5 10 15 20 25 30

z

uz

a/h=4a/h=10a/h=50

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

5.6 5.8 6 6.2 6.4

z

uz

ng=0.5ng=1ng=2

Figura 4.8. Distribuzione lungo lo spessore dello spostamento trasversale uz adimen-sionale, dovuto a carico termico, per differenti rapporti di spessori (ng = 2), a sinistra, e

diversi gradienti del materiale (a/h = 10), a destra.

Si vede chiaramente dalla figura 4.8 che, nel caso di carico termico, lo spostamen-to trasversale varia considerevolmente con la coordinata z. Quindi, l’assunzione di uz

costante attraverso lo spessore, fatta nelle teorie low-order, non e piu giustificata nel casotermico. Come si puo notare in figura 4.8, infatti, l’influenza del gradiente del materialeng e fondamentale nel caso di piastra soggetta a carico termico. Cio e dovuto all’effettocombinato della variazione del campo di temperatura (e quindi del carico) e delle propri-eta meccaniche, variabili anch’esse.Nel caso di carico meccanico puro, invece, l’influenza dei diversi gradienti del materiale emeno pronunciata, basti vedere la figura 4.7. Di conseguenza, la variazione dello sposta-mento trasversale uz attraverso lo spessore e molto piccola ovvero, nel caso meccanico,rimane valida l’assunzione di distribuzione costante lungo lo spessore.

66


I risultati ottenuti con la Formulazione Unificata, per carico termico puro e carico mecca-nico puro, sono confrontati con le soluzioni tridimensionali riportate da Reddy e Chengin [30]. Le tabelle 6.4-4.4 forniscono i risultati degli spostamenti (ux e uz), delle ten-sioni nel piano (σxx), delle tensioni di taglio (σxz) e delle tensioni normali (σzz), in formaadimensionale, per differenti rapporti di spessore a/h della piastra e indice esponenziale,prendendo a/b = 1.

a/h = 43D N = 1 N = 3 N = 5

uz(t) -1.346E-2 -1.123E-2 -1.346E-2 -1.346E-2uz(m) -1.370E-2 -1.083E-2 -1.371E-2 -1.370E-2uz(b) -1.273E-2 -1.043E-2 -1.273E-2 -1.273E-2ux(t) 4.021E-3 2.932E-3 4.020E-3 4.022E-3ux(m) -8.998E-5 -5.419E-5 -9.095E-5 -8.991E-5ux(b) -4.069E-3 -3.041E-3 -4.067E-3 -4.069E-3

a/h = 10uz(t) -0.1689 -0.1262 -0.1689 -0.1689uz(m) -0.1707 -0.1259 -0.1707 -0.1707uz(b) -0.1685 -0.1255 -0.1685 -0.1685ux(t) 2.617E-2 1.929E-2 2.617E-2 2.617E-2ux(m) 7.108E-4 7.807E-4 7.109E-4 7.112E-4ux(b) -2.472E-2 -1.773E-2 -2.472E-2 -2.472E-2

a/h = 50uz(t) -20.32 -14.74 -20.31 -20.32uz(m) -20.33 -14.74 -20.32 -20.33uz(b) -20.32 -14.73 -20.31 -20.32ux(t) 0.6603 0.4867 0.6602 0.6604ux(m) 2.312E-2 2.48E-2 2.313E-2 2.313E-2ux(b) -0.6141 -0.4371 -0.6140 -0.6141

Tabella 4.1. Carico meccanico. Spostamento trasversale adimensionale uz e spostamen-to nel piano ux al top (t), in mezzo (m) e al bottom (b) della piastra considerata (ng = 2).

La soluzione 3D e riportata in [30].

Si puo concludere che la Unified Formulation permette di ottenere risultati molto accu-rati rispetto alle soluzioni 3D, anche per piastre abbastanza spesse, sia nel caso meccanicoche in quello termico. Tuttavia, per cogliere in maniera precisa tutte le distribuzioni dispostamento e di tensione, sono necessarie teorie di ordine elevato (higher-order). In par-ticolare, confrontando il caso termico con quello meccanico, si vede che il carico termicorichiede assunzioni lungo lo spessore di ordine piu alto: infatti, nel caso termico, e neces-sario un ordine di espansione N = 14 rispetto al caso meccanico in cui e sufficiente N = 5per ottenere una buona corrispondenza con la soluzione esatta. Tale comportamento losi vede anche nelle figure 4.9-4.11, in cui si studia la convergenza dei risultati per ux, uz eσxx, dalle quali si nota anche una convergenza piu veloce nel caso meccanico. Come si e

67


a/h = 43D N = 2 N = 4 N = 5

σxx(t) -3.154 -2.8473 -3.152 -3.154σxx(m) -0.2037 -0.3079 -0.2027 -0.2038σxx(b) 3.631 3.633 3.633 3.632σxz(m) -0.9500 -0.6854 -0.9535 -0.9500σzz(m) -0.5130 -0.7165 -0.5110 -0.5131

a/h = 10σxx(t) -18.17 -16.96 -18.17 -18.17σxx(m) -0.8722 -1.498 -0.8738 -0.8726σxx(b) 22.06 22.88 22.06 22.06σxz(m) -2.396 -1.739 -2.398 -2.396σzz(m) -0.5142 -1.691 -0.5166 -0.5143


Tabella 4.2. Carico meccanico. Tensioni adimensionali σij al top (t), in mezzo (m) e albottom (b) della piastra considerata (ng = 2). La soluzione 3D e riportata in [30].

68


a/h = 43D N = 1 N = 6 N = 14

uz(t) 3.043 5.452 3.074 3.043uz(m) 2.143 4.453 2.170 2.144uz(b) 1.901 3.456 1.928 1.901ux(t) -1.681 -3.111 -1.694 -1.681ux(m) -0.6822 -1.370 -0.6841 -0.6822ux(b) 0.08240 0.3710 0.08999 0.08266

a/h = 10uz(t) 6.021 11.52 6.081 6.022uz(m) 5.635 11.11 5.693 5.636uz(b) 5.522 10.70 5.580 5.523ux(t) -1.699 -3.095 -1.710 -1.699ux(m) -0.7862 -13.51 -0.7882 -0.7862ux(b) 0.08492 0.39246 0.09187 0.08517


Tabella 4.3. Carico termico. Spostamento trasversale adimensionale uz e spostamentonel piano ux al top (t), in mezzo (m) e al bottom (b) della piastra considerata (ng = 2).

La soluzione 3D e riportata in [30].

69


a/h = 43D N = 1 N = 6 N = 14

σxx(t) -1018 -241.2 -1015 -1018σxx(m) -204.8 -989.9 -197.2 -204.7σxx(b) -73.53 884.6 -108.8 -74.03σxz(m) 4.186 3.9833 5.036 4.203σzz(m) 6.217 -521.8 17.10 6.300

a/h = 10σxx(t) -1006 -236.6 -1003 -1006σxx(m) -243.0 -981.6 -236.0 -243.0σxx(b) -75.78 891.7 -107.7 -76.27σxz(m) 1.583 1.638 1.898 1.590σzz(m) 1.015 -477.9 10.584 1.093

a/h = 50σxx(t) -1003 -235.7 -1001 -1003σxx(m) -251.2 -980.1 -244.4 -251.2σxx(b) -76.10 893.1 -107.4 -76.59σxz(m) 0.3122 0.3292 0.3742 0.3135σzz(m) 0.04067 -469.61 9.3567 0.1178

Tabella 4.4. Carico termico. Tensioni adimensionali σij al top (t), in mezzo (m) e albottom (b) della piastra considerata (ng = 2). La soluzione 3D e riportata in [30].

70


gia detto, questo e dovuto all’accoppiamento tra il campo termico e meccanico, che rendenecessario un ordine di espansione lungo z piu elevato per ottenere la stessa accuratezza.

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

-0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03

z

ux

N=1N=2N=3N=4N=5

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5

z

ux

N=1N=3N=5N=9

N=11N=13N=14

Figura 4.9. Studio di convergenza per ux nel caso meccanico (sinistra) e termico (de-stra). (a/h = 10,a/b = 1,ng = 2)

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

-0.02 -0.018 -0.016 -0.014 -0.012 -0.01

z

uz

N=1N=2N=3N=4N=5

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

5 5.2 5.4 5.6 5.8 6 6.2 6.4

z

uz

N=1N=3N=5N=9

N=11N=13N=14

Figura 4.10. Studio di convergenza per uz nel caso meccanico (sinistra) e termico(destra). (a/h = 10,a/b = 1,ng = 2)

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

-15 -10 -5 0 5 10 15 20 25

z

σxx

N=1N=2N=3N=4N=5

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

-1000 -500 0 500 1000

z

σxx

N=1N=3N=5N=9

N=11N=13N=14

Figura 4.11. Studio di convergenza per σxx nel caso meccanico (sinistra) e termico(destra). (a/h = 10,a/b = 1,ng = 2)

Per completezza, si riportano le figure 4.12-4.22 che raffigurano i risultati ottenuti pera/h = 10 e a/b = 1. In esse si vedono le distribuzioni lungo lo spessore degli spostamenti e

71


delle tensioni, dovute a carico meccanico (fig. 4.12-4.16) e a carico termico (fig. 4.17-4.22).Per il caso meccanico, il gradiente del materiale ng non influenza molto i risultati, pertanto,vengono riportati solo gli andamenti degli spostamenti e delle tensioni per ng = 2. Si noti,ancora una volta, che la deflessione della piastra soggetta a carico termico (figura 4.13)varia visibilmente con la coordinata z. Mentre, nel caso meccanico (figura 4.19), rimaneancora valida l’assunzione di spostamento uz costante con z. Infine, dalla figura 4.14, sivede che il massimo della tensione longitudinale di compressione la si raggiunge al topdella piastra.

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

-0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03

z

ux

ng=2

Figura 4.12. Distribuzione lungo lo spessore dello spostamento nel piano ux adimen-sionale, in una piastra FGM soggetta a carico meccanico (a/h = 10, a/b = 1).

4.5 Piastra in FGM discretizzata come multistrato

In questo paragrafo, si dimostra che e possibile riottenere i risultati appena visti, con-siderando la piastra FGM a un singolo strato come costituita da Nl strati di materialeclassico (isotropo), con proprieta costanti lungo z. Le teorie usate sono, come prima,quelle viste nel Capitolo 2, semplicemente ora scompare il loop sull’indice r relativo allavariazione lungo z delle proprieta del materiale (vedi paragrafo relativo all’assemblaggio).Per approssimare al meglio le proprieta termoelastiche del materiale lungo z, e necessariosuddivedere la piastra in un numero Nl di strati fittizi piuttosto elevato. Pertanto, e suf-ficiente utilizzare una teoria LD4 per riottenere i valori trovati in [30], in quanto gia essaconsente di avere (4Nl + 1) gradi di liberta lungo z. Infine, a ulteriore conferma dell’esat-tezza di questa procedura, nel caso di carico meccanico, si analizza la piastra usando unateoria LM4. Tale teoria deriva da un principio variazionale diverso dal PVD, ovvero dalRMVT (Reissner Mixed Variational Theorem), da cui la lettera M, che tratta le tensionitrasversali σxz, σyz e σzz come incognite al pari delle componenti di spostamento.

72


-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

-0.019 -0.0185 -0.018 -0.0175 -0.017 -0.0165 -0.016 -0.0155 -0.015

z

uz

ng=2

Figura 4.13. Distribuzione lungo lo spessore dello spostamento trasversale uz adimen-sionale, in una piastra FGM soggetta a carico meccanico (a/h = 10, a/b = 1).

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

-15 -10 -5 0 5 10 15 20 25

z

sxx

ng=2

Figura 4.14. Distribuzione lungo lo spessore della tensione longitudinale σxx adimen-sionale, in una piastra FGM soggetta a carico meccanico (a/h = 10, a/b = 1).

73


-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0

z

sxz

ng=2

Figura 4.15. Distribuzione lungo lo spessore della tensione trasversale di taglio σxz

adimensionale, in una piastra FGM soggetta a carico meccanico (a/h = 10, a/b = 1).

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0

z

szz

ng=2

Figura 4.16. Distribuzione lungo lo spessore della tensione trasversale normale σzz

adimensionale, in una piastra FGM soggetta a carico meccanico (a/h = 10, a/b = 1).

74


0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

z

T

ng=0.5ng=1ng=2

Figura 4.17. Distribuzione lungo lo spessore della temperatura T adimensionale, in unapiastra FGM soggetta a carico termico (a/h = 10, a/b = 1).

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1

z

ux

ng=0.5ng=1ng=2

Figura 4.18. Distribuzione lungo lo spessore dello spostamento nel piano ux adimen-sionale, in una piastra FGM soggetta a carico termico (a/h = 10, a/b = 1).

75


-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

5.6 5.8 6 6.2 6.4

z

uz

ng=0.5ng=1ng=2

Figura 4.19. Distribuzione lungo lo spessore dello spostamento trasversale uz adimen-sionale, in una piastra FGM soggetta a carico termico (a/h = 10, a/b = 1).

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

-1000 -800 -600 -400 -200 0

z

σxx

ng=0.5ng=1ng=2

Figura 4.20. Distribuzione lungo lo spessore della tensione longitudinale σxx adimen-sionale, in una piastra FGM soggetta a carico termico (a/h = 10, a/b = 1).

76


-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

-10 -5 0 5 10

z

σxz

ng=0.5ng=1ng=2


adimensionale, in una piastra FGM soggetta a carico termico (a/h = 10, a/b = 1).

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6

z

σzz

ng=0.5ng=1ng=2


adimensionale, in una piastra FGM soggetta a carico termico (a/h = 10, a/b = 1).

77


4.5.1 Carico meccanico

Considerata una piastra FGM con le stesse proprieta, condizioni al contorno e carichivisti sopra, la si divide in Nl strati di spessore uguale, considerati isotropi, e si prendeper ciascuno di essi il valore medio delle proprieta termo-elastiche calcolate all’interfaccia.Tale modo di procedere e essenzialmente quello adottato per il calcolo del profilo di tem-peratura, in cui consideravamo Nl strati fittizi con proprieta termiche costanti lungo z.A questo punto, utilizzando un codice gia impiegato in passato per il calcolo delle piastremultistrato (non solo con strati isotropi), si e ottenuta la risposta meccanica della piastraFGM.Il primo obbiettivo e stato quello di capire il numero di strati Nl da inserire, per ritrovarela soluzione 3D. Pertanto, si e effettuata un’analisi al variare di Nl, per una piastra aventei seguenti parametri: a/b = 1 e ng = 2. Le tabelle 4.5 e 4.6 mostrano che nel caso mec-canico, e sufficiente Nl = 40.In tabella 4.7 sono riportati i risultati ottenuti per Nl = 150: un numero cosı elevato distrati garantisce un margine di errore molto basso. La figura 4.23 mostra, inoltre, che talemetodo converge abbastanza velocemente; infatti, la curve ottenute al variare di Nl sonomolto vicine.Gli andamenti delle componenti si spostamento e delle tensioni al variare di a/h sonoquelli visti nel paragrafo 4.4.

Reissner Mixed Variational Theorem (RMVT)

Il principio RMVT nasce per garantire la continuita delle tensioni trasversali σxz, σyz e σzz

alle interfacce di un multistrato. Come si puo vedere, infatti, dall’espressione del teoremavariazionale misto di Reissner (4.10), le tensioni trasversali vengono trattare come delleincognite, al pari dello spostamento; pertanto, a differenza di un modello agli spostamenti,in questo caso si verifica la condizione di continuita [31].

∫

V

(δεTpGσpH + δεT

nGσnM + δσTnM(εnG − εnH))dV =

∫

V

ρδuudV + δLe (4.10)

Nell’ambito di questa tesi, ci si limita alla descrizione del principio variazionale PVD,atto a descrivere sia il caso termico che meccanico. Tuttavia, al fine di dimostrate l’efficaciadel metodo adottato (quello per cui si considera la piastra FGM come un multistrato),risulta utile effettuare un’analisi della piastra in esame impiegando un modello RMVT.Tale modello e gia implementato nel codice menzionato sopra, pertanto, selezionando unateoria LM4, si ottengono i risultati riportati in tabella 4.8. Si puo notare che la teoriaLM4 porta agli stessi valori forniti dalla LD4 (confronta anche tabelle 4.7 e 4.9). Questoconferma ulteriormente che il nostro modo di procedere, se pur dispendioso dal punto divista computazionale, porta a dei risultati attendibili.In tabella 4.9 sono inseriti i valori ottenuti utilizzando la teoria LM4 e prendendo unnumero di strati pari a 150: tale numero dovrebbe garantire un’accuratezza massimadella soluzione.

78


a/h = 43D Nl = 10 Nl = 30 Nl = 40

uz(t) -1.346E-2 -1.346E-2 -1.346E-2 -1.346E-2uz(m) -1.370E-2 -1.370E-2 -1.370E-2 -1.370E-2uz(b) -1.273E-2 -1.273E-01 -1.273E-2 -1.273E-2ux(t) 4.021E-3 4.020E-3 4.021E-3 4.021E-3ux(m) -8.998E-5 -9.083E-05 -9.004E-5 -8.999E-5ux(b) -4.069E-3 -4.069E-02 -4.069E-3 -4.069E-3

a/h = 10uz(t) -0.1689 -0.1688 -0.1689 -0.1689uz(m) -0.1707 -0.1706 -0.1707 -0.1707uz(b) -0.1685 -0.1684 -0.1685 -0.1685ux(t) 2.617E-2 2.615E-2 2.617E-2 2.617E-2ux(m) 7.108E-4 7.024E-4 7.101E-4 7.105E-4ux(b) -2.472E-2 -2.472E-2 -2.472E-2 -2.472E-2

a/h = 50uz(t) -20.32 -20.31 -20.32 -20.32uz(m) -20.33 -20.32 -20.33 -20.33uz(b) -20.32 -20.31 -20.31 -20.32ux(t) 0.6603 0.6599 0.6603 0.6603ux(m) 2.312E-2 2.290E-01 2.310E-2 2.311E-2ux(b) -0.6141 -0.6141 -0.6141 -0.6141

Tabella 4.5. Piastra FGM vista come multistrato. Carico meccanico. Spostamentotrasversale adimensionale uz e spostamento nel piano ux al top (t), in mezzo (m) e albottom (b) della piastra considerata (a/b = 1, ng = 2). La soluzione 3D e riportata in

[30].

79


a/h = 43D Nl = 10 Nl = 30 Nl = 40

σxx(t) -3.154 -3.240 -3.184 -3.177σxx(m) -0.2037 -0.2026 -0.2036 -0.2037σxx(b) 3.631 3.626 3.630 3.631σxz(m) -0.9500 -0.9496 -0.9499 -0.9499σzz(m) -0.5130 -0.5127 -0.5130 -0.5130



Tabella 4.6. Piastra FGM vista come multistrato. Carico meccanico. Tensioni adimen-sionali σij al top (t), in mezzo (m) e al bottom (b) della piastra considerata (a/b = 1,

ng = 2). La soluzione 3D e riportata in [30].

Tabella 4.7. Piastra FGM vista come multistrato. Carico meccanico. Spostamentotrasversale uz, spostamento nel piano ux e tensioni σij , adimensionali, al top (t), inmezzo (m) e al bottom (b) della piastra considerata (a/b = 1, ng = 2). Il numero di

strati inseriti e Nl = 150.Nl = 150

a/h = 4 a/h = 10 a/h = 50ux(t) 0.00402 0.2617 0.6603ux(m) -0.00009 0.000711 0.0231ux(b) -0.00407 0.02472 -0.6141uz(t) -0.01346 -0.1689 -20.32uz(m) -0.01370 -0.1707 -20.33uz(b) -0.01273 -0.1685 -20.32σxx(t) -3.160 -18.20 -448.8σxx(m) -0.2037 -0.8723 -19.56σxx(b) 3.631 22.06 548.0σxz(m) -0.9500 -2.395 -12.00σzz(m) -0.5130 -0.5141 -0.5141

80


-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

-0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03

z

ux

Nl=10Nl=30Nl=40

a)

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

-0.19 -0.185 -0.18 -0.175 -0.17 -0.165 -0.16 -0.155 -0.15

zuz

Nl=10Nl=30Nl=40

b)

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

-15 -10 -5 0 5 10 15 20 25

z

σxx

Nl=10Nl=30Nl=40

c)

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0

z

σxz

Nl=10Nl=30Nl=40

d)

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0

z

σzz

Nl=10Nl=30Nl=40

e)

Figura 4.23. Carico meccanico. Parametri: a/h = 10, a/b = 1 e ng = 2. Grandezzeadimensionali: (a) Spostamento nel piano; (b) Spostamento trasversale; (c) Tensione nel

piano; (d) Tensione trasversale di taglio; (e) Tensione trasversale normale.

81


Tabella 4.8. Piastra FGM vista come multistrato. Carico meccanico (RMVT). Tensioniadimensionali σij al top (t), in mezzo (m) e al bottom (b) della piastra considerata(a/b = 1, ng = 2). Il numero di strati inseriti e Nl = 40. La soluzione 3D e riportata in

[30].

a/h = 4 a/h = 10 a/h = 503D LD4 LM4 3D LD4 LM4 3D LD4 LM4

σxx(t) -3.154 -3.177 -3.177 -18.17 -18.29 -18.29 -447.9 -451.1 -451.1σxx(m) -0.2037 -0.2037 -0.2037 -0.8722 -0.8719 -0.8719 -19.56 -19.55 -19.55σxx(b) 3.631 3.631 3.631 22.06 22.06 22.06 548.0 547.9 547.9σxz(m) -0.9500 -0.9499 -0.9499 -2.396 -2.395 -2.395 -12.00 -12.00 -12.00σzz(m) -0.5130 -0.5130 -0.5130 -0.5142 -0.5141 -0.5141 -0.5141 -0.5141 -0.5141

Tabella 4.9. Carico meccanico (RMVT). Spostamento trasversale uz, spostamento nelpiano ux e tensioni σij , adimensionali, al top (t), in mezzo (m) e al bottom (b) della

piastra considerata (a/b = 1, ng = 2). Il numero di strati inseriti e Nl = 150.

Nl = 150a/h = 4 a/h = 10 a/h = 50

ux(t) 0.00402 0.2617 0.6603ux(m) -0.00009 0.000711 0.0231ux(b) -0.00407 0.02472 -0.6141uz(t) -0.01346 -0.1689 -20.32uz(m) -0.01370 -0.1707 -20.33uz(b) -0.01273 -0.1685 -20.32σxx(t) -3.160 -18.20 -448.8σxx(m) -0.2037 -0.8723 -19.56σxx(b) 3.631 22.06 548.0σxz(m) -0.9500 -2.395 -12.00σzz(m) -0.5130 -0.5141 -0.5141

82


4.5.2 Carico termico

Nel caso di piastra soggetta a carico termico si procede in maniera identica. Tuttavia,ora e necessario un numero di strati maggiore rispetto al caso meccanico, perche, comee stato gia detto nel paragrafo relativo al carico termico, una ricostruzione corretta delprofilo di temperatura richiede almeno 100 strati fittizi.Le tabelle 4.10 e 4.11 mostrano che sono necessari Nl = 100 strati per trovare una buonacorrispondenza con la soluzione 3D. Mentre, la figura 4.24 evidenzia che, come nel casomeccanico, il metodo converge molto velocemente in quanto le curve si sovrappongonogia a partire da Nl = 20, tranne che per la uz e la σz.Anche in questo caso vengono presentati nella tabella 4.12 i risultati ottenuti prendendoNl = 150, in modo da rendere la nostra soluzione ancora piu vicina a quella esatta.

a/h = 43D Nl = 20 Nl = 50 Nl = 100

uz(t) 3.043 3.081 3.048 3.043uz(m) 2.143 2.171 2.147 2.143uz(b) 1.901 1.926 1.904 1.901ux(t) -1.681 -1.701 -1.684 -1.681ux(m) -0.6822 -0.6895 -0.6831 -0.6822ux(b) 0.08240 0.08506 0.08289 0.08254



Tabella 4.10. Piastra FGM vista come multistrato. Carico termico. Spostamentotrasversale adimensionale uz e spostamento nel piano ux al top (t), in mezzo (m) eal bottom (b) della piastra considerata (a/b = 1, ng = 2). La soluzione 3D e riportata

in [30].

83


a/h = 43D Nl = 20 Nl = 50 Nl = 100

σxx(t) -1018 -1082 -1047 -1034σxx(m) -204.8 -205.0 -204.7 -204.7σxx(b) -73.53 -75.89 -73.96 -73.66σxz(m) 4.186 4.468 4.236 4.200σzz(m) 6.217 6.008 6.189 6.212

a/h = 10σxx(t) -1006 -1071 -1036 -1022σxx(m) -243.0 -243.2 -242.9 -242.9σxx(b) -75.78 -78.06 -76.20 -75.91σxz(m) 1.583 1.696 1.603 1.589σzz(m) 1.015 0.970 1.008 1.014

a/h = 50σxx(t) -1003 -1069 -1033 -1019σxx(m) -251.2 -251.4 -251.2 -251.1σxx(b) -76.10 -76.36 -76.52 -76.23σxz(m) 0.3122 0.3348 0.3163 0.3134σzz(m) 0.04067 0.03876 0.04041 0.04061

Tabella 4.11. Piastra FGM vista come multistrato. Carico termico. Tensioni adimen-sionali σij al top (t), in mezzo (m) e al bottom (b) della piastra considerata (a/b = 1,

ng = 2). La soluzione 3D e riportata in [30].

Tabella 4.12. Piastra FGM vista come multistrato. Carico termico. Spostamentotrasversale uz, spostamento nel piano ux e tensioni σij , adimensionali, al top (t), inmezzo (m) e al bottom (b) della piastra considerata (a/b = 1, ng = 2). Il numero di

strati inseriti e Nl = 150.Nl = 150

a/h = 4 a/h = 10 a/h = 50ux(t) -1.681 -1.699 -1.703ux(m) -0.6820 -0.786 -0.808ux(b) 0.08248 0.0850 0.08537uz(t) 3.042 6.020 28.53uz(m) 2.143 5.634 28.45uz(b) 1.900 5.521 28.43σxx(t) -1028 -1017 -1014σxx(m) -204.6 -242.9 -251.1σxx(b) -73.60 -75.86 -76.18σxz(m) 4.194 1.586 0.3129σzz(m) 6.216 1.014 0.04066

84


-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

-2 -1.5 -1 -0.5 0

z

ux

Nl=20Nl=50

Nl=100

a)

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

5 5.2 5.4 5.6 5.8 6 6.2 6.4

zuz

Nl=20Nl=50

Nl=100

b)

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

-1000 -800 -600 -400 -200

z

σxx

Nl=20Nl=50

Nl=100

c)

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

-8 -6 -4 -2 0 2 4

z

σxz

Nl=20Nl=50

Nl=100

d)

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

z

σzz

Nl=20Nl=50

Nl=100

e)

Figura 4.24. Carico termico. Parametri: a/h = 10, a/b = 1 e ng = 2. Grandezzeadimensionali: (a) Spostamento nel piano; (b) Spostamento trasversale; (c) Tensione nel

piano; (d) Tensione trasversale di taglio; (e) Tensione trasversale normale.

85


4.6 Conclusioni

In questo capitolo, la Formulazione Unificata e stata estesa alle piastre FGM soggettea carico termico. E’ stato dimostrato che la trattazione unificata di tutte le variabili(spostamenti, temperatura, materiale), correttamente incluse nella UF, permette di con-siderare ogni tipo di materiale. La Formulazione Unificata applicata alle piastre FGMproduce risultati molto accurati se confrontati alle soluzioni 3D, sebbene siano necessariordini di espansione piuttosto elevati. E’ stato dimostrato che l’assunzione di spostamen-to trasversale costante lungo lo spessore non e piu valida nel caso termico, ma e ancoraun’approssimazione giustificata nel caso di carico meccanico; inoltre, nel caso termico,l’influenza dei diversi gradienti del materiale e piu pronunciata. In quest’ambito, infine,e stata fornita una descrizione molto precisa del campo termico, che contraddice l’assun-zione di profilo di temperatura lineare che, spesso, si trova in letteratura.In un paragrafo a parte, si e introdotta un’analisi alternativa della piastra FGM, con-siderandola come un multistrato costituito da Nl strati di materiale classico isotropo.Anche se il numero di strati da inserire e elevato (Nl = 40 nel caso meccanico e Nl = 100nel caso termico), il metodo produce risultati che sono molto vicini a quelli riportati in[30]. Questo modo di procedere verra sfruttato, nel capitolo successivo, per creare deibenchmark relativi ai gusci FGM, soggetti a carico termico e meccanico.

86

Capitolo 5

Analisi termo-meccanica di guscicompositi multistrato

In questo capitolo viene riportata la risoluzione di un problema gia ampiamente affrontatonella letteratura scientifica: guscio multistrato, in materiale classico, soggetto a caricomeccanico e termico. Si vuole dimostrare che la nostra teoria, la cui validita e statagia appurata per le piastre, porta a dei risultati soddisfacenti anche per quanto riguardai gusci. Lo scopo ultimo, e quello di trovare la soluzione esatta al problema dei gusciFGM soggetti a carico meccanico e termico. Pertanto, procedendo come per la piastra, sisuddivide il guscio in un numero elevato di strati fittizzi, considerati isotropi, e lo si vedecome un multistrato. Se il nostro modo di procedere e valido per le piastre FGM e peri gusci multistrato, allora lo sara anche per i gusci FGM. Quest’argomento sara oggettopero del capitolo successivo.

5.1 Guscio multistrato soggetto a carico meccanico

Il problema a cui si fa riferimento e quello trattato da Ren in [32]. In esso, si consideraun guscio cilindrico soggetto a flessione cilindrica, con varie stratificazioni. Gli strati sonocostituiti da materiale composito con fibre unidirezionali, avente le seguenti proprieta dirigidezza:

E1 = 172 GPa, E2 = E3 = 6.9 GPa

G12 = G13 = 3.4 GPa, G23 = 1.4 GPa

ν12 = ν13 = ν23 = 0.25

dove 1 indica la direzione parallela alle fibre e 2,3 quelle trasversali.Vengono considerati tre gruppi di gusci cilindrici, in cui il materiale dei vari strati possiedele proprieta viste sopra:

1. Guscio cilindrico a singolo strato, con le fibre orientate in direzione α;

2. Guscio cilindrico bistrato, con le direzioni 1 e 2 parallele alla direzione α per lostrato al bottom e al top, rispettivamente, e strati di uguale spessore;

87

5 – Analisi termo-meccanica di gusci compositi multistrato

3. Guscio cilindrico simmetrico a tre strati, con la direzione 1 coincidente con α per glistrati esterni e la direzione 2 parallela ad α per lo strato interno: anche in questocaso, i vari strati hanno spessore uguale.

In ogni problema, viene applicato un carico meccanico trasversale dato dalla seguenteespressione:

qz = q0 sin(mπ

a

)α (5.1)

pertanto, m = 1 e n = 0. Il guscio possiede le seguenti caratteristiche geomeriche:

Rα = 10 m Rβ = +∞a = 10.47197 m, b = 1 m

Da notare che, trattandosi di flessione cilindrica di un guscio cilindrico, la dimensioneb non influisce in nessun modo sui risultati.Le grandezze riportate nelle tabelle sono adimensionate secondo le formule:

(σα,σβ) =1

q0S2(σα,σβ) ταz =

ταz

q0S

w =10E3w

q0hS4u =

100E3u

q0hS3

S = Rα/h z = z/h

Il massimo di σαz non si verifica sempre nello stesso punto, pertanto il confronto conla soluzione esatta si effettua ogni volta in punto diverso, a seconda del caso trattato.Le tabelle 5.1-5.3 presentano i risultati ottenuti impiegando le teorie LD2, LD4 e LM4,confrontati con la soluzione esatta riportata in [32]. Il rapporto S = Rα/h assume i valori2,4,10,50,100 e 500.Si nota che, all’aumentare di S, ovvero al diminuire dello spessore del guscio, la corrispon-denza tra i risultati migliora, in tutti e tre i casi esaminati. Questo non si verifica soloper le tensioni σα e σβ calcolate al bottom, che, inoltre, peggiorano passando dal caso 1al caso 3. Tuttavia, guardando le figure 5.3, 5.7 e 5.11, si vede che gli andamenti trovatirispecchiano esattamente quelli dati in [32].Osservando le figure 5.1(a), 5.5(a) e 5.9(a), che rappresentano la w in funzione di S, sinota che la teoria LD2, rispetto alle teorie LD4 e LM4, sottostima erroneamente la def-lessione. Facendo riferimento, invece, alle figure 5.1(b), 5.5(b) e 5.9(b) si deduce che lospostamento trasversale rimane costante con z, come accade per la piastra soggetta acarico meccanico.Per quanto riguarda la tensione trasversale di taglio σαz, l’accuratezza della soluzione emassima quando si applica la teoria LM4; infatti, lo scopo di una teoria di tipo misto e

88


proprio quello di migliorare le tensioni trasversali. Dalle figure 5.4(a), 5.8(a) e 5.12(a) sivede, inoltre, il punto in cui si verifica il massimo della σαz.Le distribuzioni della σz (vedi figure 5.2, 5.6 e 5.10) sono differenti da quelle trovate perla piastra multistrato. Infatti, per la piastra, il massimo della tensione normale si ha insuperfice, dove e applicato il carico; per il guscio, invece, il massimo si raggiunge nellospessore e, addirittura, e di segno opposto. Questo fenomeno si accentua man mano cheil guscio diventa sottile, ed e plausibile pensare che esso abbia un effetto rilevante sullarottura per delaminazione degli strati.Lo spostamento u, calcolato in a = 0 e per S = 10 (vedi figure 5.4(b), 5.8(b) e 5.12(b)),cambia molto a seconda che venga ottenuto con una teoria di ordine 2 o di ordine 4. Nelprimo caso, esso viene sottostimato, ma la sua distribuzione e, comunque, quasi lineare inogni strato. Infine, si noti che lo spostamento nel piano si avvicina alla soluzione esattamolto piu lentamente dello spostamento trasversale.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1 10 100

w

S

EsattaLD2LD4LM4

a)

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35

z

w

S=4S=10

S=100

b)

Figura 5.1. Caso 1. (a) Relazione tra w ed S; (b) Distribuzione di w(z,a/2) al variaredi S.

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

-20 -15 -10 -5 0

z

σz

S=4S=10

S=100

Figura 5.2. Caso 1. Distribuzione della σz(z,a/2) al variare di S.

89


w(0,a2 )

S Esatta LD2 LD4 LM42 0.9986 0.9024 0.9942 0.99424 0.312 0.281 0.315 0.31510 0.115 0.109 0.115 0.11550 0.0770 0.0770 0.0772 0.0772100 0.0755 0.0757 0.0758 0.0758500 0.0749 0.0751 0.0751 0.0751

σα(∓h2 ,a

2 )-2.455 -0.850 -2.183 -2.183

2 1.907 0.981 1.821 1.821-1.331 -0.912 -1.328 -1.328

4 1.079 0.780 1.075 1.075-0.890 -0.829 -0.891 -0.891

10 0.807 0.748 0.807 0.807-0.767 -0.766 -0.767 -0.767

50 0.752 0.749 0.752 0.752-0.758 -0.758 -0.758 -0.758

100 0.751 0.750 0.751 0.751-0.752 -0.752 -0.751 -0.751

500 0.750 0.750 0.750 0.750σβ(∓h

2 ,a2 )

-0.0245 -0.0204 -0.0370 -0.03702 0.0816 0.0612 0.0735 0.0735

-0.0133 -0.0181 -0.0158 -0.01584 0.026 0.017 0.025 0.025

-0.0089 -0.0118 -0.0091 -0.009110 0.0105 0.0069 0.0105 0.0105

-0.0077 -0.0083 -0.0077 -0.007750 0.0076 0.0070 0.0076 0.0076

-0.0076 -0.0079 -0.0076 -0.0076100 0.0075 0.0072 0.0075 0.0075

-0.0075 -0.0076 -0.0075 -0.0075500 0.0075 0.0075 0.0075 0.0075

σαz(0,0)2 0.555 0.449 0.580 0.5804 0.572 0.417 0.591 0.59110 0.579 0.394 0.583 0.58350 0.568 0.380 0.568 0.568100 0.565 0.378 0.565 0.565500 0.563 0.376 0.563 0.563

Tabella 5.1. Confronto tra la soluzione esatta di Ren e i risultati ottenuti con le diverseteorie analitiche per il caso di guscio a singolo strato con disposizione delle fibre a 0o.

90


w(0,a2 )

S Esatta LD2 LD4 LM42 2.079 1.979 2.088 2.0894 0.854 0.827 0.857 0.85710 0.493 0.490 0.494 0.49450 0.409 0.409 0.410 0.410100 0.403 0.404 0.404 0.404500 0.399 0.400 0.400 0.400

σα(∓h2 ,a

2 )-0.644 -0.351 -0.369 -0.370

2 3.348 2.753 3.329 3.333-0.384 -0.280 -0.289 -0.289

4 2.511 2.343 2.506 2.506-0.277 -0.234 -0.236 -0.236

10 2.245 2.211 2.243 2.243-0.240 -0.216 -0.216 -0.216

50 2.165 2.162 2.164 2.164-0.237 -0.214 -0.214 -0.214

100 2.158 2.156 2.157 2.157-0.234 -0.213 -0.213 -0.213

500 2.153 2.151 2.151 2.151σβ(∓h

2 ,a2 )

-0.1610 -0.0840 -0.0755 -0.07602 0.0960 0.0735 0.0931 0.0940

-0.0960 -0.0670 -0.0662 -0.06644 0.0407 0.0230 0.0402 0.0404

-0.0693 -0.0565 -0.0565 -0.056510 0.0259 0.0206 0.0249 0.0250

-0.0601 -0.0526 -0.0525 -0.052550 0.0218 0.0209 0.0218 0.0218

-0.0592 -0.0522 -0.0521 -0.0521100 0.0216 0.0212 0.0216 0.0216

-0.0587 -0.0519 -0.0519 -0.0519500 0.0215 0.0215 0.0216 0.0216

σαz(0,h4 )

2 0.851 0.670 0.865 0.8504 0.871 0.649 0.876 0.87110 0.879 0.633 0.880 0.87950 0.869 0.620 0.869 0.869100 0.867 0.618 0.866 0.866500 0.865 0.616 0.864 0.864

Tabella 5.2. Confronto tra la soluzione esatta di Ren e i risultati ottenuti con le diverseteorie analitiche per il caso di guscio bistrato con disposizione delle fibre a 90o per lo

strato al bottom e 0o per lo strato al top.

91


w(0,a2 )

S Esatta LD2 LD4 LM42 1.436 1.392 1.439 1.4394 0.457 0.454 0.457 0.45710 0.144 0.144 0.144 0.14450 0.0808 0.0810 0.0810 0.0810100 0.0787 0.0788 0.0788 0.0788500 0.0773 0.0779 0.0779 0.0779

σα(∓h2 ,a

2 )-3.467 0.495 0.255 0.254

2 2.463 2.282 2.450 2.450-1.772 -0.657 -0.673 -0.673

4 1.367 1.341 1.360 1.360-0.995 -0.683 -0.683 -0.683

10 0.897 0.894 0.895 0.895-0.798 -0.652 -0.651 -0.651

50 0.782 0.783 0.783 0.783-0.786 -0.649 -0.649 -0.649

100 0.781 0.779 0.779 0.779-0.780 -0.648 -0.648 -0.648

500 0.768 0.778 0.778 0.778σβ(∓h

2 ,a2 )

-0.0347 -0.0064 0.0111 0.01162 0.0871 0.0773 0.0865 0.0864

-0.0177 -0.0088 -0.0033 -0.00334 0.0293 0.0273 0.0292 0.0292

-0.0100 -0.0067 -0.0058 -0.005810 0.0115 0.0111 0.0115 0.0115

-0.0080 -0.0061 -0.0060 -0.006050 0.0079 0.0079 0.0079 0.0079

-0.0079 -0.0061 -0.0060 -0.0060100 0.0078 0.0078 0.0078 0.0078

-0.0078 -0.0061 -0.0061 -0.0061500 0.0077 0.0078 0.0078 0.0078

σαz(0,0)2 0.394 0.332 0.348 0.4024 0.476 0.439 0.444 0.47810 0.525 0.496 0.497 0.52650 0.526 0.443 0.444 0.525100 0.523 0.363 0.364 0.523500 0.525 -0.269 -0.268 0.521

Tabella 5.3. Confronto tra la soluzione esatta di Ren e i risultati ottenuti con le diverseteorie analitiche per il caso di guscio a tre strati con disposizione delle fibre a 0o per gli

strati esterni e 90o per lo strato interno.

92


-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

z

σα

LD2LD4LM4

a)

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

-1 -0.5 0 0.5 1

z

σα

LD2LD4LM4

b)

Figura 5.3. Caso 1. (a) Confronto tra le diverse teorie per σα(z,a/2), con S = 4; (b)Confronto tra le diverse teorie per σα(z,a/2), con S = 10.

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

z

σα z

S=4S=10

S=100

a)

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

2.5 3 3.5 4 4.5 5

z

u

LD2LD4LM4

b)

Figura 5.4. Caso 1. (a) Distribuzione di σαz(z,0) al variare di S; (b) Confronto tra levarie teorie per u(z,0), con S=10.

0

0.5

1

1.5

2

1 10 100

w

S

EsattaLD2LD4LM4

a)

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

z

w

S=4S=10

S=100

b)


93


-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

-30 -25 -20 -15 -10 -5 0

z

σz

S=4S=10

S=100


-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

-2 -1 0 1 2

z

σα

LD2LD4LM4

a)

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

-2 -1 0 1 2

z

σα

LD2LD4LM4

b)


5.2 Guscio multistrato soggetto a carico termico

Per quanto riguarda il caso termico, si considera un guscio cilindrico a due strati (0o, 90o),rinforzato con fibre di carbonio. Le proprieta del materiale sono:

E1/E2 = E1/E3 = 25 , G12/G23 = G13/G23 = 2.5

ν12 = ν13 = ν23 = 0.25 , α2/α1 = 3 , α3/α1 = 1

KL = 36.42 , KT = 0.96

La struttura e soggetta a carico termico bisinusoidale:

T = T sin(mπx

a

)(nπy

b

)

con m = 1 , n = 1

(5.2)

94


-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

z

σα z

S=4S=10

S=100

a)

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

12 14 16 18 20 22 24 26

z

u

LD2LD4LM4

b)


0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1 10 100

w

S

EsattaLD2LD4LM4

a)

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

z

w

S=4S=10

S=100

b)


95


-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

-20 -15 -10 -5 0

z

σz

S=4S=10

S=100


-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5

z

σα

LD2LD4LM4

a)

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

-1 -0.5 0 0.5 1

z

σα

LD2LD4LM4

b)


e le condizioni al contorno sono:

Ttop = 0.5 K, Tbottom = −0.5 K (5.3)

Il guscio possiede le seguenti caratteristiche geomeriche:

Rα = +∞ , h = 0.1 m

a = 1 m, b = 1 m

Facendo variare Rβ, il rapporto Rβ/h assume i valori 50, 100 e 500.In tabella 5.4 sono riportati i risultati da noi ottenuti utilizzando le teorie ED2, ED4,LD3 e LD4. Si ricordi che lo spostamento trasversale e stato adimensionato secondo laseguente relazione:

96


-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

z

σα z

S=4S=10

S=100

a)

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5

z

u

LD2LD4LM4

b)


97


uz =uz

b2αLT1

dove T1 e il gradiente del profilo di temperatura lineare. Tali risultati sono staticonfrontati con la soluzione presentata in [34] ed e stata trovata una buona corrispondenza,soprattutto all’aumentare dell’ordine della teoria usata.Non e stato possibile effettuare lo stesso confronto per i risultati ottenuti con il profilo ditemperatura calcolato, tuttavia, di seguito sono mostrate alcune figure che evidenzianole differenze tra il profilo di temperatura assunto e quello calcolato, e come queste siriflettano sulla soluzione (a tal proposito si veda [33]). In particolare, dalla figura 5.13 sivede, per ciascuna teoria, come cambia la soluzione a seconda che si assuma o si calcoli ilprofilo di temperatura: in tutti i casi, il profilo di temperatura assunto lineare porta aduna sovrastima dello spostamento trasversale. Si noti, inoltre, che a differenza del casomeccanico, qui uz non e piu costante lungo lo spessore. La figura 5.14, invece, mette inevidenza come il profilo di temperatura calcolato si discosti da quello assunto, al variaredella teoria utilizzata e del rapporto Rβ/h. Infine, in figura 5.15 si ha semplicemente unconfronto tra le soluzioni ottenute per i diversi rapporti Rβ/h e si osserva che, man manoche il guscio inspessisce, lo spostamento trasversale diminuisce, ovvero, il guscio diventapiu rigido.

w(0)Rβ/h 50 100 500HOST12[34] Ta 1.1261 1.1434 1.1493

Tc - - -ED2 Ta 1.1255 1.1411 1.1455

Tc 1.0894 1.1042 1.1083ED4 Ta 1.1276 1.1434 1.1479

Tc 1.1173 1.1328 1.1371LD3 Ta 1.1280 1.1434 1.1477

Tc 1.1271 1.1428 1.1474LD4 Ta 1.1280 1.1434 1.1477

Tc 1.1179 1.1331 1.1373

Tabella 5.4. Guscio cilindrico a due strati (0o, 90o), rinforzato con fibre di carbonio esoggetto a carico termico. Confronto tra la soluzione riportata in [34] e i risultati ottenuti

con le diverse teorie analitiche.

98


-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

1.1 1.11 1.12 1.13 1.14 1.15 1.16 1.17

z

uz

T assuntoT calcolato

a)

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

1.1 1.11 1.12 1.13 1.14 1.15 1.16 1.17

z

uz


b)

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

1.1 1.11 1.12 1.13 1.14 1.15 1.16 1.17

z

uz


c)

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

1.1 1.11 1.12 1.13 1.14 1.15 1.16 1.17

z

uz


d)

Figura 5.13. Guscio cilindrico a due strati (0o, 90o), rinforzato con fibre di carbonio esoggetto a carico termico. Confronto tra la w ottenuta con profilo di temperatura assuntolineare e con profilo di temperatura calcolato, per le seguenti teorie: (a) ED2; (b) ED4

(c) LD3 (d) LD4. Parametri: Rβ/h = 100

99


-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4

z

T

AssuntoRβ/h=50

Rβ/h=100Rβ/h=500

a)

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4

z

T

AssuntoED2ED4LD3LD4

b)

Figura 5.14. Guscio cilindrico a due strati (0o, 90o), rinforzato con fibre di carbonio esoggetto a carico termico. Confronto tra profilo di temperatura assunto lineare e profilodi temperatura calcolato, (a) al variare di Rβ/h (teoria LD4) e (b) per diverse teorie

analitiche (Rβ/h = 100).

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

1.125 1.13 1.135 1.14 1.145 1.15 1.155 1.16 1.165

z

uz

Rβ/h=50Rβ/h=100Rβ/h=500

Figura 5.15. Guscio cilindrico a due strati (0o, 90o), rinforzato con fibre di carbonio esoggetto a carico termico. Distribuzioni della w ottenute al variare di Rβ/h, utilizzando

la teoria LD4 e assumendo un profilo di temperatura lineare.

100

Capitolo 6

Analisi termo-meccanica di gusci inFGM

In questo capitolo, si analizza la risposta termo-meccanica di un guscio in materiale FGMavente la geometria proposta da Ren. Si tratta di un guscio cilindrico, semplicementeappoggiato e soggetto a carico meccanico e/o termico bisinusoidale. Gli spostamenti,le tensioni e la temperatura sono calcolati assumendo differenti frazioni in volume dellefasi costituenti, ceramica e metallica. Viene fornita, innanzitutto, la soluzione quasi 3Ddel problema, che noi consideremo come soluzione esatta; dopodicche si verifica che lateoria bidimensionale, esposta nei Capitoli 2 e 3, produca risultati soddisfacenti. Infine siprocede con un’analisi piu dettagliata della risposta del guscio.

6.1 Caratteristiche del guscio FGM

Si considera un guscio cilindrico, costituito da un singolo strato in materiale FGM, aventele proprieta geometriche riportate in tabella 6.1 e rappresentato in figura 6.1.

Proprieta Guscio di Rena [m] 1b = π

3Rβ [m] 10.47197

Rα [m] ∞Rβ [m] 10

Tabella 6.1. Geometria di Ren.

Le caratteristiche del materiale, le condizioni al contorno e le condizioni di carico sonoquelle viste per la piastra nei paragrafi 4.1 e 4.2, ovvero, riassumendo:

101

6 – Analisi termo-meccanica di gusci in FGM

α

β

a

b

z

Rβ

π/3

Figura 6.1. Guscio di Ren.

• le proprieta del materiale sono:

Bm = 227.24 GPa, µm = 65.55 GPa

αm = 15× 10−6 / K, Km = 25 W/mK, for Monel,

Bc = 125.83 GPa, µc = 58.08 GPa

αc = 10× 10−6 / K, Kc = 2.09 W/mK, for Zirconia.

per il calcolo delle proprieta effettive locali e stato applicato il modello micromec-canico di Mori-Tanaka esposto in 4.1;

• il guscio e semplicemente appogiato;

• il guscio e soggetto a un carico meccanico e/o termico bisinusoidale applicato al top:

p+z = p+

z sin(mπ α

a

)sin

(nπ β

b

)T+ = T+ sin

(mπ α

a

)sin

(nπ β

b

)(6.1)

con m = n = 1 ed ampiezza unitaria, ovvero p+z = 1[Pa] e T+ = 1[K] (T = 0[K] al

bottom).

Precisiamo che, per una questione di comodita, nella trattazione che segue consider-eremo x e y equivalenti alle coordinate curvilinee α e β.

102


6.2 Guscio in FGM discretizzato come multistrato

Nel paragrafo 4.5 e stato dimostrato che e possibile analizzare in maniera accurata unapiastra FGM costituita da un singolo strato, suddividendola semplicemente in Nl stratifittizzi, con proprieta costanti lungo z, e pari alla media matematica dei valori che esse as-sumono all’interfaccia. Si e visto, inoltre, che, nel caso di piastra soggetta a carico termico,sono necessari almeno 100 strati fittizzi affinche il nostro metodo giunga a convergenza;nel caso meccanico, invece, ne sono sufficienti 40. Pertanto, prendendo Nl = 150 siamosicuri di commettere un errore percentuale molto basso, nel calcolo delle tensioni e deglispostamenti.Successivamente, nel Capitolo 5 sono stati presi in esame due casi di guscio multistratoin materiale classico: il guscio di Ren soggetto a carico meccanico e il guscio trattatoin [34] soggetto a carico termico. Per entrambi sono stati ottenuti risultati molto soddis-facenti ed, in particolare, si e notato che: all’aumentare di Rβ/h la corrispondenza con lasoluzione esatta aumentava e che le teorie LM4 e LD4 fornivano la soluzione migliore nelcaso meccanico e termico, rispettivamente.Una volta effettuate queste verifiche, si deduce che il codice per i materiali multistratopuo essere utilizzato per fornire una soluzione quasi 3D al problema termo-meccanico deigusci in materiale FGM. Pertanto, si suddivide il guscio in Nl strati fittizzi e si procedeanalogamente al caso piastra, ottenendo cosı delle tabelle di riferimento. Il passo succes-sivo e quello di confrontare con tali valori, i risultati ottenuti utilizzando il codice estesoalle strutture in materiale FGM.

6.2.1 Soluzione quasi 3-D

I risultati riportati nelle tabelle 6.2 e 6.3 sono stati ottenuti suddividendo il guscio inNl = 150 strati fittizzi e utilizzando una teoria LM4, nel caso meccanico, e una teoriaLD4, nel caso termico.Le adimensionalizzazioni adottate per le variabili sono:

ui =ui(z)

P aσij =

σij(z)

P B∗ T =α∗ T (z)

P(6.2)

dove viene preso P = p+z /B∗ o P = α∗ T+ , a seconda che al top del guscio venga

applicato un carico meccanico p+z o venga imposta la temperatura T+. I fattori di scala

sono B∗ = 1 GPa e α∗ = 10−6/K. Gli indici i e j possono essere α, β e z.Per quanto riguarda il materiale, l’esponente ng nella legge di potenza viene preso paria 2. Lo spessore h assume i valori 1, 0.2, 0.1,0.02 e 0.01, mentre il raggio di curvaturarimane sempre Rβ = 10.Infine, le figure 6.2-6.7 mostrano le distribuzioni lungo z delle componenti di spostamentoux, uz e delle tensioni σxx, σyy, σxz e σzz, adimensionali, nel caso meccanico e nel casotermico. In esse si ha e Rβ/h = 100.Nel paragrafo successivo, considereremo i risultati appena ottenuti come la soluzioneesatta a cui fare riferimento.

103


z/h Rβ/h = 10 Rβ/h = 50 Rβ/h = 100 Rβ/h = 500 Rβ/h = 10001 -0.0012 -0.0241 -0.0881 -0.4870 -0.3157

ux 0.5 0.0006 0.0005 0.0035 0.2099 0.55530 0.0010 0.0251 0.0952 0.9072 1.4264

1 0.0039 0.0849 0.5948 2.2199 5.5452uz 0.5 0.0021 0.0866 0.5992 2.2212 5.5464

0 0.0013 0.0848 0.5964 2.2214 5.5471

1 0.6770 5.6908 24.324 441.03 955.89σyy 0.5 0.1571 1.8248 11.029 381.70 945.87

0 -0.2194 -4.4269 -11.219 229.93 780.07

σxz 0.5 0.4440 2.3267 4.3244 6.4016 3.8625

σzz 0.5 0.4486 0.4919 0.4689 0.4494 0.4784

Tabella 6.2. Risultati per guscio FGM, con geometria di Ren, soggetto a carico mecca-nico (ng = 2).

z/h Rβ/h = 10 Rβ/h = 50 Rβ/h = 100 Rβ/h = 500 Rβ/h = 1000T 0.5 0.0872 0.2360 0.2467 0.2502 0.2504

1 -3.2944 -3.5466 -3.6364 -2.4772 -1.7868ux 0.5 -0.5235 -1.4532 -1.4469 -1.1345 -1.1021

0 0.1488 0.4833 0.7040 0.2069 -0.4178

1 3.3799 7.1337 14.190 42.762 43.590uz 0.5 0.8458 6.4131 13.839 42.694 43.553

0 0.4430 6.1942 13.732 42.690 43.554

1 -1585.6 -1481.4 -1351.8 -1072.5 -1170.2σyy 0.5 -165.22 -422.78 -321.94 150.71 159.55

0 -27.228 8.4708 108.00 820.09 991.05

σxz 0.5 31.539 26.448 19.896 -4.1939 -5.2242

σzz 0.5 45.102 5.0735 1.9979 0.4263 0.2428

Tabella 6.3. Risultati per guscio FGM, con geometria di Ren, soggetto a carico termico(ng = 2).

104


-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

-0.1 -0.05 0 0.05 0.1

z

ux

a)

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.593 0.594 0.595 0.596 0.597 0.598 0.599 0.6

z

uz

b)

Figura 6.2. Carico meccanico. Guscio FGM con geometria di Ren. Distribuzioni dellecomponenti di spostamento adimensionate (a) ux e (b) uz (ng = 2 e Rβ/h = 100).

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

-60 -40 -20 0 20 40 60

z

σxx

a)

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

-20 -10 0 10 20 30

z

σyy

b)

Figura 6.3. Carico meccanico. Guscio FGM con geometria di Ren. Distribuzioni delletensioni nel piano adimensionate (a) σxx e (b) σyy (ng = 2 e Rβ/h = 100).

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0 1 2 3 4 5

z

σxz

a)

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

z

σzz

b)

Figura 6.4. Carico meccanico. Guscio FGM con geometria di Ren. Distribuzioni delletensioni trasversali adimensionate (a) σxz e (b) σzz (ng = 2 e Rβ/h = 100).

105


-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

-4 -3 -2 -1 0 1

z

ux

a)

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

13.7 13.8 13.9 14 14.1 14.2

z

uz

b)

Figura 6.5. Carico termico. Guscio FGM con geometria di Ren. Distribuzioni dellecomponenti di spostamento adimensionate (a) ux e (b) uz (ng = 2 e Rβ/h = 100).

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

-600 -400 -200 0 200 400

z

σxx

a)

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

-1500 -1000 -500 0 500

z

σyy

h=0.1

b)

Figura 6.6. Carico termico. Guscio FGM con geometria di Ren. Distribuzioni delletensioni nel piano adimensionate (a) σxx e (b) σyy (ng = 2 e Rβ/h = 100).

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

-10 -5 0 5 10 15 20 25 30

z

σxz

a)

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

z

σzz

h=0.1

b)

Figura 6.7. Carico termico. Guscio FGM con geometria di Ren. Distribuzioni delletensioni trasversali adimensionate (a) σxz e (b) σzz (ng = 2 e Rβ/h = 100).

106


6.3 Analisi 2D termo-meccanica del guscio in FGM

Per studiare la risposta termo-meccanica del guscio FGM facciamo uso della teoria espostanei Capitoli 2 e 3.Innanzitutto, verifichiamo che ci sia corrispondenza con la soluzione esatta trovata nelparagrafo precedente. Nelle tabelle 6.4, 6.5, nel caso meccanico, e 6.6, 6.7, nel casotermico, sono riportati i valori degli spostamenti ux, uz e delle tensioni σyy, σxz e σzz

adimensionali, al top (t), in mezzeria (m) e al bottom (b) del guscio. Tali risultati sonostati ottenuti utilizzando una formulazione agli spostamenti, con approccio di tipo Layer-Wise, e assumendo diversi ordini di espansione N delle variabili lungo z. Le figure 6.8-6.13mostrano, inoltre, come cambia la distribuzione delle grandezze in gioco all’aumentare diN , prendendo Rβ/h = 10 e ng = 2, al fine di studiare la convergenza del nostro metodo. Sivede, innanzitutto, che la convergenza e molto veloce per quanto riguarda gli spostamenti,sia nel caso meccanico che termico; non e lo stesso per le tensioni, che nel caso termicopresentano addirittura delle oscillazioni molto forti per ordini di espansione bassi. Sinoti anche che, per guscio soggetto a puro carico meccanico e sufficiente prendere N = 6per ottenere piena corrispondenza con la soluzione esatta; per guscio soggetto a caricotermico, invece, e necessario N = 14. Come gia spiegato per la piastra, questa differenzae dovuta al profilo termico, il quale richiede un ordine di espansione cosı elevato per poteressere calcolato correttamente. A tal proposito si veda la figura 6.14. Si osservi, infine,che la convergenza migliora quando la piastra diventa sottile (Rβ/h aumenta), come egiusto che accada impiegando una teoria bidimensionale.

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

-0.0015 -0.001 -0.0005 0 0.0005 0.001 0.0015

z

ux

N=1N=3N=5N=6

a)

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.0005 0.001 0.0015 0.002 0.0025 0.003 0.0035 0.004

z

uz

N=1N=3N=5N=6

b)

Figura 6.8. Carico meccanico. Guscio FGM con geometria di Ren. Studio di con-vergenza per le seguenti grandezze adimensionali: (a) spostamento nel piano ux e (b)

spostamento trasversale uz (ng = 2 e Rβ/h = 10).

107


Rβ/h = 103D N = 1 N = 3 N = 6

ux(t) -0.0012 -0.0004 -0.0011 -0.0012ux(m) 0.0006 0.0003 0.0006 0.0006ux(b) 0.0010 0.0011 0.0010 0.0010uz(t) 0.0039 0.0032 0.0040 0.0039uz(m) 0.0021 0.0021 0.0022 0.0021uz(b) 0.0013 0.0011 0.0013 0.0013

Rβ/h = 50ux(t) -0.0241 -0.0179 -0.0241 -0.0241ux(m) 0.0005 0.0002 0.0005 0.0005ux(b) 0.0251 0.0183 0.0251 0.0251uz(t) 0.0849 0.0658 0.0850 0.0849uz(m) 0.0866 0.0656 0.0866 0.0866uz(b) 0.0848 0.0654 0.0848 0.0848




Tabella 6.4. Carico meccanico. Spostamento trasversale uz e spostamento nel pianoux, adimensionali, presi al top (t), in mezzo (m) e al bottom (b) del guscio FGM di Ren

(ng = 2). La soluzione 3D e riportata nel paragrafo 6.2.

108


Rβ/h = 103D N = 1 N = 3 N = 6

σyy(t) 0.6770 0.3703 0.7392 0.6758σyy(m) 0.1571 0.2135 0.1413 0.1566σyy(b) -0.2194 -0.2399 -0.3737 -0.2196σxz(m) 0.4440 0.3303 0.4513 0.4435σzz(m) 0.4486 0.4602 0.4404 0.4482

Rβ/h = 50σyy(t) 5.6908 6.5037 5.6566 5.6756σyy(m) 1.8248 2.0318 1.8255 1.8245σyy(b) -4.4269 -8.2923 -4.4003 -4.4326σxz(m) 2.3267 1.5776 2.3310 2.3267σzz(m) 0.4919 1.4920 0.4939 0.4920

Rβ/h = 100σyy(t) 24.324 27.274 23.937 49.375σyy(m) 11.029 10.738 11.054 11.028σyy(b) -11.219 -28.246 -10.637 -11.232σxz(m) 4.3244 2.9847 4.3323 4.3244σzz(m) 0.4689 4.3435 0.5193 0.4693

Rβ/h = 500σyy(t) 441.03 479.99 437.16 440.23σyy(m) 381.70 374.26 381.94 381.69σyy(b) 229.93 32.776 235.44 229.89σxz(m) 6.4016 5.3208 6.4139 6.4017σzz(m) 0.4494 38.780 0.9361 0.4526

Rβ/h = 1000σyy(t) 955.89 1016.7 950.59 954.36σyy(m) 945.87 957.56 946.20 945.88σyy(b) 780.07 540.07 786.88 780.05σxz(m) 3.8625 3.3334 3.8702 3.8626σzz(m) 0.4784 54.695 1.0781 0.4827

Tabella 6.5. Carico meccanico. Tensioni adimensionali σij al top (t), in mezzo (m) e albottom (b) del guscio FGM di Ren (ng = 2). La soluzione 3D e riportata nel paragrafo

6.2.

109


Rβ/h = 103D N = 2 N = 8 N = 14

ux(t) -3.2944 -4.6692 -3.3123 -3.2957ux(m) -0.5235 -0.3682 -0.5237 -0.5235ux(b) 0.1488 0.2119 0.1553 0.1493uz(t) 3.3799 4.6192 3.3988 3.3813uz(m) 0.8458 1.0264 0.8533 0.8463uz(b) 0.4430 0.9489 0.4510 0.4436

Rβ/h = 50ux(t) -3.5466 -4.1620 -3.5545 -3.5477ux(m) -1.4532 -1.5217 -1.4547 -1.4535ux(b) 0.4833 0.9074 0.4880 0.4837uz(t) 7.1337 8.8684 7.1548 7.1361uz(m) 6.4131 8.0312 6.4331 6.4153uz(b) 6.1942 7.8766 6.2143 6.1964



Rβ/h = 1000ux(t) -1.7868 -1.8872 -1.7886 -1.7871ux(m) -1.1021 -1.1326 -1.1029 -1.1023ux(b) -0.4178 -0.3785 -0.4176 -0.4178uz(t) 43.590 48.034 43.653 43.600uz(m) 43.553 47.990 43.617 43.563uz(b) 43.554 47.997 43.618 43.564

Tabella 6.6. Carico termico. Spostamento trasversale uz e spostamento nel piano ux,adimensionali, presi al top (t), in mezzo (m) e al bottom (b) del guscio FGM di Ren

(ng = 2). La soluzione 3D e riportata nel paragrafo 6.2.

110


Rβ/h = 103D N = 2 N = 8 N = 14

σyy(t) -1585.6 -1451.0 -1573.3 -1574.2σyy(m) -165.22 55.153 -166.32 -165.02σyy(b) -27.228 -710.31 -39.541 -27.796σxz(m) 31.539 -105.37 32.257 31.596σzz(m) 45.102 508.11 42.646 45.327

Rβ/h = 50σyy(t) -1481.4 -1409.8 -1470.8 -1470.4σyy(m) -422.78 -205.82 -419.74 -422.76σyy(b) 8.4708 -628.63 20.795 7.9878σxz(m) 26.448 -7.3846 26.664 26.459σzz(m) 5.0735 319.18 7.5271 5.1982

Rβ/h = 100σyy(t) -1351.8 -1264.4 -1340.6 -1341.0σyy(m) -321.94 -85.842 -322.23 -321.95σyy(b) 108.00 -485.36 101.30 107.58σxz(m) 19.896 0.0512 19.951 19.901σzz(m) 1.9979 303.66 -0.0070 2.0883

Rβ/h = 500σyy(t) -1072.5 -978.58 -1061.4 -1061.7σyy(m) 150.71 416.66 151.02 150.77σyy(b) 820.09 365.60 815.06 819.95σxz(m) -4.1939 -8.0471 -4.2154 -4.1962σzz(m) 0.4263 277.41 -1.5876 0.4969

Rβ/h = 1000σyy(t) -1170.2 -1098.6 -1159.3 -1159.2σyy(m) 159.55 392.59 159.63 159.60σyy(b) 991.05 554.54 986.16 990.98σxz(m) -5.2242 -6.6837 -5.2415 -5.2262σzz(m) 0.2428 259.60 -1.7681 0.3165

Tabella 6.7. Carico termico. Tensioni adimensionali σij al top (t), in mezzo (m) e albottom (b) del guscio FGM di Ren (ng = 2). La soluzione 3D e riportata nel paragrafo

6.2.

111


-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

-1 -0.5 0 0.5 1

z

σxx

N=1N=3N=5N=6

a)

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8z

σyy

N=1N=3N=5N=6

b)

Figura 6.9. Carico meccanico. Guscio FGM con geometria di Ren. Studio di conver-genza per le seguenti grandezze adimensionali: (a) tensione nel piano lungo x σxx e (b)

tensione nel piano lungo y σyy (ng = 2 e Rβ/h = 10).

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

z

σxz

N=1N=3N=5N=6

a)

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

z

σzz

N=1N=3N=5N=6

b)

Figura 6.10. Carico meccanico. Guscio FGM con geometria di Ren. Studio di conver-genza per le seguenti grandezze adimensionali: (a) tensione trasversale di taglio σxz e

(b) tensione trasversale normale σzz (ng = 2 e Rβ/h = 10).

112


-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1

z

ux

N=1N=3N=7

N=11N=14

a)

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

-1 0 1 2 3 4 5 6z

uz

N=1N=3N=7

N=11N=14

b)

Figura 6.11. Carico termico. Guscio FGM con geometria di Ren. Studio di convergenzaper le seguenti grandezze adimensionali: (a) spostamento nel piano ux e (b) spostamento

trasversale uz (ng = 2 e Rβ/h = 10.

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

-500 -400 -300 -200 -100 0 100 200 300

z

σxx

N=3N=5N=7N=9

N=14

a)

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

-1500 -1000 -500 0 500

z

σyy

N=3N=5N=7N=9

N=14

b)

Figura 6.12. Carico termico. Guscio FGM con geometria di Ren. Studio di convergenzaper le seguenti grandezze adimensionali: (a) tensione nel piano lungo x σxx e (b) tensione

nel piano lungo y σyy (ng = 2 e Rβ/h = 10).

113


-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

-100 -50 0 50 100

z

σxz

N=3N=5N=7N=9

N=11N=13N=14

a)

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

-50 0 50 100 150

z

σzz

N=5N=7N=9

N=13N=14

b)

Figura 6.13. Carico termico. Guscio FGM con geometria di Ren. Studio di convergenzaper le seguenti grandezze adimensionali: (a) tensione trasversale di taglio σxz e (b)

tensione trasversale normale σzz (ng = 2 e Rβ/h = 10).

114


0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

z

T

N=1N=4N=8

N=11N=14

Figura 6.14. Studio di convergenza per la temperatura adimensionale T (ng = 2,Rβ/h = 10).

Le figure 6.15-6.24 rappresentano l’andamento delle variabili in gioco per ng = 2,1,0.5e Rβ/h = 100. Si puo constatare che nel caso meccanico (figure 6.15-6.19) non si hannogrosse variazioni negli spostamenti e nelle tensioni, assumendo diverse frazioni in volume(come succedeva anche per la piastra). Solo per quanto riguarda la tensione normale σzz,la figura 6.19 mette in evidenza un andamento anomalo per ng = 0.5. Un comportamentosimile si spiega andando ad osservare la figura 4.2, in cui si vede che la frazione in volumeVc, e di conseguenza le proprieta del materiale, presentano un forte gradiente in funzionedi z per ng = 0.5. Molto probabilmente non e sufficiente una teoria LD6 per cogliereil gradiente che poi si riflette nella σzz, tuttavia basterebbe utilizzare una teoria di tipomisto o un ordine di espansione piu elevato per risolvere il problema. Passando al casotermico, invece, le differenze al variare di ng sono piu evidenti.Volendo fare un confronto con gli andamenti riscontrati per la piastra, si nota che, so-prattutto nel caso termico, la distribuzione delle tensioni trasversali σxz e σzz non e piusimmetrica rispetto alla superfice media di riferimento e che la tensione σxx, sempre delcaso termico, presenta un picco piu pronunciato all’interno del guscio.

Per completezza, nelle figure 6.25-6.28 sono riportate le distribuzioni dello sposta-mento trasversale e delle tensioni al variare di Rβ/h ed ng = 2. Come ci si aspettava,all’aumentare del rapporto di spessore, ovvero man mano che la piastra diventa sottile,sia lo spostamento uz che la tensione longitudinale σxx aumentano; invece, le tensionitrasversali σxz e σzz non hanno un andamento definibile.

In generale, come era stato gia osservato per la piastra, nel caso termico non e piuvalida l’assunzione di spostamento trasversale uz costante lungo z, pertanto sarebbe pro-fondamente sbagliato utilizzare una teoria CLT o FSDT per descrivere il comportamentodi un guscio soggetto a carico termico.Infine, la figura 6.29 mostra che, al diminuire dello spessore, il profilo di temperaturatende ad attenuare il suo gradiente, tuttavia, non diventa mai lineare perche in un guscio

115


-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

-0.1 -0.05 0 0.05 0.1

z

ux

ng=2ng=1

ng=0.5

Figura 6.15. Distribuzione lungo lo spessore dello spostamento nel piano ux adimension-ale, in un guscio FGM con geometria di Ren, soggetto a carico meccanico (Rβ/h = 100).

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8

z

uz

ng=2ng=1

ng=0.5

Figura 6.16. Distribuzione lungo lo spessore dello spostamento trasversale uz adi-mensionale, in un guscio FGM con geometria di Ren, soggetto a carico meccanico

(Rβ/h = 100).

116


-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

-60 -40 -20 0 20 40 60

z

σxx

ng=2ng=1

ng=0.5

Figura 6.17. Distribuzione lungo lo spessore della tensione longitudinale σxx adimen-sionale, in un guscio FGM con geometria di Ren, soggetto a carico meccanico (Rβ/h =

100).

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0 1 2 3 4 5 6

z

σxz

ng=2ng=1

ng=0.5


adimensionale, in un guscio FGM con geometria di Ren, soggetto a carico meccanico(Rβ/h = 100).

117


-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

z

σzz

ng=2ng=1

ng=0.5


adimensionale, in un guscio FGM con geometria di Ren, soggetto a carico meccanico(Rβ/h = 100).

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

-4 -3 -2 -1 0 1

z

ux

ng=2ng=1

ng=0.5

Figura 6.20. Distribuzione lungo lo spessore dello spostamento nel piano ux adimen-sionale, in un guscio FGM con geometria di Ren, soggetto a carico termico (Rβ/h = 100).

118


-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

13.6 13.8 14 14.2 14.4 14.6 14.8 15

z

uz

ng=2ng=1

ng=0.5

Figura 6.21. Distribuzione lungo lo spessore dello spostamento trasversale uz adimen-sionale, in un guscio FGM con geometria di Ren, soggetto a carico termico (Rβ/h = 100).

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

-600 -500 -400 -300 -200 -100 0 100 200 300

z

σxx

ng=2ng=1

ng=0.5

Figura 6.22. Distribuzione lungo lo spessore della tensione longitudinale σxx adimen-sionale, in un guscio FGM con geometria di Ren, soggetto a carico termico (Rβ/h = 100).

119


-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

-5 0 5 10 15 20 25

z

σxz

ng=2ng=1

ng=0.5


adimensionale, in un guscio FGM con geometria di Ren, soggetto a carico termico(Rβ/h = 100).

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

-1 0 1 2 3 4 5

z

σzz

ng=2ng=1

ng=0.5


adimensionale, in un guscio FGM con geometria di Ren, soggetto a carico termico(Rβ/h = 100).

120


-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0 1 2 3 4 5 6

z

uz

Rβ/h=10Rβ/h=100

Rβ/h=1000

a)

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

-600 -400 -200 0 200 400z

σxx

Rβ/h=10Rβ/h=100

Rβ/h=1000

b)

Figura 6.25. Carico meccanico. Guscio FGM con geometria di Ren. Distribuzioni, alvariare di Rβ/h, delle seguenti grandezze adimensionali: (a) spostamento trasversale uz

e (b) tensione nel piano σxx (ng = 2).

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0 1 2 3 4 5 6 7

z

σxz

Rβ/h=10Rβ/h=100

Rβ/h=1000

a)

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

z

σzz

Rβ/h=10Rβ/h=100

Rβ/h=1000

b)

Figura 6.26. Carico meccanico. Guscio FGM con geometria di Ren. Distribuzioni, alvariare di Rβ/h, delle seguenti grandezze adimensionali: (a) tensione trasversale di taglio

σxz e (b) tensione trasversale normale σzz (ng = 2).

121


-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0 10 20 30 40 50

z

uz

Rβ/h=10Rβ/h=100

Rβ/h=1000

a)

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

-1000 -800 -600 -400 -200 0 200 400 600z

σxx

Rβ/h=10Rβ/h=100

Rβ/h=1000

b)

Figura 6.27. Carico termico. Guscio FGM con geometria di Ren. Distribuzioni, alvariare di Rβ/h, delle seguenti grandezze adimensionali: (a) spostamento trasversale uz

e (b) tensione nel piano σxx (ng = 2).

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

-40 -20 0 20 40

z

σxz

Rβ/h=10Rβ/h=100

Rβ/h=1000

a)

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

-10 0 10 20 30 40 50 60

z

σzz

Rβ/h=10Rβ/h=100

Rβ/h=1000

b)

Figura 6.28. Carico termico. Guscio FGM con geometria di Ren. Distribuzioni, alvariare di Rβ/h, delle seguenti grandezze adimensionali: (a) tensione trasversale di taglio

σxz e (b) tensione trasversale normale σzz (ng = 2).

122


0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

z

T

ng=2ng=1

ng=0.5

a)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

z

T

Rβ/h=10Rβ/h=100

Rβ/h=1000

b)

Figura 6.29. Distribuzione lungo lo spessore della temperatura adimensionale T (a) alvariare di ng (Rβ/h = 100) e (b) al variare di Rβ/h (ng = 2).

123


FGM le proprieta termiche variano con z; infatti, si vede che al diminuire del gradientedel materiale ng, in analogia ad ng stesso, il punto a maggior gradiente si sposta verso ilbottom del guscio.

124

Capitolo 7

Analisi termo-meccanica di un gusciosandwich con cuore in FGM

In questo capitolo viene analizzato un guscio sandwich con cuore in FGM. Lo scopo princi-pale e quello di evidenziare i vantaggi che una struttura di questo tipo presenta rispetto aisandwich classici, in cui il cuore ha proprieta costanti lungo lo spessore. Nell’introduzionedi questa tesi, infatti, si e detto che una delle applicazioni piu importanti dei materialiFGM e quella di accoppiare materiali con proprieta anche molto diverse, come ad esem-pio un ceramico e un metallo, evitando le discontinuita che si possono avere impiegando imateriali compositi. Di seguito, viene riportata un’analisi dettagliata del guscio, soggettoa carico meccanico e termico, che potra costituire il punto di partenza per sviluppi futuri.

7.1 Caratteristiche del guscio sandwich

Il cuore del sandwich e dato dal materiale FGM gia visto per la piastra e il guscio analizzatinei capitoli 4 e 6. Ricordiamone brevemente le caratteristiche:

Bm = 227.24 GPa, µm = 65.55 GPa, αm = 15× 10−6 / K, Km = 25 W/mK, for Monel,

Bc = 125.83 GPa, µc = 58.08 GPa, αc = 10× 10−6 / K, Kc = 2.09 W/mK, for Zirconia.

Ancora una volta, la legge con cui variano le proprieta del materiale e quella di Mori-Tanaka (vedi paragrafo 4.1) e l’esponente della frazione in volume ng viene preso pari a2.Le facce del sandwich sono una in Zirconia e l’altra in Monel e sono disposte in modo dadare continuita alle proprieta complessive del materiale. Come si puo vedere dalla figura7.1, entrambe hanno uno spessore pari a un decimo dello spessore totale del sandwich.

Come per il guscio analizzato nel capitolo 6, utilizziamo la geometria di Ren descrittanella tabella 6.1 e rappresentata in figura 6.1 [32].Il guscio e soggetto a carico meccanico e termico bisinusoidali e le condizioni al contornosono di semplice appoggio. Per le adimensionalizzazioni e per maggiori dettagli vedi iparagrafi 4.1, 6.1, 4.2 e 6.2.1.

125

7 – Analisi termo-meccanica di un guscio sandwich con cuore in FGM

z

x, y

Monel

Zirconia

Cuore FGM

Monel/Zirconia

0.1 htot

0.1 htot

0.8 htot

C(z)

z

K(z)

(z)

α( )

λ

Figura 7.1. ***

7.2 Analisi meccanica e termica

Il guscio sandwich e stato suddiviso complessivamente in 140 strati fittizzi con proprietacostanti lungo z, di cui 120 per il cuore e 10 per ciascuna faccia. Tale suddivisione, comeabbiamo visto nei capitoli 4 e 6, dovrebbe garantirci una soluzione quasi 3-D del proble-ma.Nelle tabelle 7.1 e 7.2 sono riportati i valori di alcune grandezze significative nel caso diguscio soggetto a carico meccanico e termico, rispettivamente. Per ottenere tali risultatisono state utilizzate le teorie CLT, FSDT, ED2, ED4, LD3 e LD4. Lo spessore h assumei valori 1, 0.1 e 0.01, per cui il rapporto Rβ/h varia tra 10, 100 e 1000.Gia dalla trattazione precedente, abbiamo dedotto che solo la teoria LD4 puo fornircidei risultati attendibili. Osservando le tabelle, infatti, notiamo che i valori ottenuti conle teorie di ordine inferiore, nonche le teorie di tipo ESL, sono molto lontani da quellache noi riteniamo la soluzione “esatta”. A maggior ragione, le teorie CLT e FSDT checontengono delle ipotesi ancora piu restrittive sul modello, producono dei risultati errati;basti guardare le figure 7.2-7.6 e 7.7-7.11, per il caso meccanico e termico rispettivamente.In particolare, si e visto che, nel caso di struttura soggetta a carico termico, e in manierameno evidente anche nel caso di carico meccanico, lo spostamento uz non e piu costantelungo lo spessore; per cui, cade una delle ipotesi cinematiche su cui si basano le teorieCLT e FSDT. Ricordiamo, inoltre, che nel caso di struttura a singolo strato FGM giateorie di ordine basso fornivano dei risultati abbastanza vicini alla soluzione esatta; si evisto, invece, che non e cosı per il multistrato in questione.Nelle figure 7.13-7.17 si confrontano gli spostamenti e le tensioni ottenuti utilizzando unprofilo di temperatura assunto lineare Ta e uno calcolato mediante legge di Fourier Tc. Lafigura 7.12 mostra che il profilo calcolato si discosta molto da quello lineare, pertanto sispiegano le notevoli differenze che presentano le soluzioni nonostante il guscio sia sottile(Rβ/h = 100) e la teoria utilizzata sia LD4. Notiamo, in particolare, dalla figura 7.14,che nel caso di profilo calcolato la uz varia maggiormente con z, per cui il fenomeno sipuo attribuire al gradiente di Tc.Precisiamo che, in questa analisi, il profilo di temperatura calcolato e lo stesso indipen-dentemente dalla teoria utilizzata. Questo perche il guscio e stato suddiviso in un numero

126


elevato di strati fittizzi ed il modello riesce a cogliere sempre il profilo di temperaturagiusto. Se non si usa questo modo di procedere, nel ricavare la soluzione con una teoriaCLT o FSDT bisogna tener conto anche dell’errore dovuto a un carico termico non esatto.Per completezza, nelle figure 7.18-7.28 vengono riportati gli andamenti delle grandezze ingioco al variare del rapporto Rβ/h, sia nel caso di carico meccanico che termico. Poichee stata usata una teoria bidimensionale (LD4) si deve considerare un errore dovuto allageometria nel caso di guscio piu spesso, ovvero per Rβ/h = 10; tuttavia, avendo suddivisola struttura in 140 strati fittizzi, tale errore e minimo. Invece, al diminuire dello spes-sore si osservi, ad esempio, che la ux nel caso termico (figura 7.24) diventa lineare, percui basterebbe utilizzare una teoria di ordine inferiore per coglierne l’andamento. Infine,dalla figura 7.23 si puo vedere che per Rβ/h = 1000 il profilo di temperatura diventalineare in corrispondenza delle facce. Si e gia discusso, infatti, che se il materiale presentaproprieta costanti lungo z e lo strato e sottile, non e profondamente sbagliato assumereun profilo di temperatura lineare. Non e lo stesso per uno strato in materiale FGM.

uz(0)Rβ/h 10 100 1000CLT 0.00068 0.5938 55.8926FSDT 0.00236 0.6071 55.8936ED2 0.00192 0.6030 55.8438ED4 0.00210 0.6066 55.8824LD3 0.00215 0.6067 55.8846LD4 0.00215 0.6067 55.8846

σxz(0)CLT 0.3364 2.9212 2.5549FSDT 0.3355 2.9141 2.5543ED2 0.3062 3.1492 2.7465ED4 0.4591 4.3352 3.8020LD3 0.4448 4.3281 3.7965LD4 0.4448 4.3281 3.7965

ux(−h2 )

CLT 0.00103 0.0955 1.4283FSDT 0.00105 0.0955 1.4281ED2 0.00055 0.0951 1.4280ED4 0.00098 0.0956 1.4283LD3 0.00102 0.0958 1.4285LD4 0.00102 0.0958 1.4285

Tabella 7.1. Guscio sandwich con cuore in FGM, soggetto a carico meccanico. Sposta-mento trasversale uz, tensione trasversale di taglio σxz e spostamento nel piano ux (adi-mensionali), calcolati in mezzeria (z = 0) con diverse teorie analitiche e al variare di

Rβ/h.

127


uz(0)Rβ/h 10 100 1000CLT Ta 1.9067 25.460 99.713

Tc 1.1738 16.444 50.966FSDT Ta 2.1429 25.622 99.711

Tc 1.2345 16.508 50.964ED2 Ta 1.1837 18.254 67.194

Tc 0.5574 11.316 34.334ED4 Ta 1.2704 17.977 66.712

Tc 0.8107 11.601 34.653LD3 Ta 1.2099 17.967 66.703

Tc 0.8085 11.598 34.633LD4 Ta 1.2099 17.968 66.703

Tc 0.8085 11.598 34.633σxz(0)

CLT Ta 47.060 35.523 -4.4137Tc 12.001 14.130 -4.3624

FSDT Ta 47.055 35.437 -4.4127Tc 12.039 14.096 -4.3614

ED2 Ta 54.809 14.178 -5.0069Tc 56.803 1.7727 -4.2001

ED4 Ta 34.911 33.665 -5.2086Tc 44.782 16.964 -4.4439

LD3 Ta 12.912 32.986 -5.2593Tc 44.754 17.403 -4.3875

LD4 Ta 12.912 32.986 -5.2593Tc 44.754 17.403 -4.3875

ux(−h2 )

CLT Ta -0.9287 0.2810 -1.2662Tc 0.7720 0.8798 -0.4803

FSDT Ta -0.9250 0.2802 -1.2660Tc 0.7734 0.8795 -0.4800

ED2 Ta -1.1491 0.3932 -0.8024Tc -0.3187 0.6293 -0.3110

ED4 Ta -1.4366 0.3526 -0.8059Tc 0.1817 0.6715 -0.3078

LD3 Ta -1.4697 0.3528 -0.8059Tc 0.2016 0.6723 -0.3078

LD4 Ta -1.4697 0.3528 -0.8059Tc 0.20158 0.6723 -0.3078

Tabella 7.2. Guscio sandwich con cuore in FGM, soggetto a carico termico. Sposta-mento trasversale uz, tensione trasversale di taglio σxz e spostamento nel piano ux (adi-mensionali), calcolati in mezzeria (z = 0) con diverse teorie analitiche e al variare di

Rβ/h.

128


-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

-0.1 -0.05 0 0.05 0.1

z

ux

CLTFSDT

LD4

Figura 7.2. Distribuzione lungo lo spessore dello spostamento nel piano ux adimension-ale, in un guscio sandwich con cuore in FGM, soggetto a carico meccanico (Rβ/h = 100).

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.594 0.596 0.598 0.6 0.602 0.604 0.606 0.608

z

uz

CLTFSDT

LD4

Figura 7.3. Distribuzione lungo lo spessore dello spostamento trasversale uz adimension-ale, in un guscio sandwich con cuore in FGM, soggetto a carico meccanico (Rβ/h = 100).

129


-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

-60 -40 -20 0 20 40

z

σxx

CLTFSDT

LD4

Figura 7.4. Distribuzione lungo lo spessore della tensione longitudinale σxx adimension-ale, in un guscio sandwich con cuore in FGM, soggetto a carico meccanico (Rβ/h = 100).

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

z

σxz

CLTFSDT

LD4

Figura 7.5. Distribuzione lungo lo spessore della tensione trasversale di taglio σxz adi-mensionale, in un guscio sandwich con cuore in FGM, soggetto a carico meccanico

(Rβ/h = 100).

130


-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

-40 -30 -20 -10 0 10 20 30

z

σzz

CLTFSDT

LD4

Figura 7.6. Distribuzione lungo lo spessore della tensione trasversale normale σzz adi-mensionale, in un guscio sandwich con cuore in FGM, soggetto a carico meccanico

(Rβ/h = 100).

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

-4 -3 -2 -1 0 1

z

ux

CLTFSDT

LD4

Figura 7.7. Distribuzione lungo lo spessore dello spostamento nel piano ux adimension-ale, in un guscio sandwich con cuore in FGM, soggetto a carico termico (Rβ/h = 100).

131


-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

11 12 13 14 15 16 17

z

uz

CLTFSDT

LD4

Figura 7.8. Distribuzione lungo lo spessore dello spostamento trasversale uz adimen-sionale, in un guscio sandwich con cuore in FGM, soggetto a carico termico (Rβ/h = 100).

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

-7000 -6000 -5000 -4000 -3000 -2000 -1000 0

z

σxx

CLTFSDT

LD4

Figura 7.9. Distribuzione lungo lo spessore della tensione longitudinale σxx adimension-ale, in un guscio sandwich con cuore in FGM, soggetto a carico termico (Rβ/h = 100).

132


-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

-5 0 5 10 15 20

z

σxz

CLTFSDT

LD4


adimensionale, in un guscio sandwich con cuore in FGM, soggetto a carico termico(Rβ/h = 100).

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0 0.5 1 1.5 2 2.5

z

σzz

LD4


adimensionale, in un guscio sandwich con cuore in FGM, soggetto a carico termico(Rβ/h = 100).

133


-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

z

T

TcTa

Figura 7.12. Confronto tra il profilo di temperatura assunto lineare Ta e il profilo Tc

calcolato usando una teoria LD4 (Rβ/h = 100).

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

-5 -4 -3 -2 -1 0 1

z

ux

TcTa

Figura 7.13. Confronto tra lo spostamento ux ottenuto con il profilo di temperaturaassunto lineare Ta e con quello calcolato Tc (Rβ/h = 100, teoria usata LD4).

134


-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

11 12 13 14 15 16 17 18 19

z

uz

TcTa

Figura 7.14. Confronto tra lo spostamento uz ottenuto con il profilo di temperaturaassunto lineare Ta e con quello calcolato Tc (Rβ/h = 100, teoria usata LD4).

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

-600 -400 -200 0 200 400 600

z

σxx

TcTa

Figura 7.15. Confronto tra la tensione σxx ottenuta con il profilo di temperatura assuntolineare Ta e con quello calcolato Tc (Rβ/h = 100, teoria usata LD4).

135


-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

-10 0 10 20 30 40

z

σxz

TcTa

Figura 7.16. Confronto tra la tensione σxz ottenuta con il profilo di temperatura assuntolineare Ta e con quello calcolato Tc (Rβ/h = 100, teoria usata LD4).

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0 0.5 1 1.5 2 2.5

z

σzz

TcTa

Figura 7.17. Confronto tra la tensione σzz ottenuta con il profilo di temperatura assuntolineare Ta e con quello calcolato Tc (Rβ/h = 100, teoria usata LD4).

136


-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

-0.5 0 0.5 1 1.5

z

ux

Rβ/h=10Rβ/h=100

Rβ/h=1000

Figura 7.18. Distribuzione dello spostamento nel piano ux adimensionale, in un gusciosandwich con cuore in FGM soggetto a carico meccanico, al variare di Rβ/h (teoria usata

LD4).

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0 10 20 30 40 50 60

z

uz

Rβ/h=10Rβ/h=100

Rβ/h=1000

Figura 7.19. Distribuzione dello spostamento trasversale uz adimensionale, in un gusciosandwich con cuore in FGM, soggetto a carico meccanico, al variare di Rβ/h (teoria usata

LD4).

137


-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

-400 -200 0 200 400

z

σxx

Rβ/h=10Rβ/h=100

Rβ/h=1000

Figura 7.20. Distribuzione della tensione longitudinale σxx adimensionale, in un gusciosandwich con cuore in FGM soggetto a carico meccanico, al variare di Rβ/h (teoria usata

LD4).

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

z

σxz

Rβ/h=10Rβ/h=100

Rβ/h=1000

Figura 7.21. Distribuzione della tensione trasversale di taglio σxz adimensionale, in unguscio sandwich con cuore in FGM soggetto a carico meccanico, al variare di Rβ/h (teoria

usata LD4).

138


-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

z

σzz

Rβ/h=10Rβ/h=100

Rβ/h=1000

Figura 7.22. Distribuzione della tensione trasversale normale σzz adimensionale, in unguscio sandwich con cuore in FGM soggetto a carico meccanico, al variare di Rβ/h (teoria

usata LD4).

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

z

T

Rβ/h=10Rβ/h=100

Rβ/h=1000

Figura 7.23. Profilo di temperatura calcolato Tc al variare di Rβ/h (teoria usata LD4).

139


-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5

z

ux

Rβ/h=10Rβ/h=100

Rβ/h=1000

Figura 7.24. Distribuzione dello spostamento nel piano ux adimensionale, in un gusciosandwich con cuore in FGM soggetto a carico termico, al variare di Rβ/h (teoria usata

LD4).

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0 5 10 15 20 25 30 35

z

uz

Rβ/h=10Rβ/h=100

Rβ/h=1000

Figura 7.25. Distribuzione dello spostamento trasversale uz adimensionale, in un gusciosandwich con cuore in FGM soggetto a carico termico, al variare di Rβ/h (teoria usata

LD4).

140


-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

-1200 -1000 -800 -600 -400 -200 0 200 400 600

z

σxx

Rβ/h=10Rβ/h=100

Rβ/h=1000

Figura 7.26. Distribuzione della tensione longitudinale σxx adimensionale, in un gusciosandwich con cuore in FGM soggetto a carico termico, al variare di Rβ/h (teoria usata

LD4).

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60

z

σxz

Rβ/h=10Rβ/h=100

Rβ/h=1000

Figura 7.27. Distribuzione della tensione trasversale di taglio σxz adimensionale, in unguscio sandwich con cuore in FGM soggetto a carico termico, al variare di Rβ/h (teoria

usata LD4).

141


-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0 10 20 30 40 50 60 70 80

z

σzz

Rβ/h=10Rβ/h=100

Rβ/h=1000

Figura 7.28. Distribuzione della tensione trasversale normale σzz adimensionale, in unguscio sandwich con cuore in FGM soggetto a carico termico, al variare di Rβ/h (teoria

usata LD4).

142


7.3 Cuore FGM vs Cuore “classico”

In questo paragrafo, viene considerato un guscio sandwich con cuore in materiale “classi-co”. Le facce sono quelle viste per il sandwich del paragrafo precedente; il cuore, invece,presenta proprieta mediate rispetto alle facce e costanti lungo z. Lo scopo di quest’anal-isi e quello di evidenziare i vantaggi che si possono trarre dall’utilizzo degli FGMs nellestrutture sandwich. La teoria usata per l’analisi e l’LD4, ma in questo caso non si sonoassunte interfacce fittizie.Le tabelle 7.3 e 7.4 riportano il confronto tra alcune grandezze significative calcolate peril sandwich con cuore in FGM e quello con cuore in materiale classico (Rβ/h = 100).Si nota, innanzitutto, che nel primo caso la uz e piu piccola, sia per carico meccanicoche termico, ovvero la struttura risulta essere piu rigida (vedi anche figure 7.30 e 7.35).Bisogna precisare, pero, che a seconda della legge con cui le proprieta dell’FGM varianolungo z, si puo ottenere anche il comportamento opposto, ossia una struttura meno rigida.Osservando, inoltre, le figure 7.32 e 7.37 relative alla tensione trasversale di taglio, si puoconstatare che cambia il punto in cui essa diventa massima. Pertanto, impiegando unopportuno FGM, si puo fare in modo che il massimo della σxz si presenti nella posizionepiu conveniente. Infine, dalle figure 7.31 e 7.36, si vede che la tensione longitudinale σxx

diviene continua nel sandwich con cuore in FGM, in quanto sono continue le proprieta elas-tiche del materiale. Le discontinuita che vediamo, invece, nelle tensioni trasversali quandoil cuore e in materiale classico, potrebbero essere eliminate semplicemente utilizzando unateoria di tipo misto.

Rβ/h = 100cuore FGM cuore CLASSICO

ux(−h2) 0.0958 0.0979

uz(0) 0.6067 0.6078σxz(0) 4.3281 4.2994σzz(0) 0.4724 0.4673

Tabella 7.3. Carico meccanico. Confronto tra i risultati ottenuti con la teoria LD4,per un guscio con cuore in FGM e un guscio con cuore in materiale “classico”, avente

proprieta medie rispetto alle due facce.

143


Rβ/h = 100cuore FGM cuore CLASSICO

ux(−h2) 0.6723 0.6760

uz(0) 11.598 13.920σxz(0) 17.403 19.050σzz(0) 2.0979 -2.1889

Tabella 7.4. Carico termico. Confronto tra i risultati ottenuti con la teoria LD4, per unguscio con cuore in FGM e un guscio con cuore in materiale “classico”, avente proprieta

medie rispetto alle due facce. Il profilo di temperatura e calcolato.

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

-0.1 -0.05 0 0.05 0.1

z

ux

cuore "CLASSICO"cuore FGM

Figura 7.29. Carico meccanico. Spostamento nel piano ux adimensionale. Confrontotra guscio sandwich con cuore in materiale “classico” e guscio sandwich con cuore in

FGM (Rβ/h = 100, teoria usata LD4).

144


-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.602 0.603 0.604 0.605 0.606 0.607 0.608

z

uz


Figura 7.30. Carico meccanico. Spostamento trasversale uz adimensionale. Confrontotra guscio sandwich con cuore in materiale “classico” e guscio sandwich con cuore in


-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

-60 -40 -20 0 20 40

z

σxx


Figura 7.31. Carico meccanico. Tensione longitudinale σxx adimensionale. Confrontotra guscio sandwich con cuore in materiale “classico” e guscio sandwich con cuore in


145


-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

z

σxz


Figura 7.32. Carico meccanico. Tensione trasversale di taglio σxz adimensionale. Con-fronto tra guscio sandwich con cuore in materiale “classico” e guscio sandwich con cuore

in FGM (Rβ/h = 100, teoria usata LD4).

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

z

σzz


Figura 7.33. Carico meccanico. Tensione trasversale normale σzz adimensionale. Con-fronto tra guscio sandwich con cuore in materiale “classico” e guscio sandwich con cuore


146


-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

-4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5

z

ux

cuore FGMcuore "CLASSICO"

Figura 7.34. Carico termico. Spostamento nel piano ux adimensionale. Confronto traguscio sandwich con cuore in materiale “classico” e guscio sandwich con cuore in FGM

(Rβ/h = 100, teoria usata LD4).

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

11.5 12 12.5 13 13.5 14 14.5

z

uz


Figura 7.35. Carico termico. Spostamento trasversale uz adimensionale. Confronto traguscio sandwich con cuore in materiale “classico” e guscio sandwich con cuore in FGM


147


-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

-600 -400 -200 0 200 400 600

z

σxx


Figura 7.36. Carico termico. Tensione longitudinale σxx adimensionale. Confronto traguscio sandwich con cuore in materiale “classico” e guscio sandwich con cuore in FGM


-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

-5 0 5 10 15 20

z

σxz


Figura 7.37. Carico termico. Tensione trasversale di taglio σxz adimensionale. Con-fronto tra guscio sandwich con cuore in materiale “classico” e guscio sandwich con cuore


148


-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6

z

σzz


Figura 7.38. Carico termico. Tensione trasversale normale σzz adimensionale. Confron-to tra guscio sandwich con cuore in materiale “classico” e guscio sandwich con cuore in


149

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