BASI TEORICHE DEL METODO DEGLI ELEMENTI FINITI (MEF) · rilevanti semplificazioni (travi, piastre,...

© Università di Pisa 2006

BASI TEORICHE DELMETODO DEGLI ELEMENTI FINITI (MEF)

DOCENTELeonardo BERTINI

Dip. di Ingegneria Meccanica, Nucleare e della Produzione

Tel. : 050-836621

E.mail : [email protected]


Sistemi di equazioni differenziali alle derivate parziali

Elasticità Elettromagnetismo

TermodinamicaFluidodinamica

Etc…

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

∂∂

⋅−

+∇

=+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

∂∂

⋅−

+∇

=+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

∂∂

⋅−

+∇

021

1

021

1

021

1

2

2

2

GZ

zw

yv

xu

zw

GY

zw

yv

xu

yv

GX

zw

yv

xu

xu

ν

ν

ν


Soluzioni analitiche: solo in casi particolari, introducendo rilevanti semplificazioni (travi, piastre, gusci…)

Sviluppo di tecniche di soluzione approssimateIl Metodo degli Elementi Finiti (MEF), per la grande versatilità, è di gran lunga il più diffuso.


Idea centrale del MEF (e delle altre tecniche approssimate):

Problema originale: determinare le f.ni incognite u, v, w

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

∂∂

⋅−

+∇

=+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

∂∂

⋅−

+∇

=+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

∂∂

⋅−

+∇

021

1

021

1

021

1

2

2

2

GZ

zw

yv

xu

zw

GY

zw

yv

xu

yv

GX

zw

yv

xu

xu

ν

ν

ν

Problema sostitutivo: determinare delle funzioni sostitutive che approssimino u, v e w con un errore accettabile ai fini pratici e

siano relativamente facili da calcolare


x

u(x)

u’(x)

Esempio di funzione approssimante(problema monodimensionale)

F.ne sostitutiva u’(x):• espressione matematica semplice• nota ovunque una volta noto il valore di un n° finito di parametri

Oss.ni: •necessario assicurare la convergenza• soluzione affetta da errori


(a)elemento

nodo

(b)

Discretizzazione

Struttura Modello (“mesh”)


1 2 3 54 6

7 8 9 1110 12

13 14 15 1716 18

i = n° di elemento

1 2 3 54 6 7

8 9 10 1211 13 14

15 16 17 1918 20 21

22 23 24 2625 27 28

i = n° di nodo

Nodi ed elementi identificati da un numero univoco


x

y

7

7’

(g.d.l.)

N° totale g.d.l. = N° g.d.l./nodo * N° nodi

N° g.d.l./nodo varia da 2 a 6 secondo:• tipo di elemento• natura problema

Gradi di libertà (g.d.l.)


i

j

k

e

x

y

vxj

vyj

Studio del comportamento meccanico del singolo elemento

Elemento piano per problemi 2D

{ }

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

yk

xk

yj

xj

yi

xi

e

e

e

e

e

e

e

vvvvvv

uuuuuu

U

6

5

4

3

2

1

(6 x 1)


i

j

k

e

x

y

vxj

vyj

Studio del comportamento meccanico del singolo elemento

Elemento piano per problemi 2D

{ }

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

yk

xk

yj

xj

yi

xi

e

e

e

e

e

e

e

vvvvvv

uuuuuu

U

6

5

4

3

2

1

qyi

qxi

{ }

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

yk

xk

yj

xj

yi

xi

e

e

e

e

e

e

e

qqqqqq

pppppp

P

6

5

4

3

2

1

{Ue} {Pe}?


{ } [ ] { }166616 xxx

UKP eee ⋅=

Studio condotto in campo lineare:

Matrice di rigidezza dell’elemento


x

FF=k x

i

j

ke

xy

vxj

qyi

qxi

vyj{ } [ ] { }UKP eee ⋅=

Elemento = molla “multidimensionale


Teorema di reciprocità

pm

i

j

k

e

ul= 1j

k

e

pl

ium=1

A

δΑΒB

AδΒΑ

B

δΑΒ= δΒΑ

pme = pl

e

kml = klm

[Ke] simmetrica


i

j

ke

x

y vx

vy

P(x,y)

Valutazione di [Ke]Spostamenti nei punti interni all’elemento

{ } [ ] { }16621212

),(),(),(

),(

xxxx

UyxNyxvyxv

yxv ee

y

x ⋅=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=

F.ni di forma (“shape functions”)

Pb: - che forma matematica dare alle Ne(x,y) ?- come determinare le Ne(x,y) ?

( )∑=

⋅=6

1,

ll

erlr uyxNv

Ogni f.ne di forma rappresenta il “peso” (dipendente dalla posizione di P) che ciascuna componente di spostamento nodale ha nel determinare lo spostamento di P


i

j

k

e

x

y

i

j

ke

vx

vy

P(x,y)

vxj

{ }

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

yk

xk

yj

xj

yi

xi

e

vvvvvv

uuuuuu

U

6

5

4

3

2

1

P(x,y)

⎩⎨⎧

=≠

=3130

),(1 lselse

yxN jjel

3212111

6

111

....),(),(

),(),(),(

uuyxNuyxN

uyxNyxvyxv

jje

jje

lljj

eljjxjj

=+⋅+⋅=

=⋅== ∑=


i

j

ke

....),(),(),(),( 212111

6

111 +⋅+⋅=⋅=∑

=

uyxNuyxNuyxNyxv jje

jje

lljj

eljj

{ }

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

yk

xk

yj

xj

yi

xi

e

vvvvvv

uuuuuu

U

6

5

4

3

2

1

( ) ( )( ) ( )( ) ( )⎪

⎩

⎪⎨

⎧

======

0,0,0,0,0,1,

1613

1512

1411

iie

iie

iie

iie

iie

iie

yxNyxNyxNyxNyxNyxN

vx

vy P(x,y)

( ) ( )( ) ( )( ) ( )⎪

⎩

⎪⎨

⎧

======

0,1,0,0,0,0,

1613

1512

1411

jje

jje

jje

jje

jje

jje

yxNyxNyxNyxNyxNyxN

( ) ( )( ) ( )( ) ( )⎪

⎩

⎪⎨

⎧

======

0,0,1,0,0,0,

1613

1512

1411

kke

kke

kke

kke

kke

kke

yxNyxNyxNyxNyxNyxN

vx

vy

P(x,y)

vx

vy

P(x,y)⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

0),(0),(1),(

11

11

11

kk

jj

ii

yxNyxNyxN

⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

0),(1),(0),(

13

13

13

kk

jj

ii

yxNyxNyxN

⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

1),(0),(0),(

15

15

15

kk

jj

ii

yxNyxNyxN

⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

0),(0),(0),(

12

12

12

kk

jj

ii

yxNyxNyxN

⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

0),(0),(0),(

14

14

14

kk

jj

ii

yxNyxNyxN

⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

0),(0),(0),(

16

16

16

kk

jj

ii

yxNyxNyxN


yCxBAyxN lmlmlmelm ⋅+⋅+=),(

⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

0),(0),(1),(

11

11

11

kk

jj

ii

yxNyxNyxN

i

j

k

x

y

N11

1

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++=++=++

001

111111

111111

111111

kk

jj

ii

yCxBAyCxBAyCxBA

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

Δ−

=

Δ−

=

Δ−

=

2

2

2

11

11

11

jk

kj

jkkj

xxC

yyB

yxyxA

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=Δ

kk

jj

ii

yxyxyx

111

det2


i

j

k

x

y

N11

1

i

j

k

x

y

N13

1

i

j

k

x

y

N15

1



⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

0),(0),(0),(

12

12

12

kk

jj

ii

yxNyxNyxN

i

j

k

x

y

N12 0

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++=++=++

000

121212

121212

121212

kk

jj

ii

yCxBAyCxBAyCxBA

⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

000

12

12

12

CBA


{ } [ ] { }16621212

),(),(),(

),(

xxxx

UyxNyxvyxv

yxv ee

y

x ⋅=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=

( ) ( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=== 152613241122

151311

0000,0,0,

NNNNNNyxNyxNyxN

Matrice delle funzioni di forma


Calcolo delle deformazioni

Spostamenti Deformazionicongruenza

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

∂∂

+∂∂

=

∂∂

=

∂∂

=

xv

yvyvxv

yxxy

yy

xx

γ

ε

ε( )( ) [ ] ( ){ }yxvL

yxvyxv

xy

y

x

y

x

xy

y

x

,,,

0

0

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

γεε


{ } [ ]{ }2x13x23x1

),(),( yxvLyx =ε { } [ ]{ }166212

),(),(xxx

eUyxNyxv =

{ } [ ][ ]{ } [ ]{ }6x13x63x1

ee UBUNL ==ε


Contenuto matrice [B]

[ ] [ ][ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

==262422

151311

000000

0

0

NNNNNN

xy

y

xNLB

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

xN

yN

xN

yN

xN

yN

yN

yN

yN

xN

xN

xN

B

261524132211

262422

151311

000

000


Relazioni costitutive

( )

{ } [ ]{ }εσ

γεε

νν

ν

ντσσ

D

E

xy

y

x

xy

y

x

=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

2/1000101

1 2

( )⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+=

−=

−=

E

EE

EE

xyxy

xyy

yxx

τνγ

νσσε

νσσε

12

Esempio 1: stato piano di tensione, materiale isotropo


Valutazione di [Ke]

i

j

ke

xy

{δUe}

Principio dei Lavori Virtuali

Lest = Lint

{ } { }eTeest PUL δ=

Spost. virtuali Carichi effettivi

Carichi nodali veri * spost.nodali virtuali

Tensioni vere * deformazioni virtuali


{ } { }dVLV

T∫= σδεint { } [ ]{ }{ } { } [ ]TTeT

e

BU

UB

δδε

δδε

=

=

{ } [ ] { } { } [ ] { }dVBUdVBULV

TTe

V

TTe ∫∫ == σδσδint

{ } [ ] [ ][ ]{ } { } [ ] [ ][ ] { }e

V

TTe

V

eTTe UdVBDBUdVUBDBUL ∫∫ == δδint

{ } [ ] [ ]{ }dVDBULV

TTe ∫= εδint

{ } [ ]{ }εσ D=

{ } [ ]{ }eUB=ε


{ } [ ] [ ][ ] { }e

V

TTe UdVBDBUL ∫= δint{ } { }eTeest PUL δ=

{ } { } { } [ ] [ ][ ] { }e

V

TTeeTe UdVBDBUPU ∫= δδ

{ } [ ] [ ][ ] { }e

V

Te UdVBDBP ∫=

{ } [ ] { }eee UKP =


Applicazionee[ ] [ ] [ ][ ]dVBDBK

V

Te ∫=

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

261524132211

262422

151311

000000

BCBCBCCCC

BBBB

[ ]( ) ⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

=2/100

0101

1 2

νν

ν

νED

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ]VBDBdVBDBK T

V

Te == ∫


[ ] [ ] [ ] [ ]VBDBK Te =

Osservazione: unità di misura

m-1 m-1N m-2

m3

N m-1


ANALISI INTERA STRUTTURA

Congruenza [B]

Costitutive [D]

Equilibrio Garantito per il singolo elemento (non ancora per la struttura)


x

y

{ }

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−−−=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−−−=

GDLN nyn

x

y

x

u

uuu

v

vvv

U3

2

1

2

1

1

{ }

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−−−=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−−−=

GDLN nyn

x

y

x

f

fff

f

fff

F3

2

1

2

1

1


27 (i)

18 (j)

31 (k)

33 (l)

vyi

qxj


{ } [ ]{ }

18881818

...

...

...

...

...

..................

..................

..................

......

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

4,33,31,3

6,25,24,23,22,21,2

6,15,14,13,12,11,1

3

xxxx

vkkk

kkkkkkkkkkkk

pqUKP

eyi

eee

eeeeee

eeeeee

exjeee

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⇒=e3,2k

27 (i)

18 (j)

31 (k)

33 (l)

vyi

qxj

{ } [ ]{ }

11..................

)(.........

..............................

..............................

..............................

..............................

...............000......

...............0)(0......

...............00......

..............................

..............................

..............................

...

...

...

...0

)(0.........

54

3*

35**

xnxnnxn

vupp

UKP

gdlgdlgdlgdl

eyi

eeee

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

==

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=⇒=

e3,2

*e35,54 k

0k


e1

e4e3

e2fj

pje4*

pje1*

pje3*

pje2*

x

y

∑=

=En

e

ejj pf

1

*

01

* =−∑=

En

e

ejj pf

Carico esterno

Carico applicato nel nodo all’elemento “e”


i

n

i

n

e

eji

n

e

n

ii

eji

n

e

ejj ukukpf

gdl EE gdlE

∑ ∑∑ ∑∑= == ==

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

1 11 11

***

{ } [ ]{ }UKP ee ** =

{ } [ ]{ }UKF =

Matrice di rigidezza della struttura

nGDLx 1nGDLx nGDL

nGDLx 1∑=

=En

e

ejiji kk

1

*


{ } [ ]{ }UKF =

SOLUZIONE

{ } [ ] { }FKU 1−=

c.n.s. : [ ] 0det ≠K


[ ] 0det ≠K Struttura non labile


VINCOLIVincolare = assegnare “a priori” il valore di una delle componenti di spostamento (g.d.l.)

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−

−−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−−−−−

−−−−−−−−−−−−−−−−−

−−−−−−

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−

−−

GDLGDLGDLGDLGDLGDL

GDL

GDL

GDL

GDL n

m

nnmnnn

mnmmmm

nm

nm

n

m

u

u

uu

kkkk

kkkk

kkkkkkkk

f

f

ff

2

1

21

,21

222221

111211

2

1

nGDL •1 nGDL •nGDL nGDL •1

um=0


nGDL •1 nGDL •(nGDL-1) (nGDL-1) •1

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−

−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−−−−

−−−−−−−−−−−−−−−−

−−−−

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−

−−

−

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−

−−

+

−

+−

+−

+−

+−

GDLGDLGDLGDLGDLGDLGDL

GDL

GDL

GDL

GDLGDL n

m

m

nnmnmnnn

mnmmmmmm

nmm

nmm

mn

mm

m

m

m

n

m

u

uu

uu

kkkkk

kkkkk

kkkkkkkkkk

k

k

kk

u

f

f

ff

1

1

2

1

1121

1,1,21

212122221

111111211

,

2

1

2

1

um=0

fm non assegnabile


(nGDL-1) •1 (nGDL-1) •(nGDL-1) (nGDL-1) •1

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−

−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−−−−

−−−−

−−−−−−−−−−−

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−

−

−

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−

−

+

−

+−

+++−+++

−+−−−−−

+−

+−

+

−

+

−

GDLGDLGDLGDLGDLGDLGDL

GDL

GDL

GDL

GDL

GDLGDL n

m

m

nnmnmnnn

nmmmmmmm

nmmmmmmm

nmm

nmm

mn

mm

mm

m

m

m

n

m

m

u

uu

uu

kkkkk

kkkkkkkkkk

kkkkkkkkkk

k

kk

kk

u

f

ff

ff

1

1

2

1

1121

,11,11,12,11,1

,11,11,11,11,1

212122221

111111211

,1

.1

2

1

1

1

2

1

Introduzione vincolo = riduzione di 1 del numero di incognite ed equazioni


[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

XXXXXXXXXXMMIS

XXXXXXXXXX

XXXXXXX

XXXXXXXXXXX

K

.0000000000000000000000000000000000000000

La matrice [K]:• è simmetrica• ha una struttura “a banda” attorno alla diagonale principale


Approssimazione effettiva del campo di spostamenti sul singolo elemento

i

j

k

x

y

vx

vix

vjx

vkx


Approssimazione effettiva del campo di spostamenti sull’intero modello

u

x

y


u

x

EsattoEF

Tensioni discontinue nei nodi

Andamento effettivo delle tensioni

Spostamenticontinui nei nodi Esatto

EF

σ

x

Calcolo di valori mediati nei nodi (media aritmetica o altre tecniche)

Interpolazione dei valori mediati nodali nelle zone interne (Es. tramite le N)


Dimensioni ottimali degli elementi

EsattoEF

σEsattoEF

σ

Dimensioni elementinon ottimali

Dimensioni elementiottimali


In casi in cui le tensioni sono intrinsecamente discontinue, l’operazione di media nei nodi può diminuire la precisione.Esempio 1 : Lastra in due materiali diversi, soggetta ad allungamento uniforme

E=105 MPa

E=2.1 105 MPa

xy

η

Mediate

Non mediate

η

σx


Esempio 2: lastra incastrata agli estremi e caricata al centro

xy

η

Mediata

Non mediata

σy

η


Elementi di ordine superiore

N11

1i

j

k

x

y

N11

1

i

j

k

x

y l m

n


⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

0),(0),(1),(

11

11

11

kk

jj

ii

yxNyxNyxN

xyFyExD

yCxBAyxN

lmlmlm

lmlmlmelm

⋅+⋅+⋅+

+⋅+⋅+=22

),(

⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

0),(0),(1),(

11

11

11

kk

jj

ii

yxNyxNyxN

⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

0),(0),(0),(

11

11

11

nn

mm

ll

yxNyxNyxN


u

x

EsattoEF

Tensioni discontinue nei nodi

Elemento con F.ne Forma quadratica

Spostamenticontinui nei nodi Esatto

EF

σ

x


Carichi non concentrati

i

j

k

xy wx

wy

{ }w

{ }tForze di volume

Carichi distribuiti

tx

ty

{ } { } tWeTe

est LLPUL ++= δ

{ } { }{ } { } { } [ ] { } { } [ ] { }∫∫∫ ===

=

V

TTe

V

TTe

V

TW

TW

dVwNUdVwNUdVwvL

dVwvdL

δδδ

δ

Lavoro forze di volume

Lavoro carichi distribuiti

{ } {} { } [ ] { }∫∫ ==L

TTe

L

Tt dLtNUdLtvL δδ


{ } [ ]{ } { } { }et

eW

eee PPUKP ++=

{ } [ ] { }∫−=V

TeW dVwNP { } [ ] { }∫−=

L

Tet dLtNP

Reazioni vincolari conseguenti all’applicazione all’elemento delle forze distribuite e di volume = - carichi che l’elemento trasmette ai nodi in seguito alla presenza delle forze distribuite o di volume (carichi nodali)


Esempio: carico uniformemente distribuito sul lato di un elemento triangolare

i

j

k

xy

{ }t

Carichi distribuiti

tx

ty{ } [ ] { }

122616 xxx

dtNPL

Tet ∫−= ξ

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

151311

151311

000000

NNNNNN

N


{ } ξdtt

NN

NN

NN

pppppp

Py

x

L

ekyt

ekxt

ejyt

ejxt

eiyt

eixt

et

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

= ∫

15

15

13

13

11

11

,

,

,

,

,

,

00

00

00

00),(

2),(

2),(

15,

13,

11,

==∈=

==∈=

=−

=∈=

∫∫

∫∫

∫∫

Lx

Lx

ekxt

x

Lx

Lx

ejxt

x

Lx

Lx

eixt

dLtdLtLyxNp

LtdLL

tdLtLyxNp

LtdL

LtdtLyxNp

ξ

ξξξ

i

j

k

xy

L

ξ

i

j

kN11

1

i

j

k

N13

1i

j

k

N151


i

j

k

xy

txL/2

txL/2

t yL/2

t yL/2

Carichi nodali equivalenti

BASI TEORICHE DEL METODO DEGLI ELEMENTI FINITI (MEF) · rilevanti semplificazioni (travi, piastre,...

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