Lez3-Gusci Sottili Assialsimmetrici

8/20/2019 Lez3-Gusci Sottili Assialsimmetrici

http://slidepdf.com/reader/full/lez3-gusci-sottili-assialsimmetrici 1/93

1/

C o r s o d i “ C o s t r u

z i o n e d i A p p a r e c c h i a t u r e C h i m

i c h e ”

A n n o a c a c d e m i c o 2 0 1 3 - 1 4

Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici

1/



i c h e ”

A n n o a c a c d e m i c o 2 0 1 3 - 1 4


Gusci

sottili:

corpi bidimensionali la cui superficie media non è piana ma si sviluppa nello spazio, con carichi applicati sia giacenti sul piano medio che ortogonali ad esso.



2/



i c h e ”

A n n o a c a c d e m i c o 2 0 1 3 - 1 4


2/



i c h e ”

A n n o a c a c d e m i c o 2 0 1 3 - 1 4


Guscio sottile asialsimmetrico: superficie media ottenuta da una curva piana (

) che

ruoti attorno ad un asse () appartenente allo stesso piano () della curva



3/

C o r s o d i “ C o s t r u z i o n e d i A p p a r e c c h i a t u r e C h i m

i c h e ”

A n n o a c a c d e m i c o 2 0 1 3 - 1 4


3/


i c h e ”

A n n o a c a c d e m i c o 2 0 1 3 - 1 4



) che




4/


i c h e ”

A n n o a c a c d e m i c o 2 0 1 3 - 1 4


4/


i c h e ”

A n n o a c a c d e m i c o 2 0 1 3 - 1 4



) che




5/


i c h e ”

A n

n o a c a c d e m i c o 2 0 1 3 - 1 4


5/


i c h e ”

A n

n o a c a c d e m i c o 2 0 1 3 - 1 4


meridiano ()

La curva piana () costituisce uno dei meridiani (curve ottenute per intersezione con un

semipiano uscente dall’asse .



6/


i c h e ”

A n

n o a c a c d e m i c o 2 0 1 3 - 1 4


6/


i c h e ”

A n

n o a c a c d e m i c o 2 0 1 3 - 1 4


P

meridiano ()

parallelo

La curva piana () costituisce uno dei meridiani (curve ottenute per intersezione con un

semipiano uscente dall’asse .

Le circonferenze ottenute sezionando con un piano ortogonale a costituiscono i

paralleli.



7/


i c h e ”

A n

n o a c a c d e m i c o 2 0 1 3 - 1 4


7/


i c h e ”

A n

n o a c a c d e m i c o 2 0 1 3 - 1 4


P

meridiano ()

parallelo

La posizione di un meridiano è definita dall’angolo azimutale , misurato a partire da

un meridiano origine arbitrario.



8/


i c h e ”

A n

n o a c a c d e m i c o 2 0 1 3 - 1 4


8/


i c h e ”

A n

n o a c a c d e m i c o 2 0 1 3 - 1 4


P

meridiano ()

parallelo



La posizione di un parallelo è definita dall’angolo meridiano , formato tra la normale

alla superficie e l’asse di rotazione.



9/


i c h e ”

A n

n o a c a c d e m i c o

2 0 1 3 - 1 4


9/


i c h e ”

A n


2 0 1 3 - 1 4


P

meridiano ()

parallelo

P



La posizione di un parallelo è definita dall’angolo meridiano , formato tra la normale

alla superficie e l’asse di rotazione.



10/


i c h e ”

A n


2 0 1 3 - 1 4


10/


i c h e ”

A n


2 0 1 3 - 1 4


meridiano

parallelo

z

P

zP

Fissato un punto P, si definisce in esso un SR locale con:

• Asse z ortogonale al piano tangente alla superficie media in P

• Asse giacente sul piano tangente e diretto secondo il parallelo per P

• Asse giacente sul piano tangente e diretto secondo il meridiano per P



11/


i c h e ”

A n


2 0 1 3 - 1 4


11/


i c h e ”

A n


2 0 1 3 - 1 4


OR

P

Raggi di curvatura rilevanti:

• Raggio

di

curvatura

meridiano

(R

):

curvatura sul piano ‐Z, corrisponde al raggio di

curvatura della curva ; il centro di curvatura giace sul prolungamento dell’asse Z.

OR

P

z



12/

C o r s o d i “ C o s t r u z i o n e d i A p p a r

e c c h i a t u r e C h i m

i c h e ”

A n


2 0 1 3 - 1 4


12/



i c h e ”

A n


2 0 1 3 - 1 4



• Raggio

di

curvatura

azimutale

(R

):

curvatura sul piano ‐Z; distanza tra P e

l’intersezione dell’asse z con l’asse di simmetria, su cui giace il centro di curvatura O

OO

R

R

P

OR

OR

P

z



13/



i c h e ”

A n


2 0 1 3 - 1 4


13/



i c h e ”

A n


2 0 1 3 - 1 4


OO

R

R

R

P

R


• Raggio

di

curvatura

assiale

(R

):

distanza tra P e l’asse di simmetria; risulta

chiaramente R =R ∙ sin( )

OR O

R

P

z



14/

C o r s o d i “ C o s t r

u z i o n e d i A p p a r


i c h e ”

A n


2 0 1 3 - 1 4


14/




i c h e ”

A n


2 0 1 3 - 1 4


Esercizio 1

Verificare se le seguenti strutture possono essere studiate come gusci assialsimmetrici:

Recipiente cilindrico orizzontale pieno di acqua

e soggetto al relativo peso proprio

SI NO

R e c i p i e n t e

c i l i n d r i c o

v e r t i c a l e

p i e n o

d i a c q u a

e

s o g g e t t o

a l r e

l a t i v o

p e s o

p r o p r i o

SI NO

Recipiente cilindrico orizzontale pieno di liquido

e soggetto all’effeto di una accelerazione nella

direzione del suo asse (Es.: autobotte che frena)

SI NO



16/




i c h e ”

A n


2 0 1 3 - 1 4


O

Raggi di curvatura per alcune figure geometriche significative

Sfera

R R R

OOO



17/




i c h e ”

A n


2 0 1 3 - 1 4


R


Cilindro

R

R R R



18/




i c h e ”

A n


2 0 1 3 - 1 4


R


Cono (semi

‐apertura

90

R

R R

sin



19/




i c h e ”

A n


2 0 1 3 - 1 4


Ra

R


Toro (Raggi

Ra ed

Rc )

)sin(

)sin(

)sin()sin(

ca

ca

c

R R R

R R R R

R R



20/




i c h e ”

A n


2 0 1 3 - 1 4



Ellisse

(Semi ‐assi

a e b)

Nel punto di coordinate:

)sin(

)cos(

0

0

b y

a x

si ottiene:

sin

sincos

sinarccos

sincos

cossin

2

2

22

2

2

22

2

32222

R R

b

a

b

aa R

ba

ba R

R

p

x

y

2a

b

A

B



21/




i c h e ”

A n


2 0 1 3 - 1 4


R


Ellisse

(Semi ‐assi

a e b)

In particolare si ottiene:

b

a R R B

a R

a

b R

A

2

2

90

)0(

A

B



22/




i c h e ”

A n


2 0 1 3 - 1 4


Analisi dei carichi di pressione

Se una superficie è soggetta ad una pressione uniforme p, la risultante di tali forze di

pressione in una direzione fissata , indipendentemente dalla forma della superficie, è

pari al prodotto di p per l’area della proiezione netta della superficie stessa su di un

piano ortogonale ad .

p



23/




i c h e ”

A n


2 0 1 3 - 1 4





pari al prodotto di p per l’area della proiezione della superficie stessa su di un piano

ortogonale ad . Il verso è dato dalla componente del vettore che rappresenta la

pressione sulla direzione .

p

A1

p∙A1

p∙A1



24/


u z i o n e d i A p p a r e c c h i a t u r e C h i m

i c h e ”

A n


2 0 1 3 - 1 4





pari al prodotto di p per l’area della proiezione della superficie stessa su di un piano

ortogonale ad . Il verso è dato dalla componente del vettore che rappresenta la

pressione sulla direzione .

p

A2

p∙A2

p∙A2



25/



i c h e ”

A n


2 0 1 3 - 1 4





pari al prodotto di p per l’area della proiezione netta della superficie stessa su di un

piano ortogonale ad .

p

A1‐A2

A1

A2

p∙(A1‐A2)

p∙(A1‐A2)

A1‐A2



26/



i c h e ”

A n


2 0 1 3 - 1 4


Esercizio 2a

Calcolare la reazione vincolare assiale che devono esercitare i prigionieri che trattengono la testa emisferica di un compressore da 10 bar.

Come cambierebbe la risposta se la testa fosse piana?

E se fosse semiellittica con rapporto 2 tra gli assi?

2 0 0



28/


i c h e ”

A n n o a c a c d e m i c o

2 0 1 3 - 1 4


Esercizio 2b

Il recipiente pressurizzato mostrato in Figura è composto da tre corpi cilindrici formanti all’interno un’unica cavità.

Quanto vale la forza assiale cui è sottoposto complessivamente il cilindro centrale?

1

h

2

p0



30/


i c h e ”


2 0 1 3 - 1 4


p

Q M

NNp

Differenze fondamentali tra gusci e piastre

Piastre: superficie media piana, per

cui i carichi esterni non potrebbero

essere equilibrati da tensioni costanti

nello spessore, la cui risultante non

avrebbe componenti ortogonali al

piano medio → taglio + flessione in

ogni punto

Gusci: superficie media curva, per cui

i carichi esterni possono essere

equilibrati da tensioni costanti nello

spessore, la cui risultante N ha una componente nella risultante della

pressione p → taglio e flessione solo

in particolari zone limitate



31/


i c h e ”


2 0 1 3 - 1 4


NNp

Teoria «membranale» dei gusci sottili

Escluse particolari zone, solitamente di

limitata estensione, lo stato di tensione dei

gusci sottili può essere analizzato

ipotizzando che lo stato di tensione sia

costante

nello

spessore

(Teoria membranale dei gusci sottili)

Ipotesi preliminari della teoria dei gusci sottili

• spostamenti sotto carico molto minori dello spessore

• punti dello spessore che, prima della deformazione, giacevano su di una retta

ortogonale alla superficie media, dopo la deformazione continuano a formare una

retta ortogonale alla superficie media deformata (ipotesi di Kirchoff).

•

le tensioni

normali

agenti

ortogonalmente

al piano

medio

della

piastra

siano

trascurabili (stato piano di tensione)



32/


i c h e ”


2 0 1 3 - 1 4


Teoria membranale dei gusci sottili assialsimmetrici

In base alle ipotesi generali fatte, per i gusci sottili assialsimmetrici possono essere

introdotte le seguenti ulteriori semplificazioni:

• la componente di spostamento in direzione circonferenziale è nulla per simmetria

• le componenti di spostamento, tensione e deformazione sono costanti in direzione

circonferenziale e cambiano solo nella direzione meridiana

meridiano

parallelo

z



33/


i c h e ”


2 0 1 3 - 1 4


d

dds1

ds2

R

z

Tensioni e caratteristiche di sollecitazione generalizzate membranali

Elemento di guscio compreso tra due piccoli incrementi delle coordinate azimutale

() e meridiana () ed interessante l’intero spessore.



34/


i c h e ”


2 0 1 3 - 1 4



Componenti di tensione agenti

d

dds1

ds2

R

z



35/

C o r s o d i “ C o s t r u z i o n e d i A p p a r e c c h i a t u r e C h i m i c h e ”


2 0 1 3 - 1 4



Componenti di tensione agenti

z

h

dz

z

h

Caratteristiche di sollecitazione generalizzate

membranali

2

2

2

2

h

h

h

h

dz N dz N



36/



2 0 1 3 - 1 4



z

h

dz

z

h

h

N hdz N

h

N hdz N

h

h

h

h

2

2

2

2Ipotesi: tensioni costanti

nello spessore

L i i ll’ li i di i ili i l i i i



37/

C o r s o d i “ C o s t r u z i o n e d i A p p a

r e c c h i a t u r e C h i m i c h e ”


2 0 1 3 - 1 4


Equazioni di equilibrio/1

Grandezze geometriche:

d

d OOd’ds

1

ds2

d Rds

d Rd Rd Rds

2

1 'sin

R

ds1

ds2

L i i ll’ li i di i ttili i l i t i i



38/




2 0 1 3 - 1 4


R

ds1

ds2


Si considera l’equilibrio dell’elemento di guscio in direzione z:

z

h




39/




2 0 1 3 - 1 4



Si rappresenta l’elemento di guscio sui piani ‐z e z‐:

d

d'

z z

p p

02

'sin2

2sin2 2121

dsds pd

ds N d

ds N




40/

C o r s o d i “ C o s t

r u z i o n e d i A p p a



2 0 1 3 - 1 4

Lezioni sull analisi di gusci sottili assialsimmetrici


02

'sin2

2sin2 2121

dsds pd

ds N d

ds N

0' 2121 dsds pd ds N d ds N

Approssimando il seno con l’angolo




41/




A

n n o a c a c d e m i c o

2 0 1 3 - 1 4



02

'sin2

2sin2 2121

dsds pd

ds N d

ds N


d Rds

d Rds

2

1

'

0''' d d R R pd d R N d d R N

Sostituendo




42/




A


2 0 1 3 - 1 4



02

'sin2

2sin2 2121

dsds pd

ds N d

ds N

d Rds

d Rds

2

1

'

0 R R p R N R N

Semplificando






43/




A


2 0 1 3 - 1 4



02

'sin2

2sin2 2121

dsds pd

ds N d

ds N

d Rds

d Rds

2

1 '

p R

N

R

N

Equazione di Laplace

0 R R p R N R N






44/




A


2 0 1 3 - 1 4


z

p

R

02sin 2 F R p R N

sin2sin2 R

F R p

N


Una seconda equazione di equilibrio può essere ottenuta sezionando il guscio con un

piano ortogonale all’asse di simmetria e considerando l’equilibrio della porzione

ottenuta in direzione . Le N evidentemente non contribuiscono, mentre le N sono

uniformemente distribuite.F




45/




A


2 0 1 3 - 1 4


2

R

R R R

Applicazioni/1

Cilindro soggetto

a pressione

interna

Per un cilindro si ha:

R

p

h




46/



r e c c h i a t u r e C h i

m i c h e ”

A


2 0 1 3 - 1 4

g

R p N

p R

N

2

R

R R R

Applicazioni/1

Cilindro soggetto

a pressione

interna


R

p

h

Dalla equazione di Laplace si ricava:




47/




m i c h e ”

A

n n o a c a c d e m i c o 2 0 1 3 - 1 4

g

R p N

p R

N

2

R

R R R

Applicazioni/1

Cilindro soggetto

a pressione

interna


R

p

h

Dalla equazione di Laplace si ricava:

Formula di Boyle e Mariotteh

R p

h

N




48/




m i c h e ”

A

n n o a c a c d e m i c o 2 0 1 3 - 1 4

h

R p

h

N

R p N

R p R N

2

2

2 2

Applicazioni/1

Cilindro soggetto

a pressione

interna

Se il cilindro è chiuso si ha inoltre:

R

p

h




49/



m i c h e ”

A

n n o a c a c d e m i c o 2 0 1 3 - 1 4

h

R p

h

N

R p N

R p R N

2

2

2 2

Applicazioni/1

Cilindro soggetto

a pressione

interna

Se il cilindro è chiuso si ha inoltre:

R

p

h

Deformazioni

hE

R p

E

hE

R p

E

2

21

2

2




50/



A

n n o a c a c d e m i c o 2 0 1 3 - 1 4

Esercizio 3

Determinare lo spessore minimo richiesto per il mantello cilindrico del recipiente in

acciaio pressurizzato internamente mostrato nella Figura.

Con il suddetto valore di spessore, determinare la variazione di diametro e di

lunghezza prodotte dalla pressione.

p0

L 0




52/



A

n n o a c a c d e m i c o 2 0 1 3 - 1 4

R R R

Applicazioni/2

Sfera soggetta

a pressione

interna

Per una sfera si ha:

O

p

h




53/



A

n n o a c a c d e m i c o 2 0 1 3 - 1 4

R R R

Applicazioni/2

Sfera soggetta

a pressione

interna


Considerando una sezione con un piano

passante per il centro si ha:

p

2R

2

2 2

R p N

R p R N




54/



A

n n o a c a c d e m i c o 2 0 1 3 - 1 4

R R R

Applicazioni/2

Sfera soggetta

a pressione

interna


Considerando una sezione con un piano

passante per il centro si ha:

p

2R

2

2 2

R p N

R p R N




55/



A

n n o a c a c d e m i c o 2 0 1 3 - 1 4

Applicazioni/2

Sfera soggetta

a pressione

interna

Dalla equazione di Laplace si ha inoltre:

O

p

h

h

R p

R p R p R p N

p R

N

R

N

R

N

R

N

2

22




56/



A

n n o a c a c d e m i c o 2 0 1 3 - 1 4

Applicazioni/2

Sfera soggetta

a pressione

interna


Deformazioni

hE

R p

E 2

1

O

p

h

h

R p

R p R p R p N

p R

N

R

N

R

N

R

N

2

22




57/


A

n n o a c a c d e m i c o 2 0 1 3 - 1 4

Esercizio 4

Data la sfera pressurizzata in acciaio mostrata in Figura, determinare la variazione di

diametro prodotta dalla pressione.

Determinare inoltre lo spessore minimo richiesto e la variazione di diametro che si

ottiene per tale valore minimo.

O

p

h




59/


A

n n o a c a c d e m i c o 2 0 1 3 - 1 4

tan0 R R

Applicazioni/3

Cono soggetto

a pressione

interna

Per un cono si ha:

Fissata la coordinata si ha: R

2

p

R

2

cossin

R

R R R




60/


A

n n o a c a c d e m i c o 2 0 1 3 - 1 4

tan0 R R

Applicazioni/3

Cono soggetto

a pressione

interna

Per un cono si ha:

Fissata la coordinata si ha: R

2

p

R

2

cos

R

R R

cos2

tan

cos2

2cos

0

2

R p

R p N

R p R N y

Equilibrio assiale:




61/


A

n n o a c a c d e m i c

o 2 0 1 3 - 1 4

Applicazioni/3

Cono soggetto

a pressione

interna


cos

tan

cos

0

R p

R p R p N

p R

N

R

p

R




62/


A


o 2 0 1 3 - 1 4

Applicazioni/3

Cono soggetto

a pressione

interna


cos2

tan

costan

cos

tan

cos

0

0

0

R

h

p

h

N

Rh p

h N

R p

R p R p N

p R

N

R

p

R




63/

C o r s o d i “ C o s

t r u z i o n e d i A p p a r e c c h i a t u r e C h i m i c h e ”

A


o 2 0 1 3 - 1 4

Esercizio 5

Dato il recipiente pressurizzato in acciaio, cilindrico con estremità tronco‐coniche,

mostrato nella Figura, determinare lo spessore minimo richiesto per la porzione

tronco conica.

Con tale valore di spessore, determinare la variazione di diametro del cono nel punto

di tensione ideale massima.




65/


t r u z i o n e d i A p p a r e c c h i a t u r e C h

i m i c h e ”

A


o 2 0 1 3 - 1 4

Applicazioni/4

Toro soggetto

a pressione

interna

Per un toro si ha:

Ra

R

p

)sin(

)sin(

)sin()sin(

ca

ca

c

R R R

R R R R

R R




66/



i m i c h e ”

A


o 2 0 1 3 - 1 4

Applicazioni/4

Toro soggetto

a pressione

interna

Per un toro si ha:

Si consideri adesso una porzione del toro compresa tra un cilindro di

raggio Ra ed un cono di semi‐

apertura passante per il centro

del cerchio. Imponendo l’equilibrio

in direzione assiale si ha:

Ra

R

p

)sin(

)sin(

)sin()sin(

ca

ca

c

R R R

R R R R

R R

Ra

R

p

02sin 22 a R R p R N


Applicazioni/4



67/



i m i c h e ”

A n n o a c a c d e m i c

o 2 0 1 3 - 1 4

Applicazioni/4

Toro

soggetto

a

pressione

interna

sin2

02sin

22

22

R

R R p N

R R p R N

a

a


Applicazioni/4



68/



i m i c h e ”


o 2 0 1 3 - 1 4

Applicazioni/4

Toro

soggetto

a

pressione

interna

sinsin2

sin

sin2

02sin

2222

22

ca

acaa

a

R R

R R R p

R

R R p N

R R p R N sinca R R R

Sostituendo


Applicazioni/4



69/



i m i c h e ”


o 2 0 1 3 - 1 4

Applicazioni/4

Toro

soggetto

a

pressione

interna

2

2222

2222

22

sinsin2

sin2sinsinsin2

sin

sin2

02sin

ca

acaca

ca

acaa

a

R R

R R R R R p R R

R R R p

R

R R p N

R R p R N

Svolgendo i calcoli


Applicazioni/4



70/


t r u z i o n e d i A p p

a r e c c h i a t u r e C h

i m i c h e ”


o 2 0 1 3 - 1 4

Applicazioni/4

Toro

soggetto

a

pressione

interna

2

2

2

2222

2222

22

sinsin2

sin2sin

sinsin2

sin2sinsinsin2

sin

sin2

02sin

ca

acc

ca

acaca

ca

acaa

a

R R

R R pR

R R

R R R R R p R R

R R R p

R

R R p N

R R p R N

Semplificando


Applicazioni/4



71/




i m i c h e ”


o 2 0 1 3 - 1 4

pp /

Toro soggetto a pressione interna

sin2

2sin

sinsin2

sin2sin

sinsin2

sin2sin

sinsin2

sin

sin2

02sin

2

2

2

2222

2222

22

ca

acc

ca

acc

ca

acaca

ca

acaa

a

R R

R R pR

R R

R R pR

R R

R R R R R p

R R

R R R p

R

R R p N

R R p R N

Dividendo per sin()


Applicazioni/4



72/




i m i c h e ”


o 2 0 1 3 - 1 4

pp /


Dalla equazione di Laplace:

R

R N pR N


Applicazioni/4



73/




i m i c h e ”


o 2 0 1 3 - 1 4



sinsin

sin22sin

sinsin

c

ca

ca

accca

R R R

R R R R pR R R p

R

R N pR N

Sostituendo

sin

sinca R R R

sin2

2sin

ca

acc

R R

R R pR N


Applicazioni/4



74/




i m i c h e ”


o 2 0 1 3 - 1 4



sin2

2sin

sin

sin

sinsin

sin22sin

sinsin

acca

c

ca

ca

accca

R R p R R p

R R R

R R R R pR R R p

R

R N pR N

Semplificando


Applicazioni/4



75/




i m i c h e ”


o 2 0 1 3 - 1 4



2

sinsin

sin

sin2

2sin

sin

sin

sinsin

sin22sin

sinsin

caca

acca

c

ca

ca

accca

R R R R

p

R R p R R p

R R R

R R R R pR R R p

R

R N pR N

Raccogliendo


Applicazioni/4



76/




i m i c h e ”


o 2 0 1 3 - 1 4



2

sin

sin

2

sinsin

sin

sin2

2sin

sin

sin

sinsin

sin22sin

sinsin

c

caca

acca

c

ca

ca

accca

R p

R R R R

p

R R p R R p

R R R

R R R R pR R R p

R

R N pR N

Semplificando


Applicazioni/4



77/




i m i c h e ”

A n n o a c a c d e m i c o 2 0 1 3 - 1 4


2

sin

sin

2

sinsin

sin

sin2

2sin

sin

sin

sinsin

sin22sin

sinsin

c

caca

acca

c

ca

ca

accca

R p

R R R R

p

R R p R R p

R R R

R R R R pR R R p

R

R N pR N

2

c R p N

Semplificando


Applicazioni/4



78/




i m i c h e ”

A n n o a c a c d e m i c o 2 0 1 3 - 1 4


h

R p

R Rh

R R pR

c

ca

acc

2

sin2

2sin

ca

cac

R Rh

R R pR

2

2max _


Applicazioni/4

T i i



79/

C o r s o d i “ C o s t r u z i o n e d i A p p


i m i c h e ”

A n n o a c a c d e m i c o 2 0 1 3 - 1 4


mmh

m R

m R

bar p

c

a

5

1

3

200


Esercizio 6



80/



i m i c h e ”

A n n o a c a c d e m i c o 2 0 1 3 - 1 4

Data la camera d’aria in gomma naturale mostrata in Figura, utilizzabile come slittino, determinare la massima pressione di gonfiaggio ammissibile.

Ra

R

p


Applicazioni/5

Semisfera riempita di liquido



82/



i m i c h e ”

A n n o a c a c d e m i c o 2 0 1 3 - 1 4


Semisfera riempita di un liquido di densità , appoggiata al bordo superiore:


Applicazioni/5




83/



i m i c h e ”

A n n o a c a c d e m i c o 2 0 1 3 - 1 4


Semisfera riempita di un liquido di densità , appoggiata al bordo superiore:

d

p

Sezione con cono di vertice nel centro della sfera e semiapertura . Coordinata meridiana , valore di pressione:

cosgR p


Applicazioni/5




84/



i m i c h e ”

A n n o a c a c d e m i c o 2 0 1 3 - 1 4


Imponendo l’equilibrio in direzione assiale:

d

p

0

cossin2cossinsin2 d R RgR R N


Applicazioni/5




85/



i m i c h e ”

A n n o a c a c d e m i c o 2 0 1 3 - 1 4



d

p

0

23

0

sincos2

cossin2cossinsin2

d gR

d R RgR R N

Portando fuori integrale


Applicazioni/5




86/



i m i c h e ”

A n n o a c a c d e m i c o 2 0 1 3 - 1 4



d

p

0

3

3

0

23

0

3

cos2sincos2

cossin2cossinsin2

gRd gR

d R RgR R N

Integrando


Applicazioni/5




87/


a r e c c h i a t u r e C h i m i c h e ”

A n n o a c a c d e m i c o 2 0 1 3 - 1 4



d

p

33

0

3

3

0

23

0

cos13

2

3

cos2sincos2

cossin2cossinsin2

gR

gRd gR

d R RgR R N


Applicazioni/5




88/



A n n o a c a c d e m i c o 2 0 1 3 - 1 4

f p q


d

p

33

0

33

0

23

0

cos13

2

3

cos2sincos2

cossin2cossinsin2

gR

gRd gR

d R RgR R N

Semplificando

2

32

sincos1

3 gR N


Applicazioni/5




89/



A n n o a c a c d e m i

c o 2 0 1 3 - 1 4

f p q

Impiegando l’equazione di Laplace:

d

p

N pR N


Applicazioni/5


32 cos1gR



90/




c o 2 0 1 3 - 1 4


d

p

2

32

sin

cos1

3cos

gR RgR N pR N

2sin

cos1

3 gR

N

cosgR p

Sostituendo


Applicazioni/5




91/




c o 2 0 1 3 - 1 4


d

p

2

32

2

32

sin

cos1cos33

sin

cos1

3cos

gR

gR RgR N pR N


Applicazioni/5




92/

C o r s o d i “ C o

s t r u z i o n e d i A p p a r e c c h i a t u r e C h i m i c h e ”


c o 2 0 1 3 - 1 4

Andamento tensioni:

2

32

2

32

sin

cos1

3

sincos1cos3

3

h

gR

hgR

mmhm R

dm

kg

51

13


Applicazioni




93/



A n n o a c a c d e m i c o 2 0 1 3 - 1 4

Andamento tensioni:


Applicazioni/6

Fondo semiellittico in pressione

d d



94/



A n n o a c a c d e m i c o 2 0 1 3 - 1 4

Dato un punto di coordinate:

sin

cos

0

0

b y

a x

si ha:

sin

sincos

sinarccos

sincos

cossin

22

2

2

2

2

22

2

32222

R R

ba

b

aa R

ba

ba R

R

p

x

y

2a

b

A

B


Applicazioni/6


S i l ll l



95/



A n n o a c a c d e m i c o 2 0 1 3 - 1 4

Sezione lungo un parallelo.

Equilibrio assiale:R

p

x

y

2a

b

tanarctansin2

cos

sin2sin2

sin2

0

2

a

b

pa px pR N

R p R N


Applicazioni/6


E i di L l

B



96/



A n n o a c a c d e m i c o 2 0 1 3 - 1 4

Equazione di Laplace:

h

N

h

N

R

N p R N

R

p

x

y

2a

b

A

B


Applicazioni/6


In particolare si ha :

B



97/



A n n o a c a c d e m i c o 2 0 1 3 - 1 4

In particolare si ha :R

p

x

y

2a

b

A

B

b

a R R B

a R

a

b R

A

2

2

90

)0(

bh

a p

b

a p N N B

b

a

h

a p

b

aa p

N

h

a pa p N

A

2290

2222

22)0(

2

0

2

0

2

2

0

2

2

0

00


Applicazioni/6


Andamento tensioni:



98/


s t r u z i o n e d i A p p a r e c c h i a t u r e C

h i m i c h e ”

A n n o a c a c d e m i c o 2 0 1 3 - 1 4

Andamento tensioni:

mmhmb

ma

bar p

201

2

500

2

511

2

2

511

2

2

2

0

20

max _

b

a

b

a

h

a p

b

a

hb

a peq

Oss.ni:

• per a/b > √2 la diviene negativa nel punto A

• le tensioni assumono valori estremi nei punti A e B, per cui, tenendo anche conto

del segno della la tensione ideale massima, in funzione del rapporto tra i semi‐

assi, è data da:


Applicazioni/6


In particolare si ha :

Rp yb

B



99/



h i m i c h e ”

A n n o a c a c d e m i c o 2 0 1 3 - 1 4

In particolare si ha : R

p

x

y

2a

b

A

2

511

2

2

511

2

2

20

0max _

b

a

b

a

h

a p

b

a

h

a peq

Oss.ni:

•

per a/b

> √

2 la

diviene negativa

nel

punto

A

• le tensioni assumono valori estremi nei punti

A e B, per cui, tenendo anche conto del segno

della la tensione ideale massima, in

funzione del rapporto tra i semi‐assi, è data

da:


Esercizio 7

Dato il recipiente cilindrico mostrato in Figura, si confronti lo spessore necessario ed

il peso del materiale per un fondo emisferico (a) o semiellittico con rapporto tra i



100/



h i m i c h e ”

A n n o a c a c d e m i c o 2 0 1 3 - 1 4

il peso del materiale per un fondo emisferico (a) o semiellittico, con rapporto tra i

semiassi = 2 (b).

(a) (b) 0

0/4

Lez3-Gusci Sottili Assialsimmetrici

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