08 - Elementi Solidi e Assialsimmetrici

Politecnico di Milano Dipartimento di

Meccanica

ELEMENTI SOLIDI E ASSIALSIMMETRICI

Mario Guagliano

Elementi Solidi e Assialsimmetrici 2

Elementi solidi

•  Tetraedri a 4 nodi (TET4)

•  Tetraedri a 10 nodi (TET10)

•  Esaedri a 8 nodi (HEX8)

•  Esaedri a 20 nodi (HEX20)

• …

Ad ogni nodo corrispondono 3 gdl: solo le traslazioni

Sono un’estensione degli elementi piani già descritti


Elementi solidi


Problemi elastici in 3D

( )( )

( )

( )( )

( )

x x

y y

z z

xy xy

yz yz

xz zx

1 c c c 0 0 01 c c 0 0 0

1 c 0 0 0G 0 0

simm. G 0G

Ec1 1 2EG

2 1

σ ε⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤− ν ν ν⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥σ ε− ν ν⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪σ ε⎢ ⎥− ν⎪ ⎪ ⎪ ⎪

= ⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎨ ⎬τ γ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪τ γ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪τ γ⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭

=+ ν − ν

=+ ν

Legame costitutivo in campo elastico lineare (materiale isotropo)


Elementi solidi tetraedrici

Gli elementi tetraedrici a quattro nodi hanno tre gdl per nodo e quindi un totale di 12 gdl

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

u x y zv x y zw x y z

= β + β + β + β

= β + β + β + β

= β + β + β + β

Sono elementi a spostamento lineare e, quindi, a deformazione costante

Gli elementi tetraedrici a dieci nodi hanno tre gdl per nodo e quindi un totale di 30 gdl

Sono elementi a spostamento quadratico e, quindi, deformazione lineare

Agli spostemenii precedenti aggiungono i termini in x2, y2, z2, xy, xz, yz


Elementi solidi tetraedrici

Anche per gli elementi tetraedrici, è possibile una rappresentazione isoparametrica

4 nodi

10 nodi


Elementi solidi: esaedri a 8 nodi

1 2 3 4 5 6 7 8

9 10 11 12 13 14 15 16

17 18 19 20 21 22 23 24

u x y z xy yz zx xyzv x y z xy yz zx xyzw x y z xy yz zx xyz

= β +β +β +β +β +β +β +β

= β +β +β +β +β +β +β +β

= β +β +β +β +β +β +β +β

24 gdl

L’espressione dei singoli spostamenti nasce dal prodotto di tre polinomi lineari del tipo

( )( )( )1 2 3 4 5 6c c x c c y c c z+ + +

Sono quindi presenti contributi costanti, lineari, quadratici e cubici



{ } [ ]{ }

( )( )( )

1

1

1 8 1

1 8

1 8 8

8

8

i

uv

u N 0 0 N 0 0 wu N u v 0 N 0 0 N 0

w 0 0 N 0 0 N uvw

a x b y c zN

8abc

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎧ ⎫ ⎡ ⎤⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥

⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎩ ⎭ ⎣ ⎦ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

± ± ±=

LL ML

Come al solito, gli spostamenti possono anche essere definiti mediante le funzioni di forma



{ } [ ]{ } [ ][ ]{ }B u N uε = = ∂ { } [ ]{ }uε = ∂Al solito, vale la dove

x

y

z

xy

yz

zx

0 0x

0 0y

u0 0z v0 wy x

0z y

0z x

∂⎡ ⎤⎢ ⎥∂⎢ ⎥

∂⎢ ⎥ε⎧ ⎫ ⎢ ⎥∂⎪ ⎪ ⎢ ⎥ε⎪ ⎪ ∂⎢ ⎥ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎢ ⎥ε ∂⎪ ⎪ ⎪ ⎪

= ⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎨ ⎬γ ∂ ∂⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎢ ⎥⎪ ⎪ ∂ ∂γ

⎢ ⎥⎪ ⎪ ∂ ∂⎢ ⎥⎪ ⎪γ⎩ ⎭⎢ ⎥∂ ∂⎢ ⎥∂ ∂⎢ ⎥

⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦

Infine, la matrice di rigidezza è data da

[ ] [ ] [ ][ ]c b a T

c b a24 24 24 6 6 6 6 24K B E B dxdydz

− − −× × × ×

= ∫ ∫ ∫

Sono elementi che permettono di rappresentare la flessione, ma con le stesse restrizioni viste per i Q4 (shear

locking)

Matrice di rigidezza



Analogo al Q8 però in 3D 20 nodi = 60 gdl

I termini in x3, y3 e z3 non compaiono per lasciare la compatibilità degli spostamenti

Sono possibili tre instabilità del tipo hourglass: una per u, una per v e una per w


Riduzione dei carichi distribuiti

Come visto nel caso delle travi, i carichi distribuiti vengono ridotti a forze concentrate ai nodi Il criterio è l’equivalenza del lavoro


Elementi isoparametrici

( )( )( )i1N 1 1 18

= ± ξ ± η ± ζ

[ ] [ ] [ ][ ]1 1 1 T

1 1 124 24 24 6 6 6 6 24K B E B Jd d d

− − −× × × ×

= ξ η ζ∫ ∫ ∫

In questo caso, J rappresenta il rapporto tra i volumi dxdydz e dξdηdζ


Problemi assialsimmetrici

Classe di problemi 3D (i solidi di rivoluzione) che si può ricondurre ad un caso 2D (in realtà ci sono anche gusci di rivoluzione 2D riconducibili a casi 1D, ad esempio la lampadina) Simmetria assiale di: • geometria • carichi e vincoli • materiale

τzθ = 0 e τθr = 0 per simmetria ed equilibrio

NB: se le deformazioni sono assialsimmetriche, gli spostamenti circonferenziali v sono nulli ! Rimangono solo u=u(r,z) e w=w(r,z)



r

z

zr

ururwzw ur z

θε =

∂ε =

∂∂

ε =∂∂ ∂

γ = +∂ ∂

Nei problemi assialsimmetrici è comodo ragionare in termini di coordinate polari

Spostamenti – deformazioni (hp piccoli spostamenti)

E’ interessante notare che, anche se gli spostamenti circonferenziali sono nulli, le deformazioni circonferenziali non lo sono



( )( )

( )

( )( ) ( )

r r

z z

zr zr

1 c c c 01 c c 0

1 c 0sym G

E Ec G1 1 2 2 1

θ θ

σ ε⎡ ⎤⎧ ⎫ ⎧ ⎫− ν ν ν⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪σ ε− ν ν⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥σ ε− ν⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪τ γ⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎣ ⎦

= =+ ν − ν + ν

Legame costitutivo in campo elastico lineare (materiale isotropo)


Elementi assialsimmetrici

Per l’elemento assialsimmetrico triangolare a tre nodi si ha:

r 2r

11 2 3 2 3

4 5 6 zz 6

zrzr 5 3

r 0zu r z 1 r 0 u

r rw r z 0 z w

z r

θθ

ε = β⎧ ε ∂ ∂⎧ ⎫ ⎡ ⎤⎪ β ⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪= β + β + β εε = + β + β ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥⇒ ⇒ =⎨ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥= β + β + β ε ∂ ∂ ⎩ ⎭⎪ ⎪ ⎪ε = β ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪γ ∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦⎩ ⎭γ = β + β⎪⎩

A parte per il contributo εθ, gli elementi assialsimmetrici sono molto simili a quelli piani (forma triangolare e rettangolare, stesse forze e debolezze)

E’ tuttavia necessario discutere gli effetti del termine addizionale di deformazione εθ=u/r


Elementi assialsimmetrici

Non è un elemento a deformazione costante perché l’espressione di εθ contiene termini in r e z

C’è una resistenza alla rotazione nel piano radiale rz, rappresentata dal termine β3 z/r Tale deformazione nasce con l’applicazione di un momento M per unità di lunghezza uniformemente distribuito lungo la circonferenza del componente Per mantenere la congruenza dell’oggetto reale 3D, le deformazioni circonferenziali risulteranno di trazione nella parte bassa dell’elemento e di compressione in quella alta Un elemento piano non è in grado di resistere al momento M che genererebbe una rotazione rigida

L’unico moto rigido possibile è in direzione z: w = β4 perché β4 non compare in nessuna espressione delle ε. Queste ultime sono invece presenti se qualsiasi altra coordinata generalizzata è diversa da zero


Matrice di rigidezza

[ ] [ ] [ ][ ]2 1 1 T

0 1 12n 2n 2n 4 4 4 4 2nK B E B r J d d d

π

− −× × × ×

= ξ η ϑ∫ ∫ ∫

Nel caso di un elemento assialsimmetrico rettangolare a n nodi isoparametrico

NB: r |J| al posto di t |J|

Rispetto agli elementi piani, la riga in più corrisponde alla εθ

BTEBr contiene termini in 1/r => problemi per l’integrazione numerica? NO, a condizione che nessun punto di Gauss si trovi sull’asse z, ovvero a r=0

( )1 1 2 2 n n1 Nu N u ... N urθε = + + +


Vincoli e carichi

A differenza dei modelli piani, per impedire moti rigidi è sufficiente vincolare un solo nodo in direzione z Attenzione al vincolo radiale in corrispondenza dell’asse z:

Disco pieno r

z

Disco con foro infinitesimo o compenetrazione

r

z

Disco forato r

z

Per quanto riguarda i carichi, bisogna fare attenzione perché le logiche di applicazione sono due (e ogni software ne adotta una): •  si applica alla sezione 2D il carico totale integrato su 2π •  si applica alla sezione 2D il carico per unità di angolo (segmenti di 1 rad) Alcuni software permettono di applicare carichi non assialsimmetrici e di sviluppare spostamenti fuori piano (torsione). La tecnica è però complicata e va oltre i nostri scopi


Problematiche specifiche

I punti sull’asse di rivoluzione hanno coordinata e spostamento radiali nulli così definendo εθ=0/0 se tali punti corrispondono ai punti di Gauss

Tale situazione può essere superata calcolando εr=∂u/ ∂r ed introducendo il requisito teorico che debba essere εr=εθ

Gli elementi assialsimmetrici rettangolari a quattro nodi possono sviluppare modi incompatibili (instabilità tipo hourglass)

Elementi assialsimmetrici snelli possono promuovere il mal-condizionamento della matrice di rigidezza perché la resistenza alle deformazioni nella sezione può divenire molto grande rispetto a quella della deformazione circonferenziale

08 - Elementi Solidi e Assialsimmetrici

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