Analisi Multifrattale Di Immagini SAR Relative a Zone Di Mare Inquinate Da Tensioattivi

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI NAPOLIFEDERICO II

FACOLTÀ DI INGEGNERIA

CORSO DI LAUREA IN

INGEGNERIA DELLE TELECOMUNICAZIONI(CLASSE DELLE LAUREE IN INGEGNERIA DELL’INFORMAZIONE N.9)

DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA BIOMEDICA, ELETTRONICA E DELLE

TELECOMUNICAZIONI

TESI DI LAUREA

ANALISI MULTIFRATTALEDI IMMAGINI SAR RELATIVE A ZONE DI MARE

INQUINATE DA TENSIOATTIVI

RELATORE CANDIDATO

Ch.mo Prof. Antonio Iodice Roberto Coscione

CORRELATORE Matr. 540/1081

Ing. Gerardo Di Martino

ANNO ACCADEMICO 2009/2010

A Claudia e Antonio,

futuri ingegneri.

Il mondo è un posto pericoloso,

non a causa di quelli che compiono azioni malvagie

ma per quelli che osservano senza dire nulla.

- Albert Einstein -

Indice

1 Inquinamento da idrocarburi 5

2 Telerilevamento 13

2.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2 Radar ad apertura reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2.1 Radar ad onda continua (CW) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2.2 Radar ad impulsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3 SAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.3.1 Principio di funzionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.3.2 Modalità di acquisizione dati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.3.3 Polarizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.4 Speckle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.5 Telerilevamento del mare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.5.1 Fenomeno di Bragg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.5.2 Parametri geometrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.5.3 Parametri fisici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3 Elaborazione immagini 31

3.1 Integrazione dati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.2 Processo di analisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.2.1 Individuazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.2.2 Estrazione delle caratteristiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.2.3 Classificazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4 Geometria frattale 39

4.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3

Indice Indice

4.2 Richiami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.3 Frattali IFS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.4 Insiemi frattali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.5 Dimensione frattale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.5.1 Dimensione di autosimilarità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.5.2 Dimensione di box counting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.6 Proprietà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.7 Frattali aleatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.7.1 Moti browniani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.7.2 Moti browniani frazionari (fBm) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.7.3 Superfici browniane frazionarie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.8 Multifrattali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.9 Applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5 Analisi multifrattale: procedure e risultati 65

5.0.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.0.2 Modelli e software utilizzati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675.0.3 Metodologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695.0.4 Problema. Sliding grid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.0.5 Analisi dei dati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725.0.6 Sintesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

6 Conclusioni e sviluppi futuri 85

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1 Inquinamento da idrocarburi

La forte dipendenza dai combustibili fossili come fonte energetica della società odierna, sot-topone quotidianamente l’ambiente ad enormi rischi. L’occorrenza di disastri alle piattaformepetrolifere offshore e alle petroliere che attraversano quotidianamente gli oceani, è una minac-cia costante al naturale equilibrio degli ecosistemi marini, della vita degli uccelli e della salutedelle zone costiere. Gli effetti chimici, fisici e biologici dell’inquinamento da petrolio hannodisastrose ripercussioni sulla pesca, sull’agricoltura, sul turismo e, in generale, sulle economielocali. Simili avvenimenti destano sempre enorme preoccupazione attirando l’ira e lo sconfortodell’opinione pubblica, com’è avvenuto in tutti i più grandi disastri petroliferi della storia, nonultimo quello della Deep Water Horizon nell’aprile del 2010, i cui ingenti danni ambientali edeconomici permarrano per anni.

Tuttavia disastri ben peggiori avvengono, quotidianamente, lontano dall’attenzione dei massmedia. Ogni anno vengono sversati in mare milioni di tonnellate di petrolio e di questi solouna percentuale relativamente esigua del totale deriva da disastri accidentali [30]. Il maggiorcontributo agli sversamenti è, infatti, costituito dalle quotidiane routine di pulizia della navicargo, che sversano deliberatamente in mare il contenuto residuo delle proprie cisterne, chedovrebbe invece essere smaltito attraverso opportune e più costose procedure a terra.

L’importanza dell’ambiente per la vita sulla Terra, sembra non essere un buon deterrente versoquesti deprecabili comportamenti che dovrebbero essere puniti da organi nazionali e sovranazion-ali. Purtroppo ciò non sempre è possibile: gli sversamenti volontari avvengono sempre a debitadistanza dalle coste, spesso direttamente durante la navigazione, in modo da eludere i controllidegli organi preposti.

Un controllo costante delle rotte marine e delle piattaforme offshore è dunque necessario edauspicabile, ma le zone da sottoporre a monitoraggio sono numerose, estese e molto distantitra loro, rendendo inefficace o troppo dispendioso l’utilizzo di mezzi di sorveglianza aerea enavale.

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CAPITOLO 1. INQUINAMENTO DA IDROCARBURI

Vantaggi del telerilevamento

In tale contesto, di grande utilità pratica si è rivelato l’utilizzo di sensori per il telerilevamen-to montati a bordo di satelliti e/o navicelle spaziali. La notevole distanza dalla Terra, infatti,consente di coprire zone molto estese in tempi relativamente brevi, offrendo la possibilità di unmonitoraggio globale e continuo.

Il numero di satelliti orbitanti nello spazio è estremamente elevato e molti di essi sono speci-ficamente dedicati all’osservazione della Terra. Il telerilevamento del petrolio è entrato a farparte di svariati programmi di monitoraggio ambientale e diversi sensori attualmente in orbita,anche se nati con scopi diversi, possono fornire utili indicazioni circa la presenza di idrocarburiin mare.

Il monitoraggio delle zone a rischio (i.e. le rotte oceaniche delle navi cargo e le postazioni dellepiattaforme petrolifere) e delle zone inquinate è indubbiamente un’operazione fondamentaleper diversi scopi:

à valutazione dell’impatto ambientale causato dagli sversamenti

à coordinamento degli interventi navali e/o aerei

à organizzazione delle procedure di pulizia e contenimento

à esecuzione di analisi e previsioni idrodinamiche per il controllo della propagazione delpetrolio

à identificazione dei colpevoli dell’inquinamento

In tale ambito, il radar ha dimostrato di essere uno strumento essenziale, grazie alla sua capacitàdi operare indipendentemente dalle condizioni atmosferiche e dalla presenza di luce solare,offrendo quindi un servizio always on.

In particolare, il radar ad apertura sintetica (SAR, Synthetic Aperture Radar) si è rivelato il piùappropriato per il telerilevamento del petrolio sulla superficie marina, in particolare grazie allespinte risoluzioni geometriche cui è in grado di operare (fino a 3 metri per Radarsat-2 dellaCanadian Space Agency, da 1 a 3 metri per COSMO-SkyMed dell’Agenzia Spaziale Italiana).

Nel capitolo 2 è illustrato in modo più dettagliato il principio di funzionamento del SAR, conparticolare riferimento al telerilevamento del mare, che può essere così sintetizzato: il sen-sore invia un campo elettromagnetico di caratteristiche fisico-matematiche note, che raggiunge

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la Terra da cui viene retrodiffuso portando con se informazioni geomorfologiche e geofisichedella superficie illuminata. Il segnale ricevuto viene dunque opportunamente elaborato ed ilrisultato finale è un’immagine bidimensionale in scala di grigi, in cui la luminosità dei pixel èproporzionale all’intensità del ritorno elettromagnetico. La visibilità della superficie marina ègarantita dalla sua rugosità e in particolare dalla presenza delle onde capillari1 che assicuranoun backscattering2 al sensore non nullo. La figura 1.0.1 illustra tale fenomeno.

Figura 1.0.1: Interazione mare-radar (Fonte: ESA)

La presenza di surfattanti sulla superficie marina, a causa della loro caratteristiche visco-elastiche,tende a contrastare la formazione delle onde capillari: in tal caso il campo elettromagneticoinviato dal sensore è riflesso prevalentemente nella direzione speculare a quella d’incidenza,determinando un backscattering molto basso e quindi zone scure nell’immagine acquisita.

Ambiguità nell’identificazione dei tensioattivi

Uno dei limiti dell’uso dei sensori SAR per il telerilevamento della superficie marina, è rap-presentato dalla velocità del vento: in condizioni di vento debole (non superiore a 3 m/s) la

1Onde di lunghezza dell’ordine dei centimetri prodotte da vento locale o dalla gravità2Ritorno elettromagnetico nella stessa direzione di incidenza

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superficie marina potrebbe non essere sufficientemente rugosa per il sensore, determinando laformazione di una zona scura nell’immagine anche in assenza di inquinanti; viceversa se il ven-to supera i 10-15 m/s la presenza del petrolio potrebbe non inficiare la rugosità della superficiemarina in modo sufficiente da ottenere una zona scura nell’immagine. In generale, con ventodi velocità maggiore di 7 m/s solo gli sversamenti più consistenti (i.e. di maggior spessore)risultano visibili nell’immagine. Tali dati sono da ritenersi comunque indicativi, in quanto lavisibilità del petrolio dipende da diversi fattori, quali, ad esempio, la polarizzazione e l’angolodi elevazione del sensore, nonché dal tipo di petrolio.La figura 1.0.2, acquisita dal satelite europeo Envisat al largo delle coste della Norvegia, nonrivela alcuna presenza di petrolio nonostante i circa 27.000 barili di greggio sversati in mare inseguito al disastro petrolifero della piattaforma Statfjord-A: la velocità del vento, rilevata dalSAR in quella zona al momento dell’acquisizione, era di circa 13-15 m/s [28].

Figura 1.0.2: Mare del Nord - 14.12.07 - (Fonte: ESA)La presenza di idrocarburi non è rilevata a causa della fortevelocità del vento. Immagine acquisita dal sensore ASARdel satellite europeo Envisat.

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In aggiunta, anche altri fenomeni naturali, ad esempio la presenza di fitoplancton, possono de-terminare la formazione di zone scure nelle immagini radar 3, determinando un’ambiguità checomplica notevolmente le procedure di rilevamento di sversamenti di petrolio non già identifi-cati per altre vie (i.e. segnalazioni da mezzi di sorveglianza navale o aerea). D’altro canto, permotivi pratici ed economici, non tutti i presunti sversamenti possono essere verificati tramiteaccertamenti in loco. Ciò rappresenta una possibile scappatoia per i polluters e, in generale, unlimite notevole dell’efficacia di tali tecniche.

La figura 1.0.3 evidenzia tale problema comparando due immagini radar acquisite dal satelliteRADARSAT-1. La figura 1.0.3a riporta due zone scure, di cui quella in alto a destra è causatada un calo di vento mentre quella in basso a sinistra è dovuta alla presenza di un banco di alghe.La figura 1.0.3b riporta lo sversamento di petrolio al largo della Louisiana causato dal disastrodella Deepwater Horizon. Sebbene, in tal caso, un’operatore esperto potrebbe essere in gradodi identificare correttamente lo sversamento di petrolio, grazie alla forma e al diverso contrastodelle zone scure, le condizioni non sempre sono così favorevoli.

L’analisi delle immagini SAR, per la ricerca degli oil slick, si compone di diverse fasi, di cui laprima è, generalmente, un’ispezione oculare in cui un operatore seleziona le immagini conte-nenti presunte zone inquinate da idrocarburi e vi applica opportuni algoritmi di segmentazione4.Successivamente, un sistema automatico di identificazione (i.e. un software ad hoc), effettuauna serie di test volti a classificare correttamente la porzione d’immagine come oil slick olook-alike usufruendo di una collezione di informazioni di diversa natura. Nel capitolo 3 saràillustrato questo processo con maggior dettaglio.

I sistemi automatici hanno un vantaggio indubbio sia in termini di smaltimento del carico di la-voro, sia di oggettività nell’analisi delle immagini. Tuttavia i problemi di ambiguità evidenziati,possono minare considerevolmente l’efficacia di tali strumenti. É dunque auspicabile svilupparealgoritmi e tecniche in grado di ridurre sempre più la possibilità d’errore nell’individuazionedegli oil slick.

La comunità scientifica è al lavoro da molti anni al fine di risolvere i problemi succitati, an-che in considerazione del fatto che le possibili strade da seguire sono molteplici e spessocomplementari.

3Mutuando, per semplicità, una terminologia anglosassone, con “look-alike” si indicheranno le zone scurecausate da fenomeni naturali, mentre con “oil slick” si farà riferimento alle zone interessate dalla presenzadi idrocarburi.

4Suddivisione dell’immagine in gruppi di pixel con caratteristiche simili

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(a) RADARSAT-1 - Nord della Germania - 21.06.07 (b) RADARSAT-1 - Louisiana - 20.05.10

Figura 1.0.3: Confronto fra immagini radar di alghe, cali di vento e petrolio (Fonte: CSA)

L’analisi delle performance di un algoritmo di detezione semi-automatico, applicato a 59 im-magini SAR acquisite dal satellite europeo ERS-1 (non più operativo), ha messo in luce chela maggior parte degli oil slick non correttamente classificati rientra perlopiù nelle 3 seguenticategorie[9]:

1. Oil slick sottili e di forma lineare oblunga, causati principalmente da sversamenti di naviin movimento.

2. Oil slick con basso contrasto su sfondo omogeneo.

3. Oil slick su sfondo molto eterogeneo.

In generale si è osservato che alcuni fattori geometrici possono essere indicativi della reale natu-ra della zona scura nell’immagine acquisita. La viscosità del petrolio, ad esempio, determina laformazione di chiazze che, nelle prime ore successive allo sversamento5, presentano contornipiuttosto regolari, generalmente distinguibili dai look-alike. Tuttavia col passare delle ore il film

5Il tempo effettivo dipende da diversi fattori tra cui la quantità e il tipo di petrolio, la velocità del vento e lecorrenti marine.

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di petrolio tende a spalmarsi sulla superficie marina assumendo contorni irregolari paragonabilia quelli determinati dai fenomeni naturali.

Ciò suggerisce che uno studio geometrico della porzione sospetta dell’immagine può fornireutili indicazioni: in tale ambito si è rivelata molto utile l’applicazione degli strumenti matem-atici della geometria frattale, di cui il capitolo 4 riporta alcune nozioni basilari, in quantoparticolarmente adatta allo studio di forme dai contorni irregolari.

Nel capitolo 5, sarà illustrata una tecnica di discriminazione basata sull’analisi multifrattaledel contorno delle immagini telerilevate, che consente di discriminare oil slick da look-alikeanche laddove il grado di irregolarità dei relativi contorni è pressoché identico. L’algoritmoimplementato è stato applicato, in particolare, ad oil slick simulati di forma oblunga. I risultatiillustrati, evidenziano le potenzialità di questa tecnica di sicuro interesse pratico, che può esseresoggetta ad ulteriori studi e sviluppi.

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2 Telerilevamento

2.1 Introduzione

Il telerilevamento è quella branca delle telecomunicazioni che riguarda l’osservazione di oggettie superfici posti a distanza da un sensore. Il vettore delle informazioni è il campo elettromag-netico che trasporta informazioni differenti a seconda della frequenza a cui oscilla. Sensorioperanti nella banda 400−700 µm (luce visibile), ad esempio, sono i ben noti sensori ottici, lecui immagini sono molto diverse da quelle prodotte, ad esempio, dai sensori radar di seguitoillustrati.

Si possono distinguere due grandi categorie di sensori:

Sensori passivi - rilevano la radiazione elettromagnetica riflessa o generata dall’oggetto os-servato. Il loro funzionamento dipende dalla presenza di una fonte luminosa naturale(generalmente il Sole) o artificiale. Rientrano in questa categoria i sensori ottici e quelliad infrarossi.

Sensori attivi - operano in trasmissione e ricezione trasmettendo un segnale elettromagneticoche investe una certa area e, dopo aver subito fenomeni di riflessione e rifrazione, torna alsensore trasportando informazioni peculiari della scena illuminata. Tali sensori possonodunque operare indipendentemente dalla presenza di una fonte esterna di illuminazione.

Il RADAR (RAdio Detection And Ranging) è un sensore attivo che opera nella banda dellemicroonde, in grado di rilevare (detection) e valutare la distanza delle superfici e degli oggettiosservati (ranging). L’intensità del segnale retrodiffuso dipende da diversi fattori ed in parti-colare dalle caratteristiche geofisiche e geometriche della scena osservata. Tale segnale vienedunque memorizzato ed opportunamente elaborato, al fine di ottenere un’immagine digitale incui il livello di grigio di ogni pixel è proporzionale all’intensità del segnale stesso.

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2.1. INTRODUZIONE CAPITOLO 2. TELERILEVAMENTO

La lunghezza d’onda delle microonde (dell’ordine dei centimetri) consente al campo elettro-magnetico di attraversare i diversi strati dell’atmosfera terrestre senza subire alterazioni rilevanti(si parla di finestra atmosferica).

In particolare la presenza delle nuvole è praticamente irrilevante ai fini dell’operatività del radar,in quanto le microonde possono attraversarle senza subire praticamente alcun effetto. Ciò èdovuto al fatto che la lunghezza d’onda del campo è maggiore delle dimensioni fisiche dellemolecole e delle gocce d’acqua presenti nelle nuvole, dunque non sono possibili fenomeni dirisonanza che determinerebbero l’assorbimento di gran parte dell’energia trasmessa. Ciò sitraduce nella capacità del radar di operare in qualsiasi condizione meteorologica.

Di seguito sono elencati i principali parametri che caratterizzano i sistemi radar.

Banda di funzionamento Nell’osservazione da satellite sono generalmente utilizzate le bandeL, C ed X (lunghezze d’onda di, rispettivamente, 15-30 cm, 3.8- 7.5 cm e 2.4-3.8 cm).

Polarizzazione Si possono avere diverse combinazioni di polarizzazione, tra cui HH, VV, HV,VH (la prima lettera si riferisce alla trasmissione, la seconda alla ricezione). Alcuni sen-sori sono in grado di operare in più modalità, nonché in alcune modalità ibride illustratepiù avanti.

Risoluzione geometrica È la minima distanza tra due oggetti affinché essi siano distinguibilinell’immagine acquisita. Come si vedrà a breve, il tipo di segnale utilizzato in fase ditrasmissione gioca un ruolo cruciale nella determinazione della risoluzione geometrica.Chiaramente due oggetti su un piano possono avere una spaziatura diversa rispetto ai dueassi: si parla quindi di risoluzione azimuth (∆x ) e risoluzione range (∆y ), anche dette,rispettivamente, risoluzioni along-track e across-track con riferimento alla direzione divolo del sensore. Si dice cella di risoluzione il rettangolo di dimensioni ∆x e ∆y cuicorrisponde un pixel dell’immagine finale.

Footprint È l’area di copertura del sensore ovvero l’estensione della zona illuminata. A foot-print maggiori corrispondono, generalmente, risoluzioni minori. Varia a seconda dalladistanza del sensore, delle dimensioni dell’antenna e della frequenza di lavoro.

Tempo di ripetizione Indica il tempo impiegato dal sensore per tornare ad acquisire una stessascena durante il moto del satellite intorno al pianeta.

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CAPITOLO 2. TELERILEVAMENTO 2.2. RADAR AD APERTURA REALE

La tipica configurazione di funzionamento per un sensore radar, che sia esso montato su unsatellite o su un aeromobile, è detta side-looking, ovvero il sensore punta la scena lateralmente,al fine di evitare ambiguità.

Figura 2.1.1: Sensore radar in configurazione side-looking

2.2 Radar ad apertura reale

Con “apertura” si intende la finestra spaziale usata per raccogliere l’energia retrodiffusa daoggetti e superfici.

In generale la risoluzione è funzione dell’apertura. Nel caso di sistemi RAR (Real Aperture

Radar) l’apertura coincide approssimativamente con le dimensioni fisiche dell’antenna.

2.2.1 Radar ad onda continua (CW)

Si supponga di trasmettere un segnale ad onda continua.

Lo schema di riferimento per il calcolo della risoluzione è in figura 2.2.1.

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2.2. RADAR AD APERTURA REALE CAPITOLO 2. TELERILEVAMENTO

Figura 2.2.1: Schema per il calcolo della risoluzione range.

Affinché due oggetti siano distinguibili è necessario che non si trovino contemporaneamenteall’interno dello stesso footprint.

W è la dimensione apparenente dell’antenna (la dimensione della proiezione dell’antenna nelpiano ortogonale alla direzione di osservazione)

θ è l’angolo di elevazione

∆θ è il settore angolare d’illuminazione

Si può dimostrare che:

∆θ =λ

W(2.2.1)

dove λ è la lunghezza d’onda del segnale inviato.

Tenendo presente che le antenne sono sempre progettate con W λ , risulta ∆θ 1 [rad], dacui:

∆y =λ

Wh

cos2 θ(2.2.2)

dove ∆y è la risoluzione ground-range, ovvero la minima distanza fra due oggetti necessariaaffinché siano distinguibili. Spesso si fa riferimento alla risoluzione slant-range (∆r ), ovvero

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la risoluzione valutata rispetto al raggio vettore tra satellite e scena osservata. Un calcoloanalogo sussiste per la risoluzione azimuth.

La 2.2.2 mostra che la risoluzione dipende dall’altezza in modo lineare: per sensori nello spazio,fissata la lunghezza d’onda, per avere risoluzioni dell’ordine del metro bisognerebbe utilizzareantenne chilometriche.

2.2.2 Radar ad impulsi

Un incremento notevole della risoluzione si può ottenere inviando segnali impulsivi. Un impul-so che raggiunge due oggetti, produce, ignorando eventuali fenomeni di multipath, due echi chetornano al sensore in tempi differenti in funzione della distanza dal sensore stesso. In tal caso,affinché gli oggetti siano distinguibili, è sufficiente che i segnali retrodiffusi siano temporal-mente separati e dunque i vari oggetti possono anche trovarsi contemporaneamente all’internodel footprint.

Risoluzione range

Siano r1 e r2 le distanze degli oggetti rispetto al satellite e sia τ la durata dell’impulso. Il roundtrip time dell’impulso trasmesso è pari a 2ri/c, (i = 1,2), dove c' 3 ·108 m/s.

È semplice dimostrare che in tal caso la risoluzione slant-range1 è:

∆r =cτ

2(2.2.3)

Quindi affinché i due oggetti siano distinguibili, deve risultare

|r2− r1| ≥cτ

2(2.2.4)

Dalla 2.2.3, con semplici considerazioni geometriche, è possibile ricavare la relativa risoluzioneground-range:

∆y =cτ

2sinθ(2.2.5)

1Vale l’ipotesi che gli oggetti siano puntiformi e pertanto la durata dell’impulso resta invariata

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2.2. RADAR AD APERTURA REALE CAPITOLO 2. TELERILEVAMENTO

In tal caso la risoluzione è indipendente dall’altezza, ma per avere risoluzioni dell’ordine deimetri è necessario inviare impulsi di durata pari a frazioni di microsecondo. Tuttavia la duratadell’impulso trasmesso non può essere ridotta eccessivamente per almeno due motivi:

1. Dalla teoria dei segnali è noto che minore è la durata del segnale maggiore è la sua banda.Tuttavia, al fine di evitare fenomeni di dispersione, è necessario lavorare in banda stretta.Ciò implica che al diminuire della durata dell’impulso bisogna aumentare la frequenzadella portante, la quale è, tuttavia, limitata alla banda di frequenze delle microonde per imotivi precedentemente evidenziati.

2. Impulsi di durata inferiore trasportano meno energia. Tenendo in considerazione gli in-evitabili effetti di attenuazione, un’energia troppo bassa potrebbe non essere sufficientea garantire un backscattering apprezzabile. Inoltre la potenza trasmessa è limitata dallecaratteristiche del sistema.

Modulazione d’impulsi

Per ovviare a questi problemi, lo stato dell’arte è rappresentato da un impulso modulato linear-mente in frequenza detto chirp:

p(t) = cos(

ω0t +αt2

2

)·Π( t

τ

)(2.2.6)

dove ω0 è la frequenza portante e α ∈ R è un parametro, detto chirp rate, legato alla banda delsegnale dalla 2.2.9.

La frequenza istantanea di tale segnale è:

fist =1

2π(ω0 +αt) = f0 +

αt2π

(2.2.7)

quindi si ha una frequenza che varia linearmente con il tempo.

Tenendo conto che l’impulso ha durata τ si ha:

fist ∈[

f − |α|2π· τ

2, f +

|α|2π· τ

2

](2.2.8)

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da cui segue che l’escursione di frequenza sperimentata dal segnale è pari a:

∆ f =ατ

2π(2.2.9)

La 2.2.9 pone in evidenza che la banda del segnale chirp cresce linearmente con la sua duratae per tale motivo vengono impiegati impulsi di durata maggiore possibile. Il trade-off è valutatorispetto al PRF (Pulse Repetition Frequency), cioè il numero di impulsi trasmessi al secondo.Dovendo evitare che i ritorni elettromagnetici relativi ad impulsi successivi si sovrappongano,all’aumentare della durata dell’impulso bisogna diminuire il PRF e di conseguenza, al finedi coprire completamente le regioni di interesse, la velocità della piattaforma che trasporta ilsensore va altresì ridotta.

I segnali retrodiffusi necessitano di un’operazione di compressione che consiste in una con-voluzione tra il segnale ricevuto e un segnale di riferimento, ovvero un filtraggio adattativo. Sidimostra che la risoluzione ground-range/slant-range è pari a:

∆y =c

2∆ f sinθ(2.2.10)

∆r =c

2∆ f(2.2.11)

Risoluzione azimuth

Per quanto riguarda la risoluzione across-track, l’introduzione del chirp non comporta vantag-gi in quanto, così come per il radar CW, punti alla stessa distanza dal sensore determinanobackscattering contemporanei e dunque non risolvibili. In tal caso affinché due oggetti sianorilevati come distinti è necessario che non si trovino contemporaneamente all’interno del foot-print. La risoluzione azimuth coincide, quindi, con la dimensione del footprint nella direzionedi volo.

Sia:

L dimensione apparente dell’antenna nel piano xz

∆ψ ampiezza del fascio espressa in radianti

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2.3. SAR CAPITOLO 2. TELERILEVAMENTO

Figura 2.2.2: Schema per il calcolo della risoluzione azimuth

Risulta:

∆x = r ·∆ψ ' rλ

L(2.2.12)

La 2.2.12 pone in evidenza che per ottenere risoluzioni dell’ordine del metro bisognerebbe usareantenne chilometriche. Per migliorare la risoluzione azimuth si ricorre dunque al concetto diantenna sintetica.

2.3 SAR

2.3.1 Principio di funzionamento

Per migliorare la risoluzione azimuth è necessario aumentare la dimensione dell’apertura. Nonpotendo agire sulle dimensioni fisiche dell’antenna è necessario simulare un’antenna di grossedimensioni. È ciò che avviene con il Radar ad Apertura Sintetica (SAR, Synthetic Aperture

Radar) in cui si sfrutta la permanenza prolungata, all’interno del footprint, del generico puntoosservato e i conseguenti shift di frequenza (effetto Doppler) degli echi retrodiffusi.

Si consideri la figura 2.3.1.

20

CAPITOLO 2. TELERILEVAMENTO 2.3. SAR

Figura 2.3.1

Durante il volo del sensore il punto P effettua un movimento apparente all’interno del footprint,da A a B, durante il quale è investito da numerosi impulsi, inviati dal sensore, cui corrispondoaltrettanti echi. In un sistema RAR ognuno di tali echi produrrebbe un’immagine singola. L’ideadel SAR, invece, è di combinare tutte le immagini grezze, al fine di produrre un’unica immaginead alta risoluzione del punto P e della scena circostante. L’elaborazione consiste, anche inquesto caso, in un’operazione di convoluzione che prende il nome di focusing oppure, nel casopiù semplice, in una media mobile tra i vari contributi [14]. Un risultato analogo si potrebbeottenere allineando tante antenne quanti sono gli impulsi che raggiungono il punto P 2. In talsenso, dunque, il SAR simula un array di antenne e X è la dimensione dell’antenna sintetica.

È possibile dimostrare che in tal caso la risoluzione azimuth è pari a:

∆x =L2

(2.3.1)

dove L è la proiezione lungo x della dimensione longitudinale dell’antenna.

La 2.3.1 suggerisce che per migliorare la risoluzione è sufficiente utilizzare antenne più piccole,esattamente il contrario di ciò che avviene con i sistemi RAR. Il trade-off da considerare neldimensionamento di un sistema SAR è il carico di lavoro per i sistemi di elaborazione di bordoe di terra. È noto, infatti, che antenne più piccole hanno un fascio di apertura più largo il che

2Indicata con v la velocità del sensore, il numero di impulsi che raggiungono P è: N = PRF ·X/v

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si traduce in un footprint maggiore, ovvero un’antenna sintetica più lunga e quindi un maggiornumero di dati da elaborare; l’acquisizione di più dati implica risoluzioni migliori, in basea quanto precedentemente esposto, il che fornisce un’interpretazione intuitiva della 2.3.1, maanche un maggior carico di lavoro che, per i sistemi SAR, è di per se già molto oneroso.

2.3.2 Modalità di acquisizione dati

In questa breve esposizione sul funzionamento del SAR si è implicitamente fatto riferimento aduna delle sue modalità di funzionamento più utilizzate, detta stripmap, in cui l’antenna è fermarispetto alla piattaforma che la trasporta e dunque illumina una porzione di superficie limitata inrange e illimitata in azimuth. La dimensione in range della striscia ottenuta è detta swath (vedifig. 2.1.1 )

Esistono altre modalità di funzionamento i cui dettagli implementativi possono variare a secon-da del particolare sensore.

Spotlight mode Durante il volo della piattaforma l’antenna ruota nel piano azimutale e/o inquello di elevazione al fine di puntare sempre su una stessa zona. Ciò consente di au-mentare considerevolmente la risoluzione dell’immagine della zona osservata. Il trade-offè rappresentato dalla perdita di area di copertura.

ScanSAR mode In questa modalità di funzionamento l’antenna cambia periodicamente in-clinazione così da ottenere un’area di copertura più ampia al costo di una perdita dirisoluzione geometrica. Lo swath che si ottiene è più ampio rispetto alla modalità stripmaped è composto da diversi sotto-swath: il fascio d’antenna è direzionato ciclicamente inognuno di tali sotto-swath ad una velocità di ripetizione tale da consentire una coperturaglobale. Naturalmente, rispetto alle altre modalità, ogni porzione di scena è monitorataper un tempo inferiore e ciò va a discapito della risoluzione geometrica.

La figura 2.3.2 illustra 2 modalità di funzionamento del radar ASAR (Advanced SAR) trasporta-to dal satellite europeo EnviSat:

à Image mode corrisponde alla modalità stripmap, con la possibilità di selezionare fra 7diversi swath, modificando elettronicamente l’angolo di elevazione del fascio. Consentedi ottenere una risoluzione di circa 30m a fronte di un’ampiezza di swath pari a 100km.

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CAPITOLO 2. TELERILEVAMENTO 2.3. SAR

à Wide Swath mode consente di ottenere uno swath pari a 405km usando la tecnica ScanSARappena illustrata, a fronte di una risoluzione geometrica di soli 150m.

(a) Envisat ASAR Image Mode (b) Envisat ASAR Wide Swath Mode

Figura 2.3.2: Modalità di funzionamento dell’ASAR di Envisat (Fonte: ESA)

2.3.3 Polarizzazione

La polarizzazione del campo incidente è un parametro che influenza in modo considerevole leinformazioni che si possono estrarre dall’immagine radar. A seconda della scena illuminata,infatti, determinate polarizzazioni possono interagire in modo più o meno consistente con essa.Gli alberi, ad esempio, determinano un ritorno elettromagnetico più forte se investiti da uncampo con polarizzazione verticale (V) e se, allo stesso tempo, l’antenna è impostata perricevere nuovamente la stessa polarizzazione, ovvero campo trasmesso e campo ricevuto sonoco-polarizzati.

Eventuali riflessioni multiple subite dal campo possono causarne una depolarizzazione, checonsiste in una rotazione del piano di oscillazione del campo. Tale fenomeno può essere piùo meno marcato a seconda della scena osservata. La vegetazione, ad esempio, causa spesso

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una forte depolarizzazione. In tali casi può essere utile monitorare la scena con campi cross-polarizzati (HV o VH), ovvero si invia un campo con una determinata polarizzazione e si sondail backscattering nell’altra polarizzazione.

Sono anche possibili post-processing in cui vengono sovrapposte immagini relative ad una stes-sa scena monitorata con polarizzazioni differenti, mentre alcuni sensori, come ASAR, pos-sono trasmettere e ricevere entrambe le polarizzazioni contemporaneamente, consentendo dieffettuare analisi polarimetriche particolarmente interessanti.

Envisat consente di utilizzare alcune combinazioni di polarizzazione, dette Alternating Polar-ization Mode.

Figura 2.3.3: Alternating Polarization Mode (Fonte: ESA)

Nella modalità APM co-polare il trasmettitore commuta periodicamente tra la modalità HH equella VV.Nella modalità cross-polare, invece, fissata la polarizzazione del campo trasmesso, il ricevitorecommuta ciclicamente tra H e V.

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CAPITOLO 2. TELERILEVAMENTO 2.4. SPECKLE

2.4 Speckle

Un’immagine radar è una matrice di pixel i cui livelli di grigio dipendono dall’intensità delbackscattering da ogni cella di risoluzione. Il campo riflesso dalle superfici illuminate portainformazioni sulla loro rugosità, in quanto interagisce con quelle entità che hanno dimensionifisiche paragonabili alla lunghezza d’onda incidente. Tali informazioni sono, però, confuse nel-l’immagine acquisita, in quanto la risoluzione è, allo stato attuale, nettamente maggiore dellalunghezza d’onda. Ciò comporta che a regioni macroscopicamente omogenee vengano associatilivelli di grigio differenti, in quanto microscopicamente (i.e. sulla scala della lunghezza d’on-da) diverse. Tale fenomeno determina un effetto di granulosità nell’immagine detto speckle.L’aleatorietà del campo retrodiffuso, causata dalle sue microscopiche interazioni con la scenaosservata, determina la necessità di una sua caratterizzazione statistica.

Sotto opportune ipotesi è possibile dimostrare che il modulo del campo ricevuto ha una dis-tribuzione di probabilità di tipo Rayleigh. Una zona macroscopicamente omogenea, come puòessere un oil slick sulla superficie marina, è composta da varie celle di risoluzione ognuna dellequali ha un ritorno di tipo Rayleigh. Si ottiene così un processo aleatorio bidimensionale infunzione di variabili spaziali.

Anche se zone adiacenti diverse tra loro (ad esempio olio e acqua) determinassero, come spessoaccade, backscattering con medie diverse, l’incertezza del valore assunto dal campo a causadella varianza, potrebbe determinare livelli di grigio simili, rendendo ardua o impossibile laseparazione tra le due zone.

La figura 2.4.1 chiarisce quanto detto. Le 3 curve rappresentano la distribuzione di probabilitàdell’intensità del backscattering da altrettante zone diverse. Se x è il valore del campo che tornaal sensore è evidente come non sia possibile individuare la giusta categoria per il pixel associato.

Tecniche di multi-look e post-processing, qualora possibili, consentono di risolvere o conteneretale problema riducendo la varianza del backscattering e migliorando, quindi, la risoluzioneradiometrica, ovvero la capacità di discernere fra livelli di grigio diversi. Tuttavia, tali tec-niche determinano quasi sempre una riduzione della risoluzione geometrica che per alcuneapplicazioni è un fattore critico.

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2.5. TELERILEVAMENTO DEL MARE CAPITOLO 2. TELERILEVAMENTO

Figura 2.4.1: Pdf del backscattering da 3 zone diverse (Fonte: WolframAlpha)I dati inseriti sono puramente indicativi

2.5 Telerilevamento del mare

La complessità e l’aleatorietà dei fenomeni marini, rendono particolarmente difficile l’interpre-tazione delle relative immagini radar. Il mare è un’entità in continuo movimento che presentafenomeni fisici estremamente peculiari, quali ad esempio le correnti oceaniche, il moto ondoso,la formazione e il galleggiamento di lastre di ghiaccio ecc., ognuno dei quali determina unparticolare effetto nelle immagini radar.

Tale complessità ha determinato la nascita di tecniche, modelli teorici e aree di ricerca, specifi-catamente dedicate al telerilevamento marino, che è ormai divenuto uno strumento fondamen-tale per gli studi oceanografici e non solo.

2.5.1 Fenomeno di Bragg

Tra i modelli proposti per lo studio della superficie marina vi è l’approccio di ottica fisi-ca per l’approssimazione del campo elettromagnetico retrodiffuso, in base al quale il coeffi-ciente di backscattering è proporzionale allo spettro di potenza della superficie, valutato incorrispondenza di una particolare frequenza spaziale:

σ0

∝ W (2k sinθ) (2.5.1)

dove θ è l’angolo di incidenza del campo, k è il coefficiente di propagazione e K = 2k sinθ sidice numero d’onda di Bragg.

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CAPITOLO 2. TELERILEVAMENTO 2.5. TELERILEVAMENTO DEL MARE

La superficie marina può essere vista come la sovrapposizione di Fourier di infinite armonichespaziali. La 2.5.1 esprime che tra queste, soltanto una determina un campo retrodiffuso diintensità apprezzabile. La spiegazione di ciò risiede in un fenomeno di interferenza costruttivadei ritorni elettromagnetici, determinato dalle onde marine di lunghezza d’onda paragonabilealla lunghezza d’onda della portante elettromagnetica.

La riga spettrale 2k sinθ è, infatti, una sinusoide avente lunghezza d’onda pari a:

Λ =2π

2k sinθ=

λ

2sinθ(2.5.2)

La differenza di fase tra i campi incidenti su due punti della sinusoide distanti Λ è pari a:

∆φ = 2kΛsinθ = 2π (2.5.3)

Figura 2.5.1: Fenomeno di Bragg

Quindi i campi retrodiffusi sono in fase tra loro e in ricezione si sommano in modo coerente, ilche si traduce in una maggior intensità del campo al ricevitore. Tale effetto si dice fenomenodi Bragg e la corrispondente riga spettrale si dice frequenza risonante di Bragg. Tutte lealtre frequenza si sommano in maniera aleatoria, ovvero presentano fenomeni di interferenza

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costruttiva e distruttiva che determinano, in media, un campo di intensità nettamente inferiorerispetto al ritorno risonante.

Si osservi che, affinché i ritorni elettromagnetici si sommino in modo coerente, è sufficiente chela differenza di fase tra gli echi sia un multiplo intero di 2π , ovvero la relazione tra Λ e λ puòessere estesa come segue:

Λ = n · λ

2sinθ(2.5.4)

Quindi fissata λ tutte le onde di lunghezza Λ/n (n ∈ N) determinano un effetto risonante.

Ciò sembra essere in disaccordo con quanto espresso dalla 2.5.1. Per risolvere questa apparentediscrepanza, basta osservare che in una cella di risoluzione (dell’ordine dei metri) vi sono diversiperiodi risonanti, in quanto Λ è dell’ordine dei centimetri. Indicato con N il numero di periodidi lunghezza λ/2sinθ , quelli di lunghezza nλ/2sinθ sono in numero pari a N/n, pertanto iritorni relativi ad n = 1 sono in numero maggiore e, di conseguenza, prevalgono nel computodella luminosità del backscattering. Ciò conferma qualitativamente la validità della 2.5.1.

La superficie marina presenta lunghezze d’onda che vanno dalle centinaia di metri (onde lunghe

gravitazionali) fino ai millimetri (onde corte capillari e gravito-capillari) ma, in accordo conl’equazione 2.5.2, solo quelle di lunghezza dell’ordine dei centimetri sono direttamente visi-bili al sensore. Si è però osservato che le onde lunghe modulano in ampiezza le onde corte,modificando l’intensità del backscattering determinato da queste ultime. Ciò si traduce nel-la possibilità di vedere, nell’immagine radar, le onde lunghe in funzione delle onde risonantigrazie all’alternanza della luminosità dei pixel determinata dalla modulazione.

Il fenomeno di Bragg gioca un ruolo cruciale nell’individuazione degli oil slick. Le caratteris-tiche visco-elastiche degli strati oleosi, infatti, determinano fenomeni che tendono a contrastarela formazione delle onde capillari, riducendo notevolmente i ritorni risonanti di Bragg e deter-minando, quindi, zone scure nell’immagine radar. In tal caso, dunque, come spesso avviene,l’assenza di dati è di per se un’informazione.

2.5.2 Parametri geometrici

La dimensione delle zone scure all’interno delle immagini, dipende, oltre che, naturalmente,dall’estensione del film di petrolio, anche dalla risoluzione geometrica del sensore. Infatti,

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CAPITOLO 2. TELERILEVAMENTO 2.5. TELERILEVAMENTO DEL MARE

come precedentemente evidenziato, ad ogni cella di risoluzione corrisponde un pixel dell’im-magine. In particolare a risoluzioni migliori (i.e. celle di risoluzione più piccole) corrispondonoimmagini più grandi. La disponibilità di immagini ad alta risoluzione è, dunque, auspicabile aifini di una corretta individuazione degli oil slick. Zone scure di dimensioni esigue, potrebbero,infatti, non essere rilevate durante la fase di individuazione; inoltre diverse tecniche adottatenella fase di estrazione delle caratteristiche3 potrebbero altresì beneficiare di immagini ad altarisoluzione. Ad esempio, come illustrato nel capitolo 3, l’analisi dei contorni può essere riv-elare la natura della zona scura nell’immagine, in quanto contorni molto regolari sono pocoprobabili nei look-alike. A tal proposito è facile intuire quanto incida la risoluzione geometricasulla capacità di rilevare con precisione i contorni della zona scura. Tuttavia, non sempre è pos-sibile usufruire di tali immagini, in particolare perché immagini ad alta risoluzione offrono, allostato attuale, un’area di copertura molto limitata, annullando di fatto il vantaggio, offerto daltelerilevamento da satellite, di coprire vaste zone in tempi brevi. I satelliti della costellazioneCOSMO-SkyMed, ad esempio, montano un sistema SAR in grado di offrire risoluzioni fino ad1m a fronte di uno swath di soli 10km. Per risoluzioni di 3m la larghezza dello swath arrivafino a 40km e aumentando ulteriormente lo swath si raggiungono gli stessi livelli di risoluzionedi Envisat.

Diversi fattori influenzano l’interpretabilità delle immagini radar riportanti tratti marini.Il coefficiente di backscattering è anche funzione dell’angolo di elevazione e, in particolare,diminuisce all’aumentare di quest’ultimo offrendo i migliori risultati approssimativamente tra i20° e i 45° [9].

2.5.3 Parametri fisici

Lo speckle rappresenta un problema critico delle immagini radar e, nel caso del telerilevamentodel mare, può risultare particolarmente gravoso. In base a quanto precedentemente esposto, ilmare mosso è visto dal sensore come un’entità fortemente rugosa. Il continuo moto ondoso ela presenza di onde di lunghezze diverse, risonanti e non, determina una varianza del backscat-tering molto estesa causando una forte alternanza di pixel chiari e scuri. Un background cosìdisomogeneo può mettere in crisi i sistemi di detezione e/o segmentazione degli sversamen-ti, rendendo spesso necessario l’uso di filtraggi ad hoc finalizzati alla riduzione dello speckle;

3Cfr. sezione 3.2

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questi potrebbero, tuttavia, risultare fallimentari soprattutto nel caso dei film sottili e/o di piccoledimensioni che si confondono facilmente con la texture del mare.

Un parametro spesso utilizzato per lo studio e le simulazioni della superficie marina interessatada oil slick è il coefficiente di smorzamento (damping ratio), definito come il rapporto tra icoefficienti di backscattering del mare e dell’olio (σ0,sea/σ0,oil ).

Sebbene con risultati variabili a seconda del tipo di olio presente sulla superficie marina, diverseanalisi hanno dimostrato che i migliori risultati in termini di damping ratio si ottengono conscansioni nelle bande C ed X. La banda L invece si è rivelata inefficace per il telerilevamentodegli oil slick: il motivo di ciò è da ricercarsi nella scarsa capacità dell’olio di impedire laformazione delle onde di lunghezza maggiore di 10cm.

ERS-1/2, RADARSAT-1/2 e ENVISAT montano (o hanno montato) sistemi SAR operanti inbanda C. COSMO-SkyMed e TerraSAR-X, invece, lavorano in banda X così come TanDEM-X,lanciato a giugno 2010 dall’Agenzia Spaziale Tedesca e KOMPSAT-5 che sarà messo in orbitadall’Istituto di Ricerca Aerospaziale Coreano.

Dati empirici derivanti da analisi polarimetriche hanno evidenziato che l’uso della polariz-zazione VV è particolarmente indicato per il telerilevamento degli sversamenti di petrolio, inquanto fornisce risultati migliori in termini di risoluzione radiometrica e di contrasto, il che sitraduce in una maggior sensibilità in fase di detezione. Tuttavia con immagini di questo tipo siè altresì osservata una maggior incidenza di look-alike, rendendo necessaria una maggior atten-zione nella fase di classificazione delle immagini [11]. A tal fine non è da escludere l’uso di datiausiliari derivanti da scansioni effettuate attraverso altre polarizzazioni; ad esempio le modal-ità cross-polari, forniscono buone prestazioni per la detezione delle navi, le quali determinanode-polarizzazioni molto più marcate rispetto al mare [15].

Si noti infine che, a queste frequenze di lavoro, il coefficiente di penetrazione del campo elet-tromagnetico è nettamente maggiore dello spessore medio degli oil slick (generalmente unafrazione di millimetro), rendendo irrilevanti le caratteristiche elettromagnetiche di questi ultimiai fini dell’analisi del dato telerilevato.

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3 Elaborazione immagini

I problemi di ambiguità evidenziati nei precedenti capitoli, rendono particolarmente ardua l’i-dentificazione degli oil slick, determinando la necessità di effettuare opportune analisi e post-elaborazioni sulle immagini acquisite. A tal fine, agenzie spaziali e centri di elaborazione datiutilizzano specifiche procedure grazie alle quali, ad oggi, numerosi sversamenti sono stati cor-rettamente identificati. Tuttavia i limiti di tali procedure sono ancora ragguardevoli e con-tinui progressi tecnico-scientifici sono richiesti al fine di incrementarne l’efficacia e l’efficienzadell’insieme delle tecniche adottate.

In questo capitolo sarà presentata un’esaustiva panoramica dei criteri adottati per discernere glioil slick dai fenomeni naturali.

3.1 Integrazione dati

Come avviene in molti settori anche lo studio del mare può avvalersi dell’uso congiunto disensori operanti in diverse bande di frequenza.

Le agenzie spaziali e i numerosi centri di ricerca nel mondo, sono in costante attività al finedi progettare sensori con caratteristiche tecniche sempre più spinte ma, per motivi economicie strategici, è auspicabile sviluppare tecniche e metodi basate sull’utilizzo di strumenti attual-mente in orbita e che, com’è avvenuto ad esempio per ERS-1, in casi particolarmente favorevolipotrebbero permanervi ben oltre il tempo previsto.

L’uso congiunto di sensori, attivi o passivi, operanti in diverse bande di frequenza, consentedi effettuare analisi multispettrali o iperspettrali grazie alle quali è possibile estrapolare in-formazioni complementari della scena osservata, ricavandone la cosiddetta firma spettrale. Ében noto infatti che il campo elettromagnetico è in grado di trasportare informazioni diverse inbande diverse.

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3.1. INTEGRAZIONE DATI CAPITOLO 3. ELABORAZIONE IMMAGINI

Sensori operanti nelle bande degli infrarossi e dell’ultravioletto e radiometri a microonde, adesempio, possono essere usati per valutare l’estensione e/o lo spessore degli strati oleosi, esensori laser-fluoro permettono di classificare il tipo di petrolio [9]. Questi ultimi, in particolare,rappresentano lo stato dell’arte nel telerilevamento del petrolio in quanto non sono affetti daiproblemi di ambiguità del SAR e sono altresì in grado di operare sia di giorno sia di notte.Tuttavia le performance di tali strumenti non sempre sono sufficienti a soddisfare le specificheesigenze. Ad esempio gli strumenti IR sono spesso sensibili alla luce solare e dunque hannolimitate capacità di osservazione, mentre i sensori laser-fluoro non possono essere utilizzati abordo dei satelliti a causa dell’eccessiva attenuazione atmosferica che si sperimenta nella bandadi frequenza in cui operano.

Nell’ambito del New Millenium Program, la NASA (National Aeronautics and Space Adminis-

tration) ha lanciato nel 2000 il satellite EO-1 (Earth Observing One) con l’obiettivo di testaree sviluppare nuove tecnologie per l’osservazione della Terra; Hyperion Imaging Spectrome-ter è tra gli strumenti trasportati da EO-1 e fornisce quotidianamente numerose e significativeimmagini iperspettrali con acquisizioni in 220 bande, da 0.4 a 2.5 µm, cioè nel visibile e nell’in-frarosso, e risoluzione spaziale di 30 metri. Uno dei limiti di Hyperion è la sua area di coperturadi soli 7.5× 100Km che non consente di ottenere una copertura globale in tempi ragionevoli[33].

Il satellite ambientale Envisat (ENVIronmental SATellite), sviluppato e messo in orbita nel 2002dall’ESA (European Space Agency), riunisce sulla stessa piattaforma diversi sensori dedicati almonitoraggio ambientale, quali ad esempio AATSR, MERIS e il già citato ASAR, che operandosimultaneamente1, offrono interessanti possibilità di elaborazione dati.

Il radiometro avanzato AATSR (Advanced Along Track Scanning Radiometer) è un sensorepassivo che consente di effettuare misurazioni precise della temperatura della superficie mari-na, dei terreni e dell’atmosfera con accuracy di 0,3K o superiore, acquisendo dati nella bandadel visibile e dell’infrarosso termico (lunghezze d’onda comprese tra 0.55 e 12 µm); in par-ticolare, a causa della scarsa capacità di penetrazione dell’infrarosso termico, la temperaturastimata si riferisce ad uno strato superficiale di alcune decine di micron. Associando vari coloriai differenti gradienti di temperatura è dunque possibile ottenere una mappatura globale delletemperature.

1L’area di copertura di tali strumenti è diversa e dunque non sempre, per una specifica area, i dati sonocontemporaneamente disponibili.

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CAPITOLO 3. ELABORAZIONE IMMAGINI 3.1. INTEGRAZIONE DATI

Nel caso specifico tali dati possono essere utilizzati per distinguere gli oil slick dai look-alike,grazie alla diversa capacità di riemettere l’energia solare assorbita sotto forma di energia ter-mica. Nel caso degli oil slick, inoltre, l’energia termica riemessa è funzione dello spessore delfilm di petrolio, il che consente di stimare la quantità di idrocarburi depositati in mare.

Tuttavia non sempre la temperatura del petrolio ha una differenza particolarmente marcatarispetto a quella del mare circostante. Inoltre la risoluzione geometrica dell’AATSR è parial massimo ad 1Km, cioè ogni pixel dell’immagine riporta la temperatura media di una zonache si estende su una superficie di 1Km2, il che rende tale strumento utilizzabile solo nel casodi sversamenti, reali o presunti, di dimensioni considerevoli.

MERIS (MEdium Resolution Imaging Spectrometer) è uno spettrometro passivo che misura laradiazione solare riflessa dalla Terra ed in particolare la colorazione dei mari. Opera ad unarisoluzione spaziale di circa 300m con acquisizione simultanea in 15 bande spettrali, nel visi-bile e nell’infrarosso vicino. Il colore del mare può cambiare, tra le altre cose, al variare dellaconcentrazione del pigmento di clorofilla della flora sottomarina. MERIS è dunque in gradodi rilevare la presenza di concentrazioni di fitoplancton grazie alla loro attività di fotosinte-si clorofilliana [34]. Tali dati possono essere utilizzati in associazione con le immagini SARper distinguere oil slick da banchi di fitoplancton, sebbene anche in questo caso la risoluzionerappresenti un collo di bottiglia. Inoltre non sempre le immagini radar e ottiche sono contem-poraneamente disponibili per una stessa scena, ad esempio a causa della presenza di formazioninuvolose.

Trasportato a borso dei satelliti NASA Earth Observing System (EOS) Terra e Aqua, MODIS(MOderate Resolution Imaging Spectroradiometer) è altresì in grado di rilevare la presenzadi fitoplancton sulla superficie marina operando in 36 bande spettrali con lunghezze d’ondacomprese tra 0.4 µm e 14.4 µm [32]. La risoluzione spaziale, nelle bande utilizzate per ap-plicazioni oceanografiche, è di 1Km, analoga, quindi, al sensore SeaWiFS (Sea-viewing Wide

Field-of-view Sensor) dedicato a questo tipo di applicazioni [31].

Le figure 3.1.1 illustrano formazioni di fitoplancton (di colore blu intenso) rilevate da MERISe MODIS nell’Oceano Atlantico settentrionale, al largo delle coste dell’Irlanda e dell’isola diTerranova. Nelle immagini sono chiaramente visibili formazioni nuvolose che oscurano la zonasottostante, mettendo in luce uno dei limiti di questo tipo di sensori.

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3.2. PROCESSO DI ANALISI CAPITOLO 3. ELABORAZIONE IMMAGINI

(a) MERIS - Irlanda - 23.05.2010 (Fonte: ESA) (b) MODIS - Terranova - 9.10.2010 (Fonte: NASA)

Figura 3.1.1: Agglomerati di fitoplancton (in blu elettrico) rilevati da MERIS e MODISnell’Oceano Atlantico settentrionale

3.2 Processo di analisi

Per meglio capire in che modo è possibile affrontare le problematiche relative alla detezionedegli oil slick, in questa sezione sarà illustrato il processo di analisi ed elaborazione delle im-magini. Si tenga presente che il framework presentato è indicativo, in quanto ogni agenzia puògestire il complesso delle operazioni nel modo che ritiene più opportuno sulla base dei risultatidegli studi scientifici. A tal proposito è bene sottolineare che a causa dei diversi data set di im-magini utilizzati, un confronto dell’efficacia delle tecniche proposte dalla comunità scientificaè difficilmente attuabile.

In generale si possono distinguere 3 fasi operative, indicate in figura 3.2.1 dov’è altresì messoin evidenza il possibile utilizzo di eventuali dati ausiliari.

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CAPITOLO 3. ELABORAZIONE IMMAGINI 3.2. PROCESSO DI ANALISI

Figura 3.2.1: Framework di elaborazione dati

3.2.1 Individuazione

L’individuazione di oil slick nelle immagini radar può avvenire mediante ispezione oculare e/otramite software. L’ispezione oculare è effettuata da un operatore che seleziona le immaginicontenenti zone scure, vi applica opportuni algoritmi di segmentazione e le assegna ad unacategoria che rappresenta la probabilità che la zona in esame sia un oil slick. Ciò si basa unica-mente sulle capacità e sull’esperienza dell’operatore che tuttavia può, in alcuni casi, avvalersidell’uso di dati ausiliari, come ad esempio la velocità locale del vento o la posizione geograficadel presunto oil slick, provenienti da altri strumenti di misura, da database collegati o da post-elaborazioni sulle stesse immagini SAR. È evidente che questa fase può essere affetta da errorinon sistematici legati alla non oggettività del tipo di analisi. È auspicabile che tali operazionisiano effettuate, in misura sempre maggiore, da sistemi automatici o semi-automatici, sia perl’oggettività che offrono in fase di analisi, sia per la capacità di gestire ingenti carichi di lavoro.

A tale scopo sono stati proposti diversi algoritmi che affrontano il problema con approcci dif-ferenti. Solberg[10], ad esempio, propone un algoritmo di rilevazione a soglia adattativa. Lasoglia rappresenta il valore al di sotto della quale la zona in esame è ritenuta “scura”. Unafinestra di dimensione opportuna scansiona l’immagine a piccoli passi e valuta la luminositàdei pixel rispetto alla soglia, impostata k dB al di sotto del valore medio del backscatteringlocale (i.e. all’interno della finestra), dove k è scelto in base alle condizioni di vento. La veloc-ità del vento può essere impostata manualmente o, preferibilmente, in base ad un’elaborazioneparallela dell’immagine SAR o di altri strumenti presenti a bordo del satellite (ad esempio unoscatterometro), o ancora provenire dal database di un centro meteorologico. Tale processo è af-

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fetto da possibili errori, soprattutto nel caso in cui la texture dell’immagine (i.e. i dintorni dellazona scura) non è omogenea, come avviene ad esempio in condizioni di vento particolarmentesfavorevoli. In [11] è stata proposta un’ulteriore modifica di tale processo.

3.2.2 Estrazione delle caratteristiche

In questa fase vengono collezionate una serie di informazioni basate sia sulle coordinate ge-ografiche dell’immagine acquisita, sia su caratteristiche fisiche e geometriche della scena edella zona segmentata. Tali caratteristiche sono utilizzate per calcolare la probabilità che lazona scura sia un oil slick o un look-alike.

La presenza di piattaforme petrolifere nei dintorni della zona scura, ad esempio, fa aumentarela probabilità che quest’ultima sia l’immagine di uno sversamento di petrolio.

Di seguito sono elencate alcune caratteristiche attualmente utilizzate in diversi centri di analisi.Un elenco più esaustivo si può trovare in [11] e [18].

1. Caratteristiche fisiche

à Distanza dalle piattaforme petrolifere più vicineUna mappatura delle piattaforme petrolifere esistenti è utile all’uopo.

à Presenza di navi nei dintorni dell’immagineLe navi sono visibili come punti brillanti nell’immagine SAR. Solberg[11] proponeun semplice algoritmo per la loro rilevazione automatica.

à Velocità del ventoValutata sulla base delle informazioni provenienti da uno o più centri meteorologicio in base a misurazioni effettuate dal SAR o da strumenti ad hoc.

à Possibile presenza di fitoplanctonAlcune zone del mondo, ad esempio alcune aree del Nord Europa, offrono un am-biente particolarmente favorevole alla proliferazione di alghe. Tale informazionepuò essere contenuta in un database ed elaborata in questa fase. Inoltre l’utilizzodi specifici strumenti, quali ad esempio MERIS e MODIS, può fornire indicazionidettagliate circa la presenza di plancton.

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CAPITOLO 3. ELABORAZIONE IMMAGINI 3.2. PROCESSO DI ANALISI

à Temperatura della superficie marina e del presunto sversamentoIndicativa della presenza di depositi di idrocarburi ed eventualmente del loro spes-sore, in particolare di notte, come precedentemente illustrato.

2. Caratteristiche grafiche

à Forma del segmento d’immagineAlcune caratteristiche geometriche sono indicative del tipo di fenomeno osserva-to. Ad esempio, zone scure dalla forma oblunga hanno una maggior probabilità diessere dovute ad oil slick.

à Regolarità dei contorniContorni regolari suggeriscono, generalmente, un’elevata probabilità di essere inpresenza di oil slick. Contorni irregolari sono tipici di fenomeni naturali o di sversa-menti non recenti (film di petrolio spalmati sulla superficie marina dal vento o dallecorrenti marine). Un analisi della dimensione frattale del segmento è opportuna inquesta fase.

à ContrastoÈ il rapporto tra il valore medio di luminosità della zona scura e dell’area circostante.Tale parametro può essere fortemente condizionato dalla presenza contemporaneadi diversi fenomeni (es. petrolio e fitoplancton) e da condizioni di vento debole.

à Omogeneità del backgroundSe i pixel nei dintorni della zona scura hanno una spiccata variabilità dei livellidi grigio, la probabilità di non rilevare sversamenti o di avere falsi allarmi aumenta.L’omogeneità del background può essere valutata attraverso il PMR (Power to Mean

Ratio), ovvero il rapporto σ/µ della più grande finestra contenente lo sfondo dellazona scura, dove σ è la deviazione standard e µ è la media dei livelli di grigio.

à Omogeneità della zona scuraPuò essere valutata attraverso il PMR della zona scura.

à Numero di zone scureIn condizioni di vento debole è atteso un elevato numero di look-alike nell’immag-ine. Con vento medio-forte la probabilità che una zona scura sia causata da unosversamento di petrolio aumenta.

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Non sempre tutte le informazioni su elencate sono contemporaneamente disponibili. Con riferi-mento ad Envisat, ad esempio, avverse condizioni meteorologiche possono rendere indisponibilii dati dell’AATSR ovvero le misure di temperatura della superficie marina.

Tutte le informazioni collezionate formano un vettore delle caratteristiche che svolge un ruolocruciale nella successiva fase di classificazione.

3.2.3 Classificazione

In questa fase si calcolano la probabilità che la zona scura rilevata sia un oil slick o un look-alikesulla base delle informazioni collezionate nella fase precedente. A tal fine sono diverse le stradeche si possono intraprendere. Ad esempio, l’informazione relativa alla presenza di piattaformepetrolifere nei dintorni della zona in esame, può essere inclusa nel computo delle probabilità a

priori e poi usare le altre informazioni per calcolare le probabilità a posteriori.

Una delle difficoltà da affrontare in questa fase è il peso da associare alle diverse caratteristicheestratte, ovvero il modello da usare per la PDF (Probability Distribution Function) del vettoredelle caratteristiche. Uno strumento automatico di analisi dovrebbe essere in grado di valutare,contestualmente alla fase calcolo, il peso delle varie informazioni disponibili così come farebbeun essere umano. A tal fine sono stati proposti anche approcci basati sull’utilizzo di reti neurali.

Bisogna altresì tenere presente che l’occorrenza di look-alike è molto più elevata rispetto aglioil slick: in base a ciò la probabilità a priori che una chiazza scura sia un look-alike è netta-mente maggiore rispetto ad un oil slick. Tuttavia, classificare erroneamente un oil slick comelook-alike può essere ritenuto un evento più sfavorevole rispetto al commettere l’errore inverso.Nell’ottica di mantenere bassa la probabilità di non rilevare oil slick, può essere utile ribilancia-re opportunamente le probabilità, sebbene ciò comporti il rischio di ottenere un maggior numerodi falsi allarmi.

38

4 Geometria frattale

4.1 Introduzione

I frattali sono strutture geometriche dall’aspetto frastagliato caratterizzate da specifiche pro-prietà matematiche quali l’autosimilarità (o invarianza di scala): osservando un frattale adingrandimenti sempre più spinti, l’aspetto dell’immagine resta sostanzialmente immutato. Inaltri termini ogni dettaglio somiglia al tutto. Nel seguito di questo capitolo sarà fornita unacaratterizzazione più esaustiva dei frattali.La proprietà dell’invarianza di scala determina un legame molto stretto tra la Natura e i frattali.Piante, fiori, alberi, conchiglie, coste, terreni, montagne, nuvole, paesaggi e molto altro, pre-sentano caratteristiche autosimilari. Numerosi esempi di frattali biomorfi si possono trovare nellibro “The fractal geometry of nature” [3], di Benoît Mandelbrot, matematico polacco consid-erato il fondatore della geometria frattale.In effetti fu Mandelbrot a verificare le straordinarie peculiarità di tale geometria e la sua capacitàdi adattarsi bene a numerosi ambiti scientifici.

“Perché la geometria è spesso definita fredda e arida? Un motivo risiede nellasua incapacità di descrivere la forma di una nuvola, di una montagna, di una costa odi un albero. Le nuvole non sono sfere, le montagne non sono coni, le linee costierenon sono cerchi, la corteccia non è piana e un fulmine non si propaga in linea retta”

Mandelbrot - “The fractal geometry of nature”

Secondo Mandelbrot, quindi, i modelli storici della matematica non sono sufficienti per descri-vere la Natura: la Natura è frattale.Fu lo stesso Mandelbrot a coniare il termine “frattale” che deriva dal latino fractus, ovvero spez-zato, frastagliato, e ad utilizzarlo per la prima volta nel suo libro ”Gli oggetti frattali: forma,

39

4.1. INTRODUZIONE CAPITOLO 4. GEOMETRIA FRATTALE

caso e dimensione” (1975).

Un esempio tipico di frattale biomorfo è rappresentato dalla felce la cui fronda è compostada molte pinne che somigliano alla fronda stessa; ogni pinna è a sua volta composta da di-verse pinnule somiglianti alla pinna. La figura 4.1.1 mostra la ricostruzione al computer di unafelce ottenuta tramite un processo di iterazione, come meglio spiegato in seguito. Con lo stes-so processo si potrebbe ottenere un albero i cui rami hanno una forte somiglianza con l’interoalbero.

Figura 4.1.1: Ricostruzione frattale di una felce

Ci si potrebbe chiedere perché la Natura segua così fedelmente le regole della geometria frat-tale. Probabilmente una spiegazione è da ricercarsi nella semplicità degli algoritmi che de-scrivono frattali comunque complessi, come sarà illustrato a breve: nelle loro evoluzioni leentità naturali scelgono algoritmi semplici, replicando numerose volte i mattoni elementari chele costituiscono.

Con la pubblicazione di “The fractal geometry of nature” l’interesse della comunità scientificaverso i frattali crebbe rapidamente in virtù del fatto che la geometria frattale dimostrò di non

40

CAPITOLO 4. GEOMETRIA FRATTALE 4.2. RICHIAMI

essere soltanto una mera curiosità matematica. Bisogna tuttavia sottolineare che la Natura nonha caratteristiche frattali in senso stretto, ma solo approssimate; negli oggetti reali l’invarianzadi scala deve ovviamente arrestarsi a un certo punto, mentre solo negli oggetti matematici puòsussistere a tutte le scale: ad esempio il numero di rami di un albero è, ovviamente, limitato. “Ildettaglio” e “il tutto”, inoltre, sono spesso simili solo in senso statistico.

La teoria matematica dei frattali, sebbene ancora in via di sviluppo, è stata ampiamente trattatanel corso degli ultimi 20 anni dai matematici di tutto il mondo. Tuttavia una trattazione ecces-sivamente formale, appesantirebbe notevolmente questa esposizione facendo perdere di vistagli aspetti più squisitamente pratici e intuitivi di questa elegante teoria: il modo migliore pertrattare questi enti geometrici è attraverso le loro proprietà.Per tale motivo in questo capitolo verrà adottato un approccio top-down, cominciando col pre-sentare alcune delle più famose strutture frattali esistenti ed estrapolandone proprietà valideper un ampia gamma di frattali: si tenga però presente che molti frattali hanno caratteristicheproprie non presenti in altri frattali.

4.2 Richiami

Dimensione topologica Prima di procedere è utile richiamare il concetto di dimensione

topologica per mettere in evidenza un aspetto fondamentale della teoria dei frattali: il calcolodella dimensione topologica di un frattale, quando è possibile, porta a risultati poco significativi.Nella sezione 4.5 sarà definita la più appropriata dimensione frattale.

Sebbene i matematici si siano prodigati al fine di dare una definizione il più possibile soddis-facente di dimensione topologica, ricorrere al formalismo matematico esula dagli scopi di ques-ta trattazione. Una definizione semplice ed intuitiva di dimensione topologica è la seguente:in un sistema di riferimento fissato, la dimensione topologica di un oggetto è il numero di co-ordinate necessarie per individuare univocamente un punto appartenente all’oggetto. In altritermini la dimensione dell’oggetto coincide col numero di vettori linearmente indipendenti chelo descrivono, ovvero con la base dello spazio vettoriale in cui è rappresentato. Essa è quindisempre un numero intero:

dimensione 0 per un insieme totalmente sconnesso, composto cioè solo da punti isolati

dimensione 1 per un insieme di dimensione D > 0 i cui estremi hanno dimensione 0

41

4.2. RICHIAMI CAPITOLO 4. GEOMETRIA FRATTALE

dimensione n per un insieme di dimensione D > n−1 i cui estremi hanno dimensione n−1

Gli esempi esposti in questo capitolo, mostreranno che tale definizione poco si addice al casodelle strutture frattali.

Trasformazioni affini Un’affinità (o trasformazione affine) fra due sottoinsiemi dello spazioeuclideo A e A ′ è un’applicazione biettiva T che fa corrispondere al punto P = (x1, ...,xn) ilpunto P′ = (x

′1, ...,x

′n) secondo la formula:

x′1 = a1x1 +a2x2 + ...+a0

...

x′n = z1x1 + z2x2 + ...+ z0

(4.2.1)

dove a0, ...,an,z0, ...,zn sono coefficienti reali. L’applicazione è biettiva se:

det

∣∣∣∣∣∣∣a1 a2 ... an

...

z1 z2 ... zn

∣∣∣∣∣∣∣ 6= 0 (4.2.2)

La definizione data si può facilmente estendere ad uno spazio n-dimensionale.

Si può dimostrare che un’affinità gode delle seguenti proprietà:

à trasforma rette in rette;

à a rette parallele corrispondono rette parallele;

à a rette incidenti corrispondono rette incidenti;

à conserva il rapporto fra segmenti paralleli: in particolare al punto medio di un segmentocorrisponde il punto medio del segmento omologo.

In generale un’affinità non conserva la forma delle figure. Infatti l’immagine di un rettangolo èin generale un parallelogramma, così come l’immagine di una circonferenza è un’ellisse.

Sono trasformazioni affini le rotazioni, le traslazioni, le riflessioni e le omotetie.Un’omotetia è una trasformazione geometrica dello spazio euclideo che dilata o contrae lefigure di un fattore k mantenendone invariate le forme.

42

CAPITOLO 4. GEOMETRIA FRATTALE 4.3. FRATTALI IFS

4.3 Frattali IFS

Si analizzerà ora una particolare tipologia di frattali che, oltre ad essere particolarmente estesa(ed estendibile), ben si presta a comprendere alcuni aspetti peculiari della teoria dei frattali.

Consideriamo un insieme di n trasformazioni (non necessariamente affini) del piano cartesianoT1, ...,Tn ed applichiamole allo stesso sottoinsieme A0 del piano. Come risultato otterremouna famiglia di n sottoinsiemi del piano cartesiano:

T1(A0), ...,Tn(A0) (4.3.1)

Sia A1 l’insieme ottenuto come unione di questi sottoinsiemi.

A1 = T1(A0)∪T2(A0)∪ ...∪Tn(A0) (4.3.2)

Applichiamo di nuovo le N trasformazioni 4.3.1 all’insieme A1 così ottenuto e consideriamol’unione degli N insiemi immagine. Chiamiamo questo insieme A2. Iterando il procedimento siottiene la sequenza:

A1 = T1(A0)∪T2(A0)∪ ...∪Tn(A0)

A2 = T1(A1)∪T2(A1)∪ ...∪Tn(A1) (4.3.3)

...

Ak = T1(Ak−1)∪T2(Ak−1)∪ ...∪Tn(Ak−1)

Ci si chiede ora se la successione di insiemi così ottenuta converga ad un insieme F , doveper convergenza si intende che, da un certo k in poi, non si notano cambiamenti apprezzabilinell’immagine ottenuta.Si può dimostrare che se le trasformazioni Ti sono delle trasformazioni affini, la successione4.3.3 è certamente convergente e l’insieme F di convergenza si dice frattale. Spesso, dataquesta proprietà di convergenza, F viene anche detto attrattore e per esso vale la seguente:

F = T1(F )∪ ...∪Tn(F ) ∀n (4.3.4)

43

4.4. INSIEMI FRATTALI CAPITOLO 4. GEOMETRIA FRATTALE

ovvero continuando ad applicare lo stesso set di trasformazioni affini, la figura ottenuta noncambia.

I frattali così ottenuti si dicono IFS (Iterated Function Systems), in quanto ottenuti iterando uninsieme di trasformazioni.

La felce di fig. 4.1.1 è un esempio di frattale IFS; altri esempi sono il merletto di Koch e lapolvere di Cantor.

La definizione data mette in luce un aspetto spesso evidenziato anche da Mandelbrot durantei suoi convegni: l’applicazione iterata di trasformazioni affini può richiedere grandi capacitàdi calcolo e dispendio di tempo. Per tale motivo lo sviluppo e la diffusione di computer conpotenze di calcolo sempre maggiori ha dato una spinta significativa allo sviluppo della geome-tria frattale, consentendo di applicare un numero elevato di trasformazioni e di visualizzarne irisultati in tempi relativamente brevi.

Molto interessante dal punto di vista applicativo è il problema inverso, ovvero: data un’immag-ine è possibile estrarne un sottoinsieme cui applicare iterativamente delle trasformazioni affiniottenendo l’immagine di partenza? Se ciò è possibile si può, ad esempio, ottenere una fortecompressione di un’immagine digitale. Il problema, come si può ben intuire, non è, in generale,di semplice soluzione e tutt’oggi sono in corso studi approfonditi.

4.4 Insiemi frattali

Di seguito sono riportati alcuni esempi significativi di insiemi frattali; si osservi che l’insiemedi Mandelbrot e il fiocco di Koch non sono IFS.

Insieme di Mandelbrot Uno dei più famosi, nonché uno dei primi frattali esistenti è quelloideato da Mandelbrot.Dal punto di vista matematico è un insieme di numeri complessi ottenuto attraverso un algorit-mo descritto dalla seguente successione:

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CAPITOLO 4. GEOMETRIA FRATTALE 4.4. INSIEMI FRATTALI

zn+1 = z2

n + c

c ∈ C

z0 = 0

(4.4.1)

Al crescere di n si ottiene una successione che, a seconda del valore di c, potrebbe divergere.Con la condizione z0 = 0 la successione diviene, infatti:

c, c2 + c,

(c2 + c

)2+ c,

((c2 + c2)+ c

)2+ c, ...

(4.4.2)

L’insieme di tutti i valori di c per i quali la successione converge è detto insieme di Mandel-brot. Quindi l’insieme di Mandelbrot altro non è che un sottoinsieme dei numeri complessi.Formalmente, indicando con M l’insieme di Mandelbrot si può scrivere:

M = c ∈ C/ ∀n ∈ N, ∃s ∈ R : |zn| ≤ s (4.4.3)

L’insieme di Mandelbrot è rappresentato in figura 4.4.1 ottenuta riportando sul piano comp-lesso i valori di c che soddisfano la 4.4.3 (colorati di nero). Gli altri punti, non appartenentiall’insieme M , sono riportati con colori differenti in funzione di quanto rapidamente fanno di-vergere la serie. Nella figura sono stati riportati 4 ingrandimenti del frattale al fine di metternein evidenza l’autosimilarità.

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(a) (b)

(c) (d)

Figura 4.4.1: Insieme di Mandelbrot. I rettangoli bianchi evidenziano i vari ingrandimenti(Fonte: Wikipedia).

L’insieme di Mandelbrot presenta una caratteristica comune ad un’ampia classe di frattali: unalgoritmo molto semplice (nello specifico un polinomio quadratico complesso) è in grado diprodurre forme geometriche estremamente frammentate e articolate.

Si osservi che è praticamente impossibile determinare la dimensione topologica del contornodell’insieme di Mandelbrot: a prima vista esso sembra una linea spezzata chiusa, ma dopo alcu-ni ingrandimenti si ritrova in esso l’insieme di partenza, vanificando ogni tentativo di applicarela definizione data al paragrafo 4.2.

Frattali di Von Koch Altri tipici esempi di frattali sono rappresentati in figura 4.4.2 e sonocurve continue ma non differenziabili.Anche questi possono essere costruiti tramite algoritmi molto semplici.

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CAPITOLO 4. GEOMETRIA FRATTALE 4.4. INSIEMI FRATTALI

Merletto di Koch

1. si parte da un segmento di lunghezza 1

2. si divide il segmento in 3 parti uguali

3. si elimina il segmento centrale e lo si sostituisce con 2 segmenti uguali a quello eliminatodisposti come in figura

4. per ogni lato si itera il procedimento partendo dal punto 2

Fiocco di neve di Koch

1. si parte da un triangolo equilatero con lati unitari

2. si applica l’algoritmo descritto per il merletto di Koch(basta osservare che il fiocco di Koch è un merletto di Koch chiuso su se stesso)

Si osservi che le iterazioni possono continuare fino all’infinito.È evidente che anche in questo caso è rispettata la proprietà di autosimilarità.

(a) Costruzione merletto di Von Koch(Fonte: SciELO)

(b) Costruzione del fiocco di neve di VonKoch (Fonte: Wikipedia)

Figura 4.4.2: Frattali di Von Koch

Si osservino ora i risultati cui conduce un’analisi basata sulla geometria classica.

È facile osservare che, in entrambi i casi, la lunghezza dei lati è data, ad ogni iterazione, dallaseguente progressione geometrica:

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1,

13,

19,

127

, ...,13n

(4.4.4)

Quando la costruzione è effettuata fino all’infinito si ricava che la lunghezza dei lati tende azero:

limn→∞

13n = 0

Si consideri ora il perimetro del fiocco di Koch.

Si può dimostrare che alla (n+1)-esima iterazione il perimetro è dato da:

Pn+1 = 3 ·(

43

)n

Iterando l’algoritmo all’infinito si ha:

limn→∞

3 ·(

43

)n

= ∞

Quindi la somma di lati di lunghezza zero forma un contorno di lunghezza infinito.Valutando l’area del fiocco di Koch si può facilmente dimostrare che questa è 1.6 volte piùgrande dell’area del triangolo equilatero di partenza. Quindi un perimetro infinito sottendeun’area finita.Ciò suggerisce che relativamente ai frattali di Koch il concetto classico di lunghezza della curva,e quindi di dimensione topologica, non ha senso ed è quindi necessario introdurre un nuovo tipodi dimensione.

Insieme di Cantor Anche l’insieme di Cantor è descritto da un semplice algoritmo similea quello usato per gli insiemi di Von Koch. Si parte da un segmento di lunghezza 1 (o da uninsieme compatto [0,1]), lo si divide in 3 parti uguali e si elimina quella centrale. Per ognunodei segmenti ottenuti si effettua la stessa operazione. Iterando il procedimento all’infinito siottiene l’insieme di Cantor che, graficamente, ha l’aspetto di un insieme di punti, ma uno zoomsu uno di questi mostra che si tratta, in realtà, di segmenti.

Essendo un insieme completamente non connesso può essere descritto come unione disgiuntadi piccoli intervalli aperti ed ha dunque dimensione topologica pari a zero. Tuttavia è evidenteche l’insieme di Cantor occupa più spazio di un insieme numerabile di punti.

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CAPITOLO 4. GEOMETRIA FRATTALE 4.5. DIMENSIONE FRATTALE

Figura 4.4.3: Costruzione dell’insieme di Cantor (Fonte: Wikipedia)

4.5 Dimensione frattale

Gli esempi precedenti illustrano che il concetto di dimensione topologica per gli insiemi frattaliè poco significativo. Tuttavia è molto utile poter associare alla figura in esame un numero chene identifichi alcune caratteristiche.

Nel corso della storia della matematica sono state proposte differenti definizioni di dimensione,

utili a diversi scopi (in modo analogo sono state definite metriche molto differenti la cui utilitàai fini pratici è indubbia).

Per gli insiemi frattali la dimensione di Hausdorff-Besicovitch è particolarmente appropriata.

A tal proposito Mandelbrot diede la seguente definizione di frattale:

“Un frattale è un insieme per il quale la dimensione di Hausdorff-Besicovitch è

strettamente più grande della dimensione topologica.”

Mandelbrot - The Fractal Geometry of Nature

Il calcolo della dimensione di Hausdorff di una figura frattale porta spesso ad un risultato nonintero: i frattali hanno dimensione frazionaria.

Ancora una volta è bene mettere in evidenza che la dimensione di Hausdorff è ben diversa dalladimensione topologica e dunque questo risultato non deve sorprendere; la dimensione frattale èin effetti un indice del grado di irregolarità della figura in esame.

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4.5. DIMENSIONE FRATTALE CAPITOLO 4. GEOMETRIA FRATTALE

La dimensione di Hausdorff-Besicovitch ha la fondamentale proprietà di poter essere definitaper qualsiasi sottoinsieme; tuttavia, come evidenziò lo stesso Mandelbrot [3], tale dimensionerisulta essere poco utile all’atto pratico, in quanto difficile da calcolare o stimare in modo di-retto. Fortunatamente esistono diversi metodi per stimare la dimensione di Hausdorff, seppurein modo approssimato, non applicando direttamente la definizione. È bene sottolineare che ilcalcolo della dimensione frattale operato con tecniche diverse può condurre a risultati diver-si: tuttavia è spesso preferibile ricorrere a metodi approssimati quando l’uso di tecniche piùaccurate comporta complessità di calcolo eccessive.

Per completezza si riporta di seguito la definizione formale di dimensione di Hausdorff: per unatrattazione più approfondita si rimanda a [2].

Sia F un insieme frattale contenuto in Rn e sia Ui una collezione numerabile di sottoinsieminon vuoti di Rn di diametro 0 < |Ui| ≤ δ , tali da ricoprire F , i.e. F ⊂

⋃∞i=1Ui. Sia inoltre

s≥ 0, s ∈ R .Si definisce misura di Hausdorff s-dimensionale di F la seguente quantità:

H s(F ) = limδ→0

inf

∞

∑i=1|Ui|s

(4.5.1)

dove l’estremo inferiore è calcolato al variare di tutte le possibili successioni Ui.

Si può dimostrare che la 4.5.1 generalizza il concetto di misura di Lebesgue e quindi di lunghez-za, area e volume di un insieme. Esiste sempre una soglia critica per s al di sotto della quale lamisura vale infinito e al di sopra vale 0; tale valore si dice dimensione di Hausdorff-Besicovitch

dell’ insieme F :

DHB(F ) = infss : H s(F ) = 0= sup

ss : H s(F ) = ∞ (4.5.2)

Nonostante la difficoltà nel calcolare la dimensione di HB usando le formule appena riportate, iteoremi che ne derivano sono estremamente utili per ricavare caratteristiche generali e proprietàdegli insiemi frattali.È possibile ad esempio dimostrare che un insieme totalmente non connesso, come quello diCantor, ha una dimensione frattale DHB < 1.

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4.5.1 Dimensione di autosimilarità

Come precedentemente osservato anche molti oggetti della geometria classica godono dellaproprietà di autosimilarità. Ciò può essere sfruttato per generalizzare in modo semplice il con-cetto di dimensione agli oggetti frattali.Si considerino un segmento, un quadrato e un cubo con lunghezza, area e volume unitari, rispet-tivamente. Il segmento può essere suddiviso in N segmenti, simili a quello di partenza, dilunghezza 1/N . Il quadrato può essere diviso in M = N2 quadratini di area pari a 1/N2. Ilcubo può essere diviso in M = N3 cubetti ciascuno con volume pari a 1/N3. In questi casi ladimensione è data dall’esponente di N. In tutti e tre i casi è stata usata un’omotetia con un fat-tore di scala pari a k = 1/N per ogni dimensione spaziale: per un generico oggetto dello spazioeuclideo di dimensione D, con un fattore di scala pari a k = 1/N si ottengono M = ND oggettisimili a quello di partenza. Invertendo l’ultima relazione si ha:

Dsim =logMlogN

=logM

log1/k=− logM (k)

logk(4.5.3)

dove M = M(k) è il numero di figure autosimili ottenute attraverso un’omotetia con fattore discala k.

La 4.5.3 fornisce una spiegazione molto intuitiva del concetto di dimensione frattale. Essa,infatti, indica di quanto aumenta la misura del frattale quando si modificano le sue dimensionilineari: per un quadrato alterando le dimensioni lineari di un fattore ρ la misura aumenta delfattore ρ2 , per un cubo di un fattore ρ3 e per un frattale di dimensione frattale α ∈R la misuraaumenta di un fattore ρα .

Si applichi tale definizione al merletto di Koch. Come si può osservare nella figura 4.4.2, lacurva ottenuta all’iterazione 2 è composta da 4 parti identiche a quella dell’iterazione 1 riscalatedi un fattore k = 1/3. La dimensione di autosimilarità è, dunque, pari a:

Dsim =− log4log1/3

' 1.2619 (4.5.4)

Naturalmente si ottiene lo stesso risultato indipendentemente dalla particolare iterazione con-siderata. Ad esempio la curva all’iterazione 3 è formato da 4 parti riscalate di k = 1/3 dell’it-

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4.5. DIMENSIONE FRATTALE CAPITOLO 4. GEOMETRIA FRATTALE

erazione 2, ovvero 16 parti identiche a quelle visibili all’iterazione 1, riscalate di k = 1/9, checonduce allo stesso risultato per Dsim.

Tale risultato è in linea con una visione intuitiva del merletto di Koch: esso è un po’ più di unacurva euclidea, ma non occupa lo spazio di una figura bidimensionale.

Con analogo procedimento è semplice verificare che l’insieme di Cantor ha dimensione:

Dsim =log2log3

=' 0.631 (4.5.5)

Tale tecnica richiede dunque di individuare un generatore dell’intero frattale, ovvero una porzioneda cui è possibile ricavare l’intero frattale. Ciò è certamente possibile per i frattali che godonodi autosimilarità stretta.

Bisogna tuttavia sottolineare che tale definizione, sebbene molto più pratica della definizione didimensione di Hausdorff, non sempre coincide con quest’ultima: è noto che DHB ≤ Dsim e chespesso DHB = Dsim, ma non sono noti criteri per stabilire a priori quando questo succede.

4.5.2 Dimensione di box counting

Si consideri un frattale che goda di autosimilarità solo in senso statistico (cfr. sezione 4.7). In talcaso può risultare arduo individuare un generatore del frattale per poter applicare la definizionedi dimensione per autosimilarità.

Il box counting è il più semplice metodo conosciuto per valutare la dimensione frattale e, nelcaso di oggetti dello spazio euclideo, essa coincide con la dimensione topologica.

Si consideri una regione di spazio occupata da un frattale e lo si ricopra con tanti box nonsovrapposti contenenti almeno un punto del frattale. Si ha:

Nb (δ ) =C/δDbc (4.5.6)

dove

Nb = numero di box (non vuoti) di diametro δ

Dbc = dimensione di box counting

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C = costante di proporzionalità

Si può facilmente intuire che con tale metodo la misura risulti essere molto approssimata inquanto è probabile che vi siano box troppo grandi rispetto al numero di punti contenuti. Siperviene dunque alla seguente definizione di dimensione di box:

Dbc = limδ→0

logC− logNb (δ )

logδ=− lim

δ→0

logNb (δ )

logδ(4.5.7)

Dato il suo ampio utilizzo nei casi pratici, è utile porre in evidenza che, com’è possibiledimostrare, Nb(δ ) può essere uno qualsiasi dei seguenti:

1. il più piccolo numero di insiemi di diametro massimo δ che ricoprono F ;

2. il più piccolo numero di palle chiuse di raggio δ che ricoprono F ;

3. il più piccolo numero di cubi di lato δ che ricoprono F ;

4. il più piccolo numero di insiemi di diametro massimo δ che ricoprono F ;

5. il più grande numero di palle disgiunte di raggio δ con centri in F .

La 4.5.7 pone in evidenza che una misura più precisa della dimensione frattale si ottiene conbox infinitesimi: in generale essa è funzione della scala a cui è valutata. Ovviamente non èdetto che tale limite esista e in tal caso si devono considerare la dimensione di box inferiore esuperiore, relativi al limite superiore e inferiore.

La definizione di cui sopra fornisce una pratica interpretazione della dimensione di box. Ilnumero di box (che possono essere segmenti, quadrati, cubi, sfere, palle...) che intersecano F

è un indice dell’irregolarità dell’insieme osservato alla scala δ . Dbc è dunque una misura dellarapidità con cui aumenta l’irregolarità per δ → 0.

Si osservi che, per figure autosimili, la dimensione di box counting coincide con la definizionedata di dimensione di autosimilarità.

Il problema di tale definizione è che essa non dipende dal numero di punti contenuti nei box masoltanto dal numero di box, fornendo dunque informazioni molto limitate circa la distribuzionedei punti appartenenti al frattale [5]. Ciononostante tale definizione è ampiamente usata all’attopratico grazie alla sua semplicità: per calcolare la dimensione di una figura piana, ad esempio,

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4.6. PROPRIETÀ CAPITOLO 4. GEOMETRIA FRATTALE

è sufficiente ricoprire completamente la figura con dei quadrati di diametro δ e valutare Nb alvariare di δ ; si può osservare che rappresentando log(Nb) in funzione di log(δ ) si ottiene unaretta la cui pendenza è proprio Dbc .Concludendo, si può dimostrare che DHB ≤ Dbc e in molti casi vale l’uguaglianza.

4.6 Proprietà

I precedenti esempi consentono di delineare alcune proprietà comuni a molti frattali esistenti[2].

Struttura fine A qualsiasi scala di osservazione sono presenti dettagli dell’insieme

Irregolarità L’aspetto frastagliato dell’insieme non ne consente lo studio con la geometriaclassica

Autosimilarità Intesa in senso stretto, approssimato o statistico

Dimensione frattale Dimensione non intera strettamente maggiore di quella topologica

Ricorsività Spesso l’insieme è definito con algoritmi ricorsivi molto semplici

Si osservi che la proprietà di autosimilarità da sola non è sufficiente per definire un frattale. Perrendersi conto di ciò basta osservare che anche una retta euclidea gode di autosimilarità: infattiestraendo N segmenti da una retta si può notare che questi sono tutti simili tra loro e altresìsimili alla retta. Tuttavia una retta è un oggetto dotato di una spiccata regolarità e non necessitadi una nuova geometria (non euclidea) per essere descritta: in generale un frattale gode dellaproprietà di autosimilarità, ma non tutte le figure geometriche autosimili sono frattali.

4.7 Frattali aleatori

Nel corso della precedente trattazione si è sempre fatto riferimento ad algoritmi deterministiciper ottenere insiemi frattali. Viene dunque naturale analizzare l’effetto ottenuto utilizzandoalgoritmi aleatori. I frattali d’esempio riportati nella sezione 4.4 possono essere resi aleatori: adesempio è possibile decidere, ad ogni iterazione che i segmenti che formano il merletto di Kochsiano orientati verso l’alto con probabilità p e verso il basso con probabilità q; l’immagine 4.7.1illustra il processo descritto.

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CAPITOLO 4. GEOMETRIA FRATTALE 4.7. FRATTALI ALEATORI

Figura 4.7.1: Merletto aleatorio di Koch

Come si può osservare il risultato ottenuto non gode di autosimilarità come nel merletto diKoch di figura 4.4.2a, ma gode comunque di una certa autosimilarità: in tal caso si parla diautosimilarità statistica.

L’importanza dei frattali aleatori è dovuta alla loro stretta correlazione con la Natura nonchécon molte entità artificiali. Osservando, ad esempio, una montagna si nota che essa gode diuna forte autosimilarità statistica: una qualunque sua parte, se fotografata in modo da eliminareriferimenti utili a capire le reali dimensioni geometriche, è indistinguibile dalla montagna interapur non essendo perfettamente identica.

4.7.1 Moti browniani

Il moto browniano (o processo di Wiener) deve il suo nome a Robert Brown, un botanico ingleseche nel 1827 osservò al microscopio alcune particelle di polline nel loro incessante “cambia-

mento di posizione nel liquido, manifestantesi in modifiche delle loro posizioni relative, ma

anche, e non infrequentemente, in un cambiamento di forma della particella stessa... ” [6].

Successivamente Brown osservò lo stesso fenomeno anche in altri ambiti. Ne seguirono varistudi atti ad individuare la natura fisica di tali movimenti e ad inquadrarli in una soddisfacentestruttura matematica. Una grossa spinta in tal senso fu data da Albert Einstein, che nel 1905pubblicò un interessante articolo sul moto browniano. Il fenomeno consiste in un contin-uo moto di agitazione delle particelle, tanto più vivace quanto più le particelle sono piccole,

55

4.7. FRATTALI ALEATORI CAPITOLO 4. GEOMETRIA FRATTALE

causato dai continui urti tra le molecole del fluido e le particelle in sospensione; a causa delladistribuzione e della frequenza degli urti, la risultante delle forze sulla particella è non nul-la, dando quindi luogo a spostamenti non predicibili [6]. Il moto di una particella è inoltreindipendente da quello delle particelle vicine.

Tracciando la traiettoria seguita da una di queste particelle si ottiene un’immagine frattale, lacui aleatorietà è dettata dalla natura fisica del fenomeno illustrato. Tale traiettoria può essereformalmente vista come una funzione del tempo

ffl(t) : R→ Rn indicante la posizione della

particella al tempo t.La figura 4.7.2 mostra due possibili rappresentazioni del moto browniano: in un caso comecurva parametrizzata rispetto a t e nell’altro come funzione al variare del tempo (tipica degliandamenti finanziari e sovente utilizzata in tale ambito); in entrambi i casi l’immagine che siottiene è di tipo frattale.

(a) Simulazione di un percorso browniano in R3 (b) Realizzazione di un processo browniano

Figura 4.7.2: Moto browniano (Fonte: Wikipedia)

Falconer [2] propone la seguente definizione di moto browniano.Sia X(t) : R→ R il processo aleatorio unidimensionale che modella la camminata aleatoria diuna particella immersa in un fluido.

1. Con probabilità 1, X(t) è una funzione continua del tempo e X(0) = 0;

56


2.Pr [X(t + v)−X(t)≤ x] =

1√2πv

ˆ x

−∞

e−u22v du (4.7.1)

∀ t ≥ 0, v > 0 , ovvero il processo degli incrementi X(t + h)− X(t) ha distribuzioneGaussiana con media 0 e varianza v;

3. ∀ t1 ≤ t2 ≤ ...≤ tk−1 ≤ tk gli incrementi X(t2)−X(t1), ... , X(tk)−X(tk−1) sono indipen-denti e stazionari;

4. X(t)∼N (0,v) ( segue da 1. e 2.).

Dalla 3. discende che X(t) è un processo Markoviano.La figura 4.7.2b mostra una realizzazione del processo aleatorio descritto.

È ora possibile estendere il processo browniano X(t) al caso n-dimensionale definendo il seguentevettore:

X(t) = (X1(t), ... ,Xn(t)) (4.7.2)

dove ∀ i, Xi(t) è un processo browniano unidimensionale e X1(t1), ... , Xn(tn) sono indipendenti∀ t1, ... , tn, dunque tale processo è anche isotropo ovvero ∀ i, j, Xi(t) e X j(t) presentano le stessecaratteristiche.

È immediato verificare la seguente uguaglianza:

Pr [Xi(t + v)−X(t)≤ xi] = Pr [Xi (γ (t + v))−X(γt)≤ xi√

γ] ∀xi (4.7.3)

dove γ > 0. Infatti sostituendo nella 4.7.1 v con γv e x con x√

γ , il risultato non cambia (bastaporre v = u/

√γ nell’integrale). Segue che i processi X(t) e 1√

γ·X(γt) hanno la stessa dis-

tribuzione di probabilità, ovvero cambiando la scala temporale del fattore γ e la scala spazialedel fattore

√γ il processo che si ottiene è indistinguibile da quello di partenza. In altri termini

il tracciato del moto browniano è statisticamente autosimile.

Si può dimostrare che un moto browniano in Rn, n ≥ 2 ha dimensione di Hausdorff pari a 2 ilche evidenzia la forte irregolarità di tale frattale.

Una possibile ricostruzione di un moto browniano unidimensionale può essere ottenuta attraver-so la seguente espansione in serie di Fourier:

57

4.7. FRATTALI ALEATORI CAPITOLO 4. GEOMETRIA FRATTALE

X(t) =1√π·C0 t +

√2π·

∞

∑k=1

Cksinkt

k(4.7.4)

con Ck ∼N (0,1). Naturalmente nei casi pratici la sommatoria dovrà essere opportunamentetroncata.

4.7.2 Moti browniani frazionari (fBm)

I moti browniani frazionari sono un’estensione dei moti browniani ottenuti introducendo unacorrelazione temporale tra le posizioni occupate dalla particella durante il suo spostamento,ovvero facendo decadere l’ipotesi di indipendenza degli incrementi dei moti browniani (ipotesi4.). Tale correlazione è pesata attraverso un opportuno numero reale H ∈ (0,1) detto indice di

Hurts.

Il nome “fractional Brownian motion” è dovuto a Mandelbrot e Van Ness, che nel 1968 nefornirono una rappresentazione integrale in termini di moto browniano standard [8].

Un fBm unidimensionale B(t) è un processo gaussiano continuo a media zero e funzione diautocorrelazione pari a:

RB(t,v) = E [B(t) ·B(t + v)] =12[t2H +(t + v)2H− v2H] ∀ t ≥ 0, v > 0 (4.7.5)

La 4.7.5 si ricava dalla seguente CDF del processo degli incrementi:

Pr [B(t + v)−B(t)≤ b] =1√

2πv2H

ˆ b

−∞

e−u2

2v2H du (4.7.6)

Si osservi che gli incrementi non sono indipendenti, tranne nel caso limite H = 12 per il B(t)

diviene un processo browniano standard. Inoltre B(t) non è Markoviano, il che ne rende piùcomplessa l’analisi e la sintesi. Tuttavia il fBm è un modello applicabile ad una più ampiaclasse di problemi rispetto al moto browniano standard.

Da 4.7.5 e 4.7.6 derivano le seguenti proprietà:

1. B(0) = 0 e E [B(t) = 0] ∀ t ≥ 0;

58


2. Gli incrementi B(t)−B(t + v) sono stazionari e E[(B(t + v)−B(t))2

]= v2H

3. ∀ t, v≥ 0 , B(t +h)−B(t)∼ B(t) (hanno la stessa distribuzione di probabilità);

4. B(t) ha varianza pari a E[B(t)2]= t2H , t ≥ 0;

5. 1γ

B(γt)∼ B(t) con γ > 0 ovvero il grafico di un fBm gode di autosimilarità.

Si può dimostrare che il grafico di una qualsiasi realizzazione di B(t) ha dimensione frattalepari a D = 2–H.

È inoltre possibile verificare che per H > 12 il processo degli incrementi ha correlazione positiva

e viceversa: ciò comporta che per H → 1 il grafico ha un andamento più dolce, viceversa perH → 0 assume un andamento fortemente irregolare. Ciò è in accordo con quanto detto nellasezione 4.5, infatti per H→ 0 la dimensione frattale del grafico di B(t) tende a 2, cioè tende adoccupare tutto lo spazio a disposizione.

Una possibile generalizzazione dei moti browniani frazionari, sono i moti browniani mul-tifrazionari, ottenuti utilizzando una funzione continua H(t) in luogo di un indice di Hurtscostante:

H : [0,∞)→ (0,1)

Per simulare un moto browniano frazionario è possibile utilizzare la funzione di Weierstrass-Mandelbrot, espressa dalla 4.7.7.

X(t) =∞

∑k=1

Ckλ−H·k sin(λ kt +φk) (4.7.7)

dove λ > 1, Ck ∼N (0,1), φk ∼U (0,2π), con Ck,C j e φk, φ j indipendenti ∀ j 6= k.

Si può dimostrare che una funzione così costruita ha proprietà statistiche simili a quelle di unfBm.

4.7.3 Superfici browniane frazionarie

L’estensione dei processi fBm al caso bidimensionale si ottiene, formalmente, sostituendo lavariabile temporale t con le coordinate spaziali (x,y). La variabile aleatoria B(x,y) così ottenuta

59

4.8. MULTIFRATTALI CAPITOLO 4. GEOMETRIA FRATTALE

può essere interpretata come l’altezza di una superficie (frattale) valutata nel generico punto(x,y). L’estensione della 4.7.6 è di seguito riportata:

Pr [B(x+ v, y+ r)−B(x,y)≤ z] =1√

2π · (v2 + r2)H

ˆ z

−∞

e− u2

2(v2+r2)H du (4.7.8)

La simulazione di superfici browniane frazionarie può essere ottenuta, anche in tal caso, at-traverso la seguente funzione di Weierstrass-Mandelbrot, che generalizza la 4.7.7:

X(x,y) =∞

∑k=1

Ckλ−H·k sin

(λ

k(xcosψk + ysinψk)+φk

)(4.7.9)

dove Ck e φk sono stati precedentemente definiti e ψk ∼ φk.

4.8 Multifrattali

Nel corso degli anni sono state messe in luce le enormi capacità della geometria frattale nellamodellazione e nello studio delle entità e dei fenomeni naturali. In diversi ambiti applicativi,tuttavia, l’utilizzo di un solo indice (la dimensione frattale) per descrivere le proprietà di scala diun insieme si è rivelato fortemente inadeguato. Basti pensare ad un frattale ottenuto dall’unionedi due o più frattali con dimensione frattale diversa.

I multifrattali sono una generalizzazione dei frattali in cui la proprietà di scala dell’insiemenon è omogenea a tutte le scale. Una caratterizzazione soddisfacente di un tale insieme neces-sita, quindi, di una distribuzione continua di dimensioni frattali. In letteratura esistono diversiesempi applicativi legati alle generazione di insiemi con caratteristiche multifrattali, che evi-denziano, tra l’altro, che tale insiemi potrebbero non apparire autosimili, in quanto compostida più insiemi frattali indipendenti.

Esistono diversi metodi per descrivere l’analisi multifrattale. In questa sezione si fa riferimentoal metodo dei momenti e il calcolo dei parametri di base è una generalizzazione del metododel box counting.

Si definisce funzione di partizione, anche detta momento di ordine q [27], la seguente quan-tità:

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CAPITOLO 4. GEOMETRIA FRATTALE 4.8. MULTIFRATTALI

χ(q,δ ) =Nb(δ )

∑i=1

µi (δ )q (4.8.1)

dove:

µi è, in generale, una misura associata all’insieme frattale e, nel caso specifico, èintesa come la probabilità di trovare un punto, appartenente all’insieme frattale,nell’i-esimo box (⇒ µi(δ )≤ 1).

Nb(δ ) è il numero di box di lato δ in cui µi > 0. Chiaramente Nb ∝ 1/δ .

q ∈ R è detto ordine del momento ed ha il ruolo di pesare le varie parti computate: perq > 0 vengono maggiormente pesati i box più densi e, viceversa, per q < 0 sono ibox meno popolati ad influire maggiormente sul calcolo.

Analizzando le proprietà di scala di χ(q,δ ), in funzione di δ , per un insieme multifrattalerisulta:

χ(q,δ ) ∝ δτ(q) (4.8.2)

Si noti la somiglianza con la 4.5.6.

Dalla precedente relazione discende:

τ(q) = limδ→0

log [χ(q,δ )]log(δ )

(4.8.3)

τ(q) si dice esponente di massa di ordine q. Il termine “massa” è mutuato direttamente allateoria della misura. Si può vedere µi come una “densità di massa”, ovvero una distribuzionelocale (i.e. in ogni box) di punti dell’insieme, mentre χ è un indice globale della distribuzionedi massa, ovvero della distribuzione dei punti sul supporto della misura.

Si definisce dimensione frattale generalizzata la seguente funzione:

D(q) =τ(q)q−1

(4.8.4)

che è una funzione monotona decrescente con un asintoto orizzontale per q→ ∞. Nel caso diinsiemi monofrattali, invece, D(q) ha un andamento costante al variare di q.

61

4.8. MULTIFRATTALI CAPITOLO 4. GEOMETRIA FRATTALE

Sostituendo q = 0 nella 4.8.1 ed effettuando le dovute sostituzioni, è facile verificare che D(0)è la canonica dimensione di box counting definita dalla 4.5.7.

D(1) e D(2) sono note in letteratura come, rispettivamente, dimensione di informazione e di-mensione di correlazione. Si osservi che per q= 1 la 4.8.4 conduce ad una forma indeterminatae risulta:

D(1) = limq→1

D(q) = limq→1

limδ→0

1q−1

log [χ(q,δ )]log(δ )

= · · ·= limδ→0

Nb(δ )

∑i=1

µi (δ ) · log[µi (δ )]

log(δ )(4.8.5)

Si definisce, poi, l’esponente locale di Holder:

α(q) = ddqτ(q) (4.8.6)

Si può dimostrare che, per un insieme monofrattale, risulta µi(δ ) ∝ δ α , cioè α è indice dellaproprietà di scala dell’insieme in esame e, in particolare, α = D [27].

Nel caso di un multifrattale, invece, tale indice non è costante al variare della porzione d’insiemeanalizzata, il che spiega l’accezione “locale” conferita a tale parametro.

Sia Nα(δ ) il numero di box in cui l’esponente di Holder è compreso tra α e α +dα . Si ha:

Nα(δ ) ∝ δ− f (α) (4.8.7)

dove l’esponente f (α) è detto spettro multifrattale (o spettro di singolarità) ed è legato alleprecedenti funzioni dalla trasformata di Legendre:

f (α) = qα(q)− τ(q) (4.8.8)

La relazione 4.8.7 generalizza la 4.5.7 introducento una distribuzione di indici per quantificarele proprietà di scala dell’insieme. Un insieme multifrattale può essere suddiviso in una serie disottoinsiemi di indice α , la cui dimensione frattale (dimensione di Hausdorff) è f (α). Quindilo spettro multifrattale è comprensivo di tutte le dimensioni frattali associate ad ogni singolosottoinsieme che compone l’insieme originario.

62

CAPITOLO 4. GEOMETRIA FRATTALE 4.9. APPLICAZIONI

Il grafico di f (α) è, per un insieme multifrattale, una funzione convessa con un massimo incorrispondenza di q = 0 in cui assume un valore pari alla dimensione di box counting: f (α0) =

DBC.

È stato già osservato che, nel caso dei frattali semplici, esiste un unico esponente α , quindi, inbase all’interpretazione data per lo spettro di singolarità, risulta immediato che, per tali insiemi,f (α) degenera in un punto.

4.9 Applicazioni

La geometria frattale è indiscutibilmente lo stato dell’arte nella modellazione e nello studio deifenomeni naturali.

La proprietà dell’invarianza di scala implica che l’informazione per costruire l’intero insiemeè tutta contenuta in una qualunque sua parte per quanto piccola essa sia, caratteristica di parti-colare interesse in numerose applicazioni, ad esempio per la compressione e l’elaborazione diimmagini digitali. Numerosi sono i campi in cui già sono utilizzati gli strumenti della teoria deifrattali: dalla biologia alla medicina, dalla meccanica all’economia.A titolo di esempio sono di seguito elencate alcune applicazioni nel campo dell’ICT:

à Analisi e simulazioni geomorfologiche

à Compressione di segnali vocali

à Compressione di immagini digitali

à Generazione di rumore aleatorio

à Analisi e simulazione del traffico in rete

à Antenne frattali

à Crittografia

La teoria e gli strumenti multifrattali si presentano, inoltre, come una naturale estensione deifrattali, che vi rientrano come caso particolare, sempre più utilizzati nell’ambito dello studio edella modellazione dei sistemi dinamici turbolenti.

Nel capitolo 5 è illustrata un’applicazione dei concetti finora esposti all’analisi di immaginiradar, finalizzata alla corretta classificazione di oil slick e look-alike.

63

5 Analisi multifrattale: procedure e

risultati

5.0.1 Introduzione

In questo capitolo saranno illustrati i risultati delle analisi multifrattali condotte su contorni diimmagini simulate di dimensione frattale nota. I risultati mostrano che è possibile discerneregli oil slick dai look-alike, ancor più che sulla base della dimensione frattale del contorno,usufruendo di informazioni multifrattali e in particolare dello spettro multifrattale. La figura5.0.1 pone a confronto lo spettro multifrattale dei contorni di due immagini simulate.

L’evidente differenza fra i due spettri discende da quanto esposto nella sezione 4.8 ed è unaconseguenza della diversa conformazione delle immagini analizzate: in un caso si tratta diun’immagine delimitata da un contorno monofrattale, mentre nel secondo caso il contorno haproprietà di scala multifrattali, come meglio specificato di seguito.

La natura multifrattale degli oil slick è da ricercare nelle interazioni fisico-chimiche fra il maree il petrolio, che influenzano le caratteristiche frattali del contorno di quest’ultimo in mododisomogeneo a diverse scale di grandezza. Ciò, che è caratteristico dei sistemi dinamici tur-bolenti, non avviene, o avviene in modo diverso, nel caso dei cali di vento a causa del diversotipo di interazione con la superficie marina che, in generale, determina caratteristiche pretta-mente monofrattali dell’immagine telerilevata. Nel caso dei banchi di fitoplancton la questioneè certamente più delicata, in quanto anche questi possono essere influenzati dalle turbolenzemarine. In tal caso sarebbe da indagare se la diversa natura fisica del fenomeno determini anchecaratteristiche multifrattali differenti. Ulteriori analisi in tal senso sono dunque necessarie.I risultati messi in luce nel presente elaborato sono relativi all’analisi tra oil slick derivanti dal-lo sversamento in mare durante la navigazione e look-alike, di forma analoga, dovuti a cali divento.

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CAPITOLO 5. ANALISI MULTIFRATTALE: PROCEDURE E RISULTATI

(a) Spettro di singolarità di un contorno monofrat-tale (look-alike)

(b) Spettro di singolarità di un contorno multifrat-tale (oil slick)

Figura 5.0.1: Confronto tra spettri multifrattali di immagini di natura differente. La diversanatura delle immagini rende gli spettri totalmente differenti.

Misure di box= 8, 10, 15, 20, 25, 30, 45, 65, 85

Oltre alla naturale turbolenza del mare, gli sversamenti volontari di petrolio effettuati durantela navigazione sono influenzati da almeno due ulteriori fenomeni che contribuiscono alla deter-minazione delle caratteristiche multifrattali delle immagini acquisite. Uno è la forma oblungadella macchia, indotta dal movimento stesso della nave, per simulare la quale è stato utilizzatoun modello ottenuto dalla sovrapposizione di un’immagine frattale e di una gaussiana bidi-mensionale, come meglio specificato nella prossima sezione. L’altro fenomeno è l’ulterioreturbolenza in mare generata dal movimento stesso della nave e dall’attività dei motori; in tal ca-so, la complessità e la forte aleatorietà del fenomeno rendono particolarmente arduo lo sviluppodi un modello appropriato e per tale motivo è stato escluso dall’ambiente simulato: il modellosemplificato che ne consegue, rappresenta il worst case per l’analisi operata, lasciando presagirerisultati ancora migliori con l’analisi di scenari reali.

Il sistema di seguito presentato va concettualmente ad inserirsi, relativamente allo schemaillustrato nel capitolo 3, nella fase di “estrazione delle caratteristiche”.

66


5.0.2 Modelli e software utilizzati

I modelli utilizzati per la generazione delle immagini sottoposte ad analisi multifrattale, sibasano sulla funzione di Weierstrass-Mandelbrot (WM) che, come illustrato nel capitolo 4, benapprossima frattali fBm che in diversi ambiti scientifici sono utilizzati per modellare sistemiturbolenti.

I codici per la generazione delle immagini, così come quello per l’analisi multifrattale, sonostati scritti in linguaggio IDL (Interactive Data Language)

(a) Superficie di Weierstrass-Mandelbrot conparametro di Hurst pari a 0.7 da cui sono stateestratte le immagini usate nei test

(b) Immagine bidimensionale estratta tagliando lasuperficie di WM con un piano orizzontale

(c) Contorno monofrattale sottoposto a test

Figura 5.0.2: Modelli usati per simulare contorni monofrattali

Per ottenere immagini con contorni monofrattali, rappresentanti look-alike dovuti a cali di ven-to, sono state generate immagini frattali tridimensionali basate sulla WM, successivamentetagliate da un piano orizzontale. L’altezza a cui sono stati effettuati i tagli è stata di volta in vol-ta scelta in modo da ottenere immagini di dimensioni non esigue; in tal modo è stato possibileoperare, contestualmente all’analisi del software e all’analisi spettrale, una caratterizzazione delrange di box ottimale da utilizzare per il box counting.

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Attraverso l’utilizzo del software di image processing ENVI sono state poi ritagliate singoleregioni d’interesse (ROI, Region Of Interest), scelte prevalentemente in base alla forma e alledimensioni. In particolare sono state selezionate perlopiù immagini dalla forma allungata, dimodo che i modelli utilizzati fossero paragonabili.

Per simulare oil slick originati da navi in movimento è stato eseguito un processo analogo a quel-lo precedentemente descritto, con la differenza che alla superficie di Weierstrass-Mandelbrot èstata sovrapposta una gaussiana bidimensionale con un un rapporto tra le deviazioni standard,rispetto alle due dimensioni spaziali x e y, di almeno un ordine di grandezza.

(a) Superficie di Weierstrass-Mandelbrot conparametro di Hurst pari a 0.7 sovrapposta aduna superficie gaussiana 3D.

(b) Superficie bidimensionale estratta (c) Contorno multifrattale sottoposto a test

Figura 5.0.3: Modelli usati per simulare contorni monofrattali

Trattandosi di immagini binarie l’estrazione del contorno è stata relativamente semplice e nellospecifico si è fatto ricorso ad una procedura per l’enfatizzazione dei contorni, nota come Sobel,spesso utilizzata nell’ambito dell’image processing. Questa semplificazione ha consentito dimantenere la concentrazione sugli aspetti più specifici dell’analisi multifrattale. L’approccioseguito nella stesura del codice è, tuttavia, di tipo modulare il che consente di estenderne facil-mente le capacità di analisi, facendovi precedere un modulo ad hoc per la creazione di mascherebinarie e/o per l’estrazione dei contorni.

Ciò spiega anche il motivo per cui non sono state effettuate analisi su immagini reali. Il proble-ma, com’è facile intuire, è nella “gestione delle sfumature”: la variazione del livello di intensità

68


del backscattering in prossimità dei bordi della zona scura (determinata principalmente dallarisoluzione del sistema radar e da eventuali multilook applicati all’immagine), comporta chei relativi pixel assumano valori corrispondenti a diversi livelli di grigio. Ciò non è previstodall’algoritmo implementato, il quale richiede, invece, che l’input sia composto da mascherebinarie, ossia immagini che assumono solo due valori. Sarebbe stato, naturalmente, possibileottenere queste ultime applicando un semplice thresholding, ma la scelta della soglia gioca, intale contesto, un ruolo cruciale ed in generale è funzione di diversi parametri di cui bisogna ten-er conto. Per tal motivo si è ritenuto inopportuno procedere ad una scelta arbitraria della sogliaonde evitare di influenzare in modo imprevedibile l’analisi multifrattale ed ottenere risultatifuorvianti.

5.0.3 Metodologia

Questa sezione presenta una panoramica dell’implementazione di quanto esposto nel capitolo4.

L’analisi dei dati è stata supportata dai comuni strumenti di visualizzazione messi a disposizioneda software specifici come IDL o Matlab.

Di particolare interesse sono risultati i seguenti output:

à l’andamento del numero di box non vuoti Nb in funzione delle misure di box δ usate, sianumericamente sia attraverso grafici log-log

à la dimensione generalizzata D(q)

à lo spettro multifrattaleffl(α)

à l’esponente di Holder

à la funzioneffl(q)

à σ f , σα , le deviazioni standard diffl(·) e α (q)

à Ad ,σ f ·σα area di dispersione, definita per avere un unico indice della dispersione diffl(α)

La descrizione degli altri parametri computati è qui omessa in quanto di interesse marginalerispetto a quanto di seguito enucleato.

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Nel seguito, per semplicità di esposizione, con “box counting standard” si farà riferimento algrafico di log(Nb) vs log(1/δ ) e/o ai valori di dimensione frattale Dbc = D(0), Din f = D(1).

L’analisi per mezzo del box counting richiede di preimpostare un vettore di lati box contenentela lunghezza, espressa in pixel, dei lati dei box da utilizzare nel corso dell’analisi. Ciò è neces-sario in quanto non è ovviamente possibile, nella pratica, utilizzare infinite misure di box, né èpossibile effettuare un’operazione di limite.

Per ricavare i parametri sopra indicati è stata in primo luogo scansionata l’immagine con box didimensione prefissata, tenendo traccia, ad ogni iterazione, del numero di pixel appartenenti alcontorno dell’immagine nonché del numero di box non vuoti.

Ciò ha permesso di procedere al calcolo della funzione di partizione χ(q,δ ), come espressodalla 4.8.1, in cui la funzione µi(δ ) è stata così ottenuta:

µi(δ ) =mi(δ )

Nc(5.0.1)

dove mi è il numero di pixel, appartenenti al contorno frattale, contenuti nell’i-esimo box e Nc

è il numero totale di pixel del contorno.

Per il calcolo dell’esponente di massa τ(q) è stata adoperata una procedura di regressionelineare, finalizzata al calcolo della pendenza della retta approssimante la costellazione di puntigenerata dall’andamento di log [χ(q,δ )] in funzione di log(δ ).

Per il calcolo di D(q) è stata applicata direttamente la 4.8.4, tranne nel caso particolare q = 1per il quale si è applicata la 4.8.5, anche stavolta utilizzando una regressione lineare.

Le funzioni α (q) effl(α) sono state ottenute sia applicando le formule riportate nella sezione

4.8, sia attraverso un metodo diretto, sintetizzato nelle 5.0.2 e 5.0.3, ad opera di Chhabra et.

al.[22]. Ciò ha permesso di operare un confronto fra i due metodi di calcolo e di escludere cheeventuali comportamenti “anomali” fossero ascrivibili al calcolo della derivata 4.8.6.

f (q) =− limN→∞

1lnN

N

∑i=1

µi(δ )q ln [µi(δ )

q ] = limδ→0

∑i µi(δ )q · ln [µi(δ )

q ]

ln(δ )(5.0.2)

α(q) =− limN→∞

1lnN

N

∑i=1

µi(δ )q ln [µi(δ ) ] = lim

δ→0

∑i µi(δ )q · ln [µi(δ ) ]

ln(δ )(5.0.3)

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Il computo delle deviazioni standard σ f e σα , e quindi di Ad , è stato effettuato in base ai valorinumerici di α e

fflottenuti con le 5.0.2 e 5.0.3.

Tutti i parametri sono stati trattati come dati di tipo double (64bit), in modo da ridurre gli erroridi approssimazione nonché per evitare fenomeni di overflow.

5.0.4 Problema. Sliding grid

Un problema noto del metodo del box counting è ben illustrato in figura 5.0.4 in cui è rappre-sentata una curva di Koch aleatoria cui è sovrapposta la “griglia di conteggio”. Supponendo dimantenere fissa quest’ultima, si noti che se la parte utile dell’immagine non è centrata ma, adesempio, spostata più a sinistra, il numero di box non vuoti calcolati cambia.

(a) Nb(δ0) = 10 (b) Nb(δ0) = 13

Figura 5.0.4: Lo slittamento, orizzontale o verticale, della regione di interesse può causare vari-azioni nel conteggio del numero di box non vuoti. δ0 è una fissata misura dibox.

Tale errore, inoltre, può manifestarsi in modo diverso a seconda della scala analizzata, ossia alvariare di δ , determinando un potenziale errore di stima della dimensione frattale.

L’analisi multifrattale risulta, invece, meno sensibile a tale problema. In tal caso, infatti, adifferenza del box counting standard, il numero di box non vuoti pesa relativamente poco. Perrendersene facilmente conto basta osservare che vale la 5.0.4 ed è l’unica espressione in cuicompare la quantità Nb:

χ(q,δ ) =Nb(δ )

∑i=1

µi(δ )q =

+∞

∑i=1

µi(δ )q, (5.0.4)

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infatti ∀ i > Nb, µi(δ ) =(

mi(δ )Nc

)q= 0.

In altre parole, ciò che conta nell’analisi multifrattale è la distribuzione di massa, ovverola distribuzione dei pixel. Inoltre, dalla 5.0.4 segue che se un gruppo di pixel si suddividein più box, come indicato dai quadrati rossi in figura 5.0.4, il peso di tali pixel nel computototale, sarà tanto più esiguo quanto maggiore è il numero Nc di pixel del contorno e quantomaggiore è q. Viceversa, per q < 0 il problema è accentuato, in quanto la massa extra dei pixeldisallineati rispetto alla griglia diviene non trascurabile (basta osservare che mi(δ )

NC< 1). La

minor accuratezza dei dati calcolati con q < 0 è, infatti, un altro problema noto del metodo delbox counting [2; 21; 25].

Per ovviare al problema presentato si potrebbe utilizzare un algoritmo a griglia scorrevole,scansionando l’immagine ripetutamente e facendo variare, di volta in volta, la posizione dellagriglia. Il valore minimo di Nb e la relativa distribuzione di pixel mi, sono, tra quelli calcolati adogni iterazione, i valori da utilizzare nelle successive fasi di elaborazione. Ciò ha, tuttavia, uncosto computazionale non trascurabile, soprattutto per linguaggi interpretati come IDL. Per talemotivo, nell’ambito di questa ricerca, si è optato per non implementare un algoritmo a grigliascorrevole.

In figura 5.0.5 sono illustrati, per via grafica, i risultati dell’analisi multifrattale del triangolo di

Sierpinski utilizzando valori interi di q ∈ [−5,5]. Si può notare come il grafico di D(q), attesocostante, ha una certa variabilità in corrispondenza dei valori negativi di q, così come rivelaanche l’andamento di

ffl(q) e dell’esponente di Holder α (q).

Il triangolo di Sierpinski è un frattale semplice, e di caratteristiche note, usato come riferimento,nel corso di tutte le analisi, per verificare la correttezza degli algoritmi implementati.

5.0.5 Analisi dei dati

Uno dei primi fenomeni riscontrati nel corso delle analisi è la forte dipendenza degli output dalrange di box utilizzato. Non sono state individuate, in letteratura, linee guida circa il dimen-sionamento ottimale del range di box, pur risultando essere una parte critica dell’analisi, e pertale motivo diverse analisi condotte, si sono concentrate proprio su tale aspetto.

72


(a) Spettro multifrattale. Nota: x-range=1.5

(b) Dimensione generalizzata D(q)

(c)ffl(q) (d) Esponente di Holder α(q)

Figura 5.0.5: Analisi del triangolo di Sierpinski con q ∈ [−5,5]⊂ NI valori negativi di q causano una dispersione non attesa delle grandezze calcolate.

Dimensionamento range di box: limite superiore L’analisi dei dati ha mostrato che è im-portante mantenere entro un certo range il rapporto tra il diametro della zona utile dell’immag-ine e la misura massima di box. In particolare è stato riscontrato un buon comportamento deiparametri di uscita utilizzando box di almeno un ordine di grandezza più piccoli del diametro delcontorno, con risultati migliori, sia per il box counting standard, sia per lo spettro multifrattale,

con rapporti di scala dell’ordine di1

16÷ 1

12.

73


Le figure 5.0.6 e 5.0.7 comparano gli spettri e il box counting standard delle immagini 5.0.2c e5.0.3c. La tabella 5.0.1 sintetizza i risultati numerici dell’analisi.

(a) Spettro di singolarità di un contornomonofrattale (oil slick)

(b) Spettro di singolarità di un contornomultifrattale (look-alike)

Figura 5.0.6: Spettro multifrattale. Analisi effettuata usando un range di box correttamentedimensionato

(a) Plot di Nbvs δ di un contorno monofrat-tale

(b) Plot di Nbvs δ di un contorno multifrat-tale

Figura 5.0.7: Box counting standard. Analisi effettuata usando un range di box correttamentedimensionato

Il range degli assi x,y è il medesimo in tutte le figure, tranne quando diversamente indicato,cosicché un confronto grafico possa essere immediato.

74


La differenza fra i due spettri è evidente: il rapporto tra le aree di dispersione è circa 1/25, quindiun sistema automatico opportunamente tarato, sarebbe perfettamente in grado di discernere idue fenomeni. Si noti che, utilizzando esclusivamente un range positivo per i valori di q, lafigura 5.0.6b non mostra la tipica forma convessa dello spettro multifrattale.

Il computo della dimensione di box counting è corretto, con un’errore di circa 8100 , rispetto alla

dimensione attesa, nel solo caso del contorno multifrattale.In generale si è osservato che il comportamento spettrale, al variare del range di box utilizzato,è molto più stabile rispetto alla dimensione frattale, il che permette di discriminare gli oil slickdai look-alike anche laddove la dimensione frattale non è correttamente stimata.

Frattale semplice Multifrattale

Misure di box 8, 10, 13, 16, 20, 25, 30, 37, 45, 65, 85

Rapporto di scala 1/15 1/16

Ordine dei momenti q ∈ [0,10]⊂ N

H 0.7

σα 23.16 ·10−3 77.88 ·10−3

σ f 71.06 ·10−3 535.43 ·10−3

Ad 1.65 ·10−3 41.70 ·10−3

DHB 1.3 1.3

Dbc 1.30 1.22

Din f 1.32 1.23

Tabella 5.0.1: Analisi comparata effettuata usando un range di box correttamente dimensionato.

Dimensionamento range di box: limite superiore errato Le figure 5.0.8 e 5.0.9 mostranoi risultati delle analisi condotte sulle medesime immagini di cui sopra, ma con un rapporto discala, tra la misura massima di box e il diametro dell’immagine, eccessivamente alto. I risultatinumerici sono organizzati in tabella 5.0.2.

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(a) Spettro di singolarità di un contornomonofrattale

(b) Spettro di singolarità di un contornomultifrattale

Figura 5.0.8: Spettro multifrattale. Analisi effettuata usando un range di box mal dimensionato:misura massima di box eccessiva.

(a) Grafico di Nb(δ ) di un contornomonofrattale

(b) Grafico di Nb(δ ) di un contornomultifrattale

Figura 5.0.9: Box counting standard. Analisi effettuata usando un range di box maldimensionato: misura massima di box eccessiva.

Come si può osservare in figura 5.0.8a, lo spettro di singolarità del contorno monofrattale,atteso molto concentrato intorno al valore

ffl(α0), mostra, invece, una dispersione addirittura

più spiccata rispetto al modello di oil slick utilizzato. La relativa analisi del box countingstandard rivela un comportamento rumoroso dovuto al fatto che la proprietà di invarianza discala delle immagini non viene esaminata in modo opportuno.

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Misure di box 16, 26, 32, 40, 50, 60, 80, 100, 140, 180, 256

Rapporto di scala ∼ 1/5


H 0.7

σα 127.78 ·10−3 35.54 ·10−3

σ f 366.19 ·10−3 237.99 ·10−3

Ad 46.79 ·10−3 8.46 ·10−3

DHB 1.3 1.3

Dbc 1.49 1.13

Din f 1.48 1.14

Tabella 5.0.2: Analisi comparata effettuata usando un range di box mal dimensionato

I valori di area di dispersione mostrano tuttavia che, in questo caso specifico, un sistema au-tomatico di discriminazione, in funzione della soglia impostata per Ad, potrebbe comunquerivelare in modo corretto lo sversamento di petrolio.

Per avere dei parametri di confronto, si faccia riferimento alla figura 5.0.10 e alla tabella 5.0.3relativi all’analisi sul triangolo di Sierpinski: si noti, in tal caso, la bontà dei risultati nonostantesi sia usato un rapporto di scala non ottimale.

Errori computazionali Gli spettri dei contorni monofrattali, si veda ad esempio le figure5.0.6a e 5.0.10a, dovrebbero, sulla base di quanto esposto nella sezione 4.8, collassare in unsolo punto,

ffl(α0), pari al valore della dimensione di box counting. La spiegazione della leggera

dispersione dei valori intorno adffl(α0) è da ricercarsi nella natura inevitabilmente approssimata

delle analisi condotte.

In primo luogo si tenga presente che il dettaglio di rappresentazione delle immagini è inferi-ormente limitato dell’accuracy degli strumenti utilizzati e dalla quantizzazione dell’immagine;ciò implica che, così come avviene per le strutture reali, l’autosimilarità si presenta solo su unrange finito di scale ponendo una restrizione sulla misura minima di box utilizzabile (che in teo-ria dovrebbe tendere a 0). Inoltre, l’impossibilità di soddisfare la condizione q ∈ (−∞,+∞), in

77


accordo con la teoria dei multifrattali, determina uno spettro multifrattale incompleto. Bisogna,infine, considerare l’errore di approssimazione dovuto all’utilizzo di una regressione lineare peril calcolo dei vari parametri.

(a) (b)

Figura 5.0.10: Analisi del triangolo di Sierpinski da usare come riferimento.Si noti come i risultati siano soddisfacenti, pur non usando un rapporto di scalaopportuno.

Triangolo di Sierpinski

Misure di box 16, 26, 32, 40, 50, 60, 70, 80, 100, 140, 180, 256

Rapporto di scala ∼ 1/4


σα 28.39 ·10−3

σ f 39.95 ·10−3

Ad 1.13 ·10−3

DHB 1.585

Dbc 1.564

Din f 1.584

Tabella 5.0.3: Analisi del triangolo di Sierpinski.

78


Sierpinski Frattale 1 Frattale 2 Multifrattale 1 Multifrattale 2

Misure dibox

4, 8, 16, 22, 32, 40, 50, 60, 70, 80

Rapporto discala

∼ 1/13 1/15 1/12 1/14 1/14

Ordine deimomenti

q ∈ [0,10]⊂ N

H - 0.7 0.8

Ad 0.36 ·10−3 4.99 ·10−3 0.94 ·10−3 6.16 ·10−3 10.36 ·10−3

DHB 1.585 1.3 1.3 1.3 1.2

Dbc 1.536 1.31 1.23 1.10 1.10

Din f 1.547 1.33 1.24 1.10 1.10

Tabella 5.0.4: Analisi comparata tra diverse immagini. Frattale 1 potrebbe essere erroneamenteclassificato come oil slick.

Dimensionamento range di box: limite inferiore Nel corso delle analisi è stato osservatoche anche la misura minima di box deve essere correttamente dimensionata. Anche in tal casoil dimensionamento va relazionato con una grandezza caratteristica dell’immagine, che nellospecifico è il singolo pixel ma, nel caso in cui l’immagine analizzata avesse subìto operazioni diinterpolazione o media, potrebbe essere un gruppo di pixel correlati. Come nel caso precedente,un rapporto di scala di circa un ordine di grandezza è parso opportuno e, per tale motivo, nelleanalisi precedentemente mostrate è stata utilizzata una misura di box minima pari ad 8 pixel. Siosservi, tuttavia, che i box più piccoli scansionano le scale caratterizzate dalle irregolarità piùfini dell’immagine e un dimensionamento poco oculato potrebbe escludere dall’analisi scalecontenenti informazioni multifrattali peculiari.

La tabella 5.0.4 sintetizza i risultati delle analisi effettuate su diversi contorni, monofrattali emultifrattali, mettendo in luce un possibile errore di discriminazione: il valore di Ad del primo

79


contorno monofrattale è paragonabile all’area di dispersione dei contorni multifrattali. In talcaso, in funzione della soglia impostata per Ad , si potrebbe avere un falso allarme sulla presenzadi idrocarburi in mare.

Si tenga tuttavia presente che un simile errore è generalmente ritenuto meno drammatico rispet-to ad una mancata identificazione di un oil slick.

Si osservi, infine, che il valore di Ad dei contorni multifrattali è nettamente inferiore rispetto aicasi precedentemente analizzati.

Dimensionamento range di box: numero di box Come ulteriore casistica, è stato studiatoil comportamento dei dati di uscita al variare del numero delle misure di box utilizzate, ovverodella lunghezza del vettore di box.

È stato osservato che, fermo restando quanto precedentemente esposto circa le restrizioni sullascelta delle misure di box, i dati di uscita sono poco sensibili rispetto al numero di box usatie, pur cambiando in termini assoluti, è quasi sempre possibile distinguere correttamente un oilslick da un look-alike.


Misure di box 8, 16, 32, 64, 85

Rapporto di scala 1/15 1/16


H 0.7

σα 19.79 ·10−3 77.88 ·10−3

σ f 119.91 ·10−3 535.43 ·10−3

Ad 2.37 ·10−3 41.70 ·10−3

DHB 1.3 1.3

Dbc 1.29 1.22

Din f 1.33 1.23

Tabella 5.0.5: Risultati delle analisi con rapporto di scala opportuno e pochi box

80


Le figure 5.0.11 e 5.0.12 e la tabella 5.0.5 confermano quanto asserito. I dati sono direttamenteconfrontabili con quelli in tabella 5.0.1. Un confronto grafico può essere effettuato anche conl’analisi mostrata in figura 5.0.1 in cui è stato utilizzato un range di box con i medesimi limitiinferiore e superiore.

(a) Spettro di singolarità di un contornomonofrattale

(b) Spettro di singolarità di un contornomultifrattale

Figura 5.0.11: Analisi dello spettro multifrattale effettuata usando pochi box di misura massimae minima come in tabella 5.0.1

(a) Plot di Nbvs δ di un contorno monofrat-tale

(b) Plot di Nbvs δ di un contorno multifrat-tale

Figura 5.0.12: Analisi del box counting standard effettuata usando pochi box di misura massimae minima come in tabella 5.0.1

Ordine dei momenti Per concludere, si desidera mettere in luce un’ulteriore caratteristi-ca dell’analisi multifrattale. In figura 5.0.13 è riportato lo spettro di singolarità di un con-

81


torno multifrattale, nonché la funzione α (q) e l’andamento dello spettro al variare di q, cherappresentano, rispettivamente, l’ascissa e l’ordinata della 5.0.13a.

L’andamento diffl(q) mostra una variazione decisamente più marcata per q ≥ 5. Si osservi

anche, nel grafico di α (q), il range di variabilità dei due insiemi di punti a destra e a sinistra diq = 5, che è un punto di flesso della curva: anche in tal caso la maggior variazione dei valori siha per q≥ 5.

Un esiguo range di valori di q sarebbe, dunque, inefficace per il sistema in esame, riducendo inmodo consistente la differenza tra gli spettri multifrattali e, di conseguenza, tra i parametri daessi derivati.

(a) Spettro di singolarità di un contornomultifrattale con H = 0.8

(b) f (q) (c) Esponente di Holder

Figura 5.0.13: Studio dell’ordine del momento q. La maggior dispersione dello spettro è dettatadai valori di q > 4

82


5.0.6 Sintesi

In questo capitolo sono stati messi in luce limiti e potenzialità dell’analisi multifrattale applicataalla discriminazione tra oil slick e look-alike nelle immagini radar. In particolare è stato analiz-zato il comportamento dello spettro multifrattale, sia da un punto di vista grafico sia numerico,al variare dei modelli frattali adottati, del range di box utilizzato e dell’ordine del momento.

È stato computato un parametro sintetico, l’area di dispersione, indice della dispersione dellospettro, da utilizzare come possibile elemento discriminante all’interno di sistemi automatici diclassificazione. Sulla base delle analisi effettuate, un possibile valore di soglia, al di sopra delquale l’immagine può essere classificata come oil slick, è Ad ' 5 · 10−3, ma è prevedibile chefuturi upgrade del codice sviluppato tenderanno ad alzare tale valore riducendo la probabilità diavere falsi allarmi.

Sono state fornite alcune linee guida per il dimensionamento ottimale del range di box da ad-operare. Analisi comparate hanno evidenziato che la misura massima di box dovrebbe esserecirca 12÷16 volte più piccola del diametro del contorno analizzato, mentre il box più piccolodev’essere tale da contenere alcune decine di pixel, o gruppi di pixel, “indipendenti”, ovveronon correlati per mezzo di operazioni di interpolazione o media.

83

6 Conclusioni e sviluppi futuri

In questo lavoro di tesi è stata presentata una panoramica delle problematiche legate alla de-tezione di elementi inquinanti depositati sulla superficie marina, principalmente, ma non esclu-sivamente, sversamenti di petrolio. Nella prima parte sono state messe in luce le potenzialitàdei sistemi SAR in tale ambito, i quali offrono risoluzioni geometriche sempre più spinte affi-ancate ad una copertura globale e ad un’operatività always on indipendente dalle condizioni diluce e meteorologiche. Sono dunque stati evidenziati i fenomeni di ambiguità, nelle immaginiacquisite, causati da alcuni fenomeni naturali quali ghiaccio, cali di vento e banchi di alghe(sinteticamente detti look-alike), i quali determinano un damping delle onde marine capillari,associate alle frequenze risonanti di Bragg, paragonabile a quello prodotto da tensioattivi comeil petrolio.

Al fine di eludere tali problemi, è stato sviluppato un’algoritmo specifico, presentato e discussonel capitolo 5, basato sull’analisi multifrattale del contorno delle zone scure nelle immagi-ni acquisite. L’analisi multifrattale, sempre più utilizzata in numerosi ambiti scientifici, si èdimostrata particolarmente efficace per discernere gli sversamenti reali dai look-alike. Nellospecifico è stato evidenziato che l’analisi dello spettro multifrattale può condurre a risultati sig-nificativi anche laddove il grado di irregolarità dei contorni delle immagini dei due fenomeniè il medesimo e, dunque, un’analisi basata sulla semplice stima della dimensione frattale delcontorno, non risulta sufficiente. Sono stati altresì illustrati alcuni limiti del software imple-mentato, anche al fine di indicare alcuni possibili sviluppi futuri. Nello specifico è auspicabileimplementare un algoritmo che risolva il problema dello slittamento della griglia di conteg-gio. Ciò determinerebbe il duplice vantaggio di ottenere stime più precise della dimensionefrattale delle immagini analizzate e, contestualmente, di ridurre la dispersione dei parametri incorrispondenza di q < 0. Ciò offrirebbe, tra l’altro, l’opportunità di analizzare il comportamen-to dello spettro multifrattale utilizzando range di q più estesi, ovvero di ottenere uno spettromultifrattale più completo.

85

CAPITOLO 6. CONCLUSIONI E SVILUPPI FUTURI

Per un utilizzo concreto della tecnica illustrata è necessario anteporre alla porzione di codicespecificamente relativa all’analisi multifrattale, un modulo ad hoc per la segmentazione di im-magini radar, che permetterebbe di effettuare analisi direttamente su immagini reali, aprendo astudi ed a sviluppi futuri di sicuro interesse pratico. L’analisi di immagini reali relative a banchidi alghe, ad esempio, potrebbe rivelare caratteristiche multifrattali peculiari di tali fenomeni,consentendo di effettuarne una caratterizzazione utile per diversi scopi, non ultimo lo sviluppodi modelli da utilizzarsi in ambienti simulati. In tale constesto, si osservi che il software svilup-pato può essere altresì utilizzato in modo inverso, ossia per validare nuovi modelli sviluppati,in particolare quelli inerenti i fenomeni turbolenti.

Per concludere, uno studio della probabilità d’errore, in particolare la probabilità di falso al-larme, si ritiene altresì opportuno, anche per controllare l’effettivo miglioramento di futuriupgrade del software.

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Analisi Multifrattale Di Immagini SAR Relative a Zone Di Mare Inquinate Da Tensioattivi

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