Analisi in più variabili 1: primo semestre

appunti del corso di analisi III` Universita di Pisa Anno Accademico 2004/2005

Pietro MajerDocente titolare

Carlo CarminatiEsercitatore

Appunti redatti da Giovanni Pizzi

IndiceLezioni L.1 L.2 L.3 L.4 L.5 L.6 L.7 L.8 L.9 L.10 L.11 L.12 L.13 L.14 L.15 L.16 L.17 L.18 L.19 L.20 L.21 L.22 Prodotto scalare canonico su R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Concetti elementari degli spazi metrici . . . . . . . . . . . . . . . . . Propriet` degli aperti di uno spazio metrico X . . . . . . . . . . . . a Continuit` di funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a Distanze topologicamente equivalenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . Confronto tra norme sullo stesso spazio vettoriale . . . . . . . . . . . Parte interna e chiusura di sottoinsiemi di spazi metrici . . . . . . . L.7.1 Chiusura sequenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Applicazioni lineari continue fra spazi normati . . . . . . . . . . . . . Prodotti di spazi metrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prodotto di spazi vettoriali normati . . . . . . . . . . . . . . . . . . Completezza di spazi metrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Competezza rispetto alla distanza uniforme . . . . . . . . . . . . . . L.12.1 Caso di uno spazio metrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Teorema del punto sso delle contrazioni . . . . . . . . . . . . . . . . Perturbazioni lipschitziane dellidentit` . . . . . . . . . . . . . . . . . a Calcolo dierenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L.15.1 Casi particolari importanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Teorema del valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L.16.1 Una facile conseguenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dierenziabilit` della funzione inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . a Teorema di inversione locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dierenziazione parziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dierenziazione successiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Teorema della funzione implicita (di Dini) . . . . . . . . . . . . . . . Massimi e minimi in pi` variabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u L.22.1 Massimi e minimi liberi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L.22.2 Condizione necessaria al secondordine . . . . . . . . . . . . . L.22.3 Condizione suciente al secondordine . . . . . . . . . . . . . L.22.4 Massimi e minimi vincolati: i moltiplicatori di Lagrange . . . Equazioni dierenziali ordinarie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L.23.1 Problema di Cauchy per una equazione dierenziale ordinaria Estensione delle soluzioni del problema di Cauchy . . . . . . . . . . . Dipendenza continua dai dati iniziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . Equazioni dierenziali ordinarie lineari in Rn . . . . . . . . . . . . . L.26.1 Equazioni lineari omogenee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L.26.2 Equazioni lineari non omogenee . . . . . . . . . . . . . . . . . L.26.3 Caso delle equazioni lineari a coecienti costanti . . . . . . . Dipendenza dierenziabile dai dati iniziali . . . . . . . . . . . . . . .n

1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 6 6 8 8 9 10 11 12 14 15 18 19 20 23 25 26 27 29 31 32 34 36 39 40 41 41 42 42 44 45 51 52 55 56 58 61 63

L.23 L.24 L.25 L.26

L.27

INDICE

L.28 Ricerca di primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 L.29 Derivazione sotto il segno di integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Esercitazioni E.1 E.2 E.3 E.4 E.5 E.6 E.7 E.8 E.9 E.10 E.11 E.12 E.13 E.14 E.15 E.16 E.17 E.18 E.19 E.20 E.21 E.22 E.23 E.24 E.25 Disuguaglianza di CauchySchwarz . . . . . . . . . . . . . Teorema di BolzanoWeierstrass su Rn . . . . . . . . . . . Teorema di Weierstrass su Rn . . . . . . . . . . . . . . . . Ricerca di massimi e minimi . . . . . . . . . . . . . . . . . Distanza di un punto da un insieme . . . . . . . . . . . . Unapplicazione del teorema del punto sso . . . . . . . . Serie a valori in uno spazio normato . . . . . . . . . . . . Derivabilit` del limite di una successione di funzioni . . . a Serie di potenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Completezza dellinsieme delle applicazioni lineari . . . . . Sviluppo in serie della funzione esponenziale . . . . . . . . Il dierenziale delloperatore determinante . . . . . . . . . Applicazioni del calcolo dierenziale allo studio di funzioni Derivate parziali e direzionali . . . . . . . . . . . . . . . . Coordinate cartesiane, cilindriche e sferiche . . . . . . . . Dierenziazione successiva . . . . . . . . . . . . . . . . . Prima prova in itinere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E.17.1 Correzione della prima prova in itinere . . . . . . . Applicazione del metodo dei moltiplicatori di Lagrange . . Relazione tra norma degli operatori e autovalori . . . . . . Formula di Taylor al secondo ordine . . . . . . . . . . . . Funzioni armoniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E.21.1 Alcuni esempi di funzioni armoniche . . . . . . . . Funzioni convesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fit lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Curve di livello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sistemi di equazioni dierenziali lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 75 79 80 80 82 84 86 89 91 93 93 94 96 99 102 104 106 107 109 110 112 112 114 115 117 118 120

Lezioni Docente: Pietro Majer

iv


Lezioni (Pietro Majer)L.1 Prodotto scalare canonico su Rn

Denizione L.1 Sia f : A A R un applicazione, con A uno spazio vettoriale. Questa si dice bilineare se ` lineare nelle due componenti; e simmetrica se f (x, y) = f (y, x) positiva se f (x, x) 0 x A; x A \ {0}. x, y A;

denita positiva se f (x, x) > 0

Denizione L.2 Siano x, y Rn ; denoteremo il loro prodotto scalare canonico conn

(x y) =j=1

xj yj R ,

dove x = (x1 , , xn ) ;

y = (y1 , , yn ) .

Si verica che lapplicazione () : Rn Rn R, (x, y) (x y) ` bilineare, simmetrica e e denita positiva. In generale, se V ` un Rspazio vettoriale e B : V V R ` una forma bilineare, e e simmetrica e denita positiva, B si dice anche prodotto scalare. Esempio V V b a

Se V = C 0 ([a, b]) (funzioni continue su [a, b]), allora lapplicazione (u, v) u(t)v(t) dt ` un prodotto scalare. e

Oss. Prendendo R[a, b] (insieme delle applicazioni integrabili secondo Riemann su [a, b]) invece di C 0 [a, b] si otterrebbe una forma positiva, ma non denita positiva.

Esercizio L.1 Sia V = Rn e A Mnn (R). Consideriamo (x, y)A = (Ax y). Mostrare che si tratta di unapplicazione bilineare; simmetrica se e solo se lo ` A; in generale non ` e e positiva, e che (x, y)A ` positiva [A ` positiva A ` denita positiva]. e e e

Soluzione

Si ha che

(x + y, z)A = A(x + y) z = (Ax + Ay) z = (Ax z) + (Ay z) = (x, z)A + (y, z)A , dunque lapplicazione ` lineare nella prima componente. In modo del tutto analogo si mostra e la linearit` nella seconda componente. a

L.1. PRODOTTO SCALARE CANONICO SU RN

Siano, ora, aij i coecienti della matrice A; allora, il vettore Ax avr` come componenti a Ax =i

a1i xi , ,i

ani xi

,

da cui (Ax y) = i j aji xi yj . Procedendo in modo analogo, si vede che (Ay x) ` invece e uguale a i j aij xi yj . Per larbitrariet` di x e y, ` dunque necessario che i, j {1, . . . , n}, a e sia aij = aji , ovvero che la matrice sia simmetrica. Sia ora A simmetrica, vogliamo vedere che lapplicazione ` positiva A ` positiva. e e Mostriamo le due implicazioni: () Sia un autovalore di A, e x un corrispondente autovettore. Allora Ax = x; moltiplicando scalarmente per x ad entrambi i membri, si ottiene (x, x)A = |x|2 ; dato che per ipotesi (x, x)A 0, in quanto lapplicazione ` positiva, e che |x|2 0, deve e necessariamente essere 0, ovvero tutti gli autovalori sono positivi. () Dato che A ` simmetrica, per il teorema spettrale esiste una base di autovettori e ortogonali; sia una tale base {v1 , . . . , vn }, e siano i rispettivi autovalori 1 , . . . , n . Tali autovalori possono anche essere uguali tra loro, ma sono sicuramente positivi o nulli per ipotesi (A ` positiva). Allora, considerato un generico x = a1 v1 + + an vn , si avr` e a (x, x)A = (Ax x) =i

ai A(vi ) i

a i vi

=i

a i i v i i

a i vi

;

per lortogonalit` dei vettori, tutti i prodotti misti scompaiono, e resta solo a (x, x)A =i

a2 i |vi |2 i x V .

che ` 0 essendo somma di numeri positivi o nulli, da cui (x, x)A 0 e

Denizione L.3 Si chiama norma euclidea di x Rn lapplicazione x = (x x) (geometricamente, ` la lunghezza del segmento [0, x]). Pi` in generale, se V, (|) ` un e u e Rspazio vettoriale dotato di prodotto scalare, si pu` considerare la norma associata al o prodotto scalare v (|) = (v|v), v V . Ancora pi` in generale, se V ` uno spazio u e vettoriale reale, unapplicazione : V R si dice norma su V se e solo se: 1. ` positivamente omogenea: t R, v V, e 2. v 0 v V , e ( v = 0 v = 0): u, v V . tv = |t| v ;

3. ` subadditiva: v + u v + u e

Teorema L.1 Ogni norma associata ad un prodotto scalare, ed in particolare la norma euclidea, ` eettivamente una norma. e Dimostrazione 1. Se x Rn , t R, allora si ha tx |t| (x|x) = |t| x . = (tx|tx) = t2 (x|x) =

2. Segue dal fatto che il prodotto scalare ` denito positivo. eLezioni Docente: Pietro Majer

2


L.1. PRODOTTO SCALARE CANONICO SU RN

3. Segue dalla disuguaglianza di CauchySchwarz, valida per ogni prodotto scalare (|) denito su un Rspazio vettoriale V : |(u|v)| |(u|u)| |(v|v)| .

Usando tale diseguaglianza, infatti, si ottiene che u+v 2 = (u+v)|(u+v) = (u|u)+ (u|v) + (v|u) + (v|v) = u 2 + 2(u|v) + v 2 u 2 + 2 u v + v 2 = ( u + v )2 , da cui si ha u + v = u + v u + v = u + v . Esercizio L.2 Sia V = C 0 [a, b]; deniamo f V f

= sup |f (x)| = max |f (x)| ,axb axb

dove la seconda uguaglianza discende dal teorema di Weierstrass. Si verichi che una norma ( ` detta norma uniforme). e Soluzione Verichiamo di seguito le tre propriet` di una norma: a tf = max |tf (x)| = max |t||f (x)| = |t| max |f (x)| = |t| faxb axb axb

` e

1. Sia t R, f V ; allora

2. Ovviamente, maxaxb |f (x)| 0, essendo il massimo di una quantit` positiva o nulla, a e se la norma ` zero la funzione coincide necessariamente con la funzione identicamente e nulla. 3. Si ha (usando la disuguaglianza triangolare) f + g = max |f + g| max(|f | + |g|) max |f | + max |g| = f + g , dove la seconda disuguaglianza deriva da unovvia propriet` del max. a

Esempio Esempio

V = R2 ; deniamo x = (x1 , x2 ) R2 , x V = R2 ; x1

= max{|x1 |, |x2 |}.

= |x1 | + |x2 | v 1}.

Esercizio L.3

Per i due esempi precedenti, disegnare linsieme B = {v R2

Soluzione Per il primo dei due esempi, dobbiamo considerare linsieme di tutti i punti tali che almeno una delle due coordinate ` minore o uguale a uno: questo ` dato dal quadrato e e (con bordo) di lato 2, centrato nellorigine e con i lati paralleli agli assi coordinati. Per il secondo esempio, invece, deve essere |x| + |y| 1. Si ottiene cos` per i 4 quadranti: , I quadrante x + y 1 x + y 1 II quadrante , x y 1 III quadrante xy 1 IV quadrante che delimitano un quadrato centrato nellorigine, con i lati formanti angoli di 45 con gli assi, e di lato 2.


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L.2. CONCETTI ELEMENTARI DEGLI SPAZI METRICI

Denizione L.4 Una funzione d : X X R si chiama distanza su un insieme X se valgono le seguenti propriet`: a 1. d(x, y) 0 x, y X

2. d(x, y) = 0 x = y 3. d(x, y) = d(y, x) x, y X x, y, z X (disuguaglianza triangolare)

4. d(x, y) d(x, z) + d(z, y) Esempio

X = R, d(x, y) = |x y|.

Pi` in generale, se V ` uno spazio vettoriale reale, con una norma , ovvero ` uno spazio u e e normato, allora vi ` una distanza associata denita come segue: e d(u, v) = u v u, v V

Oss. Per una tale distanza, vale la disuguaglianza triangolare: infatti, d(u, v) = u v = (u w) + (w v) u w + w v = d(u, w) + d(w, v). Oss. Nel concetto di spazio metrico, X ` un insieme qualunque, eventualmente privo di e struttura algebrica. Esempio Dato un qualunque insieme X, deniamo la distanza discreta come d(x, y) = 0 1 x=y . x=y

Esempio Sia X = Z, n, m X; consideriamo r = max{l Z 10l divide n m}. Deniamo, quindi, d(n, m) 10r . Due interi n e m, dunque, risulteranno vicini se avranno molte cifre uguali a partire dalle cifre dellunit`: a d(137, 840 137) = 104 d(840 136, 840 137) = 1.

L.2

Concetti elementari degli spazi metrici

Denizione L.5 Sia (X, d) uno spazio metrico. Si dice palla di centro x X e raggio r R (r 0) linsieme dei punti di X che distano meno di r da x: B(x, r) = {y X d(x, y) < r} . Denizione L.6 U X si dice un intorno di x X se esiste r > 0 tale che B(x, r) U . Denizione L.7 Sia (xn )nN una successione di punti di X. Diciamo che (xn ) converge a x X se xn appartiene denitivamente a ogni intorno di x, cio` U intorno di x, e n0 N xn U n n0 . Esempio Sia X = C 0 [a, b], con d(f, g) = f g (distanza uniforme). Allora, B(f, r) = {g X il graco di g ` contenuto tra quelli di f r e f + r} (vedi gura 1 a frone te). In tal caso, una successione (fn ) C 0 [a, b] converge con questa distanza converge uniformemente.Lezioni Docente: Pietro Majer

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L.2. CONCETTI ELEMENTARI DEGLI SPAZI METRICI

r

Figura 1: B(f, r) ` linsieme delle funzioni comprese tra le due linee tratteggiate (f ` la funzione e e tracciata con una linea continua)

Esercizio L.4

Mostrare che la seguente denizione di convergenza: xn x r > 0 n0 N n n0 xn B(, r) . x

` equivalente a quella data in precedenza (denizione L.7 nella pagina precedente). e Soluzione Limplicazione (Denizione L.7Esercizio L.4) ` ovvia, in quanto posso scee gliere come intorno U la palla B(, r). Allo stesso modo, per limplicazione inversa, scelto U x posso trovare (per la denizione L.6 a fronte) un raggio tale che B(, ) U . Per ipotesi, x gli xn sono denitivamente in tale palla, dunque in particolare sono anche denitivamente in U . N.B. y B(x, r) equivale a dire che d(x, y) < r, quindi xn x r > 0 n0 N n > n0 si ha d(xn , x) < r o, in altre parole, xn x d(xn , x) 0 in R. Denizione L.8 Si dice che una successione di funzioni (fn ) converge puntualmente a f se x [a, b], r > 0 n0 N n n0 |fn (x) f (x)| < r. Esercizio L.5 Trovare una successione di funzioni (fn ) C 0 [0, 1], convergente puntualmente alla funzione identicamente nulla, ma non uniformemente. Soluzione ` E suciente considerare le funzioni n (x) = n(nx), con (x) data da 4x 0x 1 2 (x) = 4(1 x) 1 x 1 ; 2 0 x1

vedi anche la gura 4 a pagina 73, che ragura n (x).

Esercizio L.6

Provare che se (fn ) C 0 [0, 1] converge a f uniformemente, allora1 1

fn (x) dx 0 0

f (x) dx .Lezioni Docente: Pietro Majer


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` L.3. PROPRIETA DEGLI APERTI DI UNO SPAZIO METRICO X

Vale la stessa condizione se (fn ) converge solo puntualmente?

Soluzione Vedi proposizione E.1 a pagina 73. Per la seconda domanda, la risposta ` e negativa (basta considerare lesempio dellesercizio precedente).

Denizione L.9 Sia (X, d) uno spazio metrico; un sottoinsieme A X si dice aperto se a A, r > 0 B(a, r) A; equivalentemente, A ` aperto se ` intorno di ogni suo punto. e e Esempio Sia X = Mnn (R); allora A = GL(n, R) ` aperto in X (GL ` linsieme delle e e 2 matrici invertibili). X ` uno spazio metrico in quanto isomorfo a Rn , deucl . e Denizione L.10 C X si dice chiuso C c (complementare di C in X) ` aperto. e Esempio X = R: ]0, 1[ ` aperto, R \ Z ` aperto; [0, 1] ` chiuso, N ` chiuso; ]0,1] non ` n e e e e e e aperto n chiuso. e

L.3

Propriet` degli aperti di uno spazio metrico X a

1. , X sono aperti (e chiusi); 2. A, B X aperti A B ` aperto; e 3. Se {Ai }iI ` una famiglia di insiemi aperti, allora e Dimostrazione Sia a un qualunque punto di cui r > 0 B(a, r) Aj iI Ai . Per i chiusi, si avr`: a 1. , X sono chiusi (e aperti); 2. C, D X chiusi C D ` chiuso; e 3. {Ci }iI ` una famiglia di chiusi eiI iI iI

Ai ` aperto. e a Aj , da

Ai ; allora, j I

Ci ` chiuso. e

L.4

Continuit` di funzioni a

Denizione L.11 Siano (X, dX ) e (Y, dY ) due spazi metrici, sia f : X Y e sia x0 X. Tale f si dice continua in x0 se U intorno di f (x0 ) V intorno di x0 f (V ) U . f , inoltre, si dice continua se X, si ha che f ` continua in x. x e

Esercizio L.7

f : X Y ` continua A Y aperto in Y , f 1 (A) ` aperto in X. e e

Soluzione

Mostriamo le due implicazioni:

() Sia A un aperto in Y . Preso un qualunque elemento x f 1 (A), sia y = f (x) A. Considero dunque V A intorno di y (lo trovo in quanto A ` aperto). Dato che la funzione e ` continua, so che U intorno di x tale f (U ) V A, dunque in particolare U f 1 (A). eLezioni Docente: Pietro Majer

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` L.4. CONTINUITA DI FUNZIONI

Abbiamo dunque dimostrato che x f 1 (A) trovo U f 1 (A) intorno di x, dunque f 1 (A) ` aperto. e () Preso x X, considero y = f (x) Y , e considero un qualunque intorno V di y; posso dunque trovare > 0 V = B(y, ) V . So per ipotesi che f 1 (V ) = U ` aperto; e inoltre, x U , in quanto y = f (x) V , e U ` la controimmagine di V . Dato che U ` e e aperto, ` anche un intorno di x; dunque, x X, V intorno di f (x), trovo U intorno di x e tale che f (U ) V , ovvero f ` continua. e

Esercizio L.8 f : X Y ` continua in x0 X U intorno di f (x0 ) in Y , f 1 (U ) ` e e un intorno di x0 . Soluzione Discende immediatamente dalla denizione.

N.B. Esiste una nozione pi` generale di quella di spazio metrico, quella di spazio u topologico: Denizione L.12 Si dice spazio topologico un insieme in cui sia dichiarata una sua famiglia di sottoinsiemi, detti aperti, tali che valgano le 3 propriet` viste in precedenza. a Proposizione L.2 f : X Y ` continua C Y chiuso, f 1 (C) ` chiuso (in X). e e Dimostrazione Deriva dal fatto che f 1 (A) = f 1 (Ac ). Si ha, infatti, f 1 (A) {x X f (x) A}c = {x X f (x) A} = {x X f (x) Ac } = f 1 (Ac ). Oss. Tutto ci` vale anche per X, Y spazi topologici. oc c

=

Esercizio L.9 Siano X, Y spazi metrici; sia x X e f : X Y ; allora f ` continua in e x (xn ) X convergente a x, f (xn ) converge a f (). x Soluzione Dimostriamo le due implicazioni.

() Scelto un qualunque intorno V di f (), per continuit` trovo un intorno U di x tale x a che f (U ) V . Dato che xn converge a x, denitivamente xn U , e dunque denitivamente f (xn ) V . Dunque, f (xn ) f (). x () Supponiamo che, per assurdo, f non sia continua in x; allora, > 0 > 0 x d(x, x) < d f (x), f () > x1 e in particolare, scegliendo = n , posso costruire una successione (xn ) in modo tale che 1 d(xn , x) < n , mentre d f (xn ), f () > n. Dunque, xn x, mentre f (xn ) non pu` x o convergere a x: ho trovato quindi un assurdo.

N.B.

Le proposizioni sopra riportate sono facili da dimostrare, ma molto importanti.

Denizione L.13 Si dice che f : X Y ` sequenzialmente continua in x X se e (xn ) X convergente a x, f (xn ) converge a f (x). Dunque, per lesercizio L.9, una funzione tra due spazi metrici ` continua in un punto ` e e sequenzialmente continua nello stesso. Per spazi topologici, invece, vale solo limplicazione ().Appunti redatti da Giovanni Pizzi

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L.5. DISTANZE TOPOLOGICAMENTE EQUIVALENTI

L.5

Distanze topologicamente equivalenti

Denizione L.14 Siano d1 , d2 distanze sullo stesso insieme X; possiamo considerare la famiglia T1 degli aperti rispetto a d1 , e quella T2 degli aperti rispetto a d2 . Diciamo che d1 ` una distanza pi` ne di d2 se T1 T2 . In particolare, d1 e d2 si dicono e u topologicamente equivalenti se T1 = T2 . Proposizione L.3 Dire che d1 ` pi` ne di d2 equivale a dire che e u idX : (X, d1 ) (X, d2 ) ` continua. e Dimostrazione Immediata per lesercizio L.8 nella pagina precedente: infatti, idx ` cone tinua A T2 , vale A T1 , cio` T1 T2 . e

L.6

Confronto tra norme sullo stesso spazio vettoriale

Denizione L.15 Date due norme 1 e 2 su V (spazio vettoriale), diciamo che 1 ` pi` ne di 2 se vale la stessa relazione tra le distanze associate alle norme (ovvero, e u per quanto visto sopra, id : (V, 1 ) (V, 2 ) ` continua). e

Esercizio L.10 f

Su V = C 0 ([0, 1]), le seguenti norme f V

= sup |f (x)|0x1 1

f

2

=0 1

|f (x)|2 dx f V

f

1

=0

|f (x)| dx f V

non sono equivalenti, ma

` pi` ne di e u

2

che ` pi` ne di e u

1.

Soluzione Utilizzando lultima caratterizzazione della proposizione L.6 a pagina 12, mostriamo equivalentemente che f f 2 f 1 f V . Infatti,b

f (x) dx (b a) sup f (x) ,a axb

che in particolare d` la prima disuguaglianza cercata per a = 0, b = 1; per la seconda, usiamo a 1 la disuguaglianza di SchwarzHlder: dati p e q tali che p + 1 = 1, si ha che o qb a1 p

|f (x)|p

b

1 q

a

|g(x)|q

b

a

|f (x) g(x)| dx ;

in particolare, scegliendo p = q = 2, la disuguaglianza si riduce a quella di CauchySchwarz e si ha f 2 g 2 f g 1 . Se, ora, scegliamo come g la funzione che vale costantemente 1 sullintervallo [0, 1], si ottiene la disuguaglianza cercata f 2 f 1 .Lezioni Docente: Pietro Majer

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L.7. PARTE INTERNA E CHIUSURA DI SOTTOINSIEMI DI SPAZI METRICI

Per mostrare che non ` equivalente a 2 , esibiamo una successione di funzioni e fn tale che fn 2 si mantenga limitata, mentre fn diverga. A tale scopo, si possono usare le funzioni 1 n2 x 0x n 1 2 fn (x) = 2n n2 x n x n , 2 0 n x1 per cui fn 2 = 1 n, mentre fn = n +. Inne, per mostrare la non equivalenza di 1 e 2 , possiamo usare le funzioni 1 n2 x 0x n 1 2 gn (x) = 2n n2 x n x n , 2 0 n x1 per cui fn1

=1

n, mentre fn

2

=

2n 3

+.

Esercizio L.11 Sia (X, d) uno spazio metrico, x X, r > 0: provare che la palla di centro x e raggio r B(x, r) = {y X d(x, y) < r} ` un insieme aperto in X. e Soluzione Sia y B(x, r). Devo trovare un > 0 tale che B(y, ) B(x, r). Scegliamo = r d(x, y) > 0: sia infatti z B(y, ), allora d(y, z) < ; ne segue che d(x, z) d(x, y) + d(y, z) < r z B(x, r). Si ` visto che fra due spazi metrici le funzioni continue sono anche sequenzialmente e continue e viceversa, quindi, se conoscessimo tutte le successioni convergenti di X e Y conosceremmo anche tutte le funzioni continue fra X e Y . Similmente accade per gli insiemi aperti e chiusi, che possono essere caratterizzati in termini di successioni convergenti. Esercizio L.12 Sia C (X, d) spazio metrico. Allora C ` chiuso in X ` chiuso e e per successioni (o sequenzialmente chiuso), cio` (xn ) C convergente a x X, vale e x C. Soluzione Dimostriamo le due implicazioni.

() Se, per assurdo, x C, allora vorrebbe dire che x C c che ` aperto, dunque e potrei trovare > 0 B(x, ) C c , dunque dato che n si ha xn C, ci` vorrebbe dire che o d(xn , x) , dunque xn non potrebbe convergere a x, assurdo. () Si tratta della proposizione L.4 nella pagina seguente, ricordando che S = S S ` chiuso. e

L.7

Parte interna e chiusura di sottoinsiemi di spazi metrici

Come si ` visto, unioni di aperti sono aperti: per conseguenza, esiste sempre il pi` grande e u aperto contenuto in un assegnato sottoinsieme S X. Questo si chiama parte interna diAppunti redatti da Giovanni Pizzi

9


L.7. PARTE INTERNA E CHIUSURA DI SOTTOINSIEMI DI SPAZI METRICI

S, e si indica con S. S=A aperto di X AS

A = {il massimo aperto di X contenuto in S} S .

In generale, S S; S = S S ` aperto. e Dualmente: siccome intersezione di insiemi chiusi sono chiusi, esiste sempre il pi` piccolo u insieme chiuso di X fra quanti contengono S: si chiama chiusura di S e si indica con S. S=A chiuso di X AS

A = {il minimo chiuso di X contenente in S} S .

In generale, S S; S = S S ` chiuso. Inoltre, S c = (S c ) ; (S)c = S c . e Oss. Sia S X spazio metrico, allora x X appartiene a S U intorno di x, U S = (si dice anche che x ` aderente a S). Infatti, per assurdo, se x S, allora e c ` un intorno di x, perch x vi appartiene e linsieme ` aperto; inoltre, questo ` U = S e e e e evidentemente disgiunto da S. Viceversa, se U ` un intorno di x disgiunto da S, vi ` un e e aperto A, x A U , con ovviamente A S = . Dunque, S Ac , che ` un insieme chiuso, e e per la denizione di chiusura (il pi` piccolo chiuso), anche S Ac x, dunque x S. u

L.7.1

Chiusura sequenziale

Negli spazi metrici, la chiusura di S si caratterizza anche come chiusura sequenziale. Proposizione L.4 Se S X (spazio metrico), S = {x X (sn ) S, sn x}.1 1 Dimostrazione Sia x S. n N, consideriamo lintorno B x, n ; allora, B x, n S = 1 1 ; sia sn un elemento di B x, n S: la successione sn ` di punti di S, con d(x, sn ) < n , e dunque sn x. Viceversa, sia x X, (sn ) S, sn x. Allora U intorno di x, U interseca S: infatti, conterr` un sn (con n sucientemente grande), perch sn U a e denitivamente. Quindi, x S.

Esempio

Sia (V, ) uno spazio vettoriale normato; allora B(a, r) = {x V x a r} C.

Soluzione Mostriamo innanzitutto la continuit` della norma. Consideriamo la funzione a : V R, (x) = x a . Allora, ` 1lip, infatti e |(x) (y)| = xa ya xy .

Siccome la norma , come funzione da V in R, ` continua, allora risulta che C ` chiuso, e e in quanto controimmagine di un chiuso (linsieme [0, r]) tramite la funzione continua . Siccome B(a, r) C chiuso, abbiamo intanto che B(a, r) C. Per linclusione opposta, sia x C, cio` x a r, vogliamo vedere che U intorno di e x, U B(a, r) = . Basta considerare il caso di U = B(x, ), 0 < < r. Consideriamo il punto u x xa ; allora, x u = xa = < , dunque u B(x, ); inoltre, 2 xa 2 xa 2 u a = (x a) 1 dunque x B(a, r). 2 xa

< x a r, quindi x trovo un u B(a, r) B(x, r),


10


L.8. APPLICAZIONI LINEARI CONTINUE FRA SPAZI NORMATI

Oss. Per spazi metrici vale solo linclusione B(a, r) {x X d(x, a) r}, mentre in generale non vale : ad esempio, sia (X, d), dove d ` la distanza discreta. Allora, e B(x, 1) = {x} = B(a, r), mentre {x X d(x, y) 1} = X.

Esercizio L.13

Vericare che in uno spazio metrico i singoletti {x} sono insiemi chiusi.

` Soluzione E suciente osservare che lunica successione di elementi dellinsieme ` quella e costantemente uguale a x, che converge a x, dunque linsieme ` chiuso. e Una soluzione alternativa, che non usa la chiusura sequenziale, ` la seguente: la propoe sizione ` equivalente a mostrare che X \ {x} ` aperto. Considerato y X \ {x}, abbiamo e e che x = y d(x, y) = a > 0, dunque B(y, a) X \ {x}, ovvero X \ {x} ` aperto. e

L.8

Applicazioni lineari continue fra spazi normati

Proposizione L.5 Siano X, Y spazi vettoriali normati, e sia L : X Y lineare. Allora, sono equivalenti: 1. L ` continua; e 2. L ` continua in 0; e 3. C 0 x X Lx C x .

N.B. Nellultimo punto, le due norme sono diverse: in eetti, bisognerebbe scrivere Lx Y C x X se ci fosse pericolo di confusione. Dimostrazione Dimostriamo le tre implicazioni: (1)(2) (2)(3) X, x 0 infatti, se x = , Lx 1 Ovvio. Per la continuit` in zero, preso = 1 nella denizione, > 0 x a = x Lx L(0) = Lx 1. Dico che vale (3) con C = 1 : x x = 0, vale la disuguaglianza; se x = 0, considero x = x . Allora, quindi Lx = x Lx ha norma 1 in Y , cio` x Lx 1, o ancora e x . Quindi vale (3) con C = 1 .

(3)(1) Se vale (3), L ` lipschitziana di costante C: u, v X, Lu Lv = e L(u v) C u v . Esempio Sia X = C 0 [a, b], ; Y = R. L : X Y , Lf = continua, ed inoltre vale la (3) con c = b a, poich eb b a

f (x) dx. L ` lineare, e

f (x) dx (b a) fa

.

Oss.

In generale, L : X Y lineare pu` non essere continua. o 11Lezioni Docente: Pietro Majer


L.9. PRODOTTI DI SPAZI METRICI

Proposizione L.6 Siano 1 , 2 due norme sullo spazio vettoriale reale X. 1 ` pi` e u ne di 2 id : (X, 1 ) (X, 2 ) ` continua C 0 x X, x 2 C x 1 . e Ci` signica che una norma pi` ne ` pi` grande, a meno di un fattore moltiplicativo. o u e u Dimostrazione La prima doppia implicazione ` gi` stata vista; la seconda ` stata dimoe a e strata poco sopra. Vale, inoltre, che 1

e

1 x C

2

sono equivalenti C > 0 tale che1

x

2

C x

1

x X .

Denizione L.16 Se (X, ) ` uno spazio vettoriale normato, S X si dice limitato se e r > 0 S B(0, r). Ricordiamo che in Rn , eucl

vale la seguente propriet` (compattezza): a

(xk ) Rn limitata, una sottosuccessione (xkl ) convergente . Come conseguenza, si ha la seguente Proposizione L.7 Tutte le norme su Rn sono equivalenti. Dimostrazione Sia |x| la norma euclidea di x, e sia unaltra norma arbitraria su n Rn . Se x = (x1 , x2 , . . . , xn ) Rn , allora x = i=1 xi ei , con {ei } la base canonica di n n Rn . Dunque, x = i=1 |xi | ei . Ora, usando la disuguaglianza di i=1 xi ei CauchySchwarz, si ottiene chen1 2

n

1 2

x i=1 n1

|xi |2i=1

ei

2

.

2 2 Chiamiamo C . Allora, x Rn , x C|x|. Dunque, la norma i=1 ei euclidea ` pi` ne di qualunque altra norma su Rn . e u

Conseguenza:

: (Rn , | |eucl ) R ` continua (Clip), e u v C |u v|, che segue dalla disuguaglianza, u v , insieme a quanto visto sopra.

perch` per ogni u, v Rn , e vera in generale, u v

Inoltre, linsieme = {x Rn |x|eucl = 1} ` chiuso e limitato in Rn , dunque per e il teorema di Weierstrass la funzione ha minimo su ; quindi, x0 x x x0 = > 0. Infatti, x0 |x0 | = 0 x0 = 0 x0 = 0.u Per concludere, se scelgo u Rn \ {0}, allora |u| ha norma euclidea 1, quindi , da cui 1 u u . > 0 |u| |u|

Dunque, anche

` pi` ne di | |, ovvero le due norme sono equivalenti. e u

L.9

Prodotti di spazi metrici

Denizione L.17 Siano (X, dX ) e (Y, dY ) due spazi metrici. Si pu` denire una distanza o dXY sullinsieme prodotto cartesiano X Y , ponendo dXY (x, y), (x , y ) = max{dX (x, x ), dY (y, y )} .Lezioni Docente: Pietro Majer

12


L.9. PRODOTTI DI SPAZI METRICI

Si verica subito che dXY : (X Y ) (X Y ) R ` davvero una distanza. Infatti, e ` ovviamente simmetrica perch lo sono anche dX e dY ; dXY 0, ed ` uguale a zero se e e e contemporaneamente x = x , y = y . Inne, vale la disuguaglianza triangolare (facile). In questa distanza, una successione {(xn , yn )} converge a (, y ) X Y x dXY (, y ), (xn , yn ) 0 x dX (, xn ) 0 x dY (, yn ) 0 y xn x in X yn y in Y .

Inoltre, dato (Z, dZ ) e f : Z X Y , cio` f = (f1 , f2 ), con f1 : Z X, f2 : Z Y , f e si dice continua in z0 Z se e solo se f1 ` continua in z0 e f2 ` continua in z0 e .

Infatti, f ` continua in z0 zn z0 si ha che f (zn ) f (z0 ) in X Y , cio` contemporae e neamente f1 (zn ) f1 (z0 ) in X, e f2 (zn ) f2 (z0 ) in Y . Nella distanza dXY , le palle sono prodotti cartesiani di palle: B (x, y), r; X Y = B(x, r; X) B(y, r; Y ) (vedi gura 2).

B(x,r;X) xFigura 2: La palla aperta B (x, y), r; X Y come prodotto cartesiano delle palle su X e su Y`

Esercizio L.14 Usare questo fatto per trovare la propriet` di continuit` di f : Z X Y a a in z0 usando la denizione con gli intorni. Soluzione Sia z0 Z, con f (z0 ) = (x, y). Se f ` continua in z0 , vuol dire che lo sono le sue e due componenti f1 e f2 . Dunque che per ogni palla aperta B (x, y), r; X Y VX VY , con VX = B(x, r; X), VY = B(y, r; Y ), so che trovo un intorno U di z0 per cui f1 (U ) VX (continuit` di f1 ) e un intorno U di z0 per cui f2 (U ) VY (continuit` di f2 ). Se ora a a considero U = U U , so che f (U ) VX VY VXY , come volevasi (in particolare, tale intersezione non sar` vuota, essendo intersezione di due intorni di z0 ). a


13

y

B(y,r;Y)

B((x,y),r;X x Y)


L.10. PRODOTTO DI SPAZI VETTORIALI NORMATI

L.10

Prodotto di spazi vettoriali normati

Se X, X e Y, Y sono spazi vettoriali normati, X Y ` uno spazio vettoriale in modo e naturale; si pu` dotare della norma XY ponendo (x, y) X Y o (x, y)XY

= max( x

X,

y

Y

).

Esercizio L.15

Vericare che

XY

` una norma sullo spazio vettoriale X Y . e

Soluzione (x, y) XY = 0 max( x X , y Y ) = 0 x X = y Y = 0 x = y = 0. Inoltre, (x, y) XY = (x, y) XY = max( x X , y Y ) = max(|| x X , || y Y ) = || (x, y) XY . Resta inne da mostrare la disuguaglianza triangolare. Si ha che (x, z) + (y, w) XY = (x + y, z + w) XY = max( x + y X , z + w Y ) max( x X + y X , z Y + w Y ) max( x X , z Y ) + max( y X , w Y ) = = (x, z) XY + (y, w) XY , che conclude la dimostrazione.

Oss. La distanza prodotto (costruita precedentemente) delle distanze di X e di Y coincide con la distanza associata alla norma prodotto di X e Y : dXY (x, y), (x , y ) = max dX (x, x ), dY (y, y ) = max( x x = (x x , y y )XY X,

yy

Y

)=

= (x, y) (x , y )

XY

= dXY (x, y), (x , y ) .

Esercizio L.16

Se X ` uno spazio vettoriale normato, esiste lapplicazione di somma e + : X X X, (x, x ) x + x .

Mostrare che tale applicazione ` continua. e Oss. Dato che ` lineare, si pu` utilizzare la caratterizzazione vista per le applicazioni e o lineari continue. Mostrare, poi, che anche la moltiplicazione per scalare : R X X, ` continua. e (a, x) ax

Soluzione Vogliamo mostrare che a + b tamente da a+bX

X

C (a, b)X,

XX ,

ma ci` discende immediao ,

a

X

+ b

X

2 max( a

b

X)

= 2 (a, b)

XX

dunque la disuguaglianza ` vericata con C = 2. eLezioni Docente: Pietro Majer

14


L.11. COMPLETEZZA DI SPAZI METRICI

Per la continuit` della moltiplicazione per uno scalare non possiamo ripetere un ragioa namento simile, in quanto tale moltiplicazione non ` unapplicazione lineare. Utilizziamo e dunque la denizione di continuit` con i e gli . a Vogliamo mostrare che, ssato (, x) R X, > 0 > 0 Ora, dato che x x = x x + x = (x x) + x( ) , x si ha che x x | | x x + x | | . x ( , x ) (, x) < x < .

Ora, posso scegliere in modo tale che il secondo addendo sia minore di 2 , in quanto tutte le altre quantit` sono gi` ssate; a questo punto, nel primo addendo lunica quantit` che a a a pu` variare ` x , dunque posso sceglierlo in modo tale che anche questo addendo sia minore o e x di 2 . In conclusione, posso trovare ( , x ) in modo che x < , come si voleva.

Esercizio L.17

Se X, Y sono spazi normati, su X Y c` anche la norma e (x, y)+

= x

X

+ y

Y

; XY

vericare che

+

` una norma su X Y , equivalente a e

.

Soluzione Lunica propriet` delle norme non banale da dimostrare ` la disuguaglianza a e triangolare. Per dimostrarla, osserviamo che (x, y) + (z, w)+

= (x + z, y + w) + = x + z X + y + w Y x X + z X + y Y + w Y = (x, y)

+

+ (z, w)

+

.

Per mostrare lequivalenza, osserviamo che max{ xX,

y

Y

} x

X

+ y

Y

2 max{ x

X,

y

Y

}.

L.11

Completezza di spazi metrici

Sia (xn ) una successione convergente a x nello spazio metrico (X, d). Come conseguenza, siccome d(xp , xq ) d(xp , x) + d(, xq ), vale che x > 0 n N p, q n d(xp , xq ) . (L.1)

Denizione L.18 Una successione vericante la propriet` L.1 si dice successione di a Cauchy o successione fondamentale. Dunque, ogni successione convergente ` una successione di Cauchy; in generale, per`, e o non vale il viceversa: ad esempio, sia con la distanza d(x, y) = |x y|. Prendiamo una Q e successione (xn ) Q tale che xn 2 in R. Allora, dato che (xn ) converge in R, ` una successione di Cauchy in R, quindi anche in Q, ma non esiste limn xn in Q. Altro esempio: X = C 0 [0, 1], con 1 . Allora esistono una gran quantit` di successioni a in X, fondamentali ma non convergenti in X.Appunti redatti da Giovanni Pizzi

15



Lemma L.8 Sia (xn ) (X, d) una successione di Cauchy, e supponiamo che questa ammetta una sottosuccessione (xnk ) convergente a x X. Allora, anche (xn ) converge a x. Dimostrazione Voglio vedere che d(, xn ) ` minore di denitivamente. Dato che la x e sottosuccessione converge, so che k k > k d(, xnk ) 2 . Inoltre, essendo (xn ) x di Cauchy, n p, q n d(xp , xq ) 2 . Ora, per la disuguaglianza triangolare, d(, xn ) d(, xnk ) + d(xnk , xn ) x x purch k ed n siano tali che k k , nk n e n n . e Corollario L.9 Se (xn ) ` una successione di Cauchy in R, allora converge a un limite e x R. Dimostrazione Innanzitutto, (xn ) di Cauchy ` limitata. Infatti, preso = 1 nella denie zione di successione di Cauchy, so che |xp xq | 1 p, q n; in particolare, n |xp xn | 1, quindi |xp | |xn | + 1 p n. Dunque, n N |xn | max{|xi + 1| 0 i n} < + . Allora, esiste una sottosuccessione (xnk ) convergente, e dato che (xn ) ` una successione e di Cauchy, (xn ) converge allo stesso limite, per il lemma L.8. Oss. La stessa dimostrazione vale anche per Rd , ricordando che anche in Rd successioni limitate hanno estratte convergenti. Lemma L.10 Sia (xn ) una successione di Cauchy nello spazio normato (X, (xn ) ` limitata. eX ).

+ =, 2 2

Allora,

Dimostrazione La dimostrazione ` la stessa vista poco sopra, in quanto xn B(xn , ) e n n , e restano fuori un insieme nito di elementi. Denizione L.19 Uno spazio metrico (X, d) si dice completo se tutte le successioni di Cauchy di X convergono (in X). Esempio R e pi` in generale Rn sono tutti spazi completi. u

Denizione L.20 Due distanze d1 , d2 sullo stesso insieme X si dicono (topologicamente) equivalenti se la famiglia degli insiemi aperti per d1 coincide con la famiglia degli aperti per d2 . N.B. Se d1 e d2 sono (topologicamente) equivalenti, e se (X, d1 ) ` completo, allora non e ` detto che (X, d2 ) lo sia. e Esercizio L.18 Cercare una distanza d su R, topologicamente equivalente alla distanza non sia completo. euclidea, tale per cui R, d Soluzione Possiamo considerare la distanza d(x, y) = | arctan x arctan y|, con la suce cessione xn = n. Osserviamo innanzitutto che d ` eettivamente una distanza, in quantoLezioni Docente: Pietro Majer

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le propriet` sono banalmente vericate. Inoltre, ` topologicamente equivalente alla distana e za euclidea, in quanto le palle aperte sono tutti i possibili segmenti privati degli estremi, insieme a tutta la retta reale e a tutte le semirette, e generano gli stessi aperti della to pologia euclidea. Se mostriamo che xn ` di Cauchy rispetto a d abbiamo nito, in quanto e limn xn = + R. Ci` ` molto semplice da vericare: osserviamo infatti che la funoe zione arctan ` strettamente crescente e che limx arctan x = , dunque se n > m si ha e 2 che m d(n, m) = | arctan n arctan m| lim arctan n arctan m = arctan m 0 , n 2 dunque xn ` di Cauchy, come si voleva. e N.B. Per gli spazi vettoriali normati, invece, vale la seguente2

Proposizione L.11 Se E ` uno spazio vettoriale, 1 e e su E e se (E, 1 ) ` completo, allora anche (E, 2 ) lo `. e e

sono due norme equivalenti

Dimostrazione Dato che le due norme sono equivalenti, so che C > 1 x E 1 x C1

x

2

C x

1

. 2.

Sia (xn ) E una successione di Cauchy rispetto a anche rispetto a 1 , in quanto xp xq1

Allora, (xn ) ` di Cauchy e

C xp xq

2

C

p, q n .

Essendo (X, 1 ) completo, xn x nella distanza di 1 , ma allora converge anche in 2 , perch e xn x 2 C xn x 1 0 . Dunque, anche (X, 2)

` completo. e

Esercizio L.19 Y, dXY ) lo `. e

Se (X, dX ) e (Y, dY ) sono spazi metrici completi, allora anche (X

` Soluzione E suciente dimostrare che se (xn , yn ) ` di Cauchy in X Y , allora (xn ) ` e e di Cauchy in X e (yn ) ` di Cauchy in Y . Ma ci` ` ovvio, perch signica che > 0, e o e e denitivamente (xn , yn ) (xm , ym ) XY < Ma tale norma ` per denizione il massimo e tra xn xm X e yn ym Y , dunque anche (xn ) e (yn ) sono di Cauchy. In generale, se (X, d) ` uno spazio metrico, e Y X, allora Y ` uno spazio metrico con e e la distanza relativa, cio` e d|Y Y : Y Y R (Y Y X X) .

Esercizio L.20 Dimostrare che se (X, d) ` completo e Y ` chiuso in X, allora (Y, d|Y Y ) e e ` completo; se (X, d) ` uno spazio metrico e (Y, d|Y Y ) ` completo, allora Y ` chiuso in X. e e e e


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L.12. COMPETEZZA RISPETTO ALLA DISTANZA UNIFORME

Soluzione Per la prima parte, consideriamo una successione di Cauchy a valori in Y : dato che X ` completo, tale successione avr` un limite in X, diciamo x. Ma, dato che Y ` e a e chiuso, tale limite deve stare in Y , cio` x Y , dunque tutte le successioni di Cauchy di Y e convergono in Y , che ` quanto si voleva. e Per la seconda parte, supponiamo per assurdo che Y non sia chiuso, dunque che esista una successione xn convergente a x X, con x Y . Dato che ogni successione convergente ` anche di Cauchy, (xn ) ` di Cauchy in X, dunque anche in Y . Ma, essendo Y completo per e e ipotesi, (xn ) dovrebbe convergere in Y , assurdo. Sia (E, ) uno spazio vettoriale normato, e sia S un qualunque insieme. Denizione L.21 Se f : S E, si denisce la norma uniforme su S f,S

= sup f (x)xS

E

+

(ci sono le virgolette perch potrebbe essere innita). e Vale che f E). Consideriamo linsieme delle funzioni limitate da S in E B(S, E) {f : S E f,S ,S

< f : S E ` limitata (cio`, f (S) ` un sottoinsieme limitato di e e e

< +} . Infatti:

Allora, B(S, E) ` uno spazio vettoriale normato da e f,S

,S .

0; inoltre, f

,S

= 0 x S, f (x) = 0 f 0.

t R, (tf )(x) = tf (x) e (tf )x E = |t| f (x) E , quindi prendendo supxS otteniamo che tf ,S = |t| f ,S . Se f, g : S E, allora x S f + g (x)E

= f (x) + g(x)

E

f (x)

E

+ g(x)

E

f

,S

+ g

,S

;

prendendo supxS , si ha inne f +g,S

f

,S

+ g

,S

. ,S

Dunque, se f, g B(S, E), anche tf e f + g appartengono a B(S, E), e su B(S, E). Oss. Se ` chiaro dal contesto, si scrive semplicemente f e

` una norma e

invece di f

,S .

L.12

Competezza rispetto alla distanza uniforme

` Sia S un insieme; (X, ) uno spazio normato. E denito allora lo spazio normato delle funzioni limitate da S in X B(S, X) = {f : S X, f,S

< } .,S

Proposizione L.12 Se (X, ) ` completo, anche B(S, X), eLezioni Docente: Pietro Majer

lo `. e

18


L.12. COMPETEZZA RISPETTO ALLA DISTANZA UNIFORME

Dimostrazione Sia (fn ) B(S, X) di Cauchy; bisogna provare che f B(S, X) tale che fn f in B(S, X), cio` e n fn f ,S 0 , quindi: > 0 n N p, q > n fp fq,S

.

In particolare, s S, poich fp (s) fq (s) X fp fq ,S , {fn (s)} ` una suce e cessione di Cauchy in X, quindi converge in X, che ` completo per ipotesi. In questo e modo, ` denita una funzione f : S X tale che s S, e f (s)n

lim fn (s) :

la successione (fn ) converge puntualmente a f . Bisogna ora vericare che f B(S, X), e che fn f ,S 0. Siccome fn ` di e Cauchy in ,S , ` limitata rispetto a ,S . Dunque, e R 0 quindi s S, n N, fn (s)X

fn

,S

R;

fn

,S

R;

tenendo sso s S, facciamo limn e quindi otteniamo che fn (s) f (s) X, fn (s) X f (s) X ; quindi, f (s) X R e ci` s S, dunque anche o sup f (s)sS X

= f ,S :

,S

R.

Torniamo allipotesi fn di Cauchy per

> 0 n N p, q n , s S

fp (s) fq (s)

X

.

Ora, ssato > 0 ed il corrispondente n , vale che p > n , s S (passiamo al limite per q ), si ha che fp (s) f (s) X . Quindi (con lo stesso n dato dalla condizione di Cauchy), passando al supsS , abbiamo che fp f ,S , cio` fn f anche nella norma e ,S .

L.12.1

Caso di uno spazio metrico

Se (S, d) ` uno spazio metrico, possiamo considerare linsieme delle funzioni continue e e limitate S X0 CB (S, X) = {f : S X f continua e limitata} B(S, X) ,

che in eetti ` un sottospazio vettoriale. e Proposizione L.13 Se (S, d) ` uno spazio metrico e (X, ) ` uno spazio normato, allora e e 0 CB (S, X) ` un sottospazio vettoriale chiuso in B(S, X), ,S . e Oss. In altre parole, la precedente proposizione aerma che limiti uniformi di funzioni continue sono ancora funzioni continue.Appunti redatti da Giovanni Pizzi

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L.13. TEOREMA DEL PUNTO FISSO DELLE CONTRAZIONI0 Dimostrazione Sia (fn ) CB (S, X) una successione convergente uniformemente a f 0 0 B(S, X). Vogliamo provare che f CB (S, X): ci` signica che CB (S, X) ` chiuso per o e successioni, quindi chiuso.

Per vedere che f ` C 0 , sia sn s una successione convergente in S: bisogna allora e X vedere che f (sn ) f (s). Sia p N, allora dalla disuguaglianza triangolare f (sn ) f (s)X

S

f (sn ) fp (sn ) + fp (sn ) fp (s) + fp (s) f (s) .

Fissato ora > 0, posso trovare un p tale che il primo ed il terzo addendo siano minori e di 3 , in quanto fp f in B(S, X), cio` uniformemente, dunque ognuno dei due termini ` minore od uguale a fp f ,S . A questo punto, ssato p posso trovare un n tale e che n > n anche il secondo addendo ` minore di 3 in quanto fp ` una funzione e e continua, dunque fp (sn ) fp (s). In conclusione, si ` ottenuto che sn , > 0 n n > n , f (sn ) f (s) e ` quanto si voleva, dunque anche f ` continua. e eX

, che

Esercizio L.21 Trovare una successione di funzioni continue fn : R R convergenti puntualmente a una f : R R discontinua.

Soluzione Un possibile esempio ` la successione fn (x) = arctan(nx), che converge pune tualmente a x>0 2 f (x) = 0 x=0 . 2 x < 0

Come conseguenza dellesercizio L.20, sia ha che se (S, d) ` uno spazio metrico e (X, ) e 0 ` uno spazio normato completo, allora anche CB (S, X), ,S ` completo (in quanto ` e e e chiuso in B(S, X), che ` completo). e

L.13

Teorema del punto sso delle contrazioni

Teorema L.14 (Punto sso) Sia (X, d) uno spazio metrico completo non vuoto, e sia T : X X una contrazione, ovvero una mappa klipschitziana, con k < 1. Allora 1. ! x X T () = x x n volte

2. x0 X

T (x0 ) = (T T )(x0 ) converge a x X

n

3. d T n x0 , x k n d(x0 , x) 4. d(y, x) 1 d(T y, y) 1k 20Appunti redatti da Giovanni Pizzi


L.13. TEOREMA DEL PUNTO FISSO DELLE CONTRAZIONI

Dimostrazione Iniziamo mostrando il punto 2. Sia x0 X; dico allora che (T m x0 )mN ` e di Cauchy: infatti, presi p, q due naturali (con q = p + n), si ha che d(T p x0 , T q x0 ) d(T p x0 , T p+1 x0 ) + + d(T p+n1 x0 , T p+n x0 ) k p d(x0 , T x0 ) + k p+1 d(x0 , T x0 ) + + k p+n1 d(x0 , T x0 ) =

=pj 0 f (x) > 0 0 < x < . e Provare, poi, che esiste D denso in R (D = R) tale che f (x) = + x D, dove con f (x) intendiamo f (x + h) f (x) R. lim h0 h Inne, trovare un espressione per f (x) come serie.


21


L.13. TEOREMA DEL PUNTO FISSO DELLE CONTRAZIONI

Soluzione Sia : B(R, R) B(R, R) tale che f (x) = 1 f (2x) + sin x. Se ` una e 2 contrazione, allora esiste ununica funzione con le caratteristiche richieste. Ma (f ) (g) = 1 f (2x) + sin x 2 1 g(2x) + sin x = 2 1 1 f (2x) g(2x) = f (x) g(x) , = 2 2

dunque ` in eetti una contrazione. Dato che possiamo ripetere tutta la dimostrazione e con : C 0 (R, R) C 0 (R, R), la funzione cercata ` continua. e Per mostrare che f ` dispari, osserviamo che linsieme F delle funzioni limitate tali che e f ` dispari ` e e non vuoto Basta considerare la funzione arctan x.

chiuso Sia a il funzionale lineare e continuo a : C 0 R denito da a (f ) = f (a) (tale funzionale ` continuo in quanto limitato, essendo |a (f )| f ). e Allora, f ` dispari se e solo se x R vale (x + x )f = 0, ovvero il nostro insieme F ` e e F =xR

Ker(x + x ) .

Ora, ogni Ker ` un chiuso, essendo controimmagine del chiuso (in R) {0} tramite la funzione e continua (x + x ), dunque F , essendo intersezione di chiusi, ` ancora un chiuso. e invariante Se f (x) = f (x), (f )(x) = 1 f (2x)sin x = 1 f (2x)+sin(x) = 2 2 (f )(x). In modo analogo possiamo mostrare che f ` 2periodica, in quanto linsieme F delle e funzioni limitate tali che f (x) = f (x + 2) ` non vuoto (ad esempio contiene la funzione e sin x), invariante (se f (x) = f (x + 2), allora (f )(x + 2) = 1 f 2(x + 2) + sin(x + 2 2) = f (2x) + sin x = (f )(x)), e chiuso: sia infatti fn (x) una successione di funzioni 2periodiche che convergono a f (x), allora per lunicit` del limite a fn (x) f (x) ; fn (x) = fn (x + 2) f (x + 2) f (x) = f (x + 2) ,

ovvero anche la funzione limite sta in F . Per trovare uno sviluppo in serie per tale funzione usiamo la propriet` E.12 a pagina 88, a con E = B(R, R), A(f ) = 1 f (2x), h = sin x. Calcoliamo il termine nesimo della serie: 2 Ak h(x) = Ak (sin x) = Ak1 = Ak2 1 sin 22 x 22 1 sin 2x 2 = = = Ak2 1 sin 2k x . 2k 1 2 1 sin (2 2x) 2 =

Lo sviluppo in serie di f sar` dunque dato da a+

f (x) =k=0

1 sin(2k x) . 2k

Per mostrare che D denso in R tale che f (x) = + x D, innanzitutto mostriamo che f (0) = +. Infatti, usando lo sviluppo per f pocanzi trovato, si ha f (x) = lim x0 x0 x limLezioni Docente: Pietro Majer

(x 2k ) ,k=0

22


` L.14. PERTURBAZIONI LIPSCHITZIANE DELLIDENTITA

dove (t) = sin t . t Sia, ora, 2(N +1) x 2N . Allora, f (x) = xN 1

(x 2k ) +k=0 k=N

(x 2k ) N sin(1) +k=N

(x 2k ) ,

dove la disuguaglianza discende dalla decrescenza di su [0, 1]. Per il secondo termine, poi, si ha

(x 2k ) k=N k=N

1 2 x 2k

k=N

1 2kN

=4,

dove la prima disuguaglianza discende dalla relazione | sin x| 1, mentre la seconda da x 2(N +1) . N In conclusione, dunque, si ha che limx0 f (x) > N sin(1) 4 + (osserviamo x che N x 0). Mostriamo, ora, che f (x0 ) = f (2x0 ) cos x0 o, equivalentemente, f (2x0 ) = f (x0 ) + cos x0 . Si ha, infatti, usando la relazione funzionale per f : f (2x0 + 2h) f (2x0 ) 2f (x0 + h) + 2 sin(x0 + h) 2f (x0 ) 2 sin(x0 + h) = = 2h 2h f (x0 + h) f (x0 ) sin(x0 + h) sin(x0 + h) = + h h da cui, passando al limite per h 0, si ottiene la relazione cercata. Ora, dato che f (0) = +, per la periodicit` f (x) = + su tutti i punti della forma a 2k con k Z. Usando, poi, la relazione appena dimostrata, abbiamo che f (x) = + su tutti i punti della forma 2k con k Z, h N \ {0}, in quanto il coseno ` limitato. Dato e 2h che (a meno del fattore 2) i numeri cercati sono tutti e soli i numeri che si possono scrivere in base 2 con uno sviluppo decimale nito (detto insieme dei diadici), e che ogni numero reale si pu` approssimare con precisione arbitraria con uno di questi numeri, tale insieme ` o e denso in R, come volevasi. Inne, per mostrare che > 0 tale che f ` positiva su ]0, [, osserviamo innanzitutto e che f ` positiva su , : infatti, e 4 2 1 1 1 21 n f (x) = sin x + sin 2x + sin 2 x sin >0. n n 2 2 4 2 2n2 n2

Dalla relazione ricorsiva f x = 1 f (x) + sin x , si ha che f (x) 0 f x 0. Dunque, 2 2 2 2 f ` positiva su tutti gli insiemi della forma 2k+1 , 2k . Passando al limite per k , e otteniamo dunque che f ` positiva almeno su ]0, ]. e 2

L.14

Perturbazioni lipschitziane dellidentit` a

Teorema L.15 Sia X uno spazio vettoriale normato completo (di Banach), e sia X aperto; sia poi g : X una funzione lipschitziana di costante k < 1. Allora, lapplicazione f I + g (I ` la funzione identit`) ha le seguenti propriet`: e a a f () ` aperto in X; precisamente: e x e r > 0 tale che B(x, r) si ha che f (B(x, r) B f (x), (1 k)r ;Appunti redatti da Giovanni Pizzi

23


` L.14. PERTURBAZIONI LIPSCHITZIANE DELLIDENTITA

f : f () ` un omeomorsmo; precisamente, la funzione f 1 : f () ` e e 1 lipschitziana. 1k Dimostrazione Sia B(x, r) ; vogliamo vedere che B f (x), (1 k)r f B(x, r) , cio`: y B f (x), (1 k)r B(x, r) f () = y. e Dato y con f (x) y (1 k)r, cerco dunque con x r tale che + g() = y. Consideriamo lapplicazione T : B(x, r) X tale che T () = y g(). Vogliamo un punto sso B(x, r) di T : = T () = y g(). Verichiamo subito le ipotesi del teorema del punto sso. Sicuramente T ha costante di Lipschitz k; il dominio ` B(x, r) che ` uno spazio metrico completo, in quanto la palla ` chiusa in X e e e completo (esercizio L.20). Resta solo da vericare che T B(x, r) B(x, r). In eetti, se u B(x, r), cio` u x r, voglio vericare che T (u) x r, ma ci` ` vero in e oe quanto T (u) = y g(u), da cui T (u) x = y g(u) x = y x g(x) + g(x) g(u) y x + g(x) + g(x) g(u) = y f (x) + g(x) g(u) (1 k)r + kr = r .

Come conseguenza, si ha che f () ` aperto: se y f (), devo vedere che esiste e una palla B(y, ) f (): y ` della forma y = f (x), con x ; aperto r > e 0 B(x, r) e, come abbiamo appena dimostrato, si avr` B(y, ) f () con a = (1 k)r. Per il secondo punto del teorema, mostriamo che f : f () ` iniettiva (per come e abbiamo scelto linsieme immagine ` ovviamente surgettiva). Siano x, x , allora e f (x) f (x ) = x + g(x) x g(x ) x x g(x) g(x ) x x k x x = (1 k) x x

:

quindi se x = x anche f (x) = f (x ), e f (x) ` iniettiva dunque bigettiva, f (); e sia y = f (x), y = f (x ); la disuguaglianza di sopra si scrive: f 1 (y) f 1 (y ) cio` f 1 : f () ` e e 1 yy 1k y, y f () ,

1 1k lipschitziana,

in particolare continua.

Esercizio L.23 X X.

Se = X, allora anche f () = X e quindi f sar` un omeomorsmo a

Soluzione Ci basta mostrare che f ` surgettiva, ovvero che y X x X f (x) = y. e Infatti, se consideriamo lapplicazione T (x) = y g(x), questa ` lipschitziana di costante e minore di uno, ed inoltre sono vericate tutte le ipotesi del teorema del punto sso. Si conclude in modo analogo al teorema precedente.

Esercizio L.24 Di f 1 possiamo dire un po di pi`: provare che f 1 : f () ` della u e k forma f 1 (y) = y + h(y) con h : f () lipschitziana di costante 1k . 24



L.15. CALCOLO DIFFERENZIALE

Soluzione Sia x = (I + g)x, y = (I + g)y. Dato che h(a) = (I + g)1 I (a), vogliamo stimare la quantit` a I + g)1 I x I + g)1 I y . |x y | Questa quantit` ` uguale a ae |g(y) g(x)| |x (I + g)(x) y + (I + g)y| = , |(I + g)x (I + g)y| |x y + g(x) g(y)| e per la lipschitzianit` di g si ha a |g(y) g(x)| k|x y| k , |x y + g(x) g(y)| |x y| |g(x) g(y)| 1k che ` proprio la costante di Lipschitz cercata. e

L.15

Calcolo dierenziale

Sia f : E F , con E = Rn , F = Rm o pi` in generale due spazi di Banach. f (y)f (x) , u yx tuttavia, non ha pi` senso se E = R. Lidea per la giusta generalizzazione di derivata ` u e usare la denizione di derivata tramite sviluppo al primo ordine. Denizione L.22 Sia aperto E; E, F spazi di Banach. f : F ` dierenziabile e in x0 se L : E F lineare e continua tale che f (x) = f (x0 ) + L(x x0 ) + o( x x0 ) (per x x0 ) .

N.B. Se E = Rn , F = Rk , allora ogni applicazione lineare L : Rn Rk ` continua, e e nella denizione non serve dire continua. Oss. Nel caso di funzioni f : R R, le uniche funzioni lineari sono la moltiplicazione per una costante, e si ottiene la denizione di derivata gi` vista nel caso reale. a La notazione di Landau ` la stessa gi` vista per R: U intorno di x0 E; f, g : U e a F ; f (x) = O g(x) per x x0 signica: C > 0 tale che f (x) C g(x) x U , e similmente la denizione di opiccolo, dunque quando scriveremo o(x) con x Rn , questo sar` equivalente a o( x ). a La denizione equivale dunque a dire che f (x) f (x0 ) L(x x0 ) xx0 0 x x0 e si pu` quindi anche scrivere come: o > 0 > 0 x con x x0 < vale f (x) f (x0 ) L(x x0 ) x x0 . Oss. Se L esiste ` unico: se anche f (x) = f (x0 ) + M (x x0 ) + o(x x0 ), sottraendo i e due sviluppo si trova: (L M )v = o(v) (v 0) . In particolare, v0 E e v = tv0 , con t R, t (L M )v0 = o(t) e, dividendo per t, (L M )v0 = o(1) per t 0 .

Quindi Lv0 = M v0 ; essendo v0 arbitrario, L = M .Appunti redatti da Giovanni Pizzi

25


L.15. CALCOLO DIFFERENZIALE

Denizione L.23 Tale unico L si indica con Df (x0 ) o dierenziale di f in x0 . Oss. Se f ` dierenziabile in x0 , ` anche continua in x0 : e e

df (x0 ) o f (x0 ) e si chiama

f (x) = f (x0 ) + D f (x0 ) (x x0 ) + o(x x0 ) = f (x0 ) + o(1)

(x x0 ) .

Elenchiamo di seguito alcune propriet` del dierenziale: a Sia E aperto; siano f, g : F dierenziabili in x0 . Allora, f + g ` e dierenziabile in x0 e D(f + g)(x0 ) = Df (x0 ) + Dg(x0 ). Infatti, sommando i due sviluppi si ottiene f (x) = f (x0 ) + Df (x0 )(x x0 ) + o(x x0 ) g(x) = g(x0 ) + Dg(x0 )(x x0 ) + o(x x0 ) (f + g)(x) = (f + g)(x0 ) + Df (x0 ) + Dg(x0 ) (x x0 ) + o(x x0 ) Similmente, c R, cf ` dierenziabile in x0 e D(cf )(x0 ) = c Df (x0 ). e Regola di composizione Siano E, F, G spazi di Banach; sia U aperto di E, V aperto di F ; V f (U ), f : U F , g : V G. Sia x0 U , y0 = f (x0 ) V . Allora, se f ` dierenziabile in x0 e g ` dierenziabile in y0 , la funzione g f : U G ` e e e dierenziabile in x0 , con D(g f )(x0 ) = Dg(y0 ) Df (x0 ) . Abbiamo, infatti, f (x) = f (x0 ) + A(x x0 ) + o(x x0 ) (x y0 ) g(y) = g(y0 ) + B(y y0 ) + o(y y0 ) (y y0 ) da cui (g f )(x) = g f (x) = g f (x0 ) + A(x x0 ) + o(x x0 ) = = g f (x0 ) + B A(x x0 ) + o(x x0 ) + o A(x x0 ) + o(x x0 ) = = (g f )(x0 ) + BA(x x0 ) + Bo(x x0 ) + o A(x x0 ) + o(x x0 ) .

Per mostrare la tesi, ` dunque suciente mostrare che la quantit` fra parentesi grae e a ` o(x x0 ): la dimostrazione ` come per le funzioni R R. e e Utilizzando la propriet` 3 data dalla proposizione L.5 a pagina 11, avremo che B o(x a x0 ) = o(xx0 ), in quanto B o(xx0 ) C o(xx0 ) = o(xx0 ); inoltre A(xx0 ) = O(x x0 ), da cui sostituendo nella parentesi graa, si ottiene proprio che questa ` e o(x x0 ).

L.15.1

Casi particolari importanti

E = F = R; f : U R R; allora, c` lisomorsmo L(R, R) R che associa a e Df (x0 ), matrice 1 1, la derivata f (x0 ). Lo stesso vale nel caso E = R, F qualunque: per f : U R F vale la stessa identicazione di sopra tra L(R, F ) e F , perch` le uniche applicazioni lineari sono la e moltiplicazione per un elemento v di F . Tali applicazioni sono dette curve o funzioni a valori vettoriali.Lezioni Docente: Pietro Majer

26


L.16. TEOREMA DEL VALOR MEDIO

E = Rn , F = R; f : U Rn R; in questo caso, si possono pensare tali applicazioni come prodotti scalari (, v): Df (x) = (x, v). Associo allora al dierenziale di f , Df L(Rn , R) = (Rn ) , il vettore v, che chiamo gradiente di f e indico con f (x0 ). Quindi, f (x) = f (x0 ) + f (x0 ) (x x0 ) + o(x x0 ) .

Caso E = Rn , F = Rm . Allora, posso associare al dierenziale di f in x0 , Df (x0 ) L(Rn , Rm ) una matrice n m, tale che Df (x0 )(x) = Ax; tale matrice ` detta la e matrice jacobiana di f , che si indica con Jf (x0 ).

e Esercizio L.25 Nel caso R Rn R, chi ` la derivata di V in termini di e di V? f V Chi ` (V f ) nel caso Rm Rn R in termini di Jf e di V ? e

V

Soluzione Nel primo caso, la derivata di V sar` data dal prodotto scalare dei due a vettori V e (in eetti, uno il un vettore riga e il secondo un vettore colonna, dunque ` e il prodotto dei due vettori), mentre nel secondo caso (V f ) si ottiene applicando Jf al T vettore V : (V f ) = Jf ( V ). Vedi anche a pagina 102.

L.16

Teorema del valor medio

Oss. Gi` nel caso in cui lo spazio di arrivo R2 non c` nulla di simile alla propriet` per a e a funzioni [a, b] R ]a, b[ f (b) f (a) = (b a)f () . Esempio f (t) = (cos t, sin t), f : [0, 2] R2 ; f (2) f (0) = 0 = 2f (), perch e f () = 1.

Oss.

In realt` anche nel caso E = R si sa poco di ; quella che ` utile ` la disuguaglianza a e e |f (b) f (a)| (b a) sup |f ()| .ab

Questa si pu` generalizzare a funzioni [a, b] (E, ). o Proposizione L.16 Sia f : [a, b] E (E spazio normato) continua in [a, b] e derivabile in ]a, b[. Allora vale la disuguaglianza f (b) f (a) (b a) supatb

f (t) .

Dimostrazione (Caso particolare E = Rn , eucl ) Sia v Rn ; consideriamo lapplicazione [a, b] t f (t) v R. Essa soddisfa le ipotesi del teorema del valor medio per funzioni scalari; dunque, ]a, b[ tale che f (b) v f (a) v = (b a) f () v ,Appunti redatti da Giovanni Pizzi

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L.16. TEOREMA DEL VALOR MEDIO

quindi f (b) f (a) v = (b a) f () v (b a) f () v (b a) sup f (t) v ,a 0 in modo che se |t t0 | < si abbia |f (t, x0 ) f (t0 , x0 )| 2 . Daltra parte, detta L la costante di Lipschitz per la seconda variabile (uguale per tutti i punti x), possiamo scegliere |x x0 | < 2L . Dunque, se (t, x) B(t0 , ) B x0 , 2L che ` e un intorno di (t0 , x0 ), possiamo stimare |f (t, x) f (t0 , x0 )| |f (t, x) f (t, x0 )| + |f (t, x0 ) f (t0 , x0 )| L|x x0 | + ovvero f ` continua in (t0 , x0 ). e , 2

Esercizio L.36 Se f ` continua in t, localmente lipschitziana in x e se [a, b]B(x0 , r) , e allora esiste L 0 tale che |f (t, x1 ) f (t, x2 )| L|x1 x2 | t [a, b], x1 , x2 B(x0 , r). Sugg.: dimostrare laermazione per assurdo.


45


L.23. EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE

Soluzione Supponiamo per assurdo che L t, x1 , x2 |f (t, x1 ) f (t, x2 )| > L|x1 x2 |. Consideriamo in particolare L = n, e la corrispondente successione (tn )n . Dato che t [a, b], posso trovare una sottosuccessione (tnk )k convergente a t. Dato che anche x1 e x2 appartengono a un insieme chiuso e limitato, posso estrarre unulteriore sottosuccessione (j) nkj in modo che le successioni relative a x1 e x2 (che per semplicit` indicheremo con x1 a (j) e x2 ) convergano anchesse rispettivamente a x1 e x2 . Ora, il primo membro converge a |f (t, x1 ) f (t, x2 )|, che ` una quantit` nita, mentre il secondo membro diverge, assurdo. e a (Osservazione: nel caso in cui x1 = x2 , si otterrebbe 0 > 0, che ` comunque un assurdo). e

Esercizio L.37

Sia A : [a, b] Mnn una a11 (t) . A(t) = . . an1 (t)

curva continua di matrici n n, cio` e a1n (t) . ; .. . . . ann (t)

allora f (t, x) = A(t)x denita su =]a, b[Rn verica le ipotesi di locale lipschitzianit` in a x. Lequazione dierenziale corrispondente ` lequazione dierenziale ordinaria lineare a e coecienti continui (non costanti) u (t) = A(t)u(t).

Esercizio L.38 Se f : R Rn Rn ` continua in ` ammette derivate parziali e e f 0 n nelle variabili x1 , . . . , xn continue in xi C (, R ), (i = 1, . . . , n) , allora f verica le ipotesi di locale lipschitzianit` in x. a

Soluzione Per il teorema del dierenziale totale, so che esiste D2 f e che tale dierenziale ` continuo. Fissato x , sia Ax un chiuso limitato contenuto in che sia anche un intorno e per x. Dunque, |f (t, y) f (t, x)| | supAx D2 f | |y x|, dove | supAx D2 f | < perch e stiamo facendo il sup di una funzione continua su un insieme chiuso e limitato.

Oss. f (t, x) = |x|, f : R R R non ` localmente lipschitziana in x; in eetti, il e problema di Cauchy x(0) = 0 x (t) = |x(t)| ammette innite soluzioni. Lemma L.32 Siano R Rn aperto, f : Rn localmente lipschitziana in x, (t0 , x0 ) . Allora esistono > 0, > 0 in modo che 1. R [t0 , t0 + ] B(x0 , ) ;,R

2. M , con M = f 3. 0 pi` piccolo varanno anche le propriet` 2 e 3. In particolare, u a 1 0 < nuovo < min L , vecchio , M . Oss. Se u ` una soluzione del problema di Cauchy (L.5) denita su [t0 , t0 + ], allora e ci aspettiamo che u(t) B(x0 , ), cio` graf(u) R. e Infatti, lidea ` che partendo al tempo t0 da x0 con velocit` in modulo u (t) M , dopo e a un tempo si ` fatto un incremento minore o uguale a M , dunque x(t) B(x0 , ). e Teorema L.33 (Esistenza ed unicit` del problema di Cauchy) Siano , f come soa pra, con f localmente lipschitziana in x; siano (t0 , x0 ) , e siano > 0, > 0 numeri vericanti le 3 condizioni del lemma precedente. Allora esiste una unica funzione u:I soluzione di u(t0 ) = x0 u (t) = f t, u(t) Inoltre risulta che graf(u) R t ]t0 , t0 + [). . [t0 , t0 + ] Rn

]t0 , t0 + [B(x0 , ) (vale a dire che u(t) x0

Dimostrazione Osserviamo che se u :]t0 , t0 + [ Rn ` una soluzione del problema e di Cauchy, allora deve essere u(t) x0 t I. Per assurdo, se non fosse cos` , esisterebbe t I tale che u(t ) x0 e si avrebbe o t0 < t < t0 oppure t0 < t < t0 + ; assumiamo il secondo caso per ssare le idee. Sia E min{t [t0 , t ] u(t) x0 } .

Linsieme tra parentesi grae ` chiuso perch controimmagine del chiuso [, [ tramite e e la funzione continua t u(t) x0 ; ` anche limitato, in quanto ` contenuto in [t0 , t ]: e e dunque il minimo c`, chiamiamolo t. e Per costruzione, u(t) x0 t [t0 , t]. Quindi t0 t t, t, u(t) I B(x0 , ) = R e allora per questi t u (t) = f t, u(t) M = sup f ;R

per il teorema del valor medio u(t)u(t0 ) (t t0 ) supt0 tt u (t) (t t0 )M < ) u(t0 ) = u(t) x0 . M , assurdo perch u(t e Dunque: se u ` una soluzione locale del problema di Cauchy scritto sopra, denita e o su I =]t0 , t0 + [, deve essere u(t) B(x0 , ) t I. Tenendo conto di ci`, il problema di Cauchy ` equivalente al problema di punto sso seguente: e u C 0 I, B(x0 , ) t . (L.6) u(t) = x0 + f s, u(s) ds t It0

Infatti, se u ` soluzione del problema, ` certamente continua in quanto ` addirittura e e e C 1 ; si ` appena visto che t I, u(t) B(x0 , ), quindi u C 0 I, B(x0 , ) . Per il e teorema fondamentale del calcolo,t t

u(t) = u(t0 ) +t0

u (s) ds = x0 +t0

f s, u(s) ds .Lezioni Docente: Pietro Majer


47


Viceversa, se u verica il problema di punto sso (L.6), u C 0 , f s, u(s) ` continua e in s e u ` derivabile con u (t) = f t, u(t) t I; inoltre, u(t0 ) = x0 . e Linsieme X = C 0 I, B(x0 , ) ` la palla nella norma uniforme di centro la funzione e 0 costante x0 (x0 (t) = x0 t) e raggio nello spazio di Banach CB I, Rn (funzioni n continue e limitate I R ). Infatti, u(t) x0 t I u x0

= sup u(t) x0 .tI

0 e In particolare, X ` un chiuso di CB (I, Rn ), quindi X con la distanza indotta ` uno e spazio metrico completo. 0 Sia T : X CB (I, Rn ) tale che u X sia (T u)(t) = x0 + (L.6) consiste nel cercare u X tale che T (u) = u. t t0

f s, u(s) ds; il problema

Verichiamo che T soddisfa le ipotesi del teorema delle contrazioni, cio` che T (X) X e e che T ` klipschitziana, con k < 1. e Sia v X, cio` v(t) x0 et

t I. Allora M : supR f M ;

(T v)(t) x0 =t0

f s, v(s) ds sup f s, v(s)sI

infatti, v X graf v R =]t0 , t0 +[B(x0 , ) f s, v(s) M per la scelta di ed .t

Cerchiamo ora la costante di Lipschitz per T su X. Siano v, w X, t I. Allora, (T v)(t) (T w)(t) =t0 sI

f s, v(s) f s, w(s)

ds

sup f s, v(s) f s, w(s) L vw

.

Prendendo lestremo superiore per t I, T v T w ( L) v w . Perci`, T o ` lipschitziana su X, con costante k = L, che ` minore di 1 per la scelta iniziale di e e e . Quindi, T ha uno ed un solo punto sso u X. Oss. In eetti, la condizione L < 1 non sarebbe necessaria: basta R =]t0 , t0 + [B(x0 , ) , M con M = sup f .R

Queste due condizioni garantivano che loperatore T applicasse da X in s. E ancora vero e ` che T ha uno ed un solo punto sso u X (anche se potrebbe non essere una contrazione rispetto alla ). Esercizio L.39 Nelle ipotesi R ; M , esiste un R tale che la norma |v| su 0 CB (I, R) denita da |v| sup v(t)ettI

rende T : X X una contrazione (v, w X, |T v T w| k|v w| ). Inoltre, la norma | | ` equivalente alla norma , quindi X ` ancora completo con e e la distanza |v w| .


48



Esercizio L.40 Nelle stesse ipotesi si ha che T : X X pu` non essere una contrazione o rispetto a , ma esiste un n N tale che T (n) = T T : X Xn volte

` una contrazione, e in tal caso T deve avere un unico punto sso. Sugg.: provare per e induzione la disuguaglianza n N, t I |T (n) (v)(t) T (n) (w)(t)| Ln |t t0 |n v w n!

,

dove L ` la costante di Lipschitz per f su R rispetto alla seconda variabile. e

Esercizio L.41 Si pu` anche usare questa variante del teorema delle contrazioni: X o completo, T : X X continua e v, w V d T (m) (v), T (m) (w) < .mN

Allora, T ha un unico punto sso. Questa variante si pu` applicare qui grazie alla disugao glianza dellesercizio precedente. Soluzione Mostriamo innanzitutto lunicit`: supponiamo di avere due punti ssi x1 e x2 . a Allora, detta k la distanza tra x1 e x2 , avremo d T (m) (x1 ), T (m) (x2 ) =mN mN

d x1 , x2 =mN

k 0 e una u :]a, b + [ Rn che prolunga u, tale che anche u ` e soluzione: u = f t, u(t) . Dimostrazione Sia v :]b , b + [ Rn una soluzione locale del problema di Cauchy v(b) = x v = f (t, v) Deniamo u :]a, b + [ Rn ponendo u(t) = u(t) t ]a, b[ . v(t) t [b, b + [ .

La curva u ` continua su ]a, b + [, in quanto lo ` in ]a, b[ e in ]b, b + [ perch lo sono e e e u rispettivamente u e v ed ` continua in b perch limtb = x: pi` precisamente, e etb+

lim u(t) = lim v(t) = x; tb+

tb

lim u(t) = lim u(t) = x . tb

Inoltre, u verica lequazione t ]a, b + [\{}. Resta da vericare dunque solo che (b) = f b, u(b) , cio` u e i (b) = fi b, u(b) u 1 i n .

Sia t ]a, b + [\{b}; allora possiamo applicare il teorema di Lagrange tra t e b, ottenendo ui (t) ui (b) = ui () con tra b e t , tb ma ui () = fi , u() , in quanto in vale lequazione. Per la continuit` di f e di u, a questo ` anche uguale a f (b, u(b) + o(1) per t b. e Quinidi (b) = f b, u(b) = f (b, x). u In realt`, ` suciente molto meno per poter prolungare la soluzione u :]a, b[ Rn . Vale a e infatti la seguente Proposizione L.37 Sia R Rn aperto; f : Rn continua e localmente lipschitziak na; sia u :]a, b[ Rn soluzione di u = f (t, u). Supponiamo che (sk )k ]a, b[, sk b, tale che u(sk ) x con (b, x) . Allora, limtb u(t) = x, quindi per la proposizione precedente u si prolunga a una soluzione u :]a, b + [ Rn . Appunti redatti da Giovanni Pizzi

51


L.25. DIPENDENZA CONTINUA DAI DATI INIZIALI

Dimostrazione Basta dimostrare che per ogni altra successione (tk ) ]a, b[ convergente a b si ha u(tk ) x. Se non fosse cos` (tk ) ]a, b[, tk b, ma u(tk ) non converge a x; , rimpiazzando eventualmente (tk ) con una sua sottosuccessione, abbiamo che > 0 tale che k N u(tk ) x . Se ` necessario, prendendo un > 0 pi` piccolo, possiamo supporre che > 0, e u M > 0 tale che R = [b , b] B(, ) e f (t, x) M (t, x) R (per la x continuit` di f ). a Per ogni k N, linsieme Sk = {s [sk , b] u(s) x } ` chiuso (controimmagine e di un chiuso tramite una funzione continua), limitato e non vuoto: infatti tm [sk , b] denitivamente per m e u(tm ) x m; dunque esiste tk min Sk . Allora sk tk < b u(tk ) x s [sk , tk ] si ha u(s) x , cio` s, u(s) R. e Per il teorema del valor medio (e per k grande, tale che b sk b), u(tk ) u(sk ) (tk sk )() ()

supsk stk ()

u (s) = (tk sk )

supsk stk

f s, u(s)

(tk sk ) M 0 , M , e () perch e

dove () vale perch se s [sk , tk ], s, u(s) R e f s, u(s) e sk b e sk tk b, dunque tk b e (tk sk ) 0. Ma u(sk ) x, mentre u(tk ) x , assurdo.

Proposizione L.38 Sia R Rn aperto, f : Rn con le ipotesi di locale lipschitzianit`; sia u :]a, b[ Rn una soluzione massimale di u = f (t, u) e K compatto a ( a < b +). Allora, a , b tali che a < a b < b e t, u(t) K t ]b , b[, t ]a, a [ (il graco di una soluzione massimale abbandona ogni compatto ). Dimostrazione Dimostriamo che b < b tale che t, u(t) K ` analogo). e b < t < b (laltro caso

Se per assurdo non fosse cos` (sk ) b tale che sk , u(sk ) K k N. Rim, piazzando (sk ) con una sua sottosuccessione se necessario, possiamo assumere che sk , u(sk ) converge a un punto (b, x) K. Siamo ora nelle ipotesi della proposizio ne L.37 nella pagina precedente, quindi ]a, b[ non era massimale. Esercizio L.43 Supponiamo di avere f : RRn Rn continua, localmente lipschitziana, con f M . Allora le soluzioni massimali di u = f (t, u), u(0) = x0 sono denite su tutto R. Sugg.: considerare K = [0, T ] B(x0 , M T + 1) e usare la proposizione precedente per dedurre che dom(u) [0, T ].

L.25

Dipendenza continua dai dati iniziali

Sia aperto R Rn , f : Rn continua e localmente lipschitziana nella seconda variabile. Supponiamo che (t0 , x0 ) esista (unica) la soluzione massimale del problema di Cauchy u = f (t, u) , u(t0 ) = x0Lezioni Docente: Pietro Majer

52



che ` denita su un intervallo aperto ] (t0 , x0 ), (t0 , x0 )[ R, dove (t0 , x0 ) < e (t0 , x0 ) +. Possiamo considerare e come funzioni R; inoltre, sia = {(t0 , x0 , t) R (t0 , x0 ) < t < (t0 , x0 )} . e ` la zona fra il graco di e il graco di ed ` sottoinsieme di R. ` inoltre il e e dominio di una mappa : Rn tale che (t0 , x0 , t) = u(t), con u soluzione del problema di Cauchy. Proposizione L.39 (Dipendenza continua) Nelle ipotesi dette sopra, ` aperto in R e Rn R e : Rn ` continua. e Oss. aperto signica stabilit` dellesistenza della soluzione: se (t0 , x0 , t) , allora a (t0 , x0 , t) purch (t0 , x0 ) sia sucientemente vicino a (t0 , x0 ). e Dimostrazione Dimostriamo prima il seguente Lemma L.40 Nelle stesse ipotesi, sia u soluzione del problema di Cauchy, (t0 , x0 ) e sia t1 R, t0 < t1 < (t0 , x0 ). Allora > 0 e C 0 tale che per ogni dato iniziale y0 Rn con x0 y0 , la soluzione massimale del problema di Cauchy v = f (t, v) v(t0 ) = y0 ` denita almeno no al tempo t1 ; inoltre u v e Oss. Il lemma dice in particolare che u(t1 ) v(t1 ) = (t0 , x0 , t1 ) (t0 , y0 , t1 ) C x0 y0 , cio ` localmente lipschitziana nella seconda variabile. e e Dimostrazione (del lemma) Per > 0, sia,[t0 ,t1 ]

C x0 y0 .

T = {(t, x) R Rn t0 t t1 , x u(t) } ; per > 0 sucientemente piccolo, T infatti, basta < inf{ u(t) x ; t0 t t1 ; (t, x) c }, cio` e < min {inf u(t) x , (t, x) c } .t0 tt1

Sia L 0 una costante di Lipschitz per f nella seconda variabile in T , cio` e f (t, x) f (t, y) L x y (t, x) T , (t, y) T

(esiste, con largomento gi` visto, con I B(x0 , r) in luogo di T ). a Sia dunque = eL(t1 t0 ) < , e sia y0 Rn con x0 y0 . Allora (t0 , y0 ) ; sia v la soluzione massimale. Bisogna dimostrare che [t0 , t1 ] dom v e graf(v|[t0 ,t1 ] ) T con v u ,[t0 ,t1 ] C x0 y0 (per qualche C). Sia, ora, t [t0 , t1 ] tale che t, v(t) T e t, v(t) T t ]t0 , t[ (esiste grazie alla propriet` delle soluzioni massimali: uscire denitivamente dai tale t aAppunti redatti da Giovanni Pizzi

53



min{t [t0 , t1 ] compatti ) (t t, v(t) T } chiuso = ). Stimiamo u(t) v(t) con t [t0 , t], cio` v(t) T : et

u(t) v(t) x0 + y0 t0 t

u (s) v (s) ds = f s, u(s) f s, v(s)t0 t

= t0 t

ds ds

f s, u(s) f s, v(s) u(s) v(s) ds .t0

L Sia (t) = cos` t t0

u(s) v(s) ds e a = x0 y0 , dunque (t) a + L(t). Si ha a = (t) L(t) eLt aeLt = eLt L (t) + a Lt e L 0 :

(t)eLt dunque

ovvero (t) +

a L

eLt ` decrescente. Si ha cos` e a Lt a Lt0 a e (t0 ) + e = eLt0 L L L eL(tt0 ) 1 ; in conclusione (L.7) t [t0 , t] ,

(t) + quindi (t) a L

u(t) v(t) = (t) a + L(t) aeL(tt0 ) < eL(tt0 ) < .

In particolare, u(t) v(t) < ; siccome t, v(t) T deve essere t = t1 . Inoltre, da (L.7) segue anche che vu,[t0 ,t1 ]

eL(t1 t0 ) x0 y0 = C x0 y0

che vale per ogni soluzione v con v(t0 ) = y0 e x0 y0 . Si prosegue, ora, provando che ` localmente lipschitziana nella terna (a, x, b) e che e vale (a1 , x1 , b1 ) (a0 , x0 , b0 ) ( x1 x0 + M |a1 a0 |) eL(b0 a0 ) + M |b1 b0 | , grazie alla disuguaglianza triangolare.

Esercizio L.44

Concludere la dimostrazione della proposizione (continuit` di ). a

Soluzione

Si ha infatti

(a1 , x1 , b1 ) (a0 , x0 , b0 ) (a1 , x1 , b1 ) (a1 , x1 , b0 ) + + (a1 , x1 , b0 ) (a0 , x1 , b0 ) + |(a0 , x1 , b0 ) (a0 , x0 , b0 ) .Lezioni Docente: Pietro Majer

54


L.26. EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE LINEARI IN RN

Per il terzo addendo abbiamo gi` la stima (a0 , x1 , b0 ) (a0 , x0 , b0 ) x1 x0 eL(b0 a0 ) a dal lemma precedente; per il primo, poi, usando il teorema del valor medio ed il fatto che sullinsieme R prima denito f (t, x) M , si ha (a1 , x1 , b1 ) (a1 , x1 , b0 ) = u(b1 ) u(b0 ) |b1 b0 | supt]b0 ,b1 [ R

u (t)

|b1 b0 | sup f (t, x) M |b1 b0 | , dove u risolve il problema di Cauchy u = f (t, u) con dato iniziale x1 al tempo a1 . Per il secondo addendo, inne, si usa lidentit` (a1 , x1 , b0 ) = s, (a1 , x1 , s), b0 , dunque scegliendo a in particolare s = a0 e usando stime analoghe a quelle dei due casi precedenti e ricordando che x1 = (a1 , x1 , a1 ) si ottiene (a1 , x1 , b0 ) (a0 , x1 , b0 ) = a0 , (a1 , x1 , a0 ), b0 (a0 , x1 , b0 ) eL(b0 a0 ) (a1 , x1 , a0 ) x1 = eL(b0 a0 ) (a1 , x1 , a0 ) (a1 , x1 , a1 ) eL(b0 a0 ) M |a1 a0 | . Riunendo i risultati n qui trovati, si ottiene la stima cercata.

L.26

Equazioni dierenziali ordinarie lineari in Rnx (t) = A(t)x(t) + b(t) a < t < b + ,

Una equazione dierenziale lineare ordinaria in Rn ` una equazione della forma e dove A(t) ` una matrice n n, dipendente con continuit` da t ]a, b[ e b(t) Rn , continua e a in t: A C 0 ]a, b[; Mnn (R) , b C 0 (]a, b[; Rn ). Quindi, il secondo membro f (t, x) = A(t)x + b(t) ` denito su ]a, b[Rn R Rn e e verica le ipotesi di lipschitzianit` per poter applicare il teorema di Cauchy: f ` continua a e nella prima variabile (t) ed ` ane nella seconda (x), per cui per ogni sottointervallo chiuso e e limitato [a , b ] ]a, b[ si ha f (t, x) f (t, y) = A(t) (x y) A,[a ,b ]

xy

t [a , b ] ]a, b[ :

quindi f ` lipschitziana in x uniformemente in tutti i t [a , b ]. e Perci`, ogni problema di Cauchy o x(t0 ) = x0 x = A(t)x + b(t) ha una ed una sola soluzione locale; inoltre, siccome t [a , b ] si ha f (t, x) L x + C, con L A ,[a ,b ] e C b ,[a ,b ] , si ha che le soluzioni massimali del problema di Cauchy sono denite su tutto lintervallo [a , b ]; essendo [a , b ] ]a, b[ arbitrario, sono denite su tutto ]a, b[. Esercizio L.45 In generale, se f C 0 (]a, b[Rn , Rn ) localmente lipschitziana in x e tale che [a , b ] ]a, b[ esistono costanti L e C per cui f (t, x) L x + C t [a , b ], x Rn , allora le soluzioni massimali sono denite su tutto lintervallo ]a, b[ e il dominio della soluzione generale (t0 , x0 , t) ` I Rn I. Sugg.: usare la caratterizzazione delle soluzioni e massimali. Nel caso delle equazioni dierenziali ordinarie, quindi, la soluzione generale ` denita e (t0 , x0 ) in I Rn e t I.Appunti redatti da Giovanni Pizzi

55



L.26.1

Equazioni lineari omogenee

Si tratta del caso in cui b(t) 0, x (t) = A(t)x(t). La soluzione generale ` lineare rispetto a x0 : e (t0 , x0 + y0 , t) = (t0 , x0 , t) + (t0 , y0 , t) . Infatti, se u(t) = (t0 , x0 , t) e v(t) = (t0 , y0 , t), abbiamo u (t) = A(t)u u(t0 ) = x0 quindi w(t) = u(t) + v(t) risolve w (t) = A(t)w w(t0 ) = x0 + y0 , v (t) = A(t)v v(t0 ) = y0 ,

cio w(t) = (t0 , x0 + y0 , t). e Quindi resta denita una applicazione continua W : I I Mnn (R) ponendo W (t, s)x = (s, x, t) (s, t) I I, x Rn . In altre parole, W (t, s)x ` il valore che assume la soluzione dellequazione u = A(t)u al e tempo t con dato iniziale u(s) = x. La matrice W (t, s) si chiama matrice di transizione associata al sistema lineare u = A(t)u. Dunque, ` denita dallidentit` e a W (t, s)u(s) = u(t) t, s I, u soluzione di u (t) = A(t)u(t) . (L.8)

Oss. W (t, s) ` una matrice le cui colonne sono date da X i = W (t, s)ei , dove ei ` liesimo e e vettore della base canonica di Rn , cio` quella che ha un 1 in iesima posizione e 0 altrove. e Dunque, X i (t) ` soluzione del problema di Cauchy, con dato iniziale ei al tempo iniziale e s: X i (t) = A(t)X i (t) . X i (s) = ei Vediamo alcune propriet`. Sia I =]a, b[: allora vale la seguente a Proposizione L.41 Sia A C 0 (I, Mnn ) e W la corrispondente matrice di transizione. Allora: (i) W (t, t) = I t I t, s I t, r, s I

(ii) 1 W (t, s) = A(t)W (t, s) (iii) W (t, s)W (s, r) = W (t, r) (iv) W (s, t) = W (t, s)1

t, s I t, s I

(v) 2 W (t, s) = W (t, s)A(s)

Dimostrazione La (i) ` ovvia dalla denizione di W ; (ii) anche, derivando (L.8): e 1 W (t, s)u(s) = u (t) = A(t)u(t) = A(t)W (t, s)u(s) ; ci` vale per ogni soluzione dellequazione dierenziale lineare: vale quindi x = u(s) o Rn , dunque 1 W (t, s) = A(t)W (t, s).Lezioni Docente: Pietro Majer

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(iii) segue subito dalla denizione: per ogni soluzione u, abbiamo W (t, s)W (s, r)u(r) = W (t, s)u(s) = u(t) ma anche W (t, r)u(r) = u(t) , quindi W (t, r) = W (t, s)W (s, r). (iv) segue dalla precedente e dalla (i) per r = t: I = W (t, t) = W (t, s)W (s, t) I = W (s, s) = W (s, t)W (t, s) , dunque W (t, s)1 = W (s, t). Inne, per (v) gi` sappiamo che 1 W (t, s) = A(t)W (t, s) continue in I I. Daltra a parte, per (iv) W ` derivabile anche nella seconda variabile: s W (t, s) ` compoe e sizione di s W (s, t) e dellinversione di matrici L L1 (che ` dierenziabile); e derivando la relazione del punto (iii) in s, otteniamo 0= W (t, r) = W (t, s)W (s, r) = W (t, s) W (s, r)+ s s s + W (t, s) W (s, r) = 2 W (t, s) W (s, r) + W (t, s)A(s)W (s, r) . s

Se ora considero s = r, ottengo 0 = 2 W (t, s) + W (t, s)A(s) . Oppure: vedendo W (t, s) come composizione W (s, t) e ricordando che se I(L) = L1 , vale DI(L)[H] = L1 HL1 (vedi proposizione L.20 a pagina 33), otteniamo 2 W (t, s) = I W (s, t) = DI W (s, t) s W (s, t) = s1

= W (s, t)1 A(s)W (s, t)W (s, t)1 = W (t, s)A(s) , che ` una dimostrazione alternativa della (v) . e Come conseguenza, siccome 1 W (t, s) = A(t)W (t, s) e 2 W (t, s) = W (t, s)A(s) (cio` W ha 1 W e 2 W entrambe continue in I I), per il teorema del dierenziale totale e W C 1 (I I; Mnn ). Il determinante di W (t, s), w(t, s) = det W (t, s) (che ` > 0 per il teorema degli zeri) e verica una semplice identit` (detta equazione di Liouville): a Proposizione L.42 1 w(t, s) = tr A(t) w(t, s) w(s, s) = 1 Dimostrazione t, s I, tale che t + I, vale (usando la proposizione precedente) W (t + , s) = W (t + , t)W (t, s) = W (t, t) + 1 W (t, t) + o() W (t, s) = = I + A(t) + o() W (t, s) = I + A(t) W (t, s) + o() .Appunti redatti da Giovanni Pizzi

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Ricordando lo sviluppo del determinante det(I + H) = 1 + tr(H) + o(H) , abbiamo w(t + , s) = det I + A(t) W (t, s) + o() = det

I + A(t) W (t, s) + o() =

= 1 + tr A(t) det W (t, s) + o() = w(t, s) + tr A(t)w(t, s) + o() , dove il passaggio segnato da un asterisco ` possibile perch la funzione det ` dierene e e ziabile.t

Dunque, 1 w(t, s) = tr A(t)w(t, s), da cui det W (t, s) = exps

tr A( ) d .

L.26.2

Equazioni lineari non omogenee

Proposizione L.43 Siano A C 0 I, Mnn (R) , b C 0 (I, Rn ), s I, u0 Rn . Allora la soluzione del problema di Cauchy u (t) = A(t)u(t) + b(t) u(s) = u0 ` e u(t) = W (t, s)u0 +s t

W (t, )b( ) d

t I

dove W ` la matrice di transizione associata ad A. e Dimostrazione (1 modo: verica diretta) u(s) = W (s, s)u0 +s

Si has

( ) = u0 .

Daltra parte,t

u (t) = A(t)W (t, s)u0 + W (t, )b( ) = A(t)W (t, s)u0 + b(t) + A(t)

+ =tt

A(t)W (t, )b( ) d =s

W (t, )b( ) d =s

t

= A(t) W (t, s)u0 +s

W (t, )b( ) d + b(t) = A(t)u(t) + b(t) .

Esercizio L.46

Giusticare la derivazione sotto il segno di integrale.

Dimostrazione (2 modo: variazione della costante arbitraria) Lidea della dimostrazione sta nel cercare una soluzione della forma u(t) = W (t, s)y(t), con y(t) unopportuna funzione C 1 (I, Rn ). Deve essere u(s) = W (s, s)y(s) = y(s) = u0 ;Lezioni Docente: Pietro Majer

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inoltre, u (t) = t W (t, s) y(t) + W (t, s)y (t) = A(t)W (t, s)y(t) + W (t, s)y (t) e si vuole che questo sia uguale a A(t)u(t) + b(t) = A(t)W (t, s)y(t) + b(t). Dunque, u(t) = W (t, s)y(s) ` soluzione del problema di Cauchy purch e e y(s) = u0 W (t, s)y (t) = b(t) Ricordando che W (t, s)1 = W (s, t), abbiamo y (t) = W (s, t)b(t) y(s) = u0 quindi, y(t) = u0 +t s

.

;

W (s, )b( ) d soddisfa le richieste e rende u soluzione. Dunque,t

u(t) = W (t, s)y(t) = W (t, s)u0 +s

W (t, )b( ) d

perch W (t, s)W (s, ) = W (t, ). e Proposizione L.44 (Sviluppo in serie per W (t, s)) Sia A C 0 I, Mnn (R) ; allora la matrice di transizione associata ad A ammette lo sviluppo in serie

W (t, s) =k=0

Vk (t, s)

con

V0 (t, s) = I Vk+1 (t, s) =s

t

A( )Vk (, s) d

k0

.

Inoltre, lo sviluppo converge uniformemente sui compatti di I I (anzi normalmente). Dimostrazione La matrice W soddisfa le relazioni W (s, s) = I (s I) e 1 W (t, s) = A(t)W (t, s) o, equivalentemente:t

W (t, s) = I +s

A( )W (, s) d .

(L.9)

Qui si potrebbe applicare il teorema delle contrazioni (loperatoret

T (W ) = I +s

A( )W (, s) d

` infatti lineare) e provare lesistenza di W , da cui si ottiene la teoria delle equazioni e dierenziali ordinarie lineari in modo autonomo dalla teoria vista. Iterando lidentit` (L.9), si

Analisi in più variabili 1: primo semestre

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