ANALISI FATTORIALE. Cosè lanalisi fattoriale? Statistica descrittiva Rappresentazione delle...

ANALISI FATTORIALEANALISI FATTORIALE

Cos’è l’analisi Cos’è l’analisi fattoriale?fattoriale?

Statistica descrittivaStatistica descrittiva

Rappresentazione delle Rappresentazione delle variabili in studio.variabili in studio.

Statistica confermativaStatistica confermativavsvs

Confermare, dimostrare Confermare, dimostrare un’ipotesi di partenza.un’ipotesi di partenza.

- H di partenza- H di partenza

- Variabili dipendenti- Variabili dipendenti

- Fattori- Fattori

- Strumenti di raccolta - Strumenti di raccolta datidati

- Analisi dei dati- Analisi dei dati

- Eventuale falsificazione - Eventuale falsificazione dell’H0dell’H0

Aumentare la quantità di Aumentare la quantità di informazioni relative ai informazioni relative ai dati raccolti ed alle dati raccolti ed alle variabili considerate.variabili considerate.

Rappresentazione più Rappresentazione più efficace ed utile possibile efficace ed utile possibile dei dati.dei dati.

Semplificazione dei dati Semplificazione dei dati per migliorare la loro per migliorare la loro interpretazione.interpretazione.

Nasce in ambito medico-psicologico.Nasce in ambito medico-psicologico.

E’ una procedura matematica.E’ una procedura matematica.

Cos’è l’analisi Cos’è l’analisi fattoriale?fattoriale?

Utilizzata soprattutto per validare i questionari Utilizzata soprattutto per validare i questionari perché fornisce informazioni relative alla struttura perché fornisce informazioni relative alla struttura dei dati.dei dati.

Spesso viene sovrastimata da molti autori.Spesso viene sovrastimata da molti autori.

Non ci permette di arrivare alla conferma di un’H di Non ci permette di arrivare alla conferma di un’H di partenza ma è una tecnica vantaggiosa, per questo partenza ma è una tecnica vantaggiosa, per questo ampiamente usata, che ci fornisce informazioni ampiamente usata, che ci fornisce informazioni difficili da ottenere in altro modo.difficili da ottenere in altro modo.

Come lavora l’Analisi Come lavora l’Analisi FattorialeFattoriale

Variabili di Variabili di partenza partenza

Operazioni Operazioni matematichematematiche

Quantitative, gaussiane, Quantitative, gaussiane, correlate fra loro che vengono correlate fra loro che vengono analizzate allo stesso livello.analizzate allo stesso livello.

Matrice di correlazioneMatrice di correlazione

Estrazione di fattori ortogonaliEstrazione di fattori ortogonali

RotazioneRotazione

Scopi principaliScopi principali

2.2. Trasformazione delle varabili in studio in Trasformazione delle varabili in studio in variabili indipendenti.variabili indipendenti.

1.1. Riduzione del numero di variabili in studio (ma Riduzione del numero di variabili in studio (ma non dell’informazione).non dell’informazione).

3.3. Individuazione delle sorgenti delle variabili. Individuazione delle sorgenti delle variabili.

4.4. Assegnazione di significato reale a tali variabili. Assegnazione di significato reale a tali variabili.

Ruolo Ruolo indiscusso:indiscusso:

Vantaggi:Vantaggi:

Critiche:Critiche:

-- Riduzione delle variabili ma non Riduzione delle variabili ma non dell’informazione utile.dell’informazione utile.

Validazione di questionari e riduzione del Validazione di questionari e riduzione del numero di variabili in studio, non correlate tra numero di variabili in studio, non correlate tra loro.loro.

Trova variabili artificiali, aleatorie, è possibile rintracciarne un Trova variabili artificiali, aleatorie, è possibile rintracciarne un numero infinito.numero infinito.

Sono indipendenti tra loro, per questo non riflettono la realtà Sono indipendenti tra loro, per questo non riflettono la realtà psicologica dove è difficile trovare fenomeni non correlati.psicologica dove è difficile trovare fenomeni non correlati.

-- Creazione di fattori che rappresentano la stessa Creazione di fattori che rappresentano la stessa realtà ma che sono indipendenti fra loro.realtà ma che sono indipendenti fra loro.

-- Non vengono considerate le differenze fra le Non vengono considerate le differenze fra le diverse variabili.diverse variabili.

I punteggi grezzi vengono trasformati in punti z, ovvero I punteggi grezzi vengono trasformati in punti z, ovvero vengono standardizzativengono standardizzati

Standardizzazione dei Standardizzazione dei dati raccoltidati raccolti

x

Z

Semplifica i conti.Semplifica i conti.

Permette il confronto di punteggi appartenenti a diversi Permette il confronto di punteggi appartenenti a diversi questionari.questionari.

Una variabili gaussiana è detta Una variabili gaussiana è detta variabile Z quando ha:variabile Z quando ha:

1;0 S )1;0( N

Cos’è la varianza? Cos’è la varianza?

Può essere vista come la quantità d’informazione Può essere vista come la quantità d’informazione trasportata da ogni parametro.trasportata da ogni parametro.

La varianza complessiva risulta ora uguale al La varianza complessiva risulta ora uguale al numero totale delle variabili considerate.numero totale delle variabili considerate.

Maggiore è la variabilità e maggiore è Maggiore è la variabilità e maggiore è l’informazione.l’informazione.

Standardizzazione dei Standardizzazione dei dati raccoltidati raccolti

I OPERAZIONE: Creazione della I OPERAZIONE: Creazione della Matrice di CorrelazioneMatrice di Correlazione

La prima matrice di correlazione estratta dall’analisi è la matrice La prima matrice di correlazione estratta dall’analisi è la matrice di correlazione R.di correlazione R.

Due variabili sono statisticamente correlate fra loro quando Due variabili sono statisticamente correlate fra loro quando al variare di una anche l’altra varia.al variare di una anche l’altra varia.

Avremo un numero di nuove variabili, fattori, corrispondente al Avremo un numero di nuove variabili, fattori, corrispondente al numero delle variabili iniziali, item.numero delle variabili iniziali, item.

Mostra tutte le relazioni possibili tra le variabili.Mostra tutte le relazioni possibili tra le variabili.

Le variabili vengono correlate a due a due.Le variabili vengono correlate a due a due.

Avremo una varianza complessiva uguale al numero delle Avremo una varianza complessiva uguale al numero delle variabili iniziali, perché ogni item ha varianza 1 e media 0.variabili iniziali, perché ogni item ha varianza 1 e media 0.

II OPERAZIONE: Estrazione II OPERAZIONE: Estrazione dei Fattoridei Fattori

Metodi di estrazione:Metodi di estrazione:

- Metodo delle componenti principaliMetodo delle componenti principali

- Metodo della massima verosimiglianzaMetodo della massima verosimiglianza

- Metodo dei minimi quadratiMetodo dei minimi quadrati

- … …..

Metodo delle componenti principaliMetodo delle componenti principaliTale metodo permette di creare variabili artificiali, dette Tale metodo permette di creare variabili artificiali, dette fattori, fra loro ortogonali (correlazione = 0).fattori, fra loro ortogonali (correlazione = 0).

I fattori sono combinazioni lineari delle variabili sperimentali, si I fattori sono combinazioni lineari delle variabili sperimentali, si ottengono cioè dalla somma dei prodotti delle singole variabili ottengono cioè dalla somma dei prodotti delle singole variabili sperimentali, o meglio dei loro valori sperimentali, o meglio dei loro valori zz, per gli opportuni coefficienti. Il , per gli opportuni coefficienti. Il valore e il segno di questi coefficienti indicano quanto e come il valore e il segno di questi coefficienti indicano quanto e come il singolo fattore sia legato alle diverse variabili sperimentali. singolo fattore sia legato alle diverse variabili sperimentali.

I fattori non hanno più varianza = 1I fattori non hanno più varianza = 1

Utilizza un processo a cascata per cui il primo fattore spiega il Utilizza un processo a cascata per cui il primo fattore spiega il massimo della varianza, ed è il più importante.massimo della varianza, ed è il più importante.

Si avvale del calcolo degli AUTOVALORI e degli AUTOVETTORI Si avvale del calcolo degli AUTOVALORI e degli AUTOVETTORI dalla matrice di correlazione.dalla matrice di correlazione.

Cosa sono gli AUTOVALORI e gli Cosa sono gli AUTOVALORI e gli AUTOVETTORI?AUTOVETTORI?

Vengono calcolati direttamente dalla matrice di Vengono calcolati direttamente dalla matrice di correlazione R attraverso un processo algebrico.correlazione R attraverso un processo algebrico.

R x AUTOVETTORE = AUTOVETTORE x AUTOVALORER x AUTOVETTORE = AUTOVETTORE x AUTOVALORE

AUTOVETTORE x R dev’essere uguale a se stesso a AUTOVETTORE x R dev’essere uguale a se stesso a meno di una costante che si chiama AUTOVALORE.meno di una costante che si chiama AUTOVALORE.

Autovalori = la quantità di varianza di un fattore, la Autovalori = la quantità di varianza di un fattore, la comunalità.comunalità.

Autovettori = sono i fattori o componenti.Autovettori = sono i fattori o componenti.

Come decidere quanti Come decidere quanti fattori tenere?fattori tenere?

1.1. Posso decidere un numero preciso da tenere Posso decidere un numero preciso da tenere (sottoscale).(sottoscale).

2.2. Posso decidere la percentuale di informazione Posso decidere la percentuale di informazione spiegata che voglio tenere (60-65%).spiegata che voglio tenere (60-65%).

3.3. Tengo solo i fattori con varianza maggiore o Tengo solo i fattori con varianza maggiore o uguale ad 1.uguale ad 1.

4.4. Guardo lo scree plots. Guardo lo scree plots.

A cosa mi servono le A cosa mi servono le nuove variabili?nuove variabili?

-- Compattazione dei dati. Compattazione dei dati.

-- Tengo un numero inferiore di dati, perdo una parte Tengo un numero inferiore di dati, perdo una parte accettabile d’informazione ed ho una interpretazione delle accettabile d’informazione ed ho una interpretazione delle variabili in studio.variabili in studio.

-- Guardo il legame tra fattori e variabili di partenza. Guardo il legame tra fattori e variabili di partenza.

-- Osservando la matrice Osservando la matrice per colonna per colonna posso indagare quanto posso indagare quanto i singoli fattori sono correlati alle variabili di partenza.i singoli fattori sono correlati alle variabili di partenza.

-- Osservando la matrice Osservando la matrice per riga per riga è possibile decidere quali è possibile decidere quali sono gli item da scartare in relazione alla loro correlazione sono gli item da scartare in relazione alla loro correlazione con i fattori (quelli meno correlati).con i fattori (quelli meno correlati).

E’ possibile calcolare il valore ad ogni fattore soggetto E’ possibile calcolare il valore ad ogni fattore soggetto per soggetto. per soggetto.

Punteggio grezzo Punteggio grezzo del soggetto 1 del soggetto 1 all’item 1all’item 1

Coefficiente di Coefficiente di correlazione tra correlazione tra item 1 e fattore 1item 1 e fattore 1

Faccio la stessa cosa con tutti gli item (1, 2, 3, …), Faccio la stessa cosa con tutti gli item (1, 2, 3, …), sommo tutti i prodotti ed ottengo il punteggio del sommo tutti i prodotti ed ottengo il punteggio del

soggetto 1 al fattore 1.soggetto 1 al fattore 1.

XX

Tali punteggi saranno variabili Z con media = 0 e Tali punteggi saranno variabili Z con media = 0 e varianza = 1.varianza = 1.

Metodo dei minimi quadratiMetodo dei minimi quadrati

Minimizza la somma dei quadrati Minimizza la somma dei quadrati degli scarti fra i dati osservati e la degli scarti fra i dati osservati e la matrice di correlazione prodotta matrice di correlazione prodotta dal modello.dal modello.

Metodo della Massima VerosimiglianzaMetodo della Massima Verosimiglianza

Questa tecnica affronta la casualità in termini inversi Questa tecnica affronta la casualità in termini inversi rispetto alla probabilità:rispetto alla probabilità:

Lavora per approssimazioni successive e stima una Lavora per approssimazioni successive e stima una matrice di correlazione e un’insieme di varianze che matrice di correlazione e un’insieme di varianze che rappresentano i dati sperimentali, eliminando la rappresentano i dati sperimentali, eliminando la ridondanza con la minima dispersione ridondanza con la minima dispersione d’informazione.d’informazione.

parte dai dati sperimentali e si chiede che parte dai dati sperimentali e si chiede che probabilità c’è di avere una distribuzione del probabilità c’è di avere una distribuzione del

fenomeno di un certo tipo.fenomeno di un certo tipo.

Lo scopo principale è quello di rappresentare al Lo scopo principale è quello di rappresentare al meglio la realtà.meglio la realtà.

L’Analisi Fattoriale è utilizzata per studiare modelli L’Analisi Fattoriale è utilizzata per studiare modelli che rappresentino al meglio la realtà, caratterizzati che rappresentino al meglio la realtà, caratterizzati da legami tra item e fattori, in altre parole modelli a da legami tra item e fattori, in altre parole modelli a variabili artificiali, latenti.variabili artificiali, latenti.

La tecnica della Massima Verosimiglianza ci offre la La tecnica della Massima Verosimiglianza ci offre la miglior rappresentazione della realtà possibile e ci miglior rappresentazione della realtà possibile e ci da anche la misura di quanto bene riesca a da anche la misura di quanto bene riesca a rappresentarla!rappresentarla!


Tale tecnica parte dall’estrazione dei fattori delle Tale tecnica parte dall’estrazione dei fattori delle Componenti Principali.Componenti Principali.


Vengono modificati i fattori per rappresentare al Vengono modificati i fattori per rappresentare al meglio gli item sperimentali.meglio gli item sperimentali.

Aumenta e diminuisce la varianza dei fattori e Aumenta e diminuisce la varianza dei fattori e contemporaneamente vengono modificati anche gli contemporaneamente vengono modificati anche gli altri fattori finchè non trova la combinazione di altri fattori finchè non trova la combinazione di fattori, varianze, che rappresentano al meglio la fattori, varianze, che rappresentano al meglio la realtà.realtà.

Ogni volta che si fa una modifica viene applicato il Ogni volta che si fa una modifica viene applicato il test del Chi2 per misurare la test del Chi2 per misurare la bontàbontà dell’adattamento dell’adattamento dei dati. La significatività indica che la modifica dei dati. La significatività indica che la modifica apportata è significativamente migliore rispetto ai apportata è significativamente migliore rispetto ai fattori delle Componenti Principali (e della modifica fattori delle Componenti Principali (e della modifica precedente).precedente).

Il valore reale (dati grezzi) è differente dal valore Il valore reale (dati grezzi) è differente dal valore dei fattori (calcolato), così il Chi2 confronta le due dei fattori (calcolato), così il Chi2 confronta le due situazioni relative agli stessi dati e ci dice quanto è situazioni relative agli stessi dati e ci dice quanto è reale la rappresentazionereale la rappresentazione attuale. attuale.

Quando fermarsi?Quando fermarsi?


Ottengo anche in questo caso delle variabili ortogonali ma Ottengo anche in questo caso delle variabili ortogonali ma non avrò il primo fattore con la maggior quantità non avrò il primo fattore con la maggior quantità d’informazione spiegata e i fattori successivi con varianza d’informazione spiegata e i fattori successivi con varianza man mano sempre minore.man mano sempre minore.

Per creare fattori non ridondanti non è necessario creare un Per creare fattori non ridondanti non è necessario creare un fattore principale con effetto a cascata sulla quantità di fattore principale con effetto a cascata sulla quantità di varianza degli altri, anzi la maggior parte dei questionari varianza degli altri, anzi la maggior parte dei questionari distribuisce in modo equo l’informazione fra i diversi item..distribuisce in modo equo l’informazione fra i diversi item..


C’è una distribuzione equa, più simile possibile C’è una distribuzione equa, più simile possibile alla realtà dell’informazione.alla realtà dell’informazione.

Componenti Componenti PrincipaliPrincipali

Massima Massima VerosimiglianVerosimiglianzaza Calcola i fattori attraverso Calcola i fattori attraverso

una formula diretta.una formula diretta. Offre la miglior Offre la miglior

condensazione di condensazione di varianza,con la minima varianza,con la minima dispersione d’informazione; dispersione d’informazione; questo non significa che questo non significa che rappresenta la realtà nel rappresenta la realtà nel miglior modo.miglior modo.

Al variare del numero di Al variare del numero di fattori da tenere l’ analisi fattori da tenere l’ analisi non cambianon cambia

Usa la tecnica delle Usa la tecnica delle approssimazioni approssimazioni successive.successive.

Trova i fattori che meglio Trova i fattori che meglio rappresentano la realtà.rappresentano la realtà.

Non lavora con troppe o Non lavora con troppe o troppo poche variabili.troppo poche variabili.

Se vario il numero di fattori Se vario il numero di fattori che sono interessato a che sono interessato a tenere devo rifare l’analisi.tenere devo rifare l’analisi.

Maggiore sarà il numero delle variabili di partenza e Maggiore sarà il numero delle variabili di partenza e maggiore sarà la differenza dei risultati delle due analisi.maggiore sarà la differenza dei risultati delle due analisi.

III Operazione: Rotazione dei III Operazione: Rotazione dei fattorifattori

Modifica la relazione esistente tra item e fattori Modifica la relazione esistente tra item e fattori attraverso una attraverso una rotazionerotazione dei fattori. dei fattori.

Con la rotazione operiamo una combinazione Con la rotazione operiamo una combinazione lineare dei fattori di partenza in modo da modificare lineare dei fattori di partenza in modo da modificare la loro relazione con gli item.la loro relazione con gli item.

Tali fattori possono rimanere fra loro ortogonali Tali fattori possono rimanere fra loro ortogonali oppure divenire non ortogonali.oppure divenire non ortogonali.

Nasce principalmente da due critiche:Nasce principalmente da due critiche:

La rotazione rende i fattori maggiormente interpretabili.La rotazione rende i fattori maggiormente interpretabili.

III Operazione: Rotazione III Operazione: Rotazione dei fattoridei fattori

1.1. Vengono scoperte variabili latenti indipendenti.Vengono scoperte variabili latenti indipendenti.

2. Vengono dati dei 2. Vengono dati dei nominomi ai fattori. ai fattori.

Una diversa interpretazione dei fattori, e del loro Una diversa interpretazione dei fattori, e del loro legame con gli item, modifica l’interpretazione e il legame con gli item, modifica l’interpretazione e il significato della ricerca!significato della ricerca!

Mentre la rotazione ORTOGONALE mantiene Mentre la rotazione ORTOGONALE mantiene l’indipendenza dei fattori, la rotazione OBLIQUA rende l’indipendenza dei fattori, la rotazione OBLIQUA rende i fattori correlati fra loro.i fattori correlati fra loro.

Le rotazioni sono meglio interpretabili attraverso un Le rotazioni sono meglio interpretabili attraverso un grafico cartesiano dove gli assi rappresentano i fattori grafico cartesiano dove gli assi rappresentano i fattori e le coordinate sono date dalle correlazioni della e le coordinate sono date dalle correlazioni della matrice R.matrice R.

La rotazione può essere ORTOGONALE oppure La rotazione può essere ORTOGONALE oppure OBLIQUA.OBLIQUA.


Con la rotazione ORTOGONALE ruoto rigidamente gli Con la rotazione ORTOGONALE ruoto rigidamente gli assi cartesiani ed essi rimangono ortogonali e la assi cartesiani ed essi rimangono ortogonali e la somma totale delle varianze rimane uguale al totale somma totale delle varianze rimane uguale al totale della variabili di partenza.della variabili di partenza.


Con la rotazione OBLIQUA gli assi cartesiani non Con la rotazione OBLIQUA gli assi cartesiani non sono più perpendicolari fra loro ma obliqui, quindi non sono più perpendicolari fra loro ma obliqui, quindi non sono più indipendenti ma correlati e la somma totale sono più indipendenti ma correlati e la somma totale delle varianze non corrisponderà più al numero totale delle varianze non corrisponderà più al numero totale delle variabili di partenza.delle variabili di partenza.

Varimax MethodVarimax Method..Effettua una rotazione ortogonale che minimizza il Effettua una rotazione ortogonale che minimizza il numero di variabili che sono fortemente correlate numero di variabili che sono fortemente correlate con ogni fattore. Il peso dei fattori è così distribuito con ogni fattore. Il peso dei fattori è così distribuito più uniformemente e l’interpretazione dei fattori è più uniformemente e l’interpretazione dei fattori è semplificata. semplificata.

Tecniche di Tecniche di rotazione:rotazione:

Quartimax MethodQuartimax Method..Ha un funzionamento opposto a quello della Ha un funzionamento opposto a quello della Varimax. Minimizza il numero di fattori necessari a Varimax. Minimizza il numero di fattori necessari a spiegare ciascuna variabile. Semplifica la spiegare ciascuna variabile. Semplifica la spiegazione delle variabili osservate.spiegazione delle variabili osservate.

Equamax MethodEquamax Method. . È una combinazione fra il varimax e il quartimax.È una combinazione fra il varimax e il quartimax.

Oblimin Rotation.Oblimin Rotation.RRotazione obliqua che cerca di adattare i fattori agli otazione obliqua che cerca di adattare i fattori agli item e li correla.item e li correla.

Promax RotationPromax Rotation..Rotazione obliqua. E’ un metodo più diretto che cerca Rotazione obliqua. E’ un metodo più diretto che cerca la rotazione che meglio si adatta a rappresentare i la rotazione che meglio si adatta a rappresentare i fattori con un singolo item e lo fa direttamente.fattori con un singolo item e lo fa direttamente.

Tecniche di Tecniche di rotazione:rotazione:

Ultima fase: Utilizzo dei Ultima fase: Utilizzo dei punteggi fattoriali per punteggi fattoriali per

ulteriori analisiulteriori analisi

Attraverso la correlazione fra i punteggi dei fattori Attraverso la correlazione fra i punteggi dei fattori calcolati su ciascun caso è possibile verificare la calcolati su ciascun caso è possibile verificare la correlazione fra i fattori e le sottoscale.correlazione fra i fattori e le sottoscale.

Grazie per Grazie per l’attenzionel’attenzione

ANALISI FATTORIALE. Cosè lanalisi fattoriale? Statistica descrittiva Rappresentazione delle...

Documents

Transcript of ANALISI FATTORIALE. Cosè lanalisi fattoriale? Statistica descrittiva Rappresentazione delle...