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<Ottobre 2011> <MADE expo> <Milano>

Analisi e verifica di strutture esistenti con Midas gen



La procedura per la valutazione della vulnerabilità di una struttura soggetta ai carichi statici e sismici è stata approfondita in molte pubblicazioni da quando le più recenti normative hanno focalizzato la necessità di valutare la vulnerabilità sismica delle strutture mediante classificazione delle strutture per priorità, valutazione del livello di conoscenza e del livello di intervento.

L’ingegnere strutturista affronta quotidianamente la modellazione strutturale di edifici nuovi costituiti da materiali classici quali acciaio, cemento armato e legno. Per tali materiali, in fase di progetto, sono sufficienti le ipotesi di linearità elastica.

Le direttive odierne per trattare le strutture esistenti in muratura sono date dall’Ordinanza 3274 (e successive mod.), dalle Linee Guida per il patrimonio culturale e dall’Eurocodice 6. Il presente intervento intende focalizzare l’aspetto della modellazione numerica con software di calcolo, delegando in altra sede il problema dei livelli di conoscenza, gli obblighi di intervento, i coefficienti di sicurezza.

Introduzione



Normalmente un approccio “a telaio”, con eventuali elementi bidimensionali (“shell”) per muri e solette, è sufficiente. L’analisi sismica principale è l’analisi dinamica lineare (analisi modale con spettro di risposta). L’analisi di murature esistenti richiede un approccio diverso per il quale ènecessaria una diversa sensibilità da parte dello strutturista, non ultimo il fatto che la struttura èesistente e il nostro modello numerico deve superare l’esame di simulare quello che già esiste nella realtà.

Oggi tale problema è affrontabile grazie agli strumenti software di calcolo come MIDAS e ad una buona letteratura (referenze nel settore sono, tra i molti, Pande, Lourenço, Rots, Tassios, Tomazevic, Faella, Modena, Lagomarsino, Magenes) che ha affrontato casi pratici. Anche le normative attuali guidano l’ingegnere fornendo concreti suggerimenti.

Introduzione



Non deve spaventare la carenza di informazioni rispetto alla progettazione di nuovi edifici.

Aspetti salienti dell’analisi sono:

-dati geometrici scarsi o mancanti;

-inesistenti informazioni sul nucleo delle strutture massicce;

-la caratterizzazione meccanica dei materiali usati è difficile e costosa;

-vasta variabilità delle proprietà meccaniche dei materiali influenzata dalla artigianalità della costruzione e dall’uso di materiali “naturali”;

-cambi significativi nei nuclei e nelle costituzioni degli elementi strutturali a causa della lunga durata dei periodi di edificazione;

-sequenza di costruzione sconosciuta;

-danni esistenti nella struttura sconosciuti;

-regolamenti e leggi spesso non applicabili.

Introduzione



La scelta della metodologia di analisi deve essere operata sulla base di:

-capacità e sensibilità dell’ingegnere analista (da quello dello studio professionale fino a quello dell’Ente di Ricerca);

-tempo disponibile (da qualche minuto a più ore di elaborazione);

-budget a disposizione.

Ci si deve aspettare che differenti metodi di analisi diano differenti risultati anche se questo non èmotivo sufficiente per preferire un metodo ad un altro. Piuttosto gli aspetti che devono giustificare la scelta di un metodo sono:

-adeguatezza tra lo strumento software di analisi e le informazioni a disposizione sulla muratura;

-strumenti software a disposizione dell’ingegnere (l’”engineering” disponibile sia “compatibile” con lo strumento software usato);

-costi, risorse finanziarie disponibili e requisiti di tempo.

Introduzione



L’analisi non-lineare non è uno strumento per tutte le strutture e per tutti gli ingegneri, tuttavia è di regola necessaria per comprendere il comportamento ed il danneggiamento di strutture storiche complesse, richiedendo altresì una consulenza ingegneristica specializzata. Si preferisca la semplicitàalla complessità e si adotti uno strumento software che possa essere validato e compreso dall’utente.

La muratura, sia un materiale utilizzato per secoli nelle costruzioni, è una composizione estremamente complessa qualora la si voglia modellare numericamente. Si tratta infatti di un materiale composito le cui caratteristiche meccaniche, che sono influenzate da un vasto numero di fattori, generalmente non sono ben note.

Nella pratica ingegneristica molti progettisti adottano analisi elastiche per valutare il comportamento strutturale delle murature, inserendo valori arbitrari per i parametri elastici e di resistenza. Tali analisi danno risultati errati e portano a conclusioni altrettanto errate: non sono in generale applicabili alle murature le semplificazioni ipotizzate nel calcolo di strutture in acciaio e cemento armato.

Introduzione



MIDAS/Gen e MIDAS/Civil affrontano il tema dell’analisi strutturale delle murature in diversi modi che permettono, a vario titolo, di discostarsi dall’analisi meramente elastica lineare, con gradi di accuratezza via via migliori in funzione dei dati sperimentali a disposizione e con una utilizzabilità di livello ingegneristico, pur essendo ampiamente apprezzati a livello accademico.

E’ utile premettere che la ricerca nel campo delle strutture murarie è tuttora molto attiva e che molte università preferiscono ancora non sbilanciarsi circa il prevalere di un metodo di analisi rispetto ad un altro.

L’argomento al centro dell’attenzione negli ultimi anni è la valutazione di vulnerabilità sismica delle strutture murarie. Vogliamo citare alcun passi di un interessante lavoro di Faella et al. (2007) che ci pare chiaro nel tratteggiare il quadro dei metodi di analisi numerica in questo settore.

Introduzione



«La sicurezza sismica delle costruzioni in muratura può essere valutata sia utilizzando modelli ad elementi finiti, oramai consolidati se supportati da adeguati dati sperimentali sui materiali, sia impiegando modelli semplificati (Lourenço 2002, Penna et al. 2004, Lagomarsino et al. 2004, Magenes2006).

La maggior parte di questi ultimi opera nell’ambito della macromodellazione e consente l’analisi di intere costruzioni con un onere computazionale ridotto, sebbene a scapito di una lettura precisa dei meccanismi di deformazione e di danneggiamento della struttura muraria.»

Introduzione



Risale al 1978 la proposta di Tomazevic concernente il metodo POR, messo a punto per intervenire sulle costruzioni murarie della Slovenia a seguito del terremoto del 1976, e basato sull’impiego di un modello ad aste.

Come è noto, il metodo ha validità solo per la tipologia di strutture per le quali era stato ideato (edifici tozzi con pareti poco forate, fasce di piano rigide e resistenti, significativi carichi verticali) ed opera sotto numerosissime ipotesi semplificative.

Nonostante questi limiti, il metodo è stato assorbito da alcune normative nazionali ed è stato a lungo lo strumento più utilizzato, talvolta impropriamente, per la valutazione della sicurezza a collasso delle strutture murarie

Introduzione



Molti dei metodi elaborati dopo il POR lo hanno assunto come punto di partenza, cercando di eliminarne alcuni punti deboli.

Nel 1982 Braga e Dolce rimuovono l’ipotesi di fasce infinitamente resistenti, portano in conto la variazione della forza assiale nei maschi ed assumono che questi ultimi possano collassare anche per pressoflessione (Braga et al. 1982).

La schematizzazione “a telaio” delle pareti murarie è successivamente ripresa da Magenes, il quale, per riprodurre l’elevata rigidezza e resistenza dei pannelli di intersezione tra maschi e fasce, propone di introdurre tratti rigidi alle estremità delle aste (Magenes 2000, Magenes et al. 2000).

Per i maschi murari propone di assumere un comportamento elastoplastico con soglia di resistenza corrispondente ad una delle modalità di collasso ipotizzate, mentre per lo spostamento ultimo riprende la proposta contenuta in (Magenes et al. 1997) basata su di un limite in termini di deformazione angolare.

Nell’estensione a strutture tridimensionali, infine, la continuità di due pareti ortogonali è riprodotta attraverso ulteriori bracci rigidi posti alla quota degli impalcati.

Introduzione



Modelli ad aste di quest’ultimo tipo si stanno sempre più diffondendo (Kappos et al. 2002, Salonikios etal. 2003), sebbene la maggior parte delle assunzioni di base sia tradizionalmente relativa al calcolo sismico di strutture in altri materiali.

La metodologia è quindi inevitabilmente affetta da diverse approssimazioni, di cui sembra necessario valutare la portata.

Tali approssimazioni sono di natura topologica e meccanica nella modellazione degli elementi murari (maschi, fasce di piano, elementi cordolo, ecc.) e comportano incertezze nella simulazione della tridimensionalità della costruzione muraria (connessioni tra pareti e tra pareti e solai, comportamento fuori piano delle pareti, comportamento degli impalcati e della copertura).

L’estensione spaziale del modello richiederebbe inoltre una formulazione tridimensionale del comportamento degli elementi murari, mentre, invece, si assumono comportamenti indipendenti per ciascun piano di inflessione, modificando al più le corrispondenti lunghezze deformabili dei maschi murari.

Introduzione



Introduzione



I prodotti MIDAS consentono di combinare sempre ogni tipologia di materiale, dai materiali linearmente elastici (utilizzabili in genere per legno, metalli, cemento armato, etc.) a quelli nonlineari, permettendo quindi di modellare ogni tipologia di struttura composta da qualsiasi materiale sia in fase di progetto (struttura nuova o estensione di struttura esistente) o di verifica (struttura esistente).

MIDAS/Gen e MIDAS/Civil implementano numerosi modelli per l’analisi di murature esistenti mediante una analisi agli Elementi Finiti.

Introduzione, note sui modelli costituivi per murature



Le leggi costitutive di materiale Mohr-Coulomb e Drucker-Prager

Il criterio di rottura di Mohr-Coulomb viene implementato su una legge costitutiva elastica perfettamente plastica.

Superata la rottura, secondo la legge di Mohr-Coulomb, il materiale si deforma in modo perfettamente plastico. Il materiale è inoltre assunto omogeneo e isotropo.

Il modello è ben noto agli ingegneri essendo utilizzato per descrivere materiali disomogenei ed anisotropi (terreni, rocce, calcestruzzo, ecc.) e fornisce di solito una risposta più che accettabile dal punto di vista ingegneristico (Benedetti et al., Op.Cit.).

La stessa opera citata indica alcune critiche al modello tra le quali una stima “ottimistica” della resistenza a trazione, la forzatura all’isotropia del materiale e i problemi connessi alla legge di scorrimento plastico associato.

Ciononostante un importante “riconoscimento” al criterio di Mohr-Coulomb, nell’applicazione alle murature, è dato dal DM 20/11/87 “Norme Tecniche per la progettazione, esecuzione e collaudo degliedifici in muratura e per il loro consolidamento”, Par. 2.3.2.1.




Le leggi costitutive di materiale Mohr-Coulomb e Drucker-Prager

“Determinazione della resistenza caratteristica a taglio in base alle caratteristiche dei componenti”. In sostanza il Decreto impone tg pari a 0,4 e 0 pari a fvk0.

Numerosi lavori in letteratura utilizzano il criterio di Mohr Coulomb. I parametri utilizzati sono riportati nei prossimi capitoli.

Il criterio di Drucker-Prager permette una più agevole convergenza richiedendo analoghi parametri al criterio di Mohr-Coulomb.




Modello “Strumas”

MIDAS implementa un modello di materiale omogeneo equivalente definito ”micro-macro” (Luciano et al., 1997) in quanto, partendo dalla definizione di un volume elementare rappresentativo e da differenti legami costitutivi per i tre costituenti (blocchi, giunti di malta orizzontali e verticali), attraverso una omogeneizzazione, perviene al legame del materiale muratura da utilizzare nell’analisi al continuo equivalente.

La tecnica di omogeneizzazione è quella proposta da Pande (Pande et al. 1989) e basata sull’eguaglianza dell’energia di deformazione. Le due ipotesi di base per la costruzione delle proprietàdel materiale equivalente riguardano i blocchi ed i giunti di malta, considerati solidali, ed i giunti di malta verticali e orizzontali, considerati continui.

Nel suo lavoro Pande assunse che la fessurazione a trazione è la più importante non-linearità che caratterizza le murature. Il modello prevede in compressione un comportamento indefinitamente elastico e ad ogni incremento di forze risale dai valori delle tensioni e delle deformazioni all’interno del volume elementare di riferimento a quelle dei costituenti.





La procedura resta lineare in ogni passo, ma se la tensione principale di trazione in un costituente supera la resistenza, il suo contributo alla nuova matrice di rigidezza del materiale omogeneizzato è ridotto o annullato.

La riduzione dipende da un parametro di abbattimento della rigidezza, riducibile a valori prossimi allo zero, cui corrisponde un comportamento pressoché elasto-plastico (Lee et al., 1996). Le proprietà del materiale equivalente dipendono, quindi, dalla dimensione media di blocchi, giunti verticali e orizzontali, oltre che dalle relative caratteristiche meccaniche.

Il Modello Strumas presenta l’indubbio vantaggio di richiedere parametri fisici facilmente reperibili, evitando di dover interpretare l’angolo di attrito e consentendo di descrivere il comportamento anisotropo della muratura.





L’utente di MIDAS potrà inoltre rendersi conto della estrema rapidità e stabilità di convergenza del modello, che richiede bassi oneri computazionali e non necessita di approfondite esperienze in problemi di convergenza.

Un importante riconoscimento al modello Strumas è riportato in Faella et al. (Op. Cit.) con un confronto con un modello di materiale smeared crack presente nel codice di calcolo Abaqus.




- D. Benedetti, L. Binda, E. Carabelli, R. Nova, A. Franchi, et al., Comportamento statico e sismico delle strutture murarie, Clup, Milano, 1982. Capitoli: 1, 3.4, 4

-L. Boscotrecase, Francesco Piccarreta, Edifici in muratura in zona sismica, Flaccovio, 2006. Capitolo: 14

-L. Santoro, Rischio sismico e patrimonio monumentale, Linee Guida, Flaccovio, 2007. Capitoli: 7, 8, 9, 10

-DM 20/11/87 “Norme Tecniche per la progettazione, esecuzione e collaudo degli edifici in muratura e per il loro consolidamento”

-Ordinanza della Presidenza del Consiglio dei Ministri n. 3274/2003, Allegato 2 “Norme Tecniche per il progetto, la valutazione e l’adeguamento sismico degli edifici”

-DPCM 23/2/2006, “Linee guida per la valutazione e riduzione del rischio sismico del patrimonio culturale con riferimento alle norme tecniche per le costruzioni ed all’applicazione dell’Ordinanza del Presidente del Consiglio dei Ministri del 20.03.2003 n. 3274 e ss.mm. e ii.”, pubblicato in Gazzetta Ufficiale della Repubblica italiana del 7 marzo 2006, n.55

-J. S. Lee, G. N. Pande, et al. (1996) Numerical Modeling of Brick Masonry Panels subject toLateral Loadings, Computer & Structures, Vol. 61, No. 4.

Bibliografia



-Tomaževič M. (1999) Earthquake-resistant design of masonry buildings, Series on Innovation in Structures and Construction, Vol. 1, Imperial College Press, London.

-Calderini, C., Lagomarsino, S., A micromechanical inelastic model for historical masonry, Journal of Earthquake Engineering (in print), 2006

-Magenes G., A method for pushover analysis in seismic assessment of masonry buildings, 12th World Conference on Earthquake Engineering, Auckland, New Zealand, 2000

-Faella G., Giordano A., Guadagnuolo M., Modelli semplificati per la valutazione della sicurezza sismica di opifici in muratura, 2nd WonderMasonry 2, Lacco Ameno 2007 (http://www.dicea.unifi.it/wondermasonry ).

-Lourenço P.B. (2002). Computations on historic masonry structures, Progress in StructuralEngineering and Materials, n.4: 301-319.

-Luciano R., Sacco E. (1997). Homogenization technique and damage model for old masonrymaterial, Int. J. Solids and Structures. Vol. 34 (24), pp: 3191-3208.

Bibliografia


La costruzione della chiesa e dei locali contigui risale a 700 anni addietro, nel corso dei quali il fabbricato è stato interessato da molti interventi di modifica, aggiunte di elementi, riparazioni e variazioni agli accessi.


Vano Assembleare

Corte internaDeposito

Deposito

Negozio

Atrio ingresso

Porticato interno

Scalone

Sagrestia

Il Modello: Chiesa di S. Maria della Misericordia (Correggio RE)



I locali erano dedicati all’accoglienza ed al conforto, hanno visto le principali vicende della vita religiosa, sociale e politica della cittadina ed i correggesi, nei secoli, hanno sempre cercato di intervenire per migliorare e mantenere S.Maria.

Negli ultimi anni si è attivato concretamente un Comitato per la messa in sicurezza della costruzione, particolarmente danneggiata dagli eventi sismici degli anni 1996 e 2000; (Ampie notizie storiche, elaborati grafici e tecnici, immagini, sono visionabili e scaricabili visitando il sito www.studioprandi.com/external).

La disponibilità di accurati rilievi geometrici, dei materiali e del quadro fessurativo, dedotti attraverso indagini svolte da professionisti, unitamente alle estese informazioni storiche, ha consentito l’esecuzione di analisi strutturali fondate su dati attendibili

E’ stato necessario ed utile eseguire continui sopralluoghi per avere una adeguata consapevolezza e conferma delle informazioni derivate dal rilievo.




Come a volte accade, gli interventi del passato, eseguiti nel sicuro intento di dare alla chiesa maggiore bellezza e rappresentatività, con la possibilità odierna di leggerne al vero le conseguenze, si sono rilevati strutturalmente impropri:

- la facciata principale, frutto di una sopraelevazione dell’originario porticato, è risultata inadeguatamente connessa alla parte interna, distaccandosi durante il sisma;

- l’arco murario sovrastante l’altare, privo o privato della catena per una migliore percezioneliturgica, è pericolosamente instabile;

- lo scalone principale a rampe voltate, realizzato successivamente alla prima edificazione, soffre di instabilità riconducibili all’insufficiente contenimento della parete che lo delimita verso ilcortile interno;




- il portico ed il loggiato sul cortile interno, dotati di pregevoli e snelle volte a crociera, a seguito del sisma sono stati completamente puntellati,

- la torre campanaria, sopraelevata due secoli addietro ed impostata su murature esistenti che solo in parte minore hanno continuità a terra, risulta vistosamente inclinata e lesionata,

- la nuova copertura della chiesa, eseguita nel 1980 in sostituzione di una copertura lignea ammalorata e spingente, utilizzando una nuova tipologia strutturale tanto solida quanto rigida, durante il sisma del 1996, da un lato ha favorito il crollo della contigua ampia e pregevole volta muraria a padiglione eseguita in foglio, dall’altro ha contenuto gli spostamenti della navata sottostante, mantenendone la stabilità.




Sono state attribuite diverse caratteristiche meccaniche del materiale costituente gli elementi, cercando di considerare i vari periodi di edificazione od il posizionamento in zone danneggiate o geometricamente critiche:

•muratura antica con caratteristiche meccaniche modeste che potessero sommariamente mettere in conto il degrado del legante, la presenza di fessurazioni diffuse e le connessioni solo parziali tra pareti trasversali (E=6.000 kg/cm²);

•muratura dei pilastri della cella campanaria, priva di confinamento ed interessata da nicchie per l’appoggio dell’incastellatura delle campane (E=4.000 kg/cm²);

•muratura meno antica e realizzata con leganti di qualità migliore (12.000 kg/cm²);

•impalcato recente in acciaio e latero-cemento (E=300.000 kg/cm²).

Il vincolamento esterno ha previsto l’incastro al livello delle fondazioni e vincoli secondo allineamenti verticali che potessero simulare il contenimento operato dalle murature delle costruzioni contigue.

Caratteristiche dei materiali e vincoli



Caratteristiche dei materiali e vincoli

Caratteristiche meccaniche della muratura

•E = 6000 daN/cm², ν = 0,25

Per quanto riguarda i dati meccanici utili allo svolgimento delle analisi non lineari, tenuto conto di quanto mostrato in sede di introduzione al problema, i dati necessari sono distinti tra quelli utili all’esecuzione di:

-analisi di pushover su struttura a telaio equivalente con approccio a plasticità concentrata

- analisi statica non lineare sul modello 2D generale (modello Strumas)

Dati per analisi di pushover su TEQ (valori medi di resistenza per muratura):

-fcm=3 daN/cm2, to=fvk0=3 daN/cm2

Dati per analisi con modello Strumas (valori medi di resistenza singoli componenti delle murature)

-fcm mattone = 50 daN/cm², ftm mattone = 7,5 “

-fcm malta = 25 “, ftm malta = 3,0 “



I carichi considerati nel calcolo sono i seguenti (unità di misura daN/m² ):•sisma SLV ag/g = 0,152 •neve 120 •vento 40 •riempimento delle volte 350 •fregi e decori 50 •manto di copertura 60 •murature 1800 •volte in laterizio 150 •impalcati di copertura 60

Carichi variabili•su impalcati e volte di piano 200 •su volte scale 400 •su volte sottotetto 50

Analisi dei carichi



Spettro SLCValore max =0.33 ag/g

Spettro SLVValore max=0.26 ag/g

Analisi dei carichi – Azioni sismiche

Vengono determinati gli spettri di progetto per il comune di Correggio(RE), considerando un terreno di tipo C ed un fattore di struttura pari a 2.2



Propedeuticamente alla predisposizione del progetto generale di consolidamento e restauro dell’immobile, si è proceduto:

- Verifiche statiche semplificate per determinare livelli medi di sollecitazione delle murature, questi ultimi da considerare per i riscontri con i risultati derivati dalle successive analisi numeriche, meno intuitive;

- Analisi sismica globale - elastica dell’intero fabbricato secondo uno schema a telaio equivalente (TEQ), per l’ individuazione delle zone della costruzione maggiormente gravate;

- Analisi sismica globale -elastica dell’intero fabbricato operando una modellazione ad elementi finiti bidimensionali per ottenere risultati di maggiore dettaglio;

- Analisi sismica in campo elasto-plastico (Strumas) del campanile e delle murature contigue operando una modellazione ad elementi finiti 2D.

Tipologia di analisi svolte



La modellazione ai fini di un analisi strutturale di una struttura monumentale presenta notevoli difficoltà.

Allo scopo di generare un modello di calcolo composto da elementi bidimensionali si è rivelato molto efficiente predisporre un iniziale modello CAD 3D in ambiente Tekla Structures sfruttando il collegamento automatico disponibile tra questo software e Midas/Gen.

In questo modo si sono potute sfruttare al meglio le potenzialità di modellazione tipiche di un modellatore parametrico arrivando a generare al “meglio” un plausibile modello di calcolo.

Il collegamento si è rivelato utile anche per meglio sfruttare le diverse competenze in gioco nell’ambito dello studio di questa opera: da un lato figure più esperte in termini di modellazione architettonica e ben conoscitrici dell’opera, dall’altro la figura dell’analista più preoccupata di poter gestire un modello FEM caratterizzato solo dagli aspetti strutturali.

Il modello CAD 3D è stato derivato da modelli CAD DXF piani (tipicamente disponibili in questi ambiti).

Generazione del modello con elementi bidimensionali



Il trasferimento dal modello Tekla S. al modello Midas presenta diverse criticità. Una su tutte la possibilità di trasferire un modello tipicamente tridimensionale (e quindi composto da solidi connessi tra loro) in un modello FEM costituito da elementi bidimensionali.

E’ necessaria una trasformazione “topologica”. Tutti gli oggetti solidi devono essere trasformati in aree posizionate in corrispondenza dei piani MEDI dei solidi stessi

Questa operazione viene risolta in automatico grazie alle funzionalità disponibili in Tekla S.

Il modello estratto da Tekla S consiste in macro-aree interpretate dal traslatore Tekla S. – Midas/Gencome macro elementi PLATE che verranno “meshati” facendo uso degli strumenti di mesh automatica disponibili in Midas/Gen (Modulo ASWD).



Importazione del modello da Tekla Structures



Collegamento bidirezionale fra Midas gen/civil e Tekla Structures

-Geometria del modello (elementi beam, truss, plate)-Sezioni-Offset delle sezioni-Materiali-Vincoli-Svincoli-Carichi





Nella modellazione a telaio equivalente (TEQ) sono state operate le seguenti semplificazioni:

-Non sono state modellate le zone sopra/sotto finestra-Non modellati i maschi molto snelli (L/H>10)-limitazione nell’ inserimento dei maschi murari a disposizione delle murature secondo 3 direzioni, due delle quali tra loro ortogonali;-modellazione degli archi con un elemento trave avente altezza pari alla metà della freccia dell’arco;-Spostamento dei tiranti alla quota dell’impalcato subito superiore per evitare interruzione dei maschi murari

Dal punto di vista dei carichi si è mantenuto, per quanto possibile, lo schema di carico adottato nel modello più generale. In particolare sono state mantenuti gli elementi PLATE delle coperture , gli elementi BEAM di trasferimento carico, le aste rappresentative delle coperture lignee.

Per quanto riguarda le ipotesi di impalcato rigido anche inq uesto caso sono state conservate le ipotesi di piano rigido assegnate manualmente nelle diverse zone della struttura tramite l’opzione di RIGID LINK di Midas/Gen.

Modello a Telaio equivalente



Modello a Telaio equivalente – analisi modale

L’analisi modale è stata svolta facendo uso dei vettori di RITZ. Questo per tenere conto della presenza di un modello di fatto “ibrido” composto da un numero limitato di elementi asta equivalente che dialogano con altri elementi 2D utilizzato allo scopo di meglio considerare i carichi agenti.



Modello a Telaio equivalente – analisi modale



l’analisi modale mostra due modi significativi:-Modo in direzione X (trasversale alla navata) con attiva la maggior parte della struttura-Modo in direzione Y (lungo la navata) che attiva una porzione della struttura, in particolare la parte relativa alla torre campanaria (elemento che si desidera di più investigare essendo piuttosto danneggiato)

La conferma che il modo 2 movimenta soprattutto la torre è data analizzando i valori dei coefficienti di partecipazione per il modo n.2. I picchi di valore, nettamente diversi dagli altri, si hanno per nodi della torre.

Sebbene il modo n.2 risulti parziale, si è ritenuto sufficiente per proseguire nelle indagini dato che investe la zona più delicata dell’opera.




Il modello a TEQ viene considerato troppo semplificato per poter procedure ad un analisi di pushover globale.

Si preferisce procedere tramite una modellazione di maggiore dettaglio per poi arrivare ad un analisi non lineare applicata su un modello ridotto nell’intorno del campanile.

Per la complessità del modello in esame non sussistono le condizioni per poter eseguire un analisi di pushover.




La modellazione ai fini di un analisi strutturale di una struttura monumentale presenta notevoli difficoltà.

Allo scopo di generare un modello di calcolo composto da elementi bidimensionali si è rivelato molto efficiente predisporre un iniziale modello CAD 3D in ambiente Tekla Structures sfruttando il collegamento automatico disponibile tra questo software e Midas/Gen.

In questo modo si sono potute sfruttare al meglio le potenzialità di modellazione tipiche di un modellatore parametrico arrivando a generare al “meglio” un plausibile modello di calcolo.

Il collegamento si è rivelato utile anche per meglio sfruttare le diverse competenze in gioco nell’ambito dello studio di questa opera: da un lato figure più esperte in termini di modellazione architettonica e ben conoscitrici dell’opera, dall’altro la figura dell’analista più preoccupata di poter gestire un modello FEM caratterizzato solo dagli aspetti strutturali.

Il modello CAD 3D è stato derivato da modelli CAD DXF piani (tipicamente disponibili in questi ambiti).




Per quanto riguarda le opzioni di piano rigido si cercato di modellare al meglio:

-la presenza in modo non omogeneo di elementi di irrigidimento (solai lignei)

-L’effetto dell’intervento avvenuto in tempi recenti sulla copertura della navata centrale con capriate in ferro

-La presenza di una zona centrale di separazione tra la navata centrale ed il cortiletto interno con volte ad archi

-Nella zona centrale con archi e volte, in corrispondenza dei bordi di collegamento tra pavimento (e quindi la zona delle volte) ed i maschi contigui, si è neutralizzata la trasmissione delle azioni flettenti.




Nel modello 2D si è cercato di rendere al meglio possibile alcune parti di struttura ritenute molto importanti ai fini della valutazione dello stato dell’opera e del possibile intervento di adeguamento:

-modellazione della torre campanaria, in particolare delle sue pareti che non arrivano da nessun lato al terreno e che si innestano in modo diverso, sui diversi lati nel corpo della chiesa

-Collegamento tra l’arco principale e l’arco retrostante che si collega alla torre

-Modellazione dell’interazione tra le catene in acciaio e le spalle degli archi della navata principale

- Modellazione delle aperture

La modellazione di tutte le pareti e delle zone di dettaglio è stata svolta tramite il modulo ASWD adottando una taglia media per gli elementi di circa 40 cm e considerando uno schema di mesh del tipo QUAD+TRIA (max numero di elementi QUAD e minimo di TRIA laddove non risulti possibile a meno di inaccettabili distorsioni inserire un elemento a 4 nodi)

Modello con elementi bidimensionali



Modello con elementi bidimensionali - Vincoli



Analisi elastica statica per carichi verticali L’esame delle tensioni principali di trazione (delimitate ai valori +3 kg/cm2 e -25kg/cm2) mostrano come la struttura in buona parte esibisca tensioni inferiori ai limiti suddetti. Le parti più sollecitate sono quelle in corrispondenza della chiave dell’arco maggiore e della base del campanile.




L’esame delle tensioni principali di COMPRESSIONE (delimitate ai valori -3 kg/cm2 e 0kg/cm2) mostrano come la struttura in buona parte esibisca tensioni di compressione nella maggior parte contenute in questo range. In particolare alla base della struttura, questi valori sono coerenti con quelli ottenuti da calcolazioni manuali di validazione.




Questo primo riscontro del modello 2D consente di ritrovare un primo risultato importante, riscontrato in modo evidente dall’opera (vedi immagine sottostante)La lesione nell’arco principale consegue ad una spinta verso l’esterno della zona dell’arco principale.




Analisi modaleTenuto conto dell’elevato numero di gdl del modello , conseguente alla presenza di elementi truss e di elementi bidimensionali lastra/piastra, per l’estrazione degli autovalori è stato impiegato in metodo di Ritz.Le masse sismiche sono generate applicando coefficienti unitari ai carichi permanenti e pari a 0,8 ai carichi variabili.

Per quanto riguarda la generazione delle masse sismiche:-i carichi statici vengono trasformate in masse nodali-Il peso proprio degli elementi finiti presenti viene trasformato in massa senza operare alcuno spostamento della masse




Analisi modaleI principali modi di vibrare sono particolarmente significativi in quanto oltre a movimentare le percentuali maggiori delle masse, hanno periodo corrispondente ai massimi valori di spettro. I modi di vibrare principali evidenziano chiaramente la rilevanza degli spostamenti del campanile rispetto al resto della costruzione, ciò in coerenza al livello di danneggiamento riscontrabile al vero.E’ interessante notare come si ritrovano valori simili a quelli del modello TEQ.




Analisi dinamica modaleQuesta analisi considera la struttura soggetta ad azioni laterali nelle due direzioni X ed Y determinate calcolando per ogni nodo le masse derivanti dal “peso sismico” calcolato secondo la normativa NTC2008.

In corrispondenza di ogni nodo della struttura viene calcolata la forza d’inerzia moltiplicando la corrispondente massa sismica per la massima accelerazione orizzontale derivata dagli spettri di progetto per SLV e SLC.





Analisi dinamica modaleL’analisi degli spostamenti relativi ad una combinazione sismica (includendo i carichi statici) mostra in modo evidente come il campanile risenta in manierà più forte dell’azione sismica.

Gli spostamenti, sebbene risultanti da un modello elastico, mostrano valori non lontani da quelli riscontrati da recenti misurazioni.



Dall’analisi delle tensioni principali di trazione (delimitata tra –25 e +3 daN/cm2), relativa ad un caso di carico comprensivo dell’azione sismica, si evidenzia la presenza di zone ampie in cui viene superata la resistenza a trazione del componente più debole (malta).




Con l’intenzione di ottenere maggiori informazioni sul comportamento del campanile, si è proceduto ad una modellazione limitandosi alla seguente porzione: -campanile ed arco principale

-Volendo valutare in maniera accettabile il vincolo offerto dalla struttura è stato modellato un intorno di questa zona. I contorni di questa zona sono stati vincolati in modo fisso tenendo conto delle direzioni di vincolo offerta dalla struttura completa.

Modello ridotto con elementi bidimensionali



Il modello parziale è stato generato allo scopo di valutare la capacità portante del campanile, tenendo conto del comportamento non lineare delle murature.

Le azioni agenti su questo modello saranno:-azioni verticali relative ai carichi agenti sulla porzione di modello -Le azioni laterali sono quelli derivate dal modello completo

Volendo svolgere analisi in ambito non lineare dovranno essere costruire delle opportune curve di carico.

Vengono in particolare costruite le seguenti curve: -Azioni verticali relative alla condizione di carico quasi permanente-Azioni laterali derivanti dai 2 seguenti schemi di forze (derivate dal modello globale)

nb x,y = forze proporzionali alle masse sismichers x,y = forze di inerzia da analisi modale




Le azioni laterali vengono facilmente derivate dal modello globale facendo uso di apposite funzionalitàdisponibili in Midas/Gen

-per le azioni proporzionali alle masse si estraggono i valori delle NODAL BODY FORCE calcolate in automatico dal programma facendo riferimento a valori di accelerazione corrispondenti allo stato limite SLC

-Per le azioni relative alle forze di inerzia si estraggono, dal modello generale, le FORZE DI INERZIA proporzionali ai modi di vibrare 1 e 2 analizzati in precedenza, facendo riferimento a spetti di progetto SLC

Avendo Il modello ridotto lo scopo di concentrare l’attenzione sulla zona campanile arco principale le azioni sopra descritte sono state estratte solo per queste due parti di modello




Opzioni per l’ analisi statica non lineare

La struttura è soggetta a 4 casi di carico non lineari

I casi di carico rappresentano l’effetto dei carichi quasi permanenti e di due configurazioni di spinta orizzontale.

Sono stati selezionati i segni dei carichi orizzontali piùpenalizzanti nei confronti del campanile.

Per ognuno dei carichi di pushover si potrà definire una curva di capacità ed eseguire le verifiche globali in termini di spostamento





Ogni caso di carico non lineare viene fatto crescereIn 10 step. Ognuno degli step ha 30 iterazioni a disposizione per convergere.

Trattandosi di un analisi in controllo di forza, a partire dai valori delle azioni laterali derivate dal modello globale e relative ad uno spettro SLC di progetto è necessario eseguire diverse analisi NL.

In ogni analisi le forze laterali vanno incrementate fino ad arrivare al collasso della struttura che in termini numerici sarà evidenziato tipicamente dalla impossibilità a convergere del solutore oltre un certo step di carico.





Trattandosi di una struttura che non presenta uno schema classico piani rigidi / punti considerabili come punti di controllo dell’analisi si è deciso di adottare uno schema di analisi statica non lineare con controllo in forza.

Questo approccio garantisce comunque la possibilità di individuare almeno il picco della curva di capacità in modo da poter sviluppare la fase di individuazione dei diversi stati limite ultimi




Curva di capacità

La curva di capacità rappresenta, per ogni caso di carico di pushover, il resoconto della variazione del valore del tagliante alla base rispetto ad un punto di controllo della struttura. Nei modelli in cui si individua una piena rispondenza delle ipotesi di applicabilità delel analisi di pushover questopunto èrappresentato dal punto più in alto della struttura appartenente all’ultimo impalcato (per ipotesi rigido).In questo caso la scelta del punto non risulta imemdiata e semplice.

E’ opportuno ipotizzare scelte multiple e la possibilitàdi tracciare curva multiple, per ogni analisi NL.





Il modello costitutivo della muratura implementato, prevede che la curva di capacità non presenti un tratto discendente, dato che il comportamento non lineare viene ottenuto abbattendo il valore del modulo elastico per quelle parti di muratura che abbiano raggiunto i valori di tensione stabiliti come corrispondenti al raggiungimento del limite elastico.

Si ha quindi la necessità di stabilire un criterio per posizionare il punto finale in corrispondenza del quale interrompere l’analisi.

Nel caso in esame il punto finale (rappresentativo dell’SLC) è fatto corrispondere al raggiungimento di un limite in termini di spostamento tra due piani di riferimento:

•Limite spostamento relativo allo SLD = 0.3%H (NTC2008)•H di riferimento = differenza di altezza tra la sommità del campanile e la quota alla quale il campanile si isola dal corpo principale del fabbricato = 19.15-11.9=7.25 m

In questo caso si è adottato il seguente criterio: 5*limite SLD = 5*7.25*3/1000 = 10.8 cm




Caso QP+RSx (SLC)

Punti notevoli del modello in esame considerati sono:-sommità torre-zona distacco torre – corpo chiesa-apice arco principale

Viene considerato come picco della curva il valore ultimo DX raggiunto dal punto di controllo in sommità del campanile, in quanto la differenza tra DX del nodo in sommità – DX nodo baseHa violato il criterio prima proposto.




Caso QP+RSx (SLC)

Dal punto di vista del solutore In relazione al caso di carico QP+RSX si nota oltre lo step 6Una riduzione drastica della tolleranza con la quale viene raggiunta la convergenza.Questo comportamento implica un degrado nella soluzione , indice di un danneggiamento che dallo step 6 in poi diverrà sempre più esteso portando al collasso della struttura.

Modello ridotto con elementi bidimensionaliINCREMENT NO. : 1 ITERATION NO. : 2 DISPL. NORM : 0.473E-01

INCREMENT NO. : 1 ITERATION NO. : 3 DISPL. NORM : 0.226E-10







INCREMENT NO. : 5 ITERATION NO. : 2 DISPL. NORM : 0.108E+00














Ricerca dei target - procedura

- Per ogni curva di capacità è individuato il punto finale di coordinate F*bu e d*bu relativo al limite di drift precedentemente calcolato.

- Ogni curva di capacità viene scalata secondo il parametro gamma Γ (fattore di partecipazione del primo modo di vibrare) ottenendo la curva di capacità di una struttura equivalente ad un solo grado di libertà;

Γ = 1 nel caso di forze proporzionali alle masse

Γ = ΦT x M x τ = 1,2 nel caso di forze proporzionali ai modi

ΦT = autovettore trasposto derivante dall’analisi modale, normalizzato rispetto alla matrice di massa

M = matrice di massa diagonale

τ = vettore direzionale relativo alla direzione del sisma




Ricerca dei target - procedura- Per impiegare gli spettri di risposta elastici ed ottenere informazioni su accelerazioni e spostamenti, per ogni stato limite, le curve di capacità delle strutture equivalenti vengono approssimate, applicando il criterio dell’equivalenza delle aree, a curve bilineari equivalenti (con uguali aree sottese e uguale dissipazione energetica).

- Per ogni curva si individuano: la forza F*y e lo spostamento d*y corrispondenti al passaggio da fase elastica a non elastica nella curva bilineare equivalente, sono stati individuati tramite una procedura iterativa, seguendo le indicazioni riportate nella Circolare NTC2008 (7.3.4.1).

- si valutano : la rigidezza del tratto elastico della struttura bilineare equivalente è pari a k* = F*y / d*yIl periodo proprio della stessa è pari a: T* = 2̟ (m*/k*)^½

Dalla curva dello spettro elastico in spostamento si determina la richiesta in spostamento S*De(T*).




Ricerca dei target - proceduraPer tenere conto del comportamento elasto-plastico della struttura equivalente, pur impiegando spettri di risposta elastici:

se T* > =Tcd*max = d*e,max

se T* < Tcd*max = d*e,max/q* x (1+( q*-1) x Tc/T* )>= d*e,max

essendo q*= S*e(T*)/ F*y se q*< 1 d*max = d*e,max

La richiesta in spostamento per la struttura reale prevede che la richiesta derivata dallo spettro elastico venga moltiplicata per il fattore di partecipazione Γ.




Caso QP+RSx (SLC) – post processing finale

Dal sito sismicoag/g (SLC)= =0.2

Dal modello -m* =270 Kgf/g (da query)-fattore GAMMA =1.2 (estrazione dati da tabelle an. modale)

Dalla curva di capacità e dalla bilinearizzazione-Valori taglio –spostamento (da curve con comando result/stage/step)-Vmax =840 KN-Fy =450 KN-Dy =0.06m-Calcolo della Ky =7500 KN/m2-Calcolo del valore di T* (nota la massa m) =1.18

d (SLC)=0.118 m < d cap = 0.123 m, verifica soddisfatta




Caso QP+RSx (SLC)


0

100

200

300

400

500

600

700

800

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

Displa c ement [m]

Ba

se

Sh

ea

r [k

N]

S DOF c urve

S DOF B ilinear



Note sull’analisi non lineare nel modello generaleIl punto della curva di capacità in cui viene raggiunto il limite elastico della struttura, per ogni caso di carico non lineare, è lo step di analisi in corrispondenza del quale si ha l’innesco del comportamento non lineare del materiale. A partire da questa situazione l’analisi non lineare consente di simulare il fenomeno della ridistribuzione degli sforzi.

Trattandosi di un analisi svolta con un numero elevato di elementi, è probabile che si inneschino fenomeni LOCALI che portino a singolarità nei valori di tensione (in particolare la principale di trazione).

Allo scopo di valutare l’importanza di questo aspetto è stata svolta pertanto una valutazione manuale step per step per capire se queste zone sono effettivamente zone di concentrazione anomala di tensione (a causa ad esempio di mesh non regolari) oppure effettivi inneschi di non linearità.

La valutazione delle zone di singolarità consente di evitare di considerare punti NON significativi come punti notevoli di analisi della soluzione (es. stress, punti di controllo per pushover)




Il modello analizzato ha consentito, nell’ambito di diverse approssimazioni, di arrivare ad effettuare una verifica sismica in particolare della zona più sollecitata (il campanile) adottando il criterio richiesto dalla normativa.

Questo criterio fa in realtà più riferimento a schemi di calcolo basati su telai equivalenti e nei quali è possibile individuare piani rigidi, punti di controllo, ecc.

La disponibilità di questi diversi modelli di calcolo (TEQ, Completo e ridotto) so ritiene sia utile per poter ipotizzare l’effetto di differenti tipi di intervento, cercando di individuare quello che porti il massimo vantaggio con un minimo dispendio economico.

Conclusioni



Conclusioni

Sulla scorta di questa modalità di lavoro èstata attivata una fase di valutazione di intervento (ancora oggi in fase di indagine in considerazione di recentissime scosse sismiche ) per il campanile: si prevede la realizzazione di un telaio in acciaio interno che possa ritenersi congruente all’esistente, e che risultando molto più rigido possa scaricare la muratura danneggiata.

Anche in questo caso è prevista una simulazione FEM nella quale verrà inserito il modello del traliccio nei diversi modelli di calcolo prima presentati.



Grazie

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